MateMática B

Mil

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hu

tter

Sto

ck

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MateMática B aula 1

4 polisaber

127-

1

BO

A

C

OC� ���

é bissetriz de AÔB AÔB ≡ BÔC

Soma de ângulos adjacentesQuanto ao valor, a soma de dois ângulos adjacentes pode ser classificada em três categorias:

Complementares Suplementares Replementares

y

x

O

y

x

O

y

x

O

x + y = 90°a medida do complemento de um

ângulo de medida x é:90° − x

x + y = 180°a medida do suplemento de um

ângulo de medida x é:180° − x

x + y = 360°a medida do replemento de um

ângulo de medida x é:360° − x

Ângulos opostos pelo vérticesão aqueles em que os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro. são ângulos congruentes, ou seja,

suas medidas são iguais.

α β

α ≡ β

exercícios

1. (Uel-pr) Na figura ao lado, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente.o suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a:

a) 144°b) 128°c) 116°

d) 82°e) 54°

y

x

z

x = 5k, y = 20k e z = 25kx + y + z = 360° ⇒ 5k + 20k + 25k = 360° ⇒ 50k = 360° ⇒ k = 7,2°x = 5k ⇒ x = 5 · 7,2 = 36°Suplementar de x = 36°:180° − 36° = 144°

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polisaber 5

aula 1 MateMática B

127-

1

2. o triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento desse ângulo. esse ângulo mede:a) 45°b) 48° 30’c) 56° 15’

d) 60°e) 78° 45’

Retas paralelassegundo a geometria euclidiana, duas retas distintas de um plano são paralelas quando não têm um ponto comum. se ambas, ao mesmo tempo, forem interceptadas por uma reta transversal qualquer, tere-mos a formação de diversas regiões angulares (ângulos), que se rela-cionam como mostra a figura ao lado.os ângulos α e γ são chamados de correspondentes. Como as retas r e s são paralelas, eles são congruentes. os ângulos α e β são opos-tos pelo vértice (são congruentes). os ângulos β e γ são chamados alternos internos e também são congruentes: α ≡ γ e α ≡ β ⇒ β ≡ γ os ângulos β e d são chamados colaterais internos e são suplemen-tares, ou seja, somam 180°:

180° e 180°γ + d = γ ≡ β ⇒ β + d =

exercícios

1. se r // s, então os valores de α e β são, respectivamente:

r

s

α

β

10x

5x

a) 100° e 80°b) 110° e 70°c) 120° e 60°d) 125° e 65°e) 130° e 50°

2. (Vunesp) o triplo do suplemento de um ângulo q é 63° 51’ 37”. o valor aproximado do ângulo q é:a) 62° 42’ 48”b) 117° 51’ 37”c) 132° 42’ 38”d) 148° 40’ 27”e) 158° 42’ 48”

r

s // r

t

α

β

δ γ

xx

xx

3 90°180°

3270° 3

180°3

( )⋅ − = − ⇒ − = − ⇒

⇒ 810° − 9x = 180° − x ⇒ 8x = 630° ⇒⇒ x = 78,75° = 78° + 0,75 ∙ 60’ = 78°45’

10x + 5x = 180° ⇒ 15x = 180° ⇒ x = 12°α = 10x ⇒ α = 10 ∙ 12° = 120°β = 5x ⇒ β = 5 ∙ 12° = 60°

3 ∙ (180° − q) = 63° 51’ 37” ⇒ 180° − q = 21° 17’ 12” ⇒⇒ q = 180° − 21° 17’ 12” ⇒ q = 179° 59’ 60” − 21° 17’ 12” ⇒⇒ q = 158° 42’ 48”

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MateMática B aula 1

6 polisaber

127-

1

3. (obM-rJ) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.

x

126o30o

75o

a medida do ângulo x é:a) 39° b) 41° c) 43° d) 44° e) 46°

4. (Unicamp-sp) para calcular a circunferência terrestre, o sábio eratóstenes vale-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de alexandria e siena no egito (A e S, respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. ele sabia que, quando em siena os raios solares caíam verticalmente, em alexandria eles faziam um ângulo de 7,2° com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra.

800 km

A

7,2o

S

Raiossolares

estudo orientado

exercícios

1. (Cefet-sC) Na figura abaixo, a semirreta OP� ���

é bissetriz do ângulo AÔB. Determine o valor de x + y.

B

P

A

x+30o

y-10

2y

O

a) x = 13° e y = 49°b) x = 15° e y = 35°c) x = 12° e y = 48°

d) x = 17° e y = 42°e) x = 10° e y = 50°

x

60o 66o 66o30o

30o

60o

51o51o 39o

24o

24o

x = 39°Professor, observe que: 30° + 126° + 75° + x = 90° + 90° + 90°, ou seja, x = 39°.

Para pequenas distâncias sobre a superfície da terra, os raios solares são considerados paralelos; assim, o ângulo central que determina o arco de 800 km também mede 7,2°:

= ⇒ =x

x7,2°360°

800 km40.000 km

Portanto, a volta completa mede, segundo os dados forne-cidos, 40.000 km.

800 km

A

7,2o

7,2oS

Raiossolares

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MateMática B aula 2

14 polisaber

127-

1

exercícios

1. (FGV-sp) Na figura seguinte, o triângulo AHC é retângulo em H e s é a reta suporte da bissetriz do ângulo CÂH. se c = 30° e b = 110°, então:

AC

B

H

s

c

x

b

a) x = 15° b) x = 30° c) x = 20° d) x = 10° e) x = 5°

2. (Fuvest-sp) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. além disso: (i) A, B, C e A, O, D são colineares; (ii) AB = OB; (iii) CÔD mede α radianos.

A

B

C

DO

Nessas condições, a medida de ABOˆ , em radianos, é igual a:

a) 4

p − α

b) 2

p − α

c) 23

p − α

d) 34

p − α

e) 32

p − α

3. (Fuvest-sp) Três pontos distintos A, B e C de uma circunferência de centro O são tais que B e C são extremos de um mesmo diâmetro. prove que o ângulo BÂC é reto.

liga-se o ponto O ao ponto A.OA = OB = OC = r (raio da circunferência)

triângulo AOB é isósceles: = =OBA OAB yˆ ˆ

triângulo AOC é isósceles: OCA OAC xˆ ˆ= =Ângulo AÔC é externo do triângulo AOB: AÔC = 2y2y + x + x = 180° ⇒ 2x + 2y = 180° ⇒ x + y = 90°BÂC = x + y = 90° (ângulo reto)Propriedade importante: todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa circunferência cujo centro é o ponto médio da hipotenusa. Sua me-diana, relativa à hipotenusa, tem a medida do raio da circunferência e divide o triângulo retângulo em dois triângulos isósceles de mesma área.

AC

B

H

s

30o

20o

x + 20o

110o

x

x + x + 20° + 110° + 30° = 180° ⇒ x = 10°

+ + = ° ⇒ = p −ABO x x ABO xˆ 180 ˆ 2

como α é ângulo externo do triângulo AOC, temos:

α = 2x + x ⇒ x = α3

∴ = p − αABOˆ

23

A x x

2x 2xB

α

C

DO

y

y

x

2yx

OCB

A

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polisaber 15

aula 2 MateMática B

127-

1

4. (Unicamp-sp)a) Quantos são os triângulos não congruentes cujas medidas dos lados, em metros, são números inteiros e cujos

perímetros medem 11 metros?b) Quantos dos triângulos considerados no item anterior são equiláteros? e quantos são isósceles?

estudo orientado

exercícios

1. (Vunesp) Na figura, o retângulo ABCD é cortado por duas retas paralelas r e s. sabendo que o ângulo e mede o quádruplo do ângulo f, concluímos que a medida do ângulo x, em graus, é:

A G B

D EF C

r s

e

x

f

a) 144b) 60c) 54

d) 36e) 30

2. (Fuvest-sp) Num triângulo ABC, os ângulos B e C medem 50° e 70°, respectivamente. a bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta BC

� ��� ângulos proporcionais a:

a) 1 e 2b) 2 e 3c) 3 e 4

d) 4 e 5e) 5 e 6

considere o triângulo de lados x, y e z no qual x é seu maior lado. Seu perímetro será representado por P (P = x + y + z).

x y

x zx y z x x x y z x P x

P2 2 3

3

>>

⇒ > + ⇒ + > + + ⇒ > ⇒ >

Seu maior lado, x, deverá ser maior que a terça parte do perímetro; assim, se o perímetro é 11, deverá ser maior que 3,666..., ou seja, 4, 5, 6...contudo, considerando as condições de existência para um triângulo, sabe-se que:

x y z x x x y z x P xP

22

< + ⇒ + < + + ⇒ < ⇒ <

Seu maior lado deverá ser menor que a metade do perímetro, ou seja, menor que 5,5. considerando a primeira parte do estudo, apenas os valores 5 e 4 são válidos.

P x y z

11 5 5 1

11 5 4 2

11 5 3 3

11 4 4 3

a) Serão 4 triângulos distintos.b) nenhum é equilátero e três são isósceles.

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polisaber 21

aula 3 MateMática B

127-

1

exercícios

1. (UFsM-rs) a crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscar alternativas na geração de ener-gia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidroelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede

Rio

2 m

30 m 24 m

56 mBarreira

r

s

t

a) 33 m b) 38 m c) 43 m d) 48 m e) 53 m

2. (enem-MeC) o dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. a figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos seg-mentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

C

A F

E

B

D

4

6

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?a) 1 mb) 2 mc) 2,4 m

d) 3 me) 2 6 m

3. (Fuvest-sp) o triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:

A

G h

CFEB

D

b

a) bh

h b+b)

bhh b2

+c)

bhh b+

d) bhh b2 +

e) bhh b2( )+

x x3224

230

43

230

= + ⇒ = + ⇒ x = 38 m

Rio

2 m

30 m 24 m

32 m

56 mx

C

A x F

E

h

y B

D

4

6

como os triângulos ABC e FBE são semelhantes, temos:

hx y

y4 = + ⇒ 4y = h(x + y)

como os triângulos BAD e FAE são semelhantes, temos:

hx y

x6 = + ⇒ 6x = h(x + y)

∴ 6x = 4y ⇒ y = 1,5x

∴ 6x = h(x + 1,5x) ⇒ 6x = h(2,5x) ⇒ 62,5

⇒ h = 2,4 m

A

x x

G h

CFEB

D

b

h – x

2x

2x

denotando a altura do retângulo DEFG por (x), sua base será (2x). a altura do triângulo ADG será (h − x) e sua base será (2x). os triângulos ABC e ADG são semelhantes pois têm os mesmos ângulos correspondentes (as bases doretângulo são paralelas). Portanto:

hh x

bx2−

= ⇒ h · 2x = b · (h − x) ⇒

⇒ 2hx = bh − bx ⇒ 2hx + bx = bh

(2h + b)x = bh ⇒ x = bhh b2 +

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MateMática B aula 3

22 polisaber

127-

1

4. (Vunesp) Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. para isso, marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também.além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura.

Rio

P

O A

B C

a distância, em metros, do observador em O até o ponto P é:a) 30b) 35c) 40d) 45e) 50

estudo orientado

exercícios

1. (Unicamp-sp) a figura seguinte mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. o segmento AD’ mede 13 cm e as retas BB’ e CC’ são paralelas a DD’. Determine os comprimen-tos dos segmentos AB’, B’C’ e C’D’.

A B

B’

C

C’

D’

D

25

3040

Riox

P

O A

B C

como as retas suportes de OA e BC são paralelas, os triângulos POA e PBC têm ângulos correspondentes congruentes; então, pelo caso de semelhança AA, são semelhantes. assim:

xx

xx30

2540 30

58+

= ⇒+

= ⇒ x = 50 m

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