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AULA 09 RENDAS CERTAS

Ol, amigos!

Quero, de antemo, agradecer pelos muitos votos de melhora que recebi nestes ltimos dias. De fato, estou bem melhor. (Quase bom!). Infelizmente, precisei atrasar a aula de ontem para hoje, por conta de mais uma daquelas interminveis viagens que fao toda semana, de Fortaleza para o Juazeiro do Norte... quase sete horas no volante me fizeram chegar na terra do Padre Ccero muito cansado, mas sempre a tempo de trabalhar! noite que no deu.

Mas, deixemos de conversa mole, e vamos logo dar incio ao assunto de hoje, que , por sinal, um dos mais fceis de todo o Curso! Sim! Um dos mais fceis!

Nas ltimas aulas, aprendemos bem o que fazer diante de uma nica parcela, no Regime Composto. Todos lembrados? Claro! Por exemplo, se eu tenho uma parcela de R$1000, e quero projet-la para uma data posterior, o que tenho que fazer?

???

1.000,

Ora, teremos apenas que multiplicar o mil pelo parntese famoso! S isso! O que corresponde a uma operao de Juros Compostos. Assim, teramos:

1000.(1+i)n

1.000,

E se, caso contrrio, quisssemos projetar essa parcela de mil para uma data anterior? O que teramos que fazer?

???

1.000,



Tambm j sabemos a resposta! Bastaria dividirmos o mil pelo parntese famoso. O que corresponde a uma operao de Desconto Composto por Dentro! Assim:

1000/(1+i)n

1.000,

Assim, um desenho bem fcil e que praticamente resume tudo o que se pode fazer com uma parcela isolada no regime composto o seguinte:

X/(1+i)n X.(1+i)n

X

Agora uma pergunta diferente, ainda no analisada por ns: e se, em vez de apenas uma, houvesse uma srie de parcelas de mesmo valor, dispostas em intervalos de tempo iguais, e todas sujeitas a uma taxa de juros compostos? Como faramos para projet-las para uma data posterior? E qual seria essa data posterior propcia? Vejamos:

???

P P P P P P

O que precisamos saber so apenas duas coisas:

1) Projetaremos todas as parcelas (P) de uma vez s para uma data futura; e

2) A data certa para projetarmos todas elas para o futuro exatamente a data da ltima parcela!



Ok?

Isto uma operao de Rendas Certas!

Dito de outra forma: operao de Rendas Certas aquela em que projetaremos para uma data futura vrias parcelas, de uma vez s, desde que estejam presentes as seguintes trs caractersticas:

1) As parcelas sejam de mesmo valor;

2) As parcelas estejam dispostas em intervalos de tempo iguais (exemplo: parcelas mensais, ou parcelas trimestrais, ou parcelas anuais etc).

3) preciso que estejamos trabalhando com uma taxa composta! (No existem Rendas Certas no regime simples!). Portanto, taxa de juros compostos!

Doravante chamaremos estas trs caractersticas de pacote completo das Rendas Certas! Ok?

Assim, se encontrarmos numa questo de prova uma seqncia de parcelas, iremos imediatamente averiguar se est tambm presente o pacote completo das Rendas Certas! Convm frisar novamente: s ser uma questo de Rendas Certas se estiverem presentes as trs caractersticas do pacote! Ok? Jamais esquecer: parcelas iguais; intervalos iguais; e taxa composta!

Assim, nosso desenho completo agora o seguinte:

T

P P P P P P

Somente para efeitos didticos, desenharemos as parcelas P com seta para baixo, e o resultado do desenho (T) permanecer com seta para cima. Teremos, enfim:

T

P P P P P P



Este acima o desenho modelo das Rendas Certas! Por que desenho modelo? Porque ele contm a informao crucial deste assunto, qual seja, a data propcia para se projetar as parcelas das Rendas Certas a mesma data da ltima parcela (P)!

Essa informao no poderemos esquecer de jeito algum!

A prxima pergunta, obviamente, a seguinte: como faremos para descobrir aquele resultado (T) do desenho? A resposta simples: aplicando a equao das Rendas Certas, que a seguinte:

T = P . Sn,i Falemos sobre cada elemento desta frmula:

O T o Total, o resultado das Rendas Certas. Ele, sozinho, representa todas as parcelas do desenho! (E qual a data em que ele aparece? Hein? Hein? a mesma data da ltima parcela!).

P o valor de cada uma das parcelas. E tm que ser todas iguais! J sabemos disso! (Primeira caracterstica do pacote completo)!

O S sozinho no ningum. Ele est a apenas para indicar que estamos trabalhando, na verdade, com um fator: o Sn,i , que ser chamado por ns de Fator de Rendas Certas! O nome de batismo desse fator fator de acumulao de capital para uma srie de capitais. Um nome muito comprido. Melhor ficar mesmo apenas com Fator de Rendas Certas! Combinado?

O n do Fator de Rendas Certas vai representar nada menos que o nmero de parcelas! S isso! Se so 5 parcelas, ento n=5; se so 10 parcelas, ento n=10; e assim por diante.

O i a taxa! Taxa de juros o qu? Taxa de Juros Compostos! (Terceira caracterstica das Rendas Certas!).

Pois bem! A est! J sabemos quase tudo sobre Rendas Certas! S falta pouca coisa!

Por exemplo, falta saber que essa frmula acima faz uma exigncia! Vejamos:

# Exigncia da Frmula das Rendas Certas:

preciso que a taxa (de juros compostos) da operao esteja na mesma unidade que o intervalo de tempo entre as parcelas!

Por exemplo, se as parcelas so mensais, ento preciso trabalhar com uma taxa mensal; se as parcelas so semestrais, preciso trabalhar com uma taxa semestral; e assim por diante!

Se a questo de prova disser que as parcelas so mensais, e fornecer uma taxa composta de, suponhamos, 60,1032% ao ano, o que teramos que fazer? Quem me diz? Teramos que transformar essa taxa anual em uma taxa mensal, no intuito de cumprir a exigncia da frmula.

Ora, 60,1032% ao ano j uma taxa efetiva de juros compostos. Concordam?

E qual o conceito que se aplica sempre que se quer alterar a unidade de uma taxa efetiva de juros compostos? Qual? o conceito de Taxas Equivalentes! Todos lembrados? Teramos, pois, que usar este conceito, para converter a unidade da taxa!

Teramos! Mas no teremos! E por que no? Porque j sabemos decorado que, pelo conceito de Taxas Equivalentes, 60,1032% ao ano = 4% ao ms!

Lembrados?



Foram pouqussimas coisas que eu lhes pedi para decorar neste Curso. Uma delas foi essa! Lembraram agora? A outra foi sobre a taxa de juros compostos de 9,2727% ao trimestre! Vira quanto por cento ao ms? Vira 3% ao ms!

Voltando ao exemplo, uma vez transformando 60,1032% ao ano para 4% ao ms, e tendo parcelas mensais nas Rendas Certas, a nica exigncia j estaria cumprida, de sorte que j poderamos aplicar a equao, sem mais demora alguma.

Mas no caso de termos, realmente, que empregar o conceito de Taxas Equivalentes, somente para relembrar, aplicaramos a frmula (que se confunde com o conceito):

1 + I = (1 + i)K

J tratamos detalhadamente sobre as Taxas Equivalentes!

Pergunta: vocs acham que possvel, numa questo de Rendas Certas, aparecer uma taxa como 36% ao ano, com capitalizao mensal? O que vocs acham?

Claro que sim! Por qu? Porque se trata de uma taxa nominal, e a taxa nominal indica, por sua mera presena, que estamos trabalhando no Regime Composto! E as Rendas Certas so questes do Regime Composto! Assim, taxa nominal pode (e vai!) aparecer no enunciado de questes de Rendas Certas!

Se for o caso, j sabemos perfeitamente o que fazer diante de uma taxa nominal. Todos lembrados? Ns a transformaremos em taxa efetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais! J falamos exaustivamente sobre isso em aulas passadas! (Espero que estejam todos estudando!).

S para no perder a viagem: nesta transformao, de taxa nominal para taxa efetiva, no podemos esquecer ainda que a unidade da taxa efetiva ser sempre a mesma unidade da capitalizao. Assim, teramos que:

36% ao ano, com capitalizao mensal = (36/12) = 3% ao ms (Taxa Nominal) (Taxa Efetiva)

Agora, estamos quase l! Eu s vou precisar de trs exemplos, para que vocs estejam aptos a resolver toda e qualquer questo de Rendas Certas! Adiante!

# Exemplo 1) O Joo passou no concurso pra Fiscal da Receita! Puxa, que maravilha! Realizou seu grande sonho profissional. E agora j foi nomeado e j est trabalhando! Ao final do primeiro ms, adivinhem?, chegou a recompensa dos justos: o primeiro contra-choque, digo, contra-cheque. Era tanto dinheiro, que o Joo at ficou emocionado...! E resolveu que, com aquele primeiro salrio, no faria economia alguma! Iria torrar tudo em diverses e em presentes que daria a si mesmo! Vocs precisavam ver o que ele fez: comprou logo um carro zero quilmetro! (No estou bem certo se foi um novo Civic ou se foi um Audi A4). Depois, arranjou uma namorada (cinematogrfica!), e a levou para passar um fim-de-semana na ilha de Fernando de Noronha! (O que o dinheiro no faz, hein? Logo o Joo, feio pra burro...)! Quando voltou da ilha, comprou um notebook de ltima gerao, mquina fotogrfica digital, mquina filmadora digital, e mais meia dzia de parafernlias eletrnicas. Quase esqueo: ainda trocou a cozinha toda da me dele. Alis, a me do Joo tambm filha de Deus, e o Joo soube reconhecer todo o apoio que ela lhe deu quando ele estava se preparando para o concurso. Enfim. Acabou-se aquele ms, e para surpresa geral, ainda restaram mil reais do salrio na mo do Joo! Ele quase no acreditava naquilo. Minha nossa! dinheiro demais! A experincia mostrou ao Joo que ele deveria mesmo era se conformar com aquela situao degradante, e abrir uma conta de poupana em um banco qualquer. Assim ele fez: foi ao banco, abriu uma conta de poupana e resolveu que depositaria, todos os meses e na mesma data, uma quantia de mil reais. O fato que o Joo fez uma seqncia de 12 depsitos mensais. Considerando que todas as aplicaes esto sujeitas a uma taxa de juros compostos de 2% ao ms, qual ser o valor a ser resgatado, em decorrncia de todas essas aplicaes, na data da ltima aplicao?



Sol.: O humor contido neste enunciado tem um s propsito: de fazer com que vocs no esqueam o assunto! (E, obviamente, que se descontraiam um pouco, uma vez que descontrao e aprendizado andam de mos dadas e formam uma dupla infalvel! Cuidado: eu disse descontrao, e no desconcentrao!).

Uma traduo mais sria deste enunciado seria o seguinte:

Uma pessoa realizou doze aplicaes iguais, mensais e sucessivas, no valor de R$1000 cada uma. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao ms, quanto ir resgatar na data da ltima aplicao?.

S isso. Por primeiro, faamos o desenho da questo. Teremos:

X

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

Olhando para o desenho, vemos a presena de vrias parcelas de mesmo valor. Sabendo disso, iremos imediatamente procura das duas outras caractersticas do pacote completo! Alm das parcelas iguais, h tambm intervalo igual entre as parcelas? Sim! H tambm uma taxa de juros compostos? Sim! E nosso objetivo o de projetar todas essas parcelas para uma data futura? Sim!

timo! No resta mais nenhuma dvida: estamos diante de uma questo de Rendas Certas!

Uma vez reconhecido o assunto, resta-nos agora comparar o desenho da questo com o desenho modelo das Rendas Certas, para sabermos se j esto de acordo? O que voc me diz? Sim ou no? Ora, o desenho modelo nos lembra que o resgate das Rendas Certas (o T da frmula) est sempre na data da ltima parcela. Lembrados? Ento nosso desenho acima j est de acordo com essa informao!

Assim, o X do desenho da questo corresponde, sim, ao T da frmula das Rendas Certas. Estamos, pois, diante de uma questo copiar-colar. Ou seja, uma questo de aplicao direta da frmula. Teremos:

T = P . Sn,i T = 1000 . S12,2% Tudo corria bem, at chegarmos neste ponto! Mas, e agora? Como calcular o valor deste fator de Rendas Certas? Para isso, contaremos com um auxlio, sempre fornecido pelas principais bancas elaboradoras de prova: a Tabela Financeira do Sn,i.

A Esaf fornece essa tabela desde 1996. J faz dez anos, portanto, que ela nunca deixou de constar no caderno de provas. A FCC tambm fornece. Ok?

Agora, teremos que redobrar nossa ateno! J no dispomos apenas de uma, e sim de duas tabelas financeiras: a do parntese famoso (1+i)n, e agora tambm a do Fator de Rendas Certas (Sn,i). Parece inacreditvel, mas o erro mais corriqueiro entre os alunos, na prova de Matemtica Financeira, sempre o mesmo: consultar a tabela financeira errada!



Na hora da prova, muitas vezes apressado e nervoso, o candidato acaba se atrapalhando e trocando de tabela. Tinha que consultar a do parntese famoso e procura na do fator de Rendas Certas. Ou vice-versa! (Na prxima aula, a coisa fica ainda mais interessante, uma vez que falaremos da terceira tabela financeira)!

Enfim, cada macaco no seu galho: consultaremos a tabela do parntese famoso quando precisarmos descobrir o valor do parntese famoso! (Isso pode ser numa operao de juros compostos, de desconto composto, ou de equivalncia composta); consultaremos a tabela do fator de rendas certas quando precisarmos descobrir o valor do fator de rendas certas. Ok? s estar atento!

A consulta tabela das Rendas Certas semelhante a que fazemos para o parntese famoso. Na linha de cima, teremos as taxas. Na coluna da esquerda, o nmero de parcelas (n). Assim, se precisarmos saber o quanto vale o fator S12,2%, faremos:

i 1% 2% 3% 4% 5% ... 17% 18%

n

1

2

3

.

.

.

11

12 X

Esse X ser exatamente o valor do fator de Rendas Certas S12,2%.

Ou seja, a consulta tabela do Sn,i to fcil quanto a do parntese famoso!

Consultando uma tabela de verdade, veremos:

TABELA III FATOR DE ACUMULAO DE CAPITAL DE UMA SRIE DE PAGAMENTOS

iis

n

in1)1( +=

1% 2% 3% 4% . . . 9% 10%

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 ... 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 ... 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 ... 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 ... 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 ... 5,984710 6,105100

... ... ... ... ... ... ... ...

12 12,682503 13,412090 14,192029 15,025805 ... 20,140720 21,384284

i n



Assim, voltando nossa resoluo, teremos que:

T = 1000 . S12,2% T = 1000 x 13,412090 E:

T = 13.412,09 Resposta!

Passemos ao segundo exemplo.

# Exemplo 2) Uma pessoa aplicou seis parcelas iguais, mensais e sucessivas, no valor de R$1000,00 cada uma. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao ms, qual o valor a ser resgatado quatro meses aps a ltima aplicao?

Sol.: Iniciemos com o desenho da questo. Teremos:

X

1000 1000 1000 1000 1000 1000

Vou lhes ensinar duas solues possveis para este problema. Ok? Voc, ao final, decide qual lhe parece melhor.

Soluo I) Acrescentar ao desenho da questo a seta do T das Rendas Certas.

Essa a proposta desta primeira soluo. Se formos acrescentar ao desenho o T das Rendas Certas, onde estaria localizada esta seta? Ora, na data da ltima parcela de mil. Teremos:

X

T

1000 1000 1000 1000 1000 1000



Assim, o primeiro passo desta resoluo descobrir o valor do T que acabamos de desenhar acima. Faremos isso, aplicando a frmula das Rendas Certas. Teremos:

T = P . Sn,i T = 1000 . S6,2% Consultando a tabela do fator de Rendas Certas, teremos que:


iis

n

in1)1( +=

1% 2% 3% 4% . . . 9% 10%

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 ... 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 ... 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 ... 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 ... 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 ... 5,984710 6,105100

6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 ... 7,523334 7,715610

Assim, teremos que:

T = 1000 . S6,2% T = 1000 x 6,308121 T= 6.308,12 Mas esta ainda no ser nossa resposta! E por que no? Porque o enunciado est pedindo um resgate numa data futura, posterior data da ltima parcela! (Quatro meses aps!).

Ora, esse valor T que acabamos de calcular representa todas as parcelas de mil do desenho. Concordam? Assim, uma vez conhecido o valor do T, nosso novo desenho da questo agora o seguinte:

X

6.308,12

O que temos aqui? Uma parcela nica, conhecida, no regime composto, e que ser projetada para uma data posterior! Como faremos isso? J vimos no comeo desta aula de hoje: multiplicando pelo parntese famoso! Ou seja, faremos uma operao de Juros Compostos! Teremos:

M=C.(1+i)n Assim:

M=6.308,12.(1+0,02)4

i n



Aqui cabe uma rpida consulta Tabela Financeira do parntese famoso. Teremos que:

Tabelas Financeiras

TABELA I FATOR DE ACUMULAO DE CAPITAL an = (1 + i)n

1% 2% 3% 4%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858

Assim, concluindo os clculos desta operao de Juros Compostos, teremos que:

M=6.308,12.(1+0,02)4 M=6.308,12 x 1,082432 E:

M=6.828,11 Resposta!

Passemos outra soluo possvel.

Soluo I) Acrescentar ao desenho da questo parcelas fictcias, no intuito de tornar o desenho da questo de acordo com o desenho modelo das Rendas Certas.

Vejamos o desenho original da questo:

X

1000 1000 1000 1000 1000 1000

Este desenho est de acordo com o desenho modelo das Rendas Certas? No! Mas se quisssemos acrescer a ele algumas parcelas fictcias de R$1000, at adequ-lo ao desenho modelo, como ficaria este desenho?

Ficaria assim:

i n



X

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

Todos concordam que com o acrscimo destas quatro parcelas fictcias (em verde), nosso desenho agora ficou compatvel com o desenho modelo das Rendas Certas? Sim? timo! Agora temos a data do resgate coincidindo com a data da ltima parcela (embora fictcia)!

Vejam que agora temos, no total, 10 (dez) parcelas (sendo seis reais e quatro fictcias)!

Vou fazer uma pergunta, e voc vai pensar antes de responder.

Se eu dissesse que aquele X (o resgate) igual a: X=1000.S10,2% ... ... vocs acham que este clculo estaria correto? Ou seja, voc acha que este X seria a resposta da questo?

Claro que no! Percebam que neste clculo acima, estamos considerando um resgate que seria alcanado se houvesse, de fato, dez parcelas! Mas ocorre que quatro delas no existem: so parcelas fictcias!

Assim, para este clculo ficar correto, precisaremos retirar dele um fator referente s parcelas fictcias. E so quantas mesmo estas parcelas fictcias? So quatro. Assim, teremos:

X=1000.{S10,2% - S4,2%} Agora, sim! Esse X a resposta que procuramos! E em um s passo!

Fazendo as devidas consultas Tabela Financeira do Fator das Rendas Certas, teremos:


iis

n

in1)1( +=

1% 2% 3% 4% . . . 9% 10%

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

... ... ... ... ... ... ... ...

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,573129 4,641000

... ... ... ... ... ... ... ...

9 9,368527 9,754628 10,159106 10,582795 13,021036 13,579477

10 10,462212 10,949721 11,463879 12,006107 15,192930 15,937424

i n



Assim, retornando aos clculos, teremos que:

X=1000.{S10,2% - S4,2%} X=1000.{10,949721 4,121608} X=1000 x 6,828,11 E:

X=6.828,11 Resposta! Rigorosamente a mesma resposta da primeira soluo! E nem poderia ser diferente!

Em salas de aula de todo o Brasil, os alunos so praticamente unnimes em preferir esta ltima soluo! Mas eu penso que as duas so igualmente fceis, e acho conveniente vocs ficarem com estas duas cartas na manga! No verdade? Claro! Quem sabe duas solues est duas vezes melhor do que quem sabe apenas uma! E infinitamente melhor do que quem no sabe nenhuma!

Ainda fazendo aluso a esta segunda soluo, a das parcelas fictcias, podemos generalizar a frmula desenvolvida das Rendas Certas, dizendo que:

T=P.{STOTAL,i - SFICTCIAS,i} Onde: TOTAL o nmero que corresponde soma do nmero de parcelas (reais+fictcias); e FICTCIAS apenas o nmero de parcelas fictcias. Esta , portanto, a frmula desenvolvida das Rendas Certas, para o caso de voc adotar a soluo das parcelas fictcias! Ok?

S preciso de mais um exemplo para matarmos este assunto! Vamos a ele.

# Exemplo 3) Uma pessoa faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto ms, R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo ms, R$3.000,00 mensalmente do nono ao dcimo segundo ms. Considerando que as aplicaes so feitas ao fim de cada ms, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao ms.

Sol.: A parte mais importante desta resoluo ser nada menos que acertar o desenho! Se desenharmos a questo corretamente, o resto resto!

Para acertamos o desenho, vamos reler o enunciado, para descobrir qual o perodo de tempo total em que vo ser feitas as diversas aplicaes. Qual o tempo total? um prazo total de um ano. Da, desenharemos logo este perodo de doze meses. Teremos:

Percebam que um ms no um tracinho! Um ms espao entre dois tracinhos. Confere? Vejamos:

Final do primeiro ms



Comeo do primeiro ms

Pela leitura do enunciado, percebemos que haver no apenas um, mas trs grupos de aplicao! dito que, entre o primeiro e o quarto ms, haver parcelas de R$1.000,00. Diz ainda que, entre o quinto e o oitavo ms, as aplicaes sero de R$2.000,00. Por fim, entre o nono e o dcimo segundo ms, as parcelas sero no valor de R$3.000,00.

Sabendo disto, podemos agora dividir o nosso desenho que temos at aqui em trs partes, de acordo com o que acabamos de ler! Fazendo isso, teremos:

Parcelas de R$1000 Parcelas de R$2000 Parcelas de R$3000

Agora j est quase! S temos que atentar para mais um pequeno (mas fundamental) detalhe: as aplicaes das parcelas (de R$1000, R$2000 e R$3000) sero feitas quando? No incio ou no final de cada ms?

O enunciado responde: ...as aplicaes so feitas ao fim de cada ms.... Pronto! Agora s obedecer ao que manda a questo. Desenhemos logo as parcelas de R$1000. Teremos:

1000 1000 1000 1000

Percebam que a primeira parcela de R$1000 est ao final do primeiro ms; a segunda est ao final do terceiro ms; a terceira ao final do terceiro ms e finalmente a quarta parcela de R$1000 est ao final do quarto ms. Tudo isso est absolutamente de acordo com o que diz o enunciado: as parcelas de R$1000 estaro entre o primeiro e o quarto meses, sempre ao fim de cada ms! Certo?

Desenhemos agora as parcelas de R$2000 e R$3000. Teremos:

1000 1000 1000 1000

2000 2000 2000 2000

3000 3000 3000 3000

Est quase concludo o desenho!



Vamos tentar identificar o assunto da questo, ok? O que voc v? H parcelas de mesmo valor? Sim! Como no? Se olharmos apenas para as parcelas de R$1000, ento h parcelas de mesmo valor! Se olharmos s para as de R$2000, tambm! E se olharmos s para as de R$3000, idem!

Outra coisa: o intervalo entre as parcelas o mesmo? Sim! So todas elas parcelas mensais!

Terceiro: a taxa da operao de juros compostos? Sim! O enunciado disse isso expressamente: ... taxa de juros compostos de 2% ao ms....

O que a questo quer que ns calculemos? Ela diz assim: ...calcule o Montante ao fim dos doze meses. Ou seja, o enunciado pede que ns calculemos o valor que ir representar todas as parcelas do desenho, l no final do ltimo ms!

Ento, para deixar o desenho completo, em definitivo, faremos o seguinte:

X

1000 1000 1000 1000

2000 2000 2000 2000

3000 3000 3000 3000

Nosso objetivo descobrir o valor daquele X.

J vimos acima que esto presentes nesta questo aquelas trs caractersticas da operao de Rendas Certas, desde que ns consideremos, em separado, s as parcelas de R$1000, ou s as parcelas de R$2000 ou s as de R$3000. No assim? Da, j percebemos que no vai ser possvel trabalhar a questo em um nico passo! Em vez disso, utilizaremos um artifcio, que nos far resolv-la facilmente.

O artifcio o seguinte: faremos no desenho acima alguns tracejados, que iro dividir as parcelas em diferentes nveis! Ora, se temos parcelas de trs valores distintos, ento haver trs nveis de parcelas, sendo que o primeiro deles corresponde s parcelas de menor valor, ou seja, s parcelas de R$1000,00.

Da, esse primeiro tracejado ser feito comeando da primeira parcela de R$1000, e se estender at chegarmos data do resgate!

O segundo tracejado comear pela primeira parcela do segundo bloco, ou seja, comear pela primeira parcela de R$2000 e se estender at a data do resgate!



Finalmente, o terceiro e ltimo tracejado, comeando da primeira parcela de R$3.000, e se estendendo at a data do resgate!

Desenhando esses trs tracejados, teremos:

X

1 Nvel

1000 1000 1000 1000 2 Nvel

2000 2000 2000 2000

3 Nvel

3000 3000 3000 3000

Pronto! Agora que j fizemos os tracejados e dividimos nosso desenho em trs nveis, nossa resoluo ser quase que imediata!

Trabalharemos cada nvel separadamente!

Vamos fazer um esforo visual, e tentar enxergar apenas as parcelas do primeiro nvel. Enxergaram? Quantas so? So 12. E todas no mesmo valor? Sim! Todas as doze no valor de R$1000. Da, se ns esquecermos que existem o 2 e o 3 nveis, ou seja, considerando apenas o primeiro nvel, nosso desenho seria o seguinte:

T

1 Nvel

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000



Ou seja, considerando apenas o primeiro nvel, enxergamos que h doze parcelas (n=12), todas no valor de R$1000,00 (P=1000), aplicadas em intervalos de tempo iguais (parcelas mensais), tudo isso sujeito a uma taxa de juros compostos (2% ao ms).

Vemos ainda que a data do resgate coincide com a data da ltima parcela de R$1000. Da, se aplicarmos diretamente a frmula das Rendas Certas, encontraremos o valor que iremos chamar T, que ir representar todas as parcelas do primeiro nvel. Teremos que:

T = P . sni T=1000 . s123% 1 Nvel Esse resultado ficar guardado, de molho, para o final da questo!

Vamos trabalhar agora somente com as parcelas do 2 nvel. Aqui, faremos novo esforo visual, para enxergarmos apenas os pedaos que compem o segundo nvel. Teremos, ento, que:

T

2Nvel

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

Todos enxergaram que nesse segundo nvel esto presentes oito parcelas (n=8), e que so parcelas mensais, e que a taxa composta (i=2% ao ms) e que o resgate coincide com a data da ltima parcela?

timo! Ento, resta-nos calcular o valor de T, o qual ser o resultado do 2 nvel. Apliquemos novamente as Rendas Certas. Teremos:

T = P . sni T=1000 . s83% 2 Nvel

Esse resultado tambm ficar guardado, de molho, para o final da questo! Lembre-se que j havia um resultado aguardando o final da questo (o T).

Para finalizar, trabalharemos com as parcelas do terceiro nvel. Se enxergarmos s as parcelas (os pedaos) que compem esse terceiro nvel, teremos o seguinte:

T

3 Nvel

1000 1000 1000 1000



Ou seja, neste terceiro nvel, ns temos quatro parcelas (n=4) de R$1000 cada uma (P=1000), e so parcelas mensais sujeitas a uma taxa composta (i=2% ao ms). De quebra, a data do resgate coincide com a data da ltima parcela. Ento, para calcular o T, que ser o resultado do terceiro nvel, aplicaremos mais uma vez a frmula das Rendas Certas. Teremos:

T = P . sni T=1000 . s43% 3 Nvel

Ora, vimos que ao dividirmos as parcelas em trs nveis, no restou nenhum pedao (de nenhuma delas) que tenha deixado de estar presente nesses nveis! Dessa forma, se somarmos os resultados finais dos trs nveis (T, T e T), chegaremos resposta da questo!

Faremos, portanto:

X = T+T+T = 1000 . s123% + 1000 . s83% + 1000 . s43% Vamos colocar o valor 1000 em evidncia:

X = 1000 ( s123% + s83% + s43% )

Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos:

s123%=13,41209

s83%=8,582969

s43%=4,121608

Da: X = 1000 (13,41209 + 8,58269 + 4,12160) E, finalmente: X = 26.116,38 Resposta!

Esta questo caiu numa prova recente de Fiscal da Receita. E repetiu-se, tal e qual, nos dois concursos seguintes para o mesmo cargo! Ou seja, j esteve muito na moda esse enunciado que explora blocos de parcelas, nas Rendas Certas!

Viram todos como fica fcil a resoluo, desde que apliquemos este artifcio de fazer os tracejados e criar nveis de parcelas? Moleza!

Eu diria que j estamos aptos a resolver qualquer coisa de Rendas Certas.

Mas, porm, contudo, todavia e no obstante, vamos agir como pessoas extremamente prevenidas, e vamos propor uma situao muitssimo, muitssimo, muitssimo remota: e se a elaboradora da prova no fornecer a tabela financeira do fator de rendas certas? O que faremos para calcular esse fator?

Neste caso, e no esperamos absolutamente que isso seja necessrio na sua prova, voc ter (ou teria) que conhecer a frmula do Sn,i. a seguinte:

( )

+=iiiSn

n 11,

de fcil memorizao esta frmula. Veja que ela comea com o parntese famoso no numerador. Feito isso, s restam mais duas providncias: menos 1 e sobre i. Pronto!

Assim, se quisssemos calcular o fator S10,2%, faramos:

( )

+=02,0

102,01 10%2,10S



Observem que este parntese famoso do numerador tem expoente elevado! Levaramos muito tempo para calcul-lo. Concordam? Concluso: ao menos a tabela financeira do parntese famoso tem que ser fornecida na prova!

E assim, teramos condies de concluir o clculo acima!

Certo? Mas ningum tenha medo, que j faz dez anos que essa tabela sempre fornecida. No possvel que vocs sejam assim to p frio...! Claro que no!

Pois bem! Agora, sim. Pode bater no peito e dizer: eu sei tudo de Rendas Certas!

E para provar que verdade, seguem as questes do nosso Dever de Casa de hoje:

Dever de Casa

01. (MDIC 2002/ESAF) Um contrato prev que aplicaes iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada ms, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao ms?

a) R$ 7.455,96 b) R$ 7.600,00 c) R$ 7.982,12 d) R$ 8.270,45 e) R$ 9.000,00

02. Calcule o valor mais prximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicaes realizadas ao fim de cada ms: dos meses 1 a 6, cada aplicao de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicao de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicao de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remunerao das aplicaes de 3% ao ms.

a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00 b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00 c) R$ 82.265,00

isso, meus amigos!

Releiam esta aula com cuidado, ok?

Um forte abrao a todos! E fiquem com Deus!

matematica financeira regular 9.pdf

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