Texto: Anlise, Interpretao e Produo de Textos

expresso cultural

Clculo Decimal

Todo nmero decimal (n) pode ser definido na forma de n = a,b ou n = a + , sendo m ( ( e (a) e (b) nmeros reais.

Se n = a,b ento teremos:

(n) ( Um nmero decimal qualquer.

(a) ( A parte inteira desse nmero.

(b) ( A parte que representa o nmero decimal desse nmero.

Seja a expresso definida por , se (a) ( ( e ao intervalo [1,9] para um aluno que deparasse com essa expresso e resolvesse, teria sem dvida a seguinte resposta a + , mas tambm poderamos obter a mesma resposta com um modelo diferente, j que temos para o valor de (a) um nmero natural (a,2).

Se a expresso fosse outra na forma de a + e que (b) pertencesse ao mesmo intervalo [1,9] a resposta seria (a,b).

A potncia x2 permanece inalterada porm se adotarmos que x pode ser um nmero decimal na forma de x = (a,b) ou melhor x = a + poderemos ainda simplific-lo.

x2 = (a + )2 resolvendo a potncia.

x2 = a2 + +

Percebemos que x = (a + )2 um binmio no qual podemos encontrar qualquer termo utilizando a frmula do binmio de Newton definido por:

(a + b)n = an.b0 + an - 1.b1 + an - 2.b2 ...= sendo = .

Para xn afirmamos que:

xn = (a + )n resolvendo a potncia pelo binmio de Newton vir:

xn = (a + )n = an.()0 + an - 1.()1 + an - 2.()2 ...=

GENERALIZANDOO CLCULO DECIMAL.

n = a,b = a0 + a1 + a2... + + + ...Sendo:

a = a0 + a1 + a2...

b = + + ...

O que demonstramos nos clculos anteriores so de nmeros decimais na forma de n = a + ou, seja podem serem n1 = 1,2 ; n2 = 2,5 e assim pode diante, mas se o nmero fosse na forma de n = 1,23 a forma correta seria n = a + + ou seja se a potncia fosse n2 teria na forma de n = (a + + )2 seriarmos adequado encontra todas as parcelas do nmero decimal (a), (b0) e (b1) em vez de encontrar (a) e (b).

Observao s equaes so as mesmas:

(a1 + + )2 = (a1 + b)2 porm b = +

Com base nas informaes anteriores vamos encontrar as parcelas ou termos do nmero decimal na forma de n = (a1 + + ).

Calcule o 3 termo de n? sendo n2 como n = a1 + + basta elevarmos ao quadrado.

Se n = a1 + + ento o valor de n2 :

Fazendo b = + vir:

(a1 + + )2 = (a1 + b)2 resolvendo a potncia teremos.

(a1 + b)2 = a12 + 2a1b + b2 para o binmio o terceiro termo b2 , mas para o nmero decimal teremos outra expresso veja:

como b = + basta substituir na expresso.

(a1 + + )2 = a12 + 2a1( + ) + ( + )2

(a1 + + )2 = (a1 + b)2 = a12 +

Como a expresso j est simplificada o terceiro termo vale:

= c0 + caso tenha um nmero inteira.

Na resoluo da potenciao da expresso anterior foi utilizado o produto notvel no que todo processo bastante trabalhoso, por isso o mtodo a se utilizado para facilitar a expresso e como se trata de um binmio, o mais adequado seria a formula do binmio do matemtico Isaac Newton, definida por.

(a1 + b)n = a1 n.(b)0 + a1 n - 1.(b)1 + a1 n - 2.(b)2 ...=

Substituindo em:

(a1 + b)n = (a1 + + )n(a1 + b)n = a1n.b0 + a1n - 1.b1 + a1n - 2.b2 ...= o

IGUALDADE DE DOIS NMEROS DECIMAIS.

Dois nmeros decimais n1 e n2 so iguais quando e somente temos uma igualdade de denominadores ou mltiplos de 10 (em relao parte decimal desse nmero) e uma igualdade para a parte inteira desse nmero.

Exemplo:

Sejam n1 = n2 dois nmeros decimais de modo que se tenha: n1 = a + e n2 = c + ento teremos a seguinte igualdade:

(a = c) parte inteira e ( = ) a parte decimal, como os denominadores so iguais afirmamos que (b = d).

Na resoluo das expresses e equaes so necessrios, informaes a respeito dos nmeros decimais ou, seja se n = a,b ( n = 2,4 as informaes que podemos citar so: a + b = 6 ; a = 2 ou b = 4 e assim por diante.

1Exemplo:

Resolver a equao dada por n + 2,1 = 5,9 de modo que se tenha a + b = 11 e como sabemos n um nmero decimal na forma de n = a + . Basta agora substituir na equao:

Observao: m = 1.

a + + 2 + = 5 +

a + + 2 + = 5 + como pode conter um nmero inteiro fazemos = c + substitumos na equao anterior.

a + c + + 2 + = 5 + fazendo a igualdade dos termos que representam a parte inteira e decimal do nmero.

a + c + 2 = 5 I equao (parte inteira)

+ = II equao (parte decimal)

= c + III equao (parte decimal seguido de um nmero inteiro)

a + b = 11 IV equao.(Informao dada a equao)

Isolando o valor (a) e (b) nas equaes I,II,III,IV teremos ento:

a = 3 e b = 8 como sabemos que n = a + basta substituir n = 3 + ou n = 3,8.

Forma Trigonomtrica do nmero Decimal.

Seja o plano cartesiano (a,b).

b

x

a

Sendo n = a + e utilizando a relao trigonomtrica de seno e cosseno no tringulo retngulo.

sen.( = , cos.( = isolamos (a) e (b).

b = x sen.(

a = x cos.(

Substituindo em n = a + vir:

n = x cos.( + x

n = x (cos.( + ) com x = , portanto a forma trigonomtrica do nmero decimal :

n = .

EMBED Equation.3 Equao Decimal:

toda equao que apresenta com varivel no nmero decimal.

Exemplo 01:

a,2 + 3,b = 5,6 ; 4,a + 2,6 = 6,8 e assim por diante.

Exemplo 02:

Calcule o valor de (a) e (b) na equao definida por:

a,2 + 1,(b + 4) = 2,8

a + + 1 + = 2 + fazendo a igualdade das parcelas ou termos teremos:

a + 1 = 2 I equao

+ = II equao

Resolvendo as equaes I e II encontramos para a = 1 e para b = 2 substituindo nos nmeros decimais a,2 e 3,(b + 4) os nmeros so 1,2 e 3,6.

Potenciao do Clculo Decimal.

Seja a equao dada n2 = 1,44, calcule o valor de n? Como sabemos que n um nmero decimal na forma de n = a + ou melhor na forma de n = a + pois m = 1.

(a + )2 = 1,44

a2 + + = 1,44 como existe a igualdade das parcelas vir:

a2 + + = 1 +

a2 = 1

=

=

Isolamos (a) e (b) nas equaes acima.

a = 1

b = 2

Substituindo em n = a,b a raiz da equao n = 1,2

Observamos na equao anterior que existe uma igualdade das parcelas, caso contrrio no possvel encontrarmos os valores de (a) e (b).

Com base nessa informao deixa, duvidoso, certas formas de nmeros decimais, um exemplo a ser citado um deles:

n2 = 2,42 como n = a + ento:

(a + )2 = 2,42

a2 + + = 2,42

a2 + + = 2 + Obedecendo a igualdades das parcelas.

a2 = 2

=

=

Isolamos o valor de (a) e (b) nas equaes acima teremos:

a =

b =

Como n = a,b basta substituir n = , porm esse nmero no existe no conjunto universo dos nmero reais e imaginrios, mas o mesmo obedecer a potenciao da equao e se tem a igualdade.

Veja:

Temos que provar que n2 = 2,42 com esse nmero n = ,.

(,)2 = 2,4 2

(,)2 = (,).(,) Usando o mtodo para resolver.

,

,

2 2

2 2

2,4 2

Esses nmeros podem ser representados pelo conjunto:

A {(1,21),(2,42),(3,69)...}.

Observamos nas equaes que n = a + pode ser representada por outra forma

n = (a + )n ou n = (a + b)n somente para equaes.

Elaborado POR

Expresso Cultural

PAGE 4 Clculos Decimais

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