disciplina geometria analítica e números...

Cláudio Carlos Dias

Neuza Maria Dantas

Geometria Analítica e Números ComplexosD I S C I P L I N A

Produto vetorial e produto misto

Autores

aula

12

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Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Dias, Cláudio Carlos. Geometria analítica e números complexos / Cláudio Carlos Dias, Neuza Maria Dantas. – Natal, RN : EDUFRN, 2006.

320 p. : il

1. Geometria analítica plana. 2. Geometria analítica espacial. 3. Números complexos. I. Dantas, Neuza Maria. II. Título.

ISBN 978-85-7273-331-1 CDU 514.12RN/UF/BCZM 2006/88 CDD 516.3

Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos 1

a aula passada (aula 11 – Produto escalar), tratamos do produto escalar de vetores no plano e no espaço que associava a cada par de vetores um número real. Nesta aula, você vai estudar o produto vetorial que associa a cada par de vetores no espaço

um outro vetor no espaço, ortogonal a esse par. Em seguida, introduziremos o produto misto que associa a cada terno de vetores no espaço um número real obtido, fazendo uma combinação dos produtos vetorial e escalar.

Apresentação

Objetivos

Ao término desta aula, espera-se que você seja capaz de usar o produto vetorial na solução de problemas geométricos, bem como utilizar o produto misto para cálculo de volumes de paralelepípedos.

N

u

v

w

Aula 12 Geometria Analítica e Números Complexos2

Produto vetorial

A introdução do produto vetorial é motivada pelo fato de que, para a solução de vários problemas em Geometria, é necessário encontrar um vetor ortogonal a dois outros vetores não colineares u e v dados.

Como achar, então, um terceiro vetor w ortogonal a ambos? A resposta a essa pergunta, do ponto de vista geométrico, é bem simples, pois basta tomar o plano determinado pelas duas retas que contêm os vetores u e v, em seguida, considerar uma terceira reta perpendicular a esse plano. Agora, basta escolher um vetor w sobre essa reta com a mesma origem de u e v. Veja a ilustração na figura a seguir.

Figura 1 – Um vetor w perpendicular a dois vetores u e v

Do ponto de vista algébrico, a pergunta anterior é dada nos cálculos a seguir. Você vai observar que os cálculos são extensos, mas são meras repetições de contas simples, tais como multiplicar uma equação por um número e somar ou subtrair duas equações membro a membro. Senão vejamos, para que w seja ortogonal a u e v, lembre-se da aula 11 (Produto escalar), devemos ter os produtos escalares de w por u e v nulos, ou seja,

Se e , usando a definição de produto escalar, temos que

Observe que queremos determinar x, y e z. Para tanto, multiplicamos a primeira equação do sistema (I) por f e a segunda por c para obter

(I){


Agora, subtraindo a segunda equação anterior da primeira, o termo que contém z desaparece e ficamos com . Colocando x e y em evidência, ficamos com

Desse modo, fica eliminada a incógnita z.

Vamos proceder como anteriormente para eliminarmos a incógnita y. Para tanto, multiplicaremos a primeira equação do sistema (I) por e; e a segunda por b, para obter

Como fizemos anteriormente, subtraindo a segunda equação da primeira, o termo que contém y desaparece e ficamos com

Agora, para eliminarmos a incógnita x do sistema (I), multiplicamos a primeira equação por d e a segunda por a, ficando com

Subtraindo a segunda equação anterior da primeira, o termo que contém x desaparece e ficamos com

Juntado as equações (II), (III) e (IV) num mesmo sistema, obtemos

Chamaremos de A o coeficiente de x na primeira equação de (V), isto é, A af cd. Observe que o coeficiente z na terceira equação é af cd cd af que é igual a A. Faça agora B bf ce, que é o coeficiente de y na primeira equação, e observemos

que o coeficiente de z na segunda equação é ce bf bf ce B. Sendo agora C ae bd o coeficiente de x na segunda equação, segue-se que o coeficiente de y na terceira equação é bd ae ae bd C. Agora, com essas novas notações dos coeficientes em termos de A, B e C, o sistema (V) pode ser reescrito como

(II)

(III)

(IV)

(V)

(VI)

{

{

{

{


Observemos que uma solução da primeira equação do sistema (VI) feita tomando-se x B e y A. Pois, substituindo esses valores na equação, ficamos com

Ax By AB BA

Com os valores de x B e y A, substituídos nas segunda e terceira equações do sistema (VI), obtemos

Atribuindo o valor C para z nas equações anteriores, vemos que

CB Bz CB BC CA Az CA AC

ou seja, z C satisfaz às duas equações.

Resumindo, temos que x B, y A e z C é uma solução do problema original, isto é, são as coordenadas de um vetor w ortogonal aos vetores e .

Desse modo,

Exemplo 1Dados e calcule u v.

Solução

Usando as notações anteriores para u e v , temos que

.Logo,

Donde .

Veja a seguir, na Figura 2, suas representações.

{

{

{

v

z

y

x

u

u x v


Figura 2 – O produto vetorial de por

É muito penoso memorizar a fórmula para o produto vetorial da forma como foi apresentada. Fazendo uso de determinantes, vamos estabelecer um método de cálculo que simplifique a memorização dessa fórmula.

Na aula 9 (Vetores no plano e no espaço tridimensional), mostramos que um vetor qualquer se escreve como , sendo que ,

e são vetores unitários na direção dos eixos coordenados.

Feito isso, se e são vetores que desejamos calcular seu produto vetorial, procede-se ao cálculo simbólico de um determinante no qual aparecem na primeira linha i, j, k, na segunda linha as coordenadas a, b, c de u e na terceira linha as coordenadas d, e, f de v a saber

Resolvendo-se esse determinante de acordo com elementos da primeira linha, multiplica-se i pelo determinante da matriz obtida eliminando-se a linha (primeira) e a coluna (primeira) a que i pertence; em seguida, multiplica-se j pelo determinante da matriz que resta quando se elimina a linha (primeira) e a coluna (segunda) a que j pertence, trocando-se o sinal desse determinante; finalmente, multiplica-se k pelo determinante obtido, eliminando-se a linha (primeira) e a coluna (terceira) a que k pertence.

Pelo que foi descrito anteriormente, temos

.

Atividade 1

Atividade 2


Calcule todos os produtos vetoriais envolvendo os vetores i,j,k

Observação 1 – Você deve ter notado na atividade 1 que ,,

Mostre que e que

Mas,

.

E essas são precisamente as coordenadas do vetor u v.

Resumindo, temos que

u x v

v x u

v

v

u

(b)(a)

u


Isso acontece porque escolhemos , de modo que formem um sistema que satisfaz a “regra do saca-rolha”. Isso significa que, se

é o ângulo entre u e v, e se acoplarmos um parafuso na origem comum dos vetores e ortogonal a esses vetores, o sentido de é o mesmo sentido para onde aponta o parafuso quando se gira u para v através do ângulo entre eles. A figura a seguir ilustra essa situação.

Figura 3 – 3a) Ao ser girado de u para v, o parafuso está sendo desapertado, logo ele está subindo, isto é, está

apontando para cima. 3b) Ao ser girado de v para u, o parafuso está sendo apertado, logo ele está

descendo, isto é, está apontando para baixo.

Na atividade 1, você deve ter comprovado essa regra.

Uma propriedade importante do produto vetorial é a distributividade, ou seja, . Para confirmamos isso, sejam ,

e então

.

Segundo uma propriedade dos determinantes, esse determinante é a soma dos seguintes determinantes

e

O primeiro representa e o segundo representa . Isso confirma que .

Atividade 3


Comprove a distributividade anterior com um exemplo particular de vetores u, v e w.

Um fato interessante é que a norma de pode ser dada em termos das normas de u e v do produto escalar de u por v. Mas, precisamente,

Para que isso seja verificado, lembremos que se e , então,

.

Desse modo,

.

Desenvolvendo as diferenças ao quadrado, ficamos com

Por outro lado,

.

Desenvolvendo os quadrados das somas e tendo eliminado os termos semelhantes, obtemos,

Essa expressão é a mesma, com exceção da ordem das parcelas, que a encontrada para . Donde se conclui que

v

u

||v||

||u||

||v||

sen


Seja agora o ângulo entre u e v, como e , a fórmula anterior pode ser escrita como

Ou seja,

,

uma vez que , caso em que sen

Ora, , representa a área do paralelogramo determinado

por u e v uma vez que sua base é e a sua altura é (lembre-se de que“cateto oposto”

“hipotenusa”), conforme ilustrado na figura a seguir.

Como representa a área do paralelogramo determinado por u e v, isso pode ser utilizado para cálculo de áreas de triângulos no espaço, conhecidos os seus vértices.

Exemplo 2Determine a área do triângulo com vértices e .

Figura 4 – A área do paralelogramo determinado por u e v

Solução

A área solicitada do triângulo é a metade da área do paralelogramo determinado pelos vetores e como na figura seguinte.

z

Y

X

PQ

R


Figura 5 – A área do triângulo com vértices e

Nesse caso, a área do triângulo é . Sendo

e então Desse modo, a

área procurada é .

Observação 2 – Lembramos que o produto vetorial foi definido a partir das coordenadas de u e v. Isso nos leva a pensar que esse produto depende do sistema de coordenadas fixado. Mas, isso não acontece, uma vez que mostramos que seu comprimento é , sua direção é a direção ortogonal a u e v, seu sentido é determinado pela regra do saca-rolha e esses fatos não dependem do sistema de coordenadas.

O exemplo dado a seguir mostra que não vale a lei do corte para o produto vetorial, ou seja, é possível ter sem que seja igual a .

Exemplo 3A Figura 6 ilustra vetores e com , sendo .

Para tanto, são tomados vetores u, v e w em um mesmo plano com , onde é o ângulo entre u e v e é o ângulo entre u e w.

w

u

uxv = uxw

v

º-

v

u

uxv

vxu


Figura 6 – Exemplo em que com

Observe que é o . Como e o , então, e têm o mesmo comprimento.

Esses vetores também têm a mesma direção, pois são ortogonais ao plano que contém u, ve w, pela regra do saca-rolha, eles têm também o mesmo sentido. Esses fatos nos permitem concluir que no entanto, .

Obtivemos anteriormente que

,

logo

.

Isso diz que e têm o mesmo comprimento, como são ambos ortogonais a ue v, segue-se que elas têm a mesma direção, logo, pela regra do saca-rolha, , isto é, são de sentido contrário. Esse fato pode ser também visto geometricamente conforme ilustrado na figura que segue.

Figura 7 –

A Figura 7 indica que, quando você vai de u para v através do ângulo o vetor aponta para cima e quando você vai de v para u o vetor aponta conforme diz a “regra do saca-rolha”.

Atividade 4

1

2

Exercícios

3


Tomando , verifique que

o que confirma que o produto vetorial não é associativo.

Observação 3 – Note que, para qualquer número real , os vetores ee têm o mesmo comprimento dado por a

mesma direção (ortogonal a u e v) e o mesmo sentido (verifique considerando . Para , são todos nulos, isso nos permite concluir que para

qualquer número real e quaisquer vetores u e v, tem-se

.

Dados os vetores u e v mostre que Conclua que

Calcule a área do paralelogramo determinado por u e v em que e

Sejam ee

Calcule

a)

b)

c)

d)

4

5


Se u e v são vetores não colineares, represente por uma figura os vetores ee

Se u, v e w são vetores dois a dois ortogonais, mostre que

Produto misto

ara vetores v e w no espaço, sabemos que seu produto vetorial v w ainda é um vetor no espaço. Desse modo, dado um terceiro vetor u, também no espaço, pode-se fazer o produto escalar de u por v w, obtendo-se um número real. Esse produto

é dito o produto misto dos vetores u, v, e w, que é representado por .

Como nos casos de produto escalar e produto vetorial, é importante saber calcular esse produto em termos das coordenadas dos vetores dados. É o que faremos a seguir. Sejam

e em termos de determinantes, temos

Desse modo,

Entretanto, essa expressão é o desenvolvimento do seguinte determinante

seguindo os elementos da primeira linha. Pode-se concluir que

Convém notar que, como então,

P

v

w

u

v

w

u

||v xw||

vxw

h= ||u

|| co

s||u

||


Figura 8 – Paralelepípedo determinado pelos vetores u, v, e w

Para confirmar esse fato, lembremos que o volume de um paralelepípedo é dado multiplicando a área da base pela sua altura. No nosso caso, sabemos que a área da base é a área do paralelogramo determinado por v e w, a qual é , como mostrado no parágrafo anterior.

Para determinação da altura h desse paralelepípedo, chamamos de o ângulo entre os vetores e . Observe que . Veja isso na figura seguinte.

Figura 9 – O volume do paralelepípedo determinado por u, v, e w

Caso seja o o, então, cos é negativo e devemos ter uma vez que o .

Como vimos na aula 10 (Vetores no plano e no espaço tridimensional), se é o ângulo entre e , temos que

“área da base”.”altura”,

que é o que queríamos mostrar.

Mostraremos agora que o valor absoluto do produto misto, a saber ,tem uma interpretação geométrica bastante interessante. Esse valor absoluto representa o volume do paralelepípedo determinado por u, v, e w , descrito na figura a seguir.

Continuando os exercícios

6

7

8

Resumo

1

2

3


Obtenha o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ee .

Determine as áreas das faces laterais do paralelepípedo da questão 6.

Sejam u, v, e w vetores tais que . Use propriedades dos determinantes para encontrar ee .

Nesta aula, você estudou os produtos vetorial e misto. Viu que o comprimento do produto vetorial de dois vetores representa a área do paralelogramo que eles determinam. Enquanto o valor absoluto do produto misto de três vetores representa o volume do paralelepípedo por eles determinado. Foi mostrado também que para o produto vetorial não vale a associatividade, a comutividade nem a lei do corte.

Auto-avaliação

Seu,v e w são vetores não nulos no espaço , sendo dois a dois ortogonais, conclua que são múltiplos escalares de w,v e u, respectivamente. Conclua

que e

Encontre um vetor u perpendicular ao plano determinado pelos três pontos.

Encontre a área do triângulo cujos vértices são os pontos P, Q e R do item 2 dessa auto-avaliação.

4


A distância de um ponto B a um plano é o comprimento do segmento AB em que A está sobre o plano e é perpendicular a esse plano. Determine a distância da origem ao plano do item 2 anterior o qual é a componente ortogonal de sobre u.

Sugestões para resolução dos exercícios

1. A área do paralelogramo é dado por .

2. Faça primeiro o cálculo das operações entre parênteses para, em seguida, efetuar a outra operação.

3. Use a propriedade distributiva do produto vetorial em relação à soma. Para concluir, note que u e v são ortogonais a .

4. Desenhe primeiro , que é perpendicular a u e v, para em seguida desenhar e . Note que o segundo é perpendicular a u e u v .

5. Observe que u v é ortogonal a u e v; por hipótese, w também é, donde e são colineares. O mesmo raciocínio se aplica para mostrar que .

6. O volume do paralelepípedo é dado por .

7. As faces opostas têm áreas iguais, logo, basta calcular as áreas dos paralelogramos determinados por u e v, u e w, v e w, as quais são dadas, respectivamente, por

e .

8. A propriedade dos determinantes a ser usada é a que diz que, ao se trocar duas linhas vizinhas de um determinante, este muda de sinal, isto é, será multiplicado por -1.

ReferênciasANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.

SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Mcgraw – Hill, 1987. 2v.

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