em ciÊncias e matemÁtica programa de pÓs-graduaÇÃo … · pró-reitoria de extensão e...

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

T a t i a n a B o n o m o d e S o u s a M a r i a A u x i l i a d o r a V i l e l a P a i v a

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO

EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA



I n s t i t u t o F e d e r a l d e E d u c a ç ã o , C i ê n c i ae T e c n o l o g i a d o E s p í r i t o S a n t o

2 0 1 9











UMA MATEMÁTICA PARA O ENSINO DE

PADRÕES E GENERALIZAÇÕES NAFORMAÇÃO DE PROFESSORES









UMA MATEMÁTICA PARA O ENSINO DE PADRÕES E

GENERALIZAÇÕES NA FORMAÇÃO DE PROFESSORES

Instituto Federal do Espírito Santo

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS EMATEMÁTICA

Mestrado Profissional em Educação em Ciências eMatemática

T A T I A N A B O N O M O D E S O U S AM A R I A A U X I L I A D O R A V I L E L A P A I V A

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo2019

Grupo de Estudo e Pesquisas em Educação Matemática doEspírito Santo- GEPEM - ES

TOP PAID APPS REVIEWS

BY MR. REPORTER

Feature rich NEW ARRIVALSThe new iPad 2now comes in

black and white

2

Lorem ipsumdolor sit ametSale quodsiduo eaVel illum honestatisComplectiturcu pri iriurepersequeris

Eu ius bonorumtorquatosUlputet veros dolor eriustinutpat.

Our definitive guide to what’s hotand what’s not in the world of iPad 2 apps Vullum nulla molortio

Lorem ipsum dolor sit amet,eos eu eirmod facilisis, quo nelabores alienum salutatus, noepicurei signiferumque duo.Sea ea dicat labore animal, iusea lucilius constitutoreformidans, mea ei vero prima.Sale quodsi duo ea, convenireelaboraret an eam, vix te quaspossit delectus. Vel illumhonestatis completitur cu, priiriure persequeris ex. Eu iusbonorum torquatos.

Minim labores moderatius euest, ad cum choro saperetadipisci, soleat ubique postu-

lant eum ut. Ex esse veritus ius,an paulo ubique omittanturduo, per tibique reprehenduntcu. Ne vis omnium consecte-tuer, ludus deleniti in qui. Tantashabemus iudicabit at ius, nec noaffert vocibus assentior. Vim utmutat quodsi, gubergren pro-desset sit ea.

Propriae legendos cum id.Odio eius mentitum has ne. Seaduis tritani ei, ea congue obliquepostulant eam, num-quamornatus placerat ut eam. Minimprompta argumentum nec ei,perfecto definitionem in mei,

AVAILABLE FROMAll good electrical retailsor visit www.apple.com

PRICE32 Gig $49964 Gig $599

3G $699

RATING

THE GOODEcte velit wisl ipisi.

Henim endigniat aliq.

THE BADEcte velit wisl ipisi.

Henim endigniataliquat.

Copyright @ 2018by Instituto Federal do Espírito SantoDepósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto nº. 1.825 de 20 de dezembro de 1907.O conteúdo dos textos é de inteira responsabilidade dos respectivos autores. Material didático público para livre reprodução.Material bibliográfico eletrônico e impresso.

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA ETECNOLOGIA DO ESPÍRITO SANTO

VITÓRIA-ES2019

Ficha Catalográfica

TOP PAID APPSREVIEWS

3

Lorem ipsum dolor sit amet,eos eu eirmod facilisis, quo nelabores alienum salutatus, noepicurei signiferumque duo. Seaea dicat labore animal, ius ealucilius constituto reformidans,mea ei vero prima. Sale quodsiduo ea, convenire elaboraret aneam, vix te quas possit delectus.Vel illum honestatis completiturcu, pri iriure persequeris ex. Euius bonorum torquatos.

Duo at graeci aperiam,ius ex duis meis eirmod. Ei posse ancillaeeum. Ex per quaerendum accommodare,cu qui noluisse singulis theophrastus.

Minim labores moderatius euest, ad cum choro saperetadipisci, soleat ubique postu-lant eum ut. Ex esse veritus ius,an paulo ubique omittanturduo, per tibique reprehenduntcu. Ne vis omnium consecte-tuer, ludus deleniti in qui. Tantashabemus iudicabit at ius, nec noaffert vocibus assentior. Vim utmutat quodsi, gubergren pro-desset sit ea.

Propriae legendos cum id.Odio eius mentitum has ne. Seaduis tritani ei, ea congue obliquepostulant eam, num-quamornatus placerat ut eam. Minimprompta argumentum nec ei,perfecto definitionem in mei,quando eleifend at his. Vidererconsetetur cu ius, id falli optionpri.

Ut vel feugiat petentiumrationibus, ad meis illummediocrem qui. Minimumadipiscing id vix, ad sea primamelius delicatissimi. Saperetprobatus ullamcorper mea in.Vix dicit melius timeam ex. Iriurenoluisse adversarium et vis. Noeius nullam est, eu scriptanoluisse dissentiet nam.

Ex erant dicunt lucilius mel,sed ad primis delenit ponderum,et mel numquam insolens.Diceret elaboraret id eam, nelaudem eleifend vis.

IPAD KEYBOARDExperience thefull power of

editing.

Top 4right now

Get behindthe wheel...

Sporty car racingNec ne erant suscipiantur. Harum facilisis adversariumpro ea, cu duis iudicabitsadipscing eam

MagyPath B.C.Nec ne erant suscipiantur. Harum facilisis adversariumpro ea, cu duis iudicabitsadipscing eam

EDITORA DO IFES Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo

Pró-Reitoria de Extensão e Produção Av. Rio Branco, nº 50, Santa Lúcia Vitória – Espírito Santo - CEP 29056-255

Tel. (27) 3227-5564 E-mail: [email protected]

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICARua Barão de Mauá, 30 – Jucutuquara

Sala do Programa EducimatVitória – Espírito Santo – CEP 29040-780

COMISSÃO CIENTÍFICA Dr. Alex Jordane de Oliveira, D. Sc - Ifes

Alessandro Jaccques Ribeiro - UFABCRodolfo Chaves, D. -Ifes

COORDENAÇÃO EDITORIAL Maria Auxiliadora Vilela Paiva REVISÃO Tatiana Bonomo de SousaMaria Auxiliadora Vilela PaivaAlexandre Krüger Zocolotti CAPA E EDITORAÇÃO ELETRÔNICAComunicação Impressa EDITORAÇÃO ELETRÔNICACentro de Referência em Formação e em Educação a Distância (Cefor/Ifes) PRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO PROGRAMAPrograma de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática Centro de Referência emFormação e Educação à DistânciaInstituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo

4

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOCentro de Referência em Formação e Educação à Distância- Cefor

JADIR JOSÉ PELAReitor ADRIANA PIONTTKOVSKY BARCELLOSPró-Reitora de Ensino ANDRÉ ROMERO DA SILVAPró-Reitor de Pesquisa e Pós-graduação RENATO TANNURE ROTTA DE ALMEIDAPró-Reitor de Extensão e Produção LEZI JOSÉ FERREIRAPró-Reitor de Administração e Orçamento LUCIANO DE OLIVEIRA TOLEDOPró-Reitora de Desenvolvimento Institucional ROSENI DA COSTA SILVA PRATTIDiretor de Administração VANESSA BATTISTIN NUNESDiretora Geral do Cefor ISAURA ALCINA MARTINS NOBRECoordenadora Geral de Ensino do Cefor MARIA ALICE VEIGADiretora de Pesquisa e Pós-graduação

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOCentro de Referência em Formação e Educação à Distância- Cefor

JADIR JOSÉ PELAReitor ADRIANA PIONTTKOVSKY BARCELLOSPró-Reitora de Ensino ANDRÉ ROMERO DA SILVAPró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação RENATO TANNURE ROTTA DE ALMEIDAPró-Reitor de Extensão e Produção LEZI JOSÉ FERREIRAPró-Reitor de Administração e Orçamento LUCIANO DE OLIVEIRA TOLEDOPró-Reitora de Desenvolvimento Institucional ROSENI DA COSTA SILVA PRATTIDiretor de Administração MARIELLA BERGER ANDRADEDiretora Geral do Cefor LARISSY ALVES COTONHOTOCoordenadora Geral de Ensino do Cefor MARIA ALICE VEIGADiretora de Pesquisa e Pós-Graduação

MINI CURRÍCULO DOS AUTORES

Possui Licenciatura em Matemática pela UniversidadeFederal do Espírito Santo (2004-2008). É especialista emeducação profissional técnica integrada a educação básica namodalidade de educação de jovens e adultos pelo InstitutoFederal do Espírito Santo-PROEJA (2008-2010) e emcoordenação pedagógica pela Universidade Federal doEspírito Santo (2013-2015). Atualmente é aluna do Programade Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática –Educimat do Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes, participado Grupo de Pesquisa GEPEM-ES e é servidora efetiva daSecretaria de Educação do Estado do Espírito Santo(SEDU-2008). Tem experiência na área de EducaçãoMatemática, atuando no Ensino Fundamental II, Ensino Médioe na Educação de Jovens e Adultos (Eja). Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/0319190887940607E-mail: [email protected]

15

Doutora em Matemática pela PUC-RJ. Aposentada daUFES. Professora do Programa de Mestrado Profissional emEducação em Ciências e Matemá¬tica- EDUCIMAT/Cefor/Ifese coordenadora da Pós-Graduação Lato Sensu PráticasPedagógicas para Professores do Cefor/Ifes. Líder do Grupode Pesquisa GEPEM-ES. Atualmente em estágio pós-doutoralna Universidade Federal do Rio de janeiro. Editora chefe darevista Sala de Aula em Foco do Educimat/Ifes. PesquisaSaberes Docentes na Formação dos Professores e EnsinoAprendizagem da Matemática para o Ensino na EducaçãoBásica, na Licenciatura e Mestrado. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2158519313210506E-mail: [email protected]

MARIA AUXILIADORA VILELA PAIVA

MINI CURRÍCULO DOS AUTORES

TATIANA BONOMO DE SOUSA

É mestre em Educação em Ciências e Matemática peloInstituto Federal do Espírito Santo - IFES atuando na linha depesquisa: Formação de professores no contexto da educaçãoem Ciências e Matemática. Possui Licenciatura em Matemáticapela Universidade Federal do Espírito Santo (2004 - 2008). Éespecialista em educação profissional técnica integrada àeducação básica na modalidade de Educação de Jovens eAdultos pelo Instituto Federal do Espírito Santo - PROEJA(2008 - 2010) e em coordenação pedagógica pelaUniversidade Federal do Espírito Santo (2013 - 2015).Atualmente participa do Grupo de Pesquisa GEPEM-ES e éservidora efetiva da Secretaria de Educação do Estado doEspírito Santo (SEDU-2008). Tem experiência na área deEducação Matemática, atuando no Ensino Fundamental II,Ensino Médio e na Educação de Jovens e Adultos (EJA). Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/0319190887940607

MARIA AUXILIADORA VILELA PAIVA

Doutora em Matemática pela PUC-RJ. Aposentada daUFES. Professora do Programa de Mestrado Profissional emEducação em Ciências e Matemá¬tica- EDUCIMAT/Cefor/Ifese coordenadora da Pós-Graduação Lato Sensu PráticasPedagógicas para Professores do Cefor/Ifes. Líder do Grupode Pesquisa GEPEM-ES. Possui Pós - Doutorado naUniversidade Federal do Rio de Janeiro. Editora da RevistaSala de Aula em Foco do Educimat/Ifes. Pesquisa SaberesDocentes na Formação dos Professores e EnsinoAprendizagem da Matemática para o Ensino na EducaçãoBásica, na Licenciatura e no Mestrado. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2158519313210506E-mail: [email protected]

´

Sumário

Apresentação 8

Saberes Docentes e a Matemática para o ensino de Álgebra 10

A Pesquisa e a investigação dos saberes prévios 18

Momentos da Formação: Resolução de Problemas em grupos 26

Materiais Manipulativos, Tecnologia Digital e o Ensino da Álgebra 35 A Formação e o Ambiente Virtual 47 A Formação e as Práticas 52 Sugestões de Atividades 56 Considerações Finais 68 Referências 70

8

APRESENTAÇÃO

É perceptível a ampliação nas últimas duas décadas dos de debates sobre

formação de professores. Trata-se de um tema que passa por constantes

revisões e problematizações, especialmente por ser considerado elemento

imprescindível para a profissionalização docente e para o desenvolvimento de

uma identidade profissional, além dos impactos gerados na prática docente.

Nessa perspectiva, elaborar e desenvolver um curso de formação continuada

com e para professores de Matemática envolvendo conteúdos da Álgebra e

para o ensino tornou-se fonte de motivação, principalmente porque várias

pesquisas evidenciam a importância de trabalhar o conteúdo generalizações de

padrões nas etapas da Educação Básica.

O contexto da formação ofertada nos permitiu refletir e relatar o processo de

construção de saberes docentes, saberes esses ligados a conceitos para o

ensino da Álgebra, tendo como base as experiências e as vivências

vivenciadas pelos professores que participaram do curso proposto. Todo esse

processo de construção, desenvolvimento e escrita faz parte de uma pesquisa

de Mestrado ligada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências

e Matemática (Educimat) intitulada PADRÕES E GENERALIZAÇÕES PARA O

ENSINO DA ÁLGEBRA: AÇÕES COLABORATIVAS NA FORMAÇÃO DE

PROFESSORES. Cabe destacar que o objetivo da pesquisa foi analisar os

saberes docentes (re) construídos por professores do Ensino Fundamental

para o ensino de Álgebra com o estudo de padrões e generalizações.

A construção de uma Matemática direcionada para o ensino de Álgebra deve,

inicialmente, questionar quais abordagens de ensino os professores utilizam

para estimular os estudantes a se apropriarem da linguagem algébrica e serem

capazes, por exemplo, de compreender as equações matemáticas e as

transformações algébricas.

Em nossa pesquisa, após esses questionamentos, foram propostas atividades

envolvendo padrões e generalizações. Isso porque o estudo de padrões e

generalizações possibilita ao professor estabelecer relações entre a linguagem

9

aritmética e a algébrica, enfatizar o conceito de variável, bem como propor que

o estudo das equações também seja visto como uma forma de expressar

regularidades, o que pode contribuir para desenvolver o pensamento algébrico.

Outra questão considerada foi a opção por uma metodologia de formação que

permitisse aos professores, com base em suas vivências ao longo processo

formativo, (re) construírem saberes ligados ao ensino da Álgebra. Assim, a

formação proposta pautou-se em alguns princípios, destacando-se: os

professores são profissionais e, como tal, têm saberes próprios da profissão

docente (SHULMAN, 1986; MYSUKAMI, 2004; GIRALDO, ROQUE, 2014;

PAIVA, 2018); as discussões coletivas estimulam o surgimento de saberes da

prática docente e visam a construção de uma identidade docente. Para Davis e

seus colaboradores (2009, 2012, 2014), essas discussões e reflexões, que

surgem em discussões coletivas de grupos que trabalham colaborativamente,

permitem investigar a prática docente dos envolvidos.

Cabe salientar que este livro se direciona a professores dos anos finais do

Ensino Fundamental que queiram aprofundar seus conhecimentos sobre o

Ensino e Aprendizagem da Álgebra, a professores formadores atuantes nas

licenciaturas de Matemática, bem como a quem pretende elaborar ou organizar

cursos de formação continuada. Para isso, apresentamos sugestões de

atividades que podem ser utilizadas em formações de professores e também

adaptadas à sala de aula, considerando-se a realidade da turma à qual se

destina. Convém salientar que em alguns momentos foram apresentadas

algumas discussões e reflexões, que surgiram durante a realização das

atividades, por considerá-las importantes ao processo de formação.

Nessa perspectiva, esperamos que a proposta de formação apresentada e os

relatos e reflexões possam subsidiar futuros projetos que trabalham conceitos

matemáticos direcionados ao ensino apresentam uma Matemática

problematizada, a qual considera o contexto e a cultura na ação cotidiana de

sala de aula.

10

1- Saberes Docentes e Matemática para o ensino de Álgebra

Em sua base de conhecimento para o ensino1, Shulman (1986) propõe, entre

as categorias apresentadas, a noção de saber2 pedagógico do conteúdo, isto é,

um saber próprio do professor constituído pelo amálgama entre o conteúdo e a

pedagogia.

A mobilização desse conhecimento possibilita diferenciar um professor de um

especialista em uma determinada área. O professor utiliza analogias,

representações e outros recursos, com o objetivo de permitir aos estudantes a

compreensão de um conteúdo.

Entretanto, para desenvolver esse saber é fundamental que o professor esteja

envolvido em ações, como a análise das produções dos estudantes. A

finalidade é verificar como eles comunicam suas realizações ou identificar as

dificuldades encontradas ao trabalhar tópicos da Matemática que buscam

articular o saber científico e o escolar.

Somado a isso, para discutir o saber matemático para o ensino, embasamo-

nos também nos trabalhos de Ball e seus colaboradores (2008) e de Davis

(2006, 2009, 2012).

1.1 Conhecimento Matemático para o Ensino

Fundamentados nas ideias de Shulman (1986/1987), Ball, Thames e Phelps

(2008) desenvolveram em seus estudos uma teoria sobre o conhecimento

matemático para o ensino (Mathematical Knowledge for Teaching – MKT)

alicerçado na prática dos professores. Esses autores observaram as ações dos

professores participantes do projeto e identificaram a presença de aspectos

que vão além do saber pedagógico do conteúdo, os quais podem ser

organizados, mapeados e incluídos em cursos de Matemática para

professores.

Um dos objetivos centrais do trabalho de Ball, Thames e Phelps (2008) foi

formular uma teoria baseada na prática, relacionada a conhecimentos

1 O trabalho de Bonomo (2019) apresenta uma discussão mais detalhada sobre o tema. 2 A tradução da expressão “knowledge” da língua inglesa para a portuguesa admite tanto o termo “saber” como o termo “conhecimento” (Dicionário Michaelis Online). Os termos “saber” e “conhecimento” serão usados sem a atribuição de qualquer juízo de valor, respeitando o entendimento de que são sinônimos, portanto, não faremos distinção entre eles.

11

matemáticos para o ensino. Sugeriram, assim, uma divisão do conhecimento

matemático em dois subdomínios: conhecimento pedagógico do conteúdo e

conhecimento puramente matemático. Essa proposta encontra-se no quadro

a seguir.

Domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino

Fonte: Ball; Thames; Phelps (2008), tradução nossa.

O “conhecimento especializado do conteúdo” é o conhecimento do

conteúdo específico para o ensino. Esse conhecimento está pautado na ideia

de que, para ensinar, o professor deve possuir um conhecimento que vai além

do que efetivamente será ensinado. Esse conhecimento requer, por exemplo,

ter clareza dos conceitos, dos objetivos, e de possíveis articulações que

possam ser feitas para alcançar esse objetivo.

“O conhecimento do conteúdo e do ensino” combina o conhecimento sobre

o ensinar e o conhecimento sobre a Matemática, surge no momento em que

são avaliadas as vantagens e as desvantagens ao utilizar determinadas

representações ou quando são analisadas as contribuições dadas por um

determinado método ou procedimento utilizado no processo de ensino e de

aprendizagem de um conteúdo.

12

Segundo Ball, Thames e Phelps (2008), reconhecer uma resposta errada é um

conhecimento comum do conteúdo, por outro lado, dimensionar a natureza de

um erro é um conhecimento especializado do conteúdo.

As categorias propostas por Ball, Thames e Phelps (2008) não são conjuntos

disjuntos, pois uma mesma situação pode ser analisada sob diferentes

perspectivas. Para esses autores, os professores devem conhecer o conteúdo

que vão ensinar, porém apenas o conhecimento do conteúdo pode não ser

suficiente para ensinar. Portanto, a ideia proposta originalmente por Shulman

(1986) e ampliada por Ball, Thames e Phelps (2008) de que existe uma forma

de conhecimento matemático específico para o ensino impacta diretamente na

discussão acerca da formação de professores de Matemática.

1.2 Matemática para o ensino e formação docente por meio

de ações colaborativas

A Matemática para o ensino, segundo Davis e Simmt (2006), é uma

perspectiva teórica cujo objetivo é analisar como os professores (re) constroem

ou mobilizam seus saberes, considerando os aspectos individuais e os

coletivos, bem como os meios de compartilhar esses saberes. De acordo com Davis e Renert (2014),

Para Davis e Simmt (2006), o princípio organizador da Matemática para o

ensino é a articulação entre categorias consideradas mais estáveis (currículo,

conceitos matemáticos) e outras mais dinâmicas (entendimento subjetivo,

coletividade da sala de aula) do conhecimento matemático considerado

fundamental para o ensino da disciplina.

Para os autores, os quatro aspectos das categorias, ou seja, o currículo, os

conceitos matemáticos, o entendimento subjetivo e a coletividade da sala de

aula, não devem ser interpretados de forma isolada, eles estão alinhados,

Matemática para o ensino compreende uma complexa rede de entendimentos, disposições e competências que não são facilmente nomeados nem medidos. A complexidade imbricada na matemática para o ensino deve ser experimentada – vista, ouvida e sentida. (DAVIS; RENERT, 2014, p.3, tradução nossa)

13

integrados e têm uma estreita ligação com a prática docente. A figura a seguir

exemplifica as categorias da Matemática para o ensino.

Fonte: Davis e Simmt (2006), tradução nossa.

Davis e Simmt (2006) conjecturam que esses quatro aspectos são importantes

para ensinar Matemática e podem fundamentar cursos de Matemática

oferecidos a professores.

A figura destaca categorias que devem ser observadas em formações de

professores e, além disso, apresenta a articulação que determina a

conceituação de Matemática para o ensino. Os aspectos relacionados aos

objetos matemáticos referem-se às concepções pessoais dos professores

sobre o conteúdo, às interpretações matemáticas compartilhadas no ambiente

escolar, o que configura uma cultura própria e a estrutura curricular que

envolve a Matemática. Desse modo, a construção dos saberes da Matemática

para o ensino está ligada e entrelaçada à prática docente. Além disso, esses

saberes são mobilizados e construídos juntamente com a prática profissional.

Na perspectiva da Matemática para o Ensino, Davis (2010) propõe o Estudo do

Conceito (tradução de Concept Study), metodologia a ser utilizada em

processos de formação continuada de professores. Estruturado como um

estudo coletivo no qual professores compartilham experiências que emergem

de sua prática de sala de aula, os participantes são estimulados a questionar e

a (re) construir seus saberes de Matemática para o ensino.

14

Segundo Davis (2012), a expressão Estudo do Conceito combina elementos de

duas noções proeminentes da pesquisa em Educação Matemática

Contemporânea: estudo de lições e análise de conceitos.

Imerso em uma estrutura colaborativa de estudo da aula, o estudo de lições

envolve os professores em um processo de exame e de elaboração de

entendimentos matemáticos. Esses engajamentos possibilitam a eles

aperfeiçoar a qualidade do ensino e, consequentemente, enriquecer as

experiências de aprendizado de seus alunos.

Já a análise de conceitos consiste em investigar as estruturas lógicas e as

associações inerentes aos conceitos matemáticos, como traçar origens e

aplicações, ao refletir acerca das maneiras diferentes deles aparecerem na

Matemática e nos contextos sociais.

O Estudo do Conceito pode ser utilizado como uma metodologia para formação

continuada, bem como ser um instrumento de produção de dados a respeito

dos saberes dos professores de Matemática fundamentados na concepção da

Matemática para o ensino.

Com relação aos pressupostos que orientam o Estudo do Conceito3, estes

envolvem:

o

De acordo com Davis (2012), na estrutura de estudo coletivo, o foco não deve

ser direcionado apenas para o desenvolvimento pessoal, mas também para as

relações entre o individual e o coletivo, em uma perspectiva cultural. A

formação de professores deve, assim, pautar-se na construção de saberes

3 Os princípios básicos dessa teoria nortearam o conjunto de ações que integraram o processo de formação continuada conduzido na pesquisa.

No aspecto individual, compreensão de que conceitos matemáticos e concepções de Matemática são emergentes. No aspecto cultural, os professores são os participantes vitais na produção da Matemática, principalmente, por meio da seleção e da ênfase preferencial dada a interpretações particulares. No aspecto coletivo social, os saberes de Matemática dos professores são amplamente tácitos, mas elementos cruciais desses saberes podem ser questionados em grupo. Saber individual e saber coletivo não podem ser dicotomizados. (DAVIS, 2012, p. 6, tradução nossa)

15

compartilhados e na autopercepção de cada participante como membro de uma

comunidade que compartilha culturas.

Nessa mesma perspectiva de processos coletivos, Lopes et al. (2016) discutem

acerca do fenômeno da formação docente por meio de estudos que podem ser

considerados indicadores teóricos e metodológicos para o processo de

aprendizagem docente, focado no modo de produção coletiva.

Convém ressaltar que o interesse por esses autores é porque eles ressaltaram

a relação existente entre a organização do ensino e o trabalho coletivo. Sobre

isso, afirmam que:

Assim, consideram um modelo de formação baseado na ideia de que a

aprendizagem é um processo social, sendo que a interação entre os sujeitos

envolvidos exerce um papel imprescindível para o desenvolvimento de todos.

Entendem que é “Por meio do outro que o sujeito pode desenvolver-se, que as

funções ainda não dominadas poderão ser internalizadas; e que formas

coletivas precedem as individuais e constituem sua função de origem” (LOPES

et al. 2016, p. 7). Essas ideias têm implicações tanto para o processo de ensino

e aprendizagem voltado ao aluno como para o processo de formação do

professor.

Assim, corroboramos com esse modelo de formação no que se refere à

colaboração e às ações coletivas, por entender que é no coletivo que se

constroem os saberes necessários à docência. Além disso, as ações de uma

formação estão ligadas ao desenvolvimento de conceitos matemáticos, tendo a

prática como lugar de produção de conhecimento. Produz-se, assim, teoria por

meio da prática e vice-versa e, desse modo, articula-se o saber científico e o

escolar.

Nessa perspectiva, a seguir será apresentada uma discussão sobre o ensino e

a aprendizagem da Álgebra com o estudo de padrões e generalizações.

Os processos formativos devem não somente possibilitar o reconhecimento e a compreensão das realidades laborais, históricas, culturais e sociais inerentes à prática do professor, mas possibilitar ao indivíduo transformá-las e exercer a condição de sujeito do seu conhecimento, na perspectiva do conhecimento para si e para os outros. (LOPES et al. 2016, p. 6)

16

2. Ensino e aprendizagem da Álgebra: Padrões e Generalizações

Ao discutir as mudanças ocorridas na Educação Algébrica no Brasil, Miguel,

Fiorentini e Miorim (1993) apontam que as concepções da Álgebra, construídas

ao longo da história, tinham como característica principal reduzir o pensamento

algébrico à linguagem algébrica, ou seja, o pensamento algébrico se constitui

em um tipo de pensamento que pode ser expressado por uma linguagem,

como a aritmética, a geométrica ou a algébrica.

No entanto, mais recentemente, autores como Fiorentini, Fernandes e

Cristóvão (2005) apresentaram outra visão acerca do que seria o pensamento

algébrico. Para eles, as investigações matemáticas podem ser realizadas por

meio de atividades exploratórias investigativas, de maneira que os estudantes

possam mobilizar e desenvolver aspectos do pensamento algébrico, como:

De acordo com eles, entre outros aspectos, as atividades envolvendo

generalizações de padrões matemáticos devem ser utilizadas como ferramenta

para auxiliar os professores nos processos de identificação, de

desenvolvimento e de caracterização desse pensamento em seus alunos.

Ainda nesse sentido, os estudos de Mason (1996) apresentam a generalização

de padrões numéricos e geométricos como uma abordagem eficiente para

introduzir a Álgebra. Para ele, a generalização é o batimento cardíaco da

Matemática (MASON, 1996, p. 65, tradução nossa). Em consonância com o

autor, considera-se que o estudo de padrões e generalizações possibilita, além

da construção do pensamento algébrico, o desenvolvimento de vários

conceitos matemáticos.

Estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos; Perceber e tentar expressar as estruturas aritméticas de uma situação-problema; Produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema; ou, reciprocamente, produzir vários significados para uma mesma expressão numérica; Interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; Transformar uma expressão aritmética em outra mais simples; Desenvolver algum tipo de processo de generalização; Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias; Desenvolver/criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente. (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTÓVÃO, 2005, p. 5)

17

Além dos padrões numéricos e geométricos, as equações também ocupam um

papel importante dentro do ensino da Álgebra. Com relação a isso, Ribeiro e

Cury (2015, p.45) desenvolveram um estudo sobre equações ao observar o

tratamento dado a ela em diferentes épocas. Isso possibilitou descobrir outros

significados para o conceito de equação, o que os autores denominaram de

multisignificados de equação.

Para esclarecer, a seguir serão apresentadas algumas dessas diferentes

formas de conceber a equação:

Quadro 1: Multissignificados de equação Significado Características

Intuitivo-Pragmático Equação concebida como noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre duas quantidades. Utilização relacionada à resolução de problemas de ordem prática, originários de situações do dia a dia.

Dedutivo-Geométrico Equação concebida como noção ligada a figuras geométricas, segmentos e curvas. Utilização relacionada a situações envolvendo cálculo e operações com segmentos, com medidas de lados de figuras geométricas e intersecção de curvas.

Estrutural-Generalista Equação concebida como noção estrutural definida e com características próprias, considerada por si própria e operando sobre ela. Utilização relacionada visando soluções gerais para uma classe de equações de mesma natureza.

Estrutural-Conjuntista Equação concebida dentro de uma visão estrutural, porém diretamente ligada à noção de conjunto. É vista como uma ferramenta para resolver problemas que envolvem relações entre conjuntos.

Processual-Tecnicista Equação concebida em sua própria resolução, os métodos e as técnicas que são utilizadas para resolvê-la. Diferentemente do significado estruturalista, a equação é vista como um ente matemático.

Axiomático-Postulacional

Equação concebida como noção da Matemática que não precisa ser definida, uma ideia por meio da qual as outras ideias, matemáticas e não matemáticas, são construídas. Utilizada no sentido de noção primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana.

Fonte: (RIBEIRO, 2012, p. 540)

Cada significado do conceito de equação apresentado por Ribeiro e Cury

(2015) e categorizado com nome composto mostra diferentes perspectivas

para reconhecer e abordar uma equação. Para os autores, as atividades

matemáticas que exploram padrões, sejam numéricos ou geométricos, além de

permitir o estabelecimento de conexões entre a Álgebra e a Geometria,

também estimulam um diálogo entre os múltiplos significados das equações.

Convém ressaltar que essas teorias subsidiaram a pesquisa desenvolvida por

Sousa (2019) no mestrado profissional do Programa Educimat do Cefor/Ifes.

18

3. A Pesquisa e a investigação dos saberes prévios

3.1 A pesquisa

As atividades apresentadas e analisadas neste livro foram desenvolvidas com

professores de Matemática e pedagogos que participaram do Curso de

Extensão “Saberes Docentes de Álgebra”, ofertado pelo Centro de Formação e

Educação a Distância (Cefor/Ifes), em parceria com a Secretaria Municipal de

Cariacica/ES.

O curso de formação continuada foi desenvolvido em seis encontros

presenciais de cinco horas cada e por meio de discussões no ambiente virtual

de aprendizagem, o Moodle. Durante o curso foram concretizadas as fases da

pesquisa desenvolvida por Sousa (2019), cujo objetivo foi analisar os saberes

docentes (re) construídos por professores do Ensino Fundamental para o

ensino de Álgebra por meio do estudo de padrões e generalizações. Os temas

de cada encontro encontram-se descritos a seguir.

Durante a formação continuada foram propostas atividades colaborativas, de

modo que o compartilhamento de ideias, por meio de discussões, reflexões e

avaliações, pudesse contribuir para a (re) construção dos saberes docentes

para o ensino.

Nesse sentido buscou-se valorizar o diálogo entre os pares ao proporcionar-

lhes oportunidades para refletir sobre suas práticas, as práticas de seus

Encontro Temas por encontro

1º Conhecendo a proposta, o funcionamento do curso e seus participantes. (Dinâmica Quiz)

2º Estudos e documentos curriculares da Álgebra nas séries finais do Ensino Fundamental

3º Conceitos Gerais da Álgebra e situações-problema que envolvem padrões e generalizações

4º Equações, Padrões e Generalizações com tecnologias educacionais

5º Planejamento da Prática Pedagógica

6º Encontro Final de Avaliação do Curso: Roda de Conversa e Relatos de experiência

19

colegas e os conceitos que emergiram durante o trabalho com o conteúdo

padrões matemáticos e generalizações realizado com alunos dos anos finais

do Ensino Fundamental.

A metodologia empregada está de acordo com os princípios que consideram a

profissão de professor e também estimulam ensinar e desenvolver uma

Matemática para o ensino. Tais princípios encontram-se nos estudos de Paiva

(2018) e de Cade (2018):

Assim, ao optarmos por uma metodologia colaborativa, os

professores/cursistas e pesquisadores puderam expor suas experiências e

seus saberes individuais, bem como a (re) construir e elaborar no coletivo os

saberes de Matemática direcionadas ao ensino.

3.2 Saberes prévios com o Quiz

A pesquisa começou com a aplicação de uma dinâmica de perguntas e

respostas conhecida como Quiz, cujo objetivo foi refletir sobre as crenças e as

concepções sobre Álgebra que foram construídas nas experiências e nas

vivências durante o processo de formação docente de cada professor/cursista.

Cada participante recebeu um objeto com cartões colados contendo opções de

respostas A, B, C ou D, e deveria selecionar, entre as opções, aquela que

considerava mais relevante em sua concepção naquele momento.

i) Ser professor exige saberes próprios;

ii) A sala de aula como espaço de produção de conhecimento;

iii) Valorização da construção de saberes para o

ensino por meio da prática profissional docente;

iv) Contextos colaborativos e discussões coletivas de conceitos como processo de formação.

v) Valorização do professor como protagonista na

construção de práticas matemáticas.

20

Quiz

A primeira pergunta do Quiz foi elaborada com o intuito de identificar a

expectativa inicial dos participantes em relação ao curso de formação

continuada “Saberes Docentes de Álgebra”.

1 - Minha expectativa inicial em relação ao curso é: A- Adquirir novos conhecimentos sobre Álgebra. B- Refletir sobre o processo de ensino e aprendizagem da Álgebra e conhecer novas metodologias de ensino. C- Melhorar meu currículo. D- Refletir sobre minha prática, discutir e aprender de forma coletiva sobre o ensino e a aprendizagem da Álgebra.

As perguntas e respostas foram elaboradas pela pesquisadora. Convém

ressaltar que não há resposta certa ou errada para as perguntas do Quiz, pois

a dinâmica pretende mostrar as diferentes concepções e crenças relacionadas

ao ensino de Álgebra. O objetivo da atividade foi estimular uma discussão

coletiva entre os professores por meio de relatos individuais/coletivos ao

justificar a opção de resposta.

Em seguida, o objetivo da segunda pergunta do Quiz foi exteriorizar reflexões

acerca da experiência de cada um referente ao ensino de Álgebra no Ensino

Fundamental.

21

2 - No Ensino Fundamental, o ensino da Álgebra foi: A- Agradável, o professor passava problemas de fácil resolução e, em outras aulas, problemas mais exigentes. B- Mecânico e rigoroso, com uma série de exercícios em que, muitas vezes, não se compreendia o sentido, mas de tanto fazer, acabava aprendendo. C- Desafiante, o professor passava problemas que estimulavam a intuição e o raciocínio. D- Indiferente, acho que o ensino da Álgebra teve mais evidência no ensino superior.

A terceira pergunta buscou mostrar, além das experiências dos professores no

ensino superior, reflexões sobre a articulação da Álgebra do ensino superior

com a Álgebra escolar.

3 - Em relação à Álgebra em seu ensino superior, você classifica como: A- Exigente, focalizado no conhecimento avançado e suas aplicações. B- Desarticulado, a Álgebra ensinada no curso superior não teve conexão com a Álgebra escolar. C- Estruturado, conseguiu articular, na maioria das vezes, o conhecimento científico e o escolar. D- Indiferente, considero que não contribuiu muito para a prática em sala de aula.

Para finalizar, a quarta e última pergunta do Quiz refere-se relacionada à

concepção mais evidente do professor em relação à Álgebra.

4 - Compreendo a Álgebra escolar como: A- Parte da Matemática relacionada à compreensão do significado das “letras” e “símbolos”, estudo das equações, expressões e transformações algébricas. B- Constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização. É um o ramo da Matemática que generaliza a aritmética e estuda as estruturas aritméticas. C- Poderosa ferramenta para resolver problemas. D- O estudo das relações entre as grandezas e das relações entre as quantidades.

22

Diante do exposto, concordamos com Ponte (1992), para o qual “As nossas

concepções sobre a Matemática são influenciadas pelas experiências que nos

habituamos a reconhecer como tal e também pelas representações sociais

dominantes” (PONTE, 1992, p.185).

Além disso, os dados contribuíram para o processo de investigação da

pesquisa ao mostrar indícios dos saberes prévios dos professores cursistas

referentes às concepções, às crenças e aos saberes relacionados à Álgebra. A

dinâmica do Quiz, além de promover a interação entre os docentes, subsidiou o

planejamento dos encontros presenciais do curso e a organização da sala no

ambiente virtual de aprendizagem.

Comentário

Nessa atividade, é importante que o professor formador

incentive a socialização dos motivos que levaram os

professores e/ou alunos a selecionar cada opção de

resposta. No curso “Saberes Docentes de Álgebra”, o grupo

de professores pôde se manifestar, ou seja, quem quisesse,

podia dizer a opção de resposta e justificá-la. Aos poucos,

todos se envolveram na discussão coletiva, propiciando um

diálogo bastante produtivo entre os participantes.

Sugestão A dinâmica do Quiz pode ser utilizada em sala de aula

para identificar os conhecimentos prévios dos alunos e

para motivá-los a discutir e refletir, de forma coletiva,

conceitos da Matemática.

23

3.3 Saberes Prévios em Situações-Problema da Prática

Na situação-problema apresentada anteriormente buscou-se identificar os

saberes docentes para o ensino de Álgebra por meio de generalizações de

padrões matemáticos.

Na atividade há uma situação-problema envolvendo a prática em sala de aula,

com resoluções apresentadas por quatro supostos alunos, que foi elaborada e

organizada pela equipe do curso, bem como discutida e validada no Grupo de

Pesquisa de Educação Matemática do Espírito Santo - GEPEM/ES.

Nessa atividade, os participantes deveriam analisar a seguinte situação-

problema:

Situação-Problema envolvendo a prática em sala de aula

A análise dessa situação-problema ocorreu em três momentos durante o curso:

1° momento/ individual: Cada professor/cursista analisou de forma individual

a situação-problema anteriormente descrita com as resoluções apresentadas

por quatro supostos alunos, buscando destacar saberes da prática de ensino. A

equipe de formação recolheu, fotografou todas as análises, e selecionou três

respostas dos professores/cursistas, nas quais foram verificadas diferentes

percepções e saberes docentes, em diversas perspectivas.

24

2° momento/coletivo: A situação-problema foi resolvida pelos

professores/cursistas e discutida de forma coletiva.

3° momento/individual/coletivo: Foram apresentadas as análises de três

professores/cursistas selecionados, sem identificá-los. O intuito foi promover

discussões coletivas direcionadas a uma Matemática para o ensino de padrões

e generalizações.

Para exemplificar, a seguir serão apresentadas as análises da situação-

problema feita pelos três professores selecionados na pesquisa de Sousa

(2019). Os professores deveriam verificar as diferentes percepções acerca da

mesma situação-problema da prática de sala de aula e gerar discussões

coletivas, de forma a estimular o surgimento de saberes docentes.

A análise dos professores sobre as soluções apresentadas pelos “alunos

fictícios” da situação-problema proposta e a discussão no coletivo de suas

percepções fez com que esses professores refletissem acerca das

possibilidades de tornar o conteúdo mais compreensível ao aluno.

Os conceitos matemáticos abordaram o significado das variáveis na expressão

algébrica que representa a generalização do padrão. Nessa atividade, os

professores não ficaram limitados apenas em classificar as respostas dos

alunos fictícios como certas ou erradas, mas sentiram necessidade de

questionar o desenvolvimento das soluções apresentadas, visando identificar

P8 - Alunos 2 e 4 estão corretos. O Aluno 2 observou que em cada figura o número de pontos é o dobro da figura posicionada mais 1. No Aluno 4, percebe-se que é um raciocínio equivalente à forma apresentada pelo aluno 2. Os alunos 1 e 3 estão errados.

P2 - Os alunos 2 e 4 desenvolveram o mesmo raciocínio na composição da expressão algébrica. Os alunos 1 e 3, por sua vez, aproximam-se em raciocínio, porém apresentam estruturas diferentes, ...não concluem corretamente a quantidade de pontos da figura, tiveram dificuldade na linguagem algébrica.

P5 - De acordo com as respostas apresentadas, os alunos 1 e 3, 2 e 4 deram as mesmas respostas utilizando linguagens diferentes e, dependendo dos valores atribuídos a “n”, as expressões são válidas e verdadeiras.

25

as formas de raciocínio utilizadas na padronização dos procedimentos, bem

como o processo de generalização.

Os momentos de discussão e reflexão dessa situação-problema adquiriram

características de uma estrutura de estudo individual e coletivo, em que os

professores compartilharam experiências emergentes da própria prática

docente, visando questionar e (re) construir os próprios saberes da Matemática

para o ensino.

Em suma, trabalhar com as análises dos próprios professores possibilitou

mostrar as diferentes perspectivas assumidas quando eles analisaram a

mesma situação-problema. O propósito de gerar discussões e reflexões de

uma Matemática para o ensino de Álgebra foi alcançado.

Comentário

Nesse tipo de atividade, os professores/cursistas devem fazer

suas análises de forma individual, e o professor formador deve

selecionar algumas dessas análises para apresentá-las ao

grupo, sem identificar os autores. A finalidade é estimular o

surgimento de saberes emergentes e socializá-los.

26

4. Momentos da Formação: Resolução de Problemas em grupos

As atividades de resolução de situações-problema a seguir foram realizadas

em grupos de três professores e, posteriormente, apresentadas e discutidas

pelos grupos coletivamente. Nessas atividades, o principal objetivo foi gerar

discussões e reflexões, de maneira que eles explicitassem os saberes para o

ensino de padrões e generalizações ao resolverem a situação proposta e ao

relacioná-la com suas práticas de sala de aula.

1º Momento: Resolução de problema em grupo

Problema da dívida

Hoje é terça-feira. Devo pagar uma dívida exatamente daqui a 15 dias. Em que dia da semana cairá o 15º dia? E se a dívida for paga daqui a 90 dias, em que dia da semana cairá?

Na resolução desse grupo, a resposta da primeira pergunta foi o padrão 7 dias,

então, 15 dias é igual a 7+7+1, quarta-feira. Para a segunda pergunta

utilizaram o padrão de 15 dias, sendo em que cada período de 15 dias sobrará

um dia, logo, 90 dias terá seis períodos de 15 dias, sobrando 6 dias da

semana, ou seja, segunda-feira. Nessa atividade, os grupos apresentaram

diferentes formas de observar o padrão matemático, de desenvolver os

cálculos e generalizar.

27

Os professores apontaram que, na resolução dessa situação-problema, o aluno

precisa observar a regularidade dos dias da semana, definir o padrão,

generalizar e identificar em qual dia da semana cairá após os 90 dias.

Ao observar a evolução das perguntas da atividade proposta, verificou-se que a

primeira pergunta tem uma quantidade menor de dias, sendo possível resolvê-

la por contagem, já formulação da segunda pergunta tem uma data bem mais

distante, sendo necessário buscar estratégias mais elaboradas de resolução.

Segundo os professores, os casos particulares, como solicitado na primeira

pergunta, são importantes para que os estudantes desenvolvam o processo de

abstração e generalização, mas nem sempre é possível confiar nos casos

particulares.

Essa discussão coletiva foi ao encontro dos estudos de Vale e Pimentel (2005),

segundo eles, é possível utilizar diferentes tipos de estratégias para resolver

atividades envolvendo padrões matemáticos, porém é importante atentar-se

para alguns perigos, entre eles, buscar a generalidade com base em um

padrão de pequenos casos. Para as autoras, os casos particulares são para

ver por meio e não para servir como verdade geral. Ao focar em casos

particulares, distancia-se de apreciar as formas mais gerais.

O professor, assim, deve estar consciente de que é possível ver a generalidade

em casos particulares, mas isso não quer dizer que os alunos terão a mesma

consciência. Desse modo, os alunos vão progredir nas atividades à medida que

assumirem a responsabilidade de reconhecer, expressar e verificar a

linguagem algébrica associada ao padrão.

Por fim, são fundamentais os estudos de Ball, Thames e Phelps (2008), pois

destacam que é imprescindível o professor saber bem o que ensina e ter uma

visão ampla do conteúdo a trabalhar para, assim, construir seu conhecimento

especializado do conteúdo, tão necessário ao processo de ensino e

aprendizagem.

28


A atividade abaixo foi proposta com o objetivo de estimular, coletivamente,

reflexões sobre as diferentes formas de representar a generalização por meio

de uma expressão algébrica.

Problema da Moldura de Azulejos

A empresa Molduras & Arte faz molduras para espelhos quadrados formadas por azulejos com o mesmo formato, como mostra a figura a seguir.

a) Quantos azulejos são necessários para construir uma moldura com 59 azulejos de lado?

b) A empresa Molduras & Arte quer encontrar uma fórmula que permita saber o número de azulejos necessários à construção de qualquer espelho; como pode ser essa fórmula?

Fonte – Adaptações Vale e Pimentel (2011, p.88)

Com as respostas compartilhadas pelos grupos com três professores, um

grupo observou que nessa situação-problema é possível desenvolver a

generalização por meio de diferentes expressões algébricas.

O quadro a seguir destaca as diferentes possibilidades de resolução

apresentadas e compartilhadas pelos professores.

Quadro - Soluções Apresentadas para a Atividade Moldura de Azulejos

Fonte – Elaborada e organizada pelas pesquisadoras, 2019.

Letra a) Letra b)

4x59-4 4L-4

59²-57² x² - (x-2)²

2x59+2x57 2n+2(n-2)

4x57+4 4(n-2)+4

29

As discussões coletivas dos professores foram direcionadas para o

desenvolvimento da generalização algébrica. Por meio de uma expressão

aritmética feita no item “a”, obteve-se a expressão geral solicitada no item “b”.

Eles relataram que a forma de abordar a situação-problema faz com que o

papel da variável tenha mais sentido e significado para o aluno.

O grupo de professores também observou que esse tipo de atividade mobiliza

diversos aspectos do pensamento algébrico apontados por Fiorentini,

Fernandes e Cristovão (2005), tais como: estabelecer relações/comparações

entre expressões numéricas, perceber as regularidades e desenvolver o

processo de generalização. Nas discussões coletivas, os professores

destacaram que a socialização das formas de concretizar o pensamento

algébrico por meio de diferentes expressões algébricas, além de ampliar a

visão do aluno, aborda conceitos importantes para o processo de ensino e

aprendizagem da Álgebra escolar.


Problema da sequência de figuras

Fonte: Adaptado de Souza e Patrão (2008, p. 27)

O propósito dessa situação-problema foi possibilitar aos professores

aprofundar saberes para o ensino de generalizações de padrões geométricos,

numéricos e sequências, bem como observar os aspectos do pensamento

algébrico que surgiram nas discussões coletivas.

30

Como já tinha sido realizada uma atividade semelhante no encontro anterior,

buscou-se avançar nas discussões, de modo que os participantes

explicitassem os saberes de cunho teórico e prático.

Quadro - Soluções do Padrão da Sequência de Figuras

Solução 1-Professor P3 Solução 2-Professora P9

a) 24 bolinhas, parte do entendimento de que a primeira figura se comporta na base 2 como ( b2 -1), a próxima figura terá base 3, segue o padrão conforme a base.

a) 42+4+4=24 bolinhas

b) sendo “n” o valor posicional da figura em uma sequência ordenada, cujos números são naturais e diferentes de zero, define-se b a base da figura por n+1. Para determinar a quantidade de pontos da figura, fazemos b2-1. Logo, (n+1)2-1=n2+2n+1-1=n2+2n.

b) foi observada a regularidade nas figuras, um quadrado no meio mais uma linha horizontal e vertical de mesmo número do lado do quadrado; 12+1+1=3 generalizando x2+x+x 22+2+2=8 x2+2x 32+3+3=15

Fonte – Organizado pelas pesquisadoras, 2019.

Na solução 1, o professor P3 explicou que o valor atribuído à variável “n”

estava relacionado ao valor da posição da sequência de figuras apresentada

na tarefa. Então, para encontrar a quantidade de bolinhas, o professor disse

que bastava efetuar b2-1, sendo b=n+1.

Na solução 2, a professora P9 observou o padrão geométrico, um quadrado no

meio e uma linha horizontal e uma vertical com o mesmo número ao lado do

quadrado. Do padrão geométrico, a professora transformou em linguagem

numérica seguindo a sequência de figuras para, posteriormente, generalizar

para a linguagem algébrica.

Cabe destacar as percepções diferenciadas dos dois docentes ao

apresentarem os conceitos relacionados à resolução do problema sobre

generalização do padrão geométrico. Conforme Davis (2012), as percepções

são caracterizadas por um conjunto de elementos conceituais e experienciais

adquiridos ao longo da trajetória profissional.

De acordo com as discussões coletivas dos professores, a solução 2,

apresentada pela professora P9, é mais compreensível para os alunos, pois

31

decorre da observação do padrão geométrico, uma vez que há uma

transformação para a linguagem aritmética antes da linguagem algébrica. Além

disso, os professores consideraram a solução 2 mais adequada para introduzir

a Álgebra nos anos finais do Ensino Fundamental.

O grupo de professores argumentou que, no caso dos estudantes do 6° e 7°

ano do Ensino Fundamental, em fase de apropriação da linguagem algébrica, a

solução 2, da professora P9, é a mais viável a princípio. Contudo, à medida

que os estudantes demonstrarem compreender melhor os conceitos algébricos,

o professor deve construir, diversificar e explorar novas formas de

representações. Assim, para eles, é importante articular soluções aritméticas,

de forma a promover uma generalização que possibilite aos estudantes

desenvolverem processos de abstração da Álgebra conforme a solução 1,

apresentada pelo professor P3.

Dessa discussão coletiva pode-se dizer que as interpretações dos professores

foram mais amplas devido às opções dadas pelos professores P9 e P3. Assim

sendo, é possível inferir que, ao refletir e relatar acerca das implicações e

relevâncias elencadas em cada uma das opções no desenvolvimento do

estudo de padrões e generalizações, o professor adquire uma visão dos

processos de desenvolvimento do pensamento algébrico.

Para exemplificar, tem-se o relato da professora P5,

Essa fala da professora ressalta o que dizem Ball et al. (2008), isto é, que o

conhecimento especializado do conteúdo requer que o professor seja capaz de

identificar padrões e explicar os “porquês” de uma ou outra situação. O

professor que não for capaz de perceber as ideias implícitas em cada situação,

não conseguirá verificar como o aluno pensa.

P5: Considero importante deixar o aluno expressar a regularidade por meio de uma linguagem mais natural, incentivar a desenvolver os casos particulares na representação numérica para que, aos poucos, consiga desenvolver a equação que representa o caso geral. (Professora P5, 2° Encontro Presencial, em 4/07/2017)

32

Segundo Davis (2009), uma das formas de permitir a construção de novos

saberes é por meio das experiências ao compartilhar saberes emergentes em

discussões coletivas. Na resolução dos problemas descritos anteriormente, os

professores perceberam que há diferentes formas de identificar o padrão e

generalizar. Nesse sentido, para os docentes, há um saber do conteúdo para o

ensino de Álgebra na escola básica.

Algumas questões podem ser feitas nesse sentido:

4º Momento: Construção de problema em grupo

Comentário

Nas resoluções das situações-problema, os professores

foram divididos em grupos menores. O formador deve

incentivar a participação deles, a socialização das estratégias

e a discussão com o grupo das questões relacionadas ao

ensino do conceito. Desse modo, a interação no coletivo

estimulará discussões no sentido de evidenciar os saberes

da experiência e construir saberes de cunho teórico e prático.

Sugestão

1) Quais tipos de conceitos matemáticos podem ser

mobilizados pelos estudantes ao resolver essas situações-

problema?

2) É possível ressaltar aspectos do pensamento algébrico,

como: analisar e estabelecer relações, expressar ou explicar

a estrutura de um problema, generalizar relações, operar com

variáveis ao resolver situações-problema?

3) Quais estratégias de ensino o professor pode utilizar para

que o aluno consiga superar as principais dificuldades

apontadas pelo grupo de professores/cursistas?

33

Existe a convicção, baseadas em nossas experiências e nas teorias que

fundamentaram a pesquisa de Sousa (2019), de que a formulação de

problemas pelos professores é uma atividade importante para que seus

saberes e sua criatividade aflorem, o que propiciará espaços ricos de

discussão e socialização de ideias.

Nessa perspectiva, a atividade a seguir consistiu em formular um problema

envolvendo generalização de um padrão matemático. Assim, para que várias

ideias diferentes pudessem surgir, foram disponibilizados no espaço do curso

alguns materiais: palitos de fósforo, papel colorido, massa de modelar, blocos

lógicos e outros materiais. A finalidade foi estimular os professores-alunos a

formular um problema que remetesse a uma sequência de padrões

matemáticos.

A seguir será apresentado um dos problemas formulado por um grupo de

professores:

Padrão Geométrico de Palitos de Fósforo

Fonte – Organizado pelas pesquisadoras, 2019.

Inicialmente, os professores se sentiram desafiados ao perceberem que não

iriam somente resolver e discutir uma situação-problema, mas deveriam criar

uma situação-problema que explorasse a observação de um padrão

matemático.

Aos poucos, contudo, os grupos desenvolveram os padrões matemáticos,

observaram as regularidades das sequências, compartilharam com os

34

colegas/cursistas o processo de generalização e refizeram as questões

elaboradas de forma coletiva após as discussões e as sugestões dos colegas.

É importante propiciar momentos para os professores socializarem suas

construções, dificuldades, conceitos matemáticos envolvidos e fazer reflexões

acerca da própria prática.

Comentário

No desenvolvimento dessa atividade os professores

perceberam que nem todo padrão matemático permite

desenvolver uma generalização por meio da linguagem

algébrica que a representa.

Sugestão

Caro professor, essa atividade prática pode ser utilizada

também em sua sala de aula, de maneira que os estudantes

construam o próprio padrão matemático, formulem um

problema, peçam aos colegas para observar a regularidade,

bem como desenvolvam algum tipo de generalização.

35

5. Materiais Manipulativos, Tecnologia Digital e o Ensino da Álgebra

No planejamento da formação continuada, baseado nas expectativas dos

participantes, o objetivo foi aplicar atividades diferenciadas por meio da

utilização de jogos, materiais manipulativos e novas tecnologias digitais para

ensinar Álgebra. Assim, este capítulo destina-se às ações com jogos e com o

software GeoGebra.

5.1 O estudo da Álgebra por meio do Tangram4

Esta seção retrata o encontro no qual as atividades foram desenvolvidas para

atender ao pedido de uma professora participante, que desejava aprender a

utilizar o Tangram em sala de aula. Coube, assim, à equipe do curso planejar

atividades com o Tangram que contemplassem conteúdos de Álgebra. Essas

atividades com o Tangram encontram-se transcritas a seguir.

Álgebra com o Tangram

Atividade 1: Expresse a medida de cada peça do Tangram em função das medidas do triângulo pequeno.

Atividade 2: Forme com as peças do Tangram as figuras A B e C desenhadas abaixo.

Agora, expresse as medidas dos perímetros em função dos lados do triângulo pequeno, registrando-as na tabela 2.

Fonte – Adaptações Tinoco de A., 2015.

4 Trata-se de um jogo manipulativo chinês formado por sete peças: dois triângulos grandes, dois pequenos, um médio, um quadrado e um paralelogramo. O jogo Tangram pode contribuir para o estudo da Geometria, da Álgebra e de outras áreas de conhecimento. Além desenvolver a criatividade e o raciocínio lógico, fundamentais para o estudo da Matemática e de Ciências.

36

O trabalho com o Tangram veio ao encontro do objetivo da pesquisa, ou seja,

mostrar uma proposta de atividades diferenciadas para ensinar Álgebra por

meio de material manipulativo. Para isso, inicialmente, foi preciso descobrir

entre se algum participante já havia trabalhado com o “Tangram” em sala de

aula. Constatou-se, então, que alguns professores nunca tinham trabalhado

com esse material, e outros relataram que o utilizaram com o propósito de

trabalhar conceitos de Geometria e raciocínio lógico.

Assim, ao realizar a ação, sem utilizar a régua, os participantes deveriam

expressar o perímetro do triângulo pequeno e o das outras peças, bem como

determinar o perímetro das outras peças com base nas medidas do triângulo

pequeno. Ao resolver a situação-problema, os professores concluíram que o

“padrão” de medida foi a medida dos lados do menor triângulo.

Após manusear o Tangram e fazer comparações encaixando os lados do

triângulo pequeno nas outras peças, os professores sentiram necessidade de

atribuir símbolos, nomes ou letras para representar os valores desconhecidos.

Então, utilizaram para simbolizar os valores desconhecidos as letras mais

usuais. O “x” e o “y”. Logo, o perímetro do triângulo menor ficou 2x+y.

Encontraram, desse modo, as expressões algébricas que representam o

perímetro das peças do Tangram em relação às medidas do triângulo pequeno.

Além de trabalhar o conceito de perímetro, no campo das Grandezas e

Medidas, essa atividade possibilitou a apropriação da linguagem algébrica, a

percepção de regularidade, fazer comparações e cálculo algébrico. As

soluções encontradas pelos professores nas atividades estão na figura a

seguir.

Soluções dos Professores

Fonte – Adaptações de Tinoco de A., 2015.

37

As fotos a seguir ilustram esses momentos de reflexão e interação.

Comentário

Para desenvolver a atividade com o Tangram, o grupo de

professores foi dividido em grupos menores, sendo

disponibilizado dois jogos de sete peças por grupo. As

repostas foram socializadas e registradas pelos grupos. Nas

discussões coletivas, é imprescindível que os professores

discutam as dificuldades encontradas e a possibilidade de

ampliar as situações-problema com novas formas de explorar

a Álgebra com o Tangram.

38

5.2 O estudo da Álgebra com o GeoGebra

Em outro momento do curso, a proposta foi utilizar o software Geogebra para

trabalhar Álgebra. Segundo Geraldo e Roque (2014), a literatura de pesquisa

em Educação Matemática aponta as potencialidades das tecnologias digitais

para criar novas formas de aprender. Os autores esclarecem que essas novas

formas de aprender referem-se a estabelecer objetivos instrucionais que antes

não eram cogitados nas pesquisas.

Nessa perspectiva, a atividade desenvolvida com o GeoGebra objetivou

estimular discussões acerca dos saberes mobilizados pelos

professores/cursistas ao buscar generalizar o padrão matemático, bem como

analisar a utilização das novas tecnologias no ensino de Álgebra.

Cabe destacar que, antes de utilizar as tecnologias digitais, houve um

momento para uma breve contextualização histórica da Álgebra. Foram

estudados os multissignificados da equação segundo Ribeiro e Cury (2015),

alguns documentos legais, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,

1998), a Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2005), que abordam a

temática Álgebra nas séries finais do Ensino Fundamental e os principais

aspectos do pensamento algébrico apresentados por Fiorentini, Fernandes e

Cristóvão (2005). Essa etapa foi rica em discussões e reflexões coletivas com

os professores participantes relacionadas aos saberes da Álgebra e da

tecnologia, que foram compartilhados por eles.

39

GENERALIZAÇÃO DAS COORDENADAS DOS CENTROS DOS QUADRADOS Observe a figura, sendo que o 1°quadrado intercepta os eixos nos pontos (1,0) e (0,3),

e responda:

a) Quais as coordenadas do centro do 3°, 4° e 5° quadrado?

b) Qual a coordenada do centro do décimo quadrado?

c) É possível descrever um padrão com o número

do quadrado e as coordenadas do centro?

Como é possível descrever esse padrão?

b) Quais são as coordenadas do centro do trigésimo quinto quadrado?

Fonte: Adaptações de Vale e Pimentel, 2011.

Solução das coordenadas dos centros

Fonte – Organizado pela pesquisadora, 2019.

Nessa atividade foram utilizadas diferentes ferramentas do Geogebra para

determinar as coordenadas dos centros dos quadrados, tais como:

circunferência, polígonos regulares, perpendiculares, diagonais, mediatriz e

outras ferramentas básicas.

Essa atividade apresenta a generalização de um padrão geométrico das

coordenadas do centro dos quadrados Xn=3n-1 e Yn=n+1. Para alcançar essa

generalização, os professores deveriam construir vários quadrados, produzir

mais de um modelo aritmético para estabelecer comparações, perceber a

40

regularidade e desenvolver a linguagem algébrica que expressasse o padrão e

testá-lo.

No final, os professores/cursistas deveriam responder qual foi o caminho

utilizado para identificar as coordenadas dos centros dos quadrados e quais

tópicos matemáticos foram abordados para resolvê-las. Surgiram várias

respostas diferentes, o que favoreceu a interação coletiva entre os

participantes ao discutirem as trajetórias de resolução, até alcançar a

generalização do par ordenado.

Nas discussões, para os professores foi importante mobilizar diversos

conceitos da Álgebra e da Geometria. Observaram a potencialidade de abordar

alguns tópicos, entre eles: leitura, interpretação; coordenadas dos pontos;

números inteiros; relações numéricas; termos de uma sequência; termo geral;

expressões numéricas; variável; expressões algébricas e função.

A segunda atividade a seguir, bem semelhante, foi apresentada aos

professores como outra possibilidade de continuar a primeira abordagem.

GENERALIZAÇÃO DOS CENTROS DOS QUADRADOS NO REFERENCIAL

NEGATIVO Observe a figura:

a) Agora, construa os quadrados do lado esquerdo em que as coordenadas continuem

para a esquerda ...-3,-2,-1,0, conforme o lado esquerdo de uma reta numérica. Quais

as coordenadas do centro do quadrado da posição 0, -1 e -2 ?

b) Quais as coordenadas do centro do quadrado na posição -15?

c) É possível descrever um padrão com o número do quadrado e as coordenadas do

centro? Como se pode descrever esse padrão?

b) Quais as coordenadas do centro do quadrado da posição -100?

Fonte: Adaptações de Vale e Pimentel, 2011.

41

Solução das coordenadas dos centros referencial negativos

Fonte – Organizado pela pesquisadora, 2019.

Essa situação-problema envolveu a generalização das coordenadas do centro

dos quadrados com referencial negativo, que é também igual a Xn=3n-1 e

Yn=n+1. A diferença é que essa situação-problema explora a generalização

utilizando coordenadas com números inteiros negativos.

Com o software Geogebra foram discutidas algumas possibilidades, entre elas,

a calculadora gráfica no ensino da Álgebra, bem como foram realizadas

atividades sobre equações. A atividade, a seguir, consistiu no estudo gráfico de

uma equação do 1° grau com duas variáveis, também representado na figura a

seguir.

42

Ana e Bia são irmãs e juntas têm 42 reais. Sabendo que ambas possuem valores inteiros em reais, qual valor tem cada uma das irmãs? Apresente uma estratégia de resolução para a situação proposta.

Soluções inteiras da equação polinomial do 1°grau com duas variáveis

Fonte: Dante, L. R. 2012

Para os professores, essa situação-problema estimula o aluno a compreender

diferentes tipos de registros algébricos, como o figural, o numérico e o

geométrico, de forma que ele possa interpretar os problemas e atribuir

significados. Com o auxílio do Geogebra foi possível encontrar soluções

inteiras da equação com duas variáveis.

O grupo observou que essa atividade tem uma equação com duas variáveis e

apresenta soluções mais gerais. Assim, é possível inferir, por meio das

discussões coletivas, que predomina o significado dedutivo-geométrico de

equação do 1°grau, segundo Ribeiro e Cury (2015, p.45). Nesse caso, o

conceito de equação está ligado às soluções inteiras representadas na reta.

Posteriormente, foi disponibilizada outra atividade sobre o estudo de sistema

de equações do primeiro grau. A situação-problema proposta aos professores

foi a seguinte:

Em um estacionamento, há 10 veículos, entre motos e carros. Se o total de rodas é 32, quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?

43

Solução do Sistema de Equações Lineares

Fonte: Organizado e elaborado pelas pesquisadoras, 2019.

Nessa atividade, a solução do problema estava no par ordenado de soluções

inteiras encontradas por meio da interpretação geométrica da interseção de

duas retas. Inicialmente, os professores consideraram que, nesse problema, o

significado atribuído às equações estava ligado a uma única solução,

predominantemente aritmética. Após algumas discussões, concluíram que

predominam dois significados de equação: o “intuitivo-pragmático e o dedutivo-

geométrico” (RIBEIRO e CURY, 2005, p.45).

No final dessa situação-problema, foi discutida outra questão, dessa vez

envolvendo a solução de uma equação de 2° grau no GeoGebra. Nas

discussões coletivas foi relevante a opinião da professora P2 referente ao uso

das novas tecnologias.

P2: O GeoGebra é fundamental para ensinar da Álgebra, não só com os alunos, mas para tarefas pessoais como professora, seja no planejamento das aulas, na elaboração de atividades, em avaliações e com a calculadora gráfica.

P3: Todos nós, professores, podemos utilizar as tecnologias educacionais e compartilhar práticas pedagógicas que deram certo em relatos de experiência.

44

Uma questão importante a ser discutida em relação às duas tarefas propostas

anteriormente é que ambas têm soluções discretas, visto que as possíveis

respostas são números inteiros. Alertamos que as atividades no GeoGebra são

contínuas: retas, o que pode gerar tensões. Cabe ao professor formador

incentivar debates e esclarecimentos sobre essa questão para evitar erros

conceituais ao utilizar a representação computacional.

Comentário

O ideal é que as atividades com as tecnologias educacionais

sejam realizadas em um laboratório de informática de uma

escola, mesmo somente com professores. Dessa maneira é

possível trabalhar dentro da realidade escolar, considerando

a escola como lugar de produção de conhecimento.

Neste trabalho, em especial, três professores utilizaram um

computador. Em relação ao GeoGebra, alguns professores já

conheciam o programa, o que contribuiu para desenvolver as

ações propostas. No entanto, mesmo assim apresentamos as

ferramentas básicas do software antes de iniciar as

atividades anteriormente descritas visando estimular um

desempenho mais produtivo ao utilizá-lo. Posteriormente, os

professores foram motivados a falar sobre os conceitos

matemáticos envolvidos e as possíveis contribuições ao

realizar esse trabalho futuramente em sua prática docente. É

importante o formador estimular um momento de discussão

coletiva.

45

O JOGO “ÁLGEBRA DOS VITRÔS”

Fonte – Rede Interativa Virtual de Educação, 2017. Disponível em: Fonte:http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/raquel_leonogildo_gustavo_tania/projeto2MX.html

O jogo “Álgebra dos Vitrôs” aborda conceitos de forma significativa para o

estudante ao estabelecer uma articulação entre conceitos e questões reais,

possibilitando a aquisição de um conhecimento conceitual por meio da

resolução de problemas reais. Nesse jogo, em uma situação em uma

vidraçaria, os estudantes devem calcular as medidas das áreas dos vidros

conforme uma medida X solicitada pelos clientes. Para resolvê-la utilizamos o

potencial das tecnologias como ferramenta de apoio na construção de

conceitos matemáticos, induzindo os professores à reflexão e à análise do jogo

e também às possibilidades de desenvolvê-lo em sala de aula. Primeiramente,

os professores acessaram o site em que o objeto de aprendizagem está

disponível, realizaram algumas atividades e, posteriormente, houve um

momento para fazer considerações acerca do jogo. Alguns professores falaram

sobre o jogo e como utilizá-lo em suas aulas, conforme descrito a seguir.

P9: Além de trabalhar de forma lúdica, o jogo amplia a visão da Álgebra, pois o aluno terá que relacionar a linguagem algébrica com a representação geométrica ao calcular a área das figuras. P2: Como na minha escola temos dificuldade de acessar o jogo, posso adaptar esse jogo e utilizar a cartolina, desenhar as figuras e pedir para os alunos responderem as questões.

46

Utilizar o jogo contribuiu para realizar as tarefas propostas no curso sobre a

Matemática para o ensino de Álgebra e as relações existentes entre Álgebra e

Geometria. Além disso, as interações nos grupos e as discussões coletivas

favoreceram a ampliação dos saberes da docência e estimularam reflexões

acerca do ensino da Álgebra ao utilizar tecnologias educacionais nas práticas

de sala de aula.

Pelos relatos desses professores de Matemática, os momentos de discussões

após o desenvolvimento de cada atividade resultaram em reflexões

significativas para a construção dos saberes da docência, como destaca os

estudos de Lopes et al. (2016), isto é, a qualidade da formação do professor

está relacionada à forma de organizá-la, bem como às oportunidades de

compartilhar suas ações.

Desse modo, as atividades realizadas no curso com base nesses princípios

apontam possibilidades de ampliar os saberes dos participantes, saberes de

cunho teórico, prático e metodológico.

Comentário

O jogo Álgebra dos Vitrôs é um objeto de aprendizagem

gratuito disponível no site anteriormente citado e pode ser

utilizado on-line ou baixado.

É importante o formador estimular um momento de discussão

coletiva e perguntar aos professores/cursistas sobre os

conceitos e os conteúdos matemáticos envolvidos, bem como

quais poderiam ser as contribuições para a prática docente

ao realizar a atividade proposta.

47

6. Formação e o Ambiente Virtual

Este tópico aborda as atividades desenvolvidas no ambiente virtual de

aprendizagem Moodle 3.1 durante a formação continuada e também as

interações e as opiniões dos professores/cursistas durante o curso “Saberes

Docentes de Álgebra”.

1ª Etapa

Uma das atividades no ambiente virtual de aprendizagem (AVA) foi assistir a

um vídeo sobre a temática do curso no link:

https://www.youtube.com/watch?v=SjSHVDfXHQ4

Nesse vídeo, o matemático Arthur Benjamin apresenta padrões matemáticos,

explora as propriedades dos números e a sequência de Fibonacci, além de

destacar que a Matemática é lógica, funcional e inspiradora, o que gerou

reflexões e questionamentos.

Após assistir ao vídeo, os professores foram orientados a acessar o fórum de

discussão e postar suas opiniões, com base nas seguintes perguntas:

O que mais chamou sua atenção no vídeo? Quais as abordagens e as

contribuições do vídeo? Discuta a frase dita pelo matemático Arthur

Benjamin no final do vídeo: Matemática não é só descobrir o valor de x?

48

Esse fórum foi o que mais estimulou a interação entre os professores/cursistas.

Em uma das postagens, um participante se expressou conforme transcrito a

seguir:

Ao postar opiniões sobre o vídeo no fórum, os professores refletiram sobre a

própria prática docente de uma Matemática para o ensino na escola básica,

bem como interagiram a respeito das postagens dos colegas no fórum.

Outra atividade não presencial disponibilizada no ambiente virtual de

aprendizagem foi o compartilhamento da solução da seguinte situação-

problema.

Imagine a seguinte situação: Você irá assumir uma turma de 7º ano do Ensino Fundamental II. De acordo com planejamento que lhe foi entregue, você trabalhará o ensino de Álgebra durante as aulas da próxima semana. Sabendo que esse será o primeiro contato da turma com o conteúdo, como você abordaria o assunto?

Uma das soluções postadas no fórum encontra-se transcrita a seguir;

P1: Muitas vezes nos pegamos abordando a Álgebra de forma gelada, utilizando o comodismo das fórmulas e as formas engessadas de resoluções, repetindo o que, talvez, foi passado um dia para a gente. Também notei, assim como supracitado pela P5, o entusiasmo do apresentador em suas explicações e abordagens, e como isso também pode fazer diferença. Precisamos buscar cada vez mais mudanças de foco e modo no ensino da Álgebra/Matemática. (1° fórum, junho, 2017)

P9: Eu introduziria trabalhando com sequências simples, usando apenas números. Passaria algumas e pediria para os alunos descobrirem o que muda. Depois, pediria a eles que criassem uma sequência e trocassem com um colega para que um descobrisse a sequência do outro e só, então, concluiria inserindo o termo algébrico para substituir a variável.

Comentário Muitos professores das séries finais do Ensino Fundamental têm

dificuldade para socializar a prática docente. Desse modo, ao

inseri-los em uma situação problematizada fictícia, é possível

investigar saberes da docência e estimular reflexão sobre a prática

realizada em sala de aula.

49

2ª Etapa No ambiente virtual de aprendizagem, como atividade não presencial, foi

solicitada a leitura dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), da

Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2015) e das diretrizes do município

de Cariacica/ES, apenas dos recortes dos documentos que abordam a

temática Álgebra nas séries finais do Ensino Fundamental.

Uma videoaula sobre a temática do curso ficou disponível no AVA para os

professores assistirem e postarem sua opinião no fórum sobre as concepções

da Álgebra abordadas. O link para o vídeo é o seguinte:

https://www.youtube.com/watch?v=AYEwEqxcZr4. É um videoaula de introdução à

Álgebra na educação básica.

Nas discussões no fórum a respeito da temática do vídeo, para os professores,

as concepções da Álgebra abordadas nos documentos legais do Ensino

Fundamental foram contempladas na videoaula com exemplos práticos do dia

a dia.

Foi também disponibilizada uma sequência de dez atividades referente à

temática Álgebra, que foram encontradas em livros didáticos de Matemática

das séries finais do Ensino Fundamental, para os professores analisarem as

concepções de Álgebra mais evidentes em cada atividade. Desse modo, no

encontro presencial, foi possível verificar de forma coletiva quais características

do pensamento algébrico, dos conceitos abordados e das concepções da

Álgebra foram mais relevantes para os professores em cada uma das

atividades de uma lista com dez atividades disponibilizadas na plataforma

Moodle, que abordam conhecimentos da Álgebra escolar. Essas atividades

serão apresentadas em uma seção no final deste livro, nas sugestões de

atividades.

3ª Etapa A formação continuada propiciou e estimulou discussões e reflexões acerca do

ensino da Álgebra com base em documentos legais. Para registrar isso, no

encontro presencial os professores/cursistas listaram os principais conceitos

abordados nesses documentos a respeito do ensino de Álgebra.

50

Posteriormente, já com os conceitos listados, criaram conectivos e ligaram os

conceitos por meio de um esquema estruturado, mostrando as principais ideias

abordadas. Posteriormente, elaboraram/construíram um esquema com

características próximas de um mapa conceitual. O objetivo dessa

representação foi obter uma visão geral da Álgebra escolar, após todos

apresentarem os próprios conceitos esquematizados, e estimular uma

discussão. Em seguida, após as discussões e reflexões, foi apresentado o

modelo do mapa conceitual de Paiva (2016) sobre Álgebra escolar.

Mapa Conceitual da Disciplina Debates Conceituais da Álgebra

Fonte: PAIVA, M. A. V. Educimat- Cefor/Ifes, 2016, notas de aula.

Embora tenha sido uma atividade presencial, essa atividade foi disponibilizada

no ambiente virtual, pois os professores não tinham lido os textos propostos

anteriormente no Moodle. Além disso, outros fatores também dificultaram o

trabalho em grupo no encontro presencial, como o número reduzido de

participantes.

51

Assim, é preciso ficar atentos ao contexto e aos contratempos que surgem na

formação, de forma a re-planejar as ações para não perder nem dispersar as

discussões.

4ª Etapa

Como atividade não presencial, foram disponibilizados alguns relatos de

experiências para leitura nos links a seguir:

JUNIOR, A. P. Cálculo algébrico: um relato de uma atividade. In: Educação Matemática na Contemporaneidade: desafios e possibilidades, 2016. http://www.sbem.com.br/enem2016/anais/pdf/6010_3032_ID.pdf PAULA, H. J; BONI, K. T.; PIRES, M. N. M. O pensamento algébrico e a tarefa de padrões: relato de uma experiência nos anos iniciais do ensino fundamental. In: Encontro Paranaense de Educação Matemática, 2014. http://sbemparana.com.br/arquivos/anais/epremxii/ARQUIVOS/RELATOS/titulos/RELA36.PDF O objetivo dos relatos de experiência disponibilizados no ambiente virtual de

aprendizagem foi orientar os professores/cursistas na elaboração do

planejamento da prática pedagógica coletiva e na construção do próprio relato.

5ª Etapa:

Essa atividade consistiu na apresentação pelos professores, por meio de uma

postagem no AVA, do planejamento da atividade prática coletiva, de fotos da

aplicação e de relatos nesse ambiente, de forma a compartilhar com os outros

professores/cursistas do curso. Essas atividades foram elaboradas no encontro

presencial, discutidas, revistas e, posteriormente, aplicadas em suas salas de

aula, contando com a observação e a participação de um ou dois colegas de

curso. Os professores foram liberados do planejamento das aulas em sua

escola para assistir à aula do outro colega/cursista, selecionado com base no

planejamento da aula prática que realizaram de forma coletiva.

52

7. A Formação e as Práticas

Uma das atividades do curso de formação continuada Saberes Docentes de

Álgebra foi o planejamento e a aplicação de uma prática pedagógica de forma

coletiva, posteriormente postada no Moodle, a qual será relatada neste tópico.

Os professores foram divididos em três grupos, com três participantes, e um

grupo, com quatro participantes. A divisão dos grupos foi realizada por eles,

conforme seus interesses e os anos de escolaridade em que trabalhavam.

Alguns se dividiram por atuar em sala de aula no mesmo ano, e outros por

interesse e afinidade em relação ao tipo de abordagem que seria desenvolvida

para ensinar Álgebra. Os planejamentos das práticas pedagógicas poderiam

ser organizados por tema, ano, conteúdo, pré-requisitos, metodologia,

avaliação e referências. Os planejamentos foram realizados em grupos,

deveriam ser postados na plataforma Moodle (como já descrito) e

apresentados no próximo encontro presencial agendado.

Planejamento da prática pedagógica

Fonte: Organizado pelas pesquisadoras, 2019.

Tem-se a seguir um exemplo de um planejamento postado na plataforma

Moodle:

53

Primeira Apresentação: Grupo α

Tema: A balança no estudo das equações

Ano: 7º

Conteúdo: Equação

Pré-requisitos: Números e operações.

Objetivos de aprendizagem:

- Entender o conceito de equação do 1° grau.

- Compreender e manipular expressões algébricas.

- Generalizar situações-problema.

- Estruturar equações com base em uma situação-problema;

Metodologia: Utilizar uma balança e trabalhar na prática com a ideia de

equilíbrio, de conceito de igualdade e equivalência, e o conceito de equação de

1°grau.

ATIVIDADE COM BALANÇA MANIPULÁVEL

Jogo de trilha algébrica e atividades com padrões matemáticos

54

Cada grupo apresentou como foram desenvolvidas as atividades práticas

realizadas em sala de aula, mostrando também o relato da experiência.

Após as apresentações, montamos uma roda de conversa para falar sobre a

formação continuada, bem como dar orientações para acessar o ambiente

virtual de aprendizagem e, assim, responder, individualmente, o questionário

final de avaliação do curso, de maneira a expor suas críticas e dar sugestões.

No que se refere à experiência no curso, o quadro a seguir, com relatos de

alguns professores, permite inferir que ocorreram algumas mudanças em suas

concepções acerca do ensino de Álgebra, dos saberes sobre padrões e

generalizações, e do ensino de Álgebra de maneira em geral. Inclusive, em

alguns casos, até mesmo mudança na prática educativa. Encontra-se

disponível também a opinião do próprio professor ao avaliar sua aprendizagem

no final do curso.

APRENDIZAGENS INDIVIDUAIS DOS PROFESSORES EM RELAÇÃO AO CONTEÚDO DE

PADRÕES E GENERALIZAÇÕES Professor Depoimento

Professora P2 Na verdade, já estão ocorrendo mudanças em minha atuação como professora. Venho refletindo bastante sobre a transição do pensamento aritmético para o algébrico e a dificuldade de abstrair que muitos alunos enfrentam. Assim, tenho estimulado a execução de exercícios em grupos que priorizam padrões e generalizações.

Professora P5 Acho que não explorei em minhas aulas suficientemente o trabalho com padrões e generalizações. Ficava limitada aos exercícios propostos nos livros didáticos, sem intervenções importantes de minha parte que pudessem levá-los a uma concretização do pensamento algébrico.

Professora P9 Agora percebo que as atividades com padrões e generalizações acabam conduzindo os alunos a darem mais sentido à utilização dos símbolos e desenvolverem o pensamento algébrico, sendo este capaz de se manifestar em diversas áreas de conhecimento.

Professora P1 Certamente, minhas aprendizagens estarão presentes no meu dia a dia em sala de aula. Trabalharei com uma mente mais aberta para o ensino da Álgebra, dando ênfase aos padrões em todas as séries. Foi possível perceber a importância de se trabalhar de forma lúdica ou que saia da rotina, e esta também é uma prática que buscarei aplicar sempre que possível e em todos os conteúdos.

Professora P8 O conteúdo de padrões matemáticos e suas generalizações tem suma importância no ensino da Álgebra. Percebi que ele tem o poder de transportar o aluno do concreto para o abstrato de forma sútil e eficiente. Na maioria das vezes, o aluno encontra dificuldades em escrever algebricamente o padrão que ele enxergou. Apenas com prática é que esse obstáculo vai sendo vencido.

Fonte: Acervo da pesquisadora, 2019.

55

O quadro a seguir contém indícios de aprendizagens dos professores por meio das

interações e discussões coletivas.

APRENDIZAGENS POR MEIO DA INTERAÇÃO NO GRUPO Professor Depoimento

Professora P2 As reflexões e discussões coletivas da sala de aula me possibilitou ter uma visão mais ampla da Álgebra. A aplicação da aula em conjunto nos mostra como devemos rever nossas práticas pedagógicas, buscar inovar e sair um pouco da zona de conforto para termos melhores resultados.

Professora P5 Pude trocar experiências com outros professores e avaliar minha prática em sala de aula.

Professora P9 A constante interação entre os colegas promovia o aprendizado mútuo. Aspectos importantes da Álgebra eram trazidos para discussão e análise, cada encontro do curso sempre com muito planejamento, que gerava discussões e novas aprendizagens.

Professora P1 O planejamento e a prática junto com os colegas foram muito importantes porque trocamos experiências e um ajudou o outro.

Professora P8 Os relatos dos professores de práticas realizadas em sala de aula possibilitou enxergar novos caminhos no ensino da Álgebra.

Fonte: Acervo da pesquisadora, 2019.

Pelas respostas dadas pelos professores pode-se afirmar que ocorreram

aprendizagens importantes em relação ao conteúdo de padrões e

generalizações, bem como mudanças de postura em sala de aula. As trocas de

experiência mobilizaram saberes que permitiram que uns colaborassem para a

aprendizagem do outro.

No final do curso, os professores se mostraram mais preparados para ensinar

Álgebra na educação básica. Segundo eles, antes, isso era feito de forma

reduzida. Também ressaltaram a importância de trabalhar o conteúdo de

padrões e generalizações no estudo das equações e na formação do

pensamento algébrico.

56

8. SUGESTÕES DE SITUAÇÕES-PROBLEMA

Nas discussões coletivas, os professores falam de suas práticas de sala de

aula, e necessidades emergem das reflexões e das discussões de suas

vivências e práticas pedagógicas. Isso direciona outras ações a serem

tomadas. Nesse sentido, serão propostasalgumas situações-problema que

podem ser trabalhadas durante o curso, de acordo com a necessidade do

grupo.

A seguinte orientação pode ser dada para a seguinte atividade:

Professor, nas situações-problema a seguir, identifique o papel das variáveis,

os aspectos da Álgebra mais evidentes em cada uma delas, e apresente suas

percepções e considerações nas discussões coletivas, de modo a abranger a

prática de sala de aula.

Situação-problema 1: Observe a situação apresentada nas balanças a seguir,

que estão em equilíbrio entre si:

a) No quadro anterior, há dois tipos de representações de uma mesma

situação. Represente essa mesma situação de outra forma, com o

auxílio da linguagem escrita, utilizando variáveis.

b) Se retirarmos as duas caixas, o que acontecerá na segunda balança?

c) Se colocarmos uma garrafa +1kg no lugar de cada caixa da segunda

balança, o que acontecerá?

d) Resolva a situação expressa no quadro, determine qual a massa de

cada caixa de suco e de cada garrafa.

(PAIVA, M. A. V. Cefor/Ifes, 2016, notas de sala de aula).

57

Situação-Problema 2: A obesidade vem se tornando cada vez mais comum

entre os jovens. Sendo assim, é importante estar atento a hábitos mais

saudáveis de vida, ressaltando uma alimentação mais equilibrada e a prática

de esportes. E, para controlar o peso, existe o IMC, índice de massa corpórea,

um cálculo simples feito por meio de uma fórmula que divide a massa pelo

quadrado da altura, apresentada a seguir.

Após fazer o cálculo e encontrar o IMC, há uma tabela utilizada pela OMS

(Organização Mundial de Saúde) que estabelece critérios para indicar a

situação da pessoa em relação ao resultado encontrado:

Assim sendo,

a) Calcule seu índice de massa corporal.

b) Como está sua condição?

c) Em sua opinião, somente o cálculo do IMC é suficiente para indicar se

uma pessoa é obesa ou não? Justifique.

d) Que tal discutirmos os “padrões de beleza”?

(Adaptado do material do Proeja/Ifes 2010)

Situação-Problema 3: Paula resolve exercícios de Matemática fazendo

passagens mentalmente. Dessa vez ela escreveu três linhas. Seus cálculos

estão corretos?

58

(Adaptado do material do Proeja/Ifes, 2010)

Situação-Problema 4: Observe a sequência de pilhas de cubo:

a) Quantos cubos menores têm em cada construção?

b) Fazendo a próxima (4ª) construção de cubos menores, quantos deles

serão necessários?

c) É possível alcançar um padrão nessa construção. Que padrão é esse?

d) Quantos cubos menores precisaríamos para fazer a enésima (que está

na posição n) construção?


59

Situação-Problema 5: Observe a sequência de figuras a seguir:

a) Construa as duas próximas figuras da sequência.

b) A figura 17 terá quantos quadrados no total?

c) Se uma das figuras tem 169 quadrados no total, quantos serão

coloridos? Por quê?

d) Monte uma tabela que traduza a construção da sequência expressa.

e) É possível estabelecer um padrão para construir a sequência acima?

Escreva esse padrão, explicando o porquê dele.

f) O que você entende por padrão?


Situação-Problema 6: Observe a tirinha.

a) Explique como foi possível o garoto obter a resposta correta, mesmo não

sabendo o número pensado por seu colega.

b) Escreva uma expressão geral para o problema apresentado na tirinha.

c) Se você pensar em um número diferente de seu colega, as respostas

encontradas por vocês serão diferentes? (Adaptado do material do Proeja/Ifes, 2010)

60

Situação-Problema 7: Qual é a diferença entre o perímetro das figuras

abaixo? E qual a área da figura 2?

(Adaptado Ribeiro e Cury, 2015)

Situação-Problema 8: Observe a sequência de figuras a seguir. Um operário

foi contratado para construir uma calçada em volta de dois lados de um terreno

retangular, como mostra a figura a seguir. O terreno mede 20m por 30m, e a

calçada deve ter sempre a mesma largura. Sabendo que o operário dispõe de

72m2 de lajotas para fazer a obra, qual deve ser a largura da calçada?


Situação-Problema 9: Observe as figuras da sucessão seguinte:

61

a) Desenhe a 4ª figura.

b) Decida quantos quadradinhos brancos têm a décima figura, sem construí-la.

c) E na e-nésima?


Situação-Problema 10: As figuras abaixo são formadas por quadrados:

Complete a tabela com o número necessário de quadrados para formar as

construções, sabendo que o padrão de crescimento é mantido.

a) Quantos quadrados são necessários para formar a construção da posição n?

b) Quantos quadrados são necessários para formar a 100ª construção?

c) Qual posição da figura pode ser feita com 590 quadrados?

(PAIVA, M. A. V. Cefor/Ifes, 2016, notas de sala de aula)

62

Situação-Problema 11: Observe a sequência:

a) Qual o grupo de repetição?

b) Qual a figura geométrica da 38° posição da sequência?

c) Se em uma sequência tiver 15 quadrados, quantas figuras haverá ao todo?

d) Que posição ocupa o 21° quadrado da sequência?

(Adaptado Vale et al., 2011)

Situação-Problema 12: Considere a sequência:

a) Quantos círculos terá a 6ª Figura?

b) E a centésima figura?

c) Determine o número de círculos para uma figura qualquer.

d) Possui apenas essa expressão algébrica?

(Adaptado de Vale et al., 2011)

Situação-Problema 13: Encontre a expressão algébrica que determina o

número de quadradinhos brancos da e-nésima figura.

(Adaptado do PCN, BRASIL, 1998)

63

Situação-Problema 14: Em um trem, a locomotiva possui 4 rodas de cada

lado e cada vagão possui 6 rodas de cada lado.

a). Quantas rodas tem ao todo um trem de 8 vagões?

b). Escreva uma fórmula que determine o número total de rodas R do trem,

quando houver V vagões.

c). Determine o número de vagões quando o trem tiver um total de 128 rodas.

(TINOCO, 2015)

Situação-Problema 15: A professora Joana está construindo um jogo com

cubos e adesivos. Ela une os cubos por uma das faces e forma filas de cubos.

Em seguida, cola um dos adesivos em cada uma das faces. A figura a seguir

mostra a construção que ela fez com 2 cubos, na qual ela usou 10 adesivos.

a) Descubra quantos adesivos a Joana utiliza em uma construção com:

3 cubos? 4 cubos? 10 cubos? 50 cubos?

b) Descubra, também, qual regra permite saber quantos adesivos a Joana

utiliza na construção desse tipo com um número qualquer de cubos?

c) Se Joana tem 198 adesivos, qual o número maior de cubos que ela pode

colocar na construção?

(TINOCO, 2015)

Situação-Problema 16: Nesta atividade, muito simples, espera-se que os

alunos sejam capazes de expressar a lei geral, pelos menos em palavras.

64

D. Lourdes lavou as camisas do time de futebol de seu neto Cacá e vai colocá-

las para secar no dia seguinte da seguinte maneira:

- Cada camisa está presa por dois pregadores

- Cada camisa está ligada à seguinte por um pregador.

a) Quantos pregadores D. Lourdes irá usar para pendurar 8 camisas? E 10

camisas? E 11 camisas?

b) D. Lourdes comprou duas cartelas de 12 pregadores cada. Esse número de

pregadores é suficiente para prender as camisas de 22 jogadores?

c) Escreva a expressão que represente o número de pregadores necessários

para pendurar um número qualquer de camisas?

(TINOCO, 2015)

Situação-Problema 17: Sabendo que o número necessário de quadrados é

dado em função da posição da construção que se quer formar, responda:

a) Seguindo esse mesmo padrão de sequência, e utilizando 100 palitos (no

total), calcule o número de quadrados completos com palitos que a sequência

conterá.

b) É possível estabelecer um padrão para tal sequência? Em caso afirmativo,

que padrão é esse?

(Adaptado Fundação Carlos Chagas, 2015)

65

Situação-Problema 18: Considere que uma mesa quadrada acomoda apenas

4 pessoas; juntando duas mesas desse mesmo tipo, acomodam-se apenas 6

pessoas; juntando três dessas mesas, acomodam-se apenas 8 pessoas e,

assim, sucessivamente.

a) Se juntarmos 16 dessas mesas, qual o número de pessoas que poderão ser

acomodadas?

b) Que expressão algébrica representa o número de cadeiras de acordo com a

quantidade de mesas?

(Fundação Carlos Chagas, 2015)

Situação-Problema 19: Para a sequência de polígonos observe a quantidade

de diagonais a seguir:

- Qual expressão algébrica define o número de lados e a quantidade de

diagonais de um polígono qualquer?


Situação-Problema 20: Desenhe um triângulo equilátero com, por exemplo, 27

cm de comprimento de lado. Marque os pontos médios de cada um dos lados

do triângulo. Faça a união desses três pontos. Surge outro triângulo equilátero.

Pinte o triângulo do meio. Em seguida, repita, para cada um dos triângulos

vermelhos, o processo anterior e assim sucessivamente, até obter a sequência

de figuras idênticas apresentada a seguir. Ao utilizar esse processo tantas

66

vezes quantas desejar, obtém-se o chamado triângulo de Sierpinski, um dos

exemplos mais conhecidos de fractal.

a). Como é que as áreas de cada um dos triângulos vermelhos se relacionam

com a área do triângulo inicial?

b). Será que alguma área vermelha permanece se continuar o triângulo de

Sierpinski e se continuar o processo com triângulos cada vez menores?

Explique.

c). Complete a tabela abaixo e faça a generalização para a enésima fase.

d). Quais tópicos matemáticos estão envolvidos no desenvolvimento dessa

questão?


Fases da Construção Número de Triângulos

Vermelhos

Área de cada um dos

triângulos vermelhos

Área total dos

triângulos vermelhos

Fase 1

1 1 1

Fase 2

3 1/4 3/4

Fase 3

Fase 4

67

9. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A formação continuada relatada neste livro teve como pressupostos que a

formação é uma ação social, a docência requer saberes próprios, a prática do

professor tem um papel fundamental na construção de seus saberes e a ênfase

nas ações coletivas contribui para a socialização e a internalização de

entendimentos e experiências. Nessa perspectiva, dentro dos princípios

citados, pode-se afirmar que ocorreu a ampliação dos saberes dos

participantes, saberes de cunho teórico, prático e metodológico.

A experiência de trabalhar de forma coletiva e interativa os conceitos de

generalizações de padrões matemáticos para o ensino da Álgebra foi

imprescindível na construção de saberes da docência. As reflexões das

experiências vivenciadas com os professores em seu contexto de ensino de

Álgebra e as discussões a respeito das práticas diferenciadas de sala de aula

proporcionaram momentos importantes de interação e de trocas. Além disso,

favoreceram e estimularam o surgimento desses saberes, conferindo-lhes uma

valorização sociocultural de quem produz Matemática ao ensinar.

Fase 5

Fase 6

.... ... ...

Fase n

68

O trabalho reflexivo e as ações colaborativas desenvolvidas durante as

atividades propostas resultaram em um repensar da prática pedagógica de

forma individual e coletiva. Privilegiaram também a construção de um

entendimento do pensamento algébrico pelos docentes e a (re) construção de

conceitos da Álgebra visando romper com a prática tradicional de ensino.

Essa experiência de formação foi muito significativa para os formadores porque

possibilitou o surgimento de um novo olhar para a formação, isto é, como um

lugar/espaço para discutir conceitos e práticas, que segue uma lógica de uma

cultura profissional, e estimula mudanças significativas no cotidiano docente.

Nessa perspectiva, a prática é lugar de construção de saberes, e a formação

deve e precisa considerar os aspectos socioculturais inerentes à profissão

professor.

Assim, desejamos que as reflexões desse livro possam contribuir

significativamente com os colegas formadores de professores em sua tarefa de

formar professores e ajudá-los a desenvolver uma identidade profissional, bem

com os professores da Educação Básica em suas reflexões sobre o ensino de

Álgebra.

69

10. REFERÊNCIAS

BALL, D. L.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content Knowledge For Teaching: What makes it Special? Journal of Teacher Education, v. 59, n. 5, p. 389-407, 2008. BALL, D.; BASS, H. Toward a practice-based theory of mathematical knowledge for teaching. In B. Davis & E. Simmt (Eds.), Proceedings of the 2002 Annual Meeting of the Canadian Mathematics Education Study Group, (p. 3-14). Edmonton, AB: CMESG/GCEDM, 2003. BONOMO, T. Padrões e generalizações para o ensino da Álgebra: Ações colaborativas na formação de professores .113f. 2019. Dissertação. (Mestrado Profissional em Educação e Ciências e Matemática) – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo, Vitória, 2019. BRASIL. MEC. Base Nacional Comum Curricular – BNCC. 2ª versão. Brasília, DF, 2016. BRASIL. MEC. SEF. Tecnologias da comunicação e informação. In: Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental. Introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998, p. 133-157.

CADE, N. V. Construção coletiva de uma matemática para o ensino de Equações Diofantinas Lineares na formação inicial de professores. 116f. 2018. Dissertação. (Mestrado Profissional em Educação e Ciências e Matemática) – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo, Vitória, 2018. DAVIS, B.; Subtlety and Complexity of Mathematics Teacher’s Disciplinary Knowledge. 12th International Congress on Mathematical Education. Seoul, Korea. 2012. DAVIS, B.; SIMMT, E. Mathematics-for-teaching: an ongoing investigation of the mathematics that teachers (need to) know. Educational Studies in Mathematics, v. 61, n. 3, p. 293-319, March, 2006.

DAVIS, B.; RENERT, M. Mathematics-for-Teaching as shared dynamic participation for the Learning of Mathematics, v. 29, n.3, p. 37-43, 2009.

DAVIS, B; RENERT, M. Profound understanding of emergent mathematics:

broadening the construct of teachers’ disciplinary knowledge. Educational Studies in Mathematics, v. 82, n.2, p. 245- 265, Feb, 2012. DAVIS, B. RENERT, M. The math teachers know: profound understanding of emergent mathematics. New York: Routledge, 2014. DAVIS, B. Subtlety and complexity of mathematics teachers’ disciplinary knowledge. In:

70

INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION, 12, Seoul, Korea. Anais Seoul, Korea: ICME, 2012.

FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P.; CRISTOVÃO, E. M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. In: Seminário Luso-Brasileiro de Investigações Matemáticas no Currículo e na Formação do professor, Lisboa, 2005. FREITAS Rony C. de Oliveira. Educação Matemática na Formação Profissional de Jovens e Adultos.1ª Ed. Curitiba: Appris, 2011. GIRALDO, V.; RANGEL, L.; MENEZES, F.; QUINTANEIRO, W. (Re) construindo saberes para o ensino a partir da prática: investigação de conceito e outras ideias. In: VI Seminário Nacional de História e Investigações de/em aulas de matemática. SHIAM, Campinas. Anais. Campinas. p. 1-18, 2017. LOPES, A. R. et al. Trabalho coletivo e organização do ensino de matemática: princípios e práticas. Zetetike, Campinas, São Paulo, v. 24, n. 1, p. 13-28, 2016. MASON, J. Expressing generality and roots of algebra. In: BEDNARZ, N; KIERAN, C; LEE, L. (Eds.). Approaches to Algebra, Perspectives for Research and Teaching. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, p. 65-86, 1996. MASON, J.; GRAHAM, A.; JOHNSTON, W. S. Developing thinking in algebra. London: Sage. 2005. MIGUEL, A.; FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A. Contribuição para um repensar...Educação Algébrica Elementar. Pro-posições, São Paulo, v.4, n1, p.78-91. 1993. MIZUKAMI, M. G. Aprendizagem da docência: algumas contribuições de L. S. Schulman. Revista Educação, Santa Maria, v. 29, n. 2, p. 1-11, 2004. PAIVA, M. A. V. Sala de aula do Proeja como espaço de formação docente. RIPEM, v. 8, n. 2, p. 60-71, 2018.

PONTE, J.P. Concepções dos professores de matemática e processos de formação. In: Instituto de Inovação Educacional, 185 - 247. 1992. PONTE, J. Formação do professor de Matemática: Perspectivas atuais. In: PONTE, J. P. (Org.). Práticas Profissionais dos Professores de Matemática. Lisboa: UIDEF, p. 343 – 360, 2014. RIBEIRO, A. Equação e conhecimento matemático para o ensino: relações e potencialidades para a Educação Matemática. Bolema. vol. 26. 2012.

71

RIBEIRO, A; CURY, H. Álgebra para a formação do professor: explorando os conceitos de equação e de função. 1. ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, (Coleção Tendências em Educação Matemática). 2015. SHULMAN, L. S. Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational Researcher, v. 15, n. 2, p. 4-14, 1986. SHULMAN, L. S. Knowledge and teaching: foundations of the new reform. Harvard Educational Review, v. 57, n. 1, p. 1-27, 1987. SHULMAN, L.S. Conhecimento y enseñanza: fundamentos de La Nueva reforma. Profesorado: Revista de currículum y formación del profesorado, v. 9, n. 2, 2005. Disponível em:< http://www.ugr.es/local/recfpro/Rev92ART1.pdf>. Acesso em: 3 mar. 2017. SOUZA, J; Pataro, P.; Vontade de saber matemática, 7º Ano, Nova Ortografia, 3 ed. Editora FTD. 2008.

TARDIF, M.; LESSARD, C.; LAHAYE, L. Esboço de uma problemática do saber docente. Teoria & Educação. v. 1, n. 4, Teoria & Educação p. 215-253, 1991. TARDIF, M. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis, Rio de Janeiro: Vozes, 2002. TINOCO, L. Equações: ler, escrever, resolver, utilizar.... Rio de Janeiro: Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ/IM), Projeto Fundão. 2015. VALE, I; PIMENTEL, T. Padrões: um tema transversal do currículo. Revista Associação de Professores de Matemática, Portugal, n.85, p.14-21, 2005. VALE, I., BARBOSA, A., BORRALHO, A., BARBOSA, E., CABRITA, I., FONSECA, L., PIMENTEL, T. Padrões em matemática: uma proposta didática no âmbito do novo programa para o ensino básico.1. ed. Educação Hoje. Lisboa. Portugal. 2011.

em ciÊncias e matemÁtica programa de pÓs-graduaÇÃo … · pró-reitoria de extensão e...

Documents