Física a

nik

kyto

k /

Shu

tter

Sto

ck

Física a aula 4

4 poliSaber

412-

2

O deslocamento escalar (∆s) do móvel entre dois instantes é dado pela área do gráfico projetada no eixo t; assim, entre os instantes t0 = 0 e t:

v

0 t

A

t

v

v0

∆ =s AN

Observação: Esta propriedade é válida para qualquer tipo de movimento, não apenas para o MUV.

exercícios

1. (Unicamp-SP) A demanda por trens de alta velocidade tem crescido em todo o mundo. Uma preocupação importante no projeto desses trens é o conforto dos passageiros durante a aceleração. Sendo assim, considere que, em uma viagem de trem de alta velocidade, a aceleração experimentada pelos passageiros foi limitada a amáx. = 0,09 g, onde g = 10 m/s2 é a aceleração da gravidade. Se o trem acelera a partir do repouso com aceleração constante igual a amáx., a distância mínima percorrida pelo trem para atingir uma velocidade de 1.080 km/h corresponde a:

a) 10 km b) 20 km c) 50 km d) 100 km

2. Um móvel desce uma rampa com aceleração constante. Num determinado instante, sua velocidade é de 20 m/s e, 5 s depois, sua velocidade é de 40 m/s. Determine:

a) a aceleração escalar do móvel;

40 205

4 2= ∆∆

⇒ = − ⇒ =avt

a a m/s

b) a distância percorrida pelo móvel nesse intervalo de tempo.para um corpo em Muv:

( )∆ =

+⋅ = + ⋅ ⇒ ∆ =

240 20

25 1500s

v vt s

( )m

3. Um veículo viaja a uma velocidade de 72 km/h, em uma estrada reta e horizontal, quando o motorista aciona o freio, imprimindo ao veículo uma desaceleração constante à razão de 4 m/s a cada segundo. Considerando-se o instante em que se inicia a desaceleração como t0 = 0, qual a distância percorrida pelo veículo do instante 1 s até o instante 3 s?

a) 128 mb) 72 mc) 48 md) 42 me) 24 m

trem em Muv:a = 0,09 ∙ 10 = 0,9 m/s2; v0 = 0 e v = 1.080 km/h = 300 m/s

v2 = 02v + 2 ∙ a ∙ ∆s ⇒ 3002 = 0 + 2 ∙ 0,9 ∙–∆s ⇒ ∆s = 50.000 m = 50 km

para um corpo em Muv, entre t1 = 1 s e t3 = 3 s (∆t = 2 s):

( )∆ =

+∆

23 1sv v

t. ; v = v0 + a ∙ t; com: v0 = 72 km/h = 20 m/s e a = −4 m/s2

para t1 = 1 s, temos: v1 = 20 − 4 ∙ 1 = 16 m/spara t3 = 3 s, temos: v3 = 20 − 4 ∙ 3 = 8 m/s

logo: ( )

∆ =+

⋅ =s m8 16

22 24

poliSaber 5

aula 4 Física a

412-

2

4. (Enem-MEC) Dois veículos que trafegam com velocidade constante em uma estrada, na mesma direção e sentido, devem manter entre si uma distância mínima. Isso porque o movimento de um veículo, até que ele pare totalmen-te, ocorre em duas etapas, a partir do momento em que o motorista detecta um problema que exige uma freada brusca. A primeira etapa é associada à distância que o veículo percorre entre o intervalo de tempo da detecção do problema e o acionamento dos freios. Já a segunda se relaciona com a distância que o automóvel percorre enquan-to os freios agem com desaceleração constante. Considerando a situação descrita, qual esboço gráfico representa a velocidade do automóvel em relação à distância percorrida até parar totalmente?

a)

Velo

cida

de (m

/s)

Distância (m)

b)

Velo

cida

de (m

/s)

Distância (m)

c)

Velo

cida

de (m

/s)

Distância (m)

d)

Velo

cida

de (m

/s)

Distância (m)

e)

Velo

cida

de (m

/s)

Distância (m)

estudo orientado

exercícios

1. (Unicamp-SP) O semáforo é um dos recursos utilizados para organizar o tráfego de veículos e de pedestres nas grandes cidades. Considere que um carro trafega em um trecho de uma via retilínea, em que temos 3 semáforos. O gráfico ao lado mostra a velocidade do carro, em função do tempo, ao passar por esse trecho em que o carro teve que parar nos três semáforos. A distância entre o primeiro e o terceiro semáforo é de:

a) 330 mb) 440 mc) 150 md) 180 m

na primeira etapa, o veículo desenvolve-se uniformemente logo o gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas. essa primeira etapa está corretamente representada nos gráficos das alternativas b e d.na segunda etapa, o veículo desacelera uniformemente até o repouso, porém a relação entre a velocidade e a distância percorrida (neste caso o deslocamento escalar) não é uma relação linear, pode ser observado pela equação de torricelli; assim, o gráfico v × d não é uma reta, o que exclui o gráfico da alternativa b, portanto, o gráfico correto é o da alternativa d.

Tempo (s)

Velo

cida

de (m

/s)

00

2

4

6

8

10

12

14

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

poliSaber 11

aula 5 Física a

412-

2

3. Em um planeta hipotético, sem atmosfera, onde a aceleração da gravidade vale 8 m/s2, um corpo foi arremessado verticalmente para cima, atingindo altura máxima de 25 m.

a) Determine a velocidade inicial do corpo. Neste lançamento com a trajetória orientada para cima: a = −g = −8 m/s2 e ∆s = 25 m até o ponto de altura máxima, onde: v = 0

Assim: = + ∆ ⇒ = + ⋅ − ⋅ ⇒ = ⇒ =v v a s v v v2 · 0 2 ( 8) 25 400 20 m/s202 2

02

02

0

b) Calcule o intervalo de tempo que o corpo leva para retornar ao ponto de arremesso. O tempo (T) para que o corpo retorne ao ponto de lançamento é o dobro do tempo de subida (ts), tempo que ele

leva para atingir a altura máxima (v = 0): = + ⇒ = − ⇒ = ⇒ =v v at t t T0 20 8 2,5 s 5,0 s0 s s

exercícios

1. (Unicamp-SP) Recentemente, uma equipe de astrônomos afirmou ter identificado uma estrela com dimensões comparáveis às da Terra, composta predominantemente de diamante. Por ser muito frio, o astro, possivelmente uma estrela anã branca, teria tido o carbono de sua composição cristalizado em forma de um diamante pratica-mente do tamanho da Terra.Considerando que a massa e as dimensões dessa estrela são comparáveis às da Terra, espera-se que a aceleração da gravidade que atua em corpos próximos à superfície de ambos os astros seja constante e de valor não muito diferente. Suponha que um corpo abandonado, a partir do repouso, de uma altura h = 54 m da superfície da estrela, apresente um tempo de queda t = 3,0 s. Desta forma, pode-se afirmar que a aceleração da gravidade na estrela é de:

a) 8,0 m/s2

b) 10 m/s2

c) 12 m/s2

d) 18 m/s2

2. (Fuvest-SP) A figura representa o gráfico da posição em função do tempo do movimento de um corpo lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial v0, na superfície de um planeta.

10

8

6

4

2

0 1 2 3Tempo (s)

Posi

ção

(m)

4 5 6

a) Qual o valor da aceleração da gravidade na superfície do planeta?

b) Qual o valor da velocidade inicial v0?

Do Muv: ∆ = ⋅ + ⋅02s v t

at

2

na queda livre do corpo: v0 = 0; ∆s = 54 m e t = 3 s

assim: = ⋅ ⇒ =54 2 2gg

2(3) 12 m/s

Do gráfico: tS = 3 s e hmáx. = 9 mem um lançamento vertical para cima:

= ⇒ = ⇒ = ⋅

=⋅

⇒ =⋅

⇒ = ⋅

30 00

02

02

02

tvg

vg

v g

hvg

vg

v g

3 (i)

29

218 (ii)máx

S

.

elevando-se (i) ao quadrado: = ⋅902 2v g (iii)

De (i) = (iii), temos: ⋅ = ⋅ ⇒ =2 2g g g9 18 2 m/s

De (i), temos: = ⋅ =0v 3 2 6 m/s

Física a aula 5

12 poliSaber

412-

2

3. (Vunesp) O buriti é uma palmeira alta, comum no Brasil central e no sul da planície amazônica. Para avaliar a altura de uma dessas palmeiras, um pesquisador provoca a queda de alguns de seus frutos e cronometra o tempo em que ela ocorre, obtendo valores compreendidos entre 1,9 s e 2,1 s. Desprezando a resistência do ar exercida sobre os frutos em queda, determine as alturas máxima e mínima de onde eles caíram. Adote: g = 10 m/s2

4. Um balão sobe verticalmente, com velocidade constante, quando uma pequena esfera se desprende, a uma altura de 75 m, atingindo o solo 5 s depois. Determine:

a) a velocidade do balão;

b) a velocidade com que a esfera atinge o solo. Use: g = 10 m/s2

estudo orientado

exercícios

1. (Fuvest-SP) Um elevador sobe verticalmente com velocidade constante v0, e, em um dado instante de tempo t0, um parafuso desprende-se do teto. O gráfico que melhor representa, em função do tempo t, o módulo da velocidade v desse parafuso em relação ao chão do elevador é:

a)

t0

t

v

v0

0

b)

0t0

t

vv

0

c)

0t0

t

vv

0

d)

t0

t

v

v0

0

e)

0t0

t

vv

0

Note e adote: Os gráficos se referem ao movimento do parafuso antes que ele atinja o chão do elevador.

Do Muv: ∆ = ⋅ + ⋅02s v t

at

2

na queda livre do buriti: v0 = 0; ∆s = h e a = g = 10 m/s2

hmáx. para t = 2,1 s e hmín. para t = 1,9 s

∴ = ⋅ = = ⋅ =2 2h h102

(2,1) 22,05 m e102

(1,9) 18,05 mmáx. mín.

a velocidade do balão é a velocidade inicial da esfera, ou seja, no instante em que se desprende, assim: vbalão = v0 da esfera em Muv, a partir desse instante (t0 = 0).para o movimento da esfera:

∆ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = −0

2

0

2

0s v ta t

v v2

75 510 (5)

210 m/s

portanto: vbalão = 10 m/s para cima.

esfera em Muv, no instante t = 5 s:

= + ⋅ ⇒ = − + ⋅ ⇒ =0v v a t v v10 10 5 40 m/s

Física a aula 6

18 poliSaber

412-

2

Aceleração tangencial (

ta )Por ser tangencial à trajetória e, portanto, paralelo ao vetor velocidade, este componente da aceleração de um

corpo indica que o módulo da velocidade está variando, logo esta é a aceleração escalar do corpo, descrita nos capítulos anteriores.

O vetor aceleração tangencial apresenta as seguintes características:

a

intensidade: módulo da aceleração escalar

direção: tangencial à trajetória

sentido:o mesmo da velocidade, nos movimentos acelerados

oposto ao da velocidade, nos movimentos retardados

t

Observação: Para um movimento uniforme, a aceleração escalar nula, portanto tangencial, é nula, uma vez que o módulo da velocidade não varia.

Aceleração centrípeta (

ac )A palavra "centrípeta" significa para o centro; este componente também pode ser chamado por aceleração normal

ou ainda radial.Por ser normal à trajetória, portanto perpendicular ao vetor velocidade, esse componente da aceleração de um corpo

indica que a direção da velocidade está variando, ou seja, que o corpo descreve uma trajetória curva.O vetor aceleração centrípeta apresenta as seguintes características:

===

a

avr

v

rintensidade:

velocidade escalar

raio da trajetória

direção: normal à trajetória

sentido: apontando para o centro da trajetória

c

c

2

Observação: Para um movimento retilíneo, a aceleração centrípeta é nula, uma vez que a direção da velocidade não varia.

Assim, dada a soma vetorial de at

com ac

: a a at c= +

Em módulo: a a a2t2

c2= +

Observação: Veja o item "Soma de vetores" na seção Roda de Leitura.

exercícios

1. (Unifesp) A trajetória de uma partícula, representada na figura, é um arco de circunferência de raio r = 2,0 m, per-corrido com velocidade de módulo constante, v = 3,0 m/s.

v

O módulo da aceleração vetorial dessa partícula nesse trecho, em m/s2, é:a) zerob) 1,5c) 3,0d) 4,5e) impossível de ser calculado.

o movimento é uniforme, logo a aceleração é centrípeta:

= = =2

avR

3,02,0

4,5 m/sc

22

poliSaber 19

aula 6 Física a

412-

2

2. (Vunesp) Curvas com ligeiras inclinações em circuitos automobilísticos são indicadas para aumentar a segurança do carro a altas velocidades, como, por exemplo, no Talladega Superspeedway, um circuito utilizado para corridas promovidas pela NASCAR (National Association for Stock Car Auto Racing). Considere um carro como sendo um ponto material percorrendo uma pista circular, de centro C, inclinada de um ângulo e com raio R, constantes, como mostra a figura, que apresenta a frente do carro em um dos trechos da pista.

α

CRaio: R

Se a velocidade do carro tem módulo constante, é correto afirmar que o carro:a) não possui aceleração vetorial.b) possui aceleração com módulo variável, direção radial e no sentido para o ponto C.c) possui aceleração com módulo variável e tangente à trajetória circular.d) possui aceleração com módulo constante, direção radial e no sentido para o ponto C.e) possui aceleração com módulo constante e tangente à trajetória circular.

3. Na figura representa-se um corpo em movimento sobre uma trajetória curva, com os vetores velocidade v

e ace-leração a

e suas componentes, tangencial at

e centrípeta ac

.

v

aT

ac

a

Analisando a figura, podemos concluir que:a) o módulo da velocidade está aumentando.b) o módulo da velocidade está diminuindo.c) o movimento é uniforme.d) o movimento é necessariamente circular.e) o movimento é retilíneo.

4. Um corpo descreve movimento circular uniformemente variado, de raio igual a 4 m, a partir do repouso (t0 = 0), com aceleração escalar de 2 m/s2. Determine:

a) o módulo de sua aceleração tangencial;

b) o módulo de sua velocidade vetorial no instante 5 s;

c) o módulo de sua aceleração centrípeta nesse mesmo instante.

o carro descreve um Mcu, logo sua aceleração é centrípe-ta. como v = constante e o raio da curva também é cons-tante, o módulo dessa aceleração também é constante, tem direção radial (que passa pelo centro) e sentido para o centro (centrípeta).

para a velocidade e a aceleração tangencial em sentidos opostos, o movimento é desacelerado, portanto a velo-cidade está diminuindo em módulo e o componente da aceleração centrípeta não nula garante que o movimento é curvilíneo, mas não necessariamente circular.

at = aceleração escalar ⇒ at = 2 m/s2

v = v0 + at ∙ t ⇒ v = 0 + 2 ∙ 5 = 10 m/s

= = =2

avR

104

25 m/sc

22

poliSaber 25

aula 7 Física a

412-

2

Em um MCU para uma volta completa na trajetória: ∆s = 2 ∙ p–∙ R (perímetro da circunferência) e ∆t = T (um período)

Assim: vR

T2= ⋅ p ⋅

e como fT1= ⇒ v = 2 ∙ p–∙ R ∙ f

Velocidade angular (w) Outra forma para se equacionar um movimento circular uniforme é pelo uso de grandezas angulares que não dependem

do raio da circunferência. Assim, por analogia à definição da velocidade escalar (v), define-se a velocidade angular (w), que, por também ser constante, é dada pelo quociente entre o deslocamento e o intervalo de tempo, porém o desloca-mento é angular (∆θ). Matematicamente:

w =∆θ∆t

No SI, o deslocamento angular ∆θ é medido em radianos (rad) e o intervalo de tempo ∆t em segundos (s), logo: [ ]w =rads

Assim, para uma volta completa na trajetória: ∆θ = 2 ∙ p rad em um ∆t = T (um período)

Portanto: w =⋅ pT

2 e como f

T1= ⇒ w–= 2 ∙ p–∙ f

Relação escalar/angularUsando-se os deslocamentos escalar e angular, correspondentes a uma volta na trajetória: ∆s = 2 ∙ p–∙ R e ∆θ = 2p–rad,

conclui-se que ∆s = ∆θ–∙ R, necessariamente com ∆θ expresso em radianos.Da mesma forma, para a relação entre as velocidades:v = 2 ∙ p–∙ R ∙ f e w–= 2 ∙ p–∙ f, logo: v = w–∙ R Para a aceleração centrípeta:

=avRc

2

e = w ⋅v R, então: = =w ⋅

⇒avR

RRc

2 2 2

ac = w2 · R

exercícios

1. (Unicamp-SP) Anemômetros são instrumentos usados para medir a velocidade do vento. A sua construção mais conhecida é a proposta por Robinson em 1846, que consiste em um rotor com quatro conchas hemisféricas presas por hastes, conforme figura ao lado. Em um anemômetro de Robinson ideal, a velocidade do vento é dada pela velocidade linear das conchas. Um anemômetro em que a distância entre as conchas e o centro de rotação é r = 25 cm, em um dia cuja velocidade do vento é v = 18 km/h, teria uma frequência de rotação de:

a) 3 rpmb) 200 rpmc) 720 rpmd) 1.200 rpm

Se necessário, considere p 3.

para um Mcu: = ⋅ p ⋅ ⋅v r f2

com: v = 18 km/h = 5 m/s; r = 25 cm = 14

m, logo:

= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = = ⋅ =f f5 2 314

103

hz103

60 rpm 200 rpm

Física a aula 7

26 poliSaber

412-

2

2. (UFAM) O Big Ben, ao contrário do que muitos pen-sam, não é o famoso relógio do Parlamento inglês, nem tampouco sua torre. É o nome do sino, que pesa 13 toneladas.

<http://emundo.files.wordpress.com/2009/01/big-ben2.jpg>.

acesso em: 21 out. 2009.

O nome do relógio é Tower Clock, e é muito conhe-cido pela sua precisão e tamanho. O ponteiro dos minutos mede 3,4 m (medido do centro do relógio até a extremidade do ponteiro).Ao se deslocar 42 minutos, a distância percorrida pela extremidade do ponteiro dos minutos deste re-lógio é aproximadamente: (Considere p = 3,14.)

a) 11 m b) 12 m c) 15 m d) 19 m e) 21 m

3. (Fuvest-SP) A Estação Espacial Internacional mantém atualmente uma órbita circular em torno da Terra, de tal forma que permanece sempre em um plano, normal a uma direção fixa no espaço. Esse plano contém o centro da Terra e faz um ângulo de 40° com o eixo de rotação da Terra. Em um certo momento, a Estação passa sobre Macapá, que se encontra na linha do Equador. Depois de uma volta completa em sua órbita, a Estação passará nova-mente sobre o Equador em um ponto que está a uma distância de Macapá de, aproximadamente:

em 60 min o ponteiro percorre uma volta, e sua extremidade descreve um deslocamento:

= ⋅ p ⋅ = ⋅ ⋅ =C r2 2 3,14 3,4 21,352 m; em 42 min seu deslocamento será:

= ⋅ = ≅D21,352 42

6014,95 m 15 m

Eixo de rotação da Terra

Plano deórbita daEstação

N

Equador

S

Macapá

40o

Dados da Estação:Período aproximado: 90 minutos Altura acima da Terra ≅ 350 kmDados da Terra: circunferência no Equador ≅ 40.000 km

a) zero kmb) 500 kmc) 1.000 km

d) 2.500 kme) 5.000 km

4. (Vunesp) Um pequeno motor a pilha é utilizado para movimentar um carrinho de brinquedo. Um sistema de engrenagens transforma a velocidade de rotação desse motor na velocidade de rotação adequada às rodas do carrinho. Esse sistema é formado por qua-tro engrenagens, A, B, C e D, sendo que A está presa ao eixo do motor, B e C estão presas a um segundo eixo e D a um terceiro eixo, no qual também estão presas duas das quatro rodas do carrinho.

A

Motor

fM

C

B D

fR

Nessas condições, quando o motor girar com fre-quência fM, as duas rodas do carrinho girarão com frequência fR. Sabendo que as engrenagens A e C possuem 8 dentes, que as engrenagens B e D pos-suem 24 dentes, que não há escorregamento entre elas e que fM = 13,5 Hz, é correto afirmar que fR, em Hz, é igual a:

a) 1,5b) 3,0c) 2,0 d) 1,0e) 2,5

na transmissão de M ∙ C ⇒ f1 ∙ r1 = f2 ∙ r2, porém como o número de dentes de uma engrenagem é proporcional ao seu raio, aplica-se a mesma relação entre frequência e número de dentes, ou seja: f1 ∙ n1 = f2 ∙ n2

nas condições descritas: fA = fM = 13,5 hz

na transmissão entre A e B: fA ∙ nA = fB ∙ nB ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =f f ff

8 243B BMM

na sequência: fC = fB, pois B e C estão acopladas ao mesmo eixo: =ff3CM

na transmissão entre C e D:

fC ∙ nC = fD ∙ nD ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = =⋅

= = =f f ff f

mf

8 243

33 9

13,59

1,5 hzC D DC M

3. tanto a rotação da terra quanto a translação da estação, em relação ao centro da terra, são Mcu, assim seus deslocamentos e os respectivos intervalos de tempo são diretamente proporcionais. Macapá realiza um deslocamento de aproximadamente 40.000 km em 24 h; logo, em 1,5 h (90 min), realizará um deslocamento de: 40.000 ∙ 1,5 : 24 ≅ 2.500 km