c:/users/andre/dropbox/apostilas/lições de matemática
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Leandro Tomaz de Araujo &Andrea Luiza G. Martinho
Licoes de Matematica
x
y
Volume 1
UFRRJ-2020-5
2
Sumario
1 Graficos e Funcoes 41.1 Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Modelos Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Funcoes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 A Derivada 292.1 Definicao de Limite e Propriedades . . . . . . . . . . . . 292.2 Derivada de y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Tecnicas de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Derivacao Implıcita, Taxas Relacionadas e Diferencial 443.1 Derivacao Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Otimizacao 544.1 Maximos e Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Aplicacao de Maximos e Mınimos . . . . . . . . . . . . . 614.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Funcoes Exponencial e Logarıtmica 655.1 Funcao exponencial e logarıtmica . . . . . . . . . . . . . 655.2 Derivada da Funcao Exponencial e Logaritmica . . . . . 735.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Integrais Indefinidas 776.1 Integracao Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Integracao por Substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . 836.3 Integracao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1
Prefacio
Estas notas de Aula e uma versao abreviada do Licoes de Calculo Di-
ferencial e Integral, volume 1; e surgiram das disciplinas de Calculo 1 eMatematica 1 ministrada pelos autores nos anos de 2009, 2011 e 2012 naUniversidade Federal Rural do Rio de Janeiro.
Um dos objetivos dessa apostila e de fornecer os conhecimentos ne-cessarios aos Cursos de Economia e Administracao; bem como servir delivro texto para a disciplina de Matematica 1 dessa mesma intuicao paraoutros Cursos de Graduacao que requerem conhecimentos elementaresdo Calculo Diferencial e Integral.
No capıtulo 1, estudaremos algumas funcoes de uma variavel, enfa-tizando os graficos. No capıtulo 2, apresentaremos a nocao intuitiva deLimite a qual usaremos para apresentar a derivada motivada pelo es-tudo da reta tangente ao grafico de uma funcao de um unica variavel, efaremos algumas aplicacoes da derivada em taxas relacionadas, em Oti-mizacao e em Analise Marginal. No capıtulo 3, estudaremos as funcoesexponencial e logarıtmica e seus graficos. No capıtulo 4 apresentaremosa integral Indefinida e suas tecnicas elementares, a saber Integracao porSubstituicao e por Partes.
Seropedica, 2015os Autores
Prefacio da 7a Edicao
Estas notas e uma versao adaptada ao perıodo 2020-5 dos Estudos Con-tinuados Emergenciais na UFRRJ devido a pandemia do Coronavırus.Houve mudanca e retirada de alguns topicos da versao anterior de modoa ficar adaptada ao ensino remoto.
Seropedica, 2020os Autores
2
❝Gosto de ser gente porque, mesmo sabendo que as condicoes materiais,economicas, sociais e polıticas, culturais e ideologicas em que nos achamos geramquase sempre barreiras de difıcil superacao para o cumprimento de nossa tarefahistorica de mudar o mundo, sei tambem que os obstaculos nao se eternizam.❞
Paulo Freire, Pedagogia da Autonomia, 1997
3
Capıtulo 1
Graficos e Funcoes
1.1 Conjuntos Numericos
Conjuntos dos Naturais
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
Conjuntos dos Inteiros
Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}
Conjuntos dos Racionais
Q =
{p
q: p, q ∈ Z, q 6= 0
}
Para os numeros racionais podemos fazer o seguinte diagrama, que indica a repre-sentacao decimal:
racionaisրց
inteiros
fracionarios րց
decimalexato
dızimaperiodica
☞ Exemplo 1.1. Observe a representcao decimal dos seguintes numeros:
6
2= 3 ;
5
1= 5
7
2= 3, 5 ;
1
2= 0, 5
1
3= 0, 333 . . . ;
8
7= 1, 14285 . . .
4
Numeros Reais
Os numeros racionais podem ser representados por pontos de uma retanumerada. Observe que todo r ∈ Q e um ponto da reta; entretanto,nem todo ponto da reta e racional.
☞ Exemplo 1.2.√2 nao e racional, mas existe um ponto na reta que
o representa, conforme podemos observar na figura abaixo:
���
��
1
1
√2
Pelo Teorema de Pitagoras
x2 = 12 + 12 =⇒ x2 = 2 =⇒ x =√2
➪Lema 1.1 (Lema de Pitagoras). Nao existe x ∈ Q tal que x2 = 2(isto e,
√2 /∈ Q).
Assim podemos observar que ha pontos na reta que nao representamnumeros racionais. A esses pontos associamos os numeros irracionais.De modo geral, toda raiz nao exata bem como todo numero decimal naoexato e nao periodicos sao irracionais. O conjunto dos numeros reais e oconjunto formado por todos os numeros racionais e irracionais, ou seja
R = Q ∪ (R−Q)
O diagrama abaixo mostra a relacao dos conjuntos estudados.
N Z
Q
R
R−Q
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Pelo que vimos, cada r ∈ R corresponde um P da reta, e cada ponto Pda reta corresponde um n ∈ R. (r ↔ P ).
0
Em palavras, a reta real nao apresenta buracos e nem falhas; essa e umaimportante propriedade dos numeros reais.
Intervalos Reais
Sejam a, b ∈ R com a < b. Um intervalo em R e um subconjunto de R
determinado por desigualdades.
5
Intervalos Limitados:
1. Intervalo Aberto
]a, b[= {x ∈ R : a < x < b}
2. Intervalo Fechado
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
3. Intervalo aberto a esquerda e fechado a direita.
]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
4. Intervalo fechado a esquerda e aberto a direita.
[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b}
✓ Nota 1.1. Os numeros reais a e b sao denoiminados, respectivamente,extremo inferior e extremo superior do intervalo.
Intervalos Ilimitados:
[−∞, a[= {x ∈ R : x < a}
]−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}
[b,+∞[= {x ∈ R : x ≥ b}
]b,+∞[= {x ∈ R : x > b}
]−∞,+∞[= R
✍ Exercıcio 1.1.
Descrever, usando a notacao de conjuntos, os seguintes intervalos:
1. [−2, 7]
2. [−1,+∞[
3. ]− 1, 1[
4. ]−∞, 5]
5. [1, 4[
6. ]− 2, 2[
✍ Exercıcio 1.2.
Determine o intervalo correspondente a operacao dada:
6
1. ]− 1, 1] ∩ [1, 3]
2. ]− 4, 4] ∩ [4, 6[
3. ]−∞, 2] ∩ [−2,+∞[
4. [−10, 2] ∪ [−3, 5]
5. ]−∞, 3] ∪ [−1,∞[
6. ]−∞, 3] ∪ [1, 4]
➪ Atencao 1.1. Os simbolos +∞ (mais infinito) e −∞ (menos infinito)sao apenas simbolos e nao devem ser confundidos com numeros reais.
Valor Absoluto ou Modulo
◮ Definicao 1.1. O valor absoluto (ou modulo) de um numero real edado por:
|a| ={
a, se a ≥ 0,−a, se a < 0.
Em particular, para todo a ∈ R,
|a| ≥ 0.
✎ Exemplos 1.1. Observe que:
|0| = 0
|3| = 3
| − 7| = 7
| − 3| = 3
|3− π| = −(3− π) = π − 3
| − 1, 7| = 1, 7
⊲ Observacao 1.1. Pela definicao de modulo temos:
1. Para todo x ∈ R, |x|2 = x2, pois
x ≥ 0 ⇒ |x| = x ⇒ |x|2 = x2
x < 0 ⇒ |x| = −x ⇒ |x|2 = (−x)2 = x2
Entao
|x|2 = x2.
2. Por (01), temos
|x| =√x2
7
➪ Teorema 1.1 (Propriedades de Valor Absoluto). Para todo x, y ∈ R,temos:
1. |x · y| = |x| · |y|
2.
∣∣∣∣
x
y
∣∣∣∣=
∣∣∣∣
x
y
∣∣∣∣
3. |x| = |y| ⇔ x = ±y
Equacao Modular
➪ Teorema 1.2. Para todo x, y ∈ R, temos:
|x| = |y| ⇔ x = ±y
☞ Exemplo 1.3. Resolva a equacao:
|x− 5| = |3x+ 7|
Solucao:
|x− 5| = |3x+ 7|Entao,
x− 5 = 3x+ 7 ⇒ 2x = −12 ⇒ x = −6x− 5 = −3x− 7 ⇒ 4x = −2 ⇒ x = −1
2
Assim,
S =
{
−6,−1
2
}
Inequacao Modular
➪ Teorema 1.3. Para todo x, y ∈ R, temos:
1. |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
2. |x| ≥ a ⇔ x ≥ a ou x ≤ −a
☞ Exemplo 1.4. Resolva as inequacoes:
1. |2x− 1| < 3
Solucao:
8
|2x− 1| < 3 ⇔ −3 < 2x− 1 < 3
⇔ −3 + 1 < 2x− 1 + 1 < 3 + 1
⇔ −2 < 2x < 4
⇔ −1 < x < 2
Assim,S =]− 1, 2[
2. |x− 2| ≥ 1
Solucao:
|x− 2| ≥ 1 ⇔ x− 2 ≥ 1 ou x− 2 ≤ −1
⇔ x ≥ 3 ou x ≤ 1
S =]−∞, 1] ∪ [3,+∞[
Funcoes de uma Variavel real
O conceito de funcao e um dos mais importantes da matematica, e surgetoda vez que procuramos estabelecer uma relacao entre duas grandezasvariaveis.
☞ Exemplo 1.5.
1. A demanda de um produto pode depender do preco do produto.
2. A poluicao do ar de uma cidade pode depender da quantidade decarros na rua.
3. O volume V da esfera e uma funcao de seu raio R.
V =4
3π R3
Interpretacao de uma funcao f
Podemos pensar uma funcao como:
(1a) um mapeamento dos pontos de um conjunto A para os pontos deoutro conjunto B.
(2a) uma maquina que transforma os pontos de um conjunto A para ospontos de outro conjunto B usando uma lei ou regra.
x 7−→ f 7−→ f(x)
9
Definicao de Funcao
◮ Definicao 1.2. Sejam A e B conjuntos.Uma funcao e uma lei ou umaregra que a cada elemento x ∈ A associa-se um unico elemento y ∈ B.Em simbolos:
∀ x ∈ A, ∃ ! y ∈ B |y = f(x)
Em que:
x: variavel independente
y: variavel dependente
✎ Notacao 1.1. Utilizaremos duas notacoes para uma funcao, a saber:
1. f : A → B tal que y = f(x).
2.f : R −→ R
x 7−→ f(x).
✓ Nota 1.2. Neste texto fica estabelecido que A e B sao subconjuntosde R, isto e, A, B ⊂ R.
Domınio e Imagem
◮ Definicao 1.3. Seja y = f(x) uma funcao.
1. O Domınio de uma funcao e o conjunto
Dom(f) = {x ∈ R : ∃ f(x)}
2. A Imagem de uma funcao e o conjunto
Im(f) = {f(x) ∈ R : x ∈ Dom(f)}
☞ Exemplo 1.6. Determine o domınio e a imagem das funcoes definidaspor:
1. f(x) =√x− 1
Solucao:
x− 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1; entao
Dom(f) = [1,+∞[.
10
x ≥ 1 ⇒ x− 1 ≥ 0 ⇒√x− 1
︸ ︷︷ ︸
f(x)
≥ 0, entao
Im(f) = [0,∞[.
2. f(x) =1
x2
Solucao:
Observe que
x 6= 0, entao
Dom(f) = R.
x2 > 0 ⇒ 1
x2> 0, entao
Im(f) =]0,∞[.
✍ Exercıcio 1.3. Nos exemplos anteriores, determine o domınio e aimagem.
✓ Nota 1.3. .
1. Seja f : A → B uma funcao. O conjunto A = Dom(f) e Im(f) ⊂B.
2. O conjunto B e chamado de Contra-domınio.
Grafico de uma funcao
Uma funcao f : A ⊂ R → R e representada geometricamente no R2.
◮ Definicao 1.4. O grafico de f e o conjunto
Graf(f) = {(x, f(x)) : x ∈ Dom(f)}
O grafico de f e, em geral, uma curva no plano R2.
☞ Exemplo 1.7. Observe os graficos das seguintes funcoes:
1.f : R −→ R
x 7−→ 2x.
11
0 3
6
x
y
2.f : [0,+∞[ −→ R
x 7−→ √x.
0 4
2
x
y
3.f : [0,+∞[ −→ R
x 7−→ x2.
0 2 x
y
1.2 Modelos Funcionais
O nosso objetivo e estudar metodos matematicos para lidar com proble-mas praticos em Economia, Financas entre outros. Esse metodo podeser divido nos seguintes passos:
Passo 1 (Formulacao)
dada uma situacao, identificar as hipoteses adequadas e as variaveis en-volvidas.
Passo 2 (Analise do Modelo)
Aplicar os metodos matematicos para extrair a informacao desejada nomodelo obtido no passo anterior.
12
Passo 3 (Interpretacao dos Resultados)
Uma vez resolvido o problema. Devemos verificar se os resultados fazemsentido na situacao real, ou seja, se a formulacao do modelo foi bemposta.
Passo 4 (Testes e Ajustes)
O modelo e testado como novos dados para saber se as previsoes obtidasna analise estao corretas. Para que se tenha um bom
modelo as hipoteses devemser simples o bastante, paraque possa ser analisado ma-tematicamente, mas nao aoponto de deixar ser real.
Engenharia
☞ Exemplo 1.8.
De uma ilha situada no ponto Aa 12 Km da costa sera ligado porcabos de eletricidade a uma su-bestacao de energia no ponto Ca 20 Km praia acima. Os cabosterrestres custam 3 mil reais e oscabos subaquaticos custam 5 milreais por Km.
A
CB
Mar
Praia
Encontre o custo total em funcao da distancia de B a C (Suponha a costaretilınea).
Solucao:
Considere
x: a distancia (em Km)de B a C;
y: a distancia (em Km)de A a B.
O custo (em milhares reais) sera dado por
C = 3x+ 5y
Pelo teorema de Pitagoras,
y2 = (20− x)2 + 122 =⇒ y =√
(20− x)2 + 122
Substituindo
C(x) = 3x+ 5√
(20− x)2 + 122
☞ Exemplo 1.9.
13
Do ponto A, situado numa dasmargens de um rio, de 100mde largura, deve-se levar energiaeletrica ao ponto C situado na ou-tra margem do rio. O fio a serutilizado na agua custa R$5, 00 ometro, e o que sera utilizado fora,R$3, 00 o metro.
CB
A
Rio100 m
1000 m
Encontre a funcao custo em funcao do ponto B? (Suponha as margensretilineas e paralelas).
Solucao:
Sejam
A = (0, 0)
B = (x, 100)
C = (1000, 100)
Entao o custo dos fios sera dado por:
C(x) = 5√x2 + 1002 + 3(1000− x)
Geometria
☞ Exemplo 1.10. O governo de uma cidade pretende construir umcentro esportivo ao longo de uma rodovia (retilınea). O terreno retangularcom cerca de 4000 m2, que deve ser emurado nos tres lados que nao daopara rodovia. Encontre a funcao que fornece o comprimento do muro,em metros, em funcao do lado paralelo a rodovia.
Solucao:
Considere
x: comprimento do lado paralelo a rodovia;
y: comprimento do lado perpendicular a rodovia.
Comprimento do muro M ,
M = x+ 2y
Hipotese fornecida: xy = 4000, segue que
y =4000
x
Substituindo,
M(x) = x+8000
x
14
☞ Exemplo 1.11. Se uma lata de zinco de volume 16π cm3 deve ter aforma de um cilındro circular reto. Determine a area da lata de zincoem funcao do raio.
Solucao:
Sejam:
R: o raio da base
h: a altura do cilındro
S: a area total do cilındro
Entao a area total e dada por
A = 2πRh︸ ︷︷ ︸
area lateral
+ 2πR2︸ ︷︷ ︸
area das bases
(1)
Sabemos o volume da lata
16π = πR2h ⇒ h = 16R2 (2)
Entao, substituindo (2) em (1) obtemos para R > 0:
A(R) = 2πR
(16
R2
)
+ 2πR2
=32π
R+ 2πR2
Logo, a area total do cilındro em funcao do raio da base R > 0.
1.3 Funcoes Algebricas
Funcao Constante
A Funcao Constante e uma funcao dada por:
f : R −→ R
x 7−→ c,
onde c e uma constante.
Propriedades:
Dom(f) = R e Im(f) = {c}
o grafico de f e uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto(o, c), isto e, Graf(f) = {(x, c) : x ∈ R} .
☞ Exemplo 1.12. Sejam as seguintes funcoes.
15
1.f : R −→ R
x 7−→ 2,
0 2−2
2
x
y
2.f : R −→ R
x 7−→ −1,
0 2−20−1
1
x
y
Funcao Identidade
A Funcao Identidade e uma funcao dada por:
f : R −→ R
x 7−→ x,0 3−30
−3
3
x
y
Propriedades:
1. Dom(f) = R e Im(f) = R
2. O grafico da funcao identidade e uma reta (bissetrizes do 1 e 3quadrante).
Funcao Linear
A Funcao Linear e uma funcao dada por:
f : R −→ R (a 6= 0)x 7−→ ax,
Propriedades:
1. Dom(f) = R e Im(f) = R (Por que ?)
2. o grafico da funcao linear e uma reta que passa pela origem.
☞ Exemplo 1.13. Observe as seguintes funcoes:
16
1.f : R −→ R
x 7−→ 2x,0 2−20
−4
4
x
y
2.f : R −→ R
x 7−→ −x,0 3−30
−3
3
x
y
Fato Importante
a > 0: o grafico de f e crescente.
a < 0: o grafico de f e decrescente.
Funcao Afim
A Funcao do 1 Grau (ou afim) e uma funcao dada por:
f : R −→ R (a 6= 0)x 7−→ ax+ b,
onde a, b ∈ R e a 6= 0.
Propriedades:
Dom(f) = R e Im(f) = R
o grafico da funcao afim e uma reta que passa por (0, b).
☞ Exemplo 1.14. Construir os graficos das seguintes funcoes:
1. y = 2x+ 1
Solucao:
x y
0 1-1/2 0 0 1 2−1−2
0
−1
1
x
y
17
2. y = −3x+ 2
Solucao:
x y
0 22/3 0 0 1 2−1−2
0
−1
1
x
y
Fato Importante:
a > 0: o grafico de f e crescente.
a < 0: o grafico de f e decrescente.
Casos Particulares:
1. b = 0 ⇒ f(x) = ax (funcao linear)
2. b = 0 e a = 1 ⇒ f(x) = x (funcao identidade)
Imagem de uma Funcao do 1 Grau
O conjunto imagem de uma funcao do 1 grau f e R, ou seja
Im(f) = R
Coeficientes da Funcao Afim
Seja f : R → R tal que f(x) = ax+ b (a 6= 0).
◮ Definicao 1.5.
1. O coeficiente b da funcao afim e chamado coeficiente linear.
2. O coeficiente a da funcao afim e chamado coeficiente angular oudeclive da reta.
Note que (0, b) e o ponto emque o grafico de f corta oeixo y. Zero de uma funcao afim
A funcao afim f(x) = ax + b se anula em x = − ba, pois como a 6= 0,
temos
ax+ b = 0 =⇒ ax = −b =⇒ x = − b
a.
✍ Exercıcio 1.4. Calcule as raizes das seguintes funcoes afim:
18
1. f(x) = 2x+ 3
2. f(x) = 3− x
3. f(x) =√2x+
√2
4. f(x) = −3x+ 5
Estudo do sinal da funcao do 1 grau
Sabemos que x = − bae o zero da funcao afim, f(x) = ax+ b. Em varias
ocasioes e necessario conhecer os valores de x tais que
f(x) > 0 e f(x) < 0.
Suponha que a > 0
f(x) = ax+ b > 0 ⇐⇒ ax > −b ⇐⇒ x > − b
a.
f(x) = ax+ b < 0 ⇐⇒ ax < −b ⇐⇒ x < − b
a.
Graficamente,
−✲
✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟
+q
− ba
Suponha que a < 0
f(x) = ax+ b > 0 ⇐⇒ ax > −b ⇐⇒ x < − b
a.
f(x) = ax+ b < 0 ⇐⇒ ax < −b ⇐⇒ x > − b
a.
Graficamente
−✲
❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍
+q
− ba
✍ Exercıcio 1.5.
1. Estude o sinal das seguintes funcoes:
(a) y = 2x+ 1
(b) y = 3− x
(c) y = 2− x3
(d) y = 4 + x
2. Encontre os valores de m de modo que
f(x) = (m+ 3)x− 2
seja crescente (e depois decrescente)
19
Funcao Quadratrica
A Funcao do 2 grau (ou quadratica) e uma funcao dada por:
f : R −→ R
x 7−→ ax2 + bx+ c,
onde a, b e c sao constantes (a 6= 0).
☞ Exemplo 1.15.
f(x) = x2 − 3x+ 2 onde a = 1, b = −3, c = 2
f(x) = −3x2 − 5x onde a = −3, b = −5, c = 0
f(x) = x2 − 4 onde a = 1, b = 0, c = −4
f(x) = (0, 23)x2 onde a = 0, 23, b = 0, c = 0
Grafico de uma Fucao do 2 Grau
O grafico de uma funcao do 2 grau e uma curva aberta chamada deparabola.
☞ Exemplo 1.16. Construir os graficos das seguintes funcoes do 2grau:
1. f(x) = x2 − 4x+ 3
Solucao:
x y
0 31 02 -13 04 3
0 1 2 3 4−1−20
−1
1
2
3
x
y
Observa-se pelo grafico que:
Im(f) = {y ∈ R|y ≥ −1} = [−1,+∞[
os zeros de f sao x1 = 1 e x2 = 3
20
2. f(x) =−1
2x2 + x
Solucao:
x y
-2 -40 01 1/22 04 -4
0 1 2 3 4−1−20
−1
−2
−3
1
x
y
Observa-se pelo grafico que:
Im(f) =]−∞, 1/2]
os zeros de f sao x1 = 0 e x2 = 2
Concavidade
A parabola representativa da funcao quadratica y = ax2+bx+c pode terconcavidade voltada “para cima”ou “para baixo”, dependendo do sinalde a.
Fato Importante
a > 0: concavidade voltada para cima.
a < 0: concavidade voltada para baixo.
Zeros da Funcao de 2 Grau
Dada a funcao do 2 grau f(x) = ax2 + bx + c, os valores de x tais quef(x) = 0 sao chamados raızes ou zeros de f(x), basta resolver a equacaodo 2 grau:
ax2 + bx+ c = 0
Formula de Baskara
∆ = b2 − 4ac
x =−b±
√∆
2aA ideia para demonstraresta formula e completar osquadrados.21
⊲ Observacao 1.2. A existencia de raızes reais para a equacao do 2 grauax2 + bx+ c = 0 fica condicionado ao fato
√∆ ∈ R
Assim, temos tres fatos a considerar:
1. ∆ > 0 =⇒ x1, x2 raızes reais e distintas
x1 =−b+
√∆
2ae x2 =
−b−√∆
2a
2. ∆ = 0 =⇒ x1, x2 raızes reais e iguais
x1 = x2 =−b
2a
3. ∆ < 0 =⇒ nao existem raızes reais.
Logo, o grafico e Im(f) dependem do numero a e ∆ = b2 − 4ac.
Vertice da Parabola
Toda parabola tem um ponto de ordenada maximo ou de ordenadamınimo. A esse ponto chamamos de vertice da parabola e denotamospor V (xv, yv).
Formula do Vertice
xv =−b
2a
yv =−∆
4a
Imagem de f
a > 0 ⇒ Im(f) =
{
y ∈ R | y ≥ −∆
4a
}
a < 0 ⇒ Im(f) =
{
y ∈ R | y ≤ −∆
4a
}
Funcao Polinomial
A Funcao Polinomial e uma funcao dada por:
f : R −→ R
x 7−→ anxn + · · ·+ a1 + a0,
onde
a0, a1, · · · , an ∈ R e an 6= 0
n = grau do polinomio.
22
Casos Particulares
grau 0:f : R −→ R
x 7−→ a0,(Funcao Constante)
grau 1:f : R −→ R
x 7−→ a1x+ a0.(Funcao Afim)
grau 2:f : R −→ R
x 7−→ a0 + a1x+ a2x2.
(Funcao Quadratica)
Alguns Exemplos de Graficos de Funcoes Polinomial de Graun ≥ 3
☞ Exemplo 1.17. Construir os graficos das seguintes funcoes:
1. f(x) = x3
Solucao:
x y
-2 -8-1 -10 01 12 8
0 1 2−1−2
x
y
2. f(x) = x3 − x
Solucao:
Observe que
f(x) = x3 − x = x(x2 − 1) = x(x+ 1)(x− 1)
Logo, as raızes de f sao x1 = −1, x2 = 0 e x3 = 1.
Estudo do Sinal de f :
x
23
0 1−1x
+
−
x− 1
0 1−1x
+
−
x+ 1
0 1−1x
+−
f(x)
0 1−1x
− ++−
0 1 2−1−2x
y
3. f(x) = x4 − 1
Solucao:
Observe que
f(x) = x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)
Logo, as raızes de f sao x1 = −1 e x2 = 1.
Estudo do Sinal de f :Note que o sinal de f e de-terminado pelo fator x2− 1.
0 1−1 x
++−−
Esboco do Grafico:
24
0 1 2−1−2 x
y
Para obter mais precisao noesboco do grafico precisa-mos de uma ferramenta im-portante do Calculo Dife-rencial: A Derivada !
Funcao Racional
A Funcao Racional e uma funcao dada por:
f : D(f) −→ R
x 7−→ p(x)q(x)
,
onde
p(x) , q(x) sao polinomios
D(f) = {x ∈ R | q(x) 6= 0} o domınio de f
☞ Exemplo 1.18. Construir os graficos das seguintes funcoes:
1. f(x) =1
x, x 6= 0 (Funcao Recıproca)
Solucao:
x y
2 1/21 11/2 2-1/2 -2-1 -1-2 -1/2
0 3−3 x
y
2. f(x) =1 + x
x= 1 +
1
x
Solucao:
x y
-1 01 2 0 3−3 x
y
Observe que neste exemplo,a funcao e uma translacaouma unidade para cima dafuncao recıproca.
25
Operacoes com Funcoes
Sejam f : A ⊂ R → R e g : B ⊂ R → R funcoes tais que A ∩ B
1. A soma de f e g e dada por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)Dom(f + g) = A ∩ B
2. O produto de f e g e dado por:
(f · g)(x) = f(x) · g(x)Dom(f · g) = A ∩ B
3. O quociente de f e g e dado por:
(f/g)(x) = f(x)g(x)
Dom(f/g) = {x ∈ A ∩ B : g(x) 6= 0}
4. O produto de f pela constante K, e dado por:
(K · f)(x) = K · f(x)Dom(K · f) = Dom(f)
☞ Exemplo 1.19. Sejam:
f : [−2, 2] −→ R
x 7−→√4− x2
eg : R −→ R
x 7−→ 3x+ 1..
Determine f + g , f.g , f/g e 2f .
Solucao:
(f + g)(x) =√4− x2 + (3x+ 1);
Dom(f + g) = [−2, 2]
(f.g)(x) =√4− x2.(3x+ 1);
Dom(f.g) = [−2, 2]
(f/g)(x) =
√4− x2
(3x+ 1);
Dom(f/g) = [−2, 2]−{1
3
}
2(f)(x) = 2√4− x2;
Dom(Kf) = [−2, 2]
Agora, estamos em condicoes de definir:
26
◮ Definicao 1.6. Uma Funcao Algebrica e uma funcao que podeser expressa em termos de somas, diferencas, produtos ou potencias depolinomios.
☞ Exemplo 1.20.
f(x) = 5x4 − 2 3√x+
x(x2 + 5)√x
, x ∈ R− {0}e uma funcao algebrica
Funcoes polinomiais, racionais sao funcoes algebricas.
✓ Nota 1.4. As funcoes que nao sao algebricas sao ditas Transcen-
dentes; por exemplo, as funcoes trigonometricas, as funcoes logaritmicasetc.
1.4 Exercıcios
1. Seja f(x) = x2. Calcule f(1),f(2) e f(3).
2. Sejaf(x) =
√x.
(a) Calcule f(1), f(4) ef(9).
(b) Existe f(−1)? Justifi-que.
3. Considere a funcao custo deproducao de uma determi-nada mercadoria
C(x) = 64x− 8x2,
onde x e mil unidades do pro-duto
(a) Calcule C(0), C(2),C(4), C(6) e C(8).
(b) Se a fabrica e limitadaa produzir de 0 ate 6unidades do produto, es-boce o grafico de C.
4. Seja
f(x) = 2x2 + 4x− 6.
(a) Esboce o grafico de f .
(b) Calcule f(−3), f(−1),f(0), f(1), f(3).
(c) Qual e o Dom(f)? E aIm(f)?
5. Seja
f(x) =
√
x+ 1
3− x.
Qual e o Dom(f)? Justifique.
6. Estude o sinal das seguintesfuncoes:
(a) f(x) = (2x− 1)(x2 + 1)
(b) f(x) =2− x
3− x
7. Determine o domınio de f(x):
(a) f(x) =−3
x− 9
(b) f(x) =√3x+ 2
(c) f(x) =3√x2 − x
(d) f(x) =√
x(2− 3x)
8. Dado f(x), esboce o grafico.Qual e Dom(f)?
(a) f(x) = 3x+ 1
27
(b) f(x) = −x2 + 2x− 1
9. Simplifique:
(a)4x2 − 9
2x+ 3
(b)(x+ h)2 − x2
h
10. Fatore o polinomio P (x)
(a) P (x) = x3 − 2x2 − x− 2
(b) P (x) = x3 + 2x2 − 3x
11. Determine a equacao da retaque passa pelo ponto (2,1) etem coeficiente angular iguala 3.
28
Capıtulo 2
A Derivada
Estabeleceremos neste capıtulo a nocao de derivada de uma funcao f eas regras basicas de derivacao.
2.1 Definicao de Limite e Propriedades
Investigaremos o comportamento de uma funcao f de uma variavel real avalores reais quando x se aproxima de a ∈ R, que pode ou nao pertencerao domınio da funcao.
☞ Exemplo 2.1. Conside
f(x) =x2 − 1
x− 1(x 6= 1), e a = 1.
Vejamos as seguintes tabelas:
x < 1 f(x)0,5 1,50,9 1,90,99 1,990,999 1,999
x > 1 f(x)2 31,5 2,51,1 2,11,01 2,01
Observamos que a medida que x se aproxima por valores maiores (oumenores) que 1, a funcao se aproxima e permanece proxima de 1. Sim-bolicamente, escrevemos:
limx→1
f(x) = 2.
◮ Definicao 2.1. Dizer que L e o limite de f(x) quando x tende a a, sef(x) se aproxima de um numero L quando x se aproxima de um numeroa tanto pela esquerda quanto pela direita, e escrevemos:
limx→a
f(x) = L.
⊲ Observacao 2.1. .
29
1. Geometricamente, a definicao acima significa que a ordenada dografico de f , y tende a L (y → L) quando x se aproxima de a(x → a).
2. O conceito de limite descreve o comportamento de uma funcaonas proximidades do ponto a, mas nao necessariamente no proprioponto a. Desse modo, se
limx→a
f(x) = L
temos tres casos que podem ocorrer:
(a) a ∈ Dom(f) e f(a) = L;
(b) a ∈ Dom(f) e f(a) 6= L; e
(c) f nao esta definida em a.
O que ira nos interessar e como f esta definida para valores numavizinhanca de a, e nao no proprio a.
O que motiva a seguinte definicao:
◮ Definicao 2.2. Dizemos que f e contınua em um ponto a se
limx→a
f(x) = f(a).
Ainda, dizemos que f e continua em I se f e continua em todo a ∈ I,onde I e um intervalo aberto.
Em palavras dizer que uma funcao e contınua e pensa-la de formaque grafico desta possa ser esbocado sem interrupcoes e/ou nao existempartes do seu grafico separadas uma das outras em seu domınio.
☞ Exemplo 2.2. Determine limx→2
f(x), e trace um esboco do grafico da
funcao.
1. f(x) = x+ 1, x ∈ R
Solucao:
limx→2
f(x) = limx→2
(x+ 1) = 3.
2. f(x) =x2 − x− 2
x− 2, x 6= 2
Solucao:
limx→2
f(x) = limx→
(x2 − x− 2
x− 2
)
= limx→2
(x+ 1) = 3.
30
Propriedades de Limites
➪ Teorema 2.1 (Unicidade do Limite). Se
limx→c
f(x) = L1 e limx→c
f(x) = L2,
entao L1 = L2.
Em palavras, o teorema anterior afirmar que quando o limite de umafuncao existe entao ele e unico.
➪ Corolario 2.1. Sejam f(x) e g(x) funcoes tais que f(x) = g(x) excetoem a ∈ R. Se
limx→a
f(x) = L1 e limx→a
g(x) = L2,
entao L1 = L2
O corolario anterior nos permite realizar simplificacoes algebricas nafuncao antes de calcular o limite. Veja o seguinte exemplo:
☞ Exemplo 2.3. Considere as seguintes funcoes:
f(x) =x2 − 9
x− 3(x 6= 3), e g(x) = x+ 3.
Observe que para x 6= 3:
f(x) =x2 − 9
x− 3
=(x− 3)(x+ 3)
(x− 3)
= x+ 3 = g(x).
Entao,
limx→3
f(x) = limx→3
x2 − 3
x− 3= lim
x→3(x+ 3)
= limx→3
g(x) = 6
✍ Exercıcio 2.1. Calcule os limites abaixo:
1. limx→2
x3 − 8
x− 2
2. limx→1
2x2 − x− 1
x− 1
31
Propriedades Operatorias
A seguir estudaremos algumas propriedades que serao uteis para o calculodo Limite.
➪ Proposicao 2.1 (Propriedades Operatorias). Suponha que
limx→a
f(x) = L e limx→a
g(x) = M
existem, entao
1. limx→a
(f(x) + g(x)) = L+M ;
2. limx→a
(f(x) · g(x)) = L ·M ;
3. limx→a
(f(x)/g(x)) = L/M , se M 6= 0;
4. limx→a
f(x)n = Ln, se n ∈ N;
5. limx→a
n
√
f(x) =n√L desde que L > 0 e n ∈ N∗, ou L < 0 e n ∈ N∗
impar.
6. limx→a
|f(x)| = |L|
Usaremos as propriedades dos limites para calcular os limites defuncoes algebricas.
☞ Exemplo 2.4. Suponha que
limx→2
f(x) = 4 e limx→2
g(x) = 3.
Determine cada limite abaixo:
1. limx→2
[f(x) + g(x)]
2. limx→2
[2f(x)− 3g(x)]
3. limx→2
√
f(x) · g(x)
4. limx→
[f(x)
g(x)
]
Solucao:
1. Pelas propriedades operatorias:
limx→2
[f(x) + g(x)] = limx→2
f(x) + limx→2
g(x)
= 4 + 3 = 7.
32
2. Pelas propriedades operatorias:
limx→2
[2f(x)− 3g(x)] = 2 limx→2
f(x)−−3 lim
x→2g(x)
= 2 · 4− 3 · 3 = −1.
3. Pelas propriedades operatorias:
limx→2
√
f(x) · g(x) =√
limx→2
f(x) · g(x)
=√4 · 3 = 2
√3.
4. Pelas propriedades operatorias:
limx→2
[f(x)
g(x)
]
=limx→2
f(x)
limx→2
g(x)
=4
3.
Ainda, serao uteis os seguintes limites:
➪ Proposicao 2.2 (Limites Elementares). .
1. limx→c
k = k, onde k e uma constante;
2. limx→c
x = c.
✍ Exercıcio 2.2. Calcule os Limites:
1. limx→1
(x+ 3)
2. limx→2
(x2 + 5x+ 6)
3. limx→1
x2 + 5x
x− 2
4. limx→3
(x2 + 3)(x− 1)
5. limx→−1
(x3 − 5x2 + 3x− 1)6
6. limx→−1
3√3x− 5
Limites de Funcoes Polinomiais e Funcoes Racionais
As propriedades operatorias sobre limites permite obter o seguinte resul-tado util para o calculo de limites de funcoes polinomiais e racionais.
➪ Teorema 2.2. Se p(x) e q(x) sao polinomios, entao
1. limx→a
p(x) = p(a)
2. limx→a
p(x)
q(x)=
p(a)
q(a)se q(a) 6= 0.
33
✍ Exercıcio 2.3. Calcule os seguintes limites:
1. limx→1
(x5 + x4 + x3 + x3 + x2 + x+ 1)
2. limx→3
x− 5
x3 − 7
3. limx→1
x2 + x+ 1
x+ 1
2.2 Derivada de y = f (x)
Motivacao para Definicao de Derivada
Para motivar a definicao de derivada, vamos comecar investigando o pro-blema de como se determinar o coeficiente angular da reta tangente aografico de f .
☞ Exemplo 2.5. Seja P = (a, f(a)) um ponto no grafico de uma funcaof . Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de f em P .
Solucao:
Observe que uma reta fica bem determinada se temos sua inclinacao eum ponto sobre a reta. Temos que o ponto P = (a, f(a)) pertence areta tangente, para determinar a equacao da reta tangente r precisamosapenas da inclinacao; assim considere a reta secante s que passa porP = (a, f(a)) e Q = (x, f(x)), cujo coeficiente angular de s e dado por
ms =f(x)−f(a)
x−a.
x
y
Quando x → a, o ponto Q se move sobre o grafico de f tendendo ao pontoP . Logo, quando x → a, a inclinacao da reta secante tende a inclinacaoda reta tangente, ou seja:
ma = limx→a
f(x)−f(a)x−a
34
O exemplo anterior motiva a seguinte definicao sobre reta tangente:
◮ Definicao 2.3. A reta que passa por a, f(a) e tem coeficiente angular:
ma = limx→a
f(x)−f(a)x−a
e chamada de reta tangente ao grafico de f em (a, f(a)).
⊲ Observacao 2.2. .
1. Fazendo h = x− a, temos que:
x → a ⇐⇒ h → 0
Entao:
ma = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
2. Como a e um ponto arbitrario, podemos calcular o coeficiente an-gular da reta tangente ao grafico de f em qualquer ponto (x, f(x))
mx = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
Assim, mx so depende de x.
3. Se f for contınua em a, entao a equacao da reta tangente ao graficode f no ponto (a, f(a)) e
y − f(a) = ma(x− a)
se o limite existir.
☞ Exemplo 2.6. Determine a equacao da reta tangente em (a, f(a))sendo dados:
1. f(x) = x2, a = 1
2. f(x) =√x− 3, a = 7
Solucao:
1. Observe que
Ponto P :a = 1 =⇒ f(1) = 1 Logo, P = (1, 1).
Inclinacao:
m = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h− lim
h→0(2 + h) = 2
35
Reta Tangente:y − 1 = 2(x− 1).
2. Observe que
Ponto P :
a = 7 =⇒ f(7) =√7− 3 =
√4 = 2
Inclinacao:
m = limh→0
f(7 + h)− f(7)
h
= limh→0
√4 + h− 2
h· (√4 + h+ 2)
(√4 + h+ 2)
= limh→0
4 + h− 4
h(√4 + h+ 2)
=1
4
Reta Tangente:
y − 2 =1
4(x− 7)
Definicao de Derivada
Seja f : I → R uma funcao onde I ⊂ R e um intervalo aberto ou reuniaode intervalos abertos.
◮ Definicao 2.4. .
1. A derivada de uma funcao y = f(x) em a e dada por
f ′(a) = limh→0
f(a+h)−f(a)h
desde que o limite exista. Neste casa, dizemos que f e diferenciavelem a.
2. Dizemos que f e diferenciavel (ou derivavel) em I ⊂ R, se f ediferenciavel em cada ponto a ∈ I.
☞ Exemplo 2.7. Seja
f : R −→ R
x 7−→ x2 − 3
Calcule:
1. f ′(1)
2. f ′(x)
3. f ′(3)
Solucao:
36
1. Observe que
f ′(1) = limh→0
f(1 + h)− f(1)
h
= limh→0
(1 + h)2 − 3 + 2
h
= limh→0
2h+ h2
h= 2
2. Observe que
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
(x+ h)2 − 3− x2 + 3
h
= limh→0
2xh+ h2
h= 2x
3. Segue de (b) f ′(3) = 2(3) = 6
⊲ Observacao 2.3. A reta de equacao
y − f(a) = f ′(a)(x− a))
e, por definicao, a reta tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)). As-sim, a derivada de f em a, e o coeficiente angular da reta tangente aografico de f no ponto de abscissa a.
✍ Exercıcio 2.4. Seja f(x) = mx+ n (m 6= 0). Pensando geometrica-mente, qual o valor que voce espera para a derivada de f em a ∈ Dom(f)?Calcule f ′(a).
2.3 Tecnicas de derivacao
Formulas de Derivacao
➪ Teorema 2.3. Sao validas as formulas de derivacao:
1. f(x) = c (c constante) =⇒ f ′(x) = 0
2. f(x) = x =⇒ f ′(x) = 1
3. f(x) = mx+ n =⇒ f ′(x) = m
4. f(x) = 1x=⇒ f ′(x) = −1
x2
5. f(x) =√x =⇒ f ′(x) = 1
2√x
☞ Exemplo 2.8. Dado f(x), calcule:
1. f(x) = x
Solucao:
f ′(x) = 1
2. f(x) = 2x− 3
37
Solucao:
f ′(x) = 2
3. f(x) = −4
Solucao:
f ′(x) = 0
4. f(x) = x+ 1
Solucao:
f ′(x) = 1
➪ Teorema 2.4 (Derivadas da funcao pontencia). Seja α ∈ R, α 6= 0.Entao,
f(x) = xα ⇒ f ′(x) = αxα−1.
☞ Exemplo 2.9. Dados f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = x4
Solucao:
f ′(x) = 4x3
2. f(x) = x−3
Solucao:
f ′(x) = −3x−4.
3. f(x) = 1x5
Solucao:
f ′(x) = 5x−6.
4. f(x) =√x
Solucao:
f ′(x) = 12√x.
5. f(x) = x100
Solucao:
f ′(x) = 100x99.
Regras de Derivacao
Observe que
(f + g)′(x) = limh→0
(f + g)(x+ h)− (f + g)(x)
h
= limh→0
f(x+ h) + g(x+ h)− f(x)− g(x)
h
= limh→0
{f(x+ h)− f(x)
h+
g(x+ h)− g(x)
h
}
= limh→0
(f(x+ h)− f(x)
h
)
+ limx→a
(g(x+ h)− g(x)
h
)
= f ′(a) + g′(a)
Logo, f e derivavel em a, e vale
(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)
Mais geralmente, temos o seguinte Teorema:
38
➪ Teorema 2.5. Sejam f e g diferenciavel em a. Entao:
1. (Regra da Soma) a funcao f ± g e diferenciavel em a, e
(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).
2. (Regra do Produto) a funcao f · g e diferenciavel em a, e
(f · g)′(a) = f(a)g′(a) + f ′(a)g(a).
3. (Regra do Quociente:) a funcao f/g em a se g(a) 6= 0, e
(f
g
)′(a) = f ′(a)g(a)−f(a)g′(a)
g(a)2.
⊲ Observacao 2.4.
1. A notacao [f(x)]′ e usada com frequencia para indicar a derivadade f(x) em x.
2. Segue da regra do produto por derivadas: se K e uma constante,entao
[Kf(x)]′ = 0 · f(x) +Kf ′(x)
= Kf ′(x)
3. Segue da regra do quociente para derivadas:
[1
g(x)
]′
=0 · g(x)− g′(x)
g(x)2
=−g′(x)
g(x)2
☞ Exemplo 2.10. Dado f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = x3 + 5x2 − 3x− 1
Solucao:
f ′(x) = 3x2 + 10x− 3
2. f(x) = (x2 + 3)(x3 − 2x+ 7)
Solucao:
39
f ′(x) = 2x(x3 − 2x+ 7) + (x2 + 3)(3x2 − 2)
3. f(x) = x3−2xx2
Solucao:
Observe que
f(x) = x− 2x−1
Entao
f ′(x) = 1 + 2x−2
4. f(x) = x3
2 − 3x
Solucao:
f ′(x) =3
2x
1
2 − 3
✎ Notacao 2.1.
f ′(x) ou dy
dxou Dxf
Sejam u = u(x) e v = v(x) funcoes diferenciaveis em um conjunto A, ec uma constante. Entao para todo x ∈ A:
1. ddx[c · u] = cdu
dx
2. ddx[u+ v] = du
dx+ dv
dx
3. ddx[u · v] = u dv
dx+ v du
dx
4. ddx
[uv
]=
v du
dx−u dv
dx
v2(v 6= 0)
1. Dx(c · u) = cDxu
2. Dx(u+ v) = Dxu+Dxv
3. Dx(u · v) = u ·Dxv + v ·Dxu
4. Dx
(uv
)= v·Dxu−u·Dxv
v2
Note que usualmente escre-vemos uma funcao por y =y(x), onde y e a variavel de-pendente e x a variavel in-dependente. ✍ Exercıcio 2.5.
1. Calcule a derivada das se-guintes funcoes:
(a) y = 5x3 + 6x− 1
(b) x = 2tt+1
2. Calcule:
(a) ddx[x2 − 5x]
(b) ddt[(t5 + 7)]
3. Determine a equacao da retatangente ao grafico de:
(a) f(x) = x3 − 4 no ponto(2, f(2))
(b) f(x) = (x5−x) no ponto(0, f(0))
40
Regra da Cadeia
☞ Exemplo 2.11. Seja y = u3, onde u = u(x) e uma funcao derivavel.Verifique
dy
dx= 3u2du
dx
Solucao:
Observe que
dy
dx=
d
dx[u · u2]
= u2du
dx+ u
d
dx[u2]
= u2du
dx+ u
{
udu
dx+ u
du
dx
}
= 3u2du
dx
☞ Exemplo 2.12. Dado f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = (2x+ x3)3
Solucao:
d
dx
[(2x+ x3)3
]= 3(2x+ x3)(2 + 3x)
2. f ′(x) = (x3 − x)2
Solucao:
d
dx
[(x3 − x)2
]= 2(x3 − x)(3x2 − 1)
As manipulacoes dos exemplos anteriores podem se tornar bastantetrabalhosas ou enviaveis de serem calculadas pelas regras que temos ateagora. Como, por exemplo, podemos derivar as seguintes funcao
F (x) = (x7 − 5x3 + x− 1)100
A seguir, estabeleceremos uma regra para o calculo da derivada de umafuncao composta g ◦ f , chamada de regra da cadeia.
➪ Teorema 2.6. Sejam f : A → B e g : B → R, onde Im(f) ⊂ B. Sef e derivavel em A e g e derivavel em B, entao g ◦f : A → R e derivavelem A, e vale
(g ◦ f)′(x) = g′[f(x)] · f ′(x)
41
✎ Notacao 2.2 (Leibniz). Considere
u = f(x) e y = g(u).
Entao,
(g ◦ f)′(x) = dy
dx
g′(f(x)) = g′(u) = dy
dx
f ′(x) = dudx
Logo, a regra da cadeia fica:
dy
dx=
dy
du· dudx
☞ Exemplo 2.13. Calcule a derivada das seguintes funcoes:
1. y = (x2 − 3x)3
2
Solucao:
dy
dx=
3
2(x2 − 3x)
1
2 (2x− 3)
2. y = (x5 + 4x3 + 3)1000
Solucao:
dy
dx= 1000(x5 + 4x3 + 3)999(5x4 + 12x2)
3. y = 3√x− x2
Solucao:
dy
dx=
1− 2x
3 3
√
(x− x2)2
☞ Exemplo 2.14. Seja f : R → R uma funcao diferenciavel, e sejag(x) = f(x3 − x). Suponha que f ′(0) = 4, calcule g′(1).
Solucao:
Como f e diferenciavel, temos pela Regra da Cadeia,
g′(x) = f ′(x3 − x) · (3x2 − 1).
Em x = 1, temos
g′(1) = f ′(13 − 1 · (3.12 − 1) = f ′(0)2 = 8
Resp:g′(1) = 8.
42
2.4 Exercıcios
1. Seja f(x) = x2 − 3x+ 1. Cal-cule:
(a) f ′(1)
(b) f ′(0)
(c) f ′(x)
2. Dados g(x), calcule g′(x).
(a) g(x) = 4√x
(b) g(x) = 9√x
(c) g(x) = 14√x
3. Calcule a derivada de cadafuncao aplicando as regrasoperatorias para a derivacao.
(a) f(x) = x5 − 3x3 + 1
(b) f(x) =x10
10+
x5
5+ 6
(c) f(t) = t8 − 2t7 + 3t+ 1
(d) F (x) =3
x2+
4
x
(e) f(y) =5
y5− 25
y
(f) g(x) = 3x−2 − 7x−1 + 6
(g) f(x) =2
5x−
√2
3x2
(h) F (x) = x2(3x3 − 1)
(i) G(x) = (x2 + 3x)(x3 −9x)
(j) f(y) = (2y− 1)(4y2 + 7)
(k) f(x) = (x3 − 8)(2x− 1
)
(l) g(x) =
(1
x2+ 3
)(2
x3+ x
)
(m) f(x) =2x+ 7
3x− 1
(n) g(x) = 2x2+x+1x2−3x+2
4. Suponha que f , g e h sejamfuncoes diferenciaveis em x =2 tais que f(2) = −1, f ′(2) =2, g(2) = −5, g′(2) = 1,h(2) = 2, e h′(2) = 3. Use asregras de derivacao´para cal-cular:
(a) (f + g + h)′(2)
(b) (2f − g + 3h)′(2)
(c) (fgh)′(2)
43
Capıtulo 3
Derivacao Implıcita, TaxasRelacionadas e Diferencial
3.1 Derivacao Implıcita
As funcoes com as quais trabalhamos ate o momento, sao todas da formaexplicıta, ou seja, y = f(x).
☞ Exemplo 3.1. .
1. y = ex2+1 + 2x4 − 3x
2. y =√1− x2 + 5
Agora, consideraremos uma funcao dada pela equacao nas variaveisx e y, isto e
(3.1) F (x, y) = 0.
◮ Definicao 3.1. Dizemos que y = f(x) e dado implicitamente se(x, f(x)) e solucao da equacao (3.1) para todo x ∈ Dom(f)).
☞ Exemplo 3.2. .
1. A equacao x+ y − 2 = 0, define implicitamente y = 2− x em R
2. A equacao x2 + y2 = 1, define implicitamente y =√1− x2 (e dado
que tambem y = −√1− x2).
Agora, queremos calcular a derivada, dy
dx, sabendo que y = f(x) e
dado implicitamente pela equacao F (x, y) = 0. Vejamos esta tecnica pormeio de um exemplo:
☞ Exemplo 3.3. Calcule dy
dxpara a funcao:
x2y + y2 = x3
44
Solucao:
1. Derivamos os dois membros da equacao em relacao a x:
Dx(x2y + y2) = Dx(x
3)
⇓Dx(x
2y) +Dx(y2) = Dx(x
3)
2. Lembrando que y = f(x) e usando as regras operatorias e da cadeia:
x2y′ + 2xy + 2yy′ = 3x2
⇓y′(x2 + 2y) = 3x2 − 2xy
⇓
y′ = 3x2−2xyx2+2y
Determinacao da Derivada Implıcita
Suponha que y = f(x) e dado implicitamente pela equacao
F (x, y) = 0
como uma funcao derivavel de x. Para calcular dy
dx:
1. Derive ambos os membros com relacao a x
2. Lembre-se que y = f(x) e use a regra da cadeia
3. Explicite dy
dxna equacao resultante
☞ Exemplo 3.4. Determine o coeficiente angular da reta tangente aocirculo
x2 + y2 = 25
no ponto (3, 4). E o ponto (3,−4) ?
Solucao:
Derivando Implicitamente
Dx(x2 + y2) = Dx(25)
⇓2x+ 2yy′ = 0
⇓dy
dx=
−x
y
45
Coeficiente angular da reta no ponto (3, 4).
dy
dx
∣∣∣∣∣x=3 y=4
=−x
y
∣∣∣∣∣x=3 y=4
=−3
4
Coeficiente angular da reta no ponto (3,−4).
dy
dx
∣∣∣∣∣x=3 y=−4
=−x
y
∣∣∣∣∣x=3 y=−4
=3
4
☞ Exemplo 3.5. Sabendo que xy+x2y2+3x2 = 2 define y como funcaode x. Achar dy
dx
Solucao:
Derivando Implicitamente
Dx(xy + x2y2 + 3x2) = Dx(2)
⇓y + xy′ + 2xy2 + 2x2yy′ + 6x = 0
⇓(x+ 2x2y)y′ = −y − 6x− 2xy2
⇓dy
dx= −y + 6x+ 2xy2
x+ 2x2y
3.2 Taxas Relacionadas
Seja y = f(x) uma funcao. A razao incremental
∆y
∆x=
f(x+∆x)− f(x)
∆x
e tambem, denominada a Taxa de Variacao Media de y entre x ex + ∆x. Por outro lado, a derivada de f em x e a taxa de variacaoinstantanea de f em x:
dy
dx= lim
∆x→0
∆y
∆x
Agora, vamos nos referir a dy
dxapenas como a taxa de variacao de y em
relacao a x.
⊲ Observacao 3.1. Para ∆x suficientemente pequeno
f ′(x) ≈ ∆y
∆x⇐⇒ ∆y ≈ f ′(x) ·∆x
Assim, para f ′(x) ·∆x e uma estimativa para ∆y em y.
46
O nosso objetivo e estudar problemas envolvendo variaveis x e y quevariam com o tempo t.
☞ Exemplo 3.6 (Motivacao). Suponha que x e y estejam relacionadospela equacao
y = x3 − x
onde
x = x(t)
y = y(t)
Entao existe uma relacao entre suas taxas de variacao. De fato, bastaobservar que
as variaveis x e y estao relacionadas por
y = x3 − x
as taxas de variacao de x e y estao relacionadas por:
dy
dt= (3x2 − 1)
dx
dt
O exemplo anterior ilustra o fato de que quando duas variaveis estaorelacionadas, suas taxas de variacao tambem estarao relacionadas. Agora,vamos fazer varios exemplos de aplicacoes de taxas relacionadas. Fisicamente,
1. A velocidade v, no ins-tante t, e dado pelo li-mitev(t) = lim
∆t→0
x(t+∆t)−x(t)∆t
2. A aceleracao a, no ins-tante t, e dado pelo li-mitea(t) = lim
∆t→0
v(t+∆t)−v(t)∆t
Decore da definicao:
v(t) = dxdt
a(t) = dvdx
= d2xdt2
☞ Exemplo 3.7. O raio r de uma esfera esta variando com o tempo, auma taxa constante de 5 m/s. Com que taxa estara variando o volumeda esfera no instante que r = 2m ?
Solucao:
Equacao: V = 43π r3
Taxa dada: drdt
= 5 m/s
Problema: Calcular drdt
∣∣t=t0
quando r(t0) = 2
Entao, derivando a equacao, obtemos:
dv
dt=
d
dt
[4
3π r3
]
⇓dv
dt=
4
3π(3r2)
dr
dt︸︷︷︸
5
⇓
47
dv
dt= 4πr2 · 5
⇓
dv
dt= 20πr2
Em t = t0, temos:
dv
dt
∣∣∣∣t=t0
= 20πr2(t0)
= 20π · 22 = 80π m/s
☞ Exemplo 3.8. Uma escada com 5m esta encostada em uma parede.Se a base da escada e afastada a 1m/s . Qual a velocidade com que otopo da escada escorrega pela parede quando a base esta a 4m da parede?
Solucao:
Equacao: x2 + y2 = 25 (⋆)
Taxa dada: dxdt
= 1 m/s
Problema: Calculardy
dt
∣∣t=t0
quando x(x0) =4 ?
Entao, derivando a equacao (⋆):
Dt(x2 + y2) = Dt(25)
⇓
2xdx
dt︸︷︷︸
1
+2ydy
dt= 0
⇓
dy
dt=
−x
y
Em t = t0, temos :
dy
dt
∣∣∣∣t=t0
=−x
y
∣∣∣∣t=t0
= −4
3m/s
48
3.3 Diferencial
Como vimos o Calculo Diferencial e Integral e uma ferramenta muitoutil em muitas utras areas. Agora, o nosso objetivo e mostrar como aderivada pode ser usada para estudar taxas de variacao que envolvemgrandezas economicas.
◮ Definicao 3.2. Seja y = f(x) uma funcao diferenciavel.
1. A diferencial dx da variavel independente x e dado por
dx = ∆x
2. A diferencial dy da variavel dependente y e dado por
dy = f ′(x)dx
Suponha que y = f(x) e diferenciavel em x, entao existe o limite
dy
dx= lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
= lim∆x→0
∆y
∆x.
Entao, considerando ∆x suficientemente pequeno, temos
∆y
∆x≈ f ′(x) ⇔ ∆y ≈ f ′(x) ∆x
︸︷︷︸
dx︸ ︷︷ ︸
dy
⊲ Observacao 3.2.
1. Se y = f(x) e diferenciavel, entao
dy
dx=
f ′(x)dx
dx= f ′(x).
Logo, vamos interpretar a derivada como um quociente de diferen-ciais.
2. A diferencial dy e uma funcao linear de dx, e consequentementemais facil de calcular do que ∆y.
3. Se ∆x ≈ 0, entao ∆y ≈ dy, de modo que
f(x+∆x)− f(x) ≈ dy
⇓f(x+∆x) ≈ f(x) + dy
Entao, temos uma formula de aproximacao:
f(x+∆x) ≈ f(x) + f ′(x)dx
Alem disso, essa aproximacao sera tao boa na medida que dx esuficientemente pequeno, isto e, o erro da aproximacao dado por∆y − dy ≈ 0 sera tao pequeno na medida que dx ≈ 0.
49
☞ Exemplo 3.9. Dado f(x), calcule ∆y, dy e ∆y − dy.
1. f(x) = 4x2 − 3x+ 1
Solucao:
Observe que
f(x+∆x) = 4(x+∆x)2 − 3(x+∆x) + 1
= 4(x2 + 2x∆+∆x2)− 3x− 3∆x+ 1
= 4x2 + 8x∆x+ 4∆x2 − 3x− 3∆x+ 1
Entao,
∆y = f(x+∆)− f(x) = (8x− 3)∆x+ 4∆x2
dy = f ′(x)dx = (8x− 3)dx
Logo,∆y − dy = 4(dx)2.
2. f(x) = x3 + 2
Solucao:
Observe que
f(x+∆x) = (x+∆x)3 + 2
= x3 + 3x2∆x+ 3x∆x2 +∆x3 + 2
Entao,
∆y = f(x+∆)− f(x) = 3x2∆x+ (3x+∆x)∆x2
dy = f ′(x)dx = (3x2)dx
Logo,∆y − dy = (3x+ dx)(dx)2.
✍ Exercıcio 3.1.
1. Seja A(l) = l2, a area de uma quadrado de lado l.
(a) Calcule a diferencia dA.
(b) Interprete geometricamente ∆A− dA.
2. Determine um formula aproximada para a area de uma coroa cir-cular de raio r e largura dr. Qual seria a formula exata.
50
Vejamos exemplos que mostre que a diferencial e muitas vezes convi-niente para propositos de aproximacao numerica.
☞ Exemplo 3.10.
1. Encontre uma formula de aproximacao para a raiz quadrada.
Solucao:
Consideref : [0,+∞[ −→ R
x 7−→ √x
Calculo da Derivada:
f ′(x) =1
2√x
Entao, √x+ dx ≈ f(x) + f ′(x)dx.
2. Calcule um valor aproximado para
(a)√50
Solucao:
Considere x = 49 e dx = 1, entao
√50 ≈ f(49) + f ′(49) · 1
≈√49 +
1
2√49
≈ 7 +1
2 · 7≈ 7 + 0, 0714285
≈ 7, 0714285
(b)√37, 5
Solucao:
Considere x = 36 e dx = 1, 5, entao
√
37, 5 ≈ f(36) + f ′(36)(1, 5)
≈√36 +
1
2√36
(1, 5)
≈ 6 +1
8≈ 6 + 0, 125
≈ 6, 125
✍ Exercıcio 3.2.
51
1. Use diferenciais para encontrar um valor aproximado para as se-guintes expressoes:
(a)√66
(b) 3√120
(c)√98
(d) 1√51
2. Sabendo que ln 10 = 2, 303. Usando diferenciais, encontre um valoraproximado para ln 10, 2.
Formulas para Diferenciais
As formulas para o calculo das diferenciais sao obtidas multiplicandoambos os lados das formulas para o calculo das derivadas por dx. Parau, v funcoes diferenciaveis e c constante, temos:
d(c) = 0
d(cu) = cdu
d(u+ v) = du+ dv
d(u
v
)
=vdu− udv
v2
d(un) = nun−1du (n 6= −1)
A operacao de diferenciacao e estendida para incluir o processo que levaa determinacao da diferencial bem como a derivada.
☞ Exemplo 3.11. Dado
y =x
x+ 1.
encontre dy.
Solucao:
dy = d
(x
x+ 1
)
=(x+ 1)dx− xd(x+ 1)
(x+ 1)2
=xdx+ dx− xdx
(x+ 1)2
=dx
(x+ 1)2
✍ Exercıcio 3.3.
52
1. Encontre a diferencial das seguintes funcoes
(a) y = x3 − 3x
(b) y =√ax+ b
(c) y = x2−13x
2. Seja x2 + y2 = a2. Mostre que
dy = −xdx
y
3.4 Exercıcios
1. Expresse dy
dxem termos de x
e y, onde y = f(x) e umafuncao diferenciavel dada im-plicitamente pela equacao:
(a) x2 − y2 = 4
(b) xy2 + 2y = 3
(c) x2 + 4y2 = 3
(d) x2 + y2 + 2y = 0
2. Se a area de um circulo e cres-cente a uma taxa constantede 4 (cm/s2), a que taxa estacrescendo o raio no instanteem que o raio e de 5(cm)?
3. Duas rodovias interceptam-seperpendicularmente. O carroA numa rodovia esta a 1
2km
da intersecao e se move a umarazao de 96 km/h, enquanto ocarro B na outra rodovia estaa 1 km da intersecao e cami-nha para ela a uma razao de120 km/h. A que razao estavariando a distancia entre osdois carros neste instante?
4. Determine as equacoes dasretas tangente e normal aografico da funcao dada, noponto indicado.
(a) f(x) = x2−3x, no pontode abscissa 0.
(b) f(x) = 3√x, no ponto de
abscissa 8.
(c) g(x) = 1x2 , no ponto de
abscissa 1.
(d) g(x) = x + 1x, no ponto
de abscissa 1.
5. Calcule a diferencial.
(a) y = x3
(b) y = x2 − 2x
(c) y = xx+1
(d) y = 3√x
(e) y = x3 + x2 + x+ 1
6. Use diferenciais para aproxi-mar:
(a)√50
(b)√37, 5
(c)√16, 01,
(d) e0,01
(e) ln(0, 99)
7. Seja A(l) = l2, l > 0.
(a) Calcule a diferencial.
(b) Interprete geometrica-mente ∆A− dA.
53
Capıtulo 4
Otimizacao
Nessa capitulo vamos aplicar a derivada para encontrar o maior ou menorvalor que uma determinada funcao.
4.1 Maximos e Mınimos
Sejam y = f(x) uma funcao, e x0 ∈ Dom(f).
0 1 2 3 4−1−2−3−40
−20
−40
−60
20
40
60
x
y
◮ Definicao 4.1.
54
1. Dizemos que x0 e um ponto de maximo local de f , quando existeum intervalo aberto I contendo x0 tal que
f(x) ≤ f(x0) (∀ x ∈ I ∩Dom(f))
2. Dizemos que x0 e um ponto de mınimo local de f , quando existeum intervalo aberto I contendo x0 tal que
f(x0) ≤ f(x) (∀ x ∈ I ∩Dom(f))
3. Dizemos que x0 e um ponto de maximo global de f , quando
f(x) ≤ f(x0) (∀x ∈ Dom(f)
4. Dizemos que x0 e um ponto de mınimo global de f , quando
f(x0) ≤ f(x) (∀x ∈ Dom(f)
◮ Definicao 4.2.
1. Dizemos que f(x0) e um valor maximo local (respectivamente maximoglobal) se x0 e um ponto de maximo local (respectivamente maximoglobal) de f .
2. Dizemos que f(x0) e um valor mınimo local (respectivamente mınimoglobal) se x0 e um ponto de mınimo local (respectivamente mınimoglobal) de f .
◮ Definicao 4.3.
1. Dizemos que x0 e um extremo local (ou relativo) de f se x0 e umponto de maximo ou mınimo local.
2. Dizemos que x0 e um extremo global (ou absoluto) de f se x0 e umponto de maximo ou mınimo global.
☞ Exemplo 4.1. .
1. Consideref : R −→ R
x 7−→ x2
x
y
55
Observe que
f(0) = 0 ≤ x2 = f(x) (∀x ∈ R)
Logo x0 = 0 e o unico extremo local de f (mınimo local)
2. Considere
g : R −→ R
x 7−→ −x2
x
y
Observe que
g(0) = 0 ≥ −x2 = g(x) (∀x ∈ R)
Logo x0 = 0 e o unico extremo local de f (mınimo local)
Vejamos uma condicao necessaria para pontos extremos, mas naosufuciente.
Condicao Necessaria para Maximos e Mınimos Locais
➪ Teorema 4.1. Sejam
1. f : I → R diferenciavel, onde I ⊂ R e um intervalo aberto.
2. x0 e um ponto de maximo ou mınimo local de f .
Entaof ′(x0) = 0.
56
Interpretacao Geometrica:
0 1 2 3 4−1−2−3−40
−1
−2
−3
−4
1
2
3
4
x
y
O que motiva:
◮ Definicao 4.4. Dizemos que um ponto x0 ∈ Dom(f) e um pontocrıtico (ou estacionario de f se)
f ′(x0) = 0
✍ Exercıcio 4.1. Determine os pontos crıticos da funcao dada:
1. f(x) = x3 + x2 − x
Solucao:
Calculo da Derivada
f ′(x) = 3x2 + 2x− 1
Pontos Crıticos
3x2 + 2x− 1 = 0
x =−4±
√
4− 4 · 3 · (−1)
2 · 3Logo, os pontos crıticos sao x1 = −5 e x = 1/3.
2. f(x) = −2x3
3+ x
2+ x+ 5
Solucao:
57
Calculo da Derivada
f ′(x) = −2x2 + x+ 1
Pontos Crıticos
−2x2 + x+ 1 = 0
x =−1±
√
1− 4 · (−2) · 12 · (−2)
Logo, os pontos crıticos sao x1 = 1 e x2 = −1/2.O teorema ao lado afirmaque se x0 ∈ Dom(f) eum “ponto interior”e f dife-renciavel em x0, entao umacondicao necessaria paraque x0 seja um ponto ex-tremo e f ′(x0) = 0, mas naodiz se o ponto realmente eum extremo local de f .
☞ Exemplo 4.2.
1. y = ax2 + bx+ c (a > 0) admite um mınimo global no xv = − b2a.
2. y = ax2 + bx+ c (a < 0) admite um maximo global no xv = − b2a.
Determinacao de Maximos e Mınimos Locais
O primeiro passo na determinacao dos extremos locais constitui em de-terminar os pontos crıticos para f . Uma vez que estes pontos serao os“candidatos possıveis”a extremo local; entretanto, cada ponto crıtico pre-cisa ser testado para ver quando f realmente possui um extremo local la.Para tal, vamos usar os seguintes teste:
Teste da Derivada Primeira
➪ Teorema 4.2. Sejam y = f(x) uma funcao contınua no intervaloaberto I e x0 ∈ I. Suponha que f seja diferenciavel em I exceto, possi-velmente, em x0. Temos que:
1. f ′(x) > 0 para todo x < x0 e f ′(x) < 0 para todo x > x0, entao x0
e ponto de maximo local de f ;
2. f ′(x) < 0 para todo x < x0 e f ′(x) > 0 para todo x > x0, entao x0
e ponto de mınimo local de f .
☞ Exemplo 4.3. Determine os pontos de maximo e mımimo locais (casoexistam)
1. f(x) = x3 − 3x2 + 1
Solucao:
Calculo da Derivada
f ′(x) = 3x2 − 6x = 3(x2 − 2x)
58
Pontos Crıticos
x(x− 2) = 0
Logo, os pontos crıticos x1 = 0 e x2 = 2.
Teste da Derivada Primeira
✲+ +
q
0q
2− Estudo do Sinal de f ′(x).Assim,
x < 0 =⇒ f ′(x) > 0
x > 0 =⇒ f ′(x) < 0
x < 2 =⇒ f ′(x) < 0
x > 2 =⇒ f ′(x) > 0
Logo, pelo Teste da Derivada Primeira, x1 = 0 e um ponto demaximo, e x2 = 2 e um ponto de mınimo
2. f(x) = x+ 1/x
Solucao:
Calculo da Derivada
f ′(x) = 1− 1
x2=
x2 − 1
x2
Pontos Crıticos
x2 − 1
x2= 0 =⇒ x2 − 1 = 0
Logo, os pontos crıticos x1 = −1 e x2 = 1.
Teste da Derivada Primeira
✲+ +
q
−1q
1− Estudo do Sinal x2 − 1.Assim,
x < −1 =⇒ f ′(x) > 0
59
x > −1 =⇒ f ′(x) < 0
x < 1 =⇒ f ′(x) < 0
x > 1 =⇒ f ′(x) > 0
Logo, pelo Teste da Derivada Primeira, x1 = −1 e um ponto demaximo, e x2 = 1 e um ponto de mınimo.
Teste da Derivada Segunda
➪ Teorema 4.3. Seja y = f(x) uma funcao diferenciavel no intervaloaberto I contendo x0. Suponha que:
f ′(x) = 0 e ∃f ′′(x0).
Entao
f ′′(x0) > 0 ⇒ f possui um mınimo local em c.
f ′′(x0) < 0 ⇒ f possui um maximo local em c.
✍ Exercıcio 4.2. Usando o teste da derivada segunda, determine osmaximos e mınimos locais dos exemplos anteriores.
Processo para a determinacao dos extremos locais (ou relativos)
Todos os extremos locais podem ser encontrados sistematicamente peloseguinte roteiro:
Roteiro:
1. Encontre f ′(x)
2. Encontre os pontos crıticos de f ′
3. Teste cada um dos pontos crıticos para observar quando ele e umponto de maximo ou de mınimo local, ou nunhum dos dois.
✓ Nota 4.1. Para o terceiro passo usamos os testes da derivada primeiraou segunda.
✍ Exercıcio 4.3. Estude a funcao dada com relacao a maximos e mınimoslocais.
1. f(x) = x1+x2
(Resp.: max. local 15, mın. local −1)
60
2. f(x) = 112(x4 + 6x3 − 18x)
(Resp.: max. local 0, mın. local −6, 3/2)
3. f(x) = x3 + 3x− 2(Resp.: Nao existem extremos locais)
4.2 Aplicacao de Maximos e Mınimos
Vamos agora usar as propriedades da Derivada para estudar alguns pro-blemas de otimizacao.
Geometria
➪ Problema 4.1. Se uma lata de zinco de volume 16π cm3 deve ter aforma de um cilindro circular reto. Determine a altura e o raio para quearea do material usado na fabricacao seja mınimo.
Solucao:
Sejam:
R: o raio da base
h: a altura do cilındro
S: a area total do cilındro
Entao a area total e dada por
A = 2πRh︸ ︷︷ ︸
area lateral
+ 2πR2︸ ︷︷ ︸
area das bases
(1)
Sabemos o volume da lata
16π = πR2h ⇒ h = 16R2 (2)
Entao, substituindo (2) em (1) obtemos para R > 0:
A(R) = 2πR
(16
R2
)
+ 2πR2
=32π
R+ 2πR2
Logo, a area total do cilındro em funcao do raio da base R > 0.
Calculo da Derivada:
dA
dR=
−32π
R2+ 4πR
Pontos Crıticos:−32π + 4πR3
R2= 0
R3 − 8 = 0
R = 2
61
Teste da Derivada Primeira:
R > 2 ⇒ dA
dR> 0
R < 2 ⇒ dA
dR< 0
Logo, R = 2 e ponto de mınimo.
Teste da Derivada Segunda
d2A
dR2
∣∣∣∣∣R=2
=64π
R3+ 4π = 8π + 4π = 12π > 0
Logo, R = 2 e ponto de mınimo, entao o raio deve serR = 2 e a alturadeve serh = 4.
➪ Problema 4.2. Determine a altura do cilındro reto, de volume maximo,inscrito na esfera de raio R dado.
Solucao:
Sejam:
h : altura do cilındro
R : raio da esfera
r : raio do cilındro
Observe que
R2 = r2 +
(h
2
)2
⇓
r2 = R2 −(h
2
)2
Volume do cilındro e
V = πr2h
= π
(
R2 − h2
4
)
h
= πR2h− πh3
4
Logo, o volume do cilındro em funcao da altura.
62
Calculo da Derivada:
V ′(h) = πR2 − 3πh2
4
= π
(4R2 − 3h2
4
)
Pontos Crıticos:
4R2 − 3h2 = 0 ⇒ h =2R√3
Teste da Derivada Primeira:
0 < h < 2R√3⇒ V ′(h) > 0;
h > 2R√3⇒ V ′(h) < 0
Logo, h = 2R√3e ponto de maximo.
Engenharia
➪ Problema 4.3. Do ponto A, situado numa das margens de umrio, de 100m de largura, deve-se levar energia eletrica ao ponto C situadona outra margem do rio. O fio a ser utilizado na agua custa R$5, 00 ometro, e o que sera utilizado fora, R$3, 00 o metro.
CB
A
Rio100 m
1000 m
Como devera ser feita a ligacao para que o gasto com os fios seja o menorpossıvel ? (Suponha as margens retilineas e paralelas).
Solucao:
Sejam
A = (0, 0)
B = (x, 100)
C = (1000, 100)
Entao o custo dos fios sera dado por:
C(x) = 5√x2 + 1002 + 3(1000− x)
63
Calculo da Derivada:
C ′(x) =5x√
x2 + 1002+ 3
=5x− 3
√x2 + 1002√
x2 + 1002
=5x− 3
√x2 + 1002√
x2 + 1002∗ (5x+ 3
√x2 + 1002)
(5x+ 3√x2 + 1002)
=25x2 − 9(x2 + 1002)√
x2 + 1002(5x+ 3√x2 + 1002)
Pontos Crıticos:
16x2 − 9 · 1002 = 0
16x2 = 9 · 1002
4x = 3 · 100x = 75m
Teste da Derivada Primeira:
0 < x < 75 ⇒ C ′(x) < 0;
x > 75 ⇒ C ′(x) > 0.
Logo, x = 75 e ponto mınimo, ou seja, a ligacao deve ser feita comB = (75, 100).
4.3 Exercıcios
1. Determine os pontos crıticosda funcao.
(a) f(x) = x4
4+ x3 − 2x2 +3
(b) f(x) = x3− 3x2+3x− 1
(c) f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 −4x+ 1
(d) x(t) = 3√t3 − 2t+ 1
2. Use o teste da derivadaprimeira para estudar asfuncoes dadas com relacaoaos maximos e mınimos lo-cais.
(a) f(x) = x2 − x
(b) f(x) = x1+x2
(c) f(x) = x3 − 3x+ 5
(d) f(x) = x2 + 3x+ 2
3. Determine o numero real po-sitivo cuja difereca entre ele eseu quadrado seja maxima.
4. Determine o numero real po-sitivo cuja soma com o inversodo seu quadrado seja mınima.
5. Deseja-se construir umacaixa, de forma cilındrica, de1 m3 de volume. Nas lateraise no fundo sera utilizado ma-terial que custa R$ 10, 00 ometro quadrado e na tampasera utilizado material quecusta R$ 20, 00 o metro qua-drado. Determine as di-mensoes da caixa que mini-mizem o custo do materialempregado.
64
Capıtulo 5
Funcoes Exponencial eLogarıtmica
5.1 Funcao exponencial e logarıtmica
Propriedades de Potenciacao
Sejam a ∈ R, m ∈ Z∗+ e n ∈ Z∗. Temos que:
am · an = am+n
am : an = am−n
a−m = 1am
=(1a
)m(a 6= 0)
(am)n = am·n
(a · b)m = am · bm(ab
)m= am
bm(b 6= 0)
ax = ay ⇔ x = y (a >0 e a 6= 1)
am
n = n√am
Funcao Exponencial
◮ Definicao 5.1. Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. Uma funcao exponencialde base a e dada por:
f : R −→]0,+∞[x 7−→ ax
☞ Exemplo 5.1.
f(x) = 2x , onde a = 2
f(x) = 10x , onde a = 10
f(x) = (1/2)x , onde a =
(1/2)
f(x) = ex , onde a = e (n deEuler)
Grafico da funcao exponencial
Analisamos a representacao grafica das seguintes funcoes.
65
☞ Exemplo 5.2. Construir o grafico das seguinte funcoes:
1. f(x) = 2x
Solucao:
x y2 41 20 1−1 1/2−2 1/4 0 1 2−1−2
x
y
2. f(x) = (1/2)x
Solucao:
x y2 1/41 1/20 1−1 2−2 4 0 1 2−1−2
x
y
Propriedades:
a > 1 ⇒ f e crescente
0 < a < 1 ⇒ f e decrescente
⊲ Observacao 5.1.
1. Dom(f) = R, e Im(f) =]0,+∞[ (Por que?)
66
2. O grafico de f esta todo acima ao eixo x, pois y = ax > 0 paratodo x ∈ R.
3. O grafico de f corta o eixo y no ponto de ordenada 1, pois
x = 0 ⇒ y = a0 = 1
Exponencial Natural
Considereexp : R −→]0,+∞[
x 7−→ ex
onde e ∼= 2, 7183... (n irracional) chamado de numero de Euler ounumero de Neper.
0 1 2−1−2 x
y
✍ Exercıcio 5.1.
1. Contruir o grafico das seguin-tes funcoes:
(a) f(x) = 3x
(b) f(x) = (1/3)x
(c) f(x) = 10−x
(d) f(x) = 2x − 3
(e) f(x) = 21−x
(f) f(x) = (1/2)x
2. Determine o Dom(f):
(a) f(x) = 14x−3x
(b) f(x) =√(13
)x − 3x
Logaritmos
◮ Definicao 5.2. Sejam a, b ∈ R tais que 0 < a 6= 1 e b > 0. OLogaritmo de b na basa a e dado por:
x = loga b ⇔ ax = b
Em que,
x e o logarıtmo;
a e a base;
b e o logaritmando,
☞ Exemplo 5.3.
67
log2 8 = 3 ,pois 23 = 8
log319= −2 , pois 3−2 = 1/9
log5 5 = 1 , pois 51 = 5
log7 1 = 0 , pois 70 = 1
⊲ Observacao 5.2.
1. O Logaritmo quando existe e unico.
2. A operacao, pela qual se determina o logaritmo de b numa dadabase a, e chamada logaritmacao e o resultado dessa operacao e ologaritmo.
✍ Exercıcio 5.2.
1. Calcule pela definicao os se-guintes logaritmos:
(a) log2√2
(b) log 3√7 49
(c) log1003√10
(d) log 3√5
4√5
(e) log√273√9
2. Usando a definicao de loga-ritmo, calcule x:
(a) log2x 16 = 3
(b) logx2 4 = 1
(c) log3(x+ 2) = 2
Consequencias da Definicao
Para 0 < a 6= 1, b > 0, seguem da definicao de Logaritmo as seguintespropriedades:
1. loga 1 = 0, pois a0 = 1
2. loga a = 1, pois a1 = a
3. loga ar = r, pois x = loga a
r ⇒ ax = ar ⇒ x = r
4. aloga b = b, pois x = loga b ⇒ ax = b ⇒ aloga x = b
5. loga b = loga c ⇔ b = c, pois loga b = loga cdef⇔ aloga c=b (3)⇔ c = b
☞ Exemplo 5.4. Calcule o valor de
8log2 5.
Solucao:
8log2 5 = (23)log2 5
= (2log2 5)3
= 53 = 125
68
☞ Exemplo 5.5. Calcule o valor de
31+log3 4.
Solucao:
31+log3 4 = 3 · 3log3 4= 3 · 4 = 12
Condicao de Existencia do Logaritmo
a > 0 e a 6= 1 (da definicao).
b > 0, pois ax > 0 para todo x ∈ R, e ax = b.
☞ Exemplo 5.6. Determine x para que exista, em R,
log4−x(x− 2).
Solucao:
Pela condicao de existencia, temos
4− x > 0 ⇒ x < 4
4− x 6= 1 ⇒ x 6= 3
x− 2 > 0 ⇒ x > 2
Logo,2 < x < 4 e x 6= 3
Equacao Logarıtmica
☞ Exemplo 5.7. Resolva a equacao
4x+1 = 5.
Solucao:
4x+1 = 5 ⇒ 22x+2 = 5
⇒ 2x+ 2 = log2 5
⇒ 2x = log2 5− 2
⇒ x =log2 5− 2
2.
✍ Exercıcio 5.3. Resolva as equacoes:
1. 3x = 2
2. 22x+1 = 5
69
Leis Operatorias
➪ Teorema 5.1. Sejam a < a 6= 1, b > 0 e c > 0. Entao
1. loga(b · c) = loga b+ loga c;
2. loga(bc
)= loga b− loga c; e
3. loga bα = α · loga b (∀α ∈ R)
✍ Exercıcio 5.4.
1. Desenvolva, aplicando as propriedades do logaritmo com a, b, cpositivos
(a) log5(5abc
)
(b) log3
(a·b3
c· 3√a2
)
2. Se log x = log b+ 2 log c− 13log a. Determine o valor de x.
Mudanca de Base
Ha ocasioes que os logaritmos em bases diferentes precisam ser converti-dos para uma unica base conveniente.
➪ Teorema 5.2. Sejam 0 < a 6= 1, b > 0 e 0 < c 6= 1. Entao:
loga b =logc b
logc a
☞ Exemplo 5.8. Sabendo que log2 N = n. Calcule
log4 N2.
Solucao:
log4 N2 =
log2 N2
log2 4=
log2 N2
log2 22=
n
1= n
☞ Exemplo 5.9. Sabendo que log202 = a e log20 3 = b. Calcule log6 5
Solucao:
logb 5 =log20 5
log20 6=
log20(204)
log20 6=
log20 20− log20 4
log20 2 + log20 3=
1− 2a
a+ b
70
Funcao Logarıtmica
◮ Definicao 5.3. Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. A funcao Logartmicade base a e a funcao
f : ]0,+∞[ −→ R
x 7−→ loga x,
onde
y = loga x ⇔ ay = x
☞ Exemplo 5.10.
f(x) = loga x , a = 2
f(x) = log x , a = 10
f(x) = ln x , a = e (n neper)
Propriedades:
1. Dom(f) =]0,+∞[ e Im(f) = R (Por que?)
2. O grafico de f corta o eixo x no ponto de abscissa 1, pois
x = 1 ⇒ y = loga 1 = 0.
3. Se 0 < a 6= 1, entao f(x) = loga x, x > 0 e g(x) = ax, x ∈ R saoinversas uma da outra. De fato
Im(f) = Dom(g)
Im(g) = Dom(f)
f ◦ g(x) = f [ax] = loga ax = x
g ◦ f(x) = g[loga x] = aloga x = x
4. O grafico de f e simetrico em relacao a reta y = x do grafico deg(x) = ax.
Propriedades:
1. a > 1 ⇒ f e crescente
2. 0 < a < 1 ⇒ f e decrescente
x
y
a > 1
71
x
y
0 < a < 1
✍ Exercıcio 5.5.
1. Construa o grafico das se-guintes funcoes:
(a) f(x) = loga x
(b) f(x) = log( 12) x
2. Determine o Dom(f)
(a) f(x) = log3(12− 5x)
(b) f(x) = log5(x2+8x+15)
Logaritmo Natural ou Neperiano
Considere
ln : ]0,+∞[ −→ R
x 7−→ loge x = ln x,
onde e ∼= 2, 7183... (n irracional) chamado numero de Euler ou Neper.
0 1 2−1 x
y
Observe que podemos demonstrar de modo analogo as leis operatoriaspara o logaritmo natural.
➪ Teorema 5.3 (Propriedades Operatorias). Sejam a < a 6= 1, b > 0 ec > 0. Entao
1. ln(b · c) = ln b+ ln c;
2. ln(bc
)= ln b− ln c; e
3. ln bα = α · ln b (∀α ∈ R)
72
5.2 Derivada da Funcao Exponencial e Lo-
garitmica
➪ Teorema 5.4 (Derivadas de ex e ln x). Sao validas as formulas dederivacao:
1. f(x) = ekx =⇒ f ′(x) = kekx, onde k e uma constante nao nula.
2. g(x) = ln |kx| =⇒ g′(x) = k 1x, onde k e uma constante nao nula.
☞ Exemplo 5.11.
Dado f(x), calcule f ′(x):
1. f(x) = ex
Solucao:
f ′(x) = ex
2. f(x) = x+ e−3x
Solucao:
f ′(x) = 1− 3e−3x
3. f(x) = 1− x− e2x
Solucao:
f ′(x) = −1− 2e2x
4. f(x) = ln x
Solucao:
f ′(x) =1
x
5. f(x) = 1 + x+ ln x
Solucao:
f ′(x) = 1 +1
x
6. f(x) = x2e−x
Solucao:
f ′(x) = 2xe−x − x2e−x
✍ Exercıcio 5.6.
1. Determine a equacao da reta tangente ao grafico das seguintesfuncoes, nos pontos indicados:
(a) f(x) = e3x; P = (0, f(0))
(b) f(x) = ln x; P = (e, f(e))
(c) f(x) = x3 , P = (1, f(1))
(d) f(x) = 3√x , P = (8, f(8))
73
➪ Proposicao 5.1. Suponha que g e derivavel. Entao:
1. [eg(x)]′ = eg(x) · g′(x)
2. [ln g(x)]′ = g′(x)g(x)
Demonstracao.
1. Considere
y = eu e u = g(x)
Entao, pela Regra da Cadeia:
dy
dx=
dy
du· dudx
= eu · dudx
= eg(x) · g′(x)
2. Considere
y = ln u e u = g(x).
Entao, pela Regra da Cadeia:
dy
dx=
dy
du· dudx
=1
u· dudx
=g′(x)
g(x)
☞ Exemplo 5.12. Calcule a derivada de y = f(x) :
1. y = e1−x+x2
Solucao:
d
dx[e1−x+x2
] = e(1−x+x2)(−1 + 2x)
2. y = ln(ex2+1 + 2)
Solucao:
d
dx[ln(ex
2+1 + 2)] =1
ex2+1 + 2(2x ex
2+1)
3. y = (ex+1 − x3)1
2
Solucao:
d
dx[(ex+1 − x3)
1
2 ] =1
2(ex+1 − x3)−
1
2 (ex+1 − 3x2)
☞ Exemplo 5.13. Dado f(x), calcule f ′(x):
74
1. f(x) = 2x
Solucao:
Observe quef(x) = 2x = ex ln 2
Usando a regra da cadeia:
f ′(x) = elnxDx(x ln 2)
⇓f(x) = 2x ln 2
2. f(x) = x3x2
Solucao:
Observe quef(x) = x3x
2
= xex2 ln 3
Usando a regra do produto e da cadeia:
f ′(x) = 1.3x2
+ xDx(3x2
)
⇓f ′(x) = 3x
2
+ xDx(ex2 ln 3)
⇓f ′(x) = 3x
2
+ xex2 ln 3(2x ln 3)
⇓f ′(x) = 3x
2
+ x3x2
(2x ln 3)
3. f(x) = logex(3x2 + x)
Solucao:
Observe que
f(x) = logex(3x2 + 1) =
ln(3x2 + x)
x
Usando a regra do produto e da cadeia:
f ′(x) =x 13x2+1
(6x)− ln(3x2 + x)
x2
⇓
f ′(x) =6
3x2 + 1− ln(3x2 + x)
x2
75
5.3 Exercıcios
1. Construir os graficos cartesia-nos das seguintes funcoes ex-ponenciais:
(a) y = 3x
(b) y = (13)x
(c) y = 4x
(d) y = 10x
(e) y = 10−x
2. Desenvolva, aplicando as pro-priedades dos logaritmos (a, b,e c sao reais positivos):
(a) log2(2abc2
)
(b) log3
(5a3b2
c4
)
(c) log(
2a3
b2√c
)
(d) log5(
5ab2c
)
(e) log3
(7ab3
c3√a2
)
3. Determine o domınio das funcoes:
(a) f(x) = log3(x2 − 4)
(b) f(x) = log2(1− 2x)
(c) f(x) = log3(4x− 3)2
(d) f(x) = log5
(x+ 1
1− x
)
(e) f(x) = log(x2 + x− 12)
4. Determine o domınio das funcoes:
(a) f(x) = log(x2+1) x
(b) f(x) = log(2x+1)(2x2 −
5x)
(c) f(x) = log(3−x)(x+ 2)
(d) f(x) = log3x(x2 + x− 2)
(e) f(x) = log(2x−3)(3+2x−x2)
5. Construir os graficos cartesi-anos das seguintes funcoes lo-garıtmicas:
(a) f(x) = log3 x
(b) f(x) = log 1
3
x
(c) f(x) = log2(x− 1)
(d) f(x) = log2 x2
(e) f(x) = 2 + log2 x)
6. Determine a equacao da retatangente ao grafico de f(x) =ex no ponto de abscissa 0. Es-boce os graficos de f e da retatangente.
7. Determine a equacao da retatangente ao grafico de f(x) =ln x no ponto de abscissa 1.Esboce os graficos de f e dareta tangente.
8. Dados f(x), calcule f ′(x).
(a) f(x) = ex2
(b) f(x) = 2x+1
(c) f(x) = 5x3−x+1
(d) f(x) = πx
(e) f(x) = 71−3x2
9. Dados g(x), calcule g′(x).
(a) g(x) = log3(1 + x2)
(b) g(x) = log5(x3 + 2x+ 1)
(c) g(x) = log10(2x+ 3)
(d) g(x) = ln(x lnx)
(e) g(x) = log7(x+ 3)3
10. Calcule a derivada de cada funcaoabaixo:
(a) f(x) = x2ex
(b) F (t) = 3t+ 5 ln t
(c) f(x) = ex ln x
(d) f(x) = 1+ex
1−ex
(e) g(x) = ex ln x+ 2ex
76
Capıtulo 6
Integrais Indefinidas
6.1 Integracao Indefinida
Estudamos anteriormente o seguinte problema:
➪ Problema 6.1. Dado uma funcao y = f(x), determine a derivadaf ′(x).
Agoras, estamos interesado em resolver o seguinte problema:
➪ Problema 6.2. Dada uma funcao y = f(x), determiniar uma funcaoF tal que F ′(x) = f(x).
Em outras palavras, queremos mostrar como podemos obter umafuncao conhecendo apenas a sua derivada. Na realidade, este e um dosproblemas centrais do Calculo Diferencial e Integral. Assim, conside-rando a diferenciacao uma operacao estamos interessados em obter a suaoperacao inversa chamada de integracao indefinida ou antiderivacao.
y = f(x).
Diferenciacao
dy = f ′(x)dx
Integracao.
◮ Definicao 6.1. Uma funcao F e chamada uma primitiva (ou umaantiderivada) de f em um intervalo I se
F ′(x) = f(x).
✎ Exemplos 6.1.
1. Sejaf(x) = x3.
77
Observe que F (x) = x4
4e uma primitiva de f , pois F ′(x) =
x3 = f(x).
Observe que F (x) = x4
4+3 e uma primitiva de f , pois F ′(x) =
x3 = f(x).
Observe que F (x) = x4
4+C, onde C e uma constante qualquer,
e uma primitiva de f , pois F ′(x) = x3 = f(x).
2. Sejaf(x) = e2x.
Observe que F (x) = e2x
2e uma primitiva de f , pois F ′(x) =
e2x = f(x).
Observe que F (x) = e2x
2+1 e uma primitiva de f , pois F ′(x) =
e2x = f(x).
Observe que F (x) = e2x
2+C, onde C e uma constante qualquer,
e uma primitiva de f , pois F ′(x) = e2x = f(x).
A proposicao a seguir afirmar que se uma funcao f admite uma pri-mitiva, entao f ira admitir infinidade de primitivas sobre um intervalo.
➪ Proposicao 6.1. Seja F uma primitiva de uma funcao F deifinidano intervalo I. Entao
G(x) = F (x) + C (∀x ∈ I)
e uma primitiva, onde C e uma constante arbitraria.
Demonstracao. Para todo x ∈ I,
G′(x) = (F (x) + C)′
= F ′(x) + 0
= f(x).
Logo, G e uma primitiva de f
Agora, o proximo resultado ira mostra a relacao existente entre duasprimitivas de uma mesma funcao f .
➪ Proposicao 6.2. Se F e G sao primitivas de uma funcao f numintervalo I, entao existe uma constante C tal que
G(x) = F (x) + C (∀x ∈ I).
Demonstracao. Suponha que F e G sejam primitivas da funcao f , entao
F ′(x) = f(x) e G′(x) = f(x).
⇓
78
F ′(x) = G′(x)
Pela proposicao (4.2),temos
G(x) = f(x) + C (∀x ∈ I).
A proposicao anterior afirmar que se conhecermos uma primitiva deuma funcao, entao conhencemos todas as primitivas daquela funcao. Defato, basta somar uma constante a primitiva e aplicar a proposicao paraobter outras primitivas.
◮ Definicao 6.2. Seja F uma primitiva de uma funcao f no intervaloI. A integral indefinida da funcao f e dada por
∫
f(x)dx = F (x) + C,
onde
C e a constante provinente da integracao
f(x) e a integrando
Consequencias da Definicao:
1.
∫
f(x)dx = F (x) + C ⇔ F ′(x) = f(x).
2.
∫
f ′(x)dx = f(x) + C.
Propriedades:
1.
∫
(f(x) + g(x)) dx =
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx.
2.
∫
cf(x)dx = c
∫
f(x)dx (c constante).
✓ Nota 6.1. O processo para calcular∫f(x)dx e chamdo de integracao
indefnida.
O termo “indefinida ”e usado porque a constante C qualquer valor e poressa razao nao e decidamente determinada para funcao f .
☞ Exemplo 6.1. Verifique as equacoes dadas
79
1.
∫
dx = x+ C
Solucao:
Dx(x) = 1
2.
∫
x2 =x3
3+ C
Solucao:
Dx(x3
3) = x2
3.
∫
e2xdx =e2x
2+ C
Solucao:
Dx(e2x
2) = e2x
✓ Nota 6.2 (Historica). As pimitivas sao usualmente escritas com umsimbolismo que possue algumas vantagens da notacao de Leibniz para de-rivadas e que, de fato, foram usado pelo proprio Leibniz. O simbolismopode ser compreendido pensando-se a diferencial dy como uma porcao in-finitesimal de y e considerando que y e uma soma de todos estas porcoes.O proprio Leibniz usou a letra S estilizada,
∫para tais “somatorios”.
Primitivas Imediatas
Seja α ∈ R, α 6= 0. Das formulas ja vistas de derivacao seguem asseguinte de primitivacao:
1.
∫
dx = x+ C
2.
∫
xndx =xn+1
n+ 1+ C (n 6= −1)
3.
∫1
xdx = ln |x|+ C
4.
∫
exdx = ex + C
5.
∫
axdx =ax
ln a+ C (0 < a 6= 1)
✓ Nota 6.3. o Dom(f) que ocorre no integrando de∫f(x)dx deve ser
sempre uma intervalo.
80
☞ Exemplo 6.2. Calcule as seguintes integrais e verifique sua respostapode derivacao
1.
∫
7x5dx
Solucao:
Observe que
∫
7x5dx = 7
∫
x5dx
=7x6
6+ C
Verificacao:
Dx(7x6
6) = 7x5.
2.
∫
(4x3 + 3x2 + 2x+ 1)dx
Solucao:
Observe que
∫
(4x3 + 3x2 + 2x+ 1)dx = 4
∫
x3dx+ 3
∫
x2dx+ 2
∫
xdx+
∫
dx
= x4 + x3 + x2 + x+ C
Verificacao:
Dx(x4 + x3 + x2 + x) = 4x3 + 3x2 + 2x+ 1.
3.
∫x4 − 1
x− 1dx
Solucao:
Observe que
∫x4 − 1
x− 1dx =
∫
(x3 + x2 + x+ 1)dx
=x4
4+
x3
3+
x2
2+ x+ C
Verificacao:
Dx(x4
4+
x3
3+
x2
2) = x3 + x2 + x+ 1.
81
☞ Exemplo 6.3. Seja α 6= 0 uma constante. Calcule
∫
xαdx.
Solucao:
Observe que
α 6= −1 ⇒∫
xαdx =xα+1
α + 1+ C.
α = −1 ⇒∫
1
xdx = ln |x|+ C.
Logo,
∫
xαdx =
xα+1
α + 1+ C , se α 6= −1
ln |x| , se α = −1.
☞ Exemplo 6.4. Calcule as seguintes integrais:
1.
∫
(3x2 −√3x+ 2)dx
Solucao:
Observe que
∫
(3x2 −√3t+ 2)dx = 3
∫
x2dx−√3
∫ √xdx+ 2
∫
dx
= x3 − 2√3
3
√x3 + 2x+ C
2.
∫ (1
x2− 1
x3
)
dx
Solucao:
Observe que
∫ (1
x2− 1
x3
)
dx =
∫1
x2dx−
∫1
x3dx
=
∫
x−2dx−∫
x−3dx
= −1
x+
1
2x2+ C
82
6.2 Integracao por Substituicao
Sejam F uma primitiva de f num intervalo I, e g uma funcao diferenciaveltal que F ◦ g esteja definida. Usando a regra da Cadeia temos:
(F (g(x)))′ = F ′(g(x))g′(x) = f(g(x))g′(x),
pois F ′(x) = f(x), x ∈ I. Entao,
∫
f(g(x))g′(x)dx = F (g(x)) + C.
☞ Exemplo 6.5. Calcule a integral e verifique sua resposta por de-rivacao ∫
e−3xdx.
Solucao:
Fazendo u = −3x, temos
du = −3dx ⇒ dx =−du
3.
Entao,∫
e−3xdx =−1
3
∫
eudu
=−eu
3+ C.
Portanto,∫
e−3xdx =−e−3x
3+ C.
Verificacao:
Dx
(−e−3x
3
)
= e−3x.
Procedimento:
Para calcular: ∫
f(g(x))g′(x)dx
1. Faca u = g(x) (Mundanca de Variavel).
2. Calcule a diferencial, du = g′(x)dx.
3. Resolva a integral na variavel u, e depois volte a variavel inicial
☞ Exemplo 6.6. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
83
1.
∫
(3x+ 7)23dx
Solucao:
Fazendo u = 3x+ 7, temos
du = 3dx ⇒ dx =du
3.
Entao,∫
(3x+ 7)23dx =1
3
∫
u23du
=u24
72+ C.
Portanto,∫
(3x+ 7)23dx =(3x+ 7)24
72+ C.
2.
∫
xex2
dx
Solucao:
Fazendo u = x2, temos
du = 2xdx ⇒ xdx =du
2.
Entao,∫
xex2
dx =1
2
∫
eudu
=eu
2+ C.
Portanto,∫
xex2
dx =ex
2
2+ C.
3.
∫ln x
xdx
Solucao:
Fazendo u = ln x, temos
du =dx
xEntao,
∫ln x
xdx =
∫
udu
=u2
2+ C.
Portanto,∫
ln x
xdx =
(ln x)2
2+ C.
84
4.
∫x2
1 + x3dx
Solucao:
Fazendo u = 1 + x3, temos
du = 3x2dx ⇒ x2dx =du
3.
Entao,∫
x2
1 + x3dx =
1
3
∫1
udu
=1
3ln u+ C.
Portanto,∫
x2
1 + x3dx =
1
3ln(1 + x3) + C.
5.
∫7x6
(1 + x7)2dx
Solucao:
Fazendo u = 1 + x7, temos
du = 7x6dx.
Entao,∫
7x6
(1 + x7)2dx =
∫1
u2du
=−1
u+ C.
Portanto,∫
7x6
1 + x7dx =
−1
1 + x7+ C.
➪ Teorema 6.1. Sejam a, b constantes, a 6= 0. Entao
∫
eax+bdx =eax+b
b+ C.
Demonstracao. Escreva u = ax+ b, segue que
du = adx
Entao,∫
eax+bdx =
∫eu
adu
=eax+b
a+ C.
85
✍ Exercıcio 6.1. Calcule as seguintes integrais:
1.
∫
(e−7x+1 − 2e2x)dx
2.
∫
(4e2x−1 − x3)dx
6.3 Integracao por Partes
Sejam f e g funcoes definidas e diferenciaveis num intervalo I. Entao:
[f(x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
⇓f(x)g′(x) = [f(x)g(x)]′ − f ′(x)g(x)
Agora, suponha que f ′(x)g(x) admita uma primitiva em I, e observandoque f(x)g(x) e uma primitiva de [f(x)g(x)]′, entao f(x)g(x) tambemadmitira uma primitiva em I, e
∫
f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−∫
f ′(x)g(x)dx
Procedimento:
Para calcular ∫
f(x)g′(x)dx
1. Faca u = f(x) e dv = g′(x)dx
2. Determine du = f ′(x)dx e v = g(x)
3. Aplique a Formula∫
udv = u · v −∫
vdu.
⊲ Observacao 6.1.
1. A Formula anterior e chamada de Formula de Integracao po Par-tes.
2. Toda vez que aplicarmos a Formula de Integracao po Partes subs-tituirmos uma integral do tipo
∫udv por uma do tipo
∫vdu. Por-
tanto, o metodo sera util nos caso em que a nova integral e mais“facil”de calcular que a anterior.
☞ Exemplo 6.7. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
86
1.
∫
x exdx
Solucao:
Fazendo u = x e dv = ex dx. Entao
du = dx e v = ex.
Assim,
∫
x ex dx = x ex −∫
exdx
= x ex + ex + C
2.
∫
ln x dx
Solucao:
Fazendo u = ln x e dv = dx. Entao
du =dx
xe v = x.
Assim,
∫
ln x dx = x ln x−∫
dx
= x ln x− x+ C
3.
∫
x ln xdx
Solucao:
Fazendo u = ln x e dv = xdx. Entao
du =dx
xe v =
x2
2.
Assim,
∫
ln x dx =x2
2ln x−
∫x2
2
dx
x
=x2 ln x
2− x2
4+ C
87
6.4 Exercıcios
1. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
(x5 − 3x2 + 1)dx
(b)
∫
(−3x2 + 5x+ 7)dx
(c)
∫
(6x5
5+ 3x− 7)dx
(d)
∫
(x−3 + x2 − 1)dx
(e)
∫
(2x9 − 1)dx
(f)
∫x5 − 1
x− 1dx
(g)
∫
(x2 − e−3x + 1)dx
(h)
∫
(e−x + 3e2x)dx
2. Use a integracao por substi-tuicao para calcular as seguin-tes integrais:
(a)
∫
(3x+ 1)19dx
(b)
∫
e3xdx
(c)
∫
xex2
dx
(d)
∫x
1 + x2dx
(e)
∫2x+ 3
x2 + 3x+ 1dx
(f)
∫x3
1 + x4dx
(g)
∫ln x
xdx
(h)
∫x2
1 + x3dx
(i)
∫x2
(1 + x3)2dx
(j)
∫1
x ln xdx
(k)
∫
x5√1− x2dx
3. Use a integracao por partespara calcular cada integral:
(a)
∫
xe2xdx
(b)
∫
x2ex dx
(c)
∫
x ln 2x dx
(d)
∫
ln x dx
(e)
∫
x ln x2dx
(f)
∫
x ln x dx
(g)
∫
x(x+ 1)3dx
(h)
∫
x√x+ 2dx
(i)
∫
(x− 1)e1−xdx
(j)
∫ln x
x2dx
(k)
∫
x(ln x)2dx
4. Determine y = f(x), x ∈ R,tal que
(a)
{f ′(x) = 2f(x);f(0) = 1
(b)
{f ′(x) = −2f(x);f(0) = 1
Esboce o grafico de f .
88
Referencias Bibliograficas
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Edicao- Rio de Janeiro: LTC, 2008.
[2] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de Calculo, vol.1 ,2,3 e 4. 5a
Edicao- Rio de Janeiro: LTC, 2008.
[3] Hoffmann, Laurence D. Calculo: um curso moderno e suasaplicacoes. 9a edicao; Rio de Janeiro: LTC, 2008.
[4] Leithold, Louis, O calculo com Geometria Analıtica, vol. 1, 2. 3a
Edicao. Editora Habra.
[5] Leithold, Louis, Matematica aplicada a Economia e Administracao.Editora Habra.
[6] Munem, M. A. & Foulis, D.j. Calculo, vol. 1 e 2 ; Rio de Janeiro:LTC, 2008.
[7] Stewart, James. Calculo, vol. 1, 2 Sao Paulo: Pioneira ThomsonLearning, 2006.
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[9] Figueiredo, Djairo G. & Neves, Aloiso Freiria. Equacoes DiferenciaisAplicadas 2a Edicao- Rio de Janeiro: IMPA,2002.
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[11] Zill, Dennis G. & Cullen Michael R. Equacoes Diferenciais, vol. 1 e2. Sao Paulo: Pearson Makron Books,2001
[12] Carl B. Boyer and Uta Merzbach. A history of mathematics. 3rd ed.
[13] Bardi, Jason Socrates. A guerra do Calculo. Editora Record Ltda,2006.
89