A EQUAÇÃO DE

SCHRÖDINGER

A equação de Schrödinger

independente do tempo

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Dia Aula Tópico

09 Setembro 9 2a Fótons, Raios X, interação da radiação com a

matéria

11 Setembro 10+11 4a Interação da radiação com a matéria, exercícios

16 Setembro 12 2a Dualidade onda – partícula e de Broglie

18 Setembro 13 4a Princípio da incerteza – Propriedades das ondas de

matéria

23 Setembro 14 2a Experimento de Rutherford

25 Setembro 15 4a Experimento de Franck – Hertz, átomo de Bohr

30 Setembro 16+17 2a Átomo de Sommerfeld, princípio da

correspondência; Exercícios

02 Outubro 18 4a Equação de Schrödinger, interpretação, valores

esperados

07 Outubro 19 2a Ainda Equação de Schrödinger, interpretação,

valores esperados

09 Outubro 19 4a Ainda Equação de Schrödinger, interpretação,

valores esperados

14 Outubro 2a Poço degrau e barreira de potencial

16 Outubro 4a Poço de potencial infinito e finito

21 Outubro 2a 2º teste – Poço de potencial infinito e finito

23 Outubro 4a 2ª prova

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Na aula passada,....

Radiação Eletromagnética

Partículas

( ) ( )t.sintz,y,x, −= rkEE

0

( ) ( )tkxsintz,y,x, −= 0EE

,vetor de Poynting S intensidade I

kp

hE

=

==

E h

p k

= =

=

???????

_____________________________________________________

As equações de Maxwell levam

naturalmente a uma equação de

onda para os campos E e B

Qual é a grandeza que obedece

uma equação de onda?

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Fótons

Introduzindo a função de onda

( )tz,y,x,Ψ

a qual é uma solução de uma equação diferencial,

a equação de Schrödinger.

,

5

6

A equação de Schrödinger

Procura-se:

• Uma equação diferencial a ser satisfeita pela função de

onda (r,t);

• A equação deve ser consistente com os postulados de

de Broglie e Einstein =h/p e = E/h.

• A equação deve ser consistente com a equação da energia

não relativística E=p2/2m + V.

• A equação diferencial deve ser linear para que valha o

princípio da superposição

(r,t) = c11 (r,t)+ c22(r,t)

A equação de Schrödinger

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Ademais,

• No caso particular em que V = V0 = constante, ou seja, na

ausência de forças, a quantidade de movimento e a energia

da partícula são constantes (Newton), e espera-se também

que o comprimento de onda de de Broglie e a frequência

associados à partícula sejam constantes.

• Neste caso, esperamos que a equação diferencial procurada

tenha como solução ondas senoidais/cossenoidais se

propagando com e constantes.

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Chegamos à equação procurada:

( ) ( ) ( )( )2

2 ,, , ,

2

r tr t V r t r t i

m t

− + =

• O movimento de uma partícula atômica numa região em

que a energia potencial é será inteiramente descrito

pela chamada função de onda , que é uma solução da

equação de Schrödinger para aquele potencial e à qual

podemos aplicar:

A interpretação da função de onda

( , )r t

1 2( , ) ( , ) ( , )r t r t r t = +

2( , ) | ( , ) |P r t r t=

• Princípio da superposição:

• Interpretação probabilística de Max Born:

3( , ) 1

V

P r t d r =

A função de onda carrega a informação

máxima que podemos ter sobre o sistema

em questão.Max Born

Prêmio Nobel 1954

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( , )V r t

A função de onda

( )tz,y,x,Ψ

• É uma função escalar, complexa, que é solução da

equação de Schrödinger.

• Ela é também chamada amplitude de probabilidade.

• Com ela construiremos a densidade de probabilidade,

esta sim com uma interpretação física.

10

11

Interpretação probabilística de Max Born

Densidade de probabilidade

Probabilidade de encontrar

a partícula entre x e x + dx

no instante t

=

(a partícula está se movendo em apenas uma dimensão espacial)

(1D)

REAL!!

Interpretação probabilística de Max Born

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Probabilidade de encontrar a partícula entre x e x + dx e entre y e y +dy no instante t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , , , ,

, , , , , , , , ,

P x y t dxdy x y t x y t dxdy

P x y z t dxdydz x y z t x y z t dxdydz

=

=

Probabilidade de encontrar a partícula entre x e x + dx, e entre y e y +dy e entre

z e z + dz no instante t

(2D)

(3D)

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Exemplo da interpretação probabilística

A função de onda que descreve uma partícula de massa mem movimento harmônico simples no seu estado de menor

energia (estado fundamental) é:

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Densidade de probabilidade quântica:

amplitude mínima

clássica

amplitude máxima

clássica

22

2

2222 22

portanto, = .2

xx

CmCmP A e A e

Cm

−−

= =

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No estado fundamental, .

Classicamente, um oscilador com esta

energia teria uma amplitude de movimento

que poderíamos obter de

2E

=

2

max

1

2 2E Cx

= =

2 2

max

22

Ex

C C Cm

= = = =

C

m =já que .

22

2

2222 22

= 2

xx

CmCmP A e A e

E

CCm

−−

= =

=

e portanto

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Densidade de probabilidade quântica:

amplitude mínima

clássica

amplitude máxima

clássica

22

2

2222 22

portanto, = .2

xx

CmCmP A e A e

E

CCm

−−

= =

=

− +

68% probabilidade

E

C+

E

C−

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Densidade de probabilidade clássica: (1/v)

18

Ainda a interpretação probabilística

Normalização

Valores médios

(valores esperados)

de grandezas físicas

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Exercício:

Como encontraríamos A em ?

20

Continuação do Exercício:

21

Valores médios (= valores esperados):

22

Ainda valores médios:

23

Associamos a uma grandeza física um operador

24

Associamos a uma grandeza física um operador

que vai operar sobre a

25

Os postulados de Schrödinger

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A equação de Schrödinger

Quando V(x,t) V(x)

Dependente do tempo

Poderemos escrever uma equação independente do tempo:

Como chegamos nesta última equação?

•Vamos procurar tentativamente uma solução para (x,t)

que possa ser escrita como um produto de duas funções

de uma única variável:

•Substituindo na equação de Schrödinger original,

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•Dividindo ambos os lados da equação anterior por

(x,t)= (x)(t), obteremos:

•Observe que do lado esquerdo da igualdade só

aparecem funções da posição x e do lado direito só

aparecem funções do tempo t. Como esses dois

membros podem ser iguais para todos os x e t ?

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Como chegamos nesta última equação?

• A igualdade apenas será satisfeita se ambos os lados forem iguais a uma constante. Vamos chamar a constante de G:

•Conseguimos agora obter duas equações envolvendo não mais derivadas parciais, mas derivadas totais.

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Como chegamos nesta última equação?

• Vamos resolver primeiro a mais simples, que é a equação

temporal.

30

Como chegamos nesta última equação?

O que é G ?

A equação de Schrödinger independente do tempo

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• Chegamos em

• com (x) satisfazendo a equação de Schrödinger

independente do tempo

(x) é chamada autofunção (eigenfunction)

A função de onda será escrita como

( ) ( )

( ) ( )

/iEt

i t

Ψ x,y,z,t x,y,z e

Ψ x,y,z,t x,y,z e

−

−

=

=

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33

• A (x) deverá ser finita, contínua e unívoca.

• A d(x)/dx deverá ser finita, contínua e unívoca.

A autofunção deverá satisfazer...

Não finitaNão contínuaNão unívoca

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Aplicações em casos particulares

• Potencial constante igual a 0 V(x) = 0

Neste caso, a equação de Schrödinger independente do tempo pode ser

escrita como:

e a função de onda será

.

Mas nós já conhecemos a autofunção para o caso da

partícula livre da aula passada.....

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k = 2/

= 2

onde

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Part

e r

eal de

(x

, t)

*(

x, t)

(x

, t)

Todos os t

Representa uma onda se

propagando no sentido

positivo do eixo dos x

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MAS.....• Temos outra solução possível para .

• com

.

• A solução geral da equação é obviamente a combinação linear das

duas soluções:

•

onde

onde

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Como interpretaremos?

39

E se fizermos o mesmo com a outra?

e

40

Normalização da função de onda

Fazemos a normalização dentro de uma “caixa”

41

Cadê a partícula?

*(

x, t)

(x

, t)

Movimento e alargamento de um pacote de onda

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Note que conforme a onda se move, a velocidade de grupo (ou seja, a velocidade

do pacote) é maior do que a velocidade de fase (velocidade de uma particular

crista da onda). Note também que após um certo tempo, o pacote se alarga e a

frente da onda tem comprimemento de onda menor do que o “fundo” da onda.

Veja a animação em http://www.physics.nyu.edu/~ts2/Animation/quantum.html e

clique em cima da barra em baixo para modificar os comprimenros de onda.

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• Vimos no nosso exemplo do pacote de onda que o pacote se move com

a velocidade de grupo, que corresponde à velocidade da partícula

que o pacote descreve.

• Porém, a velocidade de fase de cada componente que forma o pacote

é diferente.

• Devido às diferentes velocidades de fase, o pacote acaba alargando

com o tempo.

• Como consequência, pacotes muito localizados acabam se alargando

rapidamente.

https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node83.html

Interessante: Cadê a partícula?

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https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node82.html

Uma é a transformada

de Fourier da outra