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CURSO REGULAR MATEMTICA FINANCEIRA

www.pontodosconcursos.com.br Prof.Srgio Carvalho

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AULA 01 JUROS SIMPLES

Ol, amigos!

uma alegria receb-los hoje, para enfim darmos incio ao nosso Curso!

Conforme dissemos na aula de apresentao, o estudo da Matemtica Financeira se refere ao comportamento dos valores monetrios ao longo do tempo. Lembrados disso?

Pois bem! A primeira operao que estudaremos aquela em que haver uma quantia em dinheiro conhecida em determinada data, e nosso objetivo ser o de descobrir o quanto aquele valor representar se projetado para uma data futura, ou seja, para uma data posterior.

O exemplo clssico aquele em que a pessoa abre uma conta de poupana no banco, depositando uma quantia em dinheiro. Obviamente que essa quantia conhecida no dia de hoje (claro! o dinheiro est na sua mo!). Mas a pergunta : quanto irei resgatar daqui a alguns meses? Em outras palavras: em quanto se transformar aquele valor (que foi aplicado) numa data posterior?

Essa operao, de projetar um valor conhecido para uma data futura, a que chamaremos de Juros!

So cinco os elementos de uma operao de Juros:

Capital (C): o valor monetrio conhecido no dia de hoje. o elemento que inicia a operao de Juros;

Tempo (n): obviamente que o Capital ter que ser aplicado durante um intervalo de tempo qualquer, para se transformar em um valor maior. Concordam? Da, teremos que o tempo sempre elemento de qualquer operao de matemtica financeira;

Montante (M): o valor do resgate! aquela quantia em que se transformar o Capital. o elemento que encerra a operao de Juros.

At aqui, temos o seguinte: Se eu me dirigir a um banco, abrir uma conta de poupana depositando R$1.000, quanto irei resgatar trs meses depois?

Desenhando este enunciado (incompleto!), teremos:

X

1000

0 3m

Por que eu disse que esse enunciado est incompleto? Por uma razo bvia: est faltando uma pea no quebra-cabea! O que que faz com que um dinheiro aplicado numa conta de poupana aumente com o passar do tempo? Quem faz essa mgica um elemento essencial: a taxa. A taxa o elemento da mgica: aquele que faz com que o dinheiro nunca fique parado!

Taxa (i): um valor percentual, seguido sempre de uma unidade de tempo. Exemplos: 5% ao ms; 10% ao bimestre; 15% ao trimestre; 20% ao quadrimestre; 30% ao semestre; 60% ao ano.

Recapitulando at aqui: o Capital o valor conhecido no incio da operao; este Capital ficar aplicado durante um determinado perodo de tempo. Ao final deste tempo, o Capital ter se transformado em um valor necessariamente maior, chamado Montante. E o que fez com que o Capital aumentasse com o tempo? A incidncia de uma Taxa na operao!



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J estamos com quatro elementos! Mas como mesmo o nome do assunto? Juros! Pronto: eis a o quinto e ltimo elemento: os Juros. (O dono do assunto).

Juros (J): so a diferena entre o Montante e o Capital. Falando mais simplesmente: se eu depositei hoje na poupana uma quantia de R$1.000, e, daqui a trs meses, aquele Capital transformou-se em um Montante de R$1.200,00, nosso desenho ser o seguinte:

1.200

1000

0 3m

Os Juros so o acrscimo sofrido pelo Capital. Ou seja, o quanto aumentou o Capital para transformar-se no Montante. Neste caso, teremos:

1.200

1000 Juros=R$200

0 3m

Pois bem! Com essa explicao ficou esclarecido do que se trata uma operao de Juros. Resta porm saber que existem dois tipos de Juros! Melhor dizendo: dois regimes de Juros, quais sejam, os Juros Simples e os Juros Compostos!

O que significa isso? Significa que, embora os cinco elementos da operao de Juros sejam sempre os mesmos (Capital, Tempo, Montante, Taxa e Juros), os resultados sero diferentes, caso estejamos trabalhando em um regime ou no outro.

Ora, se os resultados das operaes de Juros Simples e de Juros Compostos so diferentes, e como s h uma resposta certa na questo, significa que preciso ter certeza de estarmos trabalhando com o regime certo. Entendido isso?

Em palavras mais fceis ainda: se a questo de Juros Simples e voc a resolve como se fosse de Juros Compostos, voc chegar a uma resposta errada. E vice-versa: se a questo for de Juros Compostos e voc trabalh-la como se fosse de Juros Simples, tambm perder o ponto!

Vamos, pois, ao que interessa: como saber que uma operao de Juros Simples?

H, basicamente, dois sinais indicativos de Juros Simples. O primeiro deles quando o enunciado falar, expressamente, a palavra simples. A no tem nem graa.

A segunda regra para voc identificar que a questo de Juros Simples ocorre quando o enunciado no disser nada acerca do regime.

Tudo bem at aqui? Vamos agora entender como, efetivamente, se resolve uma questo de Juros Simples. Aprenderemos as equaes desse assunto, por meio de um esquema ilustrativo. Vejamos:



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# Esquema Ilustrativo dos Juros Simples:

M

C 100+i.n

100

J

i.n

Comeamos esse esquema acima colocando os seguintes trs elementos dos Juros no desenho: Capital C (no incio), Juros J (no meio, somente para efeitos didticos) e Montante M (no final).

Feito isso, cada um desses elementos ser representado por algum valor: o Capital ser representado por 100; os Juros sero representados por taxa vezes tempo; e o Montante, por 100 mais taxa vezes tempo.

Somente complementando esse desenho, colocaremos um trao divisor entre o elemento e o seu nmero representativo. Teremos:

M

C 100+i.n

100

J

i.n

Fazendo isso, criamos agora trs fraes: a frao do Capital (C/100), a frao dos Juros (J/i.n) e a frao do Montante (M/100+i.n).

Quando formos resolver uma questo de Juros Simples, estaremos trabalhando com dois elementos: ou Capital e Juros; ou Capital e Montante; ou Juros e Montante. Assim, basta igualarmos as fraes desses dois elementos e, com isso, estaremos diante da equao que resolver a questo.

Por exemplo, se formos trabalhar a resoluo com os elementos Capital e Juros, nossa

equao ser: niJC.100

= Se formos trabalhar com Capital e Montante, igualaremos as fraes desses dois

elementos e teremos: ni

MC.100100 +=

Finalmente, se usarmos Juros e Montante na nossa resoluo, formaremos a equao

seguinte: niJ

niM

..100=+ .

Moral da histria: no precisaremos decorar equaes! Basta saber como mont-las, partindo do esquema ilustrativo!

H, contudo, uma observao importantssima a ser feita: antes de aplicarmos os dados da questo a qualquer destas equaes que nasceram do esquema ilustrativo, teremos que cumprir uma exigncia! Qual? preciso que taxa e tempo estejam na mesma unidade!

Se j estiverem, basta lanar os dados na equao. Caso contrrio, precisaremos fazer algo para tornar taxa e tempo compatveis, ou seja, para coloc-los na mesma unidade!



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Essa exigncia se repetir ao longo de todos os assuntos do nosso Curso, de sorte que passaremos a cham-la de exigncia universal da matemtica financeira!

Concluindo: so quatro as equaes com as quais poderemos resolver questes de Juros Simples: trs oriundas do esquema ilustrativo e uma decorrente do prprio conceito de Juros. Ei-las todas:

niJC.100

= ni

MC.100100 += ni

Jni

M..100

=+ J=MC

Sabendo disso, estamos aptos a comear a resolver os primeiros exemplos da nossa lista de questes (apresentada na aula zero)! Vamos a elas

01. Um capital de R$1000, aplicado a uma taxa de juros simples de 1% ao ms, transformar-se-, aps 2 anos, num montante de:

Sol.: Identificamos na leitura elementos de uma operao de Juros. Como foi dita expressamente a palavra simples, j sabemos qual o regime desses Juros! E sabendo que se trata de Juros Simples, aplicaremos o esquema ilustrativo.

Antes de mais nada, porm, teremos a preocupao de cumprir a exigncia universal da qual falamos acima. Qual a unidade da taxa? Mensal (1% ao ms). Qual a unidade do tempo? Anual (2 anos). Ou seja, taxa e tempo esto em unidades diferentes. Precisamos torn-las compatveis. O que poderemos fazer? Ora, sabemos que dois anos o mesmo que 24 meses. Certo? Pronto! Resolvido. Taxa e tempo agora esto na mesma unidade, e j podemos usar o esquema ilustrativo. Teremos:

M

C 100+1x24

100

J

1x24

Usando a equao que envolve Capital e Juros, teremos:

niJC.100

= 241100

1000xJ= J=240,00

Vocs perceberam que ao aplicarmos a equao acima, usamos o valor 1 no lugar da taxa. Ora, a taxa de 1% e a representamos por 1. Fizemos isso porque estamos no Regime Simples, e quando estivermos trabalhando neste regime, usaremos sempre taxas na notao percentual.

O que a notao percentual? uma forma de apresentar a taxa, de tal maneira que se o enunciado disser que a taxa de 1%, usaremos 1 na equao; se a questo disser que a taxa de 5%, usaremos 5 na equao; se a questo disser que a taxa 10%, usaremos 10 na equao, e assim por diante!

E uma vez conhecendo o valor do Capital e dos Juros, faremos:

J=M-C M=C+J M=1.240,00



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Esse ser rigorosamente o mesmo valor de Montante ao qual chegaremos caso queiramos trabalhar com a equao que envolve diretamente Capital e Montante. Faa o teste, ok?

Vejamos agora se foi cumprido o propsito desta primeira questo:

Recomendo que voc v marcando cada tpico aprendido dentro desses retngulos. Quando todos estiverem assinalados, voc j saber tudo o que precisa para fazer a prova!

02. Um capital de R$1.000, aplicado a uma taxa de 60% ao ano, produzir, aps oito meses de aplicao, juros de:

Sol.: Novamente esto presentes elementos de uma operao de Juros. Este enunciado foi silente em relao ao regime, ou seja, no disse que era simples, nem composto. Da, j sabemos, adotaremos o regime simples. Precisamos agora verificar se a exigncia universal j est observada. o caso? No: a taxa apresentada anual (60% ao ano) e o tempo est em meses (8 meses).

Se decidirmos colocar taxa e tempo na unidade mensal, precisaremos, neste caso, mexer apenas com a taxa (uma vez que o tempo j est em meses).

Como faremos para alterar a unidade de uma taxa de Juros Simples? Usando o conceito de Taxas Proporcionais!

O que so Taxas Proporcionais?

o conceito que usaremos sempre que precisarmos alterar a unidade de uma taxa de Juros Simples!

E como funciona esse conceito? De uma forma faclima e intuitiva, por meio de operaes de produto ou diviso, da seguinte maneira:

Se formos alterar a taxa de uma unidade maior para uma unidade menor, dividiremos;

Se formos alterar a taxa de uma unidade menor para uma unidade maior, multiplicaremos.

Dividiremos por quanto? Multiplicaremos por quanto? Basta saber quantas vezes a unidade menor cabe na maior.

Exemplos:

Transformar 3% ao ms numa taxa semestral: a alterao ser de ms para semestre, ou seja, unidade menor para unidade maior. O que faremos? Multiplicaremos. Por quanto? Ora, cabem quantos meses em um semestre? Cabem seis. Da, multiplicaremos por seis. Teremos que: 3% ao ms = 18% ao semestre.

Transforma 48% ao ano numa taxa bimestral: alterao de ano para bimestre; maior para menor. Do maior para o menor, dividimos. Por quanto? Quantos bimestres cabem num ano? Seis. Da, dividiremos por 6. Teremos que: 48% ao ano = 8% ao bimestre.

Nesta questo aprendi: 1. O que uma operao de juros simples; 2. Qual o esquema ilustrativo dos juros simples; 3. O que uma taxa na notao percentual; 4. Qual a exigncia universal da matemtica financeira.



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Voltando agora a nossa questo, temos que o tempo de aplicao de 8 meses e a taxa de 60% ao ano. Transformando a taxa anual numa taxa mensal, mediante o conceito de taxas proporcionais, faremos: 60% ao ano = (60/12) = 5% ao ms.

Feito isso, cumprimos a exigncia universal da matemtica financeira, e j podemos aplicar o esquema ilustrativo dos juros simples. Teremos:

M

C 100+5x8

100

J

5x8

Usando a equao que envolve Capital e Juros, teremos:

niJC.100

= 85100

1000xJ= J=400,00 Resposta!

Confira agora se os objetivos dessa resoluo foram alcanados, e v marcando no retngulo!

Propositadamente, farei uma aula mais curta hoje. Isso por um motivo bem simples: muita gente deixa para entrar no Curso depois que sabe que ele comeou de fato. Ento praxe que muitos s ingressem a partir da semana que vem.

Assim, achei conveniente no avanarmos muito hoje.

Ningum se preocupe: no haver prejuzo nenhum para os que j ingressaram no Curso! Ok?

Como prova disso, fica como dever de casa a resoluo destas sete questes que apresento na seqncia, e que voc j ter condies de resolver, seno pelo menos de tentar!

Eu costumo dizer em sala de aula que tentar mais importante que conseguir! E isso uma verdade! No percam essa chance de tentar resolver essa lista. Ok?

Na prxima aula, resolveremos todas elas, uma a uma, explicando tudo minuciosamente! Mas no deixem de tentar!

Fico hoje por aqui. Um forte abrao a todos e fiquem com Deus!

Nesta questo aprendi: 1. Qual o regime a ser adotado no caso de enunciado omisso; 2. O que so Taxas Proporcionais e quando usar esse conceito.



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Dever de Casa

03. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples taxa

de 3,6% ao ms rende R$ 96,00 em 40 dias. a) R$ 2.000,00 d) R$ 2.400,00 b) R$ 2.100,00 e) R$ 2.420,00 c) R$ 2.120,00 04. (TRF 2006 ESAF) Um indivduo devia R$ 1.200,00 trs meses atrs. Calcule o

valor da dvida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao ms, desprezando os centavos.

a) R$ 1.380,00 d) R$ 1.349,00 b) R$ 1.371,00 e) R$ 1.344,00

05. (CEF FCC) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples taxa

bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00 , o prazo dessa aplicao dever ser de :

a) 1 ano e 10 meses d) 1 ano e 6 meses b) 1 ano e 9 meses e) 1 ano e 4 meses c) 1 ano e 8 meses

06. (Contador do Recife 2003/ESAF) Um capital aplicado a juros simples a uma

taxa de 3% ao ms. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relao ao seu valor inicial?

a) 3 meses e meio d) 4 meses e meio b) 4 meses e) 4 meses e 20 dias c) 4 meses e 10 dias

07. (AFTN-91 ESAF) Um capital no valor de 50, aplicado a juros simples a uma

taxa de 3,6% ao ms, atinge, em 20 dias, um montante de: a) 51 d) 53,6 b) 51,2 e) 68 c) 52

08. (TTN 89 ESAF) Uma certa importncia foi aplicada a juros simples de 48%

a.a. , durante 60 dias. Findo o prazo, o montante apurado foi reaplicado por mais 120 dias, a uma taxa de 60% a.a. , mantendo-se o mesmo regime de capitalizao. Admitindo-se que o ltimo montante foi de R$ 207,36 , qual foi o capital inicial da primeira operao ?

a) R$ 200,00 c) R$ 160,00 e) R$ 144,00 b) R$ 180,00 d) R$ 150,00 09. (TTN-92 ESAF) Um fogo vendido por $600.000,00 vista ou com uma entrada

de 22% e mais um pagamento de $542.880,00 aps 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na operao?

a) 5% d) 16% b) 12% e) 20 % c) 15%

10. (AFRF 2002.2 ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um

banco na segunda-feira, dia 8. O no pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanncia de 0,2% por dia til de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo ms, considerando que no h nenhum feriado bancrio no perodo.

a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00 b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00 c) R$ 2.088,00

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