ÁTOMO DE HIDROGÊNIO Primeiro sistema tratado quanticamente por Schrödinger

Modelo de Bohr

Elétrons se movem ao redor do núcleo em órbitas circulares (atração Coulombiana)

Cada órbita n possui um momento angular bem definido

Cada órbita n possui uma energia bem definida

Cada órbita possui um raio bem definido

Elétron emite radiação ao mudar, de forma descontínua, de uma órbita estável (Ei)

para outra órbita estável (Ef)

𝐿 = 𝑛ℏ = 𝑛ℎ

2𝜋 𝑛 = 1, 2, 3, …

𝐸 = − 1

4𝜋𝜀0

𝑍𝑒2

ℏ

2𝑚

2

1

𝑛2 𝑛 = 1, 2, 3, …

𝑟 =4𝜋𝜀0ℏ

2

𝑚𝑍𝑒2𝑛2 𝑛 = 1, 2, 3, … 𝑟𝑛=1 = 0,53 Å

𝐸𝑛=1 = −13,6 eV

Equação de Schrödinger

Autovalores (energias E) previstos pela teoria de Schrödinger estão em acordo com o modelo de Bohr e com os observados experimentalmente

Prevê as autofunções , fornecendo novas informações adicionais

Função densidade de probabilidade 2: descrições detalhadas da estrutura do átomo, sem violar o princípio de incerteza (ao contrário do modelo de órbitas precisas de Bohr)

Momentos angulares orbitais dos átomos (incorretamente previstos por Bohr)

Spin do elétron e outros efeitos relativísticos no átomo (incorretamente previstos por Bohr)

Rapidez com que o átomo transiciona de seus estados excitados para seu estado fundamental (grandeza mensurável não prevista pelo modelo de Bohr)

Átomo de um elétron: modelo mais simples de átomo

mais complexo que os estudados até então, pois envolve DUAS partículas e é TRIDIMENSIONAL

𝐸 = − 1

4𝜋𝜀0

𝑍𝑒2

ℏ

2𝜇

2

1

𝑛2 𝑛 = 1, 2, 3, … 𝜇 =

𝑀𝑚

𝑀 + 𝑚 massa reduzida

A massa reduzida

O potencial Coulombiano

Equação de Schrödinger independente do tempo

𝜇 =𝑀𝑚

𝑀 + 𝑚 massa reduzida

𝑉 𝑟 =1

4𝜋𝜀0

𝑍𝑒2

𝑟= 𝑉 𝑟

−ℏ2

2𝜇∇2𝜓 𝑟 + 𝑉 𝑟 𝜓 𝑟 = 𝐸𝜓 𝑟

Coordenadas esféricas

Coordenadas cartesianas em função das esféricas

Laplaciano em coordenadas esféricas

Reescrevendo a EDO de Schrödinger independente do tempo

Separação de variáveis

𝑥 = 𝑟 sin𝜃 cos𝜙

𝑦 = 𝑟 sin𝜃 sin𝜙

𝑧 = 𝑟 cos 𝜃

−ℏ2

2𝜇

1

𝑟2𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕𝜓 𝑟

𝜕𝑟 +

1

𝑟2 sin𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin𝜃

𝜕𝜓 𝑟

𝜕𝜃 +

1

𝑟2 sin2 𝜃

𝜕2𝜓 𝑟

𝜕𝜙2 = 𝐸 − 𝑉 𝑟 𝜓 𝑟

𝜓 𝑟 = R 𝑟 Θ 𝜃 Φ 𝜙 = RΘΦ

∇2=1

𝑟2𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕

𝜕𝑟 +

1

𝑟2 sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin𝜃

𝜕

𝜕𝜃 +

1

𝑟2 sin2 𝜃

𝜕2

𝜕𝜙2

Substituindo na equação

Multiplicando:

Lado esquerdo independe de ; lado direito só depende de . Única solução possível

Impondo condição de contorno: continuidade da função de onda

Solução em

ΘΦ

𝑟2𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕R

𝜕𝑟 +

RΦ

𝑟2 sin𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin𝜃

𝜕Θ

𝜕𝜃 +

RΘ

𝑟2 sin2 𝜃

𝜕2Φ

𝜕𝜙2=

2𝜇RΘΦ

ℏ2 𝑉 𝑟 − 𝐸

×𝑟2 sin2 𝜃

RΘΦ

sin2 𝜃

R

𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕R

𝜕𝑟 +

sin𝜃

Θ

𝜕

𝜕𝜃 sin𝜃

𝜕Θ

𝜕𝜃 +

2𝜇𝑟2 sin2 𝜃

ℏ2 𝐸 − 𝑉 𝑟 = −

1

Φ

𝜕2Φ

𝜕𝜙2

−1

Φ

𝜕2Φ

𝜕𝜙2= cte = 𝑚𝑙

2 𝜕2Φ

𝜕𝜙2= −𝑚𝑙

2Φ Φ = 𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙

Φ 0 = Φ 2𝜋 1 = 𝑒𝑖𝑚 𝑙2𝜋 𝑚𝑙 = 0, 1, 2, …

Φ𝑚 𝑙 𝜙 = 𝐴𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙 𝑚𝑙 = 0, 1, 2, …

Substituindo na equação

Multiplicando:

Lado esquerdo independe de ; lado direito só depende de . Única solução possível

Solução em

onde são os POLINÔMIOS DE LEGENDRE e dependem de l e ml

sin2 𝜃

R

𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕R

𝜕𝑟 +

sin𝜃

Θ

𝜕

𝜕𝜃 sin𝜃

𝜕Θ

𝜕𝜃 +

2𝜇𝑟2 sin2 𝜃

ℏ2 𝐸 − 𝑉 𝑟 = 𝑚𝑙

2

×1

sin2 𝜃

1

R

𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕R

𝜕𝑟 +

2𝜇𝑟2

ℏ2 𝐸 − 𝑉 𝑟 =

𝑚𝑙2

sin2 𝜃+

1

Θ sin𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin 𝜃

𝜕Θ

𝜕𝜃

𝑚𝑙2

sin2 𝜃+

1

Θ sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin𝜃

𝜕Θ

𝜕𝜃 = cte = 𝑙 𝑙 + 1 𝑚𝑙

2Θ

sin2 𝜃+

1

sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin𝜃

𝜕Θ

𝜕𝜃 = 𝑙 𝑙 + 1 Θ

𝑃𝑙𝑚 𝑙 cos𝜃

Θ𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃 = 𝐵 sin𝑚 𝑙 𝜃 . 𝑃𝑙

𝑚 𝑙 cos𝜃 𝑙 = 𝑚𝑙 , 𝑚𝑙 + 1, 𝑚𝑙 + 2, …

Substituindo na equação

Solução em r

onde

e são os POLINÔMIOS DE LAGUERRE e dependem de n e l

Da solução em r sai a condição para a energia:

ou, substituindo os valores:

1

R

𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕R

𝜕𝑟 +

2𝜇𝑟2

ℏ2 𝐸 − 𝑉 𝑟 = cte = 𝑙 𝑙 + 1

1

𝑟2𝜕

𝜕𝑟 𝑟2

𝜕R

𝜕𝑟 +

2𝜇𝑅

ℏ2 𝐸 −

1

4𝜋𝜀0

𝑍𝑒2

𝑟 =

𝑅

𝑟2𝑙 𝑙 + 1

R𝑛 ,𝑙 𝑟 = 𝐶 2𝑍𝑟

𝑎0𝑛 𝑙

. 𝑒−

𝑍𝑟𝑎0𝑛 . 𝐿𝑛+1

2𝑙+1 2𝑍𝑟

𝑎0𝑛 𝑛 = 𝑙 + 1, 𝑙 + 2, 𝑙 + 3, …

𝑎0 =4𝜋𝜀0ℏ

2

𝜇𝑒2

𝐿𝑛+12𝑙+1

2𝑍𝑟

𝑎0𝑛

𝐸𝑛 = −1

4𝜋𝜀0

𝑍2𝑒2

2𝑎0

1

𝑛2= −

1

4𝜋𝜀0

𝑍𝑒2

ℏ

2𝜇

2

1

𝑛2 𝑛 = 1, 2, 3, …

𝐸1 = −13,58 eV 𝐸𝑛 = −13,581

𝑛2 eV

As soluções gerais da equação de Schrödinger independente do tempo, para o átomo de hidrogênio, serão

onde A, B e C são constantes a serem encontradas pelas condições de normalização

Números quânticos

n número quântico principal: define a energia

l número quântico azimutal: determina o momento angular orbital do átomo

ml número quântico magnético: quando o átomo se encontrar em um campo magnético surgirá uma dependência da energia com ml

ms número quântico de spin: introduzido com a descoberta do spin

As condições para os números quânticos n, l e ml podem ser reescritas como:

R𝑛 ,𝑙 𝑟 = 𝐶 2𝑍𝑟

𝑎0𝑛 𝑙

. 𝑒−

𝑍𝑟𝑎0𝑛 . 𝐿𝑛+1

2𝑙+1 2𝑍𝑟

𝑎0𝑛 𝑛 = 𝑙 + 1, 𝑙 + 2, 𝑙 + 3, …

Θ𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃 = 𝐵 sin𝑚 𝑙 𝜃 . 𝑃𝑙

𝑚 𝑙 cos𝜃 𝑙 = 𝑚𝑙 , 𝑚𝑙 + 1, 𝑚𝑙 + 2, …

Φ𝑚 𝑙 𝜙 = 𝐴𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙 𝑚𝑙 = 0, 1, 2, …

𝑛 = 1, 2, 3, …

𝑙 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1

𝑚𝑙 = −𝑙, −𝑙 + 1 , … , 0, … , 𝑙 − 1 , 𝑙

Degenerescência das autofunções

Para cada valor de n, l irá variar desde zero até n-1

Para cada valor de l teremos 2l+1 valores de ml

Portanto, o número possível de estados para um valor dado de n será

Para cada valor de n teremos apenas uma energia possível

Exemplo

2𝑙 + 1

𝑛−1

𝑙=0

= 𝑛2

𝐸𝑛 = −13,581

𝑛2 eV

Para cada valor de n existe um total de n2 autofunções degeneradas (de mesma energia En)

𝑛 = 3 𝑙 = 0, 1, 2

𝑚0 = 0

𝑚1 = −1, 0, 1

𝑚2 = −2, −1, 0, 1, 2 𝐸3 = −13,58

1

32 eV

Encontrando as constantes A, B e C – condição de normalização

Resolvendo as integrais, encontramos

𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 = R𝑛 ,𝑙 𝑟 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃 Φ𝑚 𝑙 𝜙

𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉 = 1 onde 𝑑𝑉 = 𝑟

2 sin𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙

R𝑛 ,𝑙 𝑟 = 4 𝑛 − 𝑙 − 1 ! 𝑍3

𝑛 + 𝑙 ! 3𝑛4𝑎03 .

2𝑍𝑟

𝑎0𝑛 𝑙

. 𝑒−

𝑍𝑟𝑎0𝑛 . 𝐿𝑛+1

2𝑙+1 2𝑍𝑟

𝑎0𝑛 𝑛 = 𝑙 + 1, 𝑙 + 2, 𝑙 + 3, …

Φ𝑚 𝑙 𝜙 = 1

2𝜋𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙 𝑚𝑙 = 0, 1, 2, …

Θ𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃 = 2𝑙 + 1 𝑙 − 𝑚𝑙 !

2 𝑙 + 𝑚𝑙 !sin𝑚 𝑙 𝜃 . 𝑃𝑙

𝑚 𝑙 cos𝜃 𝑙 = 𝑚𝑙 , 𝑚𝑙 + 1, 𝑚𝑙 + 2, …

R𝑛 ,𝑙∗ 𝑟 R𝑛 ,𝑙 𝑟 𝑟

2𝑑𝑟∞

0

. Θ𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝜃 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃 sin𝜃 𝑑𝜃

𝜋

0

. Φ𝑚 𝑙∗ 𝜙 Φ𝑚 𝑙 𝜙 𝑑𝜙

2𝜋

0

= 1

Solução geral do átomo de Hidrogênio

AUTOFUNÇÕES

ENERGIAS

R𝑛 ,𝑙 𝑟 = 4 𝑛 − 𝑙 − 1 ! 𝑍3

𝑛 + 𝑙 ! 3𝑛4𝑎03 .

2𝑍𝑟

𝑎0𝑛 𝑙

. 𝑒−

𝑍𝑟𝑎0𝑛 . 𝐿𝑛+1

2𝑙+1 2𝑍𝑟

𝑎0𝑛 𝑛 = 𝑙 + 1, 𝑙 + 2, 𝑙 + 3, …

Φ𝑚 𝑙 𝜙 = 1

2𝜋𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙 𝑚𝑙 = 0, 1, 2, …

Θ𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃 = 2𝑙 + 1 𝑙 − 𝑚𝑙 !

2 𝑙 + 𝑚𝑙 !sin𝑚 𝑙 𝜃 . 𝑃𝑙

𝑚 𝑙 cos𝜃 𝑙 = 𝑚𝑙 , 𝑚𝑙 + 1, 𝑚𝑙 + 2, …

Ψ𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 , 𝑡 = 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 . 𝑒−𝑖𝐸𝑛ℏ

𝑡= R𝑛 ,𝑙 𝑟 . Θ𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃 . Φ𝑚 𝑙 𝜙 . 𝑒

−𝑖𝐸𝑛ℏ

𝑡

𝐸𝑛 = −1

4𝜋𝜀0

𝑍2𝑒2

2𝑎0

1

𝑛2= −13,58

1

𝑛2 𝑒𝑉 𝑛 = 1, 2, 3, …

Notação spdf

Notação: n x estado do átomo

s (sharp) corresponde a l = 0 (ml = 0)

p (principal) corresponde a l = 1 (ml = -1; 0; 1)

d (diffuse) corresponde a l = 2 (ml = -2; -1; 0; 1; 2)

f (fundamental) corresponde a l = 3 (ml = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3)

g corresponde a l = 4 (ml = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4)

h corresponde a l = 5 (ml = -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5)

i corresponde a l = 6 (ml = -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6)

Por ex. 15P (15 elétrons): 1s, 2s, 2p, 3s, 3p

1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p3

1s2, 2s2, 2px2, 2py

2, 2pz2, 3s2, 3px

1, 3py1, 2pz

1

s, p, d, f, ...

número quântico principal

Alguns polinômios de Legendre

𝑃𝑙𝑚 𝑙 cos𝜃 =

sin 𝑚 𝑙 𝜃

2𝑙 𝑙!

𝑑

𝑑 cos 𝜃 𝑙+ 𝑚 𝑙

sin2𝑙 𝜃

𝑃00 cos𝜃 = 1

𝑃10 cos𝜃 = cos 𝜃

𝑃11 cos𝜃 = sin𝜃

𝑃20 cos𝜃 =

1

2 3 cos2 𝜃 − 1

𝑃21 cos𝜃 = 3 sin𝜃 cos 𝜃

𝑃22 cos𝜃 = 3 sin2 𝜃

Dependência angular das autofunções: os harmônicos esféricos

Alguns harmônicos esféricos:

𝑌𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃, 𝜙 = Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃 . Φ𝑚 𝑙 𝜙

Dependência radial das autofunções – as funções radiais

Algumas funções radiais:

R𝑛 ,𝑙 𝑟

Densidade de probabilidade

Elétron não apresenta uma órbita bem definida

Podemos calcular a posição mais provável do elétron

Analisando as componentes individualmente

Φ𝑚 𝑙∗ 𝜙 Φ𝑚 𝑙 𝜙

Θ𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝜃 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃

R𝑛 ,𝑙∗ 𝑟 R𝑛 ,𝑙 𝑟

Probabilidade de encontrar o elétron em um determinado ângulo

Probabilidade de encontrar o elétron em um determinado ângulo

Probabilidade de encontrar o elétron em um determinado raio r

𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 = R𝑛 ,𝑙

∗ 𝑟 R𝑛 ,𝑙 𝑟 .Θ𝑙,𝑚 𝑙∗ 𝜃 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃 .Φ𝑚 𝑙

∗ 𝜙 Φ𝑚 𝑙 𝜙 densidade de carga

𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉

𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉 = 1

Probabilidade de encontrar o elétron em um pequeno volume dv em um determinado ponto no espaço (r,,)

Elétron (ou sua carga) está distribuída em todo o espaço

Interpretação da probabilidade em

A probabilidade de encontrar um elétron entre 1 e 1 + d1 é a mesma de encontrar o elétron entre 2 e 2 + d2

Interpretação da probabilidade em

Caso especial:

A probabilidade de encontrar um elétron na posição angular (,) é esfericamente simétrica no caso especial em que

Φ𝑚 𝑙∗ Φ𝑚 𝑙 =

1

2𝜋𝑒−𝑖𝑚 𝑙𝜙

1

2𝜋𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙 =

1

2𝜋

Θ0,0∗ 𝜃 Θ0,0 𝜃 = 𝑃0

0 cos𝜃 =1

2

Independe de !!!

Θ𝑙 ,𝑚 𝑙∗ Θ𝑙,𝑚 𝑙 Carrega toda a dependência angular da densidade de probabilidade

Independe de !!!

𝑛 = 1 ; 𝑙 = 0 ; 𝑚𝑙 = 0

𝑛 = 1 ; 𝑙 = 0 ; 𝑚𝑙 = 0

Quantização do momento angular

Momento angular:

Em coordenadas cartesianas:

Lembrando dos operadores para p:

Substituindo, obtemos os operadores para o momento angular:

L = r ∧ p = 𝐿𝑥x + 𝐿𝑦y + 𝐿𝑧z

𝐿𝑥 = 𝑦𝑝𝑧 − 𝑧𝑝𝑦

𝐿𝑦 = 𝑧𝑝𝑥 − 𝑥𝑝𝑧

𝐿𝑧 = 𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥

𝑝𝑥 = −𝑖ℏ𝜕

𝜕𝑥

𝑝𝑦 = −𝑖ℏ𝜕

𝜕𝑦

𝑝𝑧 = −𝑖ℏ𝜕

𝜕𝑧

𝐿𝑥 ,𝑜𝑝 = −𝑖ℏ 𝑦𝜕

𝜕𝑧− 𝑧

𝜕

𝜕𝑦

𝐿𝑦 ,𝑜𝑝 = −𝑖ℏ 𝑧𝜕

𝜕𝑥− 𝑥

𝜕

𝜕𝑧

𝐿𝑧,𝑜𝑝 = −𝑖ℏ 𝑥𝜕

𝜕𝑦− 𝑦

𝜕

𝜕𝑥

Passando para coordenadas esféricas:

Calculando L2 :

Em coordenadas esféricas:

Portando:

𝐿𝑥 ,𝑜𝑝 = 𝑖ℏ sin 𝜙𝜕

𝜕𝜃+ cot 𝜃 cos 𝜙

𝜕

𝜕𝜙

𝐿𝑦 ,𝑜𝑝 = 𝑖ℏ − cos 𝜙𝜕

𝜕𝜃+ cot 𝜃 sin𝜙

𝜕

𝜕𝜙

𝐿𝑧,𝑜𝑝 = −𝑖ℏ𝜕

𝜕𝜙

𝐿2 = 𝐿𝑥2 + 𝐿𝑦

2 + 𝐿𝑧2

𝐿𝑜𝑝2 = −ℏ

1

sin𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin 𝜙

𝜕

𝜕𝜃 +

1

sin2 𝜃

𝜕2

𝜕𝜙2

𝐿𝑥 ,𝑜𝑝 = 𝑖ℏ sin 𝜙𝜕

𝜕𝜃+ cot 𝜃 cos 𝜙

𝜕

𝜕𝜙

𝐿𝑦 ,𝑜𝑝 = 𝑖ℏ − cos 𝜙𝜕

𝜕𝜃+ cot 𝜃 sin𝜙

𝜕

𝜕𝜙

𝐿𝑧,𝑜𝑝 = −𝑖ℏ𝜕

𝜕𝜙 𝐿𝑜𝑝

2 = −ℏ 1

sin𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin 𝜙

𝜕

𝜕𝜃 +

1

sin2 𝜃

𝜕2

𝜕𝜙2

Calculando o valor esperado para Lz

= 1 (condição de normalização)

COMPONENTE Lz DO MOMENTO ANGULAR É QUANTIZADA!!!

𝐿𝑧 = 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝐿𝑧,𝑜𝑝𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉

𝐿𝑧,𝑜𝑝𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 = −𝑖ℏ𝜕𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟

𝜕𝜙= −𝑖ℏR𝑛 ,𝑙 𝑟 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃

𝜕Φ𝑚 𝑙 𝜙

𝜕𝜙

= −𝑖ℏ𝑖𝑚𝑙R𝑛 ,𝑙 𝑟 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃 Φ𝑚 𝑙 𝜙

= ℏ𝑚𝑙𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟

𝐿𝑧 = ℏ𝑚𝑙 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉

𝐿𝑧 = ℏ𝑚𝑙 𝐿𝑧,𝑜𝑝 = ℏ𝑚𝑙

Calculando o valor esperado para L2

= 1 (condição de normalização)

L2 É QUANTIZADO!!!

𝐿2 = 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝐿𝑜𝑝

2 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉

= −ℏ2R𝑛 ,𝑙 𝑟 Φ𝑚 𝑙 𝜙 1

sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin𝜙

𝜕Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃

𝜕𝜃 −

𝑚𝑙2Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃

sin2 𝜃

= −ℏ2R𝑛 ,𝑙 𝑟 Φ𝑚 𝑙 𝜙 𝑙 𝑙 + 1 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃

= −ℏ2𝑙 𝑙 + 1 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟

𝐿2 = −ℏ2𝑙 𝑙 + 1 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉

𝐿2 = −ℏ2𝑙 𝑙 + 1

𝐿𝑜𝑝2 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 = −ℏ

2 1

sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin𝜙

𝜕𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟

𝜕𝜃 +

1

sin2 𝜃

𝜕2𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟

𝜕𝜙2

= −ℏ R𝑛 ,𝑙 𝑟 Φ𝑚 𝑙 𝜙

sin𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin𝜙

𝜕Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃

𝜕𝜃 +

R𝑛 ,𝑙 𝑟 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃

sin2 𝜃

𝜕2Φ𝑚 𝑙 𝜙

𝜕𝜙2

𝐿𝑜𝑝2 = −ℏ2𝑙 𝑙 + 1