potenciação com números naturais

Potenciação com números naturais

Ano Letivo 2014

Prof. Claudia Zandonai


Você conhece a lenda do xadrez?


O xadrez é um jogos mais antigos do mundo.

Diz uma lenda que ele foi inventado, há muitosséculos, na Índia. Foi aí que...

O Rei Sheram, entusiasmado com o novo

jogo, resolveu recompensar Sessa, que eraprofessor e o inventor do xadrez.

“Eu desejaria recompensa–te pelo teumaravilhoso invento”, disse o rei,

cumprimentando o professor Sessa.

“Gostaria de satisfazer o teu mais carodesejo”, continuou o rei.

Sessa, na sua humildade, disse: “Majestade,eu gostaria de receber um grão detrigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez,dois grãos pela segunda, quatro grãos pelaterceira, oito grãos pela quarta, e assimsucessivamente, até completar as 64 casas”.

Admirado e até mesmo irritado pelo pedidotão modesto, o Rei Sheram solicitou aos seussábios que calculassem o número de grãos eordenou aos seus criados que entregassem

A lenda do Xadrez

A lenda do Xadrez...e ordenou aos seus criados que entregassem

em um saco a recompensa pedida por Sessa.No dia seguinte, o Rei escutou apavorado um

dos sábios dizer qual era esse número:

18 446 744 073 709 551 615...,ou seja, aproximadamente 18 quinquilões de

grãos.Só para você ter uma idéia sobre esse

número tão grande, basta dizer que se fosseplantado trigo em toda a superfície da Terra,

A lenda do XadrezIria demorar alguns séculos para produzir esse

número de grãos!Como seria, então, os cálculos para obtenção

desse número?

Primeira casa: 1 grãoSegunda casa:1x2 = 2 grãos

Terceira casa: 1x2x2 = 4 grãosQuarta casa: 1x2x2x2= 8 grãos

Quinta casa: 1x2x2x2x2 = 16 grãosSexta casa: 1x2x2x2x2x2 = 32 grãos

A lenda do xadrez

Sétima casa: 1x2x2x2x2x2x2 = 64 grãosOitava casa: 1x2x2x2x2x2x2x2 = 128 grãos

Nona casa: 1x2x2x2x2x2x2x2x2 = 256 grãosE assim por diante. Somando todos os

Resultados das 64 casa do tabuleiro de xadrez,encontraremos o número:

18 446 744 073 709 551 615

A lenda do xadrez

Mas, será que não poderíamos escrever

este número de maneira diferente?Vamos voltar...

Primeira casa: 1 = 1 grãoSegunda casa: 1x2 = 2 grãos

...

...

Nona casa: 1x2x2x2x2x2x2x2x2 = 256 grãos


Tem número que se repete a cada nova

casa do tabuleiro.Que número é esse? 2

Para indicar multiplicações com fatores iguais, o homem criou a potenciação.

Assim, para indicar 2x2x2x2x2x2, porexemplo, usamos o símbolo 26 , denominado

potência de base 2 e expoente 6.


Então:

Dois elevado na terceira potência

2x2x223

Cinco elevado na segunda potência

5x552

Três elevado na potência quatro

3x3x3x334

Dois elevado na sétima potência

2x2x2x2x2x2x2x227

LeituraSignificadoSímbolo

Termos da Potênciação

A potência an, sendo n um número natural

maior que 1, significa:

Nomenclatura

27= 2x2x2x2x2x2x2 = 128

n

iguaisfatoresn

aaxaxaxa =4444 34444 21

__

potênciaé

oenteé

baseé

Então

__128

exp__7

__2

:


Agora vamos pensar em quantos tataravóstem uma pessoa.


Analise o que acontece com a

quantidade de ancestrais a partir da

pessoa mais jovem.

Eu: 1

Pais: 2

Avós: 2.2 = 4

Bisavós: 2.2.2 = 8

Trisavós:2.2.2=16

Tataravós:2.2.2.2=32

Uma pessoa tem 32 tataravós.


Note que, para calcular o número de

ancestrais, usamos a multiplicação de fatoresiguais.

Para representar uma multiplicação em quetodos os fatores são iguais, podemos usar apotenciação.

Observe:

642

2222222

6

6

__6

=

=4444444 34444444 21

iguaisfatores

xxxxx


Podemos representar o número de trisavóse de tataravós da situação anterior na forma

de potência:Trisavós:

Tataravós:

162

22222

4

4

__4

=

=4444 34444 21

iguaisfatores

xxx

322

222222

5

5

__5

=

=44444 344444 21

iguaisfatores

xxxx


De modo geral, na potenciação com númernaturais, a base é o fator que se repete naMultiplicação e o expoente indica quantasvezes esse fator se repete. Isso não vale parapotências com expoente zero ou 1.

• Quando o expoente é 1, a potência é igual àprópria base.

Exemplos:21 = 2 151 = 15 361 = 36


• Quando o expoente é zero e a base da

potência é diferente de zero, a potência é iguala 1.

Exemplos:20 = 1 150 = 1 360 = 1


Quadrado de um n úmeroAs potências de expoente 2 podem ser

representadas geometricamente.Veja alguns exemplos:


Por causa da sua representação geométrica,as potências de expoente 2(quadrado) têmnomes especiais.• 1²: “um ao quadrado” ou “quadrado de um”• 2²: “dois ao quadrado” ou “quadrado de dois”• 3²: “três ao quadrado” ou “quadrado de três”• 4²: “quatro ao quadrado” ou quadrado de

quatro”.• n²: “n-ésimo ao quadrado”


Cubo de um n úmeroAs potências de expoente 3 também podem

ser representadas geometricamente. Veja os

exemplos:


Da mesma forma que as potências de

expoente 2, essas potências também recebemnomes especiais. Veja como lemos as

potências dos exemplos:• 1³: “um ao cubo” ou “cubo de 1”;

• 2³: “dois ao cubo” ou “cubo de 2”;• 3³: “ três ao cubo” ou “cubo de 3”.


Quando o expoente de uma potência é

diferente de 2 ou 3, não é possível representá-la geometricamente. Por esse motivo, não há

um nome especial para tais potências. Vejacomo lemos algumas delas:

• 74: “sete elevado à quarta potência”;• 1020: “dez elevado à vigésima potência”;

• 5117: “cinquenta e um elevado a décima sétima potência”.

Aplicações de potenciação

Juliana precisa organizar todas as pastasde seu escritório. Sabendo que no escritório há

4 armários, que em cada armário há 4 gavetase que em cada gaveta há 4 pastas, quantas

pastas ela vai organizar?Observe como Joana organizou seus

documentos no computador e resolva o

problema.

Joana abriu três pastas: A, B e C. Depois,

para cada uma dessas pastas, ela abriu outras

3(a,b e c)e, dentro de cada uma delas, colocou3 documentos.

Qual é a quantidade de documentos queJoana tem?

Expresse a resposta na forma de potencia.

Aplicações da PotenciaçãoObserve a imagem de uma colônia de

Bactérias Escherichia coli(E.Coli), coloridaartificialmente, imagem ampliada 2.680 vezes.

A reprodução de bactéria e a Matemática

Ao observarmos a reprodução dasbactérias,biólogos e matemáticos perceberam queo crescimento das bactérias, como na imagem,éum fenômeno biológico onde a representaçãomatemática pode ser feita por uma lei exponencial,ou seja, que utiliza a potenciação.

A reprodução das bactérias é, de modo geral éassexuada; ocorre por cissiparidade ou bipartição –processo em que as bactérias se reproduzem emvirtude de uma divisão muito rápida.

A primeira bactéria se divide em duas.

Depois duas se dividem em duas resultandoquatro bactérias-, e cada uma dessas quatro

bactérias também se divide em duas partes eassim sucessivamente, desde que existam

condições biológicas e ambientais. Esseprocesso é um dos fatores importantes e

responsáveis pelo enorme sucesso biológicodas bactérias.

Exemplo 1

Considerando que o número de bactérias

em certa cultura cresce 10 vezes a cada 1

Hora. A amostra inicial dessa cultura tinha100 bactérias.a) Quantas bactérias haverá nessa cultura

após 1 hora? E após 4 horas? b) Após um dia inteiro, haverá mais de 100

trilhões de bactérias? Explique.

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