Números naturais e Geometria

Números naturais e GeometriaSistemas de numeração romano

I II III X XX XXX C CC CCC M MM MMM1 2 3 10 20 30 100 200 300 1000 2000 3000

I V X L C D M

1 5 10 100 100050 500

IV 4 VI 6

DC LXX V DC LXX V (675)

(5 – 1) (5 + 1)

DC

600 70 5+ +

LXX V

2

Números naturais e Geometria

Características

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 (dígito ou algarismos)

1 grupo de 10 mais 5ou 1 dezena e 5 unidades: 15

D U1 5

5 unidades

1 dezena ou10 unidades

D U2 5

5 unidades

2 dezenas ou20 unidades

D U5 2

2 unidades

5 dezenas ou50 unidades

25: o valor posicional do 2 é 20 unidades

52: o valor posicional do 2 é 2 unidades

Sistema de numeração indo-arábico

2 2

2

20 (10 × 2)

2

200 (10 × 20)

5 5

5

50 (10 × 5)

5

500 (10 × 50)

5

5000 (10 × 500)

3

Números naturais e Geometria

Ordens e classes

A área do Brasil é de aproximadamente 8 515 692 quilômetros quadrados (km2)

Sistema de numeração indo-arábico

8 5 1 5 6 9 2

4

Números naturais e Geometria

Como podemos representar o número natural 8 547 403?

• 8 000 000 + 500 000 + 40 000 + 7 000 + 400 + 00 + 3

• 8×1 000 000 + 5×100 000 + 4×10 000 + 7×1 000 + 4×100 + 0×10 + 3

• Com palavras: oito milhões, quinhentos e quarenta e sete mil, quatrocentos e três.

• Com palavras e algarismos: 8 milhões, 547 mil, 403.

As várias representações de um número natural

219,3 mil 2,15 milhões

219,3 mil 219 300 2,15 milhões 2 150 000

219 mil 2 milhões

5

Números naturais e Geometria

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...

Sequência dos números naturais

Reta numerada

Ordem nos números naturais

Maior que (>), menor que (<), igual a (=).

• 8 < 9

Números consecutivos

• 10 > 6

• 325 > 305 • 240 < 251

• 10 e 11 são dois números naturais consecutivos

• 5, 6 e 7 são três números naturais consecutivos

• 2 012, 2 013, 2 014 e 2 015 são quatro números naturais consecutivos

6

Números naturais e Geometria

Sequência dos números naturais pares

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...

Sequência dos números naturais ímpares

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ...

Números naturais e Geometria:a sequência dos números quadrados perfeitos

Sequências especiais de números naturais

1 = 1 × 1 4 = 2 × 2 9 = 3 × 3 16 = 4 × 4 25 = 5 × 5

7

Números naturais e Geometria

Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos.

• conjunto dos números pares entre 5 e 13: {6, 8, 10, 12};

• conjunto dos números ímpares entre 90 e 100: {91, 93, 95, 97, 99};

Exemplos:

Conjunto dos números naturais ( )

O conjunto numérico formado pelos números naturais é representado pelo símbolo .

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...}

O conjunto numérico formado pelos números naturais diferentes de zero é representado pelo símbolo *.

* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...}

8

Números naturais e Geometria

Usando as letras A e B e os algarismos 1 e 2, podemos formar placas com duas letras (com ou sem repetição) e dois algarismos (sem repetição).

Números naturais e raciocínio combinatório

9

Números naturais e GeometriaAlgoritmos da adiçãoAlgoritmo usual

Algoritmo da decomposição

parcelaparcela

soma ou totalTermos da adição

330 + 483

330

483

300 + 30 + 0

400 + 80 + 3700 + 110 + 3

800 + 10 + 3

813

Simplificando

330 + 483

800 10 3 813

3 3 0+ 4 8 3

C D U

8 1 3

1

3110700

10

Números naturais e GeometriaIdeias associadas à adiçãoJuntar quantidades:Joana estuda no 6o ano B. Em sua escola há 358 meninos e 536 meninas. Qual é o total de alunos dessa escola?

Acrescentar uma quantidade a outra já existente:Vimos que na escola de Joana há 894 alunos. Se 87 novos alunos forem matriculados, quantos alunos a escola passará a ter?

3 5 8+ 5 3 6

C D U

8 9 4

1

8 9 4+ 8 7

C D U

9 8 1

11

11

Números naturais e GeometriaPropriedades da adição

Propriedade comutativa

10 + 20 = 20 + 10

5 328 + 7 476 =

7 476 + 5 328 =12 804

5 3 2 8+ 7 4 7 6

C D U

8 0 4

11

21

7 4 7 6+ 5 3 2 8

C D U

8 0 4

11

21

12

Números naturais e Geometria

Propriedade do elemento neutro 10 + 0 = 0 + 10 = 10

Propriedade associativa

Portanto: (10 + 5) + 2 = 10 + (5 + 2)

(10 + 5) + 2

15 + 2 = 17

10 (5 + 2)

10 + 7 = 17

+

CA

SA

DA

MO

ED

A D

O B

RA

SIL

/ M

INIS

TÉR

IO D

A F

AZE

ND

A

13

Números naturais e GeometriaAlgoritmo de subtração

Algoritmo usual:

Minuendo

Subtraendo

Diferença ou resto

Termos da subtração5 7 2

‒ 4 4 5

C D U

1 2 7

16

Obs.: Em , a subtração só poderá ser efetuada quando o minuendo for maiorou igual ao subtraendo.

14

Números naturais e GeometriaRelação fundamental da subtração:

minuendo – subtraendo = diferença

Exemplos de aplicações:•Se o subtraendo é 95 e a diferença é 37, vamos determinar o minuendo.

minuendo – 95 = 37 equivalente a 37 + 95 = minuendo

132• Se uma das parcelas de uma adição é 89 e a soma é 121, vamos

determinar a outra parcela.“? + 89 = 121” equivale a “? = 121 – 89”. Logo, a outra parcela é 32.

• Considerando que n representa um número natural, vamos determinar o seu valor. n – 8 = 15“n – 8 = 15” equivale a “15 + 8 = n”.

23

diferença + subtraendo = minuendoé equivalente a

Portanto, n = 23.

15

Números naturais e GeometriaIdeias associadas à subtração

Tirar uma quantidade de outra:Norberto tem 227 reais e vai comprar uma calça de R$ 55,00. Com quanto ele ainda vai ficar?

Completar quantidades:Juvenal tem 359 reais na poupança e quer comprar uma televisão de R$ 600,00. Quanto falta para ele pode comprar o televisor?

Comparar quantidades:Compare os pontos de Angélica com os pontos dos demais. Felipe: 1 278 pontos Jorge: 2 188 pontos Angélica: 1 895 pontos

2 2 7‒ 5 5

C D U

1 7 2

11

6 0 0‒ 3 5 9

C D U

2 4 1

15 91

1 8 9 5‒ 1 2 7 8

C D U

6 1 7

182 1 8 8

‒ 1 8 9 5

C D U

2 9 3

11 10 1

00

16

Números naturais e GeometriaExpressões numéricas envolvendo adição e subtração

8 – {4 + [9 – (12 – 5)] – 1} =

= 8 – {4 + [9 – 7] – 1} =

= 8 – {4 + 2 – 1} =

= 8 – {6 – 1} =

= 8 – 5 = 3

10 + 20 – 5 + 3 =

= 30 – 5 + 3 =

= 25 + 3 = 28

17

Números naturais e GeometriaAlgoritmo da multiplicação

fatorfatorproduto

Algoritmo usual: Algoritmo por decomposição:

3 4× 3

C D U

1 0 2

1

10 + 4

× 10 + 2

20 + 8100 + 40

120 + 48

16812

× 14

48+ 12

168

0

18

Números naturais e GeometriaIdeias associadas à multiplicação

Adicionar parcelas iguaisQual é o valor do telefone ao lado, que está sendo vendido na loja “Barateria”?

Disposição retangularQuantas carteiras há nesta sala de aula?

8 × 5 = 40

2 6× 3

7 8

8

5

1

SÉ

RG

IO D

OTT

AR

JR

. / A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

MA

UR

O S

OU

ZA /

AR

QU

IVO

DA

ED

ITO

RA

19

Números naturais e GeometriaIdeias associadas à multiplicaçãoNúmero de possibilidades ou combinações:Numa lanchonete há 4 tipos de suco: laranja, abacaxi, melancia e uva. Eles são servidos em copos de 3 tamanhos: pequeno, médio e grande. Quantas são as possibilidades de escolha ao pedir um suco?

4 × 3 = 12

Número de frutasCopos

FOTO

S: A

BA

CA

XI –

R. G

INO

SA

NTA

MA

RIA

/ S

HU

TTE

RS

TOC

K /

GLO

W IM

AG

ES

; LA

RA

NJA

– V

OLO

DY

MY

R K

RA

SY

UK

/ S

HU

TTE

RS

TOC

K /

GLO

W IM

AG

ES

; ME

LAN

CIA

– A

LEX

STA

RO

SE

LTS

EV

/ S

HU

TTE

RS

TOC

K /

GLO

W IM

AG

ES

; UV

AS

: GY

OR

GY

BA

RN

A /

SH

UTT

ER

STO

CK

/ G

LOW

IM

AG

ES

; CO

PO

S –

SÉ

RG

IO D

OTT

A J

R. /

AR

QU

IVO

DA

ED

ITO

RA

20

Números naturais e GeometriaProporcionalidade:

1 rolo 50 m

3 rolos 150 m3 × 3 ×

5 × 5 ×15 rolos 750 m

SÉ

RG

IO D

OTT

AR

JR

. / A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A

21

Números naturais e GeometriaPropriedades da multiplicaçãoPropriedade comutativa:

5 × 3 = 15ou

3 × 5 = 1510 × 3 = 3 × 10

30 30

Propriedade do elemento neutro:O número 1 é o elemento neutro da multiplicação. Exemplos:

• 1 × 5 = 5• 7 × 1 = 7

• 12 × 1 = 12

Propriedade do elemento nulo:Em toda multiplicação que tem o zero como um dos fatores, o produtoé zero.

Propriedade associativa:(6 × 15) × 20 = 6 × (15 × 20)

90 × 20 = 6 × 300

1 800 = 1 800Propriedade distributiva:5 × (12 + 25) = 5 × 12 + 5 × 25 6 × (18 – 13) = 6 × 18 – 6 × 13

Por exemplo: 6 × 0 = 0 e 0 × 4 = 0.

22

Números naturais e GeometriaAlgoritmo da divisão

Algoritmo usual:

DivisorDividendo

QuocienteResto

D U7 8 3

1 8 2 6D U0

23

Números naturais e GeometriaIdeias associadas à divisão

Repartir igualmente:Um pai de família quer repartir igualmente 84 balas entre as 6 crianças que frequentam sua casa. Com quantas balas cada criança ficará?

“Medida” ou quantas vezes uma quantidade cabe em outra:Em uma fábrica de refrigerante, embalam-se 6 garrafas em uma caixa. Quantas caixas são necessárias para embalar 195 refrigerantes?

Resto 0 (divisão igual)

D U8 4 6

2 4 1 4D U0

3 garrafas não serão

embaladas.

C D U1 9 5 6

1 5 3 2D U3

24

Números naturais e GeometriaRelação fundamental da divisão

quociente × divisor + resto = dividendo

27 × 7 + 1 = 190

D dr q

190 750 27

1

25

Números naturais e GeometriaExpressões numéricas envolvendo as quatro operações

20 – (18 – 2 × 24 : 3) =

= 20 – (18 – 48 : 3) =

= 20 – (18 – 16) =

= 20 – 2 = 18

(6 × 5 – 2) : (15 – 16 : 4 + 3) × 2 =

= (30 – 2) : (15 – 4 + 3) × 2 =

= 28 : (11 + 3) × 2 =

= 28 : 14 × 2 =

= 2 × 2 = 4

26

Números naturais e Geometria

M. C

. ES

CH

ER

/ M

. C.

ES

CH

ER

FO

UN

DA

TIO

N

SO

LVIN

ZA

NK

L / V

ISU

ALS

UN

LIM

ITE

D /

CO

RB

IS /

LATI

NS

TOC

K

JAM

ES

STE

IDL

/ S

HU

TTE

RS

TOC

K /

GLO

WIM

AG

ES

DIE

GO

CA

ZOLA

/ P

ULS

AR

IMA

GE

NS

Geometria: sólidos geométricos, ângulos e polígonos

27

LEE

PR

INC

E /

SH

UTT

ER

STO

CK

/ G

LOW

IMA

GE

S

NA

TALI

E T

EP

PE

R /

AR

CA

ID /

CO

RB

IS /

LATI

NS

TOC

K

Números naturais e Geometria

Cilindro

PirâmideEsfera

Sólidos geométricos

28

STU

DIO

DM

M P

HO

TOG

RA

PH

Y, D

ES

IGN

S &

A

RT

/ SH

UTT

ER

STO

CK

/ G

LOW

IMA

GE

S

Cubo

GJE

RM

UN

D A

LSO

S /

SH

UTT

ER

STO

CK

/ G

LOW

IMA

GE

S

MO

NK

EY

BU

SIN

ES

S IM

AG

ES

/ S

HU

TTE

RS

TOC

K /

GLO

W IM

AG

ES

KU

LIS

H V

IKTO

RIIA

/ S

HU

TTE

RS

TOC

K /

GLO

W IM

AG

ES

Números naturais e Geometria

DAINIS / SHUTTERSTOCK /

GLOW IMAGES

Cone Prisma

Paralelepípedo

NIC

K B

AR

OU

NIS

/ SH

UTT

ER

STO

CK

/ GLO

W IM

AG

ES

SÉRGIO DOTTA JR. /

ARQUIVO DA EDITORA

29

Números naturais e GeometriaPoliedros e corpos redondos

30

Poliedros

muitos faces

Os sólidos geométricos que têm faces planas chamam-se poliedros. Os quepossuem uma parte não plana, arredondada, chamam-se corpos redondos.

Números naturais e GeometriaPoliedro paralelepípedo

Caso particular do paralelepípedo: cuboO cubo é um paralelepípedo com todas as arestas com medidas iguais.

vértice

MA

GIC

OV

EN

/ S

HU

TTE

RS

TOC

K /

GLO

W IM

AG

ES

VON

SCHO

NER

TAG

EN /

SHU

TTER

STO

CK /

GLO

W IM

AGES

DMIT

RY M

ELNI

KOV

/ SHU

TTER

STO

CK /

GLO

W IM

AGES

LOSK

UTN

IKO

V / S

HUTT

ERST

OCK

/ GL

OW

IM

AGES

aresta

face

face

vértice

aresta

31

Números naturais e GeometriaPrismas

Pirâmides

vértice

aresta

face lateral

base

vértice

face lateral

base

aresta

ZORA

N K

ARAP

ANCE

V / S

HUTT

ERST

OCK

/ GL

OW

IMAG

ES

32

Números naturais e GeometriaPrincipais corpos redondos

Veja alguns exemplos de corpos redondos:

Esfera Cilindro Cone

vértice

base

Superfície lateral não

plana

base

33

Números naturais e GeometriaPonto, reta e plano

AB

C

Ponto: o centro do campo e as marcas de pênaltis nos dão a ideia de um ponto.

Reta: as linhas que delimitam o campo, as áreas ou a que divide o campo nos dão a ideia de reta.

A B A B

CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA

34

Números naturais e Geometria

Plano: imagine o gramado se expandindo em todas as direções e você terá uma ideia do que seja um plano.

Ponto, reta e planoCASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA

35

Números naturais e Geometria

ACER

VO D

O A

UTO

R / A

RQUI

VO D

A ED

ITO

RA

SALV

ADO

R G

ARCI

A GI

L / S

HUTT

ERST

OCK

/ G

LOW

IMAG

ES

RIDO

/ SH

UTT

ERST

OCK

/ GL

OW

IMAG

ES

Ângulos

36

Em matemática, consideramos ângulos a figura geométrica formada por duassemirretas de mesma origem.

R

A

HIndicamos o ângulo ou .

Números naturais e GeometriaGiros e ângulos

ângulo reto

ângulo raso

CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA

37

Números naturais e Geometria

LEE

SAN

GTEK

/ EA

SYPI

X BR

ASIL

1 00

0 W

ORD

S / S

HUTT

ERST

OCK

/ G

LOW

IMAG

ES

Ângulo reto ou ângulo de um quarto de volta

Ângulo agudo e ângulo obtuso

CASA

DE

TIPO

S / A

RQUI

VO D

A ED

ITO

RA

agudo obtuso

38

Números naturais e Geometria

Rua 9

Rua 8 Rua S

amam

baia

Ave

nida

20

PAUL

O M

ANZI

/ AR

QU

IVO

DA

EDIT

ORA

Retas paralelas e retas concorrentes

39

As ruas 8 e 9 são paralelas, pois elas sempre mantêm a mesma distânciauma da outra.

A rua Samambaia cruza as ruas 8 e 9, portanto a rua Samambaia é concorrente às ruas 8 e 9.

Posições relativas de duas retas distintas contidas em um mesmo plano

Retas paralelas Retas concorrentesperpendiculares

Retas concorrentesoblíquas

Números naturais e GeometriaRegiões planas e contorno

40

Regiões planas têm apenas duas dimensões (comprimento e largura).

altura

largura

comprimento

altura

comprimento

ELAI

NE

HUDS

ON

/ SHU

TTER

STO

CK /

GLO

W

IMAG

ES

EDGA

R LO

PES

/ FO

LHAP

RESS

Números naturais e GeometriaAs regiões planas do tangramO tangram é um quebra-cabeça chinês que tem 7 regiões planas. Há diversas regiões planas que podem ser feitas com o tangram.

41

Números naturais e GeometriaPolígonos

42

Toda linha fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam recebe o nome do polígono.

São polígonos: Não são polígonos:

Números naturais e GeometriaElementos de um polígono

Dado um polígono qualquer, temos:

Quatro lados: os segmentos de reta , , , e .

Quatro vértices: os pontos A, B, C e D.

Quatro ângulos internos, que apresentamos assim: , , e .

Tipos de polígonos

Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono

Há muitos outros tipos de polígonos.

D

C

BA

43

Números naturais e GeometriaTriângulosO polígono tem três vértices, três lados e consequentemente três ângulos internos.

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Triângulo acutângulo Triângulo retângulo Triângulo obtusângulo

Os três ângulos internossão agudos.

Tem um ângulo internoreto e dois agudos.

Tem um ângulo internoobtuso e dois agudos.

CB

A

44

Números naturais e GeometriaQuadriláteros

Quadriláteros são polígonos de quatro lados, quatro vértices e quatro ângulos internos.

São exemplos de quadriláteros:A

B

C

D

45

Números naturais e GeometriaPolígonos regularesSão polígonos que têm as medidas de seus lados iguais e, portanto,todos os ângulos com a mesma abertura.

triângulo regular (equilátero)

quadrilátero regular (quadrado)

pentágono regular

hexágono regular heptágono regular octógono regular

46

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