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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA TURMA PDE/2012
Título: A heurística na resolução de problemas e o ensino
Autor Marilene Garcia Gazarini
Disciplina/Área Matemática
Escola de Implementação do projeto e
sua localização
Escola Estadual “Anastácio Cerezine”- Ensino Fundamental.
Rua: Natal Bufalo de Moraes,513
Município da escola Alvorada do Sul – PR
Núcleo Regional de Educação Londrina
Professor Orientador Prof. Dr. Túlio Oliveira de Carvalho
Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual de Londrina – UEL
Relação Interdisciplinar Língua Portuguesa; Artes; Ciências.
Resumo Este Plano de Implementação Pedagógica será desenvolvido com uma turma de 7º. Ano do Ensino Fundamental. O trabalho partiu da percepção da autora, professora de Matemática, de que na resolução de problemas o aluno sempre experimenta a sensação de descoberta, e para isso nem sempre se utiliza de algoritmos, pois, ele se sente desafiado e busca alternativas para realizá-los a partir de seus próprios recursos, o que é chamado de Heurística. As atividades apresentadas servem para perceber os procedimentos e estratégias das quais os alunos se apropriam para solucionar questões do ensino, pois, isso não acontece apenas com a Matemática.
Palavras-chave: Heurística. Problemas de ensino. Matemática.
Formato do Material Didático: Unidade Didática
Público Alvo: 7º. Ano do Ensino Fundamental
1 APRESENTAÇÃO
Para ensinar Matemática, uma primeira preocupação tem sido a de motivar a
criatividade dos alunos para que o processo de ensino-aprendizagem seja
desenvolvido a partir do desejo do aluno de aprender a resolver problemas.
Normalmente o ensino da Matemática e a resolução de problemas estão
baseados em algoritmos e problemas padrão, que, em grande medida, são
responsáveis pela insegurança dos alunos em dominar tais regras para obterem os
resultados na resolução de problemas. Mesmo não podendo prescindir dos
problemas-padrão nem tampouco abandonar os algoritmos, pois são modelos a
partir dos quais os alunos eventualmente elaboram suas estratégias de solução,
sabe-se que o uso da heurística pode estimular os estudantes e levá-los ao
entendimento de que eles mesmos são capazes de chegar aos resultados.
O uso da heurística como estratégia da resolução de problemas matemáticos
possibilitará ao aluno conseguir solucionar um determinado problema sem
necessariamente a utilização de um algoritmo, e mesmo que tenha se baseado nele,
seu nível de trabalho mental se equivale ou até supera o de uma solução que segue
passos totalmente padronizados.
Este Plano de Implementação Pedagógica será desenvolvido com uma turma
do 7º ano do Ensino Fundamental, com o objetivo de colocar em segundo plano a
utilização dos algoritmos na resolução de problemas, introduzindo a heurística como
modus operandi de investigação matemática, de forma a envolver os alunos em
atividades e desafios que encetem a capacidade de inventar e fazer descobertas.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 ASPECTOS RELEVANTES DO APRENDIZADO DA MATEMÁTICA
O pensamento matemático é uma construção humana, entendido a partir
das diferentes práticas sociais que foram responsáveis por sua produção. No
entanto, para que ele aconteça, muitos recursos cognitivos são necessários para
que haja uma apropriação significativa dessas ideias, sem perder de vista que o
desenvolvimento cognitivo do ser humano está relacionado a fatores sociais,
biológicos, psicológicos e afetivos.
O envolvimento da perspectiva psicológica no estudo dos processos de
ensino e aprendizagem da Matemática (GODINO, 2003) é importante ser
considerado, pois este se dá pelo fato de que a aprendizagem é um processo
contínuo, mas seu desenvolvimento acontece de forma diferenciada em cada ser
humano dependendo da forma como são desenvolvidas as estruturas mentais
cognitivas, por meio das quais os indivíduos se adaptam e se organizam em seu
meio.
Assumimos como verdade que o indivíduo consegue desenvolver melhor a
aprendizagem quando encontra um ambiente que lhe favorece.
A teoria de desenvolvimento cognitivo de Piaget aponta para o fato de que
tanto o pensamento matemático quanto o pensamento humano requerem
habilidades como intuição, senso comum, apreciação de regularidades, senso
estético, representação, abstração e generalização, entre outros. Desde os
primeiros anos de vida tem-se início esse complexo processo por onde passa o
desenvolvimento das funções cognitivas da inteligência (PIAGET apud MORAIS,
2009).
Para Piaget (1974), o processo de aprendizagem se baseia na ação do
indivíduo. Em primeiro lugar, a partir das ações concretas com objetos concretos e
no último estágio, por meio de ações abstratas (operações) sobre objetos abstratos,
acabando por constituir os conceitos. Para ele a aprendizagem acontece na medida
em que um resultado é adquirido a partir da experiência que pode ser do tipo físico
ou do tipo lógico-matemático, ou ambos.
A teoria cognitiva preocupa-se com o processo de compreensão,
armazenamento e transformação envolvidos no plano cognitivo.
Além da percepção cognitiva existe também o papel da interação social, a
quem Vygotsky (1998) dá grande importância, atribuindo-lhe o papel de protagonista
no desenvolvimento humano e no processo de aprendizagem, que acontece por
meio de rupturas que provocam, consequentemente, contínuas reorganizações por
parte de todo individuo que aprende.
Piaget dá ênfase aos fatores biológicos dos indivíduos enquanto que
Vygotsky os sobrepõe com o papel desempenhado pelas interações sociais.
No campo da Matemática as contribuições de Piaget e Vygotsky são
orientações sobre a aprendizagem e o desenvolvimento das estruturas lógico-
matemáticas.
De acordo com Novaes (2005) a teoria psicológica de Piaget, principalmente
aquela que se refere ao desenvolvimento da aprendizagem da criança, veio ao
encontro das propostas do Movimento da Matemática Moderna, justamente por
afirmar que havia uma forte relação entre o desenvolvimento das estruturas
psicológicas do indivíduo e a forma de ensinar matemática proposta pelos
modernistas que tinham dois principais objetivos. O primeiro deles, o da renovação
pedagógica, onde existiria um ensino mais livre, construtivo e o segundo objetivo
seria o da modernização dos programas de matemática em conjunto com o
desenvolvimento psicológico da criança.
Mas, de todas as afirmações da teoria de Piaget, a que interessa a essa
pesquisa é aquela que garante que o conhecimento é construído a partir de
percepções e ações do sujeito e, portanto, pensando no fazer matemático, ele irá
depender de experimentar, interpretar, visualizar, induzir, abstrair, generalizar e
demonstrar. O conhecimento é construído a partir de muita investigação e
exploração.
2.2 A METODOLOGIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Durante todo processo de aprendizagem da matemática é possível perceber
a necessidade que os alunos têm de obter habilidades e estratégias que lhes
proporcionem a obtenção do conhecimento e raciocínio lógico-matemático.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) já indicam algumas
metodologias destacando dois aspectos básicos com caráter relacional: o de
observar o mundo real com a apropriação dos signos matemáticos, aprendendo seu
significado, relacionando-os com outras áreas do conhecimento e o de estimular a
falar e a escrever explorando as possibilidades desse processo de aprendizagem.
A Educação Matemática nas escolas, geralmente, consiste no ensino-
aprendizado de algoritmos, na transmissão e resolução de exercícios a partir de
passos e regras formais, com papel fundamental e a intenção voltada para formação
do cidadão, enfatizando a autonomia do aluno, conforme destacado nos PCNs
(BRASIL, 1998, p. 56):
[...] a matemática é importante na medida em que a sociedade necessita e se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e recursos tecnológicos que por sua vez são essenciais para a inserção das pessoas como cidadãos no mundo do trabalho, da cultura e das relações sociais.
É importante que a metodologia utilizada desenvolva nos alunos
competências e habilidades necessárias para o avanço na busca de novos
conhecimentos. E nessa busca de saberes, da aprendizagem da matemática, os
problemas são fundamentais.
Onuchic ( 2008) lembra também que:
Atualmente, gente do mundo todo está trabalhando na reestruturação da Educação Matemática. „Ensinar‟ bem Matemática é um empenho complexo e não há receitas fáceis para se fazer isso. Não há um caminho único para se „ensinar‟ e „aprender‟ Matemática.
Onuchic e Allevato (2005), afirmam ainda que a resolução de problemas é
destacada como um dos padrões para o ensino de matemática, e o ensino através
da resolução de problemas é fortemente recomendado.
Para Dante (1998) os objetivos da resolução de problemas são:
• Fazer o aluno pensar produtivamente;
• Desenvolver o raciocínio do aluno;
• Ensinar o aluno a enfrentar situações novas;
• Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da
Matemática;
• Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras;
• Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas;
• Dar uma boa base matemática às pessoas.
Dante (1998) classifica os problemas em vários tipos e dentre eles os
problemas-padrão, cuja solução já está contida no enunciado, e a tarefa consiste em
transformar a linguagem usual em linguagem matemática, com o objetivo de
recordar e fixar os fatos básicos através dos algoritmos das quatro operações.
Eles são usados para fixação e constam sempre no final dos capítulos dos
livros didáticos, exigindo apenas a aplicação dos algoritmos.
Por outro lado, para se colocar em prática a metodologia de Resolução de
Problemas não existem fórmulas exatas, tanto que Onuchic e Allevato (2008)
concordam que a proposta atual consiste em organizar as atividades seguindo
algumas etapas, quais sejam, a preparação do problema, a leitura individual, a
leitura em grupo, a resolução dos problemas, a observação e o incentivo, o registro
e a resolução na lousa, o debate posterior, a busca do consenso e, por último, a
formalização do conteúdo.
Tanto Onuchic e Allevato (2008) quanto Pólya (1994) oferecem etapas que
devem ser observadas no momento da resolução das atividades com problemas
matemáticos. O professor, desejoso de sucesso em sua metodologia, não pode
prescindir desses autores.
2.3 A HEURÍSTICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
As primeiras iniciativas sobre o ensino de matemática através da resolução
de problemas aconteceram com Pólya, em seu livro A Arte de Resolver Problemas
(1994), oferecendo nele as seguintes etapas para se chegar solução deles:
compreender o problema, elaborar um plano, executar um plano, fazer o retrospecto
ou realizar a verificação do problema original.
A resolução de problemas, segundo Dante (2005), pode contribuir para que
o aluno, em seu processo de formação, não só construa esquemas conceituais, mas
também desenvolva uma visão crítica que lhe permita manipular grandes volumes
de informações, selecionando e compreendendo quais são as mais relevantes.
A escola e o professor são imprescindíveis para esta tarefa de preparar o
aluno a desenvolver habilidades que o tornarão capaz de cumprir as exigências que
o mundo vai lhes impor, e isso vai desenvolver nele sua capacidade de “fazer
matemática” (DANTE, 1998), aumentar sua autoestima, sua perseverança, enquanto
busca as soluções para um problema.
Os problemas heurísticos são aqueles cuja solução não está diretamente
explícita em seu enunciado. As soluções destes problemas não se resumem à
aplicação de algum algoritmo e por isso, acabam sendo sempre muito mais
instigantes que os problemas-padrão, sendo capazes de fazer com que a
curiosidade dos alunos seja aguçada.
Diante de um problema de resolução heurística o aluno tem que explorar
inúmeras possibilidades para encontrar a estratégia adequada para chegar à
resposta certa. Do ponto de vista metodológico, este é um dos mais importantes
objetivos, pois a busca por estratégias e pelo melhor percurso para o
desenvolvimento do problema é o que interessa a esse método.
De acordo com o dicionário de Língua Portuguesa Aurélio (FERREIRA,1986,
p.891) a definição de heurística está expressa da seguinte maneira:
Denomina-se Heurística a um procedimento pedagógico pelo qual se leva o aluno a descobrir por si mesmo a verdade que lhe querem inculcar [...] é um conjunto de métodos e regras que conduzem à descoberta, à invenção e à resolução de problemas.
Firmino & Brotto (2008, p.3) também colaboram com essa definição
complementando-a quando afirmam que: “Uma heurística consiste numa coletânea
de conhecimentos aplicados a uma solução para problemas ou dificuldades”.
Newell, Shaw & Simon (apud FIRMINO & BROTTO, 2008, p.3) acrescentam:
As heurísticas […] constituem-se como regras baseadas na experiência e no planejamento, substituindo as anteriores baseadas na procura algorítmica que chega às soluções corretas depois de ter combinado o problema com todas as soluções possíveis.
Isso significa que não se dispensam os algoritmos, mas o processo de
resolução de problemas a partir da heurística estimula e motiva a busca de
soluções, reduzindo as informações anteriormente apreendidas apresentando
sequências interessantes de raciocínio, com a possibilidade de serem apresentados
vários repertórios de respostas até atingir o objetivo final.
Um aluno que muitas vezes não consegue resolver um problema de
matemática por não se lembrar de uma equação pode, perfeitamente, chegar ao
resultado por meio da heurística, pois ele processará as informações armazenadas
cognitivamente e superará o obstáculo de ter se esquecido da fórmula matemática,
aplicando tais informações.
Esse tipo de resolução de problemas vai recair sobre a filosofia de
pensadores como Sócrates e Platão que afirmavam ser preciso “pensar sobre o
pensamento” (PEREIRA, 2002, p.8). Ainda, de acordo com o mesmo autor,
Sócrates era perito em fazer as pessoas resolverem teoremas apenas respondendo
a suas perguntas, que era sua maneira de encaminhar para a solução do problema.
Na atualidade é possível encontrar nas ideias de Pólya (1985) muitas
contribuições relacionadas à heurística de resolução de problemas matemáticos,
justamente por considerar a Matemática uma “ciência observacional” (PEREIRA,
2002, p.11).
Para a Matemática, Pólya foi o primeiro a apresentar resolução de
problemas específicos e suas ideias acabaram por representar referência inicial
sobre o tema, servindo como base para os trabalhos sobre o assunto.
As etapas de resolução de problemas propostas por ele servem para a
resolução de todo tipo de problema na matemática, mas, muito mais para organizar
a resolução de problemas heurísticos.
Também vale considerar o que lembra Onuchic (2008, p.10) quando diz
que: “[...] havia uma estrutura para olhar a Resolução de Problemas: que há
dificuldades no conhecimento; que bons resolvedores de problemas usam
estratégias heurísticas e que os iniciantes podem aprender a usá-las; [...]”.
O que se percebe é que na didática da resolução de problemas de
matemática depende-se muito da mediação professor/aluno, mas, em grande
medida é a prática dos exercícios, o treinamento, os erros e acertos, com o
amadurecimento e acúmulo de informações, que vão se constituir no processo de
aprendizagem.
3 ATIVIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS 1ª. ETAPA- Etapa Diagnóstica
OBJETIVO: Verificar o raciocínio lógico dos alunos em relação à resolução de
problemas
DURAÇÃO: 50min
Será realizado um diagnóstico, junto aos alunos, a partir da resolução de
problemas abertos (sem fórmulas específicas). A expectativa em relação ao trabalho
dos alunos é que muitos tentarão resolvê-los a partir de algoritmos, outros
conseguirão a partir de estratégias heurísticas, mas não reconhecidas como tal.
METODOLOGIA: todas as atividades deverão respeitar as etapas propostas em
Onuchic e Allevato (2008): a preparação do problema, a leitura individual, a leitura
em grupo, a resolução dos problemas, a observação e o incentivo, o registro e a
resolução na lousa, o debate posterior, a busca do consenso e, por último, a
formalização do conteúdo
3.1 ATIVIDADE 1 – OS FÓSFOROS E O QUADRADO
Com os palitos que você recebeu, monte uma figura idêntica a que você vê
abaixo e, logo após, retirando apenas 3 palitos, consiga 3 quadrados. Espere para
que seja fotografado seu resultado.
Fonte: arquivo da autora
3.2 ATIVIDADE 2 – OS PALITOS E OS TRIÂNGULOS
Observando a figura abaixo, monte um desenho idêntico e depois, movendo
apenas 2 palitos, forme 4 triângulos. Espere para que a professora possa fotografar
seu resultado.
Fonte: arquivo da autora
3.3 ATIVIDADE 3 – OS PALITOS E A SENTENÇA
Pensando numa sentença matemática, monte a seguinte sentença
matemática: 1+3=2 com palitos de fósforos, conforme demonstra a figura abaixo.
Logo após, movendo apenas um dos palitos, obtenha uma sentença matemática
verdadeira. Aguarde para que o resultado seja fotografado.
Fonte: arquivo da autora
3.4 ATIVIDADE 4 – AS PROFISSÕES
Em grupos de 5 alunos cada um, vocês deverão sentar-se em círculos e
descobrir e ordenar as profissões que estão abaixo representadas. Para isso vocês
deverão se utilizar do alfabeto móvel distribuído a cada grupo. Após resolverem o
problema aguardem para que seja fotografado o resultado.
3.4.1 Professor
Fonte: arquivo da autora
3.4.2 Advogado
Fonte: arquivo da autora
3.4.3 Médico
Fonte: arquivo da autora
2ª ETAPA – ETAPA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SEM ALGORITMOS
OBJETIVO: Investigar as estratégias utilizadas pelos alunos para resolução de
problemas.
DURAÇÃO: 120min
3.5 ATIVIDADE 5 - CABEÇAS E PÉS
Resolva os problemas abaixo.
Num jornal havia uma foto com crianças e gatos numa passeata. Contei que
nesta foto havia 10 cabeças e 24 pés. Quantas crianças e quantos gatos estavam na
foto do jornal?
(Resposta esperada: 8 crianças e dois gatos)
3.6 ATIVIDADE 6 – ARANHAS E JOANINHAS
Os alunos da aula de Biologia recolheram para o laboratório joaninhas e
aranhas. Ao todo recolheram 7 animais. Os alunos contaram o número de patas
(pés) recolhidas e obtiveram o resultado de 48. Agora é preciso saber: quantas
aranhas e quantas joaninhas eles haviam recolhido?
8 patas para aranha 6 patas para a joaninha
______________________
Fonte: adaptado de Paraná (2009, p. 59)
3.7 ATIVIDADE 7 – OS CACHORRINHOS
Somos três irmãos: eu, João e José. Cada um de nós tem um cachorrinho. Os
cachorrinhos se chamam: Daqui, Dali e Dalá. Um dos cachorros é branco, outro é
preto e o terceiro é malhado. Delá não é branco, e é o meu predileto. João prefere o
cachorro preto que não é Daqui; José não gosta do cachorro malhado.
Descubra o dono de cada cachorro e a cor do meu cachorrinho.
Fonte: Arquivos do clip art
(Resposta esperada: Delá, cachorro do narrador que é malhado; João tem o
cachorro preto que é o Dali e José o cachorro branco que é o Daqui)
_______________________
Fonte: adaptado de Paraná (1997, p.36)
3.8 ATIVIDADE 8 – O “PESO” NA BALANÇA
Os alunos serão levados ao centro da sala para assistirem juntos uma
“pesagem” de 3 colegas e a professora pedirá que eles anotem o “peso” total dos 3
amigos. Na sequência, um dos amigos deverá descer da balança e os alunos
anotarão o “peso” que ficou no visor, depois o segundo amigo descerá da balança e
todos anotarão o “peso” que ainda sobrou e assim eles terão anotado em seus
cadernos 3 pesos: o “peso” inicial total dos três colegas; o segundo “peso” que
corresponde a massa de dois amigos e o terceiro “peso” quando, finalmente, ficará
apenas um colega sobre a balança. A partir de então deverão responder quanto
“pesa” cada um dos colegas que subiram na balança. A cada “pesagem” a
professora fotografará o visor e os resultados apresentados pelos alunos.
__________________________
Fonte: adaptado de Paraná (1998, p.36)
3ª. ETAPA – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS HEURÍSTICOS
OBJETIVO: Apresentar a heurística para resolução de problemas
DURAÇÃO: 160 min
3.9 ATIVIDADE 9 - APERTOS DE MÃO
Responda e explique qual a estratégia utilizada para chegarem ao resultado:
- Num encontro de Natal, 6 amigos se encontraram, e cada um trocou um aperto de
mão com os demais. Quantos apertos de mão foram trocados ao todo?
(Resposta esperada: que eles desenvolvam uma lista ou diagramas para chegar ao
resultado=15)
________________________
Fonte: adaptado de Dante (1997, p.18).
3.10 ATIVIDADE 10 – A GAVETA DE LUVAS
Responda e explique como chegou ao resultado.
Em uma gaveta da minha cômoda existe 12 pares de luvas brancas (iguais
entre si), 8 pares de luvas pretas (também iguais entre si) e 5 pares de luvas
marrons (iguais entre si). Houve uma queda de energia elétrica bem na hora em que
eu deveria viajar e tudo ficou escuro, antes de terminar de arrumar a bagagem. Eu
precisava pegar uma quantidade de luvas que me garantisse que duas luvas (um
par), ao menos, fossem da mesma cor. Assume-se que cada luva pode ser calçada
na mão direita ou na mão esquerda. Quantas luvas eu tive que pegar?
___________________
Fonte: adaptado de Pereira de Sá ( 2010, p.74)
3.11 ATIVIDADE 11 – A FRUTEIRA
Responda e apresente a estratégia utilizada.
- Numa fruteira há quinze frutas – entre laranjas, maçãs, peras e bananas, cada tipo
de fruta numa quantidade diferente. Sabe-se que, entre laranjas e maçãs, há seis
frutas; entre maçãs e peras há sete. Há quatro unidades de apenas um tipo de fruta:
qual?
(Resposta esperada: É a maçã. As laranjas são duas, as peras são três e as
bananas seis)
Fonte: adaptado de: Paraná (1997, p.16).
3.12 ATIVIDADE 12- OS BONÉS
Paulo tem três bonés A, B e C. Ele tingiu um de vermelho, um de branco e outro de
azul, não necessariamente nesta ordem. Sabendo que somente uma das afirmações
abaixo é verdadeira:
A é vermelho .
B não é vermelho.
C não é azul. A B C
Qual é a cor de cada boné?
(Resposta esperada: A é azul, B é branco e C é vermelho)
________________________
Fonte: Brasil (2010, p. 163).
Considerações
Ao desenvolver tais atividades, com o intuito de demonstrar que os alunos
podem chegar aos resultados sem a utilização dos algoritmos, não se prescindiu do
ensino e da aprendizagem de outros conteúdos matemáticos, como: equações de
primeiro grau (com uma e duas incógnitas/sistemas), probabilidades, adição,
subtração, divisão, percentagem e medidas.
O objetivo foi o de aguçar o pensamento matemático fazendo com que os
alunos deixassem de lado aquela visão de que “matemática é difícil”, ou a outra
recorrente que diz : “eu não sou capaz”. A partir destas situações-problemas os
alunos verificarão o quanto a matemática está presente em suas vidas e, além disso,
o quanto eles têm se utilizado dela, com facilidade, sem necessitar de “fórmulas”
(algoritmos) desenvolvendo a heurística.
4 AVALIAÇÃO
De acordo com as respostas apresentadas em cada problema o professor irá
perceber se os alunos estão se utilizando das etapas apresentadas por Onuchic e
Allevato (2008). É importante, ao final de cada atividade, que o conteúdo seja
formalizado, inclusive para que se atinja os objetivos programáticos.
Deve-se pensar que o professor é mediador de todo o processo e de todas as
atividades que foram propostas; ele deve saber que a avaliação deverá estar
servindo aos objetivos deste Plano, tanto que, na apresentação dos resultados, no
artigo posterior a este Trabalho, o professor-autor deverá se reportar a estas etapas
em cada atividade, apresentando o comportamento dos alunos em cada uma delas.
De fato, a etapa de preparação está sendo cumprida com a organização deste
material.
Ao pensar nesta avaliação a professora-autora deverá prestar atenção se os
alunos demonstram suas habilidades por meio dos procedimentos que escolhiam
para a investigação do problema aberto; notar se eles apresentam as respostas e os
caminhos que se utilizaram para chegar a elas. Na redação final de seu artigo,
pretende-se expor quais foram as estratégias escolhidas pelos alunos para
alcançarem os resultados e quais as ferramentas foram empregadas.
Desta forma a autora do Plano de Implementação estará avaliando seus
próprios resultados, visto que, durante a execução de todas as atividades desta
propostas, ela já terá condições de avaliar seus alunos e seu próprio trabalho.
5 INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS ALLEVATO, Norma S.G.. ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensinando Matemática na Sala de Aula, através da Resolução de Problemas. 11º. Congresso Internacional de Educação Matemática – ICME11. Monterrey/México: 2008 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Fundamental. ParâmetrosCurriculares Nacionais: Matemática. Ensino de 5° a 8° séries. Brasília-DF: MEC, 1998. ______.Explorando o Ensino da Matemática. Atividades Vol.2. Ed. Especial de atividades da OBMEP,2009. Brasília, 2010. DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. São Paulo: Atlas, 1997. DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. São Paulo: Atlas, 2005. FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Dicionário da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1986. FIRMINO, Jeff Emmanuel Costa. BROTTO, Tullio Cezar de Aguiar. Raciocínio, heurísticas e resolução de problemas: um diálogo conceitual. Revista Mosaico Estudos em Psicologia. 2008. V.III, n1, 1-12. GODINO, J. Perspectiva de la Didática de las Matemáticas como disciplina científica. Universidad Granada: Programa de doctorado "Teoria de la Educación Matemática". 2003. NOVAES, Bárbara Winiarski Diesel. As Contribuições de Jean Piaget para a Educação Matemática. Curitiba: PUC/PR, 2005. Disponível em<http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2005/anaisEvento/documentos/painel/TCCI135.pdf>. Acesso em 20 abr.2012. OBMEP- Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. 2008. Disponível em:<http://www.obmep.org.br/mapa_enc_insc_2008_content.html>. Acesso em: 08 mai.2012. ONUCHIC, L R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (orgs). Educação Matemática - pesquisa em movimento. 2.ed. São Paulo: Cortez, 2005. ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Uma História da Resolução de Problema no Brasil e no Mundo. Palestra de Encerramento. I Seminário em Relocução de Problemas- ISERP. Rio Claro: UNESP, 30-31 de outubro de 2008.
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