geometria analítica espacial - apostila

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CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos CEFET-SP Uned Cubatão Curso: Curso Superior de Tecnologia em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos Turma: SAI – 171 Matéria: Geometria Analítica Aluno: Flávio Alves Monteiro Matrícula: 051017 Geometria Analítica Espacial 1

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Page 1: Geometria Analítica Espacial - Apostila

CEFET-SP Uned CubatãoTecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos

CEFET-SP Uned Cubatão

Curso: Curso Superior de Tecnologia em Automação e

Controle de Processos Industriais Contínuos

Turma: SAI – 171

Matéria: Geometria Analítica

Aluno: Flávio Alves MonteiroMatrícula: 051017

Geometria Analítica Espacial 1

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Geometria Analítica Espacial 2

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GEOMETRIA ANALÍTICA

Conceito de vetor Definição 1

Um, segmento orientado é um par ordenado (A, B) de pontos do espaço. A é dito

origem, B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma

(A, A) são ditos nulos. Se A B, (A, B) é diferente de (B, A).

Definição 2

Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm o mesmo

comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo

comprimento.

Suponha (A, B) e (C, D) não nulos. Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm

mesma direção se AB // CD (AB // CD inclui o caso em que as retas suportes

coincidem) . Nesse caso dizemos que (A, B) e (C, D) são paralelos.

.Suponha que (A, B) e (C, D) têm mesma direção.

a) Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido

se a intersecção entre os segmentos AC e BD for vazia. Caso AB CD ,

dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrário.

b) Se as retas AB e CD coincidem, tome (A', B') tal que A' não pertença à reta AB e

(A', B') tenha mesma direção, e mesmo sentido que (A, B). Então dizemos que (A, B)

e (C, D) têm mesmo sentido se (A', B' ) e (C, D) têm mesmo sentido. Se não, dizemos

que (A, B) e (C, D) têm sentido contrario.

Geometria Analítica Espacial 3

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Definição 3 .

Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes, e indica-se (A,B)

(C,D), se um dos casos seguintes ocorrer:

a) ambos são nulos;

b) nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.

Proposição 1: A relação de equipolência goza das seguintes propriedades:

a) (A , B) (A , B) (reflexiva)

b) (A ,B) (C , D) (C,D) (A,B) (simétrica)

c) (A,B) (C,D) e (C,D) (E ,F) (A ,B)(E,F) (transitiva)

Observação: (Uma relação que goza das propriedades a), b) e c) se chama de relação

de equivalência.

Definição 4

Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados de E3. Se

(A,B) é um segmento orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo

representante é (A,B)) será indicado por . Usam-se também letras latinas

minúsculas encimadas por uma seta ( , , etc.), não se fazendo desse modo

referência ao representante.

Chamaremos vetor nulo ao vetor cujo representante é um segmento orientado

nulo (A,A) e indica-se o vetor nulo por .

Geometria Analítica Espacial 4

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Os vetores e não-nulos são paralelos ( // ) se um representante de é

paralelo a um representante de (e portanto a todos). Se // , e têm mesmo

sentido se um representante de e um representante de têm mesmo sentido.

Consideramos o vetor nulo paralelo a qualquer vetor.

Chamaremos norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor ao comprimento

de qualquer um de seus representantes; indica-se a norma de por . Se = 1,

dizemos que o vetor é unitário.

Observação

O vetor é chamado vetor oposto do vetor e eles só diferem no sentido (se

AB), já que seus representantes (A,B) e (B,A) têm mesma direção, mesmo

comprimento e sentido contrário. O vetor oposto do vetor é indicado também por

- ; o vetor oposto de um vetor é indicado por - .

OPERAÇÕES COM VETORES

ADIÇÃO DE VETORES

Sejam os vetores e representados pelos segmentos orientados AB e BC.

Os pontos A e C determinam o vetor soma dos vetores e

Propriedades da adição

A1) PROPRIEDADE ASSOCIATIVA

( + ) + = + ( + ), , , V3

Geometria Analítica Espacial 5

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A2) PROPRIEDADE COMUTATIVA

+ = + , V3

A3) ELEMENTO NEUTRO

Existe um só vetor nulo tal que para todo vetor se tem:

+ = + = , V3

+ = + = = .

A4) ELEMENTO OPOSTO

Dado um vetor qualquer, existe um vetor que somado a dá como resultado o

vetor nulo: trata-se do vetor oposto de , que se indica por - .

+ ( - ) = - + =

+ ( - ) = + = =

Diferença de vetores

Chama-se diferença de dois vetores e , e se representa por = - , ao vetor

+ ( - ) .

Dados dois vetores e , representados pelos segmentos orientados AB e AC,

respectivamente, e construído o paralelogramo ABCD verifica-se que a soma = +

é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e pela diferença =

- é representada pelo segmento orientado CB (a outra diagonal)

Geometria Analítica Espacial 6

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Multiplicação por um número real

Dado um vetor e um número real k 0, chama-se produto do número real k

pelo vetor o vetor = k , tal que:

a) módulo: = =

b) direção: a mesma de

c) sentido: o mesmo de se k 0 , e contrário ao de se k 0.

Observações:

a) Se k = 0 ou = , o produto é o vetor , isto é k = .

b) Dados dois vetores e , colineares, sempre existe k R tal que = k .

Exemplo: se = =

c) O versor de um vetor 0 é o vetor unitário = ou

= De fato, ele é unitário = = = 1

Daí, concluí-se que = isto é, o vetor é o produto de seu módulo pelo

vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de

Propriedades da multiplicação de número por vetor.

Se e são vetores quaisquer e e são números reais, temos:

M1) ( + ) = + , R , , V3 (distributiva em relação

à adição de vetores)

M2) ( + ) = + , , R , V3

Geometria Analítica Espacial 7

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M3) 1 . = , V3

M4) ( ) = ( ) = ( ) , , R , V3

Observação

Se R e V3 , com 0 , significa

Soma de ponto com vetor

Cada ponto P E3 e cada vetor V3 associa um único ponto Q de E3 indicado

por P + e chamado soma de P com . Assim: P E3 , V3 : P + = Q

= donde P + = Q

Observação:

A notação P - indica a soma do ponto P com o vetor oposto do vetor Assim:

P - = P + ( )

Propriedades dessa operação:

P1 P + = P P E3

P + = P

P2 P + = P + +

Seja Q = P + = P + por def. decorre = e =

Logo =

P3 ( P + ) + = P + ( + ) , V3 P E3

Sejam A = P + e B = A + ( logo B = (P + ) + )

por def. decorre que = e = somando, temos:

Geometria Analítica Espacial 8

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+ = + mas, + = , portanto temos = +

Pela definição de soma de ponto com vetor, temos: B = P ( + )

e portanto: (P + ) + = P + ( + )

P4 A + = B + A = B

A + = B + (A + ) - = (B + ) -

A + ( - ) = B + ( - ) A + = B + A = B

P5 ( P - ) + = P

( P - ) + = [P + ( - ) ] + P + [ - + ] = P + P

Dependência Linear

Dados n vetores , , ,....., chama-se combinação linear dos n vetores

a qualquer vetor da forma: a1 + a2 + ....+ an em que a1 , a2 , a3 ,......,an são

números reais.

Observe que os números a1 , a2 , a3 ,......, an que figuram na combinação linear podem

ser nulos ou não.

O vetor nulo é combinação linear de qualquer vetor pois: = 0 + 0 + +..... +

0 , onde p é qualquer número natural, maior do que zero.

Exemplo:

Geometria Analítica Espacial 9

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No triângulo ABC, M é o ponto médio de BC. Escrever o vetor como

combinação linear de e

A

B M C

Solução:

Traçar pelo ponto M, paralelas aos lados AB e AC. Pelo teorema de Pitágoras P e

N são pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.

A

P N

B M C

Como o quadrilátero APMN é um paralelogramo, temos:

= + e = e =

portanto: = +

Condições para que um vetor possa ser dado como combinação linear de outros

vetores.

Proposição 1 (para dois vetores)

Dados um vetor , não nulo, e um vetor , tais que // , então existe um único

número real m tal que = m

a) Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0.

b) Se o vetor também também não for nulo, teremos:

Geometria Analítica Espacial 10

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= m = m m = , sendo m 0 se e têm mesmo

sentido e m 0 se e têm sentidos contrários.

“Dois vetores são paralelos se e somente se um deles é igual ao outro multiplicado

por um número real” .

exemplo: Sejam dados os vetores e , paralelos e de sentidos contrários tais que

= 4 e = 7. Escreva em função de e em função de .

Solução: Como e têm sentidos contrários, o número que multiplicando um deles

dá o outro será um número negativo.

4 = 7

= e =

Quando a combinação linear existe, dando um vetor em função do outro,

dizemos que existe uma dependência linear entre eles e, o conjunto formado por

dois vetores paralelos é linearmente dependente. ( LD ).

Um vetor não nulo forma uma base para o conjunto de todos os vetores que

possuem a mesma direção de , isto é, todos os vetores paralelos a são múltiplos

de .

Proposição 2 ( para 3 vetores )

Dados os vetores e , LI, e o vetor tais que , e sejam coplanares, então

existem e são únicos os números n e m , tais que = m + n .

a) Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0 e n = 0.

b) Se o vetor for paralelo a , basta fazer n = 0 e achar m conveniente.

c) Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e achar n conveniente.

d) Se o vetor não for nulo e não for paralelo a nenhum dos dois vetores,

tomemos os três vetores aplicados em um mesmo ponto A e seja =

B P

Geometria Analítica Espacial 11

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A C

Traçando-se por P paralelas a e a forma-se o quadrilátero ABPC

paralelogramo = +

Como // , existe um número real m tal que = m e como // ,

Existe um número real n tal que = n e, portanto: = m + n .

Pela definição da operação adição de dois vetores pode-se afirmar que “ = m +

n então , e são coplanares” pois , m e n possuem representantes que

são lados de um triângulo, sendo portanto coplanares e, conseqüentemente , e

também são coplanares.

“Três vetores são coplanares se e somente se um deles é igual a uma combinação

linear dos outros dois”.

Exemplo:

Dados os vetores , e , como na figura, e sendo = 2 , = 3 e = 6,

Obter como combinação linear de e .

= 600 C P

A B

Por P traça-se // a e a . Assim, ABPC é um paralelogramo sendo que o triângulo

ABP é eqüilátero.

= 3 e = 2 , logo:

= +

= 3 + 2

Geometria Analítica Espacial 12

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Dados três vetores coplanares, sendo dois deles LI, o outro poderá ser expresso

como combinação linear dos dois primeiros.

Como essa combinação linear sempre existe, dando um vetor em função dos outros

dois pode-se dizer que existe uma dependência linear entre eles ou seja, o conjunto

formado por três vetores coplanares é LD.

O conjunto formado por três vetores não coplanares é LI.

Dois vetores LI formam uma base para o conjunto de todos os vetores coplanares

com eles isto é, todo vetor , coplanar com e , LI , pode ser sempre escrito como

combinação linear de e .

Proposição 3 ( para 4 vetores )

Dados , e , LI , e o vetor qualquer, então existem e são únicos os números

reais m , n e p tais que = m + n + p

a) Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0 , n = 0 e p = 0.

b) Se o vetor for paralelo a , basta fazer n = 0 e p = 0 e encontrar o m

conveniente.

c) Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e p = 0 e encontrar o n

conveniente.

d) Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e n = 0 e encontrar o p

conveniente.

e) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas

for coplanar a e , basta fazer p = 0 e encontrar m e n convenientes.

f) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas

for coplanar a e , basta fazer m = 0 e encontrar n e p convenientes.

g) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas

for coplanar a e , basta fazer n = 0 e encontrar m e p convenientes.

Geometria Analítica Espacial 13

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h) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, nem

coplanar com dois deles, tomemos os quatro vetores aplicados em um mesmo

ponto A .

Seja = . Traçando por P paralelas a , a e a obtemos, assim, um

paralelogramo.

Portanto: = + +

Como // existe um número real m tal que = m ; // existe um

número real n tal que = n ; // existe um número real p tal que = p

= m + n + p

E

P

A D

B C

“ Dados quatro vetores no espaço, sempre um deles é combinação linear dos outros

três” – Os vetores são LD.

Exemplo:

Dados os vetores , e , ortogonais dois a dois; sendo = 1; = 2; = 3;

= 6 e sabendo que forma ângulos iguais com , e , obter como

combinação linear de , e .

Solução:

E

P

A D

Geometria Analítica Espacial 14

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B C

Tracemos por P, paralelas a , e .

Obtemos, assim, um cubo de aresta 6 logo:

= 6 = 3 = 2 portanto = 6 + 3 + 2

Base

Chama-se base de V3 a qualquer trinca ordenada de vetores LI. Assim, se ( , ,

) é uma base de V3 então qualquer vetor de V3 é gerado por , , , ou seja,

existem números reais m, n e p tais que = m + n + p . Como esses números são

únicos, associamos a cada vetor de V3 uma única trinca de números reais ( m, n, p).

Esses números são chamados de coordenadas de vetor em relação à base ( , , ) ;

os vetores m , n e p são componentes do vetor .

Exemplos:

Fixada uma base E = ( , , )

1) Verificar se são LI ou LD os vetores:

a) = (1, 2, 3) e = ( 2, 1, 1)

eles não são proporcionais ( , ) é LI

b) = (1, 7, 1) e = ( , , )

= = são proporcionais - fator de proporcionalidade: 2

= 2 ( , ) é LD

2) Verificar se são LI ou LD os vetores:

= (1, -1, 2) = ( 0, 1, 3) = ( 4, -3, 11)

1 -1 2

0 1 3 = 0

4 -3 11Geometria Analítica Espacial 15

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resulta que ( , , ) é LI

3) Sejam: = 2 -

= - + 2

= + 2

Mostre que ( , , ) é LI e portanto base de V3

Resolução:

Tem-se: = (2 , - 1 , 0 )

= (1, - 1, 2 )

= ( 1, 0, 2 ) 2 -1 0

1 -1 2 = -4 0 logo ( , , ) é LI

1 0 2

4) Calcule as coordenadas do vetor = ( 1, 1, 1 )E na base F do exercício anterior.

Resolução:

Sabemos que: = 2 -

= - + 2

= + 2

Resolvendo as equações acima com relação a , , temos:

= - = -

Geometria Analítica Espacial 16

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= 2 - = 2 - ( - ) + - = 2

= - +

= + 2 - = 2 - ( - + ) =

= - +

= - +

= - + +

como = ( 1, 1, 1 )E , temos = + + e, portanto:

= - +

donde

= ( , - , ) isto é, as coordenadas de na base F são: , - ,

BASE

Chama-se base V3 a qualquer tripla ordenada E = ( , , ) LI de vetores de V3.

Se ( , , ) é uma base de V3, todo vetor de V3 é gerado por , e , isto

é, para todo V3, existem escalares , , , tais que

= + + .

Geometria Analítica Espacial 17

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Essa tripla ( , , ) de escalares é única.

Escolhida uma base E de V3 fica associada univocamente a cada vetor uma tripla

ordenada de escalares ( , , ). Essa tripla é denominada tripla de coordenadas

do vetor em relação à base E. Observe que é importante a ordem dos escalares ,

, ; trata-se de uma tripla ordenada = + + . A notação

utilizada para indicar que , , são coordenadas (nessa ordem) do vetor em

relação à base E é

= ( , , )E ou = ( , , )

É conveniente que as operações entre vetores sejam feitas diretamente com

coordenadas, evitando perda de tempo.

a) Adição: Se = ( , , ) e = ( , , ) então

+ = ( + , + , + )

De fato:

= ( , , ) = + +

= ( , , ) = + +

Logo:

+ = ( + ) + ( + ) +( + )

ou seja:

+ = ( + , + , + )

Para o procedimento acima é essencial que e estejam referidos a uma mesma

base.

Geometria Analítica Espacial 18

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b) Multiplicação por escalar: Se = ( , , ) e é um escalar, então

= ( , , )

De fato:

= ( , , ) = + + = ( + +

) =

= ( ) + ( ) + ( ) = ( , , )

Observação: = = ( 0, 0, 0 )

Vamos reexaminar em termos de coordenadas o conceito de dependência e

independência linear.

Proposição 1: Os vetores = ( , , ) e = ( , , ) são LD se e

somente se , , , são proporcionais a , ,

Proposição 2: = ( , , ) , = ( , , ) , = ( , , ) são LI

se e somente se

0

O conceito de ortogonalidade de vetor com setas e planos se define de modo natural,

usando os mesmos conceitos para os segmentos orientados que representam o vetor.

Definição:

= é ortogonal à reta r [ ao plano ] se existe um representante (A, B) de

tal que o segmento AB é ortogonal a r [ a ]. O vetor nulo é considerado

ortogonal a toda reta r e a todo plano .

Os vetores e são ortogonais se um deles é nulo, ou, caso contrário,

admitirem representantes perpendiculares.

Para ortogonalidade usaremos o símbolo .Geometria Analítica Espacial 19

Page 20: Geometria Analítica Espacial - Apostila

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Proposição 3:

Os vetores e são ortogonais se e somente se + 2 = 2 + 2 .

Demonstração:

Tomando um ponto ) qualquer, se e somente se os pontos 0, 0 + , 0 + + ,

são vértices de um triângulo retângulo.

0 + +

+

0 0 +

Definição: Uma base E = ( , , ) é ortonormal se , , são unitários

( = = = 1) e dois a dois ortogonais.

0

Proposição 4: Se E = ( , , ) é base ortonormal, e = x + y + z

então = x2 + y2 + z2

Ângulo entre vetores – Produto Escalar

Seja os vetores não nulos e . Tomemos um ponto 0 E3 e, sejam P, Q

E3 tais que = , = . Seja a medida em radianos (graus) do ângulo POQ

satisfazendo 0 [ 0 1800 ]

Geometria Analítica Espacial 20

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P P’

0 Q 0 Q’

Se tivéssemos tomado outro ponto 0’ E3 em lugar de 0, e P’, Q’ com = ,

= obteríamos que a medida em radianos [graus] de P’Ô’Q’, ainda seria (como

na figura)

Definição 1

O número se chama medida em radianos [graus] do ângulo e .

Para encontrar uma expressão que forneça em termos de e fixa-se uma base

ortonormal ( , , ) e sejam = ( , , ) e = ( , , )

Observação:

1) Uma base no espaço é ortonormal se os vetores forem unitários e dois a dois

forem ortogonais.

2) Sendo a base ortonormal a norma de qualquer vetor pode ser calculada

= ( a, b, c ) = a2 + b2 + c2

Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo POQ resulta:

P

2 = 2 + 2 – 2 + cos ( 1 )

0 Q

2 = - 2 = 2 + 2 = - , - , - 2 =

= ( - )2 +( - )2 +( - )2 = + + + + + - 2( + +

)

Substituindo em ( 1 ), resulta

Geometria Analítica Espacial 21

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cos = + + ( 2 )

expressão esta que nos permite calcular cos , pois = + + e

= + +

A expressão ( 2 ) nos mostra que + + não depende da base

ortonormal fixada, pois o primeiro membro não depende.

Se ou são nulos, a expressão do 2º membro é nula.

Definição 2:

Chama-se produto escalar dos vetores e ao número dado por:

0 se = ou =

cos se ou

sendo a medida do ângulo entre e .

Desde que as coordenadas usadas se referirem a uma base ortonormal podemos

escrever: = + +

Da definição, resulta que se ou então:

cos =

Observe que decorre da própria definição que: =

pois = + + = + + = 2

proposição 1

Quaisquer que sejam , , de V3 e qualquer que seja real, tem-se:

1) ( + ) = +

2) ( ) = ( ) = ( )

3) =

Geometria Analítica Espacial 22

Page 23: Geometria Analítica Espacial - Apostila

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4) 0 ; = 0 =

proposição 2

= 0

Demonstração

Se ou é nulo, é imediato.

Se = 0 cos = 0 = ( lembre-se que 0 )

Observação:

“ uma condição necessária e suficiente para que uma tripla ( , , ) de vetores

de V3 seja uma base ortonormal é que

= = = 1

e

= = = 0

resumindo: = 1, se i = j

0, se i j

Atenção:

Evite o erro seguinte: sendo = , cancelar e concluir que = .

ISTO É FALSO

= - = 0 ( - ) = 0 ( - )

Exemplos:

É fixada uma base ortonormal

1) Ache a medida em radianos do ângulo entre os vetores = (2, 0,-3) e = (1,

1, 1).

Resolução:

= (2, 0, -3) (1, 1, 1) = 2 . 1 + 0 . 1 + (-3) . 1 = -1

Geometria Analítica Espacial 23

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= = 22 + 02 + (-3)2 =

= = 12 + 12 + 12 =

cos = = - 1 = - 1

= ARC COS ( )

2) Ache a medida em graus do ângulo entre os vetores = (1, 10, 200) e

= ( -10, 1, 0)

Resolução:

= (1, 10, 200) ( -10, 1, 0) = 1 . (-10) + 10 . 1 + 200 . 0 = 0

Logo: , e = 900 (em graus)

3) Demonstre a desigualdade de Schwarz:

Resolução:

Se ou é nulo, é imediato, pois ambos os membros se anulam.

Se e , então a desigualdade de Schwarz resulta imediatamente de cos

= e │ cos │≤ 1

Observe que a igualdade vale se e somente se um dos dois vetores é nulo ou, caso

contrário, se │ cos │≤ 1

4) O ângulo entre e mede 1200 . Sendo = 4, = 3, = + e =

- 2 , o ângulo entre e é agudo, reto ou obtuso?

Solução:

Geometria Analítica Espacial 24

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X = ( + ) X ( - 2 ) = X - 2 X + X - 2 ( X )

X = 2 – 2 2 - X

Mas, X = cos 1200 = 4 . 3 . = -6 Assim,

X = 16 – 2 . 9 – ( -6) = 4.

Como o produto escalar entre e é positivo, concluímos que o ângulo entre e

é agudo.

5) Qual o valor de m para que os vetores sejam ortogonais?

a) = (m, 2, 3) e = ( 2, -1, 2)

b) = ( m, 3, 4 ) e = ( m, -2, 3 )

Solução:

a) X = ( m, 2, 3 ) X ( 2, -1, 2 ) = 2m –2 + 6 = 0 m = -2

b) X = ( m, 3, 4 ) X ( m, -2, 3 ) = m2 –6 + 12 = m2 + 6 = 0

não existe m real, ou seja, os vetores nunca são ortogonais, para um mesmo

valor de m real.

6) Calcular o ângulo entre os vetores:

a) = (1, 2, 2 ) e = ( 1, -4, 8 )

b) = ( 4, -1, 3 ) e = ( 1, 1, -1 )

Solução:

a) cos = = arc cos 710

b) cos = (4, -1, 3) X (1, 1, -1 ) = 0 = zero = 900

. . isto é, e são ortogonais.

Ângulos diretores

Geometria Analítica Espacial 25

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Os ângulos que um vetor forma com os eixos coordenados são chamados de

ANGULOS DIRETORES. Eles são assim chamados porque fornecem a direção do

vetor (e também o sentido)

Como os eixos coordenados possuem a mesma direção e sentido dos vetores ,

e .

Assim, temos: z

= (a, b, c) = a + b + c

então:

cos = X (1, 0, 0) cos = 0 y

cos = X (0, 1, 0) cos = x

cos = X (0, 0, 1) cos =

Os co-senos dos ângulos diretores , e são chamados de COSSENOS

DIRETORES.

PROPRIEDADES:

a) Seja o vetor = ( a, b, c ). Designando o versor de por , vem:

= = ( , , ) ou

= ( cos , cos , cos )

Portanto, as componentes do versor de um vetor são os cossenos diretores deste

vetor.

b) Como o versor de é um vetor unitário, o módulo de um versor é igual a 1,

assim temos:

cos , cos , cos = 1

mas, cos , cos , cos = cos2 + cos2 + cos2

logo:

cos2 + cos2 + cos2 = 1 cos2 + cos2 + cos2 = 1Geometria Analítica Espacial 26

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Exemplos:

1) Achar os ângulos diretores do vetor = -2 + 2 = (1, -2, 2)

Solução: cos = = arc cos 710

cos = = arc cos 1320

cos = = arc cos 480

2) Os ângulos diretores de um vetor são , 450 e 600. Determinar .

Solução:

Substituindo na igualdade: cos2 + cos2 + cos2 = 1

por 450 e por 600, temos:

cos2 + cos2 450 + cos2 600 = 1

cos2 + 2 + 2 = 1

cos2 = 1 - - cos2 = cos = cos =

logo: = 600 ou = 1200

Vetor – componente

Um problema de muita aplicação na Física Geral é o de achar o vetor-componente

ou vetor-projeção de um vetor dado em uma direção dada, ou ainda, a decomposição

de um vetor em dois vetores. Veja a figura a seguir:

- -

=

O vetor é chamado de vetor-componente ou vetor-projeção de na direção de

, não nulo.

Para encontrarmos o vetor , conhecidos e , basta observarmos que:

Geometria Analítica Espacial 27

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( i ) // e ( ii ) -

De ( i ) , vem; existe m tal que = m

De ( ii ) , vem:

( - ) X = 0 ( - m ) X = 0 X - m ( X ) = 0

X = m ( X ) m = X = X . Temos assim o vetor

X 2

isto é, = X .

X

= ( X ) .

Exemplo: Decompor o vetor = ( 6, -3, 9 ) em dois vetores e , sendo paralelo a e ortogonal a , onde = ( 1, 2, 2).

Solução: Veja a figura Decompor um vetor é encontrar vetores que somados dão, como resultante o vetor Neste caso, = + sendo o vetor-componente de na direção de e o vetor

o vetor-diferença entre e , isto é: = - . Assim, temos:

= [ ( 6, -3, 9 ) X ] .

= 6 . = (2, 4, 4) = 2 +4 + 4

= - = (6, -3, 9) – (2, 4, 4) = (4, -7, 5) = 4 -7 + 5

Observações:( i ) Os vetores e , do exemplo acima, são as componentes ortogonais do vetor , tendo a direção de ( ii ) O módulo do vetor-componente ou vetor-projeção será dado por

= X que é o módulo da expressão que está dentro

dos colchetes, na segunda indicação da fórmula do vetor-componente .

Geometria Analítica Espacial 28

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Projeção de um Vetor Sejam os vetores e , com 0 e 0, e o ângulo por eles formado. Deve-se calcular o vetor que representa a projeção de sobre .Observe a figura:

Como e têm a mesma direção, segue-se que: = k , k

Então: = k ou

k= = k = logo: =

Portanto, o vetor projeção de sobre ( proj. = ) é:

proj. = X

ou proj. =

Exemplos:1) Determinar o vetor projeção de = ( 2,3,4 ) sobre = ( 1, -1, 0 )

Solução:

Utilizando a fórmula proj. = obtem –se:

proj. = (1, -1, 0) = (1, -1, 0)

proj. = ( 1, -1, 0 ) = - ( 1, -1, 0 ) = ( - , , 0 )

2) Dada a base ortonormal B = ( , , ), sejam = 2 -2 + e = 3 - 6a) Obtenha a projeção ortogonal de sobre b) Determine e tais que = + , sendo paralelo e ortogonal a

Solução:a) Em relação a B, = ( 2, -2, 1 ) e = ( 3, -6, 0 ).

Logo, 2 = 22 + (-2)2 + 12 = 9 e X = 3 . 2 + ( -6) (-2) + 0 . 1 = 18

Geometria Analítica Espacial 29

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Logo, proj. = = ( 2, -2, 1 ) = ( 4, -4, 2 )

b) O vetor é a projeção ortogonal calculada em ( a ), e é a diferença - . Portanto = - = ( 3, -6, 0 ) – ( 4, -4, 2) = ( -1, -2, -2 )

PRODUTO VETORIAL

Definição:

Dados os vetores = a + b + c e = d + e + f , definimos produto vetorial dos vetores e como sendo o vetor dado pelo determinante formal:

^ = a b c = b c . - a c . + a b .

d e f e f d f d e onde, o 2º lado da igualdade corresponde à expansão do determinante, pela regra de Laplace, através da primeira linha.

Exemplo: a) ( 1, 3, 5 ) ^ ( 1, 1, 1 ) = 1 3 5 = -2 + 4 -2 1 1 1

b) ( 1, 1, 1 ) ^ ( 1, 3, 5 ) = 1 1 1 = 2 - 4 + 2 1 3 5

c) ( 0, 0, 0 ) ^ ( 2, 1, 7 ) = 0 0 0 = 0 + 0 + 0 = 2 1 7

d) ( 2, 4, 6 ) ^ ( 3, 6, 9 ) = 2 4 6 = 0 + 0 + 0 = 3 6 9

Propriedades:

P1. X = ( o determinante possui duas linhas iguais)

Geometria Analítica Espacial 30

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P2. ^ = - ^ , V3 Anti-comutativa

P3. ^ ( + ) = ^ + ^ , , V3 Distributiva

P4. m . ( ^ ) = ( m ) ^ = ^ ( m ) , V3 e m

Associativa com um número real

P5. a) Se = ou = ^ = ;

b) Se ou , ^ = //

P6. Se e são LI, isto é, ^ então ( ^ ) é ortogonal a e a ,

ao mesmo tempo.

P7. ^ 2 = 2 . 2 – ( X ) Identidade de Lagrange

P8. ^ = . . sen , V3 com , e

o ângulo entre e

P9. Se e são L I é habitual afirmar-se que os vetores , e ^

possuem orientação positiva ou dextrógira (regra da mão direita).

Observação:

1) Se dois vetores são LD, isto é, paralelos ou pelo menos um deles nulo,

então o produto vetorial deles será o vetor nulo;

2) Se dois vetores, e são LI, isto é, o ângulo entre suas direções não é zero,

então o produto vetorial deles será um vetor não nulo, tal que:

Direção: a direção de ^ será perpendicular a um plano que contenha

representantes de e ;

Módulo: o módulo de ^ será numericamente igual ao produto dos módulos de

e de multiplicado pelo seno do ângulo entre e ;

Sentido: Supondo que o plano, que contém representantes de e , seja horizontal e

que o ângulo entre eles seja percorrido no sentido anti-horário, quando

vamos de para , nessas condições, o sentido de ^ será para cima.

Geometria Analítica Espacial 31

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Vetor ortogonal a dois vetores LI

Dados dois vetores paralelos ou pelo menos um deles nulo então o produto vetorial

será o vetor nulo.

Dados dois vetores LI o produto vetorial deles será um vetor não nulo ortogonal

aos dois vetores operados.

Esta é a principal aplicação física ou geométrica do produto vetorial.

Exemplo:

Sejam dados os vetores = ( 2, -2, 1 ) e = ( 2, 0, -1 ). Ache o conjunto dos vetores

ortogonais a e a , ao mesmo tempo. Encontre um vetor unitário pertencente a

esse conjunto.

Solução:

Como o vetor ^ tem direção perpendicular a e a , então todos vetores que

forem ortogonais a e a serão paralelos a ^ . Assim, o conjunto será formado

pelos vetores m ( ^ ).

^ = 2 -2 1 = ( 2, 4, 4 )

2 0 -1

Assim, temos o conjunto: { m . ( 2, 4, 4 ), m }. Um vetor unitário pode ser o

versor do vetor ( 2, 4, 4 ), isto é, = ( , , ).

Observação importante:

Se conhecemos um vetor ortogonal a e a , então é paralelo ao vetor ^

, isto é: e // ( ^ )

Área do paralelogramo

Geometria Analítica Espacial 32

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Consideremos o paralelogramo ABCD, cujos lados AB e AC são representantes dos

vetores e , respectivamente.

A área S do paralelogramo ABCD é dada por: S = b . h, onde b é o comprimento de

AB e h é o comprimento de CH. Mas, no triângulo retângulo ACH, temos: h = c . sen

, onde c é o comprimento de AC. Assim, S = b . c . sen .

Por outro lado, o módulo de ^ é igual a . . sen , logo S é numericamente

igual ao módulo de ^ , isto é: SABCD = ^

Observação:

O módulo ou comprimento de um vetor é uma medida linear enquanto que área é

uma medida em unidades quadradas, daí, dizemos que a área do paralelogramo é

numericamente igual ao módulo do vetor produto vetorial de vetores cujos

representantes sejam os lados não paralelos desse paralelogramo. Em unidades : Se o

vetor, resultado do produto vetorial, tiver módulo 15 cm então a área do

correspondente paralelogramo será 15 cm2.

Exemplo:

Calcular a área do paralelogramo cujos vértices são A = ( 4, 1, 5), B = ( 6, 0,

5 ), C = ( 4, 2, 4 ) e D = ( 6, 1, 4 ).

Solução:

Geometria Analítica Espacial 33

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Sejam B – A = ( 2, -1, 0 ) = e C – A = ( 0, 1, -1 ) =

Assim: C D

S = ^ = 2 -1 0 = ( 1, 2, 2 )

0 1 -1

S = 3 unidades quadradas. A B

Área do triângulo

A diagonal de um paralelogramo divide-o em C D

dois triângulos iguais (simétricos em relação

a essa diagonal). Assim, a área de um triângulo

é sempre igual à metade da área do paralelogramo A B

de modo que um dos lados do triângulo seja a diagonal do paralelogramo.

Seja o triângulo ABC da figura. A área S do triângulo será dada por:

S = . ( B – A ) ^ ( C – A )

Exemplo:

Calcular a área do triângulo ABC, onde A = ( 2, 0, 3 ), B = ( 8, 8, -3 ) e C = ( 2,

2, 2 )

Solução:

É preciso encontrar os vetores cujos representantes C

são os lados do triângulo ABC.

B – A = ( 6, 8, -6 ) e C – A = ( 0, 2, -1 )

A área do triângulo será: A B

S = . ( B – A ) ^ ( C – A )= 6 8 -6 = . ( 4, 6, 12 )= . 14

0 2 -1

S = 7 unidades quadradas.

Observação:

Geometria Analítica Espacial 34

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O cálculo da área do triângulo não depende dos lados escolhidos. Assim, no exemplo

acima, poderíamos ter escolhido os lados AB e BC ou, então, os lados AC e BC.

Produto Misto

Dados os vetores = x1 + y1 + z1 , = x2 + y2 + z2 e = x3 + y3 + z3 , tomados nessa ordem, chama-se produto misto dos vetores ,

e ao número real . ( X ). Indica-se o produto misto por ( , , ). Tendo em vista que:

X = x2 y2 z2 = y2 z2 - x2 z2 + x2 y2

x3 y3 z3 y3 z3 x3 z3 x3 y3

e levando em consideração a definição de produto escalar de dois vetores, o valor de . ( X ) é dado por:

( , , ) = x1 y2 z2 - y1 x2 z2 + z1 x2 y2

y3 z3 x3 z3 x3 y3

ou

x1 y1 z1

( , , ) = x2 y2 z2

x3 y3 z3

Exemplo:Calcular o produto misto dos vetores = 2 + 3 + 5 , = - + 3 + 3 e = -4 -3 + 2 .

2 3 5 ( , , ) = -1 3 3 = 27 -4 -3 2

Observação:

Produto escalar de dois vetores é número real.

Produto vetorial de dois vetores é vetor.

Propriedades do Produto Misto/

1) ( , , ) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três

são coplanares.

Geometria Analítica Espacial 35

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2) O produto misto independe da ordem circular dos vetores, isto é:

( , , ) = ( , , ) = ( , , )

Entretanto, o produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois

vetores consecutivos, isto é:

( , , ) = - ( , , )

Esta propriedade do produto misto é uma conseqüência da propriedade dos

determinantes relativamente à circulação de linhas e à troca de duas colunas.

Observação:

Resulta desta propriedade, denominada propriedade cíclica, que os sinais . e X

permutam entre si no produto misto de três vetores:

. ( X ) = ( X ) .

3) ( , , + ) = ( , , ) + ( , , ) =

4) ( , , m ) = ( , m , ) = ( m , , ) = m ( , , )

Observação:

O produto vetorial e o produto misto não são definidos no 2

Exemplos:

1) Verificar se são coplanares os seguintes vetores:

= ( 3, -1, 4 ) , = ( 1, 0 –1 ) , = ( 2, -1, 0 )

Solução:

Os três vetores são coplanares se: ( , , ) = 0

3 -1 4

mas, ( , , ) = 1 0 -1 = -5 0

2 -1 0

Logo, os vetores não são coplanares.

2) Qual deve ser o valor de m para que os vetores = ( m, 2, -1 ) , = ( 1, -

1, 3 ) , = ( 0, -2, 4 ) sejam coplanares?

Geometria Analítica Espacial 36

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Solução:

Para que , e sejam coplanares, deve-se ter: ( , , ) = 0

Isto é: m 2 -1

1 -1 3 = 0

0 -2 4

ou: -4m + 6m –8 + 2 = 0 2m –6 = 0 2m = 6 m = 3

3) Verificar se os pontos A ( 1, 2, 4 ), B ( -1, 0, -2 ), C ( 0, 2, 2 ) e D ( -2, 1, -

3 ) estão no mesmo plano.

Solução:

Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores , e ,

e, para tanto, deve-se ter: ( , , ) = 0

e,

-2 -2 -6

( , , ) = -1 0 -2 = 0

-3 -1 -7

Logo, os pontos dados são coplanares.

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto

Geometria Analítica Espacial 37

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Geometricamente, o produto misto . ( X ) é igual, em módulo, ao volume

do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores = , = e =

.

Sabe-se que o volume V de um paralelepípedo é V = (área da base X altura)

ou: V = Ab X h mas, X e sendo o ângulo entre os vetores e X

, lembrando que o vetor X é perpendicular à base, a altura do paralelepípedo é

dada por: h = cos

( É necessário considerar o valor absoluto cos , pois pode ser um ângulo obtuso)

Logo, o volume do paralelepípedo é: V = X cos

Fazendo X = , vem: V = cos ( 1 )

Mas, . = cos

E, em conseqüência: . = cos ( 2 )

Comparando ( 1 ) e ( 2 ), temos:

Geometria Analítica Espacial 38

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V = .

Logo: V = . ( X ) = ( , , )

Volume do tetraedro

Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais. Como todo

prisma triangular equivale a três pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e

altura equivalentes à base e à altura do prisma, o volume de cada uma destas

pirâmides é do volume do paralelepípedo.

Sendo A, B, C e D quatro pontos do espaço, não situados num mesmo plano, e três

a três não colineares, as arestas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores

, , e, portanto, o volume do tetraedro ABCD é V = ( , , )

Exemplos:

1) Dados os vetores = ( x, 5, 0 ) , = ( 3, -2, 1 ) e = ( 1, 1, -1 ), calcular o valor

de x para que o volume do paralelepípedo determinado por , e seja 24 u.v.

(unidades de volume).

Solução:

Geometria Analítica Espacial 39

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O volume do paralelepípedo é dado por: V = ( , , ) e, no caso presente, deve-

se ter: ( , , )= 24 mas,

x 5 0

( , , ) = 3 -2 1 = x + 20

1 1 -1

logo: x + 20 = 24

pela definição de módulo, implica duas hipóteses:

x + 20 = 24 ou -x –20 = 24

portanto: x = 4 ou x = - 44

2) Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: A ( 1, 2, 1 ), B ( 7, 4,

3 ), C ( 4, 6, 2 ) e D ( 3, 3, 3 )

Solução:

O volume do tetraedro é dado por: V = ( , , )

mas: = ( 6, 2, 2), = ( 3, 4, 1 ) , = ( 2, 1, 2 )

e: 6 2 2

( , , ) = 3 4 1 = 24

2 1 2

Portanto, o volume do tetraedro é: V = . 24 = 4 u. v.

Duplo Produto Vetorial

Dados os vetores = x1 + y1 + z1 , = x2 + y2 + z2 e

= x3 + y3 + z3 , chama-se duplo produto vetorial dos vetores , e

ao vetor X ( X ).

Observação:

Tendo em vista que o produto vetorial não é associativo, em geral

X ( X ) ( X ) X

Decomposição do duplo Produto Vetorial

Geometria Analítica Espacial 40

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O duplo produto vetorial pode ser decomposto na diferença de dois vetores com

coeficientes escalares: X ( X ) = ( . ) - ( . )

Com efeito, o vetor X ( X ) é coplanar com e , isto é:

X ( X ) = m + n ( 1 )

Para determinar m e n, escolhe-se a base ortonormal { , , } com paralelelo a ,

coplanar com e , e paralelo a X

De acordo com a figura, pode-se escrever:

=

= + ( 2 ) = + + Por outro lado:

X = a 0 0 = ac b c 0e

X ( X ) = x y z = acy - acx 0 0 ac

ou:

Geometria Analítica Espacial 41

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X ( X ) = acy - acx + abx - abx

X ( X ) = ( bx + cy ) - ax ( + )

tendo em vista as igualdades em ( 2 ):

X ( X ) = ( bx + cy ) - ax ( 3 )

comparando as igualdades ( 1 ) e ( 3 ), temos:

m = bx + cy n = - ax

mas, de acordo com a definição de produto escalar e tendo em vista as igualdades

( 2 ), temos:

bx + cy = . e ax = .

logo:

m = . e n = - .

substituindo m e n em ( 1 ), temos:

X ( X ) = ( . ) - ( . )

Esta forma pode ser escrita sob a forma de determinante:

X ( X ) =

. .

exemplo:

Se = 3 - 2 - 6 , = 2 - e = + 3 + 4 , temos:

. = 3 x 2 – 2 x ( - 1) – 6 x 0 = 8

. = 3 x 1 – 2 x 3 – 6 x 4 = - 27

logo:

X ( X ) = =

. . 8 - 21

X ( X ) = - 21 - 8 = - 21 (2 - ) – 8 ( + 3 + 4 )

X ( X ) = - 42 + 21 - 8 - 24 - 32 = - 50 - 3 - 32

por outro lado;

Geometria Analítica Espacial 42

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. = 1 x 3 – 3 x 2 – 4 x 6 = - 27

. = 1 x 2 – 3 x 1 + 4 x 0 = - 1

logo:

X ( X ) = =

. . -27 -1

X ( X ) = -1 + 27 = - (3 - 2 - 6 ) + 27 (2 - )

X ( X ) = -3 + 2 + 6 + 54 - 27 = 51 - 25 + 6

comparando

X ( X ) e X ( X ) , verifica-se que :

X ( X ) X ( X )

Geometria Analítica Espacial 43