calculo numérico_secante

Calculo NumericoSolucao de Equacoes em Uma VariavelMetodo das Secantes e da Regula Falsi

Joao Paulo Gois

Universidade Federal do ABC

1

1Apresentacao baseada nos slides do prof. John Carroll, Dublin City University e no Livro Analise Numerica

(Burden & Faires)

Roteiro

Metodo das Secantes: Derivacao e Algoritmo

Comparando Metodo das Secantes e o Metodo de Newton

O Metodo da Posicao Falsa (Regula Falsi)

Roteiro

Metodo das Secantes: Derivacao e Algoritmo

Comparando Metodo das Secantes e o Metodo de Newton

O Metodo da Posicao Falsa (Regula Falsi)

Roteiro

Metodo das Secantes: Derivacao e Algoritmo

Comparando Metodo das Secantes e o Metodo de Newton

O Metodo da Posicao Falsa (Regula Falsi)

Roteiro

Metodo das Secantes: Derivacao e Algoritmo

Comparando Metodo das Secantes e o Metodo de Newton

O Metodo da Posicao Falsa (Regula Falsi)

Razao para o Metodo das Secantes

Limitacoes do Metodo de Newton

A principal fraqueza do Metodo de Newton e a necessidade docalculo da derivada (consequentemente, da funcao ser suave);

Frequentemente o calculo da derivada exige mais operacoesaritmeticas do que calcular a propria funcao

Razao para o Metodo das Secantes

Limitacoes do Metodo de Newton

A principal fraqueza do Metodo de Newton e a necessidade docalculo da derivada (consequentemente, da funcao ser suave);

Frequentemente o calculo da derivada exige mais operacoesaritmeticas do que calcular a propria funcao

Razao para o Metodo das Secantes

Limitacoes do Metodo de Newton

A principal fraqueza do Metodo de Newton e a necessidade docalculo da derivada (consequentemente, da funcao ser suave);

Frequentemente o calculo da derivada exige mais operacoesaritmeticas do que calcular a propria funcao

Deduzindo o Metodo das Secantes

Def. de Derivada

f (pn1) = limxpn1

f(x) f(pn1)x pn1

Aproximando a Derivada

Se pn2 esta proximo de pn1, entao:

f (pn1) f(pn2) f(pn1)pn2 pn1 =

f(pn1) f(pn2)pn1 pn2

Aplicando esta formula na derivada no Metodo de Newton temos:

pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

Esta tecnica e chamada de Metodo das Secantes

Deduzindo o Metodo das Secantes

Def. de Derivada

f (pn1) = limxpn1

f(x) f(pn1)x pn1

Aproximando a Derivada

Se pn2 esta proximo de pn1, entao:

f (pn1) f(pn2) f(pn1)pn2 pn1 =

f(pn1) f(pn2)pn1 pn2

Aplicando esta formula na derivada no Metodo de Newton temos:

pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

Esta tecnica e chamada de Metodo das Secantes

Deduzindo o Metodo das Secantes

Def. de Derivada

f (pn1) = limxpn1

f(x) f(pn1)x pn1

Aproximando a Derivada

Se pn2 esta proximo de pn1, entao:

f (pn1) f(pn2) f(pn1)pn2 pn1 =

f(pn1) f(pn2)pn1 pn2

Aplicando esta formula na derivada no Metodo de Newton temos:

pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

Esta tecnica e chamada de Metodo das Secantes

Interpretacao Geometrica do Metodo das Secantes

2.3 Newtons Method and Its Extensions 71

Theorem 2.6 states that, under reasonable assumptions, Newtons method convergesprovided a sufficiently accurate initial approximation is chosen. It also implies that the con-stant k that bounds the derivative of g, and, consequently, indicates the speed of convergenceof the method, decreases to 0 as the procedure continues. This result is important for thetheory of Newtons method, but it is seldom applied in practice because it does not tell ushow to determine .

In a practical application, an initial approximation is selected and successive approx-imations are generated by Newtons method. These will generally either converge quicklyto the root, or it will be clear that convergence is unlikely.

The Secant Method

Newtons method is an extremely powerful technique, but it has a major weakness: the needto know the value of the derivative of f at each approximation. Frequently, f (x) is far moredifficult and needs more arithmetic operations to calculate than f (x).

To circumvent the problem of the derivative evaluation in Newtons method, we intro-duce a slight variation. By definition,

f ( pn1) = limxpn1

f (x) f ( pn1)x pn1 .

If pn2 is close to pn1, then

f ( pn1) f ( pn2) f ( pn1)pn2 pn1 =f ( pn1) f ( pn2)

pn1 pn2 .

Using this approximation for f ( pn1) in Newtons formula gives

pn = pn1 f ( pn1)( pn1 pn2)f ( pn1) f ( pn2) . (2.12)

The word secant is derived fromthe Latin word secan, whichmeans to cut. The secant methoduses a secant line, a line joiningtwo points that cut the curve, toapproximate a root.

This technique is called the Secant method and is presented in Algorithm 2.4. (SeeFigure 2.10.) Starting with the two initial approximations p0 and p1, the approximation p2 isthe x-intercept of the line joining ( p0, f ( p0)) and ( p1, f ( p1)). The approximation p3 is thex-intercept of the line joining ( p1, f ( p1)) and ( p2, f ( p2)), and so on. Note that only onefunction evaluation is needed per step for the Secant method after p2 has been determined.In contrast, each step of Newtons method requires an evaluation of both the function andits derivative.

Figure 2.10

x

y

p0p1

p2 pp3

p4

y ! f (x)

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O Metodo das Secantes

pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

Procedimento

Comecamos com duas aproximacoes iniciais p0 e p1, aaproximacao p2 e o x-intercepto da reta conectando(p0, f(p0)) e (p1, f(p1))

A aproximacao p3 e o x-intercepto da reta conectando(p1, f(p1) e (p2, f(p2) e assim sucessivamente

Note que apenas uma avaliacao da funcao e necessaria porpasso para o Metodo das Secantes apos p2 ser determinado

Por outro lado, para cada passo do Metodo de Newton enecessario ambos a avaliacao da funcao e de sua derivada

O Metodo das Secantes

pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

Procedimento

Comecamos com duas aproximacoes iniciais p0 e p1, aaproximacao p2 e o x-intercepto da reta conectando(p0, f(p0)) e (p1, f(p1))

A aproximacao p3 e o x-intercepto da reta conectando(p1, f(p1) e (p2, f(p2) e assim sucessivamente

Note que apenas uma avaliacao da funcao e necessaria porpasso para o Metodo das Secantes apos p2 ser determinado

Por outro lado, para cada passo do Metodo de Newton enecessario ambos a avaliacao da funcao e de sua derivada

O Metodo das Secantes

pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

Procedimento

Comecamos com duas aproximacoes iniciais p0 e p1, aaproximacao p2 e o x-intercepto da reta conectando(p0, f(p0)) e (p1, f(p1))

A aproximacao p3 e o x-intercepto da reta conectando(p1, f(p1) e (p2, f(p2) e assim sucessivamente

Note que apenas uma avaliacao da funcao e necessaria porpasso para o Metodo das Secantes apos p2 ser determinado

Por outro lado, para cada passo do Metodo de Newton enecessario ambos a avaliacao da funcao e de sua derivada

O Metodo das Secantes

pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

Procedimento

Comecamos com duas aproximacoes iniciais p0 e p1, aaproximacao p2 e o x-intercepto da reta conectando(p0, f(p0)) e (p1, f(p1))

A aproximacao p3 e o x-intercepto da reta conectando(p1, f(p1) e (p2, f(p2) e assim sucessivamente

Note que apenas uma avaliacao da funcao e necessaria porpasso para o Metodo das Secantes apos p2 ser determinado

Por outro lado, para cada passo do Metodo de Newton enecessario ambos a avaliacao da funcao e de sua derivada

O Metodo das Secantes

pn = pn1 f(pn1) (pn1 pn2)f(pn1) f(pn2)

Procedimento

Comecamos com duas aproximacoes iniciais p0 e p1, aaproximacao p2 e o x-intercepto da reta conectando(p0, f(p0)) e (p1, f(p1))

A aproximacao p3 e o x-intercepto da reta conectando(p1, f(p1) e (p2, f(p2) e assim sucessivamente

Note que apenas uma avaliacao da funcao e necessaria porpasso para o Metodo das Secantes apos p2 ser determinado

Por outro lado, para cada passo do Metodo de Newton enecessario ambos a avaliacao da funcao e de sua derivada

Algoritmo

Algoritmo Metodo das Secantes

1 Faca i = 2, q0 = f(p0), q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 14 Faca p0 = p1, q0 = q1, p1 = p, q1 = f(p)

3 Imprima: O metodo alcancou o numero de iteracoes semconvergir.

Algoritmo

Algoritmo Metodo das Secantes

1 Faca i = 2, q0 = f(p0), q1 = f(p1)

2 Enquanto i N0 faca:1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 14 Faca p0 = p1, q0 = q1, p1 = p, q1 = f(p)

3 Imprima: O metodo alcancou o numero de iteracoes semconvergir.

Algoritmo

Algoritmo Metodo das Secantes

1 Faca i = 2, q0 = f(p0), q1 = f(p1)2 Enquanto i N0 faca:

1 Faca p = p1 q1(p1 p0)/(q1 q0)2 Se |p p1| < entao imprima p e termine a execucao3 Faca i = i+ 14 Faca p0 = p1, q0 = q1, p1 = p, q1 = f(p)

3 Imprima: O metodo alcancou o numero de iteracoes semconvergir.