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CURSOS ON-LINE MATEMTICA FINANCEIRA CURSO REGULAR PROFESSOR SRGIO CARVALHO

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AULA 03 DESCONTO SIMPLES

Ol, amigos!

Peo desculpas por no ter postado esta aula no dia de ontem. Farei o possvel para evitar novos atrasos. Ok? Iniciemos comentando as questes que ficaram pendentes do dever de casa passado. Vamos a elas.

Dever de Casa

12. (Auditor Fiscal de Fortaleza 1998 ESAF) Um capital aplicado a juros

simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condies calcule o juro simples exato ao fim do perodo, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores segunda.

a) 4,70% d) 4,88% b) 4,75% e) 4,93% c) 4,80% Sol.: Conforme vimos na aula anterior, s iremos considerar a modalidade Juros Simples Exatos quando a questo o disser expressamente. E o caso desta questo! Lembramos tambm que a unidade a ser adotada nos Juros Exatos a diria. Assim, usaremos taxa diria e tempo em dias. Por fim, a particularidade que caracteriza essa modalidade excepcional de Juros Simples que a contagem dos dias se far levando-se em considerao o nosso ano calendrio convencional. Passemos logo com a contagem dos dias. J sabemos fazer isso, no verdade?

Teremos: Fevereiro 28 dias 18 dias

Maro 31 dias 31 dias Abril 30 dias 24 dias

Total: 73 dias

O tempo j est em dias. Agora, precisamos que a taxa tambm seja convertida para a unidade diria. Usando o conceito de Taxas Proporcionais, faremos: 24% ao ano = (24/365)% ao dia Pois bem! Vemos que a pergunta do enunciado foi feita naquele modelo: qual o valor de um elemento como porcentagem deste outro? Lembrados da aula passada? Vimos que, nesta ocasio, adotaremos para este outro (o elemento de referncia) o valor 100 (cem). Enfim, Aplicando o esquema ilustrativo dos Juros Simples, e trabalhando com os elementos Capital e Juros, teremos:

niJC.100

= 73

36524100

100

x

J

= 3657324xJ = J=4,8

Mas a questo no quer saber apenas Juros. Ela quer saber Juros como porcentagem do Capital. Foi para isso que adotamos C=100. Para podermos agora, simplesmente, acrescentarmos o sinal de porcentagem ao valor encontrado dos Juros. Teremos: J=4,8% Resposta!



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Observao: alguns valores so freqentes em questes de Juros Exatos. Entre eles: 73, 146, 219 e 292. Convm memoriz-los! Por qu? Porque so valores que vo cortar com 365. Temos que:

51

36573 =

52

365732

365146 == x

53

365733

365219 == x

54

365734

365292 == x

Sabendo disso, poderemos economizar algum tempo nas contas! No verdade? isso!

13. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$ 705,00 d) R$ 720,00 b) R$ 725,00 e) R$ 735,00 c) R$ 715,00 Sol.: Mais uma de Juros Exatos. A unidade comum, ns j sabemos, a diria. Contando os dias da aplicao, teremos:

Abril 30 dias 18 dias Maio 31 dias 31 dias Junho 30 dias 30 dias Julho 31 dias 31 dias

Agosto 31 dias 31 dias Setembro 30 dias 05 dias

Total: 146 dias

Viram a contagem de dias no que deu? J viram esse valor (146) em algum lugar? Corta com 365, e fica 2/5. Trabalhando para alterar a unidade da taxa, teremos: 18% ao ano = (18/365)% ao dia Aplicando o esquema ilustrativo dos juros simples, faremos:

niJC.100

= 146

36518100

10000

x

J

= 36510014618 xxJ =

36510073218 xxxJ =

J=720,00 Resposta!



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15. (AFRF-2003) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que vencem todo dia 5 dos prximos dez meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento nico equivalente no dia 5 do dcimo ms para quitar a dvida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao ms. a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00 b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00 c) R$ 12.200,00

Sol.: Desenhando essa questo, veremos uma seqncia de parcelas de mesmo valor, em intervalos de tempo iguais e sujeitas a uma taxa de juros simples! Se bem estivermos recordados, essas trs caractersticas indicam que estamos diante de uma questo denorex!

Parece questo de Rendas Certas, mas de Juros Simples!

Faamos o desenho. Teremos:

X 1000 1000 1000 1000 Da, aplicaremos o artifcio aprendido na aula passada. Numerando as parcelas de mil, a comear por um zero na primeira delas, e seguindo adiante, teremos: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000 1000 1000 1000 A ltima parcela a de nmero 9. Dividindo 9 por 2, encontramos 4,5. Procuraremos essa data no desenho e nela subiremos uma seta, a qual receber o valor correspondente ao somatrio de todas as parcelas iguais. Teremos: X 10.000, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000 1000 1000 1000 Esta seta de R$10.000 ir substituir todas as parcelas de R$1000. Nosso novo desenho da questo ser o seguinte:



4

4

X 10.000, 4,5m Aqui j temos taxa (4% ao ms) e tempo (4,5 meses) na mesma unidade. Da, resta aplicarmos o esquema ilustrativo dos Juros Simples. Teremos:

ni

MC.100100 += 5,44100100

10000x

X+= X=11.800,00 Resposta!

isso! Passemos agora ao assunto da aula de hoje: Desconto Simples!

Desconto Simples

Operao de Desconto aquela em que existe um valor monetrio conhecido numa data futura, e que se deseja saber o quanto ele representar se for projetado para uma data anterior.

Um fato da vida cotidiana que exemplifica bem uma operao de Desconto aquele em que algum possui uma dvida para pagar numa data futura, mas resolve antecipar seu pagamento! Ora, em decorrncia desta antecipao o devedor ir pagar um valor necessariamente menor do que era devido na data futura.

Isto uma operao de Desconto! E seus elementos so os seguintes:

Valor Nominal (N): corresponde ao valor monetrio conhecido na data futura. Normalmente, o Valor Nominal representado por um ttulo, que consiste em um documento, um papel, que indicar a quantia devida numa data posterior. Pode ser tambm chamado de Valor de Face.

Valor Atual (A): o quanto vale o Nominal quando projetado para uma data anterior. So sinnimos de Valor Atual os seguintes: Valor Lquido ou Valor Descontado!

Tempo (n): a distncia, na linha do tempo, entre o valor nominal e o valor atual. Pode ser traduzido como o tempo de antecipao no pagamento do ttulo.

Desconto (D): a diferena entre o valor devido na data futura (Nominal) e aquele que ser pago hoje (Atual). Assim, se devamos pagar R$1.000 daqui a trs meses, e resolvemos antecipar o pagamento para hoje, pagaremos, suponhamos, apenas R$900,00. Essa diferena (R$100,00) o que chamaremos de Desconto. Surge, assim, a primeira equao deste assunto, a qual ser vlida sempre, para toda e qualquer operao de Desconto:

D=N-A

Taxa (i): o elemento da mgica, que far com que o Nominal se reduza, quando projetado para uma data anterior. Sabemos que a taxa um valor percentual, seguido de uma unidade de tempo.



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Ilustrativamente, teremos que uma operao de Desconto sempre formada por dois lados. Teremos:

N

A

Assim como no estudo dos Juros, tambm o Desconto poder estar inserido no Regime Simples ou no Regime Composto! Da, nossa primeira preocupao, antes de iniciarmos a resoluo de uma questo de Desconto ser a de identificarmos o regime (se simples ou se composto)!

Identificarmos a operao de Desconto Simples, basicamente, de duas formas:

1) Quando a questo usa, expressamente, a palavra simples;

2) Quando o enunciado silencia acerca do regime, nem dizendo que simples, e nem que composto.

Uma segunda preocupao prvia, na questo de Desconto, ser a de identificar a sua modalidade! Existem dois tipos de Desconto Simples:

Desconto Simples por Dentro ou Racional; Desconto Simples por Fora ou Comercial. Em suma: no basta saber que o enunciado de uma questo de Desconto. preciso saber tambm o seu regime e a sua modalidade.

Somente aps essas duas constataes que se pode dar incio resoluo da questo de Desconto! Ficou claro isso?

Precisamos agora aprender como se trabalha com o Desconto por Dentro e com o Desconto por Fora. Esses tipos de Desconto diferenciam-se porque cada um deles possui uma referncia diferente: o elemento de referncia no Desconto por Dentro o Atual; e no Desconto por Fora o Nominal.

Assim, faremos um trato: daqui por diante, teremos que:

O lado do Desconto por Dentro o lado do Atual; e O lado do Desconto por Fora o lado do Nominal. Para no esquecermos mais esse trato, segue o desenho:

N

A f

d

Da mesma forma que fizemos no estudo dos Juros, tambm aprenderemos as equaes do Desconto Simples por meio de esquemas ilustrativos! Na operao de Juros havia apenas um, mas no Desconto, como so duas modalidades, so tambm dois esquemas ilustrativos!

Vamos aprender a constru-los agora mesmo:



6

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# Desconto Simples por Dentro:

N

A 100+i.n

100

D

i.n

Comeamos esse esquema acima colocando os seguintes trs elementos do Desconto no desenho: Atual A (no incio), Desconto D (no meio, somente para efeitos didticos) e Nominal N (no final). Da, lembraremos do trato: qual o lado do Desconto por Dentro? o lado do Atual. Ento diremos que o Atual representado por 100.

O Desconto por Dentro ser sempre representado por taxa vezes tempo (i.n).

E o Nominal, como sempre maior que o Atual, ser representado por 100 mais alguma coisa. E essa alguma coisa taxa vezes tempo (i.n).

Complementando esse desenho, passaremos os traos divisores e criaremos as fraes que iro compor as equaes do Desconto Simples por Dentro, da mesma forma que o fizemos no estudo dos Juros. Cada equao ser formada com base na igualdade das fraes de dois elementos quaisquer. Teremos:

niDA.100

= ni

NA.100100 += ni

NniD

.100. +=

Passemos ao Desconto por Fora.

# Desconto Simples por Fora:

N

A 100

100-i.n

Df

i.n

O raciocnio para memorizarmos esse esquema ilustrativo acima comea pelo nosso trato: o lado do Desconto por Fora o lado do Nominal. Logo, Nominal ser representado por 100.

Desconto por Fora ser, da mesma forma que o Desconto por Dentro, representado pelo produto taxa vezes tempo. Enfim, o Atual, que sempre menor que o Nominal, ser representado por 100 menos alguma coisa; e essa alguma coisa taxa vezes tempo.

De posse do esquema ilustrativo, igualaremos as fraes correspondentes a dois elementos quaisquer e estaremos diante de uma equao do Desconto Simples por Fora. Teremos:



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niDN.100

= ni

AN.100100 = ni

AniD

.100. =

# Exigncia das Frmulas de Desconto:

Essa exigncia se aplica a todas as equaes acima elencadas, oriundas dos dois esquemas ilustrativos de Desconto.

Creio que somos todos capazes de adivinhar essa exigncia: taxa e tempo devem estar na mesma unidade! Trata-se da exigncia universal da matemtica financeira!

Assim, no intuito de colocar taxa e tempo na mesma unidade, se tivermos que alterar a unidade da taxa de Desconto Simples, faremos isso utilizando o conceito (estudado na aula passada) de Taxas Proporcionais!

Alm disso, convm relembrarmos que vamos expressar a taxa, na equao de Desconto Simples, sob a notao de taxa percentual. Se a taxa for 5%, entra como 5 na equao; se a taxa for 10%, entra como 10; e assim por diante!

Se contarmos quantas equaes podem ser utilizadas para resolver questes de Desconto Simples por Dentro, e quantas podem ser utilizadas para resolver questes de Desconto Simples por Fora, a resposta ser sempre 4 (quatro): trs que nasceram do esquema ilustrativo e mais a equao curinga do Desconto: D=N-A. Esta, conforme dito anteriormente, sempre vlida, seja qual for o regime ou a modalidade do desconto adotado.

# Juros Simples x Desconto Simples Racional (Por Dentro):

Se compararmos os esquemas ilustrativos destas duas operaes, teremos:

N

A

100 100+i.n

Dd

i.n

M

C

100 100+i.n

J

i.n

Um exame atencioso nos desenhos acima nos conduzir seguinte concluso: operaes de Juros Simples e de Desconto Simples por Dentro so operaes irms! So operaes equivalentes! A rigor, s se modifica a nomenclatura dos elementos!

Ademais, na operao de Juros, o valor conhecido o Capital, que ser projetado para uma data futura. E na operao de Desconto, conhece-se o Valor Nominal, que projetado para uma data anterior!

A informao que deve ser guardada esta: o tipo de Desconto irmo dos Juros Simples o Desconto Simples por Dentro!

# Modalidade Indefinida de Desconto:

Pois bem! Se o enunciado no disser nada sobre o regime, se simples ou se composto, j sabemos que iremos adotar o Desconto Simples.



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Mas se a questo no disser nada a respeito da modalidade do Desconto, se por dentro ou por fora? Qual adotaremos? A regra a seguinte: iremos reler o enunciado, buscando ver o que dito a respeito da Taxa.

Se o enunciado disser que, naquela operao de Desconto, a taxa de juros, ento nos lembraremos de qual o desconto irmo dos Juros! Qual ? o desconto por dentro. Logo, nesse caso, adotaremos o Desconto por Dentro.

Contrariamente, se o enunciado no falar qual o tipo de desconto, e tambm no falar expressamente que a taxa taxa de juros, ento trabalharemos com o Desconto por Fora.

Compreendido isso?

Agora vamos resolver as primeiras questes de Desconto. Adiante!

16. Um ttulo de R$1000, vencvel em seis meses, ser resgatado hoje. Considerando uma taxa de juros de 6% ao trimestre, obtenha o valor descontado:

Sol.: O enunciado trata de uma antecipao no pagamento de um ttulo, ou seja, numa operao de Desconto! A leitura dessa questo no nos revela expressamente nem o regime e nem a modalidade do Desconto. Assim, adotaremos o Regime Simples. Certo? Claro!

E a respeito da modalidade, o que faremos? Leremos novamente o enunciado. E ele disse que a taxa taxa de juros!

Conclumos: estamos diante do Desconto Simples por Dentro (ou Racional).

Nosso esquema ilustrativo ser o seguinte:

N

A 100+i.n

100

D

i.n

Trabalhando com os elementos Valor Nominal e Valor Atual (que tambm chamado de

Valor Descontado), teremos: ni

NA.100100 +=

Ocorre que s poderemos lanar os dados na equao acima se taxa e tempo estiverem na mesma unidade. Esto? Ainda no! Temos uma taxa trimestral (6% ao trimestre) e o tempo em meses (6 meses). Assim, basta dizermos que 6 meses o mesmo que 2 trimestres. E pronto! Cumprimos a exigncia universal e estamos aptos a aplicar a equao. Teremos:

ni

NA.100100 += 26100

1000100 xA

+= 112000.100=A A=892,86 Resposta!

Suponhamos que as opes de resposta para essa questo fossem os seguintes:

a) 728,34 b) 775,98 c) 845,32 d) 892,86 e)935,21

Percebam que a resposta da questo o resultado da diviso que est em destaque acima (100.000/112). Sempre que isso ocorrer, usaremos um truque: dividiremos com um olho na conta, e o outro olho nas opes de resposta! Faremos assim:



9

9

100.000 112

Cento e doze (112) formado por trs algarismos. Se tomarmos os trs primeiros dos 100.000 teremos apenas 100. possvel dividir 100 por 112? No! Da, desce a prxima casa (dos 100.000) e agora nossa diviso ser 1000 dividido por 112. Podemos realizar essa diviso? Sim!

Qual o primeiro algarismo que caber no quociente? Para responder a esta pergunta, olharemos para as alternativas de resposta! Examinaremos qual o primeiro algarismo de cada uma delas. Vejamos:

a) 728,34 b) 775,98 c) 845,32 d) 892,86 e)935,21

So trs possibilidades: 7, 8 ou 9. Vemos que 9 demais, uma vez 9x112=1008. Caber, portanto, um 8. Teremos:

100000 112

896 8

104

Feito isso, vemos que s h duas opes no preo (as alternativas C e D, que comeam por 8). Agora, olharemos para onde? Para o segundo algarismo destas duas respostas. Teremos:

a) 728,34 b) 775,98 c) 845,32 d) 892,86 e)935,21

Depois que descer mais uma casa do 100.000 (outro zero), nossa diviso agora 1040 por 112. Veremos que caber um 9 no quociente, uma vez que 9x112=1.008. Assim, teremos:

100000 112

896 89

1040

1008

Pronto! No preciso ir alm disso! A nica alternativa que comea com um 89 a letra D, que a resposta da questo!

Esse truque da diviso ser adotado por ns, sempre que o resultado de uma diviso for a prpria resposta da questo! Ok? Vejamos se os objetivos do estudo at agora (e desta resoluo) foram alcanados:

J posso resolver as seguintes questes:

Nesta questo aprendi: 1. O que uma operao de Desconto; 2. Quais so as modalidades de Desconto Simples; 3. Como identificar o regime do desconto e a modalidade, em caso de enunciado omisso; 4. Qual o tipo de desconto que irmo dos juros; 5. Qual o esquema ilustrativo do Desconto Simples por Dentro; 6. O truque da diviso!



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Passemos a mais um exerccio:

20. Um ttulo de R$1000, vencvel em seis meses, ser resgatado hoje. Considerando uma taxa de 6% ao trimestre e o desconto simples comercial, obtenha o valor descontado:

Sol.: A primeira frase do enunciado j denuncia que estamos numa operao de Desconto! Mas aqui tudo o que precisamos saber j foi revelado expressamente: estamos no Regime Simples, e na modalidade de Desconto Comercial, que o desconto por fora!

Assim, reproduzindo o esquema ilustrativo do Desconto Comercial, teremos:

N

A 100

100-i.n

D

i.n

O enunciado revelou quem o Valor Nominal (R$1000) e est perguntando pelo Valor Descontado! Sabemos que valor descontado sinnimo de Valor Atual. Trabalhando, pois, com

esses dois elementos, teremos que: ni

AN.100100 =

Todavia, s poderemos aplicar esta equao quando cumprida a exigncia universal da matemtica financeira. Aqui temos taxa trimestral (6% a.t.) e tempo em meses (6m). Neste caso, basta chamarmos 6 meses de 2 trimestres, e est feito! Aplicando a equao, teremos:

ni

AN.100100 = 26100100

1000x

A= 100

000.88=A A=880,00 Resposta! O objetivo deste exemplo foi apenas o de fazer com que vocs memorizem o esquema ilustrativo do Desconto por Fora! Ok? Existe um outro tipo de enunciado muito peculiar de Desconto simples! Ele relacionar elementos de uma modalidade de desconto (por dentro ou por fora) e ir propor a troca para o outra modalidade (no fornecida)!

Precisamos saber que existe uma frmula que nos dar a relao entre o valor do Desconto Simples por Dentro (Dd) e do Desconto Simples por Fora (Df). Teremos que:

+=100.1. niDdDf

Trata-se de uma frmula de atalho! Ok? Convm muitssimo memoriz-la! Quando usarmos esse atalho, estaremos considerando que a taxa (i) e o tempo de antecipao (n) so os mesmos para as duas modalidades de desconto! O que muda s o Desconto (D).

A exigncia desta frmula j nossa velha conhecida: taxa e tempo na mesma unidade! E como o regime aqui o simples, usaremos taxa na notao percentual! Certo? Faamos um exemplo.

Nesta questo aprendi: 1. O esquema ilustrativo do Desconto Simples por Fora.



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21. Um ttulo sofreu um desconto simples racional de R$900, trs meses do seu

vencimento, a uma taxa de 3% ao ms. Considerando que o desconto sofrido fosse simples e comercial, calcule qual seria seu valor, mantidas a mesma taxa, o mesmo ttulo e o mesmo tempo de antecipao:

Sol.: Este enunciado forneceu elementos de uma operao de desconto simples racional (por dentro). E est propondo que seja alterado por um desconto simples comercial (por fora). Temos aqui que taxa (3% ao ms) e tempo (3 meses) esto na mesma unidade. Assim, aplicando a frmula do atalho, teremos que:

+=100.1. niDdDf

+=100

331.900 xDf Df=981,00 Resposta!

Pronto! A questo j est resolvida! Rpido, no? Por isso a frmula chamada de atalho! Torna-se a questo mais rpida da prova! Vejamos se o objetivo deste exemplo foi alcanado:

Por hoje, s de teoria! Seguem algumas questes para vocs se divertirem em casa, at a aula da semana que vem, quando as resolverei todas e avanaremos em nosso estudo! Ok? Um pedido meu: revisem tudo. Leiam as aulas ministradas at aqui. Releiam. Refaam as questes. Insistam. assim que se aprende a Matemtica Financeira (e qualquer outra disciplina)! Um forte abrao a todos, e fiquem com Deus!

Dever de Casa

17. (TTN ESAF) O valor atual racional de um ttulo cujo valor de vencimento de $ 256.000,00 , daqui a sete meses, sendo a taxa de juros simples, utilizada para o clculo de 4% ao ms, :

a) $ 200.000,00 d) $ 190.000,00 b) $ 220.000,00 e) $ 210.000,00 c) $ 180.000,00

18. (BNB 2004 ACEP) Em uma operao de desconto racional com antecipao de 5

meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao ms. Qual o valor de face desse ttulo?

a) R$ 10.000,00 d) R$ 40.000,00 b) R$ 10.666,67 e) R$ 160.000,00 c) R$ 32.000,00 19. (TTN-89 ESAF) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por

um ttulo com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de $29.500,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, de:

a) $ 24.000,00 d) $ 18.800,00 b) $ 25.000,00 e) $ 6.240,00 c) $ 27.500,00

Nesta questo aprendi: 1. A relao entre o Desconto Simples por Dentro e o Desconto Simples por Fora, mantidas as

mesmas condies de taxa e tempo de antecipao. 2. Que esta relao um atalho de resoluo!



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22. (AFRF 2002 ESAF) Um ttulo sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 trs

meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao ms. Indique qual seria o desconto mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.

a) R$ 9.810,00 d) R$ 9.200,00 b) R$ 9.521,34 e) R$ 9.000,00 c) R$ 9.500,00 23. (ACE MICT/1998/ESAF) O desconto simples racional de um ttulo descontado

taxa de 24% ao ano, trs meses antes de seu vencimento, de R$ 720,00. Calcular o valor do desconto correspondente caso fosse um desconto simples comercial.

a) R$ 43,20 d) R$ 763,20 b) R$ 676,80 e) R$ 12.000,00 c) R$ 720,00

24. (Fiscal PA 2002/ESAF) Uma nota promissria sofre um desconto simples

comercial de R$ 981,00, trs meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao ms. Caso fosse um desconto simples racional, calcule o valor do desconto correspondente mesma taxa.

a) R$ 1.000,00 d) R$ 920,00 b) R$ 950,00 e) R$ 900,00 c) R$ 927,30 25. (AFPS 2002/ESAF) Um ttulo no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um

desconto comercial simples de R$ 981,00 trs meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociao levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal.

a) R$ 890,00 d) R$ 981,00 b) R$ 900,00 e) R$ 1.090,00 c) R$ 924,96

Boa sorte!

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