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Universidade Federal do Recncavo da Bahia Curso: Licenciatura em Fsica / Matemtica Componente: Clculo Vetorial e Integral Prof. lvaro Fernandes Serafim Aluno(a): ______________________________________

O estudo da Matemtica o mais indicado para desenvolver as faculdades, fortalecer o raciocnio lgico e iluminar o

Esprito . (Scrates)

1. Calcule o gradiente das funes escalares abaixo.

a) ( ) yx2 2ey,xf += . b) ( ) ( ) ( )2f x, y x x y= . c). ( ) ( )zlnyzxy2z,y,xf 2 ++=

2. Calcule o divergente dos campos vetoriais abaixo.

a) ( ) ( ) ( )( ) 2F x, y sen x , 2 cos x=r . b) ( ) ( ) 2 2 2F x, y,z 2x y , 3xyz, y z=r . c) ( ) ( )( ) F x, y,z ln xy , x, z=r

3. Calcule o rotacional dos campos vetoriais abaixo.

a) ( ) ( ) ( )F x, y,z sen xy i cos xy j zk= + + rr r r . b) ( ) ( ) ( )2F x, y,z 2x y i 3xz j yk= + rr r r .

4. Verifique se os campos abaixo so irrotacionais.

a) ( ) ( ) ( ) ( )2F x, y,z xyz i 2x 1 j x z k= + + rr r r . b) ( ) ( )xyzxyzxyz xye,xze,yzez,y,xF =r .

5. Considere ( )r x, y,z x i y j z k= + + rr rr e seja ( ) 1 2 3a a , a , a=r um vetor constante. Prove que:

a) 3r = r . b) 0r = r . c) rrr rrr = . d) ( ) a2rarot rrr = . e) ( ) 0radiv = rr

6. Define-se o operador 22

2

2

2

22

zyxz,

y,

xz,

y,

x

+

+

=

== . Se 2 opera sobre

( )z,y,xf produz uma funo escalar chamada de Laplaciano de f, dada por ( ) 22

2

2

2

22

z

fy

fx

fz,y,xf

+

+

= .

Mostre que o Laplaciano da funo ( ) ( ) 21222 zyxz,y,xf ++= nulo, ou seja, esta funo satisfaz a Equao de Laplace ( ) 0z,y,xf2 = .

Funes que satisfazem a Equao de Laplace so chamadas de funes harmnicas e desempenham papel importante nas aplicaes fsicas.

7. Verifique se as seguintes funes so harmnicas em algum domnio.

a) ( ) 21212 z2y2xz,y,xf = . b) ( ) ( ) 1zycosez,y,xf x ++= .

8. Verifique se os campos vetoriais abaixo so conservativos. Em caso afirmativo, encontre a sua funo potencial.

a) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2F x, y,z 2x i 5yz j x y z k= + + rr r r . b) ( ) ( )( ) ( )( )F x, y 1 ysen x i 1 cos x j= + + r r r .

c) ( ) ( ) ( ) ( )F x, y,z ln xy i ln yz j ln xz k= + + rr r r . d) ( ) ( ) ( )( )2F x, y,z 10xz ysen xy ,xsen xy ,5x= +r .

LLiissttaa ccoommpplleemmeennttaarr ddee eexxeerrcccciiooss -- NN 44

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9. Calcule as seguintes integrais curvilneas, sendo ds o diferencial do comprimento de arco de C:

a) ( ) C

2x y z ds + , sendo C o segmento de reta que liga A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1).

b) ( ) C

x y z ds+ + , sendo C o quadrado de vrtices P(1,0,1), M(1,1,1), N(0,1,1) e Q(0,0,1), no sentido PMNQ.

10. Usando integral curvilnea, determine a rea da superfcie:

a) Acima do arco da parbola 02y 1 x , x 1= , e abaixo da superfcie cilndrica xz = . Esboce a regio.

b) No 1o octante, entre o crculo 1yx 22 =+ e a superfcie cilndrica 2x1z = . Esboce a regio.

11. Calcule as seguintes integrais curvilneas ao longo de C:

a) ( ) ( ) 2C

6 x y dx xy dy+ , onde C o grfico de y = x3 + 1 de (1, 0) a (1, 2).

b) ( ) ( ) ( ) C

xz dx y z dy x dz+ + + , onde C a curva parametrizada por x = et, y = et, z = e2t; 0 t 1.

12. Calcule ( ) ( ) C

xy dx x y dy+ + ao longo de cada curva C abaixo do ponto (0, 0) at o ponto (1, 3).

a)

b)

c)

d)

13. Dado o campo de foras ( ) ( ) ( )2 2F x, y xy i x y j= +r r r , encontre o trabalho realizado por Fr ao longo das curvas do exerccio 12 a) e d).

14. Resolva:

a) Calcule a integral 2C

y dx 2xydy+ ao longo do segmento de reta C do ponto (1, 2) at o ponto (1, 3);

b) Mostre que a integral 2C

y dx 2xydy+ independente do caminho de integrao C;

c) Calcule a integral ( )( )

1,3 2

1,2y dx 2xydy

+ usando a funo potencial. Compare com o resultado do item a).

15. Mostre que as integrais a seguir so independentes do caminho de integrao e calcule o seu valor.

a) ( ) ( )( )( )

4 ,0

1,23y dx 3x dy+ . b) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1,1,1 y y z z 2 z1,0 ,0

e dx xe e dy ye 2e dz

+ + + .

16. Verifique se o campo de fora ( ) ( ) ( )xy xyF x, y ye i xe j= +r r r conservativo em alguma regio D do plano. Em caso afirmativo, calcule o trabalho realizado por este campo numa partcula que se move de P(1, 1) at Q(2, 0) ao longo de uma curva suave contida em D.

17. Calcule o trabalho realizado pela fora ( ) ( ) ( ) ( )2F x, y,z 2x z 4 i y 3z 1 j x 3y z k= + + + + + rr r r , sobre uma partcula, ao longo da curva C, do ponto A(2, 4, 2) at B(2, 0, 0), onde C :

a) o segmento de reta de A at B. b) a parbola y = z2 no plano x=2.

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Teorema de Green

Seja C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti-horrio, e R a regio fechada delimitada por C. Se ( ) 1 2f f , f=r um campo vetorial contnuo com derivadas parciais de 1 ordem contnuas em um domnio D que contm R, ento

+ =

,

18. Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais curvilneas:

a) + 4 + ao longo do tringulo C de vrtices (0, 0), (1, 2) e (2, 0) no sentido anti-horrio.

b) + ao longo do crculo C: 4yx22

=+ , no sentido anti-horrio.

c) , onde ( )F x, y y i= r r

e C o tringulo de vrtices P(0, 1), M(3, 1) e N(2, 2) no sentido anti-horrio.

19. Use o Teorema de Green para calcular a rea delimitada:

a) Pela elipse 2 2

x y 19 16

+ = .

b) Pelas curvas parametrizadas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; e 2 3p t t ,1 , 1 t 4 q t 4,t , 1 t 8 r t t ,t , 1 t 2= = = r r r .

Integrais de superfcie de campos escalares

Definio: Seja S uma superfcie suave parametrizada por ( ) ( ), , , 2r u v u v D r . Seja f um campo escalar definido sobre S. A integral de superfcie de f sobre S, denotada por

Sf dS , definida por

( )( )

, S D

r rf dS f r u v dudvu v

=

r r

r,

onde D o domnio da parametrizao de S.

Obs.: Se a superfcie S dada, particularmente, na forma explcita por ( )y,xzz = , ento

( )( )

, , ,

22

S D

z zf dS f x y z x y 1 dxdyx y

= + +

.

20. Calcule as integrais de superfcie de campos escalares:

a) ( ) +S 22 dSzyx , onde S a parte da esfera 9zyx 222 =++ restrita ao 1o octante.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e 4 4sen 2x sen 4x sen 2x sen 4x3x 3xObs. : sen x dx C cos x dx C8 4 32 8 4 32

= + + = + + + .

b) ( )S 2 dSzx , onde S a superfcie cilndrica 1z0,1yx 22 =+ .

c) ( ) +S dSzx , onde S a superfcie plana 6zy2x2 =++ no 1o octante.

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Integrais de superfcie de campos vetoriais

Definio: Seja S uma superfcie suave parametrizada por ( ) ( ), , , 2r u v u v D r e ( )v,unn rr = um campo de vetores unitrios e normais a S. Seja F

r um campo vetorial definido sobre S. A integral de superfcie de F

r

sobre S, denotada por

SF n dSr r

, definida por

( )( ) ( )

=DS

dudvv

r

u

ru,vnv,urFdSnF

rrrrrrr

,

onde D o domnio da parametrizao de S.

Como ( )v

r

u

r

v

r

u

r

v,unn

== rr

rr

rr, obtemos ento a integral de superfcie de F

r sobre S como:

( )( )

S D

r rF n dS F r u,v dudvu v

=

r rr rr r

.

Obs.: Teremos o sinal positivo em frente integral dupla, quando o lado de S escolhido para integrao for o lado do qual emana o campo normal e unitrio ( )v,unn rr = . Caso contrrio, teremos o sinal negativo em frente a integral dupla.

21. Calcule as integrais de superfcie de campos vetoriais:

a)

SF n dSr r

, sendo o campo de vetores ( ) ( )z 3,y3,x3z,y,xF =r e S a superfcie exterior do parabolide parametrizado por ( ) ( )22 yx,y,xy,xr += r , com 2 20 x y 4 + .

b)

SF n dSr r

, sendo S a parte exterior da esfera 1zyx 222 =++ no 1o octante com a normal nr apontando

para fora e ( ) F x, y,z yi xj 0k= + rr r r .

c)

SF n dSr r

, sendo o campo de vetores ( ) ( ) F x, y,z x, 2 y, 3z=r , onde S a superfcie plana delimitada pelo tringulo de vrtices ( ) ( ) ( )3,0,00,2,0,0,0,3 e , com a normal nr afastando-se da origem.

Teorema de Stokes

Seja S uma superfcie orientvel, suave por partes, delimitada por uma curva C fechada, simples e suave por partes. Ento, se F

r um campo vetorial contnuo, com derivadas parciais de 1a ordem contnuas em um domnio

que contm CS , temos

n#dS = ,

onde a integrao ao longo de C efetuada no sentido positivo de S, como mostra a figura abaixo:

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22. Usando o Teorema de Stokes, calcule:

a) + ' , onde C o contorno da parte do plano 4zyx2 =++ que est no 1o octante, no sentido anti-horrio.

b) + + + 2' + + 2' , onde C a interseo do cilindro 1yx 22 =+ com o plano yz = , orientada no sentido anti-horrio.

c) + ' + ' , onde C o retngulo de vrtices ( ) ( ) ( ) , 0,0,5 , 0,2,5 1,0,5 e ( )1,2,5 , no sentido anti-horrio.

Teorema de Gauss (ou Teorema da divergncia)

Seja T um slido no espao limitado por uma superfcie orientvel S. Se nr um campo normal e unitrio exterior a S e se ( ) ( ) ( ) ( )( )z,y,xf,z,y,xf,z,y,xfz,y,xF 321=r um campo vetorial contnuo que possui derivadas de 1a ordem contnuas em um domnio que contm T, ento ( ) = TS dVFdivdSnF rrr

23. Usando o Teorema de Gauss (ou Teorema da divergncia), calcule o fluxo* do campo vetorial Fr

atravs da superfcie do slido T .

* Obs.: O fluxo do campo de vetores F

ratravs da superfcie do slido T definido por = S dSnF

rr.

a) ( ) ( )z,y,0z,y,xF =r e T o cilindro 2z2,16yx 22 + .

b) ( ) ( )xz,yz,xyz,y,xF =r e T o cone 2 2x y z 4+ .

c) ( )F x, y,z 2i 2 j 2k= + + rr r r e T a esfera 2 2 20 x y z 4 + + .

Aplicaes Fsicas

Para os problemas abaixo, pesquise as frmulas no livro de Diva Flemming Clculo B (nova edio).

1. Calcule a massa de um arame cujo formato definido pela interseo do plano 4zyx2 =++ com os planos coordenados, se a densidade de massa do arame varivel e definida por ( ) ( ) mKg 1x2x,y,z += .

2. Um segmento retilneo de fio, de comprimento L, conduz uma corrente i. Mostre que a intensidade do campo magntico B, associado a este segmento, a uma distncia constante R, tomada sobre a sua mediatriz (ver figura A) dada por

( ) ( )2 2B 2kiL R L 4R= + .

3. O fio mostrado na figura B conduz uma corrente i. Determine a intensidade do campo magntico B no centro O do semicrculo, produzido:

a) por um dos segmentos de reta de comprimento L; b) pelo segmento semicircular de raio R; c) pelo fio todo.

Figura A

Figura B

4. Uma espira quadrada de lado a conduz uma corrente i. Mostre que a intensidade do campo magntico B, no seu centro, dada por 1B 8a 2ki= .

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Respostas

1. a) ( ) 2 22 x y 2 x yf 4xe , e+ + = . b) ( ) ( )( ) 2 2f 2 y x y , 2x x y = . c) ( ) 2 1f 2y, 2x z , 2yz z = + + .

2. a) ( ) ( )xcosxsen2Fdiv =r . b) 22 yxz3xy4Fdiv ++=r . c) ( ) x1xFdiv +=r .

3. a) ( ) ( )( ) rot F ysen xy x cos xy k= rr . b) ( ) ( ) 2rot F 1 3x i 3z 2x k= + rr r . 4. a) no. b) sim. 7. a) sim. b) sim.

8. a) no. b) sim; ( ) ( ) Cyxcosyxz,y,xu ++= . c) no. d) sim; ( ) ( ) Cxycoszx5z,y,xu 2 += . 9. a) 12. b) 8.

10. a) ( ) 12155 . b) 4pi . 11. a) 34/7. b) (1/12).(3e4 + 6e2 12e + 8e3 5). 12. a) 15/2. b) 6. c) 7. d) 29/4. 13. 9/2 nos dois casos.

14. a) 13. b) Mostre que 0Frot rr = , sendo ( )0,xy2,yF 2=r . c) ( ) ( ) 132,1u3,1u = , sendo ( ) += k,kxyy,xu 2 . 15. a) 6. b) 2e + e-2. 16. a) W = 1 e 1. 17. a) 2/3. b) 2/3. 18. a) 8. b) 8 pi. c) 3/2.

19. a) 12pi. b) 47/5.

20. a) 243 8pi . b) 2pi . c) 81 2 . 21. a) pi72 . b) 0 . c) 18 . 22. a) 16 . b) pi . c) 0 . 23. a) 0 . b) pi64 . c) 0 .

Aplicaes Fsicas

1. ( ) Kg32206 + .

3) a) 0 b) R

ikpi c)

Rikpi.