COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III

APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA 2015PROFESSORES: GODINHO / MARCOSAULA 1: Funes: Afim e Quadrtica

FUNO AFIM - RESUMO Definio: Uma funo chamada de funo Afim se sua sentena for dada por f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais, onde x a varivel independente e y = f(x) a varivel que dependente de x.Grfico da funo Afim: O grfico de uma funo Afim f(x) = ax + b uma reta. A funo ser crescente se a > 0, decrescente se a < 0 e constante se a = 0.OBS: 1) A constante a chamada de coeficiente angular e representa a variao de y correspondente a um aumento do valor de x. Ele representa a tangente do ngulo que a reta (grfico) forma com o eixo x.2) A constante b chamada de coeficiente linear e representa, no grfico, o ponto de interseco da reta com o eixo Y;3) Se uma reta paralela ao eixo Y, ela no representa uma funo.- Zero da funo: o valor de x para qual a funo se anula: f(x) = 0 ( x = ;

Exemplo. Analisar a funo f(x) = x + 2.

- A funo decrescente, pois a < 0;

- Coeficiente angular a = -1;

- Coeficiente linear b = 2;

- Zero da funo 2, pois x + 2 = 0 => -x = - 2.(-1) => x = 2.

f(x) < 0 {x ( R | x > 2}

f(x) = 0 {x ( R | x = 2}

f(x) > 0 {x ( R | x < 2}Caso a = 0: A funo constante, com isso, no h inclinao;

- Coeficiente angular 0, pois a = 0;

- Coeficiente linear b = 4;

- No temos Zero da funo:

FUNO QUADRTICA RESUMODados os nmeros reais a e b, com a ( 0, chama-se funo quadrtica a funo , definida por: y = ax2 + bx + c ou f(x) = ax2 + bx + c.Grfico da funo quadrtica: O grfico de uma funo quadrtica uma curva denominada parbola. Seu domnio o conjunto dos nmeros reais e sua imagem um subconjunto dos nmeros reais. Ou seja, D(f) = IR e Im(f) ( IR.

Concavidade: O sinal de a (coeficiente de x2) determina a concavidade da parbola. Assim:i) Se a > 0, a concavidade voltada para cima.

ii) Se a < 0 (a negativo), a concavidade voltada para baixo.

Zeros (ou razes) de uma funo quadrtica: Denominam-se zeros de uma funo quadrtica os valores de x que anulam a funo, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em termos de representao grfica, so as abscissas dos pontos onde a parbola corta o eixo X.

Para encontrar esses zeros, resolve-se a equao f(x) = 0. Isto , ax2 + bx + c = 0 que nada mais que resolver a equao do 2 grau, utilizando a frmula resolutiva:

, onde .

Se a equao tem razes reais

Se a equao no tem razes reais. (o grfico no ir interceptar o eixo x).Vrtice da Parbola: Toda parbola tem um ponto de ordenada mxima ou um ponto de ordenada mnima. A esse ponto chamaremos vrtice da parbola e o representaremos por V(xv,yv) onde:

. Assim: . Observe os sinais da funo no intervalo entre as razes e fora das razes. Essa informao til na resoluo de inequaes do 2 grau.

OBS: De acordo com o valor de a na funo f(x) = ax2 + bx + c, as ordenadas do vrtice recebem as denominaes de mximo ou mnimo. Este conceito importante na resoluo de exerccios onde os resultados so os maiores ou os menores possveis.

QUESTES - GABARITO1) (UERJ) A promoo de uma mercadoria em um supermercado est representada, no grfico, por 6 pontos de uma mesma reta.

Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoo, pagar por unidade, em reais, o equivalente a:

a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00GABARITO:

O grfico representa uma funo afim decrescente onde so identificados os pontos (5,150) e (30,50). Utilizando a expresso f(x) = ax + b, temos:

.A lei que expressa a funo f(x) = -4x + 170. Logo, f(20) = -4.(20) + 170 = -80 + 170 = 90.

O valor da compra ser de R$90,00. O custo da unidade ser (90 20) = R$4,50.2) (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, esto representadas as funes f(x) = 4x 4 e g(x) = 2x2 12x + 10. As coordenadas do ponto P so:

a) (6, 20) b) (7, 24) c) (7, 26) d) (6, 26)GABARITO:

O ponto P indica a interseo entre os grficos da parbola e da reta. Igualando as expresses das respectivas funes temos:

.

Como a abscissa de P a maior, x = 7. Sua ordenada pode ser calculada em f(x) ou g(x). Calculando em f(x), temos: f(7) = 4(7) 4 = 24. Logo, P = (7,24).3) (UERJ) O grfico abaixo representa a indicao da velocidade de um carro em movimento, em funo do tempo. Sabendo-se que, em t = 2s, a velocidade de 6m/s, a ordenada do ponto A :

a) 3,5 b) 3,0 c) 2,5 d) 2,0GABARITO:

Entre A e B o grfico representa uma funo afim onde so identificados os pontos (2,6) e (4,10). Utilizando a expresso f(x) = ax + b e observando que A = (0,b), temos:

.

A ordenada do ponto A ser y = 2.4) (UERJ) Uma bola de beisebol lanada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais. Durante sua trajetria, a bola descreve duas parbolas com vrtices C e D. A equao de uma dessas parbolas . Se a abscissa de D 35m, a distncia do ponto 0 ao ponto B, em metros, igual a:

a) 38 b) 40 c) 45 d) 50GABARITO:

Encontrando o xV na equao informada, temos: .

Essa abscissa xV corresponde parbola maior e est no ponto mdio de d(0, A). Logo, A = 30.

Como (35 A) = (B 35) ( (35 30) = (B 35) (5 = B 35 ( B = 40. Logo, a distncia de 0 a 40 = 40.

5) (UERJ) A figura abaixo mostra um anteparo parablico que representado pela funo f(x) = -.

Uma bolinha de ao lanada da origem e segue uma trajetria retilnea. Ao incidir no vrtice do anteparo refletida e a nova trajetria simtrica inicial, em relao ao eixo da parbola. O valor do ngulo de incidncia ( corresponde a:

a) 30 b) 45 c) 60 d) 75

GABARITO:

No tringulo VOA, temos:

6) (UERJ) Leia o texto a seguir.

Um estudante fez uma experincia semelhante descrita no texto, utilizando uma vareta AO de 2 metros de comprimento. No incio do inverno, mediu o comprimento da sombra OB,encontrando 8 metros.Utilizou, para representar sua experincia, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no cho.

Esse estudante pde, assim, escrever a seguinte equao da reta que contm o segmento AB:

a) y = 8 4x b) x = 6 3y c) x = 8 4y d) y = 6 3x

GABARITO:

OA = 2 metros, logo o ponto A tem coordenadas (0,2).

OB = 8 metros, logo o ponto B tem coordenadas (8,0).

Assim,

7) (UERJ) A funo que descreve a dependncia temporal da posio S de um ponto material representada pelo grfico abaixo.

Sabendo que a equao geral do movimento do tipo S = A + Bt + Ct2 , os valores numricos das constantes A, B e C so, respectivamente:

(A) 0, 12, 4

(B) 0, 12, - 4

(C) 12, 4, 0

(D) 12, -4 , 0GABARITO:A equao da reta mostrada no grfico decrescente e representa uma funo afim, no possuindo, portanto, o termo quadrtico. Logo C = 0. A funo ser ento S(t) = A + Bt. O grfico intersecta o eixo y em S(0) = 12. Logo, A = 12. Como a funo afim decrescente, o coeficiente angular tem que ser negativo. Logo, B = -4. Ou ainda, o coeficiente B pode ser o quociente: . 8) (UERJ) As trajetrias A e B de duas partculas lanadas em um plano vertical xoy esto representadas abaixo.

Suas equaes so, respectivamente, y = x + 3x e y = x + x, nas quais x e y esto em uma mesma unidade u. Essas partculas atingem, em um mesmo instante t, o ponto mais alto de suas trajetrias. A distncia entre as partculas, nesse instante t, na mesma unidade u, equivale a:a) b) c) d)

GABARITO:

9) (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Choro" chutou a bola em direo ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parbola e quando comeou a cair da altura mxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol.

Aps o chute de "Choro", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representao grfica do lance em um plano cartesiano est sugerida na figura. A equao da parbola era do tipo: . O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:

a) na baliza b) atrs do gol c) dentro do gol

d) antes da linha do gol

GABARITO:Considerando a altura mxima no ponto (0,9) e utilizando a equao dada, temos:

. Embaixo da linha do gol temos a abscissa x = 16. A ordenada desse ponto ser a altura onde a bola estar. Calculando temos:

.

Como essa altura menor que 2,3 (altura do gol) a bola conseguiu entrar no gol.10) (UERJ) Os grficos 1 e 2 representam a posio S de dois corpos em funo do tempo t.

No grfico 1, a funo horria definida pela equao . Assim, a equao que define o movimento representado pelo grfico 2 corresponde a:

a) b) c) d)

GABARITO:

A expresso de S da forma f(x) = ax + b, onde o coeficiente a corresponde tangente do ngulo entre a reta que representa o grfico e o eixo das abscissas. Temos:

.

O coeficiente b (linear) continua sendo 2, pois o grfico 2 inicia em (0,2). Logo, .11) (UERJ) Os grficos I e II representam as posies S de dois corpos em funo do tempo t.

No grfico I, a funo horria definida pela equao .

No grfico II, definida por .

Admita que V1 e V2 so, respectivamente, os vrtices das curvas traadas nos grficos I e II.a razo : a) 1 b) 2 c) 4 d) 8GABARITO:Soluo 1:Os zeros das funes no grfico I so 0 e t1. No grfico II so 0 e 2t1. As abscissas dos respectivos vrtices so as mdias aritmticas dos zeros. Escrevendo as expresses das coordenadas dos vrtices e estabelecendo as relaes, temos:

.

Repare que as ordenadas dos vrtices em ambos os grficos so iguais a h. Igualando as expresses, temos:

.

OBS: A diviso dos membros por foi possvel, pois a1 e a2 so ambos diferentes de zero (coeficientes do termo quadrtico da parbola).

Soluo 2:

12) (DESAFIO) - (UERJ-ESPECFICA) O reservatrio A perde gua a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatrio B ganha gua a uma taxa constante de 12 litros por hora. No grfico, esto representados, no eixo y, os volumes, em litros, da gua contida em cada um dos reservatrios, em funo do tempo, em horas, representado no eixo x. Determine o tempo x0, em horas, indicado no grfico.

GABARITO:

A perda constante no reservatrio A indica uma funo afim f(x) = ax + b, com a = 10. O ganho constante do reservatrio B indica uma funo afim com a = 12. Escrevendo as equaes das retas A e B, temos: .

O tempo x0 corresponde interseo das retas:

. R: x0 = 30.Respostas: 1) A; 2)B; 3) D; 4) B; 5) A; 6) C; 7) D; 8) D; 9) C; 10) C 11) C; 12)x0= 30

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