calculo numérico_taylor

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alculo Num´ erico eries de Taylor Jo˜ ao Paulo Gois Universidade Federal do ABC 1 1 Apresenta¸ ao baseada no Livro Numerical Analysis, Kincaid & Cheney

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Calculo Numérioc, Resumo, Bissecção, Iteração, Newton, Lagrange, Newton Raphson, Secante, Taylor e Ponto Flutuante

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Page 1: calculo numérico_taylor

Calculo NumericoSeries de Taylor

Joao Paulo Gois

Universidade Federal do ABC

1

1Apresentacao baseada no Livro Numerical Analysis, Kincaid & Cheney

Page 2: calculo numérico_taylor

Teorema de Taylor

O Teorema de Taylor determina um resultado muitoimportante para funcoes Cn[a, b]

Aplicado diversas vezes em Analise Numerica e no estudo dealgoritmos em Computacao Cientıfica

Page 3: calculo numérico_taylor

Teorema de Taylor

O Teorema de Taylor determina um resultado muitoimportante para funcoes Cn[a, b]

Aplicado diversas vezes em Analise Numerica e no estudo dealgoritmos em Computacao Cientıfica

Page 4: calculo numérico_taylor

Teorema de Taylor

O Teorema de Taylor determina um resultado muitoimportante para funcoes Cn[a, b]

Aplicado diversas vezes em Analise Numerica e no estudo dealgoritmos em Computacao Cientıfica

Page 5: calculo numérico_taylor

Teorema de Taylor

Teorema de Taylor com Resto de Lagrange

Se f ∈ Cn[a, b] e se f (n+1) existe no intervalo aberto (a, b), entaopara quaisquer pontos c e x no intervalo fechado [a, b]

f(x) =

n∑k=0

1

k!f (k)(c)(x− c)k + En(x) (1)

onde para algum ponto ξ entre c e x, o termo do erro e:

En(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξx)(x− c)n+1

Page 6: calculo numérico_taylor

Teorema de Taylor

Teorema de Taylor com Resto de Lagrange

Se f ∈ Cn[a, b] e se f (n+1) existe no intervalo aberto (a, b), entaopara quaisquer pontos c e x no intervalo fechado [a, b]

f(x) =

n∑k=0

1

k!f (k)(c)(x− c)k + En(x) (1)

onde para algum ponto ξ entre c e x, o termo do erro e:

En(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξx)(x− c)n+1

Page 7: calculo numérico_taylor

Teorema de Taylor

Dizer ξ entre x e c significa que ou c < ξ < x ou x < ξ < c,dependendo dos valores de x e c envolvidos.

Um caso particular da serie de Taylor surge quando c = 0.Neste caso a Eq. 1 se torna a Serie de Maclaurin:

f(x) =n∑

k=0

1

k!f (k)(0)(x)k + En(x) (2)

onde

En(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x)n+1

Page 8: calculo numérico_taylor

Teorema de Taylor

Dizer ξ entre x e c significa que ou c < ξ < x ou x < ξ < c,dependendo dos valores de x e c envolvidos.

Um caso particular da serie de Taylor surge quando c = 0.Neste caso a Eq. 1 se torna a Serie de Maclaurin:

f(x) =n∑

k=0

1

k!f (k)(0)(x)k + En(x) (2)

onde

En(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x)n+1

Page 9: calculo numérico_taylor

Teorema de Taylor

Dizer ξ entre x e c significa que ou c < ξ < x ou x < ξ < c,dependendo dos valores de x e c envolvidos.

Um caso particular da serie de Taylor surge quando c = 0.Neste caso a Eq. 1 se torna a Serie de Maclaurin:

f(x) =

n∑k=0

1

k!f (k)(0)(x)k + En(x) (2)

onde

En(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x)n+1

Page 10: calculo numérico_taylor

Exemplos de Series de TaylorPodemos obter series de Taylor para muitas funcoes importantestais como:

sinx =

∞∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!(−∞ < x <∞)

cosx =

∞∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!(−∞ < x <∞)

ex =

∞∑k=0

xk

k!(−∞ < x <∞)

ln(1 + x) =

∞∑k=1

(−1)k−1

kxk (−1 < |x| <∞)

1

1 + x=

∞∑k=1

(−1)kxk (−1 < x < 1)

Page 11: calculo numérico_taylor

Observacoes

As series anteriores sao denominadas Series de Potencias

A serie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada comoum mecanismo de aproximacao

Primeiramente tem que se garantir que uma funcao possui“muitas” derivadas

Usando o Teorema de Taylor junto com a analise do erroEn(x) quando n→∞, podemos garantir que as formulaspossuem valores de x para os quais elas convergem.

Page 12: calculo numérico_taylor

Observacoes

As series anteriores sao denominadas Series de Potencias

A serie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada comoum mecanismo de aproximacao

Primeiramente tem que se garantir que uma funcao possui“muitas” derivadas

Usando o Teorema de Taylor junto com a analise do erroEn(x) quando n→∞, podemos garantir que as formulaspossuem valores de x para os quais elas convergem.

Page 13: calculo numérico_taylor

Observacoes

As series anteriores sao denominadas Series de Potencias

A serie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada comoum mecanismo de aproximacao

Primeiramente tem que se garantir que uma funcao possui“muitas” derivadas

Usando o Teorema de Taylor junto com a analise do erroEn(x) quando n→∞, podemos garantir que as formulaspossuem valores de x para os quais elas convergem.

Page 14: calculo numérico_taylor

Observacoes

As series anteriores sao denominadas Series de Potencias

A serie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada comoum mecanismo de aproximacao

Primeiramente tem que se garantir que uma funcao possui“muitas” derivadas

Usando o Teorema de Taylor junto com a analise do erroEn(x) quando n→∞, podemos garantir que as formulaspossuem valores de x para os quais elas convergem.

Page 15: calculo numérico_taylor

Observacoes

As series anteriores sao denominadas Series de Potencias

A serie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada comoum mecanismo de aproximacao

Primeiramente tem que se garantir que uma funcao possui“muitas” derivadas

Usando o Teorema de Taylor junto com a analise do erroEn(x) quando n→∞, podemos garantir que as formulaspossuem valores de x para os quais elas convergem.

Page 16: calculo numérico_taylor

Exercıcio

Determine a Serie de Taylor para a seguinte funcao

f(x) = cosx

em c = 0.

Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.Assim sendo,

f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);

f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·

Aplicando em c = 0, temos:

f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;

f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·

Page 17: calculo numérico_taylor

Exercıcio

Determine a Serie de Taylor para a seguinte funcao

f(x) = cosx

em c = 0.Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.Assim sendo,

f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);

f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·

Aplicando em c = 0, temos:

f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;

f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·

Page 18: calculo numérico_taylor

Exercıcio

Determine a Serie de Taylor para a seguinte funcao

f(x) = cosx

em c = 0.Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.Assim sendo,

f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);

f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·

Aplicando em c = 0, temos:

f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;

f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·

Page 19: calculo numérico_taylor

Exercıcio

Determine a Serie de Taylor para a seguinte funcao

f(x) = cosx

em c = 0.Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.Assim sendo,

f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);

f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·

Aplicando em c = 0, temos:

f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;

f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·

Page 20: calculo numérico_taylor

Exercıcio

cosx = f(0) + f ′(0)(x− 0) +f ′′(0)

2(x− 0)2 + · · ·+

+f (2n)

(2n)!(x− 0)2n +

f (2n+1)

(2n+ 1)!(x− 0)2n+1 + · · ·

cosx = 1− 1

2x2 + · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!

cosx =∞∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!

Page 21: calculo numérico_taylor

Exercıcio

cosx = f(0) + f ′(0)(x− 0) +f ′′(0)

2(x− 0)2 + · · ·+

+f (2n)

(2n)!(x− 0)2n +

f (2n+1)

(2n+ 1)!(x− 0)2n+1 + · · ·

cosx = 1− 1

2x2 + · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!

cosx =∞∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!

Page 22: calculo numérico_taylor

Exercıcio

cosx = f(0) + f ′(0)(x− 0) +f ′′(0)

2(x− 0)2 + · · ·+

+f (2n)

(2n)!(x− 0)2n +

f (2n+1)

(2n+ 1)!(x− 0)2n+1 + · · ·

cosx = 1− 1

2x2 + · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!

cosx =

∞∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!

Page 23: calculo numérico_taylor

Exercıcio

Determine a Serie de Taylor para f(x) = lnx, considerandoa = 1, b = 2, c = 1, .

Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,f (4)(x) = −6x−4.Generalizando temos:

f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k

Em x = 1 temos:

f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!

Colocando tudo junto, temos:

lnx =n∑

k=1

(−1)k−1 1k(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)

Page 24: calculo numérico_taylor

Exercıcio

Determine a Serie de Taylor para f(x) = lnx, considerandoa = 1, b = 2, c = 1, .Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,f (4)(x) = −6x−4.

Generalizando temos:

f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k

Em x = 1 temos:

f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!

Colocando tudo junto, temos:

lnx =n∑

k=1

(−1)k−1 1k(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)

Page 25: calculo numérico_taylor

Exercıcio

Determine a Serie de Taylor para f(x) = lnx, considerandoa = 1, b = 2, c = 1, .Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,f (4)(x) = −6x−4.Generalizando temos:

f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k

Em x = 1 temos:

f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!

Colocando tudo junto, temos:

lnx =n∑

k=1

(−1)k−1 1k(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)

Page 26: calculo numérico_taylor

Exercıcio

Determine a Serie de Taylor para f(x) = lnx, considerandoa = 1, b = 2, c = 1, .Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,f (4)(x) = −6x−4.Generalizando temos:

f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k

Em x = 1 temos:

f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!

Colocando tudo junto, temos:

lnx =

n∑k=1

(−1)k−1 1k(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)

Page 27: calculo numérico_taylor

Exercıcio

onde

En(x) = (−1)n 1

n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 (1 ≤ ξ ≤ x)

lembrando que f (n+1)(ξ) = (−1)nn!ξ−(n+1).

No lado direto da soma na Eq. 3 temos uma equacaopolinomial;

O ultimo termo pode ser considerado como o erro;

Note que podemos ter a seguinte estimativa, considerando 1 < ξ

|En(x)| =1

n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 <

1

n+ 1(x− 1)n+1

Page 28: calculo numérico_taylor

Exercıcio

onde

En(x) = (−1)n 1

n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 (1 ≤ ξ ≤ x)

lembrando que f (n+1)(ξ) = (−1)nn!ξ−(n+1).

No lado direto da soma na Eq. 3 temos uma equacaopolinomial;

O ultimo termo pode ser considerado como o erro;

Note que podemos ter a seguinte estimativa, considerando 1 < ξ

|En(x)| =1

n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 <

1

n+ 1(x− 1)n+1

Page 29: calculo numérico_taylor

Exercıcio

onde

En(x) = (−1)n 1

n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 (1 ≤ ξ ≤ x)

lembrando que f (n+1)(ξ) = (−1)nn!ξ−(n+1).

No lado direto da soma na Eq. 3 temos uma equacaopolinomial;

O ultimo termo pode ser considerado como o erro;

Note que podemos ter a seguinte estimativa, considerando 1 < ξ

|En(x)| =1

n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 <

1

n+ 1(x− 1)n+1

Page 30: calculo numérico_taylor

Exercıcio

Quantos termos da serie sao necessarios para garantir uma precisaode 10−8 para calcular ln 2?

Fazendo x = 2, temos

ln 2 = 1 =1

2+

1

3− 1

4+ · · ·+ (−1)n−1

n+ En(2)

com |En(2)| < 1n+1 .

Precisamos entao garantir que En(1) < 10−8. Isto significa queprecisamos n+ 1 ≥ 108. Isto e, no mınimo 100 milhoes de termos.

Page 31: calculo numérico_taylor

Exercıcio

Quantos termos da serie sao necessarios para garantir uma precisaode 10−8 para calcular ln 2?Fazendo x = 2, temos

ln 2 = 1 =1

2+

1

3− 1

4+ · · ·+ (−1)n−1

n+ En(2)

com |En(2)| < 1n+1 .

Precisamos entao garantir que En(1) < 10−8. Isto significa queprecisamos n+ 1 ≥ 108. Isto e, no mınimo 100 milhoes de termos.

Page 32: calculo numérico_taylor

Exercıcio

Quantos termos da serie sao necessarios para garantir uma precisaode 10−8 para calcular ln 2?Fazendo x = 2, temos

ln 2 = 1 =1

2+

1

3− 1

4+ · · ·+ (−1)n−1

n+ En(2)

com |En(2)| < 1n+1 .

Precisamos entao garantir que En(1) < 10−8. Isto significa queprecisamos n+ 1 ≥ 108. Isto e, no mınimo 100 milhoes de termos.