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CURSOS ON-LINE MATEMTICA FINANCEIRA CURSO REGULAR PROFESSOR SRGIO CARVALHO

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AULA 07 EQUIVALNCIA COMPOSTA

Ol, amigos!

Como j de praxe, comecemos nossa aula resolvendo as questes pendentes do nosso...

... Dever de Casa

01. (AFTN-85 ESAF) Uma pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a conveno linear, o montante da aplicao ao final do prazo era de:

a) $ 16.590 d) $ 16.705 b) $ 16.602 e) $ 16.730 c) $ 16.698 Sol.: Estamos diante de um enunciado inequvoco! Ou seja, no h como no identificarmos o assunto da questo, uma vez que ele expresso na leitura: conveno linear!

Aprendemos que a conveno linear apenas um mtodo alternativo para trabalharmos operaes de Juros Compostos! J conhecemos tambm a equao que resolver este problema:

M=C.(1+i)INT.(1+i.Q)

Se bem estivermos lembrados, a nica exigncia da frmula acima que as duas partes do tempo a inteira e a quebrada estejam, ambas, na mesma unidade da taxa!

Ora, a taxa fornecida pelo enunciado anual (15% a.a.) e o tempo de 3 anos e 8 meses. Transformando 8 meses para a unidade anual, chegaremos a uma frao: (8/12) anos.

Se quisermos ainda mais simplificar esta frao, diremos que: (8/12)=(2/3).

Assim, uma vez cumprida a exigncia, aplicaremos a frmula e chegaremos ao seguinte:

M=10000.(1+0,15)3.[1+0,15x(2/3)] M=16.729,63 16.730,00 Resposta! 02. (ACE MICT/1998/ESAF) Um capital de R$ 1.000,00 aplicado taxa de 3% ao

ms, juros compostos, do dia 10 de fevereiro ao dia 30 de maio. Obtenha os juros da aplicao, usando a conveno linear.

a) R$ 110,00 d) R$ 114,58 b) R$ 113,48 e) R$ 115,00 c) R$ 114,47 Sol.: Mais uma questo de conveno linear!

O diferencial deste enunciado que no foi fornecido (de bandeja) o tempo da aplicao. Apenas foram ditos o dia do incio e o dia do final! Teremos que fazer a contagem do tempo! J sabemos fazer isso. Vejamos:

Fevereiro = 30 dias 20 dias usados na operao (30-10=20) Maro = 30 dias 30 dias usados na operao (ms do miolo) Abril = 30 dias 30 dias usados na operao (ms do miolo) Maio = 30 dias 30 dias usados na operao (copiar-colar) Total: 110 dias = 3 meses e 20 dias



Se estivermos bem lembrados, usamos acima da mesma maneira que aprendemos para contar os dias nos Juros Simples Exatos. Lembrados? A diferena que aqui no estamos falando em Juros Exatos, de sorte que todos os meses do ano tm 30 dias. Viram isso?

Pois bem! Continuando o trabalho com a conveno linear, diremos que:

3 meses e 20 dias = 3 meses e (20/30)meses = 3 meses e (2/3) de ms. Assim, j temos definidas as duas partes do tempo (inteira e quebrada), e ambas na mesma unidade da taxa, de sorte que j podemos aplicar a frmula da Conveno Linear. Teremos:

M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) M=1000.(1+0,03)3.[1+0,03x(2/3)] = 1000x1,092727x1,02 M=1.114,58

Conhecendo o Montante e o Capital, j podemos dizer que:

J=M-C J=114,58 Resposta! 03. (Fiscal PA- 2002/ESAF) Um capital aplicado a juros compostos durante dois

perodos e meio a uma taxa de 20% ao perodo. Calcule o montante em relao ao capital inicial, considerando a conveno linear para clculo do montante.

a) 150% d) 160% b) 157,74% e) 162% c) 158,4% Sol.: Essa questo de conveno linear, mas pediu o clculo de um elemento como porcentagem de outro. J aprendemos qual o artifcio a utilizar em casos assim: atribuiremos o valor 100 (cem) ao elemento de referncia, neste caso, o capital.

Os dados da questo so, pois, os seguintes:

C=100, ; n=2,5 perodos ; i=20% ao perodo ; M=? Uma vez que as duas partes do tempo (2 perodos + 0,5 perodo) j esto na mesma unidade da taxa, resta-nos aplicar a frmula da conveno linear. Teremos:

M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) M=100.(1+0,20)2.[1+0,20x0,5)] = 100x1,44x1,10 M=158,40 Como a questo quer o Montante como porcentagem do capital, e como chamamos o capital de 100, basta dizer agora que:

M=158,40% (do Capital) Resposta! 04. (TRF 2006 ESAF) Um capital de R$ 100.000,00 aplicado a juros compostos

taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais prximo do montante ao fim de quinze meses usando a conveno linear.

a) R$ 150.108,00 d) R$ 152.223,00 b) R$ 151.253,00 e) R$ 152.510,00 c) R$ 151.772,00 Sol.: Vocs j viram que conveno linear um dos assuntos mais presentes em prova de matemtica financeira! No viram? Pois bem! uma questozinha que a gente no pode errar nem de jeito nenhum!

Neste enunciado, por exemplo, tudo o que precisaramos fazer era dizer:



15 meses = 12 meses + 3 meses = 2 semestres + 0,5 semestre Pronto! S isso! E uma vez que as duas partes do tempo j esto na mesma unidade da taxa, resta-nos aplicar a equao da Conveno Linear. Teremos:

M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) M=100000.(1+0,18)2.[1+0,18x0,5)] = 100.000x1,3924x1,09 M=151.771,60 151.772, Resposta! 05. (AFPS 2002/ESAF) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado

taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a conveno linear para clculo do montante.

a) 22,5% d) 26,906% b) 24% e) 27,05% c) 25% Sol.: Nesta soluo, chamaremos o capital (elemento de referncia) de 100 (cem), e diremos que 15 meses o mesmo que 2 semestres + 0,5 semestre. (Igual questo anterior)!

Fazendo isso, e aplicando a equao da conveno linear, teremos:

M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) M=100.(1+0,10)2.[1+0,10x0,5)] = 100x1,21x1,05 M=127,05 Mas no queremos o montante, e sim os juros! Assim:

J=M-C J=27,05 E como porcentagem do Capital, diremos que:

J=27,05% Resposta!

06. (Analista de Compras de Recife 2003/ESAF) Um ttulo descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao ms. Calcule o valor nominal do ttulo considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze os centavos. a) R$ 11.255,00 d) R$ 11.800,00 b) R$ 11.295,00 e) R$ 12.000,00 c) R$ 11.363,00

Sol.: O enunciado comea afirmando que um ttulo foi descontado por tanto. O que vem a ser esse tanto? Ora, aprendemos na aula passada que valor descontado sinnimo de valor atual. Assim, temos que R$10.000 o valor atual.

De resto, a leitura da questo revelou-nos tudo o que precisamos saber acerca desta operacao de desconto, ao falar em desconto racional composto!

O regime o composto, e a modalidade o desconto por dentro!

Aprendemos que a exigncia das frmulas do desconto composto a j mais que famosa exigncia universal da matemtica financeira: taxa e tempo na mesma unidade. Aqui a taxa fornecida mensal (3% ao ms) e o tempo tambm (4 meses). Assim, aplicaremos a equao do desconto composto racional, e teremos que:

N=A.(1+i)n N=10000.(1+0,03)4 O parntese acima o famoso, cujo valor deve ser encontrado na tabela financeira. Enfim, teremos que:



N=10.000x1,125508 N=11.255,08 Resposta! 07. (ATEMS2001/ESAF) Um ttulo descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes

do seu vencimento. Obtenha o valor de face do ttulo considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao ms. (Despreze os centavos, se houver). a) R$ 4.400,00 d) R$ 4.952,00 b) R$ 4.725,00 e) R$ 5.000,00 c) R$ 4.928,00

Sol.: O enunciado novamente nos revelou que estamos diante de uma operao de desconto composto por dentro. E tambm aqui falou-se que um ttulo foi descontado por uma determinada quantia. Esta ser, conforme j sabemos, o valor atual.

Na pergunta, a questo nos pediu que obtenhamos o valor de face. Ora, valor de face um dos sinnimos de valor atual.

Enfim, verificamos que o enunciado j nos forneceu taxa e tempo na mesma unidade, restando-nos o trabalho de aplicar a equao diretamente. Teremos:

N=A.(1+i)n N=4400.(1+0,03)4 O parntese acima o famoso, cujo valor deve ser encontrado na tabela financeira. Enfim, teremos que:

N=4.400x1,125508 N=4.952, Resposta! 08. (AFTN-91) Um comercial paper com valor de face de $1.000.000,00 e

vencimento daqui a trs anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional. Obtenha o valor do resgate: a) $ 751.314,80 d) $ 729.000,00 b) $ 750.000,00 e) $ 700.000,00 c) $ 748.573,00

Sol.: O enunciado novamente nos revelou que estamos diante de uma operao de desconto composto por dentro. E tambm aqui se falou que um ttulo foi descontado por uma determinada quantia. Esta ser, conforme j sabemos, o valor atual.

A leitura tambm nos mostra que taxa e tempo j esto na mesma unidade. Assim, aplicando a equao do desconto composto por dentro, teremos:

N=A.(1+i)n A=N/(1+i)n A=1.000.000/(1+0,10)3 A=1.000.000/1,331 Na verdade, o que essa questo est perguntando : voc sabe dividir?

Sempre que o resultado de uma diviso for a resposta da questo, colocaremos um olho na conta e o outro olho nas opes de resposta! (Lembrados disso?). Teremos:

A=751.314,80 Resposta!



09. (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00 , 60 (sessenta) dias antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o lquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final) Dados: (1,84)1/3= 1,22538514 (1,84)1/4= 1,1646742 (1,84)1/6= 1,10697115 a) $ 429.304,00 d) $ 449.785,00 b) $ 440.740,00 e) $ 451.682,00 c) $ 446.728,00

Sol.: Antes de analisarmos o enunciado, uma observao importante: sempre que a questo apresentar alguns dados adicionais (normalmente trs), quase certo que um deles ser empregado na resoluo!

Estou dizendo isso, porque muito comum (muito mesmo!) que o aluno simplesmente ignore os dados adicionais, como se eles nem existissem! Existem sim! E esto ali por um bom motivo: o de facilitar na soluo do problema.

Agora repare: o enunciado fornece trs dados adicionais, mas voc s vai usar um. Mas, professor, se eu s vou usar um, por que o enunciado me d trs? Porque se ele desse s um, voc j saberia qual iria utilizar!

Pois bem, passemos anlise: falou-se em desconto racional composto! Pronto! J sabemos tudo sobre essa questo! E est-se pedindo o clculo do valor lquido. Ora, valor lquido sinnimo de valor atual (assim como de valor descontado)!

A equao que usaremos a seguinte:

N=A.(1+i)n Isolando o valor atual, teremos:

A=N/(1+i)n O que resta ser feito colocar taxa e tempo na mesma unidade. Agora olharemos para

os dados adicionais. Todos eles trazem um parntese elevado a um expoente.

Ora, o parntese famoso do denominador da frmula.

Nos trs dados adicionais, temos (1,84) dentro do parntese, e elevado a uma frao!

Ora, temos que: (1,84)=(1+0,84)

Vendo isso, j temos elementos suficientes para deduzir que a questo quer que trabalhemos com a unidade anual, uma vez que a taxa da operao de 84% ao ano!

Pois bem! Transformando 60 dias para uma frao de ano, teremos que:

60 dias = 2 meses = (2/12) ano = (1/6) ano Pronto! Aplicando a frmula, teremos:

A=N/(1+i)n A=500.000/(1+0,84)1/6 A=500.000/1,106971 A=451.682, Resposta!

isso! Agora, passaremos a tratar do assunto de hoje, por sinal um assunto faclimo: a Equivalncia Composta de Capitais! Adiante!



# Equivalncia Composta de Capitais:

Amigos, aqui damos incio a um dos assuntos mais fceis do nosso Curso, e tambm um dos mais cobrados em prova! (J pensou? Duas notcias boas, assim, uma atrs da outra!).

Pois bem! J aprendemos, no estudo do regime simples, a identificar uma operao de Equivalncia de Capitais. Estamos ainda lembrados disso? Caso tenhamos esquecido, o seguinte: uma questo ser de Equivalncia quando:

Houver duas formas de pagamento para um mesmo bem; Houver uma situao de emprstimo (e devoluo). Basicamente isso!

E se vocs estiverem reavivando a memria, existe um passo-a-passo, por meio do qual podem ser resolvidas todas as questes de Equivalncia.

Outra boa notcia: a tal receita (o passo-a-passo) da Equivalncia Composta a mesma da Equivalncia Simples, com alguns facilitadores! Ou seja, a resoluo de um problema de equivalncia composta mais fcil ainda que uma de equivalncia simples.

Vamos aprender por meio de um exemplo. Ok? Vamos l!

# Exemplo: Joo fez uma compra hoje, comprometendo-se a pagar R$1000 (mil reais) daqui a trinta dias, e mais R$2000 (dois mil reais) daqui a sessenta dias. Por no dispor de numerrio suficiente, deseja substituir essa forma original de pagamento por uma nova, que consiste em duas parcelas iguais, a serem pagas nas datas noventa e cento e vinte dias. Considerando na operao uma taxa de juros compostos de 10% ao ms, determine o valor das novas parcelas.

Sol.: Nosso primeiro passo ser o de identificar o assunto da questo. Vemos que este enunciado no ofereceu maiores dificuldades: havia uma forma original de pagamento de um bem, a qual ser alterada por outra maneira de se pagar por aquela compra. Basta isso, para termos certeza de estar diante de uma questo de Equivalncia de Capitais.

Ora, no podemos jamais comear a resolver essa questo, antes de termos certeza de estar trabalhando no regime simples ou no regime composto. Aqui no houve problema neste sentido, pois a palavra composto apareceu expressamente no enunciado!

Conclusao: estamos diante de uma questo de Equivalncia Composta! (Excelente negcio para ns!).

Vamos dar incio ao passo-a-passo!

1) Desenharemos a questo:

2000 X X

1000

1m 2m 3m 4m

2) Definiremos quais as parcelas do desenho acima so referentes primeira obrigao (primeira forma de pagamento) e quais so referentes segunda obrigao (segunda forma de pagamento). Teremos:



2000 X X

1000

1m 2m 3m 4m (I) (I) (II) (II)

3) Este passo consiste em colocar taxa e tempos na mesma unidade. Observem que, no nosso exemplo, este passo j veio pronto: a taxa mensal (10%a.m.) e os tempos esto em meses.

4) Em seguida, temos que identificar o regime da operao. E nos lembraremos que toda questo de equivalncia se resolve por meio de operaes de desconto!

Aqui surge o primeiro facilitador deste assunto: na Equivalncia Composta, trabalharemos sempre com operaes de desconto composto racional (por dentro)!

5) Finalmente, resta-nos agora localizar a data focal.

E estamos diante do segundo facilitador: aqui, na Equivalncia Composta, a escolha da data focal livre! Ou seja, diferentemente do que ocorre na equivalncia simples, na equivalncia composta qualquer data serve para ser a data focal.

Sugesto: embora esta escolha seja livre, convm muitssimo que voc adote, como data focal, aquela data mais direita do desenho!

E por que isso? Porque assim, trocaremos divises por multiplicaes!

Assim, teremos:

2000 X X

1000

1m 2m 3m 4m (I) (I) (II) (II) DF

Agora vejamos o salto da Equivalncia Composta!

Nosso prximo passo seria qual? Seria projetar todas as parcelas do desenho, uma por uma, para a data focal.

Ora, uma vez que a data focal est localizada direita, o que faremos para projetar um valor qualquer para uma data posterior? Multiplicaremos este valor pelo parntese famoso! S isso! ( o que equivale a uma operao de juros compostos, que, por sinal, irmo do desconto composto por dentro!).

Sabendo disso, j podemos saltar para a Equao de Equivalncia, que nossa velha conhecida. a seguinte:

(I)df = (II)df Aplicando a equao acima, teremos:

1000.(1+0,10)3 + 2000.(1+0,10)2 = X.(1+0,10)1 + X



Uma equao e uma varivel. sempre assim que termina toda questo de equivalncia de capitais. A varivel aquilo que est sendo perguntado pelo enunciado!

Teremos:

X + 1,1X = 1.331 + 2.420 2,1X = 3.751 X = 1.786, Resposta!

Viram como fcil?

A sugesto de adotar como data focal a data mais direita do desenho muito interessante! Facilita a feitura da equao de equivalncia! Basta multiplicar cada valor pelo parntese famoso, e s!

Pronto! J sabemos TUDO a respeito da Equivalncia Composta de Capitais.

J estamos aptos a resolver questes de provas passadas. Ok?

Seguem, portanto, as questes do nosso...

... Dever de Casa

62. (TCDF-95) Um cidado contraiu, hoje, duas dvidas junto ao Banco Azul. A primeira ter o valor de $ 2.000,00 , no vencimento, daqui a seis meses; a segunda ter o valor, no vencimento, daqui a dois anos, de $4.400,00. Considerando a taxa de juros de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente, se o cidado optar por substituir as duas dvidas por apenas uma, a vencer daqui a um ano e meio, ele dever efetuar o pagamento de:

a) $ 6.420,00 d) $ 6.620,00 b) $ 6.547,00 e) $ 6.680,00 c) $ 6.600,00 63. (ESAF) Joo tem um compromisso representado por duas promissrias: uma de

$ 200.000,00 e outra de $ 150.000,00 , vencveis em quatro e seis meses, respectivamente. Prevendo que no dispor desses valores nas datas estipuladas, solicita ao banco credor a substituio dos dois ttulos por um nico a vencer em dez meses. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 5% a.m., o valor da nova nota promissria de:

a) $ 420.829, c) $ 445.723, b) $ 430.750, d) $ 450.345, 64. (Fiscal de Trib.-CE) Uma dvida no valor de R$ 20.000,00 vence hoje, em

quanto outra no valor de R$ 30.000,00 vence em seis meses. A taxa de juros compostos de 4% ao ms e considerando um desconto racional, obtenha o valor da dvida equivalente s duas anteriores, com vencimento ao fim de trs meses. desprezando os centavos.

a) R$ 48.800,00 d) R$ 40.039,00 b) R$ 49.167,00 e) R$ 50.000,00 c) R$ 49.185.00



65. (AFRF 2005 ESAF) Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 a vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo est interessado em comprar esse apartamento e prope Ana pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, ento, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas ser igual a:

a) R$ 220.237,00 d) R$ 275.412,00 b) R$ 230.237,00 e) R$ 298.654,00 c) R$ 242.720,00

66. (AFC/STN 2005 ESAF) Uma pessoa contraiu uma dvida no regime de juros compostos que dever ser quitada em trs parcelas. Uma parcela de R$ 500,00 vencvel no final do terceiro ms; outra de R$ 1.000,00 vencvel no final do oitavo ms e a ltima, de R$ 600,00 vencvel no final do dcimo segundo ms. A taxa de juros cobrada pelo credor de 5% ao ms. No final do sexto ms o cliente decidiu pagar a dvida em uma nica parcela. Assim, desconsiderando os centavos, o valor equivalente a ser pago ser igual a:

a) R$ 2.535,00 d) R$ 1.957,00 b) R$ 2.100,00 e) R$ 1.933,00 c) R$ 2.153,00

isso!

Um forte abrao a todos! Bons estudos!

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