Antenas de Tanguá (RJ)

Composição de movimentos

X

y

O x(t)

P(x,y)

y(t)

Uma grande parte da discussão que segue visa o caso particularem que temos um movimento numa direção X e outro na direção Y,e no qual o que acontece na direçao X não depende do que acontece na direção Y, e vice versa; a unica conexão acontece através do tempo.

Seguem muitos exemplos de movimento retilíneo uniforme em X e movimento de queda com aceleração g em y

descoberta de Galileu

queda da bola dentro do vagão h= -

porque mesmo? aceleração constante porque força da gravidade é constante

v=gt; a velocidade média depois de um tempo t é : e a distância

percorrida = v média x tempo= 2

0+v

22

2gtt

v =

2

2gt

Na direção x o vagão se move com velocidade constante

Composição de movimentos

h=0

x= ut ou t = x/u

h= -1/2 gt2 = 22

2)

2

1( axx

u−=− equação de uma parábola

y= ax2

Equação geral

h= h 0 + vht - ½ gt2

x = x0 + vx t

tem que tomar cuidado com adireção escolhida para os eixos,

se o eixo Y ou h é para cima, g é negativo

dá para escrever t em função de xe substituir na primeira equaçãoe obter uma equação do tipoy=f(x)

equação da trajetória

vamos agora colocar o eixo para cima

Um canhão horizontal atira paralelamente ao solo. Não importa a carga depólvora (que afeta a velocidade da bala), que a bala chegue ao chão a 10m, 100mou 200m, o tempo vai ser o mesmo.

a velocidade Vx varia, mas o movimento em Y é sempre o mesmo ½ gt2

porque?

note que o espaçamento entre asbolas é constante em X

filme com ∆t=cte

PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DOS PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DOS PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DOS PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DOS

MOVIMENTOS SIMULTÂNEOSMOVIMENTOS SIMULTÂNEOSMOVIMENTOS SIMULTÂNEOSMOVIMENTOS SIMULTÂNEOS

Quando um corpo está animado, simultaneamente,

por dois movimentos perpendiculares entre si, o

deslocamento na direção de um deles é

determinado apenas pela velocidade naquela

direção.

Goethe ou Baudelaire?

VB= velocidade do barcoVC= velocidade da correnteza

A notação vetorial ajuda a entendera composição de movimentos

Cartridge Bullet weight Muzzle velocity Muzzle energy Max pressure

.38 Short Colt 135 gr (8.7 g)777 ft/s

(237 m/s)181 ft·lbf (245 J) 7,500 CUP

.38 Long Colt 150 gr (9.7 g)777 ft/s

(237 m/s)201 ft·lbf (273 J) 12,000 CUP

.38 S&W 158 gr (10.2 g)767 ft/s

(234 m/s)206 ft·lbf (279 J) 14,500 PSI

.38 S&W Special 158 gr (10.2 g)940 ft/s

(290 m/s)310 ft·lbf (420 J) 17,000 PSI

.38 Special +P 158 gr (10.2 g)1,000 ft/s

(300 m/s)351 ft·lbf (476 J) 20,000 PSI

apesar de seu nome, o .38na realidade tem calibre de.357 polegadas (9 mm). Esse é o diâmetro dos cilindros de latão. Introduzido em 1899,foi usado mais de 100 anos por policia e militaresamricanos

38

exercício: uma pessoa atira com um 38, com o cano do revolver perfeitamente horizontal a 1,20 m do solo. A que distância a balaatinge o solo?

y=1/2 gt2 t= (2y/g)1/2 = (2x1.2/10)1/2 =0.49 s

d=vt= 237x0.49= 112.7 m

é bom lembrar: 1/2 gt2 , para t= 1s dá 5 m , t=2s dá 20m , t=3s dá 45m

velocidades: v=gt, dá v=10 m/s, 20 m/s, 30 m/s

Problema do macaco : ao ver o clarão do tiro,ele se solta. Mas ele é acertado de qualquer forma.Por que?

22|| yx uuu +=

||/ˆ uuur= vetor unitário

yuxujuiuu yxyx ˆˆ +=+=rr

Ɵ

θθ

senuu

uu

y

x

||

cos||

==

modulo de vetor, vetor unitário, componentes

22

22cos

yx

y

yx

x

uu

usen

uu

u

+=

+=

θ

θ

y

x

u

utg =θ

soma de vetorese soma dos componentes x e y

jvuivuvu yyxx

rrrr)()( +++=+

jvivv yx

rrr λλλ +=multiplicação por uma cte

rotação em torno da origem

veja

o objetivo da discussão, no livro, é mostrar que resolver um problema usando componentes dos vetores,ou a trigonometria, dá resultados equivalentes

velocidade vetorial

velocidade vetorial

aceleração vetorial

A figura ilustra uma trajetória com pontos P1, P2, etc, e velocidadesinstantâneas V1, V2, etc. Transportando os vetores velocidade para uma origem comum, a extremidade destes descreve uma curva chamada hodógrafo.As acelerações são vetores tangenciais a esta curva

mesmo com módulo constante

de velocidade, existe variação

de velocidade

rƟ

sP

x

y

arco S é dado por s= r Ɵ |v|=ds/dt

Periodo = tempo para dar uma volta = T = 2π r /|v|

Se o movimneto é circular uniforme, significa que Ɵ aumenta (ou diminui) linearmente com o tempo:

Ɵ = Ɵ0 + ω ( t-to ) |v|=ds/dt

ω= V / r, ou, ainda, ω= dƟ / dt velocidade angular

T = 2π r /|v| = 2π /ωângulo dividido por velocidadeangular

velocidade angular se mede em rad/s ou simplesmente em 1/s

exemplo: velocidade angular do ponteiro de segundos

ω = 2π/60 =0.1 rad/s

v= ω r

vetor velocidade instantânea muda de direção também com taxa constante de variação angular, pois sempre é perpendicular ao vetor r(t)

vetor aceleração instantânea, sempre perpendicular a V, também muda de de direção com “velocidade angular” ω

por semelhança |a|= ω v = ω2 r |a|=ω2 r

tem a mesma direção, e o sentido?

v= ω r

r

v

a

a= -|a| r = - ω2 r = - v2/r r^ ^

Ɵ = ω t x= r cos Ɵ = r cos (ω t )

dx/dt = vx (t) = r ω sen (ω t )

2

2

dt

xd=ax(t)= -r ω2 cos(ω t )

= - ω2 x(t)

maneira de deduzir a fórmulapara a aceleração de ummovimento circular uniforme

por meio de derivadas

a mesma lógica vale para y

chega-se a |a|=ω2 r