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AULA 10 AMORTIZAO

Ol, amigos!

Tudo bem com vocs?

Iniciemos os trabalhos de hoje resolvendo as questes pendentes da aula passada!

Dever de Casa

01. (MDIC 2002/ESAF) Um contrato prev que aplicaes iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada ms, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao ms?

a) R$ 7.455,96 b) R$ 7.600,00 c) R$ 7.982,12 d) R$ 8.270,45 e) R$ 9.000,00

Sol.: O importante nesta resoluo acertar o desenho! O enunciado disse que haver aplicaes de parcelas iguais em um prazo total de doze meses. No foi isso mesmo? Pois bem! O indicado, portanto, que desenhemos esse perodo completo de tempo. Teremos:

Agora reparemos que a questo nos disse que essas parcelas iguais sero aplicadas ao fim de cada ms! Viram isso? Essa informao consta na prpria pergunta, nas duas ltimas linhas (quanto deve ser aplicado ao fim de cada ms...?).

Assim, desenhando as parcelas ao fim de cada perodo, teremos:

Finalmente, onde mesmo que a questo quer saber do resgate? Ao fim deste prazo total de doze meses. Assim, o desenho completo da nossa questo o seguinte:

100.000,

P P P P P P P P P P P P



Agora vem a pergunta: o desenho acima j est de acordo com o desenho modelo das Rendas Certas? Ou seja, fato que a data do resgate j coincide com a data da ltima parcela? Sim! Logo, j estamos prontos para aplicar a equao das Rendas Certas! Teremos:

T=P.Sn,i 100.000=P . S12,2% Da:

P=100.000 / S12,2%

Consultando uma tabela do fator de rendas certas, veremos que

:

TABELA III FATOR DE ACUMULAO DE CAPITAL DE UMA SRIE DE PAGAMENTOS

iis

n

in1)1( +=

1% 2% 3% 4% . . . 9% 10%

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 ... 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 ... 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 ... 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 ... 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 ... 5,984710 6,105100

... ... ... ... ... ... ... ...

12 12,682503 13,412090 14,192029 15,025805 ... 20,140720 21,384284

Assim, voltando nossa resoluo, teremos que:

P = 100.000 / 13,412090 E: P = 7.455,96 Resposta!

02. Calcule o valor mais prximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicaes realizadas ao fim de cada ms: dos meses 1 a 6, cada aplicao de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicao de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicao de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remunerao das aplicaes de 3% ao ms.

a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00 b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00 c) R$ 82.265,00 Sol.: Esta questo tambm foi de prova recente do Fiscal da Receita. E uma questo idntica a que resolvemos na aula passada! Com pouqussimas diferenas, para ser mais preciso: na da aula passada, tnhamos quatro parcelas de 1000, quatro de 2000 e quatro de 3000. Nesta, teremos seis parcelas de 2000, seguidas de mais seis parcelas de 4000, e finalmente, mais seis parcelas de 6000.

Mas o entendimento e a resoluo so simplesmente idnticos!

i n



Desenhando a questo, e j criando os tracejados e estabelecendo os respectivos nveis de parcelas, teremos:

X

2000 2000

4000 4000

6000 6000

J sabemos o que fazer: uma operao de Rendas Certas para cada nvel de parcelas!

Se chamarmos de 1 Nvel as parcelas acima do tracejado mais alto, teremos:

T = P . sni T=2000 . S183% 1 Nvel

2 Nvel sero as parcelas entre os dois tracejados. Teremos:

T = P . sni T=2000 . S123% 2 Nvel

3 Nvel sero as parcelas abaixo do ltimo tracejado. Teremos:

T = P . sni T=2000 . S63% 3 Nvel Somando T, T e T chegaremos resposta procurada! Se colocarmos 2000 em evidncia nesta soma, teremos:

X=2000.{S183% + S123% + S63%}

Fazendo as trs consultas Tabela do Fator de Rendas Certas, e complementando as contas, teremos que:

Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos:

s183%=23,414435

s123%=14,192030

s63%=6,468410

Da: X = 2000 (23,414435 + 14,192030 + 6,468410) E, finalmente: X = 88.149,00 Resposta!



Pois bem! Vamos agora a um assunto que , por assim dizer, irmo das Rendas Certas! E, como no poderia deixar de ser, igualmente fcil!

Trata-se da Amortizao!

Pelo estudo realizado por ns at aqui, j aprendemos como trabalhar no Regime Composto, diante das seguintes situaes:

1) Uma parcela sozinha, para lev-la para uma data posterior:

X.(1+i)n

X

2) Uma parcela sozinha, para lev-la para uma data anterior:

X/(1+i)n

X

3) Vrias parcelas iguais e peridicas, para uma data posterior:

T=P.Sn,i

P P P P P P

A nica coisa que nos resta saber, e que aprenderemos agora, justamente como projetar vrias parcelas iguais e peridicas, tambm no regime composto, para uma data anterior!



Vejamos o desenho que expressa esta situao:

T

P P P P P P

Este desenho acima o desenho modelo da Amortizao!

Normalmente, a situao do desenho acima se verifica quando se est fazendo uma compra a prazo. Assim, o valor T seria o preo do bem, vista. Mas o comprador no iria pagar vista, e sim iria diluir o valor do bem em vrias parcelas. Usando outra palavra, o comprador iria amortizar o valor do bem em prestaes!

Outra situao que recairia no desenho acima a de um emprstimo. perfeitamente possvel que um sujeito pegue um valor qualquer emprestado no dia de hoje (seria a seta do T), e que a devoluo se fizesse mediante o pagamento de diversas parcelas iguais e peridicas!

Enfim, seja como for, se encontrarmos no desenho da questo uma situao com as seguintes caractersticas:

1) Parcelas iguais; 2) Intervalos de tempo iguais entre as parcelas; 3) Taxa de juros compostos; e o objetivo for o de projetar todas essas parcelas para uma data anterior, saberemos imediatamente duas coisas:

1) Estamos diante de uma operao de Amortizao!

2) A data correta para projetarmos as parcelas iguais ser um perodo antes da primeira parcela!

Vocs percebem que as caractersticas da Amortizao so rigorosamente as mesmas que encontramos nas Rendas Certas! Trata-se do mesmo pacote completo!

O que muda, efetivamente, o objetivo das parcelas! E o sentido da projeo das parcelas iguais:

Nas Rendas Certas, projetamos as parcelas para a data da ltima parcela; Na Amortizao projetaremos as parcelas para um perodo antes da primeira parcela! Esta a informao crucial deste assunto: para efeito de aplicao da frmula da Amortizao, a data do T da frmula sempre um perodo antes da primeira parcela!

No podemos esquecer disso!

E j que falamos em frmula, qual ser mesmo a equao da Amortizao? A seguinte:

T = P . An,i Falemos sobre cada elemento desta frmula:

O T o Total, o valor que ser amortizado, ou seja, que ser diludo nas parcelas. Ele, sozinho, representa todas as parcelas do desenho! E estar sempre, no desenho, um perodo antes da primeira parcela!).



P o valor de cada uma das parcelas. E tm que ser todas iguais! J sabemos disso! (Primeira caracterstica do pacote completo)!

O A sozinho no ningum. Est a apenas para indicar que estamos trabalhando, na verdade, com um fator: o An,i , o qual chamaremos apenas de Fator de Amortizao! Ningum vai esquecer (e nem confundir com o Sn,i das Rendas Certas), porque ele escrito com A de Amortizao! Ok?

O n do Fator de Amortizao ter o mesmo significado que teve no fator de Rendas Certas, ou seja, vai representar simplesmente o nmero de parcelas! Ok? S isso!

O i a taxa de juros compostos! (Terceira caracterstica da Amortizao!). Falta pouco agora para sabermos tudo de Amortizao!

Eu precisarei de apenas trs exemplos para ilustrar (e esgotar!) o assunto. Vamos a eles.

# Exemplo 1) Um computador, que custa vista R$5.000,00 (cinco mil reais), ser comprado em doze prestaes iguais e mensais, vencendo a primeira delas trinta dias aps a compra. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao ms, qual o valor das prestaes?

Sol.: O mais indicado, como sempre, comear pelo desenho da questo. Teremos:

5.000,

P P P P P P P P P P P P

Olhando para este desenho, vemos de imediato a presena de parcelas iguais (1 caracterstica do pacote completo) e peridicas (2 caracterstica do pacote completo). Assim, para completar a sua convico, convm reler o enunciado, procura da 3 caracterstica (taxa de juros compostos)! Tem? Sim, tem!

Ora, com estas trs caractersticas, poderamos tanto trabalhar uma operao de Rendas Certas quanto de Amortizao. O que vai definir isso o objetivo das parcelas!

Se meu objetivo fosse o de acumular, acumular, acumular, e resgatar ao final, trabalharamos com Rendas Certas. Mas no o caso! Aqui, o que se pretende com as parcelas iguais diluir um valor anterior. Ou seja, pretende-se fazer uma operao de Amortizao!

Uma vez identificado o assunto da questo, faremos uma nova pergunta: o desenho acima j est de acordo com o desenho modelo da Amortizao?

O que nos diz esse desenho modelo? Ele nos diz, em outras palavras, que a primeira parcela deve estar ao final do primeiro perodo! E a? O desenho acima j est desse jeito? Sim! timo! Estamos, portanto, prontos para aplicar a frmula da Amortizao! Teremos:

T = P . Ani Da, isolando a parcela P, teremos:

P = 5000 / A122%



Tudo corria bem at este momento! Mas, e agora, como fazer para descobrir o valor do fator An,i? Existe um auxlio para isto! Trata-se da Tabela Financeira do Fator de Amortizao!

A consulta a esta tabela se faz da mesma forma que j aprendemos para as duas outras primeiras tabelas com as quais j trabalhamos! Basta correr a vista pela linha do n (nmero de parcelas) e pela coluna da taxa i. Onde houver esse encontro, estaremos de posse do valor do fator An,i. Ok? Fazendo a consulta apropriada, teremos:

TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SRIE DE PAGAMENTOS n

n

in )i1.(i1)i1(a +

+=

1% 2% 3% 4% 5% 6%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396

2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012

4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105

5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324

7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054 5,786373 5,582381

8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794

9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821 6,801692

10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087

11 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886874

12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844

Assim:

P = 5000 / 10,575341 E: P= 472,80 Resposta! Adiante. Vejamos o prximo exemplo.

# Exemplo 2) Um computador custa vista R$5.000,00 (cinco mil reais). Uma pessoa prope compr-lo pagando uma entrada de 30% (trinta por cento) do valor do bem, e o restante em cinco parcelas iguais, mensais e consecutivas, vencendo a primeira delas quatro meses aps a compra. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao ms, qual o valor das prestaes?

Sol.: Novamente comearmos pelo desenho. Vejamos:

5.000,

P P P P P

1.500,

i n



Observem que a entrada sempre um pagamento realizado no ato da compra. E iremos sempre desenh-la com seta para baixo. Ok?

Agora comparemos o desenho acima com o desenho modelo da Amortizao!

O desenho modelo admite parcela de entrada? NO! De jeito nenhum! No desenho modelo, a primeira parcela deve estar ao final do primeiro perodo! No se admite pagamento de entrada!

Assim, nosso primeiro passo ser fazer desaparecer essa entrada! E como faremos isso? Fcil: mediante uma conta de subtrair! Faremos valor vista menos valor da entrada. E pronto! A entrada j era! Vejamos:

3.500,

P P P P P

E agora voltamos a comparar o desenho acima com o desenho modelo. J esto iguais? Ainda no, uma vez que o desenho modelo ensina: primeira parcela ao final do primeiro perodo. E aqui, nesta questo, temos que a primeira parcela est numa data futura, bem depois do final do primeiro perodo!

E a? O que fazer?

Vou lhes ensinar duas solues possveis para esse problema. Ok? (A exemplo do que fiz nas Rendas Certas!). Vejamos!

1 Soluo) Acrescentar ao desenho da questo a seta do T da frmula de Amortizao!

Onde estaria esta seta? Ora, j sabemos: um perodo antes da primeira parcela. Teremos:

T

3.500,

P P P P P



Mas, professor, ningum sabe ainda o quanto vale esse T! No sabia! Vai ficar sabendo agora! Basta projetar o valor conhecido (R$3500) para a data do T. E de que forma faremos isso? J sabemos: multiplicando o 3.500 pelo parntese famoso, o que traduz uma operao de Juros Compostos! Teremos:

T = 3500 . (1+0,02)3 O valor do parntese famoso ser encontrado por meio de uma rpida consulta tabela financeira do (1+i)n. Teremos que: (1+0,02)3=1,061208.

Da, teremos que:

T = 3500 . 1,061208 E: T=3.714,23

Assim, o novo desenho da questo agora ser o seguinte:

3.714,23

P P P P P

E agora, sim! Chegamos a um desenho que est de acordo com o desenho modelo da Amortizao, de sorte que j podemos aplicar a frmula. Teremos:

T = P . Ani Da, isolando a parcela P, teremos:

P = 3.714,23 / A52% Consultando a Tabela Financeira do An,i, teremos:


n

in )i1.(i1)i1(a +

+=

1% 2% 3% 4% 5% 6%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396

2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012

4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105

5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324

i n



Assim:

P = 3.714,23 / 4,713459 P= 788,00 Resposta!

2 Soluo) Acrescentar ao desenho da questo parcelas fictcias, no intuito de torn-lo adequado ao desenho modelo da Amortizao!

Fazendo isso, teremos:

3.500,

P P P P P P P P

Percebam que as parcelas acrescidas ao desenho (na cor verde), tornaram o desenho compatvel com o desenho modelo da Amortizao. Ou seja, agora temos que a primeira parcela (embora fictcia) est ao final do primeiro perodo.

Tudo bem at aqui? Pois bem!

Vejam que agora temos, somando as parcelas reais (em azul) e as fictcias, um total de 8 (oito) parcelas! A minha pergunta para vocs a seguinte: ser que estaria correto um clculo que fosse o seguinte: (???)

3500 = P . A8,2% O que vocs acham? Certo ou errado? Erradssimo, pois est levando em conta algumas parcelas que no existem! So parcelas fictcias! Assim, para que este clculo se acerte, precisaremos extrair dele um fator, referente quelas parcelas fictcias. Teremos:

3500 = P . {A8,2% A3,2%} E agora sim! Estamos com a equao correta! Assim, generalizaremos para dizer que a frmula desenvolvida da Amortizao, com a presena de parcelas fictcias, a seguinte:

T=P.{ATOTAL,i - AFICTCIAS,i} Onde: TOTAL o nmero que corresponde soma do nmero de parcelas (reais+fictcias); e FICTCIAS apenas o nmero de parcelas fictcias. Continuando nossa resoluo, teremos:

P = 3.500 / {A8,2% A3,2%} Fazendo as devidas consultas Tabela Financeira do An,i, teremos:




n

in )i1.(i1)i1(a +

+=

1% 2% 3% 4% 5% 6%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396

2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393

3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012

4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105

5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364

6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324

7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054 5,786373 5,582381

8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794

Logo:

P = 3.500 / {7,325481 2,883883} P = 3.500 / 4,441598 P = 788,00 Resposta! Como vocs puderam ver, as duas solues apresentadas acima so igualmente vlidas, fazendo-nos chegar mesma resposta, ou seja, resposta correta! Fica a critrio de cada um adotar uma ou outra sada! Ok?

S preciso de mais um exemplo para matarmos este assunto! Vamos a ele.

# Exemplo 3) Joo se dirige a uma concessionria. Ao encontrar o carro de sua predileo, prope compr-lo por meio dos seguintes pagamentos, realizados ao fim de cada ms: do primeiro ao quarto ms, parcelas de R$3.000,00; do quinto ao oitavo ms, parcelas de R$2.000,00; do nono ao dcimo segundo ms, parcelas de R$1.000,00. Considerando uma taxa de juros compostos de 3% ao ms, qual seria o valor vista do veculo que Joo quer comprar?

Sol.: J sabemos que vamos comear a resoluo pelo desenho! Teremos:

X

1000 1000 1000 1000

2000 2000 2000 2000

i n



3000 3000 3000 3000

Somente pelo que aprendemos na aula passada, de Rendas Certas, embora o assunto fosse outro, vai ser totalmente possvel resolvermos tambm esta presente questo utilizando o artifcio dos tracejados! Perceberam? Pois bem! Fazendo os tracejados e criando os trs nveis de parcelas, teremos: X

1000 1000 1000 1000

2000 2000 2000 2000

3000 3000 3000 3000

Parece-me que todo mundo j est enxergando tudo, no verdade? Nos trs nveis de parcelas que se formaram com os tracejados, encontraremos, em cada um deles, as trs caractersticas do pacote completo (que serve tanto para rendas certas como para amortizao)!

Ademais, percebemos que, para os trs nveis, a primeira parcela j est ao final do primeiro perodo. Concordam?

Assim, resta-nos aplicar trs vezes a frmula da amortizao, e depois somar esses resultados! Teremos:

T = P . Ani T=1000 . A123% 1 Nvel

2 Nvel sero as parcelas entre os dois tracejados. Teremos:

T = P . Ani T=1000 . A83% 2 Nvel

3 Nvel sero as parcelas abaixo do ltimo tracejado. Teremos:

T = P . Ani T=1000 . A43% 3 Nvel Somando T, T e T chegaremos resposta procurada! Se colocarmos 1000 em evidncia nesta soma, teremos:

X=1000.{A123% + A83% + A43%}

Consultando a Tabela Financeira da Amortizao, encontraremos:

A123%=9,954004



A83%=7,019692

A43%=3,717098

Da: X = 1000.(9,954004 + 7,019692 + 3,717098) E, finalmente: X = 20.690,00 Resposta!

isso, meus amigos!

Por hoje, chega de teoria!

Na seqncia, apresento-lhes as questes do Dever de Casa de hoje!

Forte abrao a todos! E bons estudos!

Dever de Casa

84. Calcule o valor mais prximo do valor atual no incio do primeiro perodo do seguinte fluxo de pagamentos vencveis ao fim de cada perodo: do perodo 1 a 6, cada pagamento de R$ 3.000,00, do perodo 7 a 12, cada pagamento de R$ 2.000,00, e do perodo 13 a 18, cada pagamento de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional de 4% ao perodo. a) R$ 33.448,00 d) R$ 27.286,00 b) R$ 31.168,00 e) R$ 25.628,00 c) R$ 29.124,00

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