FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO : ESTATÍSTICA

Autor MARIA CONCILIA FERNANDES

Escola de Atuação COLÉGIO ESTADUAL PROF. JULIO SZYMANSKI

Município da escola ARAUCÁRIA - PR

Núcleo Regional de Educação ÁREA METROPOLITANA SUL

Orientador NEUSA NOGAS TOCHA

Instituição de Ensino Superior UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Disciplina/Área (entrada no PDE) MATEMÁTICA

Produção Didático-pedagógica UNIDADE DIDÁTICA

Relação Interdisciplinar

(indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)

Público Alvo

(indicar o grupo com o qual o professor PDE desenvolveu o trabalho: professores, alunos, comunidade...)

ALUNOS

Localização

(identificar nome e endereço da escola de implementação)

COLÉGIO ESTADUAL PROF. JULIO SZYMANSKI

RUA SÃO VICENTE DE PAULO, 76 – ARAUCÁRIA CEP 83702050

Apresentação:

(descrever a justificativa, objetivos e metodologia utilizada. A informação deverá conter no máximo 1300 caracteres, ou 200 palavras, fonte Arial ou Times New Roman, tamanho 12 e espaçamento simples)

Remete-se relacionar os conteúdos da disciplina de Matemática Financeira, especificamente a Estatística, com o contexto social dos educandos.

Tem por objetivo a coleta, tabulação e análise de dados estatísticos dos alunos envolvidos no projeto de forma que estes percebam os fundamentos estatísticos nas diversas áreas do conhecimento.

Analisando o material didático disponível, optou-se por trabalhar a História da Matemática Financeira desenvolvendo conceitos referentes à definição da Estatística, população, amostra, gráfico, médias de tendência central e porcentagem.

Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) EDUCAÇÃO, ESTATÍSTICA, MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANA SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

CADERNO PEDAGÓGICO

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: ESTATÍSTICA

Curitiba 2011

IDENTIFICAÇÃO

Professora responsável

MARIA CONCILIA FERNANDES Professora da Rede Pública Estadual do Paraná, licenciada em Matemática. Orientação:

Prof.ª NEUSA NOGAS TOCHA

Instituição Participante:

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Área de investigação:

Matemática NRE: Área Metropolitana Sul Escola de origem COLEGIO ESTADUAL PROF. JULIO SZYMANSKI, Araucária – PR.

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História e Ensino da Matemática

Segundo vários dados históricos a Matemática surge com os egípcios, por

volta de 3200 a.C., esse povo desenvolveu três sistemas de escrita matemática:

hieroglífica (usada pelos sacerdotes em monumentos e tumbas), cursiva (usada nos

papiros) e demótica (resultante da escrita papirica).

Como prova do avanço egípcio foram feitas duas grandes descobertas

arqueológicas: o papiro Golonishev ou de Moscou datado aproximadamente no ano

1850 a.C. onde se encontra um texto matemático que contém 25 problemas e o

papiro Rhind (ou Ahmes) datado aproximadamente no ano 1650 a.C. onde

encontramos um texto matemático na forma de manual prático que contém 85

problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais

antigo.

A matemática enquanto ciência surge a partir dos gregos, porém cabe

ressaltar que não havia uma preocupação direta com a sua aplicação.

Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da babilônica, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade. As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo. Este método consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais. As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria. Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos". Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga. (Oliveira, 2006, p.21)

Outro grande matemático da Antiguidade foi Arquimedes que desenvolveu a

geometria, introduzindo o método, denominado "método de exaustão", que seria um

verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática

(teoria dos limites). Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, iniciou os

estudos das curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole. Depois de Apolônio

e Arquimedes, a matemática grega entra no seu ocaso.

Com o colapso da civilização grega, são os árabes que despontam na

Matemática, através da necessidade de instrumentalização para realizarem suas

viagens marítimas eles desenvolvem a álgebra e a aritmética e o Zero é introduzido

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na numeração o que resulta na numeração arábica utilizada atualmente, neste

período a Matemática passa a fazer parte de outras áreas do conhecimento.

BOYER (2003) descreve que a queda de Constantinopla, em 1453, é

considerada um marco para a história da matemática, já que constam registros de

que alguns refugiados italianos, fugiram para outros países da Europa, levando

consigo alguns tratados matemáticos gregos.

Durante cem anos depois da queda de Constantinopla as cidades da Europa Central, notadamente Viena, Cracóvia, Praga e Nuremberg foram líderes em astronomia e matemática. A matemática durante a Renascença tinha sido largamente aplicada – à contabilidade, mecânica, mensuração de terras, artes, cartografia, óptica – havia numerosos livros tratando das artes práticas. No entanto, o interesse pelas obras clássicas da antiguidade permanecia forte. (Boyer, 2003, p.32)

A partir do século XVI, a descobertas matemáticas são indispensáveis para

o desenvolvimento cientifico e econômico aplicando-se este campo do conhecimento

a construção, aperfeiçoamento e uso produtivo de máquinas e equipamentos tais

como: armas de fogo, imprensa, moinhos de vento, relógios e embarcações.

O valor da técnica e a concepção mecanicista de mundo propiciaram estudos que se concentraram, principalmente, no que hoje chamamos Matemática Aplicada. Tal fato refletiu na modernização das manufaturas e no atendimento às necessidades técnico-militares. O ensino da Matemática objetivava preparar os jovens ao exercício de atividades ligadas ao comércio, arquitetura, música, geografia, astronomia, artes da navegação, da medicina e da guerra. Desde o final do século XVI ao início do século XIX, o ensino da Matemática, desdobrado em aritmética, geometria, álgebra e trigonometria, contribuiu para formar engenheiros, geógrafos e topógrafos que trabalhariam em minas, abertura de estradas, construções de portos, canais, pontes, fontes, calçadas e preparar jovens para a prática da guerra. (Dces, 2008, p.40)

A Matemática enquanto campo oficial de conhecimento começa a ser

definido a partir do início do século XX.

No Brasil esta passa a ser discutida a partir de meados de 1920, quando

surge o Movimento Escolanovista no Brasil e atinge seu auge no período de 1960. O

movimento escolanovista faz com que surga no Brasil os primeiros pesquisadores da

área de Educação Matemática, sendo eles entre 1920 a 1930: Everaldo Backhauser

e Euclides Roxo, e entre os períodos de 1940-1950: Julio César de Mello e Souza

(Malba Tahan), Cecil Thiré, Ary Quintella, Munhoz Maheder, Irene Albuquerque e

Manoel Jairo Bezerra.

FIORENTINI (1995) aponta que até a década de 50, o ensino da Matemática

no Brasil, caracterizava-se pela ênfase no modelo euclidiano (sistematização lógica:

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definições, axiomas e postulados) expressos através de teoremas deduzidos dos

elementos primitivos e na concepção platônica baseada na visão estática e

dogmática das idéias matemáticas como uma forma de elevação espiritual do

conhecimento.

Sociopoliticamente, a aprendizagem da Matemática era privilégio de poucos e dos bem dotados intelectual e economicamente. Havia um dualismo curricular no ensino da Matemática. A escola procurava garantir à classe dominante – isto é a elite dirigente e clerical – um ensino mais racional e rigoroso, o que seria garantido pela geometria euclidiana. Para as classes menos favorecidas – especialmente alunos das escolas técnicas – privilegiava-se o cálculo e a abordagem mais mecânica e pragmática da Matemática. (Fiorentini, 1995, p.07)

Com a ocorrência do Movimento da Matemática Moderna - MMM, após a

década de 50, ocorreu uma reformulação do ensino da matemática no Brasil, o

professor passa a ser a figura central do processo de ensino-aprendizagem, que

baseia-se na demonstração de conteúdos através das transformações algébricas por

meio das propriedades estruturais.

O Movimento da Matemática Moderna também motivou o início de estudos e debates sobre a renovação pedagógica por meio de uma discussão aberta e organizada por alguns grupos de estudos, como o Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (GEEM), em São Paulo; o Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da Matemática (NEDEM), no Paraná; o Grupo de Estudos do Ensino da Matemática de Porto Alegre (GEEMPA), no Rio Grande do Sul; o Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática (GEPEM), do Rio de Janeiro. Mas, antes de se chegar a uma proposta diferenciada para o ensino e a aprendizagem dessa disciplina no país, vivenciamos um período no qual sobressaiu a escola tecnicista. (Dces, 2008, p.44)

Outro período de renovação do ensino da Matemática ocorreu na década de

70, com a pedagogia tecnicista, o método de aprendizagem enfatizado era a

memorização de princípios e fórmulas, o desenvolvimento e as habilidades de

manipulação de algoritmos e expressões algébricas e de resolução de problemas. A

pedagogia tecnicista centrava-se exclusivamente nos objetivos instrucionais,

recursos e técnicas de ensino. (DCES, 2008, p.44)

Com o surgimento da tendência histórico-crítica no Brasil, na década de 80,

o conhecimento passa a ser elaborado em virtude das práticas sociais, e o ensino de

matemática é conceptualizado através de saber vivo, dinâmico, construído para

atender às necessidades sociais, econômicas e teóricas em um determinado período

histórico.

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Em 1991,com a publicação do Currículo Básico a Matemática ganha nova

ressignificação curricular, tendo como pressuposto a seguinte premissa.

“...aprender Matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível”. (PARANÁ, 1990 apud Dces, 2008, p.46)

Com a aprovação da Lei de Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

nº 9394, aprovada em 20 de dezembro de 1996, a Matemática passa a compor na

grade curricular o núcleo da Base Nacional Comum, sendo que no Paraná também

foram criadas várias disciplinas que abordavam os campos do conhecimento da

Matemática, tais como: Geometria, Desenho Geométrico e Álgebra, mas que

fragmentavam o conhecimento da Matemática e enfraqueciam-na como disciplina.

(DCES, 2008, p.47)

Em 1998, o Ministério da Educação publicou os Parâmetros Curriculares

Nacionais para o Ensino Fundamental – PCNs e em 2000 foi publicado

especificamente os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio -

PCNEM.

Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e científica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais. (Pcnem, 2000, p.40)

Em 2003, a SEED ampliou as discussões acerca dos conteúdos das várias

disciplinas, e publicou as Diretrizes Curriculares da Educação Básica – DCES

(2008), no que tange a disciplina de Matemática, esta deve possibilitar ao docente

conceber no espaço da sala de aula os saberes matemáticos como uma atividade

humana em construção, através de análises, discussões, conjecturas, apropriação

de conceitos e formulação de ideias.

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PARA ENTENDER A MATEMÁTICA Assista a série de documentário da BBC Londres, sobre a História da Matemática.

O documentário é dividido em quatro partes, que contam os principais fatos

históricos que envolveram o surgimento dos conceitos matemáticos.

Parte 1 Sinopse: A História da Matemática (The story of maths) foi escolhido como Melhor

Documentário produzido no ano pela estação BBC, em votação. Apresentado pelo

pesquisador e professor da Universidade de Oxford, Marcus du Sautoy, o filme volta

à história da matemática da Grécia e de Atenas e explica o quão importante ela

ainda é para nós nos dias de hoje.

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=1yvuNFTOpC8 Parte 2 Sinopse: Marcus du Sautoy irá visitar o Oriente neste episódio. Enquanto a Europa

estava mergulhada na Idade das Trevas, a Matemática avançava no Oriente,

nomeadamente na China e na Índia, e mais tarde no Médio Oriente.

Analisaremos as maiores descobertas matemáticas deste período, altura em que

surgiu o sistema de notação decimal, o zero, a Álgebra e a Trigonometria, avanços

obtidos graças às mentes de Chin Ju Xiao, Madhava, Omar Khayyam, Muhammad

al-Khwarizmi, Fibonacci e Tartaglia.

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=Z4duoSt7-7Q&feature=related Parte 3 Sinopse: Interessante, esclarecedora e divertida, esta série oferece aos

espectadores vislumbres novos e extraordinários relativamente à importância da

Matemática, estabelecendo esta disciplina como um dos maiores feitos culturais da

Humanidade.

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=UI2T52tsC6A&feature=related

Parte 4 Sinopse: Os episódios desta série ambiciosa oferecem explicações claras e

acessíveis de ideias matemáticas importantes, mas também nos conta histórias

cativantes, pormenores biográficos fascinantes e episódios centrais nas vidas dos

maiores matemáticos.

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=mygF-oqw-X0&feature=related

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TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

Em conformidade com os conteúdos estruturantes o Tratamento da

Informação para o Ensino Médio engloba as seguintes temáticas: Análise

Combinatória; Binômio de Newton; Estatística; Probabilidade e Matemática

Financeira.

A origem da palavra Estatística está associada à palavra latina STATUS

(Estado). Há indícios de que 3000 anos a.C. já se faziam censos na Babilônia, China

e Egito e até mesmo o 4º livro do Velho Testamento faz referência à uma instrução

dada a Moisés, para que fizesse um levantamento dos homens de Israel que

estivessem aptos para guerrear. Usualmente, estas informações eram utilizadas

para a taxação de impostos ou para o alistamento militar. O Imperador César

Augusto, por exemplo, ordenou que se fizesse o Censo de todo o Império Romano.

A palavra "CENSO" é derivada da palavra "CENSERE", que em Latim

significa "TAXAR". Em 1085, Guilherme, O Conquistador, solicitou um levantamento

estatístico da Inglaterra, que deveria conter informações sobre terras, proprietários,

uso da terra, empregados e animais. Os resultados deste Censo foram publicados

em 1086 no livro intitulado "Domesday Book" e serviram de base para o cálculo de

impostos.

Contudo, mesmo que a prática de coletar dados sobre colheitas, composição

da população humana ou de animais, impostos, etc., fosse conhecida pelos

egípcios, hebreus, caldeus e gregos, e se atribuam a Aristóteles cento e oitenta

descrições de Estados, apenas no século XVII a Estatística passou a ser

considerada disciplina autônoma, tendo como objetivo básico a descrição dos BENS

do Estado.

A palavra Estatística foi cunhada pelo acadêmico alemão Gottfried

Achenwall (1719-1772), que foi um notável continuador dos estudos de Hermann

Conrig (1606-1681). Em contraposição à natureza eminentemente qualitativa da

escola alemã, na Inglaterra do século XVII surgiram os aritméticos políticos, dentre

os quais destacaram-se John Graunt (1620-1674) e William Petty (1623-1687). Eles

preocuparam-se com o estudo numérico dos fenômenos sociais e políticos, na busca

de leis quantitativas que pudessem explicá-los. O estudo consistia essencialmente

de exaustivas análises de nascimentos e mortes, realizadas através das Tábuas de

Mortalidade, que deram origem às atuais Tábuas de Mortalidade usadas pelas

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companhias de seguros. Um dos resultados mais importantes foi a constatação de

que o percentual de nascimento de crianças do sexo masculino (51%) é levemente

superior ao do sexo feminino (49%). Dessa forma, a escola dos aritméticos políticos

pode ser considerada o berço da Demografia. Um de seus mais notáveis adeptos foi

o pastor alemão Sussmilch (1707-1767), com o qual pode-se dizer que a Estatística

aparece pela primeira vez como meio indutivo de investigação.

Na última metade do século XIX, os alemães Helmert (1843-1917) e Wilhelm

Lexis (1837-1914), o dinamarquês Thorvald Nicolai Thiele (1838-1910) e o inglês

Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926), obtiveram resultados extremamente valiosos

para o desenvolvimento da Inferência Estatística, muitos dos quais só foram

completamente compreendidos mais tarde. Contudo, o impulso decisivo deve-se a

Karl Pearson (1857-1936), William S. Gosset (1876-1937) e, em especial, a Ronald

A. Fisher (1890-1962).

Karl Pearson (1857-1936) formou-se em 1879 pela Cambridge University e

inicialmente dedicou-se ao estudo da evolução de Darwin, aplicando os métodos

estatísticos aos problemas biológicos relacionados com a evolução e

hereditariedade.

William Sealey Gosset (1876-1937) estudou Química e Matemática na New

College Oxford. Em 1899 foi contratado como Químico da Cervejaria Guiness em

Dublin, desenvolvendo um trabalho extremamente importante na área de Estatística.

Devido à necessidade de manipular dados provenientes de pequenas amostras,

extraídas para melhorar a qualidade da cerveja, Gosset derivou o teste T de Student

baseado na distribuição de probabilidades. Esses resultados foram publicados em

1908 na revista Biometrika, sob o pseudônimo de Student, dando origem a uma

nova e importante fase dos estudos estatísticos. Gosset usava o pseudônimo de

Student, pois a Cervejaria Guiness não desejava revelar aos concorrentes os

métodos estatísticos que estava empregando no controle de qualidade da cerveja.

Os estudos de Gosset podem ser encontrados em "Student Collected Papers" (Ed.

por E.S.Pearson e J. Wishart, University College, Londres, 1942).

A contribuição de Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) para a Estatística

Moderna é, sem dúvidas, a mais importante e decisiva de todas. Formado em

astronomia pela Universidade de Cambridge em 1912, foi o fundador do célebre

Statistical Laboratory da prestigiosa Estação Agronômica de Rothamsted,

contribuindo enormemente tanto para o desenvolvimento da Estatística quanto da

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Genética. Ele apresentou os princípios de planejamento de experimentos,

introduzindo os conceitos de aleatorização e da Análise da Variância, procedimentos

muito usados atualmente.

No princípio dos anos 20, estabeleceu o que a maioria aceita como a

estrutura da moderna Estatística Analítica, através do conceito da verossimilhança

(likelihood, em inglês). O seu livro intitulado "Statistical Methods for Research

Workers", publicado pela primeira vez em 1925, foi extremamente importante para

familiarizar os investigadores com as aplicações práticas dos métodos estatísticos e,

também, para criar a mentalidade estatística entre a nova geração de cientistas. Os

trabalhos de Fisher encontram-se dispersos em numerosas revistas, mas suas

contribuições mais importantes foram reunidas em "Contributions to Mathematical

Statistics" (J. Wiley & Sons, Inc., Nova Iorque, 1950).

Fisher foi eleito membro da Royal Society em 1929 e condecorado com as

medalhas Royal Medal of the Society e Darwin Medal of the Society em 1938 e em

1948, respectivamente. Em 1955 foi novamente condecorado, desta vez com a

medalha Copley Medal of the Royal Society.

Outra área de investigação extremamente importante para o

desenvolvimento da Estatística é a Teoria das Probabilidades. Usualmente,

costuma-se atribuir a origem do Cálculo de Probabilidades às questões relacionadas

aos jogos de azar que o célebre cavaleiro Méré (1607-1684) encaminhou à Blaise

Pascal (1623-1662).

No entanto, outros autores sustentam que o Cálculo de Probabilidades teve

a sua origem na Itália, com especial referência para Luca Pacioli (1445-1517),

Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana Tartaglia (1500-1557) e Galileo

Galilei (1564-1642).

Três anos depois de Pascal ter previsto que a "aliança do rigor geométrico"

com a "incerteza do azar" daria lugar a uma nova ciência, Christiaan Huygens (1629-

1695) publicou o trabalho denominado "De Raciociciis in Ludo Aleae", que é

considerado o primeiro livro sobre o Cálculo de Probabilidades. Além disso, ainda

teve a notável particularidade de introduzir o conceito de esperança matemática.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) também dedicou-se ao estudo do

Cálculo de Probabilidades, publicando um trabalho sobre a "arte combinatória" e

outro sobre aplicações às questões financeiras. Leibniz também estimulou Jacques

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Bernoulli (1654-1705) ao estudo do Cálculo de Probabilidades, cuja grande obra,

denominada "Ars Conjectandi", foi publicada oito anos após a sua morte.

Em Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli, foi publicada e rigorosamente

provada a Lei dos Grandes Números de Bernoulli, considerada o primeiro teorema

limite. Pode-se dizer que graças às contribuições de Bernoulli o Cálculo de

Probabilidades adquiriu o status de ciência.

Além da obra póstuma de Bernoulli, o início do século XVII foi marcado pelos

livros de Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), denominado "Essai d'Analyse sur

les Jeux de Hazard", e de Abraham De Moivre (1667-1754), intitulado The Doctrine

of Chances.

De Moivre era Francês de nascimento, mas desde a sua infância refugiou-se

na Inglaterra devido às guerras religiosas, fazendo aplicações ao cálculo de

anuidades e estabelecendo uma equação simples para a lei da mortalidade entre 22

anos e o limite da longevidade que fixou em 86 anos. Mais tarde, na "Miscellanea

Analytica", apresentou resultados aos quais Laplace deu uma forma mais geral e

que constituem o segundo teorema limite.

É extremamente importante falar, também, do reverendo Thomas Bayes

(1702-1761) a quem se deve o conceito de probabilidade inversa, relacionado com

situações em que se caminha do particular para o geral. No seu livro denominado

"Essay towards solving a problem of the doctrine of chances" (Philosophical

Transactions of the Royal Society of London, 1764-65, póstumo), Bayes formula

através do teorema que leva seu nome e do postulado que tantas vezes se lhe

associa: a primeira tentativa de matematização da inferência Estatística. Mesmo sem

ter publicado nenhum trabalho com seu nome, em 1742 Thomas Bayes foi eleito

membro da Royal Society of London.

Os estudos dos astrônomos Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Johann Carl

Friedrich Gauss (1777-1855) e Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874)

foram fundamentais para o desenvolvimento do Cálculo de Probabilidades. Devido

aos novos métodos e idéias, o trabalho de Laplace de 1812, intitulado "Théorie

Analytique des Probabilités", até o presente é considerado um dos mais importantes

trabalhos sobre a matéria.

Johann Carl Friedrich Gauss, professor de astronomia e diretor do

Observatório de Gottingen, em 1809 apresentou o estudo intitulado "Theoria

combinationis Observatorium Erroribus Minimis Obnoxia", explanando uma teoria

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sobre a análise de observações aplicável a qualquer ramo da ciência, alargando o

campo de aplicação do Cálculo de Probabilidades.

Com Lambert Adolphe Jacques Quetelet, por sua vez, inicia-se a aplicação

aos fenômenos sociais. O seu escrito "Sur l'homme et le développement de ses

facultés" foi publicado em segunda edição com o título "Physique sociale ou Essai

sur le développement des facultés de l'homme", que incluía pormenorizada análise

da teoria da probabilidade. Quetelet introduziu também o conceito de "homem

médio" e chamou particular atenção para a notável consistência dos fenômenos

sociais. Por exemplo, mostrou que fatores como a criminalidade apresentam

permanências em relação a diferentes países e classes sociais.

Antoine Augustin Cournot (1801-1877) percebeu a importância da Teoria das

probabilidades na análise estatística, tendo sido o pioneiro no tratamento

matemático dos fenômenos econômicos. Suas idéias foram publicadas em

"Exposition de la théorie des chances et des probabilités".

Na segunda metade do século XIX a Teoria das Probabilidades atingiu um

dos pontos mais altos com os trabalhos da escola russa fundada por Pafnuty Lvovich

Chebyshev (1821-1894), que contou com representantes como Andrei Andreyevich

Markov (1856-1922) e Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918).

Contudo, o seu maior expoente foi Andrey Nikolayevich Kolmogorov (1903-

1987), a quem se deve um estudo indispensável sobre os fundamentos da Teoria

das Probabilidades, denominado "Grundbegrife der Warscheinlichkeitrechnung",

publicado em 1933. Em 1950 foi traduzido para o Inglês sob o título "Foundations of

Probability".

A Estatística ganha notoriedade enquanto conteúdo matemático, ao ser

utilizada por outros campos do conhecimento como: as Ciências Sociais, a Genética

e a Psicologia, sendo vista como um instrumento indispensável para quantificar

dados de pesquisa, o que resultou na inserção de conceitos de correlação e

regressão ao campo da Matemática.

Instrumento de poder político, a estatística passou a ser utilizada na Idade Média com finalidades tributárias ou bélicas. A análise de fatos sociais como nascimentos, batizados, casamentos, óbitos começaram a surgir a partir do século XVI, mas o estudo científico de tais fatos só foi adquirindo feição verdadeiramente científica no século XVIII, a partir do apoio teórico apresentado pela Matemática. (Zeni e Faria, 2006, p.01)

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VIEGA e ARAÚJO (2009) descrevem que a Estatística, surgiu com o intuito

de organizar o desenvolvimento social, sendo que os primeiros indícios de trabalhos

estatísticos são provenientes das civilizações antigas, no Egito no ano 3050, por

exemplo, eram realizadas contagens censitárias para averiguar o total da população

e o valor financeiro a ser empregado na construção das pirâmides.

No Brasil, o órgão oficial que é responsável em coletar e divulgar as

informações referentes à população é o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

- IBGE. O IBGE é um órgão estatal ligado ao Governo Federal, com sede em

Brasília e mantém uma equipe constante de pesquisadores que coletam,

armazenam e divulgam informações referentes a toda população brasileira. Essas

informações constituem um grande banco de dados que são constantemente

atualizados e divulgados pelos veículos de comunicação como jornal, revistas, rádio,

televisão, internet e outros (VIEGA e ARAÚJO, ibid, p.02).

SUGESTÃO DE LEITURA:

Livro: O andar do bêbado

Autor: Leonard Mlodinow

Editora: Jorge Zahar, 2009.

Sinopse: O Andar do Bêbado conta uma breve história da probabilidade e da estatística, desde os primeiros estudos a respeito de primitivos jogos de azar da Idade Média, até o início do século XX. Livro: Será que Deus joga Dados? Autor: Ian Stewart Editora: Jorge Zahar Sinopse: "Deus não joga dados!" a frase de Einstein, sobre o caráter probabilístico da realidade quântica, torna-se agora uma pergunta para quem estuda a matemática do caos, e é aqui analisada pelo autor de algumas obras-primas de divulgação científica.

DEFININDO A ESTATÍSTICA

Em sua essência, a Estatística é a ciência que apresenta processos próprios para

coletar, apresentar e interpretar adequadamente conjuntos de dados, sejam eles

numéricos ou não. Pode-se dizer que seu objetivo é o de apresentar informações

sobre dados em análise para que se tenha maior compreensão dos fatos que os

mesmos representam. (GUEDES, et.al. 2005, p.01)

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A análise estatística advém das contribuições da Estatística Descritiva que

descreve a amostra, pondo em evidência as características principais e as

propriedades e da Estatística Indutiva obtidas partindo da análise descritiva da

amostra, expressas por meio de proposições.

CONCEITOS NECESSÁRIOS

POPULAÇÃO: conjunto de elementos que tem pelo menos uma característica em

comum. Esta característica deve delimitar corretamente quais são os elementos da

população que podem ser animados ou inanimados.

AMOSTRA: conjunto de dados efetivamente observados ou extraídos de uma

população. Sobre os dados da amostra se desenvolvem os estudos, visando

inferências sobre a população.

A amostra pode ser:

Finita: possui um número limitado de elementos.

Infinita: possui um número ilimitado de elementos

GRÁFICO

Variáveis qualitativas: representam a informação que identifica alguma qualidade,

categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de classificação,

assumindo várias modalidades.

Os dados qualitativos são organizados na forma de uma tabela de frequências que

apresenta o número de elementos.

Para as variáveis qualitativas é indicado o uso de gráficos em barras ou setores.

Variáveis quantitativas: representam a informação resultante de características

susceptíveis de serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades, que

podem ser de natureza discreta (descontínua) - dados discretos, ou contínua - dados

contínuos. É expressa em números (salários dos operários, idade dos alunos de

uma escola etc.).

Para este tipo indicativo de dados, os gráficos mais apropriados são em linha ou

curva, sendo mais adequados na mostra de variações de dados em períodos

espaçados de tempo.

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TIPOS DE GRÁFICOS Com os dados da tabela é possível construir gráficos de barras, usando as

freqüências absolutas ou as freqüências relativas.

Freqüência absoluta é o número de vezes que um elemento é observado.

As informações coletadas devem ser organizadas numa tabela de freqüência.

O Gráfico tipo de moradia, aponta a freqüência absoluta de alunos que moram em residência própria, residência alugada ou residência cedida. Dados obtidos a partir da pesquisa efetuada nas fichas de matrículas dos alunos da turma 1A-I E turma 1B-I

Nos gráficos de barras, os retângulos que as constituem variam apenas numa das

dimensões de acordo com a freqüência absoluta ou relativa. As barras devem estar

separadas por espaços iguais.

Usando os dados da tabela podemos também construir um gráfico circular ou de

setores. Os dados de gráficos de setores com porcentagem são caracterizados

como freqüências relativas.

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DESLOCAMENTO CASA-ESCOLA

DESLOCAMENTO CASA-ESCOLA

FORMAS DE DESLOCAMENTO

PAGA MEIA PASSAGEM

PAGA VALOR INTEGRAL

VAN VEÍCULO PRÓPRIO NENHUM

% 51 17 20 9 3 Gráfico Deslocamento Casa- Escola, mostrando a frequencia relativa obtido a partir de informações coletadas das fichas de matrículas dos alunos das turmas 1A–I E 1B-I.

Para obter-se a freqüência relativa de um acontecimento divide-se a freqüência

absoluta pelo número de elementos da população.

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem um ponto

em torno do qual se concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da

distribuição dos dados.

Reis (apud GUEDES et.al., 2005, p.29) descreve que:

O valor a escolher depende das características dos dados. Por exemplo, num estudo agrícola sobre a produção de trigo por hectare de terra arável podemos estar interessados em conhecer o valor mais elevado da produtividade do solo agrícola das várias explorações analisadas. Num outro estudo sobre os resultados de uma turma de estudantes universitários talvez seja mais interessante conhecer o resultado médio obtido por 50% dos estudantes. Num outro estudo sobre os rendimentos per capta dos

freqüência relativa = freqüência absoluta

nº de elementos

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países da CEE, a comparação entre países será facilitada se calcularmos os rendimentos médios de cada país.

As principais medidas de tendência central são: MÉDIA, MEDIANA e MODA.

MÉDIA: é a soma de todos os valores observados da variável dividida pelo número

total de observações.

A média só pode ser calculada se a variável pesquisada for quantitativa.

MEDIANA: é o valor ocupado pela posição central da série de observações de uma

variável, dividindo o conjunto em duas partes iguais, ou seja, a quantidade de

valores inferiores à mediana é igual à quantidade de valores superiores à mesma.

MODA: é o valor que apresenta a maior freqüência da variável entre os valores

observados.

PORCENTAGEM

É o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.

Porcentagem quer dizer por 100 (sobre 100).

Somando-se o total de alunos da raça branca nas turmas 1A-I/ 1B-I o valor

resultante é 36 alunos. Qual a porcentagem que este número representa

considerando-se que a soma total das duas turmas é de 51 alunos?

36/51= 0,7058

0,7058 x 100% = 70,58

O total de alunos brancos somando as duas turmas é de 70,58%

A média ou média aritmética é representada por X .

A mediana é representada por Me.

A moda é representada por Mo.

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PRATICANDO

1. Os dados mostram que, de cada 100 pessoas com o Ensino Médio, apenas 54

conseguem emprego. Se num determinado grupo de 3000 pessoas, 25% têm Ensino

Médio, qual é o número provável de pessoas do grupo, com Ensino Médio, que, de

acordo com os dados da pesquisa, irão conseguir emprego?

Analisando a porcentagem: 100 pessoas, 54 conseguem emprego temos 54%

Calculando 25% de 3000 temos 750 pessoas que tem o Ensino Médio, e 54% desse

valor é 405.

Logo, 405 pessoas irão conseguir emprego, tendo e Ensino Médio.

2. Considere a série estatística:

PERÍODOS ALUNOS

MATRICULADOS %

1º 2º 3º 4º

546 328 280 120

Total 1.274

Complete, determinando as porcentagens com uma casa decimal e fazendo a

compensação, se necessário.

Para o total de 1274 alunos, resta calcular as porcentagens de cada período utilizando a regra

de três.

1° período:

1274 - - - -> 100 %

546 - - - -> x

X= 42,85 arredondando para 42,9

2° período: 25,7

3° período: 22

4° período: 9,4

3. Nas turmas 1A-I/ 1B-I 50 alunos, as notas parciais obtidas na disciplina de

Sociologia no 1º trimestre formaram a seguinte distribuição:

NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº DE ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1

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Determine:

a) a nota média

b) a nota mediana

c) a nota modal

NOTA MÉDIA

Como os dados estão agrupados por uma distribuição de freqüências por valores

simples, multiplicamos cada nota pelo respectivo “número de alunos” e dividimos

pelo total de alunos.

MEDIA=(2x1+3x3+4x6+5x10+6x13+7x8+8x5+9x3+10x1)/50

MEDIA= 5,9

NOTA MEDIANA

O total de alunos, dividido por 2 resulta em 25, para as freqüências acumuladas,

(1+3+6+10+13) = 33, então 25 se encaixa neste valor, sendo a mediana igual a 6.

NOTA MODAL

Esta se caracteriza pela maior freqüência, neste caso, o maior número de alunos é 13

e a sua nota correspondente é 6, logo esta é a nota modal.

4. Se Jeremias obteve notas iguais a 79 e 88 nos dois primeiros testes de certa

matéria, que nota ele deve obter no terceiro teste para ficar com média igual a 85?

A) 85

B) 87

C) 88

D) 95

Aplicando a definição de média aritmética simples, temos:

( 79 + 88 + X ) / 3 = 85 e resolvendo a equação encontramos x = 88. Alternativa C.

A) 85

B) 87

C) 88

D) 95

5. Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma nota foi alterada,

passando a ser 7,5. Considerando-se que a média da turma aumentou em 0,1, a nota

do aluno antes da revisão era:

Resolvendo obtemos 6,0 (alternativa D )

A) 7,6

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B) 7,0

C) 7,4

D) 6,0

E) 6,4

6. A tabela abaixo apresenta a oferta da lata do leite em pó do tipo I, em dois

supermercados, A e B.

Nesse contexto, considere as seguintes afirmações:

I. O preço de 100 g de leite no supermercado A é R$ 0,15 a mais que o preço da

mesma quantidade no supermercado B.

II. Com R$ 28,80, é possível comprar 6 latas de leite, no supermercado B e, com o

troco, uma lata de leite no supermercado A.

III. Comprando-se 4,8kg de leite no supermercado B, a economia, em relação à

mesma compra realizada no supermercado A, é de R$ 7,20.

IV. Comprando-se 2,4 kg de leite no supermercado A, a economia, em relação à

mesma compra efetuada no supermercado B, é de R$ 1,50.

São corretas apenas:

I Verdadeira pois 100g no mercado A custa (3,60/3) = 1,20 e no mercado B (4,20/4)

= 1,05

II Verdadeira pois 6 latas em B custam 25,20 com troco de (28,80-25,20) = 3,60

podemos comprar 1 lata no supermercado A.

III Verdadeira (4800/400)=12*4,20 = 50,40 e (4800/300)=16*3,60= 57,60 com

economia de (57,60-50,40) = 7,20

IV Falsa pois No mercado A 2,4 Kg ( 8 pacotes ) custam 28,80 e no mercado B ( 6

pacotes ) custam 25,20 se comprar no mercado A haverá prejuízo de 3,60.

É correta apenas a alternativa: ALTERNATIVA A

A) I, II e III

B) II, III e IV

C) I, II e IV

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D) I, III e IV

E) I e II

7. Em 20 postos de combustíveis de uma cidade, foi realizada uma pesquisa para

avaliar o impacto da redução do preço da gasolina comum, anunciada pelo governo,

observando-se a seguinte distribuição de freqüência:

Da análise da tabela, pode-se concluir que a média, a moda e a mediana da

distribuição correspondem, respectivamente, a:

A) 22,14; 2,30 e 2,25

B) 62,14; 2,25 e 2,30

C) 2,16; 2,30 e 2,10

D) 2,16; 2,30 e 2,25

E) 2,16; 2,10 e 2,25

Média= (5x1,90+3x2,10+4x2,25+8x2,30)/20 2,16

Moda, a maior freqüência, número de postos pesquisados é 8 e seu respectivo preço;

2,30

Mediana, com 20 postos pesquisados, (20/2)=10 montando a freqüência acumulada

obtemos (5+3+4) = 12, correspondendo ao preço de 2,25

Alternativa correta D

8. Uma enquête com os 450 alunos de uma escola para saber os tipos de calçados mais

usados apresentou o seguinte resultado:

• 48% dos alunos usavam sandália;

• 22% dos alunos usavam tênis;

• 30% dos alunos usavam sapato.

Esse resultado foi representado em um gráfico de setores:

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O cálculo envolve porcentagem:

48% de 450 = 216 (sandália)

22% de 450 = 99 (tênis)

Temos: 216 + 99 = 315, alternativa A

O número de alunos que usava sandália ou tênis é:

A) 315

B) 135

C) 99

D) 216

E) 450

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REFERÊNCIAS BRASIL. Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Brasília: Ministério da

Educação – MEC, 2006. ______. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação – MEC, 2000. BOYER, C.B. História da Matemática. Sao Paulo: Edgard Blucher, 2003.

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