Uma isometria uma transformao geomtrica que preserva a distncia entre pontos, isto , a figura inicial e a sua transformada so congruentes.

Figura inicial (objecto)

Figura transformada (imagem)

Figura inicial (objecto)

Figura transformada (imagem)

uma isometria.

No uma isometria.

1. TranslaoUma translao uma isometria em que a imagem de um objecto se pode obter por um movimento horizontal e outro vertical. Estes movimentos podem ser descritos por nmeros. Os nmeros de unidade de medida podem ser substitudos por um vector que normalmente se representa por uma letraminscula com uma seta por cima ( u , v , w ). F E u u D A C u B u F E

u A u

D

C B

Propriedades da translao

Um segmento de recta transformado num segmento de recta paralelo e com o mesmo comprimento.Uma recta ou uma semi-recta transformada numa recta ou numa semi-recta paralelas, respectivamente. Um ngulo transformado num ngulo geometricamente igual e com o mesmo sentido.

2. ReflexoDada uma recta r (eixo de reflexo), d-se o nome de reflexo de eixo r isometria que transforma os pontos de r ou eixo r em si prprios e que, a cada ponto P no pertencente a r , faz corresponder um ponto P tal que o eixo r a mediatriz do segmento de recta [PP].

Q

r

Q'

[ [d d

O

P

P'

O'

Propriedades das reflexes Um segmento de recta transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento. Uma recta e uma semi-recta so transformadas numa recta e numa semi-recta respectivamente. Um ngulo orientado transformado num ngulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso. Qualquer ponto do eixo de reflexo transforma-se em si prprio. A distncia de um ponto original ao eixo de reflexo igual distncia da imagem desse ponto ao eixo.Q

r

Q'

[ [d d

O

P

P'

O'

3. RotaoDado um ponto O, centro de rotao, e a amplitude , chama-se rotao de centro O e amplitude isometria que a um ponto P faz corresponder um ponto P, tal que: a distncia de O a P igual distncia de O a P (imagem de P); a amplitude do ngulo orientado definido por P, O, P igual a , ou seja, OP = OP e PP = .P

O P

C

Ax Cx Bx Ox

Desenhar a figura transformada da figura dada por uma rotao de centro O e amplitude -900 . 1.o Desenham-se [OA], [OB], e [OC] . 2. o Desenham-se os arcos de circunferncia ou circunferncias de centro O e raios OA , OC , e OB . 3. o Com a ajuda do transferidor medem-se os ngulos de modo que : AA=900 ; BB=900 ; CC=900 . 4. o Desenhar o tringulo [ABC].

A

B

Propriedades da rotao Um segmento de recta transformado num segmento de

recta com o mesmo comprimento. Um ngulo transformado num ngulo com a mesma amplitude e com o mesmo sentido.A

C

A Cx Bx Ox

B

Uma recta ou uma semi-recta so transformadas numa recta ou numa semi-recta respectivamente. O centro de rotao o nico ponto que se mantm fixo se o ngulo da

rotao no for um mltiplo de 360o

4. Reflexo deslizanteReflexo deslizante uma isometria resultante da composio de uma reflexo de eixo r com uma translao cujo vector (no nulo) paralelo a r .

Q

r

Q Q

[ [d d

O

P

P P

O O

uA

O tringulo [OPQ] uma reflexo deslizante do tringulo [OPQ].

A

Propriedades da reflexo deslizante No existem pontos invariantes, pois mesmo os pontos do que pertencem ao eixo de reflexo continuam a pertencerlhe mas so deslocados pelo vector. Um segmento de recta transformado noutro segmento de recta, reflectido pelo eixo e deslocado pelo vector.

A

Um ngulos orientado transformado num ngulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso. Uma recta e uma semi-recta so transformadas numa recta

e numa semi-recta respectivamente. A distncia de um ponto ao eixo igual distncia da imagem desse ponto ao eixo.A

Propriedades das isometriasEm qualquer isometria: Uma isometria do plano

necessariamente uma translao, uma reflexo, uma rotao ou uma reflexo deslizante

Uma recta transformada numa recta. semi-recta.

Uma semi-recta transformada numa Um segmento de recta transformado

num segmento de recta com o mesmo

comprimento. Um ngulo transformado num ngulo

com a mesma amplitude.

SimetriasQuando a imagem de uma figura, atravs de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, ento a figura tem simetria.

1. Simetrias de reflexoUma figura tem simetria de reflexo se a sua transformada por uma reflexo a prpria figura.

e5

e1

e4 e3

e2

Esta figura tem cinco simetrias de reflexo.

2. Simetrias de rotaoOx Uma figura tem uma simetria de rotao se a sua transformada por uma rotao, distinta da identidade, a prpria figura

Ox

Ox

Ox

Ox

Rotao de centro O e medida de amplitude 900.

Rotao de centro O e medida de amplitude 1800 .

Rotao de centro O e medida de amplitude 2700 .

Rotao de centro O e medida de amplitude 3600 .

A figura tem quatro simetrias de rotao de centro O e medida de amplitude 900 , 1800 , 2700 e 3600 .

RosceasUma roscea e uma figura plana com as seguintes caractersticas: Possui um numero finito de simetrias de rotao ou de reflexo. Todas as rotaes que deixam a figura invariante esto centradas num mesmo ponto O. Todas as simetrias de reflexo esto associadas a uma recta que contem o ponto O.

Simetrias de rotao e simetrias de reflexo

7 simetrias de rotao 7 simetrias de reflexo

6 simetrias de rotao 0 simetrias de reflexo

12 simetrias de rotao 12 simetrias de reflexo

5 simetrias de rotao 0 simetrias de reflexo

8 simetrias de rotao 0 simetrias de reflexo

3 simetrias de rotao 3 simetrias de reflexo

FrisosUm friso e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translao. Os vectores associados a essas translaes possuem todos a mesma direco e so mltiplos inteiros de um dado vector u no nulo. Nota: As restantes simetrias da figura podem ser rotaes de ngulo 180, reflexes ou reflexes deslizantes relativamente a uma recta paralela a u

Simbologia(para frisos cuja recta fixa para todas as simetrias horizontal)

(A) O primeiro smbolo sempre um p ; (B) O segundo smbolo : a) 1 o friso no tem reflexo de eixo vertical b) m o friso tem reflexo de eixo vertical (C) O terceiro smbolo : a) m o friso tem reflexo de eixo horizontal b) a o friso tem reflexo deslizante c) 1 - no se verifica nem a) nem b). (D) O quarto smbolo : a) 2 existe rotao (meia-volta) b) 1 no existe rotao

Existe uma reflexo de eixo vertical? Sim Existe uma reflexo de eixo horizontal?

No Existe uma meia-volta?Sim

pma2 Reflexo deslizante Reflexo de eixo vertical Rotao

Sete tipos de frisos

1 - Gerado por translaes

Sete tipos de frisos

2 - Gerado por translao e reflexo de eixo horizontal

Sete tipos de frisos

3 - Gerado por translao ereflexo de eixo vertical

Sete tipos de frisos

4 - Gerado por translao, reflexo de eixo horizontal, reflexo deeixo vertical e rotao de ordem 2 (meia-volta)

Sete tipos de frisos

5 - Gerado por translao e rotao de 1800

Sete tipos de frisos

6 - Gerado por translao e reflexo deslizante

Sete tipos de frisos

7 - Gerado por translao, reflexo de eixo vertical,reflexo deslizante e rotao.

PadroUm padro e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translao em mais do que uma direco. Nota: Para alm de translaes, um padro pode ser invariante por reflexes, rotaes e reflexes deslizantes.

Tipos de padres

Gerado por translaes e reflexes deslizantes

Tipos de padres