migração em pós-empilhamento em profundidade · teoria básica – eq. da onda equação...
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Migração em Pós-empilhamento em Profundidade
l Migração baseado na equação acústica da ondal Modelo do refletor explosivo l Equação Unidirecional l Métodos de migraçãol Kirchhoffl Stoltl Phase-shiftl Split-stepl Pspi – Phase shift + Interpolationl Diferenças-finitas
l Exemplos
Teoria Básica – Eq. da Onda
Equação Acústica de densidade constanteEquação Acústica de densidade constante
),()(
1),( 22
2 txPxc
txP tr
rr
∂
=∇
Variável de campo: pressão
Parâmetros de Modelo: velocidade da onda compressional
Variável de campo: pressão
Parâmetros de Modelo: velocidade da onda compressional
Introdução: Migração Sísmica
Distância (km
)
Distância (km)
Introdução: Migração Sísmica
Mergulho Aparente
Mergulho verdadeiro
Curva de Difração
Seção de Afastamento Nulo
DifraçõesDifrações
Seção Migrada
Seção após migração com as difrações colapsadas
Modelo Refletor Explosivo
Modelo matemático para gerar seção de afastameno nulo – fontes ao longo dos refletores ( explosão t=0)
Migração através da integral de Kirchhoff
dsesPR
ic
rPR
ciω
ωωθ
πω
−
∫= ),()(cos21),( rr
dscRttsPd
RctrP t )(),(*)1(cos
21)0,( +∫== δ
θπ
rr
Caso 3D com velocidade constante
Versão no domínio do tempo:
e é o fator de obliqüidade. c/cosθ
|| orrR rr−=sendo
Migração Kirchhoff
Equação acústica da onda no domínio da freqüência-número de onda (Equação de Helmholtz ):
Equação de continuação para baixo:
Δzkzie Pω)Δz,z,kP( 0x
−=+
xkω−
22
2
)(v xz kzk −=
ω
A seção migrada em cada nível z é dada por:
∫ ∫−=+ kdxkiΔzkiPdωΔz)zP(x, x
xz0 ee
Migração Phase-shift
0ω)z,,kP(kz2
ω)z,,kP(2x
2z
x
dd =+
Equação de continuação para baixo:
zkzi Pω)z,,kP( e0x
−=
(*)v
22
2
xzkk −=
ω
A seção migrada em cada nível z é dada por:
∫ ∫−== kdxkizki 0)z,,(kPdωz)P(x, x
xzx0 eeω
Migração Stolt
( ) 2/122zx kkv +=ω
Relacionando a freqüência, a partir de (*), em função dos números de onda e da velocidade, como:
Continuação- Mig StoltDiferenciando-se a expressão anterior temos:
( ) zzx
z dkkk
vkd 2/122 +=ω
Agora a equação de migração é dada por:
( )∫∫−
+= kdkdxkizkiv)),k,(k(P z)P(x, zx
xzzx02/122
eeωzx
z
kkvk
Mig Stolt - Fluxograma
1. Seção com afastamento nulo: P(x,z=0,t)2. Transformada de Fourier (2D): P(kx,z=0,w)3. Mapeamento de w em kz
4. Fator de escalonamento 5. Formação da Imagem; P(kx,kz,t=0)6. Transformada inversa de Fourier (2D)7. Seção migrada: P(x,z)
Mig Stolt – Velocidade VrmsTempo estirado é dado por (Stolt, 1978)
∫=t
rmsf
s dvv
t0
2 )(2σσσ
( ) 2/12222 111 xfff
z kvWWvvW
k −+
−= ω
ω
Relação de dispersão:
Na teoria . Na prática 20 ≤≤ W 15,0 ≤≤ W
Vf – velocidade de referência
Método de migração PSPI – Migração Phase-shift mais Interpolação
Equação de extrapolação:
22
2
)(v xz kzk −=
ω
A seção migrada em cada nível z é obtida a partir da interpolação dos campos de ondas extrapolados usando-se diferentes velocidades de referência.
zzikxx ezkzzk
Δ),,P(),,P( −=∆+ ωω
zzxiezxzzx
Δ),(v* ),,P(),,(Pω
ωω−
=∆+
]Δ))(v
([* ),,(P),,P(
zzj
ki
xx
z
ezzkzzkω
ωω−−
∆+=∆+
Desdobra-se em:
Migração PSPI
Método de migração Split-step – Migração Phase-shift mais Correção Lateral
Operador de extrapolação:22))(( xz kzuwk −=
zzikxx ezkzzk
Δ* ),,P(),,(P −=∆+ ωω
Aplica-se a correção lateral (split-step)
),()(),( zxuzuzxu ∆+=
Sendo a vagarosidade decomposta em:
zzxuiezzxzzx Δ),(* ),,(P),,P( ∆−∆+=∆+ ωωω
Migração Split-step
Método de diferenças finitasl Equação Unidirecional:
022
2
=
−−
∂∂
ψω
xkc
iz
Solução analítica:
dzkc
i
zdzz
x
e2
2
2−
+ =ω
ψψ
Cont. – Mig FD
ψω
ωψ2
22
1 xkcc
iz
−+=
∂∂
ψωψ Zc
iz
+=∂∂ 1
∑= +
+=
=+N
n n
nN
N
ZbZaZR
ZRZ
1 11)(
)(1
Para derivar o método de migração FD começamos novamentepela equação unidirecional no domínio da freqüência número de onda:
ou
+=
++=
12cos
12122 22
Nnband
Nnsin
Na nn
ππ
Coeficientes de Padé:
Usando aproximação de Padé para o operador raiz quadradae associando o operador derivada parcial , então, conseguimos a seguinte aproximação para a equaçãounidirecional da onda:
Cont. – Mig FD
xx kcomi∂−
ψ
ω
ωωψ
∂∂
+
∂∂
+=∂∂ ∑
=
N
nn
n
xcb
xca
ci
z 12
2
2
2
2
2
2
2
11
ψωψc
iz
=∂
∂ ψ
ω
ωωψ
2
2
2
2
2
2
2
2
1x
cb
xca
ci
zn
n
∂∂+
∂∂
=∂∂
Usando a técnica de separação:
Migração FFD
IIIIIIx
czxc
++=∂∂
+ 2
22
1),( ω
ω2
22
1x
cc
I∂∂
+=
ωω
−
=p
pzxc
II )1(),(
ω
Ristow and Rühl (1994) introduziram o método de migraçãoFourier diferenças finitas como uma extensão do método de migração Split-step Fourier
+−
= 2
2
1)1(XaXpa
cIII
n
n
σω
),( zxccp = p3=σ 2
222
xcX
∂∂
=
ω
Operadores espectrais (FK)
}{ 2)(1 21 DN
zipNzipN
PSPISS FCeFeWnn
⋅⋅⋅⋅⋅= ∆−∆− ζ
}{ 1)),(/(1)(1 2 DzzxciDN
zipNDN
PSPI FeFCeFW ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∆∆− ωζ
DzipDzipSS FeFeW 21 21 ⋅⋅⋅= ∆−∆
DzipDPHASE FeFW 21 2 ⋅⋅= ∆−
22221 /]/1),(/1[ xkcwpeczxcp −=−= ω
onde:
Migração em Pós-empilhamento em Profundidade
l Migração baseado na equação acústica da ondal Modelo do refletor explosivo l Equação Unidirecional l Métodos de migraçãol Kirchhoffl Stoltl Phase-shiftl Split-stepl Pspi – Phase shift + Interpolationl Diferenças-finitas
l Exemplos
Teoria Básica – Eq. da Onda
Equação Acústica de densidade constanteEquação Acústica de densidade constante
),()(
1),( 22
2 txPxc
txP tr
rr
∂
=∇
Variável de campo: pressão
Parâmetros de Modelo: velocidade da onda compressional
Variável de campo: pressão
Parâmetros de Modelo: velocidade da onda compressional
Introdução: Migração Sísmica
Distância (km
)
Distância (km)
Introdução: Migração Sísmica
Mergulho Aparente
Mergulho verdadeiro
Curva de Difração
Seção de Afastamento Nulo
DifraçõesDifrações
Seção Migrada
Seção após migração com as difrações colapsadas
Modelo Refletor Explosivo
Modelo matemático para gerar seção de afastameno nulo – fontes ao longo dos refletores ( explosão t=0)
Migração através da integral de Kirchhoff
dsesPR
ic
rPR
ciω
ωωθ
πω
−
∫= ),()(cos21),( rr
dscRttsPd
RctrP t )(),(*)1(cos
21)0,( +∫== δ
θπ
rr
Caso 3D com velocidade constante
Versão no domínio do tempo:
e é o fator de obliqüidade. c/cosθ
|| orrR rr−=sendo
Migração Kirchhoff
Equação acústica da onda no domínio da freqüência-número de onda (Equação de Helmholtz ):
Equação de continuação para baixo:
Δzkzie Pω)Δz,z,kP( 0x
−=+
xkω−
22
2
)(v xz kzk −=
ω
A seção migrada em cada nível z é dada por:
∫ ∫−=+ kdxkiΔzkiPdωΔz)zP(x, x
xz0 ee
Migração Phase-shift
0ω)z,,kP(kz2
ω)z,,kP(2x
2z
x
dd =+
Equação de continuação para baixo:
zkzi Pω)z,,kP( e0x
−=
(*)v
22
2
xzkk −=
ω
A seção migrada em cada nível z é dada por:
∫ ∫−== kdxkizki 0)z,,(kPdωz)P(x, x
xzx0 eeω
Migração Stolt
( ) 2/122zx kkv +=ω
Relacionando a freqüência, a partir de (*), em função dos números de onda e da velocidade, como:
Continuação- Mig StoltDiferenciando-se a expressão anterior temos:
( ) zzx
z dkkk
vkd 2/122 +=ω
Agora a equação de migração é dada por:
( )∫∫−
+= kdkdxkizkiv)),k,(k(P z)P(x, zx
xzzx02/122
eeωzx
z
kkvk
Mig Stolt - Fluxograma
1. Seção com afastamento nulo: P(x,z=0,t)2. Transformada de Fourier (2D): P(kx,z=0,w)3. Mapeamento de w em kz
4. Fator de escalonamento 5. Formação da Imagem; P(kx,kz,t=0)6. Transformada inversa de Fourier (2D)7. Seção migrada: P(x,z)
Mig Stolt – Velocidade VrmsTempo estirado é dado por (Stolt, 1978)
∫=t
rmsf
s dvv
t0
2 )(2σσσ
( ) 2/12222 111 xfff
z kvWWvvW
k −+
−= ω
ω
Relação de dispersão:
Na teoria . Na prática 20 ≤≤ W 15,0 ≤≤ W
Vf – velocidade de referência
Método de migração PSPI – Migração Phase-shift mais Interpolação
Equação de extrapolação:
22
2
)(v xz kzk −=
ω
A seção migrada em cada nível z é obtida a partir da interpolação dos campos de ondas extrapolados usando-se diferentes velocidades de referência.
zzikxx ezkzzk
Δ),,P(),,P( −=∆+ ωω
zzxiezxzzx
Δ),(v* ),,P(),,(Pω
ωω−
=∆+
]Δ))(v
([* ),,(P),,P(
zzj
ki
xx
z
ezzkzzkω
ωω−−
∆+=∆+
Desdobra-se em:
Migração PSPI
Método de migração Split-step – Migração Phase-shift mais Correção Lateral
Operador de extrapolação:22))(( xz kzuwk −=
zzikxx ezkzzk
Δ* ),,P(),,(P −=∆+ ωω
Aplica-se a correção lateral (split-step)
),()(),( zxuzuzxu ∆+=
Sendo a vagarosidade decomposta em:
zzxuiezzxzzx Δ),(* ),,(P),,P( ∆−∆+=∆+ ωωω
Migração Split-step
Método de diferenças finitasl Equação Unidirecional:
022
2
=
−−
∂∂
ψω
xkc
iz
Solução analítica:
dzkc
i
zdzz
x
e2
2
2−
+ =ω
ψψ
Cont. – Mig FD
ψω
ωψ2
22
1 xkcc
iz
−+=
∂∂
ψωψ Zc
iz
+=∂∂ 1
∑= +
+=
=+N
n n
nN
N
ZbZaZR
ZRZ
1 11)(
)(1
Para derivar o método de migração FD começamos novamentepela equação unidirecional no domínio da freqüência número de onda:
ou
+=
++=
12cos
12122 22
Nnband
Nnsin
Na nn
ππ
Coeficientes de Padé:
Usando aproximação de Padé para o operador raiz quadradae associando o operador derivada parcial , então, conseguimos a seguinte aproximação para a equaçãounidirecional da onda:
Cont. – Mig FD
xx kcomi∂−
ψ
ω
ωωψ
∂∂
+
∂∂
+=∂∂ ∑
=
N
nn
n
xcb
xca
ci
z 12
2
2
2
2
2
2
2
11
ψωψc
iz
=∂
∂ ψ
ω
ωωψ
2
2
2
2
2
2
2
2
1x
cb
xca
ci
zn
n
∂∂+
∂∂
=∂∂
Usando a técnica de separação:
Migração FFD
IIIIIIx
czxc
++=∂∂
+ 2
22
1),( ω
ω2
22
1x
cc
I∂∂
+=
ωω
−
=p
pzxc
II )1(),(
ω
Ristow and Rühl (1994) introduziram o método de migraçãoFourier diferenças finitas como uma extensão do método de migração Split-step Fourier
+−
= 2
2
1)1(XaXpa
cIII
n
n
σω
),( zxccp = p3=σ 2
222
xcX
∂∂
=
ω
Operadores espectrais (FK)
}{ 2)(1 21 DN
zipNzipN
PSPISS FCeFeWnn
⋅⋅⋅⋅⋅= ∆−∆− ζ
}{ 1)),(/(1)(1 2 DzzxciDN
zipNDN
PSPI FeFCeFW ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∆∆− ωζ
DzipDzipSS FeFeW 21 21 ⋅⋅⋅= ∆−∆
DzipDPHASE FeFW 21 2 ⋅⋅= ∆−
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onde: