SILVANA ZIMMERMAr·Jhl MAlA

EM BUSCA DO EOUILlBf~lü COM AS eOl.IAÇÜeS DU 1° C3R/\U

POI'~rA (:;ROSSA20U1

SILVANAZIMMERMANN MAlA

EM BUSCA DO EQUILlBRIO COM AS EQUAÇÓES DO 1° GRAUr

Monografia apresentada como pré-requisitopara a obtenção do titulo de Especialista noCurso de Pós Graduação em Matemática:dimensões teórico - metodológicas, daUNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTAGROSSA.

Orientação Professora: Ms Joseli AlmeidaCamargo

rPONTA GROSSA

2001

AGRADECIMENTOS

Ao meu querido esposo Fábio que com muitapaciência e carinho me deu o apoio necessário para

a conclusão deste trabalho.

Aos meus filhos Fábio Roberto, Tamires Cristina eKaren Fernanda,·que são os estímulos para que

continue o meu aprendizado.

As minhas amigas Eva e Neide que sempreparticiparam da minha ansiedade, e nunca faltaram

quando mais precisei.

Á Professora Ms. Joseli Almeida Camargo agradeço aorientação segura e a amizade pela qual

sinto-me honrada.

ii

RESUMO

Esta pesquisa surgiu da observação realizada com alunos do Ensino

Fundamental e Médio, os quais apresentam grande dificuldade na resolução da

equação do 1° grau. Fixou-se então, a atenção aos alunos de 68 série onde o

conteúdo é iniciado.Buscou-se numa abordagem histórica, informações de

como surgiu a equação do 1° grau, sua utilização e procedimentos de

resolução adotados ao longo do tempo. A investigação descreve e aponta as

dificuldades encontradas pelos alunos nas resoluções das equações do 1°grau, dentre as quais a falta de conceituação de determinados conhecimentos

prévios. Aponta também a precipitação por parte do professor em dar

seqüência aos conteúdos para conseguir vencer o programa escolar,

contribuindo para as dificuldades. Algumas estratégias para um melhor

desempenho no ensino/aprendizagem da equação do 1°grau, são proposta no

presente trabalho.

Palavras chaves: equação do 1° grau, origem das equações, educação

matemática.

iii

SUMÁRIO

RESUMO 111

INTRODUÇÃO 1

1.0RIGEM DE TUDO

1.1- O SURGIMENTO DAS EQUAÇÓES 3

1.2- A EQUAÇÃO COMO LINGUAGEM DA ÁLGEBRA 9

11.O PROFESSOR EM CONSTRUÇÃO: equívocos e certezas 14

2.1- RELATO DE UMA EXPERIÊNCIA DE SALA DE AULA 16

111.OS ATORES NA SALA DE AULA

3.1- REFLETINDO SOBRE A PRÁTiCA 29

3.2- A ESTRATÉGIA 35

CONSIDERAÇÓES FINAiS .41

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFiCAS .43

ANEXOS 45

íy

INTRODUÇÃO

Através de observações feitas em sala de aula com alunos do Ensino

Fundamental e Médio, percebi que estes demonstram uma grande dificuldade em

relação à resolução da Equação do 1° Grau. Decidi observar com mais atenção, a

maneira pela qual os alunos resolvem essa Equação. As maiores dificuldades dos

alunos, se dão logo no início do processo de resolução da equação, e mesmo com

a interferência do professor, a maioria dos alunos não obtém êxito.

Achei, então, interessante direcionar meu trabalho para uma sondagem

mais específica com alunos de 68 série do Ensino Fundamental, tendo em vista

que é a partir desta série que o educando se depara com o aprendizado e a

resolução das referidas equações. Dessa forma pretendo averiguar as principais

dificuldades encontradas pelo aluno do ensino fundamental em relação a equação

do 1° grau.

Tenho como objetivos:

1- Pesquisar as principais dificuldades encontradas no processo ensino

aprendizagem no que se refere à resolução da equação do 1° grau.

2- Enfatizar a indissociabilidade na passagem da aritmética para a álgebra.

3- Investigar a interferência do professor na compreensão por parte dos

alunos na resolução da equação.

As hipóteses levantadas nessa pesquisa são as seguintes:

1- Os professores não enfatizam o conceito de equação.

2- Os alunos, por sua vez não são motivados a pensar, o que dificulta a

análise das respostas obtidas.

Partindo dessas preocupações, passei a fazer algumas anotações durante

as aulas de matemática, em uma turma de 68 série do Colégio General Osório -

Ensino Fundamental e Médio de Ponta Grossa, no qual fui docente no de 2000. A

pesquisa se desenvolveu a partir dos erros que apareceram com maior freqüência

nas resoluções de Equações do 1° Grau, dos alunos observados.

No primeiro capítulo, apresenta-se o contexto histórico do surgimento das

equações, para que se possa obter uma melhor compreensão quanto a sua

finalidade e aplicação no cotidiano das pessoas.

No segundo capítulo, serão apresentado os resultados da pesquisa de

campo realizada durante o ano letivo de 2000 na 68 série A do Colégio Estadual

General Osório - Ensino Fundamental e Médio, através dos quais pretende-se

observar as reais dificuldades mais freqüentes encontradas na resolução das

equações de 10 grau.

No terceiro capítulo, sugiro algumas idéias, nas quais julgo importante para

a construção do conceito de equação do 10 grau.

O presente trabalho é uma pesquisa denominada estudo de caso, por se

tratar de informações pesquisadas sobre a equação do 10 grau, pois como cita

Trivifios: liA complexidade do estudo de caso está determinada pelos suportes

teóricos que servem de orientação em seu trabalho ao investigador". (1987, p. 134)

Portanto, esta pesquisa parte dos conhecimentos existentes sobre o

conteúdo examinado, chegando a análise de alternativas metodológicas para se

trabalhar a equação do 10 grau.

Para realizar a pesquisa foram utilizadas fontes bibliográficas e pesquisa de

campo com os alunos da 68 série A do Colégio Estadual General Osório - Ensino

Fundamental e Médio, do ano letivo de 2000.

CAPITULO I

A ORIGEM DE TUDO"Sem a menor intenção de banalizar'.

a história podemos compará-Ia a umgrande baú, com paciência, é possível

encontrar quase tudo ... !!!(COSTA,1992,P.2)

1.1- O SURGIMENTO DAS EQUAÇCES

As equações, segundo historiadores como GARBI(1997), EVES(1997) e

BOYER(1974), surgiram na antiguidade oriental onde a escrita e o saber estava

restrito ao conhecimento de uma minoria privilegiada: os escribas. A eles competia

registrar a História dos reis, a contabilidade, os impostos, os estoques agrícolas e as

transações comerciais. Naturalmente ao fazê-to, precisavam realizar pequenos

cálculos aritméticos e geométricos de modo que seu treinamento não mais poderia

limitar-se às técnicas das letras e símbolos, mas deveria incluir rudimentos

matemáticos que eles próprios desenvolviam e passavam a seus sucessores.

A matemática primitivá necessitava de embasamento prático para o

desenvolvimento econômico das sociedades agrícolas emergentes. Foi ao longo de

alguns dos grandes rios da África e da Ásia (o Nilo no Egito, o Tigre e o Eufrates na

região da Mesopotãmia na Ásia Ocidental, o Indo e depois o Ganges no sul da Ásia

Central e o Howang Ho e depois o Yantgze na Ásia Oriental), que se deu o

aparecimento de novas formas de sociedade.

Tornava-se necessário o auxílio de uma ciência prática para o desenvolvimento da

agricultura e da engenharia, atividades essas que requeriam a utilização de um

calendário, e a criação de um sistema de preservação de registros. Dessa forma os

agricultores saberiam quando as enchentes ou a estação das chuvas iriam ocorrer.

Segundo BAUMGART(1992), o período de 1700 a.C. e 1700 d.C. caracterizou-se

pela invenção do simbolismo e pela resolução das equações por vários métodos. "O

desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico

(ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o

simbólico. No último estágio a notação passou por várias modificações e mudanças,

4

até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton".(BAUMGART, 1992,

p.5)

Nesse período é encontrado na Mesopotâmia, em um tablete de barro cozido,

datado de 1700 a.C., um livro de exercícios de matemática o qual mostrava várias

figuras geométricas como círculos, triângulos e quadrados inscritos em quadrados

maiores, contendo também alguns problemas, tais como:

"O lado do quadrado eqüivale a 1. Desenhei quatro triângulos nele. Qual a área da

superfície?

Esse problema "colocado de maneira assim tão obscura e imprecisa, até um

matemático moderno teria dificuldade em entendê-Io, numa demonstração de que a

falta de didática em alguns livros é questão que maltrata os leitores há pelo menos

4.000 anos ... " (GARBI, 1997, p.10)

O problema proposto é colocado de uma forma bastante confusa, pois a

interpretação pode ser feita de várias maneiras. Ao indicar que o lado do quadrado

equivale a 1, não se conhece a unidade utilizada. Ao desenhar os triângulos, não

explica de que maneira se apresentam esses triângulos dentro do quadrado. E a

área solicitada, é do triângulo ou do quadrado? Nota-se com este problema que a

falta de clareza para expor certos conteúdos gera insegurança de forma que se não

houver objetividade não haverá a certeza da resolução.

São vários os documentos antigos de matemática que chegaram até nossos dias.

Dentre eles, talvez os mais famosos sejam o chamado Papiro de Ahmes (ou de

Rhind) e Papiro de Moscou.

O Papiro de Ahmes foi encontrado pelo egiptólogo inglês Rhind no final do século

XIX e hoje está exposto no Museu Britânico, em Londres. Esse papiro contém 85

problemas de aritmética e geometria com as suas soluções.

O papiro foi adquirido no Egito pelo egiptólogo escocês A. Henry Rhind, sendo mais

tarde comprado pelo museu Britânico.

o papiro de Rhind foi publicado em 1927. Tem cerca de 18 pés de comprimento por cercade 13 polegadas de altura. Porém quando o papiro chegou ao Museu Britânico ele eramenor, formado de duas partes, e faltava-lhe a porção central. Cerca de quatro anos depoisde Rhind ter adquirido o seu papiro, o egiptólogo americano Edwin Smith comprou no Egitoo que pensou que fosse um papiro médico. A aquisição de Smith foi doada a Sociedade deHistória de Nova Yorque em 1932, quando os especialistas descobriram por sob umacamada fraudulenta à parte que faltava do papiro Ahmes. A Sociedade, então, doou o rolode pergaminho ao Museu Britânico completando-se assim todo trabalho de Ahmes. (EVES,1997, p.70)

5

o Papiro de Moscou, que é um pouco mais velho, com data aproximada de 1850

a.C. adquirida pelo colecionador russo Golenischev, atualmente encontrado no

Museu de Belas-Artes de Moscou contém 25 problemas dos quais o de número 14,

demonstra um conhecimento notável para época, pois contém a fórmula correta para

o cálculo do volume de um tronco de pirâmide.

Associada ao Prob.14 do Papiro de Moscou há uma figura que parece um trapézio, mas oscálculos associados a ela mostram que o que se quer representar é o tronco de umapirâmide. Acima e abaixo da figura estão sinais para dois e quatro respectivamente e nointerior estão os símbolos hieráticos para seis e cinqüenta e seis. As instruções ao ladotomam claro que o problema pergunta qual o volume de um tronco de pirâmide quadradacom altura de seis unidades se as arestas das bases superior e inferior medem duas equatro unidades respectivamente. O escriba indica que se deve tomar os quadrados dosnúmeros dois e quatro e adicionar à soma desses quadrados o produto de dois por quatro, oresultado sendo vinte e oito. Esse é então multiplicado por um terço de seis; e o escribaconclui com as palavras, "Veja, é 56; você achou-a corretamente". Isto é o volume do troncofoi calculado de acordo com a fórmula moderna V = h(a2 + ab + b2)/3, onde h é a altura e ae b são os lados das bases quadradas. Essa fórmula não aparece escrita em nenhumlugar, mas em substâncias era evidentemente conhecida pelos egípcios. Se, como se faz nodocumento de Edfer, toma-se b = 0, a fórmula se reduz à fórmula familiar, um terço da basevezes a altura, para o volume da pirâmide. Como os egípcios chegaram a esses resultadosnão se sabe. Uma origem empírica para regra sobre o volume da pirâmide parece possível,mas não para a do tronco.(BOYER, 1974, p.14-15)

Em ambos os papiros apareceram discretamente problemas que continham

equações do primeiro grau. Segundo GARBI(1997, p.11) um dos problemas dizia:

"Uma quantidade, somada a seus 2/3, mais sua metade e mais sua sétima parte

perfaz 33. Qual é essa quantidade? Nos dias atuais equações desse tipo

escreveríamos da seguinte maneira:

x = uma quantidadex xx+2-+-+3 2

Atualmente

.::.. = 33 ,o que é uma equação do 1° grau.7

resolvida:

2 x x xx + -- + - + - = 33327

42 x + 28 x + 21 x + 6 x42

97x = 1386

1386= ---42

1386x =

97

Os papiros de Rhind e Moscou demonstram em sua origem questões sobre a prática

de armazenamento de grãos, balanceamento de rações para gado e aves

6

domésticas, e para a resolução desses problemas o método empregado ficou

conhecido mais tarde na Europa como regra da falsa posição.

A "Regra da Falsa Posição", foi utilizada pelos egípcios para resolver as equações

do primeiro grau, pois não sabiam achar uma solução através da simbologia

algébrica. Esta regra consistia em fazer uma hipótese inicial de qualquer número.

Um exemplo citado por GARBI foi o seguinte:

..Qual o número que somado à sua terça parte da oito?

Pela regra da falsa posição, fazia-se uma hipótese inicial qualquer a respeito

do número e verificava-se o que ocorria. Suponhamos que tal número fosse 3. E se

3 somado com sua terça parte dá 3 + 1=4, exatamente a metade dos oito que

deveria dar. Portanto, o número procurado é o dobro de 3, ou seja,

6."(GARBI, 1997,p.12)

A regra da falsa posição dos egípcios, foi adotada por vários matemáticos de

diversas partes do mundo. Um dos problemas descritos é um quebra-cabeça hindu

do século VII, que apresenta o seguinte:

Um colar se rompeu quando brincavam dois namorados

Uma fileira de pérolas escapou

A sexta parte ao solo caiu

A quinta parte na cama ficou

Um terço pela jovem se salvou

A décima parte o namorado recolheu

E com seis pérolas o colar ficou

Diga-me, leitor, quantas pérolas tinha o colar dos namorados

(GUELLI,1997,p.9)

Para a resolução desse tipo de problema os hindus utilizavam como

incógnita a palavra montão.

No quebra cabeça acima a palavra montão representa a quantidade de

pérolas do colar. Esse desafio era resolvido pelos estudantes da época através da

regra do falso.

Primeiro escolhia-se um valor qualquer que chamaremos de valor falso:

Exemplo: valor falso = 60

Com os dados do quebra cabeça montaremos uma expressão numérica, colocando

o valor falso no lugar da incógnita.

7

1 1 1 160 - - 60 - - 60 - - 60 - -606 5 3 10

60 _ 60 _ 60 _ 60 _ 606 5 3 10

60-]0-12-20-6

Com o resultado 12 , obtido através do valor falso, montava-se uma regra de três

simples. O valor verdadeiro deveria ser representado pela palavra montão e também

pelo restante das pérolas que permaneceram no colar.

Valor falso Valor verdadeiro

60 Montão

12 6

60 montão12 6

montão. 12 = 60.6

montão. 12 = 360

_ 360montao=-]2montão = 30

Dessa forma encontrava-se a resolução do quebra cabeça através da regra

da Falsa Posição.

Atualmente resolvido através de uma equação onde substituímos a palavra

montão pela incógnita x.

x x x xx--------=66 5 3 10

30x-5x -6x-10x -3x ]8030 30

30x - 5x - 6x - 10x - 3x = 180

6x = 180

180x=-

6

x= 30

8

Euclides em seu livro "Elementos" demonstrou alguns importantes teoremas

da teoria dos números e introduziu conceitos que se tornaram fundamentais na

solução de equações:

a) Entidades iguais a uma terceira são iguais.

b) Se a iguais somam-se ou subtraem-se iguais, os resultados permanecem iguais.

c) A parte é menor que o todo.

Embora não tenha sido diretamente enunciada por Euclides, é fácil aceitar outra

verdade:

d) iguais multiplicados ou divididos por iguais continuam iguais"

Através dessas verdades é que se encontra a chave para a solução das equações

do 10 grau.

Percebemos isso no seguinte exemplo:

3x + 2 = 8

onde pelo axioma1 da letra b, se subtraírmos dos dois lados o número dois,

a igualdade continua:

r-

r

3x +2 - 2 = 8 - 2

3x = 6

pela verdade da letra d , se dividirmos os dois lados pelo número 3 ,

preserva-se a igualdade:

3x13 = 6/3

x=2 (GARBI,1997,p.19)

Assim depois de tantos estudos chega-se a fórmula geral da solução das

equações do 10 grau, sem precisar utilizar-se da regra da "Falsa Posição".

"Equacionar um problema, mesmo entre os leigos é generalizadamente

entendido como colocá-Io dentro de um mecanismo do qual ele sairá

inapelavelmente resolvido".(GARBI,1997,p.1)

Resolver uma equação é encontrar algo desconhecido, e costuma-se

chamar de incógnita2, onde a letra mais habitual para sua representação é o x,

embora possa-se usar qualquer outra letra.

1 Axioma, segundo GARBI,(1997,p.19) são vwdades evidentes por si mesmas.2lnc6gnita, segundo IMENES e LELlS (1998, p. 292) é um número desconhecido numa equação.

r

9

Como as equações representam um papel importante na matemática e em

muitas de suas aplicações no cotidiano, quase todos gastamos certo tempo de

nossas vidas para resolvê-Ias, e assim não é de se surpreender que o aprendizado

da resolução de equações ainda seja um elemento essencial no estudo da álgebra.

1.2- A EQUAÇÃO COMO LINGUAGEM DA ÁLGEBRA

Segundo OLIVEIRA e SILVA, a álgebra é uma nova página que se abre na

ciência matemática no século V d.C. Com a queda de Alexandria em 10 de

dezembro de 641, conquistada pelos árabes na Guerra Santa, um violento incêndio

provocado pelos conquistadores, destrói o Museu, devorando 600 mil manuscritos.

Apesar das conseqüências a cultura dos vencidos é assimilada pelos vencedores.

Os hindus continuaram a tradição algébrica dos matemáticos babilônicos,

desenvolvendo métodos para soluções de problemas astronômicos e equações

indeterminadas do primeiro grau.

Segundo EVES, o matemático grego Diofanto que viveu no século 111, teve

grande importância para o desenvolvimento da álgebra. Entretanto nada se sabe

com exatidão da sua nacionalidade e da época em que viveu. Há registros apenas

em um epitáfio que aparece na Antologia Grega:"Diofanto passou 1/6 de sua vida como criança,

1/12 como adolescente e mais 1íl na condiçêo

de solteiro. Cinco anos depois de se casar

nasceu-lhe um filho que morreu 4 anos antes

de seu pai, com metade da idede (final) de

seu pai. " Com quantos anos Diofanto morreu?

(EVES, 1997,p.225)

A lápide nos revela sua idade pela arte da álgebra:

1 1 1 I-x+-x+-x+S+-x+4 = x6 12 7 2

14x+7x+12x+420+42x+336 84x84 84

14x+7x+ 12x+42x+ 756 = 84x

75x + 756 = 84x

10

756 = 84x -75x

756x=-

9

x = 84

Essa representação algébrica sugere que Diofanto morreu com 84 anos.

Ao que se sabe, Diofanto foi o primeiro matemático a tentar uma notação

algébrica, na qual os números seriam substituídos por outros símbolos como por

exemplo, letras.

Os outros autores que o sucederam tinha cada um , uma notação própria.

Com o passar do tempo todas as notações convergiram para uma padronização.

As notações utilizadas por Diofanto, eram designadas pelas letras do

alfabeto grego: a , p , y , Õ , ... etc. A incógnita era representada pela letra rr'(um

sigma com acento). O sinal de igualdade era indicado pela palavra "isos". O sinal de

adição (+) era desconhecido por Diofanto, o sinal de subtração (-) era representado

pelo seguinte símbolo / I. "-Na Idade Média, segundo EVES, destacou-se Mohammed ibn Müsã al-Khowârizmi

(Maomé , filho de Moisés de Khwarezm), com sua obra "AI-jabr w'al-mukabalah" que

originou a palavra "Álgebra", que do vocábulo árabe, al-jabr ou aldschebr significa

"restauração, união" ; w'al-mukabalah ou walmakabala significa"confronto".

A grande dificuldade encontrada pelos matemáticos hindus e árabes, era

sem dúvida os números negativos, sendo impossível admitir algo menor que nada.

Baseados sempre no concreto, não se concebia por exemplo: "menos duas

laranjas". Esse problema legaram aos seus sucessores.

E esse legado coube ao matemático italiano Leonardo de Pisa, o

"Fibonacci"( filho de Bonaccio), que viveu de 1170 a 1250. Seu pai era ligado aos

negócios mercantis, o que levou Leonardo a receber parte de sua educação em

Bejaia, norte da África. O interesse pela aritmética despertou logo cedo, devido as

atividades do pai. Aos 27 anos escreveu a primeira obra de Álgebra composta por

um cristão. "Líber Abaci" surgiu dos estudos com os muçulmanos, e somente

limitou-se a transmitir o que aprendera com os árabes.

A sua intenção com esta obra foi impedir "que a raça latina ficasse privada

de tais conhecimentos". Embora tenha ocorrido uma certa resistência por parte dos

11

banqueiros de Florença, que julgavam que os numerais arábicos pudessem ser

falsificados mais facilmente que os números romanos, estes acabaram sendo

aceitos.

De acordo com OLIVEIRA e Silva, destaca-se na obra de Fibonacci a

seguinte afirmação em relação à adoção dos números negativos:

"Este problema não tem solução, a menos que interpretemos a divida como

sendo um número negativo".

As proposições de Leonardo de Pisa foram aceitas nos séculos XV e XVI,

ampliando-se o conjunto de números até então conhecidos.

A Itàlia no século XVI, era um dos maiores centros comerciais do mundo, e

nesse ambiente, espadachins, jogadores de cartas, famosos algebristas se

misturavam pelas ruas de Florença e Veneza. Tinham por hábito fazer debates

públicos, solucionando diversos problemas algébricos demonstrando as suas

descobertas matemáticas.

E o grande desafio era a solução da equação do 3° grau.

Segundo EVES, o maior matemático francês do século XVI foi François

Viete. As suas principais obras: "Logística Speciosa", "De aequationum recogntione

et emendatione" e "In artem analyticam isagoge", iluminaram singularmente os

trabalhos da escola italiana.

Viete nasceu em Fontenay , em 1540, estudou advocacia e foi membro do

parlamento provincial da Bretanha, chegando a jurista da Corte em 1571.

Adversários políticos o afastaram em 1584, quando passou a se dedicar

inteiramente aos estudos de Álgebra.

Na sua obra In artem , foi introduzido o desenvolvimento do simbolismo

algébrico, vogais foram usadas para representar incógnitas e consoantes para

representar constantes. Dessa forma, x2 era indicado por Viete da seguinte maneira:

"E in quad, onde E, indica a incógnita x e in quad significa ao quadrado."

Viete já utilizava os símbolos atuais + e - mas não tinha nenhum símbolo

para a igualdade.

Exemplo de uma equação polinomial :

a3 + 5ba2- 2ca - d = O

Para Viete a forma de escrevê-Ia seria assim:

B 5 in A quad - C plano 2 in A + A cub aequatur D sólido.

12

o símbolo igual (=) entre as duas quantidades era usado para indicar a

diferença entre elas e não a igualdade.

Em 1594, nos seus últimos anos de vida, Viéte se tornou isolado

cientificamente por travar uma violenta discussão com Clavius, um dos conselheiros

do Papa Gregório XIII, pois era contrário à reforma do calendário.

A álgebra depois de Viéte foi aperfeiçoada por vários outros matemáticos.

Harriot (1560-1621), substituiu as letras maiúsculas por minúsculas. Girard (1595-

1632) estabeleceu o princípio de que uma equação tem tantas raizes quantas

indicar o seu grau.

Descartes em 1637, anexou em sua obra "Geometria", a teoria das

equações algébricas da maneira que ele concebia. Expôs nove regras fundamentais

das quais quatro são destacadas:

18) Uma equação pode ser formada pelo produto de vários

blnõmios. Por exemplo, se x = 2 e x = 3, teremos x - 2 = O

e x - 3 = O. Donde (x - 2) X (x - 3) = O. Efetuando esse

último produto, obteremos a equação x2 - 5x + 6 = O,cujas

raízes são x = 2 e x = 3.

28) O grau de uma equação pode ser abaixado se a

dividirmos por um binômio do tipo x - a, onde a é uma das

raízes da equação.

38) Existem tantas raízes positivas quantos sinais + e -,alternados.

48) Trocando convenientemente os sinais dos coeficientes

de uma equação, poderemos mudar os sinais de suas

raízes".(OLlVEIRA e SILVA"p176)

Com este breve relato histórico, percebemos que a matemática nunca

permaneceu estagnada e a maioria dos matemáticos entende que novas

descobertas e transformações ainda estão por acontecer:

E os matemáticos, o que pensam do futuro de sua ciência? A maioria entende que o poçoda matemática é infinitamente profundo e que se poderá continuar sorvendo dele semlimites. Que a matemática tira sua seiva do suprimento freqüente de problemas não-

13

resolvidos. Que os matemáticos jamais deixarão de tentar resolver esses problemas e que édos esforços nesse sentido que a matemática se desenvolve e se renova. Como observouuma vez Julian Lowel Coolidge, uma das coisas bonitas da matemática é que nunca seresolve um de seus problemas sem que se criem outros.(EVES,1997,p.695)

14

CAPíTULO 11

O PROFESSOR EM CONSTRUÇÃO: equívocos e certezas.

r

A educação que visa transmitir conhecimentos, com certeza, não percebe o que

seja o conhecimento humano. Conhecer como se dá o processo de conhecimento

faz com que a educação prepare a mente humana para enfrentar o risco

permanente de errar, ao qual estamos constantemente expostos.

Na aprendizagem escolar, com certeza, o erro é inevitável e deve ser

encarado como tentativa de buscar o acerto. O aluno deve ser estimulado a fazer

tentativas construindo uma lógica própria, refazendo o caminho e procurando a

solução.

A missão da escola atualmente é desenvolver em seus alunos todas as

suas potencialidades percebendo que: "O ser humano é a um só tempo físico,

biológico, psíquico, cultural, social, histórico."(MORIN,2001,p.15)

A proposta apresentada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, explicita

que:

(...) o papel da Matemática no ensino fundamental pela proposição de objetivos queevidenciam a importância de o aluno valorizá-Ia como instrumental para compreender omundo à sua volta e de vê-Ia como área do conhecimento que estimula o interesse, acuriosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolverproblemas. Destacam a importância de o aluno desenvolver atitudes de segurança comrelação à própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, de cultivar a autoestima, de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluções. Adotamcomo critérios para seleção dos conteúdos sua relevância social e sua contribuição para odesenvolvimento intelectual do aluno, em cada ciclo.(PCN,1998,p.15-16)

Assim os professores tornam-se os precursores de transformações, que

devem ser operadas através de mudanças de atitudes.

A educação em geral reflete as condições políticas, sociais e econômicas de cada

período. As idéias dominantes ou hegemônicas raramente coincidem com a prática

no sistema escolar.

Segundo DA ROSA (1995), ao professor não cabe mais o papel de dizer: 'faça como

eu faço' e sim 'faça comigo'.

Através do 'faça como eu faço' o aluno estará apenas reproduzindo os

passos seguidos pelos professores, sem desenvolver o seu raciocínio crítico,

15

decorando apenas alguns algoritmos que tornam a escola um mundo irreal, pois não

existe interação com o seu cotidiano.

Neste modelo de ensino o aluno se torna apenas um mero espectador, um

escrivão.

O "faça comigo" faz o aluno coexistir com a cultura, interagindo com o meio

social, travando uma batalha com o novo, reinterpretando o mundo em que está

inserido.

É fundamental que no processo de ensino-aprendizagem, haja interação

entre professor e aluno e através dessa interação, pode-se aproximar as crianças

dos conhecimentos da comunidade, estimulando-os a participarem das

transformações da sociedade em que vivem.

Mudar, com certeza não é fácil, tendo em vista que ainda existem em nosso

país resquícios do autoritarismo que caracterizou a política brasileira entre as

décadas de 1960 e 1980. Nas salas de aula mantém-se esse pensamento com o

propósito de ser estabelecida uma disciplina oriunda desse autoritarismo que não

permite ao aluno expressar-se; quando isso acontece a "indisciplina" passa a ser de

responsabilidade do professor.

Romper com o que está posto, não depende apenas das vontades

individuais e sim de amadurecimentos para transformar o autoritarismo em

humildade, sempre se colocando na condição de aprendiz, para que juntos aluno e

professor possam crescer construindo o conhecimento.

A resistência ainda é maior no tratamento do conhecimento matemático,

onde predomina entre grande parte dos professores, uma visão platônica-formalista.

Na visão formalista, o assunto estudado, estrutura-se da seguinte forma:

a) Define-se conceitos básicos.

b) Novos conceitos são definidos a partir dos básicos.

c) Novas proposições (teoremas) são descobertas e justificadas a partir dos

conceitos já definidos.

Os professores têm uma visão platônica da Matemática. Eles pensam a

Matemática como uma coisa extra-terrestre, como se somente gênios à parte da

humanidade fossem capazes de desenvolvê-Ia e criá-la.(C.B.,1990,p.64)

Esta forma de pensar a matemática dificulta para os alunos abstraírem

significados e idéias matemáticas, bem como perceber sua utilidade prática.

16

o objetivo da matemática é oferecer subsídios para que o aluno possa resolver os

seus problemas do dia-a-dia desenvolvendo o seu raciocínio lógico. A abstração é

estimulada quando o aluno aprende a refletir sobre as soluções encontradas.

Nota-se isso quando é introduzida a simbolização algébrica, havendo nessa

fase do ensino uma ruptura no progresso de determinados alunos, que pareciam até

então, muito capazes por sua habilidade em trabalhar com operações aritméticas.

BOOTH(1984,p.23), escreve que a álgebra é uma fonte de confusão e

atitudes negativas entre os alunos, sendo que uma das razões para que isso

aconteça, é que eles consideram a álgebra difícil, de acordo com estudos realizados

na Inglaterra.

Para descobrir o que torna a álgebra difícil, propõe-se identificar os

principais erros cometidos pelos alunos.

Ainda segundo BOOTH, verifica-se que os erros encontrados no estudo da

álgebra, podem ser observados em alunos de todas as séries.

2.1 - RELATO DE UMA EXPERI~NCIA DE SALA DE AULA

A presente investigação buscou, na análise do processo de ensino das

equações do 10 grau as manifestações dos alunos frente às questões propostas pelo

professor, buscando analisar a partir da observação as compreensões, e adequação

dos procedimentos metodológicos utilizados pelo professor.

Para tanto apresentamos o relato das experiências em sala de aula,

desenvolvidas com os alunos da 68 série do Colégio Estadual General Osório-Ensino

Fundamental e Médio. As aulas ministradas serão descritas bem como as respostas

dadas pelos alunos.

A prática será então refletida buscando identificar as questões estruturais,

nas dimensões metodológicas e psicológicas do processo de ensino e

aprendizagem das equações do 10 grau, que possam estar contribuindo para as

dificuldades apresentadas pelos alunos.

Foram observados os alunos da 68 série A do Colégio Estadual General

Osório, uma turma com quarenta alunos com freqüência regular às aulas durante o

período matutino.

17

Eram alunos agitados, e a sala em relação ao número de alunos era

pequena, dificultando assim o trãnsito da professora entre as carteiras. O clima às

vezes se tornava hostil, pois pela proximidade dos alunos, a agressividade, tanto

verbal quanto física era urna constante, havendo assim uma certa dificuldade para

conseguir a atenção de todos, e conseqüentemente obter bons resultados no

processo ensino - aprendizagem.

Preparei-me então para desenvolver o estudo sobre equações, onde optei

por iniciar a introdução do cálculo algébrico com um breve relato histórico do

surgimento da álgebra, pois acredito que assim os alunos compreendem que nada

surgiu de um "passe de mágica". Utilizei a seguinte fala:

"A partir de um certo momento na Antigüidade surgiu a necessidade de

substituir números por letras. Foi AI-Khowarismi, por volta de 825, o primeiro

matemático a escrever uma obra, envolvendo o uso de letras em expressões

aritméticas".

VIÉTE foi conhecido por alguns historiadores como o "pai da álgebra", pois

ele introduziu a álgebra no Ocidente por meio de sua obra denominada "Álgebra

Speciosa".

O primeiro passo dado por VIÉTE foi representar sempre a incógnita de uma

equação através de uma vogal, surgindo assim à criação de uma álgebra puramente

simbólica, pois para VIÉTE, decifrar códigos era o mesmo que resolver equações.

Na seqüência destaquei:

"As sentenças matemáticas que apresentam elementos desconhecidos

(variáveis ou incógnitas) são chamadas sentenças abertas".

Ex: x + 10 = 14 e x - 5 < 2y são sentenças abertas, sendo x e y as variáveis.

As sentenças que não possuem variáveis ou incógnitas são sentenças

fechadas.

Ex: 7 + 5 > 4 + 1 7. 6 = 42 " são sentenças fechadas" .

Logo a seguir lancei situações problemas que deveriam ser resolvidas

utilizando variáveis, como por exemplo:

Dado um campo de futebol de comprimento (C) e largura (L), qual o

perímetro e a área do campo.

P = 2C + 2L

A=C. L

18

Escolhi esse exemplo por se tratar de algo conhecido, pois o futebol se

tornou popular para ambos os sexos, e com certeza todos os alunos já puderam

contemplar um campo de futebol.

Atribuímos valores para as variáveis, analisando juntos as respostas

encontradas, verificando as possibilidades de campos de futebol com aquelas

dimensões. Nos exemplos fiz questão que eles percebessem a variação das

dimensões, pois a cada valor atribuído para o comprimento, a largura variava e vice-

versa. Demonstrando desta forma que as letras nessa situação representavam

variáveis. Aproveitei a situação problema para destacar a diferença entre área e

perímetro, pois muitos confundiam.

"Calcular a área do campo, era a quantidade de grama, e o perímetro os

riscos pintados de branco que contornava o campo de futebol".

Até este ponto, não.ocorreram maiores dificuldades e a turma correspondeu

satisfatoriamente, participando através de comentários, opiniões e questionamentos.

Com a turma motivada introduzi a equação do 1° grau, enfatizando a

igualdade, explicando que uma incógnita é o valor que torna uma sentença

verdadeira, é a raiz da equação.

Foram apresentadas algumas equações e alguns valores aos alunos os

quais eram substituídos por incógnitas onde eram verificadas as igualdades.

Como por exemplo:

Dado o conjunto U={O, 1, 2,3} quais dos elementos são raízes da equação

abaixo.

x-2=0

Para x = O O - 2 = O

Para x = 1 1 - 2 = O

Para x = 2 2 - 2 = O

Para x = 3 3 - 2 = O

-2 = O (F)

-1 = O (F)

0= O (V)

1 = O (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = O

Até esse ponto a turma conseguiu assimilar as questões propostas sem

maiores problemas.

Nesse momento achei conveniente sugerir que eles calculassem o número

desconhecido, a raiz da equação sem ser dado um conjunto universo.

19

Como exemplo:

Calcule o valor desconhecido que torna sentença verdadeira.

x + 8 = O

Dos quarenta alunos, dez mais ou menos conseguiram descobrir a

resposta, os outros encontraram grande dificuldade por ser valor negativo (-8).

A grande maioria resolveu a equação da seguinte maneira:

8 - 8 = O a resposta obtida foi (8)

Quando a equação não apresentava uma raiz negativa, como no exemplo

acima, os alunos não encontravam dificuldades em encontrar a resposta.

Novamente percebi uma questão, já observada em outros alunos de outras séries,

onde era questionado o valor da incógnita que no caso era x, existia uma

unanimidade em responder que o valor de x era 1.

Além das raizes negativas, constatei mais uma dificuldade, quando os

exemplos compreendiam raízes no campo dos racionais.

]x--=o2

1x=-A resolução 2 não foi encontrada por nenhum dos alunos, denotando

assim a insegurança com subtrações e adições com frações.

No exemplo: 2x - 5 = 1, as dúvidas apresentadas foram até maiores, pois

sem o sinal de multiplicação, os alunos não compreenderão que o coeficiente 2

estava multiplicando a incógnita,(2.x - 5 = 1). A outra dificuldade apresentada surgiu

através do sinal de igualdade, pois até então todos os outros exemplos foram

colocados nas equações sempre resultando zero.

A equação para ser solucionada necessitava encontrar um número que

multiplicado por dois e subtraído de cinco originasse um.

Houve uma certa precipitação da minha parte demonstrando a resolução

das equações através das operações inversas.

1x--=o10 exemplo: 2

20

Para achar o valor da incógnita (x) teríamos que isolá-Ia efetuando as

1

operações inversas. O valor 2 está no 10 membro da equação subtraindo, passará

para o segundo membro adicionando.

1x=o+-2

Ix=-2

20 exemplo: 2x - 5 = 1

2x=5+1

2x = 6

Neste último passo ocorreu mais uma dificuldade, os alunos concluíam que

a equação já estava solucionada, desprezavam o coeficiente (2), pois segundo eles,

tinham conseguido "achar o valor de x", não importava que era um, dois, três, x.

Nesse ponto a interferência da professora se fazia necessário,

demonstrando que a equação ainda não estava resolvida.

No exemplo acima, se duas vezes o x é igual a seis, então a raiz da equação

só poderia ser a metade de seis, que resultava 3.

Nos outros exemplos que se seguiram, as mesmas dificuldades foram

apresentadas. [FM 1].

Recorri o auxílio da "balancinha", material didático muito usado para o

ensino de equações. Desenhei no quadro uma balança de dois pratos, colocando a

seguinte situação problema:

"A balança está equilibrada e os dois queijos têm pesos iguais. Quantos

quilogramas tem cada um?"

21r

A solução da situação problema é encontrar o peso de cada queijo, dessa

forma utilizei a letra (q) como incógnita.

Um queijo = q

Dois queijos = 2. q

O que está num dos prato~ 2. q + 6kg.

O que está no outro prato c} 14kg

A equação estaria formada dessa maneira:

2q + 6 = 14

Para descobrir o peso dos queijos, eu tiraria os 6kg dos dois pratos para

poder manter a balança em equilíbrio:

2q + 6 -6 = 14 - 6

2q + O = 8

2q = 8

Se os dois queijos têm pesos iguais à 8kg, e cada um deles tem o mesmo

peso, então quanto pesa cada queijo?

Dividiremos por dois:

2q 8-=-2 2

Cada queijo tem o peso de 4kg.

O exemplo foi interessante, mas fui surpreendida por uma pergunta.

"Professora essa balança existe?"(Aluna Jéssica,da 68 A /2000)

Respondi que muitos não a conheciam, pois em quase todos os

estabelecimentos comerciais ela foi substituída por balanças eletrônicas.

Aproveitei o exemplo para expor o princípio aditivo das igualdades:

"Adicionando ou subtraindo um mesmo número aos dois membros de uma

equação, obtemos uma equação equivalente à equação dada".

Nas balanças, podemos acrescentar pesos iguais nos dois pratos, sem

alterar o equilíbrio. Da mesma forma nas equações, somando ou subtraindo um

mesmo número dos dois lados, mantemos a igualdade.

x - 6 = 10

x - 6 + 6 = 10 + ~ Adicionamos 6 unidades a cada membro

x = 16

A substituição do valor que encontramos para a incógnita era feita.

16-6=10

22

10 = 10

Princípio multiplicativo das igualdades:

"Multiplicando ou dividindo os membros de uma equação por um mesmo

número diferente de zero obtemos uma equação equivalente à equação dada".

Não alteramos a igualdade ao multiplicar ou dividir os dois lados por um

mesmo número.

3x = 27

3x 27-=-.3 3 dividimos cada membro por 3

x=9

Fazendo a verificação:

3.(9) = 27

27 = 27

Outro exemplo:

~=85

Neste exemplo fiz alguns questionamentos sobre de que forma poderlarnos

resolver essa igualdade.

Que número dividido por cinco resulta 8?

Como eles começariam resolver esta equação?

Os que se arriscaram a responder disseram que a divisão de ambos os

lados deveria ser por 8, outros afirmaram que o mínimo múltiplo comum era a

solução.

Sugeri então que tentassem a resolução:

Quem se atreveu dividir por 8, já no começo desistiu da tentativa, pois a

divisão da fração por outro número pareceu sem lógica.

Ys 8-=-8 8

A segunda opção tornou-se mais atrativa, mas muito poucos se

aventuraram, pois o mínimo múltiplo comum, não era dominado por todos.

x 8.5-=-5 5

23

x 40-=-5 5

A interferência da professora era necessária, pois a borracha entrava em

ação, e o descontentamento era geral.

Os dois lados estavam sendo divididos por 5 dessa forma a equação já

estava equilibrada, os denominadores poderiam ser eliminados.

x = 40

Retomamos para as aplicações dos princípios aditivos, através da equação:

x-3=6

Adicionando 3 unidades a cada lado da equação, obteremos

x- 3 +3 = 6 + 3

x-0=6+3

x=6+3

x=9

Verifique que o termo -3 ao mudar de lado, trocou o sinal.

"E possível passar (ou transpor) um termo qualquer de um lado para outro,

desde que troquemos o sinal desse termo".

Exemplos:

1Ox= 30 - 5x transpor para o 1° membro o termo 5x.

10x = 30 -5x

10x + 5x = 30

Na equação 6x + 5 = 23, transpor para o 2° membro o termo 5

6x + 5 = 23

6x = 23 - 5

Nos exemplos acima demonstramos a transposição dos termos.

Verificamos uma segunda aplicação do princípio aditivo, a redução da

equação do 1° grau à forma ax = b

"Essa redução consiste em transpor para o 1° membro os termos que

contém a variável e para o 2° membro os que não contém a variável. A seguir

reduzir os termos semelhantes nos dois membros".

Exemplos:

Reduzir a equação 3x - 5 = x + 7 à forma ax = b.

3x - 5 = x + 7

3x - x = 7 + 5

Reduzir a equação 6x - 4 = ax + ( - zx a rorrna ax = D.

6x - 4 = 3x + 7 - 2x

6x - 3x + 2x = 7 + 4

5x = 11

As aplicações do princípio multiplicativo vieram na seqüência:

18 aplicação: simplificação da equação

2x = 10

Dividindo os dois lados a equação por 2, obtemos:

2x 10-=-2 2x=5

"Dividindo os dois membros de uma equação por um mesmo número,

diferente de zero, obtemos uma equação equivalente à equação dada".

28 aplicação: eliminação de denominadores de uma equação

5x 15-=-4 4

Multiplicando os dois lados da equação por 4, obtemos:

4. 5x = 4.124 4

5x ~ 15

Elimine os denominadores da equação abaixo:

x 1 2x 11-+-=---6 6 6 6

Multiplicando os dois lados da equação por 6, obtemos:

6{i+i)=6{2; _161)6.~+6.!=6.2x -6.!!.

6 6 6 6

x + 1 = 2x -11

"Se todos os termos de uma equação têm o mesmo denominador, estes

podem ser cancelados".

A terceira aplicação a ser mencionada foi à troca de sinais dos termos de

uma equação, como no exemplo a seguir:

-7x = 56

25

Multiplicando ambos os membros da equação por (-1):

(-1). -7x = (-1).56

7x = -56

Dividindo ambos os membros por (7):

7x -56-=--7 7

x=-8

"Podemos trocar os sinais de todos os termos de uma equação, pois isso

equivale a multiplicar ambos os membros por -1".

Os exemplos com as balanças novamente foram colocados:

Esta balança esta equilibrada. Escreva a equação que corresponde a cada

figura e calcule o valor de x.

a)

3x 15 9

3x + 12 = 15 + 9

3x + 12 = 24

Sem apresentar dificuldades a grande maioria conseguia chegar até este

ponto, a partir daqui, iniciava-se os problemas.

Eles sabiam que teriam que equilibrar a balança, mas a dúvida era o que

tirar primeiro. O número 12, 24 ou o 3x.

Para manter o equilíbrio e encontrar o valor do x, só poderia ser tirado o que

existia dos dois lados, como no exemplo: x só estava em um lado, 24 também, e o

12?

Dessa forma eles concordavam que dos dois lados só estava o 12.

26

sx = 24 -12

3x = 12

Mais uma situação foi proposta:

b)Construa uma balança na qual 3 tabletes iguais de margarina, mais um pacote de

manteiga de 250 g, equilibram 700g de queijo.

Na construção sem problemas:

~ ~r /\

3 m + 250 = 700

3m + 250 - 250 = 700 - 250

3m = 450

3m 450-=-3 3

r--.

m = 150---Na resolução também não houve problemas, havendo satisfação por parte

da professora que concluiu que o conceito havia sido "assimilado".

Seguiram então os exercícios:

"Resolva as equações".

5x - 9 = - 8

"Professora como é que vamos construir uma balança com menos 8".

"A equação mostra que já foi tirado 8, dessa forma para equilibrar a equação temos

que colocar os 8 que foram tirado".

5x - 9 + 8 = -8 + 8

5x - 1 = O

A igualdade agora confundia ainda mais, alguns opinaram que deveriam somar o

zero em ambos os lados, mostrando o desconhecimento do elemento neutro na

adição.

A sugestão foi que deveria ser a adicionado o 1.

5x -1 + 1 = 0+1

5x = 1

27

A continuação ficou por parte dos alunos, e foi observada a insegurança na

divisão, pois a resposta foi:

x=5

As outras resoluções deixei por conta dos alunos, apenas observando a

forma como eram resolvidas e anotando os erros ainda apresentados.

3x + 17 = 11

3x +17 +11

3x +28

x+28/3

O sinal de igualdade era desprezado.

10x - 8 = 2x

1Ox + 2x = +8 x = 8 x = 1

Tornava-se mais fácil perguntar para o colega a resposta, mesmo sem

saber qual era.

9x = 7x + 1

9x -7x = 1

2x = 1

x = 2/1

x=2

Na divisão, o valor maior é dividido pelo valor menor.

x + 2 = 13

x=2-13

x = - 11

9x = 7x + 1

9x = 7x = 1

A ênfase no sinal de igualdade.

2x + 6 = 13

8x = 13

28

Adicionando sem considerar a incógnita.

Passaram-se dez aulas, e infelizmente, não posso afirmar o que meus

alunos aprenderam sobre equação do 1° grau.

Com esse relato, não quero expor os erros dos alunos e sim a partir daí

fazer uma reflexão das falhas no processo de ensino/aprendizagem. Pois acredito

que o erro é essencial e faz parte do processo, e o primeiro passo é admitir o erro e

buscar as possíveis soluções.

29

CAPíTULO 111

OS ATORES NA SALA DE AULA

3.1- REFLETINDO SOBRE A PRÁTICA

Refletindo sobre o encaminhamento adotado para o estudo da equação do

10 grau, percebo que há pressa por nós professores em cumprir com o programa

escolar, priorizando a quantidade e não a qualidade dos conteúdos trabalhados. A

precipitação impede a construção do conhecimento pelo aluno. Geralmente os

alunos, não sentem-se estimulados a aprender, já que as informações são

"transmitidas" pelo professor e não têm relação com a matemática do dia a dia,

tornando o estudo da matemática desestimulante. Os conteúdos são apresentados

valorizando-se a resolução mecânica, com simples aplicação de fórmulas e

processos operatórios.

Aquilo que para o professor é óbvio, em muitos casos não é para seus

alunos, tornando impossível a aprendizagem através de um processo de ensino que

se baseia em transmissão. É necessário, portanto, que o professor procure partir do

conhecimento e da vivência prática de seus alunos como forma de tornar mais

significativa a construção do conhecimento.

Um problema só existe quando o aluno for levado a interpretar a questão

estruturando e contextualizando a situação apresentada.

Segundo, IMMENES e LELLlS, os alunos brasileiros em quase a sua totalidade,

"aborrecem-se muito e aprendem pouco".(1994,p.5)

De acordo com as observações realizadas junto aos alunos, inicio os comentários

enfatizando as dificuldades apresentadas por quase a totalidade dos alunos

envolvidos no trabalho, que acreditam ser a divisão entre dois números, sempre o

maior dividido pelo menor. Talvez isto ocorra devido a boa intenção do professor

das séries iniciais em facilitar para o aluno sugerindo exemplos, onde o número

maior sempre seja dividido pelo menor. Esse erro de conceituação em aritmética foi

percebido nos alunos nos exemplos das equações:

2x = 1·

2x=-

1 x = 2

30

Segundo (KIERAN, 1995,p.104), a álgebra é chamada de "aritmética

generalizada". Sugerindo que como as operações aritméticas, que contém um

símbolo de adição (+) entre duas parcelas, sejam somadas:

5+4=9

Em álgebra o seu significado muitas vezes não é o mesmo:

2x + 5 = 13, o símbolo (+) não significa que os termos numéricos dados no

primeiro membro, 2 e 5, devam ser adicionados. O símbolo de adição dessa

equação significa que devemos subtrair 5 de 13. Dessa forma os símbolos

operatórios de uma equação não indicam necessariamente as operações a serem

efetuadas.

Os professores não tem o hábito de contextualizar uma situação problema,

gerando a dificuldade dos alunos em entenderem as seqüências operatórias.

Parte da dificuldade dos alunos em simplificar expressões, diz respeito à

interpretação do simbolo operatório. Em aritmética os simbolos da adição (+) e o

símbolo de igualdade (=), significam as ações a serem efetuadas, de forma que

(+) significa realizar a operação, e (=) significa escrever a resposta. Neste contexto,

notou-se que as crianças consideram o sinal de igualdade como símbolo

unidirecional que precede uma resposta numérica. O sinal de igualdade é

considerado apenas como: "Qual a resposta?" E não como indicador de uma relação

de equivalência.

"Analogamente, é preciso acentuar o valor bidirecional do símbolo de

igualdade, tanto se exigindo a leitura adequada do símbolo (por exemplo, "é igual a"

em vez de "dá", como em "2 mais 3 dá 5"), como proporcionando aos alunos

experiências com expressões da forma 5 = 2 + 3 (bem como 1+4 = 2 + 3,

etc.)".(BOOTH, 1997, p.29)

As dificuldades apresentadas foram atribuídas apenas à álgebra, mas ela

não é isolada da aritmética, de forma que se as relações e procedimentos

aritméticos não forem reconhecidos, ou se os alunos tiverem concepções erradas,

seu desempenho em álgebra poderá ser afetado.

Ao detectar tais problemas, volto minhas reflexões quanto aos procedimento

docente adotado.

Percebo que a forma utilizada para iniciar a equação do 1° grau, utilizando

um relato histórico foi muito estimulante, pois a matemática para os alunos não é

encarada como um conteúdo isolado das outras disciplinas e como tudo surgiu de

31

necessidades da raça humana . Os professores por sua vez, tem que estar melhor

preparados para responder as perguntas que porventura surjam , para que o

assunto flua com maior segurança.A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensinoe aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criaçãohumana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentesmomentos históricos, .ao estabelecer comparações entre os conceitos e processosmatemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o alunodesenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desseconhecimento.(P.C.N.,1998,pg42)

Para abordar certos conteúdos não fazemos um levantamento dos quais se

fazem necessários, e a seqüência do livro didático nos parece a mais acertada, as

sentenças abertas e sentenças fechadas, são mencionadas e, ao meu ver, não

alterariam o aprendizado se não o fossem. Por outro lado, incógnita e variáveis

deveriam ser melhor explicadas para que futuramente não ocorram confusões que

são percebidas em alunos de séries mais adiantadas, e acredito que muitos

professores ainda não diferenciem variáveis de incógnitas.

Comecei falando de variáveis e passei para incógnitas como se as variáveis

não existissem mais, e também até o final de conteúdo de equação do 10 grau não

retomei mais.

Na experiência citada no capitulo anterior, não houve grande contribuição

para que a diferença tenha sido notada, pois utilizei apenas um exemplo, que foi a

do campo de futebol. Deveria ter investido em outros exemplos para poder

esclarecer a diferença da incógnita e da variável.

Às vezes eu me questiono se eles entenderam o exemplo dado de área e

perímetro, pois através de uma brincadeira feita com uma aluna de outra série, onde

ela me respondeu que área é apenas a área do gol.

Quanto aos termos matemáticos que são usados freqüentemente em nossas

aulas, com certeza a maioria deve fazer sentido apenas para os professores de

matemática, onde falamos em raiz de uma equação, não havendo clareza por parte

dos alunos. Será que para eles o termo raiz lembra apenas uma das partes de uma

árvore?

Outros termos que são utilizados quando introduzimos a equação do 10

grau: termos semelhantes, que alguns professores dão como sinônimos,"bananas e

laranjas", para demonstrar .que não se pode somar x com y, e onde os alunos

insistem em fazer salada de frutas.

32

Membros, termo usado para designar as partes da equação, mas até então

para os alunos tinha apenas significado como pernas e braços, também pênis.

Os professores determinam que já esgotou o tempo de determinados conteúdos e

passam para outro com muita facilidade, sem fazer um levantamento se para o aluno

o assunto já fazia sentido.

As situações problemas com certeza seriam mais atraentes como incentivo

para lançar o conteúdo do que investir em um conjunto universo, que não era tão

universo assim pois s6 existiam quatro números, onde os alunos mecanicamente

substituiriam os valores para verificar as respostas obtidas que não faziam sentido

algum.

Já no primeiro exemplo, no qual foi proposto a seguinte equação: x + 8 = 0,

os alunos demonstraram desconhecimento dos procedimentos que exigem

estruturas prévias já construídas tais como: reversibilidade, comutatividade e

correspondência biunívoca.

Exemplo 1 (estado final desconhecido)

Tenho 9 balas e ganho 5. Com quantas fico?

Tenho 9 balas. Dei 5 para meu irmão. Com quantas fico?

o[] ~D

O sentido de ganhar ou perder nesta estrutura de problema , utilizando a

adição e subtração , articulando a resolução com a compreensão do Sistema de

Numeração Decimal.

- Exemplo 2 (valor da transformação do elemento desconhecido)

Tinha 8 balas. Ganhei algumas. Fiquei com 11. Quantas ganhei?

Tenho 8 balas. Perdi algumas. Fiquei com 5. Quantas perdi?

33

Os procedimentos adotados nas resoluções para os problemas acima

propostos podem ser: complemento da diferença ou hipotético. Através do

procedimento do complemento soma-se até atingir 11, ou subtrai-se até atingir 5

pode-se lançar hipóteses e corrigi-Ias ao final. O procedimento da diferença consiste

em obter o valor da transformação através da diferença entre os estados inicial e

final, não é evidente e não tem o mesmo sentido de ganhar ou perder.

Exemplo 3 : ( estado inicial desconhecido) procedimentos do complemento ou da

diferença.

Helena acaba de encontrar R$ 4,00. Colocou em sua bolsa e ficou com R$ 11,00.

Quanto ela tinha inicialmente?

Helena tinha alguns trocados Deu a sua amiga R$ 4,00. Ficou com R$ 7,00.

Quanto ela tinha?

Os problemas podem ser resolvidos pelos procedimentos do complemento ou da

diferença. O procedimento do complemento exige a comutatividade, já o

procedimento da diferença exige a relação inversa, isto é, para percorrer o caminho

de volta devo inverter a relação: se ganhei na ida, devo perder na volta.(Anexo 1)

Nos exemplos seguidos durante as aulas, a compreensão do significado dos

números racionais constituíram uma das dificuldades apresentadas pelos alunos

pois geralmente não compreendem uma das idéias presentes nos números

racionais, que é a divisão, onde todos os numeradores são considerados dividendos

e os denominadores divisores.

Os exemplos devem ser cuidadosamente escolhidos, pois talvez os alunos

confundam ainda mais o conteúdo a ser aprendido, pela quebra de seqüência de

construção .

A confusão gerada pode ser evitada se o professor tiver em mente o objetivo

que se quer atingir , na equação do 10 grau grande parte da confusão poderia,

talvez, ser evitada se a seqüência fosse alterada e as balancinhas fossem trazidas

desde o inicio do conteúdo. Como elas estão em fase de extinção, poderiam talvez

34

ser construídas pelos próprios alunos, e a partir delas vivenciar o conceito de

equação do 10 grau, ao buscar o equilíbrio entre os pratos.

Visualmente os alunos certamente perceberiam a necessidade da

mudança de sinal. Na teoria quando usamos o termo, transpor para explicar a

mudança de sinal, esquecemos que podemos causar confusões, pois logicamente

quando alguma coisa é transportada de um lugar para o outro, ela apenas muda de

lugar, mas continua sendo a mesma coisa. Já nas equações isso não ocorre pois

por exemplo 3 e -3(simétricos) , são valores diferentes.

Como os alunos não tem o conceito dos números racionais bem formado,

qualquer número pode ser denominador, no entanto o zero, não poderá ser usado

como denominador, isto porque:

a/b a : b = c c . b = a, logo se b for igual a zero não se estabelece a relação

c. b = a . Assim, 6 : O=? (Qual o número multiplicado por zero resultará 6 ?).(Anexo

2)

o zero ainda é um número que causa muita confusão entre os alunos, pois

poucos alunos entendem a sua neutralidade. Ele atua como elemento neutro na

adição, na subtração, isso é compreendido pela maioria dos alunos, mas na

multiplicação e divisão, causa sempre discussão, pois para eles todo número esta

sendo dividido pelo zero e não por um. (Anexo 3)

Nos enganamos quando achamos que os objetivos propostos para uma

aula foram alcançados quando julgamos os resultados a partir de algumas

respostas certas, dadas por determinados alunos. Em uma sala de aula é importante

que estejamos atentos com a reação de todos os alunos, pois cada um possui uma

"maneira" e um "tempo" diferente para formar determinado conceito.

Hoje com esta análise sobre os procedimentos adotados, penso que muitas

questões precisam ser repensadas na proposta de ensino das equações do 10 grau.

Prioridade que precisamos resgatar no processo de ensino/aprendizagem é a

"compreensão" em todos os níveis educativos,por isso a necessidade em

estudarmos as "incompreensões" que ocorre durante as nossas aulas, buscando assuas origens e seus efeitos.

"O problema da compreensão tornou-se crucial para os humanos. E, por

esse motivo, deve ser uma das finalidades da educação do futuro."(MORIN, 2001,

p.93)

3.2 - A ESTRATÉGIA

35

o crescimento do professor está em admitir os seus erros e com isso ter a

coragem de assumir e a humildade de procurar sanar as suas dificuldades em prol

dos seus alunos.

Como foi relatado no segundo capítulo as expenencias que adquiri em

minhas aulas ao trabalhar as equações do 1° grau em uma 68 série do Ensino

Fundamental, percebi que a falta de conhecimentos prévios dificultaram a

compreensão quanto ao conteúdo apresentado.

Devido a isto, resolvi propor alguns procedimentos que possam amenizar as

dificuldades encontradas no estudo da equação do 1° grau.Entre esses

procedimentos posso citar:

* Propor situações que estimulem a reversibilidade, comutatividade e

correspondência biunívoca

Iniciar o conteúdo lançando situações problemas, envolvendo incógnitas e variáveis,

estimulando a curiosidade dos alunos para a solução do problema.

Propor situações em que a variável varie.

Com os alunos envolvidos no problema, contextualizar o surgimento das equações

valorizando o seu espaço histórico em relação ao passado.

Construir junto com os alunos uma balancinha , de forma que cada um possua e

manuseie a sua balança. Exemplo:

•

36

Material utilizado:

duas tampas plásticas do mesmo tamanho,ou pratinho de vaso de violeta;

um prego;

ganchinhos;

um pedaço de ripa de madeira fina, medindo aproximadamente 50cm.

Um pedaço de madeira mais largo para o apoio da balança;

Um pedaço de madeira em forma de prisma quadrangular par o pé da balança

pedaços de barbante.

Como utilizar:

Para trabalhar com a balancinha pode-se utilizar bolinhas de gude.

Vejamos o seguinte encaminhamento:

Exemplo 1:

Colocar em um dos lados da balança 6 bolinhas de gude, e do outro lado

uma bolinha de gude e um pacote que não seja transparente contendo um

determinado número de bolinhas , de maneira que a balança fique em equilíbrio,

lançando a seguinte pergunta: quantas bolinhas há no pacote?

Para o aluno resolver esta situação problema , ele deve perceber; a razão

pelo qual o equilíbrio da balança continua, deverá retirar a bolinha que esta junto

com o pacote, e dessa forma retirar do outro lado também uma bolinha, concluindo

que no pacote só poderá existir 5 bolinhas .

•

x + 1

x + 1-1

37

= 6

= 6-15x =

Com situações como esta estaremos iniciando o caminho para a compreensão do

principio aditivo.

Exemplo 2:

Colocar em um lado da balança 8 bolinhas e do outro dois pacotes com o

mesmo número de bolinhas em cada um. Como a balança está em equilíbrio, para

saber o número de bolinhas de cada pacote, o aluno deverá retirar um pacote e uma

quantidade de bolinhas do outro para continuar equilibrada. Dessa forma será fácil

para o aluno perceber que existem dentro do pacote 4 bolinhas. E ao mesmo tempo

ele perceberá que retirou a metade de ambos os lados .

•

2x = 8

2x 8- -2 = 2

x = 4

38

Com situções como esta estamos iniciando o caminho para a compreensão

do princípio multiplicativo.

Exemplo 3:

Colocar 3 pacotes de bolinhas em um dos pratos e no segundo colocar 8

bolinhas e também mais um pacote. A balança mantém-se equilibrada e o aluno

terá mais um desafio para solucionar o problema.

Se retirarmos somente as bolinhas, continuaremos sem concluir o resultado.

Para manter o equilíbrio tiraremos um pacote de bolinhas de cada lado. Se dois

pacotes são iguais a 8 bolinhas, então como no exemplo anterior , cada pacote

contém 4 bolinhas.

•

3x = x + 8

3x -x = x - x + 8

2x = 8

2x 8- -2 = 2

x = 4

Princípios aditivo e multiplicativo.

39

Podem ser trabalhados outros exemplos, pois o ideal é que os alunos

descubram várias formas de utilizar a balancinha , e a partir dessas descobertas,

despertar a curiosidade para resolver certas situações problemas. Podemos sugerir

que eles descrevam matematicamente o que acontece nos exemplos acima.

Exemplo 1: 1pacote mais uma bolinha é igual 6 bolinhas

Matematicamente: 1p + 1 = 6

Retirando 1 bolinha de cada lado: 1p + 1 -1 = 6 - 1

1p = 5

Exemplo 2 : 2 pacotes são iguais à 8 bolinhas

Matematicamente: 2p = 8

Retirando 1 pacote e a mesma quantidade de bolinhas do outro lado.

Dividimos por 2 ambos os lados.

2p 8-=-2 2

p=4

Exemplo 3 : 3 pacotes são iguais a 1 pacote mais 8 bolinhas

Matematicamente: 3p = 1P + 8

Retirando 1 pacote de cada lado:

3p - 1P = 1P - 1P + 8

2p = 8

Retirando 1 pacote e a mesma quantidade de bolinhas do outro lado, teremos:

2p 8-=-2 2

p = 4 (Anexo 4)

Há entre os professores de matemática uma certa resistência ao

uso de calculadoras pelos alunos durante as aulas, sob a alegação de que o

raciocínio do aluno poderia ser prejudicado. Entretanto a utilização deste recurso

possibilitaria ao aluno a compreensão e a verificação dos resultados, propiciando a

este corrigir os seus próprios erros.

40

Um dos aspectos relevantes da calculadora é a compreensão dos números

racionais, reforçando que a fração é um quociente, que o traço de fração é símbolo

de agrupamento e que a divisão por zero é uma operação impossível. Pois, se o

denominador da fração significa por quantas partes está havendo a divisão, quando

este for zero, é sinal que não ocorre uma divisão.

* Também é importante tornar claro para os alunos que:

Incógnita é um termo usado para se descobrir o valor desconhecido, ou então

popularmente o "xis" da questão.

Variável é muito confundida com incógnita, pois muitos professores de matemática

não diferenciam uma da outra. Variável não é apenas um valor desconhecido, as

letras representam números quaisquer e o valor dessas letras podem variar. Por

exemplo: 5ax , dependendo do valor que for dada par a ou x o valor da expressão

sempre vai variar.

Membro: Se utilizarmos a palavra lado, com certeza não afetaria o aprendizado do

conceito de equação e evitaríamos alguns constrangimentos em sala de aula.

Exemplo:

-+ 12X + 1 I = I x + 5 I

1° membro• 2° membro •antes do sinal

de =depois do sinal

de =

2x + 1 - 1 - x = x - x + 5 - 1

2x - x = 4

x = 4 tudo o que fazemos antes do sinal de

= devemos fazer depois do sinal de

= para manter a igualdade.

41

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A proposta desta pesquisa deu-se ao observar a grande dificuldade que os

alunos demonstram ao resolver a equação do 10 grau.Denotando dessa forma que o

conceito de equação para muitos deles passa desapercebida.

Os relatos históricos sobre o surgimento das equações e as maneiras pelas

quais eram resolvidas nos auxiliaram para melhor compreender o envolvimento da

humanidade com as equações.

No decorrer do trabalho através de uma investigação feita com os meus

alunos da sa série A do Colégio Estadual General Osório do ano letivo 2000, pude

perceber que a dificuldade da concepção da equação do 10 grau parte tanto do

aluno quanto do professor. Pois os conhecimentos prévios relacionados com a

equação do 10 grau não são dominados pela grande maioria dos alunos, e a pressa

de alguns professores em vencer o conteúdo programado, demonstra a preferência

pela quantidade e não pela qualidade do ensino.

Percebi também que se o professor procurar trabalhar de uma maneira

diversificada com seus alunos, obterá um melhor êxito no desenvolvimento e na

resolução da equação, podendo assim chegar a uma abstração.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais: "O estudo da Álgebra

constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite

sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição

de uma poderosa ferramenta para resolver problemas." (1998 p.115)

Entretanto, o que se observa é que os professores preocupam-se mais em

transmitir um conhecimento, mecanizando a aprendizagem e desprezando as

situações problemas relacionadas ao cotidiano vivenciado pelos alunos.

Conscientes destas ações já fracassadas, os professores precisam criar

formas de trabalho mais atraentes para as suas aulas e principalmente, tratando-se

da equação do 10 grau, procurar tornar o conteúdo mais acessível para o aluno.

Com esse tipo de trabalho, acredito que possamos atingir um grande

objetivo, ou seja, que os alunos tenham melhor aproveitamento possível com relação

aos conteúdos, e não uma maior quantidade de conteúdo adquiridos durante um ano

letivo. Mas que tudo isto depende da boa vontade e disponibilidade do professor, em

42

tentar sair da sua rotina de trabalho, buscando sempre uma nova estratégia para

atingir a maioria dos seus alunos, ao desenvolver um conteúdo.

Sem dúvida, é de grande importância as interferências dos professores na

compreensão da resolução da equação do 10 grau. Pois cabe a eles a organização

dos conteúdos, identificando conceitos e atitudes realmente importantes, que

contribuam para o desenvolvimento intelectual, estimulando a criatividade e as

análises críticas dos seus alunos.

Em nossa prática docente cometemos muitos erros, e geralmente não

conseguimos detectá-Ios, pois os alunos só são nossos em determinadas séries, por

um curto espaço de tempo e depois não os acompanhamos mais . Mas, se

começarmos a olhar para eles com olhos de investigadores, poderemos perceber

falhas contidas em suas compreensões, muitos conceitos equivocados, e, que com

um pouco de habilidade e sensibilidade podemos ajuda-Io a sanar tal dificuldade.

Quando iniciei este trabalho estava muito ansiosa pois queria responder a

pergunta: Por que os alunos não conseguem resolver as equações do 10 grau?

Descobri que é uma resposta muito difícil de encontrar, pois o assunto é muito

complexo e muitas dificuldades ainda precisam ser levantadas e discutidas.

Portanto, faz-se necessário continuar esta investigação pois apenas

iniciamos algumas reflexões, as quais nos auxiliaram muito em nossa prática

pedagógica, lembrando que o conhecimento está sempre em construção e

dificilmente será considerado pronto e acabado.

43

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BAUMGART, John K. Tópicos da História da Matemática para uso em sala de aula.

São Paulo: atual, 1993

BOOTH, Lesley R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In---. AS

IDÉIAS DA ÁLGEBRA: São Paulo: Atual, 1995.

BOYER, Carl B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.

BRANDT, Célia F.Problemas do tipo aditivo e multiplicativo: considerações e

análises na dimensão psicológica do ato cognitivo. Texto trabalhado na aula

desenvolvida no Curso de Graduação da UEPG de nome:"Curso Normal Superior

com Mídias Interativas".

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Currilares Nacionais:

Matemática. Brasília, 1998.

CAMARGO, Joseli A.Números Racionais.Texto trabalhado na aula desenvolvida no

Curso de Graduação da UEPG de nome: "Curso Normal Superior com Mídias

Interativas".

EVES, Howard. História da matemática. 2.ed. São Paulo: Unicamp, 1997.

GARBI, Gilberto G. ° romance das equações algébricas, São Paulo: Makron Books,

1997.

GUELLI, Oscar. Equação: o idioma da álgebra. São Paulo: Ática, 1997. (Contando a

história da matemática, 2)

IMENES, Luis Márcio. LELLlS, Marcelo. Dicionário ilustrado. In:----. Matemática: 8a

série. São Paulo: Scipione, 2001. p. 314-344.

KIERAN, Carolyn. Duas abordagens diferentes entre os principiantes em álgebra.

In:----.AS IDEIAS DA ÁLGEBRA: São Paulo: Atual,1995.

44

LELLlS, Marcelo, IMENES Luiz Márcio. O Currículo Tradicional e o Problema: um

descompasso. A Educação matemática em revista. SBEM, 1° sem. n.2 p. 5- 12.

1994.

LlNTZ, Rubens G. História da matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 3.

MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro. Tradução:

Catarina Eleonora F. da Silva e Jeanne Sawaya. 3. ed. São Paulo: Cortez, 2001.

OLIVEIRA, Antônio Marmo de, SILVA Agostinho. Introdução à álgebra. In:-----.

Curso ilustrado de matemática moderna. São Paulo: Lisa, s/d. p. 171-186.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Matemática. In:----. Currículo Básico

para a Escola Pública do Estado do Paraná. Curitiba: SEED, 1990. p. 63-80.

ROSA, Sanny S. da. Construtivismo e mudança. 3. ed. São Paulo: Cortez, 1995.

(Questões da nossa época, 29).

TRIVINOS, Augusto N. S. Introdução à pesquisa em ciências sociais. São Paulo:

Atlas, 1987.

SILVEIRA, Ênio, MARQUES Cláudio. Equação do 1° grau com uma variável.in:----

MATEMÁTICA: 6a,São Paulo:Modema, 1995.p.74-84.

49

ANEXOS

Anexo 1

PROBLEMAS DO TIPO ADITIVO E I'vlULTIPLlCATIVO. considerações e análises na

dimensão psicológica do ato cognitivo

Autor: Celia linck lsrand!

Problemas do tipo aditivo

Compreendem problemas que envolvem adições e subtrações e sentidos de números

distintos envolvidos na relação números como medidas estáticas e números como

transfonnações .

As categorias de problemas aditivos e as diferentes classes para cada categoria

compreendem estruturas e heuristicas de resolução diferentes A resolução dos problemas permite

evidenciar a compreensão da estrutu ra do S istema de Numeração Decima I (S N D) a tra vés do

apoio e intercâmbio entre diferentes materiais ábaco. material Montessori, palitos amarrados,

quadro valor lugar .'

PROBLEMAS DE TRANSFORMAÇÃO: uma transformaçâo liga duas medidas estáticas.

O esquema a seguir compreende a estrutura dos problemas de transformação

L" J Q C, J ~ e sào medidas estát,""s e I;é "ma medida de t,a"sfD",oa,::i;~-J

EXEl\IU)LO Paulo tem 8 bolas. Ganhou 3 Ao todo ficou COIll I1

81Jll.~8 e I I são medidas estáticas e 3 é uma medida de transformação .

No esquema acima temos quatro tipus de questões

a transformação b pode ser positiva ou negativa;

a questão pode apresentar como desconhecido o estado final c ( conhecidos a e b),

a questão pode apresentar como desconhecida a transformação b ( conhecidos a e c),

a questão pode apresentar como desconhecido o estadu inicial a ( conhecidos b e c)

As quatro questões apontadas fazem emergir, na mesma categoria, seis classes de problemas,

conforme esquematizadas nos problemas apresentados a seguir O sentido usual da adição e

subtração, ganhar ou perder, não dá conta de todas as classes e os proced imentos do

complemento ou diferença exigirão estruturas prévias Já construidas tais como reversibihdade,

comutatividade e correspondência biunivoca.

• Exemplo 1 (estado final desconhecido)

2

Tenho 8 balas e ganho 4. Com quantas fico?

Tenho 8 balas. Dei 4 para meu irmão Com quantas fico?G 0- ......•D [=::J .1A adição e subtração tem o sentido usual de ganhar ou perder nesta estrutura de problema

Articulando a resolução com a compreensão da estrutura do SND

No problema de mesma estrutura: Tem 25, tira 18, CDm quantas fica?

.. - Ô•• O 0000 r- •DAs verbalizações utilizadas pelas crianças permitem apontar a compreensão da estrutura do SND

Tira 11m monte ......• tira os cinco _. mas tem que abrir o outro monte ......•e tirar o 6, o 7 e o 8.. Sobra 7.

1m3O O O [jJ-íIJ -. O O O cQJ O O O O -. O O O cQJ OOu

rira um monte abre (1 outro ......• fira H, sobra 2 e sobra os 5.

• Exemplo 2 (valor da transformação desconhecido)

Tinha 8 balas Ganhei algumas Fiquei com 1I. Quantas ganhei?

Tenho 8 balas. Perdi algumas Fiquei com 5. Quantas perdi?(0 O•[3 D •

Os problemas acima podem ser resolvidos através do procedimento do complemento ou da

diferença Através do procedimento do complemento o sujeito pode lançar mão de hipóteses e

corrigi-Ias. Já o procedimento da diferença, que consiste em obter o valor da transformação

através da diferença entre os estados inicial e final, não é tão evidente e não tem o mesmo sentido

de ganhar ou perder.

• Exemplo 3 (estado inicial desconhecido) procedimentos do complemento ou da diferença

Henrique acaba de achar R$4,OO . Coloca em sua carteira e fica com R$ I 1,00 Quanto ele tinha '1

Henrique tinha alguns trocados. Deu R$ 4,00 ao seu amigo. Fica com R$ 7,00 Quanto ele tinha?

D G.GJ D~w

Os problemas podem ser resolvidos pelo procedimento do complemento ou da diferença.

O procedimento do complemento exige a comutatividade. O procedimento da diferença exige a

relação inversa, isto é, para percorrer o caminho de volta devo inverter a relação: se ganhei na

ida, devo perder na volta.

PROBLEMAS DE COMPARAÇÃO

Os problemas de comparação são aqueles em que uma relação liga duas medidas estáticas.

Exigem a correspondência biunivoca. São dois todos comparados. A conexão com os sentidos

da adição e da subtração não é evidente pois nada é somado 01/ tirado dos conjuntos.

Uma outra questão diz respeito à análise das situações que compreendem medidas

estáticas e uma relação estática, pois nestas situações outros sentidos de número estão presentes.

Exemplo: João tem 8 balas. Antônio tem 3 balas. (as duas medidas estáticas) Quantas. Joâo •••• ., •••

balas João tem a mais que Antônio? (a relação estática) Antônio ., ••

Uma questão importante a considerar é que é possível escrever um problema de modo

diferente de modo que relações estáticas não estejam mais presentes

Os problemas de comparação, por sua vez, não têm a mesma estrutura e podem ser mais

dificeis dependendo do termo desconhecido. Podemos ter a relação estática ou o valor de um dos

conjuntos como elemento desconhecido. Em uma situação de comparação um dos conjuntos

opera como referente para a comparação.

• Situação de comparação: referente desconhecido.

Exemplo: João tem 8 bolinhas de gude JOt;O tem 5 a mais que Antônio. Quantas bolinhas

tem Antônio? .I";;,, •• F· • •• I.vntónio

A criança precisa somar "5 a alguns" e certificar-se que o resultado é oito.

• Situação de comparação: referente conhecido.

Exemplo: Antônio tem 3 bolinhas de gude. João tem 5 bolinhas a mais que Antônio.

Quantas bolinhas de gude João tem? [-~ .....PR013LEMAS DE E()Ut\LlZt\~'Au (IGU ALA R)

Num problema de equalização (igualar) uma transformação liga duas medidas estáticas.

Exemplo: João tem 8 bolinhas de gude. Antônio tem J. Quantas bolinhas temos que dar 3

Antônio para que ele tenha o mesmo número de bolinhas que João?

Neste caso, a criança tem que somar alguns a J até atingir ~ e a pergunta é 111(l1S direta,

isto é, ela é questionada diretamente sobre quanto somar a uni conjunto para tot na-Io Igual a

outro.

PROBLEMAS 00 TIPO MULTlI'/./( 'ATIVO

As situações que compreendem raciocínio multiplicativo não envolvem somente Idéias de

multiplicação como adição repetida ou como subtração repetida Apresentaremos dOIS tIJ)Os de

situações que compreendem raciocínio muluplicativo

SITUAÇÕES DE CORRESPONDÊNCIA UM-PARA-MUITOS

Exemplo Um carro tem quatro rodas Dois carros têm oito rodas

A correspondência utn-paru-tnuitos é a invariável presente na Situação e não está presente no

raciocínio aditivo. Ela é a base para o conceito de proporção A fim de manter constante a

correspondência um-para-muitos acrescentamos números diferentes de objetos a cada conjunto

para (carro (+ I ),para 4 rodas( +4) As ações que envolvem manter a proporção invanávcl não são

unir/separar mas, replicar E ainda há um terceiro sentido de número que aparece que é o [ator

escalar. Para manter a proporção o mesmo fator escalar deve ser aplicado aos dois conjuntos

SITUAÇÕES QUE ENVOLVEM N-CORTES SUCESSIVOS.

A atividade de distribuir pode envolver raciocínio aditivo e também raciocínio multiplicativo

Enquanto raciocínio aditivo. as relações parte-todo que se estabelecem compreendem somente

somar as partes, que não precisam ser iguais para obter o todo. Já em raciocínio multiplicativo as

relações parte-todo que se estabelecem compreendem considerar três elementos o tamanho do

todo, o número de partes e o tamanho das partes que deve ser o mesmo para todas as partes.

Exemplo

Tenho 20 doces (o todo) e quero disu ibui-los entre 4 crianças (as palies) Cada criança ganhará .')

doces ( o tamanho da parte ou quota).

Na distribuição estão presentes as relações entre três conjuntos o todo. as partes e a quota.

Estas relações podem ser diretas ou inversas dependendo do aumento de uma fixando as outras.

Exemplos.

Tenho 20 doces para distribuir entre 4 crianças.

Tenho 20 doces para distribuir entre 5 crianças

Tenho 30 doces para distribuir entre) crianças

Há uma relação direta entre o todo e as quotas (quanto maior o todo maior a quota,

mantendo-se as partes constantes) e uma relação inversa entre as partes e as quotas ( quanto

maior as partes menor as quotas, mantendo-se o todo constante)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

NUNES, T. & BR YANT, P Crianças fo zendo matemática. Porto Alegre Artmed, 1<)97

VERGANAUD, Gérard. Lénfaut lc mathénuuique et Ia réalité 3 ed 1985

BERTONI, Nilza Interpretações múltiplas da subtração em N Documento datilografado da

Universidade de Brasílial Departamento de Matemática! MEC/C APES/PADCTI Subprograma

Educação para a Ciência Versão preliminar janeiro/Sê.

Anexo 2

NÚMEROS RACIONAIS

Uma das dificuldades a serem superadas nas séries iniciais do Ensino

Fundamental diz respeito a complexidade do conceito de número racional, isso porque o

número racional resulta da comparação entre dois números inteiros, por exemplo, o

número racional 3/5 é o resultado da comparação entre os números inteiros 3 e 5, onde

considera-se o 5 como o número total de partes em que o todo é dividido, isto é,

denominador, e o 3 o número de partes tomadas, numerador.

Geralmente ao formar o conceito de número racional, a criança não estabelece a

real relação existente entre o número racional e a divisão, onde todos os numeradores

são considerados dividendos e os denominadores considerados divisores. Desta forma

qualquer número pode ser numerador, no entanto o zero , não poderá ser usado como

denominador, isto porque:

alb ~ a : b = c: ~ c . b = a , logo se b for igual a zero não se estabelece a relação c . b =a . Assim, 6 : O=? (Qual o número que multiplicado por zero resultará 6 ?)

Diante da dificuldade em compreender tal relação, poderíamos optar em não

desenvolver o referente campo numérico nas séries iniciais, no entanto se nos propomos

a desenvolver um trabalho que nos aproxima da prática diária da criança isto nos reporta

a um contexto histórico, que segundo CARAÇA ( ) a prática diária do ser humano o

levou a conquistar o universo dos números, havendo assim , um momento em que o

homem se deparou com os problemas de medida, tais como:

Como escrever

Esta medida?

Fazer o desenho de uma ciinuçn. Illel findo outtt: ('ri::J!it,:n

No campo dos números inteiros isto não é possível, pois normalmente é difícil que

uma pessoa meça exatamente 1m ou 2m, desta forma o conjunto dos números racionais

responde às medidas compreendidas entre os números inteiros. Por exemplo: 1,72m.

Segundo Heródoto ( pai da história) é possível que os números racionais tenham

surgido de problemas que envolvam medidas.

É conveniente observar: 6 : 2 = 3 ~ 6/2 = 3 ; 4: 4 = 1 ~ 4/4 = 1 ;

5 : 2 = 5/2; 3: 4 = 3/4. Todos estes quocientes são números racionais, visto que

expressam a razão entre dois números inteiros, pois foram obtidos pela comparação entre

* medidas e representação gráfica em uma reta numerada

* reconhecer grandezas contínuas e discretas

Decorre daí a preocupação de que este estudo inicie-se cuidadosamente, provendo

à criança experiências diversificadas que permitam-lhe chegar a descobertas por mérito

de sua capacidade de compreensão.

No início do processo não deve existir por parte do professor a preocupação em

trabalhar o conceito formal e a forma simbólica deste novo conhecimento. Dentre as

primeiras atividades deve-se elaborar generalizações referentes a metade de objetos , a

metade de conjuntos e a metade de extensões. São atividades aparentemente simples,

porém com as quais o professor deve estar atento, uma vez que a criança chega na

escola com um conceito incompleto ao que se refere a" metade".

Depois de resolvidas tais questões, as preocupações devem se voltar às maneiras

de interpretar um dado número racional.

Estudos como os de BEHR et ali ( apud SILVA & AGUIAR, in: SBEM, 2000 ) e

ROMANATIO ( in: ZETETIKÉ, 1999) alertam que o número racional apresenta-se como

uma teia de relações nas quais princípios e procedimentos matemáticos se manifestam

em diferentes contextos. Para ROMANA TIO, os contextos significativos nos quais este

campo numérico esteja presente pode se apresentar em atividade ou situações problema

onde o número racional assume diversas U personalidades" : como medida, quociente,

razão, operador multiplicativo, um número na reta numérica e probabilidade ( KIEREN,

1976 e 1988 ; BEHR , LESH, POST & SILVER, 1983 ; FREUDENTHAL, 1983

VERGNAUD, 1983 ; NESHER , 1985 ; OHLSSON, 1987 ; SCHWARTZ, 1988

GIMENEZ,1988 e BEHR, HAREL, POST e LESH, 1992).

Desenvolver tais contextos não significa um percurso linear, as relações

matemáticas construídas ocorrem gradativamente, pois [...] a construção do conceito de

número racional pressupõe uma organização de ensino que possibilite experiências com

diferentes significados e representações, o que demanda razoável espaço de tempo;

trata-se de um trabalho que apenas será iniciado no segundo ciclo do Ensino

Fundamental e consolidado nos dois ciclos finais. (PCNs, 1997, p.104)

Nesta perspectiva, propomos o repensar dos procedimentos metodológicos

adotados pelos docentes ao tratar do referido assunto, procurando promover a

inter-relação entre fração ordinária, número decimal e porcentagem, para que,

assim, os alunos possam construir o real significado do conjunto dos Números

Racionais.

tais grandezas. Pela idéia de medida a pergunta a ser respondida é : Quantas vezes o

dividendo contém o divisor?

Nas duas primeiras situações é expressa a relação "ser múltiplo de..." , pois o

número obtido como resposta foram 3 e ~\ que representam números inteiros. Vejamos a-') -1 v ~i ·-fZreta numerada: _._.+-~-.I ._._._...._..L....__ .~_, .__.._ .L.._~..-.--...-.....

- 1.1 l ~ ~, 1 -'liI f, ~ .' " -~ / } !( -:

Nas duas últimai:/isituaÇõis propostas, 5/2 e 3/5 não representam númerosJ •

inteiros. Na reta numerada a representação destes números racionais exigem a marcação

de novos pontos, até então inexistentes na reta dos números inteiros,::..•.~-,--~/_.,.~~..li I. ,,:" f .. , -:.••.. I - ;;>. ~ ... ...

. . I f) I I/:/ ", (_ I,; _(;. ..J. ·3/ . l,( . / . . I) I). .\ t ' ,'. ~.

I;) ",-o Y) '/ ' 1 ) I'" ' i..

Nos exemplos apresentados os números racionais foram expressos na forma de

fração, onde o quociente é o próprio número racional, portanto a fração eqüivale a uma

divisão indicada, sendo que ao efetuar tal divisão ( seguindo os princípios do sistema de

numeração decimal ) surgirá uma outra forma de expressar os números racionais,

chamada de notação decimal, por exemplo:

5/2 ~ 2,5 ; 3/4 ~ 0,7 .

É importante que as duas formas de representação dos números racionais

fracionária e decimal) sejam trabalhadas ao construir o conceito deste campo numérico .

A reflexão que aqui se propõe é quanto ã veracidade da compreensão do

aluno com relação a um campo numérico denominado de Números Racionais.

Estudos como de PIAGET, INHELDER, VERGNAUD no alertam a concentrar

atenções a dois aspectos importantes quando no estudo dos números racionais:

* campo conceitual

* no real significado do número racional

Tais estudos propõe que um determinado conceito só tem significado para o

indivíduo quando este consegue estabelecer relações com conhecimentos previamente

construídos. Isto é , no estudo dos números racionais é preciso conhecer:

* a razão na forma a/b, como uma relação entre duas grandezas

* proporção e composição numérica

* frações como quociente de divisões

/

. ,-.~. v-,'.i-':\.

\

"1 = ,\"!

. ,'1,"..

!. ,I "

~ ..•..•------------------~--~--~------------------

pt .: :/_'~',W: "" .': " ..' :,.~.p:,~~·"..-"tl" i~. t t •• tI

:~f'··\'~;fl:~··~:\.l_·\. ..:t. ~ - \ ·- .;; =, ".:: _.' s regras que valem para to-. l'~' :'.'dos os outros não servem

v- . •.• !. I 'para ele. Só as obedece co-::~.;.<>: .vmo e quando bem entende.i: ,'/..I~·. . "'Assim faço a diferença",.'~\.~.!.costumá dizer. Mas não é nem um,. . \>i pouco egoísta. Pelo contrário. Quanto

. mais à direita ele vai,mais aumenta o- , valor do colega da esquerda, multipli-

· . \ . cando-o por dez, 100 ou 1000. Trata-·.\:~ I ' se de um revolucionário. Com ar de'••~ ". ' I . I bonachão, dá de ombros quando ér.~..',.,~comparado ao nada. "Sou mesmo",.~:....\ : \. diz. "Mas isso significa ser tudo." Com.\~.:; ,: vocês, o número zero - que ganha,\. ', .',.. nesta,s páginas, o papel que lhe é de di-.....:. reito: o de protagonista de uma odis-\.\ \' ,

. :1:",'. ' séia intelectual que mudou o rumo,.~..J •' das ciências exatas e trouxe novas re-i! .' flexões para a história das idéias.

-~,.:" Pode soar como exagero atribuir..:! tal importância a um número aparen-

•.•.:., temente inócuo. Às vezes, você até es-\,~", '.':.;,1.', quece que ele existe. Quem se preocu-y'};, '.pa em anotar que voltou da feira com.,t ..;',~'. zero laranjas? Ou que comprou ração,!>',~'r: - para seus zero cachorrinhós? Só fica~~',:,' preocupado quando descobre um ze-··\"tS';· : ro na conta bancária. Mesmo assim,~'I.',-i ,',logo que chega o pagamento seguinte,(li~.:não sobra nem lembrança daquele nú-

, 'f.:',:' :';\t mero gorducho,...•';;l."~···i O símbolo "O" e o nome zero estão

:-~ .•• 'reÍaclonados à idéia de nenhum, não-,:·.\·>~,existente, nulo, Seu conceito foi pouco

'.')i.i estudado ao longo dos sécul?s,. Hoje,~:. ~i mal desperta alguma curiosidade,

.;;. ?\ 1 apesar de ser absolutamente instigan-~....:;;}..••'Fe~uO ponto principal é o fato de o ze-·~.:i~'~.to ser e não ser. Ao mesmo tempo in-, '.".~~\ dicar o nada e trazer embutido em sit', .:.,.algum conteúdo", 'diz o astrônomo

, ".' I~ "Walter Maciel, professor da Uníversi-',\ ''', : . dade de São Paulo. Se essa dialética. ~parece complicada para você, ciCla-:1,- ,': '. 'dão do século XXI, imagine para as·'.:,i- tribos primitivas que viveram muitos.;., ~.~ séculos antes de Cristo,, .;:.;,.\:~ , A cultura indiana antiga já trazia.':<-' ,', -uma .nóção de vazio bem antes do'( ~\ conceito matemático de zero, "Numr < ,-'. .. dicionário de sânscrito, você encontra

" I~' " uma explicação bastante detalhada· i~''.; ,sobre o' termo indiano para o zero,':": :."queéshúnya", afirma o físico Roberto;.i " ' :de' Andrade Martins, do Grupo de.: ,\', História e Teoriada Ciência dá Uni-, . , .' versidade Estadual de Campinas

.' :0;\ ; (Ui1jcamp). Corno adjetivo, shúny« .,~.~II:(>': ..': ,:~',:::.~: " .. ,(; ";~'.0·a.I:J,ril~.ool,.'\',,,,:. :".t" I

~• " ". ~ • '. I}. «'

\ -. \

'..: .•.:'. '\~"; • r ,

;.,i,.,0.~.

..)~•..t:::~:~:.:O'

<. ~~?.."'~:'"·\.,,:r:.-i., () llusttações 113 ngutlrf'do corn r~p,oduçio M Ornar Paido

<, ".. ;,.,-

,- parar' OS tíúrrieros com alguns sinaisespecíficos. "Os babilônios tentaram .representar graficamente '0. nada.e ....:-r::mostrando o abstrato de uma forma' - t..concreta", diz Ubiratan ..

Perceba como um problema práti-co - a necessidade de separar núme-ros e apontar colunas vazias -levou auma tentativa de sinalizar o não-exis-tente. "Trata-se de uma abstração bas-tante sofisticada representar a inexis- _têncía de medida, o vazio enquanto.;:~número, ou seja, o zero", diz a histo-riadora da ciência Ana Maria AlfonsoGoldfarb, da Puc. "Temos apenas pro-jeções culturais a respeito do que éabstrato", afirma Leandro Kamal. Natentativa de tomar concreta urna si-tuação imaginária, cada povo busca asreferências que tem à mão. Veja o casodos chineses: eles representavam o ze- r :

'-.l

ro com um caractere chamado ling,que significava "aquilo que ficou paratrás", como os pingos de chuva depoisde uma tempestade. Trata-se de umexercício tremendo de abstração. Vocêjá parou para pensar como, pessoal-mente, encara o vazio?

Apesar de ser atraente, o zero nãofoi recebido de braços abertos pela Eu-ropa, quando apareceu por lá, levadopelos árabes. "É surpreendente verquanta resistência a noção de zero en-controu: o medo do novo e do desco-nhecido, superstições sobre o nada re-lacionadas ao diabo, uma relutânciaem pensar", diz o matemático ameri-cano Robert Kaplan, autor do livro TheNothing That 1s (O Nada qiie Existe, re-cém-lançado no Brasil) e orientadorde um grupo de estudos sobre a mate-mática na Universidade Harvard. Oreceio diante do zero vem desde a Ida-de Média. Os povos medievais o igno-ravam solenemente. "Com o zero,qualquer um poderia fazer contas",diz Ana Maria. "Os matemáticos daépoca achavam que popularizar o cál-culo era o mesmo que jogar pérolas -aos porcos." Seria uma revolução.

Por isso, Kaplan considera o zeroum número subversivo. "Ele nos obri-ga a repensar tudo o que alguma vezjá demos por certo: da divisão aritmé-tica à natureza de movimento, do cál-culo à possibilidade de algo surgir donada", afirma. Tomou-se fundamen-tal para a ciência, da computação à as-tronomia, da química- à física. "O cál- •••

.•...

'-.

abril 20'01 (j 57

(1: :~--. te curto, que tende à zero. (É estranho por mais pomposo que se julgue - ,calcular, quanto o carro se deslocou ser dividido por ele, zero. -Tern ain- I ,~r'' em "zero segundos", mas é assim que da outros truques. Você pensa querr J. ,funciona.) "O cálculo integral está na ele é inútil? "Experimente colocar ,~,..

:·f:'.:·' base de tudo o que a ciência construiu alguns gêmeos meus à direita no ," .t'ff~::;\:\n,~~'ú,ltirri~~2q<J anos", diz Maciel. valor de um cheque para você ver a,; \~,\( l":; j ~~N?d~ ~oJe o conceit~ ~~ zero se- diferença", diz o zero. No entanto.r,>\~~t,gue revirando nossas idéias. Falta mesmo que todos os zeros douni-x •\"'1"\"'" d I' od Id .:,~.,'". '.murro para enten ermos a comp eXI- verso se acom em no a o esquer-:':.::;~," 'dade desse' número. Para o Ocidente, do de uin outro algarismo nada mu- .~.'~I" ' o zero continua a ser 'uma mera abs- da. Daí a expressão "zero à esquer-~!,:,::~i,·tração. Segundo Eduardo Basto de AI- da", que provém da matemática e\\!: "; ; .buquerque, professor de história das indica nulidade ou insignificância.I'/.':'~;;' religiões da Unesp, em Assis, o pensa- Mas o zero - como você pôde'~'\' mento filosófico ocidental trabalha ver - decididamente não é um zero(r....· com dois grandes paradigmas que não à esquerda. "Foi uma surpresa cons- ,\' . I, , ,comportam um vazio cheio de senti- tatar como é central a idéia de zero: .I,:' .:~ .do, como o 'indiano: o aristotélico (o o nada que gera tudo", diz Kaplan;~~f>',>. ,\" ,..' ..... . '. :. " 'E.mais: há quem

~~~1\:..:·.·~<~~\'.,·1','~."' . '. '~Ozero sempre diga que 'dozeinfiroé~,·;I'.lf", ,"~,."~i . í.· ' ',' " " , parente o - .~f~"~'~('~I};:;:'j\~:.\,.;.I -i., "),, '''I. t ;, ~I,' nito outra abs-ç~~p~>:r,~~~~i.,..errotQy<,~~",e.es...que: tração que rnu-~h-,{(\~i)?·~",-\\·l..l, '.- se opuseram' a ele" I dou as bases•...t·-\\,~'\.·<: .. ~ 'I""

;.'~;""~'~.'~:.~ ,';';\. . .. ,,' do pensamento!}\ ,::"'1(1. }. ::", .• "l, . científico, reli-":.';;": mundo é o que vemos e tocamos com gioso e filosófico. "Eles são equiva-

(','/:; 'nossos sentidos) e o platônico (o mun- lentes e opostos, yin e yang", escre-I~~'y~do é.um reflexo de essências ímutá- ve o jornalista americano CharlesJ::~~~::"\reis e eternas, que não podemos atin- Seife, autor de Zero: 171eBiography~M,'i ;gír pelos sentidos e sim pela imagina- of a Dangerous Idea (Zero: A Biogra-~i<\:~."çãoe pelo conhecimento). "O Ociden- fia de uma Idéia Perigosa), lançado~:F;~~:te pensa o nada em oposição à exis- no ano passado nos Estados Unidos.!~:\.>tência de Deus: se não há Deus, então O epíteto atribuído ao zero no título;\" y é o nada", diz Eduardo. Ora, mesmo - idéia perigosa - não está ali por:;x:i~. na ausência, p~eria haver a presenç~ acaso. 'Apesar da rejeição e do exí-~'/\~ ',de Deus. E o vazio pode ser uma realí- lia, o zero sempre derrotou aqueles...t 1 ' , <

" '·-..·.dade. E s6 pensar na teoria atômica, que se opuseram a ele", afirma Sei-, . desenvolvida no século XX: o mundo é fe. ''Ahumanidade nunca conseguiu

, formado por partículas diminutas que encaixar o zero em suas filosofias.precisam de um vazio entre elas para Em vez disso, o zero moldou a nos-se mover. Talvez o zero assuste porque sa visão sobre o universo - e tarn-carrega com ele um outro paradigma: bém sobre Deus." E influenciou,o de um nada que existe efetivamente. sorrateiramente, a própria filosofia.

Na matemática, por mais que pa- De fato, trata-se de um perigo. E::Jreça limitado a um ou dois papéis, afunção do zero também é "especial" -como ele mesmo faz questão de mos-

'; , , trar - porque, desde o primeiro mo-I ': mento, rebelou-se contra as regras

: . que todo número precisa seguir, O ze-,') . ro viabilizou a subtração de um núrne-

.. '\'.,:

~:I ..

~. . PARA SABER MAISNA UVJtAIltIA.:

o Nada que üc:jst~ - Uma Hist6ria Natural do lero.Robert Kaptan. Editora Rocco. Rio de Janeiro. 1001.

lua: The B1orr.phy of a O.n!erOU5 rdea.Charles Seife. Pellguin Vikin~. Estado s Unidos. lODO.

51! U ,~bril 2001,. • '.' ~t;1 ;'.,

Ii

----------------------------------------------~~,.•--

Anexo 4

r

r

r

/