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Cálculo Integral

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Clculo Diferencial

Clculo Integral

Clculo Integral

Libro para el Estudiante

Nivel Medio Superior del

Instituto Politcnico Nacional

Academia Institucional de Matemticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politcnico Nacional- Mxico -ndice

1Clculo Integral

3ndice

5Introduccin

5El marco institucional

6Qu entendemos por ensear y aprender en el rea de matemticas?

8Las Competencias Bsicas y su dimensin matemtica

11El curso de Clculo Integral

12La organizacin del Libro para el Estudiante

14Programa del Curso de Clculo Integral

23Secuencias de actividades de aprendizaje

32MAPOA

32Introduccin

34Algunos materiales auxiliares para la organizacin del aprendizaje que puedes consultar con provecho son:

35Las Matemticas en mi vida. (Una autobiografa matemtica)

35Qu es el portafolio?, Qu debes tener en tu portafolio?

36Las Fichas del modelo PER.

36La Heurstica

37Autoexamen sobre tu manera de pensar.

37Antes de entregar tu reporte, revsalo

38Evaluacin de presentaciones.

38Mapas conceptuales.

38Gua para la elaboracin de reportes de lecturas.

39Autoevaluacin de actividades, actitudes y valores

40Problemas

40Introduccin

43I. Problemas

58II. Problemas con gua

76III. Proyectos

83Ejercicios

83Introduccin

119Lecturas

119Introduccin

121Lecturas

190Lecturas en video

191Autoevaluaciones

191Introduccin

210Bibliografa

Introduccin

El marco institucional

En el Simposio La Prospectiva del IPN y los Desafos para el Siglo XXI, que tuvo lugar a fines del siglo pasado, se destac que el quehacer institucional se debe orientar hacia la creacin de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de solidaridad. En particular, al IPN le corresponde atender a las necesidades del pas para sustentar su desarrollo cientfico y tecnolgico, por lo que deber convertirse en un espacio de socializacin que integre en sus propuestas formativas la ciencia, la tecnologa y el conocimiento con una tica de responsabilidad profesional, en donde el currculo, la pedagoga, la organizacin, el diseo y la aplicacin de las polticas institucionales, tengan la capacidad para actuar consistentemente frente a los escenarios del siglo que comienza.

Para lograr estas metas, el IPN debe mantener un esquema dinmico de accin que lo haga un espacio de formacin, aprendizaje, actualizacin e investigacin de alta calidad; un espacio y una comunidad en los que la permanencia y el apoyo se hagan posibles en funcin del mrito intelectual, la competencia demostrada y el potencial de contribucin social, a donde la sociedad y sus instituciones puedan dirigirse para obtener respuestas confiables a sus cuestionamientos.

Las nuevas exigencias de acreditacin de carreras y de certificacin de egresados, imponen una sistematizacin del desarrollo curricular que obliga a que la reforma acadmica se constituya en un ejercicio permanente que garantice a los egresados el perfil profesional requerido para los tiempos por venir.

As, la educacin que el IPN ofrezca tendr que superar la imagen tradicional de la adquisicin de conocimientos como un fin en s, para insistir en el desarrollo de aptitudes en el nivel de mtodos, de procedimientos y de estrategias de intervencin; por lo que habr que mejorar los programas educativos y de investigacin, adecuar las instalaciones, los recursos humanos y la infraestructura, y fomentar el desarrollo tecnolgico.

En atencin a las demandas que la sociedad le plantea, el IPN tiene como eje de su transformacin un nuevo perfil profesional que orienta el diseo y la instrumentacin de nuevos modelos educativos que proponen una relacin adecuada entre los conocimientos, las habilidades prctico-productivas y las actitudes que dotarn a los estudiantes de capacidad emprendedora, responsabilidad, creatividad y flexibilidad en su desempeo profesional.

En su prospectiva 2000-2015 hacia el nuevo Modelo Educativo Politcnico se seala que el reto no considera cambios radicales pero s contundentes en:

la reorientacin del enfoque y los contenidos de tal manera que el IPN eduque para:

vivir,

aprender,

emprender,

crear

y saber ser;

la presencia de un esquema cultural que ample los horizontes de la ciencia y la tecnologa nacionales;

dar un valor social, econmico y tico a los conocimientos resultantes, para estar presente en los circuitos de la distribucin mundial de los saberes;

proveer de servicios y haberes a la poblacin del pas;

y de contribuir a mantener la equidad, la unidad y el bienestar nacionales.

Estos son los desafos que, en palabras de la propia institucin, el IPN reconoce para el presente y el futuro inmediatos.

Qu entendemos por ensear y aprender en el rea de matemticas?

Cuando una persona adopta el papel de estudiante y se encuentra con sus profesores y con sus compaeras en el saln de clases hay un acuerdo implcito, el estudiante est ah para aprender y el profesor para ensear. Tu experiencia en la escuela te ha formado una nocin intuitiva de lo que estas dos ideas y prcticas significan y de lo que puedes esperar de una clase. Sin embargo, el sistema educativo que hemos heredado no se dise para que aprendieras a actuar en forma adaptativa en un ambiente complejo inundado por la tecnologa. Sus objetivos no consideraron que fuera necesario, o siquiera posible, que pudieras aprender a interpretar textos no familiares con propsitos variables, construir argumentos convincentes atendiendo varios niveles, comprender sistemas complejos, desarrollar diversos enfoques a los problemas o llevar a buen fin la solucin de un problema trabajando en grupo. Pero la sociedad requiere cada vez ms una educacin que se centre en las llamadas habilidades intelectuales de orden superior. Estas habilidades, de nombre tan elegante, son las que aplicas cuando tomas decisiones, resuelves problemas, organizas tu propio aprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos y actividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas tienes que enfrentarte a verdaderos problemas, si quieres aprender a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumir las consecuencias... Todo esto es complicado, pero es lo que haces, y vas a seguir haciendo cada vez ms, dentro y, sobre todo, fuera de la escuela. Resnick, conocida investigadora en educacin matemtica, quien ha estudiado este pensamiento de orden superior, lo caracteriza sealando que:

no es algortmico, porque las vas por las que circula no estn bien definidas previamente,

es complejo, porque no basta una perspectiva,

da lugar a soluciones diversas, cada una con sus costos y beneficios,

requiere de la aplicacin de criterios mltiples, en ocasiones contradictorios, que al aplicarse producen juicios matizados,

va acompaado de una fuerte carga de incertidumbre, no se suele conocer todo lo que se necesita,

debe auto-regularse,

comprende la asignacin de un significado, encontrando la estructura que subyace al desorden aparente

y exige un esfuerzo considerable, un trabajo intelectual con propsitos definidos en diversos niveles.

De la Prospectiva del IPN podemos retomar la orientacin que se debe dar al quehacer institucional hacia la creacin de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de solidaridad. Esto es una invitacin para contribuir a una reforma educativa imaginativa y muy exigente, que requiere una reconceptualizacin de lo que significa tener clase. Para nosotros, tus profesores, ensear matemticas significar crear las condiciones que, con tu indispensable participacin protagnica, producirn la apropiacin del conocimiento, el desarrollo de las habilidades y la formacin de las actitudes. Aprender matemticas significar involucrarse en una actividad intelectual exigente, cuya consecuencia final ser la disponibilidad de un conocimiento dual: como instrumento y como objeto. As, saber matemticas significar el desarrollo de estos dos aspectos del conocimiento:

Como instrumento, el conocimiento matemtico est inscrito en un contexto. En este caso es necesario usar las nociones y teoremas matemticos que considera el programa de la materia para resolver problemas e interpretar situaciones nuevas.

Como objeto, el conocimiento est descontextualizado y es atemporal. Debes ser capaz de formular definiciones, enunciar y demostrar teoremas e identificarlos como elementos de una disciplina: la matemtica.

Los tres pensamientos siguientes nos sealan aspectos que debemos considerar en nuestro aprendizaje:

Oigo y olvido,

veo y recuerdo,

hago y comprendo.

Un viejo proverbio chinoHacer... y reflexionar acerca de lo que se hace.

Seymour Papert

No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo

As decan los griegosEs decir, oyendo, viendo, haciendo... pero adems reflexionando y comunicando.

As nuestro modelo se puede sintetizar, de manera esquemtica, en la trada:

Figura 1. Trada Hacer - Reflexionar ComunicarEl desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino que debe contar con una nueva actitud del estudiante, que tambin se responsabiliza y se compromete con su aprendizaje. Juntos podrn discutir y definir las distintas maneras de desarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas y sus riesgos.

Las Competencias Bsicas y su dimensin matemtica

Nuestro marco de referencia lo establece la SEP en sus competencias bsicas del estudiante de bachillerato. Las competencias bsicas se refieren al dominio, por parte del estudiante, de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para la comprensin del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnologa, como para su aplicacin en la solucin de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo que deben ser comunes a todos los bachilleratos del pas.

Se considera que las competencias bsicas que se deben desarrollar durante el paso del educando por el bachillerato son:

Expresarse correcta y eficientemente en espaol, tanto en forma oral como escrita, as como interpretar los mensajes en ambas formas.

Manejar la informacin formulada en distintos lenguajes y discursos (grficos, matemticos, simblicos, de cmputo, etc.).

Utilizar los instrumentos culturales, cientficos, metodolgicos y tcnicos, bsicos para la resolucin de problemas en su dimensin individual y social, con actitud creativa y trabajando individualmente o en grupos.

Comprender, criticar y participar racional y cientficamente, a partir de los conocimientos asimilados, en los problemas ecolgicos, socioeconmicos y polticos de su comunidad, regin y del pas.

Aprender por s mismo, poniendo en prctica mtodos y tcnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual.

Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en lo que se refiere al conocimiento de s mismo, su autoestima y autocrtica, salud fsica y formacin cultural y esttica, a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en lo social.

Desempearse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana.

Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visin global del medio natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad.

En cada una de las competencias anteriores hay una componente matemtica, por lo que en el rea de matemticas se trata de lograr los conocimientos, las habilidades y las actitudes que al articularse con los de las otras reas te permitan desarrollar significativamente estas competencias. Estos objetivos, que sin duda quieres lograr tanto como nosotros, exigen nuevas modalidades de trabajo, a las que quizs no ests acostumbrado, y pueden causarte conflictos, cierta desesperacin, algo de presin, pero, segn afirman los expertos como Resnick, los aprendizajes complejos no se logran aislando las componentes visibles, desarrollndolas e integrndolas posteriormente, sino mediante experiencias que ponen en juego, simultneamente, tanto las habilidades de ndole general, como los conocimientos especficos, junto con tu disposicin para embarcarte en situaciones con una fuerte carga de riesgo e incertidumbre. Estos buenos propsitos son ms complejos, lograrlos es una tarea ms difcil pero tambin, creemos, ms atractiva e interesante.

La experiencia bsica en nuestras clases se definir por nuestra relacin con los problemas. La resolucin de un problema en la clase es un proceso muy complejo cuando los problemas que enfrentas son verdaderos problemas. Debido a esta complejidad, los factores que intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema, y comprender algo significativo como resultado de la interaccin con el problema, son muchos y de distintos niveles. La desatencin de uno, o varios, de estos factores puede entorpecer y a veces hacer imposible la solucin de un problema o la comprensin que se deriva de la interaccin fecunda con el problema. Una componente que influye de manera determinante corresponde a la forma en que las personas interactan durante la resolucin de un problema. Piensa en un laboratorio en el que se realizan algunos procesos complejos, los factores que intervienen en dichos procesos se administran, se registran continuamente y algunos de ellos se controlan. As, si queremos crear un ambiente propicio para el desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior es necesario que aprendamos a participar en cada modalidad de trabajo: individual, equipo y grupo completo.

El desarrollo de la tecnologa, verdaderamente impresionante en la actualidad, ha perfilado el mundo en que vivimos. Nuestra cultura cuenta ya con una componente matemtica que no slo atae al especialista sino al ciudadano. Las matemticas estn tan inevitablemente incorporadas a nuestra vida cotidiana que, si hemos sobrevivido, es porque, de alguna manera, hacemos un buen uso de las pocas o muchas matemticas que sabemos.

La herramienta tecnolgica por excelencia es la matemtica, pero la matemtica es una herramienta dinmica porque para cada problema nuevo hay que disear una herramienta nueva; basta revisar la gran cantidad de matemticas nuevas que se han hecho, especialmente en la segunda mitad del siglo pasado, y el papel que han desempeado en la solucin de los problemas importantes de todas las reas.

Anteriormente, los objetivos que persegua una sociedad, o una institucin, cambiaban cada dos o tres generaciones. Actualmente, los objetivos se revisan constantemente y el cambio forma parte de nuestra realidad cotidiana. Los conocimientos que hace veinte aos estaban vigentes en la electrnica, por poner un ejemplo, hoy son casi totalmente obsoletos. Ms que conocimientos especficos, que en cierta medida siguen siendo necesarios, lo que se trata de lograr en la educacin de hoy es la capacidad para ser autosuficiente cuando se organiza el aprendizaje que nos exige el ejercicio de la profesin.

Para organizar uno mismo su aprendizaje es necesario desarrollar:

las habilidades para usar el conocimiento y articular los conocimientos en pos de un propsito ms complejo;

las actitudes que nos permiten enfrentar situaciones con una componente importante de incertidumbre;

la capacidad para transferir, es decir, aplicar en una situacin distinta a aqulla en la que aprendimos, los conocimientos que adquirimos.

El conocimiento debe ser uno de los principales elementos que determinen la relacin entre un profesor y sus alumnos. Pero la clase tambin es un sitio de interaccin de costumbres y creencias de cada uno de sus participantes, es conveniente contar con un lenguaje comn que nos permita tener un ambiente que propicie la enseanza y el aprendizaje desde la perspectiva descrita. As, cada una de nuestras experiencias de aprendizaje dentro del saln de clases tendr un doble propsito: aprender a crear un ambiente de trabajo y aprender matemticas.

El ambiente estar dirigido a promover la independencia del estudiante y la responsabilidad que debe tener en su aprendizaje, a travs de:

El trabajo individual y en equipo.

La resolucin de actividades matemticas.

La discusin matemtica.

La evaluacin de tu trabajo y del trabajo de tus compaeros en el equipo y en el grupo.

Cuando se lee sobre el pensamiento de orden superior, sobre tener una actitud participativa, crtica y creativa, se suele decir, s, parece deseable y necesario, quiero lograrlo, pero cmo lo hago?. En la Academia de Matemticas hemos reconocido la gran dificultad que hay para lograr estos objetivos y, junto con los Clubes de Matemticas de varias escuelas, hemos diseado y adaptado una serie de materiales auxiliares para la organizacin del aprendizaje, que te servirn para traducir en acciones cotidianas este importante propsito. Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se usan y comentan constantemente durante las experiencias de aprendizaje. En la medida en que, tanto el profesor como los alumnos, se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje comn, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje ms importantes. En una seccin de este Libro se tiene un comentario un poco ms amplio de estos Materiales Auxiliares para la Organizacin del Aprendizaje (MAPOA). En trminos generales, estos auxiliares concretan la expresin responsabilizarse de su aprendizaje y contribuyen al logro de tu autonoma como alumno en la organizacin de tu propio aprendizaje.El curso de Clculo Integral

El IPN tiene fama de ser uno de los mejores bachilleratos en matemticas de Mxico. La gran mayora de ustedes seguramente se enorgullece de tener cierta facilidad para las matemticas. El quinto curso del rea de Matemticas se llama Clculo Integral. En el curso anterior comenzaste el estudio del Clculo Diferencial. Como en el curso anterior, aprenders cosas nuevas y desarrollars nuevas habilidades matemticas, pero conforme avances en su estudio podrs darte cuenta que gran parte de los conceptos bsicos te han acompaado durante toda tu vida. El Clculo, Diferencial e Integral, se ocupa de estudiar los fenmenos del cambio y la variacin, usa las herramientas que has aprendido en tus cursos anteriores para analizar con nmeros, diferencias, cocientes, tablas y grficas, las cantidades que cambian. Enfrentars un reto en la comprensin y el uso de una operacin nueva: el lmite, que te brindar la oportunidad de reflexionar sobre los procesos infinitos. Adems, en este curso vas a adquirir el lenguaje con el que estn escritos los principales avances cientficos y tecnolgicos que tenemos hoy en da. Y tendrs oportunidad de plantear y resolver tus primeras ecuaciones con derivadas, que sirven para modelar fenmenos interesantes y resultan tiles en muchos campos del saber.Por supuesto que este tipo de aprendizaje es ms difcil. As como el espacio de nuestra experiencia bsica tiene varias dimensiones, una longitud, una anchura, una profundidad y un tiempo, el aprendizaje que queremos lograr tiene varias dimensiones: los conocimientos, las habilidades, las actitudes y la transferencia. Necesitamos aprender a identificar y lograr objetivos en varias dimensiones, a vivir este aprendizaje multidimensional en la escuela, particularmente en nuestras clases de matemticas.

Segn lo estipula tu programa, el objetivo general del curso de Clculo Integral dice: El curso permitir al alumno: Continuar el estudio de las funciones, sus grficas, comportamiento, propiedades y aplicaciones.

La adquisicin de las tcnicas y los procedimientos propios del clculo integral.

El empleo de las tcnicas y los procedimientos tanto del clculo integral como del diferencial, en la solucin de problemas diversos.

Integrar los conocimientos adquiridos en aritmtica, lgebra, geometra, trigonometra, geometra analtica y clculo diferencial.

Desarrollar sus habilidades para el anlisis, el razonamiento y la comunicacin de su pensamiento en la resolucin de problemas.

Resolver problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde la perspectiva del clculo.

Prepararse para la asimilacin de aprendizajes ms complejos y la resolucin de problemas en el rea tecnolgica.

El mtodo de trabajo se basa en la problematizacin continua, la formulacin de conjeturas y la revisin sistemtica de los conocimientos adquiridos, utilizando tcnicas grupales para el anlisis y la discusin, as como tcnicas expositivas y de indagacin, apoyadas con recursos audiovisuales y tecnolgicos (computadora, calculadora, etc.), procurando que la relacin entre el alumno y el objeto sea constructiva.

Durante todo el desarrollo del curso, se promovern el anlisis, la solucin y la discusin de problemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciacin de su propio trabajo personal, el de sus compaeros y el de su profesor.

Deber tenerse presente que la resolucin de problemas es la que permite generar e integrar conocimientos, favorece su asimilacin y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. En este proceso el docente es el organizador de las experiencias de aprendizaje del estudiante, que problematiza, proporciona informacin y crea cdigos de instruccin, de manera que sus alumnos puedan interactuar con los problemas planteados y, mediante esta interaccin, avanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, a lo largo de las actividades, los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresin matemtica: lenguajes natural, simblico y grfico, as como al uso de tablas y diagramas.

En trminos generales, la enseanza de los temas no debe seguir la exposicin magistral, sino fomentar el trabajo en equipos y la exposicin de las experiencias logradas por parte de sus integrantes a travs de una adecuada planeacin de las actividades de aprendizaje.

Las matemticas que aqu estudiaremos deben ser algo ms que la manipulacin de expresiones simblicas y la realizacin de operaciones desvinculadas de un contexto que les d sentido a las preguntas que debemos responder. Se deben convertir en una herramienta de modelacin en el estudio de situaciones reales, generalmente con el objeto de predecir y de controlar, cuando es ticamente aceptable, algunas de sus caractersticas pero, primordialmente, con el objeto de contribuir a explicarnos mejor los fenmenos del mundo en que vivimos.

La organizacin del Libro para el Estudiante

En este Libro se incluyen varios tipos de actividades de aprendizaje. Cada actividad tiene un objetivo dentro de toda la red de experiencias consideradas en el curso y se presenta como un apartado en este Libro:

Problemas

Problemas

Problemas con gua

Proyectos

Lecturas

Ejercicios

Tareas

Autoevaluaciones

El Libro va acompaado de un disco compacto que incluye algunos paquetes y actividades que contribuirn a tu aprendizaje del lgebra, la Geometra, la Trigonometra, la Geometra Analtica y el Clculo. Las actividades se desarrollan en un ambiente que favorece el autoaprendizaje, la autoevaluacin, el trabajo en equipo, el manejo de la incertidumbre, la apropiacin de estrategias personales para el manejo de situaciones no familiares, el empleo de formas de pensamiento lgico y el uso de tecnologa como una herramienta.

Las actividades estn planeadas para que estudiantes y profesores interacten con diferentes elementos (los problemas, los problemas con gua, los proyectos, los ejercicios, las lecturas y las exposiciones) que brindan las experiencias complementarias que son necesarias para el logro de los objetivos del programa.

La ctedra, disertacin o exposicin magistral del profesor, merece un comentario aparte. El profesor slo har matemticas frente a ti en ocasiones bien planeadas, cuando ests preparado para beneficiarte de sus explicaciones y participar con preguntas y comentarios, pero frecuentemente sers t quien haga matemticas con tus compaeros al realizar las actividades de aprendizaje. Las explicaciones del profesor, en general, tendrn como punto de partida el trabajo del grupo. En algunos casos resolvers completamente un problema (es un decir, un problema nunca termina, siempre engendra otros) pero en otras, quizs lo que obtengas de tus afanes sean preguntas bien formuladas, que no es algo desdeable, sino, por el contrario, algo indispensable para lograr un aprendizaje profundo y duradero, porque le da un sentido personal a una situacin que, en principio, nos puede resultar ajena.

En el cuadro siguiente se encuentra una descripcin del tipo de actividades que se desarrollarn durante este curso:

Actividad de aprendizajeEn qu consiste?

Resolucin de problemasUna actividad en la que se vinculan las herramientas matemticas con algunos conceptos utilizando un contexto. Se trata de propiciar la interaccin del estudiante con una situacin, familiar o no, en la que se usan las matemticas y se formulan o responden preguntas que contribuyen a la conceptualizacin de los objetos matemticos.

En la clase, se propone a los estudiantes un problema, que puede contener un cuestionario gua, para resolverlo, generalmente, en equipo. El profesor orienta a los estudiantes en la solucin del problema. Los alumnos presentan y validan la solucin.

Desarrollo de ProyectosEs una tarea extraclase de varias etapas que requiere de un esfuerzo coordinado durante varios das o semanas, de la consulta a fuentes de informacin actualizada como peridicos, revistas o entrevistas a personas vinculadas con alguna situacin problemtica propicia para un anlisis matemtico.

Los estudiantes investigan, buscan y organizan su trabajo. Consultan con su profesor, quien los orienta y realimenta en cada una de las etapas del proyecto. Se produce un informe que se presenta y discute en el grupo.

Resolucin de ejerciciosSe trata de profundizar en el conocimiento de los algoritmos, de comprender por qu funcionan y practicarlos, de ser posible con el auxilio de herramientas tecnolgicas, de ser capaces de generarlos, a partir de la solucin de los problemas, de explorarlos y generalizarlos.

Los estudiantes trabajan, generalmente, en forma individual exponen y validan la solucin. El profesor dirige y orienta, reformula e introduce las convenciones de la disciplina.

LecturasSe trata de que el alumno interacte con un texto con el objeto de generar una interpretacin global, de identificar la estructura del texto, de reformular sus ideas principales, de comentarlo y conectarlo con el curso, de formular y resolver dudas, todo desde la perspectiva del desarrollo de una cultura matemtica.

Se realiza generalmente fuera de la clase, dejando slo la discusin para la clase y, de ser posible, su prolongacin en un foro de discusin en la red.

CtedraConsiste en retomar o conducir el trabajo de los estudiantes mediante anotaciones pertinentes. Formula nuevos problemas, comenta definiciones, teoremas o demostraciones y su papel en la organizacin del conocimiento matemtico.

El profesor retoma las soluciones de sus estudiantes para presentar y discutir nuevos temas as como para formalizar el conocimiento.

AutoevaluacinEs un cuestionario diseado para que el alumno pueda evaluar sus avances con respecto a un objetivo bien definido. Aqu se encuentran organizadas por unidad. El alumno mismo puede contrastar sus respuestas con las que se incluyen para medir sus logros.

Las secciones estn organizadas segn el tipo de actividad de aprendizaje. En la primera seccin encontrars la secuencia que corresponde a cada unidad del programa de la asignatura. La organizacin de las actividades que aqu se presenta constituye una propuesta flexible y fundamentada que puede ser modificada por el profesor.

En cuanto al uso de las herramientas tecnolgicas en las actividades de aprendizaje, hay que destacar que, en el rea de Matemticas, este uso se reconoce como un aspecto natural de nuestra sociedad y, por consiguiente, debe estar presente cotidianamente en nuestras clases, en la medida de lo posible, con el doble propsito de contribuir a fortalecer la comprensin de los alumnos y de permitir que se familiaricen con la interaccin mediada por estos dispositivos que caracteriza el ejercicio de las profesiones en la actualidad. As, en particular, se considera el uso responsable, pero continuo, de las calculadoras con poder de graficacin y con sistemas de lgebra computacional, las hojas de clculo y los programas de computadora diseados para el aprendizaje y el uso del lgebra, la Geometra y el Clculo.

Los programas vigentes de matemticas en el IPN reconocen que un examen escrito no permite evaluar todos los tipos de aprendizajes sealados antes, por ello incorpora la llamada evaluacin continua, en la cual se ponderan habilidades y actitudes que se van desarrollando paulatinamente.

Programa del Curso de Clculo Integral

Objetivo General

El curso permitir al alumno: Continuar el estudio de las funciones, sus grficas, comportamiento, propiedades y aplicaciones.

La adquisicin de las tcnicas y los procedimientos propios del clculo integral.

El empleo de las tcnicas y los procedimientos tanto del clculo integral como del diferencial, en la solucin de problemas diversos.

Integrar los conocimientos adquiridos en aritmtica, lgebra, geometra, trigonometra, geometra analtica y clculo diferencial.

Desarrollar sus habilidades para el anlisis, el razonamiento y la comunicacin de su pensamiento en la resolucin de problemas.

Resolver problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde la perspectiva del clculo.

Prepararse para la asimilacin de aprendizajes ms complejos y la resolucin de problemas en el rea tecnolgica.

Observacin General

El orden de los contenidos en cada tema no implica una secuencia de enseanza, sino que el profesor podr modificarlo como considere conveniente para el desarrollo de su curso y el aprendizaje de sus alumnos.

Aquellos contenidos que no aparezcan explcitamente citados en los programas y que el profesor quiera introducir para enriquecer su curso, podrn ser tratados a travs de ejercicios, problemas y aplicaciones, dentro de los tiempos marcados por cada unidad.

Lineamientos Generales

Durante todo el desarrollo del curso, se promovern el anlisis, la solucin y la discusin de problemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciacin de su propio trabajo personal, el de sus compaeros y el de su profesor.

Deber tenerse presente que la solucin de problemas es la que permite generar conocimiento, favorece su asimilacin y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. En este proceso el profesor es un facilitador del aprendizaje, que problematiza, proporciona informacin y crea cdigos de instruccin, al mismo tiempo que organiza el trabajo en clase de manera que sus alumnos puedan resolver los problemas planteados y avanzar hacia nuevos conocimientos, a lo largo de la actividad, es importante que los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresin matemtica: lenguajes natural, simblico y grfico, as como el uso de tablas y diagramas.

Las cuatro lneas indispensables a desarrollar en el curso de Clculo Integral

Este programa de Clculo Integral contempla cuatro grandes lneas de desarrollo, que se debern ir tratando y desplegando a lo largo de todo el curso:

El conocimiento de las funciones, sus grficas, comportamiento, propiedades y aplicaciones.

La apropiacin gradual de los procedimientos y tcnicas del clculo integral.

El estudio de la relacin entre la integral y la derivada a travs de los procesos grficos, numricos y algebraicos

La aplicacin de los procedimientos del Clculo Integral a la solucin de problemas diversos.

El enfoque adoptado en este curso, para desarrollar los conceptos bsicos del clculo integral, es fundamentalmente intuitivo, y trata de integrar en cada momento el aspecto grfico, el numrico y el simblico, para lo cual es recomendable, en la medida de lo posible, el empleo de herramientas electrnicas, tales como paquetes de computadora y calculadoras con poder de graficacin.

Existen actualmente varios paquetes y calculadoras que manejan las reglas de derivacin e integracin con bastante eficiencia, por lo cual no es necesario que el alumno en los primeros cursos de Clculo las aprenda todas. Ninguna de estas herramientas numricas, simblicas y grficas ofrecen ayuda en el planteamiento de los problemas ni en la toma de decisiones sobre cul mtodo se debe aplicar para modelar cierto fenmeno.Es importante hacer notar que no es conveniente que haya largos perodos dedicados exclusivamente a la ejercitacin de las frmulas y reglas de derivacin e integracin, sino que, a medida que los estudiantes hayan aprendido nuevos procedimientos para derivar e integrar, los utilicen en la solucin de problemas y aplicaciones.

El programa deber cumplirse hasta sus ltimas unidades. Lo anterior ser posible si el profesor distingue siempre lo esencial de lo accesorio y no insiste en la ejercitacin excesiva de temas de poca importancia para los cuales bastar resolver uno o dos ejemplos en el saln de clase y dejar otros como tarea. Tambin debern evitarse aquellos tratamientos tericos superfluos o innecesarios, o tratar de agotar un tema desde el principio pues el programa ha sido diseado de tal manera que los conocimientos esenciales puedan utilizarse a lo largo de todo el curso.Unidad 1. Antiderivadas e Integrales IndefinidasObjetivo. Que el estudiante conozca y discuta los problemas que dan origen al Clculo Integral. Que desarrolle una primera interpretacin de la integracin como un proceso inverso a la derivacin. Que desarrolle habilidad algortmica en la obtencin de antiderivadas de funciones.1.1 Problemas que dieron origen al Clculo: planteamiento y discusin de problemas relacionados con el clculo de reas y con el movimiento. 1.1 La antiderivada y el concepto de Integral Indefinida; la constante de integracin y discusin de su significado; propiedades de la Integral Indefinida tales como:

;

1.1 Integrales Inmediatas: reconocimiento de patrones para aplicar las frmulas de integracin, llegando hasta cambios de variable sencillos. Para lo cual se sugiere la siguiente lista de integrales:

; ; ; ; ; ; ; ; .

Unidad 2. Integral DefinidaObjetivo. Que el estudiante, a partir de el planteamiento, la discusin y el anlisis de los problemas de encontrar el rea bajo una curva y la determinacin del cambio total de una funcin en un intervalo a partir de su rapidez de cambio, asocie la integral con el proceso de obtener lmites de sumas cuando el nmero de trminos de stas se hace infinito y a partir de ello construya la nocin de integral definida. Que el estudiante identifique la conexin entre la derivada y la integral definida expresada en el Teorema Fundamental del Clculo y que d argumentos geomtricos para justificarlo. 2.1 Problemas que originan la Integral Definida.Determinacin de reas de regiones limitadas por grficas de funciones sencillas, como: ; ; ; ; y el eje de las , en un intervalo , con .

Obtencin del cambio total de una funcin en un intervalo a partir de su rapidez de variacin (), como por ejemplo analizando el caso donde la funcin representa al desplazamiento de un cuerpo en cada libre y expresa la rapidez en cada instante con .2.2 La nocin de Integral Definida como lmite de una suma.

2.3 La funcin rea:

asociada a una funcin continua con en y sus propiedades.

Construir la funcin rea de funciones muy simples como ; ; .

Verificar en los ejemplos anteriores que se cumplen las propiedades:

i) .ii) es continua y creciente.

iii) es una primitiva o antiderivada de , es decir:

iv) Si es una primitiva de , distinta de , entonces:

2.4 El Teorema Fundamental del Clculo y su justificacin.

Si es primitiva de la funcin continua , para , entonces

ejemplos de aplicacin para casos sencillos.2.5 Las propiedades de la integral definida.

i)

ii) Si , entonces

iii)

iv)

v)

vi) con .Unidad 3. Aplicaciones de la Integral DefinidaObjetivo. Que el estudiante ample y enriquezca sus conocimientos de la integral vista sta como una herramienta para determinar la medida del efecto total de un proceso de cambio continuo, en la aplicacin de problemas de Fsica, Economa, Biologa y Geometra. Que se introduzca en las tcnicas de integracin numrica para resolver aquellos problemas difciles o imposibles de resolver simblicamente.3.1 Aplicaciones de la integral definida a la Fsica, como pueden ser; fuerza hidrosttica y presin, gasto, trabajo mecnico, problemas de movimiento, centro de gravedad, etc.

Biologa, flujo sanguneo, temperaturas, etc.

Economa, valor presente y valor futuro de un pago, corriente de ingresos, etc. 3.2 Aplicaciones de la Integral Definida a la Geometra: Para el clculo de reas bajo curvas y entre curvas.

Para el clculo de volmenes, desarrollando la idea de slido de revolucin, discutiendo una o dos tcnicas para calcular volmenes (discos, capas) contrastndolas.

Discusin del problema de calcular la longitud del trazo de una curva (longitud de arco). Resolucin de uno o dos ejemplos en coordenadas rectangulares.

3.3 Ejemplos de integracin numrica, empleando distintos mtodos; trapecio, punto medio, Simpson y discusin del error que se produce en cada caso. Trabajar ejemplos con funciones algebraicas, trigonomtricas y exponenciales.

Unidad 4. Ecuaciones que contienen Funciones y sus Derivadas.Objetivo. Que el estudiante plantee y explore ecuaciones cuyas soluciones son funciones y no nmeros. Que valore la potencia del clculo diferencial e integral al aplicarlo al estudio de fenmenos de variacin de una funcin que ocurren en reas diversas de la ciencia y que involucran funciones de una variable as como sus tasas de variacin. Que el estudiante cuando sea posible determine explcitamente la solucin general de la ecuacin e interprete su comportamiento conociendo algunas condiciones iniciales; en los casos en que no sea posible, bastar con determinar una relacin que defina implcitamente la solucin.4.1 Problemas que involucran funciones con tasa de variacin constante. Ecuaciones de la forma , y de la forma . Anlisis de fenmenos donde la funcin vara a tasa constante o bien donde la variacin de la tasa de cambio ocurre a una razn constante.

Problemas de movimiento donde la velocidad es constante.

Problemas donde una partcula se desplaza con aceleracin constante: movimiento en cada libre y tiro vertical.

4.2 Problemas asociados a fenmenos donde la tasa de variacin es proporcional a la funcin.

como pueden ser:

absorcin y eliminacin de un medicamento o droga; crecimiento no restringido de una poblacin, poblacin con un lmite, poblacin considerando ndices de natalidad y mortalidad;

ley de enfriamiento de Newton;

ley de Lambert para absorcin de radiacin;

reaccin qumica donde interviene una sola sustancia, reaccin qumica donde se produce una sustancia a razn constante, al mismo tiempo que se consume proporcionalmente a la cantidad producida;

grado de concentracin en depsitos con dos tipos de sustancias;

variacin de presin atmosfrica con la altura;

movimiento de un cuerpo sujeto a una fuerza de friccin, la cual es proporcional a la velocidad con que ste se desplaza en lnea recta,

movimiento de un capital a tasa de crecimiento de porcentaje continuo,

proceso de aprendizaje y olvido de palabras.4.3 Anlisis de los siguientes fenmenos: movimiento de un lquido viscoso dentro de un tubo, para determinar la velocidad y la cantidad de fluido que sale del tubo,

movimiento de un cohete lanzado radialmente desde la superficie de la tierra, para determinar la velocidad de escape.4.4 Problemas que conducen a ecuaciones del tipo:

como pueden ser:

movimiento de un pndulo simple

oscilador armnico

oscilaciones amortiguadas por la resistencia del aire.

Unidad 5. Mtodos de Integracin IObjetivo. Que el estudiante desarrolle habilidad en el empleo de las tcnicas de integracin por partes para resolver expresiones no contempladas en su formulario bsico y de cambio de variable o sustitucin para transformar una expresin a integrar en otra que le sea conocida.

5.1 Integracin por cambio de variable; casos donde se requieren transformaciones algebraicas, manipulaciones trigonomtricas donde el argumento no cambia y casos donde el argumento se modifica.5.2 Integracin por partes; discutir casos dependiendo de las caractersticas del integrando (cuando esta formado por una algebraica y una trascendente, dos trascendentes, etc.).5.3 Integracin de potencias trigonomtricas; desarrollar los casos ms frecuentes, los otros casos se pueden tratar con frmulas de recursin.Unidad 6. Mtodos de Integracin IIObjetivo. Que el estudiante desarrolle habilidad en el empleo de las tcnicas de cambio de variable o sustitucin trigonomtrica para transformar una expresin a integrar en otra que le sea conocida y de integracin por descomposicin de fracciones parciales para resolver integrales no contempladas en su formulario bsico.6.1 Integracin por sustitucin trigonomtrica; integrales que contienen las formas , , .6.2 Integracin por descomposicin de fracciones parciales; integrales que contienen las formas , , , .

Bibliografa

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Mochn, SimnQuiero entender el clculoIberoamrica1 Ed. 1995, Mxico, DF

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Hockett, Shirley O. y Sternstein, MartinClculo por objetivos y aplicacionesCECSA1 Ed. 1982, Mxico, DF

Wenzelburger, E.

Clculo IntegralIberoamrica1994, Mxico, DF

ASPECTO A EVALUARDEFINICIN OPERATIVAFORMA DE EVALUACINEVALUACIN

INDIRECTADIRECTA

Potencia

matemticaHabilidad y capacidad de usar la matemtica para resolver problemas en diferentes reas de estudioExmenes escritos

Exposicin y resolucin de problemas

Trabajos extraclasesX

X

XX

Resolucin de ProblemasCapacidad para resolver problemas y plantearlos, considerando diversas alternativas para resolver problemas, un plan para resolver el problema, interpretar y comprobar resultados, y generalizar soluciones.Exmenes escritos

Exposicin y resolucin de problemas

Trabajos extraclasesX

X

XX

RazonamientoCapacidad de reconocer patrones, estructuras comunes y formular conjeturasExmenes escritos

Exposicin

Interrogatorios

EntrevistasX

X

X

XX

ComunicacinCapacidad del alumno para expresar ideas matemticas en diversas formas: hablada, escrita y grfica.Exmenes escritos

Interrogatorios

Trabajos extraclasesX

X

XX

Actitud MatemticaConfianza en el uso de las matemticas para resolver problemas; comunicar ideas y razonar, probar mtodos alternativos para la resolucin de problemas; la perseverancia de llegar hasta el fin de la tarea matemtica; el inters, la curiosidad, la inventiva de los alumnos para hacer matemticas; el reconocer el valor que tienen las matemticas en nuestra cultura, como herramienta y como lenguaje.Exmenes escritos

Observacin

Entrevistas

Interrogatorios

Trabajo en equipoX

X

X

X

XX

X

PERIODOUNIDADES TEMTICASPLAN DE EVALUACIN

11 y 2Examen departamental 60%

Evaluacin continua 40%El examen departamental estar conformado por problemas que se evaluarn tomando en cuenta:

1. la comprensin del problema

2. la planeacin de una solucin

3. la obtencin de una respuesta

En la evaluacin continua se tomar en cuenta el modelo PER para propiciar que los alumnos se responsabilicen de su propio aprendizaje

23 y 4Examen departamental 60%

Evaluacin continua 40%

35 y 6Examen departamental 60%

Evaluacin continua 40%

Secuencias de actividades de aprendizaje

Unidad 1. Antiderivadas e Integrales Indefinidas

Objetivo. Que el estudiante conozca y discuta los problemas que dan origen al Clculo Integral. Que desarrolle una primera interpretacin de la integracin como un proceso inverso a la derivacin. Que desarrolle habilidad algortmica en la obtencin de antiderivadas de funciones.HorasProblemasProblemas con guaActividades InternetEjerciciosLecturasProyectos

1-3FrenosGuijarros 1Representacin de curvas1.1 a 1.5

4-6El negro que no se rajaEpifana Marginales 1

EpidemiasIntegral indefinida1.6 a 1.10La tragedia de los comunes (video)Pregunta y responde

7-8Rompetacones, A.C.El clculo de segn ArqumedesFamilias de funciones1.11 a 1.14

9-10Gastos de mantenimiento

Valor y precioGuijarros 2Teoremas fundamentales del clculo diferencial1.15 a 1.18Puentes levadizos fuera de servicio

11-12Resortes

Un presidente conservadorMarginales 2Puntos caractersticos1.19 a 1.22

Unidad 2. Integral Definida Objetivo. Que el estudiante, a partir de el planteamiento, la discusin y el anlisis de los problemas de encontrar el rea bajo una curva y la determinacin del cambio total de una funcin en un intervalo a partir de su rapidez de cambio, asocie la integral con el proceso de obtener lmites de sumas cuando el nmero de trminos de stas se hace infinito y a partir de ello construya la nocin de integral definida. Que el estudiante identifique la conexin entre la derivada y la integral definida expresada en el Teorema Fundamental del Clculo y que d argumentos geomtricos para justificarlo.HorasProblemasProblemas con guaActividades InternetEjerciciosLecturasProyectos

13-14Farolito de papelUna suma y su lmiteLa razn urea2.1 a 2.5Agua contaminada con petrleo (video)

15-16La fbula de las regiones 1

Ddalo y CalipsoLa razn urea2.6 a 2.10

17-19La fbula de las regiones 2Koch y sus curvas inverosmilesSumas de Riemann2.11 a 2.15La naturaleza de las MatemticasLa ciencia para todos

20-21En las entraas del ngulo

PirmidesMercurio Volante

Composicin de funciones2.16 a 2.20

22-24Distante y cercano

Hallar en el espejoFunciones compuestas, sus derivadas y sus reasLa integral y la funcin rea2.21 a 2.25

Unidad 3. Aplicaciones de la Integral Definida

Objetivo. Que el estudiante ample y enriquezca sus conocimientos de la integral vista sta como una herramienta para determinar la medida del efecto total de un proceso de cambio continuo, en la aplicacin de problemas de Fsica, Economa, Biologa y Geometra. Que se introduzca en las tcnicas de integracin numrica para resolver aquellos problemas difciles o imposibles de resolver simblicamente.HorasProblemasProblemas con guaActividades InternetEjerciciosLecturasProyectos

25-26Mosaicos

HermesDe San Luis a QuertaroProcedimiento para analizar una funcin3.1 a 3.6

27-29Vrtigo

Relaciones peligrosasLa gula ratonilClculo integral3.7 a 3.13Infinitografa

30-33La carretera

Segmentos elpticosEl hortelano sagaz

Tangentes y reasAplicaciones geomtricas3.14 a 3.20La Matemtica, se descubre o se inventa?

34-36La trompeta del arcngel Gabriel

Alas y racesModelos

ConosAplicaciones del Clculo Integral3.21 a 3.25Picos gemelos (video)

Unidad 4. Ecuaciones que contienen Funciones y sus Derivadas.

Objetivo. Que el estudiante plantee y explore ecuaciones cuyas soluciones son funciones y no nmeros. Que valore la potencia del clculo diferencial e integral al aplicarlo al estudio de fenmenos de variacin de una funcin que ocurren en reas diversas de la ciencia y que involucran funciones de una variable as como sus tasas de variacin. Que el estudiante cuando sea posible determine explcitamente la solucin general de la ecuacin e interprete su comportamiento conociendo algunas condiciones iniciales; en los casos en que no sea posible, bastar con determinar una relacin que defina implcitamente la solucin.HorasProblemasProblemas con guaActividades InternetEjerciciosLecturasProyectos

37-38AccidenteEl mtodo de Euler4.1 a 4.5

39-41AceleracionesLa gris aceraLinealidad de la integral indefinida4.6 a 4.10El Clculo Integral

42-44Razones para aprenderEl crimen es cobardeLinealidad de la integral indefinida II4.11 a 4.15

45-46Rumores

El hoyito4.16 a 4.20Un suelo tembloroso (video)El que no conoce a Dios

47-48PapalotitoPoquito a pocoProblemas de optimizacin (3D)4.21 a 4.25

Unidad 5. Mtodos de Integracin I

Objetivo. Que el estudiante desarrolle habilidad en el empleo de las tcnicas de integracin por partes para resolver expresiones no contempladas en su formulario bsico y de cambio de variable o sustitucin para transformar una expresin a integrar en otra que le sea conocida.HorasProblemasProblemas con guaActividades InternetEjerciciosLecturasProyectos

49-51La agujaPrudenciaLa funcin integral5.1 a 5.5Una incansable bsqueda (video)

52-54El negro saladoMis propios datosTcnicas de integracin5.6 a 5.10El Modelo Logstico de Verhulst

55-56La pollina

El paracaidistaLogstica y exponencial5.11 a 5.15El dominio de los misterios del movimiento

57-58Los satlitesEn las aras de la saludResolucin de tringulos5.16 a 5.20Ensea y aprende

59-60Engendros 1Artificios de integracin5.21 a 5.23

Unidad 6. Mtodos de Integracin II

Objetivo. Que el estudiante desarrolle habilidad en el empleo de las tcnicas de cambio de variable o sustitucin trigonomtrica para transformar una expresin a integrar en otra que le sea conocida y de integracin por descomposicin de fracciones parciales para resolver integrales no contempladas en su formulario bsico.HorasProblemasProblemas con guaActividades InternetEjerciciosLecturasProyectos

61-63La monedaRiemanniana 1Desarrollo en serie de Taylor6.1 a 6.5La cultura matemtica

64-65El toritoQu sabes t?Representacin grfica de funciones6.6 a 6.10El desafo de la braquistocrona

66-67La naturaleza de una curva est en sus derivadasRetrato habladoHistoria de las matemticasMtodos de integracin6.11 a 6.15Mi detector infalible

68-70Ya va cayendoRiemanniana 2Funciones en la CienciaClculo de primitivas6.16 a 6.20Panorama de clculos (video)

71-72Engendros 2Reacciones qumicasMiscelnea de ejercicios de integracin

MAPOA

Materiales Auxiliares para la Organizacin del AprendizajeIntroduccin

Para lograr el aprendizaje integral y multidimensional que aqu proponemos es necesario que todos nos hagamos corresponsables. Esta responsabilidad compartida apunta al fortalecimiento de nuestra autonoma. A lo largo de las sesiones discutiremos explcitamente algunos de los materiales para la organizacin del aprendizaje y reconocers de esta forma su importancia en el uso cotidiano.

Estos materiales se encuentran en la Academia de Matemticas de tu CECyT, tambin en el disco compacto que acompaa a este Libro, y sirven como un marco de referencia compartido al que recurriremos constantemente durante el curso. En la medida en que nos familiaricemos con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje comn, con el que podemos hablar acerca de algunos aspectos importantes de tu aprendizaje.

En trminos generales, estos materiales auxiliares concretan la expresin responsabilizarse de su aprendizaje y contribuyen al logro de tu autonoma en la organizacin de nuestros propios aprendizajes.

Los auxiliares para la organizacin del aprendizaje son los siguientes:

Para entrar en materia.

En este breve texto se discute el aprendizaje de la resolucin de problemas en el contexto de las habilidades intelectuales de alto nivel y se propone un modelo de aprendizaje esquemtico, hacer, reflexionar y comunicar, que contrasta con el tradicional or, ver y reproducir.

Aqu se presenta por primera vez la idea del problema como el mejor medio de establecer una relacin fecunda con una disciplina. Esta idea se discute ms detalladamente en La Heurstica.

El modelo PER.

En el modelo de organizacin del aprendizaje PER (Propsito, Estrategia, Resultado) de Selmes, investigador especializado en las habilidades de estudio, se presenta un marco de referencia para estructurar las actividades de aprendizaje. Se invita a administrar los dos enfoques que se proponen, el superficial y el profundo, con el objeto de formarse un estilo independiente.La Heurstica.

En este documento de Schoenfeld, investigador especializado en la resolucin de problemas matemticos, se presenta una estrategia de resolucin de problemas, acompaada de un diagrama de flujo y de una tabla que incluye las heursticas de uso ms frecuente.

El material consta de tres partes:

1. La estrategia.

2. Algunas heursticas de uso frecuente.

3. Una sntesis esquemtica de la estrategia de resolucin de problemas.

El portafolio

El portafolio, es un recipiente en el que se acumula, organiza y reorganiza todo lo que se produce en las actividades, en forma individual o en equipo, as como los comentarios y extensiones de estos productos.

El portafolio aporta informacin sobre:

el pensamiento del alumno,

su crecimiento en el tiempo,

las conexiones que establece,

el punto de vista del alumno acerca de su quehacer matemtico,

el proceso de resolucin de problemas.

La mejor manera de convencernos de la utilidad del portafolio, de conocer su potencial y advertir sus limitaciones, es usarlo para recopilar todos los reportes de resolucin de problemas, los planes, los reportes de las experiencias, los comentarios de las lecturas, etctera.

Las fichas

Algunos comentarios y sugerencias sobre la elaboracin del reporte, el trabajo en equipo, la discusin matemtica, el control durante la resolucin de problemas en el saln de clases y la elaboracin de controles de lectura se presentan en forma de fichas.

A partir de los resultados de las investigaciones de algunos educadores se proponen una serie de comentarios, para su discusin, sobre diversos aspectos de las sesiones de resolucin de problemas.Te recomendamos que recortes y enmiques las fichas, as podrs consultarlas en cualquier momento que consideres pertinente.

Los formatos de evaluacin

La evaluacin de nuestro aprendizaje debe estar basada en los objetivos educativos a corto, mediano y largo plazos y, por supuesto, en los objetivos de nuestro curso, as mismo debe apuntar a mejorar nuestro mtodo de aprendizaje y a reforzar nuestro conocimiento de nosotros mismos. Estos formatos establecen criterios que nos permitirn evaluar de una forma ms integral nuestro propio trabajo y el de nuestros compaeros.

Algunos materiales auxiliares para la organizacin del aprendizaje que puedes consultar con provecho son:

Propsitos y Competencias Bsicas del Estudiante de Bachillerato

Para entrar en materia

El Modelo PER

El enfoque profundo y sus caractersticasEl enfoque superficial y sus caractersticasCuestionario de autoevaluacinAlgunos enunciados sobre la organizacin

La Heurstica

Heursticas de uso frecuente.

Sntesis esquemtica de la estrategia de resolucin de problemas

El Portafolio

Un diagrama del portafolio

Especificaciones adicionales sobre el contenido del portafolio como escaparate

Las FichasRecomendaciones para el trabajo individualRecomendaciones para la discusin generalRecomendaciones para el trabajo en equipoRecomendaciones para la elaboracin del reporte de la actividadQu es un problema?Qu es un ejercicio?Antes de entregar tu reporte, revsalo!Cmo se construye un mapa conceptualLas actividades de comprensin de Perkins

Gua para la elaboracin de informes de lectura

Los Formatos de Evaluacin

Evaluacin de presentacionesAutoevaluacin de reportesLas tres preguntas reveladoras de MostellerAutoevaluacin del curso

Autoevaluacin de habilidades, actitudes y valores

Los MAPOA se encuentran completos en tu disco. La propuesta siguiente es un plan que te permitir revisar e incorporar estos materiales en tus actividades de aprendizaje de matemticas (y otras materias). En este plan se incluyen algunas cpsulas que puedes discutir con tus compaeros y profesores. Adems te hacemos algunos comentarios adicionales y te sugerimos algunas formas para trabajarlos con provecho.

UnidadMAPOA

1Las Matemticas en mi vida.

Las secciones del Portafolio.

2Las fichas del Modelo PER.

3La Heurstica.

4Gua para la elaboracin de reportes de lectura.

Autoexamen sobre tu manera de pensar.

5Antes de entregar tu reporte revsalo.

Evaluacin de presentaciones.

6Mapas conceptuales.

Autoevaluacin de actividades, actitudes y valores.

Las Matemticas en mi vida. (Una autobiografa matemtica)

Consulta la ficha Las Matemticas en mi vida, que es parte de tus Materiales Auxiliares para la Organizacin del Aprendizaje. Recuerda que uno de los objetivos de tu curso es que desarrolles una comunicacin efectiva tanto en forma oral como escrita, por lo que te recomendamos pongas especial atencin en utilizar las reglas gramaticales y sintcticas de nuestro idioma. Imagina que ests escribiendo un ensayo, en lugar de nicamente responder preguntas aisladas.

Qu es el portafolio?, Qu debes tener en tu portafolio?

El portafolio es un instrumento en el que se pretende evaluar una diversidad de registros que reflejan aspectos distintos de tu aprendizaje. Es muy adecuado para hacer una evaluacin continua y adems para hacer cortes de evaluaciones acumulativas e integradoras tantas veces como se requiera, recuperando el propsito original de la evaluacin que es partir de elementos confiables para mejorar tanto tu aprendizaje como la enseanza del profesor.

Para conocer su contenido con ms detalle debers consultar la seccin dedicada a El Portafolio dentro de tus MAPOA.

Algunos comentarios sobre tu portafolio.

Organiza tu portafolio por secciones, actualzalas y escribe un ndice. Aqu guardars desde tus reportes de las actividades en clase, los ejercicios y sus correcciones, los reportes individuales y por equipo de los problemas que has resuelto, hasta el seguimiento del proyecto que realizars durante tu curso, consideras que el proyecto requiere una seccin especial en tu portafolio?

Recuerda que es muy importante anotar la fecha en cada uno de tus apuntes y reportes, as podrs darte cuenta de los progresos que has realizado.

Escribe los comentarios necesarios para que puedas comprender lo que hiciste, sin importar el tiempo que haya pasado, cuando vuelvas a consultar tus reportes. Guarda todos los registros que realices, incluyendo lo que generalmente consideras slo un borrador, especialmente porque en los borradores podrs darte cuenta de todas las estrategias que utilizaste para resolver el problema.

Revisa los problemas que has resuelto, en forma individual o en equipo, y analiza cul fue la estrategia que aplicaste para lograr resolverlos. Describe tanto las caractersticas comunes como las diferencias. Puedes crear una seccin nueva dentro de tu portafolio en donde incluyas los algoritmos que identifiques. Ten presente que saber escoger y aplicar eficientemente la estrategia que resulta adecuada para resolver un problema, es un aprendizaje profundo.

Las Fichas del modelo PER.

Entre los materiales auxiliares hay una introduccin al modelo de organizacin y evaluacin del aprendizaje propio llamado PER (Propsito, Estrategia, Resultado).

La aplicacin cotidiana del modelo PER te ayudar a desarrollar una actitud ms reflexiva en tus actividades de aprendizaje y a que, gradualmente, logres formar un estilo propio e independiente de organizacin de tus aprendizajes.

Aplica el modelo PER a las actividades que has realizado consideradas globalmente, especificando lo que aprendiste y lo que te falta por aprender, lo que entendiste ya y lo que an no acabas de comprender.

Despus de consultar las fichas del modelo PER, comenta con tus compaeros, en un foro de discusin, si te identificas ms con el enfoque profundo o con el enfoque superficial, explica por qu. Cul de los dos enfoques consideras que te permitirn desarrollarte mejor durante este curso escolar, durante tu desempeo profesional, y durante tu vida? Sera necesario tomar caractersticas de ambos enfoques? Puedes comentar estas cuestiones en un foro de discusin.Aplica el Modelo PER al desarrollo de tu curso de Clculo, conforme avances en el mismo revisa y actualiza el modelo que propusiste al inicio.

La Heurstica

Entre los materiales auxiliares (MAPOA) hay una seccin que se llama La Heurstica, que incluye los documentos:

Una breve introduccin que trata de la importancia de las heursticas en la resolucin de problemas y de la forma en que puedes usar con provecho los otros dos documentos.

La tabla Heursticas de uso frecuente.

El diagrama de flujo Sntesis esquemtica de la estrategia de resolucin de problemas

Lee atentamente los documentos y discute con tus compaeros la mejor forma de usarlos para resolver problemas cada vez ms complejos.Gua para la elaboracin de reportes de lecturas.

La capacidad de compartir nuestras ideas por medio del lenguaje, de poder registrarlas, ha sido un gran reto para la humanidad. Sin embargo, conocer el cdigo (el alfabeto y el idioma) no es garanta de entender el significado de los textos que lees o escribes.Cada vez ser ms comn que necesites consultar artculos recientes de investigacin, de su lectura cuidadosa e interpretacin fundamentada depender la utilidad que puedas darles en tu vida escolar y profesional.

En los materiales auxiliares para la organizacin de tu aprendizaje est incluida una gua para la elaboracin de reportes de lecturas, en ella se incluyen algunas sugerencias que te permitirn tener una lectura profunda. Al seguirlas te dars cuenta que las discusiones de las lecturas con tus compaeros sern ms interesantes, porque podrs compartir tus reflexiones con mayor claridad.

Despus de consultar la Gua probablemente habrs descubierto que t conoces otras estrategias que te han resultado tiles para leer textos que en un principio consideraste difciles de entender. Comntalas con tus compaeros de grupo, si deciden que ayudarn a obtener una mejor comprensin en las lecturas, entonces pueden agregar dichas estrategias en su Gua para la elaboracin de reportes de lectura.

Autoexamen sobre tu manera de pensar.

La resolucin de problemas nos debe llevar a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento, a dominar nuestros estados de nimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos, en definitiva, nos ayuda a conocernos mejor. El conocerte a ti mismo, en ese mbito, te proporcionar la posibilidad de utilizar tus recursos de la forma ms eficaz posible y alcanzar con seguridad un conocimiento ms pleno.

Realiza el autoexamen sobre tu manera de pensar que se encuentra en la seccin de fichas de tus MAPOA. Para poder contestar las preguntas acerca de los problemas lee primero la ficha sobre resolucin de problemas y juegos, que es tambin parte de los materiales auxiliares para la organizacin del aprendizaje.

Antes de entregar tu reporte, revsalo

Sabemos que al realizar cada actividad has tenido presentes todas las Recomendaciones para la elaboracin del reporte de la actividad, que se incluyen en una de tus fichas. Adems puedes consultar la ficha Antes de entregar tu reporte, revsalo! tambin incluida en los MAPOA.

Como te hemos mencionado, la evaluacin de tu aprendizaje no se centra slo en que hayas llegado a la respuesta correcta, para evaluar el reporte de tu resolucin de problemas se siguen los siguientes criterios de evaluacin:

1. Comprensin conceptual del problema.

2. Conocimiento de los procedimientos.

3. Habilidades y estrategias de resolucin de problemas.

4. Comunicacin.

As que antes de entregar el reporte que realizaste durante la actividad, lee con atencin la Gua para la revisin del reporte de tu resolucin del problema. En caso de que lo consideres conveniente, puedes elaborar un nuevo reporte de la actividad, en el cual pongas especial cuidado en aquellos aspectos que identificaste incompletos.

Finalmente, cmo saber, sin que un maestro te lo diga, si ya has logrado realizar un buen reporte. Avergualo utilizando el formato de Autoevaluacin de reportes, que puedes encontrar en los MAPOA.

Evaluacin de presentaciones.

Compartir lo que se ha aprendido y el proceso que se sigui para resolver un problema es una experiencia emocionante. Al principio podras pensar que lo ms difcil ya lo has hecho cuando superas el miedo de hablar en pblico y compartes tu trabajo y el trabajo de tu equipo. Sin embargo, hay otros aspectos mucho ms importantes que considerar los cuales te los presentamos en el formato de Evaluacin de presentaciones, lograr un buen desempeo en cada uno de ellos, ser an mucho ms satisfactorio que el miedo que ya has superado. Y si eres de los que disfruta de hablar en pblico, al hacerlo de la mejor forma lo disfrutars an ms.

Los criterios que sigues para evaluar la presentacin de los dems equipos de tu grupo, son aqullos que tambin debers tener en cuenta cuando es tu oportunidad y la de tu equipo de compartir su experiencia resolviendo problemas con todo el grupo.

Mapas conceptuales.

El curso de Clculo Diferencial te permitir, entre otras cosas, relacionar los conceptos matemticos con sus significados en otras ciencias, por ejemplo, Fsica, y directamente con situaciones cotidianas. Adems de las relaciones que hay entre los conceptos matemticos. Una manera de visualizar estas relaciones es mediante un Mapa conceptual.

Probablemente te preguntars qu es y cmo puedes hacer un mapa conceptual, consulta la seccin de fichas de tus materiales auxiliares para la organizacin del aprendizaje, en ella encontrars una ficha que se llama Cmo construir un mapa conceptual (y sus criterios de evaluacin), la cual te orientar en la construccin de los mapas conceptuales. En principio, un mapa conceptual podra ser una tarea difcil de realizar, pero a medida que comprendas con mayor claridad la relacin entre los conceptos, podrs elaborar mapas conceptuales con mayor facilidad y provecho.

Autoevaluacin de actividades, actitudes y valores

Ahora que has concluido el curso de Clculo Diferencial, es un buen momento para reflexionar sobre las actividades que has realizado, las habilidades, las actitudes y los valores que has desarrollado. Responde el cuestionario de autoevaluacin de habilidades, actitudes y valores.

Vuelve a leer el Ensayo que hiciste al inicio del curso sobre Las matemticas en mi vida, poniendo especial atencin a la parte en la que mencionaste lo que estabas dispuesto a hacer para aprender y cmo pensabas que aprendas matemticas. Responde a las siguientes preguntas, de preferencia por escrito, Cumpliste con lo que te propusiste hacer para aprender matemticas? Tuviste una actitud ms audaz y estratgica para aprender matemticas o decidiste continuar con la forma en la que acostumbrabas aprender? Cmo se reflej esta actitud en las respuestas de tu cuestionario de autoevaluacin? Cules son tus conclusiones?Problemas

IntroduccinLa habilidad para resolver problemas constituye un excelente indicador del nivel de desarrollo matemtico que has alcanzado. En este Libro la actividad de resolucin de problemas es la parte ms importante, ya que te permitir vincular las herramientas matemticas con una dimensin de uso, se introducen conceptos matemticos utilizando contextos, y se formulan y responden preguntas que contribuyen a la conceptualizacin de los objetos matemticos.

Qu es un problema?

Por problema se entiende una situacin matemtica o extramatemtica que no tiene solucin inmediata, admite varias vas de aproximacin y posiblemente varias soluciones, puede consumir mucho tiempo, quizs varias clases, o hasta varios cursos y exige esfuerzo mental, imaginacin y creatividad. Un problema no se trabaja una vez y ya nos olvidamos de l, tanto profesor como alumnos, sino que puede retomarse en distintos momentos para mejorar su solucin o profundizar en alguna cuestin que haya suscitado.

A travs de la actividad de resolucin de problemas queremos que t:

hagas uso de las matemticas con las que cuentas para dar respuesta a las preguntas planteadas en el contexto de la situacin,

establezcas conexiones entre diferentes representaciones,

logres diferentes vas de acceso trabajando varios enfoques,

generalices tus soluciones y reformules, amplindolo, el problema en otros campos,

generes criterios para validar las interpretaciones y los modelos matemticos,

construyas y hagas evolucionar los conceptos matemticos como respuesta a tus propias preguntas, y

desarrolles actitudes que te permitan enfrentar y manejar situaciones complejas con un alto grado de incertidumbre.

La resolucin de problemas es un proceso que no se puede encerrar en una receta paso a paso, es en esencia un viaje, una aventura, no un destino, que a ratos sufrimos y a ratos disfrutamos, para el que no tenemos un mapa de antemano, necesitamos aprender a descubrir o construir caminos. Sin embargo, se pueden destacar algunas etapas de esta aventura: hay un deseo de acercarse al problema, de aceptar el desafo, de correr un riesgo, de encontrar la respuesta, de comprender una pregunta, de descubrir nuevos conocimientos o de crear una solucin. Alguien ha dicho que en la resolucin de un problema, como en la vida, lo que importa es el camino. Si tomas esto en cuenta, podrs aprender a adoptar una actitud que te permita disfrutar y aprovechar la resolucin de un problema. No pongas la mira en el xito o en el fracaso, sino en el proceso. Es el proceso el que te ensea. Un problema resuelto es un problema muerto, mientras no est resuelto vive en ti como problema.

En este Libro se habla de problemas, problemas con gua y proyectos. Todos ellos comparten la misma idea de problema que acabamos de mencionar en los prrafos anteriores. Expliquemos la diferencia que hay entre ellos.

I) Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situacin y lo que se quiere que hagas y respondas. El tiempo estimado para discutirlo provechosamente es despus de una o dos horas de haberlo trabajado.

II) Problema con gua: Adems del enunciado contiene un cuestionario o una secuencia de pasos que te permiten seguir avanzar en el problema usualmente de situaciones sencillas a otras ms complejas. Tambin el tiempo estimado para discutirlo provechosamente es despus de una a dos horas de haberlo trabajado.

III) Proyecto: Es un problema, o problema con gua, que requiere ms de dos horas de trabajo antes de discutirlo provechosamente. Es posible que tengas que generar t mismo los datos y una parte importante del trabajo la tengas que hacer fuera del saln de clases.

Sobre los proyectos:

Los proyectos te permitirn, ms que cualquier otra actividad, profundizar en el aprendizaje de la modelacin matemtica. Para que tengas una perspectiva ms amplia sobre el papel de la modelacin matemtica en los distintos mbitos del quehacer humano puedes leer Aspectos externos de Reuben y Hersh que se incluye en la seccin Lecturas del Libro para el Estudiante de Geometra y Trigonometra. Seguramente te suscitar muchas preguntas que puedes discutir provechosamente con tus compaeros y con tu profesora.

Un proyecto es una tarea extraescolar de varias etapas que requiere un trabajo coordinado durante varias semanas, o meses, para llegar a darle una conclusin satisfactoria. Es decir que se logre dar respuesta a las preguntas que se plantearon y una evaluacin, que puede incluir preguntas nuevas, de la calidad de la respuesta. En cada proyecto hay algunas partes en las que es muy probable que te atores. En ocasiones te podrs desatorar solo, gracias a que logres una mejor comprensin de alguna idea y as puedas desatar el nudo y avanzar. Pero, ms a menudo, requerirs de la asesora de tus profesores, quienes te ayudarn por medio de preguntas, sugerencias, ejercicios complementarios o lecturas.

La evaluacin del proyecto se har mientras realizas el proyecto, no slo al presentar el trabajo concluido. Por lo tanto, debes hacer un plan desde el principio y fijar un calendario que especifique las fechas de entrega de los informes parciales y del informe final. Adems, debers considerar la presentacin ante el grupo y preparar un guin para la discusin que se realizar durante, o despus de, la presentacin. Entre mejor entiendas lo que se trata de lograr con los proyectos, ms fcil te ser hacer el esfuerzo considerable que exigen. Con la evaluacin, tanto la continua como la final, queremos obtener informacin sobre el desarrollo de tus habilidades matemticas, como, por ejemplo, la capacidad para:

Formular los problemas que resultan de una situacin.

Identificar los procedimientos matemticos que te permiten obtener la informacin necesaria.

Recopilar y organizar los datos obtenidos.

Formular conjeturas razonables al considerar los patrones que observas en, o impones a, los datos.

Poner aprueba tus hiptesis.

Hacer los cambios necesarios y obtener otras informaciones a partir de las reformulaciones de los problemas.

Explicar tus mtodos de indagacin.

Producir un informe del desarrollo y conclusiones del proyecto sucinto y articulado.

Tambin se considerarn algunas actitudes como:

La creatividad y la iniciativa.

La participacin en el equipo.

El liderazgo y la cooperacin efectivos.

La perseverancia y la minuciosidad.

La flexibilidad y la amplitud de criterio.

La disposicin para ir ms all de las soluciones inmediatas.

Es muy recomendable que uses los paquetes que se incluyen en el disco compacto mientras resuelves los problemas. Algunas muy buenas herramientas para la comprensin son los paquetes de geometra dinmica. Si tienes dudas en su manejo tu profesor te puede orientar.

I. Problemas

1. Frenos 1Los frenos de un automvil se aplican cuando se mueve a 100 y proporcionan una desaceleracin constante de 10 . Cunto avanza el auto antes de detenerse? Describe completamente (posicin, velocidad, aceleracin) el movimiento que realiza antes de detenerse.

2. El negro que no se raja

En un cierto momento, se comienza a introducir agua en un tinaco vaco, con un gasto de 35 litros/minuto. Este gasto se mantiene constante durante dos minutos. En el transcurso de los dos minutos siguientes el gasto se reduce gradualmente hasta alcanzar 5 litros/minuto. Este gasto permanece constante durante los dos ltimos minutos. En el instante final, al cabo del sexto minuto, el tinaco contiene 125 litros.

a) Cuntos litros de agua contiene el tinaco cuando t = 2.5, 3 y 3.7 minutos? Y en cualquier instante t?

Supongamos ahora que se pone a funcionar una bomba en el instante t = 2 y que, durante los cuatro minutos siguientes, se extrae agua del tinaco a un gasto constante de 10 litros/minuto.

b) Cundo alcanza el nivel del agua su mximo valor?

3. Epifana

Valentina lleg temprano a su clase de msica. A punto estaba de sentarse cuando advirti, disgustada, que haba olvidado su cuaderno en su refugio predilecto: la siempre cmoda y acogedora biblioteca. No poda perderse el comienzo de la clase, as que corri a la biblioteca, cogi su cuaderno y, corriendo tambin, regres a su asiento, a tiempo para comenzar su, muy probablemente disfrutable, clase de msica. Pero en el camino se encontr a su bienamado Juan y se detuvo a intercambiar algunas muestras de su muy autntico cario, lo que le llev 4 minutos, pero de los largos. La biblioteca est en un punto diametralmente opuesto del saln de clases de Valentina en el patio circular, que tiene 500 metros de dimetro, de la escuela. Valentina tard, en total, 9 minutos.

a) Construye una grfica que describa los cambios de posicin de Valentina en su trayecto de ida y vuelta con respecto al tiempo.

b) Todos hemos escuchado, o hecho, descripciones de objetos en movimiento, que incluyen expresiones como detenido, rpido, lento, ms rpido, disminuy su velocidad, ms alejado, aceler ms y muchas otras que seguramente te han asaltado la memoria. Identifica en la grfica algunas partes con estas expresiones y describe las caractersticas de la grfica que les corresponden.

c) Ahora convengamos en que la velocidad de Valentina es positiva cuando se dirige a la biblioteca y negativa en sentido contrario. Identifica en la grfica intervalos en los que la velocidad sea positiva, negativa o nula, y describe las caractersticas de la grfica. Al igual que en el prrafo anterior, introduce matices en la descripcin de la velocidad y anota las caractersticas correspondientes de la grfica.

4. Rompetacones, A.C.

La razn de cambio de las ventas mensuales de la compaa Rompetacones, A.C. por uno de sus artculos, en funcin del tiempo , en meses, es:

a) Traza la grfica de para un ao, si es el principio del 1 de enero, y en ese momento las ventas son de 50,000 pesos.b) Calcula e interpreta cada una de ellas.c) Encuentra cundo se vende ms el artculo.

5. Gastos de mantenimientoSe estima que los gastos de mantenimiento de un cierto modelo de automvil cambian a razn de pesos por cada ao, cuando el automvil tiene aos de edad. Cuando se adquiere el automvil no ha generado gastos de mantenimiento. a) Encuentra la funcin que da los gastos de mantenimiento en funcin de la edad del automvil. Traza la grfica.

b) Cunto se gastar en mantenimiento durante los primeros cinco aos?c) Cunto se gastar en mantenimiento en cada uno de los primeros cinco aos?

6. Valor y precioEl ritmo al que cambia el valor de una avioneta, cuando han transcurrido aos desde que se compr, es de pesos por cada ao. La avioneta se compr nueva hoy en 4,500,000 pesos.a) Calcula el valor de la avioneta, en pesos de hoy, dentro de tres aos.

b) En cunto tiempo perdera el 40% de su valor original?

c) Calcula el dinero que se obtendra si la avioneta se vendiera dentro de tres aos, suponiendo que habr una inflacin de 4 % anual.

d) Formula dos preguntas sobre esta misma situacin y respndelas.

7. Resortes

Una joven tiene un resorte de 0.675 m en La Tierra. Qu altura alcanzar en La Luna si la aceleracin debida al campo gravitacional en La Luna es 1.59 ? Describe completamente (posicin, velocidad, aceleracin) el movimiento que realiza en su salto en ambos casos.

8. Un presidente conservador

es el nmero de personas desempleadas en un pas semanas despus de la eleccin de un presidente conservador en cuestiones fiscales. Interpreta cada uno de los hechos siguientes, relativos a la grfica de , mediante la formulacin de enunciados sobre la situacin del desempleo:

La interseccin de con el eje vertical es 2,000,000.

.

La pendiente de en es 10,000.

.

a) Escribe un enunciado que sintetice el conjunto de afirmaciones que formulaste.

b) Traza una grfica que muestre cmo vara el nmero de desempleados con respecto al tiempo.c) Encuentra una funcin , calcula sus derivadas y comprueba que se cumplen todas las condiciones de la situacin dada.

d) Formula dos preguntas sobre la situacin dada y utiliza la funcin que encontraste para responderlas.9. Farolito de papel: mucho humo y poca luz

Eres la estrella cinematogrfica ms popular del nuevo siglo. Se te han acercado tres compaas cinematogrficas, cada una de las cuales te quiere contratar para que protagonices una de sus prximas pelculas. Las tres compaas planean rodar sus pelculas en mayo, por lo que tienes que escoger una de ellas. Las tres compaas te han asegurado que sus pelculas requerirn entre dos (14 das) y tres semanas (21 das) de filmacin. Los tres papeles te gustan, por lo que quieres aceptar la oferta ms lucrativa. Las compaas cinematogrficas estn experimentando con algunos contratos salariales poco usuales. Los contratos que te ofrecen son:

Urano: Un sueldo fijo de $100,000, por cada da de trabajo.

Orin: $10 por el primer da de trabajo y un salario que duplica el del da anterior, para cada uno de los das siguientes.

Cronos: Medio centavo por el primer da de trabajo y un salario que triplica el del da anterior, para cada uno de los das de filmacin siguientes.

Cada compaa garantiza que se te pagarn entre 14 y 21 das de trabajo. Qu oferta aceptaras? Justifica tu decisin.10. La fbula de las regiones 1la verdadera patria son las regiones no esas fronteras de tinta china creadas por la diplomaciaLa fbula de las regiones de Alejandro Rossi

Describe cada regin. Calcula el rea de la regin sombreada en cada caso.

Grfica 1

Grfica 2

Grfica 3

11. Ddalo y Calipso

En una ciudad chica hay dos miscelneas, La gruta de Calipso y El laberinto de Ddalo que compiten por clientes potenciales. Cada mes, el % de los clientes de Calipso queda satisfecho y regresa a comprar ah mismo, mientras que el resto prefiere irse con Ddalo. En cambio, de los clientes de Ddalo, slo el % queda satisfecho, el otro % se va con Calipso. Considera que al principio hay clientes en La gruta de Calipso. El nmero de clientes en cada miscelnea se estabiliza cuando el nmero de los que dejan de comprar en una miscelnea es igual a los que vienen a comprar de la otra, cuntos clientes habr en cada tienda en ese momento?

12. La fbula de las regiones 2la verdadera patria son las regiones no esas fronteras de tinta china creadas por la diplomaciaLa fbula de las regiones de Alejandro Rossi

Describe cada regin. Calcula el rea de la regin sombreada en cada caso.

Grfica 1

Grfica 2

Grfica 3

Grfica 4

Grfica 5

Grfica 6

13. En las entraas del ngulo

Dadas dos rectas OA y OB, desde un punto de OA se traza una perpendicular a OB; desde el pie de esta perpendicular, se traza una perpendicular a OA; desde el pie de esta segunda perpendicular se traza otra perpendicular a OB y as, sucesivamente, se siguen trazando perpendiculares. El primero y segundo de estos segmentos miden a y b, respectivamente.

Calcula la suma de las longitudes de

a) los tres primeros segmentos perpendiculares.

b) los seis primeros segmentos perpendiculares.

Contina trazando segmentos con el mismo procedimiento.

c) Es infinita la suma de un nmero infinito de segmentos?

d) Si se traza un nmero infinito de segmentos perpendiculares, tendr la suma de las longitudes un valor lmite? Explica.14. Pirmides

Se tienen 100000 balines que se pueden acomodar en forma piramidal de base triangular, cuadrangular o hexagonal. Cul es la diferencia en pisos entre estas pirmides?

15. Distante y cercano

Una persona comienza un viaje en automvil a 80 kilmetros de distancia de su casa. Se desplaza en lnea recta y su casa es un punto sobre esta lnea. Su velocidad se describe en la grfica 1.

a) En que instante la persona est ms cerca de su casa? A qu distancia se encuentra en este momento?

b) En qu instante est ms lejos de su casa? A qu distancia se encuentra en este momento?

c) Traza la grfica de su posicin con respecto a su casa.

d) Traza la grfica de su aceleracin.

Grfica 1

16. Hallar en el espejo

Hallar en el espejo la estatua asesinada...

Nocturno de la estatua de Xavier Villaurrutia

Un espejo refleja el cincuenta por ciento de la luz que recibe y deja pasar el cincuenta por ciento restante (produce el mismo efecto por ambas caras). Se colocan n espejos ligeramente separados uno de otro. Qu porcentaje de la luz que llega perpendicularmente al primero sale del ltimo espejo?

17. Mosaicos

Se van a disear unos mosaicos cuadrados de lado unitario con dos curvas que unan los vrtices de una de sus diagonales de tal manera que el rea del mosaico que de dividida en tres regiones de igual rea, como se muestra en la figura 1.

Figura 1

Encuentra las ecuaciones de las curvas si se trata de arcos de polinomios de grados:

a) Dos.

b) Tres.

c) Cuatro.

18. Hermes

El ingreso marginal semanal por los DVD fabricados por la compaa Hermes est dado por

Grfica 1

La funcin de costo marginal por semana por la produccin de estos DVD est dada por

Grfica 2

El costo total por la produccin semanal de 100 unidades es de 5,790 pesos.

d) Encuentra la funcin de demanda, que relaciona precio unitario versus cantidad de DVD y traza su grfica.

e) Cuntos DVD deben producir para que la ganancia sea ptima?

f) Cuntos DVD deben producir para que el rendimiento de la inversin, ganancia por cada peso invertido, sea ptimo?19. Vrtigo

Se dibuja un tringulo equiltero de lado a. Al unir los puntos medios de los lados se forma otro tringulo equiltero. Se repite la misma operacin una y otra vez, por los siglos de los siglos.

a) Cul es la suma de los permetros de estos tringulos?

b) Cul es la suma de las reas de estos tringulos?

20. Las relaciones peligrosas

Las grficas 1, 2 y 3 corresponden a las funciones , pero no necesariamente de manera respectiva. Casa cada funcin con su grfica. Justifica generosamente tu respuesta.

21. La carretera

En el diseo de una carretera se hace un modelo que ajusta con un arco de la curva , cuyos extremos son y .

a) Calcula la longitud de la carretera, si cada unidad corresponde a un kilmetro.

b) El costo de la carretera es de millones de pesos por kilmetro. Calcula el costo total de la carretera.

c) Cunto se podran ahorrar si la carretera fuera rectilnea?22. Segmentos elpticos

Dado el segmento de la elipse que se muestra en la grfica 1.

Grfica 1

a) Calcula el rea del segmento elptico.

b) Calcula el permetro del segmento elptico.

c) Encuentra el centro de gravedad del segmento elptico.

d) Calcula el volumen del cuerpo que se engendra al girar el segmento elptico alrededor del eje .

e) Calcula el volumen del cuerpo que se engendra al girar el segmento elptico alrededor del eje

f) Generaliza tu procedimiento para un segmento cualquiera de la elipse .

Usa tus resultados para calcular las medidas anteriores de cada uno de los segmentos elpticos siguientes:

Grfica 2

Grfica 3

23. La trompeta del arcngel Gabriel

La trompeta del arcngel Gabriel se genera por la rotacin de cuando alrededor del eje .

Grfica 1

a) Calcula el volumen que encierra la infinita trompeta del arcngel Gabriel.

b) Calcula la cantidad de oro que se requiere para construirla si la regin que con su rotacin la engendra est acotada por las curvas y .

Grfica 2

c) Si se construye de un metal ms vil, y adecuado desde el punto de vista acstico, ser necesario dorarla en su exterior, por lo que se requiere calcular el rea de la superficie de la trompeta.

24. Alas y Races

Atalanta ha encontrado un hermoso cuartito de azotea en una colonia tranquila y ha llegado a un acuerdo para adquirirlo por $209,000. Planea gastar $1,800 mensuales en vivienda, pero esta cifra es flexible. Tiene $54,000 disponibles para el enganche y puede obtener un prstamo hipotecario a una tasa anual de 9.875%.

Atalanta tiene inters en investigar la relacin entre los pagos mensuales que hace, el plazo y el costo total del prstamo para tomar una decisin. Cul es tu recomendacin?25. Accidente

Una persona circula por una autopista a 120 km/h cuando se topa con una motocicleta volcada que la obliga a frenar bruscamente. Calcula la desaceleracin constante que necesita aplicar para detener el vehculo en 100 metros.

26. Aceleraciones

La aceleracin de un cierto automvil es proporcional a la diferencia de 250 km/h y la velocidad que ha alcanzado. Si el auto puede acelerar desde el reposo hasta 100 km/h en 10 segundos, cunto tiempo necesitar acelerar desde el reposo para alcanzar una velocidad de 200 km/h?27. Razones para AprenderUn modelo que describe la rapidez con que aprende