eng economica aulas 2012 03

ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA

Engª Economica~Aulas~2012.03.docx 1-201

Antonio Victorino Avila Eng.º Civil, MSc. Eng.ª Produção

Cursos de Engenharia

Florianópolis-SC 2012



Catalogação na publicação por Graziela Bonin – CRB14/1191.

Original: INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Versão 1.0 - 1983 – ELETROSUL. Matemática Financeira E Engenharia Econômica Versão 5.6 - março de 2.012.

Copyright do autor Permitida cópia citada a fonte.

A958m AVILA, Antonio Victorino.

Matemática financeira e engenharia econômica / Antonio Victorino Avila; Antônio Edésio Jungles. –

Florianópolis. "Programa de Educação Tutorial da

Engenharia Civil - UFSC", 2011.

200 p.: il. color. ;24 cm Inclui Bibliografia. 1. Matemática financeira. 2. Engenharia econômica. 3. Juros. 4. Capital. I. Jungles, Antônio Edésio. II. Título. CDU 624



O objetivo desta publicação é disponibilizar ao aluno dos cursos de engenharia uma expressão documental coerente com o conteúdo ministrado de modo que o mesmo possa acompanhar as discussões realizadas em sala de aula. Visando o bom aproveitamento das aulas é imprescindível que o aluno disponha da ultima versão atualizada deste conteúdo. Isto porque, comentários sobre a teoria, demonstrações matemáticas e os exercícios a serem resolvidos estão nela atualizados. Recomenda-se ao interessado consultar a bibliografia apresentada, pois o conteúdo exposto não esgota o assunto. Engº Civil Antonio Victorino Avila, MSc Engª Produção



ÍNDICEÍNDICEÍNDICEÍNDICE

1. Premissas e 1. Premissas e 1. Premissas e 1. Premissas e ConceitosConceitosConceitosConceitos ......................................................................... 8

1.0 – Introdução. ................................. ...................................................... 8

1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. ........ .............................. 8

1.2 – Premissas. .................................. ...................................................... 9

1.3 - Nomenclatura das taxas de juros. ............ .................................... 11

1.4 – Composição da Taxa Real .................... ....................................... 13

1.5 – Definições .................................. ..................................................... 13

2. Matemática Financeira2. Matemática Financeira2. Matemática Financeira2. Matemática Financeira .................................................................. 15

2.0 - Introdução .................................. ..................................................... 15

2.1 – Conceituações de Juros ...................... ......................................... 15

2.2 – Juros Simples ............................... ................................................. 15

2.2.1 – Definição ................................................................................... 15

2.2.2 - Equações. .................................................................................. 16

2.2.3 - Operações de desconto. ............................................................ 17

2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas ........................................... 20

2.2.5 – Tempo Exato e Comercial ......................................................... 21

2.2.6 – Exercícios Resolvidos ............................................................... 21

2.2.7 – Exercícios propostos ................................................................. 23

2.3 – Juros Compostos. ............................ ............................................. 24

2.3.1 - Definição. ................................................................................... 24

2.3.2 - Fórmulas Básicas:...................................................................... 25

2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro ................................................... 26

2.3.4 - Exemplos ................................................................................... 27

2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. ......................... 28

2.3.6 - Cuidados a observar. ................................................................. 30

2.3.7 - Exercícios. .................................................................................. 31

2.4 - Relação entre as taxas nominal e real. ...... ................................... 32

2.4.1 – Efeito da Inflação....................................................................... 32

2.4.2 – Relação entre taxas. ................................................................. 34

2.4.3 – Inflação e Índices. ..................................................................... 34

2.5 – Inflação Acumulada. ......................... ............................................. 37

2.5.1 – Fórmulas Básicas. ..................................................................... 37

2.5.2 – Atualização de valores monetários. ........................................... 38

2.5.3 - Aplicação .................................................................................... 40

2.6 – Exercícios. ................................. ..................................................... 40

3. Séries de Capitais3. Séries de Capitais3. Séries de Capitais3. Séries de Capitais .............................................................................. 46

3.0 – Introdução................................... ........................................................ 46

3.1 – Série Uniforme Postecipada. ................. ....................................... 46

3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. ................ 47

3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. ........................................... 48

3.1.3 - Exemplo. ..................................................................................... 50

3.1.3 - Comparando Juros Simples e Compostos. ................................ 50

3.2 - Anuidade perpétua. .......................... ............................................... 51

3.2.1 – Conceituação. ............................................................................ 51

3.2.2 – Exercício Resolvido. .................................................................. 52

3.3 – Série Uniforme Antecipada. .................. ........................................ 53

3.3.1 – Valor Presente da Série Antecipada ......................................... 54

3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. ............................................ 55

3.3.3 – Aplicação. .................................................................................. 56

3.4 – Série Diferida. ............................. .................................................... 57

3.4.1 – Metodologia ............................................................................... 58

3.4.2 - Aplicação .................................................................................... 58

3.5 - Série Infinita. ............................. ....................................................... 59

3.5.1 – Conceituação. ............................................................................ 59

3.5.2 – Aplicação. .................................................................................. 60

3.6 - Exercícios. ................................. ...................................................... 61

4. Amortizações de Dívidas4. Amortizações de Dívidas4. Amortizações de Dívidas4. Amortizações de Dívidas ................................................................ 65

4.1 – Tipos de Sistemas. .......................... ............................................... 65

4.2 - Sistemas de Amortização Constante - SAC ..... ............................ 66

4.2.1 – A metodologia ............................................................................ 66

4.2.2 - Exemplo ...................................................................................... 67

4.3 - Sistemas de prestação constante ............. .................................... 67

4.3.1 - Metodologia ................................................................................ 67

4.3.2 - Exemplo ...................................................................................... 68

4.4 - O sistema americano. ........................ ............................................. 69

4.4.1 - Metodologia. ............................................................................... 69

4.4.2 - Exemplo. ..................................................................................... 70



4.5 – O sistema de amortização variável. .......... ................................... 70

4.5.1 – Metodologia. .............................................................................. 70

4.5.2 – Comentários .............................................................................. 71

4.5.3 - Exemplo ..................................................................................... 71

4.6 – O sistema alemão. ........................... .............................................. 72

4.6.1 – Característica ............................................................................ 72

4.6.2 – Relação entre Amortizações. .................................................... 72

4.6.3 – Determinação da Prestação. ..................................................... 73

4.6.4 – Equivalência Financeira. ........................................................... 74

4.6.5 – Exemplo. ................................................................................... 74

4.7 – O sistema de amortização crescente - SACRE .. ......................... 75

4.7.1 – O Sistema .................................................................................. 75

4.7.2 – A metodologia. .......................................................................... 76

4.7.3 – Exemplo .................................................................................... 77

4.7.4 - Comentários ............................................................................... 77

4.8 – Correção do saldo devedor. .................. ....................................... 78

4.8.1 – Procedimentos .......................................................................... 78

4.8.2 – Metodologia ............................................................................... 78

4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC ....................................................... 79

4.9 – Exercícios. ................................. ..................................................... 80

5. 5. 5. 5. ––––Engenharia Econômica.Engenharia Econômica.Engenharia Econômica.Engenharia Econômica. ................................................................ 87

5.1 – Conceituação. ............................... ................................................. 87

5.2 – Análise de Viabilidade ...................... ............................................. 87

5.2.1 - Conceito de Viabilidade ............................................................. 87

5.2.2 – Premissas. ................................................................................. 88

5.3 – O Fluxo de Caixa ........................... ................................................ 90

5.3.1 – Conceituação ............................................................................ 90

5.3.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. ........................................ 90

5.3.3 – Calculo do Fluxo de Caixa ........................................................ 91

5.4 – Valor Presente. ............................. .................................................. 93

5.4.1 – Valor de um Ativo. ..................................................................... 93

5.4.2 – Calculo do Valor Presente Líquido............................................ 93

5.4.3 – Diagrama de Valor Presente ..................................................... 94

5.4.4 – Exemplo de Aplicação ............................................................... 95

5.5 – A TMA – Taxa de Mínima Atratividade ......... ................................ 96

5.5.1 – Conceito de TMA....................................................................... 96

5.5.2 – Definição da TMA ...................................................................... 97

5.6 – A TIR – Taxa Interna de Retorno ............. ...................................... 98

5.7 - Previsão de Fluxo de Caixa.................. ....................................... 100

5.7.1 – Modelo de Procedimento ......................................................... 100

5.7.2 – Informações Gerenciais. .......................................................... 101

5.8 – Tributos e Depreciação....................... ......................................... 101

5.8.1 – Influencia dos Tributos............................................................. 101

5.8.2 – Influencia da Depreciação. ...................................................... 102

5.9 – Classificação dos Investimentos. ............ ................................... 102

5.9.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa......................................... 102

5.9.2 – Disponibilidade de Recursos. .................................................. 104

5.10 - O processo de decisão ...................... ......................................... 104

5.11 – Exercícios ................................. .................................................. 105

5.11.1 – Exercícios Resolvidos............................................................ 105

5.11.2 - Exercícios Propostos ............................................................. 105

6. Método do Valor Presente.6. Método do Valor Presente.6. Método do Valor Presente.6. Método do Valor Presente. ............................................................ 108

6.1 – Coerência de resultados...................... ........................................ 108

6.1.1 - Projetos na mesma classe de risco .......................................... 108

6.1.2 - A mesma taxa de desconto. .................................................... 108

6.1.3 - Projetos com idêntica vida útil. ................................................ 108

6.1.4 - Distinguir projetos de longa duração ........................................ 109

6.2 – O Método do valor presente. ................. ...................................... 109

6.2.1 – Incremento de Riqueza. .......................................................... 109

6.2.2 - Decisão ..................................................................................... 110

6.2.3 – Diagrama de valor presente .................................................... 115

6.3 - Análise de Sensibilidade - Risco. ........... ..................................... 117

6.3.1 – Conceituação. .......................................................................... 117

6.3.2 – Domínio viável de produção. ................................................... 118

6.4 – Aplicação.................................... ................................................... 119

6.5 - Equalização de tempos de projetos. ......... ................................. 122

6.5.1 – Reinvestimento em ativos semelhantes .................................. 122

6.5.2 – Caso de Rigidez das Alternativas ............................................ 123

6.5.3 – Caso de Outras Oportunidades. .............................................. 124

6.6 – Exercícios. ................................. ................................................... 125

7. Método 7. Método 7. Método 7. Método da Recuperação de Capitalda Recuperação de Capitalda Recuperação de Capitalda Recuperação de Capital ........................................... 133

7.1 - Introdução .................................. .................................................... 133



7.2 - Metodologia. ................................ .................................................. 133

8. Valor8. Valor8. Valor8. Valor Uniforme EquivalenteUniforme EquivalenteUniforme EquivalenteUniforme Equivalente ........................................................ 135

8.1 – Introdução .................................. .................................................. 135

8.2 - Decisão ..................................... ..................................................... 136

8.3 – Metodologia. ................................ ................................................. 137

8.4 – Aplicação da Metodologia. ................... ...................................... 138

8.4.1 – Procedimentos. ....................................................................... 138

8.4.2 - Resolução do Caso ................................................................. 138

8.5 - Caso de Reinvestimento. .................... ........................................ 141

8.5.1 – Conceituação e Artifício. ......................................................... 141

8.5.2 – Manutenção em Comissionamento ......................................... 142

8.5.3 – Análise Crítica. ........................................................................ 144

8.6 – Exercícios .................................. ................................................... 145

8.6.1 – Exercício Resolvido ................................................................. 145

8.6.2 – Exercício Proposto .................................................................. 147

9. Taxa Interna de Retorno9. Taxa Interna de Retorno9. Taxa Interna de Retorno9. Taxa Interna de Retorno ............................................................... 148

9.1 - Definições .................................. .................................................... 148

9.2 - Decisão ..................................... ..................................................... 148

9.3 – Discutindo a TIR e a TMA .................... ........................................ 149

9.4 – Utilização recomendada. ..................... ........................................ 149

9.4.1 - Caso de títulos mobiliários ....................................................... 150

9.4.2 - Caso de financiamentos. ......................................................... 151

9.4.3 – Caso de investimentos produtivos .......................................... 151

9.5 – Calculo da TIR. ............................. ................................................ 153

9.5.1 – Função Polinomial ................................................................... 153

9.5.2 - Processo da Bisseção. ............................................................ 154

9.5.3 – Aplicação da metodologia ....................................................... 156

9.6 - Existência de múltiplas TIR ................. ........................................ 157

9.6.1 – Conceituação. ......................................................................... 157

9.6.2 – Exemplo .................................................................................. 158

9.7 – Exercícios. ................................. ................................................... 159

10. Métodos Algébricos.10. Métodos Algébricos.10. Métodos Algébricos.10. Métodos Algébricos. ...................................................................... 162

10.1 – Fórmulas de Karpin ......................... .......................................... 162

10.2 - Caso de Prestações Constantes. ............. ................................. 163

10.2.1 – O método .............................................................................. 163

10.2.2 – Aplicação ............................................................................... 164

10.3 - Caso de Prestações Crescentes. ............. ................................. 164

10.3.1 – O Método ............................................................................... 164

10.3.2 – Aplicação ............................................................................... 165

10.4 – Caso de Prestações Decrescentes. ........... ............................... 165

10.4.1 – O Método. .............................................................................. 165

10.4.2 – Aplicação. .............................................................................. 166

10.5 - Exercícios. ................................ ................................................... 166

11. 11. 11. 11. –––– Comissionamento de Ativos.Comissionamento de Ativos.Comissionamento de Ativos.Comissionamento de Ativos. ................................................... 169

11.1 – Definição .................................. ................................................... 169

11.2 – Tipos de Comissionamentos .................. .................................. 169

11.3 – Metodologia. ............................... ................................................ 169

11.3.1 – Decisão. ................................................................................. 169

11.3.2 - Compra a vista ....................................................................... 170

11.3.3 - Compra a prazo ...................................................................... 171

11.3.4 - Aluguel com devolução do bem ............................................. 171

11.3.5 - Aluguel sem devolução do bem ............................................. 172

11.4 - Leasing-back. .............................. ................................................ 172

11.5 – Exercício................................... ................................................... 173

ÍNDICES DE INFLAÇÃO. .............................. ............................................. 178

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................ .................................. 183

ANEXOS - Casos e Trabalhos ....................... .......................................... 184

Anexo I – Trabalhos. .............................. ................................................... 184

I.1 – Trabalho: Análise de Fluxo de Caixa. ....... ................................. 184

I.2 - Trabalho: Métodos de amortização. ........... .................................. 187

I.3 – Trabalho: Viabilidade de troca de lâmpadas . ............................ 189

Anexo II- Casos em Engenharia Econômica. ......... ............................... 191

II.1 – Caso: Ampliação da Sede. ................. ....................................... 191

II.2 – Caso: Fabrica de protendidos. .............. ..................................... 191

II.3 – Caso: Implantação de Termelétrica. ......... .................................. 192



II.4 – Caso: Viabilidade de construção de ponte. .. ............................ 193

II.5 – Caso: Refinaria de petróleo ................ ........................................ 193

II.6 – Caso: Aquisição de prensas. ................ ...................................... 194

II.7 – Caso: Financiamento de residência. ........ ................................ 194

II.8 – Caso: Venda de Apartamento. ............... .................................... 194

II.9 – Caso: Plano de Construção ................. ...................................... 195



1. Premissas e Conceitos 1.0 – Introdução. O objetivo deste capítulo é apresentar ao interessado uma série de premissas, conceitos e definições que amparam o processo de decisão financeira e os métodos de decisão utilizados na Matemática Financeira e na Engenharia Econômica. Matemática Financeira é definida como sendo a área da matemática que descreve as relações entre o binômio tempo e dinheiro necessárias a amparar o calculo de decisões financeiras. Assim sendo, a matemática financeira estuda, basicamente, a formação dos juros, os montantes de capital gerados, o valor de prestações em séries e a amortização de dívidas.

A Engenharia Econômica corresponde ao conjunto de conhecimentos e metodologias que, amparadas na matemática financeira, permite realizar o processo de tomada de decisão quanto a eleição ou a classificação de alternativas de investimentos financeiros.

Esses investimentos podem ser referentes a:

aplicação de capital em ações, renda fixa ou variável; aquisição de bens e equipamentos; implantação de sistemas de produção ou de serviços, etc..

1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. A demanda por fatores necessários à produção de bens e serviços tais como: mão de obra; capital; terra; empresas; ou a capacidade técnica, requer remuneração.

Conforme o caso, esta remuneração recebe denominação distinta. Assim sendo, o capital é remunerado pelos juros; a terra pelo aluguel; a técnica ou patentes pelos royalties; a empresa pelo lucro ou taxa de mínima atratividade, TMA; a mão de obra pelo salário. Ver Fig.1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção.

O objetivo desta obra será discutir a remuneração do capital, ou seja, os juros.



E, os juros, tanto podem se relacionar a um empréstimo tomado por pessoa física ou jurídica, como ao financiamento tomado na aquisição de bens ou a remuneração do capital de sócios. O objetivo maior, então, é dispor ao interessado de um conjunto de metodologias que permitam a realização de um coerente processo de decisão quanto à escolha de investimentos produtivos ou a aplicação de capital que atenda, corretamente, aos preceitos da Matemática Financeira e da Engenharia Econômica. 1.2 – Premissas. A matemática financeira e a engenharia econômica, como instrumentos de apoio à tomada de decisão, se apoiam nas seguintes premissas: 1ª Premissa – MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA.

O objetivo de utilizar a engenharia econômica e a matemática financeira é amparar um processo de decisão capaz de eleger a alternativa de investimentos que maximize o lucro, a riqueza dos proprietários, sempre. 2ª Premissa – MOMENTO DA DECISÃO.

As decisões sempre devem enfocar o quanto uma ação efetuada no presente resultará em termos de aumento de riqueza no futuro.

Assim, ao ser analisado um empreendimento já em curso, a decisão presente em continuá-lo ou de alterar a sua aplicação ou objetivo deve basear-se em perspectivas futuras e não em resultados passados.

Só se decide sobre ações relativas ao futuro. O passado

já ocorreu e sobre ele nada há que decidir. Em relação ao futuro só temos expectativas. De modo que as decisões são sempre formadas sobre expectativas.

A 2ª Premissa estabelece que o momento da decisão seja sempre a data em que a mesma foi tomada. HOJE.

Como se decide sobre expectativas futuras, há que se

considerar a variação do valor aquisitivo da moeda no tempo para que haja consistência quando se compara valores monetários.

Isto porque, e é de entendimento geral, mesmo de modo

intuitivo que, com uma quantidade de moedas, na data de hoje, é possível adquirir uma quantidade de bens diferente daquela possível de adquirir em outra data, dispondo da mesma quantidade de moeda.

Sob essa consideração, toda a operação efetuada com valores monetários, seja de adição de valores, quais sejam, entradas de caixa. Ou a diminuição de valores, a exemplo de custos incorridos, investimentos realizados ou impostos devidos, deve ser correlacionada à data da tomada de decisão.

SOMENTE SE SOMAM OU SE SUBTRAEM

VALORES MONETÁRIOS CORRELACIONADOS À MESMA DATA.

ATENÇÃO! COERÊNCIA!



Dado o exposto, somente se somam ou se subtraem valores monetários financeiros quando correlacionados à mesma data, dada a variação do valor da morda no tempo. 3ª Premissa - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO.

Financeiramente falando, uma soma de dinheiro na data

de HOJE, e sob determinadas condições, pode ser monetariamente equivalente a outra soma diferente, no tempo.

Sob tal premissa, os critérios de decisão de

investimentos devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo e, como corolário dessa premissa, a perda do poder aquisitivo do dinheiro com o passar do tempo.

Para que um ativo mantenha o seu valor aquisitivo e,

consequentemente, não perca valor no tempo, há que ser aplicado com um retorno equivalente à taxa de oportunidade definida pela empresa ou adotada pelo investidor.

Como exemplo, seja um investidor dispondo de uma soma de capital equivalente a D$ 200.000,00 e havendo a oportunidade de aplicá-la a taxa de juros i=14,50 % ao ano, ao final de um ano a importância inicial montará em D$229.000,00.

O valor de R$ 229.000,00, nas condições relatadas é

financeiramente equivalente ao valor inicialmente aplicado. Outro exemplo seja o caso do financiamento de um

televisor, cujo preço de aquisição é de R$ 1.500,00 a ser quitado em cinco prestações iguais, mensais e consecutivas no valor de R$ 385,00.

Sob o conceito de equivalência financeira do valor da

moeda no tempo, o montante das cinco prestações, a um custo de oportunidade de 8,94% ao período, é equivalente ao valor do financiamento. Ou seja: 1.500,00 R$ ≡ 5 × 385,00 R$. Ver Fig.1.1 – Equivalência de valores. 4ª Premissa – CUSTO DE oPORTUNIDADE.

O custo de oportunidade corresponde à melhor remuneração a ser obtida por um fator de produção que seria obtida por ele caso fosse aplicado em outra alternativa de investimento, mantida a mesma classe de risco. (Sotto Costa & Attie, 1984).

Como corolário da definição acima, o custo de

oportunidade corresponde à maior taxa de desconto a ser adotada quando se compara a rentabilidade de um dado projeto com a rentabilidade da melhor alternativa já disponível, considerando projetos situados na mesma classe de risco.

A literatura existente trata o custo de oportunidade sob

diversas denominações, tais como: taxa de rentabilidade, taxa

Fig. 1.2 – Equivalência de valores

R$1.500,00 ≡

Mês

5 × 385,00 R$

1 2 3 4 5



de oportunidade; taxa de retorno; taxa de atratividade; taxa de desconto ou taxa de mínima atratividade - TMA. Esta última, TMA, será a adotada como nomenclatura nesta obra.

Dentro dessa premissa, um investidor que passa a ter a

oportunidade de aplicar os seus recursos a X%, e os vinha fazendo a taxa y% < X%, sua taxa de oportunidade passa a ser X%, pois esta é a melhor aplicação disponível para seus ativos.

Qualquer aplicação efetuada a taxa inferior que a de

oportunidade reduz a realização ou a perspectiva de manter seus ganhos num determinado patamar de lucratividade, o que contraria a 1ª Premissa.

Como exemplo, seja uma empresa que remunera seus

ativos à taxa de 15% ao ano. Esta é a sua taxa de oportunidade e ela não aceita em aplicar recursos á uma taxa inferior a ela. Porém, se conseguir remunerar a uma taxa mais elevada, tal como 18% ao ano, esta passará a ser a sua nova taxa de oportunidade.

O conceito de considerar ou definir a remuneração do

capital a ser investido como um custo de oportunidade parte do entendimento de que ao ser aplicado um capital numa alternativa qualquer, a empresa estaria perdendo a oportunidade de aplicá-lo em alternativas mais rentáveis a ocorrerem no futuro.

5ª Premissa – DECISÃO & RESULTADO.

É importante observar a diferença entre boas decisões e

bons resultados, pois, nem sempre, são diretamente proporcionais.

Uma boa decisão é a melhor possível, considerando o conhecimento disponível sobre qualquer ação em julgamento, no momento de sua realização. Havendo alteração do cenário previsto ou ocorrendo azar, uma boa decisão pode redundar num mau resultado. É um fato a ser considerado.

A recíproca, porém, dificilmente se mostrará verdadeira,

ou seja, uma má decisão propiciando em bom resultado. Esta assertiva contraria a lei de Murphi que diz: “existindo a probabilidade de algum fenômeno dar errado, com certeza ele dará errado...“.

A ocorrência de uma boa decisão esta vinculada a

disponibilidade de dados e informações confiáveis e que as alternativas reflitam as condições de mercado da época em que foram desenvolvidas. São dados perfeitamente controláveis e dependentes da acuidade do decisor. Cabe ao analista, elaborar um processo com a melhor qualidade possível, visando à fidedignidade dos resultados.

Recomenda-se a realização de auditorias pós - decisão

visando analisar o processo decisório passado e aperfeiçoar a qualidade das decisões futuras. É um processo que educa os responsáveis por decisões possibilitando avaliar o desempenho da organização. 1.3 - Nomenclatura das taxas de juros.

O mercado de capitais e o comércio utilizam uma nomenclatura variada para definir as taxas de juros praticadas, muitas vezes utilizando denominação diferente para a mesma taxa. Visando o entendimento das nomenclaturas utilizadas, são apresentadas as seguintes definições:



a) Taxa Básica - é a taxa que estabelece a remuneração do

capital estabelecida por seu proprietário e medida em termos de moeda de poder aquisitivo constante. Moeda de poder aquisitivo constante é aquela cujo poder de compra se mantém inalterada no tempo. Logo, nesta taxa, não está embutido o efeito da inflação.

b) Taxa Real – corresponde à taxa básica acrescida de outros custos, tributos e do risco vinculado ao tomador do recurso.

c) Taxa Nominal – corresponde à remuneração do capital expressa em termos de valores de moeda corrente. Esta taxa engloba a taxa real e a inflação prevista. Também pode ser denominada de taxa efetiva. Neste caso corresponde à taxa empregada para a atualização e pagamento de valores monetários.

d) Taxa Efetiva – É a que corresponde, exatamente, ao custo do dinheiro empregado ou tomado emprestado. Pode ser definida, também como aquela que incide sobre o capital efetivamente exposto ao risco. A Taxa Efetiva, então, corresponde à razão entre o custo

do capital tomado e o valor efetivamente recebido. E, deve ser entendida como a efetiva taxa de juros a ser paga pelo tomador do recurso.

ciadoValorFinan}osargEncJuros{

cebidoReValoritalCustodoCap

iEFETIVA

+Σ==

e) Taxa Declarada – é aquela declarada ou registrada nominalmente nos contratos. Normalmente ela é a base para o cálculo do juro a ser pago em uma operação.

A taxa declarada pode ser considerada como sendo a taxa

nominal quando expressamente estabelecida em contrato. Ou, à taxa real quando o contrato estabelecer, numa clausula a taxa de juros e, noutra cláusula, o índice de correção da inflação.

f) Taxa Bruta e Taxa Líquida – são aquelas referentes à

remuneração bruta ou líquida da inversão, respectivamente, antes ou depois da consideração dos impostos, comissões, incentivos fiscais, etc. incidentes sobre a operação de empréstimo. Da definição acima, pode-se concluir que a taxa bruta

pode corresponder à taxa efetiva de juros.

g) Juros Descontados - os juros são ditos descontados quanto pagos no ato da operação financeira que lhes deu origem. Considerando que os juros efetivamente pagos são calculados sobre o capital efetivamente recebido, a taxa efetiva é superior à taxa expressa ou pactuada. Neste caso a situação é mais favorável ao fornecedor do recurso.

h) Juros Postecipados – os juros são ditos postecipados quando pagos na data de vencimento da operação financeira que lhe deu origem. Neste caso, os juros efetivamente pagos e pactuados são equivalentes, situação em que os juros são mais favoráveis ao tomador do recurso.

Pelo exposto neste item, pode se constatar certo conflito ou

inconsistência entre algumas das definições.



Cabe ao tomador do recurso verificar o conceito ou a composição das taxa a ser estipulada em cada contrato, pois pode haver entendimento diferente entre instituições financeiras distintas.

No transcorrer deste livro e para efeitos didáticos, serão

utilizadas como nomenclatura, apenas, a taxa nominal e a taxa real. Esta ultima, na maioria dos exercícios considerados neste livro, com a conotação de taxa básica.

1.4 – Composição da Taxa Real

A taxa real de juros praticada no mercado financeiro não é uma simples taxa que expressa a remuneração desejada pelo capitalista. Ela resulta da composição de custos, tributos e do risco incidentes sobre uma operação financeira.

Resumidamente, corresponde à soma da remuneração básica do capital estipulada pelo capitalista acrescida de uma taxa suplementar denominada, no mercado financeiro, de spread.

iR = iB + iSPREAD A taxa do spread tem por objeto cobrir os seguintes custos: comissões de corretagem, iF, (também denominada flat); custos vinculados ao processo da intermediação financeira, iC; tributos sobre operações financeiras, α; e, uma taxa de remuneração de risco, iρ.

Dado o acima exposto, o modelo passa a ter a seguinte expressão, sendo cada uma das variáveis relacionadas expressa em percentagem:

iR = iB + ( iF + iC + αIOF + iρ) No Brasil, o tributo incidente sobre operações financeiras é o IOF, cujas alíquotas são definidas por lei e disponíveis do site da Receita Federal. O valor da taxa de risco, iρ, é definido segundo a classificação do nível de risco atribuída ao tomador do recurso.

Para tanto são consideradas as seguintes variáveis: o histórico comercial de crédito do tomador dos recursos, as garantias reais que oferece e da vulnerabilidade do mercado onde atua. A taxa básica de juros, iB, varia de país para país sendo determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais.

Como exemplos, no Brasil, ela é denominada de SELIC e periodicamente estabelecida pelo Banco Central. Nos Estados Unidos é denominada de Prime Rate e na Inglaterra de Libor. 1.5 – Definições. Neste item são definidos alguns conceitos a serem utilizados nesta obra. Entender esses conceitos é importante para a gestão da organização, pois são comuns a áreas do conhecimento como a contabilidade e ao controle de custos. Assim sendo, as tabelas 1.1 a 1.3 mostram modelos de balanço patrimonial e do demonstrativo de resultados do exercício.



a) Gastos e dispêndios correspondem à assunção de qualquer compromisso financeiro a ser quitado à vista ou futuramente e que propicie saída de dinheiro do caixa.

b) Custo corresponde a todo dispêndio efetuado com a

produção de um bem ou serviço. São classificados como diretos e indiretos. Os diretos são os custos realizados no esforço de produção de um bem ou serviço. Os indiretos são alocados ao esforço de produção, comumente, por meio de algum processo de rateio.

Contabilmente, os custos são apropriados no DRE, ver Fig.1.1, o que permite a apuração do resultado do exercício.

c) Despesa corresponde a todo dispêndio que não se

identifica com o processo de produção de um bem ou serviço. Elas são relacionadas aos gastos incorridos com a estrutura comercial e administrativa da organização.

Contabilmente, as despesas são apropriadas no DRE, ver Fig.1.1, visando à apuração do resultado do exercício.

d) Investimento corresponde a qualquer dispêndio realizado

com a aquisição de bens móveis, imóveis ou intangíveis que integram os ativos da organização, bem como os insumos estocados visando consumo futuro.

Contabilmente, os investimentos são apropriados em contas

do no Ativo, ver Fig.1.2, visando registrar o patrimônio, bens e direitos, disponíveis pela organização no final de cada exercício.

Assim sendo, os valores de capital de giro e estoques são apropriados no Ativo Circulante.

Investimentos em bens móveis ou imóveis e a participação societária em outras empresas são apropriados no Ativo Não Circulante.

São apropriados no Ativo Não Circulante, também, direitos realizáveis em longo prazo e o intangível. e) Valor Econômico – corresponde ao valor ou soma de

valores que não consideram a perda do valor aquisitivo da moeda no tempo.

f) Valor Financeiro – corresponde ao valor ou soma de

valores que consideram a perda do valor aquisitivo da moeda no tempo.

É interessante notar que no balanço são apropriados

valores econômicos.



2. Matemática Financeira 2.0 - Introdução

Por definição, a Matemática Financeira corresponde à matemática que descreve as relações entre o binômio tempo e dinheiro necessárias a amparar o calculo de decisões financeiras.

Neste capítulo, então, serão discutidas essas relações e

que permitem realizar a equivalência de capitais. 2.1 – Conceituações de Juros

Juro, também denominado de interesse, é definido como a

remuneração efetuada tanto a um dinheiro tomado emprestado como ao capital empregado em atividade produtiva ou aplicação financeira.

No caso dos juros se referirem a uma operação financeira,

alguns parâmetros devem ser estabelecidos ao ser pactuada a operação:

� A taxa de juros referente ao período da operação; � As datas de pagamento ou vencimento dos juros; � O período de capitalização ou contabilização dos juros. A remuneração de um capital pode ser efetuada sob dois

sistemas, que diferem conforme a incidência dos juros sobre o capital:

� Juros Simples; � Juros Compostos.

É importante ter em mente, sempre, que a taxa de juros

efetivamente paga é aquela que incide sobre o capital efetivamente recebido ou disponível para o próprio manuseio.

É comum em operações financeiras existirem taxas de

abertura de crédito quando se toma uma importância em bancos ou financeiras. Ou, os juros serem pagos antecipadamente ao haver uma operação de desconte de título de crédito. Ou, ainda, haver o pagamento de uma entrada no caso de financiamento de bens de consumo.

Em todos esses casos, sob quaisquer dos dois sistemas

de juros acima mencionados, o princípio a ser estabelecido é que a remuneração do capital tomado emprestado, isto é, os juros, serão sempre calculados sobre a importância efetivamente recebida.

Observando esse princípio, é possível verificar quando a

taxa de juros pactuada e a efetivamente praticada são idênticas ou distintas.

2.2 – Juros Simples 2.2.1 – Definição

O sistema de remuneração de capital sob a matemática de juros simples ocorre quando somente o principal rende juros durante o tempo em que foi pactuado o financiamento.

O sistema de juros simples é caracterizado por serem os

juros gerados durante o período pactuado para a operação financeira computados na data do vencimento desta operação.



E, nesta data de vencimento, ocorre a devolução do capital tomado emprestado acrescidos dos juros pactuados. 2.2.2 - Equações. 2.2.2.1 – Montante dos Juros Pagos. Definindo como P, o Principal ou o Capital inicialmente aplicado; i, a Taxa de juros expressa em porcentagem; n, o número de períodos básicos correspondentes ao tempo total da aplicação; e, S, o Montante final de aplicação, representando a soma (P+J), em que J é o montante dos juros a serem pagos.

Partindo da definição de juros simples, o montante de

juros a serem pagos na data de quitação da operação financeira é igual ao produto do principal tomado, pela taxa pactuada e pelo número de períodos.

O montante de juros gerados após um único período de aplicação de um capital proporcionalmente equivalente à taxa de juros pactuada. Assim:

J = P × i No caso do capital for aplicado por “n” períodos, o montante dos juros a serem pagos é diretamente proporcional a esse numero de períodos. Então:

J = P i n O montante “S” a ser restituído ao aplicador no final do período pactuado é constituído pela soma dos juros rendidos no período, acrescidos do capital aplicado. Matematicamente:

Sn = P + J ∴ S = P + P i n Demonstrando:

S1 = P + P× i = P (1+i) S2 = P + P× i + P× i = P (1+ i×2) S3 = P + P× i + P× i + P×i = P (1+ i×3) …………………………………………………………

Sn = P + P×i + P×i + P×i +…+ P×i = P (1+ n × i)

Generalizando para n períodos, obtém-se a expressão canônica do montante de um capital P corrigido a juros simples durante n períodos:

Sn = P (1 + n × i)

$

1 2 3 n-1 n

S = P + J

P Fig. 2.1 – Diagrama tempo - dinheiro



2.2.2.2 – Equivalência entre Taxas de Juros. Um dos questionamentos decorrentes da utilização de juros é definir a proporcionalidade entre a taxa de juros correspondente a um período maior e àquela correspondente a frações inteiras desse mesmo período.

No caso dos juros simples, ocorre relação direta entre

essas duas taxas de juros. Assim, adotando como nT um dado período e nf uma fração deste período. E, respectivamente, iT e if , as taxas de juros conexas aos períodos considerados, a proporcionalidade entre estas duas taxas é expressa por:

f

T

f

T

i

i

n

n=

Atenção quanto à utilização do modelo acima. Ele somente poderá ser utilizado quando se adota a matemática dos juros simples. É conceitualmente errado utilizar este modelo quando se opera sob a égide dos juros compostos. 2.2.3 - Operações de desconto. 2.2.3.1 – Tipos de desconto. Uma operação financeira corriqueira no mercado é a denominada de desconto ou deságio e efetuada em transações de títulos de crédito. Os descontos ocorrem quando títulos são negociados em data anterior ao do efetivo vencimento e correspondem aos juros pagos pelo serviço havido entre a data do desconto e a do efetivo pagamento.

Essas operações servem como fonte de financiamento de curto prazo e são lastreadas em cheques “pré-datados” descontados por empresas de factoring; duplicatas e letras de câmbio negociadas antes da data do efetivo pagamento; e empréstimos ou vendas garantidos por notas promissórias.

O desconto ou deságio pode ser expresso em termos de porcentagem ou em valor monetário a ser descontado do valor de face do título negociado.

O valor de face corresponde ao montante expresso no

anverso do título, a ser quitado pelo emissor ou o avalista na data aprazada e também expressa no título.

Neste caso, a quantia a ser paga ao portador, isto é,

àquele que está negociando o título, deverá ser inferior ao valor nominal ou valor de face. Isto porque, na data de vencimento do título, este deverá ser quitado pelo valor de face. O comprador do título, então, o adquire por um valor inferior àquele discriminado na face do documento, de forma a remunerá-lo durante o período compreendido da data de sua negociação até a data do vencimento. Interessa então, àquele que vende o título, saber qual o montante do desconto, ou deságio, a ser efetuado sobre o valor de face e qual o montante do capital que ira receber pela venda do título. Dois são os procedimentos realizados pelo mercado para calcular o valor do deságio e denominados de:

• Desconto Racional ou por Dentro; • Desconto Bancário, Comercial ou por Fora.



Adotando como nomenclatura:

� F = Valor de Face, importância escrita na face do título e a ser honrada pelo emitente na data do respectivo vencimento;

� P = Importância a ser paga ao vendedor do título, quando negociado antes da data do vencimento;

� i = taxa de juros praticados ou pactuados; � t = número de períodos que antecedem a data de

vencimento; � Dr = valor do desconto racional. � Dc = valor do desconto comercial. Como será visto no item 2.3.3, o valor de face, F, pode ser considerado como sendo o valor futuro do título, quando este é negociado antes da data do vencimento ou na data de sua emissão. Isto porque, um título só terá o valor expresso em sua face quando na data de seu vencimento, isto é, em um momento futuro determinado por esta data. I - Desconto Racional ou por Dentro.

O desconto racional considera o valor da moeda no

tempo. A taxa de juros pactuada pode ser a taxa real ou a taxa nominal havendo a previsão de inflação.

Assim, o valor nominal do título na data do efetivo

pagamento expresso na face do mesmo é financeiramente equivalente ao valor do mesmo na data em que foi negociado.

O valor do desconto e do montante a receber é

calculado a partir do valor de face na data do vencimento, atendendo os procedimentos estabelecidos pela matemática financeira.

Os procedimentos utilizados no desconto racional são idênticos àqueles utilizados na matemática dos juros simples. Porém, deve ser registrado que, muitas empresas, vêm combinando procedimentos estabelecidos pela matemática dos juros compostos com os de juros simples.

No caso de ocorrer essa superposição de

procedimentos, ou seja, quando os juros são referidos à um período maior, a taxa básica de juros, efetivamente utilizada em períodos menores, é calculada segundo a matemática dos juros compostos. Obtida essa taxa básica, os procedimentos seguem àqueles estabelecidos para os juros simples, segundo o expresso a seguir.

Definindo o desconto racional, este corresponde ao

montante dos juros expresso em valor monetário, descontado do valor de face de um título dada a negociação do mesmo anteriormente à data de vencimento.

Matematicamente, o desconto racional é definido por:

Dr = F – P

Da matemática dos juros simples pode-se correlacionar o valor de face, F, ao valor a ser recebido, P, considerando ser o primeiro o montante disponível no final do período de aplicação e o segundo o principal aplicado. Logo:

t)i(1F

Pt) i (1 P Fr

r +=∴+=

Substituindo “P” na equação acima, obtém-se o montante do desconto racional.



)it1(F

FDr+

−= ∴ it1

FitDr

+=

II - Desconto Bancário, Comercial ou Por Fora. A priori, é importante ressaltar que o desconto “por fora”

é baseado numa convenção mais simples, não se caracterizando por uma cobrança equivalente de juros. Mas, como a simples aplicação direta de uma taxa de desconto. Por definição:

Dc = F iC t

Neste caso, o montante do desconto é obtido ao se

minorar do valor de face, F, o valor a ser recebido, P. Logo:

Dc = F – P

Ao se igualar as duas expressões acima, obtém-se o valor de face:

F iC t = F – P ∴ P = F (1 – iC t ) ∴

)ti1(P

Fc−

=

2.2.3.2 – Exercícios. a) A importância de R$ 29.345,00 foi recebida após a operação de desconto de uma nota promissória, vincenda em 120 dias.

Tendo sido pactuada um taxa de desconto de 42% ao ano, solicitam-se, para os dois tipos de desconto, as seguintes informações: o valor de face do título; e o montante do desconto. (R: R$ 34.122,09/ R$ 33.453,30). b) Um Banco pratica operações de desconto de títulos cambiais à taxa de 4,5% ao mês. Solicitam-se as seguintes informações visando comparar o resultado do desconto racional com o bancário:

• O deságio relativo à operação de desconto de uma duplicata cujo valor de face é de R$ 12.500,00, vincenda em 90 dias; (R: 1486,78/1687,50 R$).

• O montante a ser recebido pelo interessado na operação de desconto;

Nota promissória

Nº 07/09* R$ 12.500,00

Vencimento: 25 de abril de 2.012.

Ao(s) vinte e cinco dias do mês de abril de dois mil e dez, PAGARE I por esta única via de nota promissória a Antonio de Souza und Silva, CPF nº 111.222.333-44, ou a sua ordem, a importância supra de doze mil e quinhentos reais, em moeda corrente do País.

Pagarei em: Florianópolis-SC. Emitente: Jose João Pedro .................................. CPF nº. 555.666.777-88. assinatura Rua Elfo dos Santos nº. 100. Florianópolis – SC.



2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas 2.2.4.1 - Relações entre Descontos.

Neste item é analisada a correlação existente entre o montante do desconto por dentro e o montante do desconto por fora, considerando que as taxas pactuadas nos dois casos sejam idênticas, isto é ir = iC .

Sendo iguais as taxas nominais pactuadas, a taxa real

praticada no processo de desconto por dentro, ou racional, é inferior àquela praticada no desconto por fora, ou bancário.

Tal assertiva pode ser demonstrada igualando as

expressões dos descontos:

it1

FitDr

+=

E sendo, por convenção: Dc = F i t,

Então: )it1(

DcDr

+=

2.2.4.2 - Taxas Equivalentes. Um dos questionamentos efetuados no mercado financeiro é quanto à correlação entre as taxas praticadas no desconto comercial e no racional.

Por definição, diz-se que duas taxas de desconto são equivalentes entre si quando, dado o mesmo valor de face,

resultar num mesmo valor a ser recebido, P, considerando terem sido praticados sistemas de desconto distintos.

A equivalência entre estas taxas é demonstrada ao se igualar os dois valores a serem recebidos depois de realizadas as respectivas operações de desconto.

a) Considerando o desconto racional tem-se: P = F – Dr ∴ P = F ÷ (1 + ir t) b) Considerando o desconto comercial tem-se: P = F – DC ∴ P = F (1 – IC t) Como o valor a ser recebido, P, por definição é igual para ambos os casos, podem ser igualadas as expressões acima.

F ÷ (1 + ir t) = F (1 – IC t) ∴ (1 – IC t) (1 + ir t) = 1 ∴

P

Data de Vencimen

Data de Negocia

DC ≡ DR

Fig.2.2 – Equivalência entre descontos



t)i(1

1 ) t I - 1 (

rC +

=

2.2.5 – Tempo Exato e Comercial Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo principal, o rendimento ou montante dos juros apurado em tempo comercial será ligeiramente superior àquele apurado em tempo real ou exato. Essa variação é devido à diferença do número de dias estabelecida para cada tipo de exercício. Assim, o ano comercial, segundo convenção aceita pelo comercio, estabelece que o mesmo tenha 360 dias. O tempo exato segue o ano calendário com 365 dias. Deste modo, o rendimento i devido a uma aplicação P, durante um intervalo de tempo t tem-se, respectivamente, para o tempo comercial e o tempo exato:

360i

tPIComercial ××= e 365

itPIExato ××=

Efetuando a relação entre as duas expressões, fica demonstrado que a proporcionalidade existente entre o rendimento havido durante ano comercial e rendimento havido durante ano exato, é função direta do número de dias em que os mesmos foram definidos. Então:

0139,1360365

II

Exato

Comercial == ∴ IComercial = 1,0139 IExato

2.2.6 – Exercícios Resolvidos a) Você aplicou a importância de R$ 11.200,00 na aquisição de um título, pactuado a juros simples a taxa de 2,2% a.m. pelo prazo de 14 meses. Transcorridos oito meses desta operação, resolveu vender o título. Qual o montante a ser recebido se na data da venda a taxa de juros praticada pelo mercado for de 2,9% a.m.?

S = P (1 + i n) S = 11.200,00 (1 + 0,022 × 14) S = R$ 14.649,60 DC = S × i × n DC = 14.649,60 × 0,029 × (14-8) DC = R$ 2.549,03 VR = S – DC VR = 14.649,60 – R$ 2.549,03 VR = R$12.100,57

a) Um veículo está sendo ofertado em duas condições: a vista

por R$ 23.200,00. Ou, a prazo, sendo 15% de entrada e o saldo dividido em quatro parcelas mensais, consecutivas, corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.a.

Nesta condição deseja-se saber: O valor de cada prestação; e o montante a ser desembolsado.

• Entrada = R$ 3.480,00 • Financiamento de cada parcela: R = R$ 4.930,00 • Taxa mensal de juros: i=42÷12= 3,5% a.m.



1º - Calculo do valor da 1ª prestação: VF1 =R1 + (R1 × i × n) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 1) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 172,55) ∴ VF1 = R$

2º - Calculo do valor da 2ª prestação:

VF2 = R2 + (R2 × i × n) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 2) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 345,10) ∴ VF2 = R$

3º - Calculo do valor da 3ª prestação:

VF3 = R3 + (R3 × i × n) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 3) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 517,65) ∴ VF3 = R$

4º - Calculo do valor o da 4ª prestação:

VF4 = R4 + (R4 × i × n) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 4) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 690,20) ∴ VF4=R$

5º - Calculo do valor do montante:

VFM = VF1 +VF2 +VF3 +VF4 ∴ VFM = R$ c) Uma duplicata cujo valor de face, VF, monta a R$ 8.500,00 foi emitida há 5 meses passados e tem data de vencimento estipulada para daqui a 7 meses. Caso seja descontada nesta data e se a taxa de desconto comercial for de 26,4% a.a. solicita-se determinar:

� O desconto comercial, DC � O valor a ser recebido, VR. � Por quanto a duplicata foi negociada, se na data desta

operação o juro comercial vigente era de 33,6% a.a. � A taxa efetiva de juros no período referente à operação

do desconto.

1º item - Desconto Comercial.

DC = VF × i × n DC = 8.500,00 × ( 0,264 ÷ 12 ) × 7 DC = R$ 1.309,00

2º item – Valor Recebido.

VR = VF – DC VR = 8.500,00 – 1.309,00 VR = R$ 7.191,00

3º item - Preço de compra = PC.

VF = PC (1 + i × n) 8.500,00 = PC (1 + 0,336 × 1) PC = R$ 6.362,27

4º item – Taxa real ou efetiva Adotando a matemática dos juros simples e considerando que os juros são calculados sobre o valor efetivamente recebido:

VF = VR (1 + i × n) 8.500,00 = 7.191,00 (1 + i × 7) 1,182 = 1 + 7i 0,182 = 7i i = 0,026 → i = 2,6% a.m e/ou 31,2% a.a.



2.2.7 – Exercícios propostos. a) Calcular, adotando a matemática dos juros simples, o montante a ser recebido após 4 meses quando um empréstimo de D$1.000,00 é tomado a 15% ao mês. (R: 1600,00 R$). b) Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão de dólares a juros de 33% ao ano, pactuado a juros simples. Quanto pagará na ocasião do resgate se quitar o mesmo em cinco ou em dezessete meses? (2,65/ 6,61 106 U$D). c) Qual o capital que a juros simples de 14,5% ao ano gerará em sete meses um montante de trezentos mil reais? (R: 276.603,92 R$)

d) A que taxa de remuneração um capital aplicado sob juros simples triplicará no prazo de três anos? (R: 66,67% a.a.). e) Uma empresa descontou uma duplicata, no Banco da Esquina, à taxa de 84% ao ano. O desconto praticado foi o comercial, que montou a R$ 10.164,00. Se a operação fosse de desconto racional, o valor do desconto seria reduzido em R$ 1.764,00. Qual é o valor de face da duplicata descontada? (R: 48.400,00 R$). f) Você deve a um banco a importância de R$ 1,900,00, a vencer em 30 dias, garantida por uma nota promissória. Como sabe que não poderá quitar a importância na data aprazada, propõe que o pagará no prazo de 90 dias após o vencimento previsto. Admitindo que a taxa de desconto comercial praticada seja de 72% ao ano, qual será o valor de um novo título a ser assinado? (R$ 2.317,00). g) O Bank of Squire pratica o desconto por fora à taxa de 3,00% ao mês. Ao aceitar um título cujo valor de face é de R$ 41.000,00, com prazo de vencimento estabelecido para seis meses, quanto o banco pagará pelo título? Qual será a taxa total de juros correspondente, sabendo que o banco ainda cobra uma taxa de abertura de crédito de 1,0% sobre o valor do título? (R: 23,46% ao semestre). h) A financeira WACS pratica o desconto racional à taxa de 4,35% ao mês. Ao efetuar o desconto de uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 32 mil vincenda em noventa dias, cobra uma taxa de administração no valor de R$ 155,00, ao efetuar a operação. Informe qual será a taxa de juros mensal, efetiva, incidente sobre esta operação. (R: 4,56% a.m.) i) Determinar o valor de um título a ser resgatado no prazo de 120 dias antes de seu vencimento, pactuado a uma taxa de

Em estudos financeiros recomenda-se:

1º. Desenhar SEMPRE o diagrama dos fluxos de

caixa;

2º. Escrever as fórmulas disponíveis;

3º. Visualizar a solução dos problemas,

compatibilizando as fórmulas com os fluxos de

caixa!

Atendendo à recomendação, este procedimento facilita a adequada solução dos problemas de engenharia econômica!

Recomendação!



12,0% ao ano. Sabe-se que a diferença entre o valor do desconto comercial e o desconto racional é de R$ 76.923,08. (R: R$ 50 milhões). j) O Bank of Squire desconta, antecipadamente e por fora, os juros na operação de um “papagaio”. Sendo uma operação de desconto lastreada numa nota promissória cujo valor de face monta a R$ 30 mil, vincenda em noventa dias e pactuada à taxa de 7% ao mês, pergunta-se qual será a taxa efetivamente paga por esta operação. (R: 8,86% a.m.) k) Você dispõe de uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 200 mil, vencível em 60 dias. Decida em qual banco deverá ser efetuada uma operação de desconto sabendo que:

- o Banco A – pratica o desconto racional à taxa de 8,45% ao mês; - o Banco B – procede ao desconto comercial à taxa de 7,90% ao mês.

l) Você efetuou uma operação de desconto para um título vencível em 60 dias à taxa de 42% ao ano. Montando o valor do desconto em R$ 840,00. Pergunta-se qual o valor de face do título nos casos de ser adotado o desconto racional ou o comercial? (R: 12.840,00 / 12.000,00R$ ) m) Você necessita hoje da importância de R$ 50 mil e foi ao seu banco efetuar um empréstimo. O empréstimo é lastreado numa nota promissória vencível em 120 dias. O banco calcula o valor de face deste título adotando o desconto comercial à taxa de 4,5% ao mês. Além disto, cobra uma taxa de abertura de crédito de 0,55% sobre o valor de face do título e uma taxa de administração de R$77,00, ambos embutidos no valor financiado. Pergunta-se, qual a taxa de juros efetiva incidente sobre esta operação? (R: 5,74% a.m.)

n) Você resolveu quitar uma dívida, lastreada em nota promissória, sessenta dias antes do vencimento. Qual será o valor a ser pago se os juros simples pactuados foram de 2,50% ao mês e o valor de face da nota monta a R$ 17.700,00? o) Sua empresa previu a necessidade de aquisição de um equipamento no valor de R4 50 mil e o deseja adquirir com recursos próprios. Considerando que, neste momento, dispõe da importância de R$ 20 mil e o Tesouro Nacional esta remunerando as aplicações em 14% ao ano, pergunta-se: em quanto tempo poderá dispor do montante previsto? 2.3 – Juros Compostos. 2.3.1 - Definição.

O regime de juros composto, também denominado de regime de capitalização ou anatocismo (1), é caracterizado pela incorporação ao capital dos juros gerados num período, ou seja, capitalizados, passando a gerar juros no período seguinte.

Estudos de análise de viabilidade de investimentos são lastreados na matemática dos juros compostos, pois parte-se do princípio que investidores e empresas reaplicam os lucros e os saldos de fluxos de caixa gerados a cada período, fato que contribui para aumentar os lucros esperados futuros. (1) O ANATOCISMO vem do vocábulo latino "ANATOCISMUS" de origem GREGA que significa usura, prêmio composto ou capitalizado, obviamente contagem ou cobrança de juros sobre juros. Alerta-se que a Súmula 121 do STF reza: “É vedada a capitalização mensal dos juros, ainda que expressamente convencionada”.



Pelo acima exposto, torna-se inconsistente a adoção da matemática dos juros simples em estudos de viabilidade e, além disto, vem de encontro ao estabelecido na primeira premissa que estabelece a maximização do lucro dos proprietários. 2.3.2 - Fórmulas Básicas: A principal indagação, nesse sistema de capitalização, é quanto ao montante a ser recebido pela aplicação de um capital, após certo número de períodos de tempo e conhecidos os juros pactuados.

Visando calcular o montante a ser percebido, será

adotada a seguinte nomenclatura:

• n, representando o número de períodos de capitalização pactuados;

• Sn = Montante a ser recebido após “n” períodos de capitalização;

• P = Capital inicialmente aplicado ou principal; • J = Montante dos juros a serem pagos; • i = Taxa de juros pactuados.

O montante após o primeiro período é calculado de

forma idêntica ao dos juros simples. A partir desse primeiro período, os juros passam a incidir dobre o novo montante, comumente denominado de capitalizados. Então, matematicamente se tem:

S1 = P + (P × i) = P (1 + i) S2 = S1 + (S1 × i) = S1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)² S3 = S2 + (S2 × i) = S2 (1 + i) = P (1 + i)² (1 + i) = P (1 + i)³ S4 = S3 + (S3 × i) = S3 (1 + i) = P (1 + i)3 (1 + i) = P (1 + i)4 ......................................................................................... Sn = Sn-1 + ( Sn-1 × i ) = Sn-1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )n-1 ( 1 + i )

Generalizando a expressão acima para n períodos:

Sn = P (1 + i)n

O total dos juros gerados, por sua vez, é obtido aritmeticamente, depois de efetuada a diferença entre o montante a ser percebido e o capital inicialmente aplicado, também denominado de Principal. Então:

J = Sn – P



2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro. Como comentado, a matemática dos juros compostos é adotada nos estudos financeiros, a exemplo da determinação do valor de ativos produtivos, investimentos em ações, títulos de capitalização, etc.

A assertiva acima ocorre dado o entendimento que investidores e empresas reaplicam os capitais disponíveis, sendo o entendimento ser esta a matemática mais adequada para analisar investimentos. Para tanto, ela se ampara no princípio da equivalência de capital e operar dois conceitos largamente utilizados nos estudos financeiros, quais sejam, o valor presente – VP e o valor futuro – VF equivalente a um dado montante e vice versa. Assim sendo, dado nesta data um principal expresso pelo seu valor presente, P=VPn¬i%, após certo número de períodos e aplicado a taxa de juros i%, gerará uma soma financeiramente equivalente ou seu valor futuro: S=VF n¬i%. (ver Fig.2.4 – Equivalência: Valor Futuro). Deste modo, considerando o conceito de equivalência de capital pode-se escrever: VPn¬i% ≡ VF n¬i%. Financeiramente, então, denomina-se VPn¬i% de VALOR PRESENTE do montante de VFn¬i%. De modo análogo, VFn¬i% é denominado de VALOR FUTURO do capital aplicado, VP n¬i%.

2.3.3.1- Valor Futuro - VF.

Por definição, o valor futuro – VF correspondente a uma

determinada importância P, aplicada durante um período n, é equivalente a esta importância quando capitalizada a taxa de juros pactuada, i%.

A expressão do montante dos juros compostos

capitalizados define o VALOR FUTURO a ser recebido pela aplicação de um capital, P, denominado de VALOR PRESENTE, quando pactuado à taxa de desconto, i%, após “n” períodos de rendimento.

Períodos

VP=P S = VF

Fig.2.4 – Equivalência - Valor Futuro

0 ...................

Taxa

Fórmula do Montante: Sn = P ( 1 + i )n

Fórmula dos Juros: J = Sn – P ou,

J = P ( 1 + i )n - P

Resumindo:



Sendo: Sn = P (1 + i)n, então:

VF ≡ VP (1 + i)n Essa operação, comercialmente denominada de

capitalização, é utilizada em operações financeiras de título de capitalização, ou seja, de atualização monetária de capital.

A expressão (1+i)n é denominada de Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro de um Principal, cuja representação pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas:

VF = VP (1 + i)n = VP s n¬i% = VP s in

2.3.3.2 - Valor Presente – VP.

Em operação inversa, o VALOR PRESENTE – VP, nesta data,

correspondente a uma determinada importância futura, VF, é equivalente a esta importância quando descontada durante certo período de tempo n a taxa de juros pactuada, i%.

Partindo da fórmula do montante dos juros compostos,

obtém-se o VALOR PRESENTE, VP, equivalente a um dado montante futuro, VF, quando descontado à taxa de juros i%, durante certo período, n.

Sabendo-se que VF ≡ VP (1 + i)n, a expressão da

equivalência financeira de uma importância no presente, conhecido seu montante numa data futura é dada por:

n)i(VFVP

+≡

1

1

Essa operação também é denominada de desconto de um capital a valor presente e realizada quando se deseja conhecer o valor atual relativo a um capital no futuro. A expressão 1/(1+i)n é denominada de Fator de Desconto ou Fator de Valor Presente de um capital, cuja representação pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas:

innin

vVF)v(VF)i(

VFVP ¬×=×=+

×=1

1

2.3.4 - Exemplos. a) Seja definir o valor atual de um capital aplicado por seis meses a juros de 7% ao mês, gerou o montante de R$ 4.502,19?

0 ...................

Fig.2.5 – Equivalência - Valor Presente

períodos

P≡VP S ≡ VF

Taxa



n)i(SP

+×=

1

1 = S v i

n

Utilizando tabela financeira:

s 76 = 0.6663 ⇒ da Tabela Financeira

P = s 76 = 4.502,19 x 0.6663 = 3.000,00 R$

Ou utilizando diretamente o fator de valor presente:

$R,.),(

,)i(

SPn

000003071

1194502

1

16

=×=+

×=

b) No caso inverso, seja um capital no valor de R$ 3.000,00, qual será o montante a ser recebido após seis meses quando aplicado a taxa de juros de 7% ao mês?

njPsS = ∴

67PsS =

E, sendo s 7

6 = 1,5007 ⇒ da Tabela Financeira.

S = 3,000 x 1,5007 = 4.502,19 R$

Ou então: S = P (1+i)n = 3.000×(1,07)6=4.502,19 R$

O quadro a seguir mostra a evolução do montante, ou seja, a situação do saldo devedor no final de cada período.

Período Principal – R$ Juros – 7% Montante – R$

0 3.000,00 --- --- 1 3.000,00 210,00 3.210,00 2 - 224,70 3.434,70

3 - 240,43 3.675,13 4 - 257,26 3.932,39 5 - 275,26 4.207,65 6 - 294,54 4.502,19

2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. Identicamente ao sistema de juros simples, um dos

questionamentos frequentes sobre juros compostos é quanto a proporcionalidade existente entre a taxa de juros correspondente a um período maior com àquela referente a frações inteiras deste mesmo período.

Como exemplo de fato que comumente ocorre em

contratos de financiamento ou empréstimos, tem-se o caso de taxa de juros pactuada em base anual e se deseja saber o valor da equivalência desta taxa em base mensal.

No caso de juros compostos, não há relação direta entre

essas duas taxas de juros.

iF

P S1 ST = SF

0 1 .........................................

iT

Fig.2.6 – Equivalência - Taxas de Juros



Por definição, duas taxas de juros são ditas equivalentes quando, sujeitas a diferentes períodos de capitalização, produzem iguais montantes de juros depois de aplicadas a um mesmo volume de capital.

Adotando como nomenclatura: nT para o período total do financiamento ou empréstimo e nF uma fração inteira deste mesmo período. E como iT e iF , respectivamente, as taxas de juros conexas aos períodos considerados. Demonstra-se a proporcionalidade entre estas duas taxas ao serem igualados os montantes devidos pelo tomador na data pactuada para a quitação do contrato, conforme a definição de taxas equivalentes. Ou seja: ST = SF O montante, ST, a ser pago pela utilização de um capital P contratado por um período nT e remunerado à taxa iT é:

ST = P (1+ iT ) Por sua vez, o montante SF, a ser pago pela utilização do mesmo capital P contratado por um número de períodos nF , fração de nT e remunerado à taxa iF é :

SF = P (1+ iF )F Como ST = SF, pois os dois montantes referem-se à mesma

operação financeira, e sendo iF uma fração de iT , obtém-se a equação de equivalência de juros compostos fazendo:

P (1 + iT ) = P ( 1 + iF )F ∴ ( 1 + iT ) = ( 1 + iF)F

Da expressão acima surgem duas situações:

a) Conhecida a taxa de juros relativa ao período fracionário, deseja-se conhecer a taxa de juros correlata ao período total. Então:

iT = ( 1 + iF)F – 1

b) Conhecida a taxa de juros relativa a um período maior,

deseja-se conhecer a taxa de juros correlata a uma fração inteira do mesmo. Então:

1i1i FTF −+=

Esta operação de calcular a taxa menor correlacionada a uma taxa maior é denominada de “pro rata tempore”. Expressão comumente adotada em contratos de financiamento ou aplicação de capital. Exemplificando: Seja calcular a taxa de juros trimestral, calculada “pro rata tempore”, incidente sobre uma aplicação financeira quando pactuada uma taxa de juros de 25% ao ano. Matematicamente:

0573710114 ,ii ANOTRI =−+=

Como um ano dispõe de quatro trimestres, a taxa a ser considerada no pagamento dos juros é de 5,7371% ao trimestre, calculada utilizando a equação de equivalência de juros compostos.



2.3.6 - Cuidados a observar. Nos estudos de viabilidade há que se observar alguns cuidados necessários a evitar a incidência em algum erro conceitual, fato que inviabiliza a confiabilidade nos resultados encontrados:

1º Considerando que empresas, investidores, etc., costumam reinvestir quantias geradas, não se justifica a utilização de juros simples em estudos econômicos.

2º Ao ser utilizada a matemática dos juros compostos, faz-se necessária a verificação de qual a efetiva taxa de juros praticada e que correspondente ao período básico de capitalização. É comum não ser a taxa de referência expressa em contrato a taxa de capitalização efetivamente empregada no cálculo dos juros.

3º Efetuar, sempre, um diagrama de fluxo de caixa visando visualizar, claramente, os procedimentos a serem observados.

4º Quando se trata da capitalização de aplicações, a matemática utilizada é a dos juros compostos.

5º Distinguir quando os juros são descontados e quando são postecipados.

APLICAÇÕES EM TÍTULOS DO TESOURO NACIONAL

Procedimentos: 1º. Abra uma conta corrente em qualquer banco; 2º. Solicite ao gerente do banco cadastrar sua

conta junto ao Tesouro Nacional; 3º. O Tesouro Nacional lhe enviará uma senha que

o habilitará a efetuar a aplicação desejada; 4º. Realize sua aplicação, diretamente, através do

site: www.tesourodireto.gov.br 5º. O Tesouro Nacional lhe enviará um email

informando da aplicação realizada. 6º. Simultaneamente ao procedimento anterior, o

Tesouro Nacional efetuará o débito em sua conta corrente da importância aplicada.

7º. Na data aprazada, o Tesouro Nacional creditará, diretamente em sua conta corrente, o valor aplicado acrescido dos encargos pactuados.



2.3.7 - Exercícios. 2.3.7.1 – Exercícios Resolvidos.

a) Um terreno foi vendido e faltam pagar duas parcelas de R$ 90 mil, vencíveis em 90 e 120 dias. Estas parcelas foram corrigidas à taxa de 152,00 % ao ano. Pergunta-se qual o valor de quitação das prestações na data de hoje?

1º - Definindo a taxa mensal de juros.

.%,, am

08152

111i1i 12 A

NO

mês

=−+=−+=

2º - Valor Presente das prestações – HOJE.

43 )i1(2P

)i1(1P

VP+

++

=

69,152.6690,444.71)08,01(

000.90)08,01(

000.90VP

43+=

++

+=

VP = 137.597,59 R$

2.3.7.2 - Exercícios Propostos a) Sendo o rendimento de uma caderneta de poupança 8% ao

trimestre, qual o seu rentabilidade anual? (36,05% aa). b) Considerando ser a taxa de inflação anual de 54%, qual a

taxa média mensal? (3,66% am). c) Um contrato foi pactuado à taxa de 83,7337% ao ano.

Considerando que ele será quitado em prestações mensais, iguais e consecutivas, pergunta-se qual deverá ser taxa de juros mensais, efetiva, a ser utilizada no cálculo das prestações. (R: 5,20% a. m.)

d) Em quantos meses será possível triplicar uma aplicação

financeira quando pactuada à taxa de juros de 2,37% capitalizados mensalmente? (R: ≈ 47 meses).

e) Em quantos meses se pode levar uma aplicação no valor de

R$ 45 mil ao montante de R$ 100 mil, quando capitalizados à taxa de 1,55% ao mês? ( R: ≈ 52 meses).

f) Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão de reais a juros de 33% ao ano, pactuado a juros compostos. Quanto pagará na ocasião do resgate se quitar o mesmo em cinco ou em dezessete meses? Compare os dados obtidos com exercício similar efetuado a juros simples. (R: 1,1262 / 1,4978 × 106 R$ ) g) A empresa Alfa de Engenharia Ltda. Realizou um empréstimo para aplicação em capital de giro junto ao banco TDS a ser quitado em noventa dias.



A importância da operação montou a R$ 750 mil pactuados a taxa de 1,5% ao mês (juros compostos), porém cobrados antecipadamente. Neste contexto solicita-se: o montante dos juros a serem pagos; e qual a taxa efetiva da mesma. h) O banco TDS apresenta uma lucratividade de 30% ao ano. Em quanto tempo os lucros gerados serão equivalentes ao capital aplicado pelos acionistas? (R: t = 2 anos e 8 meses). 2.4 - Relação entre as taxas nominal e real. 2.4.1 – Efeito da Inflação. A inflação é um fato de capital importância a ser considerado nos estudos financeiros, especialmente quanto a definição da taxa de juros adotada no pagamento de prestações ou na quitação de empréstimos.

Isto porque, a taxa de inflação determinará o valor da taxa nominal de juros a ser utilizada no calculo do montante final, também denominada de taxa efetiva.

A inflação corresponde a uma taxa de juros que mede a

desvalorização da moeda a cada período de tempo. Assim sendo, a taxa nominal será determinada fazendo incidir sobre a taxa real de juros pactuada a variação percentual da inflação ocorrida no período.

);i(fi RN ∆Φ=

Como será demonstrado no item 2.4.2, a relação entre a taxa nominal de juros, a taxa real e a inflação é dada, matematicamente, pela seguinte expressão:

(1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ)

Definindo então estas três taxas que estabelecem o

valor das prestações ou a remuneração de um capital aplicado:

I - A taxa real é definida como sendo a efetiva remuneração desejada por um investidor e é definida em termos de moeda de poder aquisitivo constante. Nesta taxa não esta considerada a incidência de inflação no período do empréstimo.

II - A taxa nominal é aquela empregada no calculo das

prestações e pagamentos. Ela é expressa em termos de moeda de valor corrente e, matematicamente, equivale à taxa real acrescida da taxa de inflação ocorrida durante o período do empréstimo.

III - A inflação corresponde à perda do valor aquisitivo da

moeda no tempo, sendo expressa em porcentagem.

Uma expedita diferenciação entre estas duas taxas é efetuada no seguinte exemplo: Seja verificar qual a taxa real e a taxa nominal de juros ocorrida, considerando o financiamento relativo à uma importância P=R$ 1.000,00 e que após um determinado período tenha gerado o montante de R$ 1.500,00.

Constatou-se, neste período a ocorrência de uma taxa

de inflação de 40%?



I - Calculo da Taxa Nominal: A taxa nominal é definida ao se efetuar a razão entre os juros pagos e o montante do principal sobre o qual renderam esses juros. Conceitualmente, ela mede o incremento da moeda em termos de valor corrente e expresso em percentual. A taxa nominal será de 50% no período. Matematicamente:

PPM

iN−= ∴ 1−=

PM

iN

10001

5001

0001

00015001 −=−=..

...

iN ∴ iN = 50,00 %

II - Cálculo da Taxa Real:

Por definição, a taxa real é equivalente à taxa nominal, porém em moeda de poder aquisitivo constante, isto é, descontado o efeito da inflação.

Considerando ter a taxa de inflação comportamento

equivalente a uma taxa de juros, tem-se:

M1 = (1 + Φ) M0 ∴ M0 = M1 ÷ (1 + Φ) ∴

M0 = 1500

1 4

.

, = 1.071,43 R$

Assim sendo, M1 ≡ M0, ou seja, R$ 1.071,43 é equivalente à R$1.500 quando este valor é deflacionando à uma taxa de 40%. A taxa real de juros, então, é medida pela razão entre o acréscimo de dinheiro e o valor aplicado.

10001

071431

0001

0001430711 −=−=.

..

.,.iR ∴ iR= 7,1430%

Analisando os resultados obtidos, a taxa nominal foi calculada em 50% e a taxa real em 7,10%. Pelo exposto é possível verificar que, em face da inflação ocorrida no período 0→1, a taxa nominal, iN, é muito superior à taxa real, iR.

Ao entender a correlação existente entre a taxa real e a

taxa nominal de juros pode o tomador de recurso financeiro, evitar o comprometimento de sua capacidade de pagamento se o valor de sua renda evoluir na mesma proporção da inflação.

1

Fig. 2.7 – Efeito da inflação

0

M1 = R$ 1.500

P = $ 1.000,00

Ocorrendo Inflação Φ = 40%



2.4.2 – Relação entre taxas. A seguir é demonstrada a relação entre a taxa nominal e a taxa real de juros, dada à inflação ocorrida em certo período. Adotando como nomenclatura: iN = taxa nominal de juros; iR = taxa real de juros; Φ = taxa de inflação no período; M0 =montante a ser pago sem considerar a incidência da inflação; M1 = montante a ser pago havendo a incidência da inflação; P = Principal ou capital tomado emprestado; Partindo do item anterior (Ver Fig.3 – Efeito da inflação), pode-se afirmar que:

M0 = P (1 + iR) e que M1 = (1 + Φ) M0

Pode-se afirmar também, considerando ser um período único e a incidência de uma taxa nominal neste período que:

M1 = P (1 + iN) Substituindo na expressão acima a variável M1 em função da sua expressão por M0:

(1 + Φ) M0 = P (1 + iN) ∴ (1 + Φ) P (1 + iR) = P (1 + iN)

Simplificando a variável P em ambos os lados da igualdade chega-se a expressão que relaciona a taxa nominal de juros com a taxa real e a da inflação.

(1 + iN) = (1 + iR)×(1 + Φ)

∴ iN = iR + Φ + iR × Φ

Da expressão acima se conclui que a taxa nominal de juros corresponde ao somatório da taxa real, da inflação no período e do produto da taxa da inflação pela taxa real. Finalizando, pode-se determinar a inflação num dado período, a taxa real e a taxa nominal de juros, a partir de um montante conhecido e do valor investido ou principal, através das seguintes expressões:

PM

iR01 =+ e

PM

iN1

1 =+

0

11

MM=Φ+

Como exemplo de aplicação, seja calcular a taxa de juros a corrigir o valor de um título vencido há trinta dias, tendo sido pactuado que renderia juros de 2% ao mês acrescido da correção monetária no período, definida em 1,5% neste último mês.

(1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ)

(1 + iN) = (1 + 0,02) (1 + 0,015) ∴ iN = 3,53%

2.4.3 – Inflação e Índices.

Inflação é definida como a perda do valor aquisitivo da

moeda no tempo. A inflação é expressa em porcentagem e definida depois

de conhecidos os índices inflacionários atribuídos a cada período.



Os índices inflacionários representam a evolução do

custo de uma mercadoria, de um serviço por unidade de medida.

Como exemplo destes índices tem-se: o CUB, que

mede o custo unitário básico para a construção civil, medido em R$/metro quadrado; o INPC, que mede o custo para sustentar uma família, medido em R$/cesta de custo incorrido; ou a evolução do custo do aço, medida por R$/kg, todos esses índices definidos para determinado período ou mês.

Adotando como nomenclatura: Io para representar o

índice da inflação no período definido como data base e, In representar o índice de inflação medido em uma data futura qualquer “n”. E, representando por Φ a taxa de inflação ocorrida no período compreendido entre a data base e a data n.

A seguir será discutida a metodologia do calculo da

inflação passada, partindo do conhecimento de índices inflacionários.

Por definição, a inflação havida no preço de um bem ou serviço medido num período de tempo equivale à razão entre o incremento da evolução dos preços no período e o preço verificado no período inicial.

Além disso, a taxa percentual de inflação ocorrida num período pode ser facilmente estabelecida através da utilização de índices inflacionários, como os já citados, que expressam a evolução da perda do valor aquisitivo da moeda, medida a partir de uma determinada data, definida esta como data base. Exprimindo a definição acima em termos matemáticos

tem-se que, PP∆=Φ ou, similarmente, considerando índices

inflacionários: 0

n0

II →∆=Φ .

Definindo como I0 o índice de inflação atribuído ao início

de um período, ou seja, à data base e In o índice de inflação estabelecido para o final deste mesmo período, ao substituir o valor do incremento na expressão acima pelos índices que lhe deram origem tem-se:

1II

III

o

n

o

on −=−=Φ

Modelo este que mede a taxa de inflação acumulada e ocorrida entre os períodos de tempo zero e n, e expressa em termos percentuais.

0 n Data base Dat a n

I0 →Φ→ In

Fig.2.7 – Inflação e índices



2.4.4 – Tipos de Índices Diversos são os tipos de índices inflacionários utilizados no País. Cada um deles visando atender a um fim específico e, portanto, dispondo de distinta metodologia em sua determinação. Esses índices podem ser destinados a medir a inflação de um modo geral, tais como o INPC – Índice Nacional de Preços ao Consumidor; o IPCA – Índice Nacional de Preços ao Consumidor Ampliado; o IGP – Índice Geral de Preços, todos destinados a medir a inflação incidente sobre o consumo das famílias brasileiras ou do comércio em atacado.

Ou, medir de modo mais específico, a exemplo de custo materiais elétricos, serviços de transporte, do alumínio e do aço, do custo da construção civil, o CUB, ou de qualquer outro segmento industrial. Existem publicações que tratam, especificamente, deste assunto tais como a revista Conjuntura Econômica uma publicação da Fundação Getúlio Vargas – FGV e a revista SUMA Econômica, mensalmente publicam uma coleção desses índices. Ou sites da internet a exemplo de http://www.debit.com.br. No Brasil, o organismo responsável por acompanhar e divulgar índices oficiais de inflação é o IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, a exemplo do INPC e do IPCA. O IBGE produz índices que medem a inflação ocorrida em diversos segmentos sociais do Brasil bem como os preços por atacado, sendo os índices adotados oficialmente pelo governo e pelos tribunais. No âmbito da construção civil, o mais festejado é o CUB – Custo Unitário Básico da Construção, elaborado e publicado mensalmente pelo Sinduscon – Sindicato da Indústria da Construção Civil de cada região, cujo objeto é medir a inflação ocorrida tanto em edificações residenciais, como em galpões, lojas e andares abertos. Finalizando, faz-se um alerta quanto a cuidados a serem observados ao serem utilizadas a taxa nominal e a taxa real de juros, sob pena de cometer erro conceitual grave: A taxa real de juros é utilizada quando não é considerada a ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do

A taxa real de juros é utilizada quando não é considerada a ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do princípio que a moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo constante.

Dinheiro em moeda constante →→→→ i real.

A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do princípio da ocorrência de perda de valor aquisitivo da moeda, no tempo.

Dinheiro em moeda inflacionada →→→→ i nominal.

Memorize!



princípio que a moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo constante. A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do princípio da perda de valor aquisitivo da moeda, no tempo. 2.5 – Inflação Acumulada.

Inflação acumulada é aquela havida em determinado espaço de tempo.

Geralmente, a cada período de tempo, ocorre uma taxa

de inflação distinta dos outros. Como já comentado, a inflação corresponde a uma taxa

de juros que mede a desvalorização da moeda a cada período de tempo.

E, assim sendo, a taxa de inflação acumulada deve ser

calculada da forma idêntica à taxa de juros compostos.

2.5.1 – Fórmulas Básicas. Neste item serão discutidos os modelos matemáticos necessários para calcular a inflação acumulada utilizando as taxas periódicas havidas e os índices de inflação.

Adotando como nomenclatura: � Po = preço no tempo 0; � P1 = preço no tempo 1; � P2 = preço no tempo 2; � Pn = preço no tempo n; � ϕo1 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-1; � ϕo2 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-2; � Φ = inflação medida entre dois períodos quaisquer.

A definição da taxa de inflação ocorrida entre dois períodos consecutivos pode ser considerada identicamente como o caso de calculo de juros simples incorridos entre dois períodos consecutivos.

Então, para definir a inflação para diversos períodos tem-se:

P1 = Po + Po ϕo1 = Po (1+ ϕo1 )

P2 = Po ( 1 + ϕo1 ) ( 1 + ϕ12 ) = Po ( 1+ ϕo2 )

P3 = Po ( 1 + ϕo1 ) ( 1 + ϕ12 ) ( 1 + ϕ23 ) = Po ( 1+ ϕo3 )

...................................................................................

Pn = Po (1 + ϕo-1) (1 + ϕ1-2) (1 + ϕ2-3) … (1+ ϕ (n-1)-n)



A expressão acima que permite atualizar monetariamente Pn, pode ser expressa sob a seguinte notação, em que Φ

representa a taxa de inflação medida entre uma data base, denominada zero, e uma data qualquer n. Então:

)(PPn

on0

1 Φ+= ×

Ao serem igualadas as duas expressões acima pode-se

escrever a taxa de inflação ocorrida entre um período inicial 0, também denominado de data base, e um período qualquer n, denominado de período final, em função da taxa de inflação medida em cada período intermediário k. Assim:

)φ1()φ1)(φ1)(φ1()1( )n)1n(322110

n

0 −−−−− ++++=Φ+ L

∴

∏=

+=Φ+k

0nn

n

0)φ1()1(

Considerando que os índices inflacionários, In, são

conhecidos, pois mensalmente determinados e publicados, é possível calcular a taxa de inflação, Φ, ocorrida entre um período inicial, denominado zero, e um período qualquer denominado de n.

Como já visto a inflação ocorrida entre dois períodos

quaisquer é dada por:

1I

I

o

nn

0−=Φ

Por exemplo, seja calcular a inflação acumulada da construção civil, medida em CUB, havida entre os meses de junho de 2005 e março de 2006.

%98,3143,86068,894

1II 2006

março

2005março

o

nn

0=Φ∴−=−=Φ

2.5.2 – Atualização de valores monetários.

Basicamente, um valor corrigido, Pn, é equivalente ao valor inicial, P0, multiplicado pela taxa nominal de juros relativa a todo o período da atualização pactuado.

Pn = P0 × (1 + iNT)

A taxa nominal de juros, como anteriormente visto, é função de dois fatores: a remuneração real e periódica do capital, iR ,e a correção monetária do período, Φ .

(1 + iN) = (1 + iR ) ( 1 + Φ )

P0 P iNT

iR

0 1 2 ......... n

Fig.2.9 – Atualização de Valores



Operacionalmente, a remuneração do capital pode ser efetuada adotando a matemática dos juros simples ou a dos juros compostos.

A correção monetária, ou seja, atualização monetária do

valor é realizada segundo o índice pactuado em contrato, sendo considerada nos dois casos da mesma maneira, como será analisado abaixo. I. - Atualização adotando juros simples. A atualização do valor de Po, ou seja, Pn, é efetuada partindo da expressão {(1+iN) = (1+ iR ) (1 + Φ )} , generalizada para n períodos. Isto porque, a taxa de juros adotada na atualização de valores monetários é a taxa nominal. E esta, a taxa nominal, é função da taxa real – iR pactuada, e da inflação no período, porém abrangendo todos os n períodos. Então, calculando a atualização monetária em função da taxa nominal de juros a ser aplicada para o número total de períodos n, tem-se:

Pn = P0 × (1 + iNT) Sabendo-se que a expressão da correção monetária de um valor é dada por:

)(PPn

n0

0 1 Φ+×=

E que a expressão do montante dos juros simples pode ser expressa sob a seguinte forma:

)in(PP Rn ×+×= 10

Substituindo a expressão representativa da taxa nominal de juros, (1 + iNT), pelas expressões do produto da taxa real de juros para cada período e da correção monetária, chega-se à expressão que permite a atualização de um valor monetário em se adotando a matemática dos juros simples.

)in()(PP R

n

n ×+×Φ+= 110

0

II. - Atualização adotando juros compostos. Adotando procedimento idêntico ao anterior, define-se a expressão que permite a atualização de um valor monetário em se adotando a matemática dos juros compostos. Sabendo-se que: n

Rn )i(PP += 10

E, utilizando à mesma fórmula da correção da inflação, chega-se à:

nR

n

n )i()(PP +×Φ+= 110

0

Voltando agora para o caso da relação das taxas de juros, conforme discutido no item 2.4.2 e sabendo que:

Pn = P0 × (1+ iNT)

Substituindo a expressão de Pn na expressão anterior, têm-se o caso geral da taxa nominal de juros a corrigir um pagamento único durante n períodos, considerando a incidência da inflação no período e da taxa de remuneração do capital.



nR

n

NT )i()( )i (1 +×Φ+=+ 110

2.5.3 - Aplicação

a) Definir a taxa real, trimestral, de juros relativos a uma aplicação de capital realizada pelo prazo de noventa dias. Os juros nominais pactuados foram de 123,6543% ao ano. E, a inflação no período foi, respectivamente, de: 1,2%; 0,9%; e 1,1% a cada mês da aplicação. Considerar a aplicação efetuada sob a matemática dos juros simples e juros compostos. I – Juros Simples.

.t.a%9136,3046543,123

4i

i ANONT ===

)φ(1)i (1 )i (13

1nnRTN ∏

=+×+=+

1,309136 = (1 + iRT) x {1,012x1,009x1,011} ∴ iRT = 26,81% a.t. II – Juros Compostos.

.t.a%29,221236543,11i1i1i 4NT

TANONT =−+=∴−+=

(1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ)

.t.a%39,18i011,1009,1012,1

2229,1)i (1 RTRT =∴

××=+

2.6 – Exercícios. a) Um dos serviços componentes de um contrato de

empreitada foi orçado em R$ 15.200,00. O contrato foi firmado em 10/maio/2005 e o serviço em questão concluso em 10/outubro/2005.

Pede-se calcular o preço a ser pago pelo serviço, sabendo-se que deverá ser corrigido pela variação mensal do CUB.

b) Um título cujo valor de face monta a R$ 12.500,00 venceu em 01 março de 2005 e não foi quitado na data aprazada.

Calcular o montante necessário para quitar o título em 28 de fevereiro de 2006, sabendo que deverá ser corrigido pelo INPC, acrescido dos juros de 1,5% ao mês. Efetuar o solicitado utilizando a matemática dos juros simples e a dos juros compostos. ( R$ 15.397,36 e R$ 15.601,15)

c) Um título no montante de R$ 7.800,00, vencido em 31.12.2005, foi quitado em 30.04.2006 pelo valor de R$ 8.590,86.



Considerando que o valor do título foi atualizado monetariamente pelo INPC, calcule a taxa média mensal real de juros adotada para remunerar o capital. Seja adotando o calculo por juros simples ou compostos. (R: 1,9925/1,9356% a.m.) d) Um título no montante de R$5.700,00, vencido em 30.01.2005, foi quitado em 30.06.2005 pelo valor de R$ 7.639,00. Verifique se a atualização dos valores esta correta, já que foi pactuada a correção pelo índice do INPC e os juros em 2,2 % ao mês (compostos). Caso haja divergência calcule a taxa de juros aplicada.

e) A importância de R$ 2.500 mil foi capitalizada pelo prazo de quatorze meses, tendo sido pactuada uma taxa de juros bruta, pré-fixada em 45% ao ano. Após receber a importância devida, o aplicador descobriu que no período da aplicação ocorreu uma inflação média mensal de 3,22% ao mês. Pergunta-se qual o ganho de capital no período. f) Um capital no montante de D$ 77.000,00 foi aplicado por dois anos, tendo sido pactuada uma taxa real de juros capitalizada a taxa de 0,50% ao mês. Considerando que no primeiro ano da aplicação a inflação medida foi de 34% e, no segundo, 48%, deseja-se

saber: O valor montante a ser recebido no final do período. E, A taxa nominal de aplicação para o período completo?

g) Uma dívida no valor de R$ 28 mil foi paga com atraso de 14 meses. Os juros pactuados eram de 10,5% ao mês. Calcule a diferença entre os juros pagos quando quitada sob a matemática dos juros simples e a do composto. h) Você recebeu uma carta de cobrança relativa a uma compra efetuada a vinte e dois meses e não quitada. O valor cobrado montava a R$ 2.425,96, sendo que o total da nota fiscal de origem da dívida somava a R$ 1.350,00.

Pergunta-se: você concorda com o valor cobrado e qual seria a sua proposta, dado seus conhecimentos sobre cobrança e a incidência de juros, visando quitar a dívida nesta data?

i) A importância de R$ 53 mil foi aplicada pelo prazo de setenta e sete dias, à taxa de 25,58% ao ano, calculada “pro rata tempore”. Qual o montante a ser recebido no final do período quando os juros pactuados foram o composto? j) Defina qual o valor da taxa de desconto comercial é equivalente à da taxa de desconto racional, quando se sabe que um banco pratica uma taxa real de 2,5%, acrescida da inflação, considerando operações de desconto de títulos pactuadas em noventa dias. E, o banco utilizou juros compostos.

k) Você sabe que após 4 períodos vai necessitar da importância de R$ 7.000,00. Calcular o Valor Presente - VP e o Valor Futuro - VF após onze períodos da data em consideração, ao ser adotada uma taxa de desconto de 3% ao período. Responder o mesmo questionamento caso ocorrer uma inflação de 2,3% a cada período.



l) Uma imobiliária vende um terreno em duas prestações de R$ 150.000,00 vencíveis em 180 e 270 dias da data do negócio. Considerando serem os juros arbitrados em 83,00 % ao ano e capitalizados trimestralmente, pergunta-se qual o montante a ser pago, à vista, pelo terreno? m) Qual a taxa de juros real pactuada sobre uma aplicação financeira de 24 meses cuja taxa efetiva foi pactuada em 52% a.a., tendo ocorrido uma inflação de 35% no período da aplicação? ( 71,14% no período). n) Considerando a questão anterior, pergunta-se se a taxa de 52% pode ser denominada de taxa nominal, efetiva ou bruta. Explique cada um dos conceitos. o) Uma aplicação financeira foi pactuada para um período de nove meses, capitalizados mensalmente, a uma taxa de juros de 27,5% ao ano. Sendo aplicados $ 75.000,00, qual será a importância a ser recebida no final do período pactuado? ( R$ 89.988,46). p) Solicita-se calcular:

- O valor percentual da inflação acumulada entre

01.01.1995 e 31.01.1998, calculada pelo INPC; - O montante a ser recebido por uma aplicação de R$ 700,00, contratada em 31.01.1995, por um prazo de três anos, a juros de 7,5% ao ano e acrescido de correção monetária. Sendo sua a decisão, qual dos índices você escolheria caso fosse o aplicador do recurso: o INPC ou o IGP-M?

q) Considerando a informação abaixo, informe:

� O crescimento nominal e real da economia ocorrido entre 1995 e 2005.

� O crescimento nominal e real da economia entre 2.000 e 2.008. ( Utilize o INPC-IBGE).

Ano

Produto Interno Bruto Brasil Em R$1.000.000

Variação anual real Em % Preços

Correntes 1995 705.641 - 1996 843.966 2,2 1997 939.147 3,4 1998 979.276 0,0 1999 1.065.000 0,3 2000 1.179.482 4,3 2001 1.302.135 1,3 2002 1.477.822 2,7 2003 1.699.948 1,1 2004 1.941.498 5,7 2005 2.147.239 3,2 2006 2.369.484 4,0 2007 2.661.345 6,1 2008 3.031.864 5,2

2009(*) 3.143.015 * Estimativa

r) Qual o tempo necessário para triplicar um capital quando este for capitalizado à taxa de 1,33 % ao mês? ( ≈ 83 meses). s) Elaborar um único gráfico mostrando a taxa de crescimento nominal e a taxa real do lucro de uma empresa, conforme abaixo, utilizando como índice de correção monetária o Índice Nacional de Preços ao Consumidor do IBGE:



Ano 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Lucro 10³ R$ 650 760 790 850 880 920

t) A caixinha dos funcionários do Braspel, criada para atender rapidamente necessidades financeiras de seus associados, empresta e aplica dinheiro, praticando sempre a taxa de 8% ao período, para qualquer tipo de operação financeira. A política de gestão da caixinha é a seguinte: Quando ela toma capital emprestado, paga os juros no vencimento. Quando empresta aos associados, os juros são cobrados antecipadamente. Neste caso, o empréstimo tem como garantia um cheque pré-datado, a ser descontado no dia do pagamento.

Assim, pergunta-se:

- Se José da Silva emprestar à caixinha a importância de R$ 40.000,00 quanto a ele será devolvido no final de um mês? - Se José desejar retirar da caixinha, exatamente, a importância de R$ 40.000,00, qual será o montante do cheque (pré-datado) a ser preenchido como garantia do empréstimo? - Na hipótese anterior, definir a taxa de juros efetivamente paga. u) O capital de R$ 5.000,00 foi aplicado em 01.02.2006 e capitalizado durante sete meses, tendo rendido a importância de R$ 1.077,53 em juros. Pergunta-se qual a taxa mensal de juros praticada.

v) Defina em qual instituição financeira deverá ser descontada uma duplicata emitida pela empresa Rota Norte, vincenda em 90 dias. Sabe-se que o banco Brother Inc. pratica uma taxa de juros simples de 5,5% ao mês; e, o banco Fastmoney Ltda, uma taxa de juros compostos de 4,98 % ao mês. (Ver, a seguir, o citado título). (R$ 23.300,00/23.139,27 R$). w) O montante de R$ 7.000,00 foi aplicado em 15/12/2004, capitalizado por cinco anos e atualizado monetariamente pelo INPC. O valor resgatado foi de R$ 14.987,65. Pergunta-se qual a taxa real de juros, mensal, incidente nesta operação financeira. x) O Banco STS S/A, lhe propôs uma aplicação em título de capitalização de R$ 800,00, pelo prazo de 12 meses, findo os quais lhe devolverá R$ 1.080,00. Considerando que a aplicação em títulos do Tesouro Nacional remunera o investidor a taxa de 15.50 % ao ano acrescido da correção monetária prevista para 5% no próximo exercício. Assim, deseja-se saber qual a taxa de juros embutida na proposta do STS. E, se é vantajoso aplicar no STS, ou melhor, se é uma operação de risco. y) Um contrato de empreitada no montante de R$ 333,00 mil foi firmado em 01.08.2004. A última etapa executada e conclusa em 30.03.2005, no valor de R$ 27,00 mil, não foi quitada. O contrato previa o pagamento e a correção das etapas durante a construção segundo a variação mensal do CUB. Solicita-se seja calculado o valor do montante necessário para quitar o título em 30.09.2005, sabendo que o índice adotado para a correção da divida é o INPC, acrescido dos juros de 1,2% ao mês. Efetuar o solicitado utilizando a matemática dos juros simples e a dos juros compostos.



z) Uma duplicata relativa à venda de material de construção foi emitida com pagamento para 30/06/2006. No seu valor de face já estava embutida uma remuneração do capital de 1,5% ao mês (juros compostos) e o principal sendo corrigido pela projeção da variação mensal do CUB. Montando o valor de face em R$ 22.597,25, pergunta-se qual seria o valor a ser pago visando a sua quitação sessenta dias antes de seu vencimento. az) Uma empresa negociou uma dívida de R$ 10 mil junto a um banco, solicitando pagá-la em parcelas mensais de R$ 1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada em empréstimos deste tipo é de 32,52% ao ano, pergunta-se: quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? bz) Uma empresa negociou a aquisição de um equipamento no valor de R$ 22.000,00, financiada pelo fabricante e dividido em seis parcelas mensais, iguais e consecutivas, sendo a primeira delas quitada na data da assinatura do contrato. Calcular o valor efetivo de cada uma das parcelas, sabendo que a taxa de juros pactuada é de 3% ao mês. cz) Você, como gerente de uma empresa de engenharia, foi aos bancos BVC Inc. e Square Financial, negociar o desconto de um conjunto de duplicatas no valor global de 928 mil reais, vencíveis em 30, 60 e 90 dias. Você decidiu e realizou a operação com o BVC Inc. Em reunião da diretoria da sua empresa, depois de realizada a operação de credito, você foi questionado(a) quanto a operação realizada, pois os juros cobrados pelo BVC Inc. são superiores aos praticados pelo Square Financial. Dado o contexto pergunta-se: Qual a justificativa técnica que amparou a sua decisão? dz) ENADE 2011.

Uma empresa fez um investimento inicial de R$ 100 mil com uma taxa de retorno no primeiro mês de 10%; no final desse período, necessitou fazer uma retirada de R$ 5 000,00.

A empresa fez uma segunda aplicação do saldo a uma taxa de retorno de 8%.

Em um terceiro período, a empresa reaplicou, por mais um mês, o saldo restante acrescido de R$ 7 000,00, agora a uma taxa de retorno de 10%. A movimentação financeira da empresa está representada no fluxo de caixa abaixo.

Com base na situação apresentada, o valor final (VF) do investimento da empresa será de: R$ 134.800,00; R$ 132.400,00; R$ 128.900,00; R$ 127.700,00; R$ 102.000,00.

A parte de imagem com identificação de relação rId136 não foi encontrada no arquivo.



ROTA NORTE Engenharia e Construções Ltda.

Rua Don João VI nº 1808 – cj. 007 CGC/MF nº 99.888.777/0001-23

Insc. Estadual – Isento Bairro do Bonaparte – Rio de Janeiro – RJ

Data de emissão: 20 de julho de 2006.

F A T U R A D U P L I C A T A VENCIMENTO

Para uso da Instituição Financeira.

Valor – R$ Número Valor – R$ Nº de Ordem

20.10.2006 100.000,0

0 1.325 20.000,00 1.433 – C/E

......

......

......

......

......

......

......

......

....

Ass

inat

ura

do E

mite

nte

Nota(s) Fiscal(is) nº 2.322/ 2323/2.329. Desconto de: Até Condições Especiais: a vista desconto de 5%. Nome do Sacado: Ipsis Literis Editora Ltda. Endereço: Rua das Maitacas nº 666. Município: Rotunda Ária Estado: ST CEP: 11.111-999 Praça de Pagamento: CGC ou CPF: 123.321.213/0001-02 Insc.Est. nº 31.313-03

VALOR por

extenso

(vinte mil reais )................................................................................ ...........................................................................................................

Reconheço(cemos) a exatidão desta Duplicata de Vend a Mercantil, em pagamento parcelado na importância acima que pagarei (emos) à Rota Norte Engenharia e Construções Ltda., ou a sua ordem, na praça e venci mento indicados. ...................................... ................................................................. Data do aceite Assinatura do Sacado



3. Séries de Capitais 3.0 – Introdução.

Por definição uma série de capitais é caracterizada como sendo uma sequência de pagamentos periódicos, consecutivos e que apresentem alguma lei de formação.

O estudo contido neste capítulo permite efetuar diversas

operações com juros e pagamentos realizados corriqueiramente no comércio, facilitando o cálculo das variáveis desejadas através da adoção de modelos matemáticos, primordialmente quanto à análise de:

i. Formação de fundos de capitalização, a exemplo de

depósitos programados em títulos de capitalização ou a formação de capital visando à aquisição futura de bens;

ii. Amortização de dívidas, mediante o pagamento de prestações iguais e consecutivas, tais como operações de crédito e compras a prazo;

iii. Comparação dos resultados econômicos de operações financeiras ou análise de decisão entre investimentos que rendam dividendos periódicos.

Diversos tipos de séries de pagamentos podem ser

adotados nos empréstimos ou financiamentos, neste capítulo serão estudadas aquelas mais comumente utilizadas no comercio e no mercado de capitais brasileiro, a saber:

3.1. Série Uniforme Postecipada; 3.2. Série Uniforme Infinita; 3.3. Serie Uniforme Antecipada; 3.4. Série Diferida.

As variáveis a serem consideradas no estudo de séries

são: a taxa de juros pactuada, o número de períodos da operação, o valor presente, o valor futuro dos pagamentos realizados e o valor da prestação.

3.1 – Série Uniforme Postecipada. Uma série uniforme de pagamentos é dita postecipada, quando ocorre uma sucessão de pagamentos iguais, R, efetuados em intervalos regulares e constantes, sendo o primeiro pagamento realizado concomitantemente com o PRIMEIRO PERÍODO POSTERIOR à data da operação financeira que lhes deu origem.

Tomando como exemplo de uma série uniforme

postecipada o desenho acima, a série de pagamentos iguais a “R” é iniciada após a pactuação do principal “P”, ocorrendo o primeiro pagamento no primeiro período e, assim



sucessivamente, até que o ultimo pagamento seja realizado no período n. Nos itens a seguir, será demonstrado como calcular o Valor Presente, VP(SP), e o Valor, VF(SP), Futuro de uma série uniforme postecipada, conhecida a prestação R(SP), o número de períodos e a taxa de juros pactuada. E, também, como determinar a prestação quando conhecidas as demais variáveis, fato corriqueiro em empréstimos e vendas a prazo. 3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada.

Adotando como nomenclatura, Pk como sendo o valor

presente associado a um pagamento singular qualquer Rk, e considerando que, por definição, se dispõe de uma série uniforme de pagamentos, iguais, periódicos e consecutivos, têm-se que: R1 = R2 = ···· = Rn = R.

Matematicamente, o valor presente da série de

pagamentos, VP, é obtido ao se efetuar o somatório dos valores presentes de cada pagamento singular. Então:

VP = P1+ P2 + P3 +····· + Pn

Sabendo que o valor presente de cada pagamento

singular é dado pela expressão: Pk = Rk (1+ i)-k e, relacionando o valor presente para cada “Pk”, com k variando de 1 a n, tem-se:

P1 = R1 ( 1 + i ) -1 P2 = R2 ( 1 + i ) -2 P3 = R3 ( 1 + i ) -3 .......................... Pn = Rn ( 1 + i ) -n

Ao ser somado os Pk para k = 1, 2, 3,...,n, obtém-se a expressão geral da soma de uma série de pagamentos iguais e consecutivos.

VP(sp) = R(sp) (1 + i )-1 + R (1+ i )-2 + ... + R (1+ i )-n

VP(sp) = R(sp) {(1 + i)-1 + (1+ i)-2 + ... + (1+ i)-n } A série representativa do segundo termo da expressão

acima, colocada entre chaves, pode ser caracterizada como uma progressão geométrica cuja razão é q = (1 + i)-1 e o primeiro termo a = (1 + i)-1.

Considerando que a soma de uma progressão geométrica

decrescente é dada pela expressão q1

)q1(a)PG(S

n

−−×= , após

serem substituídos seus termos pelos respectivos valores

financeiros, chega-se a: n

n

)i(i)i(

)PG(S+×

−+=1

11, expressão esta

denominada de fator de valor presente. Substituindo a expressão da soma da progressão

geométrica decrescente, S (PG), na série acima, fica definida a expressão do Valor Presente de uma série uniforme de pagamentos “R”, no caso do primeiro pagamento ocorrer um período após o início da operação financeira que lhe deu origem:

+×−+×=n

n

)i(i

)i((sp)R(sp)VP

1

11

O termo entre colchetes expressa um fator que define o

valor atual da série postecipada quando o valor da prestação é



a unidade. Por motivo de facilidade de notação, este fator de é grafado sob a seguinte notação:

inn

naiFVPn

)i(i

)i(¬≡¬≡

+×

−+

1

11

Então, dada a notação, o valor presente de uma série postecipada pode ser expresso como:

VP(SP) = R × FVP n¬i = R(SP) × a in¬

Tanto FVPn¬i como a in¬ são denominados de FATOR

DE VALOR PRESENTE ou FATOR DE VALOR ATUAL de uma série de pagamentos. Ver tabelas do Anexo-I.

Assim sendo, o fator de valor presente permite determinar o montante do valor presente de uma série postecipada, ou seja, o valor de um bem na data de hoje, quando conhecida a prestação a ser praga, o número de períodos envolvidos e a taxa de juros pactuada.

De modo inverso, ao se deseja conhecer o valor da prestação a ser paga, quando conhecidos o capital a ser financiado, a taxa de juros, e o prazo de pagamento, a fórmula acima é utilizada sob a seguinte forma:

−+

+××=11

1n

n

)i(

)i(i(sp)VP(sp)R

Escrevendo, por facilidade de notação:

aiFRCn)i(

)i(iinn

n1

11

1 −¬≡¬≡

−++× ∴

R(SP) = VP(SP) × FRCn¬i

As expressões FRCn¬i e 1−

¬ina correspondem à notação resumida da expressão entre colchetes acima e são denominadas de FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL a taxa de juros i para n períodos. Ver Tabelas do Anexo-I.

3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada.

O valor futuro de uma série de capitais postecipada

corresponde ao valor do somatório de todos os valores integrantes da série, iguais e consecutivos, financeiramente considerados na data do ultimo período da série. Noutras palavras, corresponde ao montante do capital disponível na data do último pagamento da série, capitalizado financeiramente à taxa pactuada.

Obtém-se o Valor Futuro equivalente a uma série

postecipada de modo similar ao utilizado para o cálculo do

O VALOR PRESENTE DA SÉRIE POSTECIPADA

OCORRE NO PERÍODO IMEDIATAMENTE ANTERIOR

AO DO PRIMEIRO PAGAMENTO.

MEMORIZE!



Valor Presente, considerando como razão da progressão geométrica o fator q = (1+ i).

A expressão da soma de uma progressão geométrica

crescente é dada por: 1

1

−−=

qq

)PG(Sn

em que n representa o

número de termos da progressão. Ao se proceder as devidas substituições e de modo

idêntico ao caso do valor presente, chega-se a expressão do Valor Futuro, VF(SP), de uma série de pagamentos iguais e consecutivos. Assim:

Valor Futuro:

−+×=i)i(

(sp)R(sp)Sn 11

E, em decorrência o valor da prestação é dado por:

Valor da Prestação:

−+×=

11 n)i(

i(sp)S(sp)R

Identicamente ao caso do Valor Presente, as expressões entre colchetes são denominadas, respectivamente, de Fator de Valor Futuro e Fator de Formação de Capital de uma série postecipada. Por motivo de facilidade de notação, esses fatores podem ser escritos sob forma resumida, quais sejam:

iFVFni)i( n

¬≡

−+ 11 e,

iFFCn)i(

in

¬≡

−+ 11

Assim sendo, a expressão do valor futuro de uma série postecipada quando conhecida a prestação e, vice versa, a expressão da prestação quando conhecido o valor futuro de uma série postecipada, podem ser expressos sob a seguinte notação:

S(SP) = R(SP) × FVFn¬i e, R(SP) = S(SP) × FFCn¬i

O Fator de Valor Futuro, FVFn¬i, permite estabelecer, por unidade de capital, qual será o montante “S” a ser disponível em data futura, quando conhecidos: o valor das prestações, o período de capitalização e a taxa pactuada de juros, “i”.

A cultura das áreas econômica e do comércio de capitais adota a denominação de taxa de capitalização para a taxa de juros “i” quando se deseja conhecer o valor disponível após certo número de períodos de aplicação.

Analogamente, o Fator de Formação de Capital, FFCn¬i, permite definir qual o valor das prestações, iguais e consecutivas, a serem capitalizadas para que, no final de determinado período se obtenha o montante “S”.

Identicamente ao anteriormente comentado, estes dois fatores podem ser calculados e, também, encontrados em tabelas financeiras. Ver Anexo-I.

Finalizando, alerta-se que neste caso de série postecipada de pagamentos, o valor futuro da mesma é definido coincidentemente com a data do último pagamento.



3.1.3 - Exemplo. Como exemplo, seja o caso de uma loja de varejo que vende um equipamento, a vista, por R$ 2.500,00. Deseja-se saber o valor do mesmo quando financiado em seis prestações iguais, mensais e consecutivas, sabendo que a loja remunera seus ativos à taxa de 2% ao mês?

−+

+××=

−+

+××=10201

02010202500

11

1 6

nn

n

),(

),(,

)i(

)i(i(sp)VP(sp)R

R (SP)= 2.500,00 × 0,1785 = 446,31R$

3.1.3 - Comparando Juros Simples e Compostos.

Seja o caso do financiamento de um automóvel novo no valor de R$ 60 mil. Foi dado como entrada um veículo de mesma marca, usado, no valor de R$ 45.000,00.

O financiamento do saldo foi pactuado para ser quitado em 12 parcelas, a juros de 7% ao mês. Pretende-se analisar qual a forma de pagamento permite uma maior economia para o comprador. Para tanto será comparado se o financiamento deverá ser efetuado em parcelas iguais, mensais e consecutivas, o que caracteriza juros compostos. Ou por pagamentos crescentes, com cada parcela sendo atualizada pela matemática dos juros simples. a) Série Uniforme – Juros Compostos. Neste caso, o valor a ser financiado monta a R$ 45 mil e o valor da prestação será calculado considerando que os pagamentos se comportam como uma série uniforme postecipada, com o primeiro pagamento ocorrendo trinta dias após a data do financiamento.

∴

−++××=

11

1n

n

)i()i(i

(k)VP(k)R

O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE POSTECIPADA

OCORRE COINCIDENTEMENTE COM A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO.

MEMORIZE!

$,.0,07)(1

0,07)(1 0,07 15.000,00 Rk

12

12

R52

888

11

=−+

+××=

15.000

R$

1...................................................12 mês

1.888,52 R$/mês



b) Pagamento por juros simples. Neste caso o valor financiado, R$ 15.000,00, será quitado em doze parcelas , mensais e consecutivas no valor de R$ 1.250,00, corrigidas até a data do efetivo pagamento à taxa de juros pactuada:

1ª Parcela: 1.250,00 x (1+1 x 0,07) = 1.337,50 2ª Parcela: 1.250,00 x (1+2 x 0,07) = 1.425,00 3ª Parcela: 1.250,00 x (1+3 x 0,07) = 1.512,50 4ª Parcela: 1.250,00 x (1+4 x 0,07) = 1.600,00 5ª Parcela: 1.250,00 x (1+5 x 0,07) = 1.687,50 6ª Parcela: 1.250,00 x (1+6 x 0,07) = 1.775,00 7ª Parcela: 1.250,00 x (1+7 x 0,07) = 1.862,50 8ª Parcela: 1.250,00 x (1+8 x 0,07) = 1.950,00 9ª Parcela: 1.250,00 x (1+9 x 0,07) = 2.037,50 10ª Parcela: 1.250,00 x (1+10 x 0,07) = 2.125,00 11ª Parcela: 1.250,00 x (1+11 x 0,07) = 2.212,50 12ª Parcela: 1.250,00 x (1+12 x 0,07) = 2.300,00 Valor total: .....................................R$ 21.825,00

c) Análise econômica. A comparação dos valores obtidos por análise econômica mede, simplesmente, apenas a diferença dos desembolsos efetuados. Total dos desembolsos: � Juros compostos = 12 ×1.888,52 = R$ 22.662,24 � Juros Simples = Σ parcelas pagas = 21.825,00 R$ � Comparativo: ∆ =Juros compostos - Juros simples ∆ = R$ 22.662,24 - 21.825,00

∆ = R$ 837,24 Neste caso, fica demonstrada uma economia de R$ 837,24, caso os pagamentos fossem realizados adotando a matemática dos juros simples. 3.2 - Anuidade perpétua.

3.2.1 – Conceituação.

Anuidade perpétua, também denominada série infinita ou

perpetuidade de uma série postecipada, é definida como a sequência de pagamentos “R”, iguais, periódicos e consecutivos, contendo um número muito grande de termos, pelo qual é considerada infinita.

Uma série nestas condições é, matematicamente,

considerada como infinita porque a influência dos últimos termos da série no montante do valor presente passa a ser nulo ou irrisório.

Como exemplo de perpetuidade, pode-se citar o caso das

aposentadorias, prestação da casa própria ou remuneração dos fundos de pensão.

Partindo da expressão do valor presente de uma série

postecipada formada por pagamentos iguais, periódicos e consecutivos, tem-se:

VP(SP) = R(SP) × FVPn¬i

Quando n → ∞ , tem-se: iFVPnLim (sp)R (si)VP

n¬×=

∞→

Como:



iFVPnLimn

¬∞→

=

+×−+

∞→ n

n

n )(i)i(

Lim11

11 =

++×

+−

++

∞→

n

n

nn

n

n

)i()i(

i

)i()i()i(

Lim

1

11

1

1

1

∴

iii

)i(Lim

n

n

1011

11

=−=+−

∞→

Deste modo, fica demonstrada a expressão de uma Perpetuidade ou Série Perpétua, o que permite calcular o Valor Presente, VP(SI), de uma série infinita de prestações iguais, periódicas e consecutivas:

i(si)R

(si)VP =

Analisando as tabelas financeiras do Anexo-I, é possível verificar que o número de períodos a partir dos quais uma série postecipada pode ser considerada como infinita e isto, também, é função direta da taxa de juros praticada. Deste modo, quanto maior a taxa de juros, menor é o número de períodos necessários a caracterizar a série como perpetuidade.

Isto porque, qualquer prestação muito distante da data de início, e conforme a taxa de desconto praticada produz um valor presente insignificante ou próximo de zero, não influindo significativamente no aumento do montante do valor presente da série. 3.2.2 – Exercício Resolvido.

a) Ao completar 10 anos, seu avo lhe abriu uma caderneta de poupança programada e passou a depositar a importância de R$ 75 por mês de então até a data de sua formatura, 15 anos depois. Considerando que o banco remunera este tipo de investimento à taxa de 8% ao ano, capitalizados mensalmente, determine o montante disponível na data formatura.

i(ano) = 8% aa → i(mês) = 0,66667% a.m.

$R,.,i

(si)R(si)P 9424911

00666670

75 ===

Dos dados obtidos fazem-se os seguintes comentários: • O montante de R$11.249,94 corresponde ao valor, em

termos de valor aquisitivo medido no momento atual, da poupança em termos de moeda de poder aquisitivo constante, já que desconsiderada a inflação no período.

• Além disto, justifica-se o calculo do valor presente utilizando o conceito de perpetuidade, pois o horizonte das prestações atinge 180 meses e, assim sendo, as ultimas prestações tem reduzida influência no montante do mesmo.

b) Você esta vendendo um apartamento no valor de R$

150.000,00. Um comprador lhe fez duas propostas para a venda em prestações, nas seguintes condições:

Proposta A: 40% de entrada. O saldo sendo pago em duas parcelas sem correção:

� A primeira equivalente a 40% do saldo, a ser quitada em 60 dias;

� A segunda, equivalente a 60% do saldo, a ser paga em 120 dias.



�

Proposta B: 30% de entrada e o saldo sendo quitado em quatro parcelas iguais, mensais e consecutivas, sem correção, vencendo a primeira trinta dias após o fechamento do negócio.

Analise qual das opções seria a mais vantajosa sabendo que você utiliza uma TMA = 3% ao mês.

Os diagramas de fluxo de caixa a seguir mostram as condições propostas.

Calculando o valor presente para cada proposta tem-se:

$R75,911.141)03,1(

54000)03,1(

3600060000 VP(A)

42=++=

$R75,911.141)03,1(

54000)03,1(

3600060000 VP(A)

42=++=

Como VB (B) > VP(A), a Proposta B é a mais vantajosa. 3.3 – Série Uniforme Antecipada.

Uma Série Uniforme Antecipada é definida como sendo a sucessão de pagamentos iguais, R, efetuada em intervalos regulares e constantes, cujo primeiro pagamento ocorra na data da operação financeira que lhe deu origem. Como exemplo de aplicação deste tipo de série, tem-se os casos de:

I. Aplicação em depósito programado, também denominado de capitalização, quando é pactuado que uma determinada importância “R” será recolhida em períodos pré-determinados, a partir do momento de pactuação da operação financeira e cujo montante “VF” será devolvido ao aplicador findo o período programado, um período após o pagamento da última importância, e;

II. Aquisição de um bem no valor “VP”, a ser quitado em

parcelas iguais e sucessivas iguais a “R”, sendo que a primeira parcela é quitada no momento da compra.





Tomando como expressão gráfica de uma Série Uniforme Antecipada o desenho acima, fica caracterizado que, neste tipo de série de pagamentos iguais, periódicos e consecutivos, “R”, o primeiro pagamento ocorre na data da operação financeira que lhe deu origem.

Ressalta-se que o primeiro pagamento da série ocorre

coincidentemente com a data do pactuado. E, que valor futuro desta série, VF(SA), ocorre um período após o pagamento da ultima prestação.

A seguir é demonstrado como calcular o Valor Presente,

VP(SA), e o Valor Futuro, VF(SA), da série antecipada de pagamentos.

3.3.1 – Valor Presente da Série Antecipada.

Efetuando o valor presente de cada um dos pagamentos singulares, VPK, pode-se escrever o valor presente da série de pagamentos postecipada como:

VP(SA) = VP1+ VP2+ VP3 + VP4 + ··· + VPn

Escrevendo cada termo da expressão acima em função de suas variáveis tem-se:

VP1 = R VP2 = R (1 + i) -1 VP3 = R (1 + i) –2

VP4 = R (1 + i) –3

......................... VPn = R (1 + i) -n

Substituindo o valor presente de cada pagamento

individual em função do pagamento a ser realizado, tem-se o valor presente da série, VP(sa):

VP(SA) = R + R (1 + i) -1 + R (1 + i ) -2 + R ( 1 + i ) –3 + …+ R ( 1 + i ) -n

VP(SA) = R { 1 + ( 1 + i ) -1 + ( 1 + i ) -2 + ( 1 + i ) –3 + …+ ( 1 + i ) –n

}

Analisando o termo entre colchetes, verifica-se ser este um somatório e que pode ser associado a uma progressão geométrica decrescente, cujo primeiro termo corresponde ao valor 1, o segundo ( 1 + i ) -1, o ultimo termo ( 1 + i ) –n sendo a razão de decrescimento igual a (1 + i)-1.

Como definido anteriormente, a soma de uma progressão geométrica decrescente é dada pela expressão



q)q(a

)PG(Sn

−−=

1

1 em que, substituindo pelos respectivos

valores financeiros, chega-se a: 11

11−+×

−+=n

n

)i(i

)i()PG(S

Substituindo a expressão da soma da progressão

geométrica, S(PG), na série acima, fica definida a expressão do Valor Presente, VP(SA) de uma série de pagamentos antecipados:

11

11−+×

−+×=n

n

)i(i

)i((sa)R(sa)VP

Ao se desejar conhecer o valor da prestação ou

pagamento, R(SA), conhecido o montante do Valor Presente, VP(SA), parte-se da expressão acima. Então:

−+

+××=−

11

1 1

n

n

)i(

)i(i(sa)VP(sa)R

3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada.

Por definição, o valor futuro, VF(SA), de uma série de pagamentos antecipada é definido no primeiro período subsequente ao do último pagamento.

A determinação do Valor Futuro da série antecipada poderá ser efetuada, de modo mais expedito, partindo da expressão do Valor Futuro de uma série postecipada.

Para tanto determina-se, inicialmente, o Valor Futuro da Série Postecipada - “S”. Estabelecido o valor de “S” para o tempo t(n-1), o Valor Futuro da Série Antecipada – VF é definido ao se levar o valor de “S” para o período t(n).

Matematicamente, o valor futuro da série postecipada, é obtido ao se multiplicar o valor futuro da série antecipada, S, pelo fator de valor futuro de um pagamento único. Então:

)i(S(sa)VF +×= 1 Isto porque, multiplicado por (1+i) cada termo de uma

Série Antecipada, obtém-se o valor de cada termo da série no momento seguinte ao de sua realização, passando, então, a se comportar como uma Série Postecipada, cuja soma já é conhecida.

−+×=

i)i(

(sa)R(sa)Sn 11 ∴



+×−+×= )i(i)i(

(sa)R(sa)VFn

111

No caso inverso, ao ser conhecido o Valor Futuro de uma série antecipada, o valor da sua prestação, R(SA), é dado por:

)i(})i{(

i(sa)VF(sa)R

n +×−+×=

111

Recomenda-se cuidado na aplicação dessas fórmulas que envolvam o valor futuro da série antecipada, pois ele é medido um período após a conclusão do período de pagamentos. Como exemplo deste caso, seja a aplicação em caderneta de poupança programada ou em título de capitalização. O primeiro pagamento da série ocorre no momento em que é pactuado o contrato de aplicação. O ultimo momento da série ocorre um período após o ultimo pagamento, já que este último pagamento deverá gerar juros por ainda mais um período.

3.3.3 – Aplicação. a) Você é um profissional liberal e associado a uma

cooperativa de crédito. A cooperativa oferece uma remuneração de 1,25% ao mês para aplicação em investimentos programados em títulos de capitalização. Pergunta-se, qual a importância a ser investida visando adquirir um computador cujo preço é de R$ 5 mil no prazo de quatorze meses?

)i1(}1)i1{(

iVFR

n +×−+×=

$R,),(}),{(

,R 97324

01251101251

012505000

14=

×−×=

b) Calcular o montante de capital propiciado pela aquisição

de um título de capitalização pactuado à taxa de 2% ao mês e contratado por um período de dois anos, nas seguintes situações:

• A valores da data de fechamento da operação, ou

seja, na data de hoje; • E, o montante no final do período.

O valor da prestação contratada foi de D$ 700,00 por mês.

O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA

É DEFINIDO UM PERÍODO APÓS A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO.

MEMORIZE!



n =

24 m

eses

Atenção: sendo o caso em pauta associado a uma série antecipada, o número de período “´n” da série corresponde à duração total pactuada para a operação, ou seja, 24 meses. Em que a devolução do capital investido ou o Valor Futuro da série ocorrerá um período após a realização do ultimo pagamento. I - Valor Presente: VP = R × FVP (24; 2%)

11

11−+×

−+×=n

n

)i(i

)i(RVP

$D,.)i,(,

),(VP 5450413

021020

1021700

23

24=

+×−×=

II - Valor Futuro: VF = R × FVF (24;2%)

+×−+×= )i(i)i(

RVFn

111

$D,,),(,),(

VF 2172121021020

1021700

24=

×−×=

Deste modo, a aplicação mensal de D$ 700,00 pactuada por um prazo de 24 meses à taxa de 2% ao mês, corresponderá à importância de D$ 13.504,54 na data da aplicação e de D$ 21.721.21 no final do período. No fluxo de caixa representativo da operação, ficam caracterizadas 24 prestações, pois a primeira delas ocorre na data de fechamento da operação financeira. A última prestação ocorre um mês antes do final do período, ou seja, no 23º mês. 3.4 – Série Diferida. Uma série de pagamentos é dita diferida quando a primeira prestação ocorrer após o primeiro período. Ver Fig.3.4.

0 1 2 ........... k k+1 k+2 ..... n

VP(0)

1º passo 2º

R

Fig.3.4 – Modelo de Série Diferida



O processo de calcular seja o valor presente, valor futuro, como a prestação de uma operação financeira em que o primeiro pagamento é diferido, é um processo comum no comércio varejista. Qualquer tipo de série pode ser considerada diferida, seja ela uma série uniforme, uma série gradiente ou mesmo uma sequência qualquer de pagamentos já que, em termos financeiros, diferir significa adiar a data do primeiro pagamento. 3.4.1 – Metodologia. A determinação do Valor Presente de uma série diferida, VP(SD), é efetuada em dois passos: 1º passo - calcula-se o valor presente da série postecipada, VP(k), como anteriormente demonstrado; Neste caso, o momento inicial da série corresponde a um momento anterior ao do início de pagamentos; 2º passo – disponível o valor presente da série postecipada, VP(k), calcula-se o Valor Presente desejado, VP(SD). Para tanto, leva-se o valor de VP(k), a valor presente no momento zero, ou seja, VP(SD).

k)i(

)k(VP)SD(VP

+=

1

Por sua vez, sabendo-se que o Valor Presente de uma série uniforme postecipada composta por (n-k) pagamentos iguais e consecutivos de valor R é dada por:

VP(k) = R × FVP (n-k; i%)

Ao se substituir a expressão de VP(k) acima, na expressão de VP(SD), chega-se a expressão geral do valor presente de uma série postecipada diferida.

i) k,-n ( FVP)i(

R)SD(VP

k×

+=

1

È importante ressaltar que o momento k corresponde ao “momento zero” da série uniforme, isto é, o período que precede o momento em que se iniciam os pagamentos. 3.4.2 - Aplicação a) Calcular o valor da prestação relativa à venda de um

equipamento cujo preço monta a D$ 300 mil, negociado em sete prestações iguais, mensais e consecutivas, vencendo a primeira delas cento e vinte dias após o fechamento do negócio. A empresa adota uma TMA de 7% ao mês.

Como primeiro passo, deve-se elaborar o diagrama de fluxo de caixa do empreendimento.

O diagrama mostra que a série de pagamentos inicia no mês 4, sendo seu momento inicial referido ao mês 3.

Como segundo passo, calcula-se o valor presente da

série tendo como momento inicial o mês 3.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mês

300.000,0

R



O terceiro passo corresponde ao calculo do valor presente, como pagamento único, tendo como momento inicial a data da operação ou seja, a data zero.

81630389350701

138935000300 ,,R

)³,(,R. ××=

+××=

∴ R = 72.966,12 D$/mês

b) A empresa Mercado Fácil oferta computadores a serem pagos em seis prestações iguais, mensais e consecutivas no valor de R$ 588,00, sendo a primeira delas vincenda em noventa dias. Qual o valor a ser pago a vista sabendo que a empresa pratica juros de 2% ao mês em seus financiamentos?

i) k,-n ( FVP)i(

R)SD(VP

k×

+=

1

2%) 6, ( FVP),(

,)SD(VP ×

+=

20201

00588

$R,.,1,0404588,00

VP(SD) 74165360145 =×=

3.5 - Série Infinita.


Série infinita, também denominada série perpétua ou

perpetuidade de uma série postecipada, é definida como a sequência de pagamentos “R”, iguais, periódicos e consecutivos, contendo um número muito grande de termos, pelo qual é considerada infinita. Ver modelo na Fig.3.5.

Uma série nestas condições é, matematicamente,

considerada como infinita porque a influência dos últimos termos da série no montante do valor presente passa a ser nulo ou irrisório.

Como exemplo de perpetuidade, pode-se citar o caso das

aposentadorias, prestação da casa própria ou remuneração dos fundos de pensão.





Partindo da expressão do valor presente de uma série

postecipada formada por pagamentos iguais, periódicos e consecutivos, tem-se:

VP(SP) = R(SP) × FVPn¬i

Quando n → ∞ , tem-se: iFVPnLim (sp)R (si)VP

n¬×=

∞→

Substituindo a variável FVPn¬i pela sua expressão

matemática tem-se:

iFVPnLimn

¬∞→

=

+×−+

∞→ n

n

n )(i)i(

Lim11

11 =

++×

+−

++

∞→

n

n

nn

n

n

)i()i(

i

)i()i()i(

Lim

1

11

1

1

1

∴

iii

)i(Lim

n

n

1011

11

=−=+−

∞→

Assim, fica demonstrada a expressão de uma Perpetuidade ou Série Perpétua, o que permite calcular o Valor Presente, VP(SI), de uma série infinita de prestações iguais, periódicas e consecutivas:

i(si)R

(si)VP =

Analisando as tabelas financeiras do Anexo-I, é possível avaliar qual o número de períodos a partir dos quais uma série postecipada pode ser considerada como infinita e, como se pode verificar isso também é função direta da taxa de juros praticada. Deste modo, quanto maior a taxa de juros, menor é o número de períodos necessários a caracterizar uma série como perpetuidade.

Isto porque, qualquer prestação muito distante da data de início e segundo a taxa de desconto praticada, tal fato produz um valor presente insignificante ou próximo de zero, não influindo significativamente no aumento do montante do valor presente da série. 3.5.2 – Aplicação.

a) Ao completar 10 anos, seu avo lhe abriu uma caderneta de poupança programada e passou a depositar a importância de R$ 75 por mês de então até a data de sua formatura, 15 anos depois. Considerando que o banco remunera este tipo de investimento à taxa de 8% ao ano, capitalizados mensalmente, determine o montante disponível na data formatura.

i(ano) = 8% aa → i(mês) = 0,66667% a.m.



$R,.,i

(si)R(si)P 9424911

00666670

75 ===

Dos dados obtidos fazem-se os seguintes comentários: • O montante de R$11.249,94 corresponde ao valor, em

termos de valor aquisitivo medido no momento atual, da poupança em termos de moeda de poder aquisitivo constante, já que desconsiderada a inflação no período.

• Além disto, justifica-se o calculo do valor presente utilizando o conceito de perpetuidade, pois o horizonte das prestações atinge 180 meses e, assim sendo, as ultimas prestações tem reduzida influência no montante do mesmo.

b) Qual o valor da prestação relativa à aquisição de um

automóvel no valor de R$ 49.330,00. A proposta de financiamento prevê pagamento em 7 (sete) parcelas iguais mensais e consecutivas, vencendo a primeira a trinta dias da aquisição do bem, mais uma entrada equivalente ao valor das prestações. Juros pactuados à taxa de 2,5% ao mês.

−+

+××=−

11

1 1

n

n

)i(

)i(i(sa)VP(sa)R

−××=

−

1025

1025

1025

000

330

49

R 8

18

),(),(,

,.(sa)

S(as) = 49.330,00 x 0,1361 = 6.712,12 R$ 3.6 - Exercícios.

a) - A empresa Seminovos Veículos Ltda. vende um automóvel, a vista, por R$ 110.000,00. Qual será o valor da prestação considerando um plano de pagamento para ser quitado em 10 meses a juros de 7% ao mês? As prestações deverão ser iguais, mensais e consecutivas. Considere: 1º) plano com entrada no valor de R$ 10 mil, vencendo a primeira em trinta dias; 2º) plano sem entrada, vencendo a primeira em trinta dias da operação; 3º) plano com o valor da entrada igual ao valor das dez prestações mensais.

b) - O gerente da empresa Quick-Delivery Lted, empresa do ramo de atacado, propôs ao “Controler” da mesma os seguintes planos de pagamento visando à venda de lotes de televisores Telecor, conforme abaixo. Os lotes vêm sendo vendidos, atualmente, por D$110.000,00, porém apresentando crescente dificuldade de comercialização, dado o lançamento de novos produtos no mercado. Sendo o preço de aquisição dos televisores D$ 63.000,00 qual será a decisão do Controler? Considerar uma taxa de desconto de 2,5% ao período.

b.1. À vista com 20% de desconto. b.2. Dez pagamentos, sem entrada, iguais e consecutivos

no valor de D$10.099,00 por mês, vencendo a primeira em trinta dias da operação.

b.3. Dez pagamentos mensais e consecutivos no montante de D$10.777,00 por mês, sem entrada, com o primeiro pagamento ocorrendo após 120 dias contados da data da compra.

b.4. Entrada e mais dez pagamentos mensais e consecutivos, todos iguais e no valor de D$ 9.899,00 por mês.

c) A empresa “Só no Barato Varejão Ltda.” analisa a aquisição de um lote de televisores junto à Quick-Delivery Lted. Sabe-se que um lote contém 230 televisores e o preço de cada aparelho



é de R$ 569,99. Esta empresa oferece cada lote de aparelhos nas seguintes condições:

• A vista com 20% de desconto; • Financiamento sem entrada, pago em quatro prestações

iguais, mensais e consecutivas de R$ 179,99; • Financiamento em cinco parcelas iguais, mensais e

consecutivas no valor de R$ 95,95 cada, com a primeira parcela vincenda em 90 dias após a venda.

A empresa Sónobarato Varejão Ltda. prevê colocar no mercado sessenta unidades por mês. O custo de capital praticado pelo Varejão é de 15% ao ano e adota um mark-up de 33%. Sendo você o diretor financeiro do Varejão pergunta-se: qual dos planos oferecido pela Quick-Delivery Lted será o escolhido? d) - Você vende um imóvel por D$ 36.000,00, para receber nas condições abaixo. Qual seria o valor a vista da cada proposta, considerando as abaixo enumeradas, e sabendo que você pratica um custo de capital é de 15% a.a.? � Com parte à vista e 60% do total no prazo de trinta dias. � O 1º pagamento em 6 meses (50%) e o final em um ano. � Em 12 pagamentos, iguais, mensais e consecutivos de D$

3.000,00. � Em 8 pagamentos iguais, mensais e consecutivos de D$

4.650,00. � Considere as opções acima quando ocorrer uma inflação de

20,22% ao ano. e) Calcular o preço a vista de um produto, sabendo-se que o mesmo é ofertado para pagamento em 5 parcelas. A primeira equivalente a 30% do valor a vista, quitada no ato da compra; As outras quatro parcelas, iguais e consecutivas, no valor de R$ 150,00 cada, vencíveis em 30/60/90/120 dias. Considerar um custo de capital de 2% ao mês.

f) Um fornecedor de computadores pessoais oferece o modelo BO-800, a vista, por US$ 1.175,00. Ou, a prazo, em pagamentos iguais de US$ 80,00, sendo uma entrada e mais 20 pagamentos mensais e consecutivos. Verifique qual das duas situações lhe é mais interessante. A taxa de juros a ser estabelecida é a sua taxa de oportunidade. g) Sua empresa necessita da importância de $ 175.000,00, no prazo de 15 meses, para ser aplicada num novo projeto de investimento. O banco onde operam oferece, para clientes institucionais, uma taxa de juros de 3% ao mês para contratos de capitalização programados. Quanto deverá ser o valor da aplicação mensal, para que sua empresa disponha da importância citada no momento desejado? h) Você deseja adquirir um veículo cujo preço é de R$ 36.000,00. Qual será a sua opção de negócio, entre as seguintes situações:

1ª) Adquirir o veículo por financiamento através do pagamento de 14 prestações mensais, iguais e consecutivas, com juros pactuados à taxa de 26,8242% ao ano; 2ª) ou, utilizando uma poupança mensal, cujo prazo é idêntico à anterior, com taxa de oportunidade de 1,3% ao mês e adquirir o veiculo após dispor do capital necessário?

i) Verifique se sua empresa, efetuando uma poupança mensal de US$ 2.500,00 aplicados à taxa de oportunidade de 1,20% ao mês e após dez meses, disporá de recursos próprios para adquirir um equipamento cujo valor de mercado, hoje, monta a US$ 26.000,00?



j) Um veículo cujo valor de venda, nesta data, é de R$ 24.500,00, foi anunciado para ser pago em dez prestações iguais, mensais e consecutivas no valor de 2.796,00 R$, vencível a primeira em sessenta dias. O anunciante proclama que os juros cobrados são de 1,5% ao mês, sem correção monetária. Verifique se isto é verdade. k) Analise a diferença, mensal e total, dos juros pagos quando da quitação de uma dívida no montante de R$ 28 mil. Os juros foram pactuados em 3,5% ao mês, nas seguintes condições:

• Pagamento em seis prestações iguais, mensais e consecutivas, com a primeira quitada na data da operação;

• A mesma situação anterior, porém sob a égide dos juros simples.

l) Considerando os coeficientes definidos no exercício anterior, pergunta-se qual será o valor da prestação de um veículo cujo preço de tabela monta a R$ 36 mil, negociado nas seguintes condições: uma entrada equivalente a 30% do valor do bem e o saldo quitado em cinco prestações iguais, mensais e consecutivas, vincendo a primeira em sessenta dias? m) Analise o interesse da empresa varejista, definida no exercício anterior, em promover a venda de seus produtos de modo financiado e desestimular as vendas à vista, sabendo-se que:

• A empresa não oferece descontos para vendas a vista; • Sobre o preço de vendas a empresa recolhe um tributo

na ordem de 17% do valor agregado, recolhidos ao fisco no mês da operação financeira;

• Sobre os ganhos de financiamento não incide o tributo acima;

• A empresa pratica um mark-up de 35%; • Aplicações realizadas no mercado financeiro rendem,

em média, 1,1% ao mês. n) Uma empresa varejista, visando orientar seus vendedores, deseja estabelecer coeficientes multiplicadores para facilitar o calculo das prestações de seus produtos. É política da empresa disponibilizar aos clientes vários planos de financiamento, todos apresentando prestações em parcelas iguais, mensais e consecutivas.

Plano de Financiamento Prestação = k × valor financiado

Finan. Tipo

Numero Prestações

Data da 1ª Prestação

Juros Ao Mês

Coeficiente Multiplicador

1 3 30 dias 1,50% 2 3 60 dias 1,75% 3 3 90 dias 2,00% 4 5 30 dias 1,50% 5 5 60 dias 1,75% 6 5 90 dias 2,00% 7 7 30 dias 1,50% 8 7 60 dias 1,75% 9 7 90 dias 2,00%

Além disto, os clientes poderão optar pelo número de

prestações e por várias datas de início dos pagamentos, segundo o plano de financiamento exposto no quadro abaixo. Considerando que as prestações deverão ser definidas com a incidência de diversas taxas de juros que variam segundo a característica de cada tipo de financiamento,



solicita-se estabelecer os multiplicadores dado as condições abaixo. o) Uma vantagem da obtenção de um diploma de curso superior é a perspectiva de melhores ganhos futuros, em comparação com os que não têm titulação. Existe a estima que a graduação em uma faculdade tenha um custo equivalente de $28.000 a preços da época da formatura. Há o entendimento, também, que os benefícios de uma formação superior se farão sentir durante quarenta anos de vida profissional e que, em comparação com outros profissionais não titulados, o mercado vem praticando um salário de $3.000/ano superior, durante os dez primeiros anos após a conclusão do curso. Durante os dez anos subsequentes, dado o ganho de experiência, ocorre uma previsão de renda anual superior em $ 6.000 a de profissionais não graduados. E, durante os vinte anos subsequentes o mercado vem apresentado um salário superior em $12.000 acima daquele pago a pessoas não graduadas. Admitindo que estas estimativas estejam corretas, qual será a taxa interna de retorno prevista como resultado do investimento em curso superior? p) Um veículo no valor de R$ 28 mil foi financiado em seis prestações iguais, mensais e consecutivas, no valor de R$ 5.254,71 cada, sendo que a primeira foi quitada na data do fechamento do negócio. A taxa de juros pactuada para o financiamento foi de 3,5% ao mês. Se fosse pactuado a juros simples, deseja-se saber qual o valor da prestação a ser cobrada. q) Um título com valor de face de R$ 290,00, vencido em 31 de março de 2004 foi pago com 27 meses de atraso. O valor pago montou a R$ 1.066,91. Deseja-se saber qual a taxa

efetivamente paga, bem como a taxa real de juros já que o mesmo foi corrigido pelo INPC.



4. Amortizações de Dívidas 4.1 – Tipos de Sistemas.

O modo de pagamento de dívidas ou empréstimos é função

do prazo, do montante e dos juros pactuado. Sob a ótica do prazo, podem ser classificados em: de curto,

médio ou de longo prazo. Os empréstimos de curto e médio prazo geralmente

saldados num prazo de até três anos são calculados conforme anteriormente discutido, quando adotados os sistemas de juros simples e compostos.

Nestes casos, o capital tomado rende juros durante todo o

prazo pactuado. Como exemplos desses empréstimos, podem ser citados: compras a prazo realizadas no mercado varejista de bens de consumo durável e os empréstimos em conta corrente realizados pelos bancos comerciais.

Os empréstimos de longo prazo são aqueles realizados com

prazos superiores a dois ou três anos, sendo as importâncias envolvidas mais vultosas do que as consideradas nos empréstimos anteriores. Esses empréstimos são, geralmente, adotados para o financiamento de bens de capital utilizados por empresas e da casa própria, sendo operacionalizados por instituições ou bancos de investimentos.

Nos empréstimos de longo prazo, os juros incidem somente

sobre o saldo devedor e uma parte de principal é devolvida a cada período. Assim, diferentemente do curto prazo, a

prestação nos empréstimos de longo prazo é composta de duas partes: os juros e a amortização.

PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS DO PERÍODO A amortização corresponde à devolução do principal ou do

capital tomado emprestado a cada período o que permite reduzir o montante devido. Os juros, por sua vez, são calculados período a período sobre o saldo devedor apresentado no período imediatamente anterior ao daquele em que se vai efetuar o pagamento de uma prestação qualquer.

No Brasil, o procedimento para amortização do saldo

devedor é definido por lei e deve ser efetuado em conformidade com o art. 6º, alínea “c”, da Lei nº. 4.380/64, que diz:

“c) ao menos parte do financiamento, ou do preço a ser

pago, seja amortizado em prestações mensais sucessivas, de igual valor, antes do reajustamento, que incluam amortização e juros.”

Dentro deste contexto, o novo saldo devedor somente

deverá ser corrigido depois de amortizada parte da dívida existente naquele período. Deste modo, a amortização efetuada em determinado período abate parte do saldo devedor existente. Após esta operação é que será efetuada a correção do saldo devedor, gerando um novo saldo devedor para o período subsequente.

Existem diversas metodologias para a quitação dos

empréstimos de longo prazo. E, elas são distintas segundo a forma de calcular os juros ou a amortização. A seguir são apresentadas quatro das metodologias mais utilizadas:



• Sistema de amortização constante - SAC • Sistema de prestação constante - PRICE • Sistema americano • Sistema de amortização variável • Sistema de amortização crescente – SACRE/CEF.

Conforme o contrato pactuado entre as partes, os juros

podem ser pagos, ou não, durante o prazo de carência. Por prazo de carência é entendido como o período, ou períodos, em que não ocorre o pagamento de amortizações.

Ocorrendo a hipótese de não haver pagamento de juros

durante o prazo de carência, eles são incorporados ao principal. Nesse caso, o saldo a cada período fica acrescido dos juros vencidos e que são incorporados ao montante do financiamento. Sobre esse montante é que serão calculadas as prestações e as amortizações.

A individualização do valor da amortização e dos juros que

compõem cada prestação é importante para a escrituração contábil e da definição do fluxo de caixa líquido de cada exercício.

A amortização é lançada no balanço patrimonial como conta

integrante do ativo imobilizado, registrando o aumento de patrimônio da empresa. No caso de avaliação do fluxo de caixa da empresa é considerada por seu valor integral.

Os juros são contabilmente lançados como conta de

despesa, integrando as contas de resultado do exercício. No fluxo de caixa da empresa seu valor é reduzido pela influência dos tributos que incidem sobre a renda.

Finalizando, um fator a não ser menosprezado em financiamentos é quanto à consideração de impostos, taxas e comissões, etc., aplicados sobre operações financeiras e que alteram a taxa real a ser paga pelo tomador do empréstimo.

Eles reduzem o valor real disponível pela empresa e podem

alterar a atratividade de algum financiamento ou projeto de investimento.

4.2 - Sistemas de Amortização Constante - SAC 4.2.1 – A metodologia No sistema de amortização constante, as prestações são decrescentes e a amortização proporcional ao número de períodos pactuados para a devolução do principal ou do saldo devedor.

mortizaçãoPeríododeAorSaldoDeved

a =

Definida a amortização, os juros são calculados, período a período, sobre o saldo devedor existente no início do período, sob a égide da matemática dos juros simples. A prestação, finalmente, é obtida somando o valor dos juros à amortização anteriormente calculada. O sistema SAC permite o estabelecimento de prazo de carência. Neste caso, os juros poderão, ou não, serem pagos durante o prazo de carência. Quando ocorre a dispensa do recolhimento de juros durante a carência eles são incorporados ao principal gerando



um novo saldo devedor. E, é sobre esse novo saldo devedor que a amortização deverá ser calculada.

AMORTIZAÇÃO

JUROS

Prestação

1 .................................................... n períodos

O calculo da prestação, então, segue a seguinte metodologia:

1º. Define-se o montante a ser financiado. Em caso de carência, os juros poderão ser ou não incorporados ao principal;

2º. Calcula-se o valor da amortização;

mortizaçãoPeríododeAorSaldoDeved

a =

3º. Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; 4º. A prestação do período é definida somando-se o valor

da amortização ao valor dos juros calculados;

5º. Calcula-se o novo saldo devedor diminuindo-se do saldo havido no início do período o valor da amortização;

6º. Repete-se sucessivamente esta operação até ser definido o valor da ultima prestação.

4.2.2 - Exemplo.

Seja calcular a prestação relativa a um empréstimo no

montante de D$100.000,00 cujo prazo da operação foi estabelecido em seis anos. Para tanto, foram pactuados juros de 10% ao ano e um prazo de carência de trinta e seis meses em que os juros incorridos deverão ser pagos durante este prazo.

Ano Saque Saldo Amortizaç Juros 10% Prestação

0 100.000,00 100.000,00 - - - 1 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 2 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 3 - 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00 4 - 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00 5 - 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00 6 - - 25.000,00 2.500,00 27.500,00

Tot. - - 100.000,00 45.000,00 145.000,00

ano

D00

000

254

00

000

100

oamortizaçã

/$,.,. ==

4.3 - Sistemas de prestação constante 4.3.1 - Metodologia



O sistema de prestação constante, também denominado de Sistema Francês tem como característica principal a constância do valor das prestações. As prestações são consideradas como uma série uniforme de pagamentos postecipados. Como o valor da prestação é definido a priori, o resultado obtido já engloba o valor dos juros e da amortização. Neste caso, então, os juros são definidos, período a período, sobre o saldo devedor. E a amortização de cada período é obtida diminuindo do valor da prestação o montante dos juros calculados. Adotando como nomenclatura: R(SP) = saldo devedor e R(SP) a prestação. E, sendo o valor da prestação definido segundo a metodologia da série de pagamentos postecipada, tem-se:

R(SP) = S(SP) x FRC n¬i Tendo sido pactuado prazo de carência, os juros poderão ser pagos durante este prazo ou então incorporados ao principal, da mesma forma que no processo anterior. No sistema em pauta, o valor da amortização é crescente e o valor dos juros decrescente.

Pelas próprias características do processo de cálculo, é possível ocorrer saldo devedor no final do contrato. Porém, como foram estabelecidas, em número e valor, as prestações devidas, a dívida é quitada concomitantemente com o pagamento da última prestação, havendo ou não ocorrência de saldo residual.

A metodologia de calculo utilizada para definir prestação e os seus parâmetros de amortização e juros é a seguinte:

1º. Define-se o montante a ser financiado. Em caso de carência, os juros poderão ou não ser incorporados ao principal;

2º. Calcula-se o valor da prestação, considerado-a como uma série postecipada;

3º. Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; (Juros)n = i × (Saldo Devedor)n-1

4º. O valor da amortização é definido ao se diminuir do valor da prestação o valor dos juros do período.

Amortização = Prestação – Juros 5º. Calcula-se o saldo devedor para o próximo período:

Sn+1 = Sn – An 6º. Repete-se a metodologia até se obter os valores da

amortização e dos juros relativos à ultima prestação. 4.3.2 - Exemplo.



Seja calcular o valor da prestação, dos juros e da

amortização referentes a um empréstimo no montante de D$100.000,00 a ser quitado em cinco anos, com juros pactuados em 10% ao ano, em que não ocorre prazo de carência.

É importante notar que as prestações correspondem à uma série de pagamentos postecipada sendo eles iguais, anuais e consecutivos.

O valor da prestação é dado por: R = S × FRC(5¬10%). Logo: R = 100.000,00 × 0,2637975 = 26.379,75 R$

Per Saldo

R$ Prestação

R$ Amortização

R$ Juros I=10%

0 100.000,00 - - - 1 83.620,25 26.379,75 16.379,75 10.000,00 2 65.602,53 26.379,75 18.017,72 8.362,03 3 45.783,03 26.379,75 19.819,50 6.560,25 4 23.981,58 26.379,75 21.801,45 4.578,30 5 0,00 26.379,75 23.981,58 2.398,16 Σ 131.898,75 100.000,00 31.898,74

4.3.3 - O Sistema Price. O sistema Price é uma variante do Sistema Francês largamente utilizado no comércio e definido com as seguintes características: a) Taxa de juros contratada em termos nominais, normalmente

referidas ao período de um ano. b) O pagamento das prestações comumente pactuado em base

mensal.

c) A taxa de cálculo utilizada é proporcional ao período da prestação, obtida a partir da taxa nominal.

4.4 - O sistema americano. 4.4.1 - Metodologia.

O Sistema Americano é caracterizado por não ocorrer amortização durante o prazo do contrato. Nestas condições, o principal é quitado juntamente com a quitação da ultima prestação.

Como o método prevê o pagamento da ultima prestação em valor muito elevado, com os juros do período acrescido ao principal, aumenta o risco do tomador em conseguir quitar a mesma, fato que inibe sua adoção por parte de tomadores de crédito e por organismos financiadores.



Ressalta-se que, tanto o sistema financeiro brasileiro, como os organismos internacionais de crédito, via de regra, não adotam esse sistema. 4.4.2 - Exemplo. Como exemplo de aplicação do método americano, seja um empréstimo no montante de R$ 100 mil, pactuado por um prazo de quatro anos, a juros de 7,00% ao ano.

Per. Saldo Devedor Amortização Juros 7% Prestação 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 7.000,00 7.000,00 2 100.000,00 - 7.000,00 7.000,00 3 100.000,00 - 7.000,00 7.000,00 4 - 100.000,00 7.000,00 107.000,00

Total 100.000,00 28.000,00 128.000,00

4.5 – O sistema de amortização variável. 4.5.1 – Metodologia.

O Sistema de Amortização Variável é um sistema que difere dos anteriores, pois não existe definição de lei de formação na definição das prestações ou da amortização.

O objetivo maior desse sistema é adequar a capacidade

de pagamento do tomador ao fluxo de caixa a ser gerado pelo projeto, visando o manter superavitário em todos os períodos.

Nestas condições, tanto as amortizações como as

prestações podem variar a cada período.

Os juros são calculados sobre o saldo devedor. E, em havendo prazo de carência, podem ou não ser incorporados ao saldo devedor.

Pelo exposto, este é um sistema extremamente flexível, cujo objetivo é manter a capacidade de pagamento do tomador do recurso adequada às condições do fluxo de caixa, visando à estabilidade financeira da empresa. As prestações são determinadas segundo a metodologia:

1º Define-se o montante a ser financiado. 2º O valor da amortização é estabelecido, para cada

período, segundo a capacidade de pagamento do tomador;

3º Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor;



(Juros)n = iEFT × (Saldo Devedor)n-1 4º Define-se o valor da prestação para o período:

Pn = An + Jn 5º Calcula-se o saldo devedor para o próximo período:

Sn+1 = Sn – An 6º Repete-se o processo até se chegar ao valor da ultima

prestação. 4.5.2 – Comentários. Como será visto no exemplo a seguir, o sistema de amortização variável utiliza a matemática dos juros simples, sendo utilizado em financiamentos nacionais ou internacionais. Porém a taxa de juros efetiva, iEFT, adotada no calculo dos juros pode ser variável a cada período, fato que altera o valor previsto para a prestação. Nesses casos, é pactuada uma taxa de juros real acrescida de uma taxa básica de juros que pode ser variável a cada período.

iEFT = iReal+iBasica A taxa básica de juros varia de país para país sendo determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais. Como exemplos, no Brasil, ela é denominada de SELIC, nos Estados Unidos de Prime Rate e na Inglaterra de Libor. No Brasil, na data em que foi escrita esta obra, a taxa SELIC estabelecida pelo Banco Central estava no patamar de 14,25% ao ano.

Qualquer instituição financeira que pactuasse, nesta data, um empréstimo à taxa real de 12,50% ao ano, estaria praticando uma taxa efetiva de 22,75% ao ano. 4.5.3 - Exemplo.

Seja definir as prestações, os juros e a amortização de um empréstimo no montante de D$100.000,00, contratado por prazo de dez anos, sendo dois de carência e havendo o pagamento dos juros relativos a este prazo. A taxa de juros foi pactuada em 10% ao período sendo as amortizações variáveis segundo proposta do tomador.

O primeiro passo necessário ao estabelecimento do

valor da prestação é estabelecer, período a período, o valor da amortização. Ressalta-se que este valor é definido administrativamente segundo a necessidade em manter positivo o fluxo de caixa da empresa.

O valor dos juros é calculado sobre o saldo devedor

existente no início de cada período. A prestação, por sua vez, corresponde à soma dos

valores acima: Pn = An + Jn

Per Saldo Amortização Juros 10% Prestação 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 2 100.000,00 5.000,00 10.000,00 15.000,00 3 95.000,00 5.000,00 9.500,00 14.500,00 4 90.000,00 5.000,00 9.000,00 14.000,00 5 85.000,00 7.500,00 8.500,00 16.000,00 6 77.500,00 10.000,00 7.750,00 17.750,00



7 67.500,00 12.500,00 6.750,00 19.250,00 8 55.000,00 15.000,00 5.500,00 20.500,00 9 40.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00

10 20.000,00 20.000,00 2.000,00 22.000,00 Tot - 100.000,00

4.6 – O sistema alemão. 4.6.1 – Característica. O sistema alemão, dado suas características, não apresenta equivalência financeira entre o montante emprestado e as respectivas contraprestações, dada uma taxa pactuada, A equivalência financeira ocorrerá a uma taxa de desconto maior do que a pactuada, assunto a ser discutido no item 4.6.4.

As características deste sistema são três: i) o pagamento dos juros vencíveis no período é antecipado,

ocorrendo o primeiro pagamento dos juros no momento em que ocorre a operação financeira;

ii) as demais prestações são iguais para todos os períodos; iii) ao ser paga a ultima prestação ocorre, apenas, a devolução do resíduo do saldo devedor, porém esse resíduo tem o mesmo valor das demais prestações pactuadas.

4.6.2 – Relação entre Amortizações. Adotando como nomenclatura: M correspondendo ao capital inicial ou montante emprestado; J e a, representando, respectivamente, os juros e a amortização correspondente a cada período. E, P o valor da prestação, pode-se escrever as três principais características do Sistema Alemão:

� M = a1 + a2+ a3 + ····· + an-1 + an � P0 = J0 � P1 = P2 = P3 = ····· = Pn-1 = Pn

Relacionando as prestações em função de suas variáveis e sabendo que cada prestação corresponde à soma dos juros e da amortização, tem-se:

P = amortização + Juros

P0= M × i P1 = a1 + (M – a1 )× i P2 = a2 + (M – a1 -+ a2) × i P3 = a3 + (M – a1 – a2 - a3) × i ······························································

a

1 2 3 ······

J0=p

Pn =

J

M



Pn-1 = an-1 + (M – a1 – a2- a3 - ····· - an-1 ) × i Pn = an + (M – a1 – a2 – a3 - ····· - a n-1 - an) × i = an

Como as prestações são todas iguais, por definição, pode-se escrever: Pn-1 = Pn então; an-1 + (M - a1 - a2- a3 - ····· - an-1 ) × i = = an + (M - a1 - a2 - a3 - ··· - an-1 - an) × i

∴ an-1 = an - an × i ∴ an-1 = an × (1- i)

∴

4.6.3 – Determinação da Prestação.

A determinação do valor da prestação no Sistema Alemão é efetuada a partir da série de amortizações. Da expressão acima, verifica-se que os valores das amortizações estão em progressão geométrica cuja razão é {(n-1)-1}. Escrevendo a progressão em ordem decrescente dos termos visando facilitar a demonstração e os exprimindo em função do último termo, pode-se escrever a seguinte série:

1-n n1

2-nn2

3n3-n

2n2-n

1n1-n

nn

i)-(1 a a

i)-(1 a a

···········

i)-(1 a a

i)-(1 a a

i)-(1 a a

a a

×=

×=

×=

×=

×=

=

Sabendo-se que o montante do financiamento corresponde à soma das amortizações pode-se escrever, de modo matemático:

M = a1 + a2 + a3 + ····· + a n-1 + an ∴

M= an + an × (n-1)1 + an × (n-1)2 + an × (n-1)3 + ····· + an × (n-1)n-2 + an × (n-1)n-1 Por característica e definição do sistema alemão, a última amortização apresenta o mesmo valor da ultima prestação, ou seja, p = an. Assim a expressão acima pode ser escrita da seguinte forma: M = p + an × (n-1)1 + an × (n-1)2 + an × (n-1)3 + ···················· +

an × (n-1)n-2 + an × (n-1)n-1 Como os termos da amortização estão em progressão geométrica, o valor financiado M, corresponde à soma de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é p e a razão (n-1). Sabendo que a expressão da soma de progressão geométrica decrescente em que “a” corresponde ao primeiro termo, “q” a razão e “n” o número de termos da série, é dada por:

)i1(a

a 1nn −

= −



Substituindo na expressão acima os valores da progressão geométrica, obtém-se a expressão que define o valor da prestação no Sistema Alemão:

4.6.4 – Equivalência Financeira.

Como já comentado anteriormente, o sistema alemão não apresenta uma equivalência financeira quando se compara o valor do empréstimo com a soma das prestações pactuadas à taxa estabelecida. A definição da taxa real ou efetiva de juros, neste sistema, é efetuada de modo mais complexo. Para tanto, recomenda-se utilizar a fórmula de Karpin, o método de Newton Raphson ou da bisseção, para a definição da taxa real de juros, métodos a serem discutidos em capítulos posteriores.

A taxa real ou efetiva de juros pode ser equiparada à Taxa Interna de Retorno do financiamento, já que o soma das prestações equivale, financeiramente, ao valor do montante

recebido e corresponde a uma série de pagamentos postecipada. Então:

M - Mi = p × FRC (n¬ iREAL%) ∴

(1-i ) × M = p × FRC (n¬ iREAL%)

4.6.5 – Exemplo.

Seja determinar o valor das prestações de um empréstimo pactuado sob as seguintes condições: montante contratado de R$ 100 mil; taxa de juros pactuada, 5% por período; sete anos de duração, sem carência. Os procedimentos de cálculo devem ser realizados na seguinte ordem:

a) Calculo da Prestação:

∴

b) Calculo das Amortizações:

Sabe-se que a ultima amortização corresponde à ultima prestação. Então: a7 = p7





)i1(a

a 1nn −

= −

p

M-Mi

1 2 3 ··· n-1 n



∴ an-1 = an × (1-i) ∴

a6 = a7 (1-0,05) = 15.746,06 R$ c) Cálculo dos Juros: Os juros podem ser calculados de dois modos. Fazendo incidir a taxa pactuada sobre o saldo devedor ou diminuindo do valor da prestação o valor da amortização.

Período Saldo Juros - 5%

Amortização Prestação

0 100.000,00 5.000,00 - 5.000,00 1 87.816,00 4.390,80 12.184,00 16.574,80 2 74.990,74 3.749,54 12.825,26 16.574,80 3 61.490,46 3.074,52 13.500,28 16.574,80 4 47.279,64 2.363,98 14.210,82 16.574,80 5 32.320,88 1.616,04 14.958,76 16.574,80 6 16.574,82 828,74 15.746,06 16.574,80 7 16.574,82 0,00 16.574,82 16.574,80

Total - - 100.000,00 -

Atenção! Visando corresponder à soma das amortizações, exatamente, ao montante tomado, foi efetuado um ajuste de R$ 0,02 no valor da amortização da ultima prestação. 4.7 – O sistema de amortização crescente - SACRE. 4.7.1 – O Sistema O SACRE, ou sistema de amortização crescente, é um sistema de financiamento criado pela Caixa Econômica Federal visando calcular a prestação dos empréstimos de aquisição da casa própria.

O objetivo do sistema é permitir a amortização de parcela expressiva do empréstimo no menor tempo possível e, caso ocorra uma inadimplência do mutuário, reduzir o risco de perdas para a CEF. O valor da prestação no sistema SACRE é definido pela soma de duas variáveis básicas, quais sejam: o encargo mensal - EM e o seguro, atendendo ao seguinte modelo:

PM = (EM × CES) + Seguro Uma característica do sistema é ter a prestação mensal calculada em função do montante financiado e o seguro sobre o valor de avaliação do imóvel. O CES é um parâmetro referente ao Coeficiente de Equivalência Salarial, periodicamente atualizado pela CEF. Tanto o CES como o seguro possui uma metodologia própria para sua definição, porém fugindo do escopo deste curso a sua análise. O seguro, por sua vez, é dividido em seguro do imóvel e seguro pessoal, que abrange morte e invalidez e são dois parâmetros a serem considerados no calculo da prestação.

Pelas regras da CEF atualmente em vigor, o saldo devedor é atualizado anualmente pelo valor da TR, taxa referencial de juros utilizada no reajuste da poupança. Nos dois primeiros anos do financiamento e pode a, partir do terceiro ano, ser feito trimestralmente, a critério da CEF.

Finalizando, para calcular o saldo devedor a cada

período em que ocorre o reajuste da prestação, o sistema



utilizado é o de amortização constante. Porém, considerando a variação da TR, a amortização pode variar e mesmo diminuir, quando o valor desta for baixo.

4.7.2 – A metodologia. As prestações são determinadas adotando a seguinte metodologia: 1º - Define-se o Encargo Mensal – EM

EM = juros + amortização

( ) )n

i(PnP

iPEM1+×=

+×=

Em que P corresponde ao saldo devedor e n o número de meses pactuados para amortizar o financiamento. 2º - Define-se o parâmetro CES. O CES é fixado por circular da CEF. Para o exercício de 2006 foi estipulado em 1,12. 3º - Calcula-se o valor do seguro. O seguro, ou seja, a taxa do risco a incidir sobre o financiamento é composta pela soma de duas variáveis: uma destinada a cobrir danos físicos ao imóvel e a outra para cobrir o risco de morte ou de invalidez do tomador. Assim sendo, estas taxas de seguro são denominadas, respectivamente, de: DIF, visando cobrir danos físicos ao

imóvel; e MIP destinada a cobrir casos de morte ou de invalidez do usuário.

Seguro = DIF + MIP As taxas de seguro, por sua vez, são calculadas em função do valor do imóvel, da taxa de risco e do CES.

DIF = valor da avaliação × taxa de risco × CES MIP = valor da avaliação × taxa de risco × CES

A definição de cada taxa de risco deverá ser efetuada após consulta à CEF. Ressalta-se que estas taxas variam segundo a categoria em que for classificado o imóvel. Para tanto é leva do em consideração o valor da avaliação do imóvel, a idade do tomador e o prazo de quitação. Como exemplo de taxas e considerando financiamentos realizados após 1994, na Categoria de Risco 6 a taxa definida para a DIF é 0,02402 % e para a MIP é de 0,14429%. 4º - Define-se o valor da prestação mensal. Como já definido, a expressão da Prestação Mensal é dada por:

PM = (EM × CES) + Seguro 5º - Calcula-se a amortização.

CESnP

A ×=

6º - Atualização monetária do financiamento.



É possível que tenha sito pactuado que para o calculo de cada prestação o valor financiado deva ser atualizado monetariamente, fato a ser considerado quando da quitação das mesmas. 7º - Calcula-se o novo saldo devedor.

SD n+1 = SDn – Amortização do período 4.7.3 – Exemplo. Seja calcular a prestação mensal relativa ao financiamento de um imóvel avaliado em de R$ 500 mil, dos quais R$ 300 mil serão financiados pela CEF. Os juros foram pactuados em 1,5% a.m. e o financiamento previsto para ser quitado em 60 meses. a) Calculo do encargo mensal – EM.

EM = 300.000 (0,015 + 1/60) EM = 9.500,00 R$.

b) Calculo dos seguros

DIF = 500.000 × 0,02402% × 1,12 = 134,51 MIP = 500.000 × 0,14429% × 1,12 = 808, 02 Total do seguro = 942,53.

c) Calculo do valor da prestação.

PM = (EM×CES)+ Seguro. PM = (9.500,00 × 1,12) + (134,51+ 808,02) PM = 10.640,00 + 942,53 = 11.582,53 R$

4.7.4 - Comentários

O cálculo da prestação de um imóvel financiado é definido pelo sistema de amortização escolhido no ato da compra. Das três opções oferecidas no mercado — Sistema de Amortização Crescente (Sacre), Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) e Sistema de Amortização Constante (SAC) —, o Sacre tem se revelado o mais vantajoso para o mutuário. Embora comece com prestações mensais mais altas, se comparado à Tabela Price, o Sacre permite maior amortização imediata do valor emprestado, porque reduz simultaneamente a parcela de juros sobre o saldo devedor do financiamento.

SD n+1 = SDn – Amortização do período Pelo sistema, as prestações mensais mantêm-se próximas da estabilidade. No decorrer do financiamento, seus valores tendem a decrescer. Muito utilizado pela Caixa Econômica Federal, o Sacre tem recálculo das prestações corrigido anualmente pelo banco, nos dois primeiros anos do contrato, podendo ocorrer trimestralmente a partir do terceiro ano. No final de cada ano, a Caixa levanta o saldo devedor e aplica a correção pela variação do índice de reajuste dos depósitos na caderneta de poupança da pessoa física (atualmente, a TR) acrescida as taxas de juros de 8%, 10,5% ou 12%, de acordo com a modalidade de financiamento obtida. Na Caixa, o prazo máximo de financiamento pelo Sacre é de 20 anos, só podendo ser comprometida 30% da renda familiar, no máximo. No final do contrato, pelo sistema, não há os desagradáveis resíduos a serem pagos pelo comprador. O exercício deste item 4.6 consta do sitio da internet http://www.meusite.pro.br. Amortização pelo Sacre traz vantagens ao mutuário. Em 25.08.2006.



4.8 – Correção do saldo devedor. 4.8.1 – Procedimentos. Com o objetivo de repor o valor aquisitivo da moeda corroída pelo efeito da inflação, efetua-se a correção do saldo devedor existente, segundo a periodicidade pactuada. Essa correção é efetuada segundo algum índice de previamente escolhido e atendendo a procedimentos legalmente aceitos. No Brasil, dada a jurisprudência vigente, a correção do saldo devedor é efetuada depois de quitada a prestação do período e efetuada a amortização do saldo devedor. Consequentemente, o saldo devedor a render juros no período seguinte, SDn, é definido atualizando monetariamente o saldo devedor do período anterior, SCn-1,apos ser abatido o valor de amortização do saldo devido nesse período anterior.

SDn = (SCn-1 – amortizaçãon-1) × (1+Φ) 4.8.2 – Metodologia. Seja definir o valor da prestação, dos juros e da amortização referentes a cada período de um empréstimo a ser quitado em cinco prestações anuais. Foram pactuadas as seguintes condições:

• A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano; • O sistema de pagamentos ocorrerá por amortização

constante, SAC;

• O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC. Adotando como nomenclatura: SDn representando o saldo devedor num período qualquer n; SCn-1 exprimindo o saldo devedor no período anterior ja corrigido segundo o índice pactuado; a, sendo o valor da amortização; n, o número de períodos a amortizar, Jn correspondente ao montante dos juros devidos no período n; e In o índice pactuado relativo ao período n, qualquer. Os procedimentos necessários à determinação das prestações são os seguintes: 1º) Calcula-se o valor da amortização para o primeiro período:

amortizar.perSC

a nn

1−=

2º) Calcula-se o montante dos juros do primeiro período relativo ao capital tomado:

Jn = i × SCn-1

3º) Define-se o valor da prestação:

Pn = an + Jn 4º) Calcula-se o novo saldo devedor:

SDn = SCn-1 - a 5º) Atualiza-se o índice de correção e define-se o fator de

correção do saldo devedor. 6º) Corrige-se o saldo devedor:

1−

×=n

nnn I

ISDSC



7º) Repete-se o procedimento até ser obtida a ultima prestação. Os juros e a amortizações de qualquer período subseqüente são calculados tendo por base o saldo devedor corrigido.

4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC. Como aplicação, seja calcular as prestações de um financiamento de um equipamento no valor de R$ 250 mil, a ser quitado em cinco anos, com juros pactuados a 10% ao período, sob o sistema da amortização constante. O saldo devedor deverá ser corrigido segundo a variação anual do INPC ocorrida no período.

INPC

Período Exercício Índice Fator de Correção

0 01.01.2001 1,8798 -

1 01.01.2002 2,0573 1,094. 425

2 01.01.2003 2,3605 1,147. 378

3 01.01.2004 2,6056 1,103. 834

4 01.01.2005 2,7654 1,061. 329

5 01.01.2006 2,9050 1,050. 481

Calculo do Saldo Corrigido Saldo

Devedor Períodos

a amortizar Amortização

Fator de Correção

Saldo Corrigido

250.000,00 -

200.000,00 5 50.000,00 1,094425 218.885,00

164.163,75 4 54.721,25 1,147378 188.357,87

125.571,91 3 62.785,96 1,103834 138.610,54

69.305,27 2 69.305,28 1.061329 72.803,87

72.803,87 1 72.803,87 1,050481 ---

Determinação das Prestações Per Saldo

Amortizado Saldo

Corrigido Amorti- zação

Juros 10%

Prestação

0 250.000,00 - - - - 1 200.000,00 218.885,00 50.000,00 25.000,00 75.000,00 2 164.163,75 188.357,88 54.721,25 21.888,50 76.609,75 3 125.571,92 138.610,55 62.785,96 18.835,79 4 5

Por facilidade de entendimento dos procedimentos efetuados na determinação das prestações expostos da tabela acima demonstra-se, a seguir, os cálculos das três primeiras prestações. Solicita-se que o interessado realize os cálculos das prestações faltantes. 1ª Prestação: Na primeira prestação, tanto os juros como a amortização são calculados sobre o capital inicial tomado, ou seja, R$ 250 mil. Não incide correção sobre este valor. Valor da 1ª prestação: P1 = a1 + J1 P1 = 50.000+25.000 = 75.000,00 R$ Amortização:

$R,.,.

amortizar.perSC

a 00000505

0000025001 ===

Montante dos Juros: J1 = 250.000,00 × 0,10 = 25.000,00R$.



Saldo Devedor: SD1 = SD0 – a1 SD1 = 250.000,00 – 50.000,00 = 200.000,00 R$ Saldo Corrigido:

$R,.,,

.II

SDSC 0088521887981

05732000200

0

111 =×=×=

2ª Prestação: Valor da 2ª prestação: P2 = a2 + J2 P2 = 54.721,25 + 21.888,50 = 76.609,75 R$ Amortização:

$R,.218.885,00

amortizar.perSC

a 25721544

12 ===

Montante dos Juros: J2 = SD1 × i J2 = 218.885,00 × 0,10 = 21.888,50R$. Saldo Devedor: SD2 = SD1 – a2 SD2 = 218.885,00 – 54.721,25 = 164.163,75 R$ Saldo Corrigido:

1

212 I

ISDSC ×=

SD2 = 164.163,75 × 1,147378 = 188.357,88 R$ 3ª Prestação.

Valor da 3ª prestação: P3 = a3 + J3 P3 = 62.785,96 + 18.835,79 = 76.609,75 R$ Amortização:

$R,.188.357,88

amortizar.perSD

a 96785623

23 ===

Montante dos Juros: J3 = SD2 × i J3 = 188.357,88 × 0,10 = 18.835,79 R$. Saldo Devedor: SD3 = SD2 – a3 SD3 = 188.357,88 – 62.785,96 = 125.571,92 R$ Saldo Corrigido:

2

323II

SDSC ×=

SD3 = 125.571,92 × 1,103. 834 = 138.610,55R$ 4.9 – Exercícios. a) Seja um empréstimo de 1 milhão de reais a ser quitado em

sete anos, com pagamentos anuais, a juros de 9% a.a. e carência de dois anos. Durante o prazo de carência, também não ocorrerá o recolhimento dos juros devidos. Calcular as prestações e os juros a serem pagos pelo credor considerando:

• O sistema de amortização constante; • O sistema de prestações constantes.



b) Comparar o montante dos juros pagos, bem como o montante do valor das prestações, face os sistemas especificados para o calculo de cada financiamento considerado no exercício “a”. c) Uma construtora contraiu junto ao BNH um empréstimo de 200 mil CUB a ser pago em 10 prestações anuais e consecutivas. Qual será a composição da prestação anual, juros e principal, no Sistema Francês quando os juros pactuados são de 8% ao ano? (Estabeleça a data da operação financeira). d) Partindo dos dados especificados no exercício “b”, pede-se calcular as prestações devidas. O saldo devedor deverá ser atualizado anualmente, segundo a taxa anual de inflação abaixo.

Período 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º Inflação %

3,00 4,50 6,80 8,50 10,10

12,20

15,70

e) Sua empresa deseja substituir um equipamento cujo valor de mercado é de R$ 125 mil, no prazo de 18 meses. Para tanto, estuda duas hipóteses: 1ª – Efetuar a aquisição utilizando recursos próprios, através de uma poupança programada com juros pactuados de 1.25% ao mês. 2ª – Utilizando financiamento de um banco de investimentos, que pratica o sistema Price a taxa de 22,0 % ao ano, financiáveis em dez anos, sem carência. Para ambos os casos definir: o valor da prestação mensal e os juros. Sabe-se que a TMA da empresa é de 14% ao ano.

e) Considerando a aplicação efetuada no item 4.7.2, recalcular as prestações adotando o sistema de prestação constante.

f) Verifique se o calculo da prestação esta correto.

O caso em questão refere-se a um contrato de compra e venda de bem imóvel e mútuo com alienação fiduciária em garantia. Condições do contrato: - Valor do bem financiado: R$ 82. 000,00; - Valor pago com recursos próprios: R$ 42.000,00; - Valor financiado pela CEF: R$ 40.000,00; - Valor da garantia fiduciária: R$ 82.000,00; - Sistema de Amortização: SACRE. -Prazo Amortização: 240 Meses - Taxa Anual Nominal de Juros (%): 12,0000% - Taxa Anual Efetiva de Juros (%): 12,6825% - Encargo Inicial – prestação (a + j) = R$ 566,66 - Seguros = R$ 39,36 - Total a pagar = 39,36 + 566,66 = R$ 606,02 - Vencimento: 09/07/2001 - Atualização dos Encargos: nos dois primeiros anos as prestações de amortizações + juros + prêmios de seguros, serão recalculados a cada 12 meses, levando em conta a data inicial do contrato (08/08/2001 a 08/08/2002 e 08/08/2003). A partir do 3º ano, tais valores poderão ser recalculados trimestralmente, no dia correspondente ao da assinatura desde contrato, caso venha ocorrer o desequilíbrio econômico-financeiro deste contrato.

g) Efetuar a aplicação do item 4.7.2, considerando o caso de prestação constante.

h) Uma empresa em fase de expansão obtém um financiamento no montante de R$ 4,8 milhões a ser liberado em três parcelas quadrimestrais, segundo o pactuado nos itens I e II.



Solicita-se:

• As planilhas que demonstrem o valor de cada prestação, os juros incorridos e a amortização a ser efetuada;

• O custo efetivo, mensal, do empréstimo; • Efetue o diagrama de fluxo de caixa do financiamento.

Tabela - I

Critério de liberação das parcelas Valor em R$ 1ª parcela - assinatura 1.300.000,00 2ª parcela - 1º quadrimestre 3.000.000,00 3ª parcela - 2º quadrimestre 500.000,00 Tabela - II

Condições pactuadas Encargos Taxa nominal de juros 9% ao ano Período de capitalização Quadrimestral Comissão de abertura de crédito sobre o valor total do financiamento.

0,5% no ato de liberação junto com a 1ª parcela.

Imposto sobre operações financeiras – IOF.

1% sobre o total geral. Valor tomado, valor dos juros e da comissão de abertura de crédito.

Carência Quatro (4) quadrimestres. Juros durante a carência Serão pagos Prazo do financiamento 5 anos Sistema de amortização SAC Período de amortização Quadrimestral

g) Seja definir o valor da prestação, dos juros e da amortização referentes a cada período de um empréstimo no montante de R$ 300 mil, a ser quitado em cinco prestações anuais. Foram pactuadas as seguintes condições:

• A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano; • O sistema de pagamentos ocorrerá por prestação

constante; • O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC.

h) Uma empresa visando implantar um novo projeto de produção obteve um financiamento no montante de R$ 750 mil. Solicita-se a elaboração do diagrama de fluxo de caixa associado ao empreendimento, bem como o valor das prestações, da amortização e dos juros incorridos.

Cláusulas pactuadas item Condições Contratuais

Taxa nominal de juros 9 % ao ano Período de capitalização Semestral. Comissão de abertura de crédito sobre o valor total do financiamento.

0,5% do valor do contrato cobrado no ato de adjudicação do contrato de financiamento.

Taxa de administração 0,25% do saldo devedor, paga junto com a prestação.

Imposto sobre operações financeiras – IOF. Valor financiado junto com as prestações

1% sobre o total geral. Valor tomado, valor dos juros e da comissão de abertura de crédito.

Carência Dois semestres. Juros durante a carência Serão pagos Prazo do financiamento 5 anos Sistema de amortização Prestação constante Período de amortização Semestral Saldo devedor O saldo devedor é reajustado

semestralmente pela variação do INPC.

h) Calcular o valor das prestações dos financiamentos abaixo qualificados. I – Sistema de Amortização Constante – SAC. 1. - Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete anos.



SAC sem carência Per. Saldo Saldo Amortizado Amortização Juros – 10% Prestação

0 250.000,00 1 2 3 4 5 6 7

Total 2. - Financiamento com carência de três anos e Juros NÃO quitados durante a carência. Operação de sete anos.

SAC com carência Per. Saldo Saldo Amortizado Amortização Juros – 10% Prestação

0 250.000,00 1 2 3 4 5 6 7

Total



3. – Financiamento com três anos de carência. Juros de 10% ao ano não quitados durante a carência. Prestação corrigida pela variação anual do INPC. Operação pactuada em janeiro de 2.000. Prestações anuais.

SAC com correção monetária e carência

Per. Saldo

Amortizado AS

Índice de Inflação

Índice de Correção IC = ÍN ÷ I0

Saldo Corrigido SC = AS x IC

AMORTIZAÇÃO Juros - 10% aa Prestação P = A + J

1/00 250.000,00 - - - - - 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total

Metodologia: 1º Passo: 1º - Calcular a amortização para o 1º período sobre o saldo financiado; 2º - Definir o valor dos juros; 3º - Calcular a prestação: P = A + J. 4º - Calcular o saldo amortizado; 5º - Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária sobre o saldo amortizado;

2º Passo: 1º - Para o 2º período calcular o valor da amortização sobre o saldo corrigido do 1º período. ............. Repetir o processo anterior. Obs: a amortização do período subsequente é sempre calculada sobre o saldo corrigido.



II – Método da Prestação Constante – Francês.

1 - Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete anos.

Sistema Francês sem carência Per. Saldo Saldo Amortizado Prestação Juros – 10% Amortização

0 250.000,00 1 2 3 4 5 6 7

Total 2. - Financiamento com carência de três anos. Juros NÃO quitados durante a carência. Operação de sete anos.

Sistema Francês com carência Per. Saldo Saldo Amortizado Prestação Juros – 10% Amortização

0 250.000,00 1 2 3 4 5 6 7

Total



3. – Financiamento de R$ 250.000,00 com três anos de carência, com base em prestações anuais. Juros de 10% ao ano, pactuados para não serem quitados durante o prazo de carência. As prestações deverão ser corrigidas pela variação anual do INPC. Operação pactuada em janeiro de 2.000.

Prestação constante com atualização monetária

Per. Saldo

Amortizado SA

Índice de Inflação

Índice de Correção

IC = IN ÷ I0

Saldo Corrigido

SC = AS x IC

PRESTAÇÃO P

Juros - 10% AA J

Amortização A = P - J

1/00 250.000,00 - - - - - 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total

Metodologia: 1º Passo: 1º - Calcular a prestação para o 1º período sobre o saldo financiado; 2º - Definir o valor dos juros; 3º - Calcular a amortização: A = P - J 4º - Calcular o saldo amortizado; 5º - Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária sobre o saldo amortizado;

2º Passo: 1º - Para o 2º período calcular o valor da prestação sobre o saldo corrigido do 1º período. ............. Repetir o processo anterior. Obs: a prestação do período subseqüente é sempre calculada sobre o saldo corrigido do período anterior.



5. –Engenharia Econômica. 5.1 – Conceituação. Por definição, a engenharia econômica corresponde à área do conhecimento cujo objeto é a decisão sobre alternativas financeiras de investimentos. Como premissa para a tomada de decisão é que este processo só ocorrerá havendo a existência de alternativas de investimentos possíveis de serem comparadas. Não havendo alternativas não haverá decisão a tomar. As técnicas da Engenharia Econômica baseiam-se na ciência denominada Matemática Financeira que, com já visto, descreve as relações da equivalência de capital sob a ótica do binômio TEMPO E DINHEIRO. Para que qualquer alternativa seja considerada num processo de decisão há que se estudar a sua viabilidade e, deste modo, responder aos seguintes questionamentos:

1. Qual o incremento de riqueza que uma alternativa propiciará sendo implementada;

2. Qual o tempo de retorno do capital inicialmente aplicado;

3. Qual a máxima taxa de desconto possível de ser adotada e o projeto permanecer viável;

4. Qual a taxa de rentabilidade adotada em proposta de investimento.

5. Qual a taxa de rentabilidade de uma aplicação financeira.

Cabe ao analista de investimentos propor, desenvolver e hierarquizar o conjunto de alternativas de investimentos disponíveis. Porém, deve ter em mente que a decisão de eleger qualquer delas é prerrogativa do empresário, ou do decisor, a quem caberá a palavra final sobre aquela a ser eleita e a melhor oportunidade em deflagrar esse processo. 5.2 – Análise de Viabilidade 5.2.1 - Conceito de Viabilidade.

Dada a assertiva acima, toda a metodologia de análise de investimentos se apoia no sistema de juros compostos quando trata do estabelecimento de padrões de comparação de capital ou na decisão quanto à escolha da melhor das alternativas propostas de projetos de investimentos.

A T E N Ç Ã O



Estudar a viabilidade de um projeto significa quantificar suas premissas, construir a projeção dos fluxos de caixa e verificar se o projeto propicia um aumento de riqueza.

5.2.2 – Premissas.

As premissas que permitem analisar a viabilidade de um projeto, geralmente, são as seguintes:

1) O orçamento de investimento; 2) As projeções operacionais; 3) O horizonte do prazo do investimento ou tempo de vida

do projeto; 4) O custo de capital, ai considerando o capital próprio e o

de terceiros; 5) As fontes de recursos disponíveis.

5.2.2.1 - Orçamento de Investimento O orçamento de investimentos considera dois tipos de capitais: o investimento em capital fixo ou Imobilizado e o investimento em capital de giro. O investimento em capital fixo ou imobilizado engloba todo aquele investimento que não entrará no “giro” dos negócios tais como: terrenos, obras civis, equipamentos, despesas de engenharia, montagens, administração do projeto, despesas financeiras durante a construção, etc. Contabilmente, esse capital é apropriado no item Ativo Não Circulante do balanço patrimonial.

O capital de giro é representado pelos recursos necessários à operação quotidiana do projeto. Ele compreende:os investimentos em: necessidades mínimas de caixa; salários e encargos sociais necessários para os primeiros períodos de operação do projeto; estoques de matérias primas, de produtos em elaboração e de produtos acabados; custos administrativos; financiamento de vendas; etc. Contabilmente, esse tipo de capital é apropriado em contas do ativo circulante. Exige cuidado a definição do aporte de capital de investimentos, pois ocorre um comportamento distinto no fluxo nos dois tipos de investimento durante a vida do empreendimento. No caso do capital de giro, recomenda-se avaliar a oscilação do mesmo para cada nível de produção, pois ocorrerá uma exigência distinta no nível de demanda de capital de giro a cada nível de produção considerado. 5.2.2.2 – Projeções Operacionais

As projeções operacionais de um projeto de investimento são constituídas pelas estimativas de:

• Demanda do Produto; • Preço de Venda do Produto; • Custos de Produção a cada nível de demanda.

A demanda do produto corresponde à previsão da quantidade do mesmo a ser vendida a cada período de tempo.



Normalmente, esta quantidade varia com o tempo. Ela, comumente, é crescente até alcançar a quantidade máxima de produção instalada e, decrescente quando o produto fica tecnologicamente ultrapassado ou prescindível pelos consumidores. O preço de vendas pode ser estimado de dois modos: i) acompanhando o preço praticado pelas empresas líderes de mercado; ii) ou, impondo o próprio preço ao mercado. Finalizando, é importante analisar o custo de produção a ser incorrido a cada nível de demanda. Considerando que, em especial, os custos variáveis oscilam com a quantidade produzida, há de se observar e analisar qual a quantidade ótima de produção que permite realizar o lucro máximo. E, para tanto, observar quais as quantidades de produção que permitem economia de escala e a quantidade ou ponto ótimo de produção a partir do qual se entra num processo de deseconomia de escala. 5.2.2.3 – Horizonte do Investimento. Por definição, horizonte de investimento, tempo de vida ou de operação de um projeto corresponde ao espaço de tempo que se pretende operar um empreendimento ou o tempo que o leva à obsolescência. Teoricamente, o horizonte de investimento de qualquer ativo financeiro ou de um ativo real depende do tempo estabelecido para obter um melhor retorno. Assim, quando se compra ações, regra geral, os analistas recomendam ter um horizonte de longo prazo.

Embora as ações possam ser vendidas a qualquer momento, o ideal é que o investidor participe neste mercado com uma estratégia de ganhar dinheiro no longo prazo. Não convém aplicar hoje em ações o dinheiro que será usado para pagar a prestação da casa própria amanhã, por exemplo. Esta é uma recomendação natural para investimentos de maior risco. Também não se deve comprar um imóvel sabendo que será necessário vendê-lo em seis meses. É melhor esperar um momento adequado, que pode ser de seis meses, mas também pode não ser. É interessante notar que, ao termino da vida do projeto, havendo Investimento Fixo e/ou Capital de Giro residual, eles devem ser incorporados ao fluxo de caixa, como uma entrada de caixa, ao final do mesmo. 5.2.2.4 – O Custo de Capital O custo de Capital é, matematicamente, definido como a taxa “ï” a ser adotada nos estudos financeiros da empresa, para o desconto de seus projetos. Esta taxa, denominada de taxa de rentabilidade, é taxa de remuneração desejada pelos proprietários pela remuneração do capital próprio aplicado. Pode receber, também, as denominações de: taxa de mínima atratividade, taxa de oportunidade, custo de oportunidade, taxa de desconto da empresa. Conceitualmente, a taxa de juros difere da Taxa de Oportunidade, mesmo que, matematicamente, o tratamento a ser dado a estes dois tipo de taxas possa ser idêntico.



Isto porque, por definição, a taxa de juros corresponde à remuneração do capital paga pela utilização de um capital de terceiros. A Taxa de Oportunidade, por sua vez, é a taxa estabelecida para a remuneração da aplicação de capital próprio. Ela corresponde à menor taxa de remuneração desejada por uma empresa, ou um capitalista, para a remuneração de seus recursos, ao serem consideradas alternativas que apresentem a mesma taxa de risco. 5.2.2.5 – Fontes de Recursos. Consideram-se fontes de recursos os fornecedores dos capitais necessários à implantação de um projeto e, basicamente, são:

• Capital Próprio; • Capital de Terceiros.

O custo do capital próprio corresponde à remuneração desejada pelo proprietário da empresa ou pelo acionista pela utilização do capital empregado em qualquer projeto capital empregado. O custo de capital de terceiros corresponde à remuneração do aporte de capitais provenientes de empréstimos de curto prazo ou de financiamentos de longo prazo. 5.3 – O Fluxo de Caixa. 5.3.1 – Conceituação.

A análise da viabilidade financeira de investimentos é realizada realizando o estudo do fluxo de caixa projetado e associado a cada uma das alternativas desenvolvidas. Conceitua-se fluxo de caixa, como uma série de pagamentos e recebimentos de dinheiro, distribuídos no tempo. O processo de análise financeira e a elaboração do fluxo de caixa projetado podem ser realizados disponíveis as seguintes informações:

• Avaliação da variação da demanda do produto durante o horizonte de projeto;

• Preço de Venda do Produto; • Custos de Produção a cada nível de demanda; • Alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro e o

faturamento; • Utilização do capital próprio ou de terceiros; • Valor residual dos ativos imobilizados a serem

alienados; • Taxa de mínima atratividade ou de retorno do capital; • Horizonte do projeto.

5.3.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC.

O “diagrama de fluxo de caixa” é um instrumento que permite visualizar clara e concisamente uma série de fluxos de caixa. Graficamente ele é representado em um gráfico cartesiano onde, em abscissas, fica determinada a linha dos tempos e, em ordenadas, o valor monetário de cada fluxo de caixa singular. Ver Fig. 5.1 – Diagrama de Fluxo de Caixa.



Neste diagrama, receitas ou entradas de dinheiro são representadas por setas voltadas para cima, sinal (+). Pagamentos ou saídas de dinheiro representadas por setas voltadas para baixo, sinal (-). O diagrama de fluxo de caixa, então, expressa graficamente o resultado ou saldo das movimentações de caixa havidas em determinado período.

Recomenda-se, especialmente ao iniciante no assunto, elaborar o diagrama de fluxo de caixa dos projetos em análise visando facilitar o acompanhamento e entendimento do comportamento do fluxo associado a cada alternativa em análise e realizar um adequado tratamento matemático ao processo de calculo. 5.3.2.1 – Premissas e Convenções.

A correta montagem dos diagramas de fluxo de caixa – DCF exigem o cumprimento das seguintes premissas: i - O fluxo de caixa de um período equivale à soma algébrica

das entradas e saídas de caixa que ocorrem durante o mesmo.

ii - Lançar como investimento, apenas os capitais demandados pelo projeto;

iii - A priori, não há a consideração de risco ou incerteza. iv - O montante de capital próprio empregado no projeto e o

pagamento de dividendos; v - A entrada de capital de dívidas, juros e amortizações, não

vinculados ao projeto; vi - O reinvestimento de fundos gerados pelos projetos. vii - Decisões financeiras realizadas antes do início anterior

do projeto em análise. A representação gráfica dos fluxos de caixa deve atender às seguintes convenções: • Seta voltada para cima representando um fluxo de caixa

superavitário ou positivo; • Seta voltada para baixo representando um fluxo de caixa

negativo ou deficitário; • Todo fluxo de caixa é lançado no diagrama no momento

final do período em que tenha ocorrido. 5.3.3 – Calculo do Fluxo de Caixa.

5.3.3.1 – Modelo do Fluxo de Caixa.

Considerando que um fluxo de caixa, Fk, registra o

somatório líquido do somatório das saídas e entradas de caixa havidos num período, k, genérico.



Tendo por nomenclatura:

a) Receitas, Rec, que correspondem ao faturamento ou ganhos a serem auferidos pelo projeto, motivo da razão social da empresa;

b) Despesas, correspondendo ao somatório dos custos

diretos, dos custos indiretos e dos tributos incidentes diretamente sobre o faturamento;

c) Investimentos, correspondendo ao somatório das

inversões realizadas em ativo imobilizado, sejam eles imóveis, equipamentos ou veículos e em capital de giro;

d) Deduções são os incentivos fiscais que podem ser

considerados como despesas e que permitem reduzir o lucro antes da provisão para o imposto de renda e da contribuição social sobre o lucro líquido. Especialmente o montante da depreciação dos ativos imobilizados ocorrida no período;

e) Valor residual, VR, que expressa o montante do valor

das desmobilizações ocorridas no final do projeto devido à venda dos bens imobilizados e, também, ao retorno do capital de giro inicialmente investido.

O valor do fluxo de caixa em dado período k é dado pelo modelo:

Fk = Σ Rec(k) - Σ Desp(k) – Inv(k) + Ded(k) + VR(k)

Alerta-se ao leitor que o conceito de fluxo de caixa transcende ao conceito de lucro. O lucro representa o resultado da dedução das despesas indiretas, custos de produção ou tributos pagos, no período, do valor das receitas havidas.

Lucro = Σ Receitas – Σ Despesas, Portanto, pode ocorrer a existência de lucro em um determinado período e o fluxo de caixa ser negativo. Basta, para isto ocorrer, a realização de um grau de investimento superior ao somatório do lucro, das deduções e do valor residual havidos no período. A constatação da assertiva acima pode ser efetuada pela análise da expressão abaixo, ao se substituir na expressão geral do fluxo de caixa os somatórios das receitas e despesas pela expressão do lucro. Então:

Fk = Lucro – Inv + Ded + VR

Do acima exposto e, especialmente, da análise da expressão do fluxo de caixa, Fk, pode-se deduzir: i) as deduções que reduzem o imposto a pagar e o valor residual, melhoram a disponibilidade de caixa; ii) Pode ocorrer fluxo de caixa negativo, mesmo tendo sido apurado lucro no exercício, dependendo do volume monetário aplicado em investimentos.



5.4 – Valor Presente. 5.4.1 – Valor de um Ativo.

Define-se, financeiramente, como sendo o VALOR de um ativo ao valor presente líquido do somatório dos fluxos de caixa descontados que ele for capaz de gerar, considerando o valor da moeda no tempo.

Decorre dessa definição que o VALOR PRESENTE LÍQUIDO

de um ativo, ou de qualquer projeto de investimento, é equivalente à quantidade de riqueza que ele poderá gerar, expressa em valores monetários e medida na data de sua análise.

O Valor Presente Líquido, então, é a metodologia

proposta para medir o acréscimo, ou incremento, de riqueza propiciada pela implantação de um projeto de investimento.

A metodologia leva esta denominação de valor presente líquido, pois considera todas as entradas e saídas de caixa associadas ao projeto, fato que permite medir o incremento de riqueza por ele propiciado e expresso em valor monetário. 5.4.2 – Calculo do Valor Presente Líquido. 5.4.2.1 - Valor Presente de Fluxo de Caixa Único.

Como já visto no item 2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro, o valor presente VP de um único fluxo de caixa, VF, é dado

pelo modelo abaixo, em que VP e VF correspondem, respectivamente, a uma única saída ou entrada de caixa.

n)i(VFVP

+≡

1

1

E, “n”, representa o número de períodos em que ocorrerá a entrada de caixa e “i”, a taxa de desconto ou TMA, pactuada.

período

VF

VP

$

n

Fig.5.2 – Valor Presente Fluxo Único

5.4.2.2 - Valor Presente de Múltiplos Fluxos de Caixa. No caso de se dispor de múltiplos fluxos de caixa, conforme Fig.5.1, o valor presente líquido associado a um projeto p corresponde ao somatório dos fluxos de caixa individuais. De modo sintético, pode ser expresso pela seguinte expressão matemática canônica, em que, F0, corresponde ao

VP(p) = ∆ RIQUEZA



fluxo de caixa inicial no momento zero e Fk o fluxo de caixa previsto para ocorrer no período k:

∑= +

+=n

1kk

k

)i1(

FFo)p(VP

Ou, de forma extensiva, pelo polinômio:

n)i(Fn

)i(F

)i(F

)i(F

Fo)p(VP+

+++

++

++

+=11

3

1

2

1

1321

L

Alerta-se, ao ser analisado qualquer projeto de investimento ou um conjunto de alternativas de investimentos, para se e elaborar tanto o diagrama de fluxo de caixa como o de valor presente de cada alternativa de projeto, no intuito de visualizar o comportamento de cada fluxo de caixa singular. Tal procedimento evita surpresas no processo de tomada de decisão, conforme será visto em capítulo posterior. 5.4.3 – Diagrama de Valor Presente. Um importante instrumento utilizado para a análise do comportamento de qualquer fluxo de caixa é o Diagrama de Valor Presente. Este diagrama exprime, no eixo das abscissas as taxas de desconto ou TMA e, em ordenadas, o valor presente do fluxo de caixa descontado à taxa de “i%” ao período.

O exemplo exposto na Fig.5.3, mostra o diagrama de um fluxo de caixa descontado a taxas de desconto que variam entre 4 a 20% e onde é evidenciado o Valor Presente vinculado à taxa de desconto de 4% ao período. Como será visto no Capítulo-6, disponíveis os diagramas de valor presente das alternativas vinculadas a um projeto, torna-se mais fácil e definir adequadamente qual delas propicia o maior incremento de riqueza.

É interessante ressaltar que a curva representativa da função valor presente líquido, expressa na Fig.5.3, se comporta de modo decrescente, contínua e convexa, quando referida a projetos de investimento convencionais. Investimentos definidos e classificados no item 5.6



Ao serem analisadas alternativas de projetos de investimentos não convencionais, nada se pode afirma a priori quanto ao comportamento da curva. Ver Fig.5.4.

Isto porque, é possível ocorrer valores presentes negativos entre valores presentes positivos, fato que pode induzir o analista a erro ao elaborar suas recomendações.

No diagrama da Fig.5.4, é possível verificar a existência de valores presentes positivos, ocorrendo entre as taxas de zero a 6%. Entre as taxas de 6% a 12% ocorrem valores presentes negativos. Entre 12% a aproximadamente 19% ocorrem, novamente, valores presentes positivos. A partir de 19%, os valores presentes são negativos.

Pelo acima exposto, constata-se que o projeto expresso

por um diagrama conforme o da Fig.5.4 é viável entre taxas de zero a 6% e de 12 a 19%. Sendo inviável para TMA’s entre 6 e 12% e, acima de 19%.

Sob a ótica matemática, isto quer dizer que o polinômio representativo da função valor presente líquido pode apresentar diversas raízes reais.

Nestes casos, recomenda-se elaborar graficamente o diagrama de valor presente visando amparar a análise de decisão, e definir corretamente as taxas de desconto que propiciem valores presentes positivos e as que propiciam valores negativos..

5.4.4 – Exemplo de Aplicação. Seja, como exemplo de obtenção de um diagrama de valor presente, um projeto representado pelo seu fluxo de caixa:

7654321 1

320

1

680

1

630

1

570

1

520

1

450

1

8501200

)i()i()i()i()i()i()i(VP

++

++

++

++

++

++

+−−=

Resolvendo o polinômio acima para cada uma das seguintes taxas de desconto: 0,0 %; 3%; 6%; 9% e 12%; obtém-se o valor presente líquido associado a cada uma das taxas, conforme disposto na tabela abaixo.

Solicita-se preencher os dados faltantes na tabela da Fig.5.5, o que permite definir o valor presente do projeto para cada TMA especificada.

Com os dados obtidos, segundo expresso na ultima

linha da tabela da Fig.5.5: 1.120,00; 754,36; 449,67; 194,25; -21,08; pode-se traçar o diagrama de valor presente líquido do fluxo de caixa, conforme diagrama expresso na Fig.5.6.

Analisando o diagrama do valor presente, é possível

constatar que o projeto em questão passa a ser viável para



investidores que praticam taxas de desconto, ou seja, TMA’s inferiores a 11,6%.

Valores Presentes em R$

Per. i = 0% i = 3% i =6% i =9% 12% 0 - 1.200,00 1 - 850,00 2 450,00 3 520,00 4 570,00 5 630,00 6 680,00 7 320,00 ∑ 1.120,00 754,36 449,67 194,25 -21,08

Fig.5.5 – Tabela de Valores Presentes dos Fluxos de Caixa

Para investidores que praticam Taxa de Mínima Atratividade superior a 11,6%, o projeto torna-se inviável, já que o valor presente passa a apresentar valores negativos.

5.5 – A TMA – Taxa de Mínima Atratividade 5.5.1 – Conceito de TMA.

Por definição, a Taxa de Mínima Atratividade, TMA, corresponde à menor rentabilidade desejada para a remuneração de um projeto. Ela é a taxa prevista para a remuneração das alternativas de investimento em análise.

Pelo exposto, ela é adotada como taxa de desconto, i, ao se calcular o Valor Presente Líquido - VP(p) associado às diversas alternativas do projeto. Ver Figura 5.7, onde é mostrada uma determinada TMA e o valor presente a ela correspondente.

-400,00

1.200,00

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1.000,00

0 3 6 9 12Taxa de Desconto - i%

1.120,00

754,36

449,67

194,25-21,08

-200,00



∑= +

+=n

1kk

k

)i1(

FFo)p(VP

�� = �0 +�1

�1 + ��+

�2

�1 + ��+

�3

�1 + ��+⋯+

��

�1 + ��

Como já comentado, havendo diversas alternativas de

investimentos propostas para a aplicação de um mesmo capital, deverá ser adotada a mesma TMA ≡ i para o calculo do valor presente líquido de cada uma delas. Isto porque, não há sentido financeiro comparar valores presentes associados à alternativas de investimentos descontados à taxas distintas ou, noutras palavras, remunerados segundo parâmetros diferentes.

Obtidos os valores presentes de cada alternativa, as mesmas podem ser hierarquizadas segundo o aumento de

riqueza quer propiciam. Basicamente, a alternativa que apresentar o maior incremente de riqueza será considerada como a mais interessante. A taxa Interna de Retorno – TIR, corresponde à taxa que zera função valor presente líquido. Ou seja, é a raiz do polinômio representado pelo respectivo fluxo de caixa. 5.5.2 – Definição da TMA. A TMA pode ser definida sob a ótica do investidor ou da empresa. a) Se investidor: Neste caso, o investidor singular determina, a seu talante, a taxa de remuneração desejada para o capital disponível a ser investido. b) Se empresa: No caso das empresas, a TMA corresponde à

remuneração desejada pelos acionistas, sendo expressa pelo custo médio ponderado do capital da empresa. (GITMAN, 2001).

O custo médio ponderado de capital expressa o custo de todos os capitais mobilizados para financiar a empresa, a saber: capital próprio, capital de terceiros e financiamentos de curto e longo prazos. Matematicamente e partindo dos balanços da empresa pode-se, também, definir a TMA como:

FLP

PL

Lucro

iTMA

+=≡



Em que: o lucro é definido pelo valor registrado no DRE; o PL, Patrimônio Líquido, corresponde ao total do patrimônio líquido registrado no Passivo; e, o FLP, representa o valor total dos financiamentos de longo prazo registrados em contas do exigível de longo prazo.

Considerando o balanço de uma empresa expresso nas Tabelas 5.1 e 5.3, o valor da TMA ≡ i, é dado por:

� =195.293,60

1.509.358,23 + 71.104,34= 0,1236 → 12,36%

Pelo exposto, o custo de capital ou taxa de desconto da

empresa é de 12,36 %. 5.6 – A TIR – Taxa Interna de Retorno A Taxa Interna de Retorno – TIR pode ser definida sob duas óticas: a. Matematicamente, corresponde àquela taxa que zera a

função Valor Presente Líquido. Logo, é a raiz da função Valor Presente Líquido.

b. Financeiramente, ela índica a maior rentabilidade que um

projeto pode oferecer.

3 - DRE R$ 3.1 Receita Operacional Bruta + 956.712,25 3.2 Deduções à Receita (Tributos + Descontos)

3.2.1 - Tributos 3.2.2 - Descontos

(-) 147.764,69 140.376,26

7.388,43 3.3 Receita Operacional Líquida = 808.947,56 3.4 Custo de Produtos Vendidos (-) 470.370,65

3.4.1 – Produto A 3.4.2 - Produto B 3.4.3 – Serviços Técnicos

92.630,65 178.230,00 199.510,00

3.5 Lucro Operacional Bruto = 338.576,91 3.6 Despesas Operacionais. (-) 40.267,59

3.6.1 - Despesas com Vendas 3.6.2 - Despesas Gerais e Administrativas

1.237,04 39.030,55

3.7 Lucro Operacional Líquido - EBITDA2 298.309,32 3.8 3.9

3.10

Depreciação Amortizações Resultado Financeiro 3.10.1 – Juros Recebidos (+) 3.10.2 – Juros Pagos (-)

(-) 5.500,00 (-) 4.166,51 (-) 2.728,54

4.194,35 6.422,89

3.11 Lucro Operacional = 254.531,74 3.12 Resultado Não Operacional

3.12.1 - Receitas Não Operacional 3.12.2 - Despesas Não Operacional

+ 5.004,01 7.004,01

(-) 2.000,00 3.13 Lucro Antes do Imposto de Renda - LAIR = 259.535,75 3.14 Provisão p/ o Imposto de Renda – 15%+10% (-) 40.883,93 3.15 Contribuição Social s/ o Lucro Líquido – 9% (-) 23.358,22 3.16 Lucro Líquido do Exercício = 195.293,60

Tab.5.1 – Modelo de Demonstrativo de Resultados do Exercício

(2) EBITDA = Earnings before interest, tax, depreciation, and amortization. Esta é a expressão utilizada em língua inglesa para o lucro operacional líquido. Ou seja, o lucro antes da incidência de juros, taxas, depreciação e amortização.



1 - Ativo R$ 1.1 - Circulante 712.823.08

1.1.1. Caixa e Bancos 1.1.2. Recebíveis de Clientes 1.1.3. Aplicações Financeiras 1.1.4. Prov. Devedores Duvidosos (-) 1.1.5. Impostos a Compensar 1.1.6. Estoques Produtos Acabados 1.1.7. Estoques de Produtos em Elaboração 1.1.8. Estoques de Matérias Primas 1.1.9. Adiantamentos a Fornecedores 1.1.10. Contratos de obras

44.653.73 121.033.96 23.872,07

4.430,51 1.037,12

220.000,00 57.197,70 70.934,41

9.663,58 160.000,00

1.2 – Não Circulante 1.275.176,92 1.2.1 – Realizável em Longo Prazo 216.408,27

• 1.2.1.1 – Créditos em Coligadas • 1.2.1.2 – Financiamentos a clientes • 1.2.1.3 - Contratos futuros

13.085,87 103.322,40 100.000,00

1.2.2 - Investimentos 430.347,00 • 1.2.2.1 – Empresa A • 1.2.2.2 – Empresa B

130.347,00 300.000,00

1.2.3 – Imobilizado 578.282,57 • 1.2.3.1 - Imóveis • 1.2.3.2 - Equipamentos • 1.2.3.3 - Veículos • (-) Depreciações

370.000,00 100.282,57 129.600,00 21.600,00

1.2.4 - Intangível 50.139,08 • 1.2.4.1 - Diferido • 1.2.4.2 - Patentes

30.139,08 20.000,00

1.4 - Total do Ativo 1.988.000,00 Tab.5.2 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas de Ativo

2 - Passivo R$ 2.1 - Circulante 294.039,54

2.1.1. Bancos 2.1.2. Fornecedores 2.1.3. Obrigações Fiscais a Recolher 2.1.4. Encargos Sociais 2.1.5. Encargos Trabalhistas 2.1.6. Outras Obrigações 2.1.7. Provisões

61.325,00 165.895,52 10.181,46 11.283,18 10.500,00 30.070,75

4.783,63

2.2 – Exigível de Longo Prazo 184.602,63 2.2.1. Financiamentos a Pagar 2.2.2. Débitos em Coligadas 2.2.3. Contratos p/ Entrega Futura

71.104,34 13.469,61

100.028,68

2.3 – Patrimônio Líquido 1.509.358,23 2.3.1. Capital Social 2.3.2. Reservas de Capital 2.3.3. Reservas de Lucro

1.156.110.00 95.545,85 62.408,78

2.3.4. Lucros Acumulados no exercício 195.293,60 2.4 - Total do Passivo 1.988.000,00

Tab.5.3 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas de Passivo



5.7 - Previsão de Fluxo de Caixa. 5.7.1 – Modelo de Procedimento. A definição do fluxo de caixa a ocorrer em cada período vindouro é um processo de previsão dos recebimentos e pagamentos futuros, investimentos a serem realizados, tributos a serem pagos, deduções fiscais e depreciação dos ativos; e do valor residual disponível ao final do projeto. Um modelo de procedimento recomendável para a elaboração dos fluxos de caixa projetados é seguir modelo contábil do DRE – Demonstrativo de Resultado do Exercício.

O exemplo da Fig.5.8, mostra a composição dos fluxos de caixa projetados, relativos aos meses de agosto a dezembro de 2.011, e que permite analisar, o fluxo de caixa projetado e, também, o nível de disponibilidade de caixa a cada período.

O objetivo, então, é projetar: os recebimentos ou

faturamentos futuros, preferencialmente em função da capacidade de produção prevista para cada exercício; os custos diretos de produção; as despesas indiretas sejam elas administrativas ou de vendas; os investimentos em ativos e em capital de giro; a depreciação e a os possíveis incentivos fiscais.

Há que ressaltar que o valor residual dos investimentos

resultante da venda dos ativos ao final do projeto, acrescido do retorno do capital de giro devido ao encerramento da produção, não constam do DRE. Porém, seu valor é considerado no ultimo período do fluxo de caixa.

Analisando o Fluxo de Caixa da Fig.5.8, verificam-se:

fortes investimentos nos quatro primeiros meses; dois fluxos

Fluxo de Caixa R$ mil R$ mil R$ mil R$ mil R$ mil Exercício 2.011 Ago Set Out Nov Dez 1 - Recebimentos 326 523 550 606 630 Vendas a vista 42 137 144 159 170 Contas a Receber 149 219 230 254 260 Outros 0 80 84 92 90 2 - Tributos 55 87 92 101 110 3 - Custos de Produção 80 129 136 150 155 Insumos 32 52 48 60 65 Mão de Obra + ES 38 61 56 71 71 Eletricidade 10 16 15 19 19 4 - Despesas 203 226 245 260 268 Fornecedores 77 89 106 118 124 Honorários 50 60 60 60 60 Salários 29 30 32 35 35 Aluguel 25 25 25 25 25 Impostos 22 22 22 22 24 5 - Depreciação +8 +12 +12 +12 +12 6 – Lucro do Exercício -4 93 89 107 109 7 - Investimentos - 97 - 32 - 94 - 94 0 Equipamentos 67 32 94 94 0 Capital de Giro 30 0 0 0 0 8 - Fluxo Caixa Líquido -111 61 -5 13 109 9 - Saldo Caixa Anterior 145 34 95 90 103 10 - Saldo Caixa - Final 34 95 90 103 212

Fig.5.8 – Previsão de Fluxo de Caixa



negativos nos meses de agosto e outubro; mensalmente, um crescente nível de caixa.

5.7.2 – Informações Gerenciais.

Disponível a previsão dos fluxos de caixa, o gestor dispõe de informações para avaliar os saldos disponíveis de caixa e, deste modo, ter condições para: i) Analisar a viabilidade e o comportamento dos fluxos

financeiros de projetos; ii) Verificar a necessidade de investimento em capital de giro

quando a projeção do fluxo de caixa do projeto prever a ocorrência de saldo negativo;

iii) Estabelecer a época e a oportunidade de implantar novos projetos ou aplicação de capital em havendo previsão de expressivo saldo de caixa.

iv) Conhecer o saldo final de caixa ao fim de cada período ao se somar o saldo de caixa existente em período anterior.

O calculo do fluxo de caixa para cada período, k, em

função da quantidade a ser produzida, q, é realizado utilizando o seguinte modelo matemático:

Fk = Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) – Invest. + Deduções + V. Residual 5.8 – Tributos e Depreciação.

A importância em conhecer a influência dos tributos e da depreciação na composição de um fluxo de caixa e, em consequência no calculo do Valor Presente é porque os

tributos reduzem o valor do fluxo de caixa. E, a depreciação, ou qualquer outra dedução fiscal, aumentam o fluxo de caixa pois reduzem tributos a pagar.

5.8.1 – Influencia dos Tributos.

No Brasil, os tributos influenciam o Fluxo de Caixa de dois modos: i) diretamente sobre o faturamento; ii) sobre o lucro do exercício – LAIR. Recomenda-se analisar o exposto no exemplo da Tab.5.1 – Demonstrativo do Resultado do Exercício, onde é mostrada a incidência dos tributos.

Comentando a seguir a influencia dos tributos no fluxo de caixa: I – Tributos sobre o faturamento. Os tributos mais comuns incidentes sobre o faturamento são: o ISS, de competência municipal; o ICMS, de competência estadual; o Pis/Pasep, o COFINS e o IPI, estes de competência federal. Considerando que esses tributos incidem diretamente sobre o faturamento, eles podem ser tratados na formação do fluxo de caixa como sendo uma despesa operacional. I – Tributos sobre o lucro. Incide sobre o lucro operacional o Imposto de Renda - IR e a Contribuição Social Sobre o Lucro Líquido - CSLL.



Genericamente e inexistindo tributação, um fluxo de caixa é dado pelo seguinte modelo:

Fk = Lucro – Inv + Ded + VR Ao considerar o IR e a CSLL, eles atuam sobre o lucro e também sobre a depreciação, pois ela melhora o Lucro Líquido do Exercício. Denominando a soma das alíquotas dos tributos incidentes sobre o faturamento de αFAT, o modelo acima pode ter a seguinte notação:

Fk = Lucro - αFAT Lucro - Inv + αFAT Ded + VR

Fk = (1 - αFAT) Lucro - Inv + αFAT Ded + VR

Fk = (1 - αFAT) Σ Rec(k) - (1 - αFAT) Σ Desp(k) – Inv(k) + αFAT Ded(k) + VR(k)

5.8.2 – Influencia da Depreciação.

A depreciação é uma dedução fiscal que permite abater a cada exercício fiscal, como se despesa fosse, um percentual do investimento efetuado em ativos, a exceção de terrenos. Este procedimento permite reduzir o imposto de renda a pagar, fato que melhora o lucro do exercício. O valor da depreciação é função do tempo de vida fiscal do bem, definido pela legislação. Existem vários métodos de depreciação. Porém, será considerado o método comumente aceite pela Legislação Brasileira.

Assim sendo, a depreciação, d, é dada pela razão entre o valor do bem conforme lançado na conta do Ativo Imobilizado e o tempo de vida do mesmo, conforme estabelecido na legislação fiscal do imposto de renda.

d =ValordoBem

TempodeVida

A depreciação participa da expressão do fluxo de caixa, Fk, conforme modelo do item anterior, sendo o valor da depreciação do período multiplicado pela alíquota do Imposto de Renda incidente sobre o DRE da empresa. 5.9 – Classificação dos Investimentos. Os investimentos podem ser classificados segundo a variação dos fluxos de caixa ou conforme a disponibilidade dos recursos para investimentos. 5.9.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. Segundo a variação do sinal dos fluxos de caixa os investimentos podem ser divididos em:

• Investimento Simples ou Empréstimo; • Investimento Convencional; • Investimento Não Convencional.

a) Investimento Simples ou Empréstimo. O investimento simples ou empréstimo é caracterizado por apresentar uma única variação de sinal em seu fluxo de



caixa. Ver o projeto nº S1 da Fig.5.9 – Tipificação dos Fluxos de Caixa. Além disto, o primeiro fluxo de caixa deve ser caracterizado por uma saída de caixa, ou seja, um movimento negativo, seguido por uma série de fluxos de caixa positivos. Este caso é o que comumente ocorre em operações de crédito pessoal ou empréstimos à pessoa física, tais como: aquisição de um bem de consumo durável a exemplo de eletrodoméstico e automóvel financiado pelo comércio varejista; empréstimos pessoais realizados por bancos comerciais.

Investimento Simples ou Empréstimo Nº F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 S1 - + + + + + + + + Investimento Convencional F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 C1 - - - - + + + + + + + + + C2 - - + + + + + + + + Investimento Não Convencional F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 N1 - - - + + - - + + + - - + N2 - - + + + - + - + + + + - N3 + + + - - - - - - + - + +

Fig.5.9 – Tipificação dos Fluxos de Caixa b) Investimento Convencional O investimento convencional é definido como todo aquele em que ocorre, inicialmente, apenas fluxos de saídas de caixa (-) e, a seguir, períodos de entrada de caixa (+).

Neste tipo de investimento, a exemplo do anterior, ocorre apenas uma variação de sinal no fluxo de caixa. Ver os projetos n.º C1 e C2 da Fig.5.9. Como exemplo de investimento convencional tem-se a implantação de algum complexo fabril, quando o faturamento acontecerá após o período de implantação do mesmo, o que ocorre em projetos de hidrelétricas, siderúrgicos ou usinas beneficiadoras de leite. c) Investimento Não Convencional O investimento não convencional distingue-se dos anteriores por apresentar mais de uma variação de sinal em seu diagrama de fluxo de caixa. Como exemplo de investimento não convencional tem-se o projeto nº N1 disposto na Fig.5.9 – Tipificação dos Fluxos de Caixa, que apresenta cinco variações de sinal no fluxo de caixa.

{-FO, -F1, - F2, +F3, +F4, - F5, - F6, +F7, + F8, +F9, - F10, - F11, + F12} Verificando os exemplos dados na Fig.5.7, os fluxos de caixa iniciais podem ser tanto positivos como negativos. É uma situação muito comum de ocorrer na indústria da construção civil, quando ocorrem investimentos pré e durante a fase de construção, entremeados pela venda de unidades, sejam terrenos ou apartamentos. Fato que propicia a existência de fluxos de caixa negativos entremeados por positivos, o que exige cuidado quanto à decisão e escolha de investimentos neste setor.



5.9.2 – Disponibilidade de Recursos. Os investimentos podem ser classificados, também, segundo a restrição de capital o que permite analisar a viabilidade de sua realização. São classificados em três categorias:

• Investimentos Independentes, • Investimentos Dependentes, • Investimentos Mutuamente Exclusivos.

a) Investimentos Dependentes. Diz-se que uma proposta de investimentos é economicamente dependente de outra quando os fluxos de caixa esperados da primeira proposta podem sofrer influência com a aceitação da segunda. b) Investimentos Independentes. Dois investimentos são considerados independentes quando é tecnicamente viável realizar um deles, seja ou não aceito o segundo. E, que as receitas líquidas esperadas do primeiro não são afetadas pela aceitação ou rejeição do segundo investimento. Havendo disponibilidade financeira para a execução simultânea de dois projetos distintos, não há necessidade em compará-los. Mas, simplesmente, verificar se ambos promovem o aumento de riqueza dos proprietários. c) Investimentos Mutuamente Exclusivos

Dois investimentos são ditos mutuamente exclusivos quando as receitas oriundas do primeiro cessarem, completamente, havendo a aceitação do segundo. Ou, quando for tecnicamente impossível implantar um deles em havendo a decisão de executar o outro. 5.10 - O processo de decisão. Todas as decisões sobre análise de investimentos ou propostas de projetos de investimentos são tomadas a partir do desenvolvimento de propostas de alternativas de investimentos. Inexistindo alternativas, não há opção de escolha e, portanto, não há decisão a tomar. Quando se comparam alternativas de investimentos, apenas as diferenças existentes entre elas é que são relevantes para análise. Como as alternativas competem entre si, uma serve de referência para a outra no processo de seleção. Ao ser considerada a competição de alternativas, o objetivo é definir o projeto vencedor, aquele que mais aumenta a riqueza dos proprietários. Isto quer dizer que são comparados, apenas, projetos mutuamente exclusivos. Decisões separáveis devem ser tomadas separadamente. Não há por que considerar num processo de decisão projetos definidos como independentes com aqueles mutuamente exclusivos. É preciso manter a visão clara e não entrar em comparações irrelevantes e que perturbem um processo decisório.



Os métodos discutidos neste livro permitem amparar a

tomada de decisão financeira ao estabelecer parâmetros capazes de permitir a comparação e hierarquização das alternativas de investimento segundo o incremento de riqueza proporcionado por cada uma das alternativas ou a rentabilidade das mesmas. São eles:

• Valor Presente Líquido; • Retorno do Capital ou Pay-Back; • Custo Anual Equivalente ou Beneficio Anual

Equivalente; • Taxa Interna de Retorno.

É muito possível que a adoção de um único método,

isoladamente, não satisfaça as exigências de um bom processo decisório.

Visando melhor amparar o processo decisório,

recomenda-se ao analista que elabore a hierarquização das alternativas considerando, conjuntamente, vários dos métodos apresentados e não se limitar a simples adoção de apenas um deles, procedimento que vem a enriquecer a qualidade de sua analise.

5.11 – Exercícios. 5.11.1 – Exercícios Resolvidos. a) Calculo do Valor Presente e Futuro.

Calcular o Valor Presente e o Valor Futuro do projeto abaixo, representado pelo seu Diagrama de Fluxo de Caixa. A Taxa de Desconto é de 10% por período. 1º - Calculo do Valor Presente.

%10632FVP

)i1(1

490)i1(

1580VP ¬×

+×+

+×=

∴ VP = 580 × 0,8264 + 490 × 0,7513 × 4,3553 = 2.082,66 $

2º - Calculo do Valor Futuro.

VF = 580 (1+ 0,10) 7 + 490 × FVF (6; 10% ) ∴ VF = 580 × 1,9847 + 490 × 7,7156 = 4.931,77 $

É importante lembrar, que o Valor Futuro é dado no 9º período, coincidentemente com o ultimo período do fluxo de caixa. 5.11.2 - Exercícios Propostos.

R$ 490,00/período

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 per.

580

R$



c. Calcular o valor presente e o valor futuro do projeto representado pelo diagrama dos fluxos de caixa abaixo. Adotar a taxa de 10% ao mês como custo de oportunidade.

b) Determinar o valor presente de um projeto com horizonte de

quatro anos, cujos dados estão relacionados no quadro abaixo. Individualizar o que é receita, despesa ou investimento.

item Valor R$ mil Investimentos capital de giro 3.250,00 Salários diretores/mês 8.000,00 Salário pessoal da produção/mês 12.500,00 Salário pessoal administrativo/mês 7.500,00 Previdência Social/mês 5.900,00 Material de consumo/mês 900,00 Matérias primas p/ 4 meses. 6.900,00 Recebimentos diversos/mês 6.000,00 Venda de produtos/mês 33.000,00 Venda de equipamento 3.400,00 Aluguel de Terreno/mês 4.000,00 Aquisição de Máquina 3.000,00 Investimentos em imobilizado podem ser vendidos por 25% do valor de

aquisição findo o prazo do projeto. c) Calcular o valor presente de um projeto cujas características

operacionais estão relacionadas a seguir. Sabe-se que:

− O tempo de vida do projeto foi estimado em sete anos; − A taxa de mínima atratividade adotada é de 15% ao ano; − Os dados relacionados no Quadro 1 mostram o

percentual de utilização da capacidade instalada em cada ano;

− A previsão de vendas evoluirá segundo as estimativas expressas no Quadro 2.

Quadro 1 – Informações Contábeis Valor R$ mil Investimento inicial 240.555,00 Salários diretores/ mês 8.000,00 Salário pessoal da produção/mês 18.500,00 Salário pessoal administrativo/mês 3.500,00 Previdência Social - mês 3.900,00 Material de consumo - mês 1.150,00 Matérias primas - mês 7.900,00 Venda de produtos c/ capacidade total – mês 63.000,00 Valor residual do item 1, Investimento. 48%

Quadro 2 - Previsão Anual de Faturamento sobre a Capacidade Instalada Total

Ano 1 2 3 4 5 a 7 Percent 40% 50% 60% 70% 100%

d) Uma empresa remunera seus ativos a uma TMA de 12% ao período, esta analisando um projeto de investimento



representado pelo respectivo fluxo de caixa projetado. Assim sendo deseja-se saber se a implantação deste projeto é viável para a empresa. Solicita-se, também, definir o fator de valor presente associado e o valor presente associado a cada fluxo de caixa, bem como traçar o diagrama de valor presente. Havendo, simplesmente, a soma dos fluxos de caixa projetados, o projeto parece viável por se mostra positivo em R$ 765,00. Ao ser descontado o fluxo de caixa de cada período a TMA de 12%, verifica-se que o projeto é financeiramente inviável pois seu valor presente líquido é de (-) 940,37 R$.

Período. Fluxo de Caixa $ n)i( +

×1

1 Valor Presente

$

0 -1.400,00 1 -1.000,00 2 -420,00 3 0,00 4 450,00 5 510,00 6 550,00 7 605,00 8 680,00 9 790,00 ∑ (+)765,00 (-) 940,37



6. Método do Valor Presente. 6.1 – Coerência de resultados. Ao se comparar alternativas de investimentos, os resultados obtidos devem ser compatíveis financeiramente. Para tanto, os seguintes procedimentos devem ser observados:

• Comparação projetos na mesma classe de risco; • Adoção da mesma taxa de desconto; • Comparação de projetos com idêntica vida útil; • Distinção dos projetos de longa duração ou grande vida

útil com projetos, com os demais projetos.

Estes procedimentos são analisados a seguir. 6.1.1 - Projetos na mesma classe de risco. A coerência dos resultados inicia-se ao se eleger para comparação projetos cujo risco seja equivalente, pois não tem sentido comparar alternativas muito distintas. Como exemplo, seja o caso de duas alternativas, a primeira, uma malharia situada no pólo têxtil de Santa Catarina - Brasil, a segunda, uma mina de ouro na Tanzânia. Facilmente se depreende que os riscos associados a cada uma das alternativas acima citadas tais como: local do empreendimento; política governamental; tipo de gestão; cultura da mão de obra; a legislação trabalhista de cada país;

enfim, o comportamento do mercado de cada uma delas, são muito distintos. Logo, estes projetos são incomparáveis. Assim sendo, a decisão sobre projetos de investimento deve ser realizada comparando alternativas que possuam certa semelhança.

6.1.2 - A mesma taxa de desconto.

Investidores, sejam eles institucionais ou pessoas físicas, adotam a TMA – taxa de mínima atratividade ou a TIR – taxa interna de retorno como parâmetro de decisão e de desconto dos fluxos de caixa. A TMA geralmente adotada em processos de decisão relativos a investimentos produtivos e a TIR quando da aplicação em investimentos financeiros ou em aplicações bursáteis (3). Assim sendo, quando comparam projetos dentro de uma mesma classe de risco adotam a mesma taxa de desconto como referencia. Seria ilógico adotar múltiplas taxas de retorno, ou seja, taxas distintas para cada projeto.

6.1.3 - Projetos com idêntica vida útil.

Ao se proceder a comparação de alternativas com distintas durações, há que haver a compatibilidade temporal entre elas, ou seja, projetos com idêntica vida útil.

(3) Bursátil, relativo a bolsas de valores ou de mercadorias.



Não há sentido financeiro comparar, simplesmente, um projeto que tenha duração t igual a n anos com outro que disponha de t=k anos de duração, sendo k≠n. A assertiva acima é amparada numa premissa da análise de investimento e no procedimento de reinvestimento de recursos livres comumente adotados por investidores. E, a premissa em questão recomenda eleger a alternativa que propicie a maximização da riqueza dos proprietários em longo prazo. O longo prazo, nesta situação de alternativas com distinta duração, é entendido como sendo o final do horizonte de planejamento, horizonte este definido pelo projeto de maior duração. Investidores, via de regra, ao disporem de recursos livres oriundos do término de outros investimentos, os reinvestem em outras alternativas disponíveis ou em alternativas semelhantes. Assim sendo, só se pode comparar projetos que apresentem a mesma vida útil. (Soto Costa & Attie, 1984). No item 6.3 serão discutidos diversos procedimentos capazes de compatibilizar os horizontes de alternativas de projetos que apresentem distintas vidas úteis. 6.1.4 - Distinguir projetos de longa duração. Projetos com previsão de vida útil demasiadamente longa, maior do que 15 ou 20 anos de duração, a exemplo de plantas de fabricas de cimento ou de usinas elétricas e mesmo parte de seus equipamentos como geradores e rotores, devem ter seus tempos de duração considerados de modo adequado.

Carece de sentido utilizar os procedimentos relatados

no item 6.3, pois estes artifícios são adotados para projetos com menor horizonte de vida útil.

Justifica-se esta falta de sentido, pois o tempo de

exploração se mostra suficientemente longo. Nesta situação, fica muito difícil, no presente, de serem elaboradas considerações e definidas premissas sobre outras oportunidades futuras de investimentos, dada a impossibilidade de prever, antecipadamente, o surgimento de novas tecnologias, os interesses dos proprietários ou o comportamento da economia a ocorrer em futuro muito distante

Assim sendo, se torna inverossímil qualquer previsão

quanto à reaplicação de recursos financeiros e continuidade de projetos sobre qualquer alternativa que será finalizada num tempo longínquo. Ressalva-se que a análise desta situação foge ao escopo deste curso, pela qual recomendamos consultar a bibliografia complementar. 6.2 – O Método do valor presente. 6.2.1 – Incremento de Riqueza.

O método do valor presente, também denominado de valor presente líquido, considera o valor da moeda no tempo, medido na data em que foi realizada a análise ou avaliação de um projeto.

Utiliza-se, também, a denominação de valor presente

líquido, pois cada alternativa deve ser expressa em termos de todas as receitas, custos, investimentos e benefícios fiscais e tributos nela incidentes, ou seja, de todas as entradas e saídas



de caixa, permitindo uma análise sobre o incremento de riqueza produzido.

O processo, como o próprio nome diz, visa determinar o

valor presente líquido associado a uma alternativa de projeto de investimento, parâmetro que exprime o incremento de riqueza propiciado a esta alternativa.

VP(p) = ∆ RIQUEZA

Dado a conceituação acima, o método do valor presente é compatível com a 1ª e a 2ª das premissas adotadas em investimentos de alternativas de projetos e expostas no Capitulo 1, o que o torna este método extremamente atrativo como instrumento de decisão.

O método favorece a decisão quanto à hierarquização de alternativas disponíveis para investimento de capital. E, especialmente recomendado para a decisão sobre investimentos produtivos. Enfim, o método é recomendado para ser utilizada em qualquer tipo de decisão financeira, especialmente naquelas cujo objeto seja a implantação de ativos produtivos, a exemplo de: implantação de unidade fabril completa, incorporação de edificações, nova linha de produção, campanha publicitária, etc. 6.2.2 - Decisão. Por definição, o valor presente líquido de um projeto de investimento qualquer p, corresponde à soma algébrica dos valores presentes associados aos fluxos de caixa integrantes do projeto, quando descontados a uma taxa de desconto i, sendo i ≡ TMA.

A TMA, por sua vez, corresponde àquela taxa que oferece a melhor remuneração a ser obtida por um fator de produção. Matematicamente, o valor presente líquido do projeto, então, é dado por:

∑= +

+=k

nn

n

)TMA(

FF)p(VP

10

1

Em que: F0 representa o fluxo de caixa no momento em que é efetuada a decisão ou o fluxo de caixa inicial; Fn um fluxo de caixa genérico a ocorrer num momento n, qualquer; VP(p) corresponde ao valor atual ou valor presente líquido associado ao projeto p; n o número de períodos integrantes do projeto ou horizonte de projeto; e, a TMA a taxa de desconto adotada pelo investidor como a rentabilidade desejada. Estabelecidos os fluxos de caixa, o horizonte do projeto e definida a TMA pelo proprietário, depois de calculado o VP(p) – Valor Presente Líquido utilizando o modelo acima podem ocorrer três situações:

• VP(P)=0; neste caso ocorre o que se denomina de indiferença de projeto. O investimento é remunerado à taxa tradicionalmente obtida, não causando aumento na riqueza do proprietário;

• VP(P)>0; este é o caso de projeto viável. O projeto aumenta a riqueza do proprietário em valor superior à remuneração tradicionalmente obtida;



• VP(P)<0; este é o caso de projeto inviável. Nesta situação, quando o projeto descontado à TMA apresenta um VP negativo, mostra que o projeto reduz o ganho tradicionalmente desejado.

No caso de haver a análise de um conjunto de alternativas mutuamente exclusivas, o critério de decisão deverá eleger a alternativa que apresentar o MAIOR valor presente líquido. Esse critério de decisão é coerente com o exposto na 1ª Premissa da matemática financeira, a que trata da maximização da riqueza.

O conceito de se adotar o método do valor presente líquido como medida do incremento de riqueza, pode ser facilmente entendido ao se analisar um projeto de investimento qualquer, P, que disponha, apenas, de um fluxo de saída de caixa inicial, F0, e de uma única entrada de caixa projetada, Fn. Ver Fig.6.1. Comentando as três situações possíveis de ocorrer: I - Quando VP(P)=0. Para que o valor presente líquido de um investimento seja zero, há que ocorrer:

011

0 =+

+−= ∑=

k

nn

n

)TMA(

FF)P(VP .

Nesta condição, o valor presente do retorno esperado é equivalente ao valor do capital investido. Esta situação configura um caso de indiferença financeira, pois, sob a ótica do investidor, a remuneração oferecida pelo projeto é equivalente a que vem obtendo tradicionalmente para a remuneração de seus ativos. Depreendem-se da assertiva acima dois fatos: 1º) a margem de retorno estabelecida, ou taxa de mínima atratividade é mantida sem haver acréscimo de riqueza além do habitualmente obtido;

F0

0 ...................

Fig.6.1 – Valor Presente Líquido

períodos

F

TMA%

VP(p) > 0 → Projeto Viável VP(P) = 0 → Projeto é Indiferente VP(p) < 0 → Projeto Inviável.

Critérios de Decisão



2º) o projeto foi descontado à maior taxa de remuneração que ele possa oferecer, taxa esta denominada de TIR e que, neste caso, é igual à TMA. Assunto a ser discutido no capítulo 9. Visando um melhor entendimento dos conceitos efetuados e uma análise do resultado obtido, a seguir é efetuado um exemplo numérico do caso em questão, atribuindo valores aos dois fluxos de caixa, F0 e Fn. Seja, então, uma empresa ou investidor que dispõe da importância de R$ 150,00 e que analisa os seus investimentos adotando uma TMA de 18% ao período. Ao ser aplicado este capital em um determinado investimento produtivo pelo prazo de cinco períodos, é previsto um retorno de R$ 343,16.

Descontado este fluxo de caixa de R$343,16 a TMA de 18%, obtém-se um valor presente de R$ 150,00.

Somado este valor ao investimento inicial o resultado

corresponde ao valor presente líquido do investimento efetuado, cujo valor é zero. Assim sendo, o investimento não propiciou um aumento de riqueza maior do que o tradicionalmente obtido pelo aplicador Ver Fig. 6.2 – Caso da Indiferença de Decisão.

0181

1634300150

1 50 =+−=+

+=),(

,,

)TMA(

FF)P(VP

nn

Aparentemente, como se pode constatar, o projeto é rentável já que apresenta um retorno bem superior ao investimento inicial de R$ 343,16.

Porém, ele não aumenta a riqueza do investidor já que

remunera o capital investido exatamente na porcentagem que o investidor vem obtendo tradicionalmente pela aplicação de seus recursos, ou seja, no valor da TMA de 18%. O investimento em pauta, sob a ótica do aplicador que deseja uma remuneração de 18% sobre o capital investido, simplesmente corrige o capital inicial a uma taxa igual a da TMA habitualmente praticada. Quando o valor presente líquido de uma alternativa de investimento for zero, não é o caso de abandonar pura e simplesmente a alternativa, pois ela pode ser a única oportunidade dentro da margem de risco desejada. Finalizando, quando ocorre o caso de VP(P)=0, projeto pode não propiciar um incremento de riqueza, mas remunera os ativos investidos à taxa habitualmente praticada, a TMA.

1 2 3

-150,00

150,00=VP

FIg.6.2 – Caso da Indiferença de Decisão

343,16



II - Quando VP(P)>0.

Considerando o modelo de calculo do Valor Presente:

∑= +

+=k

nn

n

)TMA(

FF)p(VP

10

1

Para que ocorra VP(P)>0, deve-se ter:

∑= +

<k

nn

n

)TMA(

FF

10

1.

Financeiramente, significa que o valor presente do retorno previsto, descontado à TMA, é financeiramente superior ao valor do capital investido. Nestas condições, fica caracterizado que o projeto produz um incremento de riqueza em proporção superior ao habitualmente obtido.

Logo, é uma situação que caracteriza a aceitabilidade do

projeto sendo o mesmo considerado viável, pois propicia um incremento de riqueza em valor superior aquele que vem sendo tradicionalmente obtido. Ver Fig. 6.3 – Caso da Aceitabilidade do Projeto. Exemplificando numericamente, seja um projeto que oferece uma projeção de retorno após cinco períodos no montante de R$ 395,00. Quando descontado este valor à taxa de 18% ao ano obtêm-se um valor presente de R$172,66. O valor presente líquido do projeto é calculado em R$ 22,66. Matematicamente, o calculo do valor presente líquido do fluxo de caixa é dado por:

$R,),(

,,

)TMA(F

F)P(VPn

n 6622181

0039500150

1 50 +=+−=+

+=

Como pode se constatar, o projeto é rentável e aumenta a riqueza em valor superior ao da simples correção do capital investido tendo como taxa de rentabilidade a TMA. Assim sendo, deve ser considerado como viável. III - Quando VP(P)<0. Para que ocorra VP(P)<0, deve-se ter:

∑= +

>k

nn

n

)TMA(

FF

10

1.

1 2 3

F0= -150,00

172,66=VP

395,00

Fig.6.3 – Caso da Aceitabilidade do Projeto



Nesta situação, o valor presente líquido do fluxo de caixa projetado descontado à TMA é inferior ao valor do investimento inicial. Configura-se o caso de rejeição do projeto, pois ele não remunera o investimento inicial. Noutros termos, o retorno previsto do investimento, do ponto de vista financeiro, é inferior ao do investimento inicial. Retomando o exemplo anterior e considerando uma projeção de retorno, após cinco períodos, no valor de R$ 320,00, o valor presente deste fluxo de caixa é de R$ 139,87.

Calculado o valor presente líquido do projeto, obtém-se um valor de investimento R$ (-) 10,13. Ver Fig. 6.4 – Caso da rejeição do projeto. Efetuando o calculo do valor presente líquido do fluxo de caixa:

$R,),(

,,

)TMA(

FF)P(VP

nn 1310

181

0032000150

1 50 −=+−=+

+=

Mesmo sendo previsto um retorno superior ao investimento inicial, ocorre uma perda financeira, pois ela não remunera o investimento efetuado, quando o retorno for descontado à taxa de mínima atratividade, ou seja, 18%. Logo, sendo o valor presente líquido associado ao fluxo de caixa projetado de um investimento um valor menor do que zero, ou seja, negativo, ele deverá ser considerado inviável. Os exemplos acima discutidos consideraram o caso de um projeto isolado. Os resultados obtidos podem ser facilmente visualizados e entendidos. É interessante notar que, nos três casos analisados, o ganho de capital é superior ao investimento inicial. Porém, segundo a remuneração desejada de 18% ao período pode ser ou não interessante ao aplicador realizar este investimento de capital.

Generalizando o caso analisado, quando se analisa projetos que apresentem uma seqüência de fluxos de caixa, especialmente em projetos não convencionais, torna-se o método do valor presente um forte instrumento para amparar a tomada decisão.

Isto porque, os resultados obtidos são de fácil

interpretação e levam em consideração a dimensão financeira do investimento ao invés de, simplesmente, um ganho econômico.

1 2 3 4 5 períodos

-150,00

139,87=VP

320,00

Fig.6.4 – Caso da rejeição do projeto



6.2.3 – Diagrama de valor presente. 6.2.3.1 – Traçado do Diagrama. O diagrama de valor presente é um forte instrumento para amparar a análise de decisão de um projeto conforme modelo da Fig.6.5.

Ele exprime, em diagrama cartesiano, a curva do polinômio associado ao fluxo de caixa quanto se determina em abscissas as taxas de desconto e em ordenadas o valor presente associado à cada taxa de desconto.

O diagrama permite visualizar o comportamento do fluxo

de caixa, o valor da TIR, fato importante, pois há casos em que o fluxo de caixa apresenta mais do que uma TIR. Fato este em que a análise do valor presente associado a uma determinada TMA deve ser analisada com cuidado. Escrevendo a expressão do valor presente liquido sob forma polinomial tem-se:

nn

)i(

F

)i(

F

)i(

F

)i(

FF)P(VP

+++

++

++

++=

11110

3

3

2

2

1

1L

O diagrama da Fig.6.5 é obtido ao descontar o fluxo de

caixa a varias taxas “i”.

Com o diagrama traçado pode-se verificar, claramente, o comportamento do fluxo de caixa, a taxa de desconto equivalente à TIR e o campo de viabilidade do projeto.

6.2.3.2 – Exemplo de Procedimento. Seja determinar o diagrama de valor presente

representativo de um dado fluxo de caixa, seja o caso de um projeto A, definido pelo seu conjunto de fluxos de caixa projetados, conforme abaixo.

FC(A) = { -1.200; 450; 400; 350; 300}

A função valor presente líquido deste fluxo de caixa,

expressa em forma polinomial, é dada por:

5 10 15 20

VP

≥0

$ - Valor Presente

Fig.6.5- Modelo de Diagrama

i

TMA

Este ponto define a TIR, a maior taxa

de remuneração de um projeto viável.



432 1

300

1

350

1

400

1

4501200

)i()i()i()i()A(VP

++

++

++

++−=

Calculando o valor presente para a função VP(A), considerando uma série de taxas de desconto pré-estabelecidas, obtêm-se os valores presentes expressos no quadro abaixo:

item Taxa de Desconto i(%)

Valor Presente Líquido ($)

1 0 300,00 2 3 200,78 3 6 112,02 4 9 32,31 5 10,31 � TIR 0,00 6 12 (-) 39,56

O diagrama de valor presente desta função VP(A) é efetuado ao se traçar um gráfico elaborado em coordenadas cartesianas, em que no eixo das abscissas tem-se o domínio das taxas de desconto. E, no das ordenadas, o domínio do valor presente em expressão monetária. No exemplo, o valor presente do fluxo de caixa descontado à taxa i=3% é dado por:

$,),(),(),(),(

)A(VP 78200031

300

031

350

031

400

031

4501200

432=++++−=

Lançando o par i(%)×VP($), dispostos na tabela, em diagrama cartesiano, chega-se à curva conforme exposto na Fig.6.6.

6.2.3.3 – Metodologia do VPL. A metodologia proposta para a elaboração de um diagrama de valor presente é a seguinte: 1º - Calcula-se o valor presente à taxa i=0. Este procedimento corresponde a desconsiderar o valor da moeda no tempo. Caso este valor seja igual ou menor do que zero, a alternativa deve ser descartada, pois não apresenta rentabilidade para qualquer taxa de desconto. Ela não apresenta ganho financeiro nem econômico; 2º - Arbitra-se uma taxa de desconto e desconta-se fluxo de

caixa à taxa arbitrada;




3º - Repete-se o processo definido no item 2º tantas vezes quanto o for necessário, de modo a resultar em uma curva a mais contínua e representativa possível da função polinomial desejada.

4º - O processo deve ser interrompido ao ser obtido um valor

presente menor do que zero. 5º - No ponto em que a curva cortar o eixo das abscissas, fica

definida a taxa interna de retorno – TIR.

Esta é a maior taxa de desconto, ou de oportunidade, que um projeto pode apresentar enquanto viável.

6.3 - Análise de Sensibilidade - Risco.


A análise de sensibilidade é uma técnica que possibilita verificar o domínio da viabilidade financeira de um projeto e, consequentemente, realizar uma análise do risco de sua implantação.

Para tanto, deve-se definir a máxima e a mínima capacidade ou quantidade de produção dentro da qual um projeto possa ser financeiramente viável. A técnica recomenda que se efetue o calculo do valor presente para cada situação limite, em função da quantidade a ser produzida.

n)i(Fn

)i(F

)i(F

)i(F

Fo)p(VP+

+++

++

++

+=11

3

1

2

1

1321

L

Fk =Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) – Invest. + Valor Residual

Partindo do princípio que cada nível de produção possa ser definido como uma alternativa, a priori, pode ocorrer três situações:

1º. Produção sob capacidade máxima; 2º. Produção sob a quantidade mais provável; 3º. Produção realizada sob quantidade mínima viável.

Elaborando, num mesmo diagrama cartesiano, o gráfico de

valor presente para cada uma das alternativas, pode-se estabelecer o campo de domínio financeiro do projeto. Ver Fig.6.7.

Assim, como primeira alternativa, considera-se a produção

sendo realizada sob capacidade máxima. Neste caso, adota-se como quantidade máxima de produção a capacidade que corresponda à capacidade instalada do projeto ou a máxima produção possível de ser efetuada com o mesmo.

Como segunda alternativa, ou seja, a quantidade mais

provável de ocorrer, o recomendável é adotar a quantidade de produção média historicamente utilizada pela indústria onde a empresa esta inserida.

A terceira alternativa, relativa à quantidade mínima de produção, deve corresponder àquela capacidade, qMIN, cujo valor presente líquido do fluxo de caixa ao ser descontado pela TMA seja zero. Matematicamente: VP f(qMIN) = 0.



A particularidade desta última alternativa é que a sua TIR corresponde à TMA da empresa. Noutras palavras, o valor do fluxo da caixa relativo à alternativa que adote a quantidade mínima de produção e que viabilize financeiramente o projeto, quando descontado à TMA da empresa, é zero. E, nesta situação, tem-se: TIR≡TMA. 6.3.2 – Domínio viável de produção. O objetivo deste item é mostrar um procedimento derivado do método do valor presente líquido que permite mostrar o domínio das quantidades de produção financeiramente viáveis, estabelecida uma TMA. O primeiro passo do processo é dispor do diagrama de valor presente de uma alternativa de investimento

considerando diversas quantidades a serem produzidas, conforme exposta na Fig. 6.7.

Como segundo passo, traçar a curva que contemple o domínio das quantidades viáveis de produção, quando estabelecida uma TMA. Ver Fig. 6.8. Para tanto, deve-se efetuar um corte no campo de viabilidade de um projeto na altura da TMA desejada. E, com os dados obtidos traçar um gráfico “quantidade versus valor presente”, em coordenadas cartesianas, mostrado na Fig.6.8. No citado gráfico da Fig.6.8, devem ser lançadas, em ordenadas, as quantidades a serem produzidas e em abscissas, o valor presente líquido de cada alternativa desenvolvida, descontada à TMA previamente estabelecida. Da análise da curva obtida depreende-se:

a) O limite inferior da curva indica o limite de viabilidade corresponde à quantidade mínima viável de produção, qMIN, caso em que a TMA=TIR.

Fig. 6.8 – Limites de viabilidade para determinada TMA.

VP f(qK)

qMIN qprov qMAX qK

VP

Quantidade Máxima

Quantidade

Provável

Quantidade Mínima

Fig. 6.7 – Campo de Domínio Financeiro

Corte p/ TMA

i1 TIRMIN i3 i4 i5



b) O limite superior corresponde à quantidade máxima de produção, qMAX , correspondente à capacidade instalada, quantidade esta em que o projeto oferece o maior valor presente líquido.

c) Se o projeto operar a uma capacidade de produção

entre a máxima e a mínima, apresentará um valor presente líquido maior do que zero. Logo, este é o domínio viável de produção.

6.4 – Aplicação. Uma empresa está estudando a aquisição de um sistema destinado à confecção de perfis moldáveis. O equipamento em questão produz perfis com 6,00 metros de comprimento sendo a capacidade instalada de produção prevista para 45 mil metros mensais. Dados disponíveis:

Item Valor Preço do sistema R$ 2.600.000,00 Vida útil (anos) 10 Valor residual R$ 260.000,00 Comprimento da peça (m) 6 Custo operacional (anual) R$ 1.100.000,00 Insumos (unidade) R$ 80,00 Preço de venda (unidade) R$ 125,00 Produção média 83,00% Capacidade Máxima (unidades) 45.000 Custo de oportunidade 14,00% ao ano

A vida média do equipamento em análise é de 10 anos e, vencido este período, poderá ser vendida a 10% do seu valor de aquisição. Como informação orçamentária, estima-se que ocorrerá um incremento no custo administrativo e de vendas da empresa na ordem de R$ 1,1 milhão por ano.

O custo direto de produção orçado em R$ 80,00 por unidade produzida. E, o investimento em ativos imobilizados no valor de R$ 2.600.000,00. Um levantamento efetuado no segmento de mercado em pauta indicou que as empresas vêm operando, em média, com 83% da capacidade instalada.

Porém, existe campo da expansão dado a inexistência de produção similar na região. E, que o preço de comercialização do produto é de R$ 125,00 por unidade. Informações oriundas da contabilidade da empresa indicam que ela vem remunerando os seus ativos à taxa de 14% a.a. Dado o exposto solicita-se:

a) A quantidade anual de produção, em metros, para que a aquisição seja viável;

b) O fluxo de caixa propiciado pelo projeto; c) O maior e o mais provável acréscimo de riqueza

propiciado pelo projeto; d) A elaboração de um diagrama lucro/produção; e) A confecção de um diagrama que mostre o campo de

viabilidade do projeto. Considerando que se deseja conhecer a quantidade a ser produzida, denominou-se de q, a variável respectiva.



Assim, o projeto será analisado sob três níveis possíveis de produção: produção mínima ou viável; produção máxima; e produção mais provável. a) Fluxo de Caixa do Projeto: b) Produção viável:

A quantidade mínima de produção que permita tornar viável o projeto, quando descontado à TMA da empresa, é aquele que zera a função valor presente líquido a ele associado. Nesta situação, o VP f(qMIN) = 0.

( ) ( ) ( )( )

014,01

000.260%14;10000.100.1%14;1080125000.600.2

10=

++⋅−⋅−+− FVPFVPqq

q = 35.222 peças O comprimento total dos tubos a serem produzidos é dado por: L = 6 × q = 211.332 metros/ano. c) Máximo acréscimo de riqueza:

A máxima produção de riqueza ocorre sendo possível produzir uma quantidade igual à capacidade instalada, durante todo o tempo de vida do projeto. A expressão abaixo exprime, algebricamente, o exposto no desenho da Fig.6.9.

( ) ( )( )

( )101401

00026014100001001

141000045801250006002

,

.%;FVP..

%;FVP...VPMAX

++⋅−

⋅⋅−+−=

VPMAX = 2.295.040,36 R$ d) Mais provável acréscimo de riqueza:

Esta situação ocorre em sendo possível produzir uma quantidade equivalente à capacidade esperada de produção durante o tempo de vida do projeto. Ou seja, 83% da capacidade instalada.

Quantidade Esperada = 45.000 × 0,83 = 37.350.


Fig. 6.9 – Fluxo de Caixa do Sistema de Perfis



( ) ( )( ) ( )101401

00026014100001001

141083000045801250006002

,

.%;FVP..

%;FVP,...VPMP

++⋅−

⋅⋅⋅−+−=

VPMP = 499.392,55 R$ e) Campo de Viabilidade do Projeto.

O diagrama de valor presente a seguir, Fig.6.10, mostra campo de viabilidade do projeto, com o desenvolvimento de cada alternativa de produção: em capacidade mínima de produção, quando a maior taxa de retorno corresponde à TMA; a capacidade mais provável; e a capacidade máxima, quando ocorre a utilização da capacidade instalada durante toda a vida do projeto.

Considerando as curvas de máxima e mínima

quantidade de produção mostradas na Fig.6.10 e, traçando uma reta perpendicular à taxa de 14%, se obtêm o campo de variação dos valores presentes das possíveis quantidades viáveis de produção.

f) Diagrama Lucro Produção

Dados de Produção Produção – em peças Lucro VPL – R$

35.222 0,00 37.350 499.392,55 45.000 2.295.040,36

Fig.6.10 – Campo de Viabilidade do Projeto



O diagrama da Fig.6.11, derivado do diagrama da Fig. 6.10, relaciona as quantidades de produção viáveis e os respectivos valores presentes líquidos considerando uma mesma TMA. Ele exprime todo o conjunto de quantidades variando de um limite qMIN= 35.222,44 unidades e um limite superior qMAX = 45.000 unidades se mostram viáveis considerando a TMA de 14,00% ao ano. Implantado o projeto e as quantidades produzidas e vendidas oscilando entre o valor mínimo e máximo citados, a empresa tem garantida a ocorrência de um positivo incremento de riqueza.

6.5 - Equalização de tempos de projetos. Como já comentado, para se comparar alternativas de investimentos com vidas úteis distintas, há que se adotar artifício que iguale os horizontes de projeto de todas as alternativas. O objetivo do artifício é suprir a lacuna de informações existentes quanto a possíveis fluxos de caixa entre os finais das alternativas, de modo lógico. Ver Fig. 6.12. Ao serem analisados investimentos mutuamente exclusivos, três situações podem ocorrer, sendo distintas as premissas propostas para igualar os tempos de projeto:

• Caso de reinvestimento em ativos semelhantes; • Caso de rigidez das alternativas; • Caso de outras oportunidades futuras.

6.5.1 – Reinvestimento em ativos semelhantes.

Neste caso ocorre o pressuposto da continuidade de vida ou produção do ativo em análise. Isto é, findo o período de vida do ativo, a firma reinvestira em outro ativo com características semelhantes à do ativo desmobilizado.

O horizonte de planejamento será, então, o mínimo

múltiplo comum das vidas das alternativas em comparação. A metodologia a ser utilizada no caso de reinvestimento

em ativos semelhantes será discutida no Capítulo 8 – Valor Uniforme Equivalente, que mostra um método de fácil aplicação quando as equalizações dos horizontes dos projetos se

0,00

500.

1.000

1.500

2.000

2.500.

35.222,44

Fig.6.11 - Quantidade de Produção x Valor Presente

37.350,00 45.000

Val

or P

rese

nte-

R$1

0³



mostram muito grandes, ou seja, muitos distantes da data atual. 6.5.2 – Caso de Rigidez das Alternativas. É considerado haver rigidez na continuidade de alternativas de investimentos quando não há previsão de manutenção na continuidade de um projeto ou na

impossibilidade de manutenção em operação do ativo em análise, pois não há sentido ou possibilidade técnica em continuar a exploração do ativo. Os exemplos clássicos desta situação são os investimentos em minas ou em poços de petróleo, quando esgotada a jazida os respectivos equipamentos de exploração ficam impossibilitados de serem removidos ou reaproveitados. Como o princípio a ser mantido é o de aumento de riqueza do proprietário, a equalização dos tempos de vida das alternativas em análise é feita considerando que, ao fim da vida útil de cada ativo, a firma reinvestirá os lucros oriundos do projeto que apresentar a menor duração. Estes lucros serão aplicados em ativos que rendam tanto quanto o valor da moeda no tempo até alcançar o período do projeto de maior duração.

O diagrama exposto na Fig. 6.13, mostra um modelo de diagrama de fluxo de caixa recomendado para o caso em análise.

Nesta situação, VF equivale à reaplicação dos lucros

obtidos com o projeto, equivalente ao Valor Futuro dos lucros do projeto de menor duração no momento “n”, momento em que ocorre o fim de utilização deste projeto.

E, Pt, o valor do fluxo de caixa atribuído ao projeto de

menor duração no momento “t”, momento este coincidente com o término do projeto de maior duração. Então: VF = Pj (1+i )j , variando j de 1 até “n” e sendo “i” a taxa de retorno adotada para o projeto. E,

0 1 2 3 .. . . . . . n

Projeto A FA(0) FA(1) FA(2) FA(3) FA(n)

0 1 2 3 . . . . ........ z-1 z

Projeto B FB(0) FB(1) FB(2) FB(3) FB(n-1) FB(n)

Fig. 6.12 – Alternativas com vidas úteis distintas.



Pt = (1+ i) (t-n)

Nestes casos duração de projetos com prazos rigidamente determinados, o processo de decisão deve ser efetuado através do método do valor presente, utilizando o artifício proposto.

Alerta-se que, neste caso, não cabe a utilização do método do Benefício Anual Equivalente, pois o mesmo pressupõe a repetição dos projetos, fato que é obstado pela própria caracterização dos projetos em pauta.

6.5.3 – Caso de Outras Oportunidades.

Neste caso, finda a vida do ativo ou o interesse em sua exploração, a firma tem interesse de considerar outras oportunidades de investimento disponíveis no futuro, tais como a mudança de sistema de produção, o lançamento de novos produtos ou mesmo a mudança de ramo. Ao analista de investimentos, nestes casos, recomenda-se criatividade e lógica ao utilizar a metodologia disponível.

Esta recomendação visa alertar quanto à possibilidade do processo de decisão transcender a área da Análise de Investimentos e haver necessidade ou possibilidade, para maior sofisticação e confiabilidade do processo decisório, do uso de algum processo de otimização. Assim sendo, recomendamos consultar a bibliografia que trata especificamente do assunto, pois foge ao escopo deste curso.

P(n-2) P(n-1) Pn Pt

Fig. 6.13 – Rigidez de Alternativas

VF

n-2 n-1 n t

n-2 n-1 n t-1 t

Período a Considerar



6.6 – Exercícios. a) Considerando as seguintes propostas de investimentos:

Qual a mais interessante? Adotar uma taxa de Descontos de 7% ao período.

b) José da Silva pensa alugar uma loja por R$ 24.000,00 mensais. Porém, fazendo alguns melhoramentos no prédio poderá alugar por R$ 31.000,00. Um orçamento de reforma apresentou um valor de R$ 600 mil. Sendo sua taxa de

atratividade mínima de 1,2% a.m., pergunta-se: seria financeiramente interessante a execução dos melhoramentos? c) Você atua profissionalmente numa firma de assessoria e consultoria técnico-financeira e lhe coube analisar a aquisição de um mesmo equipamento para dois clientes distintos. O equipamento em questão, novo, custa 250 mil reais e tem condições de oferecer receitas líquidas mensais na ordem de R$ 5,10 mil. Dada à evolução contínua da tecnologia, há previsão de utilizá-lo por cinco anos. É procedimento de empresas que atuam no ramo, substituir o equipamento antigo e o utilizar como entrada para a aquisição de outro mais moderno, de modo a manter o processo financeiramente viável. Sabe-se que equipamentos com cinco anos de uso custam o equivalente a 15% de um novo. Analise e comente o resultado do processo de aquisição para os seguintes casos:

- Cliente A, cujo custo de capital é de 7% ao ano; - Cliente B, cujo custo de capital é de 16% ao ano. (obs.:

Calcule em período anual). d) Explique porque é desnecessário levar em consideração o efeito inflacionário na análise do valor presente de um ativo produtivo, conhecida a projeção dos fluxos de caixa futuros, do horizonte de projeto e do custo de oportunidade. e) Uma empresa tomou emprestada uma importância no montante de R$ 30.000,00 por 60 dias, à taxa de 12% ao mês.



Ao receber o montante deste primeiro período aplicou 30% à taxa de 13,5% ao mês por 45 dias. O restante aplicou à taxa de 14% a.m., também por 45 dias. Deseja-se saber: • Qual o fluxo de caixa (montar) desta operação? • Qual o montante total destas duas últimas aplicações ao

final deste 2o período? f) Você é o diretor de uma construtora que atua a nível regional e esta analisando a realocação do escritório central da empresa, pois os custos operacionais estão crescendo muito, dado o incremento de sua carteira de serviços. Para tanto, foram desenvolvidas alternativas situadas em quatro cidades distintas, cujos custos envolvem o preço de terrenos, os custos de operação nas novas condições e a construção de instalações de apoio e oficinas necessárias.

Cidade Investimento R$

Redução Anual de Custos

Valor Residual R$

A 18,00 3,60 14,00 B 34,00 4,70 27,00 C 48,00 8,20 41,00 D 64,00 9,30 70,00

Valores em R$ 105 mil Atenção: considerar a redução anual de custos como uma entrada de caixa da empresa. Justifica-se este procedimento, pois com a mudança, esses recursos permanecerão no caixa.

Além disso, foi previsto um horizonte de 10 anos de utilização para as alternativas e os valores residuais dos investimentos realizados estão apresentados na tabela abaixo. Sendo a TMA praticada pela empresa estabelecida em 15% ao ano, definir qual das alternativas é, financeiramente, a melhor.

Solicita-se efetuar o processo de decisão utilizando o método do Valor Presente. E, traçar em um único gráfico, o diagrama de valor presente de cada alternativa. g) O executivo chefe de uma empresa distribuidora de concreto usinado esta analisando a modernização de uma das suas unidades. Essa unidade vem apresentando uma queda de produtividade. Devido à idade dos equipamentos, apresentam paralisações constantes e uma crescente evolução dos custos com manutenção. Para tanto, dois novos processos de fabricação foram considerados e que propiciam níveis de faturamento semelhantes. Sendo a taxa de oportunidade praticada pela empresa de 15% ao ano, deseja saber qual das alternativas é a melhor, considerando:

• Aquisição por compra a vista do equipamento; • Aquisição por financiamento com juros de 8% ao ano

e prazo de cinco anos. Adotar o método da prestação constante.

Investimento Processo Alfa R$

Processo Beta R$

Equipamentos 50.000,00 30.000,00 Custo Operacional Anual 13.900,00 18.300,00 Custo de Manutenção Anual 2.100,00 1.800,00 Valor Residual do Projeto 25.000,00 16.000,00 Vida Estimada em anos 10 10



h) Dado o fluxo de caixa representativo de um projeto, solicita-se: � Demonstrar que, se praticada a taxa de desconto de 12% o

projeto pode ser viável; � Verificar se praticada a taxa de desconto 14,6439%, o

projeto pode ser aprovado;

Fluxo de caixa Valor R$ Situação Fo - 255,00 Investimento inicial F1 - 95,00 Investimento no 1º período F2 80,00 Fluxo de caixa líquido F3 100,00 idem F4 120,00 idem F5 140,00 idem F6 160,00 idem

i) Deseja-se saber qual o mínimo valor residual de um equipamento usado, para que possa ser dado como entrada na aquisição de um similar, porém novo e que, financeiramente, o processo comercial seja viável. Para tanto, dispõem-se das seguintes informações:

• Custo de capital da empresa: 15% ao ano; • Vida útil do equipamento: 5 anos; • Receitas anuais líquidas: 7,00 mil reais; • Preço do equipamento novo: 30,00 mil reais.

j) Você como diretor técnico de uma empresa de engenharia deve decidir entre dois diâmetros de uma adutora necessária à implantação de uma pública; Com base nos dados apresentados no quadro a seguir, solicita-se:

- O monte o fluxo de caixa dos empreendimentos; - O calculo do Valor Presente (VP) de cada alternativa; - Decidir qual a alternativa a ser selecionada.

DISCRIMINAÇÃO ADUTORA

∅ = 1,00 m. ADUTORA ∅ = 1,20 m.

Custo Inicial (CI) R$3.000.000,00 R$5.000.000,00 Custo manutenção

anual (de 0 a 5 anos) 7%

do Custo Inicial 1%

do Custo Inicial Custo de

manutenção anual (de 5 a 15 anos)

10% do Custo Inicial

2% do Custo Inicial

Custo de revisão e manutenção

periódica

10% do Custo Inicial

no ano 5

2% do Custo Inicial

nos anos 5, 10 e 15 Receita

(de 0 a 5 anos) 25%

do Custo Inicial 16%

do Custo Inicial Receita

(de 5 a 15 anos) 25%

do Custo Inicial 18%

do Custo Inicial Período de cálculo

(anos) 10 15

Taxa de Mínima Atratividade (TMA)

12,0% 12,0%

k) O diretor da MiksCorp, empresa atuante na industria da telecomunicações e informática, após pesquisa de mercado, concluiu haver demanda para absorver o lançamento de um novo produto denominado TI-struvspro, equipamento com capacidade de atender a convergência digital dos diversos tipos de mídia, telefonia, GPS, tratamento de dados, etc. Dado o comportamento desse mercado, previu que um produto com as características do TI-struvspro teria uma vida comercial de sete anos.



Como a empresa estava com os seus recursos empenhados noutros investimentos e não teria capacidade financeira para investir neste novo produto, conseguiu suporte de um banco de investimentos. Assim sendo, verifique: 1º - a viabilidade do projeto dada as condições abaixo; 2º - o menor faturamento mensal possível, de modo a tornar o projeto viável. Condições: • A Mikscorp pratica um custo de capital de 15% ao ano; • Equipamentos do gênero podem ser vendidos, no final da

vida útil, a 18% do valor de um novo; • O diretor prevê receitas mensais na ordem de R$ 36 mil e

despesas operacionais de R$ 25 mil por mês; • A aquisição dos equipamentos de produção requer

investimentos iniciais no montante de R$ 1.200 mil; • A empresa dispõe de instalações físicas para instalação dos

equipamentos; • O BDE, banco de investimentos, propôs as seguintes

condições de financiamento: aporte do capital necessário à produção no fechamento do contrato a ser realizado na data de fechamento do contrato; prestações anuais, constantes e consecutivas, pagas anualmente a juros de 8% ao ano; prazo de pagamento de seis anos sendo dois de carência.

l) Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de equipamentos velhos e obsoletos.

Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas.

A primeira consistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $ 10.000, cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos, após os quais os equipamentos seriam sucatados, isto é, sem nenhum valor residual. A segunda proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35.000 para substituir os equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5.000. Esta alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor residual de $ 10.705 após dez anos. Sabendo-se que a empresa pratica uma TMA de 15% ao ano, qual das alternativas deve ser preferida pela gerência? (Contribuição Dr. Engº Oscar Ciro Lopes). m) Uma empresa mineradora recebeu duas propostas visando à aquisição de dois equipamentos de escavação necessários à exploração uma jazida mineral até a levar a exaustão.

Previsão dos Fluxos de Caixa

Equipamento Opção A Opção B Investimento Inicial - 4.000,00 -6.000,00

Ano 1 860,00 2.100,00 Ano 2 900,00 2.300,00 Ano 3 950,00 2.500,00 Ano 4 1.000,00 2.590,00 Ano 5 1.100,00 - Ano 6 1.200,00 -

Valores em R$ 10³

Sabe-se que: - A previsão dos fluxos de caixa líquido, anuais, de cada alternativa esta relacionada no quadro de previsão;



- O custo de oportunidade determinado corresponde a 1, 1714917 % ao mês; - Vencida a vida útil dos equipamentos, eles serão repostos. Pede-se: - Qual sua recomendação quanto ao melhor projeto sendo os fluxos de caixa definidos em períodos anuais; - Uma decisão quanto ao melhor projeto, definindo os fluxos de caixa em períodos mensais; n) Analise a viabilidade de investir em escritórios comerciais tendo por objetivo a cobrança de alugueis. Após levantamentos efetuados no mercado imobiliário dispõem-se das seguintes informações: - As empresas construtoras praticam um preço de vendas na ordem de 2,2 CUB/m². - Foram coletadas informações de três conceituadas empresas que atuam no mercado de construção e vendas de imóveis, expostas no quadro abaixo.

Empresa Padrão Área Sala

m² Custo

CUB/m² Aluguel mensal

R$ PrimeTop Alto 65,00 959,61 490,00 Nortecon Médio 48,90 679,82 350,00 Belafonte Baixo 36,95 604,88 270,00

- Como informação adicional, a taxa básica de juros estabelecida pelo BCB esta, na data da pesquisa, definida em 14,25% e há o entendimento no mercado que é adequada a remuneração de 12% ao ano para imóveis alugados.

o) Um investidor estudou detidamente várias companhias e suas ações ordinárias. Por sua análise concluiu que as ações de seis firmas são as melhores entre as muitas que examinou. Essas seis firmas representam praticamente o mesmo risco, e assim, ele deseja determinar a firma em que aplicará seu dinheiro. Ele planeja conservar as ações durante quatro anos, e exige uma taxa mínima de atratividade de 10% a.a. Que ações o investidor deve preferir (usar como método de decisão o VPL)? (Contribuição Engº Oscar Ciro Lopes, Dr).

Ações ordinárias

Preço por Ações

(em Reais)

Dividendo anual

por ação (em Reais)

Preço estimado ao final dos 4

anos (em Reais)

Petrocisa 23,75 1,25 32 Bragantin 45,00 4,50 45 Cauai 30,53 0,00 42 Enervale 33,48 2,00 40 Rechtam 52,55 3,00 60

p) Uma firma está estudando três alternativas mutuamente exclusivas como parte de um programa de melhoramentos na produção. Para tanto sabe-se que:

O valor residual, ao final da vida útil, é zero em qualquer uma das alternativas. Ao final da vida útil, cada alternativa poderá ser reposta por outra que apresenta custos e benefícios idênticos.

Sendo a taxa de mínima atratividade definida em 14% ao ano, qual será a alternativa que Você recomendará? (Contribuição Dr. Oscar C. Lopes).



Projeto A B C Custo instalado - $ 10.000 15.000 20.000 Benefício anual uniforme - $ 1.625 1.650 1.946 Vida útil - em anos 10 15 20

r) Um cliente solicitou sua ajuda para assessorá-lo na aquisição de um imóvel. Para tanto, lhe informou que, para adquirir a residência que hoje possui, foi necessário contrair uma dívida. Ele disse que, ao longo de um ano, com o objetivo de dar entrada na compra do imóvel, fizera três depósitos trimestrais numa conta de poupança de um banco que remunerava os seus depósitos a uma taxa nominal de 12 % ao ano com capitalização trimestral. Depósitos realizados nas seguintes datas:

Data dos depósitos Valor (em R$) 01/set/2000 6.500 01/dez/2000 9.500 01/mar/2001 14.000

Dado a poupança realizada deram entrada, no dia 01/jun/2001, na compra da residência. Disse, também, que o montante final dos depósitos correspondeu a 40% do valor da casa tendo sido necessário, portanto, financiar o restante. A dívida foi contraída nas seguintes condições: - Pagamento em 10 prestações mensais iguais. - Taxa de juros de 14% ao ano, capitalizados semestralmente.

Após o pagamento da terceira prestação, em

01/set/2001, Roberto após consulta ao banco, está pensando renegociar o saldo devedor nos seguintes termos: - O saldo devedor pago em 20 Prestações mensais iguais. - Taxa de juros de 16 % ao ano, capitalizados trimestralmente. Seu amigo, sabendo que você está no último ano de engenharia e conhecendo a sua grande habilidade para equacionar este tipo de problemas (montar o fluxo de caixa), fez as seguintes perguntas: • Qual a taxa efetiva anual que o banco pagou para os seus

depósitos e quais as taxas efetivamente cobradas no financiamento?

• Qual o valor da dívida contraída, ou seja, o valor financiado?

• Qual o valor do saldo devedor renegociado? • Qual o valor das prestações da dívida original e da dívida

renegociada? s) O gerente de uma empresa produtora de tecidos de decoração e papeis de parede, a WPP Ltda., está negociando com um banco um empréstimo cujo objeto é o desenvolvimento de um novo produto. Ele previu que, a época do lançamento do novo produto a empresa poderá incorrer em custos com pesquisa e desenvolvimento equivalentes a US $280.000,00 e supõe que este deverá ser o valor a ser contratado. O banco propôs um financiamento a ser amortizado em parcelas semestrais ao longo de cinco anos, adotando o Sistema de Amortização Constante e pactuada uma taxa de juro de 25% ao ano.



É entendimento da WPP Ltda. que o desenvolvimento do novo produto abre a perspectiva de ocorrer maiores ganhos futuros, em comparação com os produtos similares dos seus concorrentes. Entende, também, que os benefícios oriundos do lançamento do produto se farão sentir durante quarenta meses e que o produto, poderá ter uma renda superior em $30.000/mês em comparação com os dos concorrentes, durante os dez primeiros meses após o lançamento. Durante os dez meses subsequentes, a WPP Ltda. prevê uma renda mensal superior em $60.000,00. E, durante os vinte meses restantes, espera que o novo produto tenha conquistado uma parcela de mercado que apresente uma renda de $120.000 acima dos concorrentes. Admitindo que as estimativas da WPP Ltda. estejam corretas, informe: • Caso seja contratado o empréstimo, qual o valor da primeira

prestação? • Qual o valor da sexta prestação e qual o saldo devedor

imediatamente após o pagamento desta sexta prestação? • Qual será a taxa interna de retorno prevista para o projeto? t) Elabore o estudo de viabilidade para o seguinte projeto:

Sendo VOCE diretor técnico de uma empresa de construção civil, o Diretor Presidente de sua empresa lhe comunicou ser interessante analisar a implantação de uma nova fabrica para a produção de peças protendidas para estruturas de pontes. Para tanto, deseja saber qual a quantidade mensal mínima de produção para que o empreendimento seja considerado viável. Além disso, lhe

informou que o BNDES esta financiando equipamentos de forma vantajosa.

Sua assessoria lhe forneceu as seguintes informações:

1) Investimento em

Imobilizado R$ Condições

1.1 - Terrenos 100.000,00 1.2 - Edificações 120.000,00 1.3 - Estoques 75.800,00 1.4 - Equipamentos 240.000,00 Juros de 8% ao ano.

Financiamento em seis anos com dois de carência. Prestações constantes.

2) Custos Operacionais R$ 2.1 – Matérias Primas 3.500,00/ unidade 2.2 – Mão de Obra Direta 10.500,00/ mês 2.3 – Vendas – Adm. Central – Custos Indiretos 23.000,00/ mês 2.4 – Eletricidade 3.950,00/ mês 2.5 - Embalagens 90,00/ unidade

3) Informações Gerenciais Dados 3.1 – Taxa Mínima de Atratividade 1,1714917 % am 3.2 – Tempo de vida do produto 10 anos 3.3 – Preço de venda mínimo/médio 6.380,00 R$/unidade 3.4 – Impostos sobre a Renda 15,00 % 3.5 – Depreciação da Edificação 20 anos 3.6 – Depreciação dos Equipamentos 5 anos 3.7 – Impostos incidentes sobre o faturamento 10,50 %



4) Informações Estratégicas & Comerciais 4.1 – É pensamento estratégico do grupo vender as instalações após a vida do produto e não reinvestir em reformas ou up-grades industriais. 4.2 – Terrenos situados na área industrial, onde esta localizado o próprio da empresa, vem sofrendo uma valorização real de 5% ao ano. 4.3 – A perda de valor de edificações industriais do gênero da projetada para ser implantada acusa um valor de 70% em dez anos. 4.4 – Propostas das empresas fornecedoras de equipamentos daqueles em estudo informam que seu valor comercial decresce a taxa de 7,5% ao ano. 4.5 – Evolução do mercado: A previsão é que esse mercado cresça à taxa de 30% ao ano.



7. Método da Recuperação de Capital 7.1 - Introdução.

O método do Período de Recuperação de Capital, MRC,

é utilizado quando se deseja decidir a hierarquização de alternativas usando como parâmetro de decisão o menor tempo de retorno do capital investido. O método também é conhecido como Método de Recuperação da Capacidade de Investimento ou sob a terminologia inglesa, pay-back.

A intenção em adotar este método como parâmetro de

decisão é eleger a alternativa de investimento que propicie o retorno do capital investido no menor prazo possível, a fim de dispô-lo para aplicação em futuras oportunidades de investimento.

A metodologia adotada consiste em verificar o tempo de

retorno do capital inicialmente investido em cada alternativa disponível, a partir da soma acumulada dos fluxos de caixa.

O tempo de retorno indicara o grau de imobilização de

um capital, sendo que a alternativa a ser eleita será aquela que apresentar o menor tempo de retorno. Noutras palavras, o menor grau de imobilização do capital.

Justifica a adoção do método o entendimento dos

investidores que, quanto maior for o tempo de retorno do capital investido, maior será o grau de maturação do empreendimento e, em conseqüência, aumentará o risco associado ao projeto.

Isto porque, crescerá a incerteza associada à realização esperada dos fluxos de caixa futuros, exigindo um adequado nível de controle visando a efetiva realização do planejamento inicial.

Ao ser efetuada uma análise de hierarquização de

alternativas através do MRC, deve estar implícito que os fluxos de caixa estejam referenciados a uma moeda de poder aquisitivo constante. Sem esse cuidado, o resultado obtido poderá ser de parca utilidade.

O MRC pode, também, servir como critério de

desempate quando se efetua a hierarquização de alternativas e se utiliza o Método do Valor Presente Líquido. E, é de fácil entendimento que, em duas alternativas apresentando o mesmo Valor Presente Líquido, aquela que propiciar um retorno mais rápido do capital investido deverá ser a escolhida.

Deste modo, além de propiciar o mesmo retorno, o

capital inicialmente imobilizado estará disponível para outras aplicações futuras. Esta situação confere ao MRC a atratividade de ser utilizado como critério de hierarquização e desempate entre alternativas, subsidiariamente ao método do valor presente líquido. 7.2 - Metodologia. Pelo exposto, as alternativas de investimento deverão ser hierarquizadas iniciando por aquela que apresentar o menor tempo de recuperação do capital investido. A metodologia proposta será exposta ao se analisar o exemplo de dois projetos representados pelos valores



presentes de seus fluxos de caixa segundo o quadro a seguir, visando à facilidade de entendimento do leitor. Alerta-se que alguns autores efetuam o somatório dos fluxos de caixa desconsiderando o valor da moeda no tempo. Este autor, porém, entende que deva ser considerado o valor da moeda no tempo pois, em assim sendo, reduz-se a influência dos fluxos de caixa futuros que possam apresentar valores sensivelmente superiores aos iniciais e, também, maior risco em sua realização. No exercício da Tab.7.1, nas colunas discriminadas como Valor Presente dos Fluxos de Caixa, o valor aposto já expressa o valor presente de cada fluxo de caixa relativo ao período especificado, ambos descontados à mesma TMA. As colunas denominadas “Fluxo Acumulado”, indicam o somatório acumulado dos dados indicados nas colunas “Valor Presente – Fluxo de Caixa”.

No caso em pauta, para ambos os projetos ocorre a previsão dos dois projetos propiciarem idêntico incremento de riqueza, pois o VPL monta a R$ 250,00. Adotando como critério de decisão o MRC, o projeto a ser escolhido deverá ser o “A”, dado apresentar um retorno do capital inicialmente investido durante o 7º período, em comparação com o projeto “B” cujo retorno acontecerá no 10º período.

Assim sendo, realizado o Projeto - A, o investidor disporá do capital investido três períodos antes do que se adotar o Projeto – B, fato que reduz a incerteza sobre a realização dos fluxos de caixa em períodos futuros.

O ultimo fluxo acumulado indica o valor presente líquido dos dois projetos que monta a $250,00, e apresentam o mesmo valor.

Per

íodo

Projeto A Projeto B Valor

Presente Fluxo de

Caixa

Fluxo de Caixa

Acumulado $

Valor Presente Fluxo de

Caixa

Fluxo de Caixa

Acumulado $

0 -180,00 -180,00 -180,00 -180,00 1 -100,00 -280,00 -100,00 -280,00 2 -40,00 -320,00 -40,00 -320,00 3 +45,00 -275,00 +30,00 -290,00 4 +55,00 -220,00 +30,00 -260,00 5 +85,00 -135,00 +40,00 -220,00 6 +80,00 -55,00 +40,00 -180,00 7 +85,00 � +30,00 +50,00 -130,00 8 +60,00 +90,00 +50,00 -80,00 9 +40,00 +130,00 +50,00 -30,00 10 +60,00 +190,00 +60,00 � +30,00 11 +20,00 +210,00 +70,00 +100,00 12 +20,00 +230,00 +50,00 +150,00 13 +20,00 +250,00 +100,00 +250,00

VPL(A) 250,00 VPL(B) 250,00 Obs: os Fluxos de Caixa já estão representados pelo seu valor presente

Tab.7.1 – Recuperação de Capital Pelo exposto, fica demonstrado que o método do MRC adotado, em complementação ao do VPL, permite atender à exigibilidade do retorno do capital inicial. E, também, estabelecer como critério à tomada de decisão, a eleição de qual projeto produz o retorno do capital em menor tempo.



8. Valor Uniforme Equivalente 8.1 – Introdução.

A aplicação do método do valor uniforme equivalente é

mais recomendada quando se decide sobre aquisição de equipamentos cuja reposição seja efetuada periodicamente.

Assim, o MVU é adequado para amparar decisões

quanto à aquisição, seja por compra, financiamento ou aluguel (leasing), de equipamentos que executem idêntico trabalho.

O método permite, também, estabelecer o tempo ótimo

de comissionamento de equipamentos. Neste caso cada período de tempo analisado corresponde a uma alternativa de investimento distinta.

Em ambos os casos acima comentados, seja em

aquisição ou definição de tempo, o objetivo do processo é definir qual alternativa apresenta o maior benefício ou o menor custo equivalente no período.

Como exemplo de equipamentos a serem

periodicamente repostos cita-se: veículos integrantes de frota de serviços; equipamentos de terraplenagem; maquinas de solda; equipamentos de inserção automática; moldes para injeção, etc. É comum o processo ser expresso sob duas denominações distintas, adotadas quando se analisa custos ou faturamento em período anual.

No caso da análise envolver, predominantemente, custos, a metodologia é denominada de Custo Anual Equivalente - CAE. Caso se analise, predominantemente, faturamentos ou o resultado do processo for expresso em termos de lucro, o método leva a denominação de Benefício Anual Equivalente - BAE.

Sob qualquer das denominações acima citadas, o processo de decisão segue a mesma metodologia.

Adotando como nomenclatura: � BAE(p) = Benefício Anual Equivalente associado a um

projeto qualquer P; � CAE(p) = Custo Anual Equivalente associado a um projeto

qualquer P; � VUE(p) = valor uniforme equivalente da série, seja ela

expressa em termos de BAE ou de CAE. � F0 = fluxo de caixa inicial. � Sn ou S1 = serie de pagamentos iguais; � VP(p) = valor presente do projeto. � Pn; P2 ou P3 = fluxos de caixa referentes a pagamento

único; � VP(p) = somatório dos valores presentes dos fluxos de

caixa associados ao projeto P, ou seja, o seu valor presente líquido;

� Σ Rec (p)K = somatório das receitas associadas ao projeto p no período k;

� Σ Desp (p)K = somatório das despesas associadas ao projeto p no período k;

� Fk = fluxo de caixa associado ao projeto p no período k. � I(p)K = investimentos associados ao projeto p, realizados

no período k; � VR = valor residual associado ao projeto p, normalmente

considerado no ultimo período de vida do projeto.



A vantagem da adoção do MVU num processo de

decisão em que as alternativas disponíveis sejam repetidas periodicamente é quanto à facilidade de aplicação do método. Isto porque, matematicamente, o valor da série equivalente ao fluxo de caixa original ou a qualquer número de suas repetições é o mesmo.

Basicamente, a metodologia do valor uniforme

equivalente segue três etapas:

1º Estabelece-se o fluxo de caixa de cada alternativa disponível;

2º Calcula-se o valor presente das alternativas; 3º Calcula-se a série uniforme equivalente relativa ao

valor presente de cada alternativa. Ver Fig. 8.1 Alerta-se que a unidade da série representativa do valor uniforme equivalente associado ao projeto p, VUE(p), é dada em unidade monetária por período. E, que ela expressa em termos monetários, o custo médio incorrido ou o benefício médio propiciado por cada alternativa na unidade de tempo, considerando a vida estimada da alternativa. Como equação dimensional tem-se:

[ ] [ ][ ]período

$RVUE(p) =

Assim sendo, a unidade do VUE é dada em R$/mês, R$/ano, etc.

8.2 - Decisão

Dado um conjunto de alternativas em análise, a

hierarquização das mesmas ocorrerá quando comparados o valor da economia ou do retorno das respectivas séries equivalentes.

No caso de se efetuar uma análise de custos, a melhor

alternativa será aquela que apresentar o MENOR CUSTO

PERIÓDICO EQUIVALENTE. A literatura que versa sobre o assunto, comumente, denomina o processo de custo anual equivalente – CAE.

No caso de estar em análise, predominantemente, a

comparação de lucro ou faturamento propiciado pelas alternativas de investimento, a melhor alternativa será aquela que apresentar o MAIOR BENEFÍCIO PERIÓDICO EQUIVALENTE.

De modo idêntico ao efetuado no comentário anterior, a

literatura que versa sobre o assunto, denomina, comumente, o processo de benefício anual equivalente – BAE.

A confiabilidade do processo com a consequente

coerência de resultados será tanto maior quanto melhor for a apuração das receitas, despesas, investimentos, tributos e valores residuais associados a cada alternativa. O modelo matemático básico para a definição do valor uniforme equivalente, seja ele expresso em termos de BAE ou de CAE, associado a um projeto P, qualquer, é dado por:

11

1

−+

+××=n

n

)i(

)i(i)p(VP)p(VUE



Considerando a existência de duas alternativas de

investimentos, X1 e X2, e estando em julgamento Benefícios Anuais Equivalentes, sendo o BAE(X1) > BAE(X2), então será escolhida como a melhor a alternativa X1, desde que reconhecida a repetitividade do projeto.

No caso de estar em pauta uma análise de custos,

sendo o CAE (X1) > CAE (X2), então será considerada como alternativa mais interessante a X2, dado que os custos praticados são menores que a de X1, desde que reconhecida a repetitividade do projeto. 8.3 – Metodologia. A metodologia para determinar o valor da série uniforme equivalente, tanto em termos de BAE como de CAE, segue os seguintes procedimentos: 1º Passo: Elaborar o conjunto de fluxos de caixa do projeto;

Fk =Σ Rec (p)K - Σ Desp (p)K – I (p)K + VR(k) 2º Passo: Calcular o respectivo valor presente líquido;

n)i(Fn

)i(F

)i(F

)i(F

Fo)p(VP+

+++

++

++

+=11

3

1

2

1

1321

L

3º Passo: Calcular ao valor da série periódica equivalente. VUE(p) = VP(p) × FRC(n¬i%) Ou, em termos de variáveis características da série:

11

1

−+

+××=n

n

)i(

)i(i)p(VP)p(VUE

Como exemplo de aplicação, seja o projeto representado pelo seu fluxo de caixa, conforme expresso na Fig. 8.1, composto por uma série de pagamentos, iguais, periódicos e consecutivos, S1, e, também, outros dois fluxos representados por pagamentos únicos, P2 e P3.

1 2 3 4 5

Fig. 8.1 – Metodologia da serie uniforme equivalente

F0

S PP

ΣFC(

t 6 1

Valor Presente≡

Beneficio Anual



Neste caso a série anual equivalente será expressa em termos de BAE, pois dispõe, predominantemente, de entradas de caixa. 1º Passo – Levar todos os fluxos de caixa a valor presente;

64 1

3

1

231

)i(

P

)i(

P%)i;(FVPSFO)p(VP

++

++×+−=

2º Passo – efetuar o somatório dos valores presentes de todos os fluxos de caixa;

VP(p) = Σ { - F0 + VP(S1)+ VP(P2) + VP(P3)} 3º Passo – calcular o valor da serie uniforme equivalente, postecipada, relativa ao valor presente calculado no passo anterior.

BAE(p) = VP(p) × FRC(6¬i%) = M R$/período. 8.4 – Aplicação da Metodologia. Neste item é apresentada a aplicação da metodologia do VUE ao caso de produção de um novo produto. Para tanto, o processo de decisão considera duas alternativas de projetos que apresentam características de investimento e de custos operacionais distintos.

8.4.1 – Procedimentos.

A aplicação da metodologia do Valor Uniforme Equivalente

ao caso segue os seguintes procedimentos:

1º passo: define-se o diagrama de fluxo de caixa de cada

processo; 2º passo: calcula-se a série uniforme equivalente ao fluxo de

caixa inicial; 3º passo: calcula-se o valor presente de cada fluxo de caixa; 4º passo: calcula-se a série anual equivalente associada à

soma dos valores presentes dos fluxos de caixa definidos no passo anterior.

Neste caso, o resultado do processo se dará em termos de Benefício Anual Equivalente - BAE, já que são consideradas entradas e saídas de caixa associadas a cada processo.

5º passo: a decisão, então, elegerá o processo que apresentar

o maior benefício anual equivalente. 8.4.2 - Resolução do Caso – Novo Produto.

Uma empresa está estudando a produção de um novo produto. Para tanto dispõe de dois processos alternativos de produção cujas características estão abaixo especificadas.

Os equipamentos a serem utilizados são previstos para

serem repostos periodicamente, dado o desgaste contínuo e o alto valor do custo de manutenção e operação.

Considerando o custo de capital da firma de 7% a.a.,

calcular os custos anuais equivalentes.



item PROCESSO A PROCESSO B Investimento Inicial R$ 65.000,00 130.000,00 Valor Residual 0,00 30.000,00 Retorno Anual R$ 50.000,00 50.000,00 Custo anual de Operação

Fixo R$ 30.000,00

Variável Ver diagrama

Vida útil: 4 anos 6 anos

Resolvendo o problema: I – Processo A a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo A. Para este processo o diagrama de fluxo de caixa foi montado lançando, diretamente na escala de tempo, as entradas e saídas de caixa previstas.

b) Calculo do Benefício Anual Equivalente – BAE. Ao se analisar o fluxo de caixa deste processo, verifica-se que, pra a determinação do fluxo de caixa anual equivalente torna-se mais imediato calcular a série anual equivalente associada ao investimento inicial e somar esta, diretamente, aos demais fluxos de caixa, já que são uniformes. - Investimento Inicial:

Considerando que o investimento inicial corresponde à uma saída de caixa, será definido o seu custo anual equivalente.

CAE(A) = P× FRC ( 7%,4 )

CAE(A) = ( -65.000 ) × 0,2952 CAE(A) = -19.188 R$/ano.

Como se pode verificar no diagrama de fluxo de caixa, Fig. 5.7, não há necessidade em calcular os valores presentes dos custos anuais ou das receitas, pois já expressos em valores iguais, o que caracteriza uma série uniforme.



Com os dados acima, pode-se calcular a série uniforme,

anual, equivalente do Projeto A, expressa em ternos de benefícios – BAE.

Item BAE em R$/ano Investimento Inicial (-) 19.188,00 Custo Operacional (-) 30.000,00 Receitas (+) 50.000,00 Benefício Anual Equivalente do Projeto A (+) 812,00 R$/ano

II - Processo B a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo B. Os valores do fluxo de caixa relativos aos custos anuais de operação deste processo, que foram previstos como variáveis e crescentes, foram lançados diretamente no diagrama de fluxo de caixa. Neste caso, o procedimento de calculo seguido foi o de exprimir, tanto o investimento inicial, como os custos anuais

variáveis e o valor residual, em termos de série anual equivalente visando possibilitar a soma de todos os valores e definir o BAE do Processo B.

b) Cálculo do Custo Anual Equivalente do Projeto B: b1) Capital Inicial: Pi = 130.000 x FRC (7%,6)

Pi = - (130.000 × 0.2098) Pi = (- 27.274) R$/ano

b2) Valor Residual: R = S x FFC ( 7,6 ) = 30.000 x ( 0,1398 ) ∴ R = 4.194 R$/ano b3) Custo Operacional:

- Valor Presente S = ∑ × nii VFC

S = -21.000 ( 0,9346 ) - 22.000 ( 0,8734 ) - 23.000 ( 0,8163 ) -24.000 ( 0,7029 ) - 25.000 ( 0,7130 ) -26.000 ( 0,6663 )



S = - ( 19.626 + 19.215 + 18.775 +16.870 + 17.825 + 17.324 ) S = - 109.635 R$/ano

- Série Uniforme Equivalente:

Po = - 109.635 FFC (7,6) = = - 109.635 (0,2098) Po = - 23.001,00 R$/ano

b4) Calculo do Benefício Anual Equivalente. O benefício anual equivalente do Processo B é obtido ao se proceder a soma dos valores das séries anuais equivalentes associadas a cada tipo de custo ou retorno anual equivalente (faturamento). Então:

Item BAE em R$/ano Investimento Inicial (-) 27.274,00 Valor Residual (+) 4.194,00 Custo Operacional (-) 23.001,00 Receitas (+) 50.000,00 Benefício Anual Equivalente (+) 3.919,00 R$/ano

III – Análise de decisão:

Pelo acima exposto, o Benefício Anual Equivalente - BAE

relativo ao Processo A é de 812,00 R$/ano e ao Processo B de 3.919,00 R$/ano.

Assim, a alternativa que apresentou o maior Benefício

Anual Equivalente foi a Alternativa B. Logo, a mais interessante a ser adotada.

Alerta-se, neste ponto, que, como as alternativas

apresentam períodos de vida distintos, há que se ter cuidado na comparação de alternativas.

Este processo de série anual equivalente, seja em termos

de BAE ou de CAE, é recomendado para decisão quando se analisa projetos repetitivos.

Projeto repetitivo é definido como aquele que, findo seu

período de vida previsto, o investimento inicial, ou parte dele, deverá ser reposto visando manter o processo em funcionamento.

Como exemplo de projeto repetitivo tem-se: aquisição de

ônibus empregados por empresas concessionárias de serviços públicos; de caminhões para serviços de terraplenagem; análise do tipo de pneu a ser utilizado em um mesmo veículo; tipos de escoramento ou formas utilizadas em serviços de concretagem sejam em obras pré-fabricadas ou moldadas no local; etc..

No caso de se comparar projetos produtivos que

apresentem períodos de vida distintos e que sejam não repetitivos, recomenda-se efetuar o processo de decisão atendendo as considerações realizadas no capítulo 5.

8.5 - Caso de Reinvestimento. 8.5.1 – Conceituação e Artifício. Neste caso existe a pressuposição da continuidade de utilização de um ativo ou a manutenção do bem em produção, expirada a vida útil do projeto original. Para tanto, findo o período de vida de um ativo, se pressupõe uma imediata reaplicação do capital gerado pelo projeto em um novo ativo com características semelhantes à do ativo desmobilizado.



Havendo diversas alternativas de investimento, o horizonte de planejamento previsto para análise considera que a equalização dos tempos de vida de cada alternativa seja equivalente ao mínimo múltiplo comum, MMC, de suas vidas úteis. Vide Fig. 8.5, que mostra a repetição dos fluxos de caixa dada a manutenção e continuidade do uso do ativo, ou de um sistema de produção.

Ao ser adotado o mínimo múltiplo comum das vidas úteis das alternativas como horizonte de análise do projeto, o processo de cálculo pode se tornar complexo e trabalhoso pela grande número de fluxos de caixa envolvidos.

Para contornar essa complexidade, o método do VUE

torna-se um artifício de fácil e rápida aplicação, pois permite efetuar o processo considerando o tempo de cada alternativa sem haver repetição.

Isto porque, o valor da série equivalente de uma

alternativa de investimento, seja qual for o número de repetições realizados, será sempre o mesmo. 8.5.2 – Manutenção em Comissionamento. Este caso discute a análise de decisão de alternativas quando há a previsão de continuidade de produção. O caso em questão diz respeito a uma empresa que esta comparando duas alternativas de projeto visando a instalação de um processo produtivo e que visam à produção de um mesmo bem. Esses processos são representados por seus fluxos de caixa e apresentam tempos de vida útil, distintos.

O objetivo é definir qual destes dois projetos,

representados por seus fluxos de caixa é o mais lucrativo, sendo adotada uma TMA de 10% ao ano.

Período 0 1 2 3 4 Projeto “A” -20 -25 45 45 45 Projeto “B” -60 25 40 50 Valores em 104 R$

Havendo a pressuposição da continuidade de produção, a compatibilidade dos tempos de vida útil é efetuada após a equalização dos tempos de vida dos projetos utilizando o mínimo múltiplo comum dos períodos em consideração. a) Decisão por Valor Presente. Como o Projeto A apresenta quatro anos de vida útil e o Projeto B três anos, o mínimo múltiplo comum dos tempos é de doze anos. Assim sendo, o Projeto A deverá ser repetido

-60 - 60 -60

25 40 50 25 40 50 25 40 50

Fig. 8.5 – Continuidade de Utilização de Ativo



três vezes e o Projeto B quatro vezes para que os seus períodos de vida sejam equalizados. O quadro da Fig.8.6 mostra o procedimento de repetição relativo ao Projeto A. Ressalta-se que o investimento inicial da 2ª repetição e subsequentes, deve ocorrer durante o último período da repetição anterior. Este procedimento visa evitar a ocorrência de solução de continuidade no processo de produção.

Projeto A Valores em 104 R$ Fluxo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1ª Rep -20 -25 45 45 45 2ª Rep -20 -25 45 45 45 3ª Rep -20 -25 45 45 45 Final -20 -25 45 45 25 -25 45 45 25 -25 45 45 45

Fig.8.6 – Procedimento para Repetição de Investimento - A Somando os fluxos de caixa de cada repetição, dispõem-se do fluxo de caixa final do projeto equalizado. Repetindo o mesmo procedimento para o Projeto B, chega-se à solução abaixo que apresenta os fluxos de caixa dos projetos equalizados. Exemplo na Fig.8.6. Fluxo de Caixa Final dos Projetos Valores em 104 R$

Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Projeto “A”

-20 -25 45 45 25 -25 45 45 25 -25 45 45 45

Projeto “B”

-60 25 40 -10 25 40 -10 25 40 -10 25 40 50

Fig.8.6 – Procedimento para Repetição de Investimento - B

Realizada a equalização dos tempos, pode-se calcular o

valore presente líquido de ambos os projetos, o que permitirá a

escolha de qual dos dois é que mais aumenta a riqueza dos proprietários. Calculando o valor presente líquido de cada alternativa tem=se: VP (A) = 126,84 x 106 R$ e VP (B) = 91,38 ×106 R$. Como o projeto A, apresenta um aumento de riqueza de R$ 126,84 x 106 R$ sendo, consequentemente, superior ao incremento propiciado pelo projeto B, é o recomendado a ser realizado. b) Decisão por Valor Uniforme Equivalente. O artifício financeiro de calcular os Benefícios Anuais Equivalentes de cada projeto, sem efetuar a repetição dos fluxos, isto é, de simplesmente apenas comparar os BAE’s dos projetos originais, facilita o processo de decisão. Como já comentado, ao ser calculado o BAE de um projeto tomando o seu fluxo de caixa original e o BAE deste mesmo projeto repetido, o valor a ser obtido em ambos os casos é o mesmo. Voltando ao exemplo acima, a obtenção do Benefício Anual Equivalente relativo a cada projeto segue os procedimentos: 1º - Determina-se o valor presente líquido do projeto original.

$R,),(),(),(),(

)A(VP 0159101

45

101

45

101

45

101

2520

432=+++−−=

2º - Calcula-se o Benefício Anual Equivalente - BAE



BAE (P) = VP(P) × FRC (n; i) BAE (A) = 59,01 × FRC (4¬10%) = 18,62 R$/ano Repetindo o mesmo procedimento para o projeto B, obtém-se os valores indicados no quadro abaixo que demonstra, mesmo utilizando ao processo do Beneficio Anual Equivalente, a superioridade do projeto A sobre o projeto B.

BAE (B) = 33,35 × FRC (3¬10%) = 13,41 R$/ano.

Projeto Período original de cada projeto A VP(A) = 59,01 R$ B VP(B) = 33,35 R$ A BAE(A) = 59,01 × 0,3155 = 18,62 R$/ano B BAE(A) = 33,35× 0,4021 = 13,41 R$/ano

8.5.3 – Análise Crítica. No exercício 8.5.1, coincidiu que os resultados obtidos segundo a aplicação dos dois métodos, valor presente líquido e benefício anual equivalente, demonstraram uma superioridade do projeto A sobre o projeto B. O leitor não pode generalizar o resultado obtido no exercício quando compara alternativas de investimentos, vinculando, necessariamente, a obtenção de um maior presente líquido a um maior valor periódico equivalente.

Uma alternativa pode apresentar um maior valor presente líquido em relação às outras e não, necessariamente, o maior valor periódico equivalente, seja ela calculada em termos de BAE ou de CAE. Os resultados dependerão dos valores fluxos de caixa e da duração de cada projeto. Como regra geral, a priori, nada se pode inferir. Com o objetivo de demonstrar a obtenção de igual resultado no calculo do valor periódico equivalente, aplicando o método, simplesmente, ao projeto inicial ou a um número qualquer de repetições, será vista a situação de se considerar o horizonte de projeto de doze anos, às duas alternativas. Prazo este equivalente ao mínimo múltiplo comum do tempo de vida de cada uma das alternativas em consideração. Ao se calcular o valor presente do projeto repetido considerando o horizonte de doze anos, obter-se-á os seguintes valores presentes: VP(A) = 126,84 R$ e VP(B) = 91,38 R$. A seguir, calcula-se o Benefício Anual equivalente para cada alternativa, definindo a série equivalente pelo prazo de doze anos. Partindo do caso geral tem-se: BAE (k) = VP(k) × FRC (n¬i%) BAE (k) = VP(k) × FRC (12¬10%) BAE (A) = 126,84× FRC (12¬10%) = 18,62 R$/ano BAE (B) = 91,38 × FRC (12¬10%) = 13,41 R$/ano

Projeto Mínimo Múltiplo Comum de 12 Anos A VP(A) = 126,84 R$ B VP(B) = 91,38 R$ A BAE(A) = 126,84 × 0,1468 = 18,62 R$/ano B BAE(B) = 91,38 × 0,1468 = 13,41 R$/ano



Dos resultados encontrados fica a constatação que os diversos BAE associados a um mesmo projeto são sempre iguais, independentemente do número de períodos de repetição utilizados, situação que facilita o processo de tomada de decisão. Finalizando, não se deve esquecer que o BAE indica o acréscimo de riqueza médio gerado por um projeto a cada período de sua vida útil. Ao se desejar saber qual o acréscimo de riqueza propiciado pelo tempo em que o projeto será explorado, há que ser calculado o Valor Presente do mesmo, para o tempo originalmente estabelecido. 8.6 – Exercícios. 8.6.1 – Exercício Resolvido.

Uma empresa industrial está estudando a produção de um novo produto.

Item PROCESSO A PROCESSO B

Investimento Inicial R$ 65.000,00 130.000,00 Valor Residual - 30.000,00 Faturamento R$ 50.000,00 50.000,00

Custo de Operação R$ 30.000,00 -

Fixos

Ano1 = 21.000,00 Ano2 = 22.000,00 Ano3 = 23.000,00 Ano4 = 24.000,00 Ano5 = 25.000,00 Ano6 = 26.000,00

Vida útil Quatro anos Seis anos

Para tanto, dois processos industriais estão em análise

duas propostas cujas características estão expostas na tabela acima.

Estabelecido o custo de capital da firma em 7% a.a., calcular o benefício anual equivalente, associado a cada alternativa.

O método de decisão a ser adotado quanto à escolha da melhor alternativa é o do Custo Anual Equivalente dada às razões: a) Há previsão de produção continuada. Esgotada a vida

útil dos ativos, eles deverão ser repostos, situação que recomenda a adoção do método proposto;

b) Sendo equivalentes os faturamentos previstos para os dois processos, pode-se efetuar a análise considerando apenas custos. O processo que apresentar o menor custo deverá ser o recomendado.

A metodologia adotada seguirá os seguintes passos: 1º Definição do Valor Presente de cada processo,

isoladamente; 2º De posse do Valor Presente, calcular a série relativa ao

Custo Anual Equivalente; 3º Disponíveis os valores dos CAE de cada processo,

comparar os resultados e recomendar para implantação o que apresentar o menor Custo Anual Equivalente.

I - Processo A.



a) Custos Operacionais: CO(A) = 30.000 R$/ano. b) Custo Anual Equivalente do Projeto A:

Investimento Inicial: CAE(IIn) = P × FRC (7%,4 ) CAE(IIn) = 65.000 × 0,2952 ∴ CAE(IIn) = 19.188 R$/ano

c) Custo Anual Equivalente – Processo A CAE(A) = CAE(IIn) + CO(A) CAE(A) = 30.000,00 + 19.188,00 = 49.188,00 R$/ano

II - Processo B

a) Capital Inicial:

Pi = 130.000 x FRC (7%,6) = 130.000 × 0.2098 Pi = = 27.274 R$/ano b) Valor Residual: R = S x FFC (7%,6) = 30.000 × 0,1398 ∴ R = 4.194,00 R$/ano

c) Custo Operacional: ∑ ×= nii VPVPCO(B)

VPCO(B) = 21.000 × 0,9346 + 22.000 × 0,8734 + 23.000 × 0,8163 + 24.000 × 0,7029 + 25.000 × 0,7130 + 26.000 × 0,6663

VPCO(B) = 19.626 + 19.215 + 18.775 +16.870 + 17.825 + 17.324 = 109.635,00 R$/ano.

d) Série Uniforme Equivalente do Custo Operacional:



COE(B) = VPCO(B) × FFC (7%,6). COE(B) = 109.635 FFC (7%,6) = 109.635 × 0,2098 COE(B) = 23.001,00 R$/ano.

e) Custo Anual Equivalente - Processo B:

CAE(B) = Invest. Inicial + Custo Operacional - Valor Residual CAE(B) = 27.274,00 + 23.001,00 - 4.194,00 ∴ CAE(B) = 46.081,00 R$/ano

III – Recomendação. Sendo o CAE(A) = 49.188 R$/ano e o CAE (B) = 46.081,00 R$/ano; recomenda-se como o mais interessante a ser implantado o Processo-B, já que apresenta o menor Custo Anual Equivalente. Se, neste exercício, o objetivo fosse o cálculo do Benefício Anual Equivalente, o faturamento no valor anual de R$ 50.000,00 deveria ser somado às séries de custo anual. Os resultados seriam: BAE (A) = 812,00 R$/ano e BAE(B) = 3.919,00 R$/ano. A decisão, como não poderia deixar de ser, seria a mesma da anterior e inclinada ao Processo-B, por apresentar o maior Benefício Anual Equivalente. 8.6.2 – Exercício Proposto.

Qual o tempo ótimo de manter comissionado um equipamento de terraplanagem cujo catálogo de especificação define sua vida útil em 7 (sete) anos e o valor de aquisição de uma unidade nova esta orçada US$ 20 mil?

Os valores de mercado de equipamentos usados e os custos anuais de manutenção estão apresentados no quadro abaixo. Como premissas do problema, considerar o custo de capital da empresa estipulado em 15% a.a.; Além do acima solicitado, elabore uma curva tempo×custo para melhor visualizar os resultados obtidos.

Tempo de uso Valor de Mercado US$ Manutenção Anual US$

1 ano 18.000,00 2.000,00

2 anos 16.000,00 2.400,00

3 anos 14.600,00 2.700,00

4 anos 13.500,00 3.500,00

5 anos 12.000,00 3.900,00

6 anos 10.500,00 4.300,00

7 anos 8.000,00 4.700,00



9. Taxa Interna de Retorno 9.1 - Definições.

O método da Taxa Interna de Retorno - TIR exige a

descrição de qualquer proposta de alternativa de investimento em termos do fluxo de caixa projetado, onde sejam externados os custos e as receitas a ele associados, levando-se em consideração a previsão dos momentos em que os mesmos efetivamente ocorrerem.

A TIR pode ser definida sob duas óticas: a financeira e a

matemática.

a) Do ponto de vista financeiro, a TIR corresponde à maior taxa de rentabilidade oferecida por um projeto a partir da qual ele passa a ser antieconômico.

d. Do ponto de vista matemático, a TIR ≡ i* é definida como a

taxa de desconto que zera a função valor presente líquido.

01111 3

3

2

21 =+

+++

++

++

+=n

n

*)i(F

*)i(F

*)i(F

*)i(F

Fo)A(VP L

Noutras palavras, a TIR ≡ I* corresponde às raízes do polinômio expresso pela função valor presente. Ver Fig.9.1.

9.2 - Decisão Quando se dispõe de várias alternativas de investimento em julgamento, o processo de decisão adotando a TIR como parâmetro de decisão deve atender a duas premissas:

1ª Premissa: Para haver a aceitabilidade de qualquer

projeto singular, a TIR deverá superar a taxa de mínima atratividade, a TMA. Taxa esta que recebe, também, as denominações de: custo de capital da empresa, taxa de oportunidade, custo de oportunidade da empresa ou taxa de desconto do projeto.

Neste caso, ocorrem três situações, quais sejam:

I) Quando a TMA apresentar valor inferior à TIR, o projeto é considerável como viável. Financeiramente falando, a maior taxa de rentabilidade que um projeto pode apresentar supera a taxa de atratividade exigida pelo investidor;

Fig. 9.1– Caracterização da TIR e da TMA.

Valor Presente - $

i

i* =TIR

Valor Presente descontado pela

TMA

TMA



II) Quando as duas taxas se equivalerem, ocorre uma situação dita de indiferença financeira.

O projeto, nesta situação, continua sendo viável. Porém,

neste caso, a maior taxa de remuneração que um projeto possa apresentar a TIR, equivale à TMA do investidor. III) No caso da TMA apresentar valor superior à TIR, o projeto é

considerável inviável.

Nesta situação, o valor presente das alternativas de investimento passa a ser negativo o que significa, também, que o valor da TIR é inferior à taxa de atratividade tradicionalmente adotada pelo investidor para remunerar os seus investimentos. 2ª Premissa: no caso de haver a comparação entre diversas alternativas de investimento mutuamente exclusivas, aquela que apresentar a MAIOR TIR será definida como a melhor alternativa a ser eleita.

Justifica-se a adoção das duas premissas como parâmetro de decisão, pois ambas vem ao encontro do princípio do aumento da riqueza dos proprietários, já que: 1º) a TIR corresponde a maior remuneração possível para que um projeto seja viável; 2º) sendo a TIR superior à TMA, o valor presente líquido de qualquer alternativa de projeto será superior a zero, ao ser adotada esta taxa como parâmetro de decisão.

9.3 – Discutindo a TIR e a TMA

Alerta-se que, financeiramente, a TIR e a TMA, expressam conceitos distintos.

A TMA corresponde à remuneração desejada em

investimentos produtivos. Ela pode ser estabelecida de dois modos: Por definição dos investidores para a remuneração de

seus ativos. Ou, a partir do desempenho da empresa. Neste caso é

calculada do seguinte modo:

ELPPLLucro

iTMA+

=≡

No modelo acima, PL corresponde ao patrimônio líquido

médio e ELP ao exigível de longo prazo, consubstanciando o montante dos recursos que a empresa tomou visando o financiamento de suas operações. Ambos os valores expressos passivo do balanço patrimonial da empresa.

A TIR, por sua vez, corresponde à maior remuneração

possível, oferecida por uma alternativa de investimentos, a partir da qual passa a ser financeiramente inviável. Ver Fig.5.9 - Distinção entre a TIR e a TMA. 9.4 – Utilização recomendada.

TMA < TIR → Projeto viável TMA = TIR → Indiferença Financeira TMA > TIR → Projeto inviável

DECISÃO



O método da taxa interna de retorno é recomendado para os seguintes casos:

� Pelo lado do aplicador, quando realiza aplicações

financeiras no mercado de títulos mobiliários ou bursáteis (4);

� Pelo lado do tomador, na determinação da efetiva taxa de juros praticadas no financiamento de bens;

� Na definição da maior taxa de remuneração possível propiciada por um projeto de investimento produtivo. Nos itens seguintes serão analisadas as condições de

aplicação dos casos acima citados.

9.4.1 - Caso de títulos mobiliários

O método é adequado para ser utilizado pelo investidor no

mercado mobiliário ao desejar conhecer a rentabilidade de sua aplicação financeira.

A TIR demonstra, no caso da aplicação em títulos

mobiliários, a remuneração a ser obtida pelo capital aplicado e a equivalência quanto aos retornos previstos. E, no caso de financiamento, a equivalência entre o capital tomado e os pagamentos a serem efetuados.

Pelo exposto, verifica-se ser a TIR um instrumento

adequado para análise da rentabilidade de projetos quando utilizada pela ótica do investidor ou tomador de empréstimo.

Como exemplo de aplicação no mercado imobiliário, tem-se

o caso da compra de ações.

(4) Relativos à bolsa de valores.

Ao se efetuar a aplicação em ação de qualquer empresa, o preço e a rentabilidade da mesma e estabelecida ao ser conhecida a política de dividendos, de bonificações regularmente pagas sobre o capital investido e do valor de vendas previsto.

Neste caso, entende-se que o preço a ser pago pela ação

seja equivalente ao somatório dos valores presentes dos dividendos, das bonificações e do valor de vendas previsto para ocorrer em determinado futuro.

Adotando como nomenclatura:

• VC = valor de compra da ação; • VV = valor previsto para venda de uma ação; • Bk = valor da bonificação referente ao período k, com k

variando de um a n; • Dk = valor do dividendo referente ao período k; • n = o número de períodos previstos para manter a ação em

carteira; • i* = valor da taxa interna de retorno, TIR.

O valor da ação é dado por:

n

n

kkkk

*)i(VV

*)i(DB

VC=

+

++= ∑

= 111

Por sua vez, o valor da tir=i* é aquele que resolve o

polinômio:

0111

==

+

++− ∑

=n

n

kkkk

*)i(VV

*)i(DB

VC



9.4.2 - Caso de financiamentos.

Neste segundo caso, o método é recomendado para definir

a taxa de juros efetivamente adotada em projetos de investimentos simples ou empréstimos, correspondendo a uma série postecipada, em que os pagamentos sejam iguais, periódicos e consecutivos.

A taxa de juros, então, é definida sob a ótica do tomador do

recurso. Para o tomador do recurso, a TIR corresponde à taxa de juros que faz a equivalência entre o valor do montante financiado e o valor das prestações pactuadas. Ver. Fig. 9.2.

Como exemplo cita-se o financiamento de eletrodomésticos

ou veículos vendidos a prestação. Há o entendimento, então, que valor presente das

prestações corresponde ao valor do bem adquirido, financeiramente falando. A taxa interna de retorno, em decorrência, exprime a taxa de juros efetivamente paga pelo tomador.

Dado o entendimento acima, pode-se escrever a seguinte

expressão matemática:

Valor do Bem ≡ Σ das Prestações a Valor Presente

{Valor do Bem} - {Σ das Prestações a Valor Presente} = zero

Considerando que a série de pagamentos, conforme visto na figura 9.2, corresponde a uma série de pagamentos postecipada, a expressão acima toma a seguinte forma:

%)*i,n(FVPVBVB ×− ou,

01

11 =

+×−+×−

n

n

*)i(*i

*)i(VBVB

Valor presente da série ≡ Valor financiado

Em operações de financiamento, como é conhecido o valor do bem, VB, a financiar e pactuado o número de prestações, ao se resolver a expressão acima tem-se o valor da TIR≡ i*.

No Capítulo 10 - Métodos Algébricos, serão apresentados alguns métodos de calculo da TIR. 9.4.3 – Caso de investimentos produtivos.

9.4.3.1 – Recomendações.



Quando se analisa um conjunto de alternativas de investimento em projetos produtivos, recomenda-se adotar o valor presente líquido como parâmetro de decisão, procedimento que garante o atendimento da premissa de maximização da riqueza.

Tal recomendação visa resguardar a consistência do

processo decisório, pois a assertiva que deva ser eleita a alternativa que apresentar a maior TIR pode não ser sempre verdadeira e levar à decisão contrária daquela recomendada pelo Método do Valor Presente Líquido.

Isto porque a decisão quanto à escolha da melhor alternativa, dado um conjunto delas, visando a implantação de algum investimento produtivo é realizada com o objetivo de escolher a alternativa que propicie o maior incremento na riqueza do investidos ou proprietário. Ou seja, o maior valor presente líquido. Para tanto, o fluxo de caixa de cada alternativa em análise é descontado à taxa de mínima atratividade, a TMA.

Ao serem traçados os diagramas de fluxos de caixa, das alternativas em análise, e analisando o que exprime a Fig. 9.3, é possível verificar que, para um conjunto de valores de taxas de desconto, a decisão de adotar a TIR como único parâmetro de decisão pode induzir a erro.

Da figura tem-se que: ao se considerar um valor da TMA entre zero e a definida pela Intersecção de Fischer(5), o valor presente do projeto A supera o do projeto B.

(5) A intersecção de Fischer corresponde ao ponto de intersecção dos diagramas de valor presente de dois projetos de investimentos distintos. Neste ponto, para um mesmo valor de TMA, os projetos apresentam igual valor presente líquido.

A partir da Intersecção de Fischer, o valor presente do projeto B passa a superar o do projeto A. Nestas condições fica demonstrado que, para distintos valores da TMA, a decisão pelo método do valor presente pode diferir do método da TIR, sendo que este pode induzir o decisor a erro de julgamento.

9.4.3.1 – Exemplo.

Sendo dados dois projetos de investimentos produtivos representados pelos respectivos diagramas de fluxo de caixa, conforme Fig.9.3.

Utilizando, unicamente, a TIR como fator de decisão, pode o

analista ser induzido a erro ao recomendar o projeto B como sendo mais rentável que o projeto A, sem efetuar uma análise mais acurada, ao verificar que a TIR(B) = 29% supera a TIR (A) = 22%.

Há que se considerar que empresas, ao investir seus

recursos em projetos produtivos, o fazem visando obter o maior incremento de capital e, para tanto, utilizam o método do valor presente líquido dos fluxos de caixa projetados para medir tal incremento. E, descontam os citados fluxos de caixa adotando a TMA como taxa de desconto.

No caso em pauta, os fluxos de caixa descontados a uma

TMA = 8%, apresentem os seguintes valores presentes: VP (A) = R$ 153,00 e VP(B) = R$ 110,00. Resultado que indica ser o projeto A superior ao projeto B. Logo, o projeto A deve ser o eleito para implantação, fato que contraria a decisão efetuada utilizando exclusivamente a TIR como parâmetro de decisão.

Do desenho, verifica-se que os fluxos de caixa

descontados a uma TMA = 15%, apresentem os seguintes valores presentes: VP (A) = R$ 37,00 e VP(B) = R$ 44,00.



Esse resultado indica ser o projeto B superior ao projeto A,

fato que coincide com a decisão quanto se tem a TIR como parâmetro de decisão.

Analisando os dois diagramas expostos na Fig. 9.3, verifica-

se que o projeto A é superior ao Projeto B a taxas de desconto inferiores àquela definida pela interseção de Fischer, isto é, de zero a 12%. Já o projeto B é superior ao projeto A para taxas situadas entre a interseção de Fischer, 12%, e a TIR (B), 29%.

Pela análise acima efetuada, constata-se a possibilidade de

ocorrer duas soluções tendo como ponto limite a taxa de desconto conexa à intersecção de Fischer. A análise em questão foi realizada ao se comparar dois diagramas de valor presente. Havendo um conjunto de alternativas de investimento

em julgamento, pode ocorrer mais de duas soluções, fato que requer uma análise criteriosa do decisor.

Finalizando, cabe ao analista se precaver quando julga

diversas alternativas possíveis destinadas à realização de um investimento produtivo e deseja adotar a TIR como parâmetro de decisão. Visando manter a consistência de sua análise, recomenda-se efetuar um desenho onde conste o diagrama de valor presente de cada alternativa disponível e, deste modo, se certificar do campo de domínio de cada uma delas.

9.5 – Calculo da TIR. 9.5.1 – Função Polinomial.

Como visto, matematicamente, a taxa interna de retorno é aquela taxa que iguala a zero a função valor presente líquido associado aos fluxos de caixa de um projeto.

Considerando que a função valor presente líquido pode

ser representada por um polinômio de grau equivalente ao do número de períodos do fluxo de caixa, a TIR corresponde às raízes desta função polinomial.

n

n

)i(F

)i(F

)i(F

)i(F

Fo)A(VP+

+++

++

++

+=1111 3

3

2

21L

Da teoria dos polinômios, sabe-se que, um polinômio

dispõe de tantas raízes quanto for o seu grau. Logo, um polinômio do n-ésimo grau dispõe de n raízes.

Então, quando ocorrer o caso de i* = TIR, o valor da

função polinomial passa a ser zero.

i%

VP-$ Intersecção de Fischer

Projeto A

Projeto B

153,00

110,00

TIR B = 29%

TIR A= 22%

Fig. 9.3 - Consistência TIR e VPL.

8 12



E, sendo a TIR uma raiz da função polinomial que expressa o fluxo de caixa, pode-se igualar este polinômio a zero. Deste modo pode-se escrever:

∑=

− =++n

0k

kK0 0*)i1(FF

01111 3

3

2

21 =+

+++

++

++

+=n

n

*)i(F

*)i(F

*)i(F

*)i(F

Fo)A(VP L

Como exemplo de função polinomial associada à um

fluxo de caixa, seja um projeto representado pelo seguinte conjunto de fluxos de caixa projetados:

FC(A) = {-1.200; 450; 400; 350; 300}

A função valor presente líquido é dada por:

432 1

300

1

350

1

400

1

4501200

)i()i()i()i()A(VP

++

++

++

++−=

A solução deste tipo de polinômio pode ser efetuada por diversos métodos: o Processo da Bisseção, metodologia iterativa; pelas fórmulas de Karpin que permitem definir a TIR de modo algébrico, cujo resultado é obtido de modo aproximado, fórmulas essas recomendadas para serem utilizadas quando os fluxos de caixa apresentem uma lei de formação conforme modelo pré-determinado; o Método de Newton- Raphson e o método de Wild, ambos permitindo a obtenção da TIR de forma algébrica.

9.5.2 - Processo da Bisseção.

É o processo de mais fácil aplicação, com o

inconveniente de ser muito trabalhoso, pois iterativo.

O processo de tentativa e erro é iniciado ao ser arbitrado

um valor qualquer para a taxa “ï” e, a seguir, calculado o Valor Presente do fluxo de caixa para essa taxa.

Sendo este primeiro valor positivo (+), arbitra-se um

novo valor para a taxa de desconto, maior que o anterior, e calcula-se, novamente, o Valor Presente.

Tal operação deve ser repetida, iterativamente, até ser

encontrado um valor presente negativo. Ao ser encontrada uma taxa i em que o Valor Presente

seja menor que zero, volta-se ao procedimento inicial. Ou melhor, procura-se uma taxa “i” com valor menor que a ultima encontrada e cujo valor presente seja positivo.

O processo em questão deve ser repetido até se obter

um valor presente zero ou insignificante. Como recomendação para acelerar o processo de

cálculo pode-se adotar o processo da bisseção. Justificam a assertiva duas situações: a primeira dado a

TIR corresponder à maior remuneração possível para que um de projeto seja viável; a segunda, pois sendo a TIR superior à TMA, o valor presente líquido da alternativa de projeto será superior a zero e, por conseguinte, ocorrerá o aumento da riqueza dos proprietários.

Em havendo a comparação entre dois ou mais

investimentos, o que apresentar a mais alta TIR deverá ser considerado o economicamente mais interessante. Porém, como já comentado, para projetos de investimentos produtivos e que não integrem o mercado mobiliário, essa assertiva pode não ser sempre verdadeira.



Neste processo, para cada nova taxa de desconto a ser

utilizada dever-se-á adotar o resultado da média aritmética obtida entre as seguintes taxas: aquela ultima taxa cujo valor presente tenha sido negativo e aquela cujo ultimo valor presente tenha se apresentado como positivo.

2

00 )VP(i)VP(ii nmnova

>+<=

Repetido o processo tantas vezes quantas forem

necessárias, ter-se-ão valores de “i” que propiciam valores presentes cada vez mais próximos de zero.

O processo de iteração como ser dado como concluído

ao se obter uma taxa de desconto associada a um valor presente líquido irrisório ou, financeiramente, próximo a zero.

A bibliografia, comumente, indica o processo da tentativa

bisseção para o cálculo da TIR.

É possível, porém, calcular algebricamente a TIR, utilizando

os métodos discutidos no Capítulo 10. Ressalta-se que os métodos apresentados permitem definir,

apenas, uma das raízes do polinômio, ou seja, uma das TIR associadas ao projeto de investimento.

Recomenda-se, assim, que seja elaborado um diagrama de

valor presente para que, graficamente, seja verificado se um apresenta mais de uma única TIR.



9.5.3 – Aplicação da metodologia

Seja determinar a TIR associada à seguinte função de valor

presente:

432 1

300

1

350

1

400

1

4501200

)i()i()i()i()A(VP

++

++

++

++−=

O processo da bisseção é um procedimento iterativo e

segue os procedimentos abaixo. Ver, também, a Fig.9.4. Viabilidade – Inicia-se verificando a viabilidade do projeto

para alguma taxa de desconto. Para tanto, faz-se i=0. Sendo VP>0, o projeto é viável e o processo pode prosseguir. Caso ocorra VP<0, o projeto é inviável para qualquer TMA e deve ser abandonado.

1ª iteração – Arbitra-se uma taxa de desconto. Nesta

primeira iteração foi adotada uma taxa de desconto i=10%. Calculado o valor presente obteve-se VP = +7,53R$.

2ª iteração – Como na iteração anterior obteve-se VP>0,

arbitra-se uma taxa maior visando obter um VP<0. Nesta iteração foi adotada uma taxa de desconto de i=12%. Calculado o valor presente chegou-se a VP = -39,56R$.

3ª iteração – A próxima taxa de desconto adotada,

utilizando a metodologia da bisseção, corresponde ao resultado da média aritmética definida entre as taxas que apresentaram, respectivamente, o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo:

112

1210

221

3 =+=+= iii

Calculado o valor presente, chega-se a: VP= -16,41 R$. 4ª iteração - A taxa de desconto a seguir adotada

corresponde à média aritmética entre as duas ultimas taxas que apresentaram, respectivamente, o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo. Então:

50102

1110

231

4 .ii

i =+=+=

Calculado o valor presente, chega-se a: VP= -4,54 R$. 5ª iteração – Considerando que na iteração anterior

obteve-se um VP= - 4,54, repete-se o procedimento efetuado. Logo:

25102

501010

241

5 ,,ii

i =+=+=

Calculado o valor presente, chega-se a: VP= +1,47 R$. 6ª iteração - A taxa de desconto a ser adotada nesta

iteração corresponde à média aritmética entre as duas ultimas taxas que apresentaram, respectivamente, o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo. Ou seja, i4= 10,50 e i5 =10,25. Então:

3750102

25105010

254

6 ,,,ii

i =+=+=

Calculado o valor presente, chega-se a: VP= -1,54 R$.



Enésima iteração - repetindo o procedimento exposto

por n-vezes, chega-se ao valor da TIR = 10,3110%.

iteração Taxa de desconto – i% VP – R$ viável 0,00 +300,00

1 10,00 +7,53 2 12,00 -39,56 3 (10+12)/2 = 11 -16,41 4 (10+11)/2 = 10,50 -4,54 5 (10+10,50) = 10,25 1,47 6 (10,50+10,25) = 10,3750 -1,54 7 (10,25+10,3750)/2 = 10,3125 -0,0360 8 (10,25+10,3125)/2 = 10,28125 0,71730 9 (10,3125+10,28125)/2=10,29688 0,34053

......... ................................................. ................. n TIR → 10,3110 0,00

9.6 - Existência de múltiplas TIR.


Quando se utiliza a TIR como parâmetro de decisão, é

recomendável a verificação de que ela seja ÚNICA, caso contrário poderá o analista incorrer em erro de avaliação.

Esta unicidade de TIR é garantida quando o polinômio representativo do projeto se apresenta como uma função contínua, decrescente e convexa, a exemplo dos diagramas mostrados na Fig. 9.1.

Tal situação ocorre quando o projeto é do tipo de investimento convencional. No caso de projetos tipo “não convencional”, pode ocorrer a existência de diversas TIR, nada se podendo afirmar a priori.

Justifica-se a assertiva acima já que a função valor

presente associada a um fluxo de caixa pode ser representado por uma função polinomial do enésimo grau. Assim, apresenta um número de raízes igual ao do grau do polinômio.

Como o número de raízes é igual ao do grau do polinômio, existe um número de TAXAS INTERNAS DE RETORNO correspondente ao do grau do polinômio associado ao fluxo de caixa. Porém, sendo a maioria delas múltiplas ou não pertencentes ao conjunto dos números reais. Deste modo, um projeto pode apresentar uma ou várias TIR segundo o comportamento do fluxo de caixa. E, o que define o comportamento do fluxo de caixa é o número de variações de sinal que ele apresenta.

Como exemplo deste tipo de fluxo de caixa pode-se ter um fluxo que apresente três variações de sinal como o conjunto apresentado acima, caso que pode decorrer na existência de um diagrama de fluxo de caixa similar ao representado na Fig.9.5, onde fica evidenciada a existência de múltiplas TIR.

Ao apresentar diversas variações de sinal, o valor presente da função fluxo de caixa pode ser negativo para algumas taxas de desconto.

No diagrama da Fig. 9.5, pode-se verificar, graficamente,

a assertiva acima quanto a existência de um conjunto de valores presentes negativo associados à taxas de desconto que se situam entre a TIR1 e a TIR2.

{ -F0; -F1; +F2; + F3 ;+ F4; -F5 ;-F6 ;-F7;+F8 ;+F9 ;+F10;+F11;+F12}



Considerando que um projeto pode ser definido como convencional ou não convencional e esta definição é expressa pelo número de variações de sinal do fluxo de caixa. E, sendo viável o projeto, tem-se: a) Investimento do tipo convencional ou empréstimos apresenta apenas uma TIR. O comportamento de sua função se apresenta de modo decrescente, contínua e convexa, o que leva à existência de apenas uma raiz real. Ver diagrama da Fig.5.10.

b) Investimento do tipo não convencional pode apresentar mais de uma variação de sinal no fluxo de caixa. Deste modo o projeto pode dispor de um número de taxas internas de retorno igual ao número de variações de sinal. (De Faro, 1980).

Tomando como exemplo o diagrama da Fig.9.5, qualquer empresa que desconte seus investimentos à TMA’s situadas entre os valores da TIR-1 e da TIR-2, pode incorrer em erro se considerar apenas a taxa interna de retorno como parâmetro de decisão. Pois, como visto, ela poderá não ser única!

Pelo exposto e quando houver o interesse em conhecer

ou analisar um projeto do tipo não convencional adotando a TIR

como parâmetro de decisão, recomenda-se ao analista financeiro efetuar o diagrama de valor presente de modo a visualizar o comportamento da função.

Esse procedimento evita incorrer em equivoco durante

seu processo decisão, especialmente quando em análise de empreendimentos produtivos.

Esta situação não é corriqueira, mas pode ocorrer em empreendimentos produtivos, especialmente aqueles ligados à construção civil e à de mineração, quando grandes investimentos são realizados e ocorrem períodos onde os fluxos de caixa são negativos, especialmente na fase de captação de recursos. Ou, em projetos onde se prevê etapas sucessivas de aumento de produção que demandem, para tanto, novos investimentos.

9.6.2 – Exemplo

Como exemplo de fluxo de caixa que apresenta mais de uma TIR, seja o projeto de investimento que apresenta o seguinte fluxo de caixa: {-100; 230; -132}. A expressão do valor presente líquido é dada por:

i =TIR1

TMA

Fig.9.5 – Existência de múltiplas TIR

Valor Presente descontado p/

TMA

Valor Presente - $

i

i=TIR2

TMA2



21

132

1

230100

)i()i(VPL

+−

++−=

O diagrama de fluxo de caixa deste investimento, Fig.9.6, evidencia a existência das duas TIR. 9.7 – Exercícios. a) Comparando os projetos representados pelos conjuntos de fluxo de caixa solicita-se: os polinômios representativos dos mesmos; o diagrama do valor presente dos dois projetos representados em um único diagrama cartesiano e, aquele a ser recomendado para implantação, sabendo que a empresa pratica uma TMA=15% ao período.

P(A) = [-100, 16, 20, 30, 45, 55, 100] e P(B) = [-35, - 45, 35, 45, 55, 55, 45]

b) Calcular a taxa de juros embutida nos projetos de financiamento representados pelos seguintes conjuntos de fluxos de caixa:

FC(A) = {-1.200; 500; 450; 400; 350; 300}

FC(B) = {-350; -480; 0; 155; 248; 320; 340; 365; 395} c) Dentre os cinco projetos de investimentos abaixo, qual deles VOCÊ escolheria para ser implantado? Justifique a sua opinião!

Projeto V. Presente Líquido 10³ R$ TIR - % Pay Back

anos A1 123.456,00 22,07 7,20 B2 132.675,99 19,44 6,40 C3 132.529,78 19,00 5,00 D4 101.199,99 29,56 4,10 E5 125.678,90 31,44 6,90

c) Qual a diferença conceitual entre TMA e TIR?

d) Quando se deve utilizar, num processo de decisão ou de comparação de alternativas, cada uma delas?

e) Você é um dos diretores de uma empresa quando, em

reunião de diretoria, foi discutida a ampliação e implantação de mais uma linha de produção. Para tanto quatro alternativas de investimentos foram apresentadas.

Sabe-se que apenas um dos projetos será escolhido, pois os recursos disponíveis são limitados.

VPL - $

i

Fig.9.6. – Exemplo de projeto

TIR 1 TIR 2



O analista financeiro recomendou a adoção do projeto GAMA! Ele justificou seu ponto anexando o memorial de calculo da TIR dos projetos, cujo resultado consta do quadro abaixo. Você concorda com a opinião do analista? Justifique.

Projeto Taxa Interna de Retorno Alfa 36,9432 Beta 34,5678

Gama 39,0298 Delta 35,7554

f) Um investimento produtivo cujo horizonte de projeto foi previsto para quinze anos, esta sendo analisado sob duas condições: 1ª) o investimento dos ativos produtivos poderá ser realizado com a utilização de capital dos acionistas, a ser suprido com aumento de capital da empresa realizado pelos sócios; 2ª) utilização de capital oriundo de um banco de investimentos. Como condições de financiamento, a proposta do banco previa quitação em dez parcelas iguais, anuais e consecutivas definidas pelo sistema SAC, dois anos de carência e juros de 8,5% ao ano. O analista de investimentos elaborou os respectivos fluxos de caixa e os descontou à taxa de remuneração do financiamento, ou seja, 8,5% ao ano. Pergunta-se: VOCE concorda com a adoção da taxa citada? Justifique a sua assertiva.

g) Você, como Diretor Técnico de uma empresa de engenharia que atua na área de terraplenagem, detém a responsabilidade de analisar a aquisição de cinco equipamentos de compactação de solos.

Tal equipamento pode ser fornecido por três empresas.

Para julgamento das propostas recebidas, VOCE dispõe das informações constantes do quadro abaixo. E, sabe também, que sua empresa pratica uma taxa de atratividade no valor de 15% aa.

Justifique, conceitualmente e á luz de seus conhecimentos, qual será a sua decisão!

Equipamento unidade Empresa

Prefax Terrapac Complus Modelo 5 PCM-32 TCON-K9 CP-X5 Preço - Compra 10³ R$/un 420 340 495 Vida Útil anos 7,0 5,0 9,0 TIR % 27,99 30,68 36,40 BAE 10³ R$/ano 844 844 798 Manutenção 10³ R$/ano 76 64 45 Valor Presente 10³ R$/ano 3.511,39 2.829,22 3.807,72

h) Você, como Diretor Técnico de uma empresa de engenharia que atua no setor de terraplenagem, detém a responsabilidade de analisar a aquisição de cinco equipamentos de compactação de solos. Tal equipamento pode ser fornecido por três empresas.



Visando subsidiar o julgamento das propostas, foi elaborado o quadro de informações abaixo.

Além disso, Você sabe que sua empresa adota uma TMA no valor de 17,7% aa. Justifique, conceitualmente e á luz de seus conhecimentos, qual será a sua decisão!

Especificações Equipamento

unidades Empresa

Prefax Terrapac Complus Modelo 5 PCM-32 TCON-K9 CP-X5 Preço de Compra 10³ R$/un 420,0 340,0 495,0 Vida Útil anos 7,0 5,0 9,0 TIR % 27,99 30,68 36,40 BAE 10³ R$/ano 844,0 844,0 798,0 Manutenção 10³ R$/ano 76,0 64,0 45,0 Valor Presente 10³ R$/ano 3.511,39 2.829,22 3.807,72

i) Assinale as afirmativas corretas: • A taxa de desconto adotada na análise de viabilidade de

alternativas de projetos produtivos deve ser a mesma adotada para a quitação dos financiamentos dos projetos.

• A análise de viabilidade de projetos produtivos, quando compara alternativas de projetos de longa duração, deve desconsiderar as distintas vidas úteis das mesmas.

• É irrelevante a elaboração dos diagramas de valor presente quando se analisa alternativas de projetos de investimentos produtivos não convencionais.

• A TIR é a taxa de desconto tecnicamente recomendável a ser adotada na analise de viabilidade de projetos não convencionais.

• Sempre que se realiza a analise de viabilidade de projetos de investimentos produtivos, os valores dos imóveis e

equipamentos financiados não são considerados no fluxo de caixa no momento de sua aquisição.

• Todas as assertivas acima são incorretas. • Todas as assertivas acima são corretas.



10. Métodos Algébricos. Neste capítulo são apresentados alguns métodos destinados a calcular algebricamente uma das possíveis TIR associadas a um dado fluxo de caixa. Não se pretende esgotar este assunto, mas fornecer ao interessado uma metodologia capaz de solucionar a maioria dos problemas desta área de conhecimento.

Para projetos de investimento do tipo simples ou convencional, cujo fluxo de caixa se comporta segundo determinada leis de formação, a TIR pode ser determinada utilizando uma metodologia denominada Fórmulas de Karpin.

Os projetos de investimento do tipo não convencional, a TIR

pode ser determinada utilizando os algoritmos de Wild ou de Newton-Raphson. 10.1 – Fórmulas de Karpin O calculo da TIR utilizando as fórmulas de Karpin, como já comentado, é recomendado para utilização em projetos de investimentos que atendam as seguintes condições: i) Seja uma operação do tipo empréstimo ou financiamento

liberado em única vez; ii) E, que os pagamentos atendam a uma lei de formação

pré-definida.

A operação do tipo empréstimo é definida como aquela em que ocorre uma única saída de caixa no momento em que

ocorre a operação financeira, seguida por uma série de entradas de caixa.

No caso das formulas de Karpin ocorre uma exigência

complementar para que possam ser aplicadas é que os pagamentos apresentem uma lei determinada de formação. Logo, fica vedada sua aplicação para séries que apresentem pagamentos distintos.

As fórmulas de Karpin facilitam o calculo, de modo

expedito, da Taxa Interna de Retorno de projetos de investimentos tipo empréstimo.

Ressalta-se que projeto tipo empréstimo é definido como

aquele em que ocorra apenas uma única saída de caixa seguida de tantas entradas de caixa quantos forem os períodos de pagamento. E, que a primeira entrada ocorra no período imediatamente subsequente ao da saída de caixa. É oportuno ressaltar que o resultado obtido pela utilização da fórmula de Karpin é aproximado e, para que o resultado seja compatível com o real, os juros deverão ser calculados, exclusivamente, sobre a importância a ser financiada. Isto quer dizer que eventuais entradas ou sinal de negócio devam ser abatidos do montante do bem financiado. Três serão os casos de prestações a serem apresentados:

� Prestações constantes; � Prestações crescentes; � Prestações decrescentes.



Como nomenclatura, neste capítulo será adotado: R, correspondendo ao valor da prestação; VB, o valor do bem financiado; n, representando o número de prestações.

10.2 - Caso de Prestações Constantes.

10.2.1 – O método.

O modelo proposto é recomendado para utilização em projetos convencional tipo financiamento ou empréstimo com retornos constantes, correspondendo a uma série postecipada, e destinado a definir a taxa de juros sob a ótica do tomador do recurso.

Como exemplo deste tipo de aplicação seja o caso de

aquisição de bens de consumo realizado no comércio varejista, quando os pagamentos realizados à prestação constante.

Estabelecendo a seguinte nomenclatura: S correspondendo ao valor a ser financiado; Q representando a prestação; e, n o numero de prestações.

E, considerando um projeto de financiamento representado

por deu fluxo de caixa:

Projeto: {-VB, R1, R2, R3,..., Rn } Ou, em forma polinomial,

nn

33

22

11

)i1(R

)i1(R

)i1(R

)i1(R

VB)P(VP+

+++

++

++

+−= L

Em que, por definição: R1 = R2 = R3 = … = Rn = R

O processo de obtenção da TIR ocorre em duas etapas:

1º Etapa – Define-se uma constante denominada “a”:

1VBnR

VBVBnR

a NN −=−=

2º Etapa – Calcular-se a TIR: Disponível o valor da constante a, pode-se determinar a TIR, utilizando o modelo abaixo.

)n(na

)a(a)P(TIR

132

32

+×++×≅



10.2.2 – Aplicação. Seja calcular a taxa de juros embutida no financiamento de um bem cujo preço ofertado é de R$ 1.800,00, a ser pago em dez prestações iguais, mensais e consecutivas no valor de R$ 195,00.

08333,011800

195101

VBRn

a N =−×=−×=

014801103083330102

08333030833302

132

32,

)(,),(,

)n(na)a(a

)P(TIR =++××

+××=++

+≅

Pelo exposto, o valor da TIR(P) = 1,48% ao mês.

10.3 - Caso de Prestações Crescentes.

10.3.1 – O Método.

Neste caso, as prestações são crescentes e variam segundo uma taxa constante. O fluxo de caixa, então, se comporta como uma série em progressão geométrica que cresce à razão “q”.

Sendo Rj um termo qualquer do fluxo de caixa

representado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo, então, por definição, e sendo esse um dos termos de uma progressão geométrica, a razão da progressão, ou seja, da série crescente de prestações é dada por:

Rj = q × R j-1 ∴ 1RR

q1j

j >=−

De modo similar ao caso anterior, a definição da taxa

interna de retorno também é obtida em duas etapas:

1ª Etapa – Define-se uma constante denominada de a, definida em função do número de prestações, do coeficiente de variação das prestações, do valor da 1ª prestação e do valor financiado, conforme o modelo abaixo:

1qVBnR

qVBqVBnR

a11 −=−=

2º Etapa: Calcula-se a TIR: Disponível o valor do parâmetro a, calcula-se a TIR utilizando o modelo.



11132

32 −

+

+++×≅

)n(na)a(a

q)P(TIR

10.3.2 – Aplicação.

Seja calcular a taxa de juros embutida no financiamento de um bem cujo preço ofertado monta a R$ 1.800,00, a ser pago em dez prestações mensais, crescentes e consecutivas, cuja taxa de crescimento foi determinada em 1% ao mês. A primeira prestação foi pré-determinada em R$ 180,00. 1ª Etapa: Calculo do parâmetro a:

0726,0118181950

100,180001,1

00,195101

VBqRn

a1 =−=−

××=−

××=

2ª Etapa: Determinação da TIR

11)1n(3na2

)a3(a2q)P(TIR −

+++

+×≅

11)110(3)0726,0(102

)0726,3()0726,0(201,1)P(TIR −

++×+××

×××≅

0231,0114520,344461,0

01,1)P(TIR =−

+×≅

Neste caso, a TIR corresponde a 2,31% ao mês.

10.4 – Caso de Prestações Decrescentes.

10.4.1 – O Método.

Neste caso, as prestações são decrescentes e variam segundo um valor constante.

O fluxo de caixa, então, pode ser considerado como uma série em progressão aritmética decrescente a um valor constante k. Há, porém, para que o modelo possa ser aplicado, verificar se a primeira prestação atende à seguinte condição. Sendo a primeira prestação inferior ao valor de R1, conforme condição, a aplicação deste modelo de determinação da TIR fica inviabilizada:

)kn(n

VBR1 ×+=



Então, sendo Rj um termo qualquer do fluxo de caixa representado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo, então, por definição e sendo esse um dos termos de uma progressão aritmética, ele é definido por:

Rj = R j-1 - K e, K = R j-1 - Rj

Para que seja valida a aplicação do modelo, o primeiro termo da série de pagamentos, ou seja, a primeira prestação deve atender a condição definida:

)Kn(n

VBR1 ×+=

Atendida a condição estabelecida para a primeira

prestação da série de pagamentos pode, então, ser calculada a Taxa Interna de Retorno utilizando a seguinte expressão:

VBnK

)P(TIR ≅

Ressalta-se que, em a primeira prestação não atender a condição acima, o modelo não pode ser aplicado, cabendo ao interessado utilizar outra metodologia para a definição da TIR.

10.4.2 – Aplicação.

Seja calcular a taxa de juros embutida no financiamento

de um bem cujo preço ofertado monta a R$ 1.800,00, a ser pago em seis prestações mensais, decrescentes e consecutivas, iniciando a primeira, no valor de R$ 206,60

decorridos trinta dias da data da operação. As prestações decrescendo em R$ 2,66 por mês. 1ª Etapa: Condição da Primeira Prestação. O modelo de cálculo da TIR somente será coerente se o valor da prestação calculado, R1, for igual ao valor pactuado para a primeira prestação.

Neste caso, a igualdade existe, o que torna viável a aplicação do modelo. Caso contrário, a aplicação do modelo se mostraria inconsistente.

$R60,206)66,210(10

1800)Kn(

nVB

R1 =×+=×+=

2ª Etapa: Determinação da TIR.

0148,000,800.166,210

VBnK

)P(TIR =×=≅

Neste caso de prestação decrescente a TIR apresenta uma taxa de juros de 1,48% ao mês. 10.5 - Exercícios. e. Um equipamento é vendido, à vista, por R$ 480.000,00.

Calcular as taxas de juros cobradas sob as seguintes condições:

� Financiamento realizado em 10 prestações iguais e

consecutivas no valor de R$ 78.118,00 mensais;



� Em 10 pagamentos iguais, mensais e consecutivos, com a primeira prestação no valor de R$ 45.000,00 e as demais apresentando uma variação crescente segundo um coeficiente de 10% ao mês;

� Em dez prestações decrescentes, mensais e consecutivas, pactuadas segundo a sequência abaixo:

R$ 73.000,00 R$ 70.500,00 R$ 68.000,00 R$ 65.500,00 R$ 63.000,00 R$ 60.500,00 R$ 58.000,00 R$ 55.500,00 R$ 53.000,00 R$ 50.500,00

b) Calcular a TIR vinculada ao financiamento de um automóvel nas seguintes condições de pagamento e venda.

� Preço do Veículo: R$ 28.000,00 � Entrada: R$ 5.000,00 � Em trinta dias (1º pagamento): R$ 3.000,00 � Saldo: cinco prestações mensais, iguais e consecutivas

no valor de R$ 5.987,00. c) Uma empresa varejista oferta uma geladeira tipo Gelmax em dez prestações iguais, mensais e consecutivas, no valor de R$ 599,90, vencendo a primeira delas 30 dias após a data de aquisição. O preço a vista do produto é de R$ 5.999,00, e a empresa não pratica desconto algum sobre este valor. Assim sendo, pergunta-se:

• O montante do lucro realizado; • O custo do produto, CD.

Para o calculo do preço, você dispõem dados gerenciais abaixo. A empresa fixa seu preço adotando o seguinte modelo matemático:

P = CD( 1+k ) e, k =ML + TR + DI.

Taxa de financiamento a clientes 26,6750% ao ano Margem de lucro = ML 15% Tributos = TR 22,50% Despesas administrativas indiretas = DI 4,4%

d) Assinale qual, ou quais, opções são válidas:

• Sempre que a TIR for maior que a TMA um projeto produtivo pode ser considerado como viável.

• Quando a TIR for igual à TMA um projeto produtivo deve ser abandonado por ser inviável.

• Quando comparados dois projetos produtivos, o que apresentar a maior TIR deve ser definido como o mais atrativo.

• Ao serem comparados dois projetos repetitivos, a exemplo da reposição de equipamentos, e que apresentem tempos de vidas distintos, o método do valor presente não é o mais adequado para ser adotado no processo de decisão.

• No caso de um projeto apresentar uma TIR igual a TMA, quanto maior for o valor da TIR, menor é o tempo de retorno do capital investido.

• A TIR é um método inadequado para definir a taxa de juros embutida em financiamento de bens no curto prazo.

• Quando comparados dois projetos de financiamento de curto prazo, o que apresentar a maior TIR deve ser rejeitado.

• A TIR e a TMA sempre exprimem o mesmo conceito ou seja, taxa de oportunidade.

• A matemática dos juros simples é a legalmente definida para ser adotada em estudos de viabilidade.



• O método do valor uniforme equivalente não é o mais adequado para ser adotado em análise de viabilidade de projetos produtivos.



11. – Comissionamento de Ativos. 11.1 – Definição. Este Capítulo trata do comissionamento de ativos e do leasing-back. No contexto em discussão, comissionar significa colocar num processo de produção um bem ou equipamento destinado a cumprir determinada função ou serviço por um determinado período de tempo. A análise de investimentos permite incluir no processo de decisão da escolha de equipamentos a dimensão financeira. Dimensão esta que possibilita estabelecer uma política de aquisição, comissionamento e alienação de ativos e que transcende à análise técnica ou econômica dos mesmos. Considerando, comumente, que as alternativas analisadas nos estudos de comissionamento são destinadas a comparação de equipamentos que realizarão um mesmo serviço é comum analisar somente os custos a serem incorridos, nesses casos. Assim sendo, pode-se considerar, apenas, os custos associados a cada alternativa, procedimento que facilita e agiliza o processo de tomada de decisão. 11.2 – Tipos de Comissionamentos.

O comissionamento pode se realizar sob as seguintes alternativas:

• Compra a vista; • Compra a prazo ou financiamento; • Aluguel com devolução, ou leasing; • Aluguel sem devolução; • E, o leasing-back.

O leasing-back, é uma modalidade de financiamento de

ativos, a partir da aquisição de um bem da própria empresa tomadora do financiamento. Neste caso a empresa vende um ativo de sua propriedade para a financiadora que, imediatamente, lhe aluga ou financia o mesmo.

11.3 – Metodologia. 11.3.1 – Decisão. O processo de decisão adotado para aplicação na escolha da melhor das alternativas acima elencadas é o método do valor presente líquido. Para tanto, devem ser definidas as seguintes variáveis:

• O valor do bem, ou seja, o seu preço de aquisição; • A T.M.A. da empresa; • A vida útil do bem ou equipamento; • O valor residual; • A taxa de juros do financiamento; • O valor do aluguel.

A decisão será efetuada segundo a alternativa que apresentar o melhor Valor Presente Líquido - VPL.



E, o valor presente líquido e os fluxos de caixa das alternativas são calculados segundo o modelo abaixo:

∑= +

+=n

1kk

k

)i1(

FFo)p(VP

Em que o valor do fluxo de caixa – FK, genérico, é

definido pelo seguinte modelo:

Alerta-se que, no calculo do valor presente de cada alternativa, a taxa de desconto i corresponde à TMA da empresa interessada.

Nos itens a seguir serão discutidos os diagramas de

fluxo de caixa típicos de cada uma das modalidades de comissionamento elencadas no item 11.2. A decisão da escolha da melhor alternativa, como já comentado, deverá ser realizada utilizando o método do Valor Presente Líquido. 11.3.2 - Compra a vista. A compra a vista é recomendável quando a empresa dispõe de caixa suficiente para a aquisição do bem e não prejudicar o nível do capital de giro.

Na compra a vista, o fluxo de caixa deve considerar o investimento inicial correspondendo ao valor do bem adquirido e todas as entradas e saídas de caixa propiciadas pela operação do bem. Um exemplo de fluxo de caixa desta operação é exposto na Fig.11.1. Além disso, deve considerar a vida útil do bem, ou seja, o tempo em que o mesmo estiver em comissionamento.

Para tanto há que se considerar os tributos e taxas incidentes, custos e despesas necessárias à operação do mesmo, taxas e a depreciação legal, esta última, que melhora o fluxo de caixa.

Ao final da vida útil do projeto, o bem pode ser vendido e, deste modo, haver uma melhoria no ultimo fluxo de caixa, fato que pode vir a beneficiar sensivelmente o projeto.

Fk = Σ Rec – Σ Desp - Invest + Deduções + Valor Residual

Ou,

Fk = Lucro – Investimentos + Deduções + Valor Residual



11.3.3 - Compra a prazo. Na compra a prazo, ou financiamento, o bem também é considerado, para efeitos legais, como propriedade da empresa. O fluxo de caixa associado a uma compra a aprazo deve levar em consideração: o valor da prestação, ai especificando o montante dos juros a serem pagos e o valor da amortização a cada período. Deve-se adicionar ao fluxo de caixa, também, os tributos e taxas incidentes, bem como a depreciação legal. Ver modelo de fluxo de caixa de compra a prazo na Fig.11.2.

Neste caso, conforme já comentado no capitulo amortização de dívidas, o pagamento das prestações do financiamento deve ser decomposto na parcela dos juros e na de amortização.

Prestação = Juros + Amortizações. Isto porque, os juros são considerados como despesas do exercício e susceptíveis à ação do imposto de renda.

E, os valores das amortizações considerados como investimento. Contabilmente integram o ativo da empresa.

A atratividade das alternativas de compra a prazo e, também, de aluguel é a possível disponibilidade do bem sem ocorrer a necessidade de descapitalização.

Além disso, neste caso de financiamento ou aluguel sem a devolução do bem no final do período contratual, o pagamento do bem ocorre na medida em que vai sendo realizado o fluxo de receitas da empresa. 11.3.4 - Aluguel com devolução do bem. No caso de ocorrer aluguel com a devolução do bem no final do período de locação, operação comumente conhecida como leasing, o custo do aluguel ocorre durante toda a vida do projeto. No final do período o bem retorna à posse do locador.

Neste caso o bem é considerado como propriedade do locador e o custo do aluguel contabilmente tratado como despesa do exercício. Ver modelo de fluxo de caixa na Fig.11.3.



O valor do aluguel é definido por uma série uniforme postecipada, com prestações iguais, mensais e consecutivas. 11.3.5 - Aluguel sem devolução do bem. No caso de ocorrer aluguel sem a devolução do bem, o custo do aluguel ocorre durante toda a vida do projeto. E, durante o período de locação, o valor da mesma é considerado como despesa do exercício.

Após expirar o contrato de aluguel, porém, o bem passa a integrar o patrimônio da empresa locatária avaliado pelo valor residual do mesmo. Neste caso pode haver uma operação de compra ou, simplesmente, a doação do bem pela arrendadora à empresa financiada. Ver Fig. 11.4.

Em decorrência deste fato, ao final do projeto, há que se considerar o valor do mesmo como uma entrada de caixa, segundo o valor previsto para aquela época. 11.4 - Leasing-back.

O leasing-back é uma operação de leasing financeiro em que o próprio cliente atua, também, como fornecedor.

Ele vende um ativo de sua propriedade para a empresa

arrendadora que, em seguida, lhe arrenda o bem. Ao fim do contrato, o cliente recompra o bem pelo valor residual garantido - VRG(6).

O valor residual garantido corresponde a uma porcentagem

do valor de aquisição, segundo condições ou parâmetros contratualmente estabelecidos.

(6) Fonte: http://www.unibanco.com.br/epd/emp/rei/bac/index.asp. acesso em 20.10.2009.



Na prática, o leasing-back funciona como um modo simples

e rápido de obtenção de capital de giro de longo prazo com garantia real e sem incidência de Imposto sobre Operações Financeiras, IOF. A empresa vende um bem do seu ativo imobilizado sem perder o uso do mesmo e o recompra concluída a operação de leasing.

O fluxo de caixa para análise desta operação deve

considerar como entrada de caixa o valor de venda do bem no momento da operação. E, como saídas de caixa: os custos do aluguel/leasing; as possíveis despesas de manutenção; e o valor de recompra no final do período. Ver Fig. 11.5.

A vantagem neste tipo de operação financeira é que ela

possibilita o alongamento do perfil do endividamento de curto para longo prazo.

Além disso, possibilita à empresa a realização de planejamento fiscal e tributário, pois o cliente utiliza-se das vantagens contábeis e fiscais do leasing financeiro para bens anteriormente incorporados ao seu ativo imobilizado.

11.5 – Exercício

O Diretor Financeiro da MORSA Construções & Engenharia esta estudando a substituição e padronização de sua frota de automóveis, pois deseja adquirir dez novas unidades.

Estude, analise e recomende qual será a ação financeiramente mais interessante de comissionamento possível.

Para tanto, estão disponíveis as seguintes informações:

• A MORSA adota uma TMA de 15% ao ano; • O preço de um veículo novo é de R$ 45.300,00. • O mesmo veículo com cinco anos de uso pode ser

negociado a 20% do valor do novo; • A instrução normativa nº 162 da Receita Federal permite

depreciar um automóvel em 5 (cinco) anos; • Taxas e imposto sobre propriedade de veículos montam a

3% ao ano sobre o valor do mesmo, variando segundo o tempo de uso a uma taxa decrescente de 20% ao ano;

• O Diretor dispõe de uma proposta de leasing no valor de R$ 1.888,00 mensais, por veículo. A empresa Pro-leasing substitui os veículos a cada dois anos, com devolução do bem alugado;

• A Fightwell, empresa coligada à concessionária de veículos, se propõe a financiar os veículos pelo prazo de 5 anos, ao custo de 18.003,72 R$, anual, por veículo. Juros pactuados



de 28,32% ao ano ou 2,1% ao mês. Tributos, taxas e manutenção suportados pelo cliente.

• Uma análise dos custos anuais de manutenção de veículos da empresa mostra que evoluem, anualmente, sendo de: 4% do valor do veículo novo no primeiro ano, 5% do valor do veículo novo no segundo ano; e crescendo 1% a cada período.

• Após o quinto ano é política da empresa alienar seus veículos.

• A soma das alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro, imposto de renda e contribuição social sobre o lucro líquido, montam a 24%.

I – Definição do método de decisão e resultado. Sendo política da empresa em alienar veículos a cada cinco anos, pode-se considerar uma substituição total de frota no final deste período, sem haver a consideração da reposição com ativos idênticos aos alienados.

O estudo de decisão será realizado para apenas um veículo, já que todos os veículos serão similares.

Foram analisadas três alternativas de comissionamento: 1º. Compra a vista; 2º. Leasing contratado com CV-leasing; 3º. Financiamento contratado com a Fightwell. Foi adotado como método de decisão o valor presente

líquido, tendo sido obtido para cada alternativa analisada os seguintes montantes:

• Compra a vista - 44.742,92 R$

• Leasing: Proleasing - 57.719,28 R$ • Financiamento: Fightwell. - 49.969,52 R$

Comparando os valores presentes obtidos, a compra a

vista é a que oferece o menor custo. Porém, há que se verificar se a MORSA dispõe de caixa, ou não vai se descapitalizar, para adotar esta alternativa.

Caso não disponha de recursos, a alternativa a adotar

será realizar o comissionamento da frota utilizando o processo de financiamento do bem através da Fightwell. O leasing se mostrou como sendo a alternativa que apresenta o maior custo.

II – Fluxos de Caixa Singulares. O valor dos tributos e da manutenção a ser considerado no Fluxo de Caixa é função de custo anual de manutenção multiplicado por (1-α), sendo α o somatório das alíquotas do Imposto de Renda e da CSLL, incidentes sobre o lucro do exercício. Neste caso: (1-α) = ( 1- 0,24) = 0,76. A - Calculo dos Tributos Anuais.

Ano Valor

do Bem Desvalor.

% Base

Calculo Alíquota

% Tributo

R$ 1 45.300,00 1,00 45.300,00

0,03

1.359,00 2 45.300,00 0,80 36.240,00 1.087,20 3 36.240,00 0,80 28.992,00 869,76 4 28.992,00 0,80 23.193,60 695,80 5 23.193,60 0,80 18.554,88 556,65 Tributo

R$ (1-α) Valor para Fluxo Caixa

1 1.359,00

0,76

1,032,84 2 1.087,20 826,27 3 869,76 661,02 4 695,80 528,81 5 556,65 423,05



B - Calculo dos Custos de Manutenção.

Ano Valor %

Manutenção Custo Anual Manutenção (1-α)

Valor para Fluxo Caixa

1

45.300,00

0,04 1.812,00

0,76

1.377,12 2 0,05 2.265,00 1.721,40 3 0,06 2.718,00 2.065,68 4 0,07 3.171,00 2.409,96 5 0,08 3.624,00 2.754,24

c) Calculo da depreciação anual.

ValoraDepreciar =45.300,00

5= 9.060,00R$/ano

Depreciação = α x 9.060 = 0,24 x 9.060 = 2.174,40 R$/ano III – Compra a Vista - Valor Presente. O valor presente do fluxo de caixa relativo à compra a vista do bem é definido pelo modelo a seguir, sendo α = 0,24 o valor da soma das alíquotas do Imposto de Renda e da CSLL incidentes sobre o lucro da MORSA:

Fk = (1-α) {Σ Rec. - Σ Desp.} - Invest. + α Dep. + V. Resid. E, o valor presente líquido dos fluxos de caixa descontados à TMA de 15% a.a., é definido pelo modelo:

∑∑==

+=+

+=5

1kk

k0

n

1kk

ko 1

51FF

i1FFpV

P ),()()(

C – Fluxo de Caixa – Compra a Vista

F0 F1 F2 F3 F4 F5 Valor Bem 45.300,00 Manuten. 1.377,12 1.721,40 2.065,68 2.409,96 2.754,24 Tributos 1.032,84 826,27 661,02 528,81 423,05 Deprecia. 2.174,40 2.174,40 2.174,40 2.174,40 2.174,40 V.Resid - + 9.060,00 Flx. Caixa - 45.300,00 - 235,56 - 373,27 - 552,30 - 764,37 +3.708,31

Calculando, então, o valor presente dos custos incorridos considerando uma compra a vista, tem-se:



VP�CV� = −45300 −236

1,153−

373

1,15�−

552

1,15�−

763

1,154+

3708

1,155

VP(CV) = - 44.742,92 R$

IV - Leasing – Empresa Proleasing.

Neste caso, o leasing é realizado com a devolução do bem negociado.

O fluxo de caixa no leasing pode ser associado ao de

uma série uniforme postecipada. E, o valor presente descontado à TMA de 15%, adotada pela MORSA, calculado segundo o modelo abaixo:

VP�Pro� = P ×�1 + �� − 1

� × �1 + ��∴

P = (1-α) x 1.888,00 x 12 = 17.218,56

VP�Pro� = 17.218,56 ×�1,15�5 − 1

0,15 × �1,15�5=

VP(Pro) = - 57.719,28 R$

V- Financiamento - Fightwell. No caso de financiamento, o bem financiado passa a integrar o ativo da empresa financiada e, em consequência, os custos de operação e tributos suportados por ela.

Quanto à consideração dos valores das prestações a serem lançados nos fluxos de caixa ha que se tomar, separadamente, os valores dos juros e os das amortizações.

Nesta situação, somente os juros sofrem a influencia do imposto de renda. Assim, os juros a integrar cada fluxo de caixa anual corresponderão aos juros do financiamento contratado multiplicado por 0,76.

O valor da amortização, sendo investimento, é lançado

no fluxo de caixa pelo seu valor integral. Ver quadro D, que mostra os valores dos juros e das amortizações previstos para cada período.



O fluxo de caixa da alternativa de financiamento é

definido, então, como estabelecido no Quadro-E e representado no diagrama do fluxo de caixa exposto no desenho V.

Alerta-se que os valores dos juros foram lançados no

quadro E - Calculo dos Fluxos de Caixa, já considerado o redutor de 0,76, relativo ao Imposto de Renda e da CSLL.

Com os dados do fluxo de caixa expostos no quadro E,

pode-se calcular o valor presente associado a esta alternativa de financiamento conforme a seguir:

∑∑==

+=+

+=5

1kk

k0

n

1kk

ko 1

51FF

i1FFpV

P ),()()(

VP�CV� = −15180

1,153−15650

1,15�−16280

1,15�−17071

1,154−8.993

1,155

VP(CV) = - 49.969,52R$.

E - Calculo dos Fluxos de Caixa – Financiamento item F1 F2 F3 F4 F5

Juros 9.750,01 8.636,24 7.207,04 5.373,10 3.019,75 Amortiz. 5.194,76 6.640,25 8.520,77 10.933,85 14.030,36 Manuten. 1.377,12 1.721,40 2.065,68 2.409,96 2.754,24 Tributos 1.032,84 826,27 661,02 528,81 423,05 Deprecia. 2.174,40 2.174,40 2.174,40 2.174,40 2.174,40 V.Residu + 9.060,00 Flx. Caixa -15180,33 -15649,76 -16280,11 -17071,32 - 8.993,00

�

D - Calculo dos Juros e Amortizações – Financiamento

Ano Saldo Anual

Prestação Juros 28,32% a.a.

Amortização

0 45.300,00 - - - 1 40.125,24 18.003,72 12.828,96 5.174,76 2 33.484,99 18.003,72 11.363,47 6.640,25 3 24.964,22 18.003,72 9.482,95 8.520,77 4 14.030,36 18.003,72 7.069,87 10.933,85 5 0,00 18.003,72 3.973,36 14.030,36



ÍNDICES DE INFLAÇÃO.

2012

2011

2010

2009



2008

2007

Índice Nacional de Preço ao Consumidor INPC (IBGE)

Valores referidos ao 1º dia de cada mês.

Ponderação das despesas da família:

Tipo de Gasto Peso % do Gasto

Alimentação 33,10

Despesas pessoais 13,36

Vestuário 13,16

Habitação 12,53

Transportes e comunicação 11,44

Artigos de residência 8,85

Saúde e cuidados pessoais 7,56

Total 100,00 %



Mês/ano

Índice

do mês

(em %)

Índice acumulado

no ano

(em %)

Índice acumulado

nos últimos

12 meses

(em %)

Número índice

acumulado a partir

de Jan/93

Dez/2011 0,51 6,0799 6,0799 905,7689

Nov/2011 0,57 5,5416 6,1749 901,1729

Out/2011 0,32 4,9435 6,6605 896,0653

Set/2011 0,45 4,6087 7,2984 893,2070

Ago/2011 0,42 4,1401 7,3946 889,2056

Jul/2011 0,00 3,7045 6,8705 885,4866

Jun/2011 0,22 3,7045 6,7957 885,4866

Mai/2011 0,57 3,4769 6,4441 883,5428

Abr/2011 0,72 2,8904 6,2959 878,5351

Mar/2011 0,66 2,1549 6,3065 872,2549

Fev/2011 0,54 1,4851 6,3593 866,5358

Jan/2011 0,94 0,9400 6,5285 861,8816

Dez/2010 0,60 6,4652 6,4652 853,8553

Nov/2010 1,03 5,8302 6,0842 848,7628

Out/2010 0,92 4,7513 5,3912 840,1097

Set/2010 0,54 3,7963 4,6810 832,4510

Ago/2010 -0,07 3,2389 4,2854 827,9800

Jul/2010 -0,07 3,3112 4,4420 828,5600

Jun/2010 -0,11 3,3836 4,7555 829,1404

Mai/2010 0,43 3,4974 5,3113 830,0535

Abr/2010 0,73 3,0543 5,4896 826,4995

Mar/2010 0,71 2,3074 5,3011 820,5098

Fev/2010 0,70 1,5861 4,7677 814,7252

Jan/2010 0,88 0,8800 4,3620 809,0618

Dez/2009 0,24 4,1137 4,1137 802,0042

Nov/2009 0,37 3,8645 4,1657 800,0840

Out/2009 0,24 3,4816 4,1761 797,1346

Set/2009 0,16 3,2338 4,4462 795,2260

Ago/2009 0,08 3,0690 4,4359 793,9557

Jul/2009 0,23 2,9866 4,5715 793,3210

Jun/2009 0,42 2,7502 4,9367 791,5006

Mai/2009 0,60 2,3205 5,4487 788,1902



Abr/2009 0,55 1,7102 5,8261 783,4893

Mar/2009 0,20 1,1539 5,9208 779,2036

Fev/2009 0,31 0,9519 6,2485 777,6483

Jan/2009 0,64 0,6400 6,4286 775,2451

Dez/2008 0,29 6,4814 6,4814 770,3151

Nov/2008 0,38 6,1735 7,2034 768,0876

Out/2008 0,50 5,7716 7,2568 765,1799

Set/2008 0,15 5,2454 7,0434 761,3731

Ago/2008 0,21 5,0878 7,1503 760,2327

Jul/2008 0,58 4,8675 7,5566 758,6396

Jun/2008 0,91 4,2628 7,2785 754,2646

Mai/2008 0,96 3,3225 6,6406 747,4627

Abr/2008 0,64 2,3401 5,9012 740,3553

Mar/2008 0,51 1,6893 5,5013 735,6472

Fev/2008 0,48 1,1733 5,4279 731,9145

Jan/2008 0,69 0,6900 5,3649 728,4181

Dez/2007 0,97 5,1556 5,1556 723,4265

Nov/2007 0,43 4,1454 4,7911 716,4767

Out/2007 0,30 3,6996 4,7808 713,4091

Set/2007 0,25 3,3893 4,9164 711,2752

Ago/2007 0,59 3,1316 4,8224 709,5015

Jul/2007 0,32 2,5267 4,1867 705,3400

Jun/2007 0,31 2,1996 3,9685 703,0899

Mai/2007 0,26 1,8837 3,5747 700,9171

Abr/2007 0,26 1,6195 3,4404 699,0995

Mar/2007 0,44 1,3560 3,2959 697,2866

Fev/2007 0,42 0,9120 3,1212 694,2319

Jan/2007 0,49 0,4900 2,9261 691,3284

Dez/2006 0,62 2,8134 2,8134 687,9575

Nov/2006 0,42 2,1799 2,5886 683,7184

Out/2006 0,43 1,7525 2,7112 680,8588

Set/2006 0,16 1,3169 2,8646 677,9436

Ago/2006 - 0,02 1,1550 2,8543 676,8607

Jul/2006 0,11 1,1753 2,8749 676,9961

Jun/2006 - 0,07 1,0641 2,7927 676,2522

Mai/2006 0,13 1,1349 2,7516 676,7259

Abri/2006 0,12 1,0036 3,3365 675,8473

Mar/2006 0,27 0,8825 4,1519 675,0372



Fev/2006 0,23 0,6109 4,6297 673,2196

Jan/2006 0,38 0,3800 4,8489 671,6747

Dez/2005 0,40 5,0474 5,0474 669,1320

Nov/2005 0,54 4,6288 5,5286 666,4661

Out/2005 0,58 4,0669 5,4237 662,8865

Set/2005 0,15 3,4668 4,9939 659,0640

Ago/2005 0,00 3,3118 5,0149 658,0769

Jul/2005 0,03 3,3118 5,5400 658,0769

Jun/2005 - 0,11 3,2808 6,2785 657,8795

Mai/2005 0,70 3,3946 6,9276 658,6040

Abri/2005 0,91 2,6758 6,6090 654,0258

Mar/2005 0,73 1,7499 6,0808 648,1278

Fev/2005 0,44 1,0125 5,9123 643,4308

Jan/2005 0,57 0,5700 5,8595 640,6121

Dez/2004 0,86 6,1332 6,1332 636,9813

Nov/2004 0,44 5,2283 5,7965 631,5500

Out/2004 0,17 4,7673 5,7228 628,7833

Set/2004 0,17 4,5895 5,9549 627,7162

Ago/2004 0,50 4,4120 6,6425 626,6509

Jul/2004 0,73 3,8925 6,3029 623,5332

Jun/2004 0,50 3,1396 5,5748 619,0144

Mai/2004 0,40 2,6265 4,9865 615,9347

Abri/2004 0,41 2,2176 5,6034 613,4808

Mar/2004 0,57 1,8002 6,6236 610,9758

Fev/2004 0,39 1,2232 7,4718 607,5130

Jan/2004 0,83 0,8300 8,6172 605,1529

Dez/2003 0,54 10,3839 10,3839 600,1715

Nov/2003 0,37 9,7910 12,7554 596,9480

Out/2003 0,39 9,3863 16,1480 594,7474

Set/2003 0,82 8,9613 17,5133 592,4369

Ago/2003 0,18 8,0751 17,5249 587,6184

Jul/2003 0,04 7,8809 18,3227 586,5626

Jun/2003 - 0,06 7,8378 19,6355 586,3281

Mai/2003 0,99 7,9025 20,4375 586,6801

Abr/2003 1,38 6,8448 19,3642 580,9289

Mar/2003 1,37 5,3904 18,5401 573,0212

Fev/2003 1,46 3,9661 17,6630 565,2769

Jan/2003 2,47 2,4700 16,3294 557,1426



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABREU, Paulo F. Simas P. de & STEPHAN, Christian. "Análise de Investimentos". Editora Campus Ltda. 1982.

AVILA, Antonio V. e JUNGLES, Antonio E. Gerenciamento na

Construção Civil. Editora Argos. Chapecó. SC. 2006. BIERMAN Jr., Harold and SMIDT Seymour.The Capital

Budgeting Decision. MacMillan, 1975. CARVALHO, Fernando M; RODRIGUES, José A.; PINTO, Luiz

F., RODRIGUES, Sérgio F. – “Análise e Administração Financeira”, IBMEC, 1980.

DE FARO, Clóvis – “Engenharia Econômica” Editora APEC.

Rio de Janeiro. 1972. .......................... Curso de Engenharia de Produção. Disciplina

Modelos Aplicados à Análise de Investimentos. Notas de Aula. Pontifícia Universidade Católica. Departamento de Engenharia Industrial. Rio de Janeiro. RJ. 1980.

GITMAN, Lawrence J. Princípios de Administração Financeira.

2ª Edição. Editora Bookman. Porto Alegre, RS. 2001. KARPIN, H. Simple Algebraic Formulae For Estimating The Rate of Interest. J.I.A., 93, 1967. LIMA JUNIOR, João da Rocha. “Formação da Taxa de Retorno

em Empreendimentos de Base Imobiliária”. Boletim Técnico da Escola Politécnica da USP. BT/PCC/218. EPESP. São Paulo. 1998.

MAITAL, Shlomo. “Economia Para Executivos”, Editora

Campus. Rio de Janeiro. 1996. MATHIAS, Washington F., GOMES, José M. – “Matemática

Financeira”, ATLAS, 1977. MAYER, Raymond R. – “Análise Financeira de Alternativas de

Investimento”, ATLAS, 1972. SANVICENTE, Antonio Z. – “Administração Financeira”,

ATLAS, 1978. SOTO COSTA, Paulo H. O problema do Capital de Giro na

Análise de Viabilidade de Projetos. DEI / PUC – Rio, 1979. SOTO COSTA, Paulo H. Introdução à Análise de

Investimentos. DEI / PUC. Rio de Janeiro. RJ. 1.979. -----------------------, ATTIE, Eduardo Vieira. Análise de Projetos

de Investimentos. Editora da Fundação Getúlio Vargas. Rio de Janeiro. RJ. 1984.



ANEXOS - Casos e Trabalhos

Anexo I – Trabalhos.

Aluno

Rubrica

Aluno

Rubrica

I.1 – Trabalho: Análise de Fluxo de Caixa. Comparar e analisar os projetos abaixo.

1 – Exigibilidades:

Para tanto pede-se:

1.1. Calcular o Valor Presente e a Taxa Interna de Retorno; 1.2. Efetuar relatório comparativo da analise dos resultados

obtidos por cada método. Informar qual sua decisão; 1.3. Calcular o Custo Anual Equivalente ou Beneficio Anual

Equivalente para uma TMA de seu arbítrio. 1.4. Apresentar num mesmo gráfico, utilizando o EXCEL,

as curvas representativas do diagrama de valor presente de cada projeto, bem como o quadro correspondente a cada ponto calculado da curva;

1.5. Considerando o caso de uma firma específica adote, a seu critério, uma TMA para efetuar sua decisão ao definir qual dos projetos indicaria como sendo o melhor.

2 – Condições: 2.1. Cada equipe será integrada, no máximo, por dois

alunos; 2.2. Esta folha de instrução devera preceder o seu trabalho; 2.3. O trabalho será realizado em papel A4; 2.4. O Número da Equipe, preenchido no quadro acima,

equivale ao número do EXERCÍCIO indicado na folha dos fluxos de caixa, anexa. A folha anexa não precisa ser devolvida.

2.5 Copiar do Quadro dos Fluxos de Caixa, abaixo, os projetos que lhes couber, antes de iniciar a apresentação da memória de cálculo; 2.6. O trabalho será entregue, impreterivelmente, DIA: 2.7. A equipe que não entregar o trabalho na data aprazada será considerada como ter abandonado a disciplina. 3 – Julgamento: 3.1. Qualidade e Apresentação do Trabalho; 2 pts. 3.2. Relatório de decisão onde conste a memória de

cálculo; 4 pts. 3.3. Exatidão dos resultados. 4 pts.


Exerc. Projeto F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 A1 A -100 -100 -30 25 33 44 55 60 65 80 60 30 -20 -10 4 B -100 -90 -50 -32 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 -50

B2 A -80 -90 -100 -50 55 55 55 55 75 175 180 160 160 -20 25 B -155 -320 25 -30 90 90 150 120 120 190 110 110 120 100 20

C3 A -10 -300 -200 -100 80 90 120 150 320 320 450 400 40 -20 -15 B 25 25 -200 -200 -150 50 -45 80 80 200 200 200 200 100 -12

D4 A -80 -45 45 47 48 -33 -33 -30 80 88 90 25 20 15 10 B -70 -20 -20 40 40 -12 42 -15 60 70 80 90 100 145 -10

E5 A -20 -65 65 125 -46 -48 -15 120 130 155 150 180 200 125 15 B -50 -78 78 148 58 -57 -50 145 150 180 170 120 120 -30 -15

F6 A -60 -63 63 66 67 -50 -20 -50 120 125 130 35 30 30 30 B -112 -30 -45 14 16 16 20 30 40 50 60 70 -45 30 -20

G7 A -19 -80 -20 30 40 40 50 80 80 50 54 60 80 20 -20 B -100 -40 -20 10 30 50 50 80 80 80 61 -20 -15 10 20

H8 A -45 -50 0 10 10 20 20 50 50 50 21 25 25 -15 -10 B -20 -50 -10 50 50 50 50 30 20 20 20 30 50 50 -30 I9 A -20 -240 -80 60 70 80 70 190 180 170 15 60 50 -77 5 B -40 -100 -15 -15 70 70 90 90 120 120 120 100 100 80 -20

J10 A -100 25 21 50 50 50 50 50 63 75 80 84 91 98 -45 B -125 15 60 60 -45 -40 60 80 119 165 222 333 321 55 -30

K11 A -445 -100 -30 33 44 60 55 -70 -30 80 122 50 200 200 200 B -125 -245 -80 -20 90 120 100 -100 120 120 120 80 80 60 50

L12 A -145 -174 -90 -14 107 136 120 100 -136 -88 113 124 39 63 -23 B -174 -108 -120 66 66 66 77 100 90 95 136 192 -24 245 -10

M13 A -96 -140 21 21 62 -28 -30 100 112 112 122 140 123 112 -20 B -140 -64 32 8 17 20 -15 -7 125 124 112 122 123 125 -40

N14 A -72 -124 -25 25 25 26 25 20 -15 40 34 75 124 123 -55 B -50 -75 -15 15 15 16 25 10 -15 24 50 45 77 75 10

O15 A -50 -60 -40 20 20 20 30 30 30 40 40 20 10 5 -10 B -45 -55 -65 20 20 20 25 25 40 50 50 20 15 10 -15

P16 A -56 -56 -45 -40 -35 50 60 70 80 90 100 100 90 80 80 B -50 -40 -60 -70 -80 -80 70 70 75 75 75 90 90 100 120

Q17 A -285 -35 20 20 -30 -30 30 40 40 50 50 60 60 65 -50 B -280 -30 -30 40 40 40 -15 -15 60 60 70 70 80 80 20

R18 A -20 -30 -30 10 20 30 30 30 40 40 40 40 20 -5 -10 B 0 -55 -30 0 20 30 30 30 30 30 30 30 20 -5 -10


Exerc. Projeto F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 S19 A -100 -80 -30 14 20 36 48 58 65 80 60 30 -15 -15 20

B -90 -90 -50 -15 25 30 40 55 65 70 80 70 70 -30 -50 T20 A -80 -90 -100 -50 55 55 55 55 75 175 180 160 160 -20 -25

B -112 -120 - 50 - 48 60 60 60 60 80 150 160 160 160 40 -30


I.2 - Trabalho: Métodos de amortização. 1. Calcular as prestações (juros + amortização) do

financiamento indicado. 2. Entrega do trabalho:

3. Apresentar memória de calculo e a metodologia utilizada

para o calculo das prestações;

4. Anexar esta folha ao trabalho, bem como a tabela de

correção monetária. 5. Definir a prestação a cada mês até alcançar a 5ª prestação (

juros + amortizações) devidamente corrigida;

6. Efetuar, APENAS, o calculo relativo as cinco (05) primeiras

prestações corrigidas monetariamente, nos termos da atualização monetária estabelecida no quadro de parâmetros de financiamento.

7. Atenção (!)mesmo quando os juros não são pagos durante a

carência, eles são devidos.

8. O índice de correção monetária é aquele constante do quadro “Parâmetros do Financiamento”.

9. Julgamento.

• Qualidade e Apresentação do Trabalho; 2 pts. • Relatório onde conste a memória de cálculo; 4 pts. • Exatidão dos resultados. 4 pts.


Parâmetros de Financiamentos

Equipe Montante R$ mil

Prazo do Contrato Anos

Carência Meses

Juros Pagos na Carência

Juros Mensais %

Método Amortização

Atualização Monetária

Inflação Mensal %

A1 80 5,0 6 Não 3,5 Amortização constante Bimestral INPC

B2 90 5,5 9 Sim 3,0 Prestação constante Trimestral IPC-A

C3 100 6,5 12 Não 2,5 Amortização constante Quadrimestral IGPM

D4 110 7,0 11 Sim 2,0 Prestação constante Anual INPC

E5 120 8,0 12 Não 3,3 Amortização constante Bimestral IPC-A

F6 130 9,0 12 Sim 2,4 Prestação constante Trimestral IGPM

G7 140 10,0 10 Não 2,0 Amortização constante Quadrimestral INPC

H8 150 8,5 12 Sim 2,0 Prestação constante Anual IPC-A

I9 160 7,5 11 Não 2,5 Amortização constante Bimestral IGPM

J10 170 6,5 15 Sim 3,0 Prestação constante Trimestral INPC

K11 180 7,0 8 Não 3,5 Amortização constante Quadrimestral IPC-A

L12 190 9,0 10 Sim 2,5 Prestação constante Anual IGPM

M13 200 6,0 8 Não 2,0 Amortização constante Quadrimestral INPC

N14 135 7,5 15 Sim 3,0 Prestação constante Trimestral IPC-A

O15 155 6,0 9 Não 1,5 Amortização constante Quadrimestral IGPM

P16 180 5,0 6 Sim 2,0 Prestação constante semestral INPC

Q17 150 6,5 12 Não 2,5 Amortização constante Quadrimestral IGPM

R18 180 7,0 18 Sim 2,0 Prestação constante Anual INPC

S19 200 8,50 12 Não 3,3 Amortização constante Bimestral IPC-A

T20 220 10 15 Sim 2,4 Prestação constante Trimestral IGPM


I.3 – Trabalho: Viabilidade de troca de lâmpadas. 1- Objeto do trabalho Elaborar um estudo de viabilidade técnico econômico cujo objetivo é a substituição de luminárias incandescentes por lâmpadas fluorescentes eletrônicas, sem prejuízo para a qualidade de iluminação. 1 – Exigibilidades Acadêmicas: • Cada equipe será composta por DOIS alunos, no máximo. • Data de entrega do relatório: no início da 15ª aula. • A equipe que não entregar no prazo será considerada como

tendo abandonado a disciplina.. • A correção será efetuada se o aluno cumprir todos os

requisitos solicitados; 2 - Do Trabalho 2.1 - Apresentar em forma de relatório técnico. 2.2 - Especificar as condições de utilização de cada equipamento. Descrição (especificações técnicas) dos equipamentos analisados. 2.3 - Forma do relatório.

• Objeto do Relatório. • Conclusão Efetuada. • Relatar e justificar o método de análise, explicando o

motivo da adoção do método eleito; • Explicitar as premissas adotadas. • Memória de Cálculo.

3 – Do julgamento:

• Qualidade e Apresentação do Trabalho: 2 pts. • Entendimento do processo: 4 pts. • Exatidão dos resultados: 3 pts. • Esta folha deverá ser entregue antes do relatório (1ª FOLHA):

1 pto. 4 – Nomenclatura. No quadro, as abreviaturas indicam: 4.1 (E1T) correspondem à iluminação dos escritórios utilizados

durante 1ou 2 Turnos. T = turno de trabalho. 4.2 (N) corresponde a equipamento de segurança utilizado

exclusivamente durante a noite visando proteção noturna, 12horas.

4.3 Constitucionalmente, 1 turno de trabalho corresponde a 8 horas p/ dia, com 44 horas semanais de jornada, com duas horas de intervalo para refeição.

4.4 No caso de turno corrido, a jornada é de 6 horas diárias. 4.5 No caso de residências, arbitre o número de horas em que

cada tipo de lâmpada ficará acesa, baseando-se na sua observação do cotidiano de uma família.

Obs: Para realizar suas recomendações ou conclusões há que definir: - o tempo de utilização diária de cada equipamento; - o tempo ideal de substituição dos investimentos em análise; - Ou, o tempo em que os dos equipamentos se equivalem.


Potência 25W 40W 60W 100W 100W 150W 200W 25W 40W 60W 100W 100W 150W 200W Classe do Consumidor

Equipe Número de Lâmpadas Instaladas Tempo de Utilização em Horas

A1 4 6 8 5 Residência Baixa Renda

B2 7 3 5 2 Residência Baixa Renda

C3 4 3 1 4 5 3 Residência Baixa Renda

D4 13 12 6 7 6 5 Residência Alta Renda

E5 14 5 17 3 6 8 5 4 Residência Alta Renda

F6 10 7 9 5 6 5 6 4 Residência Alta Renda

G7 5 4 15 7 5 5 3 4 Residência Alta Renda

H8 10 9 13 2 6 7 4 5 Residência Alta Renda

I9 11 8 5 8 10 5 Comercial – 1 turno

J10 24 20 18 24 18 9 Comercial – 2 turnos

K11 20 24 11 12 9 8 Comercial – 1 turno

L12 20 18 16 9 12 24 Comercial – 2 turnos

M13 24 28 10 18 24 20 Comercial – 3 turnos

N14 36 44 28 12 10 8 Comercial – 1 turno

O15 45 18 52 17 33 25 9 20 Comercial – 18 horas

P16 19 36 14 9 12 12 Comercial – 1 turno

Q17 17 19 24 17 19 24 Supermercado – 2 turnos

R18 49 59 85 140 24 20 18 24 Supermercado 24 horas

S19 58 66 32 20 10 8 Industrial – 2 turnos

T20 77 102 158 14 24 24 19 10 Industrial – 3 turnos


Anexo II- Casos em Engenharia Econômica. II.1 – Caso: Ampliação da Sede. Uma construtora planeja construir um edifício de três andares. É esperado que, em alguns anos mais tarde, seja efetuada uma ampliação com a realização de outros três andares, o que elevaria a edificação para seis andares. Para tanto duas opções de investimento e projeto foram desenvolvidos: Projeto A : foi estabelecido um projeto convencional considerando, inicialmente, a realização de um edifício de três andares. O custo inicial foi orçado em R$ 420 mil. Para a ampliação de outros três andares foi previsto o investimento de mais R$ 500 mil. Projeto B : projeto para seis andares efetuado em estrutura metálica, sendo construídos inicialmente três pavimentos. O custo inicial deste projeto foi orçado em R$490 mil. A ampliação dos outros três andares foi prevista em R$400 mil. Você sabe que a vida útil de uma edificação é prevista para cinqüenta anos, findo os quais não apresenta valor residual. Sabe também, dadas as características dos projetos, que os custos de manutenção do Projeto B serão mil reais, anuais, inferiores aos do Projeto A e deverão se manter durante toda a vida das edificações. Outras despesas anuais, tais como seguros, IPTU, água, luz, etc., são consideradas as mesmas para os dois projetos.

Adotando a empresa uma TMA de 12% ao ano, qual a data de início da ampliação de mais três andares que justificaria a escolha do projeto B? II.2 – Caso: Fabrica de protendidos. Elabore o estudo de viabilidade para o seguinte caso. Sendo VOCE diretor técnico de uma empresa de construção civil, o Diretor Presidente de sua empresa lhe comunicou ser interessante analisar a implantação de uma nova fabrica para a produção de peças protendidas para estruturas de pontes. Para tanto, deseja saber qual a quantidade mensal mínima de produção para que o empreendimento seja considerado viável. Além disso, lhe informou que o BNDES esta financiando equipamentos de forma vantajosa. Sua assessoria lhe forneceu as seguintes informações: 1) Investimento Imobilizado R$ Condições 1.1 - Terrenos 100.000,00 disponível 1.2 - Edificações 120.000,00 A construir – 6 meses 1.3 - Estoques 75.800,00 A investir 1.4 - Equipamentos 240.000,00 Juros de 8% ao ano.

Financiamento em seis anos com dois de carência. Prestações constantes.


2) Custos Operacionais R$

2.1 – Matérias Primas 3.500,00/ unidade

2.2 – Mão de Obra Direta 10.500,00/ mês

2.3 - Custos Indiretos: administração e vendas 23.000,00/ mês

2.4 – Eletricidade 3.950,00/ mês

2.5 - Embalagens 90,00/ unidade

3) Informações Gerenciais Dados 3.1 – Taxa Mínima de Atratividade 1,1714917 % am 3.2 – Tempo de vida do produto 10 anos 3.3 – Preço de venda mínimo/médio 6.380,00 R$/unidade 3.4 – Impostos sobre a Renda 15,00 % 3.5 – Depreciação da Edificação 20 anos 3.6 – Depreciação dos Equipamentos 5 anos 3.7 – Tributos sobre o faturamento 10,50 %

II.3 – Caso: Implantação de Termelétrica. O Departamento de Planejamento e Expansão - DPE da Empresa Federal de Energia Elétrica está estudando a viabilidade de implantação de uma nova termelétrica movida a carvão. Para tanto, serão analisadas duas alternativas: a implantação com recursos próprios e a participação do Banco Interamericano de Comércio - BIC como organismo financiador do empreendimento. A seguir, são apresentados dados disponíveis pelo DPE para a sua análise, bem como as condições de financiamento do BIC: a) os valores do projeto são apresentados em dólares; b) os três últimos balanços da EFEE indicaram que a relação entre o lucro e o capital disponível (k=L/CD) da empresa foi respectivamente de 8%, 6% e 7%; c) a alíquota do Imposto de Renda onde se enquadra a EFEE não ultrapassa a 15%; d) pesquisas da Secretaria de Indústria e Comércio tem indicado que o custo real do carvão no mercado interno vem crescendo a ordem de 10% a cada 5 anos; e) a depreciação legal do equipamento é definida em 15 anos e a vida útil do projeto, estimada em 20 anos; f) ao final da vida útil o equipamento poderá ser vendido como sucata e, situações semelhantes, têm demonstrado que o valor de venda não ultrapassa a 12% de seu preço; g) para a participação do BIC no empreendimento, há a exigência de que a EFEE disponha um mínimo de 30% do investimento global, devendo o empréstimo ser pago em 10 anos, com três de

4) Informações Estratégicas & Comerciais 4.1 – É pensamento estratégico do grupo vender as instalações após a exaurir a vida do produto e não reinvestir em reformas ou up-grades industriais. 4.2 – Terrenos situados na área industrial, onde esta localizado o próprio da empresa, vem sofrendo uma valorização real de 5% ao ano. 4.3 – A perda de valor de edificações industriais do gênero da projetada para ser implantada acusa um valor de 70% em dez anos. 4.4 – Propostas das empresas fornecedoras de equipamentos daqueles em estudo informam que seu valor comercial decresce a taxa de 7,5% ao ano. 4.5 – Evolução do mercado: A previsão é que esse mercado cresça à taxa de 30% ao ano.


carência, prazo previsto para a implantação, com juros de 15% ao ano; h) o empreendimento deverá comportar duas unidades geradoras com capacidade entre 300 a 350 MW cada, ao custo de US$ 1500 / KW instalado; i) o fator de Carga previsto é de 40 a 65%; j) tempo de construção: 3 anos. DADOS ADICIONAIS Consumo de carvão...................... 600 gramas p/ kWh Custo de Carvão......................... US$ 17,50 / Tonelada Custo da Mão de Obra............. US$ 136.000 / mês Outros Custos............................ US$ 48.000 / mês II.4 – Caso: Viabilidade de construção de ponte. Os três países do Cone Sul estão cogitando a construção de mais uma ponte visando interligar e melhorar o desenvolvimento do comércio na Região. Obra esta a ser financiada por organismos internacionais de fomento. A construção dessa ponte contribuirá para reduzir em cerca de dez horas o tempo de viagem de Buenos Aires - Argentina a São Paulo - Brasil, além de incrementar, significativamente o fluxo de produtos manufaturados entre os dois países. O custo da nova ponte, com cerca de 28 quilômetros de comprimento, será de $700 milhões. A ponte exigirá $10 milhões anuais de manutenção, relativos a reparos e melhoramentos, e terá uma vida útil estimada em 70 anos. Calcula-se que 550.000 veículos utilizarão a ponte durante seu primeiro ano de operação, com um acréscimo anual de 50 mil veículos até o 10o ano.

Estudos econômicos avaliam a possibilidade da cobrança de pedágio de $90 por veículo. A taxa mínima de atratividade adotada para projetos públicos e aceita por organismos internacionais é de 10% a.a. Pergunta-se: Este projeto gerará receita suficiente para compensar seu custo? (Contribuição Dr. Oscar Ciro Lopes). II.5 – Caso: Refinaria de petróleo. Uma refinaria de petróleo constatara a necessidade de processar, a um preço elevado, seus resíduos líquidos antes de lançá-los em um riacho próximo. O departamento de engenharia estimou que o processamento dos resíduos líquidos custasse $30.000 ao final do primeiro ano. Mediante alterações no processo e nas instalações, o custo do tratamento dos resíduos sofrerá uma redução de $3.000 a cada ano. Como alternativa, uma firma especializada, a HCL Ltda., ofereceu um contrato para processar os resíduos líquidos durante dez anos pelo preço anual fixo de $ 15.000, pagável ao final de cada ano. Em qualquer das hipóteses não haverá necessidade de tratamento dos resíduos após dez anos. Se o administrador da refinaria julga aceitável a taxa de juro de 8% a.a., ele deve aceitar ou não a oferta da HCL Ltda.? (Use o método do fluxo anual de caixa para esta análise). (Contribuição Dr. Oscar C. Lopes).


II.6 – Caso: Aquisição de prensas. Sua empresa analisa a aquisição de um conjunto de prensas automatizadas e computadorizadas, visando produzir placas de concreto armado em produção seriada, em que os traços são mudados sem haver paralisação da linha de produção. O fabricante do equipamento estima que a vida útil sistemas que adotam este tipo de tecnologia é de cinco anos, e a empresa prevê a possibilidade de colocar 270 mil peças, anualmente, no mercado. No caso, a empresa deseja saber: - Qual o preço mínimo de vendas para que o produto seja levado ao mercado? - É viável o investimento nesta nova tecnologia dado os concorrentes estarem vendendo peças semelhantes ao preço de R$254,00 por unidade?

Dados operacionais: Valores – R$ 1. Custos das prensas 15 milhões 2. Custos fixos mensais 16,32 mil 3. Custo operacional por unidade 120,22 4. Investimento em capital de giro 500 mil 5. Investimento em estoques 1,1 milhões 6. Alíquotas do Imposto de Renda 18% 7. Custo de Capital da empresa 10% ao ano

II.7 – Caso: Financiamento de residência. Um casal está pretendendo comprar uma residência e, para tanto, está analisando as duas alternativas de investimentos descritas no quadro a seguir.

Discriminação Casa de madeira

(em R$) Casa de alvenaria

(em R$) Investimento - compra 24.000 40.000

Custos anuais de manutenção 5.500 2.000 Valor residual 8.500 15.000

Vida útil 10 anos 20 anos

O casal sabe que na metade da vida útil do empreendimento e em habitações residenciais bem cuidadas, ocorre a necessidade de realizar uma reforma, estimada em 1/4 do valor do imóvel. Em construções do gênero, a partir do ano seguinte ao da reforma, os custos anuais de manutenção sofrem um incremento de 10% sobre os valores atuais. Analise qual deverá ser a decisão do casal. Use uma TMA de 14% ao ano. II.8 – Caso: Venda de Apartamento. Você esta vendendo um apartamento cujo valor é “R$ M”!

Um corretor de imóvel lhe encaminhou duas propostas de compra. Por qual das duas será a sua decisão de venda, sabendo que seu custo de oportunidade é de 14% ao ano? 1ª Propostas: 30% de entrada e o saldo pago em duas parcelas.

• A primeira parcela equivalente a 60% do saldo devedor, vincenda em 60 dias;


• A segunda parcela 40% do saldo devedor, vincenda em 120 dias;

2ª Propostas: 40% de entrada e o saldo pago em cindo parcelas iguais, mensais e consecutivas, vencendo a primeira trinta dias após o fechamento do negócio. II.9 – Caso: Plano de Construção Rocha Dura Construtora e Incorporadora Ltda. é uma empresa de engenharia, dedicada principalmente à construção de residências padrão A e B. Você foi contratado como gerente regional com a responsabilidade de conduzir os negócios da empresa e lhe foi participada uma pesquisa de mercado que prevê uma previsão de vendas para os próximos cinco anos conforme exposto no Quadro I. Além disto, foi lhe entregue uma planilha com os preços projetados e possíveis de serem praticados no mercado imobiliário. Ver Quadro II. O diretor geral, por uma questão de planejamento estratégico, é de opinião que a empresa deva optar por um único plano de investimento e, deste modo, ganhar em custos administrativos e especializar a mão de obra. Assim sendo, lhe solicitou analisar qual dos planos deva ser implementado. (Sugestão: utilize o Método do Custo Anual Equivalente). Para tanto, lhe transmitiu as seguintes informações: - Os custos unitários de construção de imóveis praticados pela empresa são os constantes do Quadro III – Custos unitários de construção de cada unidade.

- A empresa prevê implantar um processo de melhoria técnica e gerencial dos processos de administração de obras, segundo os custos orçados e resumidos no Quadro IV – Investimentos em Desenvolvimento. - A empresa vem praticando uma Taxa de Mínima Atratividade da empresa de 17% ao ano.

Quadro I – Previsão de Vendas -em unidades vendidas-

Ano PLANO A

Residências Alto Padrão

PLANO B Residências

Padrão Médio

PLANO C Residências Padrão

Alto Médio

1 8 12 4 6 2 8 12 4 6 3 10 12 6 8 4 10 16 6 8 5 14 16 7 8

Quadro II – Preços de Venda por unidade

Ano Alto Padrão - $ Padrão Médio - $ 1 380.000 220.000 2 380.000 220.000 3 380.000 280.000 4 450.000 280.000 5 450.000 340.000

Quadro III - Custos unitários de construção

Ano Alto Padrão - $ Padrão Médio - $ 1 250.000 155.000 2 260.000 155.000 3 265.000 170.000 4 325.000 175.000 5 350.000 185.000


Quadro IV – Investimentos em desenvolvimento Ano Custos previstos em P&D - $

0 50.000 1 70.000 2 70.000 3 80.000 4 90.000 5 150.000


2,00% Pagamento Único Série de Pagamentos Uniformes Postecipada

Período

Valor Valor Fator de Fator de Fator de Fator de Presente Futuro Valor Atual Recuperação Acumulação Formação

n

FVP FRC FAC FFC 1 0,98039 1,02000 0,98039 1,02000 1,00000 1,00000 2 0,96117 1,04040 1,94156 0,51505 2,02000 0,49505 3 0,94232 1,06121 2,88388 0,34675 3,06040 0,32675 4 0,92385 1,08243 3,80773 0,26262 4,12161 0,24262 5 0,90573 1,10408 4,71346 0,21216 5,20404 0,19216 6 0,88797 1,12616 5,60143 0,17853 6,30812 0,15853 7 0,87056 1,14869 6,47199 0,15451 7,43428 0,13451 8 0,85349 1,17166 7,32548 0,13651 8,58297 0,11651 9 0,83676 1,19509 8,16224 0,12252 9,75463 0,10252

10 0,82035 1,21899 8,98259 0,11133 10,94972 0,09133 11 0,80426 1,24337 9,78685 0,10218 12,16872 0,08218 12 0,78849 1,26824 10,57534 0,09456 13,41209 0,07456 13 0,77303 1,29361 11,34837 0,08812 14,68033 0,06812 14 0,75788 1,31948 12,10625 0,08260 15,97394 0,06260 15 0,74301 1,34587 12,84926 0,07783 17,29342 0,05783 16 0,72845 1,37279 13,57771 0,07365 18,63929 0,05365 17 0,71416 1,40024 14,29187 0,06997 20,01207 0,04997 18 0,70016 1,42825 14,99203 0,06670 21,41231 0,04670 19 0,68643 1,45681 15,67846 0,06378 22,84056 0,04378 20 0,67297 1,48595 16,35143 0,06116 24,29737 0,04116 21 0,65978 1,51567 17,01121 0,05878 25,78332 0,03878 22 0,64684 1,54598 17,65805 0,05663 27,29898 0,03663 23 0,63416 1,57690 18,29220 0,05467 28,84496 0,03467 24 0,62172 1,60844 18,91393 0,05287 30,42186 0,03287 25 0,60953 1,64061 19,52346 0,05122 32,03030 0,03122 26 0,59758 1,67342 20,12104 0,04970 33,67091 0,02970 27 0,58586 1,70689 20,70690 0,04829 35,34432 0,02829 28 0,57437 1,74102 21,28127 0,04699 37,05121 0,02699 29 0,56311 1,77584 21,84438 0,04578 38,79223 0,02578 30 0,55207 1,81136 22,39646 0,04465 40,56808 0,02465 31 0,54125 1,84759 22,93770 0,04360 42,37944 0,02360 32 0,53063 1,88454 23,46833 0,04261 44,22703 0,02261 33 0,52023 1,92223 23,98856 0,04169 46,11157 0,02169 34 0,51003 1,96068 24,49859 0,04082 48,03380 0,02082 35 0,50003 1,99989 24,99862 0,04000 49,99448 0,02000 36 0,49022 2,03989 25,48884 0,03923 51,99437 0,01923 37 0,48061 2,08069 25,96945 0,03851 54,03425 0,01851 38 0,47119 2,12230 26,44064 0,03782 56,11494 0,01782 39 0,46195 2,16474 26,90259 0,03717 58,23724 0,01717 40 0,45289 2,20804 27,35548 0,03656 60,40198 0,01656 41 0,44401 2,25220 27,79949 0,03597 62,61002 0,01597 42 0,43530 2,29724 28,23479 0,03542 64,86222 0,01542 48 0,38654 2,58707 30,67312 0,03260 79,35352 0,01260 54 0,34323 2,91346 32,83828 0,03045 95,67307 0,01045 60 0,30478 3,28103 34,76089 0,02877 114,05154 0,00877 72 0,24032 4,16114 37,98406 0,02633 158,05702 0,00633 84 0,18949 5,27733 40,52552 0,02468 213,86661 0,00468 100 0,13803 7,24465 43,09835 0,02320 312,23231 0,00320

n)i1(

1

+n)i1( + n

n

)i1(i

1)i1(

+−+

1)i1(

)i1(in

n

−++

i1)i1( n −+

1)i1(i

n −+


8,00%

Período

Pagamento Único Série de Pagamentos Uniformes Postecipada

Valor Presente

Valor Futuro

Fator de Valor Atual

Fator de Recuperação

Fator de Acumulação

Fator de Formação

n

FVP FRC FAC FFC 1 0,92593 1,08000 0,92593 1,08000 1,00000 1,00000 2 0,85734 1,16640 1,78326 0,56077 2,08000 0,48077 3 0,79383 1,25971 2,57710 0,38803 3,24640 0,30803 4 0,73503 1,36049 3,31213 0,30192 4,50611 0,22192 5 0,68058 1,46933 3,99271 0,25046 5,86660 0,17046 6 0,63017 1,58687 4,62288 0,21632 7,33593 0,13632 7 0,58349 1,71382 5,20637 0,19207 8,92280 0,11207 8 0,54027 1,85093 5,74664 0,17401 10,63663 0,09401 9 0,50025 1,99900 6,24689 0,16008 12,48756 0,08008

10 0,46319 2,15892 6,71008 0,14903 14,48656 0,06903 11 0,42888 2,33164 7,13896 0,14008 16,64549 0,06008 12 0,39711 2,51817 7,53608 0,13270 18,97713 0,05270 13 0,36770 2,71962 7,90378 0,12652 21,49530 0,04652 14 0,34046 2,93719 8,24424 0,12130 24,21492 0,04130 15 0,31524 3,17217 8,55948 0,11683 27,15211 0,03683 16 0,29189 3,42594 8,85137 0,11298 30,32428 0,03298 17 0,27027 3,70002 9,12164 0,10963 33,75023 0,02963 18 0,25025 3,99602 9,37189 0,10670 37,45024 0,02670 19 0,23171 4,31570 9,60360 0,10413 41,44626 0,02413 20 0,21455 4,66096 9,81815 0,10185 45,76196 0,02185 21 0,19866 5,03383 10,01680 0,09983 50,42292 0,01983 22 0,18394 5,43654 10,20074 0,09803 55,45676 0,01803 23 0,17032 5,87146 10,37106 0,09642 60,89330 0,01642 24 0,15770 6,34118 10,52876 0,09498 66,76476 0,01498 25 0,14602 6,84848 10,67478 0,09368 73,10594 0,01368 26 0,13520 7,39635 10,80998 0,09251 79,95442 0,01251 27 0,12519 7,98806 10,93516 0,09145 87,35077 0,01145 28 0,11591 8,62711 11,05108 0,09049 95,33883 0,01049 29 0,10733 9,31727 11,15841 0,08962 103,96594 0,00962 30 0,09938 10,06266 11,25778 0,08883 113,28321 0,00883 31 0,09202 10,86767 11,34980 0,08811 123,34587 0,00811 32 0,08520 11,73708 11,43500 0,08745 134,21354 0,00745 33 0,07889 12,67605 11,51389 0,08685 145,95062 0,00685 34 0,07305 13,69013 11,58693 0,08630 158,62667 0,00630 35 0,06763 14,78534 11,65457 0,08580 172,31680 0,00580 36 0,06262 15,96817 11,71719 0,08534 187,10215 0,00534 37 0,05799 17,24563 11,77518 0,08492 203,07032 0,00492 38 0,05369 18,62528 11,82887 0,08454 220,31595 0,00454 39 0,04971 20,11530 11,87858 0,08419 238,94122 0,00419 40 0,04603 21,72452 11,92461 0,08386 259,05652 0,00386 41 0,04262 23,46248 11,96723 0,08356 280,78104 0,00356 42 0,03946 25,33948 12,00670 0,08329 304,24352 0,00329 48 0,02487 40,21057 12,18914 0,08204 490,13216 0,00204 49 0,02303 43,42742 12,21216 0,08189 530,34274 0,00189 54 0,01567 63,80913 12,30410 0,08127 785,11408 0,00127 60 0,00988 101,25706 12,37655 0,08080 1253,21330 0,00080 72 0,00392 254,98251 12,45098 0,08031 3174,78140 0,00031 84 0,00156 642,08934 12,48053 0,08012 8013,61677 0,00012 100 0,00045 2199,76126 12,49432 0,08004 27484,51570 0,00004

n)i1(

1

+n)i1( + n

n

)i1(i

1)i1(

+−+

1)i1(

)i1(in

n

−++

i1)i1( n −+

1)i1(i

n −+



Período

Valor Valor Fator de Fator de Fator de Fator de Presente Futuro Valor Atual Recuperação Acumulação Formação

n

FVP FRC FAC FFC 1 0,90909 1,10000 0,90909 1,10000 1,00000 1,00000 2 0,82645 1,21000 1,73554 0,57619 2,10000 0,47619 3 0,75131 1,33100 2,48685 0,40211 3,31000 0,30211 4 0,68301 1,46410 3,16987 0,31547 4,64100 0,21547 5 0,62092 1,61051 3,79079 0,26380 6,10510 0,16380 6 0,56447 1,77156 4,35526 0,22961 7,71561 0,12961 7 0,51316 1,94872 4,86842 0,20541 9,48717 0,10541 8 0,46651 2,14359 5,33493 0,18744 11,43589 0,08744 9 0,42410 2,35795 5,75902 0,17364 13,57948 0,07364

10 0,38554 2,59374 6,14457 0,16275 15,93742 0,06275 11 0,35049 2,85312 6,49506 0,15396 18,53117 0,05396 12 0,31863 3,13843 6,81369 0,14676 21,38428 0,04676 13 0,28966 3,45227 7,10336 0,14078 24,52271 0,04078 14 0,26333 3,79750 7,36669 0,13575 27,97498 0,03575 15 0,23939 4,17725 7,60608 0,13147 31,77248 0,03147 16 0,21763 4,59497 7,82371 0,12782 35,94973 0,02782 17 0,19784 5,05447 8,02155 0,12466 40,54470 0,02466 18 0,17986 5,55992 8,20141 0,12193 45,59917 0,02193 19 0,16351 6,11591 8,36492 0,11955 51,15909 0,01955 20 0,14864 6,72750 8,51356 0,11746 57,27500 0,01746 21 0,13513 7,40025 8,64869 0,11562 64,00250 0,01562 22 0,12285 8,14027 8,77154 0,11401 71,40275 0,01401 23 0,11168 8,95430 8,88322 0,11257 79,54302 0,01257 24 0,10153 9,84973 8,98474 0,11130 88,49733 0,01130 25 0,09230 10,83471 9,07704 0,11017 98,34706 0,01017 26 0,08391 11,91818 9,16095 0,10916 109,18177 0,00916 27 0,07628 13,10999 9,23722 0,10826 121,09994 0,00826 28 0,06934 14,42099 9,30657 0,10745 134,20994 0,00745 29 0,06304 15,86309 9,36961 0,10673 148,63093 0,00673 30 0,05731 17,44940 9,42691 0,10608 164,49402 0,00608 31 0,05210 19,19434 9,47901 0,10550 181,94342 0,00550 2 0,04736 21,11378 9,52638 0,10497 201,13777 0,00497

33 0,04306 23,22515 9,56943 222,25154 0,00450 34 0,03914 25,54767 9,60857 0,10407 245,47670 0,00407 35 0,03558 28,10244 9,64416 0,10369 271,02437 0,00369 36 0,03235 30,91268 9,67651 0,10334 299,12681 0,00334 37 0,02941 34,00395 9,70592 0,10303 330,03949 0,00303 38 0,02673 37,40434 9,73265 0,10275 364,04343 0,00275 39 0,02430 41,14478 9,75696 0,10249 401,44778 0,00249 40 0,02209 45,25926 9,77905 0,10226 442,59256 0,00226 41 0,02009 49,78518 9,79914 0,10205 487,85181 0,00205 42 0,01826 54,76370 9,81740 0,10186 537,63699 0,00186 48 0,01031 97,01723 9,89693 0,10104 960,17234 0,00104 49 0,00937 106,71896 9,90630 0,10095 1057,18957 0,00095 54 0,00582 171,87195 9,94182 0,10059 1708,71948 0,00059 60 0,00328 304,48164 9,96716 0,10033 3034,81640 0,00033 72 0,00105 955,59382 9,98954 0,10010 9545,93818 0,00010 84 0,00033 2999,06275 9,99667 0,10003 29980,62754 0,00003 100 0,00007 13780,61234 9,99927 0,10001 137796,12340 0,00001

n)i1(

1

+n)i1( + n

n

)i1(i

1)i1(

+−+

1)i1(

)i1(in

n

−++

i1)i1( n −+

1)i1(i

n −+



Período Valor Presente

Valor Futuro

Fator de Valor Atual

Fator de Recuperação

Fator de Acumulação

Fator de Formação

n

FVP FRC FAC FFC 1 0,89286 1,12000 0,89286 1,12000 1,00000 1,00000 2 0,79719 1,25440 1,69005 0,59170 2,12000 0,47170 3 0,71178 1,40493 2,40183 0,41635 3,37440 0,29635 4 0,63552 1,57352 3,03735 0,32923 4,77933 0,20923 5 0,56743 1,76234 3,60478 0,27741 6,35285 0,15741 6 0,50663 1,97382 4,11141 0,24323 8,11519 0,12323 7 0,45235 2,21068 4,56376 0,21912 10,08901 0,09912 8 0,40388 2,47596 4,96764 0,20130 12,29969 0,08130 9 0,36061 2,77308 5,32825 0,18768 14,77566 0,06768

10 0,32197 3,10585 5,65022 0,17698 17,54874 0,05698 11 0,28748 3,47855 5,93770 0,16842 20,65458 0,04842 12 0,25668 3,89598 6,19437 0,16144 24,13313 0,04144 13 0,22917 4,36349 6,42355 0,15568 28,02911 0,03568 14 0,20462 4,88711 6,62817 0,15087 32,39260 0,03087 15 0,18270 5,47357 6,81086 0,14682 37,27971 0,02682 16 0,16312 6,13039 6,97399 0,14339 42,75328 0,02339 17 0,14564 6,86604 7,11963 0,14046 48,88367 0,02046 18 0,13004 7,68997 7,24967 0,13794 55,74971 0,01794 19 0,11611 8,61276 7,36578 0,13576 63,43968 0,01576 20 0,10367 9,64629 7,46944 0,13388 72,05244 0,01388 21 0,09256 10,80385 7,56200 0,13224 81,69874 0,01224 22 0,08264 12,10031 7,64465 0,13081 92,50258 0,01081 23 0,07379 13,55235 7,71843 0,12956 104,60289 0,00956 24 0,06588 15,17863 7,78432 0,12846 118,15524 0,00846 25 0,05882 17,00006 7,84314 0,12750 133,33387 0,00750 26 0,05252 19,04007 7,89566 0,12665 150,33393 0,00665 27 0,04689 21,32488 7,94255 0,12590 169,37401 0,00590 28 0,04187 23,88387 7,98442 0,12524 190,69889 0,00524 29 0,03738 26,74993 8,02181 0,12466 214,58275 0,00466 30 0,03338 29,95992 8,05518 0,12414 241,33268 0,00414 31 0,02980 33,55511 8,08499 0,12369 271,29261 0,00369 32 0,02661 37,58173 8,11159 0,12328 304,84772 0,00328 33 0,02376 42,09153 8,13535 0,12292 342,42945 0,00292 34 0,02121 47,14252 8,15656 0,12260 384,52098 0,00260 35 0,01894 52,79962 8,17550 0,12232 431,66350 0,00232 36 0,01691 59,13557 8,19241 0,12206 484,46312 0,00206 37 0,01510 66,23184 8,20751 0,12184 543,59869 0,00184 38 0,01348 74,17966 8,22099 0,12164 609,83053 0,00164 39 0,01204 83,08122 8,23303 0,12146 684,01020 0,00146 40 0,01075 93,05097 8,24378 0,12130 767,09142 0,00130 41 0,00960 104,21709 8,25337 0,12116 860,14239 0,00116 42 0,00857 116,72314 8,26194 0,12104 964,35948 0,00104 48 0,00434 230,39078 8,29716 0,12052 1911,58980 0,00052 49 0,00388 258,03767 8,30104 0,12047 2141,98058 0,00047 54 0,00220 454,75054 8,31501 0,12026 3781,25451 0,00026 60 0,00111 897,59693 8,32405 0,12013 7471,64111 0,00013 72 0,00029 3497,01610 8,33095 0,12003 29133,46753 0,00003 84 0,00007 13624,29079 8,33272 0,12001 113527,42322 0,00001 100 0,00001 83522,26573 8,33323 0,12000 696010,54772 0,00000

n)i1( + n

n

)i1(i

1)i1(

+−+

1)i1(

)i1(in

n

−++

i

1)i1( n −+1)i1(

in −+n)i1(

1+

eng economica aulas 2012 03

Documents