geometria anal­tica c´nicas

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  • 164 Suplemento de reviso MATEMTICA

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    10 d

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    1998

    .

    s secante a H s tangente a H s exterior a H

    d , R d 5 R d . R

    Geometria analtica: cnicasIluminando uma parede plana com uma lanterna, a interseco da superfcie do cone

    de luz com o plano da parede representa uma figura cnica. Dependendo da inclinao do eixo do cone em relao ao plano da parede, essa figura pode ser uma

    circunferncia, uma elipse, uma parbola ou um ramo de hiprbole.

    (x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 R2

    x2 1 y2 2 2ax 2 2by 1 a2 1 b2 2 R2 5 0

    CircunfernciaConsideremos no plano cartesiano uma circunferncia H de

    centro C(a, b) e raio R. Sendo G(x, y) um ponto genrico, temos que G pertence a H se, e somente se, CG 5 R, ou seja:

    a

    R

    b

    G(x, y)

    C

    x

    y

    dlllllllllllllll (x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 R

    Equao reduzida da circunferncia

    Elevando ao quadrado ambos os membros da equao acima, obtemos a equao reduzida da circunferncia de centro C(a, b) e raio R:

    { ax 1 by 1 c 5 0 (x 2 x0)2 1 (y 2 y0)2 5 R2

    A equao (x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 k, nas variveis x e y, com {a, b, k} - V, representa:

    uma circunferncia se, e somente se, k . 0; um ponto se, e somente se, k 5 0; o conjunto vazio se, e somente se, k , 0.

    Equao geral da circunferncia

    Eliminando os parnteses da equao reduzida da circun-ferncia de centro C(a, b) e raio R, obtemos a equao geral (ou normal) da circunferncia:

    Posies relativas entre ponto e circunferncia

    No plano cartesiano, as posies relativas entre um ponto P e uma circunferncia H podem ser observadas a partir da comparao entre o raio R de H e a distncia d entre o ponto e o centro C da circunferncia.

    P interior a H P pertence a H P exterior a H

    d , R d 5 R d . R

    R

    P

    C

    d d = R

    P

    C

    R

    d

    P

    C

    s

    C

    dR

    s

    C

    d = R

    s

    C

    R

    d

    Posies relativas entre reta e circunferncia

    No plano cartesiano, as posies relativas entre uma reta s e uma circunferncia H podem ser observadas a partir da comparao entre o raio r de H e a distncia d entre a reta e o centro C da circunferncia.

    Dadas as equaes da reta s: ax 1 by 1 c 5 0 e da circun-ferncia H: (x 2 x0)

    2 1 (y 2 y0)2 5 R2, temos que s ) H o

    conjunto soluo do sistema:

    Por substituio, obtemos uma equao do 2o grau em uma nica varivel. Sendo S o discriminante dessa equao, temos:

    Se S , 0, o sistema impossvel, o que significa que s exterior a H.

    Se S 5 0, o sistema tem uma nica soluo, o que sig-nifica que s tangente a H.

    Se S . 0, o sistema tem exatamente duas solues, o que significa que s secante a H.

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  • 165GEoMETrIA AnAlTICA: CnICAS

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    H1 e H2 so exteriores

    d C 1 C 2 . R1 1 R2

    H1 e H2 so tangentes

    exteriormente

    d C 1 C 2 5 R1 1 R2

    H1 e H2 so tangentes

    interiormente

    d C 1 C 2 5 OR1 2 R2O

    H1 e H2 so secantes

    OR1 2 R2O , d C 1 C 2 , R1 1 R2

    H2 interior a H1

    R1 . R2 e d C 1 C 2 , OR1 2 R2O

    H1 e H2 so coincidentes

    d C 1 C 2 5 0 e R1 5 R2

    C1

    1

    2

    C2R1 R2

    dC1C2

    C1

    1

    2

    C2R1 R2

    dC1C2

    C1

    12

    C2

    R1R2

    dC1C2

    C1

    12

    C2

    R1 R2

    P

    dC1C2

    C1R1

    R2

    dC1C2

    C2

    C1 C2

    R1 R2

    1 2

    F1 F22c

    P

    F1 F2

    B2

    B1

    A1 A2c

    ab

    C

    { (x 2 a1)2 1 (y 2 b1)

    2 5 R21 (x 2 a2)

    2 1 (y 2 b2)2 5 R22

    Posies relativas entre duas circunferncias

    No plano cartesiano, sendo H1 e H2 duas circunferncias de centros C1 e C2 e raios R1 e R2, respectivamente, temos uma dentre as seis posies possveis:

    Dadas as equaes das circunferncias

    H1: (x 2 a1)2 1 (y 2 b1)

    2 5 R21 e H2: (x 2 a2)2 1 (y 2 b2)

    2 5 R22, temos que H1 ) H2 o conjunto soluo do sistema:

    Esse sistema:

    impossvel se, e somente se, H1 e H2 so exteriores ou uma delas for interior outra.

    Tem uma nica soluo se, e somente se, H1 e H2 so tangentes interiormente ou exteriormente.

    Tem exatamente duas solues se, e somente se, H1 e H2 so secantes.

    Tem mais de duas solues se, e somente se, H1 e H2 so coincidentes.

    Elipse Fixados dois pontos, F1 e F2, de um plano a tais que

    F1F2 5 2c, com c . 0, chama-se elipse o conjunto dos pon-tos P do plano a cuja soma das distncias PF1 e PF2 uma constante 2a, com 2a . 2c, ou seja:

    Considere a elipse abaixo.

    PF1 1 PF2 5 2a

    Focos da elipse: so os pontos F1 e F2.

    Distncia focal: a distncia 2c entre os focos, sendo c a semidistncia focal.

    Corda da elipse: qualquer segmento de reta cujos extremos so pontos da elipse.

    Eixo maior da elipse: a corda A1A2, que passa pelos focos. Temos: A1A2 5 2a

    Centro da elipse: o ponto mdio C da corda A1A2 Eixo menor da elipse: a corda B1B2, perpendicular a A1A2,

    que passa por C. Temos: B1B2 5 2b e CB1 5 CB2 5 b Pelo teorema de Pitgoras, temos do tringulo B1CF2:

    B1

    Cc c

    a a

    b

    b

    A1F1 F2 A2

    B2

    a2 5 b2 1 c2

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    .

    O nmero e 5 c

    __ a chamado de excentricidade da elipse.

    Observando que esse nmero o cosseno do ngulo agudo B1F2C, temos: 0 , e , 1

    Equao reduzida da elipse

    Se uma elipse tem o eixo maior paralelo ao das abscissas, ento sua equao reduzida :

    O x0

    y0A1

    A2

    y

    x

    b

    Ca

    O x0

    y0

    A1

    A2

    y

    x

    bC

    a

    F1 F2A2A1

    2c

    2a

    F1 F2A2A1

    2c

    2a

    F1 F2

    A2

    B2

    B1

    A1C

    c c

    a

    c cb

    F1 F2A2

    B2

    A1

    Q P

    C

    M NB1

    Se uma elipse tem o eixo maior paralelo ao das ordenadas, ento sua equao reduzida :

    Hiprbole Fixados dois pontos, F1 e F2, de um plano a tais que

    F1F2 5 2c, com c . 0, chama-se hiprbole o conjunto dos pontos P do plano a cujas diferenas, em mdulo, das distncias PF1 e PF2 so iguais a uma constante 2a, com 0 , 2a , 2c, ou seja:

    Considere a hiprbole abaixo.

    Focos da hiprbole: so os pontos F1 e F2.

    Distncia focal: a distncia 2c 5 F1F2 entre os focos, sendo c a semidistncia focal.

    Vrtices da hiprbole: so os pontos A1 e A2, que so a interseco da hiprbole com o segmento F1F2.

    Eixo real da hiprbole: o segmento A1A2. Temos: A1A2 5 2a

    Centro da hiprbole: o ponto mdio C do eixo real A1A2.

    Eixo imaginrio da hiprbole: o segmento B1B2, perpen-dicular a A1A2, que passa por C tal que:

    B1A1 5 B1A2 5 B2A1 5 B2A2 5 c. Temos: B1B2 5 2b e CB1 5 CB2 5 b

    Pelo teorema de Pitgoras, temos do tringulo B1CA2: c2 5 a2 + b2

    O nmero e 5 c

    __ a chamado de excentricidade da hiprbole.

    Observando que esse nmero a secante do ngulo agudo B1A2C, temos: e . 1

    Chama-se retngulo referncia da hiprbole o retngulo MNPQ, cujos pontos mdios dos lados so A1, B1, A2 e B2. As retas MP e NQ, que contm as diagonais do retngulo, so denominadas assntotas da hiprbole. A hiprbole no tem ponto em comum com nenhuma das assntotas e a distncia entre a hiprbole e cada assntota se aproxima indefinidamente de zero.

    F1

    P

    F2OPF1 2 PF2O 5 2a

    (x 2 x0)

    2

    _________ a2

    1 (y 2 y0)

    2

    _________ b2

    5 1

    (x 2 x0)

    2

    _________ b2

    1 (y 2 y0)

    2

    _________ a2

    5 1

    Quando o retngulo referncia um quadrado (2a 5 2c), a hiprbole chamada de equiltera.

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  • 167GEoMETrIA AnAlTICA: CnICAS

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    .

    x0

    y0 F2F1

    y

    aC

    cb

    x

    x0

    y0

    F2

    F1

    y

    x

    a

    C

    c

    b

    PF

    P r

    r (diretriz)

    V (vrtice)

    F (foco)

    p

    e (eixo de simetria)

    O

    y

    x

    F

    Vpy0

    x0

    r

    O

    y

    x

    F

    V py0

    x0

    r

    Equao reduzida da hiprbole Se uma hiprbole tem o eixo real paralelo ao das abscissas,

    ento sua equao reduzida :

    Se uma hiprbole tem o eixo real paralelo ao das ordenadas, ento sua equao reduzida :

    Parbola Fixados um ponto F e uma reta r de um plano, com F ( r,

    chama-se parbola o conjunto dos pontos P desse plano equidistantes de r e F, ou seja:

    Considere a parbola abaixo.

    PF 5 PPe(Pe a projeo ortogonal de P sobre r )

    Foco da parbola: o ponto F.

    Diretriz da parbola: a reta r.

    Eixo de