integraÇÃo um estudo introdutóriojulio.tomio/calculo 1/mat... · 2016. 11. 22. · abrangendo...

IFSC / Integrais Indefinidas Prof. Júlio César TOMIO

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Derivada

Primitiva ou Antiderivada

INTEGRAÇÃO – Um Estudo Introdutório

Introdução: Veja o processo a seguir:

252)( 2 xxxF

derivação

54)( xxf [ sendo )()( xfxF ]

54)( xxf

integração

?)( xF

Podemos dizer em “palavras simples” que:

A integração [do tipo indefinida] representa uma transformação inversa da derivação.

A INTEGRAL INDEFINIDA:

Para se calcular a antiderivada [ou primitiva] de uma função utilizamos:

cxFdxxf )()( Onde: sinal [símbolo] de integração indefinida

f‟(x) função integrando

F(x) função integrada [primitiva ou antiderivada]

dx operador que indica a variável de integração [x]

c constante de integração

A primitiva de 54)( xxf ficaria então “simbolizada” na forma: dxx )54(

Para realizarmos o processo de integração, dispomos de algumas “regras”, das quais, as duas mais “simples”

são:

cxdx e

cx

dxx1

1

1 ecom

Assim como na derivação, a integração [indefinida] também usufrui da propriedade da linearidade. Assim:

i) dxxfkdxxfk )()(

ii) dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

De forma mais sintética e abrangente, podemos escrever: dxxgdxxfkdxxgxfk )()()()(

Destacamos ainda que: )()( xfdxxfdx

d

Ou seja, a derivada da integral de uma dada função )(xf é a própria função )(xf .


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Assim, a integral dxx )54(

é:

dxx )54( = dxx4 + dx5

= cxxcxxdxdxx 525

2

14.5.4 22

Note que todas as funções:

1452)( 2

1 xxxF

852)( 2

2 xxxF

352)( 2

3 xxxF

xxxF 52)( 2

4

Isso justifica a existência da constante de integração “c” na transformação em questão [integral indefinida], pois para uma determinada função, existem infinitas primitivas que a satisfazem. Perceba que, se não tivermos nenhuma informação adicional, não poderemos dizer com exatidão qual a função

que originou a derivada 54)( xxf , por exemplo.

Observação: É comum a omissão do símbolo [sinal] de multiplicação. Veja: dxxdxx 33 14).(.14

Exemplos:

a) cedxedxe xxx 10.1010

b) cxxcxx

dxdxxdxdxxdxx 553

3.5.353)53( 33

222

c) cxxcxx

dxxdxxdxx x

25

253434 32

26

510.6.10]610[

d) cesendeddedde 2.2cos2cos)2(cos

EXERCÍCIOS:

1) Encontre a antiderivada mais geral das funções integrando-as, e verifique suas respostas, diferenciando-as.

a) 3821)( 2 xxxf b) 12514 36 xxxy c)

4/34/1 75)( xxxf

d)

2/14/15)( xxxg e) 316)( xxf f) 3 44 3 7)( aaaf

g) 4133

5)( 25 uuuf h)

9

10)(

mmf i)

2

3

5

61)(

48

vvvf

j) xx

xxg32

3)(3 k)

21

)(

tttf

ANTES DE RESOLVER O EXERCÍCIO ACIMA, OBSERVE AS DICAS DADAS A SEGUIR:

Para refletir: Ao término do jogo, o rei e o peão voltam para a mesma caixa. [Provérbio italiano]

têm suas derivadas iguais a: 54)( xxf [ sendo )()( xfxF ]


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Em funções, como a proposta em [j], devemos fazer uma “preparação” antes da integração. Veja:

dxxxxdxxx

xdxxx

xI

)323(

13

123

323 2/132/1

2/13

2/1

3

E assim:

dxxdxxdxxdxxxxdx

xxxI 2/132/12/132/1

3323)323(

323

Em funções, como a proposta em [k], devemos fazer uma “preparação” antes da integração. Veja:

dttdtdttdtttdt

ttdt

ttttdt

tt 2222

2

2

2

2

2

2)2(1

211

21

2) Resolva as integrais apresentadas a seguir:

a) dss

ss

22

b)

dxx

xx

6

63 245 c)

dA

A

AA

2

24 5

d) dxx

xx

4

5 52 e) du

u

uu

2

2 3 f) dx

x

xx

52 69

ANTES DE RESOLVER O EXERCÍCIO ACIMA, OBSERVE A DICA DADA A SEGUIR:

Em funções, como a proposta em [b], devemos fazer uma “preparação” antes da integração. Veja:

dx

x

x

x

x

xdx

x

x

x

x

xdx

x

xxI

6

6

6

3

66

6

6

3

66

63

241

5245245

E assim:

dxdxxdxxdxxxdxxxI 245)245(])1.[245( 3636636

3) Considerando que cxFdxxf )()( , determine o valor da constante de integração para cada caso:

a) dxx )143( com 7)0( F b) dyy )143( com 14)2( F

c) dxxx )6( 3 com 4)1( F d) dxx

x

2

3/1 1

9

4 com 3/1)3( F

4) Resolva as integrais indefinidas apresentadas a seguir [observe o operador diferencial]:

a) drr 2 b) daam . c) dxy14

d) dttav )( 0 e) dxzyxyy )2( 2 f) dT

V

nRT


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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

1a) cxxx 347 23 1b) cxxxx 247

4

52

1c) cxx 4/74/5 44 1d) cxx 2/14/3 23

20

ou cxx 23

20 4 3

1e) cx 3/412

ou cx 3 412 ou cxx 312 1f) caa 3/74/7 37

4

ou caa 3 74 7 37

4

1g) cuuu 41312

5 14 1h) cm 8

4

5

ou c

m

84

5

1i) cvvv

2

3

5

2

7

1 37 1j) c

xxx

2

2/12/3 162

1k) ct

tt 1

23

1 3

2a) css 22

1 2 2b) c

xxx

52

122

2c) cA

AA 5

3

1 3 2d) cxx

x 23

2 1

3

5

2

1

2e) cu

u 6

2f) cxx 2/112/5

11

12

5

18 ou cxx )1033(

55

6 32/5

3a) 7c 3b) 48c

3c) 0c 3d) 3 3c

4a) cr 2 4b) ca

m 2

2

4c) cxy 14 4d) cta

tv 2

2

0

4e) czyxyyx )( 2 4f) c

T

V

nR

2

2

REGRAS DE INTEGRAÇÃO

Diversas funções, como por exemplo: x

xf1

)( , x

xg 2)( ,

2cos

)(sen

f , )ln(xy entre muitas outras,

não são integráveis através das duas regras básicas vistas até aqui. Além disso, o processo de “deduzir” a

primitiva através das regras de derivação pode ser consideravelmente complicado para funções como essas.

Pensando nisso, através de procedimentos algébricos [como a “inversão” de fórmulas de derivadas] foi possível

criar uma TABELA que possibilitasse integrar diversos tipos de funções mais rapidamente, visando facilitar a

resolução de problemas científicos que envolvessem tais funções.

As integrais, que podemos encontrar [calcular] diretamente pela tabela, chamamos de INTEGRAIS DIRETAS

ou INTEGRAIS IMEDIATAS.

Apresentamos uma “Tabela de Integrais Imediatas” a seguir.


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TABELA DE INTEGRAIS Considere: “a” e “k” como constantes e “c” como constante de integração

Propriedade da Linearidade: dxxgdxxfkdxxgxfk )()()()(

Fórmulas:

Nota: Com uma rápida pesquisa em livros ou mesmo na internet, você encontrará tabelas mais “amplas”,

abrangendo uma gama maior [e mais específica] de funções com as suas respectivas integrais imediatas.

Entretanto para nosso estudo, a tabela acima é mais que suficiente, pois uma infinidade de funções terá sua

integral apresentada na tabela acima, fazendo uso conveniente de alguns artifícios e propriedades algébricas.

Veremos isso a seguir.

cxa

xa

axa

dx

ca

xarctg

axa

dx

cxarctgx

dx

caa

dxa

cea

dxe

caxa

dxax

caxa

dxax

caxa

dxaxtg

caxa

dxaxtg

caxtga

dxax

caxtga

dxax

caxsena

dxax

caxa

dxaxsen

cxdxx

ecxdxx

cxdx

xx

axax

ln 2

1

1

1

ln

1

1

sen ln 1

cotg

cosecln 1

cotg

cosln 1

secln 1

co 1

cosec

1

sec

1

cos

cos1

ln1

1 ,1

1

22

22

2

2

2

1

cxdxtgxx

cxhdxxh

cxhtgdxxh

cxhsendxxh

cxhdxxhsen

c x tg x x

dx

cx

dx

cxxsenx

dx

cx

tgsenx

dx

ca

xarcsen

axa

xdxxa

caxxa

axx

dxax

cxxdxx

cxtgxdxx

cxxxdxx

caxxax

dx

ca

xarcsen

xa

dx

cax

ax

aax

dx

sec sec

cotg cosec

sec

cos

cos

sec lncos

4xtg ln

cos

cotg cosec ln

2 ln

2

2

ln2

2

cotg cosec ln cosec

sec ln sec

ln ln

ln

ln 2

1

2

2

22222

222

2222

22

22

22

22


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EXERCÍCIOS [Integrais Indefinidas Imediatas]:

1) Encontre as primitivas das integrais apresentadas a seguir.

a) dx14 f) dx

x2

1 k)

dxx 9

122

b) dxextg x ]25)3(9[ 5 g)

dxxsen

x24

5

3 l) dxx218

c) dxx

1 h)

dmmm )cos4( 3 m) dx

xsen )(

5

d) dxe314 i) dx

x 1

12

n) dxx 162 2

e) dvvv )143( 3 j)

92x

dx o) duusenh )(

2) Mostre que: dxxdxx

ln22

ln 4

3) Resolva as integrais dadas abaixo, encontrando suas primitivas.

a) dxxx)2(

c)

dx

xx

62 e)

dxxx ]4cos8[

3 2

b)

dsen

7

d)

dA

A

A2

2 143 f)

dxx

x

2

2 )1(3

1

4) [THOMAS / Adaptada] Galileu desenvolveu uma fórmula para calcular a velocidade de um corpo em queda

livre, rolando bolas [a partir do repouso] sobre pranchas de inclinação variável, quando procurava por uma

fórmula-limite para prever o comportamento da bola na prancha na vertical e caindo livremente. Veja a parte (a)

da figura a seguir. Ele descobriu que, para qualquer ângulo da prancha, a velocidade da bola em queda durante

t segundos era um múltiplo constante de t . Ou seja, a velocidade era dada por uma relação na forma tkv .

O valor da constante k depende da inclinação da prancha.

Usando uma notação moderna, a parte (b) da figura mostra o que os experimentos de Galileu permitiram

determinar que a velocidade da bola, com distância em metros e tempo em segundos, para qualquer ângulo e

com t segundos de rolagem era:

smtsenv /)(8,9


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Assim: [THOMAS, George B. Cálculo. v. 1. 10. ed. p. 163]

a) Qual é a equação para a velocidade da bola durante a queda livre?

b) Usando os dados anteriores, qual é a aceleração constante que um corpo em queda livre experimenta

quando está próximo à superfície da Terra?

c) Qual a equação para a posição da bola durante a queda livre? Para este caso, o que representa a constante

de integração “c” e qual o seu valor numérico?

5) [STEWART] A respiração é um ciclo completo e cíclico que começa pela inalação e acaba pela exalação, e isso

tudo leva cerca de 5 s. A taxa máxima de fluxo de ar para dentro dos pulmões é de cerca de 0,5 L/s. Isso explica,

em parte, por que a função:

5

2

2

1)(

tsentF

tem sido frequentemente usada para modelar a taxa de fluxo de ar para dentro dos pulmões. Use esse modelo

para encontrar o volume de ar inalado nos pulmões no instante “t”. [STEWART, James. Cálculo. v. 1. 5. ed. p. 419]

Para refletir: Não se torne o que te feriu. [Hofniel]


1a) cx 14 1b) cexx

55|3sec|ln3 1c) cx ||ln

1d) cxe 3

14 1e) cv

v

2

7

3ln

34

1f) cx ||ln2

1

1g) cxx )2cos(2||ln5

3 1h) cmsenm )(

4 1i) cxtgarc )(

1j) cx

tgarc

33

1 1k) c

x

x

3

3ln2

1l)

cxsenarcxx )(4142

1m) cx

tg

2ln5

1n)

cxxxx |16|ln161622

1o) cu )(cosh

3a) cxx 2/52/3

5

2

3

4 3b) c

7cos7

3c) cxx ||ln6

3

1 3

3d) cA

A 14

3 3e) cxxsen 3/5

5

3)4(2 3f) cxxtgarc ])([

3

1 3

4a) ]/[8,9 smtv 4b) 2

/8,9 sma

4c) ][9,42

mctS sendo que c representa a posição inicial 0S e que neste caso de queda livre, 00S .

5) ][5

2cos1

4

5)( LttV


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TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Muitas funções [em aplicações científicas e tecnológicas] se configuram de tal maneira que não estão contempladas na tabela de integrais imediatas, vista anteriormente. Para tanto, aplicaremos algumas técnicas que as “transformarão” em alguma das funções presentes na tabela em questão. Existe uma grande quantidade de técnicas aplicáveis. Vejamos algumas delas:

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Dada a integral dxxf )( , fazendo a substituição:

dxxgdu

xgu

)(

)( sendo )(xg “parte” de )(xf , chegamos

numa integral imediata, em muitos casos. Exemplos:

a) Calcule: dxxsenx 2.

Resolução:

Fazendo 2xu x

dx

du2 dxxdu 2

2

dudxx

Temos:

cuduusendu

usendxxxsendxxsenx )cos(2

1

2

1

2

22

cu )(cos2

1

Agora, “voltando” à variável x , encontramos:

cxdxxsenx 22 cos

2

1

b) Determine dxex x2

.

Resolução:

Fazendo 2xu x

dx

du2 dxxdu 2

2

dudxx

Temos: duedu

edxxedxex uuxx

2

1

2

22

ceu

2

ce

dxexx

xxu

2

2

22

c) Encontre: dxxxx )12.()322( 102.

Resolução:

Fazendo 322 2 xxu 24 xdx

du

dxxdu )12.(2 2

)12(du

dxx

Temos: cu

duudu

udxxxx112

1

2

1

2)12.()322(

111010102 c

u

22

11

Agora, “voltando” à variável x , temos:

cxxcxx

dxxxx

112

112102 )322(

22

1

22

)322()12.()322(


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d) Determine: 8)53( x

dx.

Resolução: Fazendo 53 xu 3dx

du

dxdu 3 3

dudx

Temos:

duuduu

du

udx

xx

dx 8

8888 3

11

3

1

3

1

)53(

1

)53(

cu

73

1 7

cu

21

7

Agora, “voltando” à variável x : cx

cx

x

dx

7

7

8 )53.(21

1

21

)53(

)53(

Observação: Analise cuidadosamente os exemplos apresentados e perceba que a regra da integração por

substituição corresponde à regra da cadeia para a derivação.

EXERCÍCIOS:

Resolva as integrais dadas a seguir pelo método da substituição.

01) dxxx 43 cos4 02) dxxsenx 32 03) dxxxxx )23.()7( 2523

04) dxxx 3/22 )2.(6 05) dxxx 2/143 )3.( 06) dxx

x

)cos(

07)

dxxsen

223

08) dtee tt 23/12 .)2( 09)

dte

et

t

4

10)

dxx

e x

2

/1 2 11) dxxxsen cos.4

12) dxx

xsen5cos

13) dxxx 2)3.(ln

3 14)

dxex x54 15) dxx )35(sec2

16) dx

x 2

7 17) dxxx 21. 18)

dx

xx ln1

1

19) dxxx 5 32 1. 20) dv

v

v23

2

)2( 21) dy

y

13

1

22) dxx

x

93

2

23) dxxx

3)1(

1 24) dtKtt 843 ).(

25) dxxsenx )14( 2

26) dxxx 1. 2 27)

32 2x

xdx

28) dxxx 23 52

29)

dxx

x1 30) dxe x

1

31) dxx .esen x

cos

32) dxxe x .

1


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01) cxsen 4 02) cx 3cos

3

1 03) c

xx

6

)7( 623

04) cx 3/52 )2(5

9 05) cx 2/34 )3(

6

1 06) cxsen )(2

07) cx

22cos

2

3 08) ce t 3/42 )2(

8

3 09) cet |4|ln

10) cx

e x 2

1

11) cxsen

5

)( 5

12) cx

4)(cos4

1

13) cx

3ln

3 14) c

e x

5

5

15) cxtg )35(5

1

16) cx |2|ln7 17) cx 32 )1(3

1 18) cx ln12

19) cx 5/63 )1(18

5 20) c

v

)2(3

13

21) cy 133

2

22) cx 93

2 3 23) c

x

2)1(

1 24) cKt 94 )(

36

1

25) cx )14cos(8

1 2 26) cx 32 )1(

3

1 27) cx 32

2

1 2

28) cx

3ln

3 52

29) cx 2/3)1(3

4 30) ce x 1

31) c e x cos 32) ce x 2

INTEGRAÇÃO POR PARTES

Já vimos que algumas funções não podem ser integradas por comparação imediata na tabela de integrais. Assim, nesses casos, aplicamos uma substituição conveniente [de variável] para realizar a integração. Entretanto, existem situações em que isso não será suficiente. Em muitos desses casos, poderemos integrar fazendo uso de uma técnica que chamamos de “integração por partes”. Vejamos: Vamos considerar uma função [composta] definida pelo produto de duas funções f(x) e g(x), sendo estas funções deriváveis no intervalo I. Através da regra de derivação do produto de funções, temos que:

)()()()()()( xgxfxgxfxgxf

)()()()()()( xfxgxgxfxgxf

Integrando os dois membros [lados] da expressão, temos:

][ )()()()( )()(

)()()()( )()(

dxxfxgxgxfdxxgxf

dxxfxgdxxgxfdxxgxf

Fazendo: dxxfduxfu )()( e dxxgdvxgv )()(

E substituindo em [] temos a “fórmula” para integrar por partes: duvvudvu


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Exemplos:

a) Calcule: dxex x

Resolução:

Fazendo xu dxdu

dxedv x dxedv x

xev

Temos: cxeceexdxeexdxex xxxxxx )1.(

b) Determine dxxsenx .

Resolução:

Fazendo xu dxdu

dxxsendv dxxsendv xv cos

Temos cxsenxxdxxxxdxxxxdxxsenx cos coscos coscos

c) Encontre: dxxx ln

Resolução:

Fazendo xu ln dxx

du1

dxxdv dxxdv cx

v 2

2

ou cxv 2

2

1

Agora então:

1

2

1

2

1)(ln ln 22

dxx

xxxdxxx

dxxxxdxxx 2

1ln

2

1 ln 2

cxxxdxxx 22

2

1

2

1ln

2

1 ln

cxxxdxxx 22

4

1ln

2

1 ln

cxxx

dxxx

4

ln2 ln

22

Assim: cxx

dxxx

4

)1ln2( ln

2

ou cxxdxxx

2

1ln

2

1 ln 2

Lembrete: duvvudvu


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Dicas para Integração por Partes:

i) Em integrais dos tipos: dxxxpdxsenxxpdxexp x cos)( , )( , )( , etc.

Fazemos:

dxntetranscendefunçãodv

polinômiouméxpu

] [

)(

ii) Em integrais dos tipos: dxxarcxpdxxsenarcxpdxxxp cos)(, )( , ln)( , etc.

Fazemos:

polinômiouméxpondedxxpdv

ntetranscendefunçãou

)()(

] [

Nota:

Existe ainda o acróstico “LIATE” que pode ser aplicado em boa parte dos casos. Veja:

u dv

L I A T E Logarítmicas Exponenciais Inversas de Trigonométricas Trigonométricas Algébricas [inclui as Polinomiais]

Detalhe: Você deve ter percebido que é muito importante neste processo que você seja capaz de identificar, com

clareza, as funções envolvidas. O que são funções transcendentes? E algébricas?

EXERCÍCIOS:

Resolva as integrais dadas pelo método da integração por partes.

01) dxex x

. 02) dxex x3. 03) dye

yy2

04) dxxx 3cos 05) dxxx ln. 06) dxx

x

ln

07) dxxx ln.2 08) dx

x

x2

ln 09) dxxsenx 2

10) dxxsenx )22(. 11) dxxsenx2

12) dxxx cos2

13) dxex x

.2 14)

21xe x dx 15) dxex x22 .

16) drer r 2/. 17) 3 cos 4x x dx 18) dsene 3.2

19) dxxx 24 ).(ln 20) dxex x23 . 21) 3

ln x dx

22) dxx)cos(ln 23) dxxsenx )ln(.cos

Observação: Os outros casos de integração por partes [que não foram mencionados nesta dica] requerem uma análise mais criteriosa.


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01) ceex xx ou cxe x )1.( 02) c

eex xx

93

. 33

ou cxe x

3

1

3

3

03) cye y

2

1

2

1 2 04) c

xxsenx

9

3cos

3

3

05) cxxx 2/32/3

9

4ln.

3

2 ou cxx

3

2ln.

3

2 2/3 06) cxxx 4ln.2

07) cxxx 33

9

1ln

3

1

ou cxx

3

1ln

3

1 3 08) cx

x

1ln ou c

x

x

ln1

09) cxsenxx

4

2

2

2cos 10) cxsenx

x )22(

4

1)22cos(

2

11) cxxsenxxx cos22cos2 12) cxsenxxxsenx 2cos22

13) cexeex xxx 222

ou cxxex )22( 2 14)

2x xe x e c

15) cexeex xxx

422

2222

16) cere rr 2/2/ 42

17) cxsenx

xxx

xsenx

432

34cos

128

34cos

16

34

4

23

18) cesene )3cos.(13

3)3.(

13

2 22

19)

25

2

5

ln2)(ln

5

25 x

xx

20) cexeexex xxxx

8

3

4

3

4

3

2

222223

21) cxxxxxxx 6||ln.6||ln.3||ln. 23 22) cxxsen

x lncosln

2

23) cxsenxsenxsen )ln(.

Leia o texto abaixo e pense a respeito...

Conta-se que numa pequena cidade do interior em tempos passados, um grupo de pessoas se divertia com um “idiota” da região. Um pobre coitado – pessoa simples – que vivia de pequenos biscates e ajuda dos vizinhos. Diariamente eles chamavam o rapaz ao bar onde se reuniam e ofereciam a ele a escolha entre duas moedas: uma grande de 400 réis e outra menor, de dois mil réis. Ele sempre escolhia a maior e menos valiosa, o que era motivo de risos para todos.

Certo dia, um dos membros do grupo chamou-o e lhe perguntou se ainda não havia percebido que a moeda maior valia menos. "Eu sei" – respondeu o não tão tolo assim – "ela vale cinco vezes menos, mas no dia que eu escolher a outra, a brincadeira acaba e não vou mais ganhar minha moeda".

Pode-se tirar várias conclusões dessa pequena narrativa:

- Primeiro: quem parece idiota, nem sempre é. - Segundo: (dito em forma de pergunta) quais eram os verdadeiros tolos da história? - Terceiro: se você for ganancioso, poderá acabar estragando sua fonte de renda. Mas a conclusão mais interessante, a meu ver, é a percepção de que podemos estar bem, mesmo quando os outros não têm uma boa opinião a nosso respeito. Portanto, o que importa não é o que pensam de nós, mas o que realmente somos...

Este material foi produzido com base no livro:

FLEMMING, Diva M.; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.

Para refletir: Procure novos ensinamentos com simplicidade, sem arrogância. [retirado de um biscoito da sorte chinês]


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Observação:

No caso ao lado, o método das frações parciais

propriamente dito, NÃO foi aplicado por que o

)]([)]([ xDgrxPgr , resultando numa divisão exata.

Observação:

No caso ao lado, o método das frações parciais

propriamente dito, também NÃO foi aplicado por que o

)]([)]([ xDgrxPgr . Após a execução da divisão [não

exata] dos polinômios, reescrevemos a integral que agora

possui regras [praticamente] imediatas na tabela.

INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS

Esta técnica é utilizada quando precisamos encontrar [a família de primitivas de] uma função que é dada por

uma função racional, isto é, pelo quociente de dois polinômios.

► Se )(

)()(

xD

xPxf onde, P e D são polinômios e o grau de P é MAIOR ou IGUAL ao grau de D:

CASO 1: A divisão )(

)(

xD

xP é exata [resto zero]. Assim: )(

)(

)(xQ

xD

xP

Exemplo:

Dividindo [pelo método da chave], temos:

0

)8422(

8422

2)421(

428843

23

23

234

23234

xxx

xxx

xxxxx

xxxxxxx

Então:

= cxx

dxx 22

)2(2

CASO 2: A divisão )(

)(

xD

xP não é exata [resto diferente de zero]. Assim:

)(

)()(

)(

)(

xD

xRxQ

xD

xP

Exemplo:

dx

x

xx

1

3

Dividindo [pelo método da chave], temos:

2

)22(

02

)(

2)(

100

2

2

223

23

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

Então:

dx

x

xx

1

3

=

cxx

xxdx

xxx |1|ln22

231

22

232

dx

xxx

xxxx

42

884323

234

dx

xxx

xxxx

42

884323

234

)]([)]([ xDgrxPgr ↳


Página 15 de 21

Lembrete:

))((2

xxxxacbxax

Sendo que x e x são as raízes da

equação 02

cbxax .

Nota:

Para este caso [1], podemos aplicar outro método conhecido

como Método de Heaviside ou Método do Encobrimento. Pesquise e procure saber mais!

► Se )(

)()(

xD

xPxf onde, P e D são polinômios e o grau de P é MENOR que o grau de D:

CASO 1: O denominador D(x) é um produto de fatores lineares distintos.

Sejam a, b, x„ e x„‟, números reais, com x„ ≠ x„‟. Então, existem números reais A e B, tais que:

D(x) com grau 2: )()())((

)(

xx

B

xx

A

xxxx

xP

Analogamente...

D(x) com grau 3: )()()())()((

)(

xx

C

xx

B

xx

A

xxxxxx

xP

Exemplo: dx

xx

x

6

52

1º passo: encontrar as raízes de D(x) para fatorá-lo. Neste caso são duas: x‟ e x‟‟.

232

51

2

2411062

xexxxxx

Assim temos que: )2)(3(62 xxxx

2º passo: substituir as raízes no “modelo” e encontrar os valores de A e B.

)2()3()2)(3(

5

x

B

x

A

xx

x

)2)(3(

)3()2(

)2)(3(

5

xx

xBxA

xx

x

)3()2(5 xBxAx

Substituindo 3x temos: )33()23()3(5 BA

BA 0515 3A

Substituindo 2x temos: )32()22()2(5 BA

BA 5010 2B

3º passo: calcular a integral.

dx

xx

x

6

52

=

cxxdxxx

|2|ln2|3|ln3)2(

2

)3(

3

)]([)]([ xDgrxPgr ↳


Página 16 de 21

CASO 2: O denominador D(x) é um produto de fatores lineares distintos, mas alguns deles são repetidos.

Sejam x„, x„‟, números reais, com x„ ≠ x„‟ e P(x) um polinômio cujo grau é menor que 3. Então, existem números

reais A, B e C, tais que:

212 )()()())((

)(

xx

C

xx

B

xx

A

xxxx

xP

Analogamente...

3213 )()()()())((

)(

xx

D

xx

C

xx

B

xx

A

xxxx

xP

Exemplo:

dx

xxx

xx

)96)(2(

312132

2

1º passo: encontrar as raízes de D(x). Neste caso são três: x‟, x‟‟ e x‟‟‟. Note que uma delas é x‟‟‟ = 2.

332

06

2

363660962

xexxxxx

Assim temos que: 22 )3()3)(3(96 xxxxx

2º passo: substituir as raízes no “modelo” e encontrar os valores de A, B e C.

22

2

)3()3()2()3)(2(

31213

x

C

x

B

x

A

xx

xx

2

2

2

2

)3)(2(

)2()3)(2()3(

)3)(2(

31213

xx

xCxxBxA

xx

xx

)2()3)(2()3(31213 22 xCxxBxAxx

Substituindo 3x temos: )23()33)(23()33(31)3(21)3(3 22 CBA

CBA 005

5C


CBA 0011

1A


CBA 26931

2B


dx

xxx

xx

)96)(2(

312132

2

= cx

xxdxxxx

)3(

5|3|ln2|2|ln

)3(

5

)3(

2

)2(

12


Página 17 de 21

Lembrete:

bnb a

n

a log.log

cbcb aaa loglog)(log

cbcb aaa loglog)/(log

CASO 3: O denominador D(x) contem fatores quadráticos irredutíveis, mas nenhum deles se repete.

Sejam b, c, x„, números reais e P(x) um polinômio cujo grau é menor que 3. Suponhamos ainda que cbxx 2

não admite raízes reais, isto é, Δ < 0. Então, existem números reais A, B e C, tais que:

cbxx

CBx

xx

A

cbxxxx

xP

22 )())((

)(

Exemplo: dxxx

xx

4

423

2

1º passo: encontrar as raízes de D(x) para fatorá-lo.

0)4( 2 xx 0)4(0 2 xex

0

2º passo: substituir a raiz no “modelo” e encontrar os valores de A, B e C.

4)4(

4222

2

x

CBx

x

A

xx

xx

)4(

))(()4(

)4(

422

2

2

2

xx

xCBxxA

xx

xx

))(()4(42 22 xCBxxAxx

CxBxAAxxx 222 442

ACxxBAxx 4)(42 22

Comparando os polinômios na igualdade acima, temos:

A44 1A BAxBAx 2)(2 22

1B

Cxx 1

1C


dxxx

xx

4

423

2

= cx

arctgxxdxxx

x

xdx

x

x

x

22

1|4|ln

2

1||ln

4

1

4

1

4

11 2

222

A solução pode ser escrita na forma:

dxxx

xx

4

423

2

= c

xarctgxx

22

1|4|ln

2

1||ln 2

= c

xarctgxx

22

1|4|ln||ln 2/12

dxxx

xx

4

423

2

= c

xarctgxx

22

14ln||ln 2

dxxx

xx

4

423

2

= c

xarctgxx

22

1)4(ln 2


Página 18 de 21

CASO 4: O denominador D(x) contem fatores quadráticos irredutíveis repetidos.

Sejam b, c, x„, números reais e P(x) um polinômio cujo grau é menor que 5. Suponhamos ainda que cbxx 2

não admite raízes reais, isto é, Δ < 0. Então, existem números reais A, B, C, D e E, tais que:

22222 )()())('(

)(

cbxx

EDx

cbxx

CBx

xx

A

cbxxxx

xP

Exemplo: dxxx

xxx

22

32

)1(

21

1º passo: encontrar as raízes de D(x) para fatorá-lo.

Já está fatorado, pois )1( 2 x não tem raízes reais!

2º passo: substituir a raiz no “modelo” e encontrar os valores de A, B, C, D e E.

22222

32

)1(1)1(

21

x

EDx

x

CBx

x

A

xx

xxx

22

222

22

32

)1(

))(())(1)(()1(

)1(

21

xx

xEDxxxCBxxA

xx

xxx

))(())(1)(()1(21 22232 xEDxxxCBxxAxxx

)()()()()12(21 23242432 xExDxxCxxBxxAxxx

ExDxCxCxBxBxAAxAxxxx 23242432 221

AxECxDBACxxBAxxx )()2()(12 23423

Comparando os polinômios na igualdade acima, temos:

33 Cxx

1C

ExECx 11)( 0E

A11

1A

0)(0 44 BAxBAx

1B

22)2(2 22 DBAxDBAx 1D


dxxx

xxx

22

32

)1(

21 = dx

x

x

xx

x

xdx

x

x

x

x

x

2222222 )1(1

1

1

1

)1(1

11

dxxx

xxx

22

32

)1(

21 = c

xxarctgxx

)1(2

1|1|ln

2

1||ln

2

2

dxxx

xxx

22

32

)1(

21 = c

xxarctg

x

x

)1(2

1

1ln

22


Página 19 de 21

EXERCÍCIOS:

Resolva as integrais pelo método de frações parciais.

a) dx

x

x

6 cxxR |6|ln6:

b)

dx

xxx

xx

)3)(2)(1(

432

cxx

xR

|3|ln

2

1ln

3

2:

c) dxxxx

xx

65

1228923

2

cxxxR |3|ln3|2|ln4||ln2:

d) dx

xx )1()5(

12

cxx

xR

)5(6

1

5

1ln

36

1:

e)

dx

xx

xx23

2

2

235 c

xxxR

1||ln2|2|ln3:

f) dxxx

xxx

103

20452

23

cxx

R 22

:2

g)

dx

xxx

x

6

123

cxxxR |2|ln10

1|3|ln

15

4||ln

6

1:

h) dx

xx )2(

22

cx

xR

2ln:

2

i)

j)

k)

l)

Para refletir: A vida é um eco. Se você não está gostando do que está recebendo, observe o que está emitindo. [Lair Ribeiro]

dx

x

x3

2

)1(

dx

xx

x23

4

2

8

dx

xx

x

)2()1(

132

2

dx

xx )4)(1(

12

cxxx

R

|1|ln

1

2

)1(2

1:

2

cxxx

xx

R )2ln(24

22

: 22

cxxx

R

|2|ln

9

11|1|ln

9

16

)1(3

2:

cx

arctgxxR

210

1)4ln(

10

1|1|ln

5

1: 2


Página 20 de 21

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

Resolva as integrais dadas abaixo pelo método mais adequado.

01) dxxx3 02) dtg.cos

03) dxx )12ln( 04) dttt ln.

05) dyey y2. 06) dx

x

xln

07) dx

x

x

12

2

08) dxexx xx 52 23

).69(

09) dxex x).1( 10)

dxx x5.

11)

dxxxx 2

123

12) dx

xsen

x

3

cos

13)

dtt

t 2)2( 14) dxmxx )(cos.2

15) dx

x 33

22

16)

dx

xx

xx23

3 139

17) 1/ 3

3 4x x dx 18)

dx

xx

xx

4

423

2


01) [D] cx 2/9

9

2 ou cxx 4

9

2 02) [D] c cos

03) [S] cxxx )12(2

1)12ln()12(

2

1

04) [P] cttt 2/32/3

9

4ln

3

2 ou ctt

3

2ln

3

2 2/3

05) [P] ceey yy 22

4

1.

2

1

06) [S] c

x

2

)(ln 2

ou cx 2ln2

1

07) [F]

cxtgarcx )( 08) [S] ce xx 523

3

09) [P] cex x . 10) [P]

cx xx

2)5(ln

5

5ln

5 ou c

xx

5ln

)15ln(52

11) [F] cxxx |2|ln6

1|1|ln

3

1||ln

2

1 12) [S] cxsen )3(ln

13) [S] ct 3)2(3

2

14) [P]

cmxsen

mmx

m

xmxsen

m

x )(

2)cos(

2)(

32

2

15) [D] cxtgarc )(3

2 16) [F]

cx

xxx |1|ln7

1||ln29


Página 21 de 21

17) [P] + [S] cxx )916()43(448

3 3/4 18) [F]

c

xarctgxx

22

1)4ln(

2

1||ln 2

Legenda [sugestão do método de resolução]: [D] Integração Direta (Imediata),

[S] Integração por Substituição,

[P] Integração por Partes e

[F] Integração por Frações parciais.

TÓPICO INFORMATIVO:

Neste material abordamos alguns métodos de resolução de integrais indefinidas. A resolução se deu através de:

- Integrais imediatas [obtidas diretamente da tabela de integrais] - Integração por substituição [de variável/função] - Integração por partes - Integração por frações parciais

Entretanto, existem outras técnicas de resolução para casos específicos. Podemos citar alguns casos, como a

integral dxxex

cos que é resolvida através da integração por partes, mas utilizando ainda uma técnica

conhecida como “recorrência”. Para alguns modelos de integrais trigonométricas, como dxx3

cos , podemos

fazer uso de “fórmulas de redução” que diminuem a potência [expoente] da função integrando. Existem ainda

integrais, como dxx

x

2

2

9 que requerem substituições trigonométricas para possibilitar o processo de

integração. Consulte um bom livro de Cálculo para saber mais!!

Para descontrair [se for capaz]...

Curtiu?

Então, qual o resultado da integral indefinida que aparece no “meme” acima? Problem?

integraÇÃo um estudo introdutóriojulio.tomio/calculo 1/mat... · 2016. 11. 22. · abrangendo...

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