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AULA 11 – EMPRÉSTIMO AMERICANO & PAÍSES, BÔNUS E CUPONS

Olá, amigos!

Espero que estejam todos bem!

Nossa aula hoje será deveras interessante! Vamos trabalhar um tipo de questão que se tornou muito famosa nos últimos anos, e que é considerada por muitos alunos como um bicho-de-sete-cabeças... Nada mais distante da verdade! Trata-se de uma questão que fala em país, bônus e cupons, e que se resolve, acreditem-me, em duas linhas!

É uma aula de desmistificação, digamos assim.

Vou deixar a correção da questão pendente do dever de casa da aula passada para o final, se me permitem.

# Empréstimo Americano:

Esse assunto – Empréstimo Americano – não costuma ser cobrado nos editais de prova dos concursos fiscais. Nem no de Fiscal da Receita, e nem em qualquer outro. E pra que vamos estudá-lo, professor, se não cai na prova? Calma! Nós vamos apenas aprender algumas poucas informações sobre ele, e que vão nos ser muito úteis em outras questões que caem na prova!

Ok? Vamos aproveitar o empréstimo americano naquilo que ele pode nos ser útil!

Ora, aprendemos em aulas pretéritas que uma situação de empréstimo e devolução é uma situação de Equivalência de Capitais!

Todos lembrados disso? Claro! Se eu peguei uma quantia emprestada hoje, e se vou ter que devolver no futuro, então, para que eu não saia perdendo, nem a pessoa que me emprestou saia perdendo, nada mais justo que o que eu vou devolver seja equivalente ao que eu tomei emprestado!

Assim, só recordando, se chamarmos o valor do empréstimo de 1ª Obrigação, todas as parcelas de devolução serão ditas parcelas de 2ª Obrigação! Só isso!

E o empréstimo será sempre no regime composto, de sorte que estaremos diante de uma questão de Equivalência Composta, o que significa dizer que a escolha da data focal é livre, e que podemos seguir a sugestão de adotar a mais à direita do desenho para este papel.

Lembrados?

Enfim, numa linha se resolve uma questão de empréstimo!

E o que vem a ser esse tal de Empréstimo Americano?

Nada mais é que um modelo de empréstimo, com características próprias: a devolução do que foi tomado de empréstimo se fará assim:

por meio de várias parcelas menores, de mesmo valor, e dispostas em intervalos de tempo iguais; e

na data da última parcela menor, juntamente com ela, se devolve também a mesma quantia que havia sido tomada emprestada.

Ilustrando-se um empréstimo com as características acima, teremos:

Parcelas menores e iguais

Valor do empréstimo

Última parcela da devolução, no mesmo valor do empréstimo



Repare em azul a parcela do empréstimo, e em vermelho todas as demais parcelas do desenho, correspondentes à devolução! Repare também, isso é fundamental, que na última data do desenho estão sendo devolvidas duas parcelas: uma menor (de mesmo valor de várias outras), e outra do mesmo valor do empréstimo!

Pronto! Já sabemos o que é um empréstimo americano!

E daí? O que me vale conhecê-lo? Vale pelo seguinte: sempre que estivermos diante de uma situação de empréstimo que siga exatamente as características acima, ou seja, diante de um empréstimo americano, calcularemos a taxa (de juros compostos) da operação de uma forma inacreditavelmente fácil. Basta fazer o seguinte:

Taxa = (Valor de uma das parcelas menores e iguais)/(Valor do empréstimo)

Só isso!

Assim, se tivermos que o sujeito pegou R$1000 emprestado hoje, e devolveu por meio de 15 (quinze) parcelas menores de R$50,00, e junto com a última parcela de R$50,00 devolveu também os mil que havia tomado de empréstimo, teremos:

1.000,00 1.000,00

50, 50, 50, 50, 50, 50, 50,

O que faremos agora? Observaremos se esse empréstimo cai naquele modelo que já conhecemos. O que você diz? Estamos diante de um empréstimo americano? Sim, pois as características da devolução são exatamente aquelas que definem esse modelo!

E assim sendo, há como saber qual a taxa de juros compostos desta operação? Sim, e sem qualquer demora. Diremos que, para este exemplo:

Taxa = 50/1000 = 5/100 = 5% ao período.

Que período é esse? É o mesmo período do intervalo de tempo entre as parcelas de R$50,00. Ou seja, se as parcelas de R$50 são mensais, a taxa é 5% ao mês; se as parcelas de R$50 são trimestrais, a taxa é 5% ao trimestre; se as parcelas de R$50 são anuais, a taxa é 5% ao ano. E assim por diante!

Mas, professor, e não faz diferença o número de parcelas menores de R$50? Não! Não faz diferença nenhuma! Podem ser dez, podem ser quinze, podem ser duzentas! Não interessa! A taxa será sempre a mesma: 5% ao período.

Que maravilha!

Entendido como se descobre a taxa composta de um empréstimo americano?

Pois bem! Vamos aprofundar um pouco agora!

E se a situação fosse a seguinte:

Um sujeito pegou uma quantia qualquer hoje emprestada. Não conhecemos o valor do empréstimo. Vamos chamá-lo de X. O fato é que a devolução se fará da seguinte forma: por meio de quinze parcelas mensais de R$50,00 e, na data da última parcela de R$50, devolverá também uma quantia de R$1000.

O enunciado dirá agora que a taxa da operação é de juros compostos, e é de 8% ao mês. E pergunta: qual o valor que foi tomado emprestado?



O desenho da questão será o seguinte:

X 1.000,00

50, 50, 50, 50, 50, 50, 50,

O que faremos? Pensaremos!

Vejam que o desenho acima está quase igual ao do empréstimo americano! Concordam? Para que estivéssemos diante do empréstimo americano, bastaria que o X fosse igual a R$1000.

Todos acompanhando o raciocínio?

Pois bem! O que vamos fazer é imaginar que aquele X vale R$1000, e que estamos com o modelo do empréstimo americano.

Assim, se o X fosse R$1000, a taxa da operação seria quanto?

Seria: i=50/1000=5/100=5% ao mês

(Reparem que a taxa é mensal porque as parcelas de R$50 são mensais!)

Tudo bem até aqui?

Vamos lá: se o X fosse R$1000, estaríamos com o empréstimo americano e a taxa seria 5% ao mês. Essa é uma taxa padrão, para efeito de análise comparativa!

Mas a taxa da operação não é igual a 5% ao mês. A questão disse que a taxa deste empréstimo é de 8% ao mês!

Com isso, concluímos, de antemão, que o valor do X não pode ser igual a R$1000. (Só seria R$1000 se a taxa fosse a do empréstimo americano, que é de 5%a.m.).

O segundo passo vai ser o seguinte: descobrir se o X será maior que R$1000, ou menor que R$1000.

O que vocês acham?

É muito simples: para chegar ao X nós teríamos que projetar todas as parcelas de devolução para a data zero. Ou seja, projetaríamos todo o desenho para uma data anterior! Quanto estamos buscando um resultado anterior, o entendimento da taxa será sempre o seguinte:

Aumentando-se a taxa, diminui o X; e

Diminuindo-se a taxa, aumenta o X.

Dito isto, retomemos o nosso exemplo:

X 1.000,00

50, 50, 50, 50, 50, 50, 50,

O raciocínio completo será o seguinte:

Se a taxa fosse de 5%a.m., o valor do X seria R$1000;



Se a taxa é maior que 5%a.m., o X é menor que R$1000;

Se a taxa é menor que 5%a.m., o X é maior que R$1000.

Neste caso, de antemão, mesmo sem fazer contas mais demoradas, já podemos garantir uma coisa: a taxa de juros compostos do exemplo acima será, necessariamente, menor que R$1000,00.

Vejamos alguns exemplos da nossa lista de questões:

85. João, estando em dificuldades financeiras, pegou emprestado hoje a quantia de R$1.000,00. A devolução se fez por meio de doze parcelas mensais e iguais a R$50,00 cada – a primeira delas ao final do primeiro mês – e mais um pagamento de R$1.000,00 na mesma data da última parcela de R$50,00. Calcule a taxa de juros compostos mensal desta operação.

Sol.: Façamos o desenho da questão: 1.000,00 1.000,00

50, 50, 50, 50, 50,

Exemplo já resolvido! Diga lá: esse é o empréstimo americano? Sim!

Logo, sem mais demora, diremos que:

i=50/1000=5/100=5%a.m. Resposta!

86. João, estando em dificuldades financeiras, pegou emprestado hoje a quantia de R$900,00. A devolução se fez por meio de doze parcelas mensais e iguais a R$50,00 cada – a primeira delas ao final do primeiro mês – e mais um pagamento de R$1.000,00 na mesma data da última parcela de R$50,00. Acerca da taxa de juros compostos mensal desta operação, diremos que ela é: a) Igual a 3% b) Igual a 4% c) Menor que 5% d) Igual a 5% e) Maior que 5%

Sol.: Façamos o desenho de novo! Teremos: 900,00 1.000,00

50, 50, 50, 50, 50,

Analisemos: estamos diante do empréstimo americano? Não! Mas estamos quase com este modelo! Quase! Para estarmos com o empréstimo americano, bastaria que os R$900 fossem R$1000. Concordam?



Assim, pensaremos: se estivéssemos com o modelo americano, a taxa seria de 5%a.m. (=50/1000).

Mas o valor emprestado não foi R$1000. Foi um valor menor: R$900,00.

Conclusão: a taxa composta desta operação não pode ser igual a 5%a.m.

Próximo passo: vamos descobrir se a taxa é maior ou menor que 5%.

Ora, se fosse 5%, o X seria R$1000. Mas:

Se a taxa é maior que 5%a.m., o X é menor que R$1000;

Se a taxa é menor que 5%a.m., o X é maior que R$1000.

Daí, sem maiores esforços, concluiremos que a taxa, para este exemplo, será maior que 5%a.m. Resposta!

# Questão de País, Bônus e Cupons:

Uma vez conhecendo a teoria do empréstimo americano, vamos agora passar ao estudo de um tipo de enunciado muito cobrado em provas recentes de concurso. Uma que fala em país, bônus e cupons. Vejamos uma destas questões:

(AFRF 2002.2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1.000,00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60,00 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc.

a) US$ 1.000,00 b) US$ 953,53 c) US$ 930,00 d) US$ 920,57 e) US$ 860,00

Provavelmente, ao concluir a leitura do enunciado acima, o primeiro impulso seja o de abandonar esta questão, na hora da prova, e passar para a seguinte. Certo? (Pelo menos, comigo, foi assim...)! Isso porque este enunciado era, até então, uma novidade. Porém, uma vez que passemos a conhecer a linguagem apresentada, tudo fica fácil.

Estamos, por incrível que pareça, diante de uma situação de empréstimo. Só que agora quem está pegando dinheiro emprestado não é mais o João, e sim um país! Como é que o país faz para angariar recursos? (Ou seja, como o país faz para pegar dinheiro emprestado?). Ele, o país, oferece títulos de sua emissão, no mercado internacional.

Imagine que eu seja o país. Daí, eu saio com a mão cheia de títulos, todos emitidos por mim (país). E eu chego na sua frente e lhe pergunto: Fulano, você quer adquirir esse meu título? Você, obviamente, vai me perguntar por quanto estou oferecendo. E eu, país, lhe direi: estou oferecendo por mil dólares, por exemplo.

Esse valor, pelo qual o país oferece o título, é o chamado Preço de Lançamento do título! É o preço pelo qual o país está lançando (oferecendo) o título no mercado internacional.

Observem que todo título apresenta um valor escrito em sua face. É o valor de face, ou valor nominal do título. Isso não é novidade para nós!



Pois bem! Se eu, o país, estou em minha mão com um título de valor de face mil dólares, e eu lhe ofereço este título exatamente pelos mil dólares, ou seja, pelo próprio valor nominal, eu estarei lançando o título sem ágio e nem deságio!

Repararam?

Agora, se o título tem valor nominal de mil dólares, e eu lho oferecer (gostaram do lho?) por U$1.200,00, o que estará havendo? Estará havendo um ágio de 200 dólares no lançamento deste título.

Mas, se o título tem valor de face mil dólares, e oferecê-lo por U$900,00, neste caso estará havendo um deságio no lançamento do título!

Ficou bem claro o que é esse negócio de ágio e deságio. Representam, respectivamente, um valor a maior ou a menor, no preço de lançamento, em relação ao valor nominal (valor de face) de um título!

Pois bem! Na verdade, quando o país lhe oferece o título, ele não está propondo uma venda, e sim um empréstimo! Aquele valor (preço de lançamento) que você pagou ao país em troca do título será devolvido a você pelo país!

Perceberam que é um empréstimo, e não uma compra?

E como é que o país vai devolver o que havia tomado emprestado? Vai devolver por meio de parcelas menores e periódicas, chamadas normalmente de cupons, e na data em que pagar o último cupom, devolverá juntamente com ele, o valor nominal do título!

Esta é, portanto, a tradução do enunciado:

Ilustrando-se um empréstimo com as características acima, teremos:

Cupons

Pronto! Já matamos a charada!

Só mais uma coisa: o enunciado costuma chamar o título de Bônus. Poderia chamar só de título, mesmo.

Enfim, estamos diante de uma situação de empréstimo e devolução, que muitíssimo se assemelha à do empréstimo americano. Podemos, assim, lançar mão do que aprendemos sobre este tipo de empréstimo, para chegar a algumas conclusões prévias, anteriores à resolução em si!

Voltemos ao enunciado apresentado acima. Vamos fazer a sua releitura, para ver se as explicações feitas ajudaram em alguma coisa:

(AFRF 2002.2) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1.000,00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60,00 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc.

a) US$ 1.000,00

Preço de Lançamento

Valor Nominal do Título



b) US$ 953,53 c) US$ 930,00 d) US$ 920,57 e) US$ 860,00

Sol.: Vejam que o enunciado é de uma infelicidade flagrante! A primeira frase, logo, nos leva a pensar que trabalharemos com vários e vários bônus (...uma certa quantidade de bônus...), quando na verdade trabalharemos com um apenas!

Vejam também que o enunciado diz que o título tem “valor nominal de US$1.000,00 cada bônus e com doze cupons semestrais de US$60,00 cada cupom...”.

Percebam que, ao falar nos cupons, já estamos falando na devolução! Mas o enunciado não separa nada! Não há nada nesta leitura que leve a crer que deixamos de falar no empréstimo e passamos a falar da devolução! Vem tudo junto!

Alguém que já é habituado a conhecer essa linguagem de mercado de títulos talvez compreenda esse enunciado facilmente. Mas para nós, reles concurseiros, a coisa teria que ser mais bem explicada! Concordam?

Pois bem! Continuando a leitura, vemos que dois valores foram expressamente fornecidos: o valor dos doze cupons (US$60,00) e o valor nominal do título (US$1000,00). De resto, foi dito ainda que o país vai pagar o último cupom juntamente com o valor nominal, ou seja, na mesma data (a última do desenho)!

E, para fechar, disse o enunciado que a taxa da operação é de uma taxa nominal de 14% ao ano, e pergunta qual é o preço de lançamento do título!

Vamos falar sobre essa taxa. Ora, trata-se, conforme disse a questão, de uma taxa nominal. Assim, se formos copiar o nome completo dela, seria: 14% ao ano, com capitalização alguma coisa.

Mas a questão não disse qual é o período de capitalização desta taxa! Na verdade, ele está implícito!

Aprendamos: sempre que a questão disser que uma taxa é nominal, mas não revelar qual é o prazo de capitalização, olharemos para o desenho! E veremos, fatalmente, várias parcelas dispostas em intervalos de tempo iguais!

Esse intervalo de tempo igual é o prazo da capitalização da taxa nominal!

Assim, se nosso desenho apresenta várias parcelas semestrais, fica subentendido que a taxa nominal é uma taxa com capitalização semestral.

Entendido?

Disse a questão que a taxa é de 14% ao ano, e nós complementamos, seguindo (e segundo) o entendimento acima, que a taxa é: 14% ao ano, com capitalização semestral.

Já estamos cansados de saber como tratar uma taxa nominal, não é fato?

Vamos transformá-la em taxa efetiva, mediante o conceito de taxas proporcionais.

Teremos:

14% a.a., com capitalização semestral = (14/2) = 7% ao semestre

Pois bem! Façamos o desenho da questão:

X 1.000,00

60, 60, 60, 60, 60,



Analisemos: estamos quase diante do empréstimo americano! Não é verdade?

Cabe agora uma análise prévia do desenho acima!

Se estivéssemos com o empréstimo americano, o X seria igual a 1000. Concordam?

E a taxa, neste caso, seria de quanto?

Seria: (60/1000)=(6/100)=6% ao semestre.

Assim:

Se a taxa é igual a 6%a.s., o X seria US$1000. Mas:

Se a taxa é maior que 6%a.s., o X é menor que US$1000;

Se a taxa é menor que 6%a.s., o X é maior que US$1000.

Daí, concluímos, de antemão, que o X terá que ser menor que US$1000.

Nesse momento, você dá uma olhadela nas opções de resposta! Vai que dá uma zebra e só tem uma opção com valor menor que mil. Veja lá!

E aí? Funcionou? Não! Quatro alternativas apresentam valor menor que mil dólares. Só a opção A está descartada.

Vamos ter que partir para a violência, e fazer as contas!

Estamos diante de uma questão de Equivalência Composta de Capitais. Adotaremos, como data focal, aquela mais à direita do desenho. Assim, sabendo que o valor do empréstimo é a única parcela de 1ª obrigação, sendo todas as demais de 2ª obrigação, já podemos aplicar a equação de equivalência. Teremos:

X.(1+0,07)12 = [60.S12,7%] + 1000

Vejam que para levar o X do empréstimo para a data focal, precisamos multiplicá-lo pelo parêntese famoso. Isso consta na primeira parte da equação acima:

X.(1+0,07)12 = [60.S12,7%] + 1000

E quando fomos levar os cupons de US$60 para a data focal, nós os transportamos todos de uma só vez, por meio de uma operação direta de rendas certas:

X.(1+0,07)12 = [60.S12,7%] + 1000

Finalmente, o valor nominal do título (US$1000) já está sobre a data focal, de sorte que seu valor ficou inalterado na equação de equivalência (uma vez que não precisou ser transportado para lugar nenhum!):

X.(1+0,07)12 = [60.S12,7%] + 1000

Ficou clara para todo mundo a equação acima? Espero que sim!

Pois bem! Temos uma equação e uma variável. Só falta a parte boa: as contas!

Fazendo as consultas às tabelas financeiras apropriadas, e todas as contas necessárias, chegaremos, finalmente, ao seguinte resultado:

X=920,57 Resposta!

Vejamos mais uma!

(AFRF 2003 ESAF) Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1.000,00 e de cada cupom US$ 60,00. Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus



foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc.

a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8% Sol.: A questão diz que o título foi lançado com ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal. Assim, se o valor nominal é de US$1000, o ágio será de:

Ágio = 20,771000100

72,7=x

Chegamos, com isso, ao preço de lançamento do título: US$1.077,20.

O desenho da questão é o seguinte:

1.077,20 1.000,00

60, 60, 60, 60,

Percebam que a única variável da questão passou a ser a taxa! É o único elemento desconhecido, e é justamente o que o enunciado está perguntando!

Estamos diante de uma questão de empréstimo e devolução, portanto, equivalência composta de capitais. Adotando como data focal a mais à direita do desenho, e aplicando a equação de equivalência, teremos:

1077,20.(1+i)10 = [60.S10,i] + 1000

Vejam que nos restou acima uma equação e uma variável! Já podemos matar a charada? Sim! Como? Olhando para as opções de resposta!

Só haverá uma única taxa capaz de tornar a igualdade acima verdadeira! E tem que ser uma que está entre as alternativas! Vamos fazer por tentativa, então? Sim! Vamos fazer por tentativa! Mas usando um método científico!

Analisemos: esse nosso desenho está quase igual ao do empréstimo americano. Concordam?

Para ser o empréstimo americano, bastaria que o US$1.077,20 fosse igual a US$1000. E assim, a taxa da operação seria: (60/1000)=(6/100)=6% ao semestre.

Mas o preço de lançamento não foi mil. Foi um valor maior (1.077,20). Assim, previamente, concluímos que a taxa desta operação terá que ser menor que 6%.

Todos concordam?

Assim, olhemos para as alternativas de resposta, lembrando-nos que o enunciado disse que são todas taxas nominais! Ora, se são taxas nominais, nós as transformaremos logo em taxas efetivas, e teremos o seguinte:

a) 16%a.a., com capitalização semestral = 8%a.s.

b) 14%a.a., com capitalização semestral = 7%a.s.

c) 12%a.a., com capitalização semestral = 6%a.s.



d) 10%a.a., com capitalização semestral = 5%a.s.

e) 8%a.a., com capitalização semestral = 4%a.s.

Ora, com a conclusão a qual chegamos há pouco, que a taxa terá que ser menor que 6%a.s., restaram quantas possibilidades? Duas: as letras D (5%a.s.) e E (4%a.s.). Assim, quantas tentativas faremos?

Quantas?

...

Quantas?

Uma tentativa! Tentaremos o 5%. Se der certo, é a resposta! Se não der certo, será 4%. E pronto!

Vamos lá: substituindo a taxa efetiva de 5% na equação de equivalência, teremos:

1077,20.(1+0,05)10 = [60.S10,5%] + 1000

1.754 = 1.754

Ok! A taxa efetiva de 5% confirmou a igualdade!

Logo: Letra D Resposta!

É isso! Acho que por hoje é só!

Na próxima aula, eu resolverei juntas a questão pendente do dever de casa da aula passada e mais as questões deste nosso...

... Dever de Casa

87. (Analista BACEN 2001) Um bônus no valor nominal de US$ 1.000,00 e contendo doze cupons semestrais de US$ 50.00, vencendo o primeiro seis meses após o lançamento, é lançado no mercado internacional. O lançamento de uma determinada quantidade desses bônus ensejou um deságio de zero sobre o valor nominal do bônus. Abstraindo custos administrativos da operação, qual a taxa de juros em que os compradores dos bônus aplicaram o seu capital, considerando que junto com o último cupom o comprador recebe o valor nominal do bônus de volta? a) 0% d) 11% ao ano b) 5% ao semestre e) 12% ao ano c) 7,5% ao semestre

88. (Analista Rec. Financeiros SERPRO 2001) Um país lançou bônus no mercado internacional de valor nominal, cada bônus, de US$ 1.000,00, com dez cupons semestrais no valor de US$ 50,00 cada, vencendo o primeiro cupom ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 12% ao ano, calcule o deságio sobre o valor nominal ocorrido no lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro, etc. a) Não houve deságio b) US$ 52,00 por bônus c) 8,43% d) US$ 73,60 por bônus e) 5,94%



Bons estudos! Forte abraço a todos!

E fiquem com Deus!

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