fundamentos da matemática a -...
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VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCEN TE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Fundamentos da Matemática A
Rio de Janeiro / 2007 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
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QUADRO SÍNTESE DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Unidade de Programa Objetivos
I. Relações Binárias Possibilitar ao aluno recordar os conceitos, de
par ordenado, relação e função.
II. Funções Dar a estudo condições de reconhecer quando
uma relação e uma função e traçar gráficos
corretamente.
III. Trigonometria
3
Unidade I – RELAÇÕES BINÁRIAS:
1.1 – Sistema Cartesiano Ortogonal :
Considerando dois elementos a e b, admitiremos a existência de um terceiro elemento (a,b)
que denominamos par ordenado, de modo que dois pares ordenados (a,b) e (c,d) sejam iguais se, os
primeiros elementos de cada par forem iguais, a = c, e os segundos elementos de cada par também
forem iguais, b = d.
Logo: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d.
Com base no que foi apresentado acima devemos observar que (2,3) ≠ (3,2), embora os
conjuntos {2,3} e {3,2} sejam iguais.
Todo par ordenado pode ser representado por um ponto no plano cartesiano.
O plano cartesiano é um plano α no qual consideremos dois eixos x e y ., perpendiculares
entre si. Seja o ponto O, o ponto de intersecção desses eixos, denominado origem do plano
cartesiano.
y α P(a,b) b o a x
Temos:
. Plano α → Plano cartesiano;
. Eixo x → eixo das abscissas (Ox);
. Eixo y → eixo das ordenadas (Oy);
. O → origem;
. a → abscissa do ponto P;
. b → ordenada do ponto P;
. (a, b) → coordenadas do ponto P;
A direita da origem temos os números positivos e à esquerda, números negativos. Acima da
origem temos números positivos e abaixo, números negativos.
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Exemplos:
1) Representar no plano cartesiano os seguintes pontos: A(2, 5), B(– 5,1), C(– 3, – 3) e D(2, – 3) y A B x C D
2) Representar no plano cartesiano os seguintes pontos: G(3, 0), H(–3, 0), I (0, 3) e J(0, –3). y
I
H G x
J
Cada uma das quatro regiões determinadas pelos eixos x e y são chamadas quadrantes.
2º Quadrante 1º Quadrante
3º Quadrante 4º Quadrante
5
1.2 – Produto Cartesiano:
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o
conjunto A x B, formado por pares ordenados onde o primeiro elemento de cada par pertence a A e o
segundo elemento de cada par pertence a B.
Simbolicamente, temos:
A x B = {(x,y) x ∈ A e y ∈ B } Exemplos:
1) Se A = { 2,4,5,7} e B = { 2,3} . Determine A x B e B x A:
a) A x B = { (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (5,2), (5,3), (7,2), (7,3) }
b) B x A = { (2,2), (2,4), (2,5), (2,7), (3,2), (3,4), (3,5), (3,7)}
2) Se A = { 2,4,5} . Determine 2A :
2A = {(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4), (5,5)}
Observe que:
- Se A e B são conjuntos diferentes, então A x B ≠ B x A;
- Se A tem p elementos e B tem q elementos A x B tem p.q elementos;
1.3 – Relação Binária:
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se Relação Binária de A em B, a qualquer
subconjunto R de A x B.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A = { 2,4,5,7} e B = { 2,3}, verifique se os conjuntos abaixo representam
relações de A em B:
a) R = { (2,2), (4,2), (5,3), (7,2)}
b) S = { (2,2), (4,2), (7,4)}
c) T = {(4,3)}
Soluções:
a) R é relação de A em B, pois R ⊂ A x B, todos os elementos de R são elementos de A x B;
b) S não é relação de A em B, pois S ⊄ A x B, o elemento (7,4) está em S e não está em A x B;
c) T é relação de A em B, pois T ⊂ A x B.
6
2) Se A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 4}, determine os elementos da relação R = {(x,y) ∈ AxB x≥y}, o
domínio e a imagem:
Solução:
A B
0. .1
1. . 2
2 . 4
3.
R = { (1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2) }
D(R) = {1,2,3} e Im(R) = {1,2}
Obs.: O domínio da relação é formado de todos os valores de x de cada par pertencente a R e a
imagem da relação é formado de todos os valores de y de cada par pertencente a R, ou seja:
Domínio da Relação: D(R) = {x (x,y) ∈ R}
Imagem da Relação: Im(R) = {y (x,y) ∈ R}
Exercícios de Fixação:
1) Localizar no plano cartesiano os seguintes pontos:
A (3, 2)
B (–1, 4)
C (–3, –1)
D (4, –5)
E (0, 3)
F (–1, 0)
G (4, 0)
H (0, –4)
I (0, 0)
2) Sejam os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1} e B = {0, 2}. Determine:
a) A x B
b) B x A
c) 2A
d) 2B
7
3) Se A x B = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (5, 2), (5, 3)} . Determine os conjuntos A e B:
4) Se A ⊂ B e B tem 5 elementos, qual o número máximo de elementos de A x B?
5) Dados os conjuntos { } { } :determine 43210 e 21012 ,,,,,,,,, =−−= BA
a) A relação { }2 x xyBAyxR =∈= /),( ;
b) A relação { }12 x +=∈= xyBAyxR /),( ;
6) Determine o domínio e a imagem de cada relação do 5º exercício:
7) Sejam os conjuntos { } { }.,,,, 320 e 210 == BA Determine a relação R de A em B definida por x < y:
8) O produto cartesiano foi definido com os conjuntos A e B não vazios, se A e B fossem vazios, como
ficaria A x B?
9) Antes de passar para a próxima unidade, veja se você consegue definir o que é uma função e
verificar quais relações dos exercícios anteriores (5 e 7), são funções, justificando a sua resposta:
Exercícios de Auto Avaliação:
1) Sabendo-se que A x B = {(0,2), (0,4), (0,6), (1,2), (1,4), (1,6)}, determine os conjuntos A e B:
2) Se A = {0,2} e B = (0,2,3}, determine (A ∪ B) x B:
3) Dados A = {0,1,2}, B = {1,2,3} e C = {4,5,6}, determine:
a) (A ∩ B) x C
b) (B ∩ C) x A
c) (C ∪ A) x (B – A)
4) Um conjunto A tem 5 elementos e um ouro conjunto B, tem 4 elementos. Determine o número de
elementos de:
a) A x B c) A²
b) B x A d) B²
8
5) Um conjunto P possui (x – 6) elementos; um conjunto B possui (3x + 1) elementos. Calcule x,
sabendo-se que A x B tem 124 elementos:
6) Um homem tem cinco camisas e três calças. De quantas maneiras diferentes ele poderá vestir-se,
usando, cada vez, ma calça diferente com uma das camisas?
7) Dados os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1} e B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}, determine as relações abaixo, o seu
domínio e a sua imagem:
a) R = {(x,y) ∈ A x B y = x + 1}
b) S = {(x,y) ∈ A x B x ≥ y}
c) T = {(x,y) ∈ A x B x² + y² = 3}
8) Dados A = {x ∈ N x ≤ 10} e a relação R = {(x,y) ∈ A² x + 2y = 10}, determine o domínio e a
imagem da relação:
9) Calcule os valores de x e y de modo que: (5x + 2y, 2x + y) = (12, 5):
10) Localize no plano cartesiano os pontos A(0, 0), B(0, 6), C(6, 6), D(9, 10) e E(9, 0). Calcule a área
o perímetro da figura formada pela união dos pontos A, B, C, D, E e A:
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Unidade II – FUNÇÕES:
2.1 – Introdução:
A noção de função é fundamental em Matemática. As funções estão no nosso dia-a-dia
mesmo que nós não nos apercebamos disso.
Vejamos alguns exemplos:
a) A quantidade de combustível consumida por um automóvel é função da distância que ele percorre;
b) O valor da conta de luz depende, de uma forma determinada, da quantidade de energia que
usamos naquele período, ou seja, a quantia paga é função da quantidade de energia usada.
c) O preço de uma corrida de táxi é função da distância percorrida;
d) A nota de um aluno na prova depende da quantidade de acertos que ele teve;
Na própria matemática temos exemplos:·
a) A área de um círculo depende do tamanho do raio r, que é dada por A = π.r2. Podemos dizer que a
área é função do raio, ou seja, A = f(r).
b) A área do quadrado depende do tamanho do lado l do quadrado, que é dado por A = l2. Logo a
área do quadrado é função do lado, ou seja, A = f(l).
Muitas vezes obtém-se uma função através de uma equação. Por exemplo, a relação entre a
medida C da temperatura em graus Celsius e a medida F da mesma temperatura em graus
Fahrenheit são definida como sendo:
59
32.
CF =− :vejamos , ou escrever Podemos )()( FfCCfF ==
Se )(325
9
5
160991605
59
32CfFCF
CFCF
CF =→+=⇒+=⇒=−⇒=−
Se 9
160
9
5
9
160591605
59
32 −=⇒−=⇒=−⇒=−
FCF
CCFCF
ou )(9
)32.(5FfC
FC =→−= .
2.2 – Definição:
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma função f: A → B é uma correspondência que a
cada elemento x ∈ A associa um único elemento y ∈ B. O conjunto A (conjunto de partida) é
chamado domínio da função f e o conjunto B (conjunto de chegada) é chamado contradomínio da
função f. Como indicamos a função por f, temos y = f(x).
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Como x é livre para variar no domínio da função, diz-se que x é variável independente, e que y,
por estar dependendo de x, é a variável dependente. O conjunto dos elementos de B que estão
associados por f a algum elemento de A, é chamado conjunto imagem de f.
Em símbolos, podemos escrever:
f: A → B ⇔ ∀ x ∈ A, ∃| y ∈ B(x,y) ∈ f ou f: A → B ⇔ ∀ x ∈ A, ∃| y ∈ By = f(x).
Temos: D(f) = A, CD(f) = B e Im(f) = { }fyxBy ∈∈ ),( .
Exemplos:
1) Sejam os conjuntos A = {-1,0,1,2} e B = {1,2,3,4}. Verifique se a relação R de A em B definida por
y = x2 + 1 é uma função, justificando a sua resposta:
Solução: A B
-1 . . 1
0 . . 2
1 . . 3
2 . . 4
Não é função, porque nem todo elemento de A tem correspondente em B, observe que a
imagem de 2 seria o 5, mas o elemento 5 não pertence ao conjunto B.
2) Verifique se a relação de R em R+ cujo gráfico aparece abaixo é uma função:
y
x
Solução:
Não é função, pois tem elemento de “A” com dois correspondentes em “B”.
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3) Sejam os conjuntos A = {-3,-1,1,3} e B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Seja a função f: A → B, definida por
y = x2. Determine o conjunto imagem da função:
Solução:
Se y = x2 , temos:
y = (-3)2 = 9
y = (-1)2 = 1
y = 12 = 1
y = 32 = 9
Logo, o conjunto imagem é Im = {1,9} .
4) Seja a função .)(: 23 por definida +−=→ xxfRRf Determine:
a) );()( 02 ff +−
b) O elemento do domínio de modo que :)( 10−=xf
Soluções:
a) Temos: ..)().()( 22030 e 82232 =+−==+−−=− ff
Logo; .)()( 102802 =+=+− ff
b) Queremos determinar o elemento do domínio cuja imagem seja – 10.
Então; 4. 123 1023 =⇒−=−⇒−=+− xxx
5) O aluguel de um carro, por um período de 30 dias em uma locadora, é de 750 u.m. (unidade
monetária), mais uma taxa de 2 u.m. por quilômetro rodado. Sabendo-se que ele ficou um mês com
o carro alugado. Determine:
a) Uma lei de associação para essa função;
b) O valor a ser pago no final do período, se ele rodou 465 km;
c) O número de quilômetros que ele rodou, sabendo-se que pagou 1350 u.m.;
Soluções:
a) y = 750 + 2x, onde x representa o número de quilômetros;
b) y = 750 + 2 x 465 ⇒ y = 1680 u.m.
c) 750 + 2 x = 1350 ⇒ 2 x = 600 ⇒ x = 300 km;
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Exercícios de Fixação:
1) Sejam os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Seja a função f: A → B definida por
y = 2x – 1. Determine:
a) o diagrama de f;
b) o conjunto imagem de f.
2) Seja a função f: R → R (R – Conjunto dos Números Reais) definida por f(x) = x2 – 3x + 4.
Determine:
( )( )( ) 3 c)
31 b)
2 a)
f
f
f
−
−
3) Seja a função f: R → R (R – Conjunto dos Números Reais) definida por .)(5
32 −= xxf Qual é o
elemento do domínio que tem 43− como imagem:
4) Seja a função f: R → R (R – Conjunto dos Números Reais) assim definida:
+
−=
,
,)(
12
1
2
2
x
xxf
se
se
1
1
≥
<
x
x. Calcule )()()( 110 fff +−+ :
5) Para estudar o nível de aprendizagem dos animais, um grupo de alunos de Psicologia fez uma
experiência na qual um rato branco era colocado, repetidamente, em um labirinto. Os estudantes
notaram que o tempo (em minutos) requerido para o rato percorrer o labirinto, na n-ésima tentativa,
era de aproximadamente n
nt12
3 +=)( .
Pede-se:
a) O domínio da função;
b) O tempo que o rato gastou para percorrer o labirinto na 3ª tentativa;
c) Em que tentativa o rato gastou 4 minutos para percorrer o labirinto.
6) Uma fábrica produz p(t) = (t² + 2t) pares de sapatos, t horas após o início de suas atividades
diárias. Se a fábrica começa a funcionar as 8 horas da manhã, entre 10 e 11 horas da manhã,
quantos pares de sapatos serão produzidos?
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7) O perímetro de um retângulo de largura x e comprimento y é 36 cm. Encontre a função que dá a
área do retângulo em função da largura x:
8) Freqüentemente se diz: considere uma função f dada por f(x) = “uma expressão contendo x”, sem
menção do domínio da função. Neste caso, supõe-se que tal domínio é formado por todos os
valores de x para os quais a expressão pode ser calculada. Então, determine o domínio das
seguintes funções:
a) x
xf−
=1
1)(
b) 25
2)(
2 −+=
x
xxf
c) 34)( 2 +−= xxxf
d) 3 63)( −= xxf
e) 123)( +−= xxf
f) 23
2
+=
xy
2.3 – Gráfico de Funções:
Podemos descrever uma função por meio de um gráfico no plano cartesiano, que é um
conjunto de pontos cujas abscissas são elementos do seu domínio e cujas ordenadas são os
correspondentes elementos de sua imagem.
Exemplos:
a) D 2 Rxxf == ,)( b) [ ]1,2- D 2 == ,)( xxf
y y
x x
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x
y
Devemos recordar que para uma relação ser uma função, para todo elemento pertencente ao
seu domínio deve corresponder a um único elemento no seu contradomínio. Logo, observe que se
você traçar uma reta perpendicular ao eixo das abscissas ela deverá interceptar o eixo das abscissas
no máximo em um ponto.
Observe que a relação ao lado definida de +R em R definida
por x = y² não é função, pois temos elementos do domínio com
dois correspondentes no contra-domínio.
2.4 – Funções Crescentes e Decrescentes:
Uma função f(x) é crescente quando, a medida que x aumenta, f(x) também aumenta.
Podemos escrever:
).(,),()( fDxxxfxfxx ∈>⇒> 212121 com
Uma função f(x) é decrescente quando, a medida que x aumenta, f(x) diminui. Podemos
escrever:
).(,),()( fDxxxfxfxx ∈<⇒> 212121 com
Exemplo: Considere a função
≥+−
<<−
−≤−
=
2 se 82
21 se
1 se
2
xx
xx
xx
xf
,
,
,
)( representada no gráfico a seguir:
x
y
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Determine os valores de x para os quais:
.)(
;)(
)(
)(
)(
0 e)
0 d)
(raízes); 0 c)
e;decrescent é b)
crescente; é a)
<
>
=
xf
xf
xf
xf
xf
Soluções:
a) 0 < x < 2;
b) x < 0 ou x > 2;
c) 0 e 4;
d) x < 0 ou 0 < x < 4;
e) x > 4.
2.5 – Função Constante:
Uma função RRf →: recebe o nome de função constante quando para todo Rx ∈ associa
sempre o mesmo elemento RK ∈ .
Exemplo: Construir o gráfico da função =)(xf 2;
Im(f) = {2}
2.6 – Função Afim:
Uma função RRf →: recebe o nome de função afim quando para todo Rx ∈ associa
sempre o elemento Rbax ∈+ )( , com Rba ∈, e .0≠a O gráfico da função afim é uma reta (provado
em Geometria Analítica).
x
y
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Obs. Quando b = 0 a função também é chamada função linear. Portanto podemos afirmar que a
função linear é um caso particular da função afim.
O coeficiente a é chamado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano
cartesiano – tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas.
O coeficiente linear b é chamado coeficiente linear – ponto que a reta corta o eixo das
ordenadas.
O conjunto Imagem de uma função é o Conjunto dos Números Reais, observe que para todo y
real, existe um x também real, tal que: f(x) = y.
Exemplos:
Construir o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 2x b) f(x) =– 2x
c) f(x) = 2x + 1 d) f(x) =– 2x + 1
Observe que nos exemplos (a) e (b) os coeficientes lineares são iguais a zero, logo, a reta corta
o eixo y no ponto (0,0), origem do sistema cartesiano. Já nos exemplos (c) e (d) os coeficientes
lineares são iguais a 1, portanto os gráficos cortam o eixo das ordenadas no ponto (0,1).
x
y
x
y
x
y
x
y
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Observe também que, nos exemplos (a) e (c) os coeficientes angulares são positivos (o ângulo
varia entre 0 e 90°), logo elas são crescentes. Nos exemplos (b) e (d) os coeficientes angulares são
negativos (o ângulo varia entre 90° e 180°), logo e las são decrescentes.
Exercícios de Fixação:
1) Construir o gráfico das funções, determinando o conjunto imagem:
xxf
xf
xxf
xxf
xf
e)
3x2 d)
4 c)
23 b)
4 a)
=
+=
−=
+−=
−=
)(
)(
)(
)(
)(
2) A função linear em que o valor do coeficiente angular é igual a 1, recebe o nome de função
identidade. Qual o ângulo formado pela função identidade com o eixo das abscissas?
3) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações:
+−=
+=
34
32
3
xy
xy
4) Determinar os valores de K para que a função 563 +−= xKxf )()( seja crescente:
5) Determinar a função cujo gráfico é dado abaixo:
6) Determine a função afim que passa pelo ponto (–3, 1) e forma um ângulo de 45° com o eixo das
abscissas:
x
y
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2.7 – Função Quadrática:
Uma função RRf →: recebe o nome de função quadrática quando para todo Rx ∈ associa
sempre o elemento Rcbxax ∈++ )( 2 , com Rcba ∈,, e .0≠a O gráfico da função quadrática é uma
parábola (provado em Geometria Analítica).
Exemplos:
a) 2xxf =)(
x y (x,y)
-2 4 (-2, 4)
-1 1 (-1, 1)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 4 (2, 4)
b) 2xxf −=)(
x y (x,y)
-2 -4 (-2, -4)
-1 -1 (-1, -1)
0 0 (0, 0)
1 -1 (1, -1)
2 -4 (2, -4)
2.7.1 – Concavidade:
Se a > 0 a parábola tem a concavidade “voltada para cima” e se a < 0, a concavidade
“voltada para baixo”.
No exemplo acima, item (a) o a é positivo e no item (b) o a é negativo.
x
y
x
y
19
2.7.2 – Raízes ou Zeros:
As raízes ou zeros de uma função são os valores de x para os quais 0=)(xf .
Logo, se .)(a
bxcbxaxxf
2 0 0 2 ∆±−=⇒=++⇒= Portanto, as raízes da funções são as
soluções da equação do 2º grau . 0 2 =++ cbxax
Sendo assim temos três situações a considerar em relação ao discriminante;
a) Se função da gráfico o logo ,diferentes e reais raízes duas terá equação a 0∆ ,> irá cortar o
eixo das abscissas em dois pontos distintos;
b) Se cortar irá função da gráfico o logo iguais, e reais raízes duas terá equação a 0∆ ,= o eixo
das abscissas em apenas um ponto;
c) Se eixo o cortar irá não função da gráfico o logo , reais raízes terá não equação a 0∆ ,> das
abscissas.
2.7.3 – Vértice da Parábola:
O vértice da parábola é o ponto de máximo ou de mínimo da parábola . Se a concavidade da
parábola está “voltada para cima”, o vértice é um ponto mínimo e se a concavidade da parábola está
“voltada para baixo”, o vértice é um ponto máximo.
As coordenadas do vértice da parábola são dadas por .,
∆−−aa
b
42
Demonstração:
Vamos chamar de Vx a abscissa do vértice da parábola, relativo a função 2 cbxaxf(x) ++= .
Vamos analisar três situações, .0 ∆e 0 ∆0∆ <=> , Vamos considerar nos três casos o a > 0, a
demonstração é feita da mesma forma se a < 0.
b) 0∆ >
Nesse caso, o vértice é o ponto médio das raízes da função. Temos:
⇒
∆−−+∆+−
=+=⇒
∆−−=
∆+−=⇒
∆±−=2
222
xx x
2x
2x
2x 21
V
2
1a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
ba
b
221
x22
222
x V −=−=−
=⇒
20
b) 0∆ =
Nesse caso, é fácil perceber que o vértice é a raiz da função.
Como 0∆ = , temos:
.a
b
a
b
2x
20
x VV −=⇒±−=
c) 0∆ <
Neste caso, a função não admite raízes reais. Sejam dois
pontos simétricos P e P’, com abscissas K xeK x VV +− , e
considerando que Vx é a média aritmética das abscissas desses dois
pontos , temos: ( ) ( )KfKf −=+ VV xx . Substituindo na função
2 cbxaxf(x) ++= , temos:
( ) ( ) ( ) ( ) cKbKacKbKa ++++=+−+− V2
VV2
V xxxx .
Desenvolvendo e simplificando, obtemos:
a
b
aK
bKbKaK
2 x
42
x 2x4 VVV −=⇒−=⇒=− .
Observe que da forma como foi demonstrado no item (c), pode ser generalizado para os demais
itens.
Sendo .)(, cbxaxxfaa
b ++=∆−=−= 2VV função na dosubstituin
4 yque provar podemos ,
2x
Temos:
⇒+−=+−=+
−+
−=
−⇒++= 2
222
2
222
442
24222
a
acababc
a
b
a
bac
a
bb
a
ba
a
bfcbxaxxf
...)(
Simplificando por a, temos:
aa
acb
a
acb
a
bf
444
44
2
22 ∆−=−−=+−=
− .
Logo as coordenadas do vértice são .,
∆−−aa
b
42
2.7.4 – Intersecção com o eixo das ordenadas:
Um ponto está localizado no eixo das ordenadas quando o valor da abscissa é zero. Logo,
se ).0( ponto no y eixo o corta Logo, 0000 22 ,ccfcbafcbxaxf(x) .)(..)( =⇒++=⇒++=
21
2.7.5 – Imagem:
Como o vértice da parábola é o ponto de máximo ou de mínimo, temos:
Se a > 0, a concavidade está voltada para cima, logo o vértice é um ponto mínimo e o
conjunto imagem será dado por: vértice. do ordenada a é onde / { )Im( VV yyyRyf },≥∈=
Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo, logo o vértice é um ponto máximo e o
conjunto imagem será dado por: vértice. do ordenada a é onde / { )Im( VV yyyRyf },≤∈=
2.7.6 – Eixo de Simetria:
O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria e esse eixo de simetria é uma reta
perpendicular ao eixo das abscissas que passa pelo vértice, logo todos os pontos desse eixo de
simetria obedecem a equação 02
=+a
bx .
Exemplos:
1) Seja a função :se-pede 562 ,)( +−= xxxf
a) analisar a sua concavidade;
b) os zeros ou raízes;
c) a coordenada do ponto de intersecção com o eixo das ordenadas;
d) as coordenadas do vértice;
e) um esboço do gráfico;
f) o conjunto imagem;
Soluções:
a) Como o valor de a é positivo, a concavidade está voltada para cima;
b) Fazendo 1. e 5 :obtemos 056 212 ===+− xxxx ,
c) (0,5)
d) V(3, – 4)
e) f) }4 / { )Im( −≥∈= yRyf
22
2) Determinar uma função quadrática :)()(,)( 12 e 01 30 que tal −=== ffff
Solução:
Seja cbxaxxf ++= 2 )( , então:
4 e 122
3
2242412412
3001
330
−==⇒
−=+
−=+⇒
−=+⇒−=+⇒−=++⇒−=
−=+⇒=++⇒=
=⇒=
baba
ba
babacbaf
bacbaf
cf
)(
)(
)(
Portanto, se .)(, 34 :temos 3 e 4 , 1 2 +−==−== xxxfcba
3) Mostre que na equação do 2º grau 02 ,=++ cbxax ,21 xe xraízes de temos para a soma das
raízes ;a
b−=+= 21 x x S
Solução:
a) :temos x xque tais são xe xraízes as Se 2121 ,=
No caso para :logo 0, temos x x 21 =∆= ,
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b −=−=+⇒−+−=+⇒
−=
−=⇒
±−=22
xx22
x x
2x
2x
20
x 2121
2
1
b) :temos x xque tais são xe xraízes as Se 2121 ,≠
No caso para :logo 0, temos x x 21 >∆≠ ,
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b −=−=+⇒∆−−+∆+−=+⇒
∆−−=
∆+−=⇒
∆±−=22
xx22
x x
2x
2x
2x 2121
2
1
4) Resolva a inequação :0562 <+− xx
Considerando .,)( 1 xe 5 xraízes e 0,16 e 01 56 212 ==>=∆>=+−= axxxf Então,
Como queremos os valores de x para os quais a função é menor
que zero, temos }51 / { <<∈= xRxS
+ +
1 _ 5
23
Exercícios de Fixação:
1) Construir o gráfico das seguintes funções:
xxxf
xxxf
xxf
xxf
4 d)
44 c)
1 b)
1 a)
2
2
2
2
+−=
+−=
+−=
−=
)(
)(
)(
)(
2) Dada a função 982 ++−= xxxf )( , pede-se:
a) analisar a sua concavidade;
b) as coordenadas dos pontos de intersecção com o eixo das abscissas;
c) as coordenadas do ponto de intersecção com o eixo das ordenadas;
d) as coordenadas do vértice;
e) um esboço do gráfico;
f) o conjunto imagem;
g) os valores de x para os quais a função é crescente;
3) Seja a função mxmxmxf +++−= ).32().1( 2)( , determine os valores de m de modo que a função
tenha duas raízes reais e diferentes:
4) Mostre que na equação do 2º grau 02 ,=++ cbxax ,21 xe xraízes de temos para o produto da
raízes, a
c== 21 x x P . :
5) Considerando todos os números reais x, y de soma igual a 8. Determine aqueles cujo produto é
máximo:
6) (CESGRANRIO – RJ) – Um dia na praia às 10 horas a temperatura era de 36°C e às 14 horas
atingiu a máxima de 39,2°C. Supondo que nesse d ia a temperatura f( t) em graus era em função do
tempo t medido em horas, dada por ,,)( 20 8 quando 2 ≤≤++= tcbtattf então pode-se afirmar
que:
(a) b = 0 (b) a = b (c) b < 0 (d) a.b < 0 (e) a > 0
7) (PUC CAMP – SP) Uma bola é largada do alto de um prédio e cai em direção ao solo. Sua altura h
em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão 625-25th 2 += . Após
quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?
(a) 2,5 (b) 5 (c) 7 (d) 10 (e) 25
24
8) Resolver as inequações em R:
02510 e)
0153 d)
065 c)
0102 b)
023 a)
2
2
2
2
2
≥+−
≥+−
>−+−
<++
≥+−
xx
xx
xx
xx
xx
2.8 – Funções Modulares
Para cada valor x real podemos associar um único valor x .
Uma função RRf →: recebe o nome de função modular quando para todo Rx ∈ associa
sempre o elemento Rx ∈ .
Utilizando a definição de módulo, temos:
<−
≥=
0 se
0 se
xx
xxx
,
,
A imagem da função é Im = +R .
2.9 – Funções Exponenciais
Uma função *: +→ RRf recebe o nome de função exponencial quando para todo Rx ∈ associa
sempre o elemento . ,Ra x ∈ em que a é uma constante real positiva e diferente de 1.
Observe que quando a > 1, a função .xaxf =)( é crescente, pois a medida que x aumenta,
)(xf também aumenta.
Observe que quando 0 < a < 1, a função .xaxf =)( é decrescente, pois a medida que x
aumenta, )(xf diminui.
25
x
y
Exemplos:
1) Construa o gráfico das seguintes funções:
a) xxf 2=)(
x y (x,y)
-2 1/4 (-2, 1/4)
-1 1/2 (-1, 1/2)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
b) x
xf
=21
)(
x y (x,y)
-2 4 (-2, 4)
-1 2 (-1, 2)
0 1 (0, 1)
1 1/2 (1, 1/2)
2 1/4 (2, 1/4)
Nos dois casos o conjunto imagem são os reais positivos, ou seja, não existe número real tal
que 0,≤xa considerando que a base a é um número real e positivo.
2) Resolva as seguintes equações exponenciais:
a) 1282 3x =+
Reduzindo a mesma base, temos: 47322 73x =⇒=+⇒=+ xx . Logo, { }4 S =
b) 031093 2x =−++ x.
Temos: :obtemos 3 Fazendo 0310933 2x ,... yxx ==−+
{ }2 S Logo; 293901099 ==⇒=⇒=⇒=−+ .xyyy x
x
y
26
x
y
x
y
2.10 – Funções Logarítmicas:
Uma função RRf →+*: recebe o nome de função logarítmica quando para todo *
+∈ Rx
associa sempre o elemento , xalog onde a é um número real positivo e diferente de 1.
Recordando logaritmos, sabemos que baxb xa =⇔=log , por exemplo para calcularmos o
logaritmo de 8 na base 2, devemos procurar o número que devo elevar o 2 para a potência resultar 8.
Vejamos: 38282 =⇒=⇒= xx xlog .
Exemplos:
1) Construa o gráfico das seguintes funções;
a) xxf 2log)( =
n f(y) = x2log (x,y)
4 2 (4, 2)
2 1 (2, 1)
1 0 (1, 0)
½ -1 (½, -1)
¼ -2 (¼, -2)
b) xxf2
1log)( =
n f(y) = x2log (x,y)
4 - 2 (4, - 2)
2 - 1 (2, - 1)
1 0 (1, 0)
½ 1 (½, 1)
¼ 2 (¼, 2)
Observe que na função xxf alog)( = , se a >1, a função é crescente e se 0 < a < 1, a função é
decrescente.
O conjunto imagem é o conjunto dos Números Reais.
27
Exercícios de Fixação;
1) Construa o gráfico das seguintes funções, determinando o seu conjunto imagem:
xxf
xxf
xf
xf
xxf
xxf
x
x
3
1
3
f)
e)
31
d)
3 c)
2 b)
3 a)
log)(
log)(
)(
)(
.)(
)(
=
=
=
=
=
+=
2) Faça uma análise em cada função da 1ª questão, verificando se é crescente ou decrescente. No
caso de não ser crescente ou decrescente em todos os reais. Verifique os intervalos que são
crescentes ou decrescentes;
3) Resolva as seguintes equações modulares em R:
a) 32 =+x
b) 213 =−x
c) 532 −=−x
d) 063 =+x
e) 3132 =−− xx
f) 122 +=− xx
4) Resolva as seguintes equações exponenciais em R:
( )
055652 f)
152222 e)
877 d)
877 c)
25016 b)
811
3 a)
x
211
1x
1x
5
2-5x
=+−
=+++
=+
=+
=
=
++−
−
−
x
xxxx
xx
x
x
.
,
5) Calcule os seguintes logaritmos:
28
,010 e)
5 d) 1 c)
3 b) 243 a)
55
3
13
log
loglog
loglog
6) Seja a um número real positivo e diferente de 1. Demonstre que:
na
a
na
a
a
=
=
=
log
log
log
c)
1 b)
01 a)
7) Utilizando a definição de logaritmos demonstre as três propriedades operatórias de logaritmos:
( )
α=α
β−α=
βα
β+α=
an
a
aaa
aaa
n log.log
logloglog
logloglog
c)
b)
α.β a)
8) Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771 (quando não é citada a base, é um logaritmo decimal
– base 10), e aplicando as propriedades operatórias de logaritmos, calcule:
a) log 6
b) log 16
c) log 27
d) log 5
e) log 0,2
f) log 72
9) Construa no mesmo plano cartesiano o gráfico das funções xxfxf x2 e 2 log)()( == . Qual a
relação você avalia entre elas?
10) Obtenha o domínio da função ( )1056 += xxf log)( :
2.11 – Função Composta;
29
Sejam as funções ,:: CBgBAf →→ e denomina-se função composta de ,fg e nessa
ordem, a função .)),(()(: AxxfgxfgCAfg ∈=ο→ο para por definida
Exemplo:
Dados os conjuntos { } { } { }.,,,,,,,,,, 42012 e 4210 210 −−=== CBA Sejam as funções BAf →: e
CBg →: definidas por .)()( 2 e 2 −== xxgxxf Determine e a lei de define :: CAfg →ο
Solução:
., 1(1) e 2(4)4(2) ,0(2)2(1) 2(0)0(0) :Temos −==⇒==⇒=−=⇒= ggfgfgf
Queremos descobrir uma lei tal que: ., 2(2))g( e 0(1))g( 2(0))g( ==−= fff
Então 222 −== xxgxfg )())(( .
Tente ilustrar o exemplo com diagramas.
Observe que a função composta CAfg →ο : só está definida quando o contra-domínio de f
é igual ao domínio da g.
Observe também que a composição de funções não é comutativa.
2.12 – Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora:
Uma função BAf →: é sobrejetora se, para todo elemento de B existe um elemento em A tal
que .yxf =)( Logo podemos dizer que uma função f é sobrejetora, se Im( f )=CD( f ).
Uma função BAf →: é injetora se, quaisquer que sejam
)()(,, 212121 se xfxfxxAxx ≠⇒≠∈ )()(,, 212121 se xfxfxxAxx ≠⇒≠∈
Uma função BAf →: é bijetora se, e somente se, injetora. e asobrejetor é f
PESQUISE EXEMPLOS DE FUNÇÕES INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA
2.13 – Função Inversa:
Seja uma função BAf →: , bijetora. Chamamos função inversa de f a função ABf →− :1 ,
onde o par .),(,),( fbafab ∈∈ − se 1
Exemplo:
Sejam os conjuntos { } { }531 e 210 ,,,, == BA . função a Seja BAf →: 12 por definida += xxf )( .
Determine:
a) Pares de f e de ;1−f
b) O domínio de f e de ;1−f
c) A lei que define a função inversa;
Soluções:
30
a) { } { }(5,2) (3,1),(1,0), e (2,5) (1,3),(0,1), 1 == −ff
b) ( ) { } ( ) { }521 e 210 1 ,,,, == −fDfD
c) ( )2
11 −=− xxf
2.14 – Paridade de uma função:
Seja f uma função de A em B, f: A → B.
Dizemos que f é uma função par se, e somente se: .),()( Axxfxf ∈∀−=
Dizemos que f é uma função ímpar se, e somente se: .),()( Axxfxf ∈∀−−=
Exemplos:
a) f(x) = x² é uma função par, pois x² = (-x)² ;
b) f(x) = 3x é uma função par, pois 3.x = 3.(-x);
c) f(x) = cos x é uma função par, pois cos(-x) = cos x;
d) f(x) = 3x é uma função ímpar, pois 3.(-x) = -3.x;
e) f(x) = x³ é uma função ímpar, pois (-x)³ = -x³ ;
f) f(x) = sen x é uma função ímpar, pois sen(-x) = - sen x;
Obs.: Temos funções que não é par e nem ímpar, ou seja, a função f pode ser tal que: f(-x) ≠ f(x) e
f(-x) ≠ -f(x).
Exemplo: :ímpar nem e par é não 6 funçãoA 2 ,)( xxxf −=
Vejamos:
81242 x 622 2 −=−=−=)(f e
161242 x 622 2 =+=−−−=− )()()(f .
Se par. é não função a 22 )()( −≠ ff
Se ímpar. é não função a 22 )()( −−≠ ff
31
Exercícios de Fixação:
1) Sejam as funções ( ) :se-Pede 32 e 542 .)( −=−+= xxgxxxf
a) A lei que define fg ο ;
b) A lei que define gf ο
c) calcular fg ο e gf ο no ponto x = 2;
2) Se ( ) Determine 12 e 3 2 .)( −== xxgxxf fg ο e gf ο :
3) Se :definem que leis as Determine 3 e 22 .)()( −=+= xxgxxf
gg
ff
gf
fg
d)
c)
b)
a)
ο
ο
ο
ο
4) Nas funções abaixo de R em R, obter a lei de correspondência que define a função inversa:
3 5 d)
3 352
c)
253
b)
52 a)
+=
≠−+=
+=
+−=
xxf
xx
xxf
xxf
xxf
)(
,)(
)(
)(
5) Sejam 2xxf =)( para ).()( xfxgx de inversa a e 0> Determine o valor de ))(())(( 44 fggf + :
6) A função :Justifique inversa. adnite não 4 por definida , 2 −=→ xxfRRf )(:
7) Seja a função { } { } .)(:234
por definida ,42+−=−→−−
x
xxfRRf Qual é o valor do domínio de )(xf 1−
com imagem 5?
8) Dadas as funções ,)()( 52 e 23 por definidas em e +=−= xxgxxfRgf determinar a função
inversa de :fg o
32
Exercícios de Auto Avaliação:
1) Dê exemplo de uma função constante e construa o seu gráfico:
2) Dê exemplo de uma função afim decrescente cujo coeficiente linear é – 4 e e construa o seu
gráfico:
3) Dê exemplo de uma função quadrática com concavidade para baixo que tangencia o eixo das
abscissas e construa o seu gráfico:
4) Construa o gráfico das seguintes funções:
62 j
2 i
31
h
3 g
f)
e)
86 d)
4 c)
4 b)
43 a)
3
1
3
2
2
2
−=
+=
=
=
=
=
−+−=
−=
−=
−=
xxf
xxf
xf
xf
xxf
xxf
xxxf
xxxf
xxf
xxf
x
x
)()
)()
)()
)()
log)(
log)(
)(
)(
)(
)(
5) As funções ,)()( 1 e 4 +=+= bxxgaxxf calcule os valores de ba e de modo que os gráficos das
funções se interceptam no ponto (1, 6):
6) Dada a função :se-pede 562 ,)( +−= xxxf
a) analisar a sua concavidade;
b) as coordenadas do ponto de intersecção com o eixo das ordenadas;
c) as coordenadas dos pontos de intersecção com o eixo das abscissas;
d) as coordenadas do vértice, indicando se é máximo ou mínimo;
e) o gráfico;
f) o conjunto imagem;
g) os valores de x para os quais a função é crescente;
h) os valores de x para os quais a função é decrescente.
33
7) Dada a função :determine 382 ,)( −−= xxxf
( )( )
( )5 d)
32
c)
2 b)
0 a)
f
f
f
f
−
e) os valores de x de modo que :)( 6=xf
8) Seja :)(,)()(,)(.)( xffffcbxaxxf função a descubra 23 e 02 41 que Sabendo 2 −===++=
9) Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima e sua posição é dada em função do tempo
pela função segundos. em dado é tempo o e metros em dada é altura a onde ,540 2 thttth −=)(
Determine:
a) a altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no instante ;st 6=
b) os instantes em que o corpo está a uma altura de 60 metros do solo;
c) o instante em que o corpo atinge a altura máxima;
d) a altura máxima atingida.
10) Dadas as funções tenha se que para de reais valores os determine 1,- e 12 2 xxxgxxf =+= )()(
:))(( 0=xfg
11) Determine o valor de m para que a função ( ) ( ) duas possua 521 2 ++−+= mmxxmxf )( reais e
diferentes:
12) Resolva as seguintes inequações do 2º grau:
( ) 124 d)
09 c)
056x- b)
034x- a)
22
2
2
2
<++
<−
≥−+
>+
xx
x
x
x
34
13) Determine o domínio das funções:
( )( )
4
4 d)
123 c)
82
15 )b
8
5 a)
2
2
3
−−=
−=
−−+=
−+=
x
xxf
xxf
x
xxf
x
xxf
log)(
log)(
)(
)(
14) Sendo :determine 52 e 13 2 ,)()( +=−+= xxgxxxf
))(()
))((
))((
))((
))((
))((
1 f
3 e)
d)
c)
b)
a)
−
−
gg
ff
xgg
xff
xfg
xgf
15) Determine a inversa de cada uma das seguintes funções:
7254
d)
63 c)
727
b)
27 a)
5
+−−=
−=
+−=
+−=
x
xxf
xxf
xxf
xxf
)(
)(
)(
)(
16) A função 3 312 ≠
−−= x
x
xxf ,)( é inversível. Obtenha:
( )
( )xf
xf
1
1
de domínio O b)
a)
−
−
17) Dadas as funções 12 e 43 ,)()( −=+= xxgxxf calcule x de modo que ( )( ) ( )( ).21 gfxfg =−
18) (ITA-SP) Seja RRf →: a função definida por ( ) e onde .*, RbRabaxxf ∈∈+= Se RRα ∈∈ β , e
β≠α , demonstre que ( ) ( )
.aff =β−α
β−α
35
Unidade III – TRIGONOMETRIA:
3.1 – Introdução:
A Trigonometria é um dos ramos mais antigos da Matemática. A palavra Trigonometria vem de
trígono + metria, medida de triângulos.
Inicialmente vamos recordar o teorema de Pitágoras, num triângulo retângulo, o quadrado da
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
C Hipotenusa: CB = a
b a Catetos: AB = c e AC= b
A B Teorema de Pitágoras: a² = b² + c² c
3.2 – Trigonometria no Triângulo Retângulo:
Em relação a trigonometria em um triangulo retângulo, faremos um resumo para recordação.
Seja α a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.
O seno de α é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.
hipotenusa da medida
a oposto cateto do medida
α=αsen
O cosseno de α é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.
hipotenusa da medida
a adjacente cateto do medida
α=αcos
A tangente de α é a razão entre a medida do cateto oposto e o cateto adjacente a esse
ângulo.
α
α=α a adjacente cateto do medida
a oposto cateto do medida gt
3.2.1 – Ângulos de 30°, 45° e 60°:
Normalmente é apresentado aos alunos no Ensino Fundamental uma tabela apresentando
valores de seno, cosseno e tangente de 30°, 45° e 6 0°, em alguns casos é apresentada a
demonstração. No exercício, é solicitada a demonstração desses valores, vamos tentar!
Ângulo 30º 45º 60º
Seno ½ 22
23
Cosseno 23
22 ½
tangente 33 1 3
36
Exercícios de Fixação;
1) Demonstre todos os valores da tabela acima:
Sugestões: No ângulo de 45°, você pode trabalhar com a diagonal de um quadrado;
No caso dos ângulos de 30° e 60° você pode trabalha r com a altura de um triângulo
eqüilátero.
2) Calcular os valores de seno, cosseno e tangente, dos ângulos agudos de um triângulo
retângulo onde os catetos medem 6 cm e 8 cm:
3) Uma escada medindo 3 m precisa fazer um ângulo de 40° com a parede para que não escorregue.
A que distância o pé da escada precisa ficar na parede?
4) Uma escada rolante liga dois andares de um shopping e tem uma inclinação de 30°. Sabendo-se
que a escada rolante tem 12 metros de comprimento, calcule a altura de um andar para o outro:
5) Em um triângulo retângulo o perímetro mede 48 cm e a hipotenusa, 20 cm. Calcule o seno e o
cosseno do maior ângulo:
6) Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 100m, seguindo uma direção que forma
um ângulo de 30° com uma das margens. Calcular a distância percorrida pelo barco para atravessar
o rio?
7) Um foguete é lançado a 180 m/s, segundo um ângulo de inclinação de 60°. Determine a altura do
foguete após percorrer 4s, supondo a trajetória retilínea e a velocidade constante:
8) Um helicóptero e um carro de polícia perseguem um carro de bandidos. O helicóptero está a 250 m
de altura; o carro de polícia está bem abaixo do helicóptero, na horizontal. Do helicóptero o carro de
bandidos é avistado segundo um ângulo de 60°. Qual a distância entre o carro dos bandidos e da
polícia?
9) Uma rampa lisa de 20 metros de comprimento faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma
pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se verticalmente quantos metros em relação ao solo?
37
10) Durante uma tempestade, um poste de 9 m de altura quebra-se e, ao cair, forma com o solo um
triângulo retângulo. A parte quebrada forma com o solo um ângulo de 30°. Qual o comprimento da
parte que ficou fixa ao solo?
3.3 – Arcos e Ângulos:
Considerando dois pontos A e B em uma circunferência, ela fica dividida em duas partes. Cada
uma dessas duas partes que incluem A e B é denominada arco de circunferência AB. Os pontos A e B
são chamados extremidades dos arcos.
Quando os pontos A e B coincidem, temos então o arco nulo e o arco de uma volta.
Consideremos uma circunferência de centro O e os pontos A e B pertencentes a ela. B
O A
Unindo os pontos A e B ao centro da circunferência, obtemos o ângulo central AÔB.
Considerando as mesmas medidas para um arco unitário e seu correspondente ângulo central, temos:
med(AÔB) = med(AB)
A B C D Observe que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. Os arcos AB e CD possuem a mesma medida porém não tem o mesmo comprimento.
3.3.1 – Unidades de medidas:
Para medirmos arcos usaremos duas unidades de medidas: o grau e o radiano.
Grau é um arco unitário igual a 360
1 da circunferência que contém o arco a ser medido.
Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo, cujas definições são:
38
1° = 60’ (1 grau igual a 60 minutos) e 1’ = 60” (1 minuto igual a 60 segundos).
Radiano é um arco cujo comprimento tem a mesma medida do raio da circunferência que o
contém.
Como o comprimento da circunferência é 2.π.r, temos em toda circunferência 2.π arcos de
comprimento r. Como cada arco mede um radiano, concluímos que a medida da circunferência é
2π rad.
3.3.2 – Transformação de unidades:
Como uma circunferência mede 360° podemos estabelec er a seguinte relação:
360° ↔ 2π rad ou 180° ↔ π rad
Exemplos:
1) Transforme 120° em radianos:
Solução:
rad. 32
180
120 120180
120180
:Então
rad 120
rad 180 Se
π=⇒π=⇒π=⇒
π=
↔°
π↔°
xxxx
x
.
2) Transforme :graus em rad 32
π
Solução:
120
3180 x 2
rad 32
Então
180 rad Se
°=°↔π
°↔π
3) Converter a radianos um arco de 18°15’40”:
648.000" 10.800' 180 rad Se ↔↔°↔π
Temos um arco de 65.740" 1.095'40" 15'40"18 ↔↔°
Logo, podemos estabelecer a seguinte regra de três:
rad 324003287
000648
74065 65.740 648.000.
:Então
rad 65.740"
rad 648.000"
π=⇒π=⇒π=
↔
π↔
xxx
x
.
.
39
x
y
ou 0,3185 rad considerando π = 3,14.
3.4 – Ciclo Trigonométrico:
Consideremos uma circunferência qualquer e fixemos nela um ponto A que chamaremos
origem dos arcos. Convencionamos que o sentido positivo é o sentido anti-horário. Logo, temos uma
circunferência orientada.
Considerando o raio da circunferência como unidade de medida de comprimento, a
circunferência orientada passa a ser chamado ciclo trigonométrico.
Seja um ciclo trigonométrico, no qual A é a origem dos arcos. Estabeleçamos, um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais cujo o centro do ciclo trigonométrico coincide com a origem do
sistema cartesiano e o ponto A(1,0) seja a origem de todos os arcos. Logo, o plano cartesiano fica
dividido em quatro regiões chamadas quadrantes.
90° B 2º Quadrante 1º Quadrante + ���� 180° 0°
C A 3º Quadrante 4º Quadrante
270° D
Recordando que 180° equivale a π rad, logo: 0° equivale a 0 rad, 90° equivale a 2π
rad,
270° equivale a 2
3π rad e 360° equivale a π2 rad.
3.5 – Arcos Trigonométricos:
40
Seja 0x a medida de um arco AB em radianos, tal que π<≤ 20 0x . Chamamos arco
trigonométrico ao conjunto de números x tal que: π+= 20 .kxx , onde Zk ∈ sendo 0x a 1ª
determinação positiva do arco trigonométrico AP e k o número de voltas.
Quando o arco AP ser medido em graus , esses arcos podem ser representados pela
expressão:
°+= 3600 .Kxx , onde ZK ∈
Ex. Sendo 0x = 60°, temos:
. Para k = 0, x = 60° + 0 . 360° = 60° (1 ª determinação positiva)
. Para k = 1, x = 60° + 1 . 360° = 420° (2ª determinação positiva)
. Para k = 2, x = 60° + 2 . 360° = 780° (3ª determinação positiva)
. Para k = -1, x = 60° + (-1).360°= -300° (1 ª determinação negativa)
. Para k = -2, x = 60° + (-2).360°= -660° (2 ª determinação negativa), e assim sucessivamente.
De forma análoga calculamos em radianos.
3.6 – Função Seno:
Dado Rx∈ , seja P sua imagem no ciclo trigonométrico. O seno do arco x é a ordenada 1OP do
ponto P.
(0, 1) 1P P x (–1, 0) 0 A(1, 0) (0, –1) Chamamos de função seno a função f: R → R, f(x) = sen x.
OBSERVAÇÕES:
1ª) D(f) = R
41
x
y
2ª) Im(f) = [ ]11,−
3ª) Se x ∈ 1º Q ou x ∈ 2º Q ⇒ sen x > 0;
Se x ∈ 3º Q ou x ∈ 4º Q ⇒ sen x < 0;
4ª) Se x ∈ 1º Q ou x ∈ 4º Q ⇒ f(x) = sen x é crescente;
Se x ∈ 2º Q ou x ∈ 3º Q ⇒ f(x) = sen x é decrescente;
5º) A função f(x) = sen x é periódica e o seu período é 2π;
Se sen x = 1OP e k ∈ Z, então sen (x + k.2π) = 1OP .
3.6.1 - GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO:
Observando na figura anterior, os pontos A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1) e percorrendo o ciclo
no sentido positivo temos, em correspondência com os pontos acima, os arcos cujas medidas na 1ª
volta, são:
.,,, radradradradrad 2 e 2
3
2 0 ππππ
Temos:
,00 =sen ,12
=πsen ,0=πsen ,1
23 −=π
sen 02 =πsen
Observando no plano cartesiano temos:
1 0 π 2π – 1
42
3.7 – Função Cosseno:
Dado Rx∈ , seja P sua imagem no ciclo trigonométrico. O cosseno do arco x é a abscissa 2OP
do ponto P.
(0, 1) P x
(–1, 0) 0 2P A(1, 0)
(0, –1)
Chamamos de função cosseno a função f: R → R, f(x) = cos x.
OBSERVAÇÕES:
1ª) D(f) = R
2ª) Im(f) = [ ]11,−
3ª) Se x ∈ 1º Q ou x ∈ 4º Q ⇒ cos x > 0;
Se x ∈ 2º Q ou x ∈ 3º Q ⇒ cos x < 0;
4ª) Se x ∈ 1º Q ou x ∈ 2º Q ⇒ f(x) = cos x é decrescente;
Se x ∈ 3º Q ou x ∈ 4º Q ⇒ f(x) = cos x é crescente;
5º) A função f(x) = cos x é periódica e o seu período é 2π.
Se cos x = 2OP e k ∈ Z, então cos (x + k.2π) = 2OP .
43
x
y
3.7.1 - GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO:
Observando na figura anterior, os pontos A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1) e percorrendo o ciclo
no sentido positivo temos, em correspondência com os pontos acima, os arcos cujas medidas na 1ª
volta, são:
.,,, radradradradrad 2 e 2
3
2 0 ππππ
Temos:
1 2 e 0 2
3 ,1 0,
2 1, 0 =π=π−=π=π= coscoscoscoscos .
Observando no plano cartesiano temos:
0 π/2 π 3π/2 2π
44
Exercícios de Fixação:
1) Construa o gráfico das seguintes funções:
xxf
xxf
xxf
xsenxf
xsenxf
xsenxf
xsenxf
xsenxf
xsenxf
xsenxf
2 j
2 i
h
g
2 f
e
2 d
2 c
21
b
2 a
cos)()
cos)()
cos)()
)()
)()
)()
)()
)()
.)()
.)()
=
+−=
=
−=
+=
=
=
=
=
=
2) Determine o conjunto imagem de cada função acima:
3) Determine os valores de K que torna possível a igualdade 207 −= Kxsen :
4) Determine o valor de A = :,coscos2
5 doconsideran
2 3
π=+ xx
x
5) Determine o valor de m de modo que se tenha :cos21
−+=
m
mx
6) Calcular:
a) cos 1830°
b) sen 1830°
c) cos 810°
d) sen 810°
e) cos 945°
f) sen 945°
45
3.8 – Função Tangente:
Dado Rx ∈ , ,.π+π≠ kx2
,Zk ∈ seja P sua imagem no ciclo.
Seja a reta t paralela ao eixo y, pelo ponto A, com a mesma orientação do eixo das ordenadas.
Consideramos a reta OP e seja T a intersecção da reta OP com a reta t, chamamos tangente
do arco x a medida algébrica do segmento AT . A reta t é chamada eixo das tangentes.
t
P T x tg x O A
Chamamos função tangente a função f: D→R, f(x) = tg x, onde D =
∈π+π≠∈ ZkkxRx ,.2
OBSERVAÇÕES:
1ª) D(f) = { ,.π+π≠ kx2
Zk ∈ }
2ª) Im(f) = R
3ª) Se x ∈ 1º Q ou x ∈ 3º Q ⇒ tg x > 0;
Se x ∈ 2º Q ou x ∈ 4º Q ⇒ tg x < 0.
4ª) A função f(x) = tg x é crescente em todos os quadrantes;
5º) A função f(x) = tg x é periódica e o seu período é π.
Se tg x = AT, para todo x real e ,.2
ππkx +≠ temos tg x = tg (x + k.π).
46
x
y
3.8.1 – GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE:
Observando o ciclo trigonométrico e percorrendo o ciclo no sentido positivo temos na 1ª volta:
0).2(0 === ππ tgtgtg , 2
3,
2
ππtgtg não existe.
Marcando no gráfico os valores conhecidos acima e observando que em todos os quadrantes a
função f(x) = tg x cresce indefinidamente, temos:
0 π/2 π 3π/2 2π Observe, como foi citado nas observações que a função f(x) = tg x, é crescente em todos os
pontos do seu domínio.
Vamos, a seguir, deduzir relações trigonométricas envolvendo as funções seno, cosseno e
tangente.
47
3.8.2 – Relações envolvendo Seno, Cosseno e Tangente:
Considerando a figura abaixo, temos:
P T Q x O M A
Se med (AP) = x rad, então: AT. OM MP, === xtgxxsen cos
Como o triângulo OMP é retângulo em M, temos:
222
MPOMOP += , e sabemos que,
=
=
=
senxMP
xOM
OP
cos
____
1
, logo: .cos 122 =+ xxsen
Como o triângulo OMP é semelhante ao triângulo OAT, temos:
AT
MPOM =1
⇒ tgx
xx sen
1
cos = ⇒ xxtgx sencos. = , logo: x
xsenxtg
cos
=
48
Exemplos:
1) Verifique as relações acima são válidas para um ângulo de 60°:
Sabemos que ,2
360sen =°
2
160cos =° e 360 =°tg , logo:
14
1
4
3
2
1
2
3cossen
22
22 =+=
+
=+ xx e tgx
x
x === 3
21
23
cos
sen
2) Dado 31
=xsen , ,ºQx 2∈ determine: cos x e tg x:
a) xcos ;
b) xtg
a) Como ,cos 122 =+ xxsen temos que: 3
2298
91
11 2 ±=±=−±=⇒−±= xxsenx coscos .
Mas x está localizado no 2º quadrante, portanto:
3
22−=xcos .
b) Como 42
22
1
3223
1−=−=
−=⇒= tgx
x
senxtgx
cos
Observe que se =+ xxsen 22 cos 1, podemos escrever: xxsen 22 1 cos−±= e
xsenx 22 1−±=cos . O fato de ser positivo ou negativo irá depender do quadrante em que o arco se
encontra.
Também podemos deduzir que se xtgxxsenx
xsentgx
.cos
cos=⇒= . Assim como outras
identidades podem vir a ser deduzidas.
49
3.9 – Função Cotangente:
Dado Rx∈ , ,.π≠ kx ,Zk ∈ seja P sua imagem no ciclo.
Seja a reta c paralela ao eixo das abscissas, pelo ponto B, com a mesma orientação do eixo
das abscissas.
Consideramos a reta OP e seja T a intersecção da reta OP com a reta c, chamamos
cotangente do arco x a medida algébrica do segmento BT . A reta c é chamada eixo das cotangentes.
B T c P x O Chamamos função cotangente a função f: D→R, f(x) = cotg x, onde D = { }ZkkxRx ∈π≠∈ ,. ;
OBSERVAÇÕES:
1ª) D(f) = { ,.π≠ kx Zk ∈ }
2ª) Im(f) = R
3ª) Se x ∈ 1º Q ou x ∈ 3º Q ⇒ cotg x > 0;
Se x ∈ 2º Q ou x ∈ 4º Q ⇒ cotg x < 0.
4ª) A função f(x) = cotg x é decrescente em todos os quadrantes;
5º) A função f(x) = cotg x é periódica e o seu período é π.
Se cotg x = BT, para todo x real e ,.π≠ kx temos cotg x = cotg (x + k.π).
50
3.9.1 – Gráfico da Função Cotangente:
Observando o ciclo trigonométrico e percorrendo o ciclo no sentido positivo temos na 1ª volta:
02
3
2 =π=π
gg cotcot , ).(cotcotcot π=π= 2 0 ggg não existe.
Marcando no gráfico os valores conhecidos acima e observando que em todos os quadrantes a
função xgxf cot)( = decresce infinitamente, temos:
-π/2 0 π/2 π 3π/2
Observe, como foi citado nas observações que a função f(x) = cotg x, é decrescente em todos os
pontos do seu domínio.
Vamos, a seguir, deduzir relações trigonométricas envolvendo as funções seno, cosseno,
tangente e cotangente.
3.9.2 – Relações envolvendo Seno, Cosseno, Tangente e Cotangente:
Considerando a figura abaixo, temos:
B T
x
y
51
D P O M A Se med (AP) = x rad, então: BT. e OM MP, === xtgxxsen cos Como o triângulo OBT é
semelhante ao triângulo ODP, temos:
xsen
xxg
xsenx
xg
OD
OB
DP
BT
1
cos
cotcos
cot =⇒=⇒=
Observação: Como xtg
xgxsen
xxg
x
xsenxtg
1
e
=⇒== cotcos
cotcos
Exemplos:
1) Descubra os valores de ,cot6
π
g 4
π
gcot e :cot3
π
g
1
22
22
4
44
33
3
1
232
1
3
33
32
12
3
6
66
==π
π=π
===π
π=π==
π
π=π
seng
seng
seng
coscot
coscot,
coscot
:
2) Dado ,51=senx x ∈ 1ºQ, descubra o valor de cotg x:
5
6225
2425
11 122 ±=±=−±=⇒=+ xxxsen coscos ⇒ 5
62=xcos .
52
Como 625
15
62 ==== xg
senx
xxg cot
coscot
3.10 – Função Secante:
Dado Rx ∈ , ,.π+π≠ kx2
,Zk ∈ seja P sua imagem no ciclo.
Seja a reta s tangente ao ciclo em P e seja S sua intersecção com eixo dos co-senos.
Denominamos secante do arco x, a medida algébrica do segmento OS .
P
O S
Chamamos função secante a função f: D → R, f(x) = sec x, onde D =
∈π+π≠∈ ZkkxRx ,.2
OBSERVAÇÕES:
1ª) D(f) = { ,.π+π≠ kx2
Zk ∈ }
2ª) Im(f) = R – ] [11,−
3ª) Se x ∈ 1º Q ou x ∈ 4º Q ⇒ sec x > 0;
Se x ∈ 2º Q ou x ∈ 3º Q ⇒ sec x < 0.
4ª) Se x ∈ 1º Q ou x ∈ 2º Q ⇒ f(x) = sec x é crescente;
Se x ∈ 3º Q ou x ∈ 4º Q ⇒ f(x) = sec x é decrescente;
5ª) A função f(x) = sec x é periódica e o seu período é 2π.
53
x
y
3.10.1 – Gráfico da Função Secante:
Observando o ciclo trigonométrico e percorrendo o ciclo no sentido positivo temos:
existe. não 2
3 e
2 , 1 1,2 0
ππ−=π=π= secsecsecsecsec
-π -π/2 0 π/2 π 3π/2
3.10.2 – Relação envolvendo secante e cosseno:
Considerando a figura abaixo, temos:
54
P x O B S
Dado x real, ,.2
ππkx +≠ Zk ∈ , temos:
1º) Se x = k.π, temos sec x = cos x;
2º) Se x ≠ kπ, a imagem de x não coincide com os eixos coordenados, então temos:
OBPOPS ∆∆ ~
Temos: OB
OP
OP
OS = ⇒ x
x
cos
1
1
sec = ⇒ x
xcos
1sec =
Exemplos:
1) Calcule ,sec6π
4π
sec e 3π
sec :
Como ,cos
secx
x1= temos:
332
6=π
sec , 24
=πsec e 2
3=π
sec .
2) Se Qxx º1,4
1cos ∈= , calcule sec x
6
π:
Como 4seccos
1sec =⇒= x
xx ;
3.11 – Função Cossecante:
Dado Rx∈ , ,.π≠ kx ,Zk ∈ seja P sua imagem no ciclo.
Seja a reta s tangente ao ciclo em P e seja C sua intersecção com eixo dos senos.
Denominamos cossecante do arco x, a medida algébrica do segmento .OC
55
y
C
B
P
O
Chamamos função cossecante a função f: D→R, f(x) =cossec x, onde D = { }ZkkxRx ∈π≠∈ ,.
OBSERVAÇÕES:
1ª) D(f) = { ,.π≠ kx Zk ∈ }
2ª) Im(f) = R – ] [11,−
3ª) Se x ∈ 1º Q ou x ∈ 2º Q ⇒ cossec x > 0;
Se x ∈ 2º Q ou x ∈ 4º Q ⇒ cossec x < 0.
4ª) Se x ∈ 2º Q ou x ∈ 3º Q ⇒ f(x) = cossec x é crescente;
Se x ∈ 1º Q ou x ∈ 4º Q ⇒ f(x) = cossec x é decrescente;
5ª) A função f(x) = cossec x é periódica e o seu período é 2π.
3.11.1 – Gráfico da Função Cossecante:
Observando o ciclo trigonométrico e percorrendo o ciclo no sentido positivo temos:
existe. não 2 0, 12
12
3 ππ=π−=π
seccos,seccosseccos,seccos,seccos
56
-π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π
3.11.2 – Relação envolvendo cossecante e seno:
Observando a figura, temos:
C B P O Dado x real, ,.πkx ≠ Zk ∈ , temos:
1º) Se Zkkx ∈+= ,.2
ππ, temos cossec x = sen x;
2º) Se ,.2
ππkx +≠ a imagem de x não coincide com os eixos coordenados, então temos:
57
OBPOPC ∆∆ ~ .
Temos: OB
OP
OP
OC = ⇒ x
x
sen
1
1
seccos = ⇒ x
xsen
1seccos =
Exemplos:
1) Calcule ,seccos6π
4π
seccos e 3π
seccos :
Como ,seccossenx
x1= temos: 2
6=π
seccos , 24
=πseccos e
332
3=π
seccos .:
2) Se Qxsenx º, 141 ∈= , calcule cossec x :
Como 41 =⇒= x
senxx seccosseccos ;
Exercícios de Fixação:
1) Sabendo que xde circulares funções demais as calcular x2
e 53
xsen :,ππ <<=
2) Calcular :13.cosx xsen que sabendo cosx, e x sen −=+
3) Se :de valor o calcular quadrante, 1º no localizado está x e 31
x sen =
:
xcotg-cossec x1
xcotgcossec x1
y ++
=
4) Demonstre que para todo x real, ,2
k.x
π≠ valem as igualdades:
a) xtg1
1xcos 2
2
+=
b) xtg1
xtgxsen 2
22
+=
5) Complete os valores:
a) cotg 120°
b) sec 150°
c) cossec 210°
58
6) Determine o conjunto ao qual m deve pertencer de modo que exista x satisfazendo a igualdade:
11
−+=
m
mxseccos :
7) Determine o sinal das expressões:
a) y = tg 260° + sen 260°
b) y = tg 30° + tg 350°
c) y = sen 107° + séc 107°
Exercícios de Auto Avaliação:
1) Determine a área do triângulo retângulo ABC, retângulo em C onde AB = 12 e B = 30°:
2) Calcule a área e o perímetro de um triângulo isósceles cuja base tem 20 cm e os ângulos da base
medem 30°:
3) Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se até um comprimento máximo de 30
metros, quando é levantada a um ângulo máximo de 70°. Sabe’se que a base da escada está
colocada sobre um caminhão a uma altura de 2 metros do solo. Que altura em relação ao solo esta
escada poderá alcançar?
4) Ao meio-dia, sol a pino, um garoto empina pipa. A linha que segura a pipa, bem esticada, forma
com o chão um ângulo de 60°. Como a sombra da pipa está distante 20 m de onde se encontra o
garoto, qual é a altura x em que se encontra a pipa nesse instante?
5) O piloto de um avião começa a acionar o sistema de descida à altura de 800 m em relação a pista.
Sabendo que a direção da linha de rumo do avião na descida para a pista faz um ângulo de 30° com
o solo, calcule a distância percorrida pelo avião desde o início desse procedimento até chegar ao
solo:
6) Determine a medida em graus de arco correspondente a 1 radiano:
7) Determine a medida em radianos de um arco correspondente a 1 grau:
8) Construa o gráfico das seguintes funções:
59
xtgxf
xxf
xsenxf
2 c)
3 b)
23 a)
.)(
cos)(
.)(
=
=
−=
9) Sabendo que ,,2
3 com
41
π<<π−= xxsen encontre:
x
x
xg
xtg
x
e)
d)
c)
b)
a)
seccos
sec
cot
cos
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
Unidade I - 1.1 a 1.3
1)
2) a) A x B = {(–2,0), (–2,2), (–1, 0), (–1, 2), (0,0),.(0,2),(1,0), (1,2)}
b) B x A = {(0, –2), (0, –1), (0,0), (0,1), (2, –2), (2, –1), (2,0), (2,1)}
c) A² = {(–2, –2), (–2, –1), (–2,0), (–2,1), (–1, –2), (–1, –1), (–1, 0), (–1,1), (0, –2), (0, –1), (0,0),
(0,1), (1, –2), (1, –1), (1,0), (1,1)}
d) B² = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)}
3) Observe que em cada par (x, y), e x ∈ A e y∈ B logo: A = {0, 1, 5} e B = {2, 3}
4) O A também pode ter 5 elementos, logo A x B pode ter até 25 elementos (5 x 5 = 25);
B
E A
D
G F
C
60
5)
a) y = x²
X = -2 ⇒ (-2)² = 4
X = -1 ⇒ (-1)² = 1
X = 0 ⇒ (0)² = 0
X = 1 ⇒ (1)² = 1
X = 2 ⇒ (2)² = 4
b) y = 2x + 1
X = -2 ⇒ 2(-2) + 1 = -3 ∉B
X = -1 ⇒ 2(-1) + 1 = -1 ∉B
X = 0 ⇒ 2(0) + 1 = 1
X = 1 ⇒ 2(1) + 1 = 3
X = 2 ⇒ 2(2) + 1 = 5 ∉B
R = {(–2, 4), (–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)} R = {(0, 1), (1, 3)}
6) Observando que o domínio é formado pelos valores de x tais que (x, y) ∈ R e a imagem pelos
valores y, tais que (x, y) ∈ R, temos:
a) D(R) = {–2, –1, 0, 1, 2} e Im(R) = {0, 1, 4}
b) D(R) = {0, 1} e Im(R) = {1, 3}
7)
R = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}
8) ∅
9) Só é função a relação do exercício Nº 5 – item a, pois, o item b do nº 5 não é função, pois temos
elementos de A que não tem correspondente em B
O nº 7 não função pois temos elementos de A associados a mais de um correspondente em B.
Unidade II – 2.1 e 2.2
1) a)
b) Im = {–1, 1, 3, 5, 7}
0. 1.
2.
. 0
. 2
. 3
0.
1.
2.
3.
4.
.-1
.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
61
2) a) f(-2) = (-2)² - 3 . (-2) + 4 =
= 4 + 6 + = 14
b) f 43
1.3
3
1
3
12
+
−
−=
−
=++ 419
1
4
465
9
1 =+
c) f ( ) ( ) 43.3332
+−= =
= 3 - 33 +4 = 337 −
3) 4
3
5
32 −=−x ⇒ 8x – 12 = -15 ⇒ 8x = -15 + 12 ⇒ 8x = - 3 ⇒83−=x
4) 2301110 31 e 01 10 =++−=+−+⇒==−−= )()()()()(,)( ffffff
5) a) D = {1, 2, 3, ..., n}
b) Na 3ª tentativa, n = 3 ⇒ t(3) = 3 + 3
12⇒ t(3) = 3 + 4 = 7 minutos;
c) n = ?
3 + n
12 = 4⇒ 3n + 12 = 4n ⇒ n = 12,
Logo, na 12ª tentativa o rato gastou 4 minutos.
6) As 10 horas, se passaram 2 horas, logo p(2) = 8;
As 11 horas, se passaram 3 horas, logo p(3) = 15
Entre 10 e 11 horas, 15 – 8 = 7 pares.
7) 2x + 2y = 36 como: AR = x . y
Y x + y = 18 temos: AR= x. (18 – x)
x x logo: y = 18 – x AR = 18x – x²
y
xxxf 182 +−=)(
62
{ }{ }
{ }
−>∈=
−⟩⇒⟩+
≤∈=≤⇒≥+
==
±≠∈=≠∈=
3
2/ D
3
20 23x f)
4/ D
4x 0123x -
temosnegativo, número depar índice com raiz existe não Reais, nos Como, e)
D d)
D c)
5/ D b)
1/ D temosnulo,ser pode nãor denominado o Como a) 8)
xRx
x
xRx
R
R
xRx
xRx
Unidade II – 2.3 a 2.6
1) a) Im={ -4} b) Im = R c) Im = R’
d) Im = R e) Im = R
2) Como o coeficiente angular é igual a 1, o ângulo é de 45°, pois tg 45° = 1.
3) Analiticamente, temos:
1 55 4293 34
32
3 34
32
e 3 Se −=⇒−=⇒+−=+⇒+−=+⇒+−=+= xxxxxxxyxy
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
63
x
y
2 31 3 e 1 Se =⇒+−=⇒+=−= yyxyx . O ponto de intersecção das duas funções é (–1, 2).
Graficamente, temos:
4) ..)()( 2 063 Logo, 0 se crescente é 563 >⇒>−>+−= KKaxKxf
( )( )
.
.,
.,
;
13 Logo;
32122121
11010
5)
+−=
−=⇒−=+⇒−=+⇒−=+⇒−
=⇒=+⇒
+=
xy
aababa
bba
baxy
6) .145 a igual é angular ecoeficient o abscissas, das eixo o com 45 de ângulo um forma Se =°° tg
Então bxy += . Como o ponto (–3,1) pertence a função, temos:
.. 4 Logo, 431 +==⇒+−= xybb
Unidade II – 2.7
1) a) b)
c) d)
x
y
y
x x
y
y
x
x
y
y
x x
y
y
x
64
x
y
2) a) Como a < 0, concavidade voltada para baixo;
b) os pontos de intersecção com o eixo das abscissas (eixo x), são aqueles pontos onde a
ordenada é zero ( y = 0).
Então temos:
- x² + 8x + 9 = 0
Ou x² - 8x- 9 = 0
a = 1 ∆ = b² - 4ac
b = -8 ∆ = (-8)² - 4.1.(-9)
c = -9 ∆ = 64 + 36
∆ = 100
Temos,
X = a
b
2
∆±−
Logo; x’ = 92
18
2
108 ==+
X = 2
108±
x’’ = 12
2
2
108 −=−=−
Pontos: (9, 0) e (–1, 0)
c) O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas (eixo y), é o ponto onde a abscissas é zero (x
= 0).
Então, temos:
f (0) = 0² + 8 . 0 + 9 = 9 ⇒ (0, 9)
d) As coordenadas do vértice são dadas por
∆−−aa
b
4,
2
logo,
xv= 42
8 = e yv = 254
100 −=−; ⇒ V(4, - 25)
e)
65
f) { }25≤∈= yRy /Im
g) 4<x
3) Duas Raízes Reais e diferentes ⇒ ∆ > 0
Temos:
a = m - 1 ∆ = b² - 4ac
b = 2m + 3 ∆ = (2m + 3)² - 4.(m – 1).(m)
c = m ∆ = 4m² +12m +9 - 4m² +4m
∆ = 16 + 9
Como ∆ > 0,vem: 16m + 9 > 0 ⇒ 16m > - 9 ⇒ m > - 16
9−
R.: 1 e 169 ≠−> mm
x1 = a
b
2
∆+−
4) Se ax² + bx +c = 0 ⇒ X = a
b
2
∆±− x2 =
a
b
2
∆−−
P = x1 ⋅ x2. = a
bbb
a
b
a
b
422
2 ∆−∆///−∆//+=
∆−−•
∆+− = a
b
4
2 ∆−
a
c
a
acbb
a
acbb =+/−/=−−²4
4²²
²4
)4²(²
5) Seja j o produto de x por y ⇒ z = x . y
Temos; x + y = 8 ⇒ y = 8 – x
Logo; z = x (8 – x) = -x² + 8x
Um dos números é 42
8 =−−
e o produto máximo é 4² + 8.4 = 16
Então os números são 4 e 4.
6) aba
b2814
2=−⇒=−
; pois xv = 14 (máxima)
Se atingiu uma máxima, a concavidade está para baixo (a < 0)
Portanto; b = -28a (se a< 0 ⇒ b > 0)
b > 0 a < 0
Logo; a.b <0 ⇒ item d
66
7) Quando a ola atingir o solo, a altura é h = 0.
-25t² + 625 = 0 ⇒ 25t² = 625 ⇒t² = 25 ⇒ t = 5s item b;
8)
{ }2ou 1/
2 e 1 Raízes a)
≥≤∈= xxRxS
b) Não tem raízes Reais , pois ∆ < 0
como a > 0 ⇒ concavidade para cima S = ∅
c)Raízes
3
2 S = { }32 <<∈ xRx /
d) Não possui Raízes Reais, pois ∆ < 0
S= R
e) R aízes
5 S = R
5
+ +
- 1 2
2 3 +
+ +
5
67
Unidade II – 2.8 a 2.10
1) a) b) c)
Im
=
R+ Im = R +
d)
Im = *+ℜ e) Im = R f) Im = R
2) a) decrescente para x < – 3 e crescente para x > – 3;
b) decrescente para x < 0 e crescente para x > 0;
c) crescente;
d) decrescente;
e) crescente;
f) decrescente.
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
68
3)
{ }
{ }
{ }
=
=⇒=⇒−−=−
−=⇒+=−
+−=−
+=−⇒+=−
≥⇒≥+
−===⇒=+−
==⇒===
−==⇒=+
=−=
−=
=⇒=
=⇒===
−===
=+=+
3
13
113122
3122
,log
)12(2
122
122
21-x012x Temos f)
4 ,2 ,1 ,1
12023²
-14ouxx04-3x- x²logo;
-31-3x-ou x² 31-3x- x²e)
2
-2x 063x d)
;log
53-2x que tal x,de valor existe Não c)
1,3
13
1- x -13x ou
1x 33x logo;
2- 1 -3x ou 2 1 -3x b)
1,5
5- ou x 1 x logo;
3- 2ou x 3 2 x a)
S
xxxx
ou
xxx
o
xx
ou
xx
xxSe
S
ouxxxx
ou
S
So
S
S
φ
(não satisfaz)
69
4)
a)
−=⇒
−=⇒−=⇒−=−⇒=⇒= −−−
5
2
5
22542533
3
13 425
4
25 Sxxxxx
b) ( )
−=−=⇒−=⇒−=⇒−=⇒=⇒=
⇒= −
2
5;
2
5
4
101042
5
422
2
12
4
12 25
4
25
45 4 Sxxx
xxx
x
c)
756887
:,7
87
77877 1
=⇒=⇒=+
=
=+⇒=+ −
yyy
y
temosyFazendo x
xxxx
mas { }1;1777 Sxy xx =⇒=⇒=
d) ( ) { }1;17
8
7
8
7
8
7
88
7
8.78717877 11 Sx
x
x
xxxxxxxx =⇒=
⇒=⇒=⇒=+⇒=+ −−
e) { }1;122152
15.215421
2
12152.22.222.2 211 Sxxxxxxxx =⇒=⇒=⇒=
+++⇒=+++−
f)
( ) ( )
056
:,5
055.65055.65055.625
2
22
=+−=
=+−⇒=+−⇒=+−
yy
temosyFazendo x
xxxxxx
y = 5 ou y = 1
Logo;
5x = 5 ⇒ x = 1 ou 5x = 1 ⇒x = 0
S = {1, 0}
5)
2101010
110
100
1log01,0log)
1555log)
0151log)
21333
3
13log)
5332433243log)
22
1010
5
5
3
1
53
21
−=⇒=⇒
=⇒==
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
−=⇒=⇒=
⇒=
=⇒=⇒=⇒=
−
−
xxe
xxd
xxc
xxb
xxa
xx
x
x
xx
xx
6) Demonstrações:
;11log) =⇒= xa axa como a ≠ 0 ⇒ x = 0
Logo; 01log =a
70
b) 1log 1 =⇒=⇒= xaaxa xa
c) xnaaxa nxna =⇒=⇒=log se n = x ⇒ na n
a =log
7) Demonstrações
a) Fazendo yx aa == βα log,log e ( ) za =βα.log
Temos que provar que z = x +y
Se ,log αα =⇒= xa ax e ββ =⇒= y
a aylog e ( ) za =βα.log ⇒ az = α.β
Então; az = α.β = ax . ay= ax + y ⇒ z = x + y
b) Fazendo yx aa == βα log,log e za =
βα
log
Temos que provar que z = x – y
Se ,log αα =⇒= xa ax , ββ =⇒= y
a aylog e za =
βα
log ⇒ βα=za
Então yxzaa
aa yx
y
xz −=⇒=== −
βα
c) Fazendo xa =αlog e yna =αlog temos que provar que
y = n. x ( )αα an
a n log.log =
se ,log αα =⇒= xa ax e se yn
a =αlog ⇒ ay = αn
Então; ay = αn = (ax)n = ax.n ⇒ y = n .x
8)
a) log 6 = log (2.3) = log 2 + log 3 = 0,7781
b) log 16 = log 24 = 4. log 2 = 4 x 0,3010 = 1,2040
c) log 27 = log 3³ = 3. log 3 = 3 x 0,4771=1,43131,4313
d) log 5 = log 2
10 = log 10 – log 2 = 1 – 0,3010= 0,69900,6990
e) log 0,2 = log 2
10 = log 2 – log 10 = 0,3010- 1 = - 0,6990
f) log 72 = log (2³.3²) log 2³ + log3² = 3. log 2 + 2 log 3 = 3 x 0,3010 + 2* 0,4771 = 1,8572
71
x
y
9)
xxf 2=)(
xxf 2log)( = 10) Em balog , temos b > 0 e 0 < a ≠ 1
Logo;
Se f(x) = ( )105log6 +x
5x + 10 > 0 ⇒ x >- 2
D = { x ∈ R | x > -2}
Unidade II – 2.11 a 2.14
1)
a) ( )( ) ( ) ( ) 138²23108²2354²254² −+=−−+=−−+=−+== xxxxxxxxgxfgfg o
b) ( )( ) 84²45128912245)32(4)²32()32( −−=−−++−=−−+−=−== xxxxxxxxfxgfgf o
c) 11)7())20(()2( === gfgfg o e 0)1())2(()2( === fgfgf o
31212)14²4(3)²12.(3)12())((
1²61²3.2²)3())(( fg a) 2)2 +−=+−=−=−==
−=−===
xxxxxxfxgfgf
exxxgxgf
o
o
633)3())(( d)
6424²42)²2²()2²())(( c)
116296²2)²3()3())(( b)
132²)2²())(( a) 3)
244
2
2
−=−−=−==++=+++=++=+==
+−=++−=+−=−==−=−+=+==
xxxgxgggg
xxxxxxfxffff
xxxxxxfxgfgf
xxxgxfgfg
o
o
o
o
72
5 d)
2 ,235
c)
352
b)
25
a) 4)
31
1
1
1
−=
≠−
+=
−=
−=
−
−
−
−
xxf
xx
xxf
xxf
xxf
)(
)(
)(
)(
5) 8
6) não é bijetora;
7) 7
17
8) 6
11 −=− xxfg )()( o
Unidade III – 3.1 e 3.2
1) Demonstrações
Ângulo de 45º
Considerando um quadrado de lado x, temos:
Logo;
X d² = x² + x²
d = x 2
x
Ângulo de 30º e 60º
Considerando um Triângulo Eqüilátero de lado x , temos:
d
1º45
2
2
2
1
2º45
;2
2
2
1
2º45cos
==
===
===
x
xtg
ex
xsen
x
x
30º
60º
h
x
2
x
2
3
4
²²²²
4
²²
22
22 x
hx
xhxx
hxx
h =⇒−=⇒=+⇒=
+
73
12m
30º
Logo
3
3
3
1
3
2.
2
2
32º30
32
.2
3
2
2
3
º60
2
11.
22º60cosº30
2
31.
2
32
3
º30cosº60
====
===
====
====
x
x
x
x
tag
xxx
x
tag
x
x
x
x
sen
x
x
x
x
sen
2) Considerando um triângulo retângulo ABC, retângulo em Â, temos:
B
8 cm 10 cm Utilizando o Teorema de Pitágoras, descobrimos que a
hipotenusa mede 10 cm.
A 6 cm C
33,16
8ˆ 75,08
6ˆ
8,010
8ˆ 8,010
8ˆcos
6,010
6ˆcos6,010
6ˆ
==⇒==
==⇒==
==⇒=
CtgBtg
CsenB
CBsen
3) Sen40º = 92,13
64,03
=⇒=⇒ xxx
m
4) x Sen30º = mxxx
65,0.1212
=⇒=⇒ 6 metros.
3m
x
40º
74
720m
60º
x
5) x² + (28 – x)² = 400
X² + 784 – 56x + x² - 400 = 0
2x² - 56x + 384=0
X² - 28x – 193 = 0
a = 1 ∆ = b² - 4ac
b = -28 ∆ = (-28)² - 4.1.(192)
c = 192 ∆ = 16
=±=2
428x
Se x = 16 ⇒ (28 – x) = 28 – 16 = 12
Se x = 12 ⇒ (28 – x) = 28 – 12 = 16
Catetos: 12cm e 16cm
602012
e 802016
,cos, ==α==αsen
6)
mxx
xsen
200100
2
1
100º30
=⇒=
=
7) mxxx
sen 33602
3720
720º60 =⇒⇒=
623,5383360 ≅ m
8)
)(433250
º60 aproximadomxx
tg =⇒=
x
B
A C
20 cm
x
(28 –x) cm
16
12 16
B
A C
20 cm
16
12 cm
α
100m 100m x
30º
50m
B P
H
60º
75
20m
30º
x
9) metrosxx
sen 1020
º30 =⇒=
10)
mxxxxx
x
x
xsen 39392
92
1
9º30 =⇒=⇒−=⇒
−=⇒
−=
R.: 3 metros
Unidade III – 3.3 a 3.7
1)
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
9 -x x
30º
y y
y
y y y
y y y
x x
x
x x
x
x x x
76
j)
2)
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ]0,1 j)
3,-1- i) 0,1 h) 1,1- g)
1,3 f) 0,1 e) 1,1- d)
1,1- c) 21
,-21
- b) 2,2- a)
3) Sem x = 7k – 20;
Como a imagem da função seno é Im(f) = [-1, 1], temos;
-1 ≤ 7k-20 ≤ 1 7k – 20 ≥ -1 ⇒ k ≥7
19
7k – 20 ≤ -1 ⇒ k ≤ 3
Logo;
37
19 ≤≤ K
4) A = cós 3x + cos2
x, considerando x =
2
5π;
Temos:
A = cos ⇒+4
5cos
2
15 ππ
2
36
2
15 ππ =−
⇒ A = cos ⇒+4
5cos
2
3 ππ
⇒ A = 0 +2
2
2
2 −=
−
x
y
y
x
77
5)
02
30
2
12
012
101
2
1
12
11
2
1cos
≤−
≥−−
⇒≤−−+≥+
−+
≤−+≤−⇒
−+=
me
m
mm
me
m
mm
m
m
mx
m – 2 < 0 ⇒ m < -2
Temos ( ou m ≥ 2) e m < 2
Logo;
21≤m ou m ≥ 2
6)
2
2 sen225ºsen945º f)
2
2 225º 945º cos e)
1 sen90ºsen810º d)
0 cos90º cos810º c)
2
1 sen30º 1830ºsen b)
voltasde nº5
360º
º30
1830
2
3 cos30º 1830º cos a)
−==
−==
====
==
°==
2m-1
m-2
½ 2
-
- +
-
+
+
+ - +
2
1≤m
2
1≤m
78
Unidade III – 3.8 a 3.11
1)
3
5
5311
seccos
seccos
4
5
541
cos
1sec
sec
34cos
cot
cot
4
3
cos
5
4cosº2
5
4cos
25
16²cos
25
91²cos1²cos
25
91cos
cos
º2log,25
3
53
54
54
53
22
===
−=−
==
−=−==
−=−
==
−=⇒∈
±⇒=⇒−=⇒=+⇒=+
∈<<=
xsenx
x
xx
x
xsen
xxg
xg
x
xsentgx
xtg
xQxcomo
xxxxxxsen
x
Qxoxexsen ππ
2) sen x e cos x
sen x + 3.cos x = -1 ⇒ sem x = -1 -3 cos x (substituindo na outra equação, temos:)
sen²x = cos² x = 1
(-1 -3cosx)² + cos²x = 1 ⇒ 10 cos²x + 6 cos x = 0 ⇒ cos x= 0 ou cos x = - 53
5
4 e
5
3cos Se
1 e 0cos Se
=−=
−==
xsenx
xsenx
79
3) Simplificando a expressão,
( ) ( )
6
31
22
²
2
²cos1
cos1cos1
cos1cos1
cos1
1
cos1
1
cotseccos
1
cotseccos
1
=⇒=⇒=−
=⇒
=−
++−=⇒
−+
+=⇒
−+
+=⇒
⇒−
++
=
yyxsenxsen
xseny
x
xxsenxxseny
x
xsen
x
xseny
xsen
x
xsen
xy
xgxxgxy
4) Demonstrações:
a)
( ) ( )( )
( ) ( )xfxxxsen
x
x
xsenx
x
xsenxtgxgtemos
xgxfxtg
x
==+
=+
=+
=+
=
≡+
=
²cos²cos²
²cos
²cos
²²cos1
²cos
²1
1
²1
1:
²1
1²cos
b)
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) xsenxsenx
x
x
x
x
xx
x
xtg
xtgxg
ou
xfxx
x
x
x
x
x
x
xtg
xtg
xtgxgtemos
xgxfxtg
xtgsen
²²²cos
²cos.
²cos
²sec
²cos
²sec1
²cos
²sec
²1
²
²sec1
²cos.
²cos
²sec
²cos
1²cos
²sec
²sec
²
²1
²:
²1
²²
=+
=+
=+
=
=====+
=
≡+
=
80
6)
1
1
1
1cos
+−=⇒
−+=
m
mxsen
m
mxecSe
m ≠ 1
Logo; 11
11
1
11
1
11 ≤
+−−≥
+−
⇒≤+−≤−
m
me
m
m
m
m
Temos; 01
20
1
2 ≤+
−≥+ m
em
m
m+ 1> 0 ⇒ m > -1
m< -1 ou m ≥ 0
Logo; (m < -1 ou m ≥ 0) e m> -1
R.: 1 e 0 ≠≥ mm
7) a) positivo
b) positivo
c) negativo
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE AUTO AVALIAÇÃO:
Unidade I
1) A = {0, 1} e B = {2, 4, 6}
2) A ∪ B = {0, 2, 3} ⇒ (A ∪ B) x B = {(0, 0), (0, 2), (0, 3), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 2), (3, 3)}
3) a) A ∩ B = {1, 2} ⇒ (A ∩ B) x C = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}
b) B ∩ C = ∅ ⇒ (B ∩ C) x A = ∅
c) C ∪ A = {0, 1, 2, 4, 5, 6} e B – A = { 3 } ⇒
(C ∪ A) x (B – A) = {(0, 3), (1, 3), (2, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}
4) a) 20 elementos; c) 25 elementos;
b) 20 elementos; d) 16 elementos .
5) 10 elementos;
2m
m +1 +
-
+
- +
+
-
- +
0 -1
81
6) 15 vezes;
7) a) R = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, 2)}
D(R) = {–2, –1, 0, 1}
Im(R) = {–1, 0, 1, 2}
b) S = {(–1, –1), (0, –1}, (0, 0), (1, –1), (1, 0), (1, 1)}
D(S) = {–1, 0, 1}
Im(S) = {–1, 0, 1}
c) T = ∅
D(T) = ∅
Im(T) = ∅
8) R = {(0, 5), (2, 4), (4, 3), (6, 2), (8, 1), (10, 0)}
D(R) = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
Im(R) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
9) x = 2 e y = 1;
10) Área = 60 e Perímetro = 36
x
y
82
Unidade II
4) a) b) c)
x
y
d) e) f)
g) h) i)
j)
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
83
5) 5 e 2 == ba
6) a) para cima;
b) (0, 5)
c) (1, 0) e (5, 0)
d) (3, –4) , mínimo;
f) Im = { y ∈ R / y ≥ -4 }
g) x > 3
h) x < 3
e)
7) a) – 3
b) – 15
c) 25 / 9
d) 2 – 8 5
e) 9 e – 1
8) 1072 +−= xxxf )(
9) a) 60 metros;
b) 2 segundos e 6 segundos;
c) 4 segundos;
d) 80 metros;
10) 0 e – 1;
11) 65−<m
x
y
84
12) a) {x ∈ R / x < 1 ou x > 3}
b) {x ∈ R / 1 < x < 5}
c) {x ∈ R / –3 < x < 3}
d) ∅
13) a) D = {x ∈ R / x ≠ 2}
b) D = {x ∈ R / x < – 4}
c) D = {x ∈ R / x > 4}
d) D = {x ∈ R / x > 4}
14)
111 e)
16093 e)
154 d)
15121827 c)
326 b)
796212 a)
234
2
2
=−
=−
+=
+−−+=
++=
++=
))((
))((
))((
))((
))((
))((
gg
ff
xxgg
xxxxxff
xxxfg
xxxgf
15)
4257
d)
36
c)
727
b)
72
a)
1
51
1
1
+−−=
+=
+−=
−=
−
−
−
−
x
xxf
xxf
xxf
xxf
)(
)(
)(
)(
16)
{ }2 b)
213
a) 1
≠∈=−−=−
xRxD
x
xxf
/
)(
17) 7=x
85
Unidade III
1) ..au 318
2) cmcm 13
3220. Perímetro e
33100
Área 2
+==
3) 30,19 m
4) ..au 320
5) 1600 metros;
6) 57°17’44”
7) 0,01745 rad
8) a) b)
c)
9) 4 15
154 15
1515
415 −=−===−= xxxgxtgx seccos,sec,cot,,cos
x
y
x
y
x
y
86
Referências Bibliográficas
IEZZI, Gelson e outros. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Volumes 1, 2 e 3. São
Paulo,
Editora Atual, 1985.
LIMA, Elon Lages e outros. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Rio de Janeiro: SBM, 1996.
BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: MAKRON Books, 1999.
GIOVANNI, José Ruy. Matemática 1: conjuntos, funções, progressões / José Ruy Giovanni, José
Roberto Bonjorno. São Paulo: FTD, 1992
GIOVANNI, José Ruy. Matemática 2: trigonometria, matrizes, análise combinatória, geometria / José
Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno. São Paulo: FTD, 1992.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO. Parâmetros Curriculares nacionais –
Matemática. 1998.