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CURSO REGULAR MATEMTICA FINANCEIRA

www.pontodosconcursos.com.br Prof.Srgio Carvalho

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AULA 02 JUROS SIMPLES (Continuao)

Ol, amigos!

Tudo bem com vocs? Espero que tenham tentado resolver as questes propostas da aula passada. Nem eram assim to difceis, concordam? Mas o importante no era acertar, e sim tentar! Acertar algo imprescindvel na prova! Em casa ou na sala de aula, sua obrigao de fazer o melhor possvel para aprender!

Passemos s resolues.

Dever de Casa

03. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples taxa

de 3,6% ao ms rende R$ 96,00 em 40 dias. a) R$ 2.000,00 d) R$ 2.400,00 b) R$ 2.100,00 e) R$ 2.420,00 c) R$ 2.120,00 Sol.: Um enunciado fcil de ser compreendido. Sua leitura revela, de pronto, elementos de uma operao de Juros. Fala-se em taxa, em rendimento (que sinnimo de Juros), em tempo de aplicao, e pergunta-se o valor do Capital. Todos elementos nossos conhecidos.

S podemos resolver a questo de Juros quando identificarmos o regime, se simples ou composto. Este enunciado foi deveras camarada, e nos revelou, expressamente, que estamos trabalhando no regime simples.

Concluso: trata-se de uma operao de Juros Simples e, como tal, ser resolvida com base no esquema ilustrativo que aprendemos na aula passada. o seguinte:

M

C 100+i.n

100

J

i.n

Lembramos tambm que para poder usar as equaes oriundas do esquema acima, preciso que taxa e tempo estejam na mesma unidade. Ou seja, preciso que a exigncia universal esteja cumprida.

Neste caso, temos uma taxa mensal (3,6% ao ms) e temos o tempo em dias (40 dias).

Assim, voc ir usar agora o bom senso, e escolher uma unidade mais conveniente para compatibilizar taxa e tempo. Podemos usar a unidade dia.

Para tanto, teremos que alterar a unidade da taxa, convertendo-a de mensal para diria. Faremos isso, conforme j do nosso conhecimento, utilizando o conceito de Taxas Proporcionais! Raciocinaremos assim: taxa ao ms para taxa ao dia; ms para dia; maior para menor; do maior para o menor, dividimos. Um ms tem quantos dias? Trinta. Logo, dividiremos por 30. Teremos:

3,6% ao ms = (3,6/30) = 0,12% ao dia Uma vez observada a exigncia universal, podemos criar a equao do esquema

ilustrativo e aplic-la. Teremos:

niJC.100

= 4012,0

96100 xC = C=2.000,00 Resposta!



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04. (TRF 2006 ESAF) Um indivduo devia R$ 1.200,00 trs meses atrs. Calcule o valor da dvida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao ms, desprezando os centavos.

a) R$ 1.380,00 d) R$ 1.349,00 b) R$ 1.371,00 e) R$ 1.344,00 Sol.: A questo sugere que h um valor monetrio conhecido numa data anterior (3 meses atrs), e pretende descobrir o quanto valer aquela quantia se projetada para o dia de hoje. Em suma, pretendemos avanar na linha do tempo com um valor monetrio conhecido.

Concluso: estamos diante de uma operao de Juros! O valor conhecido no incio (Capital) era o valor da dvida (R$1.200) e o valor que a dvida representar no dia de hoje o Montante que estamos procurando!

Aqui tambm o enunciado foi explcito ao afirmar que estamos trabalhando no regime simples. Usaremos o esquema ilustrativo, e o aplicaremos diretamente, uma vez que taxa e tempo j esto na mesma unidade! Teremos:

M

C 100+i.n

100

J

i.n

H duas possibilidades: podemos trabalhar com Capital e Montante; ou podemos trabalhar com Capital e Juros. No primeiro caso, encontraremos diretamente a resposta procurada (Montante). No segundo, encontraremos uma resultado intermedirio, os Juros, e o somaremos ao Capital para chegarmos, finalmente, ao Montante.

Tanto faz um caminho ou outro. Para efeito de facilitao das contas, recomendvel, sempre que possvel, trabalharmos com Capital e Juros. Ok? Faamos isso, ento. Teremos:

niJC.100

= 35100

1200xJ= J=180,00

Agora, conhecendo o valor do Capital e dos Juros, somando-os, conheceremos tambm o valor do Montante. Teremos:

M = C + J M=1.380,00 Resposta!

05. (CEF FCC) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples taxa

bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00 , o prazo dessa aplicao dever ser de :

a) 1 ano e 10 meses d) 1 ano e 6 meses b) 1 ano e 9 meses e) 1 ano e 4 meses c) 1 ano e 8 meses Sol.: Outra questo de muito fcil entendimento. Aqui tambm o enunciado foi expresso no tocante ao regime da operao: juros simples. Observemos apenas que a taxa fornecida foi bimestral, e o tempo da aplicao o que est sendo questionado!

Assim, uma vez que aplicando o esquema ilustrativo dos Juros Simples estamos supondo que taxa e tempo esto na mesma unidade, depreende-se que encontraremos um tempo em bimestres, ou seja, na mesma unidade da taxa.

Isso, obviamente, se resolvermos manter a taxa na unidade bimestral. Faamos isso!



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Outro detalhe: sempre que o enunciado nos fornecer ao mesmo tempo o valor do Capital e o valor do Montante, teremos, nas entrelinhas, o valor de um terceiro elemento! Qual? Os Juros, claro! Sabemos que: J=M-C.

Da: J=19.050-15.000 J=4.050,00 Aplicando o esquema ilustrativo dos Juros Simples, teremos:

M

15.000 100+i.n

100

4.050

3.n

Conforme visto anteriormente, daremos, sempre que possvel, preferncia a trabalhar com Capital e Juros. Teremos:

niJC.100

= n.3

050.4100000.15 = n=9

Mas 9 o qu?

Ora, 9 bimestres! Uma vez que a taxa usada foi bimestral (3% a.b.).

Entre as opes de resposta, todas elas esto com anos e meses. Transformando, teremos que:

9 bimestres = 18 meses = 12 meses + 6 meses = 1 ano e 6 meses Resposta!

06. (Contador do Recife 2003/ESAF) Um capital aplicado a juros simples a uma

taxa de 3% ao ms. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relao ao seu valor inicial?

a) 3 meses e meio d) 4 meses e meio b) 4 meses e) 4 meses e 20 dias c) 4 meses e 10 dias Sol.: Usaremos um truque para resolver esta questo. O enunciado no falou qual o valor do Capital. Mas pretende que ele seja aumentado em 14%.

Ora, como o aumento um valor percentual, o truque ser que diremos que o Capital ser igual a 100 (cem). Isso mesmo! Por que faremos isso? Porque 100 o melhor valor que existe para se trabalhar quando se fala em aumentos (ou redues) percentuais!

Por exemplo: partindo de 100, em quanto chegaramos com um aumento de 10%? Chegaramos a 110. E partindo de 100, em quanto chegaramos com um aumento de 30%? Chegaramos em 130.

E assim por diante!

Logo, considerando o Capital igual a 100, teremos que um aumento de 14% far com que esse Capital se transforme em 114. Correto? J temos, portanto, o valor do Capital (C=100) e do Montante (M=114) desta operao!

E uma vez conhecendo, simultaneamente, os valores do Capital e do Montante, chegamos tambm ao valor dos Juros, uma vez que J=M-C. Teremos: J=114-100 J=14. A taxa da nossa operao mensal, logo, mantendo essa mesma unidade, encontraremos um tempo de aplicao em meses tambm! Usando o esquema ilustrativo dos Jursos Simples, teremos:



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M

100 100+i.n

100

14

3.n

Teremos, pois, que:

niJC.100

= n.3

14100100 = n=(14/3)meses

Fazendo a diviso, teremos:

1 4 3

2 4

Como houve esse resto (2), e o divisor 3, podemos expressar o resultado dessa diviso em duas partes: uma inteira (4) e uma fracionria (2/3).

Agora, para transformar 2/3 de ms para dias, basta multiplicarmos por 30, j que cada ms tem 30 dias na Matemtica Financeira. Teremos, portanto, que:

n=4 meses e (2/3) de ms = 4 meses e 20 dias Resposta! 07. (AFTN-91 ESAF) Um capital no valor de 50, aplicado a juros simples a uma

taxa de 3,6% ao ms, atinge, em 20 dias, um montante de: a) 51 d) 53,6 b) 51,2 e) 68 c) 52 Sol.: Novamente neste enunciado, nossa preocupao consistir apenas em colocar taxa e tempo na mesma unidade. Podemos escolher, neste caso, a unidade diria e, assim, alterar a unidade fornecida (3,6% ao ms) para uma taxa na unidade dia.

Usando o conceito de Taxas Proporcionais, teremos que:

3,6% ao ms = (3,6/30) = 0,12% ao dia Agora, aplicando o esquema ilustrativo dos Juros Simples, teremos:

M

50 100+0,12x20

100

J

0,12x20

Para variar, trabalharemos diretamente com Capital e Montante. Teremos:



5

ni

MC.100100 += 2012,0100100

50x

M+= M=51,2 Resposta!

08. (TTN 89 ESAF) Uma certa importncia foi aplicada a juros simples de 48% a.a. , durante 60 dias. Findo o prazo, o montante apurado foi reaplicado por mais 120 dias, a uma taxa de 60% a.a. , mantendo-se o mesmo regime de capitalizao. Admitindo-se que o ltimo montante foi de R$ 207,36 , qual foi o capital inicial da primeira operao ?

a) R$ 200,00 c) R$ 160,00 e) R$ 144,00 b) R$ 180,00 d) R$ 150,00 Sol.: Uma questo mais elaborada um pouco! (Nada complicado demais!).

Aqui, em vez de uma aplicao de Juros Simples, ns temos duas! Anotando os dados de uma e de outra, teremos:

Aplicao 1) C1=? ; i1=48% ao ano; n1=60 dias ; M1=?

Aplicao 2) C2=M1 ; i2=60% ao ano; n2=120 dias ; M2=207,36

Vocs perceberam que o Capital 2 foi igual ao Montante 1 porque o enunciado falou que este ltimo foi reaplicado! Certo?

Antes de comearmos a trabalhar as equaes, conveniente que cumpramos logo a exigncia universal para as duas aplicaes. Que tal? Teremos, ento, que:

Aplicao 1) C1=? ; i1=48% ao ano = 4% ao ms ; n1=60 dias = 2 meses ; M1=?

Aplicao 2) C2=M1 ; i2=60% ao ano = 5% ao ms; n2=120 dias = 4 meses; M2=207,36

Ora, o enunciado pede que encontremos o valor do C1. Mas, para isso, temos que conhecer primeiro o valor do Montante da primeira operao. Este, por sua vez, s poder ser descoberto se trabalharmos com a segunda aplicao! Da, fazendo isso, teremos:

Aplicao 2)

207,36

C2 100+5x4

100

J

5x4

Trabalhando com Capital e Montante, teremos:

ni

MC.100

21002

+= 4510036,207

1002

xC

+= C2=172,80

Mas esta no ainda a nossa resposta! O que nos pede a questo o valor do C1.

Assim, sabendo que o M1 igual ao C2, e trabalhando com os dados da primeira aplicao, teremos:



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Aplicao 1)

172,80

C1 100+4x2

100

J

4x2

Trabalhando novamente com Capital e Montante, teremos:

ni

MC.100

21001

+= 2410080,172

1001

xC

+= C1=160,00 Resposta!

09. (TTN-92 ESAF) Um fogo vendido por $600.000,00 vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de $542.880,00 aps 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na operao?

a) 5% d) 16% b) 12% e) 20 % c) 15% Sol.: Uma questo faclima, mas interessante! O que teremos que fazer aqui uma traduo! Ou seja, precisamos traduzir este enunciado no convencional para um que seja corriqueiro.

Temos que enxergar, na situao trazida pela questo, uma operao de Juros.

E isso muito fcil. Seno, vejamos.

O bem custa, vista, $600.000,00. Algum, no dia de hoje, pagou uma entrada de 22% do valor vista. Fazendo o clculo da entrada, teremos:

00,000.132000.60010022 =

x = entrada

Ora, se o bem custava R$600.000 e j se pagou por ele R$132.000 no dia da compra, ento conclui-se que, naquele exato dia, restaria ainda pagar a diferena! Concordam? Ilustrativamente, teremos:

vista: R$600.000,

Entrada: R$132.000,

A pagar: R$468.000,

Ocorre que este restante devido no ser pago no dia da compra, e sim numa data posterior. Quando? Trinta e dois dias aps, de acordo com o enunciado. dito ainda que, nesta data (32 dias aps a compra), o comprador ir pagar a quantia de $542.880,00.

No desenho, teremos:



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vista: R$600.000,

Entrada: R$132.000, 542.880,

A pagar: R$468.000,

0 32dias

Pronto! Agora somos capazes de identificar exatamente onde est se dando a operao de Juros! Qual o valor menor que, com o passar do tempo, aumentar? Todos enxergaram? Nosso capital ser C=468.000 e nosso montante ser M=542.880. Logo, encontramos que os Juros sero J=M-C=542.880-468.000 J=74.880,00. O tempo da operao de 32 dias e estamos em busca de uma taxa mensal.

Ora, se deixarmos o tempo do jeito que est (em dias), e podemos fazer isso, chegaremos a uma taxa diria. Da, basta multiplicarmos essa taxa ao dia por trinta (taxas proporcionais), e chegaremos resposta!

Teremos:

542.880,

468.000 100+32.i

100

74.880

32.i

Trabalhando com Capital e Juros, teremos:

niJC.100

= i.32

880.74100

000.468 = ( )( )3246800010074880xxi =

Atentemos para o seguinte: o resultado desta conta ser uma taxa de alguma coisa por cento ao dia! Uma vez que estamos trabalhando com o tempo em dias.

Ocorre que a questo est pedindo por uma taxa mensal. Da, aplicando o conceito de taxas proporcionais, j podemos multiplicar essa conta por 30. Concordam? E a nosso resultado j ser a resposta procurada. Teremos:

( )( )32468000

10074880xxi = x30 i=15% ao ms Resposta!

10. (AFRF 2002.2 ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um

banco na segunda-feira, dia 8. O no pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanncia de 0,2% por dia til de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo ms, considerando que no h nenhum feriado bancrio no perodo.

a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00 b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00 c) R$ 2.088,00



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Sol.: Este enunciado foi usado duas vezes pela Esaf. A segunda delas foi nesta prova do AFRF 2002/2. A primeira vez havia sido no ano anterior (2001), numa prova para o Serpro. Os textos eram praticamente idnticos, modificando-se apenas alguns valores numricos.

Bem, este enunciado fala de uma conta que dever ser paga at o dia 8. Caso haja qualquer atraso, o devedor arcar com dois encargos, representados por uma multa fixa de 2%, e pelos juros simples de 0,2% ao dia til de atraso!

O clculo da multa fixa muito fcil. Aquela taxa de 2% incidir sobre o valor da conta, e esse resultado ser cobrado, independentemente de quantos dias seja o atraso! Por isso essa multa tem o nome de fixa.

Teremos, portanto:

(2/100) x 2.000 = R$40,00 Multa fixa! Com isso, j temos metade da resposta! S falta saber o quanto iremos pagar de juros simples a mais pelo atraso no pagamento da conta.

Agora, precisaremos conhecer de quantos dias foi o atraso. Mais especificamente: precisaremos saber quantos foram os dias teis de atraso. Por qu? Porque a taxa de juros simples foi fornecida em termos de dias teis, e ns sabemos que na matemtica financeira, teremos sempre que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade.

Para contarmos os dias teis de atraso, recomendvel que faamos um pequeno e rpido calendrio. fcil de se fazer na prova e no leva quase nenhum tempo. Observando que foi dito que o dia 8 uma segunda-feira, faremos:

SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM

08 09 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22

Como s nos interessam os dias teis, vamos excluir sbados e domingos da contagem dos dias de atraso. Teremos:


08 09 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22

E quanto ao dia 8? Ele conta como atraso? Claro que no! Se o enunciado falou que a conta deveria ser paga at o dia 8, ento o primeiro dia de atraso o prximo! Excluindo, pois, tambm o dia 8 da contagem dos dias teis de atraso, teremos:


08 09 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22



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Enfim, contamos acima que houve, na verdade, 10 dias teis de atraso no pagamento da conta. Como os juros incidentes na operao so do regime simples, significa que a cada dia til de atraso, o valor a ser pago a mais sempre o mesmo. De modo que s precisaremos conhecer os juros por um dia til de atraso, e multiplicarmos esse valor por 10. Teremos:

Juros por dia til de atraso: (0,2/100) x 2000 = R$4,00 Percebamos que, para calcular os juros simples de um nico perodo, s temos que multiplicar a taxa pelo capital, exatamente como fizemos.

Como foram 10 dias teis de atraso no total, teremos:

Juros por todo o atraso: 10 x R$4,00 = R$40,00 Juros! Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores da multa fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que:

R$2.000,00 + R$40,00 + R$40,00 = R$2.080,00 Resposta!

E a, como se saram com as questes? Espero que bem, pois foram questes fceis, em sua maioria! Mesmo assim, trabalhando com questes fceis, nosso objetivo vai sendo construdo, uma vez que o que queremos formar uma slida base de conhecimento!

Ademais, no se preocupem com nada. Deixem tudo comigo. Ao final do curso, estaremos aptos a resolver qualquer questo, seja fcil, mdia ou difcil. Ok?

Na seqncia, trataremos de um assunto concernente aos Juros Simples, e que tambm tem sido, amide, cobrado em provas recentes: Juros Exatos. Vamos a ele.

# Juros Exatos:

Nada mais que uma outra modalidade de Juros Simples.

A primeira informao importante a seguinte: s resolveremos a questo de Juros Simples usando os Juros Exatos quando o enunciado assim o determinar! Ok? Juros Exatos consistem na modalidade da exceo. E como tal, ter que ser expresso no enunciado que o utilizaremos!

Outra informao imprescindvel: resolvendo uma questo de Juros Exatos, trabalharemos sempre com a unidade diria! Ora, uma vez que taxa e tempo tm que estar na mesma unidade, j sabemos que esta unidade ser o dia, nos Juros Exatos.

A que entra o conceito: uma vez que contaremos o tempo em dias, ao faz-lo, consideraremos cada ms como tendo o nmero de dias que consta no nosso calendrio convencional. Ou seja, contaremos janeiro com 31 dias, fevereiro com 28, maro com 31, abril com 30, maio com 31, junho com 30, julho com 31, agosto com 31, setembro com 30, outubro com 31, novembro com 30 e dezembro com 31 dias. E o ano inteiro ter, portanto, 365 dias.

Em suma: Juros Exatos so aquela modalidade de Juros Simples, segundo a qual a contagem dos dias se far de acordo com o ano calendrio convencional.

Essa considerao difere da maneira que usamos para resolver as questes at o momento. Antes de falarmos nesses Juros Exatos, estvamos trabalhando com a modalidade da regra: os Juros Simples Comerciais ou Ordinrios. Segundo a regra, todos os meses do ano tm 30 dias, e o ano inteiro, portanto, 360 dias. Essa a regra na Matemtica Financeira! S deixaremos de considerar os meses com 30 dias cada se estivermos numa operao de Juros Exatos! S isso!

Por meio do exemplo abaixo, aprenderemos a trabalhar os Juros Simples Exatos. Adiante.



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11. Um capital de R$35.917,28 aplicado do dia 25 de julho ao dia 11 de setembro do corrente ano, a uma taxa de juros simples exatos de 73% ao ano. Calcule os juros produzidos, como porcentagem do capital aplicado.

Sol.: Este enunciado fala em elementos como Capital, que ficou aplicado do dia tal ao dia

tal, sob uma taxa de juros. Ou seja, esto presentes elementos de uma operao de Juros. A novidade que foi revelado expressamente que deveremos considerar, nesta resoluo, que estamos trabalhando com a modalidade da exeo: os Juros Exatos!

Imediatamente nos lembraremos que, nesta modalidade, adotaremos a unidade dia. E que a contagem dos dias se far considerando o nosso calendrio convencional.

Uma caracterstica quase sempre presente neste tipo de questo (Juros Exatos) que o enunciado no revela, de antemo, quantos dias durou a operao de Juros. Ela dir apenas o dia do incio e o dia do final, e pedir que voc faa a contagem do tempo.

Pois bem! Vamos tratar logo de fazer isso: de descobrir quantos dias durou a aplicao.

O enunciado disse que ela teve incio no dia 25 de julho e fim em 11 de setembro. Podemos, ento, desenhar uma rpida tabela, com os meses e os dias que cada um possui (de acordo com o calendrio convencional). Teremos:

Julho 31 dias

Agosto 31 dias

setembro 30 dias

Feito isso, resta-nos descobrir quantos dias de cada um desses meses foram efetivamente utilizados na operao de Juros. Ora, deixando de fora o ms do incio e o ms do final, teremos que o ms do miolo foi integralmente aproveitado. Concordam? Teremos:

Julho 31 dias

Agosto 31 dias 31 dias setembro 30 dias

Acerca do ms do final, basta fazermos um copiar-colar. Se a operao terminou no dia 11 de setembro, diremos ento que foram usados 11 dias naquele ms. Teremos:

Julho 31 dias

Agosto 31 dias 31 dias setembro 30 dias 11 dias

Em relao ao ms do incio, faremos uma subtrao. O ms de julho tem 31 dias, e a operao comeou no dia 25. Logo, faremos: 31 menos 25 igual a 6. Teremos:

Julho 31 dias 6 dias Agosto 31 dias 31 dias

setembro 30 dias 11 dias

Finalmente, somamos a ltima coluna para descobrir qual foi o tempo n da nossa operao. Teremos:



11

Julho 31 dias 6 dias Agosto 31 dias 31 dias

setembro 30 dias 11 dias Total: 48 dias

Ainda precisamos trabalhar com a unidade da Taxa. Sabemos que, nos Juros Exatos, a unidade adotada ser sempre o dia. Assim, usando o conceito de Taxas Proporcionais, faremos: 73% ao ano = (73/365) = (1/5) = 0,2% ao dia Observem que consideramos, na diviso, que o ano tem 365 dias (e no 360), pois estamos trabalhando com os Juros Exatos (e no com Juros Comerciais)!

Agora, os dados de nossa questo so os seguintes:

C=35.917,28 i=0,2% ao dia n=48 dias J=? (como porcentagem do Capital). J podemos resolver a questo? Ainda no! Por que no? Porque ainda nos resta fazer uma observao importantssima!

Vocs perceberam como se deu a pergunta da questo? Ela pediu: calcule os Juros como porcentagem do Capital.

Este formato de pergunta muito comum em provas! Qual formato? Esse: calcule este elemento como porcentagem deste outro.

Quando isso ocorrer, usaremos um artifcio: tomaremos este outro elemento, que o elemento de referncia, e adotaremos para ele o valor 100 (cem). S isso!

No caso da nossa questo, temos que o enunciado disse: calcule os Juros como porcentagem do Capital. Quem o elemento de referncia? este ltimo: o Capital. E o que faremos, ento? Adotaremos para ele o valor 100.

Mas, professor, a questo disse que o Capital igual a R$35.917,28.

No tem problema! Se a pergunta da questo cai neste formato, no interessa se foi atribudo um valor diferente para o elemento de referncia. Podemos ignorar este valor que foi dado pela questo, e adotar o valor 100.

Ateno: s podemos fazer isso quando a pergunta da questo vier no formato que estamos analisando agora (calcule este elemento como porcentagem deste outro). Ok?

Assim, finalmente, os dados de nossa questo so os seguintes:

C=100, i=0,2% ao dia n=48 dias J=? (como porcentagem do Capital). Usando o esquema ilustrativo dos Juros Simples, teremos:



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M

100 100+0,2x48

100

J

0,2x48


niJC.100

= 482,0100

100xJ= J=9,6

Ora, como a questo nos pede o valor dos Juros como porcentagem do Capital, e como adotamos para o capital o valor de 100, basta acrescentarmos ao valor dos Juros que foi encontrado o sinal de porcentagem! Teremos:

J=9,6% Resposta! Vejamos, no quadro abaixo, se o objetivo desta questo foi alcanado.

Na seqncia, apresentarei a vocs um tipo de questo de Juros Simples muito interessante! Uma questo com caractersticas bem prprias e que de muito fcil resoluo, desde que conheamos o caminho de atalho para resolv-la!

Vamos aprender agora esta teoria.

# Questo Denorex:

Vocs se lembram deste nome Denorex?

Na sala de aula, os alunos at que lembram, mas ningum quer admitir, porque um negcio meio antigo... (e ningum quer entregar a idade, sabe como ...).

Denorex um produto que ficou famoso nas propagandas do milnio passado com o seguinte slogan: PARECE, MAS NO .

Lembraram? Ah! Agora, sim!

Pois bem! Estudaremos agora a questo Denorex. E por que ela tem esse nome? Porque suas caractersticas so quase idnticas s de uma questo de Rendas Certas. Ora, Rendas Certas so um assunto do Regime Composto, que estudaremos quase no final do nosso Curso.

Uma questo de Rendas Certas, a ttulo de adiantamento, apresentar sempre as seguintes trs caractersticas:

1) Parcelas de mesmo valor; 2) Intervalo de tempo igual entre as parcelas; 3) Taxa de Juros Compostos.

A questo Denorex, por sua vez, apresenta tambm trs caractersticas prprias, duas das quais as mesmas das Rendas Certas. Vejamos:

Nesta questo aprendi: 1. Qual o artifcio a usar quando a questo pergunta pelo valor de um elemento em funo de um

percentual de outro; 2. O que so juros exatos; 3. Qual a unidade a ser adotada sempre nos juros exatos; 4. Como proceder contagem dos dias nos juros exatos.



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Caractersticas da Questo Denorex:

1) Parcelas de mesmo valor;

2) Intervalos de tempo iguais entre as parcelas;

3) Taxa de Juros Simples.

Perceberam o destaque para a terceira caracterstica? apenas ela que diferencia uma questo de Rendas Certas da questo Denorex!

A questo Denorex , na verdade, uma questo de Juros Simples!

Nas questes que resolvemos at aqui, havia sempre um nico Capital, que seria aplicado durante um perodo de tempo, e se transformaria em um valor maior, chamado Montante! No assim?

Pois bem! Na questo Denorex haver no apenas um, e sim vrios Capitais. essa a diferena! Se quisssemos, poderamos trabalhar cada Capital individualmente, projetando-o para a data do resgate, e descobrindo o respectivo Montante. Depois, bastaria somarmos os Montantes (de cada Capital), e estaramos com a resposta da questo.

S que esse no o melhor caminho, uma vez que muito demorado! Aprenderemos um artifcio, um caminho de atalho, por meio do qual redesenharemos a questo, transformando vrios Capitais e apenas um.

Aprendamos por meio de um exemplo. Vamos a ele.

14. Uma pessoa realizou sete aplicaes mensais e sucessivas, no valor de R$1000

cada. Considerando uma taxa de juros simples de 4% ao bimestre, determine o valor a ser resgatado, em decorrncia de todas essas aplicaes, cinco meses aps a data da ltima parcela:

Sol.: De acordo com o previsto neste enunciado, desenharemos nossa questo. Ok? Diz o texto que foram aplicadas sete parcelas mensais, de R$1000 cada uma. Teremos: 1000 1000 1000 As setas apontam para baixo apenas para efeitos didticos. O fato que o enunciado prev que estas aplicaes esto sendo realizadas com um objetivo. Qual? O de resgatar um valor maior no futuro. Em qual data? Qual data? Cinco meses aps a data da ltima parcela. Desenhemos isso: X 1000 1000 1000 O desenho da questo est concludo! Interessa-nos descobrir o valor do X.



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Que tipo de questo essa? uma questo de Juros Simples: a questo Denorex.

Vejamos novamente, no desenho e no enunciado, a presena das trs caractersticas por meio das quais identificaremos a questo Denorex: 1) parcelas de mesmo valor (so as parcelas de R$1000); 2) Intervalos de tempo iguais entre as parcelas (so parcelas mensais); 3) Taxa de juros simples (de 4% ao bimestre, conforme indica a leitura da questo).

Diante de uma questo Denorex, usaremos um artifcio para transformar o desenho!

Em trs passos:

1 Passo) Numeraremos as parcelas de mesmo valor, atribuindo primeira delas o valor zero, e seguindo adiante, at chegarmos ltima parcela igual. Teremos:

X 0 1 2 3 4 5 6 1000 1000 1000

Viram? A contagem foi de zero a seis. At aqui, tudo bem? Ento, adiante!

2 Passo) Dividiremos o valor atribudo ltima parcela por dois.

Qual foi o valor atribudo ltima parcela? Foi seis. Ento, faremos: (6/2)=3.

Esse resultado (3) uma data!

Encontraremos esta data no nosso desenho, e nela subiremos uma seta. o terceiro passo!

3 Passo) Localizaremos, no desenho, a data do passo anterior, e nela, subiremos uma seta, a qual receber um valor. Que valor? O valor da soma de todas as parcelas iguais.

Teremos:

X 0 1 2 3 4 5 6 1000 1000 1000 Esta seta que subimos na data trs meses (resultado do segundo passo) receber o valor que corresponde soma de todas as parcelas de R$1000. Quantas parcelas de R$1000 havia? Sete. Logo, somando-as, teremos R$7000.



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Ora, uma vez calculada, essa parcela R$7.000 representar todas as parcelas de R$1000. De sorte que desaparecero do desenho as parcelas de R$1000, restando apenas a de R$7000 que as representa.

Assim, o desenho definitivo de nossa questo, ps artifcio, ser o seguinte:

X 7.000 E agora, sim: estamos diante de um desenho convencional e corriqueiro de uma operao de Juros. Um Capital para um Montante!

De acordo com o desenho acima, os novos dados da questo so os seguintes:

C=7.000,00 n = 8 meses i = 4% ao bimestre M = ? Viram como ficou fcil?

Podemos dar seqncia, trabalhando agora a questo da exigncia universal da Matemtica Financeira. Para pr taxa e tempo na mesma unidade, podemos simplesmente dizer que oito meses o mesmo que quatro bimestres (8m=4b). Ok? Pronto! Resolvido. J podemos aplicar o esquema ilustrativo dos Juros Simples.

Teremos:

M

7.000 100+4x4

100

J

4x4


niJC.100

= 44100

7000xJ= J=1.120,00

E conhecendo Capital e Juros, diremos que:

M = C + J M=8.120,00 Resposta! Obviamente que poderamos, caso quisssemos, trabalhar direto com Capital e

Montante, e chagar diretamente resposta da questo!

Este artifcio que aprendemos para trabalhar a questo Denorex a forma mais rpida de resolv-la! E sempre a soluo mais rpida a que nos interessa!



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Vejamos se os objetivos da questo Denorex foram alcanados:

Por hoje s de teoria!

Na seqncia, deixo-lhes algumas questes (no muitas!) dos assuntos vistos na aula de hoje. O fato de no haver muitas questes propostas para hoje no quer dizer que voc no tem trabalho a fazer. Tem sim! O de revisar, carinhosamente, nossas duas primeiras aulas.

Daqui pra frente, o bonde andar sempre mais rpido, e os assuntos iro se acumulando cada vez mais. As informaes relevantes se avolumaro!

No estou, absolutamente, querendo assustar ningum. Estou apenas relatando os fatos!

Ento, faa o que estou pedindo, Ok? Revisem estas duas primeiras aulas, refaam todas as questes que foram trabalhadas at aqui. E fiquem tranqilos quanto ao resto.

Segue o nosso dever de casa!

Um forte abrao a todos e fiquem com Deus!

Dever de Casa

12. (Auditor Fiscal de Fortaleza 1998 ESAF) Um capital aplicado a juros

simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condies calcule o juro simples exato ao fim do perodo, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores segunda.

a) 4,70% d) 4,88% b) 4,75% e) 4,93% c) 4,80%

13. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$ 705,00 d) R$ 720,00 b) R$ 725,00 e) R$ 735,00 c) R$ 715,00

15. (AFRF-2003) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que vencem todo dia 5 dos prximos dez meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento nico equivalente no dia 5 do dcimo ms para quitar a dvida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao ms. a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00 b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00 c) R$ 12.200,00

Nesta questo aprendi: 1. O que a questo Denorex (parece, mas no ); 2. Qual o artifcio a ser usado para resolv-la rapidamente.

matematica financeira regular 2.pdf

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