cÁlculo tÉcnico
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CÁLCULO TÉCNICO
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SENAI-RS – SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL
DEPARTAMENTO REGIONAL DO RIO GRANDE DO SUL
CONSELHO REGIONAL
Presidente NatoFrancisco Renan O. Proença – Presidente do Sistema FIERGS
Conselheiros Delegados das Atividades Industriais – FIERGS
Titulares SuplentesManfredo Frederico Koehler Deomedes Roque TaliniAstor Milton Schmitt Arlindo PaludoValayr Hélio Wosiack Pedro Antônio G. Leivas Leite
Representantes do Ministério da Educação
Titular SuplenteEdelbert Krüger Aldo Antonello Rosito
Representantes do Ministério do Trabalho e Emprego
Titular SuplenteNeusa Maria de Azevedo Elisete Ramos
Diretor do Departemento Regional do SENAI-RSJosé Zortéa
DIRETORIA REGIONAL DO SENAI-RS
José Zortéa – Diretor RegionalPaulo Fernando Presser – Diretor de Educação e TecnologiaJorge Solidônio Serpa – Diretor Administrativo-Financeiro
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SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL
CÁLCULO TÉCNICO
Porto Alegre
2004
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Cálculo Técnico
2004, SENAI-RS
Trabalho organizado por técnicos do Centro Tecnológico de Mecânica de PrecisãoPlínio Gilberto Kroeff, sob a coordenação, orientação e supervisão da Unidade deNegócios em Educação Profissional de Nível Básico e da Diretoria de EducaçãoTecnológica do Departamento Regional do SENAI-RS
Coordenação Geral Paulo Fernando Presser DET
Coordenação Técnica Jaures de Oliveira DET/UNEP
Coordenação Local Boaz Ungaretti CETEMP
Revisão técnica Boaz UngarettiMaria Inês da Silveira Daudt
Diretor/CETEMPProfessora/CETEMP
Digitação, formatação erevisão lingüística egramatical Regina Maria Recktenwald consultora
Normalização bibliográfica Nelson Oliveira da Silva Bibliotecário/CETEMP
Produção gráfica CEP SENAI de Artes Gráficas Henrique d' Ávila Bertaso
SENAI – Departamento Regional do Rio Grande do SulAv. Assis Brasil, 8787 – Bairro Sarandi91140-001 – Porto Alegre, RSTel.: (51) 3347-8697 Fax: (51) 3347-8813 e-mail: [email protected]
SENAI – Instituição mantida e administrada pela Indústria.
A reprodução total ou parcial desta publicação por quaisquer meios, seja eletrônico, mecânico, fotocópia degravação ou outros, somente será permitida com prévia autorização, por escrito, deste Departamento Regional.
S 491cSENAI.RS. Cálculo Técnico. Porto Alegre: Unidade de Negóciosem Educação Profissional / Diretoria de Educação e Tecnologia,SENAI, 2004. 145 p. il.
1. Matemática I. Título
CDU - 51
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SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS............................................................................................................11
INTRODUÇÃO.....................................................................................................................13
1 CONTAGEM E NUMERAÇÃO .........................................................................................151.1 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO.........................................................................151.2 LINGUAGEM ESCRITA E FALADA ...............................................................................171.3 VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO DE UM ALGARISMO..................................171.4 EXERCÍCIOS.................................................................................................................18
2 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS .......................................192.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS .............................................................................192.1.1 Propriedades fundamentais da adição ....................................................................192.1.2 Regra prática para efetuar a adição .........................................................................192.1.3 Como conferir uma soma .........................................................................................202.2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS .....................................................................202.2.1 Regra prática para efetuar a subtração ...................................................................202.2.3 Como verificar se a subtração está certa ...............................................................212.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS...............................................................212.3.1 Propriedades fundamentais da multiplicação.........................................................222.3.2 Regras práticas para efetuar a multiplicação..........................................................222.3.3 Como verificar se a multiplicação está certa ..........................................................232.4 DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS.............................................................................242.4.1 Propriedades gerais da divisão................................................................................242.4.2 Regras práticas para efetuar a divisão ....................................................................252.4.3 Como verificar se a divisão está correta .................................................................27
3 NÚMEROS DECIMAIS .....................................................................................................313.1 LEITURA DOS NÚMEROS DECIMAIS ..........................................................................313.2 COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS ..................................323.3 COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS ..................................................................323.3.1 Primeiro caso ............................................................................................................333.5 EXERCÍCIOS.................................................................................................................43
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4 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO E DIVISIBILIDADE.............................................................474.1 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO ........................................................................................474.2 DIVISIBILIDADE.............................................................................................................474.2.1 Divisibilidade por 2 ...................................................................................................474.2.2 Divisibilidade por 3 ...................................................................................................474.2.3 Divisibilidade por 4 ...................................................................................................474.2.4 Divisibilidade por 5 ...................................................................................................474.2.5 Divisibilidade por 6 ...................................................................................................474.2.6 Divisibilidade por 9 ...................................................................................................484.2.7 Divisibilidade por 10..................................................................................................484.3 NÚMERO PRIMO...........................................................................................................484.4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ........................................................................................484.5 EXERCÍCIOS.................................................................................................................49
5 FRAÇÕES ORDINÁRIAS .................................................................................................515.1 LEITURA DE FRAÇÕES................................................................................................515.2 TIPOS DE FRAÇÕES ....................................................................................................535.2.1 Fração própria ...........................................................................................................535.2.2 Fração imprópria .......................................................................................................535.2.3 Fração aparente (imprópria) .....................................................................................545.2.4 Número misto ............................................................................................................545.3 TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA E VICE-
VERSA..........................................................................................................................545.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES..........................................................................................545.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES....................................................................................545.6 REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR .............................................555.7 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES .....................................................................................565.7.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................565.7.2 Frações de mesmo numerador ................................................................................575.7.3 Frações de numeradores e denominadores diferentes ..........................................575.8 ADIÇÃO DE FRAÇÕES .................................................................................................585.8.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................585.8.2 Frações de denominadores diferentes ....................................................................585.9 SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES.........................................................................................585.9.1 Frações de mesmo denominador.............................................................................585.9.2 Frações de denominadores diferentes ....................................................................595.10 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES ................................................................................595.11 DIVISÃO DE FRAÇÕES...............................................................................................595.12 CONVERSÃO DE FRAÇÕES ......................................................................................605.12.1 Conversão de frações ordinárias em números decimais .....................................605.12.2 Conversão de números decimais em frações ordinárias ou números mistos ...60
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6 REGRA DE TRÊS.............................................................................................................616.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES..........................................................................................616.2 REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA............................................................................626.3 REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA .........................................................................626.4 EXERCÍCIOS.................................................................................................................646.5 PORCENTAGEM...........................................................................................................656.5.1 Exercícios ..................................................................................................................67
7 UNIDADE DE MEDIDA DE COMPRIMENTO ...................................................................697.1 O METRO E SEUS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS....................................................697.2 UNIDADES DE MEDIDAS MENORES QUE O MILÍMETRO..........................................717.3 TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS ...............................................................................737.4 POLEGADA ...................................................................................................................757.5 CONVERSÃO DE POLEGADAS EM MILÍMETROS E VICE-VERSA.............................757.6 EXERCÍCIOS.................................................................................................................767.7 PAQUÍMETRO...............................................................................................................787.7.1 Princípio do Vernier de 0,1 mm ................................................................................787.7.2 Paquímetro – Sistema inglês ordinário ...................................................................807.7.3 Uso do Vernier (Nônio) .............................................................................................807.7.4 Exercícios ..................................................................................................................847.7.5 Exemplos de paquímetros ........................................................................................85
8 GEOMETRIA PLANA .......................................................................................................878.1 POLÍGONO....................................................................................................................878.1.1 Polígono regular........................................................................................................878.1.2 Polígono irregular .....................................................................................................878.2 PERÍMETRO..................................................................................................................878.3 CÁLCULO DA ÁREA DE FIGURAS PLANAS ................................................................898.4 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE.............................918.5 MODO PRÁTICO DE CALCULAR ÁREAS ....................................................................948.5.1 Área do retângulo......................................................................................................948.5.2 Área do quadrado......................................................................................................958.5.3 Área do paralelogramo .............................................................................................978.5.4 Área do triângulo.......................................................................................................988.5.5 Área do trapézio ........................................................................................................998.5.6 Área do losango ........................................................................................................998.5.7 Área do círculo ........................................................................................................1008.6.1 Exercícios ................................................................................................................1028.7.1 Aplicação da tabela de constante ..........................................................................1038.8 ÂNGULOS ...................................................................................................................1048.8.1 Ângulos consecutivos ............................................................................................104
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8.8.2 Ângulos adjacentes.................................................................................................1058.8.3 Bissetriz ...................................................................................................................1058.8.4 Ângulos opostos pelo vértice ................................................................................1058.8.5 Ângulo reto ..............................................................................................................1068.8.6 Ângulo agudo ..........................................................................................................1068.8.7 Ângulo raso .............................................................................................................1068.8.8 Ângulos complementares, suplementares e replementares ................................1078.8.9 Medidas de ângulos ................................................................................................1078.8.10 Adição de ângulos.................................................................................................1078.8.11 Subtração de ângulos ...........................................................................................1088.9 TEOREMA DE PITÁGORAS........................................................................................1098.9.1 Exercícios – Relação de Pitágoras.........................................................................110
9 GEOMETRIA ESPACIAL................................................................................................1119.1 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS (FIGURAS ESPACIAIS) ...................................................1119.1.1 Prismas ....................................................................................................................1129.1.2 Pirâmides .................................................................................................................1139.1.3 Cilindro, cone e esfera ............................................................................................1149.2 CÁLCULO DO VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS .........................................1159.2.1 Mudança de unidades de volume...........................................................................1169.2.2 Cálculo de volumes.................................................................................................1169.2.3 Formulário para o cálculo de volumes ..................................................................120
10 TRIGONOMETRIA........................................................................................................12110.1 SENO DE UM ÂNGULO AGUDO...............................................................................12210.1.1 Exercícios ..............................................................................................................12310.2 CO-SENO DE UM ÂNGULO AGUDO ........................................................................12410.2.1 Exercícios ..............................................................................................................12510.3 TANGENTE DE UM ÂNGULO ...................................................................................12610.3.1 Exercícios ..............................................................................................................12610.4 CO-TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO ...............................................................12710.4.1 Exercícios ..............................................................................................................12710.5 APLICAÇÃO PRÁTICA ..............................................................................................12810.5.1 Exercícios ..............................................................................................................128
11 UNIDADE DE MEDIDA DE CAPACIDADE....................................................................13511.1 DISTINÇÃO ENTRE CAPACIDADE E VOLUME........................................................13511.1.1 Transformação de medidas ..................................................................................13511.2 MEDIDA DE MASSA..................................................................................................13711.2.1 Unidade fundamental ............................................................................................13711.2.2 Mudança de unidade .............................................................................................137
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11.2.3 Exercícios ...............................................................................................................13811.3 MASSA ESPECÍFICA ................................................................................................138
12 VELOCIDADE DE CORTE - Vc ....................................................................................14112.1 ROTAÇÕES...............................................................................................................14112.2 DESIGNAÇÃO ...........................................................................................................14212.3 TABELA .....................................................................................................................144
REFERÊNCIAS .................................................................................................................145
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Polias ..................................................................................................................63Figura 2 – Diâmetro de polias ..............................................................................................63Figura 3 – Engrenagens de polias........................................................................................64Figura 4 − Paquímetro .........................................................................................................78Figura 5 − Escala .................................................................................................................78
Figura 6 − Nônio ..................................................................................................................79Figura 7 – Escala nônio .......................................................................................................79Figura 8 – Posição 0,1 ........................................................................................................79Figura 9 – Posição 0,2 ........................................................................................................79Figura 10 – Posição 0,3 .......................................................................................................79Figura 11 – Sistema Inglês Ordinário ...................................................................................80Figura 12 – Posição 1/16” ....................................................................................................80Figura 13 - Posição 1/8” .......................................................................................................80Figura 14 – Posição 5/8” ......................................................................................................80Figura 15 - Nônio em polegadas ..........................................................................................80Figura 16 - Nônio e escala em polegadas ............................................................................81Figura 17 – Posição 1/128” ..................................................................................................81Figura 18 – Posição 1/64” ....................................................................................................81Figura 19 – Posição 3/128” ..................................................................................................81Figura 20 - Posição 33/128” .................................................................................................82Figura 21 - Posição 45/64” ...................................................................................................82Figura 22 - Posição 49/128” .................................................................................................82Figura 23 - Posição 37/64” ...................................................................................................83Figura 24 - Posição 13/32” ...................................................................................................83Figura 25 - Posição 1 39/128” .............................................................................................83Figura 26 − Medição interna.................................................................................................85
Figura 27 − Medição externa................................................................................................85
Figura 28 − Medição de profundidade..................................................................................85
Figura 29 − Paquímetro de profundidade .............................................................................85Figura 30 – Paquímetro com bicos longos, para medição em posição profunda ..................85Figura 31 − Paquímetro de altura.........................................................................................86
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Figura 32 − Paquímetro de altura equipado com relógio comparador ..................................86
Figura 33 − Paquímetro de nônio duplo para medição da espessura de dente deengrenagem.......................................................................................................86
Figura 34 – Ângulo Ô .........................................................................................................104Figura 35 – Ângulos consecutivos......................................................................................105Figura 36 – Ângulos adjacentes .........................................................................................105Figura 37 – Bissetriz...........................................................................................................105Figura 38 – Ângulos opostos pelo vértice...........................................................................106Figura 39 – Ângulo reto......................................................................................................106Figura 40 – Ângulo agudo ..................................................................................................106Figura 41 – Ângulo raso .....................................................................................................106Figura 42 – Triângulo retângulo .........................................................................................109Figura 43 − Quadrados dos catetos ...................................................................................109
Figura 44 − Retângulo e suas dimensões ..........................................................................111
Figura 45 − Retângulo e suas dimensões em posição alternada........................................111
Figura 46 − Figura geométrica ...........................................................................................112
Figura 47 − Prisma.............................................................................................................112
Figura 48 − Prismas retos ..................................................................................................113
Figura 49 − Pirâmide..........................................................................................................113
Figura 50 − Nomes das pirâmide........................................................................................114
Figura 51 − Cilindro............................................................................................................114
Figura 52 − Cone ...............................................................................................................114
Figura 53 − Esfera..............................................................................................................115Figura 54 - Volumes...........................................................................................................115Figura 55 – Litro .................................................................................................................136
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INTRODUÇÃO
Em grego mathema vem da raiz manthanein, que quer dizer aprendizagem.
Este fascículo tem caráter instrumental. Serve como um conjunto de ferramentas eestratégias para serem aplicadas a diversas áreas do conhecimento, assim comopara a atividade profissional.
Elaborado de forma concisa e clara, trata-se de valioso subsídio em sala de aula,que permite otimizar a gestão de tempo e o rendimento do grupo, transformando-seem ferramenta essencial para o desempenho do professor, assim como promover apreparação do aluno para que execute os cálculos matemáticos básicos necessáriosà interpretação e ao pleno desempenho na execução de projetos, operacionalizaçãode máquinas, ferramentas e equipamentos para a confecção de produtos industriais.
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1 CONTAGEM E NUMERAÇÃO
Números naturais são todos os números inteiros e positivos do zero até o infinito (∞).
1.1 SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO
Os objetos podem ser contados em grupos maiores ou menores, conforme aconveniência. Assim, contam-se ovos em dúzia, pentes em centos, grampos emgrosas. Dúzias e centos passam a ser base de contagem. Quando se compram duasdúzias de ovos, deve-se receber duas vezes uma dúzia.
Nem sempre é fácil avaliar um total quando não se tem com que compará-lo. Ohábito de comparar as quantidades contadas nos dedos das mãos talvez tenhacontribuído para que se estabelecesse o sistema decimal de numeração.
No sistema decimal de numeração, a base de contagem é dez. Logo, sãonecessárias 10 unidades para formar uma dezena ( )10110 =× , dez dezenas paraformar uma centena ( )1001010 =× e dez centenas para formar uma unidade demilhar ( )100010010 =× .
O sistema decimal representa as quantidades usando a regra da posição decimal.Cada posição indica um tipo de grupo: unidade, dezenas, centenas, milhar etc., ecada algarismo indica a quantidade de grupos:
{ }∞= ,.....5,4,3,2,1N
1000100101
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Um número com um algarismo: por exemplo, o algarismo 2, só tem uma posição: é aposição das unidades. As outras posições aparecem à esquerda da posição dasunidades.
Posição dasunidades
2
Um número com dois algarismos – como 82 – tem duas posições: a das unidades edas dezenas, que fica logo à esquerda da posição das unidades. Isso indica que adezena vale 10 vezes mais que a unidade.
posição dasdezenas
posição dasunidades
8 2
Um número com três algarismos – como 982 – tem três posições: a das unidades, adas dezenas e a das centenas. A posição das centenas fica logo à esquerda daposição das dezenas. Isso indica que a centena vale 10 vezes mais que a dezena.
Posição dascentenas
posição dasdezenas
posição dasunidades
9 8 2
Um número com quatro algarismos – como 1 982 – tem quatro posições: a dasunidades, a das dezenas, a das centenas e a das unidades de milhar. Logo àesquerda da posição das centenas fica a posição das unidades de milhar. Issoindica que a unidade de milhar vale 10 vezes mais que a centena.
Posição dasunidades de
milharposição das
centenasposição das
dezenasposição das
unidades
1 9 8 2
Cada posição representa um grupo que é 10 vezes maior que o grupo que fica naposição logo à direita. Por exemplo, a centena é 10 vezes maior do que a dezena.
unidadesde milhar centenas dezenas unidades
A isso se chama regra da posição decimal. Ao utilizá-la, pode-se usar mais posiçõescolocando novos algarismos para a esquerda; as posições representam grupos cadavez maiores.
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No exemplo a seguir estão marcadas as posições do número 71 329 081 (setenta eum milhões, trezentos e vinte e nove mil e oitenta e um).
7 dezenasde milhão
1 unidadede milhão
3 centenasde milhar
2 dezenasde milhar
9 unidadesde milhar
0 centenas 8 dezenas 1 unidade
7 1 3 2 9 0 8 1campo do milhão campo do milhar campo da centena
1.2 LINGUAGEM ESCRITA E FALADA
A decomposição de um número em classes de três algarismos é feita com umpequeno intervalo entre os algarismos que separam as classes. Não se deve usarsinais, como o ponto ou a vírgula. Vejam-se os exemplos:
85 307 → lê-se oitenta e cinco mil, trezentos e sete (unidades).9 666 201 → lê-se nove milhões, seiscentos e sessenta e seis mil e duzentos e um(unidades).3 567 908 315 → lê-se três bilhões, quinhentos e sessenta e sete milhões, novecentose oito mil e trezentos e quinze (unidades).
1.3 VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO DE UM ALGARISMO
Cada algarismo significativo de um número tem dois valores: o valor absoluto e ovalor relativo.
Valor absoluto é o que ele tem isoladamente do número a que pertence, e valorrelativo é aquele que o algarismo recebe de acordo com o lugar que ocupa nonúmero. Veja-se o exemplo:
No número 4 602 tem-se que: valores relativos
2 – representa as unidades simples ............................................ 20 – representa as dezenas .......................................................... 006 - representa as centenas ......................................................... 6004 – representa as unidades de milhar ........................................4 000
4 602
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1.4 EXERCÍCIOS
1) Dizer quais os algarismos que representam as unidades simples, as dezenas e ascentenas do número 453.
Solução: em 453 tem-se:
3..... unidades .... simples .....35..... dezenas ....... ....... ...504..... centenas ...... ....... ..400
2) Quantas unidades, dezenas e centenas há em 726 unidades?
Solução: em 726 há7 centenas e 2 dezenas; e, como cada centena vale dez dezenas, ototal de dezenas é 72.
7 x 100 = 700 → 7 centenas 70 x 10 = 700 → 70 dezenas 2 x 10 = 20.... → 2 dezenas
3) Qual é o valor relativo de 5 em cada um dos números: 12 502 e 36 715?
Solução:em 12 502 tem-se 500 como valor relativoem 36 715 tem-se 5 como valor relativo
4) Quantas dezenas há em 850 unidades? E quantas centenas?
5) Observar o número 293 e dizer qual é o algarismo de maior valor absoluto e qualé o algarismo de maior valor relativo.
6) No número 3 472, quais são os algarismos das unidades simples, das dezenas edas centenas e das unidades de milhar?
7) Escrever o menor e o maior número formado por dois algarismos significativosdiferentes.
8) Qual é o valor relativo de 8 em cada um dos números: 8 315 e 12 080?
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2 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS
2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Adição é a operação que permite reunir todas as unidades de diversos números emum só número. O resultado desta operação chama-se soma ou total, e os númerosque se somam, parcelas ou termos. Esta operação permite resolver todos osproblemas práticos nos quais ocorre o ato de reunir ou juntar os objetos da mesmaespécie ou as medidas de diversas grandezas referentes à mesma unidade.
2.1.1 Propriedades fundamentais da adiçãoSão duas as propriedades fundamentais:
2.1.1.1 Comutativa – A ordem das parcelas não altera a soma.Exemplos: 4 + 3 é igual a 3 + 4 (ambas valem 7)
6 + 8 + 1 = 8 + 6 + 1 = 1 + 8 + 6 (todas valem 15).
2.1.1.2 Associativa – A adição de vários números não se altera se algumas de suasparcelas forem substituídas por sua soma efetuada.Exemplo: 8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 ou
8 + 3 + 5 = 11 + 5
NOTA:Inversamente pode-se aplicar a propriedade dissociativa, isto é, substituir parcelapor outras que a tenham por soma.Exemplo: 11 + 5 = (8 + 3) + 5
2.1.2 Regra prática para efetuar a adiçãoPara somar diversos números naturais, escrevem-se uns embaixo dos outros, demodo que fiquem dispostos em colunas ou em algarismos da mesma ordem. Emoutras palavras: colocam-se unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo dedezenas, centenas embaixo de centenas...
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Exemplo: Para somar 125 + 13 + 9, escreve-se da seguinte maneira:125
+ 13 9
Somam-se os algarismos da última coluna à direita, escreve-se embaixo dela oalgarismo que representa as unidades simples da soma; as dezenas, caso existam,são somadas aos algarismos da coluna das dezenas. Procede-se da mesma formaaté a última coluna à esquerda, quando se obtém o resultado total.No exemplo: 1
12513
+ 9147
2.1.3 Como conferir uma somaPode-se comparar o resultado de uma soma através da prova real, que é baseadana propriedade comutativa. Desse modo, pode-se refazer a operação depois de tertrocado a ordem das parcelas. Na prática, equivale a fazer a adição de baixo paracima. Se estiver correta, encontra-se o mesmo resultado.
Exemplo: 1 024 8920 132 20 132+ 89 + 1 02421 245 21 245
2.2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Subtração é a operação que envolve ou representa a idéia de tirar, deduzir oudiminuir. O número do qual se tiram unidades é chamado minuendo; o que é tiradodele chama-se subtraendo, e o resultado é chamado resto ou diferença.
A subtração só é possível quando o subtraendo é menor que o minuendo ou, nomáximo, igual a ele. Se os termos forem iguais, o resultado será nulo.
2.2.1 Regra prática para efetuar a subtraçãoPara efetuar a subtração de dois números escreve-se o subtraendo embaixo dominuendo, de modo que fiquem dispostos em colunas os algarismos de mesmaordem. Em outras palavras: colocam-se unidades embaixo de unidades, dezenasembaixo de dezenas e centenas embaixo de centenas.
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Exemplo: 8 563 – 928 8 563– 928
resultado: 7 635
2.2.3 Como verificar se a subtração está certaQuando se faz uma subtração pode-se tirar a prova, isto é, pode-se verificar se asubtração está correta. Para isso, soma-se o subtraendo com o resto ou diferença.Exemplo: 8 563 7 635
– 928 + 9287 635 8 563
A subtração está certa, porque o número 8 563 – obtido como resultado na adição –coincide com o minuendo da subtração, que também é 8 563.
2.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Multiplicar é somar parcelas iguais.Exemplo: 4 + 4 + 4 = 12
4 x 3 = 12 ⇒ que se lê: quatro multiplicado por três ou quatro vezes três.
Nesta adição, a parcela (4) que se repete é chamada multiplicando; o número devezes (3) que a parcela aparece é chamado multiplicador, e o resultado (12) chama-se produto.
Desse modo, tem-se a seguinte definição: Multiplicação é a operação que permitesomar um número chamado multiplicando tantas vezes como parcela quantas foremas unidades do outro número, chamado multiplicador.
A multiplicação é indicada por um X colocado entre os dois números chamadosfatores. Costuma-se, também, indicar a multiplicação de dois números por um pontocolocado entre os fatores.Exemplo: 1234 =×
OBSERVAÇÕES:1.ª Quando o multiplicando ou o multiplicador for 0, o produto será nulo.
Exemplo:050 =× ⇒ porque 000000 =++++
2.ª Quando o multiplicando for 1, o produto será igual ao multiplicador.Exemplo:
441 =× ⇒ porque 41111 =+++
22
3.ª Ao multiplicar um número natural por 2, obtém-se o dobro desse número; por 3,o triplo; por 4, o quádruplo etc.Exemplos:5 x 2 = 10 5 + 5 = 105 x 3 = 15 5 + 5 + 5 = 155 x 4 = 20 5 + 5 + 5 + 5 = 20
2.3.1 Propriedades fundamentais da multiplicaçãoSão duas as propriedades fundamentais:
2.3.1.1 Comutativa – A ordem dos fatores não altera o produto.Exemplo: 4 x 3 é igual a 3 x 4 (ambas iguais a 12).
2.3.1.2 Distributiva em relação à soma e à diferença indicada – Para multiplicar umasoma ou uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma de suasparcelas ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se osresultados.Exemplos: (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3
(7 – 4) x 5 = 7 x 5 - 4 x 5
Esta propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todosos termos.
2.3.2 Regras práticas para efetuar a multiplicaçãoMostram-se duas regras:
1.ª A multiplicação de dois números naturais de um só algarismo é feita de memória.Os resultados dessas multiplicações encontram-se na tábua de multiplicação dePitágoras. Como exemplo, veja-se como saber o resultado da multiplicação 7 x 8:
1 2 3 4 5 6 7 8 9X
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
23
Procura-se o número 8 na primeira coluna vertical e acompanha-se a linha do 8 nahorizontal; depois busca-se o número 7 na primeira linha horizontal e acompanha-sea coluna do 7 na vertical. Onde as duas linhas se encontram, acha-se o resultado.Solução: 7 x 8 = 56
2.ª A multiplicação de um número natural qualquer por outro de um só algarismo éfeita multiplicando-se o valor absoluto do multiplicador por cada um dosalgarismos do multiplicando, a partir da direita.
De cada produto parcial escreve-se o algarismo das unidades, enquanto asdezenas se juntam ao produto parcial sucessivo. O último produto obtido éescrito por completo.
Exemplo: 8329 x 7
1º) 6379 =× 2º) 1472 =×
3º) 2173 =× 4º) 5678 =×
2.3.3 Como verificar se a multiplicação está certa
2.3.3.1 Prova real – É feita refazendo-se a operação depois de trocada a ordem dosfatores. Pela propriedade comutativa, deve-se encontrar o mesmo resultado se aoperação estiver certa.
Exemplo: 236 25X 25 x 2361180 150472 755 900 50 .
5 900
2.3.3.2 Também é possível fazer a prova dividindo o produto da multiplicação (5 900)pelo multiplicador (25). Para que o cálculo esteja correto, deve-se obter comoresultado o multiplicando (236).
206+
232+
582+
583037
8329622
×
24
Exemplo: 5 900 2550 0 236090 75 0 150 150
000
2.4 DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Divisão é a operação que permite verificar quantas vezes um número está contidoem outro. O maior número (o que contém) chama-se dividendo; o menor (o que estácontido), divisor; o número de vezes que o dividendo contém o divisor é chamadoquociente.
Se o divisor está contido exatamente um certo número de vezes no dividendo, adivisão é exata; caso contrário, é aproximada.
Chama-se resto a diferença entre o dividendo e o produto do divisor pelo quociente.
A divisão é indicada pelos sinais : ou ÷ que se lêem “dividido por”.
Exemplo:– divisão exata
15 é o dividendo15 : 3 = 5 onde 3 é o divisor
5 é o quociente.
– divisão aproximada17 3 onde 17 é o dividendo15 5 3 é o divisor02 5 é o quociente
2 é o resto.
2.4.1 Propriedades gerais da divisão
1.ª Um número dividido por si mesmo resulta como quociente a unidade.Exemplo: 188 =÷ porque 818 =×
2.ª Um número dividido pela unidade resulta como quociente o próprio número.Exemplo: 155 =÷ porque 515 =×
25
3.ª Zero dividido por qualquer outro número resulta como quociente zero.Exemplo: 070 =÷ porque 070 =×
4.ª Não tem sentido a divisão quando o divisor é zero.Assim, por exemplo, =÷ 07 ? (impossível), pois não existe número algum que,multiplicado por 0, dê 7.
Quando um número é dividido por 2 costuma-se dizer que se tomou sua metade; por3, sua terça parte; por 4, sua quarta parte etc.
Para as divisões exatas vale, também, a propriedade distributiva, isto é:( ) 31232431224 ÷+÷=÷+( ) 31232431224 ÷−÷=÷−
Do estudo feito, observa-se que:
a) O resto de uma divisão aproximada é sempre menor que o divisor.Exemplo: 39 5 10 7
35 0 7 7 104 3
b) O resto de uma divisão exata é zero.Exemplo: 24 8
24 0 3 00
2.4.2 Regras práticas para efetuar a divisão
1.ª Lembrando da tábua de multiplicação de Pitágoras, pode-se fazer de memóriaas divisões em que o divisor tem um só algarismo e o quociente é menor que 10.Assim, por exemplo, na divisão de 30 por 4 o quociente é 7 e o resto é 2, porque
30 = 7 x 4 + 2
2.ª Para dividir um número qualquer por outro, separa-se no dividendo, a partir daesquerda, um número que tenha o divisor no mínimo uma vez e no máximo novevezes. A parte separada é o primeiro dividendo parcial.Exemplo: 5 639 15
Divide-se o número que foi separado no dividendo (56) pelo divisor (15), obtendoo primeiro algarismo do quociente (3).
5 639 15 3
26
A seguir, multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (3) pelo divisor (15) esubtrai-se o produto do primeiro dividendo parcial (56), tendo como resultado oresto parcial (11).
5 639 1545 0 311
Divide-se o segundo dividendo parcial (113) pelo divisor (15) e encontra-se osegundo algarismo do quociente (7).
5 639 1545 0 37113
A seguir multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (7) pelo divisor (15) esubtrai-se o produto (105) do segundo dividendo parcial (113), tendo comoresultado o resto parcial (8).
5 639 1545 0 37113105008
À direita do resto obtido (8) baixa-se o algarismo seguinte do dividendo (9);obtém-se, assim, o terceiro dividendo (89), que é o último desta divisão.
5 639 1545 0 37113105 00089
Divide-se o terceiro dividendo (89) pelo divisor (15) e encontra-se o terceiroalgarismo do quociente (5).
5 639 1545 0 375113105 00089
A seguir, multiplica-se o valor absoluto desse algarismo (5) pelo divisor (15) esubtrai-se o produto do terceiro dividendo (89).
27
5 639 1545 0 375113105 00089 75 14
Está terminada a divisão. Obteve-se como resultado do cálculo 375 e como resto, 14.
2.4.3 Como verificar se a divisão está corretaFaz-se a prova real. A prova real da divisão é feita multiplicando-se o quociente(375) pelo divisor (15) e somando este produto com o resto (14). Se a operaçãoestiver correta, deve-se encontrar o dividendo (5 639).
5 639 1545 0 375113 x 15105 0 5 6250089 + 14 75 5 639 14
2.4.4 Divisão de números naturais com zeros no final dos númerosPara facilitar a divisão de números naturais com zeros no final dos números, deve-secortar o mesmo número de zeros no dividendo e no divisor e fazer a divisãonormalmente, como já aprendido. Exemplos:
1 680 40 6 000 8016 0 42 56 0 75008 040 8 0 40 0 0 00
2.5 POTÊNCIA
Chama-se potência de um número o produto cujos fatores são todos iguais a ele.Exemplo: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243Representação: 35 = 243 → lê-se três elevado à quinta potência.
- o número 3 é denominado base;- o número 5, expoente ou grau;- o número 243, produto de todos os fatores repetidos, é a
potência.
28
2.5.1 Regras práticas de potenciação
1.ª Para multiplicar potências semelhantes (com mesmos expoentes) multiplicam-seas bases e conserva-se o expoente.Exemplos: 34 x 44 = 124 82 x 42 = 322
2.ª Para dividir potências semelhantes dividem-se as bases e conserva-se o expoente.Exemplos: 83 ÷ 23 = 43 42 ÷ 22 = 22
3.ª Para multiplicar potências de mesma base somam-se os expoentes e conserva-se abase.Exemplos: 32 x 33 x 34 = 32+3+4 = 39
73 x 74 = 73+4 = 77
4.ª Para dividir potências de mesma base conserva-se a base e subtraem-se osexpoentes.Exemplos: 37 ÷ 34 = 37-4 = 33
54 ÷ 53 = 54-3 = 51
5.ª Para elevar uma potência a outra potência multiplicam-se os expoentes.Exemplos: (22)5 = 210
(33)4 = 312
6.ª Para elevar uma fração a uma potência elevam-se os dois termos a essa potência.Exemplos:
7.ª Qualquer número diferente de zero, elevado a um expoente negativo, é igual aoinverso do mesmo número, com expoente positivo.Exemplo: 8
1212 3
3 ==−
OBSERVAÇÕES:
a) 18 = 1 (um) 1 elevado qualquer expoente será sempre 1.
b) 21 = 2 qualquer número elevado a expoente 1 não se altera.
c) 70 = 1 qualquer número elevado a expoente zero será sempre 1.
35
333
53 =
29
2.5.2 Exercícios
1. Calcular as potências:
2. Calcular o quadrado de 133.
3. Calcular o quadrado de 125.
4. Calcular o cubo de 3.
5. Calcular o cubo de 9.
6. Calcular a diferença entre o cubo de 6 e o quadrado de 7.
7. Calcular o produto da diferença entre o quadrado de 11 e o quadrado de 9 por 15.
8. Calcular a divisão do cubo de 8 pelo quadrado de 4.
9. Calcular as seguintes expressões:
82 + 33 + 52 + 122 + 112 + 73 =
132 - 92 + 152 - 202 + 63 + 42 =
=
=
=÷
=×
=
=
=
=
−
2
2
35
42
2
1
0
2
4 )840 )7
33 )6
22 )57 )4
175 )35 )2
7 )1
( )( )
=
=
=×
=÷
=
=
=
=−
3
3
3
3
2
2
2
2
41 )16
53 )15
42 )14
26 )13
1000 )12100 )11
8 )102 )9
30
10. Controle mensal da produção de uma indústria de ferramentas segundo acapacidade horária de fabricação das máquinas, por setor.Calcular as unidades fabricadas.
Especificação do produto Setor Produção horária Horas trabalhadas Unidadesfabricadas
chaves de boca ¾”
alicate bico redondo
martelo modelo 00/20
chave Allen
brocas ½”
alargadores 3/8”
chave de fenda 4x¼”
A
B
C
D
E
A
D
14 500
324
867
285
620
255
117
35
25
40
38
27
18
29
Total das unidades fabricadas
O quadro abaixo representa a produção mensal de uma máquina. Sabendo que aempresa trabalha 21 dias por mês, à razão de 8 horas por dia, calcular o número depeças fabricadas.
a) durante 1 dia de trabalhob) durante 1 hora de trabalho.
Especificação do produto Produção mensal Produção diária Produção horária
peça 7-04
peça 185/B
peça 04-12
peça BC-7
peça KL-24
peça 35-12
peça ZY
peça 400.02
672
840
1 344
2 016
2 520
1 512
7 392
1 008
31
3 NÚMEROS DECIMAIS
Decimal é o número que tem uma parte (inteira) à esquerda da vírgula e outra parte,a decimal, à direita. Exemplo: 3,125. Os algarismos à esquerda da vírgula representamo número de unidades inteiras, e os números à direita da vírgula representam,sucessivamente, décimos, centésimos, milésimos etc. dessa unidade.
O grupo de algarismos à esquerda da vírgula denomina-se parte inteira; o da direita,parte decimal.
3.1 LEITURA DOS NÚMEROS DECIMAIS
Exemplos de leitura dos números decimais:
trezentos e quatorze centésimos
sete mil, quatrocentos e oitenta e cinco milésimos
duzentos e cinco centésimos
dois mil e cinco milésimos.
Na outra forma de leitura, é necessário conhecer os décimos, centésimos e milésimos,e também as posições decimais. Lê-se primeiramente o número que representa a parteinteira, seguido do nome unidades, e depois a parte decimal, dando a designação daunidade representada pelo último algarismo da direita. Se a parte inteira for nula, lê-se somente a parte decimal. São exemplos:
⇒623,15 15 inteiros e 623 milésimos⇒72,2 2 inteiros e 72 centésimos
⇒8543,3 3 inteiros e 8 543 décimos de milésimos⇒01856,0 1 856 centésimos de milésimos
⇒02,0 2 centésimos⇒001,0 1 milésimo
→= 10031414,3
→= 10007485485,7
→= 10020505,2
→= 10002005005,2
32
O quadro a seguir apresenta as posições decimais do número 4,918463.in
teiro
s
déci
mos
cent
ésim
os
milé
sim
os
déci
mos
de
milé
sim
o
cent
ésim
osde
milé
sim
o
mili
onés
imo
quatro inteiros, novecentos edezoito mil e quatrocentos esessenta e três milionésimos
4, 9 1 8 4 6 3
Se for necessário escrever um número decimal que tenha partes ainda menores queo milionésimo, pode-se usar posições cada vez mais para a direita.
3.2 COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
Compor é formar um número juntando seus grupos.
Exemplos:
Qual é o número que contém 3 dezenas, 2 unidades, 8 décimos, 4 centésimos e 5milésimos? O número decimal formado é: 32,845
Qual é o número que contém 4 unidades, 6 décimos, 2 centésimos e 3 milésimos?O número decimal formado é: 4,623
Por outro lado, decompor um número decimal é dar o valor de cada algarismo dele.
Exemplos:
43,265 – A posição dos algarismos indica que esse número é formado por:4 dezenas, 3 unidades, 2 décimos, 6 centésimos e 5 milésimos.
21,874 – Ele é formado por:2 dezenas, 1 unidade, 8 décimos, 7 centésimos e 4 milésimos.
3.3 COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
Comparar números decimais consiste em descobrir qual é o maior. Quando doisnúmeros decimais têm as unidades inteiras diferentes, é muito fácil saber qual é omaior. Neste caso, o maior é aquele que tem a parte antes da vírgula, inteira, maior.
33
Exemplos:Qual é o maior: 2,31 ou 1,52? Logo se vê que 2,31 é maior que 1,52, porque 2 émaior que 1. Do mesmo modo, o número 11,03 é maior que 9,12 porque 11 é maiorque 9 e o número 12,5 é maior que 10,628 porque 12 é maior que 10.
Mostra-se agora como descobrir o número decimal que é maior quando as unidadesinteiras são iguais.
3.3.1 Primeiro casoObservando os números 3,15 e 3,12, verifica-se que têm unidades inteiras iguaisantes da vírgula, e também a mesma quantidade de posições depois da vírgula. Osdois números têm duas posições decimais depois da vírgula. Neste caso, é sócomparar: é maior o número que tem a parte decimal maior. Assim, 3,15 é maior que3,12, porque 15 é maior que 12.
3.3.2 Segundo casoObservando agora os números 6,15 e 6,7, vê-se que têm unidades inteiras iguais epartes decimais com quantidade diferente de posições depois da vírgula. O primeirotem dois algarismos depois da vírgula, e o segundo só tem um. Neste caso, parasaber qual é o maior, iguala-se a quantidade de casas decimais colocando zeros nonúmero que tiver menos casas. Assim: 6,15 e 6,70. Em seguida, vê-se qual dosdois tem a parte decimal maior.
No exemplo, 6,7 é maior que 6,15 porque:– as partes inteiras são iguais (6 e 6);– ao igualar o número de casas vê-se que 70 é maior que 15.
Em outro exemplo:8,3 é maior que 8,125 porque:– as partes inteiras são iguais (8 e 8);– ao igualar o número de casas da parte decimal colocando zeros deixam-se os
dois números com três casas: 8,300 e 8,125;– vê-se que 300 é maior que 125.
3.4 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS DECIMAIS
3.4.1 Adição de números decimaisPara somar um número decimal deve-se escrever os números de maneira que asvírgulas fiquem sempre uma embaixo da outra. Monta-se a conta e realiza-se asoma exatamente como se faz com os números naturais. Depois, para completar asoma, coloca-se a vírgula no resultado.
34
Exemplo: Efetuar a soma: 5,135 + 103,61 + 237,402= 346,147 5,135 103,61
+ 237,402 346,147
A vírgula do resultado da soma deve ficar abaixo das demais vírgulas.
Às vezes torna-se necessário somar números inteiros (números sem vírgulas) comnúmeros decimais (números com vírgula). Neste caso, para a montagem da contaconsidera-se que há uma vírgula logo após o número inteiro.
Exemplo: Efetuar a soma: 8,23 + 13= 21,23 8,23+ 13,00
21,23
Observe-se que a vírgula que se considera existir no número 13 ficouembaixo da vírgula do número decimal.
3.4.1.1 Soma de medidas – Para somar medidas, o procedimento é o mesmoutilizado para efetuar adições ou subtrações de números naturais e númerosdecimais. As medidas a ser somadas precisam estar na mesa unidade.
Exemplo: Para somar 3,2 m + 25,1 m 3,2 m a unidade de medida é o metro+ 25,1 m a unidade de medida é o metro
28,3 m a unidade de medida é o metro
3.4.2 Subtração de números decimaisPara subtrair um número decimal, deve-se escrever os números de maneira que asvírgulas fiquem sempre uma embaixo da outra. Monta-se a conta e realiza-se asubtração exatamente como é feito com números naturais. Depois, para completar asubtração, é necessário colocar a vírgula no resultado.
Exemplo: Efetuar a seguinte subtração:228,943 - 117,540 228,943
– 117,540 111,403
A vírgula do resultado da subtração deve ficar abaixo das demais vírgulas.
Às vezes precisa-se subtrair números inteiros (números sem vírgula) de númerosdecimais (números com vírgula), ou subtrair números decimais (números comvírgulas) de números inteiros (números sem vírgula).
35
Exemplos: 9,453 5- 7 - - 3,22
Para facilitar a operação, coloca-se a vírgula no número natural e preenchem-se asposições vazias com zeros.
9,453 5,00- 7.000- - 3,22
Depois, efetua-se a operação: 9,453 5,00- 7.000- - 3,22 2,453 1,78
3.4.3 Multiplicação de números decimais
3.4.3.1 Multiplicação de números decimais por números naturais – Inicialmente, faz-se a multiplicação como nos números naturais.
12,6 x 4504
Agora só falta pôr a vírgula no resultado.
Dos números que foram multiplicados, um possui uma casa decimal (12,6, isto é, umalgarismo depois da vírgula). Neste caso, o resultado ficará com uma casa decimal,uma casa após a vírgula:
12, 6 este fator tem uma posição decimal x 4050, 4 o produto ou resultado tem uma posição decimal
Quando se multiplica um número decimal que tem duas posições decimais por umnúmero natural, o resultado também fica com duas posições decimais, isto é, doisalgarismos depois da vírgula.
Exemplo:2, 14 este fator tem duas posições decimais x 2 04, 28 o produto ou resultado tem duas posições decimais.
36
Quando se multiplica um número decimal que tem três posições decimais por umnúmero natural, o resultado também fica com três posições decimais, isto é, trêsalgarismos depois da vírgula. Exemplo:
2, 314 este fator tem três posições decimais x 5 011, 570 o produto ou resultado tem três posições decimais.
Da mesma maneira, ao multiplicar um número decimal com quatro casas decimaispor um número natural, o resultado terá quatro casas decimais, e assim por diante.
3.4.3.2 Multiplicação de números decimais por números decimais – Também nestecaso, a única diferença entre a multiplicação com números naturais e a multiplicaçãocom números decimais é a vírgula. Exemplo:
2,7 uma casa decimal Serão somadas as casas decimais e contadasx 1,4 0 uma casa decimal no resultado, da direita para a esquerda. 108+ 27 3,78 duas casas decimais
− − , 7 2 casas ,78 duas casas após a vírgula− − , 4
Outros exemplos: 13,58 duas casas decimais x 3,6 0 uma casa decimal 8148+4074 0 48,888 três casas decimais
Neste exemplo, o resultado ficou com três casas decimais, porque os dois fatoresjuntos têm três casas decimais após a vírgula.
14,59 duas casas decimais x 1,25 0 duas casas decimais 7295 2918+ 1459 0 18,2375 quatro casas decimais
Neste exemplo, o resultado ficou com quatro casas decimais porque os dois fatoresjuntos têm quatro casas decimais.
37
3.4.4 Divisão de números decimaisA divisão é o processo inverso da multiplicação. Assim, nesta operação, ao invés desomar, subtrai-se o número de posições decimais do dividendo do número deposições decimais do divisor.
Exemplo: 4 , 9 5 0 ÷ 2, 7 5 = 1 , 8
três duas uma posições posições posição decimais decimais decimal
3.4.4.1 Divisões cujo dividendo tem maior número de posições decimais que o divisor
1.º exemplo: 3,22 ÷ 2,3 =Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossemnaturais.
3,22 2,3 322 230 método de igualar as casas decimais- 2 3 0 1,4 ou 230 1,...... 0 92 092- 92 para continuar, coloca-se um zero ao lado do 92. 00 920 230
920 ...,4000 Resultado: 1,4
Para colocar a vírgula no quociente, contam-se as casas decimais do dividendo esubtrai-se do número de casas decimais do divisor.
3,22 ÷ 2,3 =
2 – 1 = 1
Nesta divisão, o quociente terá 1 casa decimal, ou seja: 1,4.
2.º exemplo: 12,744 ÷ 5,4
12,744 5,4- 10 8 0 2,36 01 94- 1 62 0 324- 324 000
38
O dividendo tem três posições decimais, e o divisor tem uma posição decimal. Como3 - 1 = 2, o quociente terá duas posições decimais.
Assim: 12,744 ÷ 5,4 = 2,36
3 - 1 = 2
3.º exemplo:Tendo-se uma divisão cujo dividendo tem uma ou mais posições decimais e o divisoré número natural que não tem posições decimais, ou seja, zero posições decimais.Inicialmente faz-se a divisão como segue:
83,7 ÷ 27 = 3,1
83,7 27- 81 0 3,1 02 7- 2 7 0 0
Para colocar a vírgula, subtrai-se o número de posições decimais do dividendo, queé um, do número de posições decimais do divisor, que é zero. Então: 1 – 0 = 183,7 ÷ 27 = 3,1
1 - 0 = 1
4.º exemplo:116,55 ÷ 63 =
116,55 63- 63 0 1,85 53 5- 50 4 0 03 15- 3 15 0 00
Para colocar a vírgula, tem-se duas posições decimais no dividendo menos zeroposições decimais no divisor:116,55 ÷ 63 = 1,85
2 - 0 = 2
39
3.4.4.2 Divisões cujo dividendo e divisor têm o mesmo número de posições decimais
1.º exemplo:
46,8 ÷ 7,8
Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossemnaturais.
46,8 7,8- 46 80 6 00 0
O dividendo tem uma posição decimal. O divisor também tem uma posição decimal.
46,8 ÷ 7,8 = 6
1 - 1 = 0
O quociente é um número sem posições decimais.
2.º exemplo:
8,16 ÷ 0,68 = 12
8,16 0,68- 6 8 0 12 1 36- 1 36 0
0 00
O quociente é um número que tem apenas unidades inteiras, sem partes decimais,porque o dividendo e o divisor têm o mesmo número de posições decimais.
3.4.4.3 Divisões cujo dividendo tem menor número de posições decimais que o divisor
1.º exemplo:
53,9 ÷ 3,85 =
O dividendo tem uma posição decimal; o divisor tem duas posições decimais. Pode-secalcular zeros à direita de um número decimal depois da vírgula, sem mudar seuvalor. Se for colocado um zero no dividendo, ficam duas posições decimais, tanto nodividendo como no divisor:
53,90 ÷ 3,85 =
40
Inicialmente faz-se a divisão como se os números do dividendo e do divisor fossemnaturais.
53,90 3,85- 38 5 0 14 15 40- 15 40 0
00 00
O quociente é um número sem posição decimal, porque:
53,90 ÷ 3,85 = 14
2 – 2 = 0
2.º exemplo:
59,5 ÷ 2,125 = 28
59,500 2,125 - 42 50 0 28 17 000- 17 000 0
00 000
O quociente é um número sem posição, porque:
59,500 ÷ 2,125 = 28
3 – 3 = 0
3.º exemplo:
Quando o dividendo tem somente unidades inteiras, pode-se colocar vírgula nodividendo e acrescentar zeros:
202 ÷ 50,5 =
202,0 50,5 - 202 0 0 4
000 0
O quociente é um número sem posição decimal, porque:
41
202,0 ÷ 50,5 = 4
1 – 1 = 0
3.4.4.4 Divisões com aproximação – Já foi visto que, para determinar as posiçõesdecimais do quociente de uma divisão, basta contar as posições decimais dodividendo e do divisor e subtrair uma da outra.
1.º exemplo:
3,3 ÷ 1,2 = 2
3,3 1,2 – 2,40 2 0 9
O quociente é um número sem posições decimais, e sobra o resto 9.
2.º exemplo:
3,30 ÷ 1,2 = 2,7
3,30 1,2- 2 4 0 2,7 0 90 84 0
06
O quociente possui uma casa decimal, e sobra resto 6.
3.º exemplo:
3,300 ÷ 1,2 = 2,75
3,300 1,2- 2 4 0 2,75 0 90- 84 0 060- 60 00
O quociente possui duas posições decimais. Sabe-se que é possível colocar zeros àdireita de um número decimal depois da vírgula sem mudar seu valor.Então, 3,3 = 3,30 = 3,300
42
O dividendo e o divisor são os mesmos nas divisões anteriores,
3,3 ÷ 1,2 = 23,30 ÷ 1,2 = 2,73,300 ÷ 1,2 = 2,75
mas o quociente é diferente em cada exemplo. Isso significa que, quanto mais zerosforem colocados no dividendo, mais posições decimais terá o quociente.
Ao continuar a conta – colocando zeros no dividendo – está-se fazendo umaaproximação.
4.º exemplo:
1,5 ÷ 0,8 = 1
Esta é uma conta sem aproximação decimal. 1,5 0,8 – 8 0 1 0 7
5.º exemplo:
1,50 ÷ 0,8 = 1,8
Esta é uma conta com aproximação de décimos, porque o quociente ficou com umaposição decimal.
1,50 0,8 - 8 0 1,8 0 70 - 64 0 aproximação de décimos
Se for desejado, pode-se continuar a conta anterior até a casa dos centésimos,milésimos..., desde que se continue a dispor de resto. Basta, para isso, iracrescentando zeros no dividendo.
1,500 0,8 1,5000 0,8 - 8 0 1,87 - 8 0 1,875 0 70 0 70 - 64 0 aproximação de centésimos - 64 0 aproximação de milésimos 060 060 - 56 - 56 0 04 040
4000
43
3.4.4.5 Divisões com números decimais por 10, 100, 1 000 etc. – Para dividir umnúmero decimal por 10, 100, 1 000... deve-se deslocar a vírgula para a esquerdatantas casas quantos forem os zeros do algarismo divisor. Na falta de casasdecimais no número que está sendo dividido, é preciso completar com zero aposição decimal que está faltando.
1.º exemplo:
Para dividir um número por 10, desloca-se a vírgula uma casa para a esquerda:375,12 ÷ 10 = 37,512289,75 ÷ 10 = 28,975 0,32 ÷ 10 = 0,032
2.º exemplo:
Para dividir um número por 100, desloca-se a vírgula duas casas para a esquerda:843,2 ÷ 100 = 8,432 43,8 ÷ 100 = 0,438 0,2 ÷ 100 = 0,002
3.º exemplo:
Para dividir um número por 1 000, desloca-se a vírgula três casas para a esquerda:1 042,4 ÷ 1 000 = 1,04249 651,3 ÷ 1 000 = 9,6516 74,8 ÷ 1 000 = 0,0748
3.5 EXERCÍCIOS
Calcular os comprimentos “C” indicados nas seguintes peças:
A B
44
C D
E F
G
45
H
Achar a profundidade de corte “P” necessária para dar forma quadrada ao eixorepresentado abaixo.
Qual é a espessura da parede “E” da tubulação da figura a seguir?
46
Calcular o diâmetro “Ø” e a dimensão “X” da figura.
Calcular o comprimento C da figura.
Calcular na figura abaixo:
a) C =
b) Os espaços entre os pontos do intervalo 1 e 2.
∅
47
4 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO E DIVISIBILIDADE
4.1 MÚLTIPLO DE UM NÚMERO
Um número é múltiplo de outro quando sua divisão por ele é exata.
Assim, 21 é múltiplo de 7 e de 3, pois 21 ÷ 7 = 321 ÷ 3 = 7
4.2 DIVISIBILIDADE
4.2.1 Divisibilidade por 2Um número é divisível por 2 quando o último algarismo (de suas unidades) é 0, 2, 4,6 ou 8. Isto é: divisíveis por 2 são todos os números pares.
4.2.2 Divisibilidade por 3Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seusalgarismos é divisível por 3.
Exemplo: o número 37 212 é divisível por 3 porque 3 + 7 + 2 + 1 + 2 = 15, que émúltiplo de 3.
4.2.3 Divisibilidade por 4Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos da direita formamum número divisível por 4.
Exemplos: os números 316, 7 620 e 156 732 são divisíveis por 4.
4.2.4 Divisibilidade por 5Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.
Exemplos: 220, 785, 250, 135, 170 e 485.
4.2.5 Divisibilidade por 6Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.
Exemplos: 282, 180, 2 334, 192 e 72.
48
4.2.6 Divisibilidade por 9Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seusalgarismos é divisível por 9.
Exemplo: o número 1 836 é divisível por 9 porque 1 + 8 + 3 + 6 = 18, que é divisívelpor 9.
4.2.7 Divisibilidade por 10Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
Exemplos: 20, 50, 100, 2 000.
4.3 NÚMERO PRIMO
Um número é primo quando é divisível só por si e pela unidade (1).
Exemplos: a) 3 ÷ 3 = 1 b) 17 ÷ 17 = 1 c) 29 ÷ 29 = 13 ÷ 1 = 3 17 ÷ 1 = 17 29 ÷ 1 = 1
4.4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Mínimo múltiplo comum – MMC de dois ou mais números é o menor númerodiferente de zero que é divisível por todos eles ao mesmo tempo.
Na prática, escrevem-se os números em linha horizontal, dividem-se todos pelosfatores primos comuns e, separadamente, pelos não-comuns, até obter quocientesiguais à unidade.
Exemplo: esta é a disposição de dados para extrair o MMC dos números 36, 90 e 120:o MMC é o produto de todos os divisores, à direita do traço vertical. Isto é:
MMC (36, 90, 120) = 23 x 32 x 5 =360 8 x 9 x 5 =360
36 – 90 -120 218 – 45 - 60 209 – 45 - 30 209 – 45 - 15 303 – 15 - 05 301 - 05 - 05 501 - 01- 01
49
4.5 EXERCÍCIOS
1 Calcular o MMC dos números:a) 220, 110 e 50b) 25, 15 e 90c) 400, 1 200 e 1 500d) 45, 60 e 75e) 680 e 920f) 750 e 370g) 6, 12, 24 e 18h) 8, 24, 18 e 16
2 Decompor os números 168, 180 e 300 em seus fatores primos, determinando oMMC entre esses números.
3 Escrever à direita de 36 um algarismo tal que o número formado seja divisívelpor 3.
4. Qual é o menor número que se deve somar a 453 para torná-lo divisível por 9?
50
51
5 FRAÇÕES ORDINÁRIAS
Para representar uma ou mais partes do inteiro são necessários dois números: oprimeiro indica o número de partes que foram tomadas do inteiro, e é chamadonumerador; o segundo, diferente de zero, indica em quantas partes, de mesmaforma e tamanho, foi dividido o inteiro, e chama-se denominador.
Exemplo:
. numerador denominador
O inteiro foi dividido em quatro partes iguais e foi tomada somente uma parte. Aparte tomada representa um quarto do todo.
desenhar figura 0 ( )avosdezesseiscinco165= (( (((999
O inteiro foi dividido em dezesseis partes iguais e foram tomadas somente cincopartes.
5.1 LEITURA DE FRAÇÕES
Para ler uma fração, diz-se primeiro o numerador e depois o denominador. Mas nãobasta dizer os dois números, um depois do outro: conforme o denominador, lê-se afração de modo diferente.
Exemplos:
41=
52
Denominador lê-se Exemplo
2
3
4
5
6
7
8
9
meio, meios
terço, terços
quarto, quartos
quinto, quintos
sexto, sextos
sétimo, sétimos
oitavo, oitavos
nono, nonos
1 0 2
1 0 2 0 3 3
1 0 3 0 4 4
1 0 4 0 5 5
1 0 5 0 6 6
1 0 6 0 7 7
1 0 7 0 8 8
1 0 8 0 9 9
Além desses denominadores, as frações podem ter qualquer outro denominador,diferente de zero.
Para ler frações com denominador 10, 100 e 1 000:
- quando o denominador é 10, diz-se décimo ou décimos:
1 0 lê-se um décimo 10
3 0 lê-se três décimos 10
- quando o denominador é 100, diz-se centésimo ou centésimos:
1 0 lê-se um centésimo 100
3 0 lê-se três centésimos 100
27 0 lê-se vinte e sete centésimos 100
53
- quando o denominador é 1 000, diz-se milésimo ou milésimos:
1 0 lê-se um milésimo 1000
27 0 lê-se vinte e sete milésimos 1 000
53 0 lê-se cinqüenta e três milésimos 1 000
Se o denominador é um número maior que 10 e diferente de 100, 1 000..., lê-se onúmero que representa o denominador seguido da palavra avos:
3 0 lê-se três onze avos 11
6 0 lê-se seis quinze avos 15
1 0 lê-se um vinte avos 20
4 0 lê-se quatro cento e um avos 101
5.2 TIPOS DE FRAÇÕES
5.2.1 Fração própriaO numerador é menor que o denominador.
5.2.2 Fração imprópriaO numerador é maior que o denominador. Suponha-se um círculo dividido em seispartes. Cada parte corresponde a um sexto do círculo.
Na figura a seguir, o número de partes corresponde a nove sextos:
32=
43=
numerador menor
denominador maior
63
66 +
69=
numerador maior
denominador menor
54
248 =
5.2.3 Fração aparente (imprópria)O numerador é igual ou múltiplo do denominador. Representam números inteirosque se obtêm dividindo o numerador pelo denominador.
→ inteiros → inteiros
5.2.4 Número mistoÉ a soma de um número inteiro, diferente de zero, com uma fração própria.
Exemplo:
5.3 TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA E VICE-VERSA
Para transformar um número misto em fração imprópria, multiplica-se o denominadorpelo inteiro e adiciona-se o numerador, mantendo o mesmo denominador.
Exemplos:
Para fazer a operação inversa – transformar a fração imprópria em número misto –,o quociente será o inteiro, o resto será o numerador e o denominador será o mesmo.Exemplos:a) 9 | 4 → b) 14 | 3 → 8 2 12 4 1 02
5.4 FRAÇÕES EQUIVALENTES
Multiplicando ou dividindo ambos os termos de uma fração por um mesmo número,diferente de zero, obtém-se uma fração de mesmo valor que a anterior.Exemplos:
a) b)
5.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Com base no princípio anterior, sempre que os termos de uma fração admitemdivisores comuns, diferentes de 1, pode-se simplificá-la (torná-la irredutível).
a) 16 ÷ 2 = 8 0÷ 2 = 4 0÷ 2 = 2 0÷ 2 = 1 0 32 ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8 0÷ 2 = 4 0÷ 2 = 2
53
15 =
832
832 =+
49
4124
412 =+×=
314
3243
324 =+×=
4124
9 =3243
14 =
[ ]2415
85
33
2415
33
85 ⇔⇒÷
÷=× [ ]6045
129
55
6045
55
129 ⇔⇒÷
÷=×
55
Fração irredutível
b) 30 ÷ 2 = 15 0÷ 3 = 5 0 42 ÷ 2 = 21 ÷ 3 = 7
5.6 REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR
Reduzir é transformar as frações dadas em frações equivalentes de mesmodenominador. Para isso, é necessário observar os seguintes passos:
1º Determinar o MMC dos denominadores das frações. O resultado é o novodenominador.[Exemplo: 3 ; 1 0 ; 2 0 MMC (4, 3, 5)
4 3 5
4 – 3 – 5 22 – 3 – 5 21 – 3 – 5 3 2 x 2 x 3 x 5 = 601 – 1 – 5 51 – 1 – 1 novo denominador
2º Dividir o MMC encontrado pelos denominadores das frações dadas.
a) →43 60 ÷ 4 = 15
b) →31 60 ÷ 3 = 20
c) →52 60 ÷ 5 = 12
3º Multiplicar o quociente de cada divisão pelo numerador da respectiva fração. Oproduto é o novo numerador.
a)
b) 0
c)
Então:
6045
154153 =
××
6020
203201 =
××
6024
125122 =
××
6024,
6020,
6045
52,
31,
43 =
56
Resumo: MMC (4, 3, 5) = 60
3 1 0 2 0 4 3 5
3 x 15 = 45 1 x 20 = 20 2 x 12 = 24
60 ÷ 4 = 15 60 ÷ 3 = 20 60 ÷ 5 = 12
45 0 20 0 24 0 60 60 60
5.7 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
Na comparação de frações, usam-se sinais próprios para indicar maior que e menorque. São os sinais > e <, respectivamente.
Por esta razão, ao invés de escrever 3 0é maior que 3 , pode-se escrever. 4 8
Ao invés de escrever 3 0é menor que 3 , pode-se escrever . 8 4
5.7.1 Frações de mesmo denominadorQuando se comparam duas ou mais frações que têm o mesmo denominador, amaior é aquela que tem maior numerador. Para comparar as frações que têm omesmo denominador, observem-se as figuras a seguir:
Nas duas figuras, a unidade está dividida em 5 partes iguais, mas na fraçãotomam-se mais partes que na fração .
Então 0 é maior que , e escreve-se
Ou : é menor que , e escreve-se 0
83
43 >⇒
43
83 <⇒
53
52
52
53 >→
53
52 <→5
2
52
53
53
53
52
53
52
57
164
163
5.7.2 Frações de mesmo numeradorQuando se comparam duas ou mais frações que têm o mesmo numerador, a maior éaquela que tem o menor denominador.
Nas duas frações toma-se o mesmo número de partes (3), mas a fração 0indica
que a mesma unidade foi dividida em mais partes e elas são menores.
Então, é maior que , e escreve-se .
Ou: é menor que , e escreve-se .
5.7.3 Frações de numeradores e denominadores diferentesQuando se comparam duas ou mais frações que têm numeradores e denominadoresdiferentes, é preciso reduzi-las ao mesmo denominador antes de comparar.
Para reduzir e 0 ao mesmo denominador:
4 – 16 22 – 8 21 – 4 21 – 2 21 – 1
MMC (4, 16) = 16 → 162222 =×××
Reduzindo as frações ao mesmo denominador, encontram-se frações equivalentes:
164
41 = e
163 só pode ser igual a
163
Agora pode-se comparar as equivalentes: e .
Já se sabe que, se as duas frações têm o mesmo denominador, a maior é a que temo maior numerador.
tem maior numerador que
83
43 >→
83
43
83 <→
164
163
43
83
43
83
43
83
41
164
58
Então:Pode-se escrever :
163
164 > .
Então: .
5.8 ADIÇÃO DE FRAÇÕES
5.8.1 Frações de mesmo denominadorDeve-se manter o denominador e somar os numeradores.
5.8.2 Frações de denominadores diferentesDeve-se reduzir as frações ao mesmo denominador; em seguida, conservando omesmo denominador, somam-se os numeradores.
mmc ( 5 e 3) =15 assim
5.8.3 Transformação de números naturais e números mistos em fraçõesimpróprias
Antes de reduzir ao mesmo denominador, se houver necessidade, transformam-seos números naturais e os números mistos em frações impróprias; uma vez realizadaa operação, simplificam-se ou extraem-se os inteiros.
mmc (1, 3, 5) = 15
5.9 SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
5.9.1 Frações de mesmo denominadorDeve-se manter o denominador e subtrair os numeradores.
↓↓
⇒=++ 68
65
61
62
3113
468 ==
→+32
54
157115
2215
101232
54 ==+=+
⇒++ 54
3125
152815
12215
12357554
37
15 ==++=++
41
82
85
87 ==−
163
41 >
59
5.9.2 Frações de denominadores diferentesDeve-se reduzir as frações o mesmo denominador e, em seguida, aplicar a regraanterior.
mmc (8, 5) = 40
OBSERVAÇÃO:Antes de reduzir ao mesmo denominador, se houver necessidade, transformam-seos números naturais em frações impróprias e, uma vez realizada a operação,simplifica-se ou extraem-se os inteiros.
5.10 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Para multiplicar frações, efetua-se o produto dos numeradores (que será o novonumerador) e, em seguida, o produto dos denominadores (o novo denominador)
OBSERVAÇÕES:
1 Transformam-se os números inteiros e os números mistos em fraçõesimpróprias:
2 Quando no numerador e no denominador existirem fatores comuns, eles podemser simplificados mesmo que em frações diferentes:
usando o cancelamento teremos
5.11 DIVISÃO DE FRAÇÕES
Para dividir frações deve-se conservar a primeira, trocar o sinal de dividir pelo demultiplicar e inverter a segunda fração (o denominador passa a numerador, e vice-versa). Em seguida, efetua-se a operação como se fosse de multiplicar.
⇒− 52
87
4019
401635
52
87 =−=−
4021
87
53 =×
411
1644
21
811
14 ==××⇒×× 2
18314
4324
1121
211
11 ==××
2
1
21
811
14 ××
60
Ao efetuar a divisão de frações usamos o procedimento de inversão.
. Troca-se o sinal de ( ÷ ) pelo de (×), inverte-se a fração
para e efetua-se a multiplicação.
OBSERVAÇÃO:
Transformam-se os números inteiros e os números mistos em frações impróprias.
. Invertendo e multiplicando tem-se ,e simplificando
pelo método do cancelamento tem-se .
5.12 CONVERSÃO DE FRAÇÕES
5.12.1 Conversão de frações ordinárias em números decimaisa) Para converter frações ordinárias em números decimais, basta efetuar a divisão
do numerador pelo denominador.
b) Para converter números mistos em números decimais, basta transformá-los emfrações ordinárias e proceder como em (a).
5.12.2 Conversão de números decimais em frações ordinárias ou númerosmistos
Para converter um número decimal em fração segue-se o seguinte procedimento:
1.º Coloca-se o número 1 no denominador:
2.º Escrevem-se ainda no denominador tantos zeros quantas forem as casas (ouposições decimais do número decimal):0,5 tem uma casa decimal: 0, 5
uma casa
Então coloca-se um zero no denominador: (cinco décimos)
Como se lê, se escreve.Exemplo: 0,25 = vinte e cinco centésimos:
2514
57
52
75
52
⇒×=÷
75
57
13
43334
18 ÷=÷
4324
1111
411 ==×
25,04141 =÷= 8125,01613
1613 =÷=
413
413 = 25,3413 =÷
1
105
10025
1
11
31
433
⇒×
61
6 REGRA DE TRÊS
Regra de três é a resolução de problemas por meio de proporções quando um dostermos da proporção é desconhecido. Pode ser direta ou inversa, simples ou composta.A mais habitualmente usada em oficina é a regra de três simples, direta ou inversa.
6.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES
Simples é aquela em que o problema é representado unicamente por uma proporçãocujo termo “X” se deseja conhecer.
Exemplo:Se 15 parafusos custam R$ 20,00, quanto se pagará por 30 parafusos?O problema resume-se no seguinte:
15 parafusos valem 20 reais30 parafusos valem “X” reais
Pelo exame desses elementos vê-se que com eles se pode estabelecer duasrazões: uma entre as quantidades de parafusos e outra entre seus respectivoscustos. Assim, tem-se:razão entre os parafusos 15
30
razão ente os custos 20X
Como as duas razões são iguais, pois a relação entre quantidades de objetos iguaisé a mesma entre seus respectivos preços, pode-se escrever:
R = R$ 40,00
Ao verificar o resultado vê-se que R$ 40,00 é de fato o custo dos parafusos. Naverdade, se 15 parafusos custam R$ 20,00, 30 parafusos, que é o dobro de 15,custarão R$ 40,00, que é o dobro de R$ 20,00.
X20
3015 =
152030X ×=
62
6.2 REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA
Nota-se que, aumentando o número de parafusos, aumenta também o preço a serpago, o que indica que as grandezas do problema são diretamente proporcionais.Isso significa que, aumentando um termo da razão, aumenta seu correspondente naoutra; diminuindo um termo na primeira razão, diminui seu correspondente nasegunda, e vice-versa.
No problema anterior foram comparados parafusos com parafusos e custos comcustos = grandezas da mesma espécie.
Veja-se agora o seguinte exemplo: Em 8 dias de trabalho um profissional preparou120 peças. De quantos dias precisará o mesmo profissional para executar 300 peçasiguais?
É uma regra de três direta pois, para fazer mais peças, o profissional gastará maisdias. Assim, tem-se:
Se em 8 dias preparou 120 peças, em “X” dias preparará 300 peças.
Logo: R = 20 dias
6.3 REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA
Se 10 operários constroem uma peça em 4 dias de trabalho, quantos operáriosconstruirão a mesma peça em 2 dias?
Ora, para construir a mesma tarefa em metade do tempo, claro está que se devedobrar o número de operários. Neste caso, as grandezas são inversamenteproporcionais porque, diminuindo uma delas, aumenta na outra razão o valor de suacorrespondente.
Ordenando os dados do problema proposto tem-se:
10 operários 4 dias “X” operários 2 dias
Como a regra de três é inversa, invertem-se os termos na razão, onde se encontra“X”. A nova proporção será:
R = 20 operários
300120
X8 =
1208300X ×=
24
10X =
2410X ×=
63
Exemplo clássico da regra de três inversa é o problema das polias, ou engrenagens.
Observe-se na Figura 1 que as polias A e B estão ligadas por uma correia. Sabendoque a polia A dá 240 rpm (rotações por minuto), calcular as rpm da polia B.
Figura 1 – Polias
A razão entre os diâmetros das duas polias é igual à razão inversa de suas rpm,pois, quanto menor o diâmetro, maior a rpm da polia; quanto maior o diâmetro,menor a rpm.
Sendo assim, a razão entre os diâmetros das polias A e B é , e a razão entre asrpm é .
No entanto, tendo em vista que se trata de razões inversamente proporcionais,arma-se a proporção invertendo a segunda razão. Tem-se, então:
Logo R = 160 rpm
Exemplos:
1 Calcular o diâmetro da polia maior da Figura 2.
Figura 2 – Diâmetro de polias
240X
3020 = 30
20240X ×=
3020
X240
64
Estabelecendo a proporção inversa, tem-se:
Ø24 cm 600 rpm 600 ═ X 0≡Ø X 300 rpm 300 24
Nas engrenagens, a razão entre as velocidades é igual à razão inversa entre osnúmeros de dentes das engrenagens.
2 Calcular a rpm da engrenagem B da Figura 3.
Figura 3 – Engrenagens de polias
Engrenagem A - 60 dentes 1 000 rpmEngrenagem B - 80 dentes X rpm
Estabelecendo a proporção inversa, tem-se:
6.4 EXERCÍCIOS
1 Uma máquina produz 200 peças em 4 horas. Quantas peças produz em 1 hora?
2 Uma polia de 20 cm de diâmetro está ligada a outra cujo diâmetro é de 40 cm.Qual é a rpm da polia menor se a maior gira com 240 rpm?
cm48ØX
cm24Ø2ØX
rpm300cm24Ørpm600ØX
=
×=
×=
rpm75080100060X
1000X
8060 =×==
65
3 Calcular o número de rotações (rpm) da roda conduzida K, de 72 dentes,sabendo que a roda condutora H, com 24 dentes, dá 300 rotações (rpm).
4 Uma casa é construída por 6 pedreiros em 120 dias. Em quantos dias seráconstruída a mesma casa se o número de pedreiros aumentar para 24?
5 Qual é a altura de um monumento que dá 87,50 m de sombra, sabendo-se queum pé de árvore com altura de 15 m dá 37,50 m de sombra no mesmo horário?
6 Um tecelão fez com certa quantidade de fio 26,50 m de pano, tendo ¾ de metrode largura. Quantos metros teria ele feito com a mesma quantidade de fio se opano tivesse ½ m de largura?
6.5 PORCENTAGEM
É comum ouvir-se expressões como estas:“Nesta liquidação há redução de 15% (lê-se quinze por cento) nos preços”.“O número de aprovações no vestibular foi de 30% (lê-se trinta por cento)”.
Veja-se o significado dessas expressões:- Se a redução nos preços de qualquer objeto é de 15%, significa que há redução
de R$ 15,00 no preço de determinado objeto que custa R$ 100,00.- Se a aprovação no vestibular foi de 30%, significa que 30 alunos em cada grupo
de 100 foram aprovados.
Diz-se, portanto:- a porcentagem (ou percentagem) da redução na liquidação é de quinze por
centro, ou 15%;- a porcentagem da aprovação dos alunos no vestibular foi de trinta por cento, ou
30%.
Percebe-se, assim, que os problemas de porcentagem são resolvidos através daregra de três.
66
Exemplos:
1 Em uma classe de 40 alunos faltaram 15%. Quantos alunos faltaram?
Como se sabe, 15% significa que, se a classe tivesse 100 alunos, teriam faltado15 deles. Mas, como a classe tem 40 alunos, é preciso determinar quantosfaltaram. Representa-se por X o número de alunos a determinar:
Alunos da turma alunos que faltaram 100 15 0 40 X
Faltaram 6 alunos.
2 Em uma turma de 45 alunos 36 foram aprovados. Qual é a percentagem deaprovação?
45 alunos 36 aprovados100 alunos X aprovados
A percentagem de aprovação foi de 80%.
3 Um televisor colorido que custava R$ 800,00 sofreu um desconto de 10%.Quando o consumidor pagará por ele?
R$ 100,00 R$ 10,00 de descontoR$ 800,00 X de desconto
O valor do desconto é R$ 80,00. Valor a pagar: R$ 800,00 – R$ 80,00 ═ R$ 720,00.
4 Em um lote de 40 peças, 5% ficaram com defeito. Quantas peças ficaram boas?
100 peças 5 com defeito 40 peças X com defeito
2 peças ficaram com defeito. 40 – 2 ═ 38. 38 peças ficaram boas.
6X100
1540X1540X100X
1540
100 =×=⋅=⋅=
80X45
10036XX36
10045 =×==
00,80$RX100
10800XX
10800100 =×==
2X100
540XX5
40100 =×==
67
6.5.1 Exercícios
1 De uma carga de 8 400 garrafas, apenas 7 728 chegaram intactas a seu destino.Qual é a percentagem de garrafas que quebraram?
2 Em um curso de treinamento de 80 horas, somente recebe certificado quemassiste a 80% das aulas. Para ter direito ao certificado, quantas horas nomáximo poderá faltar um participante?
3 De uma produção mensal de 15 000 peças fabricadas, 5% apresentam defeito.Quantas peças estão em boas condições?
4 Em 120 litros de fluído refrigerante para o torno entram 20% de óleo solúvel e orestante de água. Quantos litros de cada componente entram na mistura?
68
69
7 UNIDADE DE MEDIDA DE COMPRIMENTO
Medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie tomada comounidade.
O sistema adotado no Brasil e na maioria dos países do mundo para medircomprimento ou distância é o Sistema Métrico Decimal, cuja unidade é o metro.
7.1 O METRO E SEUS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS
Quando é necessário medir objetos pequenos que têm menos de um metro torna-seincômodo medi-los em metros. Para isso, existem medidas menores derivadas dometro, que são chamadas submúltiplos do metro. Também para medir distâncias oucomprimentos maiores que o metro existem medidas derivadas maiores, que são osmúltiplos do metro.
No presente estudo dá-se ênfase às medidas menores que o metro, os submúltiplosdo metro, que interessam mais aos cursos na área da Mecânica.
unidades derivadas símbolo valor
múltiplos quilômetrohectômetrodecâmetro
kmhmdam
1 000 m100 m10 m
unidades metro m 1 m
submúltiplos decímetrocentímetromilímetromicrômetro
dmcmmmµm
0,1 m0,01 m
0,001 m0,000001 m
O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante umintervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo (CONMETRO, dez. 1988).
70
As réguas graduadas que se usam para fazer medidas em sala de aula têm asmesmas divisões do metro. São fabricadas normalmente com 25 ou 30 centímetros.Ao colocar quatro réguas de 25 centímetros uma ao lado da outra forma-se umcomprimento de 100 centímetros, que corresponde a um metro. Partindo do metro,isto é, considerando-o como unidade, formam-se outras medidas de comprimento.
Exemplos:Se o metro for dividido em 10 partes iguais, cada uma delas se chama decímetro.
Se o metro for dividido em 100 partes iguais, cada uma delas se chama centímetro.
Se o metro for dividido em 1 000 partes iguais, cada uma delas se chama milímetro.
Os símbolos dessas unidades menores que o metro são:decímetro = dmcentímetro = cmmilímetro = mm
Após a análise das divisões que contém o metro, conclui-se que:em um metro há dez decímetros: 10 dmem um metro há cem centímetros: 100 cmem um metro há mil milímetros: 1 000 mm
Pode-se dizer também que:dez milímetros correspondem a um centímetro: 10 mm = 1 cmdez centímetros correspondem a um decímetro: 10 cm = 1 dmdez decímetros correspondem a um metro: 10 dm = 1 m
71
Para escrever medidas com metros e partes menores do metro, como decímetros,centímetros e milímetros, é preciso conhecer suas posições. Exemplo:
Para localizar as posições nesta medida: 2,735 mm
etro
s
2, 7 3 5 metros
1.º parte-se da posição das unidades;- nela tem-se os metros, porque a unidadeindicada ao lado da medida é metro;
met
ros
decí
met
ros
2, 7 3 5 metros
2.º à direita dos metros, depois da vírgula, ficamos decímetros;
met
ros
decí
met
ros
cent
ímet
ros
2, 7 3 5 metros
3.º depois dos decímetros ficam os centímetros;
met
ros
decí
met
ros
cent
ímet
ros
milí
met
ros
2, 7 3 5 metros
4.º mais à direita ainda, depois dos centímetros,ficam os milímetros.
Então, a medida 2,735 representa2 metros, 7 decímetros, 3 centímetros e 5 milímetros.
7.2 UNIDADES DE MEDIDAS MENORES QUE O MILÍMETRO
O milímetro é uma unidade de medida muito pequena. No entanto, para medir comexatidão, é necessário usar unidades de medidas ainda menores.
As unidades menores que o milímetro são formadas pela divisão do milímetro em10, 100 e 1 000 partes:– dividindo o milímetro em 10 partes iguais tem-se o décimo de milímetro, que vale
0,1 mm;– dividindo-o em 100 partes iguais tem-se o centésimo de milímetro, que vale 0,01 mm;– dividindo-o em 1 000 partes iguais tem-se o milésimo de milímetro, que vale 0,001 mm.
72
Pode-se dizer, também, que– dez milésimos correspondem a um centésimo: 10 x 0,0010 mm = 0,01 mm– dez centésimos correspondem a um décimo: 10 x 0,010 mm = 0,1 mm– dez décimos correspondem a um milímetro: 10 x 0,10 mm = 1 mm.
Observe as medidas do furo e do eixo das figuras abaixo:
• O furo mede 20,082 mm;• o eixo mede 20,002 mm, ou seja, 0,080 mm menos que o furo;
assim, a folga entre eles é de 0,080 mm;• com esta folga pode-se introduzir o eixo no furo apenas empurrando com a mão.
Mudando as medidas, o ajuste entre o eixo e o furo se modifica.
Se o eixo for fabricado com 7 centésimos de milímetro a mais, sua medida vai ser20,072 mm. Nesse caso, a folga será de 0,010 mm e o eixo vai precisar depequenas pancadas para ser introduzido no furo.
Um pequeno aumento na medida do eixo é capaz de modificar bastante o ajuste.Por isso, em Mecânica, diferenças de centésimos e milésimos de milímetro precisamser medidas com cuidado.
73
Para medir com exatidão de décimos, centésimos e milésimos de milímetro usam-seinstrumentos especiais. Os instrumentos mais usados são o paquímetro, que medecom exatidão de até centésimos de milímetro, e o micrômetro, que mede comexatidão de até milésimos de milímetros.
O milésimo de milímetro é também chamado de micrômetro, símbolo µm.
7.3 TRANSFORMAÇÃO DE MEDIDAS
Quando se escreve a mesma medida usando unidades diferentes diz-se que se estátransformando a medida de uma unidade para outra.
Se for pedido que se corte 1 cm de uma chapa e 0,01 m de outra chapa, cortam-sedois pedaços de dimensões iguais, porque a medida de 1 cm é igual à medida de0,01 m. A única diferença existente é quanto à unidade de medida que está sendoutilizada.
1 cm 1 centímetro0,01 m 1 centésimo de metro
Para transformar medidas é preciso que se saibam de cor as posições de todas asunidades de comprimento. Isto é: faz-se necessário decorar a tabela de posições aseguir.
Tabela de posições – Unidades de comprimento
km hm dam m dm cm mm déci
mo
dem
ilím
etro
cent
ésim
ode
milí
met
ro
µµµµ • • • • • • • • • •
Exemplos:– Converter 32355 mm em m.
← vírguladam m dm cm mm
3 2 3 5 5
dam m dm cm mm3 2, 3 5 5
Neste caso, deve-se correr a vírgula para a esquerda até m. Tem-se, então, 32,355 m.
74
– Converter 2,012 m em cm.Vírgula →
m dm cm mm2, 0 1 2
m dm cm mm2 0 1, 2
Neste caso, deve-se correr a vírgula para a direita até cm. Tem-se, então, 201,2 cm.
Nem sempre a transformação é feita só por mudança da vírgula. Às vezes, é precisocolocar ou tirar zeros das medidas, e até mesmo colocar ou tirar as vírgulas.
– Converter 2,1 m em mm.
m dm cm mm2, 1
m dm cm mm2 1 0 0
Neste caso, deve-se correr a vírgula para a direita até a casa dos milímetros e, na faltade números, acrescentar zeros. Tem-se, então, 2 100 mm.
– Converter 2,45 m em cm.
m dm cm mm2, 5 5
m dm cm mm2 4 5,
Neste caso, a vírgula não tem razão de existir. Tem-se, então, 245 cm.
– Converter 7,3 dm em m.
m dm cm7, 3
m dm cm0, 7 3
Neste caso, deve-se correr a vírgula para a esquerda até a casa do metro e, na falta denúmeros, acrescentar zero. Tem-se, então, 0,73 m.
75
7.4 POLEGADA
Medida inglesa de comprimento equivalente a 25,40 mm.
A polegada divide-se em meios , quartos , oitavos , dezesseis avos ,
trinta e dois avos , sessenta e quatro avos , cento e vinte e oito avos .
Na Mecânica usam-se milésimos e décimos de milésimos de polegada.
7.5 CONVERSÃO DE POLEGADAS EM MILÍMETROS E VICE-VERSA
Para converter polegadas em milímetros multiplica-se a polegada, ou fração, peloequivalente da polegada em milímetros: 25,4.
1.º exemplo:
Converter 2” em milímetros.
Tem-se: 2 x 25,4 = 50,8 milímetros
2.º exemplo:
Converter em milímetros.
Tem-se: x 25,4 = x 25,4 = 130,175 milímetros
3.º exemplo:
Converter em milímetros.
Tem-se: x 25,4 = 12,7 milímetros
Para converter milímetros em polegadas, divide-se o número de milímetros peloequivalente da polegada em milímetros.
4.º exemplo:
Converter em polegadas 130,175 mm.
Tem-se:
22
44
88
1616
3232
6464
128128
"
8
15
"
8
15
"
8
41
"
2
1
"
2
1
"
8
152540031755
25400130175
4,25175,130 ===
76
7.6 EXERCÍCIOS
1 Indicar em forma de fração os valores das medidas indicadas na figura.
A =B =C =
2 Indicar em forma de números mistos as medidas indicadas na figura.
A =B =C =
3 Indicar em forma de fração os valores de A, B e C indicados na figura.
A =B =C =
4 Calcular a medida “D” indicada na figura.
5 Calcular o comprimento “X” da peça indicada na figura.
77
6 Calcular o comprimento “X” da peça indicada na figura.
7 Calcular o comprimento “C” da peça indicada na figura.
8 Calcular o comprimento “C” da peça indicada na figura.
9 Calcular o comprimento “C” da peça indicada na figura.
78
7.7 PAQUÍMETRO
Paquímetro é o instrumento utilizado para a medição de peças quando a quantidadenão justifica um instrumental específico e a precisão requerida não desce a menosde 0,02 mm, 1” e 0,001” (Fig. 4).
128
Figura 4 − Paquímetro
É um instrumento finamente acabado, com superfícies planas e polidas. O cursor éajustado à régua de modo que permita sua livre movimentação com um mínimo defolga. Geralmente é construído em aço inoxidável. Suas graduações referem-se a 20°.
A escala é graduada em milímetros e polegadas, podendo a polegada ser fracionáriaou milesimal. O cursor é provido de uma escala chamada nônio ou vernier, que sedesloca em frente às escalas da régua e indica o valor da dimensão tomada.
7.7.1 Princípio do Vernier de 0,1 mmA escala do cursor, chamada nônio (designação dada pelos portugueses emhomenagem a Pedro Nunes, a quem é atribuída sua invenção) ou vernier(denominação dada pelos franceses em homenagem a Pierre Vernier, que elesafirmam ser o inventor), consiste na divisão no valor N de uma escala graduada fixapor N.1 (número de divisões) de uma escala graduada móvel (Fig. 5).
Figura 5 − Escala
79
Tomando o comprimento total do nônio, que é igual a 9 mm (Fig. 5), e dividindo pelonúmero de suas divisões (10), conclui-se que cada intervalo da divisão do nôniomede 0,9 mm (Fig. 6).
Figura 6 − Nônio
Observando a diferença entre uma divisão da escala fixa e uma divisão do nônio(Fig. 7), conclui-se que cada divisão do nônio é menor 0,1 mm do que cada divisãoda escala fixa. Essa diferença é também a aproximação máxima fornecida peloinstrumento.
Figura 7 – Escala nônio
Assim sendo, fazendo coincidir o primeiro traço do nônio com o da escala fixa, opaquímetro estará aberto em 0,1 mm (Fig. 8), coincidindo o segundo traço com 0,2 mm(Fig. 9), o terceiro traço com 0,3 mm (Fig. 10), e assim sucessivamente.
Figura 8 – Posição 0,1 Figura 9 – Posição 0,2 Figura 10 – Posição 0,3
80
7.7.2 Paquímetro – Sistema inglês ordinárioPara efetuar leitura de medida em um paquímetro do sistema inglês ordinário, faz-senecessário conhecer bem todos os valores dos traços da escala (Fig. 11).
Figura 11 – Sistema inglês ordinário
Assim sendo, ao deslocar-se o cursor do paquímetro até que o traço zero do nôniocoincida com o primeiro traço da escala fixa, a leitura da medida será 1/16” (Fig. 12),no segundo traço, 1/8” (Fig. 13), no décimo traço, 5/8” (Fig. 14).
Figura 12 –Posição 1/16”
Figura 13 –Posição 1/8”
Figura 14 – Posição 5/8”
7.7.3 Uso do Vernier (Nônio)Através do nônio pode-se registrar no paquímetro várias frações da polegada. Oprimeiro passo é conhecer qual a aproximação (sensibilidade) do instrumento.
a = e a = 1/16 : 8 = 1/16 x 1/8 = 1/128”n
e = 1/16” a = 1/128”n = 8 divisões
Sabendo que o nônio possui oito divisões, sendo a aproximação do paquímetro1/128”, pode-se conhecer o valor dos demais traços (Fig. 15)
Figura 15 – Nônio em polegadas
81
Observando a diferença entre uma divisão da escala fixa e uma divisão do nônio(Fig. 16), conclui-se que cada divisão do nônio é menor 1/128” do que cada divisãoda escala fixa.
Figura 16 – Nônio e escala em polegadas
Assim sendo, se o cursor do paquímetro for deslocado até que o primeiro traço denônio coincida com o da escala fixa, a leitura da medida será 1/128” (Fig. 17), osegundo traço 1/64” (Fig. 18), o terceiro traço 3/128” (Fig. 19), o quarto traço 1/32”, eassim sucessivamente.
Figura 17 – Posição 1/128” Figura 18 – Posição 1/64” Figura 19 – Posição 3/128”
OBSERVAÇÃO:Para a colocação de medidas, assim como para a leitura de medidas feitas empaquímetro do sistema inglês ordinário, utilizam-se os processos a seguir descritos.
7.7.3.1 Processo para a colocação de medidas
1.º exemplo − Colocar no paquímetro a medida 33/128”.Divide-se o numerador da fração pelo último algarismo do denominador.
O quociente encontrado na divisão será o número de traços por deslocar na escalafixa pelo zero do nônio (4 traços). O resto encontrado na divisão será a concordânciado nônio, utilizando-se o denominador da fração pedida (128) (Fig. 20).
12833 33 8
32 4 1
82
Figura 20 – Posição 33/128”
2.º exemplo − Colocar no paquímetro a medida 45/64” (Fig. 21).
Figura 21 – Posição 45/64”
7.7.3.2 Processo para a leitura de medidas
1.º exemplo − Ler a medida da Figura 22.
Figura 22 – Posição 49/128”
Multiplica-se o número de traços da escala fixa ultrapassados pelo zero do nôniopelo último algarismo do denominador da concordância do nônio.
Soma-se o resultado da multiplicação com o numerador, repetindo o denominadorda concordância.
"
12833
"
6445
"
12849
45 444 11 1
6445
número de traços adeslocar pelo zero donônio da escala fixa
concordância do nônioutilizando o denominador dafração pedida
+ "
12849
6
x
"
1281
=
83
2.º exemplo − Ler a medida da Figura 23.
Figura 23 – Posição 37/64”
3.º exemplo − Ler a medida da Figura 24.
Figura 24 - Posição 13/32”
4.º exemplo − Ler a medida da Figura 25.
Figura 25 – Posição 1 39/128”
OBSERVAÇÃO:Em medidas como as do exemplo da Figura 25, abandona-se a parte inteira e faz-sea contagem dos traços, como se fosse iniciada a operação. Ao final da aplicação doprocesso, inclui-se a parte inteira antes da fração encontrada.
641
=+ "
6437
9
x
número de traços daescala fixa ultrapassadospelo zero do nônio
concordânciado nônio
leitura damedida
+ "
12839
4
x
"
1287
="
128391
+ "
3213
6
x
"
321
=
84
7.7.4 Exercícios
Fazer as leituras abaixo.Respostas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
85
7.7.5 Exemplos de paquímetrosDos diversos tipos de paquímetros existentes, mostram-se alguns exemplos.
Figura 26 − Medição interna
Figura 27 − Medição externa Figura 28 − Medição deprofundidade
Figura 29 − Paquímetro de profundidade Figura 30 – Paquímetro com bicos longos paramedição em posição profunda
86
Figura 31− Paquímetro de altura Figura 32 − Paquímetro de altura equipadocom relógio comparador
Figura 33 − Paquímetro de nônio duplo para medição daespessura de dente de engrenagem
87
8 GEOMETRIA PLANA
8.1 POLÍGONO
Polígono é a figura plana fechada formada por linha poligonal (quebrada) fechada.
8.1.1 Polígono regularÉ aquele que tem seus lados e ângulos iguais.Exemplos:
triângulo equilátero quadrado hexágono
8.1.2 Polígono irregularÉ aquele que não possui todos os lados e ângulos iguais.Exemplos:
retângulo trapézio losango
8.2 PERÍMETRO
O contorno de uma figura plana pode ser medido. Essa medida chama-se perímetro.Para entender melhor, imagine-se uma figura com o contorno feito em arame. Paramedir seu perímetro, pode-se abrir o arame até que fique reto, e medir seucomprimento.
88
A medição do perímetro através desse método é fácil, por ser um contorno de arameque pode ser aberto. Mas isso não é possível quando se deseja medir o perímetrode um objeto, pois não se pode abri-lo. Uma alternativa é medir o perímetro de umobjeto com um pedaço de barbante e depois medir o barbante com a rena. Fazendodesse modo, pode acontecer de a medida não ser muito exata.
Cada parte do contorno de uma figura tem uma medida. Para calcular o perímetro,basta somar as medidas das partes do contorno.
Exemplo: Calcular o perímetro da figura:
1...5,0 cm5,0 cm2,5 cm
+ 2,5 cm15,0 cm
Às vezes, é preciso medir o comprimento dos lados de uma figura ou objeto. Parasaber o perímetro da figura abaixo:
89
1.º – Mede-se cada lado do contorno.
2.º Somam-se as medidas dois lados: 2,3 cm + 2,9 cm + 3,0 cm + 2,8 cm =
2,3 cm2,9 cm3,0 cm
+ 2,8 cm 11,0 cm
Agora, já se pode dizer que o perímetro desta figura é 11 cm.
8.3 CÁLCULO DA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Área é a medida de uma superfície. Para medir uma superfície, isto é, a parte internade uma figura plana, antes de tudo é preciso lembrar que medir uma grandeza écompará-la com uma unidade de medida.
Tomando como unidade a superfície interna de um pequeno quadrado, comparar asuperfície das figuras A e B com a do quadrado.
90
Quantas vezes a unidade, isto é, o quadrado, cabe em cada figura? Para respondera essa pergunta, começa-se comparando a figura A.
A superfície da figura A vale o mesmo que a superfíciede 32 quadrados.
Então, a medida da superfície de A é 32 unidades.
Do mesmo modo, pode-se medir a superfície da figura B.
Contam-se quantos quadrados cabem na figura B. Vê-se que sua superfície mede32 unidades. Isso quer dizer que a superfície de A e de B têm a mesma medida.
Para medir superfícies, isto é, para calcular a área da superfície, também existemunidades padrão de medida.
Utilizam-se as seguintes unidades de medida de superfície:
Unidades Símbolos
metro quadrado
decímetro quadrado
centímetro quadradomilímetro quadrado
m2
dm2
cm2
mm2
91
Um centímetro quadrado é a área da superfície de um quadrado que tem 1 cm delado.
1 cm este pequeno quadrado tem 1 cm de lado.
1 cm sua área é chamada 1 centímetro quadrado.
O símbolo de centímetro quadrado é cm2.
Para medir uma superfície usando o cm2 como unidade, é preciso compará-la com ocm2. Vejam-se os exemplos a seguir.
8.4 TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE
Ao estudar medidas de comprimento verifica-se que uma mesma medida pode serdada em unidades diferentes; o mesmo ocorre com as unidades de medida desuperfície. Pode-se medir uma superfície usando o metro quadrado, o centímetroquadrado ou qualquer outra unidade de medida de superfície. Assim, a medida édada na unidade que se escolheu.
Às vezes pode-se ter a medida em uma unidade, mas precisa-se dela em outraunidade. Nesse caso, é só fazer a transformação. Já se viu que, para transformarmedidas de comprimento, a vírgula é deslocada de uma em uma posição.
Exemplo: 9,5280 m = 95,280 dm
dam m dm cm mm9, 5 2 8 0
dam m dm cm mm9 5, 2 8 0
‘
92
Com as unidades de superfície a transformação é um pouco diferente: é precisodeslocar a vírgula de duas em duas posições.
Exemplo 1 − Transformar a medida 5,3820 m2 em cm2:
Primeiro é preciso lembrar que o lugar da unidade de medida é sempre o algarismoque fica antes da vírgula.
dam2 m2 dm2 cm2 mm2
5, 38 20
dam2 m2 dm2 cm2 mm2
5 38 20 Resposta: 53 820 cm2
Exemplo 2 − Transformar a medida 15,75364 m2 em cm2:
dam2 m2 dm2 cm2 mm2
15, 75 36 4
dam2 m2 dm2 cm2 mm2
15 75 36, 4 Resposta: 157 536,4 cm2
A vírgula andou quatro posições para a direita até o cm2.
Exemplo 3 − Fazendo outra transformação, escrever a medida 112,5 dm2 em m2:
112,5 dm2 = 1,125 m2
Neste caso, a vírgula foi deslocada duas casas para a esquerda.
Exemplo 4 − Escrever a medida 9,8 m2 em dm2:
9,8 m2 = 980 dm2
Aqui foi preciso acrescentar um zero para preencher a posição do dm2, porque odm2 fica duas posições à direita do m2.
9,5 cm2 = 0,095 dm2
Aqui foram acrescentados dois zeros, porque a vírgula precisa andar duas posiçõespara ir do cm2 até o dm2.
93
Outra unidade de medida de superfície é o decímetro quadrado. Um decímetroquadrado é a área de um quadrado que tem 1 dm de lado.
Em uma folha como esta é impossível representar com desenhos em escala naturalfiguras que medem vários decímetros quadrados. O processo para medir áreas emdm2 pode ser o mesmo que se usou para medir em cm2.
O milímetro quadrado é outra unidade de medida e superfície. Um milímetroquadrado é a área de um quadradinho de 1 mm de lado.
Quantos mm2 cabem no cm2?1 cm 10 mm
1 cm2 = 100 mm2
em um cm2 cabem 100 mm2 1 cm
10 m
m
O metro quadrado, a exemplo de outras unidades de medida maiores que o metro, éutilizado para a medição de superfícies grandes, cujo processo para determinaçãode medida das áreas é o mesmo que o usado anteriormente.
No quadro a seguir estão representadas as unidades de medida de superfície.
Unidades maiores que o metro quadrado Unidades menores que o metro quadrado
nom
e quilômetroquadrado
hectômetroquadrado
decâmetroquadrado
metroquadrado
decímetroquadrado
centímetroquadrado
milímetroquadrado
sím
bolo
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
defin
ição área de
quadradocom 1 kmde lado
área dequadradocom 1 hmde lado
área dequadradocom 1 damde lado
área dequadradocom 1 mde lado
área dequadradocom 1dmde lado
área dequadradocom 1 cmde lado
área dequadradocom 1 mmde lado
94
8.5 MODO PRÁTICO DE CALCULAR ÁREAS
Nem sempre é possível medir a superfície de uma figura contando as unidades demedida que cabem nela. Existe um modo mais prático para calcular a área de umasuperfície.
8.5.1 Área do retânguloPara calcular a área da superfície retangular, mede-se a largura e o comprimento doretângulo, e depois multiplicam-se essas medidas: comprimento x largura.
Exemplo:6 cm
3 cm
Medindo os lados do retângulo,vê-se que tem 3 cm de largura e6 cm de comprimento.
6 cm
3 cm Como o comprimento mede 6 cm,
ao longo dele cabe uma fila com 6 cm2.
6 cm
3 cm
Como a largura é 3 cm, querdizer que, no retângulo todo,cabem três filas de 6 cm2.
6 cm
3 cm
Então, como 3 x 6 = 18, noretângulo todo cabem 18 cm2.
Resultado, a área de retângulo de 3 cm por 6 cm é igual a 18 cm2. Conclui-se que aárea de um retângulo é igual ao produto da base pela altura. Esta regra vale tambémquando os lados têm uma medida decimal.
Exemplo: Calcular a área do retângulo abaixo.
95
Este retângulo tem 3,2 cm de largura e 7,4 cm de comprimento. É preciso multiplicar7,4 por 3,2 para achar a área:
7,4 x 3,2 148 + 222 0 23,68
Neste caso, a área do retângulo é 23,68 cm2. O resultado ficou em centímetrosporque os lados dos retângulos foram medidos em centímetros. Quando os ladosestão em milímetros, a área fica em mm2; quando estão em metros, fica em m2.
Às vezes, as medidas são dadas em unidades diferentes, e então não se podesimplesmente multiplicar uma pela outra. Neste caso, para calcular a área é precisodecidir em que unidade se deseja obter o resultado.
Exemplo:
Se for decidido obter o resultado em centímetros, deve-se transformar os 37 mm emcentímetros para, depois, calcular a área do retângulo.
37 mm = 3,7 cm
3,7 cm x 5,5 cm 185 + 185 0
Resposta: 20,35 cm2
8.5.2 Área do quadradoO cálculo da área do quadrado é feito da mesma forma que o do retângulo, com adiferença de, no quadrado, a largura e o comprimento terem a mesma medida.
96
Exemplo:
Calcular a área de um quadrado com 31,5 mm de lado.
Como a figura é um quadrado, o comprimento é igual à largura.
comprimento = 31,5 31,5 mmlargura = 31,5 x 31,5 mm
157 5315
+ 945 0992,25 mm2
Resultado: a área do quadrado é 992,25 mm2.
Pode ser necessário calcular a área de uma figura que não é um retângulo nem umquadrado. Exemplo:
Pode-se imaginar que a figura é formada por partes. Assim:
Desse modo, forma-se um quadrado de 32 mm mais um retângulo de 30 mm x 12 mm.
área do quadrado 32 x 32 = 1 024área do retângulo 30 x 12 = 360Total 1 024 + 360 = 1 384
Todas as medidas são em milímetros. Então, a área da figura é 1 384 mm2.
97
Há duas outras maneiras de imaginar a mesma figura.
Dessa maneira, forma-se um retângulo de 32 mm por 20 mm mais um retângulo de62 mm por 12 mm.
áreas 32 x 20 = 64062 x 12 = 744
Total 640 + 774 = 1 384 área da figura: 1 384 mm2
Dessa maneira, forma-se um retângulo de 32 mm por 62 mm, do qual deve sersubtraído um retângulo de 20 mm por 30 mm.
áreas 32 mm x 62 mm = 1 984 mm2
20 mm x 30 mm = 600 mm2
Total 1 984 mm2 − 600 mm2 = 1 384 mm2 área da figura: 1 384 mm2
8.5.3 Área do paralelogramoO retângulo EBCF é equivalente ao paralelogramo ABCD, porque os triângulos ABEe DCF são iguais.
Logo, pode-se concluir que a área do paralelogramo é igual ao produto da base pelaaltura.
hBA ⋅=
98
Exemplo:Calcular a área do paralelogramo de 3,.72 m de base e 1,8 m de altura.
Fórmula: A = B x h A = 3,7 m x 1,8 m 3,72 m
x 1,8 m2 976 m
base = 3,72 m 3 72 m 0altura = 1,8 m 6,696 m2
Resultado: a área do paralelogramo é 6,696 m2.
8.5.4 Área do triânguloConsiderando o triângulo ABC, traçado pelos vértices B e D paralelos aos lados ADe AB, respectivamente, forma-se o paralelogramo ABCD, equivalente à soma dostriângulos ABD e BCD.
Portanto, a área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura.
Exemplo:Calcular a área do triângulo cuja base mede 14,7 m e a altura, 1,4 m.
Fórmula:14,7 m
x 1,4 m588
147 0 20,58 m2 2
00 5 10,29 m2
418
base = 14,7 m 0altura = 1,4 m
Resultado: a área do triângulo é 10,29 m2.
2hBA ⋅=
2hBA ⋅=
24,17,14 mmA ⋅=
99
8.5.5 Área do trapézioA diagonal, linha que une dois vértices não-consecutivos BD, divide o trapézio emdois triângulos.
Sendo a área do trapézio equivalente à soma dos dois triângulos ABD e BDC, sebases B1 e b2 respectivamente, e de mesmas alturas, a área do trapézio será igualao produto da semi-soma das bases pela altura.
Exemplo:Calcular a área do trapézio cujas medidas são:
base maior (b1) = 12 m 12 mbase menor (b2) = 8 m A = (12 m + 8 m) x 5 m + 8 maltura (h) = 5 m 2 20 m 2
00 10 mFórmula: A = b1 + b2 . h x 5
2 50 m2
Resultado: a área do trapézio é 50 m2.
8.5.6 Área do losangoTraçando pelo vértice do losango paralelas às suas diagonais, forma-se o retângulo.O retângulo cujas dimensões dos lados correspondem às dimensões das diagonaisdo losango é formado por oito triângulos iguais (ABS, ACO, CDE, CEO, EFG, EGO,GHA, GAO). Como o losango é constituído por quatro desses triângulos, então aárea do losango é a metade da área do retângulo.
Logo, a área do losango é a metade do produto de suas diagonais.
hbbA ⋅+=2
12
2CGAEA ×=
100
2RA ×= π
2DR = 4
D2DA
22 π=
π=
4DA
2π=
Exemplo:Calcular a área do losango sabendo que suas diagonais medem, respectivamente,9 m e 4 m.
Fórmula: 9 m x 4 m
36 2 16 18 m2
0Resultado: a área do losango é 18 m2.
8.5.7 Área do círculoSendo “O” um ponto qualquer do plano e “R” número real maior que zero, define-seo círculo de raio “R” como sendo o conjunto de todos os pontos “X” tais que suasdistâncias do ponto “O” sejam menores ou iguais ao número “R”.
C = perímetroD = diâmetro do círculoR = raio do círculo
A área do círculo é igual ao produto de π pelo quadrado do raio como
temos:
Exemplo:Achar a área de um círculo de raio igual a 5 m.Fórmula: A = π R2
A = 3,1416 x (5 m)² 3,1416A = 3,1416 x 25 m² x 25
1 57080+ 6 2832 0 78,5400
Resultado: a área do círculo é 78,54 m².
2RA ×= π
RRC ⋅=⋅⋅= ππ2
22DC ⋅= π
101
FORMULÁRIO
RET
ÂN
GU
LO
baA ⋅=
QU
AD
RA
DO
2aA =
TRIÂ
NG
ULO
2haA ⋅= PA
RA
LELO
GR
AM
O
haA ⋅=
TRA
PÉZI
O
2h)bB(A ⋅+=
LOSA
NG
O
2dDA ⋅=
CÍR
CU
LO
2RA ⋅π=
SETO
R C
IRC
ULA
R
α em graus
360RA
2⋅π⋅α=
α em radianos
2RA
2⋅α=
CO
RO
A C
IRC
ULA
R
)rR(A 22 −⋅π= SEG
MEN
TO C
IRC
ULA
R
α em radianos
)sen(2
RA2
α−α⋅=
α
α
102
8.6 MEDIDA ENTRE AS FACES DE UM POLÍGONO REGULAR
Para determinar a medida A de um polígono, representado no exemplo pelohexágono, basta aplicar a seguinte fórmula: A = D 0
constante
Tabela das constantes pelas quais devem ser multiplicadas as medidas entre asfaces para se obter o diâmetro.
n.º de divisões constante n.º de divisões constante
4
6
8
10
12
1,41421
1,15470
1,08239
1,05146
1,03528
14
16
18
20
1,02572
1,01959
1,01545
1,01247
8.6.1 ExercíciosDeterminar a medida “x” dos polígonos a seguir:
8.7 DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS EM PARTES IGUAIS
103
É comum, nos trabalhos em oficina, contar-se com o profissional que determina aabertura do compasso para dividir uma circunferência em partes iguais. Para isso,basta aplicar um cálculo simplificado com o auxílio da tabela que se apresenta napágina a seguir.
8.7.1 Aplicação da tabela de constanteExemplo:Determinar a abertura do compasso para dividir uma circunferência de Ø 44 mm emcinco partes iguais.
Solução – Multiplica-se o diâmetro pela constante dada na tabela correspondente aonúmero de divisões.
L = D x constante = 44 x 0,587 = 25,8
104
n.º de divisões constante n.º de divisões constante
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0,866
0,707
0,587
0,500
0,433
0,382
0,342
0,309
0,281
0,258
0,239
0,222
0,207
0,195
0,183
0,173
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
0,164
0,156
0,149
0,142
0,136
0,130
0,125
0,120
0,116
0,111
0,108
0,104
0,101
0,098
0,095
0,092
8.8 ÂNGULOS
Ângulo é a figura formada por duas retas que tem um ponto em comum.
As retas que formam o ângulo chamam-se lados; o ponto de encontro dos ladoschama-se vértice do ângulo. Designa-se um ângulo pela letra do vértice. Assim, diz-se ângulo Ô (Fig. 34).
Figura 34 – Ângulo Ô
8.8.1 Ângulos consecutivosDois ângulos são consecutivos (AÔB e BÔC na Fig. 35) quando possuem o vértice eum lado comum.
105
No caso do ângulo da Figura 35, o lado comum é BO. Pode-se designar um ângulopor uma letra ou um número (com acento circunflexo) colocado em seu interior oupelas letras que indicam o vértice e os lados, sendo que, nesse caso, a letrarepresentativa do vértice vem entre as duas outras. Assim, na Figura 35 tem-seAÔB.
Figura 35 – Ângulos consecutivos
8.8.2 Ângulos adjacentesSão chamados adjacentes dois ângulos consecutivos cujos lados exteriores sãosemi-retas opostas (AÔB e BÔC na Fig. 36).
Figura 36 – Ângulos adjacentes
8.8.3 BissetrizChama-se bissetriz de um ângulo a semi-reta que, a partir do vértice, o divide aomeio (OC na Fig. 37).
Figura 37 – Bissetriz
8.8.4 Ângulos opostos pelo vérticeDois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semi-retasopostas dos lados do outro (AÔB e A’ÔB’ na Fig. 38).
B
106
Figura 38 – Ângulos opostos pelo vértice
8.8.5 Ângulo retoO ângulo reto é formado por perpendiculares (Fig. 39).
Figura 39 – Ângulo reto
8.8.6 Ângulo agudoDiz-se que um ângulo é agudo quando é menor que um ângulo reto (Fig. 40).
Figura 40 – Ângulo agudo
8.8.7 Ângulo rasoUm ângulo é chamado raso quando seus lados são semi-retas opostas (AO e OB naFig. 41).
Figura 41 – Ângulo raso
107
8.8.8 Ângulos complementares, suplementares e replementaresOs ângulos são complementares quando sua soma vale um ângulo reto (90°). Oângulo de 30°, por exemplo, é complemento de 60°, pois a soma (60° + 30°) é iguala 90°.
São chamados suplementares quando sua soma vale um ângulo raso (180°). Oângulo de 20° é suplemento de 160°, pois sua soma (160° + 20°) é igual a 180°. János ângulos replementares a soma vale um ângulo de 360°. O ângulo de 80° éreplemento de 280°, pois a soma (280° + 80°) é igual a 360°.
8.8.9 Medidas de ângulosPara medir ângulos utiliza-se o grau “ ° ” e o radiano “rad”.
Um grau é definido como a medida do ângulo central submetido por um arco igual a1/360 da circunferência que contém o arco. O grau, por sua vez, tem doissubmúltiplos: o minuto, cujo símbolo é uma aspa (’) que se coloca acima e à direitado número, e o segundo, simbolizado por dupla aspa (”), escrita ao lado do número,da mesma forma que o minuto. O sistema utilizado é o sexagesimal.
As relações entre o grau, o minuto e o segundo são as seguintes: 1 grau equivale a60 minutos e 1 minuto equivale a 60 segundos. Assim, 1 grau equivale a 3 600segundos. 1° = 60’ = 3 600”
Exemplo: 32° 42’ 28”
Um radiano é definido como a medida de um ângulo central submetido por um arcoigual ao raio da circunferência que contém o arco. O sistema utilizado é o circular.
8.8.10 Adição de ângulosPara a adição de ângulos somam-se entre si as parcelas homônimas. Ou seja: osgraus são somados entre si, os minutos entre si e os segundos entre si.
Exemplo:
a) 42° 27’ 48” + 22° 33’ 42”
64° 60’ 90”
Como 90” são constituídos por 1’ mais 30”, pode-se escrever da seguinte forma:
64° 60’ 30”+ 1’ 064° 61’ 30”
108
Como 61’ contêm 1° mais 1’, pode-se escrever: 65° 1’ 30”
a) 28° 35’ 47” + 12° 28’ 50”
40° 63’ 97”
que corresponde a 40° 64’ e 37” e, por fim, a 41° 4’ 37”.
8.8.11 Subtração de ângulosPara subtrair ângulos procede-se da mesma forma que se usou para somá-los.Exemplo:
43° 35’ 40” – 12° 24’ 31”
31° 11’ 9”
OBSERVAÇÃO:Caso o número que expressa os minutos ou segundos do subtraendo seja maior queseu correspondente no minuendo, é preciso efetuar o empréstimo à unidadeimediatamente superior. Exemplo:
a) 24° 12’ 38” – 12° 8’ 45”0
Como 45” do subtraendo é maior que 38” do minuendo, retira-se 1’ dos 12’ dosubtraendo, transforma-se este minuto em segundos e somam-se os últimos aos38”.
24° 11’ 98” – 12° 8’ 45”0
12° 3’ 53”
b) 33° 23’ 40” – 28° 40’ 48”0
Transforma-se 1’ em 60”:33° 22’ 100”
– 28° 40’ 48”0
Em seguida, transforma-se 1° em 60’:
32° 82’ 100” – 28° 40’ 48”0
4° 42’ 52”
109
8.9 TEOREMA DE PITÁGORAS
Uma das aplicações da raiz quadrada é a resolução de certos problemas detriângulos. Como exemplo tem-se aqueles em que, conhecidos dois lados dotriângulo retângulo, se procura determinar o terceiro lado. Com efeito, nos triângulosretângulos – todos os que possuem um ângulo reto, isto é, 90° (Fig. 42) – o ladomaior é chamado hipotenusa, e os outros dois, catetos.
Figura 42 – Triângulo retângulo
Em todos os triângulos retângulos o quadrado da hipotenusa é igual à soma dosquadrados dos catetos (teorema de Pitágoras).
Figura 43 – Quadrados dos catetos
Observando o exemplo do triângulo retângulo da Figura 43, vê-se que os quadradosformados pelos catetos b e c são, respectivamenteb2 = 82 = 64c2 = 62 = 36
Somando os quadrados destes catetos, tem-se:b2 + c2 = 64 + 36 = 100
110
A hipotenusa, por sua vez, mede 10 cm. Logo, seu quadrado é:a2 = 102 = 100
Como b2 + c2 (soma do quadrado dos catetos) é também igual a 100, pode-seescrever: a2 = b2 + c2
8.9.1 Exercícios – Relação de Pitágoras
1 Calcular a distância “X” entre os centros dos furos.
2 Calcular o comprimento “X” do cone.
3 Calcular a profundidade de fresar “P”.
4 Calcular o comprimento “A”.
111
9 GEOMETRIA ESPACIAL
9.1 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS (FIGURAS ESPACIAIS)
As figuras planas pertencem totalmente a um plano, por isso possuem duas dimensões:comprimento e largura.
Observe-se, no plano ∝ , o retângulo e suas dimensões.
Figura 44 − Retângulo e suas dimensões
A mesma figura pode ser representada em outra posição.
Figura 45 − Retângulo e suas dimensões em posição alternada
112
Agora observe-se, no mesmo plano, uma figura geométrica.
Figura 46 − Figura geométrica
A figura tem três dimensões. As figuras geométricas que possuem três dimensões −isto é, comprimento, largura e altura − chamam-se sólidos geométricos.
Um sólido geométrico nunca pertence a um só plano; sempre ocupa uma parte noespaço. Por isso, os sólidos geométricos também são chamados figuras espaciais.
Assim como as retas são formadas a partir de pontos, os sólidos geométricos sãoformados a partir de figuras planas.
9.1.1 PrismasQuando um sólido geométrico é formado pelo deslocamento de um polígono emdireção determinada, recebe o nome de prisma.
Figura 47 − Prisma
As bases de um prisma são paralelas e congruentes, isto é, a base superior tem asmesmas medidas da base inferior.
Os prismas recebem nomes de acordo com o polígono que lhes deu origem. Quandoa superfície plana que lhe dá origem é um quadrado, tem-se um prisma de basequadrada. Mas, se a figura que dá origem ao prisma é um retângulo, tem-se umprisma de base retangular.
113
Denomina-se prisma reto aquele que tem as arestas das faces laterais perpendi-culares às bases.
prisma reto de base quadrada prisma reto de base retangular
prisma reto de base triangular prisma reto de base hexagonal
Figura 48 − Prismas retos
9.1.2 PirâmidesA pirâmide é outro tipo de sólido geométrico.
Quando um sólido geométrico é formado a partir de um polígono em que todos ospontos se ligam a um único ponto fora do plano chamado vértice do polígono,recebe o nome de pirâmide.
Figura 49 − Pirâmide
O polígono a partir do qual é formada a pirâmide chama-se base de pirâmide. Aspirâmides recebem nomes de acordo com os polígonos que lhe deram origem.
114
pirâmide de basequadrada
pirâmide de basehexagonal
pirâmide de basetriangular
pirâmide de baseretangular
Figura 50 − Nome das pirâmides
9.1.3 Cilindro, cone e esferaOs sólidos geométricos formados a partir de uma figura plana que gira em volta deum eixo de rotação chamam-se sólidos de revolução.
Quando um sólido de revolução é formado a partir de um retângulo, recebe o nomede cilindro reto.
Figura 51 − Cilindro
Quando um sólido de revolução é formado a partir de um triângulo com os ângulosda base congruentes e o eixo de rotação passando pelo vértice e pelo meio da base,recebe o nome de cone reto.
Figura 52 − Cone
115
Quando o sólido de revolução é formado a partir de um círculo com o eixo passandopor um de seus diâmetros, recebe o nome de esfera.
Figura 53 − Esfera
Como a esfera é formada a partir de um círculo, não é oca. Sua parte externa échamada de superfície da esfera ou superfície esférica.
9.2 CÁLCULO DO VOLUME DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Volume de um corpo é o espaço ocupado por ele. É o número que exprime suamedida.
Para medir o volume é preciso escolher uma unidade de medida para compará-lo.Essas unidades são os cubos, cujas arestas medem uma unidade de comprimentodo Sistema Internacional de Medidas.
Exemplos:Cubo com 1 metro de aresta ou cubo com 1 decímetro de aresta
O metro cúbico é o volume de um cubocom arestas que medem 1 metro.O símbolo do metro cúbico é m3.
O decímetro cúbico é o volume de um cubocom arestas que medem 1 decímetro.O símbolo do decímetro cúbico é dm3.
Figura 54 – Volumes
O metro cúbico (m3) é a unidade legal dos volumes e é o volume de um cubo de 1 mde aresta.
116
Quadro de unidades de volume
múltiplos Unidades Submúltiplos
quilômetrocúbico
hectômetrocúbico
decâmetrocúbico
metrocúbico
decímetrocúbico
centímetrocúbico
milímetrocúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1 000 000 000 m3 1 000 000 m3 1 000 m3 1 m3 0,001 m3 0,000001 m3 0,000000001 m3
Como se vê no quadro dos múltiplos e submúltiplos, a variação dessa unidade é de1 000 em 1 000. Constitui, portanto, um sistema milesimal, pois
1 m3 = 1 000 dm3
1 dm3 = 1 000 cm3
1 cm3 = 1 000 mm3
Na prática, somente se emprega o metro cúbico (m3) e seus submúltiplos.
9.2.1 Mudança de unidades de volumeA mudança de unidades é feita deslocando-se a vírgula três casas à direita (para aunidade imediatamente inferior) ou três casas à esquerda (para a imediatamentesuperior), suprindo de zeros caso faltem algarismos.
Exemplos:
a) Representar 21,7 m3 em cm3: Solução: m3 dm3 cm3
21, 700 000,
Resposta: 21,7 m3 = 21 700 000 cm3
b) Converter 38,467 cm3 em m3: Solução: m3 dm3 cm3 mm3
000, 000 038, 467
Resposta: 38,467 cm3 = 0,000 038 467 m3
9.2.2 Cálculo de volumesDe modo geral, o volume dos prismas e do círculo é calculado multiplicando-se aárea da base pela medida da altura. Isto é:
V = B . h onde b representa a área da base e h a medida da altura.
117
9.2.2.1 Volume do cubo − O cubo é o sólido limitado por seis faces congruentes. Seuvolume é calculado elevando-se a medida da aresta do cubo. Isto é:
V = a3
Se a = 20 cm, então:V = a3
V = (20 cm)3
V = 20 cm x 20 cm x 20 cmV = 8 000 cm3
9.2.2.2 Volume do paralelepípedo retângulo − É o sólido geométrico que possui seisfaces retangulares congruentes duas a duas. Seu volume é determinado peloproduto de suas três dimensões. Isto é:
V = A.B.C
Se A = 3 cmB = 10 cmC = 5 cm, então:
V = A.B.CV = 3 cm x 10 cm x 5 cmV = 150 cm3
9.2.2.3 Volume do cilindro de revolução − É o sólido gerado por um retângulo quegira em torno de um dos lados. Seu volume é obtido multiplicando-se a área da base(πr2) pela medida da altura (h). Isto é:
Se D = 20 cmr = 10 cmh = 20 cm, então:
V = π.r2.hV = 3,14. (10 cm)2 . 20 cmV = 6 280 cm3
9.2.2.4 Volume da pirâmide − É o sólido limitado por um polígono qualquer e portriângulos que têm vértices comuns. O polígono é a base e os triângulos são asfaces da pirâmide; as pirâmides classificam-se de acordo com as bases.
hr ⋅⋅= 2V π
118
⋅⋅⋅ hr 231 π
3
2 hrV ⋅⋅= π
O segmento de reta perpendicular à base a partir do vértice comum chama-se alturada pirâmide.
Determina-se o volume da pirâmide multiplicando um terço da área da base pelaaltura. Isto é:
Sb = área da baseh = altura
Exemplo:Calcular o volume da pirâmide de base retangular abaixo representada (medidas emmm):
V = 125 000 mm³
9.2.2.5 Volume do cone − É o sólido gerado por um triângulo retângulo que gira emtorno de um de seus catetos. Seu volume é obtido pelo produto de um terço da área
pela altura (h). Isto é:
Se D = 12 cmr = 6 cmh = 10 cm, então:
V = 1 π r2 h 3
V = 1 . 3,14 . (6 cm)2 . 10 cm3
V = 376,800 cm3
Sb = X . YhSb ⋅⋅=31V
75h500050100Sb
hSb31V
==×=
⋅⋅=
( ) 75500031V ⋅⋅=
119
( )bBbB AAAAhV ⋅++⋅=3
⋅++⋅= rRrRhV 22
3.π
9.2.2.6 Volume do tronco de pirâmide
onde:h = medida da alturaAB = área da base maiorAb = área da base menor
9.2.2.7 Volume do tronco de cone
onde:π = 3,14h = medida da alturaR = medida do raio maior (D/2)r = medida do raio menor (d/2)
9.2.2.8 Volume da esfera
ou
onde:π = 3,14r = medida do raio de esferaD = diâmetro
334 rV ⋅⋅= π
6
3DV ⋅= π
120
3
2 hrV ⋅⋅= π
⋅++⋅= rRrRhV 22
3.π
9.2.3 Formulário para o cálculo de volumes
cubo
V = a3
paralelepípedo
retângulo
V = A.B.C
cilindro
V = π r2 . h
pirâmide
cone tronco de cone
tronco de pirâmide esfera
hSb ⋅⋅=31V
( )bBbB AAAAhV ⋅++⋅=3 6
3DV ⋅= π
121
10 TRIGONOMETRIA
Neste capítulo será estudado um meio de calcular os lados e ângulos de umtriângulo retângulo mediante determinadas relações que são chamadas relaçõestrigonométricas. Para isso, primeiramente é preciso que o aluno esteja seguro doque se chama de cateto e cateto adjacente.
Observar o triângulo retângulo abaixo e completar as frases:
AB e AC são os ........................................BC é a ........................................................ é ângulo reto;B e ......... são ângulos agudos.
Continuando a observar:
.
AB é o cateto adjacente ao ângulo B.
AC é o cateto oposto ao ângulo B.
AC é o cateto adjacente ao ângulo Ĉ.
AB é o cateto oposto ao ângulo Ĉ
122
Adjacente é o mesmo que vizinho, junto, contíguo.Considere-se o triângulo retângulo ABC.
Ĉ é o ângulo agudo considerado.BC é a hipotenusa.AC é o cateto oposto ao ângulo Ĉ.AC é o cateto adjacente (vizinho,
contíguo ou junto) ao ângulo Ĉ.
B é o ângulo agudo considerado.BC é a ..............................................................AC é o ........................................... ao ângulo B.AC é o ....................................adjacente (vizinho,
contíguo ou junto) ao ângulo B.
10.1 SENO DE UM ÂNGULO AGUDO
Seja o ângulo agudo Â, de lados AB e AC.
Tendo em vista a semelhança entre os triângulos, pode-se estabelecer que os ladoscorrespondentes são proporcionais. Valem, então, as seguintes razões de mesmovalor:
O valor comum dessas razões chama-se seno da medida do ângulo A e indica-se:seno Â.
( )( )
( )( )
( )( ) ...
"""
''' ===
ABmCBm
ABmCBm
ABmBCm
hipotenusaoposto catetoA sen =
123
10.1.1 Exercícios
1 Observar os exemplos e completar as igualdades:
sen Z = .................sen X =..................
sen 75° =...................sen 15° =...................
sen 30° =..............sen 60° = .............
2 Conferir suas respostas, porém, por favor, não copiar. Só olhar para este final defolha depois de tudo feito.
0
ABX =ˆsen
ACY =ˆsen
BC=°70sen
BD=°20sen
1005030sen =°
1006,8660sen =°
EDZ =sen
ECX =sen
FG=°75sen
FH=°15sen
255,1230sen =°
2565,2160sen =°
124
10.2 CO-SENO DE UM ÂNGULO AGUDO
Seja ainda um ângulo agudo Â, de lados AB e AC.
Os segmentos BC, B’ C’, B” C”,... perpendiculares a AC, determinam triângulosretângulos semelhantes. Pode-se então, escrever:
∆ ABC = ∆ AB’ C’ = ∆ AB” C”
Em virtude da semelhança dos triângulos, pode-se estabelecer que os ladoscorrespondentes são proporcionais, do mesmo modo que se viu em seno. Assim,estão valendo as seguintes razões de mesmo valor:
Pois bem. O valor comum dessas razões chama-se co-seno da medida do ângulo Âe indica-se: cos Â.
OBSERVAÇÕES:– É preciso ler com atenção cada relação que vai sendo explicada, para que se
possa compreender bem as funções trigonométricas, que são de grande interessena Oficina.
– Os exercícios propostos devem ser feitos sempre individualmente, mesmo quesejam trabalhosos. Em breve, o aluno estará dominando perfeitamente o assunto.
( )( )
( )( )
( )( ) ...
"""
''' ===
ABmCAm
ABmCAm
ABmACm
hipotenusaadjacente catetoA cos =
125
10.2.1 Exercícios
1 Observar os exemplos e completar as igualdades:
cos P =......................... cos R =..........................
cos 12°30’ =......................
cos 67°30’ = .....................
2 Corrigir:
0
CDY =ˆcos
CBZ =ˆcos
100998cos =°
1009,1382cos =°
GEP =cos
GFR =cos
2025,19'3012cos =°
2064,7'3067cos =°
126
10.3 TANGENTE DE UM ÂNGULO
Seja novamente o ângulo agudo Â, de lados AB e AC.
Os segmentos BC, B’ C’, B” C”,... perpendiculares a AC, determinam triângulosretângulos. Escreve-se, então:
∆ ABC ≅ ∆ AB’ C ≅ ∆ AB” C”
Pela semelhança dos triângulos, os lados correspondentes são proporcionais, epode-se escrever as razões de mesmo valor:
O valor dessas razões chama-se tangente da medida do ângulo  e indica-se: tg Â.
0
10.3.1 Exercícios
1 Observar os exemplos e completar as igualdades:
tg Ĉ = .......................
tg B = ............................
Completou com: D e F. Muito bem! Pode continuar.0F D
BCtgW =
CBX tg =
adjacente catetooposto catetoA tg =
( )( )
( )( )
( )( ) ...
"""
''' ===
ACmCBm
ACmCBm
ACmBCm
127
10.4 CO-TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO
Seguindo os mesmos passos para o estabelecimento das relações trigonométricasseno, co-seno e tangente, pode-se obter uma quarta relação trigonométrica, assimdefinida:
Reunindo estas relações trigonométricas, o aluno vai completar:
1.ª cateto oposto denomina-se: SENO = senhipotenusa
2.ª cateto adjacente denomina-se CO-SENO = .....................
3.ª cateto ................... denomina-se: ......................... = tg............................
4.ª ......................... denomina-se CO-TANGENTE = .............
O aluno deve procurar memorizar estas fórmulas, pois irá aplicá-las com muitafreqüência. Serão mais usadas seno, co-seno e tangente.
10.4.1 Exercícios
1 Dado o triângulo retângulo abaixo,
Calcular o valor do sen., cos. e tg. do ângulo B.
oposto catetoadjacente catetoA de tangente-co =
6,053sen ===
BCACB
.............................cos ===
BCABB
.............................
................... ===tgB
128
2 Dado o triângulo retângulo abaixo,
calcular o valor do sen., cos. e tg. do ângulo Ĉ.
10.5 APLICAÇÃO PRÁTICA
10.5.1 Exercícios
1 Determinar a inclinação do carro porta-ferramentas para tornear o ângulo dapeça abaixo:
Solução − Monta-se um triângulo com as medidas existentes e determina-se oângulo de inclinação.
.............................
...................ˆsen ===C
.............................
...................ˆcos ===C
.............................
...................ˆ ===Ctg
129
Tem-se o triângulo:
Pode-se resolver com qualquer das funções que envolvem os dois catetos (tg.ou cotg.). No caso, utiliza-se a tangente.
E com esse número procura-se na tabela de tangente o ângulo correspondente.
A inclinação deve ser 18°26’.
2 Determinar o diâmetro de um eixo para que em uma de suas extremidades sejafeito um quadrado de 10 mm de lado.
X = diagonal do quadrado = hipotenusado triângulo = Ø do eixo
No triângulo tem-se um lado e quer-se determinar a hipotenusa. Precisa-se,então, de uma função que envolva um dos lados do triângulo e a hipotenusa(seno ou co-seno).
Aplica-se o co-seno:
3333,0155 === αα tg
adjacentecatetoopostocatetotg
hipotenusaadjacentecateto=αcos
αcosadjacentecatetohipotenusa =
( ) 7071,045cos =°
7071,010mmhipotenusa =
mm 14,1 eixo do Ø =
130
3 Calcular as distâncias “AC” e “BC”.
4 Calcular os diâmetros “D1” e “D2”.
5 Determinar “L”.
131
TABELA DE SENO - 0° a 45°
MinutosGraus
0 10 20 30 40 50 60Graus
0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 0,0175 891 0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0291 0,0320 0,0349 882 0,0349 0,0378 0,0407 0,0436 0,0465 0,0494 0,0523 873 0,0523 0,0552 0,0581 0,0610 0,0640 0,0669 0,0698 864 0,0698 0,0727 0,0756 0,0785 0,0814 0,0843 0,0872 855 0,0872 0,0901 0,0929 0,0958 0,0987 0,1016 0,1045 846 0,1045 0,1074 0,1103 0,1132 0,1161 0,1190 0,1219 837 0,1219 0,1248 0,1276 0,1305 0,1334 0,1363 0,1392 828 0,1392 0,1421 0,1449 0,1478 0,1507 0,1536 0,1564 819 0,1564 0,1593 0,1622 0,1650 0,1679 0,1708 0,1736 80
10 0,1736 0,1765 0,1794 0,1822 0,1851 0,1880 0,1908 7911 0,1908 0,1937 0,1965 0,1994 0,2022 0,2051 0,2079 7812 0,2079 0,2108 0,2136 0,2164 0,2193 0,2221 0,2250 7713 0,2250 0,2278 0,2306 0,2334 0,2363 0,2391 0,2419 7614 0,2419 0,2447 0,2476 0,2504 0,2532 0,2560 0,2588 7515 0,2588 0,2616 0,2644 0,2672 0,2700 0,2728 0,2756 7416 0,2756 0,2784 0,2812 0,2840 0,2868 0,2896 0,2924 7317 0,2924 0,2952 0,2979 0,3007 0,3035 0,3062 0,3090 7218 0,3090 0,3118 0,3145 0,3173 0,3201 0,3228 0,3256 7119 0,3256 0,3283 0,3311 0,3338 0,3365 0,3393 0,3420 7020 0,3420 0,3448 0,3475 0,3502 0,3529 0,3557 0,3584 6921 0,3584 0,3611 0,3638 0,3665 0,3692 0,3719 0,3746 6822 0,3746 0,3773 0,3800 0,3827 0,3854 0,3881 0,3907 6723 0,3907 0,3934 0,3961 0,3987 0,4014 0,4041 0,4067 6624 0,4067 0,4094 0,4120 0,4147 0,4173 0,4200 0,4226 6525 0,4226 0,4253 0,4279 0,4305 0,4331 0,4358 0,4384 6426 0,4384 0,4410 0,4436 0,4462 0,4488 0,4514 0,4540 6327 0,4540 0,4566 0,4592 0,4617 0,4643 0,4669 0,4695 6228 0,4695 0,4720 0,4746 0,4772 0,4797 0,4823 0,4848 6129 0,4848 0,4874 0,4899 0,4924 0,4950 0,4975 0,5000 6030 0,5000 0,5025 0,5050 0,5075 0,5100 0,5125 0,5150 5931 0,5150 0,5175 0,5200 0,5225 0,5250 0,5275 0,5299 5832 0,5299 0,5324 0,5348 0,5373 0,5398 0,5422 0,5446 5733 0,5446 0,5471 0,5495 0,5519 0,5544 0,5568 0,5592 5634 0,5592 0,5616 0,5640 0,5664 0,5688 0,5712 0,5736 5535 0,5736 0,5760 0,5783 0,5807 0,5831 0,5854 0,5878 5436 0,5878 0,5901 0,5925 0,5948 0,5972 0,5995 0,6018 5337 0,6018 0,6041 0,6065 0,6088 0,6111 0,6134 0,6157 5238 0,6157 0,6180 0,6202 0,6225 0,6248 0,6271 0,6293 5139 0,6293 0,6316 0,6338 0,6361 0,6383 0,6406 0,6428 5040 0,6428 0,6450 0,6472 0,6494 0,6517 0,6539 0,6561 4941 0,6561 0,6583 0,6604 0,6626 0,6648 0,6670 0,6691 4842 0,6691 0,6713 0,6734 0,6756 0,6777 0,6799 0,6820 4743 0,6820 0,6841 0,6862 0,6884 0,6905 0,6926 0,6947 4644 0,6947 0,6967 0,6988 0,7009 0,7030 0,7050 0,7071 45
60 50 40 30 20 10 0Graus Minutos Graus
TABELA DE CO-SENO - 45° a 90°
132
TABELA DE SENO - 45° a 90°Minutos
Graus 0 10 20 30 40 50 60 Graus
45 0,0000 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173 0,7193 4446 0,7193 0,7214 0,7234 0,7254 0,7274 0,7294 0,7314 4347 0,7314 0,7333 0,7353 0,7373 0,7392 0,7412 0,7431 4248 0,7431 0,7451 0,7470 0,7490 0,7509 0,7528 0,7547 4149 0,7547 0,7566 0,7585 0,7604 0,7623 0,7642 0,7660 4050 0,7660 0,7679 0,7698 0,7716 0,7735 0,7753 0,7771 3951 0,7771 0,7790 0,7808 0,7826 0,7844 0,7862 0,7880 3852 0,7880 0,7898 0,7916 0,7934 0,7951 0,7969 0,7986 3753 0,7986 0,8004 0,8021 0,8039 0,8056 0,8073 0,8090 3654 0,8090 0,8107 0,8124 0,8141 0,8158 0,8175 0,8192 3555 0,8192 0,8208 0,8225 0,8241 0,8258 0,8274 0,8290 3456 0,8290 0,8307 0,8323 0,8339 0,8355 0,8371 0,8387 3357 0,8387 0,8403 0,8418 0,8434 0,8450 0,8465 0,8480 3258 0,8480 0,8496 0,8511 0,8526 0,8542 0,8557 0,8572 3159 0,8572 0,8587 0,8601 0,8616 0,8631 0,8646 0,8660 3060 0,8660 0,8675 0,8689 0,8704 0,8718 0,8732 0,8746 2961 0,8746 0,8760 0,8774 0,8788 0,8802 0,8816 0,8829 2862 0,8829 0,8843 0,8857 0,8870 0,8884 0,8897 0,8910 2763 0,8910 0,8923 0,8936 0,8949 0,8962 0,8975 0,8988 2664 0,8988 0,9001 0,9013 0,9026 0,9038 0,9051 0,9063 2565 0,9063 0,9075 0,9088 0,9100 0,9112 0,9124 0,9135 2466 0,9135 0,9147 0,9159 0,9171 0,9182 0,9194 0,9205 2367 0,9205 0,9216 0,9228 0,9239 0,9250 0,9261 0,9272 2268 0,9272 0,9283 0,9293 0,9304 0,9315 0,9325 0,9336 2169 0,9336 0,9346 0,9356 0,9367 0,9377 0,9387 0,9397 2070 0,9397 0,9407 0,9417 0,9426 0,9436 0,9446 0,9455 1971 0,9455 0,9465 0,9474 0,9483 0,9492 0,9502 0,9511 1872 0,9511 0,9520 0,9528 0,9537 0,9546 0,9555 0,9563 1773 0,9563 0,9572 0,9580 0,9588 0,9596 0,9605 0,9613 1674 0,9613 0,9621 0,9628 0,9636 0,9644 0,9652 0,9659 1575 0,9659 0,9667 0,9674 0,9681 0,9689 0,9696 0,9703 1476 0,9703 0,9710 0,9717 0,9724 0,9730 0,9737 0,9744 1377 0,9744 0,9750 0,9757 0,9763 0,9769 0,9775 0,9781 1278 0,9781 0,9787 0,9793 0,9799 0,9805 0,9811 0,9816 1179 0,9816 0,9822 0,9827 0,9833 0,9838 0,9843 0,9848 1080 0,9848 0,9853 0,9858 0,9863 0,9868 0,9872 0,9877 981 0,9877 0,9881 0,9886 0,9890 0,9894 0,9899 0,9903 882 0,9903 0,9907 0,9911 0,9914 0,9918 0,9922 0,9925 783 0,9925 0,9929 0,9932 0,9936 0,9939 0,9942 0,9945 684 0,9945 0,9948 0,9951 0,9954 0,9957 0,9959 0,9962 585 0,9962 0,9964 0,9967 0,9969 0,9971 0,9974 0,9976 486 0,9976 0,9978 0,9980 0,9981 0,9983 0,9985 0,9986 387 0,9986 0,9988 0,9989 0,9990 0,9992 0,9993 0,9994 288 0,9994 0,9995 0,9996 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 189 0,99985 0,99989 0,99993 0,99996 0,99998 0,999996 1,00000 0
60 50 40 30 20 10 0Graus Minutos Graus
TABELA DE CO-SENO - 0° a 45°
133
TABELA DE TANGENTE - 0° a 45°
MinutosGraus
0 10 20 30 40 50 60Graus
0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145 0,0175 891 0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0291 0,0320 0,0349 882 0,0349 0,0378 0,0407 0,0437 0,0466 0,0495 0,0524 873 0,0524 0,0553 0,0582 0,0612 0,0641 0,0670 0,0699 864 0,0699 0,0729 0,0758 0,0787 0,0816 0,0846 0,0875 855 0,0875 0,0904 0,0934 0,0963 0,0992 0,1022 0,1051 846 0,1051 0,1080 0,1110 0,1139 0,1169 0,1198 0,1228 837 0,1228 0,1257 0,1287 0,1317 0,1346 0,1376 0,1405 828 0,1405 0,1435 0,1465 0,1495 0,1524 0,1554 0,1584 819 0,1584 0,1614 0,1644 0,1673 0,1703 0,1733 0,1763 80
10 0,1763 0,1793 0,1823 0,1853 0,1883 0,1914 0,1944 7911 0,1944 0,1974 0,2004 0,2035 0,2065 0,2095 0,2126 7812 0,2126 0,2156 0,2186 0,2217 0,2247 0,2278 0,2309 7713 0,2309 0,2339 0,2370 0,2401 0,2432 0,2462 0,2493 7614 0,2493 0,2524 0,2555 0,2586 0,2617 0,2648 0,2679 7515 0,2679 0,2711 0,2742 0,2773 0,2805 0,2836 0,2867 7416 0,2867 0,2899 0,2931 0,2962 0,2994 0,3026 0,3057 7317 0,3057 0,3089 0,3121 0,3153 0,3185 0,3217 0,3249 7218 0,3249 0,3281 0,3314 0,3346 0,3378 0,3411 0,3443 7119 0,3443 0,3476 0,3508 0,3541 0,3574 0,3607 0,3640 7020 0,3640 0,3673 0,3706 0,3739 0,3772 0,3805 0,3839 6921 0,3839 0,3872 0,3906 0,3939 0,3973 0,4006 0,4040 6822 0,4040 0,4074 0,4108 0,4142 0,4176 0,4210 0,4245 6723 0,4245 0,4279 0,4314 0,4348 0,4383 0,4417 0,4452 6624 0,4452 0,4487 0,4522 0,4557 0,4592 0,4628 0,4663 6525 0,4663 0,4699 0,4734 0,4770 0,4806 0,4841 0,4877 6426 0,4877 0,4913 0,4950 0,4986 0,5022 0,5059 0,5095 6327 0,5095 0,5132 0,5169 0,5206 0,5243 0,5280 0,5317 6228 0,5317 0,5354 0,5392 0,5430 0,5467 0,5505 0,5543 6129 0,5543 0,5581 0,5619 0,5658 0,5696 0,5735 0,5774 6030 0,5774 0,5812 0,5851 0,5890 0,5930 0,5969 0,6009 5931 0,6009 0,6048 0,6088 0,6128 0,6168 0,6208 0,6249 5832 0,6249 0,6289 0,6330 0,6371 0,6412 0,6453 0,6494 5733 0,6494 0,6536 0,6577 0,6619 0,6661 0,6703 0,6745 5634 0,6745 0,6787 0,6830 0,6873 0,6916 0,6959 0,7002 5535 0,7002 0,7046 0,7089 0,7133 0,7177 0,7221 0,7265 5436 0,7265 0,7310 0,7355 0,7400 0,7445 0,7490 0,7536 5337 0,7536 0,7581 0,7627 0,7673 0,7720 0,7766 0,7813 5238 0,7813 0,7860 0,7907 0,7954 0,8002 0,8050 0,8098 5139 0,8098 0,8146 0,8195 0,8243 0,8292 0,8342 0,8391 5040 0,8391 0,8441 0,8491 0,8541 0,8591 0,8642 0,8693 4941 0,8693 0,8744 0,8796 0,8847 0,8899 0,8952 0,9004 4842 0,9004 0,9057 0,9110 0,9163 0,9217 0,9271 0,9325 4743 0,9325 0,9380 0,9435 0,9490 0,9545 0,9601 0,9657 4644 0,9657 0,9713 0,9770 0,9827 0,9884 0,9942 0,7071 45
60 50 40 30 20 10 0Graus
MinutosGraus
TABELA DE CO-TANGENTE - 45° a 90°
134
TABELA DE TANGENTE - 45° a 90°
MinutosGraus
0 10 20 30 40 50 60Graus
45 0,0000 1,0058 1,0117 1,0176 1,0235 1,0295 1,0355 4446 1,0355 1,0416 1,0477 1,0538 1,0599 1,0661 1,0724 4347 1,0724 1,0786 1,0850 1,0913 1,0977 1,1041 1,1106 4248 1,1106 1,1171 1,1237 1,1303 1,1369 1,1436 1,1504 4149 1,1504 1,1571 1,1640 1,1708 1,1778 1,1847 1,1918 4050 1,1918 1,1988 1,2059 1,2131 1,2203 1,2276 1,2349 3951 1,2349 1,2423 1,2497 1,2572 1,2647 1,2723 1,2799 3852 1,2799 1,2876 1,2954 1,3032 1,3111 1,3190 1,3270 3753 1,3270 1,3351 1,3432 1,3514 1,3597 1,3680 1,3764 3654 1,3764 1,3848 1,3934 1,4019 1,4106 1,4193 1,4281 3555 1,4281 1,4370 1,4460 1,4550 1,4641 1,4733 1,4826 3456 1,4826 1,4919 1,5013 1,5108 1,5204 1,5301 1,5399 3357 1,5399 1,5497 1,5597 1,5697 1,5798 1,5900 1,6003 3258 1,6003 1,6107 1,6212 1,6319 1,6426 1,6534 1,6643 3159 1,6643 1,6753 1,6864 1,6977 1,7090 1,7205 1,7321 3060 1,7321 1,7437 1,7556 1,7675 1,7796 1,7917 1,8040 2961 1,8040 1,8165 1,8291 1,8418 1,8546 1,8676 1,8807 2862 1,8807 1,8940 1,9074 1,9210 1,9347 1,9486 1,9626 2763 1,9626 1,9768 1,9912 2,0057 2,0204 2,0353 2,0503 2664 2,0503 2,0655 2,0809 2,0965 2,1123 2,1283 2,1445 2565 2,1445 2,1609 2,1775 2,1943 2,2113 2,2286 2,2460 2466 2,2460 2,2637 2,2817 2,2998 2,3183 2,3369 2,3559 2367 2,3559 2,3750 2,3945 2,4142 2,4342 2,4545 2,4751 2268 2,4751 2,4960 2,5172 2,5386 2,5605 2,5826 2,6051 2169 2,6051 2,6279 2,6511 2,6746 2,6985 2,7228 2,7475 2070 2,7475 2,7725 2,7980 2,8239 2,8502 2,8770 2,9042 1971 2,9042 2,9319 2,9600 2,9887 3,0178 3,0475 3,0777 1872 3,0777 3,1084 3,1397 3,1716 3,2041 3,2371 3,2709 1773 3,2709 3,3052 3,3402 3,3759 3,4124 3,4495 3,4874 1674 3,4874 3,5261 3,5656 3,6059 3,6470 3,6891 3,7321 1575 3,7321 3,7760 3,8208 3,8667 3,9136 3,9617 4,0108 1476 4,0108 4,0611 4,1126 4,1653 4,2193 4,2747 4,3315 1377 4,3315 4,3897 4,4494 4,5107 4,5736 4,6382 4,7046 1278 4,7046 4,7729 4,8430 4,9152 4,9894 5,0658 5,1446 1179 5,1446 5,2257 5,3093 5,3955 5,4845 5,5764 5,6713 1080 5,6713 5,7694 5,8708 5,9758 6,0844 6,1970 6,3138 981 6,3138 6,4348 6,5606 6,6912 6,8269 6,9682 7,1154 882 7,1154 7,2687 7,4287 7,5958 7,7704 7,9530 8,1443 783 8,1443 8,3450 8,5555 8,7769 9,0098 9,2553 9,5144 684 9,5144 9,7882 10,0780 10,3854 10,7119 11,0594 11,4301 585 11,4301 11,8262 12,2505 12,7062 13,1969 13,7267 14,3007 486 14,3007 14,9244 15,6048 16,3499 17,1693 18,0750 19,0811 387 19,0811 20,2056 21,4704 22,9038 24,5418 26,4316 28,6363 288 28,6363 31,2416 34,3678 38,1885 42,9641 49,1039 57,2900 189 57,2900 68,7501 85,9398 114,5887 171,8854 343,7737 1,0000 0
60 50 40 30 20 10 0Graus
MinutosGraus
TABELA DE CO-TANGENTE - 0° a 45°
135
11 UNIDADE DE MEDIDA DE CAPACIDADE
11.1 DISTINÇÃO ENTRE CAPACIDADE E VOLUME
É necessário fazer a distinção entre capacidade e volume: capacidade é o espaçovazio de qualquer recipiente, suficiente para conter dentro de si alguma coisa, evolume refere-se à corpulência ou vulto de um objeto. A capacidade é um vazio; ovolume é um maciço. Assim sendo, pode-se dizer que a capacidade de umvasilhame é o mesmo que volume de um bloco de pedra.
A unidade legal de capacidade é o litro (l), que deriva do sistema métrico. Litro é acapacidade ocupada por e dm3.
nome abreviatura equivalência
múltiplos quilolitrohectolitrodecalitro
klhl
dal
1 000 litros100 litros10 litros
unidade litro l 1 litro
submúltiplos decilitrocentilitromililitro
dlclml
0,1 litro0,01 litro
0,001 litro
11.1.1 Transformação de medidasComo as unidades variam de dez em dez, a conversão é feita deslocando-se avírgula uma casa à direita (para a unidade imediatamente inferior) ou à esquerda(para a unidade imediatamente superior), suprindo de zeros caso faltem algarismos.
Exemplo – Transformar 27,418 hl em l.
Solução – kl hl dal l dl2 7 4 1, 8
Portanto, 27,418 hl = 2741,8 l
136
11.1.2 Relação entre unidade de capacidade e volumeA relação entre as unidades de capacidade e volume é
1 l = 1 dm3
O litro é o volume de 1 decímetro cúbico. Isso quer dizer que o volume de líquidoque cabe em um recipiente de 1 dm3 é chamado de 1 litro. Portanto: se qualquervalor for expresso em unidades de volume, basta convertê-lo em dm3 e fazer arelação em unidade de capacidade (l).
Figura 55 – Litro
Exemplos:
a) Converter 18,3 m3 em l.
Solução:18,3 m3 = 18,300 dm3
18300 dm3 = 18300 l
18,3 m3 = 18300 l
b) Converter 41306 dl em dam3.
Solução:41306 dl = 4130,6 l
capacidade volume =
4130,6 l 4130,6 dm3
4130,6 dm3 = 0,0041306 dam3
41306 dl = 0,0041306 dam3
137
11.2 MEDIDA DE MASSA
É preciso que se conheça a distinção entre massa e peso: massa é a quantidade dematéria de um corpo; é uma propriedade constante dos corpos que não depende dolocal onde se encontram, e peso é a força de atração exercida pela terra sobre amassa de um corpo.
11.2.1 Unidade fundamentalA unidade fundamental é denominada quilograma e representada pelo símbolo kg.O quilograma é a massa de 1 dm3 e água destilada à temperatura de 4°C.
Na prática, usa-se também como se fosse unidade principal, a milésima parte doquilograma, denominada grama. Tomando o grama como fundamental, veja-se umatabela que compreende alguns múltiplos usuais:
nomes símbolos valores
quilogramahectogramadecagrama
kghgdag
1 000 g100 g10 g
grama g 1 g
decigramacentigramamiligrama
dgcgmg
0,1 g0,01 g
0,001 g
OBSERVAÇÃO:É do uso corrente, também, a tonelada (t), equivalente a 1 000 kg, muito empregadanas medidas de grandes massas.
11.2.2 Mudança de unidadeAs mudanças de unidade são feitas de modo análogo às das unidades decomprimento.
Exemplo – Converter 42,73 kg em decigramas.
42,73 kg = 427,3 hg = 4273 dag = 42730 g = 427300 dg
kg hg dag g dg
0 1 2 3 4
138
11.2.3 Exercícios
1 Efetuar as operações e apresentar os resultados em quilogramas:
a) 48,5 dag + 12,05 dg + 15 cg =
b) 5 t + 25 kg – 2 t + 28 dag =
2 Calcular em quilogramas a massa de ar contida em uma sala de 4,5 m decomprimento, 4 m de largura e 3 m de altura. A massa de 1 dm3 de ar éaproximadamente 1,293 g.
3 Uma lata contendo água pura até seus 2/3 tem 2 750 kg de massa; se estivervazia, tem 1 520 kg. Calcular o volume em cm3.
11.3 MASSA ESPECÍFICA
Massa específica (ou densidade) de uma substância é a massa dessa substânciapor unidade de volume. Assim, quando se diz, por exemplo, que a massa específicade ferro fundido é 7,2, significa que o ferro fundido tem 7,2 gramas por centímetrocúbico.
Se, ao invés de centímetros cúbicos, se tomar o volume em dm3, o número queindica a massa específica representa kg (quilogramas). Assim, o 7,2 do ferro fundidoquer dizer que esse material tem 7,2 kg por dm3 de massa.
No quadro a seguir tem-se a indicação da massa específica de diversos metais.Com esses dados, pode-se resolver em mecânica diversos problemas de massa ouvolume. A fórmula será sempre:
massa = massa específica x volume
139
Exemplo:Calcular a massa de uma peça de bronze cujo volume é de 15 cm3. Como a massaespecífica do bronze é 8,6, tem-se:
massa = 8,6 x 15 cm3
massa = 129 gramas
O resultado aparece em gramas porque o volume foi dado em cm3. Se fosse emdm3, o resultado seria em kg (quilogramas).
Exemplo:Calcular o volume de uma peça de latão com 68 gramas de massa.
Aqui, o problema é inverso: já se conhece a massa; procura-se o volume logo paraencontrá-lo deve-se efetuar a divisão.
Portanto, lembrando que a massa específica do latão é 8,5 e substituindo na fórmulaos dados do problema, tem-se:
O resultado é em cm3 porque a massa foi dada em gramas. Se fosse emquilogramas, se teria o volume em dm3.
Tabela de massa específica (grama/centímetro cúbico)
aço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .alumínio . . . . . . . . . . . . . . . . .antimônio . . . . . . . . . . . . . . . .bronze . . . . . . . . . . . . . . . . . .carbono . . . . . . . . . . . . . . . . .chumbo . . . . . . . . . . . . . . . . . .cobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .crômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7,92,76.78,63,5
11,38,96,9
estanho . . . . . . . . . . . . . . . .ferro . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ferro fundido . . . . . . . . . . . . .latão . . . . . . . . . . . . . . . . . . .níquel . . . . . . . . . . . . . . . . . .tungstênio . . . . . . . . . . . . . . .vanádio . . . . . . . . . . . . . . . . .zinco . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7,37,87,28,58,8
19,15,57,1
específicamassamassavolume =
5,868gvolume =
38cmvolume =
140
141
12 VELOCIDADE DE CORTE - Vc
Para efetuar o corte de um material por meio de uma ferramenta, é necessário que omaterial ou a ferramenta se movimente um em relação ao outro. O meio paradeterminar ou comparar a rapidez do movimento é a velocidade de corte.
Portanto, a velocidade é o espaço percorrido pela ferramenta ou peça cortando ummaterial em um determinado espaço de tempo.
A velocidade de corte é representada pelas iniciais Vc, e sua unidade é m/min oum/seg.
m/minVc =
m/seg
12.1 ROTAÇÕES
Denominam-se rotações o número de voltas que um eixo, peça ou ferramenta decorte dá em torno de si mesma em determinado espaço de tempo. Quando o espaçode tempo é o minuto, diz-se rpm – rotações por minuto; quando é representado emqualquer outra unidade de tempo, diz-se simplesmente n.
rpm – rotações por minuto
– 1
unidade min = 1 0 min
n – rotações por qualquer tempo
– 1
unidade n t = 1 0 n 1 ; 1 ; 1 0 t seg min n
142
12.2 DESIGNAÇÃO
d = diâmetron = rotações por minuto (rpm)Vc = velocidade de corte
velocidade c = espaço 0 tempo determinado
espaço do ponto P a 1 rotação por minuto = π . despaço do ponto P a n rotações = π . d . n, ou pode-se definir:
V = circunferência x rotações por minuto
V = d . π . rpmV = d . π . n
Como a Vc é geralmente fornecida através de tabelas, e o diâmetro é determinadomedindo-se a peça, o problema na Oficina será sempre determinar a rpm, ou seja, n.
Onde:“Vc” em m/min“d” em mm“n” em rotações por minuto.
Exemplo:Determinar a rpm necessária para usinar um cilindro de aço 1020 com ferramenta deaço rápido, conforme desenho abaixo (medidas em mm):
π⋅=
dVcn
π⋅⋅=d
1000Vcn
π⋅=
dVcn
143
Solução:
Os problemas para determinar a rpm devem ser resolvidos em duas partes:
a) Reúnem-se todos os dados necessários: ø de desbaste, ø de acabamento, Vc dedesbaste e acabamento.
b) Monta-se a fórmula e substituem-se os valores.
A velocidade de corte adequada para este material é:Vc para desbaste = 25 m/minVc para acabamento = 35 m/mindiâmetro – analisa-se o desenho.
Neste caso, o ø de desbaste é 100 mm e o ø de acabamento é de 80 mm.Ø para desbaste = 100 mmØ para acabamento = 80 mm
c) Monta-se a fórmula e substituem-se os valores:
0
Resposta:
Para desbaste, regular a máquina para 80 rpm.Para acabamento, regulá-la para 140 rpm.
π⋅⋅=d
Vc 1000rpm
( )min
80min100
100025desbasterpm rotaçõesmm
mm =⋅⋅
⋅=π
( )min
140min80
100035acabamentorpm rotaçõesmm
mm =⋅⋅
⋅=π
144
12.3 TABELA
TORNO
Ferramenta de aço rápido Ferramenta de metal duroMaterial a
ser usinadoDesbaste a)
Acabamento b) Velocidade decorte em m/min
avanço emmm
Penetraçãoem mm
Velocidade decorte em m/min
avanço emmm
Penetraçãoem mm
a) 20...40 1,0 8,0 50...70 1,5 10,0aço macio
b) 50...60 0,1 0,5 150...200 0,1 1,0
a) 10...20 0,8 6,0 20...40 1 8,0aço liga
b) 20...30 0,1 0,5 50...100 0,1 1,0
a) 10...20 1,5 10,0 30...50 1,5 10,0ferro fundido
b) 40...50 0,1 0,5 80...100 0,1 1,0
a) 50...70 0,5 6,0 150...220 0,5 6,0metal nãoferroso b) 100...120 0,2 2,0 200...300 0,2 2,0
a) 80...100 0,5 6,0 200...300 0,5 6,0metal leve
b) 100...120 0,1 1,0 250...500 0,1 1,0
a) 100...200 0,3 3,0 200...300 0,3 3,0plástico
b) 150...300 0,1 1,0 400...600 0,1 1,0
FRESADORA
Desbaste a)Acabamento b) Fresa de aço rápido Fresa de metal duro Pastilhas de metal duro
Material aser usinado Velocidade de
corte em m/minavanço por
dente em mm
Velocidade decorte em
m/min
avanço pordente em mm
Velocidade decorte em
m/min
avanço pordente em mm
a) 30...40 0,1...0,2 80...150 0,1...0,3 80...150 0,1...0,3aço carbono
b) 30...40 0,05...0,1 100...300 0,1...0,2 100...300 0,1...0,2
a) 25...30 0,1...0,2 80...150 0,1...0,3 80...150 0,1...0,3aço liga até750 N/mm² b) 25...30 0,005...0,1 100...300 0,1...0,2 100...300 0,1...0,2
a) 15...20 0,1...0,15 60...120 0,1...0,3 60...120 0,1...0,3aço liga até1000 N/mm² b) 15...20 0,05...0,1 80...150 0,06...0,15 80...150 0,06...0,15
a) 20...25 0,15...0,3 70...120 0,1...0,3 70...120 0,1...0,3ferro fundido
b) 20...25 0,1...0,2 100...160 0,1...0,2 100...160 0,1...0,2
a) 60...150 0,2...0,3 150...400 0,08...0,15 150...400 0,08...0,15ligas decobre b) 60...150 0,1...0,2 150...400 0,05...0,1 150...400 0,05...0,1
a) 150...250 0,2...0,3 350...800 0,1...0,2 350...800 0,1...0,2metal leve
b) 200...300 0,1...0,2 400...1200 0,08...0,15 400...1200 0,08...0,15
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REFERÊNCIAS
DI PIERO NETTO, Scipeone ...[et al.]. Elementos de Matemática. São Paulo: Saraiva,s.d.
GIOVANI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANI JR., José Ruy. Matemáticacompleta. São Paulo: FTD, 2003.
INMETRO. Quadro Geral de Unidades de Medida; Resolução do CONMETROnº12/1988. 2. ed. Brasília, SENAI/DN, 2000.
SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL. Departamento Regionaldo Rio Grande Sul. Material Instrucional; Cálculo técnico. Porto Alegre: SENAI-RS,s.d.