números naturais ii (cadeia de tarefas)

5.º ano – Números e Operações

Tópicos Objectivos específicos Notas Calendarização Tarefas

PFCM ESE DGIDC

Números naturais

• Números primos e compostos

• Decomposição em factores primos

• Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de doisnúmeros

• Critérios de divisibilidade

• Potências de base e expoente naturais

• Potências de base 10

• Propriedades das operações e regras operatórias

• Identificar e dar exemplos de números primos e distinguir números primos de números compostos.

• Decompor um número em factores primos.

• Compreender as noções de mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de dois números e determinar o seu valor.

• Utilizar os critérios de divisibilidade de um número.

• Interpretar uma potência de expoente natural como um produto de factores iguais.

• Identificar e dar exemplos de quadrados e de cubos de um número e de potências de base 10.

• Calcular potências de um número e determinar o produto e o quociente de potências com a mesma base ou com o mesmo expoente.

• Compreender as propriedades e regras das operações e usá-las no cálculo.

• Resolver problemas que envolvam as propriedades da adição, subtracção, multiplicação e divisão bem como potenciação, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum.

• Solicitar exemplos de números primos menores que 100.

• Pedir a decomposição em factores primos, pelo menos de números menores que 20.

• Para determinar o valor do m.m.c. e do m.d.c. de dois números, usar quer a decomposição em factores primos, quer a representação dos seus múltiplos e divisores.

• Considerar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 9 e 10.

• Estudar regularidades com potências, por exemplo, regularidades do algarismo das unidades de potências com a mesma base e expoentes diferentes.

• Solicitar os quadrados até 12 x12 e os cubos de 2, 3, 4, 5 e 10.

• Dar destaque ao trabalho com potências de base 10.

• Usar a calculadora no cálculo de potências.

14 blocos Divisores de um número

Os números não são todos iguais!

Números primus

Marcadores em caixas

Medicamentos a horas

Critérios de divisibilidade

Mais critérios de divisibilidade

Quadrados e áreas...cubos e volumes

Vamos arrumar caramelos

Rectângulos e mais rectângulos

Decomposições e mais decomposições

Potências e regularidades

Divisores de um número

O que é um divisor de um número? É um número que divide exactamente outro. Por exemplo, o 5 é divisor de 10, mas o 4 não é.

Encontra os conjuntos dos divisores dos números menores que 20.

Procura regularidades nesses conjuntos de divisores.

PROGRAMA DA MATEMÁTICAFORMAÇÃO CONTÍNUA PFCM 2009/10

www.esev.ipv.pt/mat1ciclo

Aprendizagens prévias

• Compreender os efeitos das operações sobre os números.

Compreender o sistema de numeração decimal.

Aprendizagens visadas

Identificar e dar exemplos de múltiplos e de divisores de um número natural.

Compreender que os divisores de um número são divisores dos seus múltiplos

(e que os múltiplos de um número são múltiplos dos seus divisores).

Interpretar a informação e ideias matemáticas representadas de diversas

formas.

Representar informação e ideias matemáticas de diversas formas.

Apresentação e desenvolvimento pelo professor

Esta tarefa tem como objectivo trabalhar com os alunos os conceitos de divisor

e de múltiplo. Embora sejam tópicos do 1.º Ciclo (NPMEB), uma vez que estes alunos

que agora estão no 5.º ano não os trabalharam, esta tarefa, de natureza exploratória,

visa suprir essa falta.

A tarefa está prevista para ser realizada durante 90 minutos. Depois da

apresentação da tarefa, os alunos trabalham em pequenos grupos durante 30 minutos,

ficando o tempo restante para a apresentação e discussão de resultados e para a

institucionalização das ideias e respectivos registos. Durante a realização do trabalho

autónomo dos alunos, o professor deve assegurar-se de que os alunos trabalham de

modo produtivo, não dando demasiadas informações, mas também não deixando os

alunos bloqueados.

A ideia de divisor de um número é discutida no âmbito da relação da divisão

como operação inversa da multiplicação. Um número diz-se divisor de outro se existe

um número natural que multiplicado pelo primeiro dá como resultado o segundo. Por

isso, na tarefa, o 5 é divisor do 10 porque existe o número inteiro 2, tal que 2x5=10. Tal

já não acontece com o 4, que não é divisor de 10, porque não existe nenhum número

natural que multiplicado por 4 dê o 10. Nestes termos, é importante explorar a relação

entre os conceitos de divisor e de múltiplo, sublinhando que se o 5 é divisor do 10

porque o divide, então o 10 é múltiplo do 5 porque resulta do primeiro por

multiplicação de um número natural.

Durante este trabalho é importante representar o conjunto dos divisores de um

número, introduzindo a notação. A análise destes conjuntos deve permitir concluir que

os conjuntos de divisores são conjuntos finitos, de que fazem sempre parte a unidade

e o próprio número e que todos os números pares admitem o divisor 2. É também

importante sublinhar que alguns números só têm dois divisores e que outros têm um

número ímpar de divisores – neste último caso é de explorar o facto de estes números

poderem ser obtidos como o produto de dois factores iguais.

Esta aula constitui também uma oportunidade para o professor fazer uma

primeira abordagem à ideia de máximo divisor comum (m.d.c.) a partir da comparação

dos divisores de dois ou mais conjuntos. Por exemplo, pode questionar Qual é o maior

divisor comum aos números naturais 15 e 20? Esta questão pode ser colocada assim

ou inserida numa situação da realidade.

Explorações dos alunos

Os alunos representam, em compreensão e em extensão, o conjunto dos

divisores dos números naturais menores que 20. Os alunos apercebem-se que em

todos os conjuntos de divisores aparece o número 1 e que só nos conjuntos dos

divisores de números pares surge o número 2. Os alunos observam que qualquer

número é divisor de si próprio. Para além disso, descobrem que alguns números (1, 4,

9, 16) têm um número ímpar de divisores, ao contrário de todos os outros que têm um

número par de divisores. Os alunos concluem que nesses casos, o número que

multiplicado pelo divisor dá o número inicial é ele próprio (por ex. 3 é divisor de 9 por

existe o natural 3 tal que 3x3=9).

Os alunos concluem que se um número é divisor de outro, então o outro é

múltiplo do primeiro. Por exemplo, se o 10 é divisor do 20, então o 20 é múltiplo do

10.

Os números não são todos iguais!

Observa os dados apresentados na folha de cálculo seguinte. Experimenta com outros números. O que podes concluir?

Como se chamam os números que encontraste quanto ao seu número de divisores? Pesquisa a sua origem histórica.






• Identificar e dar exemplos de múltiplos e de divisores de um número natural.


Identificar e dar exemplos de números primos e distinguir números primos de

números compostos.

Interpretar a informação e ideias matemáticas representadas de diversas

formas.

Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos.


Esta tarefa, uma exploração, vem aprofundar a ideia de divisor de um número

trabalhada com a tarefa anterior – divisores de um número. Está prevista para ser

realizada durante 45 minutos, com os alunos aos pares.

Nesta tarefa, os alunos são confrontados com uma tabela em que se registam

dados numéricos, pelo que é necessário que interpretem a informação nela contida,

relacionando linhas com colunas.

A ideia de divisor de um número surge a partir de quocientes de um dado

número (em linha) por todos os números naturais menores ou iguais a ele (em coluna).

Quando esse quociente é inteiro, então o número natural (coluna 1) é divisor do

primeiro. A partir desta análise, os alunos encontram os divisores de um número (é

importante que o professor estabeça ligação com a tarefa anterior).

Neste trabalho, os alunos podem usar unicamente papel e lápis ou recorrer

também à calculadora e ao computador (neste último caso, o professor pode preparar

previamente uma folha de cálculo com os dados constantes na tabela e estimular os

alunos a construírem outras colunas com novos números).

Uma vez que os quocientes da tabela são números naturais e números

racionais (estes últimos representados por dízimas finitas e infinitas periódicas), o

professor pode aproveitar para fazer uma breve abordagem aos números racionais.


Os alunos começam por interpretar a tabela, lendo a informação constante na

linha 1 e na coluna ª Depois, analisam os dados constantes nas células, identificando os

números como quocientes dos números das colunas pela sequência de números

naturais menores ou iguais a cada um deles. A partir dos quocientes inteiros, os alunos

identificam o conjunto dos divisores de um número (estabelecendo, assim, ligação à

tarefa anterior). Os alunos identificam os números com dois divisores como números

primos e os outros como números compostos. O 1 é visto como um caso particular,

não sendo número primo nem número composto.

Números Primus

A palavra latina primus, que significava originalmente primeiros, resultou em português em primos.

Encontra os números primos menores que 50.

Multiplica esses números primos, iguais ou diferentes, 2 a 2, 3 a 3... . Que números obténs?

Será que consegues obter todos os números naturais por esse processo?







Identificar e dar exemplos de números primos e distinguir números primos de

números compostos.

Interpretar uma potência de expoente natural como um produto de factores

iguais.

Representar informações e ideias matemáticas de diversas formas.

Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos.


Esta tarefa, uma exploração, pode ser realizada durante 90 minutos. Depois da

apresentação da tarefa (que o professor pode aproveitar para enquadrar

historicamente, fazendo referência ao desenvolvimento da Matemática e, em

particular, deste tema pelos Gregos), os alunos trabalham aos pares ou em grupos de 3

a 4 elementos.

Na sequência das aulas anteriores, em que os alunos iniciaram o contacto com

a ideia de número primo, nesta aula os alunos começam por encontrar os números

primos até 50. Neste trabalho, os alunos podem recorrer unicamente ao papel e lápis

ou ter à sua disposição instrumentos auxiliares de cálculo. A identificação da sequência

dos números primos menores que 50 pode também ser conseguida a partir da

pesquisa em manuais, internet ou em algum outro material informativo que o

professor possa fornecer. Desta forma, os alunos podem ganhar algum tempo, que

depois utilizam na segunda parte da tarefa quando se focam nos números compostos.

Para encontrar os números compostos, os alunos iniciam o seu trabalho

multiplicando os números primos que descobriram antes. Nesta fase, é importante

que o professor esteja atento, de forma a evitar que os alunos se dispersem. Duas

indicações podem ser dadas: fazer registos adequados dos números primos que estão

a ser usados em cada momento, da sua multiplicação e do seu produto. A outra

prende-se com o encontrar de um método de abordagem à situação, que pode passar

com iniciar os produtos com dois factores primos, começando pelos menores. Para a

abordagem à última parte da tarefa, e dependendo dos números compostos já

encontrados por cada grupo na fase anterior, pode ser sugerido que os alunos façam o

raciocínio inverso relativamente aos números compostos que ainda não obtiveram

como produtos de números primos. Desta forma, avança-se para a ideia de

decomposição dos números compostos num produto de factores primos. Deste

trabalho, surgirá naturalmente a necessidade de ter uma forma expedita de

representar produtos de factores iguais através de potências. Isso pode ser

particularmente evidente com a decomposição de números como o 16 e o 27.

A fase de discussão, que preencherá os últimos 45 minutos da aula, é

fundamental para que os diversos grupos possam explicar e justificar o trabalho

realizado, representando matematicamente as suas ideias. Deste trabalho, deve

resultar a institucionalização dos conceitos, neste caso de número primo e número

composto, a decomposição de um número composto em produto de números primos

e potência de um número natural.


Depois de os alunos encontrarem a sequência de números primos menores que

50, vão procurar números compostos resultantes do produto de números primos.

Depois de um trabalho inicial, é provável que os alunos verifiquem que não estão a

encontrar todos os números por composição. Então, podem focar-se nos números

compostos que ainda não obtiveram e fazer o raciocínio inverso, ou seja, decompor os

números em produtos de números primos.

A discussão da última questão é igualmente um momento em que os alunos

serão conduzidos à ideia de generalização e, neste caso, à formulação de conjecturas.

Assim, os alunos conjecturam que se reunirem os números primos com os números

compostos (e ainda o 1) podem obter todos os números naturais.

Medicamentos a horas

O Pedro está doente e foi a uma consulta médica. O médico receitou-lhe três

medicamentos: uns comprimidos, para tomar de 3 em 3 horas, um xarope, para tomar

de 6 em 6 horas, e uns supositórios, para tomar de 8 em 8 horas.

O Pedro vai tomar estes medicamentos durante uma semana. Como começou ao

meio-dia do dia 4 de Outubro, tomando os 3 medicamentos, quando voltará a tomar

os três medicamentos em simultâneo? Quantas vezes vai acontecer isso durante o

tratamento?



Marcadores em caixas

I

A fábrica de marcadores coloridos SIUL embala, em caixas de 100

marcadores, estojos de 5, 10, 20... marcadores.

Que outros números de marcadores a fábrica pode colocar nesses

estojos para fazer as caixas de 100? Será que pode colocar nessas

caixas os estojos de 12 marcadores? Porquê?

Haverá alguma relação entre a decomposição em produtos de factores primos do 100 e dos 5,

10, 12...?

II

A fábrica está numa fase de remodelação dos seus produtos,

estando a pensar em introduzir uma nova caixa para embalagem

dos estojos (com 120 marcadores) e um estojo único. Como as

caixas de 100 se vão manter, quantos marcadores pode ter o

maior estojo para ser colocado em ambas as caixas (de 100 e

120)?



http://www.ruadireita.com/publicidade/embalagens/caixas/%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

Critérios de divisibilidade I

Critério é uma palavra de origem grega que significa “regra que permite tomar

decisões”. Na Matemática temos critérios de divisibilidade, que são regras que nos

permitem saber se determinado número é divisível por outro sem fazer qualquer conta

(algoritmo).

Por exemplo, precisas de fazer o algoritmo da divisão para saber se 2009 é divisível por

2? Com certeza que não!

Recorrendo aos teus conhecimentos e a cálculos que tenhas necessidade de efectuar, faz

uma proposta de critérios de divisibilidade por: 2, 5, 10, 100 e 1000.



Critérios de divisibilidade II

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 são exemplos de números divisíveis por 3. A partir da

observação destes números, conjectura o critério de divisibilidade por 3.

Como será para o 9? E para o 4?



Quadrados e áreas...cubos e volumes

I

Desenha no teu papel quadriculado um quadrado de lado duas unidades de comprimento (considera a unidade de comprimento o lado de uma quadrícula).

Qual a sua área, em quadrículas? (escreve também a área na forma de um produto)

Desenha outros quadrados de lados 3, 4, 5, 6... e repete o procedimento anterior.

Que nome têm os números que obtiveste e qual a sua origem histórica?

II

Consegues estabelecer uma relação semelhante à anterior entre cubos, volumes e potências?



números naturais ii (cadeia de tarefas)

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