cálculo ii

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Agnaldo Souza Pereira Cludio Barros Vitor Jefferson Pereira de Oliveira

ClculoII

4.Manaus 2007

Perodo

FICHA TCNICAGovernador

Eduardo BragaViceGovernador

Omar AzizReitora

Marilene Corra da Silva FreitasViceReitor

Carlos Eduardo S. GonalvesPrReitor de Planejamento

Osail de Souza MedeirosPrReitor de Administrao

Fares Franc Abinader RodriguesPrReitor de Extenso e Assuntos Comunitrios

Roglio Casado MarinhoPrReitora de Ensino de Graduao

Edinea Mascarenhas DiasPrReitor de PsGraduao e Pesquisa

Jos Luiz de Souza PioCoordenador Geral do Curso de Matemtica (Sistema Presencial Mediado)

Carlos Alberto Farias JenningsCoordenador Pedaggico

Luciano Balbino dos Santos NUPROM Ncleo de Produo de MaterialCoordenador Geral

Joo Batista GomesEditorao Eletrnica

Helcio Ferreira JuniorReviso Tcnicogramatical

Joo Batista Gomes

Pereira, Agnaldo Souza. P436c Clculo II / Agnaldo Souza Pereira, Cludio Barros Vitor, Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. (Licenciatura em Matemtica. 4. Perodo) 92 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Clculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cludio Barros. II. Oliveira, Jefferson Pereira de. III. Srie. IV. Ttulo.CDU (1997): 517.2/.3

SUMRIOUNIDADE I Funes de vrias variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 01 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 02 Domnio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 03 Grficos de funes de duas variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 04 Limites e continuidade para funes de vrias variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 05 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 06 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIDADE II Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 01 Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 02 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIDADE III Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 01 Caminhos e curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 02 Comprimento de curvas e caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 03 Definio de integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIDADE IV Integrais mltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 01 Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 02 Integrais repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 03 Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 04 Mudana de variveis nas integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 05 Aplicaes da integral dupla e tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIDADE V Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas de Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 10 13 15 19 21 25 27 29 31 35 37 41 45 51 54 56 59 62 64 73 85 93

PERFIL DOS AUTORES

Agnaldo Souza PereiraBacharel em Fsica - UFRJ Mestre em Fsica - UFRJ Licenciado em Fsica - FTESM Doutor em Fsica - UFRJ

Cludio Barros VitorLicenciado em Matemtica UFAM Ps-graduado em Didtica e Metodologia do Ensino Superior - UNESC

Jefferson Pereira de OliveiraLicenciado em Matemtica UCSal Ps-Graduado em Instrumentao para o Ensino da Matemtica - UFF

UNIDADE IFunes de vrias variveis

Clculo II Funes de vrias variveis

UM BREVE HISTRICO

Alm das contribuies em cincias exatas, DAlembert tambm participou, com Denis Diderot, da elaborao de Enciclopdia, uma das maiores obras do Iluminismo. Ao contrrio do que faria supor sua infncia humilde, DAlembert freqentava lugares e festas elegantes, onde conheceu a escritora Julie de Lespinasse, por quem se apaixonou. Quando DAlembert se tornou famoso por suas realizaes intelectuais, sua me biolgica apresentou-se, mas ele, que viveu na casa paterna at os 48 anos, disse-lhe: Sou filho do arteso e de sua mulher. Voc , no mximo, minha madrasta. Jean Le Rond DAlembert faleceu aos 76 anos de idade, em 1783, como um clebre cientista e renomado homem de cultura.

Jean Le Rond DAlembert nasceu em 16 de novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegtimo da marquesa Claudine Guerin de Tencin, escritora, e do cavaleiro Louis-Camus Destouches, oficial do exrcito francs. Logo aps o nascimento, foi abandonado por sua me nas escadarias da Capela de Saint Jean Le Rond, de onde foi levado para um orfanato, espera de adoo. O beb recebeu o nome do santo protetor da capela, e foi adotado por um humilde arteso e sua esposa. Seu pai biolgico, mesmo no reconhecendo a paternidade, custeou-lhe a educao por meio de uma penso. Aos 12 anos de idade, DAlembert ingressou no Colgio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes e Direito, e formou-se advogado em 1738, aos 21 anos de idade. Mais tarde, passa a interessar-se por Medicina e Matemtica, sendo que seu primeiro trabalho matemtico publicado em 1739, no qual ele apresenta correes de erros que encontrou em um dos livros usado em sua formao. Aos 24 anos de idade, DAlembert j era clebre por seu trabalho em Clculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu Tratado de Dinmica, com importantes contribuies cincia da mecnica. Deixou tambm contribuies para a teoria das equaes diferenciais, em que se destaca o mtodo de soluo de DAlembert para resolver equaes diferenciais no-homogneas por meio de uma equao auxiliar.9

William Rowan Hamilton nasceu em Dublin, em 8 de agosto de 1805. Seus pais morreram deixando o pequeno rfo aos cuidados de um tio, que o educou dentro de uma severa linha de comportamento, dando-lhe uma educao abrangente, com forte nfase em lnguas estrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anos de idade, lia e recitava Homero em grego; aos 8 anos, j falava fluentemente o italiano e o francs. Aos 10 anos de idade, aprendeu a lngua rabe. Seu interesse pela matemtica surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecer um jovem norte-americano chamado Zertah Colburn, que possua fantstica habilidade para realizar clculos mentais. Ingressou no Trinity College, em 1824, tendo sido o primeiro colocado entre 100 candidatos no concurso de admisso. Aos 22 anos, ainda estudante, j era dire-

UEA Licenciatura em Matemtica

tor de um observatrio. Hamilton dedicou-se leitura das obras de Newton e de Laplace, e criou sua prpria formulao da mecnica, conhecida hoje como mecnica hamiltoniana, que tremendamente importante em todos os campos da fsica moderna, notadamente na fsica quntica. Sua vida particular no foi das mais tranqilas; ele teve srios problemas com o alcoolismo. Aps terrvel luta contra o vcio, convence-se de que a nica soluo seria nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida alcolica. Por dois anos, Hamilton manteve-se sbrio, mas durante uma discusso com o astrnomo George Airy, que debochou de seu hbito de beber apenas gua durante festas e solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu, afundando-se ainda mais no vcio. Apesar da desordem em que estava mergulhada sua vida privada, Hamilton ainda se mantinha firme na competio matemtica. Contribuiu para o desenvolvimento do clculo, sendo de sua autoria o termo gradiente para designar o vetor que aponta na direo de maior variao de uma funo escalar. Hamilton tambm realizou pesquisas em tica e solues numricas de equaes diferenciais. O homem que amava os animais e que foi chamado o novo Newton morreu em 1865, deixando uma obra inacabada, que foi publicada por seu filho no ano seguinte.

TEMA 01 INTRODUO O conceito de funo de vrias variveis est intimamente ligado aos fenmenos mais complexos no campo da matemtica aplicada fsica e engenharia. Se um meteorologista, por exemplo, tiver de determinar o comportamento futuro da temperatura de uma regio, ele precisar de um conjunto de dados atmosfricos, como presso do ar, velocidade dos ventos e umidade do ar. Podemos ver, claramente, que a tem