tema iii geometria analΓtica
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Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
Tema III β Geometria analΓtica
Unidade 1 β Geometria analΓtica no plano
PΓ‘ginas 154 a 181
1.
a) π΄(1,β2) π΅(β3, 1)
π(π΄, π΅) = β(β3 β 1)2 + (1 β (β2))2= β(β4)2 + 32 = β16 + 9 = β25 = 5
b) πΆ (3
2, β3) π(0, 0)
π(πΆ, π) = β(0 β3
2)2
+ (0 β (β3))2= β(β
3
2)2
+ 32 = β9
4+ 9 = β
45
4= 3β5
2
c) π·(2016, 5) πΈ(2016, 4)
π(π·, πΈ) = β(2016 β 2016)2 + (4 β 5)2 = β02 + (β1)2 = β0 + 1 = β1 = 1
d) πΉ(0, β2) πΊ(1, β2 β 3)
π(πΉ, πΊ) = β(1 β 0)2 + (β2 β 3 β β2)2= β12 + (β3)2 = β1 + 9 = β10
e) π» (β5, 3) πΌ(ββ3, 0)
π(π», πΌ) = β(β5 β (ββ3))2
+ (3 β 0)2 = β(β5 + β3)2+ 9 = β(β5)
2+ 2β5 Γ β3 + (β3)
2+ 9
= β5 + 2β15 + 3 + 9 = β17 + 2β15
f) π½(π, π) πΎ(π, π)
π(π½, πΎ) = β(π β π)2 + (π β π)2 = β2(π β π)2 = |π β π|β2
2. π΄(5, 3) π΅(3, 0) πΆ(β1,β2) π·(1, 1)
π΄π΅Μ Μ Μ Μ = β(3 β 5)2 + (0 β 3)2 = β(β2)2 + (β3)2 = β4 + 9 = β13
π΅πΆΜ Μ Μ Μ = β(β2 β 0)2 + (β1 β 3)2 = β(β2)2 + (β4)2 = β4 + 16 = β20 = 2β5
πΆπ·Μ Μ Μ Μ = β(1 β (β2))2+ (1 β (β1))
2= β32 + 22 = β9 + 4 = β13
π·π΄Μ Μ Μ Μ = β(5 β 1)2 + (3 β 1)2 = β42 + 22 = β16 + 4 = β20 = 2β5
Assim, π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ e π΅πΆΜ Μ Μ Μ = π·π΄Μ Μ Μ Μ e, portanto, os pontos π΄, π΅, πΆ e π· sΓ£o vΓ©rtices de um
paralelogramo.
3. π΄πΜ Μ Μ Μ Μ = |π+π
2β π| = |
π+πβ2π
2| = |
πβπ
2| =
|πβπ|
2
ππ΅Μ Μ Μ Μ Μ = |π βπ+π
2| = |
2πβπβπ
2| = |
πβπ
2| =
|πβπ|
2
Logo, π΄πΜ Μ Μ Μ Μ = ππ΅Μ Μ Μ Μ Μ , como querΓamos demonstrar.
4.
a) π΄(2, 7) π΅(6, 11)
As coordenadas do ponto mΓ©dio de [π΄π΅] sΓ£o: (2+6
2,7+11
2) = (
8
2,18
2) = (4,9)
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b) π΄(1, β5) π΅(β2, 3β5)
As coordenadas do ponto mΓ©dio de [π΄π΅] sΓ£o: (1+(β2)
2,β5+3β5
2) = (β
1
2,4β5
2) = (β
1
2, 2β5)
c) π΄(π + 2, 3π β 1) π΅(5π + 4, π β 3)
As coordenadas do ponto mΓ©dio de [π΄π΅] sΓ£o:
(π+2+5π+4
2,3πβ1+πβ3
2) = (
6π+6
2,4πβ4
2) = (3π + 3, 2π β 2)
5. π΄(β3, 4) π΅(1, 5)
O centro da circunferΓͺncia Γ© o ponto mΓ©dio de [π΄π΅]: (β3+1
2,4+5
2) = (β
2
2,9
2) = (β1,
9
2)
6. π(2, 4)
a) π¦ = π₯
Substituindo π¦ por 4 e π₯ por 2 obtΓ©m-se 4 = 2, que Γ© uma proposição falsa. Logo, P nΓ£o
pertence ao conjunto dos pontos definido por π¦ = π₯.
b) π¦ = 4
Substituindo π¦ por 4 obtΓ©m-se 4 = 4, que Γ© uma proposição verdadeira. Logo, P pertence ao
conjunto dos pontos definido por π¦ = 4.
c) π₯ = 0
Substituindo π₯ por 0 obtΓ©m-se 2 = 0, que Γ© uma proposição falsa. Logo, P nΓ£o pertence ao
conjunto dos pontos definido por π₯ = 0.
d) π¦ = π₯2
Substituindo π¦ por 4 e π₯ por 2 obtΓ©m-se 4 = 22, que Γ© uma proposição verdadeira. Logo, P
pertence ao conjunto dos pontos definido por π¦ = π₯2.
7. π(β3,β1)
a) π¦ β€ 0
Substituindo π¦ por β1 obtΓ©m-se β1 β€ 0, que Γ© uma proposição verdadeira. Logo, P pertence
ao conjunto dos pontos definido por π¦ β€ 0.
b) π₯ > β3
Substituindo π₯ por β3 obtΓ©m-se β3 > β3, que Γ© uma proposição falsa. Logo, P nΓ£o pertence
ao conjunto dos pontos definido por π₯ > β3.
c) π₯ β₯ β3
Substituindo π₯ por β3 obtΓ©m-se β3 β₯ β3, que Γ© uma proposição verdadeira. Logo, P
pertence ao conjunto dos pontos definido por π₯ β₯ β3.
d) π₯ > π¦
Substituindo π₯ por β3 e π¦ por β1 obtΓ©m-se β3 > β1, que Γ© uma proposição falsa. Logo, P
nΓ£o pertence ao conjunto dos pontos definido por π₯ > π¦.
8.
a) O conjunto dos pontos do plano cuja abcissa Γ© igual a β4 Γ© uma reta vertical de equação π₯ =
β4.
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b) O conjunto dos pontos do plano cuja abcissa Γ© maior que 0 Γ© um semiplano aberto Γ direita
da reta de equação π₯ = 0; π₯ > 0.
c) O conjunto dos pontos do plano cuja abcissa Γ© nΓ£o superior a 5 Γ© um semiplano fechado Γ
esquerda da reta de equação π₯ = 5; π₯ β€ 5.
9.
a) O conjunto dos pontos do plano cuja ordenada Γ© igual ao dobro da abcissa Γ© a reta de
equação π¦ = 2π₯.
b) O conjunto dos pontos do plano cuja ordenada Γ© superior ao simΓ©trico da abcissa Γ© o
semiplano aberto superior Γ reta de equação π¦ = βπ₯.
c) O conjunto dos pontos do plano cuja abcissa Γ© inferior a 3 e cuja ordenada Γ© superior ou igual
a β2 Γ© a interseção do semiplano definido pela condição π₯ < 3 com o semiplano definido pela
condição π¦ β₯ β2.
10.
a) π¦ > 2π₯
b) π¦ β€ β2
c) 2π₯ β π¦ < 4 β βπ¦ < β2π₯ + 4 β π¦ > 2π₯ β 4
π₯ π¦ = 2π₯ β 4
0 β4
1 β2
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d) 3 β π₯ β₯ 0 β βπ₯ β₯ β3 β π₯ β€ 3
e) π¦ β€ β2 β§ π₯ > 1
f) π¦ < 2π₯ β¨ π¦ < 3
g) 2π₯ β π¦ < 4 β§ π₯ > β4 β§ 2 β π¦ > 0 β βπ¦ < β2π₯ + 4 β§ π₯ > β4 β§ βπ¦ > β2
β π¦ > 2π₯ β 4 β§ π₯ > β4 β§ π¦ < 2
h) π₯π¦ < 0 β (π₯ < 0 β§ π¦ > 0) β¨ (π₯ > 0 β§ π¦ < 0)
i) π₯2 β π¦2 = 0 β (π₯ β π¦)(π₯ + π¦) = 0 β π₯ β π¦ = 0 β¨ π₯ + π¦ = 0 β π₯ = π¦ β¨ π₯ = βπ¦
j) π₯2 β 4π¦2 > 0 β (π₯ β 2π¦)(π₯ + 2π¦) > 0
β (π₯ β 2π¦ > 0 β§ π₯ + 2π¦ > 0) β¨ (π₯ β 2π¦ < 0 β§ π₯ + 2π¦ < 0)
β (β2π¦ > βπ₯ β§ 2π¦ > βπ₯) β¨ (β2π¦ < βπ₯ β§ 2π¦ < βπ₯)
β (2π¦ < π₯ β§ 2π¦ > βπ₯) β¨ (2π¦ > π₯ β§ 2π¦ < βπ₯)
β (π¦ <1
2π₯ β§ π¦ > β
1
2π₯) β¨ (π¦ >
1
2π₯ β§ π¦ < β
1
2π₯)
11.
a) ~(π₯ < 3) β π₯ β₯ 3
π₯ π¦ = 2π₯ β 4
0 β4
1 β2
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b) ~(π₯ β€ 1 β§ π¦ > 0) β π₯ > 1 β¨ π¦ β€ 0
c) βΌ (π₯ > 2 β¨ π¦ β₯ π₯) β π₯ β€ 2 β§ π¦ < π₯
d) βΌ (β4 < π₯ < 1) β βΌ (π₯ > β4 β§ π₯ < 1) β π₯ β€ β4 β¨ π₯ β₯ 1
12.
a) π₯ β€ β2 β¨ π₯ > 1
b) β1 < π¦ < 1
c) β1 β€ π₯ β€ 1 β§ β2 β€ π¦ β€ 3
d) β4 < π¦ < 4 β¨ π¦ β€ π₯
13. π΄(1,β3) π΅(β4, 2) πΆ(2, π), π β β
πΆπ΄Μ Μ Μ Μ = πΆπ΅Μ Μ Μ Μ β β(2 β 1)2 + (π β (β3))2= β(2 β (β4))
2+ (π β 2)2
β 12 + (π + 3)2 = 62 + (π β 2)2
β 1+ π2 + 6π + 9 = 36 + π2 β 4π + 4
β 10π = 30
β π = 3
14.
a) π΄(β3, 2) π΅(1, 0)
(π₯ β (β3))2+ (π¦ β 2)2 = (π₯ β 1)2 + (π¦ β 0)2 β π₯2 + 6π₯ + 9 + π¦2 β 4π¦ + 4 = π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2
β β4π¦ = β8π₯ β 12
β π¦ = 2π₯ + 3
Assim, uma equação da mediatriz de [π΄π΅] Γ© π¦ = 2π₯ + 3 .
b) π΄(1, 7) π΅(4, 7)
A e B pertencem Γ reta de equação π¦ = 7, logo a mediatriz de [AB] Γ© a reta vertical que
interseta [AB] no seu ponto mΓ©dio.
As coordenadas do ponto mΓ©dio de [AB] sΓ£o (1+4
2,7+7
2) = (
5
2, 7).
Assim, uma equação da mediatriz de [π΄π΅] Γ© π₯ = 5
2 .
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15. π(2, 0) π(β5, 1)
a) (π₯ β 2)2 + (π¦ β 0)2 = (π₯ + 5)2 + (π¦ β 1)2 β π₯2 β 4π₯ + 4 + π¦2 = π₯2 + 10π₯ + 25 + π¦2 β 2π¦ + 1
β 2π¦ = 14π₯ + 22
β π¦ = 7π₯ + 11
Assim, uma equação da mediatriz de [ππ] Γ© π¦ = 7π₯ + 11 .
b) Para que um ponto pertença à mediatriz de [PQ], a distÒncia entre esse ponto e P tem de ser
igual Γ distΓ’ncia entre esse ponto e Q.
Assim:
β(1 β 2)2 + (11 β 0)2 = β(1 + 5)2 + (11 β 1)2 β β(β1)2 + 112 = β62 + 102
β β1 + 121 = β36 + 100
β β122 = β136, que Γ© uma proposição falsa.
Logo, o ponto nΓ£o pertence Γ mediatriz de [PQ].
c) Da alΓnea a) vem que π¦ = 7π₯ + 11 Γ© uma equação da mediatriz de [PQ].
Se, por exemplo, π₯ = 0, entΓ£o π¦ = 7 0 + 11 = 11 e obtΓ©m-se o ponto de coordenadas (0, 11),
que pertence Γ mediatriz de [PQ].
Se, por exemplo, π₯ = 1, entΓ£o π¦ = 7 1 + 11 = 18 e obtΓ©m-se o ponto de coordenadas (1, 18),
que pertence Γ mediatriz de [PQ].
Se, por exemplo, π₯ = 2, entΓ£o π¦ = 7 2 + 11 = 25 e obtΓ©m-se o ponto de coordenadas (2, 25),
que pertence Γ mediatriz de [PQ].
16. A(2, 3) B(0, 5) C(β1, 4)
a)
i. π΅πΆΜ Μ Μ Μ = β(β1 β 0)2 + (4 β 5)2 = β(β1)2 + (β1)2 = β1 + 1 = β2
Assim, uma equação da circunferΓͺncia de centro A e raio π΅πΆΜ Μ Μ Μ Γ© (π₯ β 2)2 + (π¦ β 3)2 = 2.
ii. Uma circunferΓͺncia de centro B e que passe em A tem raio igual a π΅π΄Μ Μ Μ Μ .
π΅π΄Μ Μ Μ Μ = β(2 β 0)2 + (3 β 5)2 = β22 + (β2)2 = β4 + 4 = β8 = 2β2
Assim, uma equação da circunferΓͺncia de centro B e que passe em A Γ© π₯2 + (π¦ β 5)2 = 8.
iii. Se a circunferΓͺncia tem centro em C e Γ© tangente ao eixo das abcissas, entΓ£o o seu raio vai
ser a distΓ’ncia entre C e o eixo das abcissas, que Γ© 4.
Assim, uma equação da circunferΓͺncia de centro C e que Γ© tangente ao eixo das abcissas Γ©
(π₯ + 1)2 + (π¦ β 4)2 = 16.
b) P(1, 2)
Substituindo em cada uma das circunferΓͺncias da alΓnea anterior π₯ e π¦ pela abcissa e pela
ordenada de P, obtemos:
i. (1 β 2)2 + (2 β 3)2 = 2 β (β1)2 + (β1)2 = 2 β 1 + 1 = 2 β 2 = 2, que Γ© uma proposição
verdadeira. Logo, P pertence Γ circunferΓͺncia de centro A e raio π΅πΆΜ Μ Μ Μ .
ii. 12 + (2 β 5)2 = 8 β 12 + (β3)2 = 8 β 1 + 9 = 8 β 10 = 8, que Γ© uma proposição falsa.
Logo, P nΓ£o pertence Γ circunferΓͺncia de centro B e que passa em A.
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iii. (1 + 1)2 + (2 β 4)2 = 16 β 22 + (β2)2 = 16 β 4 + 4 = 16 β 8 = 16, que Γ© uma proposição
falsa. Logo, P nΓ£o pertence Γ circunferΓͺncia de centro C e que Γ© tangente ao eixo das
abcissas.
17.
a) (π₯ β 1)2 + (π¦ β 2)2 = 9
Centro (1, 2)
Raio = β9 = 3
b) (π₯ +1
3)2 +(π¦ β β3)
2= 2
Centro (β1
3, β3)
Raio = β2
c) π₯2 + π¦2 = 1
Centro (0, 0)
Raio = β1 = 1
d) π₯2 + π¦2 β 2π₯ β 4π¦ β 4 = 0 β π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2 β 4π¦ + 4 = 4 + 1 + 4
β (π₯ β 1)2 + (π¦ β 2)2 = 9
Centro (1, 2)
Raio = β9 = 3
e) 2π₯2 + 2π¦2 + 8π₯ β 12π¦ + 16 = 0 β π₯2 + π¦2 + 4π₯ β 6π¦ + 8 = 0
β π₯2 + 4π₯ + 4 + π¦2 β 6π¦ + 9 = β8 + 4 + 9
β (π₯ + 2)2 + (π¦ β 3)2 = 5
Centro (β2, 3)
Raio = β5
f) π₯2 + π¦2 + π¦ β 1
4 = 0 β π₯2 + π¦2 + π¦ +
1
4 =
1
4 +
1
4
β π₯2 + (π¦ +1
2)2
= 1
2
Centro (0,β1
2)
Raio = β1
2 =
β2
2
18.
a) (π₯ β 1)2 + (π¦ + 2)2 β€ 9 define o cΓrculo de centro C(1, β2) e raio 3.
b) Substitui-se, na equação obtida na alΓnea anterior, π₯ e π¦ pelas coordenadas respetivas de
cada ponto.
(0 β 1)2 + (3 + 2)2 β€ 9 β (β1)2 + 52 β€ 9 β 1 + 25 β€ 9 β 26 β€ 9, que Γ© uma proposição
falsa. Logo, o ponto A nΓ£o pertence ao cΓrculo definido na alΓnea anterior.
(1 β 1)2 + (1 + 2)2 β€ 9 β 02 + 32 β€ 9 β 9 β€ 9, que Γ© uma proposição verdadeira. Logo, o
ponto B pertence ao cΓrculo definido na alΓnea anterior.
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(1
2β 1)
2
+ (β2
3+ 2)
2
β€ 9 β (β1
2)2
+ (4
3)2
β€ 9 β 1
4 +
16
9 β€ 9 β
73
36 β€ 9, que Γ© uma
proposição verdadeira. Logo, o ponto D pertence ao cΓrculo definido na alΓnea anterior.
19.
a) (π₯ + 1)2 + (π¦ β 2)2 β€ 4 β¨ π¦ β₯ 2
b) π₯2 + π¦2 > 1 β§ π₯ < 0 β§ π¦ < 0
c) (π₯ β 3)2 + π¦2 < 9 β§ 1 < π₯ < 5
d) 4 β€ π₯2 + π¦2 β€ 16
e) (π₯ + 1)2 + (π¦ + 1)2 β€ 25 β§ (π₯ β 1)2 + (π¦ β 1)2 β₯ 1
20.
a) 1 < π₯2 + π¦2 < 4 β§ π¦ β€ βπ₯
b) (π₯ β 2)2 + (π¦ β 4)2 β₯ 4 β§ π¦ β€ 5
c) (π₯2 + π¦2 β€ 36 β§ π₯ β₯ 0 β§ π¦ β₯ 0) β¨ (π₯2 + π¦2 β€ 36 β§ π₯ β€ β3)
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21.
a) O conjunto dos pontos do plano que distam igualmente de π΄(β3, 5) e de π΅(1, 1) Γ© a mediatriz
de [AB]:
(π₯ + 3)2 + (π¦ β 5)2 = (π₯ β 1)2 + (π¦ β 1)2
β π₯2 + 6π₯ + 9 + π¦2 β 10π¦ + 25 = π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2 β 2π¦ + 1
β β8π¦ = β8π₯ β 32
β π¦ = π₯ + 4
b) O conjunto dos pontos do plano cuja distΓ’ncia ao ponto πΆ(2,β3) nΓ£o excede 4 unidades Γ© o
cΓrculo de centro C e raio 4: (π₯ β 2)2 + (π¦ + 3)2 β€ 16
c) Procura-se o conjunto dos pontos P(π₯, π¦) do plano tais que:
π(π, π·) = 2π(π, πΈ) β β(π₯ + 5)2 + (π¦ β 4)2 = 2β(π₯ β 1)2 + (π¦ β 4)2
β (π₯ + 5)2 + (π¦ β 4)2 = 4((π₯ β 1)2 + (π¦ β 4)2)
β π₯2 + 10π₯ + 25 + π¦2 β 8π¦ + 16 = 4(π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2 β 8π¦ + 16)
β π₯2 + 10π₯ + 25 + π¦2 β 8π¦ + 16 = 4π₯2 β 8π₯ + 4 + 4π¦2 β 32π¦ + 64
β β3π₯2 + 18π₯ β 3π¦2 + 24π¦ β 27 = 0
β π₯2 β 6π₯ + π¦2 β 8π¦ + 9 = 0
β π₯2 β 6π₯ + 9 + π¦2 β 8π¦ + 16 = 16
β (π₯ β 3)2 + (π¦ β 4)2 = 16
O conjunto dos pontos cuja medida da distΓ’ncia ao ponto D(β5, 4) Γ© o dobro da medida da
distΓ’ncia ao ponto E(1, 4) Γ© a circunferΓͺncia de centro C(3, 4) e raio 4.
22.
a) π₯2
25 +
π¦2
9 = 1
Como π2 = 25 e π2 = 9, entΓ£o π = 5 e π = 3, ou seja, 2π = 10 e 2π = 6. Por outro lado, π =
β25 β 9 = β16 = 4, pelo que 2π = 8. Assim, a equação dada define uma elipse de eixo maior
10, eixo menor 6, distΓ’ncia focal 8 e focos (4, 0) e (β4, 0).
b) π₯2
16 +
π¦2
3 = 1
Como π2 = 16 e π2 = 3, entΓ£o π = 4 e π = β3, ou seja, 2π = 8 e 2π = 2β3.
Por outro lado, π = β16 β 3 = β13, pelo que 2π = 2β13.
Assim, a equação dada define uma elipse de eixo maior 8, eixo menor 2β3, distΓ’ncia focal
2β13 e focos (β13, 0) e (ββ13, 0).
23.
a) Como os extremos do eixo maior da elipse, (β4, 0) e (4, 0), pertencem ao eixo ππ₯, entΓ£o os
focos da elipse vΓ£o pertencer ao eixo ππ₯.
Uma vez que a distΓ’ncia focal Γ© 2β7, entΓ£o c = β7.
Assim, os focos da elipse sΓ£o os pontos de coordenadas A(ββ7, 0) e B(β7, 0).
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Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
b) Da alΓnea anterior vem que c = β7.
Além disso, tendo em atenção as coordenadas dos extremos do eixo maior da elipse, tem-se
que a = 4.
Portanto, π = β42 β (β7)2= β16 β 7 = β9 = 3.
Logo, a equação reduzida da elipse Γ© π₯2
16 +
π¦2
9 = 1.
24. O conjunto dos pontos do plano cuja soma das medidas das distΓ’ncias aos pontos A(β2, 0)
e B(2, 0) Γ© igual a 7 Γ© a elipse de focos (β2, 0) e (2, 0) e eixo maior 7.
Ou seja, 2π = 7 β π = 7
2 e, portanto, π2 =
49
4.
EntΓ£o, π = β49
4β 4 = β
33
4 e, portanto, π2 =
33
4.
Assim, a equação reduzida da elipse Γ© π₯2
49
4
+ π¦2
33
4
= 1.
25.
a) π₯2 + π¦2 = 1 Γ© uma equação da circunferΓͺncia de centro (0, 0) e raio 1.
b) π₯2
9 +π¦2 = 1 Γ© uma equação da elipse de eixo maior 6 (porque π2 = 9, logo π = 3 e 2π = 6),
eixo menor 2 (porque π2 = 1, logo π = 1 e 2π = 2) e focos (2β2, 0) e (β2β2, 0) (porque π =
β9 β 1 = β8 = 2β2).
c) 6π₯2 + 9π¦2 = 18 β π₯2
3 +
π¦2
2 = 1 Γ© uma equação da elipse de eixo maior 2β3 (porque π2 = 3,
logo π = β3 e 2π = 2β3), eixo menor 2β2 (porque π2 = 2, logo π = β2 e 2π = 2β2) e focos
(1, 0) e (β1, 0) (porque π = β3 β 2 = 1).
d) 25π₯2 + 4π¦2 = 100 β π₯2
4 +
π¦2
25 = 1 Γ© uma equação da elipse de eixo maior 10 (porque π2 = 25,
logo π = 5 e 2π = 10), eixo menor 4 (porque π2 = 4, logo π = 2 e 2π = 4) e focos (0, β21) e
(0,ββ21) (porque π = β25 β 4 = β21).
e) 4π₯2 + 4π¦2 = 24 β π₯2 + π¦2 = 6 Γ© uma equação da circunferΓͺncia de centro (0, 0) e raio β6.
Aprende Fazendo
PΓ‘ginas 182 a 189
1. π΄(4, 4) π΅(β1, 5) πΆ(β2, 0)
π(π΄, π΅) = β(4 β (β1))2+ (4 β 5)2 = β52 + (β1)2 = β25 + 1 = β26
π(π΄, πΆ) = β(4 β (β2))2+ (4 β 0)2 = β62 + 42 = β36 + 16 = β52
π(π΅, πΆ) = β(β1 β (β2))2+ (5 β 0)2 = β12 + 52 = β1 + 25 = β26
Como π(π΄, π΅) = π(π΅, πΆ) β π(π΄, πΆ), entΓ£o o triΓ’ngulo [ABC] Γ© isΓ³sceles e, portanto, a
proposição (I) é verdadeira.
106
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(π(π΄, πΆ))2= (β52)
2= 52
(π(π΄, π΅))2+ (π(π΅, πΆ))
2= (β26)
2+ (β26)
2= 26 + 26 = 52
Como (π(π΄, πΆ))2= (π(π΄, π΅))
2+ (π(π΅, πΆ))
2, entΓ£o, pelo Teorema de PitΓ‘goras, o triΓ’ngulo
[ABC] é retÒngulo, ou seja, a proposição (II) é verdadeira. Pode então concluir-se que ambas
as proposiçáes são verdadeiras.
Opção (A)
2. Os pontos (β3, 3) e (3, β3) pertencem Γ reta de equação π¦ = βπ₯ . Como se trata de um
segmento de reta em que as ordenadas assumem valores entre β3 e 3, inclusive, tem-se
que β3 β€ π¦ β€ 3. Logo, o conjunto de pontos da figura pode ser definido pela condição β3 β€
π¦ β€ 3 β§ π¦ = βπ₯.
Opção (B)
3. π΄(2, 5) π΅(β2, 3)
Seja π(0, 8), entΓ£o:
π(π΄, π) = β(0 β 2)2 + (8 β 5)2 = β(β2)2 + 32 = β4 + 9 = β13
π(π΅, π) = β(0 + 2)2 + (8 β 3)2 = β22 + 52 = β4 + 25 = β29
Logo, P nΓ£o pertence Γ mediatriz de [AB] porque π(π΄, π) β π(π΅, π).
Seja π (1
2,3
2), entΓ£o:
π(π΄, π) = β(1
2β 2)
2+ (
3
2β 5)
2 = β(β
3
2)2+ (β
7
2)2 = β
9
4+49
4 = β
58
4 =
β58
2
π(π΅, π) = β(1
2+ 2)
2+ (
3
2β 3)
2 = β(
5
2)2
+ (β3
2)2
= β25
4+9
4 = β
34
4 =
β34
2
Logo, Q nΓ£o pertence Γ mediatriz de [AB] porque π(π΄, π) β π(π΅, π).
Seja π (5, 2), entΓ£o:
π(π΄, π ) = β(5 β 2)2 + (2 β 5)2 = β32 + (β3)2 = β9 + 9 = β18
π(π΅, π ) = β(5 + 2)2 + (2 β 3)2 = β72 + (β1)2 = β49 + 1 = β50
Logo, R nΓ£o pertence Γ mediatriz de [AB] porque π(π΄, π ) β π(π΅, π ).
Seja π(0, 4), entΓ£o:
π(π΄, π) = β(0 β 2)2 + (4 β 5)2 = β(β2)2 + (β1)2 = β4 + 1 = β5
π(π΅, π) = β(0 + 2)2 + (4 β 3)2 = β22 + 12 = β4 + 1 = β5
Logo, S pertence Γ mediatriz de [AB] porque π(π΄, π) = π(π΅, π).
Opção (D)
4. (π₯ + β2)2+ (π¦ β π)2 =
1
2 Γ© uma equação da circunferΓͺncia de centro (ββ2, π) e raio
π = β1
2 =
1
β2 =
β2
2.
Opção (A)
5. Uma vez que a ordenada de A Γ© 3, este ponto pertence Γ reta de equação π¦ = 3.
Opção (D)
107
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6. π΄(3,β2 β π) π΅(1,β5)
π(π΄, π΅) = β13 β β(3 β 1)2 + (β2 β π + 5)2 = β13
β 22 + (3 β π)2 = 13
β (3 β π)2 = 9
β 3β π = 3 β¨ 3 β π = β3
β π = 0 β¨ π = 6
Opção (B)
7. (π₯ + 3)2 + (π¦ β 2)2 = 9 β§ π₯ = β1 β (β1 + 3)2 + (π¦ β 2)2 = 9
β 22 + (π¦ β 2)2 = 9
β (π¦ β 2)2 = 5
β π¦ β 2 = β5 β¨ π¦ β 2 = ββ5
β π¦ = 2 + β5 β¨ π¦ = 2 β β5
A interseção do plano definido por π₯ = β1 com a circunferΓͺncia definida por
(π₯ + 3)2 + (π¦ β 2)2 = 9 tem como resultados os pontos de coordenadas (β1, 2 + β5) e
(β1, 2 β β5).
Opção (B)
8. A bissetriz dos quadrantes Γmpares Γ© definida pela equação π¦ = π₯. Assim, para que A
pertenΓ§a Γ bissetriz dos quadrantes Γmpares:
2π2 + 9π = 5 β 2π2 + 9π β 5 = 0
β π = β9Β±β92β4Γ2Γ(β5)
4
β π = β9Β±β121
4
β π = β9Β±11
4
β π = β5 β¨ π = 1
2
Opção (C)
9. A circunferΓͺncia da figura tem centro (0, 0) e raio 3. Como a regiΓ£o sombreada Γ© uma parte
do interior da circunferΓͺncia incluindo a fronteira, a expressΓ£o que se procura vai conter a
expressΓ£o π₯2 + π¦2 β€ 9. Por outro lado, a regiΓ£o sombreada Γ© superior Γ reta de equação π¦ =
π₯ e Γ© superior Γ reta de equação π¦ = βπ₯.
Assim, a expressΓ£o que pode definir a regiΓ£o sombreada Γ© π₯2 + π¦2 β€ 9 β§ π¦ β₯ π₯ β§ π¦ β₯ βπ₯.
Opção (C)
10. Tendo em conta que os focos pertencem ao eixo ππ¦, e como o eixo menor Γ© 16, tem-se que
2π = 16 β π = 8 e entΓ£o π2 = 64. AlΓ©m disso, de acordo com as coordenadas dos focos, c = 6.
Logo, π = β82 + 62 = β100 = 10 e, portanto, π2 = 100. Assim, uma equação da elipse
referida Γ© π₯2
64 +
π¦2
100 = 1.
Opção (D)
108
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11. π₯2 + π¦2 = 16 define a circunferΓͺncia de centro (0, 0) e raio 4.
π₯2
25 +
π¦2
16 = 1 define a elipse de eixo maior 2π = 2β25 = 10 e eixo menor 2π = 2β16 = 8.
Ambas contΓͺm os pontos (0, 4) e (0, β4).
Opção (D)
12. π₯2 + π¦2 + 6π¦ + 9 = 0 β π₯2 + (π¦ + 3)2 = 0, que representa o ponto (0, β3).
Opção (B)
13. O conjunto dos pontos P do plano que verificam a condição ππ΄Μ Μ Μ Μ + ππ΅Μ Μ Μ Μ = 14 Γ© uma elipse de
focos A e B e eixo maior 14, de acordo com a definição de elipse.
Opção (C)
14.
a) π΄(2, 4) π΅(6, 15)
π(π΄, π΅) = β(2 β 6)2 + (4 β 15)2 = β(β4)2 + (β11)2 = β16 + 121 = β137
b) π΄(β2, 3) π΅(6,β5)
π(π΄, π΅) = β(β2 β 6)2 + (3 β (β5))2= β(β8)2 + 82 = β64 + 64 = β128
c) π΄(1,β 4) π΅(β2, 0)
π(π΄, π΅) = β(1 β (β2))2+ (β4 β 0)2 = β32 + (β4)2 = β9 + 16 = β25 = 5
d) π΄(β2,β2) π΅(β6, 5)
π(π΄, π΅) = β(β2 β (β6))2+ (β2 β 5)2 = β42 + (β7)2 = β16 + 49 = β65
15.
a) π΄(β2, β1) π΅(β3, 1)
π΄π΅Μ Μ Μ Μ = β(β2 β (β3))2+ (β1 β 1)2 = β12 + (β2)2 = β1 + 4 = β5
b) π΄(2, 2) π΅(0,β5)
π΄π΅Μ Μ Μ Μ = β(2 β 0)2 + (2 β (β5))2= β22 + 72 = β4 + 49 = β53
16. Sejam A(1, β2), B(6, β1), C(9, 3) e D(4, 2).
π΄π΅Μ Μ Μ Μ = β(1 β 6)2 + (β2 β (β1))2= β(β5)2 + (β1)2 = β25 + 1 = β26
π΅πΆΜ Μ Μ Μ = β(6 β 9)2 + (β1 β 3)2 = β(β3)2 + (β4)2 = β9 + 16 = β25 = 5
πΆπ·Μ Μ Μ Μ = β(9 β 4)2 + (3 β 2)2 = β52 + 1 = β25 + 1 = β26
π·π΄Μ Μ Μ Μ = β(4 β 1)2 + (2 β (β2))2= β32 + 42 = β9 + 16 = β25 = 5
Assim, como π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ e π΅πΆΜ Μ Μ Μ = π·π΄Μ Μ Μ Μ , entΓ£o o quadrilΓ‘tero [ABCD] Γ© um paralelogramo.
109
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17.
a) π΄(2, 4) π΅(2, 15)
Como A e B tΓͺm abcissa 2, entΓ£o a mediatriz de [AB] Γ© a reta perpendicular Γ reta de
equação π₯ = 2 e que contΓ©m o ponto mΓ©dio de [AB], M.
M = (2+2
2,4+15
2) = (2,
19
2)
Logo, a mediatriz de [AB] Γ© a reta de equação π¦ = 19
2.
b) π΄(β2, 3) π΅(6, 3)
Como A e B tΓͺm ordenada 3, entΓ£o a mediatriz de [AB] Γ© a reta perpendicular Γ reta de
equação π¦ = 3 e que contΓ©m o ponto mΓ©dio de [AB], M.
M = (β2+6
2,3+3
2) = (2, 3)
Logo, a mediatriz de [AB] Γ© a reta de equação π₯ = 2.
c) π΄(1,β2) π΅(β2, 0)
(π₯ β 1)2 + (π¦ + 2)2 = (π₯ + 2)2 + π¦2 β π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2 + 4π¦ + 4 = π₯2 + 4π₯ + 4 + π¦2
β 4π¦ = 6π₯ β 1
β π¦ = 3
2 π₯ β
1
4 é uma equação da mediatriz de [AB].
d) π΄(β2, β2) π΅(β1, 3)
(π₯ + 2)2 + (π¦ + 2)2 = (π₯ + 1)2 + (π¦ β 3)2
β π₯2 + 4π₯ + 4 + π¦2 + 4π¦ + 4 = π₯2 + 2π₯ + 1 + π¦2 β 6π¦ + 9
β 10π¦ = β2π₯ + 2
β π¦ = β 1
5 π₯ +
1
5 é uma equação da mediatriz de [AB].
18. Sejam A(1, β3), B(2, 2), D(0, 0) e C(2, 0).
π(π΄, πΆ) = β(1 β 2)2 + (β3 β 0)2= β(β1)2 + (β3)
2= β1 + 3 = β4 = 2
π(π΅, πΆ) = β(2 β 2)2 + (2 β 0)2 = β02 + 22 = β0 + 4 = β4 = 2
π(π·, πΆ) = β(0 β 2)2 + (0 β 0)2 = β(β2)2 + 02 = β4 + 0 = β4 = 2
Assim, A, B e D encontram-se Γ mesma distΓ’ncia do ponto C, pelo que pertencem a uma
circunferΓͺncia de centro C.
19.
a) O(0, 0), B(4, 0), C(4, 2) e D(2, 2) sΓ£o os vΓ©rtices do trapΓ©zio.
O ponto mΓ©dio de [OB] Γ© o ponto de coordenadas (2, 0).
O ponto mΓ©dio de [BC] Γ© o ponto de coordenadas (4, 1).
O ponto mΓ©dio de [CO] Γ© o ponto de coordenadas (3, 2).
O ponto mΓ©dio de [DO] Γ© o ponto de coordenadas (1, 1).
b) (i) π¦ = 2 β§ 2 β€ π₯ β€ 4
(ii) π₯ = 3
(iii) (π₯ β 4)2 + (π¦ β 2)2 = 9
(iv) 0 β€ π₯ β€ 4 β§ 0 β€ π¦ β€ 2 β§ π¦ β€ π₯
110
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20.
a) (π₯ β 1)2 + (π¦ + 1)2 = 4 Γ© uma equação da circunferΓͺncia de centro (1, β1) e raio 2 (= β4).
b) π₯2 + (π¦ + 3)2 = 8 Γ© uma equação da circunferΓͺncia de centro (0, β3) e raio 2β2 (= β8).
c) (π₯ + 4)2 + (π¦ β 3)2 β€ 1
4 Γ© uma equação do cΓrculo de centro (β4, 3) e raio
1
2 (= β
1
4).
d) (π₯ β 5)2 + π¦2 > 20 Γ© uma equação do exterior da circunferΓͺncia de centro (5, 0) e raio 2β5
(= β20).
e) (π₯ + 3)2 + (π¦ + 5)2 < 9 Γ© uma equação do interior da circunferΓͺncia de centro (β3, β5) e raio
3 (= β9).
f) 2 β€ (π₯ β 2)2 + (π¦ β1
2)2 †4 é uma equação da coroa circular de centro (2,
1
2), sendo 2 o raio
da circunferΓͺncia externa e β2 o raio da circunferΓͺncia interna.
21.
a) De acordo com a figura, P(β2, β3) e Q(3, 3).
π(π, π) = β(β2 β 3)2 + (β3 β 3)2
= β(β5)2 + (β6)2
= β25 + 36
= β61
b) As coordenadas do ponto mΓ©dio de [PQ] sΓ£o (β2+3
2,β3+3
2) = (
1
2, 0).
c) Se o diΓ’metro da circunferΓͺncia Γ© [PQ], entΓ£o o ponto mΓ©dio de [PQ] Γ© o centro da
circunferΓͺncia e o seu raio Γ© igual a metade da distΓ’ncia entre P e Q. Assim, de acordo com
as alΓneas anteriores, uma equação da circunferΓͺncia de diΓ’metro [PQ] Γ© (π₯ β1
2)2 +π¦2 =
61
4.
e) (π₯ + 2)2 + (π¦ + 3)2 = (π₯ β 3)2 + (π¦ β 3)2
β π₯2 + 4π₯ + 4 + π¦2 + 6π¦ + 9 = π₯2 β 6π₯ + 9 + π¦2 β 6π¦ + 9
β 12π¦ = β10π₯ + 5
β π¦ = β 5
6 π₯ +
5
12, que é uma equação da mediatriz de [PQ].
f) (β2 β€ π₯ β€ β1 β§ β3 β€ π¦ β€ 3) β¨ (π₯ β€ 3 β§ π¦ β₯ 0 β§ π¦ β€ π₯)
22.
a) π = 4, logo π2 = 16.
π = 3, logo π2 = 9.
Assim, uma equação da elipse Γ© π₯2
16 +
π¦2
9 = 1.
b) π = 5, logo π2 = 25.
π = 1, logo π2 = 1.
Assim, uma equação da elipse Γ© π₯2
25 +π¦2 = 1.
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c) π = 2, logo π2 = 4.
π = 7, logo π2 = 49.
Assim, uma equação da elipse Γ© π₯2
4 +
π¦2
49 = 1.
23.
a) π₯2
16 +
π¦2
9 = 1
Como π2 = 16, entΓ£o π = 4 e 2π = 8. Como π2 = 9, entΓ£o π = 3 e 2π = 6.
Logo, π = β16 β 9 = β7. Assim, a condição dada define a elipse de eixo maior 8, eixo menor
6 e focos (ββ7, 0) e (β7, 0).
b) π₯2
20 +
π¦2
11 = 1
Como π2 = 20, entΓ£o π = β20 = 2β5 e 2π = 4β5. Como π2 = 11, entΓ£o π = β11 e 2π = 2β11.
Logo, π = β20 β 11 = β9 = 3. Assim, a condição dada define a elipse de eixo maior 4β5, eixo
menor 2β11 e focos (β3, 0) e (3, 0).
24. π΄π΅Μ Μ Μ Μ = π΄πΆΜ Μ Μ Μ = π΅πΆΜ Μ Μ Μ , uma vez que A, B e C sΓ£o os vΓ©rtices de um triΓ’ngulo equilΓ‘tero. Assim:
π΄π΅Μ Μ Μ Μ = π΄πΆΜ Μ Μ Μ β β(β5 β (β3))2+ (1 β (1 + 2β3))
2
= β(β5 β (β1))2+ (1 β π¦)2
β (β2)2 + (β2β3)2= (β4)2 + (1 β π¦)2
β 4+ 12 = 16 + (1 β π¦)2
β (1 β π¦)2 =0
β 1β π¦ = 0
β π¦ = 1
Logo, a ordenada de C Γ© 1.
25.
a) π₯ β€ 0 β§ π¦ β€ 5 β§ π¦ β₯ βπ₯
b) (β1 β€ π₯ β€ 0 β§ β1 β€ π¦ β€ 0) β¨ (0 β€ π₯ β€ 1 β§ 0 β€ π¦ β€ 1)
c) (π₯ β 2)2 + (π¦ β 1)2 β€ 4 β§ π₯ β€ 1 β§ π¦ β€ π₯
d) (π¦ > π₯ β§ π₯ β₯ 0) β¨ (π¦ < βπ₯ β§ π¦ β₯ 0) β¨ (π¦ < π₯ β§ π₯ β€ 0) β¨ (π¦ > βπ₯ β§ π¦ β€ 0)
e) π₯2 + (π¦ β 1)2 β₯ 1 β§ π₯2 + (π¦ β 2)2 β€ 4
f) (π₯ + 6)2 + π¦2 = 1 β¨ π₯2
25 +
π¦2
9 = 1 β¨ (π₯ β 6)2 + π¦2 = 1
26.
a) π¦ < 7 β§ π₯ β₯ β2 β§ π¦ β₯ π₯
112
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b) (π₯ β€ β2 β§ π¦ β€ 1) β¨ (π¦ = βπ₯ β§ π₯ > β2)
c) (π₯ β 3)2 + (π¦ + 2)2 β€ 4 β§ (π₯ β 3)2 + π¦2 β€ 4
d) π₯2 + π¦2 > 1 β§ π₯2 + π¦2 < 4 β§ π¦ β€ 0
e) π₯2
9+π¦2
16 = 1 β§ π₯ < 0
f) (β3 < π₯ < 3 β§ π¦ β₯ βπ₯) β¨ 4π₯2
9 +π¦2 = 4
27.
a) π₯2 + π¦2 + 2π₯ β 10π¦ + 14 = 0 β π₯2 + 2π₯ + 1 + π¦2 β 10π¦ + 25 = β14 + 1 + 25
β (π₯ + 1)2 + (π¦ β 5)2 = 12
Assim, o centro da circunferΓͺncia Γ© o ponto de coordenadas (β1, 5) e o raio Γ© β12 = 2β3.
113
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b) Se, por exemplo, π₯ = 1, entΓ£o:
(1 + 1)2 + (π¦ β 5)2 = 12 β (π¦ β 5)2 = 8 β π¦ β 5 = β8 β¨ π¦ β 5 = ββ8
β π¦ = 5 + 2β2 β¨ π¦ = 5 β 2β2
Logo, os pontos de coordenadas (1, 5 + 2β2) e (1, 5 β 2β2) pertencem Γ circunferΓͺncia.
c) Substituindo π₯ e π¦ pelas coordenadas de A no primeiro membro da equação da circunferΓͺncia
obtida na alΓnea a): (2 + 1)2 + (3 β 5)2 = 32 + (β2)2 = 9 + 4 = 13
Ora, 13 > 12, logo o ponto A encontra-se no exterior da circunferΓͺncia.
Procedendo de forma anÑloga em relação a B, obtém-se:
(β1 + 1)2 + (4 β 5)2 = 02 + (β1)2 = 0 + 1 = 1
Ora, 1 < 12, logo o ponto B encontra-se no interior da circunferΓͺncia.
d) Os pontos de interseção com o eixo ππ₯ sΓ£o da forma (π₯, 0), onde π₯ Γ© um nΓΊmero real.
Assim, se π¦ = 0:
(π₯ + 1)2 + (0 β 5)2 = 12 β (π₯ + 1)2 + 25 = 12
β (π₯ + 1)2 = β13, que Γ© uma condição impossΓvel em β.
Logo, a circunferΓͺncia nΓ£o interseta o eixo das abcissas.
Os pontos de interseção com o eixo ππ¦ sΓ£o da forma (0, π¦), onde π¦ Γ© um nΓΊmero real.
Assim, se π₯ = 0:
(0 + 1)2 + (π¦ β 5)2 = 12 β 1+ (π¦ β 5)2 = 12
β (π¦ β 5)2 = 11
β π¦ β 5 = β11 β¨ π¦ β 5 = ββ11
β π¦ = 5 + β11 β¨ π¦ = 5 β β11
Logo, os pontos de coordenadas (0, 5 + β11) e (0, 5 β β11) sΓ£o os pontos de interseção da
circunferΓͺncia com o eixo das ordenadas.
e) (π₯ β 2)2 + (π¦ β 3)2 = (π₯ + 1)2 + (π¦ β 4)2
β π₯2 β 4π₯ + 4 + π¦2 β 6π¦ + 9 = π₯2 + 2π₯ + 1 + π¦2 β 8π¦ + 16
β 2π¦ = 6π₯ + 4
β π¦ = 3π₯ + 2 Γ© uma equação da mediatriz de [AB].
f) Substituindo, na equação obtida na alΓnea anterior, π₯ e π¦ pelas coordenadas do ponto, obtΓ©m-se
5 = 3 1 + 2 5 = 3 + 2, que é uma proposição verdadeira. Logo, o ponto de coordenadas (1, 5)
pertence Γ mediatriz de [AB].
28.
a) π₯2 β 2π₯ + π¦2 + 8π¦ = β8 β π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2 + 8π¦ + 16 = β8 + 1 + 16
β (π₯ β 1)2 + (π¦ + 4)2 = 9
A condição define a circunferΓͺncia de centro (1, β4) e raio 3.
b) 2π₯2 β 2π₯ + 2π¦2 + 2π¦ = 7 β π₯2 β π₯ + π¦2 + π¦ = 7
2 β π₯2 β π₯ +
1
4 +π¦2 + π¦ +
1
4 =
7
2 +
1
4 +
1
4
β (π₯ β1
2)2
+ (π¦ +1
2)2
= 4
A condição define a circunferΓͺncia de centro (1
2, β
1
2) e raio 2.
114
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
c) π₯2 + π¦2 β 2
3 π¦ β€
80
9 β π₯2 + π¦2 β
2
3 π¦ +
1
9 β€
80
9+
1
9 β π₯2 + (π¦ β
1
3)2
β€ 9
A condição define o cΓrculo de centro (0,1
3) e raio 3.
d) π₯2 + 12π₯ + π¦2 + 28 > 0 β π₯2 + 12π₯ + 36 + π¦2 > β28 + 26 β (π₯ + 6)2 + π¦2 > 8
A condição define o exterior da circunferΓͺncia de centro (β6, 0) e raio 2β2.
e) 25π₯2 + 36π¦2 = 900 β π₯2
36 +
π¦2
25 = 1
A condição define a elipse de eixo maior 12 (= 2 Γ β36), de
eixo menor 10 (= 2 Γ β25) e com focos de coordenadas (ββ11, 0) e (β11, 0).
f) 4π₯2 + 8π¦2 = 32 β π₯2
8 +
π¦2
4 = 1
A condição define a elipse de eixo maior 4β2 (= 2 Γ β8),
de eixo menor 4 (= 2 Γ β4) e com focos de coordenadas (β2, 0) e (2, 0).
29.
a) 2π = 6 β π = 3
2π = 12 β π = 6
π = β62 β 32 = β36 β 9 = β27
Logo, uma equação da elipse Γ© π₯2
36 +
π¦2
27 = 1.
b) 2π = 10 β π = 5 (considerando uma elipse cujo eixo menor estΓ‘ contido no eixo ππ¦).
Assim, uma equação da elipse Γ© da forma π₯2
π2 +
π¦2
25 = 1.
Substituindo π₯ e π¦ pelas coordenadas do ponto (8, 3) que pertence Γ elipse:
82
π2+32
25= 1 β
64
π2+9
25= 1 β 1600 + 9π2 = 25π2 β 16π2 = 1600 β π2 = 100
Logo, uma equação da elipse Γ© π₯2
100+
π¦2
25 = 1.
c) π = 8, de acordo com as coordenadas dos focos.
8
π=
4
5 β π = 10, logo π2 = 100.
π = β100 β 64 = β36 = 6, logo π2 = 36.
Assim, uma equação da elipse Γ© π₯2
100 +
π¦2
36 = 1.
CΓ‘lculo auxiliar
π = β36 β 25 = β11
CΓ‘lculo auxiliar
π = β8 β 4 = β4 = 2
115
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
d) A equação da elipse Γ© da forma π₯2
π2 +
π¦2
π2 = 1. Substituindo π₯ e π¦ pelas coordenadas de cada
um dos pontos, obtΓ©m-se:
{
(β1)2
π2+
22
π2= 1
22
π2+02
π2= 1
β {
1
π2+
4
π2= 1
4
π2= 1
β {1
4+
4
π2= 1
π2 = 4
β {4
π2=
3
4
π2 = 4
β {π2 =
16
3
π2 = 4
Assim, uma equação da elipse Γ© π₯2
4 +
π¦2
16
3
= 1.
29.
a) O conjunto dos pontos do plano que distam igualmente de A e de B Γ© a mediatriz de [AB]:
(π₯ β 2)2 + (π¦ + 3)2 = (π₯ + 1)2 + (π¦ β 1)2
β π₯2 β 4π₯ + 4 + π¦2 + 6π¦ + 9 = π₯2 + 2π₯ + 1 + π¦2 β 2π¦ + 1
β 8π¦ = 6π₯ β 11
β π¦ = 3
4 π₯ β
11
8, que é uma equação da mediatriz de [AB].
b) O conjunto dos pontos do plano cuja distΓ’ncia ao ponto C(β3,0) Γ© inferior a 5 Γ© o interior do
cΓrculo de centro C e raio 5, que Γ© definido pela equação (π₯ + 3)2 + π¦2 < 25.
c) O conjunto dos pontos do plano cuja soma das medidas das distΓ’ncias aos pontos A(β3, 0) e
B(3, 0) Γ© igual a 9 Γ© a elipse de focos A e B e eixo maior 9.
Como 2π = 9 β π = 9
2 entΓ£o π2 =
81
4. Por outro lado, π = β
81
4β 9 = β
45
4.
Logo, uma equação da elipse Γ© π₯2
81
4
+ π¦2
45
4
= 1.
d) Seja P um ponto cuja distΓ’ncia ao ponto A(1, 3) Γ© metade da distΓ’ncia ao ponto B(1, 6),
entΓ£o:
π(π, π΄) = 1
2 π(π, π΅) β β(π₯ β 1)2 + (π¦ β 3)2 =
1
2 β(π₯ β 1)2 + (π¦ β 6)2
β 2β(π₯ β 1)2 + (π¦ β 3)2 = β(π₯ β 1)2 + (π¦ β 6)2
β 4((π₯ β 1)2 + (π¦ β 3)2) = (π₯ β 1)2 + (π¦ β 6)2
β 4(π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2 β 6π¦ + 9) = π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2 β 12π¦ + 36
β 4π₯2 β 8π₯ + 4π¦2 β 24π¦ + 40 = π₯2 β 2π₯ + π¦2 β 12π¦ + 37
β 3π₯2 + 3π¦2 β 6π₯ β 12π¦ = β3
β π₯2 + π¦2 β 2π₯ β 4π¦ = β1
β π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2 β 4π¦ + 4 = β1 + 1 + 4
β (π₯ β 1)2 + (π¦ β 2)2 = 4
116
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
31. B Γ© tal que π₯2 = 8π¦ β π¦ = π₯2
8. Logo, B Γ© da forma (π₯,
π₯2
8).
π(π΄, π΅) = β(0 β π₯)2 + (2 βπ₯2
8)2
= βπ₯2 + (16βπ₯2
8)2
= β8π¦ + (16β8π¦
8)2
= β8π¦ +256β256π¦+64π¦2
8
= β8π¦ + 4 β 4π¦ + π¦2
= βπ¦2 + 4π¦ + 4
= β(π¦ + 2)2
= π¦ + 2, como querΓamos demonstrar.
32. Seja P um ponto cuja ordenada Γ© igual ao dobro da abcissa, entΓ£o as coordenadas de P sΓ£o
da forma (π₯, 2π₯). Como P pertence Γ mediatriz de [AB], entΓ£o:
π(π, π΄) = π(π, π΅) β β(π₯ β 1)2 + (2π₯ β 1)2 = β(π₯ β 3)2 + (2π₯ β 3)2
β (π₯ β 1)2 + (2π₯ β 1)2 = (π₯ β 3)2 + (2π₯ β 3)2
β π₯2 β 2π₯ + 1 + 4π₯2 β 4π₯ + 1 = π₯2 β 6π₯ + 9 + 4π₯2 β 12π₯ + 9
β 12π₯ = 16
β π₯ = 4
3
Logo, P (4
3,8
3).
33.
a) π₯2 + π¦2 + 10π₯ β 4π¦ + π = 0 β π₯2 + 10π₯ + 25 + π¦2 β 4π¦ + 4 = βπ + 25 + 4
β (π₯ + 5)2 + (π¦ β 2)2 = 29 β π
Para que esta equação defina uma circunferΓͺncia, 29 β π > 0 β π < 29.
b) Recorrendo Γ equação obtida na alΓnea anterior, para que a equação defina um ponto 29 β
π = 0 β π = 29.
c) Recorrendo Γ equação obtida na alΓnea a), para que a equação defina o conjunto vazio 29 β
π < 0 β π > 29.
34.
a) O conjunto dos pontos do plano que distam igualmente da origem do referencial e de A Γ© a
mediatriz de [OA]:
π₯2 + π¦2 = (π₯ + 3)2 + (π¦ + 3)2 β π₯2 + π¦2 = π₯2 + 6π₯ + 9 + π¦2 + 6π¦ + 9
β β6π¦ = 6π₯ + 18
β π¦ = βπ₯ β 3, que Γ© uma equação dessa mediatriz.
A circunferΓͺncia de centro A e tangente aos eixos coordenados tem raio 3 e Γ© definida pela
equação (π₯ + 3)2 + (π¦ + 3)2 = 9.
Logo, a condição pretendida Γ© π¦ = βπ₯ β 3 β§ (π₯ + 3)2 + (π¦ + 3)2 = 9.
117
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
Intersetando a reta com a circunferΓͺncia:
{π¦ = βπ₯ β 3
(π₯ + 3)2 + (π¦ + 3)2 = 9β {
_________________(π₯ + 3)2 + (βπ₯ β 3 + 3)2 = 9 β {
_________________π₯2 + 6π₯ + 9 + π₯2 = 9
β {______________2π₯2 + 6π₯ = 0 β {
______________π₯(2π₯ + 6) = 0 β {
_____π₯ = 0 β¨ {
_____2π₯ + 6 = 0
β {π¦ = 0 β 3π₯ = 0
β¨ {π¦ = β(β3) β 3
π₯ = β3β {
π¦ = β3π₯ = 0
β¨ {π¦ = 0π₯ = β3
Assim, outra concretização possΓvel para definir o conjunto de pontos dado Γ©:
(π₯ = 0 β§ π¦ = β3) β¨ (π₯ = β3 β§ π¦ = 0)
b) O conjunto dos pontos mΓ©dios dos segmentos de reta cujos extremos sΓ£o a origem do
referencial e cada um dos pontos da circunferΓͺncia de centro O e raio 2 Γ© uma circunferΓͺncia,
de centro O e raio 1, definida pela equação π₯2 + π¦2 = 1.
c) O conjunto dos pontos mΓ©dios dos segmentos de reta cujos extremos sΓ£o o ponto B(1, 3) e
cada um dos pontos da reta π₯ + π¦ = 5 Γ© uma reta paralela a esta e que passa no ponto mΓ©dio
de [BC], onde C Γ© o ponto de interseção da reta π₯ + π¦ = 5 com o eixo ππ¦, ou seja, C(0, 5).
Logo, o ponto mΓ©dio de [BC] tem coordenadas (1+0
2,3+5
2) = (
1
2, 4).
Assim, a reta pedida Γ© da forma π¦ = βπ₯ + π e, como (1
2, 4) pertence a esta reta, tem-se que
4 = β 1
2 +π β π =
9
2.
Portanto, uma equação da reta pedida Γ© π¦ = βπ₯ + 9
2.
Unidade 2 β CΓ‘lculo vetorial no plano
PΓ‘ginas 190 a 229
26.
a) Por exemplo:
i. [A, B], [B, A], [B, C], [C, B] e [C, D]
ii. [A, B] e [D, C]
b) Para cada aresta Γ© possΓvel definir dois segmentos de reta orientados. AlΓ©m disso, Γ© possΓvel
definir dois segmentos de reta orientados para cada uma das diagonais.
Logo, Γ© possΓvel definir 4 2 + 2 2 = 12 segmentos de reta orientados.
c) Γ possΓvel definir 8 vetores: cada diagonal permite definir 2 vetores (2 2 = 4), a aresta [AB]
e a aresta [AD] permitem definir 2 vetores cada uma (2 2 = 4), as restantes arestas definem
vetores iguais aos definidos pelas arestas [AB] e [AD].
27. Por exemplo:
a) [A, D], [D, B] e [F, E]
b) [A, F] e [C, F]
c) π΅πΆββββ β e π·πΉββββ β
d) π΄π·ββ ββ β e π·πΈββ ββ β
e) π΄π·ββ ββ β e πΈπΉββββ β
118
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
28.
a) π΄ + πΉπΈββββ β = π΄ + π΄π·ββ ββ β = π·
b) π· + π΅πΈββββ β = π· + π·πΉββββ β = πΉ
c) πΆ + (βπ·πΉββββ β) = πΆ + πΉπ·ββββ β = πΆ + πΆπΈββββ β = πΈ
d) ππ΄πΆββββ β(π΄) = π΄ + π΄πΆββββ β = πΆ
e) ππ·πΉββ ββ β(π΅) = π΅ + π·πΉββββ β = π΅ + π΅πΈββββ β = πΈ
29.
a) π΄πΆββββ β + πΆπΊββββ β = π΄πΊββββ β
b) π·π»ββββββ + ππββββββ = π·π»ββββββ + π»πΉββ ββ β = π·πΉββββ β
c) π½πΏββ β + π»π·ββββββ = π½πΏββ β + πΏπΊββββ β = π½πΊββββ
d) π΅πΆββββ β + ππββββ β = π΅πΆββββ β + πΆπ΅ββββ β = 0β
e) π΅πΆββββ β + πΈπΉββββ β = π΅πΆββββ β + πΆπ·ββββ β = π΅π·ββββββ
f) πΈπββββββ + (βππββββ β) = πΈπββββββ + ππββββ β = πΈπββββββ + ππββββββ = πΈπββββ β
g) π»πββββββ β + (βππ½ββββ ) = π»πββββββ β + π½πββββ = π»πββββββ β + ππββ ββ ββ = π»πββββββ
30.
a) 2π΄π΅ββββ β = π΄πΆββββ β = πΈπΊββββ β
b) β3πΏπββββββ = 3ππΏββββββ = ππΌββββ β
c) 1
2 π΄πΌββββ = π΄πΈββββ β
d) βπΈπ»ββββββ = π»πΈββββββ
31. βοΏ½βοΏ½ β
βοΏ½βοΏ½ β =
1
2. Como π e οΏ½βοΏ½ tΓͺm sentidos opostos, entΓ£o π = β
1
2.
32. π = 1
3 π οΏ½βοΏ½ = β2π π = β
5
3 π
33.
a) 2π + οΏ½βοΏ½ = 2(2π₯ β π¦ ) + (β3π₯ + 5π¦ ) = 4π₯ β 2π¦ β 3π₯ + 5π¦ = π₯ + 3π¦
b) β2π + 3οΏ½βοΏ½ = β2(2π₯ β π¦ ) + 3(β3π₯ + 5π¦ ) = β4π₯ + 2π¦ β 9π₯ + 15π¦ = β13π₯ + 17π¦
34.
a) 1
3 π΄πββββ β +
2
3 π΄πββββ β = (
1
3+
2
3) π΄πββββ β = π΄πββββ β
b) 2π΄π΅ββββ β + 2πΈπΌββββ = 2(π΄π΅ββββ β + πΈπΌββββ ) = 2(π·πΈββ ββ β + πΈπΌββββ ) = 2π·πΌββββ = π·πββββββ = π΄πΎββ ββ β
c) 2 (1
4ππββββ β) = 2ππββββ β = ππ ββββ β
35.
a) 1 11 1 1127 2( 3 ) 27 2 3
2 2 2 2v u v u u u v v
103 3 2 3
2u v v
5 5 3u v
119
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
b) 3 (2π£ β8
3οΏ½βοΏ½ ) + 2(4οΏ½βοΏ½ ) β π£ = 6π£ β 8οΏ½βοΏ½ + 8οΏ½βοΏ½ β π£ = 5π£
36. β2(βπ₯ + π ) + 2(3π ) = 3(π + 2οΏ½βοΏ½ ) β 2π₯ β 2π + 6π = 3π + 6οΏ½βοΏ½ β 2π₯ = 3π + 2π β 6π + 6οΏ½βοΏ½
β 2π₯ = βπ + 6οΏ½βοΏ½
β π₯ = β1
2π + 3οΏ½βοΏ½
37. π = π + π οΏ½βοΏ½ = β2π + π π = 2π + 0π π = 0π β π
38. π = 2π1ββ β + 2π2ββ β; π (2, 2)
οΏ½βοΏ½ = 2π1ββ β β 2π2ββ β; οΏ½βοΏ½ (2, β2)
π = 2π1ββ β + 0π2ββ β; π (2, 0)
π = β2π1ββ β + 0π2ββ β; π (β2, 0)
π = β3π1ββ β β 3π2ββ β; π (β3, β3)
π = 0π1ββ β + 4π2ββ β; π (0, 4)
39.
a) π + οΏ½βοΏ½ = (1,β3) + (β9, 4) = (1 β 9,β3 + 4) = (β8, 1)
b) π + οΏ½βοΏ½ = (β1,1
2) + (1,
3
2) = (β1 + 1,
1
2+
3
2) = (0,
4
2) = (0, 2)
c) π + οΏ½βοΏ½ = (β2, 0) + (β8, β5) = (β2 + β8, 0 β 5) = (β2 + 2β2,β5) = (3β2,β5)
40. π£ + οΏ½ββοΏ½ = οΏ½βοΏ½ β (2π + 1, 3) + (2, π) = (β3, 8) β (2π + 1 + 2, 3 + π) = (β3, 8)
β (2π + 3, 3 + π) = (β3, 8)
β 2π + 3 = β3 β§ 3 + π = 8
β 2π = β6 β§ π = 5
β π = β3 β§ π = 5
41. οΏ½βοΏ½ (2, β3) π£ (β1, 4) οΏ½ββοΏ½ (1
3, 0)
a) οΏ½βοΏ½ + π£ = (2,β3) + (β1, 4) = (2 β 1,β3 + 4) = (1, 1)
b) οΏ½βοΏ½ + π£ + οΏ½ββοΏ½ = (2,β3) + (β1, 4) + (1
3, 0) = (1, 1) + (
1
3, 0) = (1 +
1
3, 1 + 0) = (
4
3, 1)
c) οΏ½βοΏ½ β π£ = (2,β3) β (β1, 4) = (2 + 1,β3 β 4) = (3,β7)
d) π£ β οΏ½βοΏ½ = (β1, 4) β (2,β3) = (β1 β 2, 4 + 3) = (β3, 7)
e) 2οΏ½βοΏ½ + 4π£ββββ = 2(2,β3) + 4(β1, 4) = (4,β6) + (β4, 16) = (4 β 4,β6 + 16) = (0, 10)
f) β3οΏ½ββοΏ½ β1
2οΏ½βοΏ½ = β3 (
1
3, 0) β
1
2(2, β3) = (β1, 0) + (β1,
3
2) = (β1 β 1,0 +
3
2) = (β2,
3
2)
g) 3 (βοΏ½βοΏ½ +1
2οΏ½ββοΏ½ ) = 3 (β(2, β3) +
1
2(1
3, 0)) = 3 ((β2, 3) + (
1
6, 0)) = 3 (β2 +
1
6, 3 + 0)
= 3 (β11
6, 3) = (β
33
6, 9) = (β
11
2, 9)
42.
a) Por exemplo, (β4, 6), (2, β3), (β20, 30), (β1,3
2).
b) Por exemplo, (0, 1), (0, β1), (0, 2), (0, 10).
120
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
43.
a) οΏ½βοΏ½ = 2π , logo os vetores π e οΏ½βοΏ½ sΓ£o colineares.
b) οΏ½βοΏ½ = β4π , logo os vetores π e οΏ½βοΏ½ sΓ£o colineares.
c) 10
β1 = β10 e
18
9 = 2. Como β10 2, os vetores π e οΏ½βοΏ½ nΓ£o sΓ£o colineares.
d) 0
2 = 0 e
7
14=
1
2. Como 0
1
2, os vetores π e οΏ½βοΏ½ nΓ£o sΓ£o colineares.
e) οΏ½βοΏ½ = β9π , logo os vetores π e οΏ½βοΏ½ sΓ£o colineares.
f) οΏ½βοΏ½ = 2π , logo os vetores π e οΏ½βοΏ½ sΓ£o colineares.
44. οΏ½βοΏ½ (2, 4) π£ (3, 1 β π) οΏ½ββοΏ½ (π, β2
3)
a) Para que οΏ½βοΏ½ e π£ sejam colineares:
2
3 =
4
1βπ β 2(1 β π) = 12 β 2 β 2π = 12 β 2π = β10 β π = β5
b) Para que π£ e οΏ½ββοΏ½ sejam colineares:
3
π =
1βπ
β2
3
β 3 Γ (β2
3) = π(1 β π) β β2 = π β π2 β π2 β π β 2 = 0 β π =
1Β±β1+8
2
β π = 2 β¨ π = β1
45. π΄(β1, 2) π΅(2,β3) πΆ(0, 5)
a) π΄π΅ββββ β = π΅ β π΄ = (2,β3) β (β1, 2) = (2 + 1,β3 β 2) = (3,β5)
π΅π΄ββββ β = βπ΄π΅ββββ β = β(3,β5) = (β3, 5)
π΅πΆββββ β = πΆ β π΅ = (0, 5) β (2,β3) = (0 β 2, 5 + 3) = (β2, 8)
b) π΄πΆββββ β = πΆ β π΄ = (0, 5) β (β1, 2) = (0 + 1, 5 β 2) = (1, 3)
Logo, π· = π΅ + π΄πΆββββ β = (2,β3) + (1, 3) = (2 + 1, β3 + 3) = (3, 0)
πΆπ΅ββββ β = βπ΅πΆββββ β = β(β2, 8) = (2,β8)
Logo, πΈ = π΅ β 2πΆπ΅ββββ β = (2,β3) β 2(2,β8) = (2,β3) β (4,β16) = (2 β 4,β3 + 16) = (β2, 13)
c) π΄πΉββββ β = (1, 7) β πΉ β π΄ = (1, 7) β πΉ β (β1, 2) = (1, 7) β πΉ = (β1, 2) + (1, 7)
β πΉ = (β1 + 1, 2 + 7)
β πΉ = (0, 9)
46. οΏ½βοΏ½ (β2, 4) π£ (1,β5) π΄(1, 3) π΅(2, β7)
a) βοΏ½βοΏ½ β = β(β2, 4)β = β(β2)2 + 42 = β4 + 16 = β20 = 2β5
b) βπ£ β = β(1,β5)β = β12 + (β5)2 = β1 + 25 = β26
c) π΄π΅ββββ β = π΅ β π΄ = (2,β7) β (1, 3) = (2 β 1, β7 β 3) = (1,β10)
βπ΄π΅ββββ ββ = β(1,β10)β = β12 + (β10)2 = β1 + 100 = β101
d) βοΏ½βοΏ½ β + βπ£ β = 2β5 + β26
e) βοΏ½βοΏ½ + π£ β = β(β2, 4) + (1, β5)β = β(β2 + 1, 4 β 5)β = β(β1,β1)β = β(β1)1 + (β1)2
= β1 + 1 = β2
121
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
47. Seja οΏ½βοΏ½ = (π, π). Para que οΏ½βοΏ½ e π£ sejam colineares, tem-se que οΏ½βοΏ½ = ππ£ , ou seja:
(π, π) = π(β2, 1) β (π, π) = (β2π, π)
EntΓ£o, οΏ½βοΏ½ = (β2π, π). Por outro lado:
βοΏ½βοΏ½ β = 10 β β(β2π)2 + π2 = 10 β (β2π)2 + π2 = 100 β 4π2 + π2 = 100
β 5π2 = 100
β π2 = 20
β π = β20 β¨ π = ββ20
β π = 2β5 β¨ π = β2β5
Logo, οΏ½βοΏ½ = (β4β5, 2β5) ou οΏ½βοΏ½ = (4β5,β2β5).
48. A reta π contΓ©m os pontos de coordenadas (0, 0) e (β3, β3).
Como (β3, β3) β (0, 0) = (β3, β3), entΓ£o qualquer vetor diretor da reta π serΓ‘ colinear com
(β3, β3), por exemplo π (1, 1).
A reta π contΓ©m os pontos de coordenadas (β3, 2) e (4, β1).
Como (β3, 2) β (4, β1) = (β7, 3), entΓ£o este Γ© um vetor diretor da reta π . A reta π‘ Γ© uma reta
vertical, logo um seu vetor diretor Γ© (0, 1). A reta π Γ© uma reta horizontal, logo um seu vetor
diretor Γ© (1, 0).
49.
a) Uma equação vetorial da reta que passa no ponto (10, 1) e tem a direção do vetor (β2, 1) Γ©:
(π₯, π¦) = (10, 1) + π(β2, 1), π β β
b) Uma equação vetorial da reta paralela ao eixo das abissas e que contΓ©m o ponto (β2, β3) Γ©:
(π₯, π¦) = (β2, β3) + π (1, 0), π β β
c) Uma equação vetorial da reta paralela ao eixo das ordenadas e que contΓ©m o ponto (3, β1
2) Γ©:
(π₯, π¦ ) = (3, β1
2) + π (0, 1), π β β
d) π΄π΅ββββ β = π΅ β π΄ = (3,β5) β (1, 8) = (3 β 1, β5 β 8) = (2,β13)
Assim, uma equação vetorial da reta que contém os pontos A e B é:
(π₯, π¦) = (3, β5) + π(2, β13), π β β
50.
a) (π₯, π¦) = (2, 2) + π(5, 2), π β β
122
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
b) (π₯, π¦) = (2, 2) + π(β2, 1), π β [0,+β[
c) (π₯, π¦) = (2, 2) + π(0,β4), π β [0, 1]
51. (π₯, π¦) = (1, β4) + π(β2,1), π β β
a) (1,β4) Γ© um ponto da reta.
Se k = 1, obtΓ©m-se (π₯, π¦) = (1, β4) + (β2, 1) = (β1,β3), que Γ© um ponto da reta.
Se k = β1, obtΓ©m-se (π₯, π¦) = (1,β4) β (β2, 1) = (3,β5), que Γ© um ponto da reta.
(β1, β3) Γ© um ponto da reta.
Se k = 1, obtΓ©m-se (π₯, π¦) = (β1, β3) + (β2, 1) = (β3,β2), que Γ© um ponto da reta.
Se k = β1, obtΓ©m-se (π₯, π¦) = (β1,β3) β (β2, 1) = (1,β4), que Γ© um ponto da reta.
(3,β5) Γ© um ponto da reta.
Se k = 1, obtΓ©m-se (π₯, π¦) = (3, β5) + (β2, 1) = (1,β4), que Γ© um ponto da reta.
Se k = β1, obtΓ©m-se (π₯, π¦) = (3,β5) β (β2, 1) = (5,β6), que Γ© um ponto da reta.
b) (2, 5) pertence Γ reta se existir um valor de k tal que:
(2, 5) = (1,β4) + π(β2, 1) β (2, 5) = (1,β4) + (β2π, π)
β (2, 5) = (1 β 2π,β4 + π)
β 1β 2π = 2 β§ β4 + π = 5
β π = β1
2β§ π = 9
Logo, o ponto nΓ£o pertence Γ reta.
c) Procuramos o ponto (β2, π¦) da reta:
(β2, π¦) = (1,β4) + π(β2, 1) β (β2, π¦) = (1,β4) + (β2π, π) β (β2, π¦) = (1 β 2π,β4 + π)
β 1β 2π = β2 β§ β4 + π = π¦
β π = 3
2 β§ π¦ = β4 +
3
2
β π = 3
2 β§ π¦ = β
5
2
Logo, o ponto da reta que tem abcissa β2 Γ© (β2,β5
2).
123
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
d) Procuramos o ponto (π β 1, 2) da reta:
(π β 1, 2) = (1,β4) + π(β2, 1) β (π β 1, 2) = (1,β4) + (β2π, π)
β (π β 1, 2) = (1 β 2π, β4 + π)
β 1β 2π = π β 1 β§ β4 + π = 2
β π = 2 β 2π β§ π = 6
β π = β10 β§ π = 6
Logo, o ponto (π β 1, 2) pertence Γ reta se π = β10.
e) Um vetor diretor da reta Γ© (β2, 1). Qualquer outro vetor diretor da reta serΓ‘ colinear com este.
Verifiquemos entΓ£o se (1, β1
2) Γ© colinear com (β2, 1).
β2
1 = β2 e
1
β1
2
= β2, logo os vetores sΓ£o colineares e, portanto, (1, β1
2) Γ© um vetor diretor da
reta.
52. π΄(2,β4) π΅(β1, 3)
a) π΄π΅ββββ β = π΅ β π΄ = (β1, 3) β (2, β4) = (β1 β 2, 3 + 4) = (β3, 7)
Assim, as equaçáes paramΓ©tricas da reta AB sΓ£o {π₯ = 2 β 3ππ¦ = β4 + 7π
, π β β.
b) Se π¦ = 0, entΓ£o β4 + 7k = 0 k = 4
7. E, portanto, π₯ = 2 β 3 Γ
4
7=
2
7. Assim, o ponto de
interseção da reta com o eixo ππ₯ Γ© (2
7, 0).
Se π₯ = 0, entΓ£o 2 β 3k = 0 k = 2
3.
E, portanto, π¦ = β4 + 7 Γ 2
3 =
2
3. Assim, o ponto de interseção da reta com o eixo ππ¦ Γ© (0,
2
3).
53.
a) Simplificando a equação dada obtΓ©m-se {π₯ = 1 + 3ππ¦ = β1 + π
, π β β.
Logo, (1, β1) Γ© um ponto da reta r e (3, 1) Γ© um vetor diretor desta reta.
Se = 1, por exemplo, obtΓ©m-se π₯ = 1 + 3 Γ 1 = 4 e π¦ = β1 + 1 = 0. Logo, (4, 0) Γ© tambΓ©m
um ponto da reta r.
b) {π₯ = 3ππ¦ = π
, π β β Γ© um sistema de equaçáes paramΓ©tricas da reta paralela a r e que contΓ©m a
origem do referencial.
54. π: (π₯, π¦) = (β1, 4) + π(2, 5), π β β Γ© uma equação vetorial da reta que contΓ©m o ponto de
coordenadas (β1, 4) e tem a direção do vetor (2, 5). Esta equação Γ© equivalente a:
(π₯, π¦) = (β1, 4) + (2π, 5π), π β β β (π₯, π¦) = (2π β 1, 5π + 4), π β β
β π₯ = 2π β 1 β§ π¦ = 4 + 5π, π β β
β π = π₯+1
2 β§ π =
π¦β4
5
βπ₯+1
2 =
π¦β4
5 que é uma equação cartesiana da reta r.
124
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
Por sua vez, esta equação é equivalente a:
5π₯ + 5 = 2π¦ β 8 β 2π¦ = 5π₯ + 13 β π¦ = 5
2 π₯ +
13
2, que é a equação reduzida da reta r.
55. Os pontos (2, 2) e (7, 4) pertencem Γ reta π. Logo ππ = 2β4
2β7 =
2
5.
Os pontos (0, 3) e (2, 2) pertencem Γ reta π. Logo ππ = 3β2
0β2 = β
1
2.
A reta c Γ© uma reta horizontal. Logo ππ = 0.
56.
a) π¦ = 2
7 π₯ β β2
O declive da reta Γ© 2
7 e, entΓ£o, um vetor diretor da reta Γ© (7, 2).
b) π¦ = βπ₯
O declive da reta Γ© β1 e, entΓ£o, um vetor diretor da reta Γ© (β1, 1).
c) π¦ = 9
O declive da reta Γ© 0 e, entΓ£o, um vetor diretor da reta Γ© (1, 0).
d) 6π₯ + 3π¦ + 1 = 0 β π¦ = β2π₯ β 1
3
O declive da reta Γ© β2 e, entΓ£o, um vetor diretor da reta Γ© (1, β2).
57.
a) (π₯, π¦) = (0, 9) + π(2, 3), π β β
Como (2, 3) Γ© um vetor diretor da reta, entΓ£o o seu declive Γ© 3
2. Como (0, 9) Γ© um ponto da
reta, entΓ£o a sua ordenada na origem Γ© 9. Assim, a equação reduzida desta reta Γ© π¦ = 3
2 π₯ +9.
b) (π₯, π¦) = (β1, 5) + π(β1, 3), π β β
Como (β1,3) Γ© um vetor diretor da reta, entΓ£o o seu declive Γ© 3
β1 = β3. Logo, a equação
reduzida desta reta Γ© da forma π¦ = β3π₯ + π. Uma vez que (β1, 5) Γ© um ponto da reta, entΓ£o
5 = β3 Γ (β1) + π β π = 2. Assim, a equação reduzida desta reta Γ© π¦ = β3π₯ + 2.
c) (π₯, π¦) = (β1, β3) + π(8, 0), π β β
Como (8, 0) Γ© um vetor diretor da reta, trata-se de uma reta horizontal. Uma vez que (β1, β3)
Γ© um ponto da reta, entΓ£o a sua equação reduzida Γ© π¦ = β3.
58.
a) π¦ = 1
5 π₯ β 2
O declive da reta Γ© 1
5, logo um vetor diretor da reta Γ© (5, 1). Como a ordenada na origem Γ© β2,
tem-se que (0, β2) Γ© um ponto da reta. Assim, uma equação vetorial da reta Γ©:
(π₯, π¦) = (0, β2) + π(5, 1), π β β
125
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
b) π¦ = 5π₯
c) O declive da reta Γ© 5, logo um vetor diretor da reta Γ© (1, 5). Como a ordenada na origem Γ© 0,
tem-se que (0, 0) é um ponto da reta. Assim, uma equação vetorial da reta é:
(π₯, π¦) = (0, 0) + π(1, 5), π β β
d) π¦ = 5
Trata-se de uma reta horizontal, logo um vetor diretor da reta Γ© (1, 0). O ponto (0, 5) Γ© um
ponto da reta. Assim, uma equação vetorial da reta Γ© (π₯, π¦) = (0, 5) + π(1, 0), π β β .
59.
a) π¦ = β2π₯ + 8 Γ© uma equação reduzida da reta que tem declive β2 e passa no ponto de
coordenadas (0, 8).
b) Como um vetor diretor da reta Γ© (2, 5), entΓ£o o seu declive Γ© 5
2. Logo, a equação reduzida da
reta Γ©, entΓ£o, da forma π¦ = 5
2 π₯ + π. Como o ponto (1, 3) pertence Γ reta, entΓ£o 3 =
5
2 Γ 1 +
π β π = 1
2. A equação reduzida da reta Γ©, entΓ£o, π¦ =
5
2 π₯ +
1
2
c) O declive da reta Γ© 5β0
2β1
2
= 10
3. Logo, a equação reduzida da reta Γ© da forma π¦ =
10
3 π₯ + π.
Como o ponto (2, 5) pertence Γ reta, entΓ£o 5 = 10
3 Γ 2 + π β π = β
5
3
A equação reduzida da reta Γ© π¦ = 10
3 π₯ β
5
3
d) β4π₯ + π¦ β 5 = 0 β π¦ = 4π₯ + 5
Logo, o declive da reta Γ© 4. A equação reduzida da reta Γ©, entΓ£o, da forma π¦ = 4π₯ + π.
Como o ponto (β3, 0) pertence Γ reta, entΓ£o 0 = 4 Γ (β3) + π β π = 12 .
A equação reduzida da reta Γ© π¦ = 4π₯ + 12.
60.
a) (π₯, π¦) = (1,β9) + π(3, 1), π β β
Como (3, 1) Γ© um vetor diretor da reta, entΓ£o o seu declive Γ© 1
3. Como (0, 1) Γ© um ponto da
reta, entΓ£o a sua ordenada na origem Γ© 1. Assim, a equação reduzida da reta Γ© π¦ = 1
3 π₯ + 1.
b) {π₯ = 2 + ππ¦ = β1 + 6π
, π β β
Como (1, 6) Γ© um vetor diretor da reta, entΓ£o o seu declive Γ© 6. Como (0, 1) Γ© um ponto da
reta, entΓ£o a sua ordenada na origem Γ© 1. Assim, a equação reduzida da reta Γ© π¦ = 6π₯ + 1.
c) π₯+1
2= β
π¦
3
Como (2, β3) Γ© um vetor diretor da reta, entΓ£o o seu declive Γ© β 3
2. Como (0, 1) Γ© um ponto
da reta, entΓ£o a sua ordenada na origem Γ© 1.
Assim, a equação reduzida da reta Γ© π¦ = β 3
2 π₯ + 1.
126
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
d) π¦ = π
Trata-se de uma reta horizontal, portanto o seu declive Γ© 0. Como (0, 1) Γ© um ponto da reta,
entΓ£o a sua ordenada na origem Γ© 1. Assim, a equação reduzida da reta Γ© π¦ = 1.
Aprende Fazendo
PΓ‘ginas 230 a 237
1. Relativamente Γ opção (A), π΄πΆββββ β β π΅π·ββββββ porque nΓ£o tΓͺm a mesma direção. Quanto Γ opção (B),
π΄π΅ββββ β + π΄π·ββ ββ β = π΄πΆββββ β β π΅π·ββββββ . Em relação Γ opção (C), πΆπ΄ββββ β β π·π΄ββ ββ β = πΆπ΄ββββ β β π΄π·ββ ββ β = πΆπ·ββββ β = π΅π΄ββββ β. Na opção
(D), π΄πΆββββ β + π΅π·ββββββ = 2π΄π·ββ ββ β β 0β .
Opção (C)
2. Na opção (A), πΊπΆββββ β + πΏπΊββββ β = πΏπΊββββ β + πΊπΆββββ β = πΏπΆββ ββ β 0β . Quanto Γ opção (B), βπΌπ½βββ + 2π½πΉββββ β = βπΌπ½βββ + π½π΅ββββ β
= βπΌπ΅ββββ β = βπΏπ·ββββ ββ. Na opção (C), πΉ + π½π»ββββ = πΉ + πΉπ·ββββ β = π· β πΉπ·ββββ β. Relativamente Γ opção (D),
βπ΄π΅ββββ β + πΆπ΅ββββ ββ = βπ΄π΅ββββ β + π΅π΄ββββ ββ = 0 β βπΊπΈββββ ββ.
Opção (B)
3. π΄(β1, 2) π΅(3, 0) πΆ(1,β5)
π(π΄, π΅) = β(β1 β 3)2 + (2 β 0)2 = β(β4)2 + 22 = β16 + 4 = β20 = 2β5
π(π΄, πΆ) = β(β1 β 1)2 + (2 β (β5))2= β(β2)2 + 72 = β4 + 49 = β53
π(π΅, πΆ) = β(3 β 1)2 + (0 β (β5))2= β22 + 52 = β4 + 25 = β29
Logo, A, B e C nΓ£o sΓ£o vΓ©rtices de um triΓ’ngulo equilΓ‘tero nem de um triΓ’ngulo isΓ³sceles
porque π(π΄, π΅) β π(π΄, πΆ) β π(π΅, πΆ).
π΄π΅ββββ β = π΅ β π΄ = (3, 0) β (β1, 2) = (4,β2)
πΆπ΅ββββ β = π΅ β πΆ = (3, 0) β (1,β5) = (2, 5)
π΄π΅ββββ β + πΆπ΅ββββ β = (4,β2) + (2, 5) = (6, 3)
βπ΄π΅ββββ β + πΆπ΅ββββ ββ = β(6, 3) β = β62 + 32 = β36 + 9 = β45 = 3β5
Opção (C)
4. (π₯, π¦) = (1, 0) + π(β1, 2), π β β
Como um vetor diretor da reta Γ© (β1, 2), entΓ£o o seu declive Γ© 2
β1 = β2, o que significa que
a reta Γ© paralela Γ reta de equação π¦ = β2π₯.
Opção (D)
5. Os pontos (2, 0) e (0, 8) pertencem Γ reta s. Logo, a ordenada na origem desta reta Γ© 8 e o
seu declive Γ© 0β8
2β0 = β4. Assim, a equação reduzida da reta s Γ© π¦ = β4π₯ + 8.
Opção (B)
127
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
6. π΄πΈββββ β = β2ππΊββββ ββ , logo os vetores π΄πΈββββ β e ππΊββββ ββ nΓ£o sΓ£o simΓ©tricos, porque nΓ£o tΓͺm o mesmo
comprimento, e a afirmação (I) é falsa.
ππΏββββββ = β 1
3 π΄π·ββ ββ β, logo a afirmação (II) Γ© verdadeira.
Opção (D)
7. Para que οΏ½βοΏ½ e π£ sejam colineares: β3
2π+3 =
β2
β1 β 3 = β4π β 6 β 4π = β9 β π = β
9
4
Opção (D)
8. Substituindo π₯ e π¦ pelas coordenadas de P na equação da reta:
π2 = β5π β 6 β π2 + 5π + 6 = 0 β π =β5 Β± β25 β 24
2
β π = β2 β¨ π = β3
Opção (A)
9. ππ₯ β π¦ β 2 = 0 β π¦ = ππ₯ β 2
{π₯ = 1 + 2ππ¦ = 5 β 3π
, π β β, logo (2,β3) Γ© um vetor diretor desta reta e, portanto, o seu declive Γ© β 3
2.
Para que as retas sejam paralelas, tem-se entΓ£o que π = β 3
2
Opção (B)
10. Observe-se a figura, que representa a situação descrita no
enunciado. Como se pode observar, a mediatriz de [OA] tem
declive positivo e a ordenada na origem tambΓ©m Γ© positiva.
Opção (A)
11. O raio da circunferΓͺncia Γ© 3
2, porque Γ© metade da distΓ’ncia entre o eixo ππ¦ e a reta de
equação π₯ = 3, que sΓ£o tangentes Γ circunferΓͺncia. O centro da circunferΓͺncia Γ© o ponto de
coordenadas (3
2,1
2+3
2) = (
3
2, 2).
Assim, uma equação da circunferΓͺncia Γ© (π₯ β3
2)2
+(π¦ β 2)2 = 9
4. A reta representada na
figura tem a direção do vetor ππΆββββ β (3
2, 2), logo o seu declive Γ©
23
2
=4
3. AlΓ©m disso, esta reta
contΓ©m a origem do referencial. Assim, uma equação da reta Γ© π¦ = 4
3 π₯. Uma condição que
define o conjunto de pontos a sombreado Γ©, entΓ£o, (π₯ β3
2)2
+(π¦ β 2)2 β€ 9
4 β§ π¦ β₯
4
3 π₯.
Opção (B)
128
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
12. π΄[ππ΄π΅] = 4 β π΄πΜ Μ Μ Μ Γππ΅Μ Μ Μ Μ
2 = 4 β
β2Γππ΅Μ Μ Μ Μ
2 = 4 β ππ΅Μ Μ Μ Μ =
8
β2 β ππ΅Μ Μ Μ Μ = 4β2
Tem-se entΓ£o que π΄(ββ2, 0) e π΅(0, β4β2). Logo, a ordenada na origem da reta AB Γ© β4β2
e o seu declive Γ© 0+4β2
ββ2β0 = β4.A equação reduzida da reta AB Γ© π¦ = β4π₯ β 4β2.
Opção (B)
13. Substituindo π¦ por 2π₯ + π na equação da elipse:
π₯2
16 +
(2π₯+π)2
4 = 1 β π₯2 + 4(2π₯ + π)2 = 16 β π₯2 + 4(4π₯2 + 4ππ₯ + π2) = 16
β π₯2 + 16π₯2 + 16ππ₯ + 4π2 β 16 = 0 β 17π₯2 + 16ππ₯ + 4π2 β 16 = 0
Para que exista apenas um ponto de interseção entre a reta e a elipse, esta equação terÑ de
ter apenas uma solução, pelo que o valor do seu binómio discriminante terÑ de ser nulo.
Assim: (16π)2 β 4 Γ 17 Γ (4π2 β 16) = 0 β 16 Γ 16π2 β 16 Γ 17π2 + 16 Γ 4 Γ 17 = 0
β 16π2 β 17π2 + 4 Γ 17 = 0
β βπ2 + 4 Γ 17 = 0
β π2 = 4 Γ 17
β π = 2β17 β¨ π = β2β17 Opção (A)
14.
a) ππ»ββββ ββ + π΄πββββββ = ππ»ββββ ββ + π»πββββββ = ππββββββ
b) 3π΄πΊββββ β + πΌπ·ββββ = π΄π ββββ β + π πββββ ββ = π΄πββββ ββ
c) 2ππ»ββββββ β πΌπΈββββ = ππΉββ ββ + πΉπ»ββ ββ β = ππ»ββββ β
d) (π΅ β π) + (πΆ β πΎ) = ππ΅ββββββ + πΎπΆββββ β = π΄πββββββ + ππ΅ββββββ = π΄π΅ββββ β
e) π΄πββββ ββ + ππββββ β = π΄πββββ ββ + ππ΄ββββ ββ = 0β
f) 1
3π πββ ββ β β πΌπΉββββ = π πββ ββ β + ππββββ β = π πββββ β
g) πΏ +1
2π΄π΅ββββ β = πΏ + πΏπββ ββ = π
h) π· + ππββ ββ = π· + π·πΌββββ = πΌ
i) π» β πΆπββββ β = π» + π»πΏββββ β = πΏ
j) πΈ + ππΆββββ β + πΈπββββββ = πΈ + πΈπ·ββ ββ β + π·πββ ββ ββ = π· + π·πββ ββ ββ = π
15. π = β2π₯ + π¦ οΏ½βοΏ½ = 4π₯ β 3π¦
a) 2(π + οΏ½βοΏ½ ) = 2(β2π₯ + π¦ + 4π₯ β 3π¦ ) = 2(2π₯ β 2π¦ ) = 4π₯ β 4π¦
b) β3π β οΏ½βοΏ½ = β3(β2π₯ + π¦ ) β (4π₯ β 3π¦ ) = 6π₯ β 3π¦ β 4π₯ + 3π¦ = 2π₯
c) 1
2 π β
1
3 οΏ½βοΏ½ =
1
2 (β2π₯ + π¦ ) β
1
3 (4π₯ β 3π¦ ) = βπ₯ +
1
2 π¦ β
4
3 π₯ + π¦ = β
7
3 π₯ +
3
2 π¦
16. π (β1, 3) οΏ½βοΏ½ (5, 2)
a) π = 2π + 2οΏ½βοΏ½ = 2(β1, 3) + 2(5, 2) = (β2, 6) + (10, 4) = (8, 10)
b) π = 1
5 οΏ½βοΏ½ β π =
1
5 (5, 2) β (β1, 3) = (1,
2
5) β(β1, 3) = (2, β
13
5)
129
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
c) 1
3 π = 2π β οΏ½βοΏ½ β 2π =
1
3 π + οΏ½βοΏ½ β π =
1
2 (1
3π + οΏ½βοΏ½ ) β π =
1
2 (1
3(β1, 3) + (5, 2))
β π = 1
2 ((β
1
3, 1) + (5, 2)) β π =
1
2 ((β
1
3, 1) + (5, 2)) β π =
1
2 (14
3, 3) β π = (
7
3,3
2)
17.
a) Uma equação vetorial da reta que passa no ponto π΄(β1, π) e tem a direção do vetor οΏ½βοΏ½ (β8, 3)
Γ© (π₯, π¦) = (β1, π) + π(β8, 3), π β β.
b) π·πΈββ ββ β = πΈ β π· = (β8, β4) β (β2, 1) = (2β2, β4) β (β2, 1) = (β2, β5)
Uma equação vetorial da reta DE Γ© (π₯, π¦) = (β2, 1) + π(β2, β5), π β β.
c) Um vetor diretor da reta Γ© (1, 0), porque se trata de uma reta paralela ao eixo das abcissas.
Uma equação vetorial da reta paralela ao eixo das abcissas e que contΓ©m o ponto (7, β1
2) Γ©
(π₯, π¦) = (7,β1
2) + π(1,0), π β β.
d) Um vetor diretor da reta Γ© (0, 1), porque se trata de uma reta paralela ao eixo das ordenadas.
Uma equação vetorial da reta paralela ao eixo das ordenadas e que contΓ©m o ponto (9, β3) Γ©
(π₯, π¦) = (9, β3 ) + π(0,1) β β.
18. π(2, 1) π(5,β7)
a) ππββββ β = π β π = (5,β7) β (2, 1) = (3,β8)
Uma equação vetorial da reta PQ Γ© (π₯, π¦) = (2, 1) + π(3,β8), π β β.
b) Uma equação vetorial do segmento de reta [PQ] Γ© (π₯, π¦) = (2, 1) + π(3,β8), π β [0, 1].
c) Uma equação vetorial da semirreta οΏ½ΜοΏ½π Γ© (π₯, π¦) = (2, 1) + π(3,β8), π β [0,+β[.
d) Uma equação vetorial da semirreta οΏ½ΜοΏ½π Γ© (π₯, π¦) = (5,β7) + π(β3, 8), π β [0,+β[.
19. r Γ© uma reta horizontal, logo r: π¦ = 2. (v)
u Γ© uma reta com declive negativo, logo u: π¦ = βπ₯ + 3. (iii)
t Γ© uma reta com ordenada na origem positiva, logo t: π¦ = π₯ + 3. (ii)
v e s sΓ£o ambas retas com declive positivo e tΓͺm a mesma ordenada na origem. No entanto,
o declive de v Γ© maior que o declive de s, logo v: π¦ = 2π₯ β 2 (i) e s: π¦ = π₯ β 2. (iv)
20.
a) A equação reduzida da reta com declive β3 e que interseta o eixo ππ¦ no ponto de ordenada 2
Γ© π¦ = β3π₯ + 2.
b) Como a reta tem a direção do vetor οΏ½βοΏ½ (5, 1), o seu declive Γ© 1
5. Assim, a equação reduzida da
reta Γ© da forma π¦ = 1
5 π₯ + π. Como π΄(β1, 2) pertence Γ reta, tem-se que:
2 = 1
5 Γ (β1) + π β π =
11
5.
Logo, a equação reduzida da reta Γ© π¦ = 1
5 π₯ +
11
5.
130
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
c) π·πΈββ ββ β = πΈ β π· = (3
2, β6) β (
1
2, 1) = (1,β7)
Logo, o declive da reta Γ© β7 e a sua equação reduzida Γ© da forma π¦ = β7π₯ + π. Como
π· (1
2, 1) pertence Γ reta, tem-se que 1 = β7 Γ
1
2 +π β π =
9
2. Logo, a equação reduzida da
reta Γ© π¦ = β7π₯ + 9
2.
d) Um vetor diretor da reta Γ© (2, 3), pelo que o seu declive Γ© 3
2 e a sua equação reduzida é da
forma π¦ = 3
2 π₯ + π. Como o ponto (1,β4) pertence Γ reta, tem-se que:
β4 = 3
2 Γ 1 + π β π = β
11
2. Logo, a equação reduzida da reta Γ© π¦ =
3
2 π₯ β
11
2.
e) Trata-se de uma reta horizontal que passa no ponto (7, β2), logo a sua equação reduzida Γ©
π¦ = β2.
f) β7π₯ + 2π¦ + 1
3 = 0 β π¦ =
7
2 π₯ β
1
6
Assim, o declive da reta Γ© 7
2 e, como o ponto (0, 0) pertence à reta, a sua equação reduzida
Γ© π¦ = 7
2 π₯.
21.
a) (2, 3) Γ© um ponto pertencente Γ reta r. Se, por exemplo, π₯ = 1, entΓ£o:
(1, π¦) = (2, 3) + π(β1, 2) β (1, π¦) = (2, 3) + (βπ, 2π) β (1, π¦) = (2 β π, 3 + 2π)
β 2β π = 1 β§ 3 + 2π = π¦
β π = 1 β§ π¦ = 5
Logo, o ponto (1, 5) tambΓ©m pertence Γ reta r.
O ponto (1, β2) pertence Γ reta s. Se, por exemplo, π₯ = 2, entΓ£o:
{2 = 1 + π
π¦ = β2 β 2πβ {
π = 1
π¦ = β2 β 2
Logo, o ponto (2, β2 β 2) tambΓ©m pertence Γ reta s.
O ponto (0, 4) pertence Γ reta t. Se, por exemplo, π₯ = 3, entΓ£o π¦ = 1
3 Γ 3 + 4 = 5.
Logo, o ponto (3, 5) tambΓ©m pertence Γ reta t.
b) O vetor (β1, 2) Γ© um vetor diretor da reta r. Fazendo, por exemplo, 2 (β1, 2) obtΓ©m-se o
vetor (β2, 4), que tambΓ©m Γ© um vetor diretor da reta r.
O vetor (1, β2) Γ© um vetor diretor da reta s. Fazendo, por exemplo, 10 (1, β2) obtΓ©m-se o
vetor (10, β20), que tambΓ©m Γ© um vetor diretor da reta s.
Como o declive da reta t Γ© 1
3, o vetor (3, 1) Γ© um vetor diretor da reta t, bem como o seu
simΓ©trico (β3, β1).
c) O declive da reta r Γ© 2
β1 = β2.
O declive da reta s Γ© β2
1 = β2.
131
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
O declive da reta t Γ© 1
3.
Logo, as retas r e s sΓ£o paralelas e a reta t nΓ£o Γ© paralela a nenhuma delas.
d) Qualquer ponto que pertenΓ§a ao eixo das ordenadas Γ© da forma (0, π¦), onde π¦ Γ© um nΓΊmero
real.
Assim, no que respeita Γ reta r:
(0, π¦) = (2, 3) + π(β1, 2) β (0, π¦) = (2, 3) + (βπ, 2π) β (0, π¦) = (2 β π, 3 + 2π)
β 2β π = 0 β§ π¦ = 3 + 2π
β π = 2 β§ π¦ = 7
Logo, o ponto de interseção da reta r com o eixo das ordenadas é (0, 7).
Para a reta s:
{0 = 1 + π
π¦ = β2 β 2πβ {
π = β1
π¦ = β2 + 2
Logo, o ponto de interseção da reta s com o eixo das ordenadas Γ© (0, β2 + 2).
O ponto de interseção da reta t com o eixo das ordenadas é (0, 4).
22.
a) O centro da circunferΓͺncia Γ© (1, 2) e o seu raio Γ© πΆπΜ Μ Μ Μ = β(1 β 0)2 + (2 β 0)2 = β12 + 22
= β1 + 4 = β5. Logo, uma equação da circunferΓͺncia Γ© (π₯ β 1)2 + (π¦ β 2)2 = 5. A reta OC
tem como vetor diretor o vetor ππΆββββ β(1,2), logo o declive da reta Γ© 2
1 = 2 Assim, a equação da
reta OC Γ© π¦ = 2π₯. EntΓ£o, uma condição que representa o conjunto de pontos a sombreado Γ©:
(π₯ β 1)2 + (π¦ β 2)2 β€ 5 β§ π¦ β€ 2π₯ β§ 0 β€ π¦ β€ 2
b) D Γ© um ponto de interseção da reta de equação π¦ = 2 com a circunferΓͺncia, logo:
(π₯ β 1)2 + (2 β 2)2 = 5 β (π₯ β 1)2 = 5 β π₯ β 1 = β5 β¨ π₯ β 1 = ββ5
β π₯ = 1 + β5 β¨ π₯ = 1 β β5
Como D tem abissa positiva, entΓ£o as coordenadas de D sΓ£o (1 + β5, 2).
c) A reta paralela a OC tem declive 2, tal como OC, e Γ© da forma π¦ = 2π₯ + π. Como D Γ© um
ponto dessa reta, 2 = 2(1 + β5) + π β π = 2 β 2 β 2β5 β π = β2β5 .
Assim, a reta tem como equação reduzida π¦ = 2π₯ β 2β5.
d) π΄[ππΆπ·] = πΆπ·Μ Μ Μ Μ Γβ
2 =
β5Γ2
2 = β5 u. a.
23. Seja P o ponto tal que B e P sΓ£o vΓ©rtices consecutivos do losango. P pertence Γ reta AC e Γ©
tal que βπ΄π΅ββββ ββ = βπ΅πββββ ββ.
π΄πΆββββ β = πΆ β π΄ = (2, 1) β (0, 3) = (2,β2)
Logo, o declive da reta AC Γ© β2
2 = β1 e a sua ordenada na origem Γ© 3. Assim, a equação
reduzida da reta AC Γ© π¦ = βπ₯ + 3. Daqui se conclui que o ponto P Γ© da forma (π₯, βπ₯ + 3),
sendo π₯ um nΓΊmero real.
βπ΄π΅ββββ ββ = βπ΅ β π΄β = β(5, 4) β (0, 3)β = β(5, 1)β = β52 + 12 = β26
132
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
Assim:
βπ΅πββββ ββ = β26 β β(π₯ β 5)2 + (βπ₯ + 3 β 4)2 = β26 β π₯2 β 10π₯ + 25 + π₯2 + 2π₯ + 1 = 26
β 2π₯2 β 8π₯ = 0
β 2π₯(π₯ β 4) = 0
β π₯ = 0 β¨ π₯ = 4
Como 0 Γ© a abcissa de A, entΓ£o 4 Γ© a abcissa de P, logo P(4, β1).
Seja agora Q o ponto tal que Q e A sΓ£o vΓ©rtices consecutivos do losango.
Q pertence Γ reta BC e Γ© tal que βπ΄πββββ ββ = βπ΄π΅ββββ ββ.
π΅πΆββββ β = πΆ β π΅ = (2, 1) β (5, 4) = (β3,β3)
Logo, o declive da reta BC Γ© β3
β3 = 1 A equação reduzida de BC Γ© entΓ£o da forma π¦ = π₯ + π.
Como C pertence a BC tem-se que 1 = 2 + b b = β1.
Assim, a equação reduzida da reta BC Γ© π¦ = π₯ β 1.
Daqui se conclui que o ponto Q Γ© da forma (π₯, π₯ + 1), sendo π₯ um nΓΊmero real. Assim:
βπ΄πββββ ββ = β26 β β(π₯ β 0)2 + (π₯ β 1 β 3)2 = β26 β π₯2 + π₯2 β 8π₯ + 16 = 26
β 2π₯2 β 8π₯ β 10 = 0 β π₯2 β 4π₯ β 5 = 0 β π₯ = 4Β±β16+20
2 β π₯ = β1 β¨ π₯ = 5
Como 5 Γ© a abcissa de B, entΓ£o β1 Γ© a abcissa de Q, logo Q(β1,β2).
24. Se οΏ½βοΏ½ Γ© colinear com π£ (2, β6), entΓ£o existe um nΓΊmero real k tal que οΏ½βοΏ½ = (2π, β6π). E como
οΏ½βοΏ½ tem o mesmo sentido de π£ , entΓ£o π > 0.
βοΏ½βοΏ½ β = 8 β β(2π)2 + (β6π)2 = 8 β 4π2 + 36π2 = 64
β π2 = 64
40
β π = 8
2β10 β¨ π = β
8
2β10
β π = 2β10
5 β¨ π = β
2β10
5
Como π > 0, entΓ£o οΏ½βοΏ½ = (2 Γ2β10
5, β6 Γ
2β10
5) = (
4β10
5,β12β10
5)
25. Se οΏ½βοΏ½ Γ© colinear com π£ (1,5), entΓ£o existe um nΓΊmero real k tal que οΏ½βοΏ½ = (π, 5π). Como οΏ½βοΏ½ tem
sentido contrΓ‘rio ao de π£ , entΓ£o π < 0.
βοΏ½βοΏ½ β = 12 β βπ2 + (5π)2 = 12 β π2 + 25π2 = 144
β π2 = 144
26
β π = 12
β26 β¨ π = β
12
β26
β π = 6β26
13 β¨ π = β
6β26
13
Como π < 0, entΓ£o οΏ½βοΏ½ = (β6β26
13, 5 Γ (β
6β26
13)) = (β
6β26
13, β
30β26
13).
133
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
26.
a) Um ponto da reta r Γ© (0, β7
4). Como o declive da reta r Γ©
3
4, entΓ£o um seu vetor diretor Γ© (4, 3).
b) O ponto de interseção da reta r com o eixo O x Γ© da forma (π₯, 0), sendo π₯ um nΓΊmero real.
Assim, 0 = 3
4 π₯ β
7
4 β 0 = 3π₯ β 7 β π₯ =
7
3.
Ou seja, o ponto de interseção da reta r com o eixo ππ₯ Γ© (7
3, 0). O ponto de interseção da reta
r com o eixo ππ¦ Γ© (0, β7
4).
c) O ponto (1, 5) pertence Γ reta s se existir um k tal que:
(1, 5) = (1, 2) + π(β4, 3) β (1, 5) = (1, 2) + (β4π, 3π) β (1, 5) = (1 β 4π, 2 + 3π)
β 1β 4π = 1 β§ 2 + 3π = 5
β π = 0 β§ π = 1
Logo, o ponto (1, 5) nΓ£o pertence Γ reta s.
d) Um vetor diretor da reta s Γ© (β4, 3), logo o seu declive Γ© 3
β4= β
3
4 e a sua equação
reduzida Γ© da forma π¦ = β 3
4 π₯ + π. Como (1, 2) Γ© um ponto da reta s, tem-se que:
2 = β 3
4 Γ 1 + π β π =
11
4
Assim, a equação reduzida da reta s Γ© π¦ = β 3
4 π₯ +
11
4.
e) O declive da reta r Γ© 3
4 e o declive da reta s Γ© β
3
4, logo as retas nΓ£o sΓ£o paralelas.
f) Igualando os segundos membros das equaçáes reduzidas das retas r e s, obtém-se:
3
4 π₯ β
7
4 = β
3
4 π₯ +
11
4 β 3π₯ β 7 = β3π₯ + 11 β 6π₯ = 18 β π₯ = 3
Como π₯ = 3, entΓ£o π¦ = 3
4 Γ 3 β
7
4 =
1
2. Logo, o ponto de interseção das retas r e s é o ponto
de coordenadas (3,1
2).
g) Qualquer reta paralela Γ reta r tem equação reduzida da forma π¦ = 3
4 π₯ + π Como (4, β5) Γ©
um ponto da reta cuja equação se pretende determinar, entΓ£o β5 = 3
4 Γ 4 + π β π = β8.
Logo, a equação reduzida da reta Γ© π¦ = 3
4 π₯ β 8.
h) Para que A pertenΓ§a Γ reta r: 5π = 3
4 Γ 10 β
7
4 β 5π =
23
4 β π =
23
20
i) Uma equação da circunferΓͺncia de centro (1, β7
4) e raio 1 Γ© (π₯ β 1)2 + (π¦ +
7
4)2
= 1.
Os pontos de interseção da reta r com esta circunferΓͺncia sΓ£o da forma (π₯,3
4π₯ β
7
4), onde π₯ Γ©
um nΓΊmero real.
134
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
Assim:
(π₯ β 1)2 + (3
4π₯ β
7
4+
7
4)2
= 1 β π₯2 β 2π₯ + 1 + 9
16 π₯2 = 1 β 25π₯2 β 32π₯ = 0
β π₯(25π₯ β 32) = 0
β π₯ = 0 β¨ π₯ = 32
25
Se π₯ = 0, entΓ£o π¦ = β 7
4 e obtΓ©m-se o ponto (0,β
7
4).
Se π₯ = 32
25, entΓ£o π¦ =
3
4 Γ
32
25 β
7
4 = β
79
100 e obtΓ©m-se o ponto (
32
25, β
79
100).
27. O ponto de interseção da reta s com o eixo ππ₯ Γ© da forma (π₯, 0), onde π₯ Γ© um nΓΊmero real.
Assim:
(π₯, 0) = (2, 3) + π(β1, 2) β (π₯, 0) = (2, 3) + (βπ, 2π) β (π₯, 0) = (2 β π, 3 + 2π)
β π₯ = 2 β π β§ 3 + 2π = 0
β π₯ = 2 β π β§ π = β 3
2
β π₯ = 2 β (β3
2) β§ π = β
3
2
β π₯ = 7
2 β§ π = β
3
2
O ponto de interseção da reta s com o eixo ππ₯ Γ© entΓ£o o ponto de coordenadas (7
2, 0). Um
vetor diretor da reta r Γ© (β2, 5), logo o seu declive Γ© β5
2 e, portanto, qualquer reta paralela Γ
reta r terΓ‘ equação reduzida da forma π¦ = β 5
2 π₯ + π Como o ponto de coordenadas (
7
2, 0)
pertence Γ reta cuja equação se pretende determinar, tem-se 0 = β 5
2 Γ
7
2 +π β π =
35
4.
Assim, a equação reduzida da reta paralela Γ reta r e que interseta o eixo ππ₯ no mesmo
ponto que a reta s Γ© π¦ = β 5
2 π₯ +
35
4.
28.
a) O raio da circunferΓͺncia Γ© π΄πΜ Μ Μ Μ = β(3 β 0)2 + (1 β 0)2 = β9 + 1 = β10.
O seu centro Γ© a origem do referencial.
Assim, uma equação da circunferΓͺncia Γ© π₯2 + π¦2 = 10.
Um vetor diretor da reta AC Γ© π΄πΆββββ β = πΆ β π΄ = (0, 10) β (3, 1) = (β3, 9), pelo que o seu declive Γ©
9
β3= β3 Assim, a equação reduzida da reta AC Γ© π¦ = β3π₯ + 10. A reta BC Γ© simΓ©trica de
AC relativamente ao eixo ππ¦, logo a sua equação reduzida Γ© π¦ = 3π₯ + 10. A regiΓ£o
sombreada Γ© entΓ£o definida pela condição π₯2 + π¦2 β₯ 10 β§ π¦ β€ β3π₯ + 10 β§ π¦ β€ 3π₯ + 10.
b) Uma equação da circunferΓͺncia interna Γ© (π₯ β 1)2 + π¦2 = 1. Uma equação da circunferΓͺncia
externa Γ© (π₯ β 2)2 + π¦2 = 4. Para determinar a equação reduzida da reta AB Γ© necessΓ‘rio
determinar as coordenadas de B, que Γ© o ponto da circunferΓͺncia externa cuja abcissa Γ© 3:
(3 β 2)2 + π¦2 = 4 β 12 + π¦2 = 4 β π¦2 = 3 β π¦ = β3 β¨ π¦ = ββ3
135
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
Como a ordenada de B Γ© positiva, tem-se que π΅(3, β3).
EntΓ£o, π΄π΅ββββ β = π΅ β π΄ = (3, β3) β (1, 0) = (2, β3). Logo, o declive da reta AB Γ© β3
2 e a sua
equação reduzida Γ© da forma π¦ = β3
2 π₯ + π Como A pertence a esta reta, obtΓ©m-se:
0 = β3
2 Γ 1 + π β π = β
β3
2
Logo, a equação reduzida da reta AB Γ© π¦ = β3
2 π₯ β
β3
2 Assim, uma condição que define o
conjunto de pontos a sombreado Γ©:
(π₯ β 1)2 + π¦2 β₯ 1 β§ (π₯ β 2)2 + π¦2 β€ 4 β§ π¦ β€β3
2π₯ β
β3
2 β§ π¦ β₯ 0
c) Uma equação da circunferΓͺncia da esquerda Γ© (π₯ + 1)2 + π¦2 = 1. Uma equação da
circunferΓͺncia da direita Γ© (π₯ β 1)2 + π¦2 = 1. A reta da esquerda passa nos pontos de
coordenadas (β2, 0) e (0,β3), logo o seu declive Γ© 0+3
β2β0= β
3
2 e a sua equação reduzida é
π¦ = β 3
2 π₯ β 3. A reta da direita passa nos pontos de coordenadas (2, 0) e (0,β3), logo o seu
declive Γ© 0+3
2β0=
3
2 e a sua equação reduzida Γ© π¦ =
3
2 π₯ β 3
Logo, uma condição que define a região sombreada é:
((π₯ + 1)2 + π¦2 β€ 1 β§ π¦ β₯ 0) β¨ ((π₯ β 1)2 + π¦2 β€ 1 β§ π¦ β₯ 0) β¨ (π¦ β₯ β3
2π₯ β 3 β§ π¦ β₯
3
2π₯ β 3 β§ π¦ β€ 0)
29. 2ππββββββ β = 2(ππ΄ββββ ββ + π΄π΅ββββ β + π΅πββββββ ) = 2ππ΄ββββ ββ + 2π΄π΅ββββ β + 2π΅πββββββ
= π·π΄ββ ββ β + π΄π΅ββββ β + π΄π΅ββββ β + π΅πΆββββ β
= π΄π΅ββββ β + (π·π΄ββ ββ β + π΄π΅ββββ β + π΅πΆββββ β)
= π΄π΅ββββ β + π·πΆββββ β
30.
a) π΄π΅ββββ β + π΄πΆββββ β = π΄πββββ ββ + ππ΅ββ ββ ββ + π΄πββββ ββ + ππΆββββββ = 2π΄πββββ ββ + ππ΅ββ ββ ββ + ππΆββββββ = 2π΄πββββ ββ + 0β = 2π΄πββββ ββ
b) ππ΅ββββ β + ππΆββββ β = ππββββββ + ππ΅ββ ββ ββ + ππββββββ + ππΆββββββ = 2ππββββββ + ππ΅ββ ββ ββ + ππΆββββββ
= 2ππββββββ + 0β
= 2ππββββββ
31.
a) πΊπ΅ββββ β + πΊπΆββββ β = πΊπββββ ββ + ππ΅ββ ββ ββ + πΊπββββ ββ + ππΆββββββ = 2πΊπββββ ββ + 0β = 2πΊπββββ ββ
b) πΊπ΅ββββ β + πΊπΆββββ β + πΊπ΄ββββ β = πΊπββββ ββ + ππ΅ββ ββ ββ + πΊπββββ ββ + ππΆββββββ + πΊπ΄ββββ β = 2πΊπββββ ββ + 0β + πΊπ΄ββββ β
= 2πΊπββββ ββ + πΊπ΄ββββ β
= 2 Γ1
2π΄πΊββββ β + πΊπ΄ββββ β
= π΄πΊββββ β + πΊπ΄ββββ β
= 0β
32. O ponto de interseção da reta com o eixo ππ₯ Γ© da forma (π₯, 0), onde π₯ Γ© um nΓΊmero real.
2π₯ + 0 β 12 = 0 β π₯ = 6
136
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
Assim, esse ponto Γ© A(6, 0). O ponto de interseção da reta com o eixo ππ¦ Γ© da forma (0, π¦),
onde π¦ Γ© um nΓΊmero real.
0 + 3π¦ β 12 = 0 β π¦ = 4
Assim, esse ponto Γ© B(0, 4). EntΓ£o, o centro da circunferΓͺncia Γ© o ponto mΓ©dio de [AB]:
(6+0
2,0+4
2) = (3, 2)
O raio da circunferΓͺncia Γ©:
1
2 π΄π΅Μ Μ Μ Μ =
1
2 β(6 β 0)2 + (0 β 4)2 =
1
2 β36 + 16 =
1
2 β52 =
1
2 Γ 2β13 = β13
Logo, uma equação da circunferΓͺncia de diΓ’metro [AB] Γ© (π₯ β 3)2 + (π¦ β 2)2 = 13.
33. O ponto P(βπ, 5 + k ) Γ© um ponto genΓ©rico da reta. Substituindo π₯ e π¦ pelas coordenadas de
P na equação da elipse, obtém-se:
(βπ)2 + (5+π)2
4 = 1 β 4π2 + (5 + π)2 = 4 β 4π2 + 25 + 10π + π2 = 4
β 5π2 + 10π + 21 = 0
β π = β10Β±β100β4Γ5Γ21
10 Condição impossΓvel em β
Logo, a reta Γ© exterior Γ elipse.
34. π: 4π¦ = 3π₯ β 1 β π¦ = 3
4 π₯ β
1
4
π : 4π₯ β 3π¦ + 2 = 0 β π¦ = 4
3 π₯ +
2
3
Igualando ambas as expressΓ΅es, 3
4 π₯ β
1
4 =
4
3 π₯ +
2
3 β 9π₯ β 3 = 16π₯ + 8 β π₯ = β
11
7
Logo, π¦ = 3
4 Γ (β
11
7) β
1
4 = β
10
7. Obtém-se assim o ponto de interseção das duas retas
πΌ (β11
7, β
10
7), que Γ© um dos vΓ©rtices do triΓ’ngulo.
Seja A o ponto da reta r cuja distΓ’ncia ao ponto I Γ© 10 unidades. EntΓ£o π΄ (π₯,3
4π₯ β
1
4), onde
π₯ Γ© um nΓΊmero real.
π΄πΌΜ Μ Μ = 10 β β(π₯ +11
7)2+ (
3
4π₯ β
1
4+10
7)2 = 10 β (π₯ +
11
7)2+ (
3
4π₯ +
33
28)2 = 100
β (π₯ +11
7)2+ (
3
4(π₯ +
11
7))2
= 100
β (π₯ +11
7)2(1 +
9
16) = 100
β (π₯ +11
7)2 = 64
β π₯ + 11
7 = 8 β¨ π₯ +
11
7 = β8
β π₯ = 45
7 β¨ π₯ = β
67
7
137
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
Se π₯ = 45
7, entΓ£o π¦ =
3
4 Γ
45
7 β
1
4 =
32
7, logo A (
45
7,32
7).
Por outro lado, se π₯ = β 67
7, entΓ£o π¦ =
3
4 Γ (β
67
7) β
1
4 = β.
52
7 logo Aβ² (β
67
7, β
52
7)
Seja B o ponto da reta s cuja distΓ’ncia ao ponto I Γ© 10 unidades.
EntΓ£o, π΄ (π₯,4
3π₯ +
2
3) onde π₯ Γ© um nΓΊmero real.
π΅πΌΜ Μ Μ = 10 β β(π₯ +11
7)2+ (
4
3π₯ +
2
3+10
7)2 = 10 β (π₯ +
11
7)2+ (
4
3π₯ +
44
21)2 = 100
β (π₯ +11
7)2+ (
4
3(π₯ +
11
7))2
= 100
β (π₯ +11
7)2(1 +
16
9) = 100
β (π₯ +11
7)2 = 36
β π₯ + 11
7 = 6 β¨ π₯ +
11
7 = β6
β π₯ = 31
7 β¨ π₯ = β
53
7
Se π₯ = 31
7 entΓ£o π¦ =
4
3 Γ
31
7 +
2
3 =
46
7, logo B(
31
7,46
7 ).
Por outro lado, se π₯ = β 53
7, entΓ£o π¦ =
4
3 Γ (β
53
7) +
2
3 = β
66
7, logo Bβ² (β
53
7, β
66
7).
Assim, os vΓ©rtices do triΓ’ngulo sΓ£o I, A e B ou I, A' e B' ou I,A' e B ou I, A e B'.
Unidade 3 β Geometria analΓtica no espaΓ§o
PΓ‘ginas 238 a 256
61.
a) A projeção ortogonal do ponto F sobre a reta BC é o ponto B.
b) A projeção ortogonal do ponto F sobre a reta BF é o ponto F.
c) A projeção ortogonal do ponto F sobre o eixo ππ₯ Γ© o ponto A.
d) A projeção ortogonal do ponto F sobre o eixo ππ¦ Γ© o ponto C.
e) A projeção ortogonal do ponto F sobre o eixo ππ§ Γ© o ponto D.
62.
a) As coordenadas dos vΓ©rtices do cubo [ABCDEFGH] sΓ£o: A(6, 0, 0); B(6, 6, 0); C(0, 6, 0);
D(0, 0, 0); E(6, 6, 6); F(0, 6, 6); G(0, 0, 6); H(6, 0, 6)
b) As coordenadas dos vΓ©rtices do cubo [ABCDEFGH] sΓ£o: A(0, β6, 0); B(0, 0, 0); C(β6, 0, 0);
D(β6, β6, 0); E(0, 0, 6); F(β6, 0, 6); G(β6, β6, 6); H(0, β6, 6)
138
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
c) As coordenadas dos vΓ©rtices do cubo [ABCDEFGH] sΓ£o: A(3, β3, β3); B(3, 3, β3); C(β3, 3, β3);
D(β3, β3, β3); E(3, 3, 3); F(β3, 3, 3); G(β3, β3, 3); H(3, β3, 3)
63.
a) As coordenadas dos restantes vΓ©rtices do paralelepΓpedo sΓ£o: A(3, β4, 2); B(3, 4, 2); C(0, 4, 2);
D(0, β4, 2); E(3, β4, 0); F(3, 4, 0)
b) A projeção ortogonal do ponto B sobre o plano π₯ππ¦ Γ© F, sobre o plano π₯ππ§ Γ© I e sobre o plano
π¦ππ§ Γ© C.
No plano π₯ππ¦, o ponto F tem coordenadas (3, 4).
No plano π₯ππ§, o ponto I tem coordenadas (3, 2)
No plano π¦ππ§, o ponto C tem coordenadas (4, 2).
64.
a) O plano paralelo a π¦ππ§ que passa no ponto F Γ© π₯ = 3.
b) O plano paralelo a π₯ππ¦ que passa no ponto B Γ© π§ = 2.
c) O plano paralelo a π₯ππ§ que passa no ponto H Γ© π¦ = β4.
d) O plano paralelo ao plano ABC que passa pelo ponto de coordenadas (3, 4, 5) Γ© π§ = 5.
e) O plano que contΓ©m a face [EFGH] Γ© π§ = 0.
65.
a) As coordenadas dos restantes vΓ©rtices do prisma sΓ£o: A(3, 3, β6); C(0, 3, β6); D(0, 0, β6);
E(3, 0, 4); F(3, 3, 4); G(0, 3, 4); H(0, 0, 4)
b) i. O plano que contΓ©m a face [EFGH] Γ© π§ = 4.
ii. O plano BCG Γ© definido por π¦ = 3.
iii. A reta AE Γ© definida por π₯ = 3 π¦ = 0.
iv. A reta AB Γ© definida por π₯ = 3 π§ = β6.
c) i. π₯ = 3 π¦ = 3 define a reta BF.
ii. π₯ = 0 π§ = 4 define a reta GH.
iii. π¦ = 3 π§ = β6 define a reta BC.
iv. π₯ = 0 π¦ = 0 define o eixo ππ§.
66.
a) π΄π΅Μ Μ Μ Μ = β(3 β 3)2 + (0 β 3)2 + (β6 β (β6))2= β0 + 9 + 0 = 3
b) π΄πΈΜ Μ Μ Μ = β(3 β 3)2 + (0 β 0)2 + (β6 β 4)2 = β0 + 0 + 100 = 10
c) π΄πΆΜ Μ Μ Μ = β(3 β 0)2 + (0 β 3)2 + (β6 β (β6))2= β9 + 9 + 0 = β18 = 3β2
d) π΄πΉΜ Μ Μ Μ = β(3 β 3)2 + (0 β 3)2 + (β6 β 4)2 = β0 + 9 + 100 = β109
e) π΄πΊΜ Μ Μ Μ = β(3 β 0)2 + (0 β 3)2 + (β6 β 4)2 = β9 + 9 + 100 = β118
67.
a) π(π΄, π΅) = β(1 β (β3))2+ (β2 β 1)2 + (4 β 4)2 = β16 + 9 + 0 = β25 = 5
b) π(πΆ, π) = β(2 β 0)2 + (β1 β 0)2 + (β3 β 0)2 = β4 + 1 + 9 = β14
139
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
c) π(π·, πΈ) = β(1 β 1)2 + (2 β 2)2 + (3 β 5)2 = β0 + 0 + 4 = 2
d) π(πΉ, πΊ) = β(2 β 1)2 + (β2 β (β2 β 3))2
+ (2 β (β1))2= β1 + 9 + 9 = β19
e) π(π», πΌ) = β(π β π)2 + (π β π)2 + (π β π)2 = β3(π β π)2 = |π β π|β3
68. π΄π΅Μ Μ Μ Μ = β(β1 β 0)2 + (2 β β3)2+ (3 β 1)2 = β1 + 4 β 4β3 + 3 + 4 = β12 β 4β3
π΅πΆΜ Μ Μ Μ = β(0 β (β3))2+ (β3 β 0)
2+ (1 β 4)2 = β9 + 3 + 9 = β21
π΄πΆΜ Μ Μ Μ = β(β1 β (β3))2+ (2 β 0)2 + (3 β 4)2 = β4 + 4 + 1 = β9 = 3
Como π΄π΅Μ Μ Μ Μ β π΅πΆΜ Μ Μ Μ β π΄πΆΜ Μ Μ Μ , o triΓ’ngulo [ABC] Γ© um triΓ’ngulo escaleno.
69.
a) Por exemplo, A(1, 0, 0) e B(3, 0, 0).
b) Por exemplo, A(7, 0, 8) e B(7, β4, 8).
c) Por exemplo, A(1, 1, 0) e B(1, 1, 10).
70. π΄πΆΜ Μ Μ Μ = β(1 β 0)2 + (2 β π)2 + (β5 β 3)2 = β1 + (2 β π)2 + 64
= β65 + (2 β π)2
π΅πΆΜ Μ Μ Μ = β(β1 β 0)2 + (3 β π)2 + (β4 β 3)2 = β1 + (3 β π)2 + 49
= β50 + (3 β π)2
Como se pretende que o ponto C seja equidistante de A e de B:
π΄πΆΜ Μ Μ Μ = π΅πΆΜ Μ Μ Μ β β65 + (2 β π)2 = β50 + (3 β π)2 β 65 + (2 β π)2 = 50 + (3 β π)2
β 65 + 4 β 4π + π2 = 50 + 9 β 6π + π2
β 2π = β10
β π = β5 71.
a) Sendo A(0, 1, 0) e B(3, 0, 4), a equação do plano mediador é:
(π₯ β 0)2 + (π¦ β 1)2 + (π§ β 0)2 = (π₯ β 3)2 + (π¦ β 0)2 + (π§ β 4)2
β π₯2 + π¦2 β 2π¦ + 1 + π§2 = π₯2 β 6π₯ + 9 + π¦2 + π§2 β 8π§ + 16
β 6π₯ β 2π¦ + 8π§ β 24 = 0
β 3π₯ β π¦ + 4π§ β 12 = 0
b) Sendo A(0, β2, 3) e B(β3, 5, 3), a equação do plano mediador Γ©:
(π₯ β 0)2 + (π¦ + 2)2 + (π§ β 3)2 = (π₯ β β3)2+ (π¦ β 5)2 + (π§ β 3)2
β π₯2 + π¦2 + 4π¦ + 4 = π₯2 β 2β3π₯ + 3 + π¦2 β 10π¦ + 25
β 2β3π₯ + 14π¦ β 24 = 0
c) Vejamos se (0, 4, 4) pertence ao plano definido por 3π₯ β π¦ + 4π§ β 12 = 0:
3 Γ 0 β 4 + 4 Γ 4 β 12 = 0 β 0 β 4 + 16 β 12 = 0 β β16 + 16 = 0 β 0 = 0, que Γ© uma
proposição verdadeira. Logo, o ponto (0, 4, 4) pertence ao plano definido na alΓnea a).
Vejamos agora se (0, 4, 4) pertence ao plano definido por 2β3π₯ + 14π¦ β 24 = 0:
2β3 Γ 0 + 14 Γ 4 β 24 = 0 β 0 + 56 β 24 = 0 β 32 = 0, que Γ© uma proposição falsa. Logo, o
ponto (0, 4, 4) nΓ£o pertence ao plano definido na alΓnea b).
140
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
72.
a) π = πΆπ΄Μ Μ Μ Μ = β(1 β (β1))2+ (2 β 1)2 + (3 β 4)2 = β4 + 1 + 1 = β6
b) π = πΆπΜ Μ Μ Μ = β(3 β 0)2 + (2 β 0)2 + (1 β 0)2 = β9 + 4 + 1 = β14
c) π = 1
2 π΄π΅Μ Μ Μ Μ =
1
2 β(β3 β 2)2 + (5 β 4)2 + (7 β 6)2 =
1
2 β25 + 1 + 1 =
1
2 β27 =
3β3
2
73.
a) Uma equação da superfΓcie esfΓ©rica de centro C(1, 2, 3) e raio β6 Γ©:
(π₯ β 1)2 + (π¦ β 2)2 + (π§ β 3)2 = 6
b) Uma equação da superfΓcie esfΓ©rica de centro na origem do referencial e de raio β14 Γ©: π₯2 +
π¦2 + π§2 = 14
c) O centro da superfΓcie esfΓ©rica de diΓ’metro [AB] Γ© o ponto mΓ©dio deste segmento de reta, ou
seja, (β3+2
2,5+4
2,7+6
2) = (β
1
2,9
2,13
2). Assim, uma equação da superfΓcie esfΓ©rica
de centro (β1
2,9
2,13
2) e raio
3β3
2 Γ© (π₯ +
1
2)2+ (π¦ β
9
2)2+ (π§ β
13
2)2=
27
4.
74.
a) A superfΓcie esfΓ©rica tem centro (1, 2, β1) e raio β16 = 4.
b) A superfΓcie esfΓ©rica tem centro (β1
3, 0, β3) e raio β8 = 2β2.
c) A superfΓcie esfΓ©rica tem centro (0, 0, 0) e raio β1 = 1.
d) π₯2 + π¦2 + π§2 β 2π₯ β 4π¦ + 6π§ + 5 = 0
β π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2 β 4π¦ + 4 + π§2 + 6π§ + 9 = β5 + 1 + 4 + 9
β (π₯ β 1)2 + (π¦ β 2)2 + (π§ + 3)2 = 9
A superfΓcie esfΓ©rica tem centro (1, 2, β3) e raio β9 = 3.
e) 2π₯2 + 2π¦2 + 2π§2 + 8π₯ β 12π§ + 16 = 0 β π₯2 + π¦2 + π§2 + 4π₯ β 6π§ + 8 = 0
β π₯2 + 4π₯ + 4 + π¦2 + π§2 β 6π§ + 9 = β8 + 4 + 9
β (π₯ + 2)2 + π¦2 + (π§ β 3)2 = 5
A superfΓcie esfΓ©rica tem centro (β2, 0, 3) e raio β5.
75.
a) O centro da circunferΓͺncia Γ© o ponto mΓ©dio de [PQ], ou seja, (1+1
2,5β2
2,β2β4
2) = (1,
3
2, β3)
O raio da circunferΓͺncia Γ© 1
2 ππΜ Μ Μ Μ Μ =
1
2 β(1 β 1)2 + (5 + 2)2 + (β2 + 4)2 =
1
2 β0 + 49 + 4 =
β53
2.
b) i. (π₯ β 1)2 + (π¦ β3
2)2
+ (π§ + 3)2 = 53
4 β§ π₯ = 1 β (π¦ β
3
2)2
+ (π§ + 3)2 = 53
4 β§ π₯ = 1
ii. (π₯ β 1)2 + (π¦ β3
2)2
+ (π§ + 3)2 = 53
4 β§ π§ = 0 β (π₯ β 1)2 + (π¦ β
3
2)2
+ 9 = 53
4 β§ π§ = 0
β (π₯ β 1)2 + (π¦ β3
2)2
= 17
4 β§ π§ = 0
141
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
76.
a) A esfera de centro no ponto (π, 0, ββ5) e raio 1
3 Γ© definida por (π₯ β π)2 + π¦2 + (π§ + β5)
2β€ 1
9
b) A interseção da esfera de centro na origem do referencial e de raio 1 com o plano π₯ππ§ Γ©
def in ida por π₯2 + π¦2 + π§2 β€ 1 β§ π¦ = 0 β π₯2 + π§2 β€ 1 β§ π¦ = 0 .
c) A interseção da esfera definida por π₯2 + (π¦ β 1)2 + (π§ β 3)2 β€ 5 com o plano π₯ = 2 Γ© definida
por π₯2 + (π¦ β 1)2 + (π§ β 3)2 β€ 5 β§ π₯ = 2 β 4+ (π¦ β 1)2 + (π§ β 3)2 β€ 5 β§ π₯ = 2
β (π¦ β 1)2 + (π§ β 3)2 β€ 1 β§ π₯ = 2
d) A parte da esfera de centro A(1, 2, 3) e raio 10 situada no 3.Β° octante Γ© definida por:
(π₯ β 1)2 + (π¦ β 2)2 + (π§ β 3)2 β€ 100 β§ π₯ < 0 β§ π¦ < 0 β§ π§ > 0
e) Os pontos de cota nΓ£o positiva pertencentes Γ esfera de centro na origem e raio 7 sΓ£o
definidos por π₯2 + π¦2 + π§2 β€ 49 β§ π§ β€ 0.
Unidade 4 β CΓ‘lculo vetorial no espaΓ§o
PΓ‘ginas 257 a 267
77.
a) Por exemplo, [A, B], [B, C], [C, G], [G, E] e [D, F].
b) Por exemplo, [A, O] e [B, C].
c) Por exemplo, [A, O] e [C, B].
d) Por exemplo, π΄πΉββββ β e πΉπΆββββ β.
e) Por exemplo, π΄πΈββββ β e πΊπΆββββ β.
78.
a) πΌ + π΄πΆββββ β = πΌ + πΌπΎββββ = πΎ
b) πΉ + π½πΏββ β = πΉ + πΉπ»ββ ββ β = π»
c) π΄ + π»πΊββββββ + π΄πΏββββ β = π΄ + π΄π΅ββββ β + π΅πΎββββββ = π΅ + π΅πΎββββββ = πΎ
d) ππΌπΉββββ (π») = π» + πΌπΉββββ = π» + π»πΆββ ββ β = πΆ
e) π΄πΆββββ β + πΆπΊββββ β = π΄πΊββββ β
f) π·π»ββββββ + π΅πΉββββ β = π·π»ββββββ + π»πΏββββ β = π·πΏββββ β
g) π½πΏββ β + π»π·ββββββ = π½πΏββ β + πΏπ»ββββ β = π½π»ββββ
h) πΌπ»ββββ + πΆπΉββββ β = πΌπ»ββββ + π»πΌββ ββ = 0β
i) π΅πΆββββ β + πΈπΉββββ β = πΈπ»ββββββ + π»πΊββββββ = πΈπΊββββ β
j) π΄πΌββββ + (βπΈπΎββ ββ β) = πΆπΎββββ β + πΎπΈββ ββ β = πΆπΈββββ β
k) πΆπΎββββ β + (βπ·π»ββββββ ) = πΆπΎββββ β + πΎπΊββ ββ β = πΆπΊββββ β
l) (πΈ β π½) + (π· β π΄) = π½πΈββββ + π΄π·ββ ββ β = π½πΈββββ + πΈπ»ββββββ = π½π»ββββ
142
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
79.
a) πΌ + 2π½πΉββββ = πΌ + πΌπ΄ββββ = π΄
b) πΉ + 1
2 πΆπΎββββ β = πΉ + πΉπ½ββββ = π½
c) 1
2 πΌπΎββββ +
1
2 π½πΏββ β =
1
2 (πΌπΎββββ + π½πΏββ β) =
1
2 Γ 2πΌπΏββ β = πΌπΏββ β
d) 2πΌπΈββββ β πΏπ·ββββ β = πΌπ΄ββββ + π΄πΌββββ = 0β
80. ππ΅ββ ββ β = 3π1ββ β + 4π2ββ β + 0π3ββ β; ππ΅ββ ββ β(3, 4, 0)
ππΊββββ β = 3π1ββ β + 4π2ββ β + 2π3ββ β; ππΊββ ββ β(3, 4, 2)
πΈπΉββββ β = 3π1ββ β + 0π2ββ β + 0π3ββ β; πΈπΉββββ β(3, 0, 0)
πΈπ·ββ ββ β = 0π1ββ β + 4π2ββ β + 0π3ββ β; πΈπ·ββ ββ β(0, 4, 0)
πΉπ·ββββ β = β3π1ββ β + 4π2ββ β + 0π3ββ β; πΉπ·ββββ β(β3, 4, 0)
81. οΏ½βοΏ½ (2, β3, 5) π£ (π, 3, 1) οΏ½ββοΏ½ (β2,β6, π2 β 1)
οΏ½βοΏ½ = π£ + οΏ½ββοΏ½ β (2,β3, 5) = (π, 3, 1) + (β2,β6, π2 β 1) β (2, β3, 5) = (π β 2, 3 β 6, 1 + π2 β 1)
β (2,β3, 5) = (π β 2,β3, π2)
β π β 2 = 2 β§ β3 = β3 β§ π2 = 5
β π = 4 β§ π = Β±β5
Logo, π = 4 e π = β5 ou π = 4 e π = ββ5.
82. οΏ½βοΏ½ (2, β3, 4) π£ (β1, 0, 3) A(1, 2, β3) B(0, 2, 0)
a) οΏ½βοΏ½ + 2π£ = (2, β3, 4) + 2(β1, 0, 3) = (2,β3, 4) + (β2, 0, 6) = (0,β3, 10)
b) π΄π΅ββββ β β 1
3 π£ = π΅ β π΄ β
1
3 π£ = (0, 2, 0) β (1, 2, β3) β
1
3 = (β1, 0, 3) + (
1
3, 0, β1) = (β
2
3, 0, 2)
c) β οΏ½βοΏ½ + 4(2π£ ) = β(2,β3, 4) + 4(2(β1, 0, 3)) = (β2, 3,β4) + 4(β2, 0, 6) = (β2, 3, β4) + (β8, 0, 24)
= (β10, 3, 20)
d) π΄ + 1
2 οΏ½βοΏ½ = (1, 2, β3) +
1
2 (2, β3, 4) = (1, 2, β3) + (1,β
3
2, 2) = (2,
1
2, β1)
e) π΅π΄ββββ β = π΄ β π΅ = (1, 2,β3) β (0, 2, 0) = (1, 0, β3)
Logo, sΓ£o vetores colineares com π΅π΄ββββ β, por exemplo:
2π΅π΄ββββ β = (2, 0, β6)
β2π΅π΄ββββ β = (β2, 0, 6)
5π΅π΄ββββ β = (10, 0, β30)
f) β3π΄π΅ββββ β = 2οΏ½ββοΏ½ + οΏ½βοΏ½ β 3π΅π΄ββββ β = 2οΏ½ββοΏ½ + οΏ½βοΏ½ β 3(1, 0, β3) = 2οΏ½ββοΏ½ + (2,β3, 4)
β 2οΏ½ββοΏ½ = (3, 0, β9) β (2,β3, 4)
β 2οΏ½ββοΏ½ = (1, 3, β13)
β οΏ½ββοΏ½ = 1
2 (1, 3, β13)
β οΏ½ββοΏ½ = (1
2,3
2, β
13
2)
83.
a) π (1, β3, 7) οΏ½βοΏ½ (2, β6, 14)
Uma vez que οΏ½βοΏ½ = 2π , entΓ£o π e οΏ½βοΏ½ sΓ£o vetores colineares.
143
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
b) π (0, β1,1
2) οΏ½βοΏ½ (0, 4, β1)
Uma vez que οΏ½βοΏ½ = β4π , entΓ£o π e οΏ½βοΏ½ sΓ£o vetores colineares.
c) π (0, 0, 7) οΏ½βοΏ½ (0, 0, β1)
Uma vez que π = β7οΏ½βοΏ½ , entΓ£o π e οΏ½βοΏ½ sΓ£o vetores colineares.
d) π (1, 4, 0) οΏ½βοΏ½ (2, 8, 1)
Uma vez que 1
2=
4
8β
0
1, entΓ£o π e οΏ½βοΏ½ nΓ£o sΓ£o vetores colineares.
84. οΏ½βοΏ½ Γ© colinear com π£ , logo οΏ½βοΏ½ (π, β2π,βπ), para algum nΓΊmero real k nΓ£o nulo.
Tendo em conta que οΏ½βοΏ½ tem sentido contrΓ‘rio ao de π£ , entΓ£o o valor de k terΓ‘ de ser negativo.
βοΏ½βοΏ½ β = 8 β βπ2 + (β2π)2 + (βπ)2 = 8 β π2 + (β2π)2 + (βπ)2 = 64
β π2 + 4π2 + π2 = 64
β 6π2 = 64
β π2 = 64
6
β π = 8
β6 β¨ π = β
8
β6
β π = 4β6
3 β¨ π = β
4β6
3
Como k < 0, tem-se que οΏ½βοΏ½ (β4β6
3,8β6
3,4β6
3).
85.
a) Uma equação vetorial da reta r que tem a direção de π£ e que passa em A Γ©:
(π₯, π¦, π§) = (β1, 3, 1) + π(0, 1, 2), π β β
b) As equaçáes paramétricas da reta são:
{π₯ = β1π¦ = 3 + ππ§ = 1 + 2π
, π β β
c) O ponto (β1, 1, β3) pertence Γ reta se existir um k tal que:
(β1, 1, β3) = (β1, 3,β1) + π(0, 1, 2) β (β1, 1, β3) = (β1 ,3, β1) + (0, π, 2π)
β (β1, 1, β3) = (β1, 3 + π, 1 + 2π)
β β1 = β1 β§ 3 + π = 1 β§ 1 + 2π = β3
β π = β2 β§ 2π = β4
β π = β2 β§ π = β2
Logo, π = β2, o que significa que o ponto B pertence Γ reta r.
144
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
d) π(π₯, 0, π§), π₯, π§ β β, uma vez que se trata de um ponto do plano π₯ππ§.
Assim:
(π₯, 0, π§) = (β1, 3, 1) + π(0, 1, 2) β (π₯, 0, π§) = (β1, 3, 1) + (0, π, 2π)
β (π₯, 0, π§) = (β1, 3 + π, 1 + 2π)
β π₯ = β1 β§ 3 + π = 0 β§ 1 + 2π = π§
β π₯ = β1 β§ π = β3 β§ π§ = 1 β 6
β π₯ = β1 β§ π = β3 β§ π§ = β5
Logo, P(β1, 0, β5).
Aprende Fazendo
PΓ‘ginas 268 a 276
1. P(β1, 2, 3)
a) Um plano paralelo a π₯ππ¦ Γ© definido por uma condição da forma π§ = π. Como a cota de P Γ© 3,
entΓ£o o plano paralelo a π₯ππ¦ e que passa pelo ponto P Γ© definido pela condição π§ = 3.
Opção (C)
b) Um plano perpendicular ao eixo das ordenadas Γ© definido por uma condição da forma π¦ = π.
Como a ordenada de P Γ© 2, entΓ£o o plano perpendicular ao eixo das ordenadas e que passa
pelo ponto P Γ© definido pela condição π¦ = 2.
Opção (B)
2. A(β2, 3, 1) B(2, β5, 0)
O centro da esfera Γ© o ponto mΓ©dio do segmento de reta [AB]: (β2+2
2,3β5
2,1+0
2) = (0,β1,
1
2)
O raio da esfera Γ©:
1
2 π΄π΅Μ Μ Μ Μ =
1
2 β(β2 β 2)2 + (3 + 5)2 + (1 β 0)2 =
1
2 β16 + 64 + 1 =
1
2 β81 =
9
2.
Logo, uma condição que define a esfera de diΓ’metro [AB] Γ© π₯2 + (π¦ + 1)2 + (π§ β1
2)2 β€
81
4.
Opção (C)
3. E(1, 0, 0) e C(0, 1, 1), logo:
βπΈπΆββββ ββ = β(0,1,1) β (1,0,0)β = β(β1,1,1)β = β(β1)2 + 12 + 12 = β1 + 1 + 1 + β3 β β2
π· + 1
2 Γ© o ponto mΓ©dio de [DC] e nΓ£o de [AB].
Os vetores π΄πΆββββ β e π΅π·ββββββ nΓ£o sΓ£o colineares porque nΓ£o tΓͺm a mesma direção.
π΄πΈββββ β + πΉπΊββββ β = (0, 0, β1) + (β1, 0, 0) = (β1, 0,β1)
Opção (D)
4. A afirmação falsa Γ© a C, uma vez que o plano de equação π§ = β1 Γ© paralelo ao plano π₯ππ¦ e
nΓ£o ao plano π¦ππ§.
Opção (C)
145
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
5. Como o ponto pertence ao eixo ππ§, entΓ£o:
π2 β 1 = 0 β§ π2 β π = 0 β (π = 1 β¨ π = β1) β§ (π = 1 β¨ π = 0) β π = 1 β¨ (π = β1 β§ π = 0)
Logo, π = 1.
Opção (B)
6. π΄ (3, 2,1
2) πΆ(3, β4, 2 π)
π΄πΆΜ Μ Μ Μ = 10 β β(3 β 3)2 + (2 + 4)2 + (1
2β 2π)
2
= 10 β 0+ 36 + (1
2β 2π)
2
= 100
β (1
2β 2π)
2
= 64
β 1
2 β2π = 8 β¨
1
2 β2π = β8
β π = β 15
4 β¨ π =
17
4
Opção (B)
7. π₯2 + π¦2 + π§2 β 2π₯ + 4π¦ β 6π§ + 6 β€ 0
β π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2 + 4π¦ + 4 + π§2 β 6π§ + 9 β€ β6 + 1 + 4 + 9
β (π₯ β 1)2 + (π¦ + 2)2 + (π§ β 3)2 β€ 8
Assim, a esfera tem centro (1, β2, 3) e raio β8.
Opção (D)
8. οΏ½βοΏ½ (4, β3, 1) π£ (2,β6, 8)
βοΏ½βοΏ½ β = β42 + (β3)2 + 12 = β16 + 9 + 1 = β26
βπ£ β = β22 + (β6)2 + 82 = β4 + 36 + 64 = β104 = 2β26
Logo, βοΏ½βοΏ½ β =1
2βπ£ β e, portanto, a afirmação (I) Γ© verdadeira.
4
2 β
β3
β6 β
1
8, logo os vetores οΏ½βοΏ½ e π£ nΓ£o sΓ£o colineares e a afirmação (II) Γ© falsa.
Opção (C)
9. (π₯, π¦, π§) = (4, 5, 6) + π(0, 0, 1), π β β β {π₯ = 4π¦ = 5
π§ = 6 + π, π β β β π₯ = 4 β§ π¦ = 5
Opção (A)
10. Um vetor diretor da reta r Γ© (3, 1, β4), que nΓ£o Γ© colinear com (3, 1, 4), pelo que este nΓ£o Γ©
um vetor diretor da reta r.
Para que o ponto (1, 3, 10) pertenΓ§a Γ reta r tem de existir um π tal que:
{1 = β5 + 3π3 = 1 + π10 = 2 β 4π
β {3π = 6π = 24π = β8
β {π = 2π = 2π = β2
Logo, o ponto nΓ£o pertence Γ reta.
O ponto de interseção da reta r com o eixo das cotas, se existir, Γ© da forma (0, 0, π§), onde π§
Γ© um nΓΊmero real.
146
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
Assim:
{0 = β5 + 3π0 = 1 + ππ§ = 2 β 4π
β {π =
5
3
π = β1β
Logo, a reta nΓ£o interseta o eixo das cotas.
O ponto de interseção da reta r com o plano π₯ππ§, se existir, Γ© da forma (π₯, 0, π§), onde π₯ e π§
sΓ£o nΓΊmeros reais. Assim:
{π₯ = β5 + 3π0 = 1 + ππ§ = 2 β 4π
β {π₯ = β5 + 3 Γ (β1)
π = β1π§ = 2 β 4 Γ (β1)
β {π₯ = β8β
π§ = 6
Logo, a reta interseta o plano π₯ππ§ no ponto de coordenadas (β8, 0, 6).
Opção (C)
11. A(1, β5, 3) B(β2, 4, 0)
Para que o ponto P(1, π, π2) pertenΓ§a ao plano mediador de [AB] tem de se ter:
π΄πΜ Μ Μ Μ = π΅πΜ Μ Μ Μ β β(1 β 1)2 + (β5 β π)2 + (3 β π2)2 = β(β2 β 1)2 + (4 β π)2 + (0 β π2)2
β 0+ 25 + 10π + π2 + 9 β 6π2 + π4 = 9 + 16 β 8π + π2 + π4
β β6π2 + 18π + 9 = 0
β 2π2 β 6π β 3 = 0
β π = 6Β±β36+24
4
β π = 6Β±2β15
4
β π = 3ββ15
2 β¨ π =
3+β15
2
Opção (A)
12. π₯2 + π¦2 + π§2 = 25 β§ π§ = 3 β π₯2 + π¦2 + 32 = 25 β§ π§ = 3 π₯2 + π¦2 = 16 β§ π§ = 3
Assim, obtΓ©m-se uma circunferΓͺncia de raio β16 = 4, pelo que o seu perΓmetro Γ© 8.
Opção (B)
13. Se a esfera Γ© tangente a π¦ = 4 e a π¦ = β2, entΓ£o o seu diΓ’metro Γ© 6 e o seu raio Γ© 3. AlΓ©m
disso, a ordenada do seu centro Γ© 4 β 3 = 1.
Logo, uma condição que defina a esfera Γ© da forma (π₯ β π)2 + (π¦ β 1)2 + (π§ β π)2 β€ 9, onde
as coordenadas do seu centro sΓ£o (π, 1, π).
Opção (B)
14.
a) As coordenadas dos vΓ©rtices do cubo sΓ£o: A(7, 5, 9); B(7, 8, 9); C(4, 8, 9); D(4, 5, 9); E(7, 5, 6);
F(7, 8, 6); G(4, 8, 6); H(4, 5, 6)
b) As coordenadas dos vΓ©rtices do paralelepΓpedo retΓ’ngulo sΓ£o: A(1, 0, 2); B(1, 6, 2); C(1, 6, β2);
D(1, 0, β2); E(β1, 0, 2); F(β1, 6, 2); G(β1, 6, β2); H(β1, 0, β2)
147
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
c) 2π΄base = 12 β π΄base = 6 β π΅πΆΜ Μ Μ Μ Γ π΄π΅Μ Μ Μ Μ = 6 β 3π΄π΅Μ Μ Μ Μ = 6 β π΄π΅Μ Μ Μ Μ = 2
π΄lateral = 50 β 2π΄π΅Μ Μ Μ Μ Γ π΅πΉΜ Μ Μ Μ + 2π΅πΆΜ Μ Μ Μ Γ πΆπΊΜ Μ Μ Μ = 50 β 2 Γ 2π΅πΉΜ Μ Μ Μ + 2 Γ 3π΅πΉΜ Μ Μ Μ = 50
β 10π΅πΉΜ Μ Μ Μ = 5 β π΅πΉΜ Μ Μ Μ = 5
Assim, as coordenadas dos vΓ©rtices do paralelepΓpedo retΓ’ngulo sΓ£o: A(β3, β2, 0); B(3, 0, 0);
C(0, 0, 0); D(0, β2, 0); E(3, β2, 5); F(3, 0, 5); G(0, 0, 5); H(0, β2, 5)
15.
a) πsΓ³lido = 252 β πpirΓ’mide + πcubo = 252
β 1
3 Γ π2 Γ
π
2 +π3 = 252
β 7
6 π3 = 252
β π3 = 216
β π = 6, sendo π a medida da aresta do cubo.
Assim, as coordenadas dos vΓ©rtices do sΓ³lido sΓ£o: M(3, 3, 6); N(6, 0, 0); O(0, 0, 0); P(0, 6, 0);
Q(6, 6, 0); R(6, 0, 6); S(0, 0, 6); T(0, 6, 6); U(6, 6, 6); V(3, 3, 9)
b) i. O plano que contΓ©m a face [PQTU] Γ© definido por π¦ = 6.
ii. A reta RU Γ© definida por π₯ = 6 π§ = 6.
iii. O plano paralelo a π₯ππ¦ que passa pelo ponto V Γ© definido por π§ = 9.
iv. O plano mediador de [UT] Γ© definido por π₯ = 3.
v. A superfΓcie esfΓ©rica de centro em V e que passa por M Γ© definida por:
(π₯ β 3)2 + (π¦ β 3)2 + (π§ β 9)2 = 9
16.
a) πΈ + π»πΊββββββ = πΈ + πΈπΉββββ β = πΉ
b) π΅ +1
2π·π»ββββββ = π΅ + π΅πΌββββ = πΌ
c) πΌ β π½πΉββββ = πΌ + πΌπΆββββ = πΆ
d) π΄ +1
2πΈπΉββββ β + πΉπΊββββ β = π΄ +
1
2π΄π΅ββββ β + π΅πΆββββ β = πΎ
e) πΈπ΅ββββ β + πΆπ»ββ ββ β = πΈπ΅ββββ β + π΅πΈββββ β = 0β
f) 2πΊπ½ββββ + π·πΈββ ββ β = πΊπΆββββ β + πΆπΉββββ β = πΊπΉββββ β
g) π΄πΊββββ β β π΄πΆββββ β = π΄πΊββββ β + πΊπΈββββ β = π΄πΈββββ β
h) π»πΎββββββ + πΎπΌββββ β πΊπ½ββββ = π»πΌββ ββ + πΌπΉββββ = π»πΉββ ββ β
17. οΏ½βοΏ½ (2, 0, β4) π£ (β1, 2, 3)
a) 2οΏ½βοΏ½ β 3π£ = 2(2, 0, β4) β 3(β1, 2, 3)
= (4, 0,β8) + (3,β6,β9)
= (7, β6,β17)
b) 1
4 οΏ½βοΏ½ + π΄π΅ββββ β =
1
4 (2, 0, β4) + ((0, 2, 5) β (β1,β2, 3))
= (1
2, 0, β1) +(1, 4, 2)
= (3
2, 4, 1)
148
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
c) 2π΅π΄ββββ β β οΏ½βοΏ½ + 4π£ = 2((β1,β2, 3) β (0, 2, 5)) β (2, 0, β4) + 4(β1, 2, 3)
= 2(β1,β4,β2) β (2, 0, β4) + (β4, 8, 12)
= (β2,β8, β4) β (2, 0, β4) + (β4, 8, 12)
= (β4,β8, 0) + (β4, 8, 12)
= (β8, 0, 12)
d) π΄ β π£ = (β1,β2, 3) β (β1, 2, 3) = (0,β4, 0)
e) π΅ + 1
2 οΏ½βοΏ½ = (0, 2, 5) +
1
2 (2, 0, β4) = (0, 2, 5) + (1, 0, β2) = (1, 2, 3)
f) π΄π΅ββββ β = 5οΏ½ββοΏ½ β οΏ½βοΏ½ + 2π£ β 5οΏ½ββοΏ½ = π΄π΅ββββ β + οΏ½βοΏ½ β 2π£
β οΏ½ββοΏ½ = 1
5 (π΄π΅ββββ β + οΏ½βοΏ½ β 2π£ )
β οΏ½ββοΏ½ = 1
5 ((0, 2, 5) β (β1,β2, 3) + (2, 0, β4) β 2(β1, 2, 3))
β οΏ½ββοΏ½ = 1
5 ((1, 4, 2) + (2, 0, β4) + (2,β4,β6))
β οΏ½ββοΏ½ = 1
5 (5, 0, β8)
β οΏ½ββοΏ½ = (1, 0, β8
5)
18.
a) (i) π΄(2, 0, 0) e πΊ(0, 2, 2)
Assim, π΄πΊββββ β = (0, 2, 2) β (2, 0, 0) = (β2, 2, 2).
Logo, uma equação vetorial da reta que contém a diagonal espacial [AG] é:
(π₯, π¦, π§) = (2, 0, 0) + π(β2, 2, 2), π β β
(ii) Se uma reta Γ© paralela ao eixo das abcissas, entΓ£o um seu vetor diretor Γ© (1, 0, 0). Logo,
uma equação vetorial da reta que passa no ponto B(2, 2, 0) e é paralela ao eixo das
abcissas Γ© (π₯, π¦, π§) = (2, 2, 0) + π(1, 0, 0), π β β.
(iii) A reta AE Γ© paralela ao eixo ππ§, logo um seu vetor diretor Γ© (0, 0, 1).
Assim, uma equação vetorial da reta AE Γ© (π₯, π¦, π§) = (2, 0, 0) + π(0, 0, 1), π β β.
(iv) Uma equação vetorial da aresta [AE] Γ© (π₯, π¦, π§) = (2, 0, 0) + π(0, 0, 1), π β [0, 1].
b) (i) π΅πΈββββ β = (2, 0, 2) β (2, 2, 0) = (0,β2, 2)
Um sistema de equaçáes paramétricas de reta que passa no ponto G e tem a direção do
vetor π΅πΈββββ β Γ©:
{π₯ = 0
π¦ = 2 β 2ππ§ = 2 + 2π
, π β β.
(ii) O ponto mΓ©dio de [AB] tem coordenadas (2, 1, 0), uma vez que A(2, 0, 0) e B(2, 2, 0).
Assim, um sistema de equaçáes paramétricas da reta que passa no ponto médio de [AB]
e tem a direção de οΏ½βοΏ½ (β1, β2, 5) Γ©:
{π₯ = 2 β ππ¦ = 1 β 2ππ§ = 5π
, π β β.
149
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
19. A(1, β2, 3) e οΏ½βοΏ½ (β2,β1, 4)
a) Uma equação vetorial da reta r é:
(π₯, π¦, π§) = (1,β2, 3) + π(β2,β1, 4), π β β
Um sistema de equaçáes paramétricas da reta r é:
{π₯ = 1 β 2ππ¦ = β2 β ππ§ = 3 + 4π
, π β β.
b) Para que o ponto (0, β1, 5) pertenΓ§a Γ reta r, tem de existir um π tal que:
{0 = 1 β 2πβ1 = β2 β π5 = 3 + 4π
β {
π =1
2
π = β1
π =1
2
Logo, o ponto nΓ£o pertence Γ reta r.
c) Para que o ponto (2π,β3
2, π) pertenΓ§a Γ reta r:
{
2π = 1 β 2π
β3
2= β2 β π
π = 3 + 4π
β
{
2π = 1 β 2 Γ (β
1
2)
π = β1
2
π = 3 + 4 Γ (β1
2)
β {
π = 1
π = β1
2
π = 1
Logo, π = 1. 20.
a) π΄π·Μ Μ Μ Μ 2 = ππ΄Μ Μ Μ Μ 2 + ππ·Μ Μ Μ Μ 2 β π΄π·Μ Μ Μ Μ 2 = 22 + 22 β π΄π·Μ Μ Μ Μ 2 = 8
βΉ π΄π·Μ Μ Μ Μ = β8
β π΄π·Μ Μ Μ Μ = 2β2, como se queria demonstrar.
b) As coordenadas dos vΓ©rtices do cubo sΓ£o: A(2, 0, 0); B(4, 2, 0); C(2, 4, 0); D(0, 2, 0); E(2, 0, 2β2);
F(4, 2, 2β2); G(2, 4, 2β2); H(0, 2, 2β2)
21.
a) πcone = 32π β 1
3 Γ ππ΄πΜ Μ Μ Μ 2 Γ 6 = 32π β π΄πΜ Μ Μ Μ 2 = 16 βΉ π΄πΜ Μ Μ Μ = 4
Logo, π΄(β4, 0, 0).
b) π΅(4, 0, 0) e πΆ(0, 0, 6)
π΄πΆΜ Μ Μ Μ = β(β4 β 0)2 β (0 β 0)2 + (0 β 6)2 = β16 + 0 + 36 = β52
π΅πΆΜ Μ Μ Μ = β(4 β 0)2 β (0 β 0)2 + (0 β 6)2 = β16 + 0 + 36 = β52
π΄π΅Μ Μ Μ Μ = 8
Logo, o triΓ’ngulo [ABC] Γ© isΓ³sceles.
c) Como P pertence ao eixo ππ§, entΓ£o P Γ© da forma (0, 0, π§).
Para que o triΓ’ngulo [ABP] seja equilΓ‘tero:
π΄πΜ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ β β(0 β (β4))2+ (0 β 0)2 + (π§ β 0)2 = 8 β 16 + π§2 = 64
β π§2 = 48
β π§ = β48 β¨ π§ = ββ48
β π§ = 4β3 β¨ π§ = β4β3
Logo, P(0, 0, 4β3) ou P(0, 0,β4β3).
150
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
22. π΄π΅ββββ β = π΅ β π΄ = (0, 2,β1) β (1, 2, 3) = (β1, 0,β4)
π΅πΆββ ββ ββ = πΆ β π΅ = (1
2, 0, 2) β(0, 2, β1) = (
1
2, β2, 3)
Ora β11
2
β 0
β2β
β4
3, logo π΄π΅ββββ β e π΅πΆββββ β nΓ£o sΓ£o colineares e, portanto, os pontos π΄, π΅ e πΆ nΓ£o
pertencem todos a uma mesma reta.
23.
a) As coordenadas dos vΓ©rtices do poliedro sΓ£o: O(0, 0, 0); A(2, 0, 0); B(2, 2, 0); C(0, 2, 0); D(2, 0, 2);
E(2, 2, 2); F(0, 2, 2); G(0, 0, 2); H(1, 1, 4); I(1, 1, β2)
b) A afirmação é falsa. O ponto I pertence ao oitavo octante e não ao quarto, uma vez que as
suas coordenadas sΓ£o (1, 1, β2), ou seja, tem abcissa positiva, ordenada positiva e cota
negativa, tal como qualquer outro ponto no oitavo octante.
c) (i) O plano que contΓ©m a face [ABDE] Γ© definido por π₯ = 2.
(ii) A reta HI Γ© definida por π₯ = 1 π¦ = 1.
(iii) O plano paralelo a π₯ππ¦ que passa pelo ponto I Γ© definido por π§ = β2.
(iv) Uma reta perpendicular ao eixo ππ§ e que passa pelo ponto F Γ© definida por, por
exemplo, π₯ = 0 π§ = 2.
(v) A esfera tangente a todas as faces do cubo tem centro (1, 1, 1) e o seu raio Γ© 1, logo Γ©
definida por (π₯ β 1)2 + (π¦ β 1)2 + (π§ β 1)2 β€ 1.
d) (i) πΌπ΄ββββ + πΆπΉββββ β = πΌπ΄ββββ + π΄π·ββ ββ β = πΌπ·ββββ
(ii) πΆ β π·πΈββ ββ β β π·πΊββ ββ β = πΆ + πΆπββββ β + ππ΄ββββ β = π + ππ΄ββββ β = π΄, logo π΄ + π·πΈββ ββ β + π·πΊββ ββ β = πΆ.
(iii) βππΊββββ β + π΄π·ββ ββ ββ = 4
(iv) βπ΄π΅ββββ β + π΅πΉββββ ββ = βπ΄πΉββββ ββ = β22 + 22 + 22 = β12 = 2β3
e) (i) Como D(2, 0, 2) e E(2, 2, 2), uma equação do plano mediador de [DE] Γ© π¦ = 1.
(ii) (π₯ β 2)2 + (π¦ β 2)2 + (π§ β 2)2 = (π₯ β 1)2 + (π¦ β 1)2 + (π§ β 4)2
β π₯2 β 4π₯ + 4 + π¦2 β 4π¦ + 4 + π§2 β 4π§ + 4 = π₯2 β 2π₯ + 1 + π¦2 β 2π¦ + 1 + π§2 β 8π§ + 16
β β2π₯ β 2π¦ + 4π§ β 6 = 0
β π₯ + π¦ β 2π§ + 3 = 0 , que Γ© uma equação do plano mediador de [EH].
f) O raio da superfΓcie esfΓ©rica de centro I e que passa no ponto E Γ©:
πΌπΈΜ Μ Μ = β(2 β 1)2 + (2 β 1)2 + (2 β (β2))2= β1 + 1 + 16 = β18 = 3β2
Logo, uma equação desta superfΓcie esfΓ©rica Γ© (π₯ β 1)2 + (π¦ β 1)2 + (π§ + 2)2 = 18.
g) π΄πΉββββ β = πΉ β π΄ = (0, 2, 2) β (2, 0, 0) = (β2, 2, 2)
Logo, como οΏ½βοΏ½ Γ© colinear com π΄πΉββββ β, entΓ£o Γ© da forma (β2π, 2π, 2π).
βοΏ½βοΏ½ β = 12 β β(β2π)2 + (2π)2 + (2π)2 = 12 β 4π2 + 4π2 + 4π2 = 144
β 12π2 = 144
β π2 = 12
β π = β12 β¨ π = ββ12
β π = 2β3 β¨ π = β2β3
Como οΏ½βοΏ½ tem o mesmo sentido de π΄πΉββββ β, entΓ£o π > 0, logo οΏ½βοΏ½ (β4β3, 4β3, 4β3).
151
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
24. A (3, 2,1
2) B (2, β1,
3
2)
a) O conjunto dos pontos do espaço cuja distÒncia ao ponto A é inferior ou igual a 3 é a esfera de
centro A e raio 3, que pode ser definida por:
(π₯ β 3)2 + (π¦ β 2)2 + (π§ β1
2)2
β€ 9
b) O conjunto dos pontos do espaço que são equidistantes de A e de B é o plano mediador de
[AB].
(π₯ β 3)2 + (π¦ β 2)2 + (π§ β1
2)2
= (π₯ β 2)2 + (π¦ + 1)2 + (π§ β3
2)2
β π₯2 β 6π₯ + 9 + π¦2 β 4π¦ + 4 + π§2 β π§ + 1
4 = π₯2 β 4π₯ + 4 + π¦2 + 2π¦ + 1 + π§2 β 3π§ +
9
4
β β2π₯ β 6π¦ + 2π§ + 6 = 0
β 2π₯ + 6π¦ β 2π§ β 6 = 0
β π₯ + 3π¦ β π§ β 3 = 0, que Γ© uma equação do plano mediador de [AB].
c) O centro da superfΓcie esfΓ©rica de diΓ’metro [AB] Γ© o ponto mΓ©dio de [AB] cujas coordenadas
sΓ£o (3+2
2,2β1
2,1
2+3
2
2) = (
5
2,1
2, 1).
O seu raio Γ© 1
2 π΄π΅Μ Μ Μ Μ =
1
2 β(3 β 2)2 + (2 + 1)2 + (
1
2β
3
2)2
= 1
2 β1 + 9 + 1 =
β11
2.
Assim, uma equação desta superfΓcie esfΓ©rica Γ©:
(π₯ β5
2)2
+ (π¦ β1
2)2
+ (π§ β 1)2 = 11
4
25.
a) (π₯ β 6)2 + (π¦ β 2)2 + (π§ + 1)2 = 8 β§ π¦ = 3
β (π₯ β 6)2 + (π§ + 1)2 = 7 β§ π¦ = 3, que define a circunferΓͺncia de centro (6, 3, β1) e raio β7
contida no plano de equação y = 3.
b) (π₯ + 1)2 + π¦2 + (π§ β 1)2 β€ 16 β§ π₯ = β1
β π¦2 + (π§ β 1)2 β€ 16 β§ π₯ = β1, que define o cΓrculo de centro (β1, 0, 1) e raio 4 contido no
plano de equação 1x .
c) π₯2 + π¦2 + π§2 β€ 5 β§ π₯ = 0 β§ π¦ = 0
β π§2 β€ 5 β§ π₯ = 0 β§ π¦ = 0
β ββ5 β€ π§ β€ β5 β§ π₯ = 0 β§ π¦ = 0, que define o segmento de reta de extremos (0, 0, ββ5) e
(0, 0, β5).
d) π₯2 + π¦2 + π§2 β 6π₯ + 4π¦ + 12 = 0 β§ π§ = 2
β π₯2 + π¦2 + 4 β 6π₯ + 4π¦ + 12 = 0 β§ π§ = 2
β π₯2 β 6π₯ + 9 + π¦2 + 4π¦ + 4 = β12 + 9 β§ π§ = 2
β (π₯ β 3)2 + (π¦ + 2)2 = β3, que define o conjunto vazio.
26.
a) As coordenadas dos restantes vΓ©rtices do prisma sΓ£o: D(0, β3, 0); E(3, 0, 7); G(β3, 0, 7);
H(0, β3, 7)
152
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
b) πΈπΆββββ β = πΆ β πΈ = (β3, 0, 0) β (3, 0, 7) = (β6, 0, β7)
πΊπ΅ββββ β = π΅ β πΊ = (0, 3, 0) β (β3, 0, 7) = (3, 3, β7)
πΈπΆββββ β + πΊπ΅ββββ β = (β6, 0, 7) + (3, 3, β7) = (β3, 3, β14)
βπΈπΆββββ β + πΊπ΅ββββ ββ = β(β3, 3,β14)β = β(β3)2 + 32 + (β14)2 = β9 + 9 + 196 = β214
c) πΉπ·ββββ β = π· β πΉ = (0,β3, 0) β (0, 3, 7) = (0,β6,β7)
Como οΏ½βοΏ½ Γ© colinear com πΉπ·ββββ β, entΓ£o οΏ½βοΏ½ (0,β6π,β7π).
βοΏ½βοΏ½ β = 5 β β02 + (β6π)2 + (β7π)2 = 5
β 36π2 + 49π2 = 25
β 85π2 = 25
β π2 = 25
85
β π = 5
β85 β¨ π = β
5
β85
β π = β85
17 β¨ π = β
β85
17
Como οΏ½βοΏ½ tem sentido contrΓ‘rio ao de πΉπ·ββββ β, entΓ£o π < 0, logo οΏ½βοΏ½ (0,6β85
17,7β85
17).
d) O ponto mΓ©dio de [BF] Γ© π (0+0
2,3+3
2,0+7
2) = (0, 3,
7
2)
π΄π΅ββββ β = π΅ β π΄ = (0, 3, 0) β (3, 0, 0) = (β3, 3, 0)
Assim, uma equação vetorial da reta que passa em M e tem a direção de π΄π΅ββββ β Γ©:
(π₯, π¦, π§) = (0, 3,7
2) + π(β3, 3, 0), π β β
e) Um vetor diretor de qualquer reta paralela ao eixo das abcissas é (1, 0, 0). Logo, as equaçáes
paramΓ©tricas da reta que passam em F e sΓ£o paralelas ao eixo das abcissas sΓ£o:
{π₯ = ππ¦ = 3π§ = 7
, π β β
f) O centro da superfΓcie esfΓ©rica que passa em todos os vΓ©rtices do prisma Γ© o centro do
prisma (0 ,0,7
2). O raio desta superfΓcie esfΓ©rica Γ© igual Γ distΓ’ncia entre o centro do prisma e
qualquer um dos seus vΓ©rtices, por exemplo, o vΓ©rtice A:
β(0 β 3)2 + (0 β 0)2 + (7
2β 0)
2
= β9 + 0 +49
2= β
85
4.
Logo, uma condição que define a superfΓcie esfΓ©rica que passa em todos os vΓ©rtices do
prisma Γ© π₯2 + π¦2 + (π§ β7
2)2
= 85
4.
27.
a) As equaçáes paramΓ©tricas da reta r sΓ£o {π₯ = β2 + ππ¦ = 1 + ππ§ = β3π
, π β β.
153
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
b) Como o ponto pertence ao plano π¦ππ§, entΓ£o Γ© da forma (0, π¦, π§).
Para que pertenΓ§a Γ reta r: {0 = β2 + ππ¦ = 1 + ππ§ = β3π
β {π = 2
π¦ = 1 + 2π§ = β3 Γ 2
β {π = 2π¦ = 3π§ = β6
Logo, o ponto de interseção da reta r com o plano π¦ππ§ Γ© (0,3, β6).
c) π΅ = π΄ + 2οΏ½βοΏ½ = (β2, 1, 0) + 2(1, 1, β3) = (β2, 1, 0) + (2, 2, β6) = (0, 3, β6)
O ponto mΓ©dio de [AB] Γ© o centro da esfera e as suas coordenadas sΓ£o:
(β2+0
2,1+3
2,0β6
2) = (β1,2,β3)
O raio da esfera Γ©:
1
2 π΄π΅Μ Μ Μ Μ =
1
2 β(β2 β 0)2 + (1 β 3)2 + (0 β (β6))
2= 1
2 β4 + 4 + 36 =
1
2 β44 = β11
Logo, uma condição que define a esfera de diΓ’metro [AB] Γ© (π₯ + 1)2 + (π¦ β 2)2 + (π§ + 3)2 β€ 11.
28.
a) Uma condição que define a superfΓcie esfΓ©rica com centro em (2, 2, 2) e que Γ© tangente ao plano
de equação π¦ = 2 + β6, ou seja, que tem raio β6, Γ© (π₯ β 2)2 + (π¦ β 2)2 + (π§ β 2)2 = 6. Como A e
B sΓ£o pontos que tΓͺm as trΓͺs coordenadas iguais e pertencem Γ superfΓcie esfΓ©rica, entΓ£o:
(π₯ β 2)2 + (π₯ β 2)2 + (π₯ β 2)2 = 6 β (π₯ β 2)2 = 2 β π₯ β 2 = β2 β¨ π₯ β 2 = ββ2
β π₯ = 2 + β2 β¨ π₯ = 2 β β2
Logo, π΄(2 + β2, 2 + β2, 2 + β2), porque pertence ao primeiro octante, e π΅(2 β β2, 2 β β2, 2 β β2).
b) O ponto mΓ©dio de [AB] tem coordenadas (2+β2+2ββ2
2,2+β2+2ββ2
2,2+β2+2ββ2
2) = (2, 2, 2).
Este ponto Γ© o centro da superfΓcie esfΓ©rica, logo a corda [AB] Γ© um diΓ’metro dessa superfΓcie
esfΓ©rica.
29.
a) π₯2 + π¦2 + π§2 β 4π₯ β 4π¦ β 8π§ = 0
β π₯2 β 4π₯ + 4 + π¦2 β 4π¦ + 4 + π§2 β 8π§ + 16 = 4 + 4 + 16
β (π₯ β 2)2 + (π¦ β 2)2 + (π₯ β 4)2 = 24
Assim, o centro da superfΓcie esfΓ©rica Γ© (2, 2, 4) e o raio Γ© β24 = 2β6.
b) As coordenadas dos vΓ©rtices do prisma sΓ£o: A(4, 0, 0); B(4, 4, 0); C(0, 4, 0); O(0, 0, 0); D(4, 0, 8);
E(4, 4, 8); F(0, 4, 8); G(0, 0, 8)
c) π΄πΉββββ β = πΉ β π΄ = (0, 4, 8) β (4, 0, 0) = (β4, 4, 8)
Como π£ Γ© colinear a π΄πΉββββ β entΓ£o π£ (β4π, 4π, 8π).
βπ£ β = 6 β β(β4π)2 + (4π)2 + (8π)2 = 6 β 16π2 + 16π2 + 64π2 = 36
β π2 = 36
96
β π = 6
β96 β¨ π = β
6
β96
β π = β96
16 β¨ π = β
β96
16
β π = β6
4 β¨ π = β
β6
4
154
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
Como a direção de π£ Γ© contrΓ‘ria Γ de π΄πΉββββ β, entΓ£o k < 0.
Logo, π£ (β4 Γ (ββ6
4 ) , 4 Γ (β
β6
4) , 8 Γ (β
β6
4)) = (β6, ββ6,β2β6). EntΓ£o:
(βπ2π + 4ππ, β6ππ, 6π2π) = (β6,ββ6, β2β6) β {βπ2π + 4ππ = β6
β6ππ = ββ6
6π2π = β2β6
β
{
βπ
2π + 4ππ = β6
ππ =β6
6
π2π = ββ6
3
β
{
β(β
β6
3) + 4
β6
6= β6
ππ =β6
6
π Γ ππ = ββ6
3
β
{
β6
3+
2β6
3= β6
ππ =β6
6
π Γβ6
6= β
β6
3
β {
β6 = β6
β2π =β6
6
π = β2
β {
β6 = β6
π = ββ6
12
π = β2
30.
a) π΅πΆββββ β = πΆ β π΅ = (11,β10, 7) β (13,β4, 4) = (β2,β6, 3)
Assim, π· = π΄ + π΅πΆββββ β = (10,β6,β2) + (β2,β6, 3) = (8,β12, 1).
π΄πΈββββ β = πΈ β π΄ = (22,β12,β6) β (10,β6, β2) = (12,β6,β4)
Logo, πΉ = π΅ + π΄πΈββββ β = (13,β4, 4) + (12,β6,β4) = (25,β10, 0).
πΊ = πΆ + π΄πΈββββ β = (11,β10, 7) + (12,β6,β4) = (23,β16, 3)
π» = π· + π΄πΈββββ β = (8, β12, 1) + (12,β6,β4) = (20,β18, β3)
b) βπ΅πΆββββ ββ = β(β2,β6, 3)β = β(β2)2 + (β6)2 + 32 = β4 + 36 + 9 = β49 = 7
βπ΄πΈββββ ββ = β(12,β6,β4)β = β122 + (β6)2 + (β4)2 = β144 + 36 + 16 = β196 = 14
Logo, πprisma = 7 Γ 7 Γ 14 = 686 u. v.
c) O ponto mΓ©dio de [AE] Γ© o centro da superfΓcie esfΓ©rica e as suas coordenadas sΓ£o
(10+22
2,β6β12
2,β2β6
2) = (16,β9,β4). O raio da superfΓcie esfΓ©rica Γ©
1
2 π΄πΈΜ Μ Μ Μ =
1
2 βπ΄πΈββββ ββ = 7.
Logo, uma condição que define a superfΓcie esfΓ©rica de diΓ’metro [AE] Γ©:
(π₯ β 16)2 + (π¦ + 9)2 + (π§ + 4)2 = 49
155
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
d) DBF Γ© o plano mediador de [AC]:
(π₯ β 10)2 + (π¦ + 6)2 + (π§ + 2)2 = (π₯ β 11)2 + (π¦ + 10)2 + (π§ β 7)2
β π₯2 β 20π₯ + 100 + π¦2 + 12π¦ + 36 + π§2 + 4π§ + 4 = π₯2 β 22π₯ + 121 + π¦2 + 20π¦ + 100 + π§2 β
14π§ + 49
β 2π₯ β 8π¦ + 18π§ β 130 = 0
β π₯ β 4π¦ + 9π§ β 65 = 0
31. Para que οΏ½βοΏ½ e π£ sejam colineares π2 β 5π + 6 = 0. Assim:
π2 β 5π + 6 = 0 β π = 5Β±β25β24
2 β π = 2 β¨ π = 3
Se π = 2, entΓ£o οΏ½βοΏ½ (0, 4, 2) e π£ (0,β3,β2), mas 4
β3β
2
β2, logo os vetores οΏ½βοΏ½ e π£ nΓ£o sΓ£o
colineares. Se π = 3, entΓ£o οΏ½βοΏ½ (0, 9, 3) e π£ (0,β3,β1) e, uma vez que οΏ½βοΏ½ = β3π£ , entΓ£o os
vetores οΏ½βοΏ½ e π£ sΓ£o colineares. Logo, π = 3.
32.
a) πΉ = π + ππΈββββ β + πΈπΉββββ β = (1, 1, 10) + (1,β1,β3) + (0, 2, 0) = (2, 2, 7)
πΊ = π + ππΊββββ β = (1, 1, 10) + (β1, 1,β3) = (0, 2, 7)
ππ»ββββββ = ππΊββββ β + πΊπ»ββββββ = ππΊββββ β + πΉπΈββββ β = ππΊββββ β β πΈπΉββββ β = (β1, 1,β3) β (0, 2, 0) = (β1, β1,β3)
b) βπΈπΉββββ ββ = β(0, 2, 0)β = 2
Logo, π΄[πΈπΉπΊπ»] = 2 Γ 2 = 4 u. a.Assim, π΄[π΄π΅πΆπ·]
π΄[πΈπΉπΊπ»] = 9, o que significa que a razΓ£o de semelhanΓ§a
entre os comprimentos dos lados dos dois quadrados Γ© 3, o mesmo acontecendo com os
comprimentos das arestas das pirΓ’mides [ππ΄π΅πΆπ·] e [ππΈπΉπΊπ»]. Como ππ΅ββββ β Γ© colinear com ππΉββββ β e
tΓͺm o mesmo sentido, e pelo que acabΓ‘mos de ver acima, entΓ£o ππ΅ββββ β = 3ππΉββββ β.
Ora, ππΉββββ β = ππΈββββ β + πΈπΉββββ β = (1,β1,β3) + (0, 2, 0) = (1, 1, β3), logo ππ΅ββββ β = (3, 3, β9).
TambΓ©m se tem entΓ£o que ππ·ββ ββ β = 3ππ»ββββββ = 3(β1,β1,β3) = (β3,β3,β9).
Logo, π· = π + ππ·ββ ββ β = (1, 1, 10) + (β3,β3, β9) = (β2,β2, 1).
Desafios
PΓ‘gina 277
1.
a) Trata-se da circunferΓͺncia de centro (6,0) e raio 6, com equação .
b) Estas circunferΓͺncias tΓͺm centro nos pontos (5,0), (4,0), (3,0), (2,0), (1,0), (0,0), ( 1,0),
( 2,0), ( 3,0), ( 4,0), ( 5,0), e tΓͺm todas raio 6.
As equaçáes são:
(x 6)2 y 2 62
C1 : (x 5)2 y 2 62
C2 : (x 4)2 y 2 62
C3 : (x 3)2 y 2 62
C4 : (x 2)2 y 2 62
156
Expoente10 β’ DossiΓͺ do Professor
c) Sim, sΓ³ Γ© solução da circunferΓͺncia .
d) Embora nΓ£o pareΓ§a, Γ© o da esquerda. De facto, de acordo com a alΓnea anterior, o centro da
circunferΓͺncia exterior pertence a uma das circunferΓͺncias. Trata-se de uma ilusΓ£o de Γ³tica.
2.
a) A distΓ’ncia Γ© dada por:
β(π β 0)2 + (0 β 1)2 = βπ2 + 1
b) Dado que as moedas tΓͺm raio 1, a distΓ’ncia entre A e B Γ© igual Γ distΓ’ncia calculada na alΓnea
anterior menos 1, ou seja, .
c) Dado que Γ© positivo, obtemos:
βπ2 + 1 β 1 = 3 β βπ2 + 1 = 4
β π2 + 1 = 16
β π2 = 15
β π = β15
β π β 3,86
.
C5 : (x 1)2 y 2 62
C6 : x2 y 2 62
C7 : (x 1)2 y 2 62
C8 : (x 2)2 y 2 62
C9 : (x 3)2 y 2 62
C10 : (x 4)2 y 2 62
C11 : (x 5)2 y 2 62
C6
a2 1 1
a