matematica financeira regular 5

CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSSOR SÉRGIO CARVALHO

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AULA 05 – JUROS COMPOSTOS

Olá, amigos!

Tudo bem com vocês? Sem mais demora, iniciemos a resolução das questões pendentes do nosso último...

...Dever de Casa

30. (TTN-92) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de $3.000,00 com 45 dias de prazo, e outra de $8.400,00 , pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 12% a.a. e usando a data zero, o valor nominal dessa dívida será:

a) $ 11.287,00 d) $ 11.300,00 b) $ 8.232,00 e) $ 8.445,00 c) $ 9.332,00 Sol.: Este enunciado apresenta um verbo muito freqüente em questões de Equivalência de Capitais: substituir! Também poderia ser: modificar, alterar, renegociar, refinanciar!

São verbos que denotam uma mesma situação: a troca de uma forma de pagamento previamente estabelecida por outra forma alternativa de pagamento!

Assim, não resta dúvida: estamos diante da Equivalência de Capitais!

Sabendo disso, percorreremos os passos de uma receita que aprendemos na aula passada, e que serve para resolver todas as questões de Equivalência. Os seguintes:

Começaremos desenhando a questão;

Definiremos quais são as parcelas da primeira e da segunda obrigação;

Colocaremos taxa e tempos na mesma unidade;

Reconheceremos qual o regime e qual a modalidade das operações de desconto que será adotado; e

Localizaremos a data focal.

O resultado desses passos iniciais é o seguinte:

X 8400 3000 0 1m 1,5m 2m DF

Vejam que passamos a adotar os tempos em meses. Assim, obviamente, adotaremos uma taxa mensal. Aplicando o conceito de taxas proporcionais, teremos que 12% ao ano é o mesmo que 1% ao mês. (12%a.a. ÷ 12 = 1%a.m.).



As parcelas da primeira forma de pagamente (primeira obrigação) estão no desenho em cor vermelha; a segunda obrigação, formada por uma única parcela, está em azul.

Percebam ainda que a Data Focal que adotamos foi exatamente aquela indicada pelo enunciado! A questão disse apenas: ... e usando a data zero...! Ora, que data é essa? A data focal. Está implícito! Ok?

De resto, é perceber que adotaremos o Desconto Simples Comercial (por Fora) nesta resolução! Alguém me diz por que trabalharemos com o regime simples? Isso mesmo: porque o enunciado não especificou nada sobre o regime, se simples ou se composto!

Já a modalidade de desconto comercial foi anunciada expressamente!

Ok! Já estamos prontos para prosseguir na resolução, e projetar para a data focal todas as parcelas do desenho! Teremos:

3000 E 100-i.n 100 0 1,5m DF

Daí: 1003000

5,11100=

− xE

E=2.955,

Passemos agora a trabalhar com a parcela de R$8.400,00, projetando-a para a data focal. E de que jeito faremos isso? Por meio de uma operação de desconto simples por fora, pois assim ficou definido pelo enunciado. Teremos:

8400 F 100-i.n 100 0 2m DF

Daí: 1008400

21100=

− xF

F=8.232,

Finalmente, projetando a parcela X para a data focal, novamente por meio de uma operação de desconto simples por fora, teremos:



X 100 G 100-i.n 0 1m DF

Daí: 10011100X

xG

=−

G=0,99.X

Feito isso, não mais havendo nenhuma parcela a ser projetada para a data focal, resta-nos aplicar a equação de equivalência de capitais. Teremos:

∑ (I)DF = ∑ (II)DF 0,99X = 2.955 + 8.232 X = 11.187 / 0,99 X = 11.300,00 Resposta!

31. (AFTN-85) João deve a um banco $190.000 que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% a.a., o valor do novo título será de:

a) $ 235.000,00 d) $ 243.000,00 b) $ 238.000,00 e) $ 245.000,00 c) $ 240.000,00 Sol.: Esse enunciado traz uma pegadinha! Será que todos viram? Ela se faz notar na hora de desenhar a questão! A leitura nos informa que existe uma obrigação monetária, de R$190.000, devida na data 30 dias, e que será trocada por outra forma de pagamento: uma única parcela, na data... Qual data? Na data 90 dias? Não! Na data 120 dias!

Por que na data 120 dias, e não na data 90 dias? Porque o enunciado usou a palavra prorrogação! Ora, prorrogar significa protelar, adiar, a partir de então!

Se a primeira obrigação estava marcada para a data 30 dias, prorrogar este pagamento por mais 90 dias significa que iremos pagar por ela na data 120 dias (30 dias + 90 dias = 120 dias).

Essa seria a única dificuldade da questão. Ok? Façamos seu desenho!



X 190.000, 0 1m 4m DF

Além do desenho, percebam as demais providências que devem ser tomadas por nós, preliminarmente:

Colocar taxa e tempos na mesma unidade: escolhemos a unidade mensal, de sorte que 30 dias transformou-se em 1 mês e 120 dias, em 4 meses; e a taxa que será utilizada será de 6% ao mês, uma vez que usamos o conceito de taxas proporcionais, e 72% ao ano transformou-se em 6% ao mês: (72% ao ano = 72/12 = 6% ao mês).

A data focal adotada foi a data zero, conforme foi expresso pelo próprio enunciado;

Trabalharemos esta questão com operações de Desconto Simples Comercial (por fora), informação esta que também foi fornecida expressamente pelo enunciado.

Pois bem! Já sabemos tudo o que é preciso para começar a resolução efetiva dessa questão. Começaremos trabalhando com a parcela de R$190.000,00. Teremos:

190.000, E 100-i.n 100 0 1m DF

Daí: 100

000.19016100=

− xE

E=178.600,



Agora, trabalhando com a parcela X, teremos:

X F 100 100-i.n 0 4m DF

Daí: 10046100X

xF

=−

F=0,76.X

Agora, por não mais haver nenhuma parcela a ser projetada para a data focal, aplicaremos a equação de equivalência de capitais. Teremos:

∑ (I)DF = ∑ (II)DF 0,76X = 178.600, X = 178.600/0,76 X = 235.000,00 Resposta!

32. (AFTN-96) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento

contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custas nem taxas para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações. Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias. Condições desejadas: pagamento em 3 prestações iguais: a primeira ao final do 10º mês; a segunda ao final do 30º mês; a terceira ao final do 70º mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é:

a) $ 8.200,00 d) $ 11.200,00 b) $ 9.333,33 e) $ 12.933,60 c) $ 10.752,31 Sol.: Estamos diante talvez da maior questão já elaborada para uma prova de matemática financeira de concurso! No entanto, veremos que ela só tem tamanho, mas ao final se mostrará tão fácil quanto as outras.

O verbo chave aparece logo na primeira frase do enunciado: “uma firma deseja alterar...”! Olha aí! Alterar o quê? As datas e valores de um financiamento contratado. Ora, vemos que essa frase já é suficiente para denunciar o assunto da questão. Se há um



financiamento já contratado, e deseja-se alterar o seu formato original, então estamos diante de uma questão de equivalência de capitais!

Foi dito no enunciado que o contrato foi feito a uma taxa de juros simples! Essa informação nos serve? E muito! Com ela, sabemos que estamos trabalhando no regime simples, e também que as operações de desconto que iremos utilizar nesta resolução serão operações de desconto por dentro (desconto racional)!

Agora resta desenhar a questão, e definir quem serão (e onde vão estar) os valores da primeira e da segunda obrigação. E este enunciado foi bastante claro neste aspecto, por que abriu um parágrafo somente para dizer: “Condições pactuadas inicialmente...”, e outro só para dizer: “Condições desejadas...”. Ora, não resta dúvida que o que se segue ao “condições desejadas inicialmente” será justamente a forma original de pagamento, ou seja, os valores da primeira obrigação. Já o que vem depois de “condições desejadas” não poderia ser outra coisa, senão a segunda forma de pagamento, ou seja, os valores da segunda obrigação.

Dito isto, já estamos aptos a desenhar nossa questão. Teremos:

X X X 11024, 11024, 0 60d 90d 10m 30m 70m (I) (I) (II) (II) (II) Dentro dos passos preliminares, temos ainda que colocar taxa e tempos na mesma unidade. A taxa fornecida é mensal (2% ao mês), logo, chamaremos 60 dias de 2 meses e 90 dias de 3 meses. Por fim, teremos que descobrir onde estará a data focal.

Observemos que nada foi dito acerca da data focal. De modo que, conforme já sabemos, estaremos obrigados por convenção, a adotar a data zero como sendo nossa data de referência.

O desenho final e completo da nossa questão será o seguinte:

X X X 11024, 11024, 0 2m 3m 10m 30m 70m DF (I) (I) (II) (II) (II) Concluídos os passos preliminares, passemos à resolução em si.

Comecemos pela primeira parcela de $11.024, que está localizada na data 2 meses. Aplicando o desconto simples por dentro, teremos que:

11024, E

100 100+i.n

0 2m (DF) (I)



Daí, teremos que:

10411024

100=

E E=10.600,00

Trabalhando agora com a segunda parcela de $11.024,00, localizada sobre a data 3 meses, teremos que: 11024, F

100 100+i.n

0 3m (DF) (I) Daí, teremos que:

10611024

100=

F F=10.400,00

Trabalharemos agora com o primeiro valor X, que se encontra na data 10 meses.

Aplicando o desconto simples por dentro, teremos:

X G

100 100+i.n

0 10m (DF) (II)

Assim, teremos que:

120100XG

= 120

100XG = 6

5XG =

Passemos à segunda parcela X, que se localiza na data 30 meses. Aplicando o desconto simples racional, teremos que: X H

100 100+i.n 0 30m (DF) (II)

Daí: 160100XH

= 8

5XH =

Por Dentro!

Por Dentro!



Finalmente, trabalhemos a última parcela X, que se encontra na data 70 meses. Aplicando o desconto simples por dentro, teremos que:

X I

100 100+i.n 0 70m (DF) (II)

Daí: 240100XI

= 125XI =

Aqui, passamos ao epílogo da questão, com o derradeiro passo, que consiste em aplicar a Equação de Equivalência. Teremos:

∑ (I)DF = ∑ (II)DF

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+

125

85

651040010600 XXX

Uma equação e uma variável, que é justamente aquele valor que está sendo solicitado pelo enunciado. Termina sempre assim toda e qualquer questão de equivalência de capitais!

Aqui já não há mais a matemática financeira: há somente a álgebra!

2410152021000 XXX ++

= Daí: 50400045 =X 45

504000=X

E chegamos a: X=11.200,00 Resposta!

33. (AFRF 2005 ESAF) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a:

a) R$ 159.523,00 d) R$ 162.220,00 b) R$ 159.562,00 e) R$ 163.230,00 c) R$ 162.240,00

Por Dentro!



Sol.: Questãozinha de equivalência simples, com desconto simples por fora! O enunciado silenciou acerca da data focal, de sorte que estamos obrigados a adotar a data zero. O desenho da questão é o seguinte:

X

100.000,

50.000,

0 2m 3m 4m DF

A taxa já é mensal (4% a.m.) e os tempos estão em meses! Começaremos nossa resolução, trabalhando com a parcela de R$50.000, e aplicando o desconto simples por fora. Teremos:

50.000,

E 100

100-i.n

0 2m DF

Daí: 100

000.5024100=

− xE

E=46.000,

Com a parcela de R$100.000, faremos:

100.000,

F 100

100-i.n

0 3m DF

Daí: 100

000.10034100=

− xF

F=88.000,

Resta projetar para a data focal a parcela X. Teremos: X

G

100



100-i.n

0 4m DF

Daí: 10044100X

xG

=−

G=0,84.X

Agora, por não mais haver nenhuma parcela a ser projetada para a data focal, aplicaremos a equação de equivalência de capitais. Teremos:

∑ (I)DF = ∑ (II)DF 0,84.X = 46.000 + 88.000 X = 134.000/0,84 X = 159.523, Resposta!

Com isso, encerramos as resoluções pendentes e já podemos tratar acerca do próximo assunto, por sinal importantíssimo: os Juros Compostos!

Muita gente pensa que o regime composto é algo difícil, complicado etc. Não é verdade!

O regime composto, desculpem o trocadilho, é simples!

E para torná-lo mais simples ainda, vou precisar escrever o menos possível. Por meio de cinco exemplos, não mais que isso, vocês passarão a conhecer todas as informações que precisamos para trabalhar os Juros Compostos. Ok? Vamos lá!

Exemplo 1) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante um período de 3 anos. Qual o valor do Montante e qual o valor dos Juros produzidos nesta operação?

Sol.: Primeiro passo: vamos identificar o assunto da questão! Ora, foram apresentados elementos próprios de uma operação de Juros. (Capital, taxa, tempo de aplicação). Concordam?

Na própria pergunta do enunciado, mais dois elementos: Montante e Juros.

Enfim, não resta mais dúvida: estamos diante de uma questão de Juros! Aprendemos na primeira aula deste Curso, que não poderemos começar a resolução de uma questão de matemática financeira sem que tenhamos certeza sobre o regime daquela operação! Lembrados?

Pois bem! Este enunciado foi explícito, afirmando que a taxa da operação é de Juros Compostos! Então, não resta mais dúvida alguma: estamos trabalhando no regime composto. Portanto, deparamo-nos com uma questão de Juros Compostos!

E se a questão é de Juros Compostos, trabalharemos com a Equação Fundamental dos Juros Compostos, que é a seguinte:

M = C . (1+i)n

Onde:

M é o montante: o elemento que encerra a operação de Juros;



C é o capital: o elemento que inicia a operação de Juros;

i é a taxa de juros compostos;

n é o tempo de aplicação do capital, ou seja, é o tempo que vai durar aquela operação de juros.

Alguém arriscaria dizer qual é a exigência desta fórmula?

Isso mesmo: taxa e tempo devem estar na mesma unidade!

Anotando os dados desta questão, teremos:

C=1000, n=3 anos i=10% ao ano M=?

Olhando para os dados da questão, será que já estamos prontos para aplicar a Equação Fundamental dos Juros Compostos? Claro que sim, uma vez que já está cumprida a exigência universal. Teremos:

M = 1000.(1+0,10)3

Obs.: Vocês viram como foi que a taxa foi usada na fórmula acima? Era 10% e foi usada como 0,10. Por que isso? Porque no regime composto, adotaremos sempre taxas na notação unitária!

Assim, se a questão que estivermos resolvendo estiver inserida no Regime Composto (questões de Juros Compostos, Desconto Composto, Equivalência Composta, Rendas Certas ou Amortização), teremos que:

Se a taxa é 10%, aparecerá na fórmula como 0,10;





E assim por diante!

Voltemos à nossa fórmula. Teremos:

M = 1000.(1+0,10)3

Pergunta: é possível fazer essa conta do parêntese? Sim, é possível. Mesmo sem calculadora, uma vez que o enunciado (3) é baixo.

Todavia, considerando que estamos sempre à procura de economizar tempo de resolução, na hora de calcular esse parêntese, usaremos um auxílio que será fornecido pela prova! Estou falando da Tabela Financeira.

Há uma imensa chance (quase 100%) de haver em sua prova uma tabela mais ou menos assim:

TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n

1% 2% . . . 8% 9% 10%

1 1,010000 1,020000 1,080000 1,090000 1,100000

2 1,020100 1,040400 1,166400 1,188100 1,210000

3 1,030301 1,061208 1,259712 1,295029 1,331000

4 1,040604 1,082432 1,360488 1,411581 1,464100

5 1,051010 1,104081 1,469329 1,538624 1,610510

i n



Percebam que o nome de batismo desse tal parêntese é Fator de Acumulação de Capital. Um nome muito formal. Vamos fazer um trato? Vamos dar um apelido para esse parêntese? Pode ser?

Pois bem! Doravante, quando eu falar no Parêntese Famoso, você saberá que estarei me referindo a (1+i)n. Vamos chamá-lo de famoso porque ele voltará a aparecer nas fórmulas dos próximos diversos assuntos do regime composto. Esse parêntese, a bem dizer, é quase a alma do regime composto! Vamos ver isso, oportunamente!

Por hora, o que precisamos saber é que existe uma forma bastante prática de obtermos o resultado do parêntese famoso, mediante uma rápida consulta à Tabela Financeira.

Se nosso interesse é descobrir o valor de (1+0,10)3, sabemos que:

i=10%

n=3

Assim, correremos nossa vista na tabela pela linha do n=3, e pela coluna da i=10%. Onde houver o encontro da linha com a coluna, estaremos diante de um valor (no miolo da tabela), que já será o resultado do parêntese famoso! Fazendo esta consulta na Tabela, teremos:


1% 2% . . . 8% 9% 10%

1 1,010000 1,020000 1,080000 1,090000 1,100000

2 1,020100 1,040400 1,166400 1,188100 1,210000

3 1,030301 1,061208 1,259712 1,295029 1,331000

4 1,040604 1,082432 1,360488 1,411581 1,464100

5 1,051010 1,104081 1,469329 1,538624 1,610510

Daí, teremos:

M=1000.(1+10%)3 M=1000x1,331 M=1.331,00 Resposta!

Ora, aprendemos no estudo dos Juros Simples que: J = M – C.

Essa equação é sempre verdadeira! Assim, já conhecedores do valor do Capital e do Montante, já saberemos imediatamente que:

J=1.331 – 1000 J=331,00 Resposta!

Exemplo 2) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao bimestre, durante um período de 8 meses. Qual o valor do Montante e qual o valor dos Juros produzidos nesta operação?

Sol.: Aqui novamente estamos diante de elementos referentes a operações de Juros. O enunciado usou expressamente a palavra composto, de sorte que o regime da operação foi revelado expressamente! Estamos diante de uma questão de Juros Compostos. E assim sendo, trabalharemos com a equação fundamental dos Juros Compostos. Teremos:

M = C . (1+i)n

A única exigência da fórmula acima é que taxa e tempo estejam na mesma unidade!

Já estão? Não! Aqui, temos taxa bimestral (5% ao bimestre) e tempo em meses (8 meses). Assim, lembraremos do seguinte:

No Regime Composto, quando taxa e tempo estiverem em unidades diferentes, recorreremos primeiro ao tempo!

i n



Não vamos mais esquecer dessa regra. Ok?

Assim, no intuito de cumprir a exigência universal da matemática financeira, e considerando que estamos no Regime Composto, vamos logo recorrer ao tempo.

Tentaremos, então, transformar 8 meses para alguns bimestres. É possível essa transformação? Claro! É fácil dizer que: 8 meses = 4 bimestres.

Todos concordam? Pois bem. Minha pergunta para você agora é a seguinte: funcionou esta nossa tentativa? Funcionou ou falhou?

A resposta é: funcionou! E por que diremos que funcionou? Porque encontramos um tempo inteiro: um número natural, um número redondo!

E precisamos sempre que o tempo (n) da operação de Juros Compostos seja um número inteiro! Quem me diz a razão disso? Ora, basta olharmos novamente para a equação fundamental dos Juros Compostos. Vejamos:

M = C . (1+i)n

Viram onde está o n? No expoente do parêntese famoso. Ora, sem máquina calculadora, não saberemos calcular algum valor elevado a um expoente quebrado. E nem a Tabela Financeira nos socorreria neste caso, pois ela só trabalha com n inteiro.

Conclusão: ao recorrer ao tempo (n), e alterá-lo no intuito de cumprir a exigência universal, só funcionará esta tentativa se encontrarmos que o n seja um valor redondo!

Pois bem! Feito isso, uma vez que taxa e tempo já estão agora na mesma unidade, resta-nos aplicar a fórmula. Nossos dados agora são os seguintes:

C=1000 ; i=5%a.b. ; n=4 bimestres ; M=?. Assim, teremos:

M = 1000.(1+0,05)4

Já sabemos que para descobrir o valor do parêntese famoso, basta consultarmos a Tabela Financeira. Teremos:


1% 2% 3% 4% 5%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281

Assim, teremos que:

M = 1000.(1+0,05)4

M = 1000x1,215506 M=1.215,50 Resposta!

Para fechar esta resolução, faremos:

J=M-C J=1.215,50-1000 J=215,50 Resposta!

Exemplo 3) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de juros compostos de 9,2727% ao trimestre, durante um período de 4 meses. Qual o valor do Montante e qual o valor dos Juros produzidos nesta operação?

i n



Sol.: Uma vez identificado o regime composto, tentaremos aplicar a equação fundamental. Teremos: M = C . (1+i)n

Já podemos aplicar a fórmula? Ainda não, pois taxa e tempo estão em unidades diferentes!

Sabemos que, neste caso, nosso primeiro recurso será recorrer ao tempo! Vamos tentar transformar 4 meses em alguns trimestres. Fazendo isso, conseguiremos encontrar um tempo n inteiro? O que me dizem? Não! Não conseguiremos! Quatro meses se transformaria em um número quebrado de trimestres.

Conclusão: falhou a nossa primeira tentativa!

E o que nos resta agora? Resta-nos recorrer à taxa, e alterá-la para a mesma unidade do tempo. Ou seja, nosso objetivo agora é transformar:

9,2727% ao trimestre = ?? % ao mês

Aqui surge um conceito importantíssimo! Para alterarmos a unidade de uma taxa de juros compostos, usaremos o conceito de Taxas Equivalentes!

Esse conceito consiste numa pequena fórmula. A seguinte:

1 + I = (1 + i)k

É muito fácil aplicar esse conceito! Antes de lançarmos os dados na fórmula, faremos um breve estudo.

Quais são as duas unidades que figuram nesta transformação que pretendemos fazer? Ora, nosso intuito é transformar uma taxa ao trimestre numa taxa ao mês. Trimestre e mês!

Quem é maior? Trimestre ou mês? Trimestre! Assim, diremos que a taxa ao trimestre será nosso izão!

Mês é menor que trimestre. Logo, a taxa ao mês será o nosso izinho!

Por fim, perguntaremos: quantos meses cabem em um trimestre? Cabem 3. Logo, aquele K do expoente do conceito de taxas equivalentes será igual a 3.

Ou seja, o k das taxas equivalentes responderá sempre a pergunta: quantas vezes a unidade menor cabe na unidade maior?

É só isso!

Vamos tentar? Voltemos ao nosso objetivo: transformar

9,2727% ao trimestre para ?? % ao mês

Pela nossa análise prévia, concluímos que:

%a.t. = I

%a.m.=i

K=3

Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos:

1 + I = (1 + i)k

1 + 0,092727 = (1 + i)3

Trocando de lado, teremos:

(1 + i)3 = 1,092727

Chegando a esta situação, percebemos facilmente que estamos diante do parêntese famoso! Concordam? Assim, mediante uma rápida consulta à Tabela Financeira, descobriremos qual é a taxa izinho que estamos procurando. Teremos:



Como fazer isso? Iremos correr nossa vista pela linha do n=3 e, nela, procuraremos pelo valor igual (ou mais aproximado possível) de 1,092727. Quando encontrarmos, correremos nossa vista subindo pela coluna correspondente. Pronto: a taxa que estiver lá em cima será aquela que estamos procurando!

Vejamos:


1% 2% 3% 4% 5%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281

Todos perceberam que a nossa taxa izinho será igual a 3%? Ótimo!

Mas 3% ao quê? Ora, a taxa izinho é uma taxa ao mês! Logo: i=3% ao mês!

Feito isso, acabamos de cumprir a exigência universal, e já estamos prontos para aplicar a equação universal. Teremos:

M = 1000.(1+0,03)4

Fazendo nova consulta à Tabela Financeira do parêntese famoso, teremos:


1% 2% 3% 4% 5%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281

Assim:

M = 1000x1,125508 M=1.125,08 Resposta!

Para fechar esta resolução, faremos:

J=M-C J=1.125,08-1000 J=125,08 Resposta!

Próximo exemplo.

Exemplo 4) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de 60% ao ano, com capitalização mensal, durante um período de 7 meses. Qual o valor do Montante e qual o valor dos Juros produzidos nesta operação?

i n

i n



Sol.: Qual foi a novidade deste enunciado? Foi o formato da taxa! Aqui, deparamo-nos com uma taxa em que está presente a palavra capitalização, e em que a unidade da taxa é diferente da unidade da capitalização. Todos viram?

A taxa é anual (60%a.a.) e a capitalização é mensal.

Quando isso ocorrer, estaremos diante de uma chamada Taxa Nominal.

A Taxa Nominal, portanto, é aquela em que está presente a palavra capitalização, e em que a unidade da taxa é diferente da unidade da capitalização!

Quando surgir uma Taxa Nominal em nosso enunciado, imediatamente saberemos que estamos trabalhando no Regime Composto!

Percebam que esta questão não usou, em nenhum momento, nem a palavra simples e nem a palavra composto. Ou seja, o regime da operação não foi expressamente revelado. Porém, encontrou-se no enunciado uma Taxa Nominal. Assim, matamos a charada: estamos numa questão do Regime Composto!

Se for uma questão de Juros, serão Juros Compostos; se for uma questão de Desconto, será Desconto Composto; se for uma questão de Equivalência de Capitais, será Equivalência Composta!

Não esqueça: Taxa Nominal indica, imediatamente, o regime composto!

Outra informação crucial: a Taxa Nominal não serve para ser aplicada a nenhuma fórmula! Ela precisa, portanto, ser transformada em outro tipo de taxa, chamada, por sua vez, de Taxa Efetiva.

A respeito desta transformação, de Taxa Nominal para Taxa Efetiva, vigoram duas regras:

1ª) A Taxa Nominal será transformada em Taxa Efetiva por meio do conceito de Taxas Proporcionais!

2ª) A unidade da Taxa Efetiva será sempre a mesma unidade da capitalização!

Assim, trabalhando com a taxa de 60% ao ano, com capitalização mensal, faremos:

60% a.a., com capit. mensal = (60/12) = 5% ao mês = Taxa Efetiva!

Entendido?

Perceberam que a Taxa Efetiva foi uma taxa mensal. E por quê? Porque a capitalização é mensal. (Vide a segunda observação supra)! E para chegarmos a essa taxa efetiva, aplicamos o conceito de Taxas Proporcionais!

Faz-se mister frisarmos o seguinte: esta situação – transformar Taxa Nominal em Taxa Efetiva – é a única no Regime Composto em que ainda usaremos o conceito de Taxas Proporcionais. Fora disso, não há!

Para tornar mais simples o entendimento, convém lembrarmos que só há dois tipos de taxa no Regime Composto: ou será taxa efetiva ou será taxa nominal.

Todos os exemplos anteriores trouxeram taxas efetivas (10% ao ano, 5% ao bimestre, 9,2727% ao trimestre)! E se precisarmos alterar a unidade de uma Taxa Efetiva de Juros Compostos, qual é o conceito que usaremos? O conceito de Taxas Equivalentes!

E se a taxa for Taxa Nominal, como alteraremos sua unidade? Por meio do conceito de Taxas Proporcionais. Será sempre assim!

Resumo da ópera:

Taxa

Nominal Taxa

Efetiva Taxa Efetiva em outra unidade



Feito isso, os dados de nossa questão agora são os seguintes:

C=1000,00 ; i=5% ao mês ; n=7 meses ; M=?

Aplicando a equação fundamental dos Juros Compostos, teremos:

M = 1000.(1+0,05)7

Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, teremos:

TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n

1% 2% 3% 4% 5%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281

6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095

7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100

Assim:

M = 1000x1,407100 M=1.407,10 Resposta!

Finalmente, teremos:

J=M-C J=1.407,10-1000 J=407,10 Resposta!

Exemplo 5) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de juros compostos de 42% ao quadrimestre, com capitalização bimestral, durante um período de 5 meses. Qual o valor do Montante e qual o valor dos Juros produzidos nesta operação?

Sol.: O regime da operação foi expresso no enunciado. Estamos diante de uma questão de Juros Compostos! A primeira verificação que fazemos é que a taxa fornecida pelo enunciado é uma Taxa Nominal. (Isso, por si só, já revela que o regime é o composto!).

Diante de uma taxa nominal, já sabemos o que fazer: vamos transformá-la numa taxa efetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais! Teremos:

42% a.q. com capit. bimestral = (42/2) = 21% ao bimestre = Taxa Efetiva!

Os dados de nossa questão agora são os seguintes:

i n



C=1000 ; i=21% a.b. ; n=5 meses ; M=?

Taxa e tempo já estão na mesma unidade? Ainda não! O que faremos? Recorreremos ao tempo, tentando transformá-lo para a mesma unidade da taxa. Ou seja, vamos tentar transformar 5 meses para alguns bimestres. Dá um número inteiro? Um número redondo? Não! Conclusão: falhou nossa primeira tentativa.

Resta-nos, pois, transformar a taxa bimestral para a mesma unidade do tempo, ou seja, para a unidade mensal. E como faremos isso? Por meio do conceito de taxas equivalentes!

Fazendo nossa análise prévia, teremos:

%a.b. = I (bimestre é maior que mês).

%a.m.=i (mês é menor que bimestre).

K=2 (cabem dois meses em um bimestre!).

Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos:

1 + I = (1 + i)k

1 + 0,21 = (1 + i)2

Trocando de lado, teremos:

(1 + i)2 = 1,21

Mediante uma rápida consulta à Tabela Financeira, encontraremos que:


1% 2% . . . 8% 9% 10%

1 1,010000 1,020000 1,080000 1,090000 1,100000

2 1,020100 1,040400 1,166400 1,188100 1,210000

3 1,030301 1,061208 1,259712 1,295029 1,331000

4 1,040604 1,082432 1,360488 1,411581 1,464100

5 1,051010 1,104081 1,469329 1,538624 1,610510

A taxa procurada é 10%. Mas 10% ao quê? Ora, essa é nossa taxa izinho. E a taxa izinho é, neste caso, uma taxa mensal. Daí: i=10% ao mês.

Os dados de nossa questão agora são os seguintes:

C=1000 ; i=10% ao mês ; n=5 meses ; M=?

Agora, sim, estamos prontos para aplicar a equação fundamental dos Juros Compostos. Teremos:

M=1000.(1+0,10)5

Nova consulta à Tabela Financeira, e teremos:


1% 2% . . . 8% 9% 10%

1 1,010000 1,020000 1,080000 1,090000 1,100000

i n

i n



2 1,020100 1,040400 1,166400 1,188100 1,210000

3 1,030301 1,061208 1,259712 1,295029 1,331000

4 1,040604 1,082432 1,360488 1,411581 1,464100

5 1,051010 1,104081 1,469329 1,538624 1,610510

Daí, teremos:

M=1000x1,610510 M=1.610,51 Resposta! E: J=M-C J=610,51 Resposta!

É isso, meus queridos!

Eu quero muitíssimo me desculpar novamente com vocês, por não ter tido condições de veicular esta aula no dia de ontem.

O que me faltou foi energia para concluir esse texto, que já estava inclusive iniciado. Eu literalmente dormi sobre o teclado. (Isso nunca havia me acontecido antes!). Estou pensando, seriamente, em diminuir meu ritmo de trabalho no ano que vem. Pelo que vejo, essa minha decisão está quase deixando de ser uma alternativa e se tornando a única escolha possível...!

Mas isso é para depois.

Um pedido: estudem com carinho os cinco exemplos que comentamos acima, de Juros Compostos. Leiam. Releiam. Repassem mentalmente cada informação. Se você entender bem esses passos, esteja certo que vai fazer um verdadeiro passeio pelo Regime Composto! Ok?

Na seqüência, apresento-lhes o nosso...

...Dever de Casa

35. (FISCAL TRIB.-CE) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, a taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para reais).

a) R$ 625,00 d) R$ 650,00 b) R$ 630,00 e) R$ 676,00 c) R$ 636,00

36. (IRB 2004 ESAF) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante

três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado.

a) 30% d) 33,1% b) 31,3% e) 34% c) 32,2%

37. (BACEN) A taxa de 4% ao mês, quando capitalizada com juros compostos,

corresponde a uma taxa bimestral equivalente a: a) 8% d) 1,0816% b) 8,16% e) 16% c) 1,08%

38. (Banespa 97/ FCC) Receber juros compostos de 525% ao ano é equivalente a

receber juros semestrais de: a) 175,0% d) 262,5% b) 206,25% e) 150,0% c) 218,5%



39. (IRB 2004 ESAF) Indique qual a taxa anual de juros compostos que equivale a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês.

a) 24% d) 24,96% b) 24,24% e) 26,8242% c) 24,48%

40. (IRB 2006 ESAF) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) 60% ao ano d) 10% ao trimestre b) 30% ao semestre e) 6% ao bimestre c) 24% ao semestre

41. (ANEEL 2004 ESAF) A taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal corresponde a uma taxa efetiva anual de

a) 26,82%. d) 24,00%. b) 25,51%. e) 22,78%. c) 25,44%.

42. (TCE-Piauí 2002/FCC) Um contrato de financiamento de imóvel foi celebrado

considerando-se uma taxa anual nominal de 12%, capitalizada quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é de

(A) 12,49% (D) 15,12% (B) 12,55% (E) 16,99% (C) 13,00%

43. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal.

a) 2,595% ao mês. d) 9,703% ao trimestre. b) 19,405% ao semestre. e) 5,825% ao bimestre. c) 18% ao semestre.

44. (BC-94) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:

a) 20% d) 23% b) 21% e) 24% c) 22%

45. (AFC/STN 2005 ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa

de juros de 60% ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a:

a) 69 % e 60 % d) 60 % e 69 % b) 60 % e 60 % e) 120 % e 60 % c) 69 % e 79 %

Um forte abraço a todos!

Bons estudos! E fiquem com Deus!



Bons estudos! Forte abraço a todos e fiquem com Deus!

matematica financeira regular 5

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