gravitaÇÃo introduÇÃo À relatividade carlos zarro reinaldo de melo e souza espaço alexandria

G RAV I TAÇ ÃO

INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE

Carlos Zarro

Reinaldo de Melo e Souza

Espaço Alexandria

PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA

• A descrição dos fenômenos físicos em um referencial acelerado é indistinguível da descrição em um referencial inercial na presença de um campo gravitacional.


• A descrição dos fenômenos físicos em um referencial acelerado é indistinguível da descrição em um referencial inercial na presença de um campo gravitacional.• Portanto, deve haver uma formulação das leis

físicas válida em qualquer referencial!



físicas válida em qualquer referencial!• A relatividade restrita vale apenas em referenciais

inerciais!




inerciais!• O princípio da equivalência sugere que em tal teoria a

gravitação esteja em pé de igualdade com as forças de inércia!




inerciais!• O princípio da equivalência sugere que em tal teoria a


• Devemos buscar uma teoria relativísitica da gravitação!


• A descrição dos fenômenos físicos em um referencial acelerado é indistinguível da descrição em um referencial inercial na presença de um campo gravitacional.• Portanto, deve haver uma formulação das leis físicas

válida em qualquer referencial!• A relatividade restrita vale apenas em referenciais inerciais!• O princípio da equivalência sugere que em tal teoria a


• Devemos buscar uma teoria relativísitica da gravitação!• Problema com a gravitação newtoniana: Interação instantânea!

EXPERIÊNCIA DE GALILEU

“The reason why objects falling through (…) air vary in speed according to their weights is simply that the matter composing (…)air cannot obstruct all objects equally, but is forced to give way more speedily to heavier ones. But empty space can offer no resistance to any object… Therefore, through undisturbed vacuum all bodies must travel at equal speed though impelled by unequal weights.”

Titus Lucrécius Carus (96-55 a.c.)Poeta Romano.


• No vácuo, todos os corpos caem com a mesma aceleração!


• No vácuo, todos os corpos caem com a mesma aceleração!• A aceleração da gravidade é uma propriedade do espaço!


• No vácuo, todos os corpos caem com a mesma aceleração!• A aceleração da gravidade é uma propriedade do espaço!• Note que esta propriedade é particular da interação

gravitacional!



gravitacional!• Isto possibilita pensar massacomo curvatura do espaço

http://kids.britannica.com/comptons/art-156228/Einsteins-

general-theory-of-relativity-explains-gravity-as-the-curvature



gravitacional!• Isto possibilita pensar massacomo curvatura do espaço-tempo!





gravitacional!• Isto possibilita pensar massacomo curvatura do espaço-tempo!

• Veremos hoje como desenvolveresta ideia.



RETAS VIRAM CURVAS

• Voltemos a nossa experiência do elevador em queda livre.• Para Einstein, ele está em um referencial inercial.

a=g

RETAS VIRAM CURVAS

• Voltemos a nossa experiência do elevador em queda livre.• Para Einstein, ele está em um referencial inercial.• Ao chutar a cafusa, ele vê uma trajetória retilínea.

RETAS VIRAM CURVAS

• Contudo, quem vê de fora do elevador vê uma trajetória parabólica!

a=g

RETAS VIRAM CURVAS


a=g

a=g

RETAS VIRAM CURVAS


a=g

a=g

O efeito do campo gravitacional é curvar a trajetória da bola!

RETAS VIRAM CURVAS


a=g

a=g

O efeito do campo gravitacional é curvar a trajetória da bola!

No entanto, quando dizemos que massas curvam o espaço-tempo, estamos dizendo mais do que isso.

O DISCO DE EHRENFEST

• Imagine um disco de diâmetro d paralelo ao plano xy.• Se C é o comprimento da circunferência, então C/d=π.



• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que rodaem torno do eixo z de R.



• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que rodaem torno do eixo z de R.• Em R ’vemos o disco rodandoem torno do eixo z’.

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• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que rodaem torno do eixo z de R.• Em R ’vemos o disco rodandoem torno do eixo z’.• C’< C (contração de Lorentz).

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• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que rodaem torno do eixo z de R.• Em R ’vemos o disco rodandoem torno do eixo z’.• C’< C (contração de Lorentz).• d’=d.

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• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que rodaem torno do eixo z de R.• Em R ’vemos o disco rodandoem torno do eixo z’.• C’< C (contração de Lorentz).• d’=d. Logo, C’/d’<π!

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• Vejamos a descrição em um referencial R ’ que rodaem torno do eixo z de R.• Em R ’vemos o disco rodandoem torno do eixo z’.• C’< C (contração de Lorentz).• d’=d. Logo, C’/d’<π!

• Em referenciais não-iner-ciais a geometria é não-euclideana!

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GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDEANAS

• Diversos resultados da geometria euclideana devem ser revistos caso tentemos desenvolver uma geometria numa superfície curva.


• Diversos resultados da geometria euclideana devem ser revistos caso tentemos desenvolver uma geometria numa superfície curva.• A título de ilustração, vejamos como desenvolver

uma geometria na superfície de uma esfera.



uma geometria na superfície de uma esfera.• O conceito de reta deve ser substituído pelo de geodésica.



uma geometria na superfície de uma esfera.• O conceito de reta deve ser substituído pelo de geodésica. • No nosso exemplo são os círculos máximos.

http://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-strange-

geometries


• Ao contrário do caso euclideano, se fizermos um transporte paralelo com um vetor e o trouxermos de volta ao mesmo ponto, ele terminirá, em geral, não-paralelo com sua posição inicial.


• Ao contrário do caso euclideano, se fizermos um transporte paralelo com um vetor e o trouxermos de volta ao mesmo ponto, ele terminirá, em geral, não-paralelo com sua posição inicial.

http://universe-review.ca/R15-26-CalabiYau.htm


• A soma dos ângulos de um triângulo é maior do que 180o!

http://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-strange-

geometries



• Em particular, podemos ter um triângulo com três ângulos retos.

http://geometry.freehomeworkmathhelp.com/Non_Euclidian_Geometry_25/

geometry_25_non_euclidean_geometry.html



• Em particular, podemos ter um triângulo com três ângulos retos.• Toda a informação sobre a geometria está na métrica, que

expressa as relações de distância entre os pontos do espaço.

http://geometry.freehomeworkmathhelp.com/Non_Euclidian_Geometry_25/

geometry_25_non_euclidean_geometry.html

GRAVITAÇÃO E GEOMETRIA

“The question of the validity of the hypotheses of geometry in the infinitesimally small is bound up with the question of the basis of its metrical relations of space […] we must seek the basis of its metrical relations outside it, in biding forces which act upon it”

B. Riemann


• Vimos que em um referencial não-inercial a geometria é não-euclideana.


• Vimos que em um referencial não-inercial a geometria é não-euclideana.• Pelo princípio da equivalência, vemos que na

presença de um campo gravitacional devemos ter um espaço não-euclideano!



presença de um campo gravitacional devemos ter um espaço não-euclideano!• O papel da gravitação é curvar o espaço-tempo.



presença de um campo gravitacional devemos ter um espaço não-euclideano!• O papel da gravitação é curvar o espaço-tempo.

• A relatividade geral é uma teoria que permite encontrar a métrica do espaço-tempo a partir do campo gravitacional.


• Pelo princípio da equivalência sabemos que localmente um referencial não-inercial em queda livre é indistinguível de um referencial inercial.



• Contudo, curvatura é invariante, logo absoluta.



• Contudo, curvatura é invariante, logo absoluta. • Sempre podemos através de experimentos saber que

estamos na presença de um campo gravitacional.• Ex. Transporte paralelo.

VERIFICAÇÃO EXPERIMENTAL

“A teoria dos campos gravitacionais, construída com base na teoria da relatividade é chamada de Teoria da Relatividade Geral. Foi estabelecida por Einstein (e finalmente formalizada por ele em 1915), e provavelmente representa a mais bela das teorias físicas. É notável que ela foi deduzida por Einstein de uma maneira puramente dedutiva e somente depois foi confirmada por observações astronômicas.”

L. Landau

VERIFICAÇÃO EXPERIMENTAL

“A teoria dos campos gravitacionais, construída com base na teoria da relatividade é chamada de Teoria da Relatividade Geral. Foi estabelecida por Einstein (e finalmente formalizada por ele em 1915), e provavelmente representa a mais bela das teorias físicas. É notável que ela foi deduzida por Einstein de uma maneira puramente dedutiva e somente depois foi confirmada por observações astronômicas.”

L. Landau• Veremos a seguir alguns casos em que a teoria da

relatividade geral foi fundamental na explicação.

AVANÇO DO PERIÉLIO DE MERCÚRIO

• 1a lei de Kepler: Os planetas se movem em elipses com o sol em um dos focos.


• 1a lei de Kepler: Os planetas se movem em elipses com o sol em um dos focos.• Na prática, devido à presença de outros planetas e

do sol não ser perfeitamente esférico, a 1a lei de Kepler não é exatamente satisfeita.



do sol não ser perfeitamente esférico, a 1a lei de Kepler não é exatamente satisfeita.• Uma correção necessária é o avanço do periélio.

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/advance_of_perihelion.html



do sol não ser perfeitamente esférico, a 1a lei de Kepler não é exatamente satisfeita.• Uma correção necessária é o avanço do periélio.• Ao se levar em consideração estascorreções, a mecânica newtonianaobtém um sucesso incrível na descriçãode órbitas planetárias!

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/advance_of_perihelion.html


• Exceção: • Século XIX: Urano.

http://en.wikipedia.org/wiki/Uranus



• Proposta de Bouvard e Le Verrier:• Existência de um planeta adicional responsável pela

discrepância teoria-experimento.

http://en.wikipedia.org/wiki/Uranus




discrepância teoria-experimento.• Descoberta de Netuno (23/09/1846)!

http://en.wikipedia.org/wiki/Neptune





• Exceção:• Mercúrio.

http://en.wikipedia.org/wiki/Mercury_(planet)





• Exceção:• Mercúrio.• Proposta de um novo planeta.

http://en.wikipedia.org/wiki/Mercury_(planet)


Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_tests_of_general_relativity

Efeito Físico Precessão (segundos/século)

Perturbação gravitacional devido aos outros planetas

Não-esfericidade do Sol

Total:

Total observado: 574,1





531,63

Não-esfericidade do Sol

Total:






531,63

Não-esfericidade do Sol 0,03

Total:






531,63


Total: 531,66


Faltam: 42.44’’/século!!





531,63


Total: 531,66


Faltam: 42.44’’/século!!

Correção da relatividade geral: 42.98’’/século!


Dentro da margem de erro!

Correção da relatividade geral: 42.98’’/século!



531,63 ± 0,69


Relatividade Geral 42,98 ± 0,04

Total: 574,64 ± 0,69

Total observado: 574,10 ± 0,65

DEFLEXÃO DA LUZ PELO SOL

• A luz é defletida pela ação do campo gravitacional.

http://hendrix2.uoregon.edu/~imamura/FPS/week-

6/week-6.html


• A luz é defletida pela ação do campo gravitacional.• Para uma estrela cuja luz tangencia o sol:• Predição da mecânica newtoniana: 0,87”.


6/week-6.html


• A luz é defletida pela ação do campo gravitacional.• Para uma estrela cuja luz tangencia o sol:• Predição da mecânica newtoniana: 0,87”.• Predição da relatividade geral: 1,75” (o dobro!).


6/week-6.html


• A luz é defletida pela ação do campo gravitacional.• Efeito muito difícil de ser observado, pois o sol “esconde” as

estrelas atrás dele.

http://www.astro.caltech.edu/~rjm/Principe/1919eclipse.php



estrelas atrás dele.• Solução: Observar durante um eclipse total.



estrelas atrás dele.• Solução: Observar durante um eclipse total.• Experimento feito em Sobral em 1919:




estrelas atrás dele.• Solução: Observar durante um eclipse total.• Experimento feito em Sobral em 1919:

• Sucesso da relatividade geral!


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