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CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO

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AULA 06 – DESCONTO COMPOSTO

Olá, amigos!

Espero que estejam todos bem!

Vamos dar início à aula de hoje resolvendo as questões pendentes do nosso...

...Dever de Casa

35. (FISCAL TRIB.-CE) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, a taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para reais).

a) R$ 625,00 d) R$ 650,00 b) R$ 630,00 e) R$ 676,00 c) R$ 636,00 Sol.: A leitura do enunciado revela a presença de elementos de uma operação de Juros. Já sabemos que só poderemos dar início à resolução quando tivermos certeza de estar trabalhando no regime simples ou no regime composto.

Aqui o regime composto foi informado de maneira expressa, não restando qualquer dúvida de que estamos diante de uma operação de Juros Compostos!

Se são Juros Compostos, trabalharemos com a Equação Fundamental, que é a seguinte:

M = C.(1+i)n

Estamos lembrados que essa fórmula faz uma única exigência, qual seja, a de que taxa e tempo estejam na mesma unidade (exigência universal da matemática financeira!). Já está cumprida? Sim! Temos uma taxa mensal (4% ao mês) e o tempo em meses (12 meses).

Resta-nos, pois, aplicar a equação. Teremos:

M = C.(1+i)n

1000 = C.(1+0,04)12 C=1000/(1+0,04)12

Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos:

TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n

1% 2% 3% 4% 5%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281

. ... ... ... ... ...

12 ... ... ... 1,601032

Assim:

C=1000/1,601032 C= 624,59 ≅ 625, Resposta!

i n



36. (IRB 2004 ESAF) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado.

a) 30% d) 33,1% b) 31,3% e) 34% c) 32,2% Sol.: Este enunciado encontrou uma maneira um pouco diferente de revelar o regime: não usou a palavra simples e nem a palavra composto, mas sim capitalização!

A mera presença da palavra capitalização imediatamente nos remeterá ao regime composto! Ok? Sempre assim!

Agora atentem para a pergunta da questão: calcule os juros como porcentagem do capital.

Ora, sempre que o formato da pergunta for este: calcule este elemento como porcentagem deste outro, atribuiremos ao último o valor de 100 (cem).

Se a pergunta foi: calcule os juros como porcentagem do capital, chamaremos o capital de 100. Só isso! Teremos:

C=100, n=3 períodos i=10% ao período J=?

Vejam que taxa e tempo já estão compatíveis, na mesma unidade. Que unidade é essa? Período! Não importa! Poderia ser mês, ano, qualquer uma. O que importa é que a exigência universal da matemática financeira já está cumprida!

Ou seja, já estamos prontos para aplicar a equação fundamental dos Juros Compostos. Teremos:

M = C.(1+i)n

M = 100.(1+0,10)3



1% 2% 3% ... 10%

1 1,010000 1,020000 1,030000 ... 1,050000

2 1,020100 1,040400 1,060900 ... 1,102500

3 1,030301 1,061208 1,092727 ... 1,331000

Assim:

M=100x1,33100 M=133,10

E uma vez conhecendo Capital e Montante, encontraremos também o valor dos Juros. Teremos:

J= M-C J=33,10

Ora, mas a questão não quer saber o valor dos Juros apenas! Ela quer saber juros como porcentagem do capital. Foi por isso que chamamos o capital de 100. Assim, basta acrescentarmos aos Juros encontrados o sinal de porcentagem!

Finalmente, diremos que: J=33,10% Resposta!

i n



Consideremos que fosse X o valor dos juros encontrados. Ora, qualquer que fosse esse X, em relação a 100 seria sempre igual a X%. Ok? É por isso que chamamos o Capital de 100: para podermos apenas acrescentar o sinal de porcentagem no final! Adiante!

37. (BACEN) A taxa de 4% ao mês, quando capitalizada com juros compostos, corresponde a uma taxa bimestral equivalente a:

a) 8% d) 1,0816% b) 8,16% e) 16% c) 1,08% Sol.: Esta questão trabalha somente com os conceitos de taxa no regime composto!

Foi fornecida uma taxa mensal (4% ao mês), e pede-se uma taxa bimestral.

Ora, a questão nos deu uma taxa efetiva de Juros Compostos! Concordam?

Já sabemos qual o conceito que deve ser adotado neste caso: o conceito de Taxas Equivalentes!

E será sempre assim, quando quisermos alterar a unidade de uma taxa efetiva de juros compostos. Aprendemos isso na aula passada!

Fazendo uma prévia análise para utilização das Taxas Equivalentes, teremos:

%a.b. = I (bimestre é maior que mês).

%a.m.=i (mês é menor que bimestre).

K=2 (cabem dois meses em um bimestre!).

Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos:

1 + I = (1 + i)k

1 + I = (1 + 0,04)2

Consultando a Tabela Financeira, encontraremos que:


1% 2% 3% 4% 5%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500

Daí: 1 + I = 1,081600

E: I=0,0816 I=8,16% ao bimestre Resposta!

38. (Banespa 97/ FCC) Receber juros compostos de 525% ao ano é equivalente a receber juros semestrais de:

a) 175,0% d) 262,5% b) 206,25% e) 150,0% c) 218,5%

Sol.: Questão semelhante à anterior: o enunciado nos deu uma taxa efetiva de juros compostos, na unidade anual (525%a.a.), e nos pediu que a alterássemos para a unidade semestral.

Qual o conceito que usaremos? O conceito de Taxas Equivalentes, claro! Teremos:

i n



%a.a. = I (ano é maior que semestre).

%a.s.=i (semestre é menor que ano).

K=2 (cabem dois semestres em um ano!).


1 + I = (1 + i)k

1 + 5,25 = (1 + i)2

Trocando de lado, teremos:

(1+i)2=6,25

O momento agora seria o de consultar a Tabela Financeira! Todavia, ao tentar fazer essa consulta, veremos que a tabela não nos será útil para esses valores!

E nem precisa! Senão, vejamos.

Você sabe dizer qual é a raiz quadrada de 625? Não? Pois deveria! Aliás, deixa eu abrir um parêntese aqui nesta resolução, para falar em quadrados perfeitos.

Convém, muitíssimo, que você conheça os quadrados de 11 a 25. Vejamos:

112=121

122=144

132=169

142=196

152=225

162=256

172=289

182=324

192=361

202=400

212=441

222=484

232=529

242=576

252=625

Mas, professor, eu preciso mesmo decorar tudo isso? Eu diria que você não precisa fazer não é obrigado a nada neste mundo. Concorda? Mas que seria muito conveniente, isso seria! E por quê? Pelo seguinte: se eu sei que 252=625, então a raiz quadrada de 2,52=6,25.

Assim, a raiz quadrada de 6,25 é igual a 2,5.

Da mesma forma, teríamos que: 1,121,1 = , ou que 2,144,1 = , e assim por diante!

Esse conhecimento serve também para a prova de Estatística! Na prova do AFRF-2003, uma das questões de Estatística Básica só seria resolvida se a pessoa soubesse quanto é a raiz quadrada de 2,56. E aí? Você agora já saberia dizer quanto vale? Claro! Vejamos:

Se 162=256, então 56,2 =1,6



Pois bem! Voltemos ao nosso enunciado. Chegamos a: (1+i)2=6,25

Daí: (1+i)= 25,6 (1+i)=2,5 i=1,5 i=150% ao semestre Resposta!

39. (IRB 2004 ESAF) Indique qual a taxa anual de juros compostos que equivale a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês.

a) 24% d) 24,96% b) 24,24% e) 26,8242% c) 24,48%

Sol.: Novamente a questão quer alteremos a unidade de uma taxa efetiva de juros compostos!

Mais uma vez usaremos o conceito de Taxas Equivalentes. Teremos:

%a.a. = I (ano é maior que mês).

%a.m.=i (mês é menor que ano).

K=12 (cabem doze meses em um ano!).


1 + I = (1 + i)k

1 + I = (1 + 0,02)12



1% 2% 3% 4% 5%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281

. ... ... ... ... ...

12 ... 1,268242 ... 1,601032

Assim:

1 + I = 1,268242 I=0,268242 I=26,8242% a.a. Resposta!

40. (IRB 2006 ESAF) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) 60% ao ano d) 10% ao trimestre b) 30% ao semestre e) 6% ao bimestre c) 24% ao semestre Sol.: Essa questão é um pouquinho mais interessante. Há uma dica a ser aprendida!

Vocês percebem que vamos partir de uma taxa efetiva de juros compostos mensal.

E precisaremos chegar a uma taxa equivalente, em uma unidade ainda desconhecida!

i n



O truque é o seguinte: vamos imaginar que a taxa fornecida pelo enunciado seja uma taxa de juros simples. Vejam bem: é apenas uma suposição! Na realidade, conforme sabemos, a taxa é composta!

Daí, pensaremos assim:

Se a taxa 4% ao mês fosse uma taxa de juros simples, para transformá-la numa taxa bimestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 2 (dois), já que um bimestre tem dois meses.

Assim, pelas taxas proporcionais, teríamos que: 4% ao mês = 8% ao bimestre!

Ora, ocorre que a taxa 4%a.m. não é de juros simples, mas de juros compostos!

Daí, mesmo antes de aplicarmos o conceito de Taxas Equivalentes, de antemão, uma certeza nós já temos: a taxa bimestral terá que ser maior que 8% ao bimestre!

Conclusão: transformando uma taxa qualquer, de uma unidade menor para uma unidade maior, teremos que o resultado encontrado pelo conceito de taxas equivalentes será sempre maior que o encontrado pelo conceito de taxas proporcionais.

Até aqui, a opção E de resposta já está descartada!

Se a taxa de 4% ao mês fosse de juros simples, para transformá-la numa taxa trimestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 3 (três), já que um trimestre tem três meses.

Teríamos que: 4% ao mês = 12% ao trimestre!

Todavia, essa taxa 4% é de juros compostos e não de juros simples, assim, de antemão, mesmo sem aplicar o conceito de taxas equivalentes, já sabemos que a taxa composta trimestral terá que ser maior que 12%.

Essa análise já nos fará descartar a opção D. Viram? Adiante!

Se a taxa de 4% ao mês fosse de juros simples, para transformá-la numa taxa semestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 6 (seis), já que um semestre tem seis meses.

Teríamos que: 4% ao mês = 24% ao semestre!

Assim, já sabemos que a taxa composta equivalente semestral terá que ser maior que 24%.

Com isso, descartamos a alternativa C.

Por enquanto, estão sobrando duas possibilidades: 60% ao ano ou 30% ao semestre.

Aqui, aplicaremos o conceito de Taxas Equivalentes. Vamos encontrar a taxa semestral, Ok? Teremos que:

%a.s. = I (semestre é maior que mês).

%a.m.=i (mês é menor que semestre).

K=6 (cabem seis meses em um semestre!).


1 + I = (1 + i)k

1 + I = (1 + 0,04)6





1% 2% 3% 4% 5%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281

6 ... ... ... 1,265319

Assim:

1 + I = 1,265319 I=0,265319 I=26,5319% ao semestre.

Com esse resultado, descartamos a letra B.

Qual restou? Apenas a letra A: 60% ao ano Resposta!

Há uma coisa que eu esqueci de pedir a vocês na aula passada. (Esqueci mesmo? Não sei. Estou esquecido se esqueci... Memória prodigiosa essa minha!). Bem. Se já falei, vou falar de novo: EU QUERO MUITO QUE VOCÊS DECOREM DUAS COISAS:

1ª) 3% ao mês = 9,2727% ao trimestre.

2ª) 4% ao mês = 60,1032% ao ano.

Essas duas taxas compostas – 9,2727% ao trimestre e 60,1032% ao ano – aparecem em prova o tempo inteiro! Em aparecendo na sua prova, você não vai perder mais nem um minuto aplicando o conceito de Taxas Equivalentes. Não vai mais precisar! Por quê? Porque você vai se lembrar que:

9,2727% ao trimestre = 3% ao mês.

60,1032% ao ano = 4% ao mês.

Ok? Adiante!

41. (ANEEL 2004 ESAF) A taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal

corresponde a uma taxa efetiva anual de a) 26,82%. d) 24,00%. b) 25,51%. e) 22,78%. c) 25,44%. Sol.: Aqui uma questão mais completa, em se tratando de conceitos de taxas no regime composto! E por que isso? Porque está presente no enunciado uma Taxa Nominal. Sempre que isso ocorrer, já saberemos: nosso primeiro passo será transformar a Taxa Nominal em Taxa Efetiva.

i n



Na aula passada, aprendemos que essa transformação se fará mediante o conceito de Taxas Proporcionais. Lembrados? Teremos:

24% a.a. com capitalização mensal = (24/12) = 2% ao mês

A questão agora pede que você encontre uma taxa efetiva anual.

Temos uma taxa efetiva mensal, e encontraremos uma taxa efetiva anual. Ou seja, precisamos alterar a unidade de uma taxa efetiva. Por meio de qual conceito? Por meio do conceito de taxas equivalentes. Teremos:

%a.a. = I (ano é maior que mês).

%a.m.=i (mês é menor que ano).

K=12 (cabem doze meses em um ano!).


1 + I = (1 + i)k

1 + I = (1 + 0,02)12



1% 2% 3% 4% 5%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625

4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506

5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281

. ... ... ... ... ...

12 ... 1,268242 ... ...

Assim:

1 + I = 1,268242 I=0,268242 I=26,8242% a.a. Resposta!

42. (TCE-Piauí 2002/FCC) Um contrato de financiamento de imóvel foi celebrado

considerando-se uma taxa anual nominal de 12%, capitalizada quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é de

(A) 12,49% (D) 15,12% (B) 12,55% (E) 16,99% (C) 13,00%

Sol.: Mesmíssimo modelo da questão anterior! Aliás, há um desenho que aprendemos na aula passada, e que vale perfeitamente para o caso. Relembremos:

i n

Taxa Nominal

Taxa Efetiva

Taxa Efetiva em outra unidade

Taxas Proporcionais

Taxas Equivalentes



Comecemos logo transformando a Taxa Nominal em Taxa Efetiva. Faremos:

12% a.a. com capitalização quadrimestral = (12/3) = 4% ao quadrimestre

A questão agora pede que você encontre uma taxa efetiva anual. Teremos:

%a.a. = I (ano é maior que quadrimestre).

%a.q.=i (quadrimestre é menor que ano).

K=3 (cabem três quadrimestres em um ano!).


1 + I = (1 + i)k

1 + I = (1 + 0,04)3



1% 2% 3% 4% 5%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000

2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500

3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625

Assim:

1 + I = 1,124864 I=0,124864 I=12,49% ao ano Resposta!

43. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal.

a) 2,595% ao mês. d) 9,703% ao trimestre. b) 19,405% ao semestre. e) 5,825% ao bimestre. c) 18% ao semestre.

Sol.: Outra semelhante. Iniciemos transformando a taxa nominal em efetiva. Teremos:

36% a.a. com capitalização mensal = (36/12) = 3% ao mês

Só isso já nos leva a descartar a letra A. Concordam?

De resto, precisaremos encontrar qual a taxa equivalente a 3% ao mês, numa das unidades das opções de resposta!

Como entre as alternativas há taxas na unidade bimestral, trimestral e semestral, usaremos o truque que aprendemos ainda hoje, de fazer de conta que a taxa 3%a.m. é de juros simples. Olha lá, hein: não é verdade isso! É só faz de conta!

Assim, passando 3% ao mês simples para bimestral, teríamos: 3x2=6% ao bimestre.

E eliminamos a letra E.

i n



Passando 3% ao mês simples para semestral, teríamos 3x6=18% ao semestre.

Assim, eliminamos a letra C, pois 3%a.m. sendo composta, teria que resultar numa taxa equivalente necessariamente maior que 18% ao semestre! (Jamais igual!).

Há duas opções no páreo: 19,405% ao semestre e 9,703% ao trimestre.

E aí? Precisaremos fazer as contas? Claro que não! E por que não? Porque aprendemos, agora há pouco, que 3% ao mês composta é equivalente a 9,2727% ao trimestre!

Isso elimina a letra D, restando-nos, pois, apenas o seguinte:

3% ao mês = 19,405% ao semestre Resposta!

44. (BC-94) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:

a) 20% d) 23% b) 21% e) 24% c) 22% Sol.: Vamos nós outra vez! Transformando a taxa nominal em efetiva, teremos:

30% a.t. com capitalização mensal = (30/3) = 10% ao mês

Essa taxa composta 10% ao mês também é muito comum em prova. Inclusive figurou em algum dos nossos exemplos da aula passada. Acho que podemos também memorizar essa alteração sem maiores problemas, e com economia de tempo na nossa resolução.

Sendo assim, aprendamos de uma vez por todas:

10% ao mês = 21% ao bimestre!

Será essa taxa bimestral que encontraremos aplicando o conceito de Taxas Equivalentes!

Ok? Seguindo o mesmo cálculo, encontraremos também o seguinte:

10% ao bimestre = 21% ao quadrimestre

10% ao trimestre = 21% ao semestre

10% ao semestre = 21% ao ano

Adiante!

45. (AFC/STN 2005 ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa

de juros de 60% ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a:

a) 69 % e 60 % d) 60 % e 69 % b) 60 % e 60 % e) 120 % e 60 % c) 69 % e 79 %

Sol.: Eis aqui uma questão bastante interessante!

Foram fornecidas duas taxas nominais. As seguintes:

60% ao ano, com capitalização semestral; e

30% ao semestre, com capitalização mensal.

Teremos que transformá-las em taxas efetivas, aplicando duas vezes o conceito de taxas proporcionais. Teremos:



60% ao ano, com capitalização semestral = (60/2) = 30% ao semestre

30% ao semestre, com capitalização mensal = (30/6) = 5% ao mês

E agora, o que a questão nos pede? Pede-nos que encontremos taxas anuais!

Ora, de posse de uma taxa efetiva de juros compostos, para alterar sua unidade aplicaremos o conceito de Taxas Equivalentes! Certo?

Só que antes disso, faremos uma consideração hipotética, para ver se podemos matar a questão mais rapidamente. Comecemos trabalhando com a taxa de 30% ao semestre.

Se ela fosse uma taxa de juros simples, para transformá-la para anual, aplicaríamos o conceito de taxas proporcionais, e teríamos que:

30% ao semestre = 30x2 = 60% ao ano.

Assim, a taxa efetiva anual teria que ser, necessariamente, maior que 60% ao ano!

Agora, façamos o mesmo com a taxa de 5% ao mês.

Se ela fosse taxa simples, aplicaríamos o conceito de taxas proporcionais para transformá-la em taxa anual, e teríamos que:

5% ao mês = 5x12 = 60% ao ano.

Assim, a taxa efetiva anual também teria que ser, neste caso, necessariamente maior que 60% ao ano!

Conclusão: a resposta que procuramos tem que apresentar duas taxas maiores que 60%! Dêem uma olhadinha nas alternativas! Viram?

Somente uma opção de resposta atende essa condição!

Daí: letra C Resposta!

É isso! Espero que tenham resolvido bem essas questões!

Ainda nos restou falar alguma coisa sobre os Juros Compostos. Um tema importante e que cai muito em prova. Vamos lá.

# Convenção Linear:

Na aula passada, aprendemos a resolver questões de Juros Compostos, mediante a aplicação da Equação Fundamental, que consistia no seguinte:

M=C.(1+i)n

Até aqui, nada de novo!

Ocorre que existe uma forma alternativa para resolvermos questões de Juros Compostos! Essa forma alternativa tem um nome: Convenção Linear!

Assim, a Convenção Linear nada mais é que um método diferente para trabalharmos operações de Juros Compostos! Só isso!

Precisamos saber que esse caminho alternativo é, na verdade, o caminho da exceção!

E assim sendo, só iremos resolver uma questão de Juros Compostos pela Convenção Linear quando o enunciado mandar expressamente! Ok? Só nesse caso!

No mais, temos que conhecer a equação da Convenção Linear. É a seguinte:

M=C.(1+i)INT.(1+i.Q)

Onde:



INT é a parte inteira do tempo; e

Q é a parte quebrada do tempo.

Pela própria fórmula, vocês vão deduzir o seguinte: nos enunciados de Convenção Linear, o tempo de aplicação do capital será sempre apresentado (ou convertido por nós) em duas partes: uma inteira e outra quebrada.

Assim sendo, faremos neste exemplo uma adaptação à exigência universal da matemática financeira: na Convenção Linear, temos que a taxa tem que estar na mesma unidade das duas partes do tempo (a parte inteira e a parte quebrada).

Por exemplo: se a questão falar 3 meses e 15 dias e uma taxa mensal.

Passando tudo para meses (a unidade da taxa), teremos que:

3 meses e 15 dias = 3 meses (parte inteira) + 0,5 mês (parte quebrada).

Outro exemplo: se a questão falar em 5 meses e 10 dias, e uma taxa mensal. Teremos:

5 meses e 10 dias = 5 meses (parte inteira) + (1/3) mês (parte quebrada).

Entenderam?

Pois bem! Se a questão falar em Convenção Linear, só precisaremos nos lembrar da Equação apropriada, bem como de colocar a as duas partes do tempo na mesma unidade da taxa! Só isso! É uma das questões mais fáceis da prova!

(ESAF) Uma pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de: a) $ 16.590 d) $ 16.705 b) $ 16.602 e) $ 16.730 c) $ 16.698

Sol.: O enunciado falou expressamente em convenção linear, de sorte que já identificamos o assunto da questão! Teremos, pois, que aplicar a seguinte equação:


Percebamos agora que a taxa é anual (15% ao ano) e que o tempo está anos e meses.

O que teremos que fazer é transformar 8 meses em uma fração de ano. Nada mais fácil. Teremos que o tempo completo é o seguinte: 3 anos e (8/12) ano.

Se quisermos, pode ficar só assim mesmo. Mas, se você preferir ainda simplificar mais aquela fração, teremos: 3 anos e (2/3) ano. Melhorou?

Feito isso, e considerando que a taxa e as duas partes do tempo já estão na mesma unidade, resta-nos, tão somente, aplicar a fórmula. Teremos:


M=10000.(1+0,15)3.[1+0,15x(2/3)]

M=16.729,63 ≅ 16.730,00 Resposta!

Deixarei outras questões de Convenção Linear para resolvermos no Dever de Casa.

Passemos agora a falar acerca do Desconto Composto!

Para nossa sorte, um dos assuntos mais rápidos e mais fáceis do nosso Curso! Vejamos.



# DESCONTO COMPOSTO:

O que vem a ser uma operação de Desconto? Já sabemos disso: é aquela em que se projeta para o dia de hoje um valor monetário conhecido numa data futura. Já sabemos também qual é o desenho básico de toda e qualquer operação de Desconto. (Não sabemos?)

É o seguinte:

N

A

Pois bem! Sabemos ainda quais são os cinco elementos do Desconto. Os seguintes:

Valor Nominal: N

Tempo de antecipação: n

Valor Atual: A

Desconto: D

Taxa: i

No estudo do Desconto Simples, aprendemos uma pequena equação, válida para todas as operações de Desconto, quer simples, quer composto. Alguém se lembra dela? É a seguinte:

D=N-A.

Isso é sempre verdade. Ok?

No Desconto Composto, a exemplo do regime simples, haverá também duas modalidades:

Desconto Composto por Dentro ou Racional;

Desconto Composto por Fora ou Comercial.

A respeito disso, há uma ressalva a ser feita: a Esaf, elaboradora da prova da Receita Federal (e de tantas outras) não faz constar o Desconto Composto por Fora (Comercial) sequer nos programas de seus editais.

Isso porque existe uma linha de autores de matemática financeira, segundo o qual o Desconto Comercial Composto é uma ficção! Não existe, na verdade!

Assim, há um verdadeiro facilitador neste assunto – Regime Composto – quando a elaboradora da prova for a Esaf. Qual? O de já sabermos que a operação de Desconto Composto ocorrerá, necessariamente, na modalidade de Desconto por Dentro.

Todavia, esse entendimento restritivo do Desconto Composto não é absoluto. A Fundação Carlos Chagas (FCC), por exemplo, explorou, em prova bastante recente, o conhecimento do Desconto Composto por Fora (Comercial). Assim, convém que conheçamos tudo!

Eu lhes digo que, a bem da verdade, o que a questão de Desconto Composto quer mesmo saber, é se você conhece a equação que será empregada naquela resolução.



Sendo assim, aprenderemos uma forma boa de memorizar tanto a equação do Desconto Composto por Dentro, quanto a do Desconto Composto por Fora. Vamos lá.

Comecemos pelo Desconto Composto por Dentro: primeiramente, ao lermos o enunciado, descobriremos que se trata de uma questão de desconto, e que estamos trabalhando no regime composto!

Ora, quais são as formas de identificarmos que estamos no regime composto (e não no simples)? Primeira forma: quando o enunciado expressamente o disser. Aí é fácil. Se a questão em algum momento falar “...usando o desconto composto...”, não restará duvida alguma sobre o regime da operação.

A segunda forma de sabermos que o regime é o composto é a mera presença, no enunciado, de uma taxa nominal. Estamos lembrados do que é uma taxa nominal, certo? Se encontrarmos em nossa questão de desconto uma taxa no formato 48% ao ano com capitalização mensal, por exemplo, saberemos que o desconto é o composto!

Pois bem! Identificado que a questão é de desconto, e identificado que o desconto é composto, restará ainda uma última conclusão a se chegar: qual é a modalidade desta operação de desconto composto?

Agora suponhamos que o enunciado tenha dito: “... adote o desconto racional composto.” Pronto! Essas três palavras nos informam tudo o que precisamos saber acerca desta questão. Trata-se de uma questão de desconto, no regime composto, e na modalidade de desconto racional, que é o desconto por dentro!

Só nos falta aprender as fórmulas. Façamos um “passo-a-passo”:

1º) Faremos o desenho “genérico” de uma operação de desconto:

N A 2º) Lembraremos daquele conceito que foi feito no capítulo de Desconto Simples, quando dissemos que haveria um dos lados que seria considerado o lado do desconto por dentro, e um que seria o lado do desconto por fora. Será que ainda lembramos disso?

O lado do desconto por dentro é o lado do Atual;

O lado do desconto por fora é o lado do Nominal.

Como estamos em uma questão de desconto por dentro, teremos que:

N A d

Esse d é só para lembrar que o lado do Atual é o lado do desconto por dentro.



3º) Iremos lembrar de uma pequena frase, que nos auxiliará a formar a equação do desconto composto. A frase é a seguinte: Composto rima com oposto. Ora, se composto rima com oposto, e o lado do desconto por dentro é o lado do Atual, então nossa fórmula começará pelo lado oposto. Ou seja: começará pelo Nominal:

N A d Essa nossa fórmula é linear. Teremos que:

N=A.(1......) Primeiramente colocaremos apenas isso: Nominal é igual a Atual vezes um parêntese começando por 1.

Feito isso, pensaremos: a fórmula começou pelo Nominal; esse Nominal é maior ou menor que o Atual? É claro que é maior! Logo, se é maior, então depois desse 1 vem um sinal de +. Teremos:

N=A.(1+i)n

É esta a equação fundamental do desconto composto por dentro!

Como podemos ver, nela aparecem o valor nominal, o valor atual, a taxa composta e o tempo que separa as datas do valor atual e nominal.

Esta equação faz uma única exigência, antes de podermos aplicá-la. Qual? É isso mesmo, a exigência universal: taxa e tempo terão de estar na mesma unidade!

Suponhamos que um enunciado qualquer de desconto composto racional tenha nos fornecido o valor nominal (N), o valor da taxa (i) e o valor do tempo (n), e venha solicitar que encontremos o valor atual (A) desta operação. O que faríamos para aplicar a fórmula acima? Ora, apenas isolaríamos o valor atual, e passaríamos o parêntese famoso para o outro lado, dividindo. Teríamos, portanto:

A=N/(1+i)n

Obviamente que não precisaremos decorar essa segunda fórmula! Claro que não! É mero desdobramento da primeira! E ainda assim, esta acima é a segunda fórmula do desconto composto por dentro.

Passemos à construção da fórmula do Desconto Composto Comercial (Por Fora). O raciocínio é muito semelhante ao que desenvolvemos acima. Começaremos fazendo o desenho “genérico” das operações de desconto.

Teremos: N

A



Daí, lembraremos novamente daquele trato, só que agora no que diz respeito ao desconto por fora: o lado do desconto por fora é o lado do Nominal. Teremos:

N A f Agora nos lembraremos da frase da rima, que nos diz que composto rima com oposto! Ora, se o lado do desconto por fora é o lado do Nominal, então nossa fórmula começará pelo lado oposto, ou seja, começará pelo Atual.

N A f Teremos, portanto, que:

A=N.(1......) A princípio, escrevemos somente isso: Atual é igual a Nominal, que multiplica por um parêntese que começa por 1.

E depois perguntamos: esse elemento que começa a fórmula (o Atual) é maior ou menor que o Nominal? Obviamente que é menor! Logo, após o 1 do parêntese surgirá um sinal de subtração (-). Teremos:

A=N.(1-i)n

Esta é a equação fundamental do desconto composto por fora!

A exigência desta fórmula, estou certo disso, somos todos capazes de adivinhar: taxa e tempo têm que estar na mesma unidade. Se esta exigência estiver cumprida, então é só jogar os dados da questão na fórmula.

E se, por acaso, o enunciado fornecer o valor atual (A), o valor da taxa (i) e o valor do tempo (n), e solicitar que encontremos o Valor Nominal da operação. O que faríamos para aplicar a fórmula acima? Ora, isolaríamos o valor nominal, passando o parêntese (que não é o famoso!) para o lado contrário, dividindo.

Teríamos:

N=A/(1-i)n

Ei-la: esta é a segunda equação do desconto composto por fora, cuja exigência de aplicação é aquela nossa velha conhecida: taxa e tempo na mesma unidade!

Pois bem! Agora que conhecemos as equações todas do Desconto Composto, resta-nos lembrar – mais uma vez – que:

É preciso usar taxa e tempo na mesma unidade!



E se taxa e tempo estiverem em unidades diferentes, faremos duas tentativas naquela ordem já nossa conhecida: 1ª) Recorreremos ao tempo, tentado adaptá-lo para a mesma unidade da taxa.

E se falhar a primeira tentativa: 2ª) Recorreremos à taxa, e alteraremos sua unidade, adaptando-a à unidade do tempo. Neste recurso, e já dispondo de uma taxa composta efetiva, usaremos o conceito de taxas equivalentes!

No mais, é só fazer as contas e acertar a questão!

Uma perguntinha: vocês acham que é possível, no enunciado de uma questão de Desconto, estar presente uma taxa como 36% ao ano, com capitalização mensal?

O que vocês acham? Claro que sim! Trata-se de uma taxa nominal. Aprendemos que a presença da Taxa Nominal, por si, já indica que estamos no Regime Composto! (Não precisará a questão falar isso expressamente!). E já sabemos também o que fazer diante de uma taxa nominal. Lembrados? Iremos transformá-la em Taxa Efetiva, por meio do conceito de Taxas Proporcionais!

Pronto! Já sabemos tudo sobre o Desconto Composto!

Vejamos uma questão recente de prova.

01. Obtenha o valor hoje de um título de $10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos.

a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174, Sol.: Essa questão não ofereceu muita resistência. Facilmente identificamos o assunto, de uma forma completa e segura. Isso se fez por meio de três palavras presentes no enunciado: “...desconto racional composto...”! Pronto! É tudo o que precisamos saber para a resolvermos: a questão é de desconto; o regime é o composto; e a modalidade é a de desconto por dentro! Anotemos os dados que foram fornecidos: N=10.000,00 n=3 meses i=3% ao mês (juros compostos) A=? Ora, usaremos a equação fundamental do desconto composto racional, notando que a exigência universal já está cumprida pelo enunciado. Ou seja, taxa e tempo já estão na mesma unidade. Em suma: aplicação direta da fórmula! Teremos:

niAN )1( +⋅= Daí: niNA

)1( += E: 3%)31(

10000+

=A

Aqui, podemos recorrer à Tabela Financeira do parêntese famoso, para encontrarmos que: (1+3%)3 =1,092727

Daí: A=10000/1,092727

Vamos usar um truque, do qual já falamos neste Curso, para facilitar a feitura desta divisão! O truque é o seguinte: com um olho você olha para a conta; com o outro, para as opções de resposta! Vejamos:



1º Passo) Temos que dividir 10.000 por 1,092727. Vamos decidir logo com quantas casas decimais iremos trabalhar essa divisão. Em geral, o trabalho com três casas decimais costuma ser satisfatório, e muito seguro! Podemos, então, optar por isso. Daí, nossa conta será: 10.000 / 1,092

2º Passo) Agora igualaremos o número de casas decimais. Então vamos lá: 1,092 tem

quantas casas decimais? (Para os mais esquecidos, casa decimal é algarismo depois da vírgula!). Então. Quantos? Tem 3 casas decimais. E o 10.000 tem quantas casas decimais? Nenhuma. Então, pegaremos os 10000, passaremos uma vírgula e acrescentaremos três zeros. Daí, teremos:

10.000,000 / 1,092 Perceba que conseguimos igualar o número de casas decimais: três para cada lado. Feito isso, o arremate: excluímos as vírgulas! Nossa conta será, portanto, somente:

10.000.000 / 1.092 Agora, sim, vem a parte boa! É aqui que vocês vão perceber a importância de se resolver a conta de divisão olhando para as respostas! Vamos iniciar a nossa conta. Primeiramente, olhamos para as opções de resposta. Qual o algarismo que inicia todas elas? Olha lá! a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174,

É um 9. Daí, você – gênio da matemática – começa colocando logo um 9 no quociente. Ficamos com:

10000’000 1092

9828 9 172

Agora desce um zero. Teremos:

10000’0’00 1092

9828 9 1720

E agora? Agora você olha para as respostas novamente. Qual é o segundo dígito (o segundo algarismo) que aparece em todas elas? Vejamos: a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174, Daí, nem precisa adivinhar quem será o próximo valor no nosso quociente! Obviamente que será o 1. Teremos:

10000’0’00 1092 9828 91 1720 1092

628 Reparemos que nossa conta está quase no fim! Claro! Basta darmos uma outra olhadela nas opções de resposta, e conferirmos qual é o terceiro algarismo que aparece em cada uma delas. Façamos isso: a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174,



Olha aí, minha gente! Em todas as opções, não houve terceiro algarismo repetido! Isso significa que se encontrarmos no quociente agora um 4, a resposta será a letra a; se encontramos um 5, a resposta será a letra b; se encontrarmos um 0, será a letra c; se encontramos um 2, será a letra d; finalmente, se encontrarmos um 7, nossa resposta será a letra e.

Sem medo de ser feliz!

Voltando à nossa conta. Desce mais um zero. Teremos:

10000’0’0’0 1092

9828 91 1720 1092

6280 Ora, não ficou muito difícil perceber que caberá aí um 5 no nosso quociente! Vejamos:

10000’0’0’0 1092

9828 915 1720 1092

6280 5460 Não dava para ser um 7, porque 7x1092=7644, que já passava de 6280. Pronto! Nem precisamos mais levar adiante essa divisão. Podemos ter certeza absoluta que a resposta será a opção B.

Daí: A = 9.151, Resposta!

É isso! Creio que por hoje é só. Já estamos prontos para pôr em prática os ensinamentos de hoje.

Assim, seguem as questões do nosso...

... Dever de Casa

01. (AFTN-85 ESAF) Uma pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de:

d) $ 16.590 d) $ 16.705 e) $ 16.602 e) $ 16.730 f) $ 16.698 02. (ACE MICT/1998/ESAF) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao

mês, juros compostos, do dia 10 de fevereiro ao dia 30 de maio. Obtenha os juros da aplicação, usando a convenção linear.

a) R$ 110,00 d) R$ 114,58 b) R$ 113,48 e) R$ 115,00 c) R$ 114,47

03. (Fiscal PA- 2002/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos durante dois

períodos e meio a uma taxa de 20% ao período. Calcule o montante em relação ao capital inicial, considerando a convenção linear para cálculo do montante.

a) 150% d) 160%



b) 157,74% e) 162% c) 158,4% 04. (TRF 2006 ESAF) Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros compostos à

taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de quinze meses usando a convenção linear.

a) R$ 150.108,00 d) R$ 152.223,00 b) R$ 151.253,00 e) R$ 152.510,00 c) R$ 151.772,00 05. (AFPS – 2002/ESAF) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à

taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do montante.

a) 22,5% d) 26,906% b) 24% e) 27,05% c) 25%

06. (Analista de Compras de Recife 2003/ESAF) Um título é descontado por R$

10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze os centavos. a) R$ 11.255,00 d) R$ 11.800,00 b) R$ 11.295,00 e) R$ 12.000,00 c) R$ 11.363,00

07. (ATE–MS2001/ESAF) Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os centavos, se houver). a) R$ 4.400,00 d) R$ 4.952,00 b) R$ 4.725,00 e) R$ 5.000,00 c) R$ 4.928,00

08. (AFTN-91) Um “comercial paper” com valor de face de $1.000.000,00 e

vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional. Obtenha o valor do resgate: a) $ 751.314,80 d) $ 729.000,00 b) $ 750.000,00 e) $ 700.000,00 c) $ 748.573,00

09. (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00 , 60 (sessenta)

dias antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final) Dados: (1,84)1/3= 1,22538514 (1,84)1/4= 1,1646742 (1,84)1/6= 1,10697115 a) $ 429.304,00 d) $ 449.785,00 b) $ 440.740,00 e) $ 451.682,00 c) $ 446.728,00

Bons estudos! Um forte abraço e fiquem com Deus!

matematica financeira regular 6.pdf

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