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MateMática B

Ba

nn

afa

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tter

sto

ck

MateMática B aula 4

6 polisaber

127-

2

F

ED C

A 12

12 13

B

15

5 7

3

9

58

Determinando a natureza do triângulo AEF:

15 225

13 58 227225 227

2

2 2

=

+ = < (é um triângulo acutângulo)

Como o triângulo AÊF é acutângulo, o ângulo AÊF é agudo.

exercícios

1. (enem-MeC) Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o compri-mento total do corrimão é igual a:

30 cm

30 cm

90 c

m

90 c

m

Corrimão

24 cm

24 cm

24 cm

24 cm

24 cm

a) 1,8 m b) 1,9 m c) 2,0 m d) 2,1 m e) 2,2 m

2. (Fuvest-sp) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. logo, a altura h, em metros, é:

h

2,5 m

a) +1 72

b) +1 73

c) +1 74

d) +17

3 e) +1

74

x2 = 902 + 1202 ⇒ x = 150 cm = 1,5 mo comprimento total do corrimão será: 0,3 m + 1,5 m + 0,3 m = 2,1 m

h

B C

A0,5

0,5 0,5

0,750,751,5

0,5 0,5x

0,5

2,5 m

sejam A, B e C os centros das bases dos troncos cilíndricos a altura h será:h = 0,5 + x + 0,5 = 1 + x

= + ⇒ = +

⇒ = − ⇒ =

∴ = +

1 0 75 134

19

167

4

17

4

2 2 2 2

2

2x x x x

h

,

x

120 cm

24 cm

90 c

m

24 cm

24 cm

24 cm

24 cm

polisaber 7

aula 4 MateMática B

127-

2

3. (Unicamp-sp) a figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em A, B e C, e raios de comprimentos a, b e c, respectivamente.

A

B

C

a) Determine os valores de a, b e c, sabendo que a distância entre A e B é de 5 cm, a distância entre A e C é de 6 cm e a distância entre B e C é de 9 cm.

A

B

C

c

bb

a

a c

b) para a = 2 cm e b = 3 cm, determine o valor de c > b, de modo que o triângulo de vértices em A, B e C seja retângulo.

4. (Cefet-MG) Na figura, A é o centro da circunferência, CD é o diâmetro e GF é a altura do triângulo CDG. sendo GC = 3 cm e DG = 4 cm, o segmento AF mede, em centímetros:

C

D

F G

A

a) 0,2b) 0,3c) 0,5d) 0,7e) 0,9

+ =+ =+ =

a b

a c

b c

5 (i)

6 (ii)

9 (iii)

fazendo (ii) − (iii): a − b = −3somando com (i):

+ =− = −

⇒a b

a b

5

3 2a = 2 ⇒ a = 1

Portanto, b = 4 e c = 5.

como visto anteriormente, todo triângulo que tem os três vértices inscritos numa circunferência sendo dois deles extremidades do diâmetro é retângulo. então, o triângulo CDG é retângulo em G, assim:

C

D

F G

Ax

r 4

3

r

h

CD2 = 32 + 42 ⇒ CD = 5se CD é diâmetro e A é o centro da circunferência, o raio (r) mede 2,5 cm.GF é a altura do triângulo CDG em relação à base CD, assim, usando a relação métrica: 5 ∙ h = 3 ∙ 4 ⇒ h = 2,4 cmfazendo AF = x:2,52 = x2 + 2,42 ⇒ x2 = 6,25 – 5,76 = 0,49 ⇒ x = 0,7

se c > b a hipotenusa do triângulo-retângulo será BC, assim:

⇒⇒ ⇒

2 2 2 2 2 2

2 2

b c a c a b c c

c c c c c c

2 2 3

9 6 25 2 20 10

( + ) = ( + ) + ( + ) (3+ ) = ( + ) + ( + )+ + = 4 + 4 + + = =


14 polisaber

127-

2

exercícios

1. (iFCe) No triângulo ABC da figura a seguir, as medianas que partem de A e de B são perpendiculares.

A

B C

se BC = 8 e AC = 6, então AB é igual a:a) 3 6 b) 4 3 c) 12 7 d) 2 5 e) 4 2

2. (Mackenzie-sp) se, na figura, T é o incentro do triângulo MNP, a medida do ângulo α é:

M

T

N P

50o

α

a) 45° b) 50° c) 60° d) 70° e) 80°

3. (enem-MeC) em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

10 m

30 cm R

Utilize 1,7 como aproximação para 3 . o valor de R, em centímetros, é igual a: a) 64,0 b) 65,5 c) 74,0 d) 81,0 e) 91,0

G é o baricentro do triângulo ABC.

= + ⇒ = + ⇒ = +

= += +

⇒

⇒= += +

⇒ = + ⇒ + =

= ⋅ ⇒ = =

4 4 4

4

4

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2

AB x y AB x y AB x y

x y

y x

x y

y xx y x y

AB AB

(2 ) (2 ) ( )

4 (2 )

3 (2 )

16

925 5 5 5

4 5 20 2 5

se T é o incentro do triângulo MNP e NT PTe são bissetrizes internas:

M

T

N

x yx y

P

50o

α

α + + = ° ⇒ α = ° − +x y x y2 2 180 180 2( ) 50° = x + y∴α = ° − ° ⇒ α = °180 2(50 ) 80

como as circunferências dos 3 canos menores são congruentes, e estes estão se tangenciando 2 a 2, ao ligarmos os seus centros obtemos um triângulo equilátero. o ponto O é o Baricentro do triângulo formado. assim,

a medida x equivale a 23

da altura do triângulo cujo lado será 60 cm.

= + + ⇒ = ⋅ + ⇒ = +R x R R30 1023

32

4060 3

340

R = 20 ∙ 1,7 + 40 ⇒ R = 74

A

y

x

G

B C

3

3

44

2x

2y

10 m

30 cm

60 cm

30 cm

R

R

x

O

polisaber 15


127-

2

4. (UFG-Go) Gerard stenley Hawkins, matemático e físico, nos anos 1980, envolveu-se com o estudo dos misteriosos círculos que apareceram em plantações na inglaterra. ele verificou que certos círculos seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos congruentes, com centros nos vértices de um triângulo equilátero, tinham uma reta tangente comum.

Nestas condições, e considerando-se uma circunferência maior que passe pelos centros dos três círculos congruentes, calcule a razão entre o raio da circunferência maior e o raio dos círculos menores.

estudo orientado

exercícios

1. Julgue as afirmações a seguir.a) os quatro pontos notáveis de um triângulo podem estar alinhados.b) os quatro pontos notáveis de um triângulo podem ser coincidentes.c) Nem todos os pontos notáveis são obrigatoriamente internos ao triângulo.d) Nenhum ponto notável pode estar no vértice do triângulo.e) o circuncentro equidista dos vértices do triângulo.

2. (C. Naval-rJ) analise as afirmativas a seguir.i. sejam a, b e c os lados de um triângulo, com c . b > a. pode-se afirmar que c2 = a2 + b2 se, e somente se, o triân-

gulo for retângulo.ii. se um triângulo é retângulo, então as bissetrizes internas dos ângulos agudos formam entre si um ângulo de 45°

ou 135°.iii. o centro de um círculo circunscrito a um triângulo-retângulo está sobre um dos catetos.iV. o baricentro de um triângulo-retângulo é equidistante dos lados do triângulo.

assinale a opção correta.a) somente i e ii são verdadeiras. b) somente ii e iii são verdadeiras. c) somente i e iV são verdadeiras. d) somente i, ii e iV são verdadeiras. e) as afirmativas i, ii, iii e iV são verdadeiras.

o ponto O é o Baricentro do triângulo equilátero, portanto R

(raio da circunferência maior) vale 23

da altura. como as

circunferências tangenciam a mesma reta, observa-se que

a altura (h) do triângulo equilátero é 2r, assim:

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

∴ = =

4

R h R r Rr

Rr

r

r

23

23

243

3 43

O

r

r

R


24 polisaber

127-

2

exercícios

1. (Vunesp) em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e as cordas AC BDe . Nas con-dições apresentadas na figura, determine o valor de x.

x + 3

A

D

E C

B

x

3x –

1

2x

2. (FGV-sp) as cordas AB CDe de uma circunferência de centro O são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas AD BCe se intersectam no ponto P, conforme indica a figura a seguir:

A

BOP

C

D

α

a medida do ângulo BPDˆ , indicado na figura por α, é igual a:a) 120°b) 124°c) 128°d) 130°e) 132°

3. (iTa-sp) seja E um ponto externo a uma circunferência. os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. a corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

⋅ + = ⋅ − ⇒ + = − ⇒ =2x x x x x x x( 3) (3 1) 2 6 3 1 7

o valor de x é 7.

se AB é lado de um polígono regular de 6 lados, o arco AB será de 60° (360° : 6) e CD sendo lado de um polígono de 10 lados, terá um arco de 36° (360° : 10).

A

B

D

PO

C

36º

60º

β α

o ângulo b é excêntrico interior, então: b ⇒ b36° 60°2

48°= + =

α + b = 180° ⇒ α + 48° = 180° ⇒ α = 132°

o ponto G é o ponto de intersecção das cordas AF CDe , então:

⋅ = ⋅ ⇒ =6 32

x y xy

do ponto E, parte uma secante por B e A, e outra por C e D, assim:⋅ + = ⋅ + + ⇒ = + ⇒ =5 5 7 4 4 3 60 28 4 8y y y( ) ( )

∴ ⇒x x82

4= =

7

6

3

4

5

A

DF

x

Gy

B

E

C

polisaber 25


127-

2

4. (Unifesp) Na figura, o segmento AC é perpendicular à reta r. sabe-se que o ângulo AÔB, com O sendo um ponto da reta r, será máximo quando O for o ponto onde r tangencia uma circunferência que passa por A e B.

O C

B

r

A

se AB representa uma estátua de 3,6 m sobre um pedestal BC de 6,4 m, a distância OC, para que o ângulo AÔB de visão da estátua seja máximo, é:

a) 10 mb) 8,2 mc) 8 md) 7,8 me) 4,6 m

estudo orientado

exercícios

1. (Cefet-MG) a figura a seguir mostra uma circunferência, em que os arcos ADC AEBe são congruentes e medem 160° cada um.

C

D

A

E

x

B

a medida em graus do ângulo x é:a) 10°b) 20°c) 30°d) 40°

ao se desenhar a circunferência que passa por A e B e tangencia a reta r =

� ��CO em O, observamos que CO é o

segmento tangente e CA a reta secante, assim:= ⋅ + ⇒ = ⇒ =6 4 3 6 6 4 64 82 2x x x, ( , , ) m

A

B

CXOr

6,4

3,6


32 polisaber

127-

2

seja O o ponto onde as estradas A e B se cruzam. o ponto P representa a posição do posto. a distância entre o posto e a rodovia B é representada por x.

B

CO

x

P

A

4 km

45º

° = ⇒ = ⇒ =x xxsen 45

42

2 42 2 km

exercícios

1. (enem-MeC) as torres puerta de europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na espanha. a inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

disponível em: <www.flickr.com>. acesso em: 27 mar. 2012.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:

a) menor que 100 m²b) entre 100 m² e 300 m²c) entre 300 m² e 500 m²d) entre 500 m² e 700 m²e) maior que 700 m²

A

BxC

114

m

15º

° = ⇒ = ⋅ ⇒ =xx xtg 15

114114 0,26 29,64 m

como a base é um quadrado de lado x, sua área será:= ⇒ = ⇒2 2 2A x A A(29,64) 878,52 m

polisaber 33


127-

2

2. (Fuvest-sp) Na figura, tem-se AE paralelo a CD ,

BC paralelo a DE , AE = 2, α = 45°, b = 75°. Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento AB é igual a:

A B

E

D

C

α

β

a) 3

b) 2

c) 32

d) 2

2

e) 34

3. (Vunesp-ap) a figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar re-tangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. o ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo PB = 1,5 m e PA = 1,2 m. após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta co-lidindo com BC no ponto T, sendo a medida do ân-gulo PTBˆ igual a 60°. após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa D.

T

C D

B P A

60º

Largura dotampo da mesa

1,5 m 1,2 m

Nas condições descritas e adotando =3 1,73 , a lar-gura do tampo da mesa, em metros, é próxima de:

a) 2,42b) 2,08c) 2,28d) 2,00e) 2,56

4. (Unifesp) por razões técnicas, um armário de altura 2,5 metros e largura 1,5 metro está sendo desloca-do por um corredor, de altura h metros, na posição mostrada pela figura.

α

Teto

Chão

1,5 m 2,5 m

x

y

h

α

a) Calcule h para o caso em que α = 30°.

b) Calcule h para o caso em que x = 1,2 metro.se x = 1,2 m

° = ⇒ = ⇒ =x xxsen 60

23

2 23

a largura do tampo da mesa está representada na figura ao lado por x + y. supondo o choque

da bola com o lado BC , perfeitamente elástico, os ângulos PTB DTCˆ e ˆ são congruentes.

° = ⇒ = ⇒ =

° = ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ = + ⇒⇒ = ⋅ ⇒ =

xx x

yy y

x y L

L L

tg 601,5 1,5

30,5 3 m

tg 602,7 2,7

30,9 3 m

largura 0,5 3 0,9 3

1,4 1,73 2,422 m

A B

D

E

X

C

2

60º 45º

75º

75º

2,7 m

1,2 m1,5 m

T

C

y

x

D

AB P

60º

60º

2,51,5

30º

30º xy

° = ⇒ = ⇒ =

° = ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ = + ⇒ = +

302 5

12 2 5

54

301 5

32 1 5

3 34

54

3 34

5 3 34

y yy

x xx

h x y h h

sen, ,

cos, ,

m

1,21,5

α

α ⇒ αcos1,21,5

cos45

= =

se α ⇒ αcos45

sen35

= = (triângulo-retângulo 3 − 4 − 5)

2,5y

α

⇒ ⇒sen a =y

2,535

=y

2,5y = 1,5 m

então: = + ⇒ = + ⇒ =1 2 1 5 2 7h x y h h, , , m

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