Escola Secundária de Caneças 12ºAno 3a Ficha de Matemática (Probabilidades e Combinatória) Outubro

Nome ______________________________________________N º _______ Turma _____

No subtema anterior foi necessário recorrer a diagramas em árvore, a tabelas de dupla entrada, etc. para contar o número de casos possíveis e o número de casos favoráveis em certas experiências, o que tornava a tarefa um pouco demorada. Vamos agora conhecer novas técnicas de contagem (integradas no cálculo combinatório) para podermos resolver problemas com maior nível de complexidade.A Análise Combinatória é um auxiliar precioso, não só no cálculo das probabilidades (com as suas diversas aplicações a jogos e lotarias), seguros e investigação científica em variadíssimos campos, mas também noutras áreas da Matemática, como Análise Infinitesimal e Investigação Operacional.

1.O João, Tiago e a Marta vão fazer uma corrida de cavalos.1.1 Sabendo que não houve empates de quantos modos diferentes pode ser obtida a classificação final?1.2 A Rita também quis participar na corrida. E agora de quantos modos diferentes pode ser obtida a

classificação final (sabendo que não houve empates)?1.3 E se o Pedro também participar?

Neste exercícios tivemos sempre de contar todas as formas possíveis de ordenar todos os elementos de um conjunto. Cada uma das formas de ordenação chama-se permutação.

Factorial de um número natural n é o produto dos n primeiros números naturais e representa-se por n!.

é o número total de permutações que é possível formar com n elementos Convencionou-se que 0! = 1 e 1! = 1Utilize a calculadora para confirmar o resultado obtido em 1.3 ( 5 Math PRB ! ENTER)

2.Calcule apresentando o resultado na forma mais simples:

2.1 2.2 2.3 2.4

3. Cinco amigos, Ana, Beatriz, Carlos, Dora e Eduardo, vão tirar uma fotografia.De quantas formas diferentes se podem sentar num banco se:3.1 não houver qualquer restrição?3.2 a Ana ficar numa das pontas?3.3 a Beatriz ficar no meio?3.4 o Carlos e a Dora ficarem juntos numa das pontas?3.5 o Carlos e a Dora ficarem juntos?3.6 o Carlos não quer ficar ao lado da Dora?3.7 cada rapaz ficar entre duas raparigas?3.8 as raparigas ficarem todas juntas?

3.9 as raparigas ficarem de um lado e os rapazes do outro?

3.1 5!3.2 3.3 4!3.4

3.5 2! 4!3.6 5! - 2! 4!3.7 2! 3!3.8 3 2! 3!

3.9 2 2! 3!

Arranjos sem repetição

4 Quatro turmas de uma escola estão a disputar um torneio de futebol. No final não há empates. Vão ser atribuídas duas taças diferentes aos dois primeiros classificados.4.1 De quantas formas diferentes podem ser entregues as duas taças?4.2 E se fossem 10 turmas a disputar o torneio e fossem atribuídas taças aos três primeiros

classificados. De quantas formas diferentes podem ser entregues as três taças?V.S.F.F.

Arranjos sem repetição ou arranjos simples de n elementos p a p , são todas as sequências de p elementos diferentes, escolhidos entre os elementos de um conjunto dado.

Representa-se por , e

Nota: Permutação de um conjunto é qualquer arranjo constituído por todos os elementos desse conjunto.

5. Quantos números compreendidos entre 100 e 1000 não têm nenhum algarismo repetido? 648

6. Com os elementos do conjunto , quantos números de três algarismos diferentes se podem formar sem qualquer restrição? 180

6.1 Destes números quantos são:6.1.1 pares R:105 6.1.2 múltiplos de 5 R:55 6.2.3 múltiplos de 10 R:30

Arranjos com repetição ou arranjos completos7. Com dois lápis de cor, um amarelo e outro vermelho, de quantas formas diferentes se podem

pintar 3 quadrículas?

Arranjos com repetição ou arranjos completos de n elementos p a p , são todas as sequências de p elementos que se podem formar, escolhidos entre os elementos de um conjunto dado.

Representa-se por ,

8. Qual é o número de apostas simples do totobola? (São 14 jogos) R:4 782 969

9. Com os elementos do conjunto , quantos números de três algarismos se podem formar:

9.1 sem qualquer restrição? R: 2169.2 de modo que sejam pares? R:

CombinaçõesA diferença entre combinações e arranjos sem repetição é que nas combinações não interessa a ordem. O totoloto é um exemplo que ilustra bem o que é uma combinação, pois a chave final não depende da ordem de saída das bolas.

Combinações de n elementos p a p , são todos os subconjuntos de p elementos que é possível considerar num conjunto com n elementos.

Representa-se por , e

10. No totoloto, quantas apostas diferentes é possível fazer? ( Há 49 bolas e a chave tem 6) 13 983 816

11. Numa caixa há 1000 rifas das quais 20 têm prémio. Qual é a probabilidade de, comprando três rifas, duas serem premiadas.

(A) (B) (C) (D) R: C

12. Dos 100 estudantes reunidos num programa de televisão, 60 falam Inglês e 80 falam Francês. Determine

a probabilidade de 2 estudantes escolhidos ao acaso se entenderem numa dessas línguas? R:

Bom trabalho