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Notas de aula de Cálculo Diferencial e Integral
Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal
Sumário
1 Funções reais de uma variável real 3
1.1 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Operações com intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Definição de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Cálculo da função para um determinado valor de x . . . . . . 11
1.5 Alguns tipos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Função crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Função decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.3 Função par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.4 Função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.5 Função algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.6 Função transcendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.7 Função polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.8 Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.9 Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.10 Função polinomial de grau maior que 2 . . . . . . . . . . . . . 50
1.5.11 Funções definidas por intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.5.12 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.5.13 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.6 Funções algébricas com potências racionais . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.7 Álgebra de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.7.1 Adição, subtração, produto e divisão de funções . . . . . . . . 79
1.7.2 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1
SUMÁRIO
1.7.3 Função injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.7.4 Função sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.7.5 Função bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.7.6 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.8 Funções Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.8.1 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.8.2 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.8.3 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.8.4 Equações exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . 107
1.8.5 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.9 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2 Notas de aula de Cálculo - FURG
Capítulo 1
Funções reais de uma variável real
Uma função descreve as mudanças sofridas por uma grandeza provocadas
pela variação de outra ou de várias outras. Por exemplo, na Geometria, o volume da
esfera pode estar associado ao seu raio, porém o raio pode variar com o tempo, logo
o volume variará com o tempo e assim por diante. Em Economia, o lucro de uma
empresa pode estar associado ao custo de produção e ao número de funcionários
envolvidos. Em Biologia, o número de bactérias em uma cultura depende do tempo
do experimento. Quando definimos uma função tem-se a descrição, isto é, a lei que
explica como acontece esta variação.
Neste capítulo revisam-se os principais tópicos relacionados às funções
elementares e às mais utilizadas, considerando neste momento apenas aquelas que
dependem de uma única grandeza chamada de variável real. Estuda-se como é
possível definir e representar geometricamente uma função. Além disso, classificam-
se as funções como algébricas ou transcendentes e apresentam-se suas aplicações em
situações cotidianas e em diferentes áreas da Ciência.
1.1 Conjuntos numéricos
Inicia-se o estudo de funções com uma revisão sobre conjuntos numéricos
para entender onde estão definidas as variáveis e as funções aqui estudadas, pois no
Cálculo trabalha-se com o conjunto dos números reais.
O conjunto dos números reais é constituído de diversos subconjuntos de
números:
3
1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
a) Conjunto de números naturais: É o conjunto mais simples, utilizado no
processo de contagem. Ele é descrito por
N = {0, 1, 2, 3, ...}.
Exemplo 1.1.1. São números naturais: 0; 1; 2; 15; 235 e 999.
b) Conjunto dos números inteiros: É formado pela expansão dos naturais ao
se incluir os números negativos. Sua representação é
Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Exemplo 1.1.2. São números inteiros: 1;−1; 15;−15; 0; 999 e −999.
c) Conjunto dos números racionais: É constituído pelos números que podem
ser expressos como quociente de dois números inteiros, ou seja,
Q ={ab
∣∣∣ a, b ∈ Z, b 6= 0}.
Exemplo 1.1.3. São números racionais:1
3;7
5;−15
2e 0, 2 =
2
10=
1
5.
Quando expressos sob forma decimal, os racionais são finitos ou são dízimas
periódicas:
Exemplo 1.1.4. 0, 3 =3
10; 0, 03 =
3
100;3
8= 0, 375;
1
3= 0, 333333... e
13
11= 1, 181818....
É importante salientar que todo número inteiro é racional, pois pode ser ex-
presso como ele mesmo dividido por 1:
Exemplo 1.1.5. 7 =7
1; 225 =
225
1; −12 = −12
1.
d) Conjunto dos números irracionais I: É formado pelos números que não
podem ser expressos como quociente de dois inteiros.
Exemplo 1.1.6. Raízes inexatas e dízimas não periódicas são exemplos de
números irracionais:√2;
√3;
√5 +
√7; 3, 563498756393669... e π.
O conjunto dos números reais R é o conjunto constituído pela união
do conjunto dos números racionais e do conjunto do números irracionais, como pode
ser visto na Figura 1.1.
4 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.2. INTERVALOS NUMÉRICOS
Figura 1.1: Representação gráfica dos conjuntos numéricos
Observação 1.1.1. Os números complexos (ou imaginários) são representados pela
forma z = a+bi, onde a e b ∈ R e i é a chamada unidade imaginária que representa o
valor de√−1. São exemplos de números complexos: 3+2i, 5−6i, −2+i. O conjunto
dos números reais constitui um subconjunto dos números complexos, bastando que
b = 0. Por exemplo, 3 + 0i = 3, −5 + 0i = −5, 0 + 0i = 0. Quando a = 0 e b 6= 0,
então tem-se o os números imaginários puros, como 0 + 3i = 3i, 0 − 4i = −4i e√−25 =
√25√−1 = 5i.
Os números complexos são utilizados em várias áreas como engenharia,
eletromagnetismo, física e matemática. Em todas essas áreas estudam-se análise
complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em
resolução de equações algébricas e equações diferenciais. No entanto, no Cálculo
Diferencial e Integral, especificamente, estudam-se apenas os números reais.
1.2 Intervalos numéricos
Um subconjunto dos números reais pode ser representado na reta real por
um segmento de reta denominado intervalo. As desigualdades podem ser utilizadas
para escrevê-los. Por exemplo, no intervalo a ≤ x ≤ b, a e b são conhecidos como
extremos do intervalo. Se os extremos estão incluídos no intervalo, este é chamado
de fechado, caso contrário, de aberto. Quando apenas um dos extremos está incluído
no intervalo, dizemos que este é fechado à direita ou fechado à esquerda. Observe a
Tabela 1.
Tabela 1: Representação de intervalos numéricos.
5 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.2. INTERVALOS NUMÉRICOS
Rep. por compreensão Rep. geométrica Rep. por intervalo
{x ∈ R| a ≤ x ≤ b} [a, b]
Intervalo fechado a b
{x ∈ R| a < x < b} (a, b), ]a, b[
Intervalo aberto a b
{x ∈ R| a < x ≤ b} (a, b], ]a, b]
Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita a b
{x ∈ R| a ≤ x < b} [a, b), [a, b[
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita a b
{x ∈ R|x < a} (−∞, a), ]−∞, a[
Intervalo infinito e aberto à direita a
{x ∈ R|x ≤ a} (−∞, a], ]−∞, a]
Intervalo infinito e fechado à direita a
{x ∈ R|x > a} (a,∞), ]a,∞[
Intervalo infinito e aberto à esquerda a
{x ∈ R|x ≥ a} [a,∞), [a,∞[
Intervalo infinito e fechado à esquerda a
1.2.1 Operações com intervalos numéricos
a) União: a união de dois conjuntos A e B, que se indica por A ∪ B, é o conjunto
formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B, ou
seja, A ∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Exemplo 1.2.1. Considere os conjuntos A = [1, 5[ e B =]2, 6]. Qual o resul-
tado de A ∪B?
Solução:
Para visualizar a operação de união entre os intervalos A e B, veja a
representação geométrica na Figura 1.2.
Percebe-se que A ∪ B contém todos os elementos de A e B. Assim,
A ∪B = [1, 6].
b) Intersecção: a intersecção de dois conjuntos A e B, que se indica por A∩B, é o
6 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.2. INTERVALOS NUMÉRICOS
1 50
A
20 6
B
1 2 50 6
AUB
Figura 1.2: Representação geométrica de A, B e A ∪B
conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto
B, ou seja, A ∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Exemplo 1.2.2. Considere os conjuntos A = [−1, 5[ e B =]2, 6]. Qual o
resultado de A ∩B?
Solução:
Para visualizar a operação de intersecção entre os intervalos A e B, ob-
serve a representação geométrica na Figura 1.3.
-1 50
A
20 6
B
2 50 6
AU
B
-1
Figura 1.3: Representação geométrica de A, B e A ∩B
O conjunto A ∩B contém apenas elementos comuns a A e B, portanto,
A ∩B =]2, 5[.
Exercício 1.2.1. Para os intervalos numéricos A e B definidos a seguir, represente-
os por compreensão e geometricamente. A seguir, determine a intersecção e união.
a) A = (−2, 4] e B = [−1, 5).
b) A = [−3, 5] e B = [−1,−1].
c) A = (0, 3] e B = [4,+∞).
Respostas dos exercícios
7 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.3. PLANO CARTESIANO
1.2.1. Compreensão Geometricamente A ∪B A ∩B
a) • {x ∈ R| − 2 < x ≤ 4} x-2 0 4 (−2, 5) [−1, 4]
• {x ∈ R| − 1 ≤ x < 5} -1 0 5x
b) • {x ∈ R| − 3 ≤ x ≤ 5} -3 0 5x [−3, 5] [−1,−1]
• {x ∈ R|x = −1} 0 1x
c) • {x ∈ R|0 < x ≤ 3} 0 3x (0, 3] ∪ (4,+∞) ∅
• {x ∈ R|x > 4} x0 4
1.3 Plano cartesiano
Assim como os números reais são utilizados como coordenadas para pon-
tos de uma reta, pares de números reais podem ser utilizados como coordenadas
para pontos de um plano. Com este propósito se estabelece um sistema de coorde-
nadas retangulares no plano chamado de plano cartesiano. Desenham-se duas retas
perpendiculares no plano, uma horizontal e outra vertical. Estas retas são chamadas
de eixo x e eixo y, respectivamente, e seu ponto de intersecção chama-se origem.
As coordenadas são assinaladas com a origem como ponto zero e a mesma
distância unitária em ambos os eixos. O semi-eixo positivo dos x está à direita da
origem e o semi-eixo negativo dos x está à esquerda. O semi-eixo positivo dos y está
acima da origem e o semi-eixo negativo dos y está abaixo. Veja a Figura 1.4.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.4: Plano Cartesiano
Considera-se um ponto P qualquer do plano. Desenha-se uma reta por
P paralela ao eixo dos y, e seja x a coordenada do ponto em que a curva corta o
8 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
eixo dos x. Analogamente, desenha-se uma reta por P paralela ao eixo dos x, e seja
y a coordenada do ponto em que essa reta corta o eixo dos y. Os números x e y
assim determinados chamam-se coordenada x (abscissa do ponto) e coordenada y
(ordenada do ponto) de P . As coordenadas de P são escritas como um par ordenado
(x, y). Veja a Figura 1.5.
−1 1 2 3
−1
1
2
3
x
y
P = (1,2)
Figura 1.5: Representação gráfica do ponto de abscissa x = 1 e ordenada y = 2
1.4 Definição de função
Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender
do valor de uma segunda. Por exemplo, a demanda do consumidor por um certo
produto x pode depender de seu preço de mercado atual p; a poluição atmosférica
a de uma determinada área metropolitana pode depender do número de indústrias
i localizadas nessa área; o preço de um carro c pode depender de quanto tempo t se
passou desde sua montagem. Tais relações podem ser frequentemente representadas
matematicamente por funções. Em cada caso, o valor de uma variável depende da
outra.
Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto um único ele-
mento de outro conjunto é chamada de função. Os conjuntos podem ser de qualquer
tipo e não precisam ser iguais.
Definição 1.4.1. Seja A um dado conjunto de números reais. Uma função f definida
do conjunto A para o conjunto B é uma regra ou lei de correspondência que atribui
9 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
um único número real y de B a cada x de A.
Chama-se x a variável independente, porque ela é livre para assumir
qualquer valor do domínio. O conjunto A que contém x é o domínio da função.
Designa-se y como a variável dependente porque seu valor numérico depende do
valor de x. O conjunto B que contém y é o contradomínio da função. A imagem da
função está contida no contradomínio e é o conjunto de todos os valores de y que
correspondem a algum valor de x.
y = f(x) lê-se y é igual a f de x.
Imagemf
Figura 1.6: Representação da relação funcional
O domínio de uma função representa um conjunto de valores que a
variável independente pode assumir a fim de que a função tenha valores sobre o
conjunto dos números reais. Em outras palavras, o domínio delimita para quais
valores de x a função produz resultados reais para y. Por exemplo, para a função
f(x) =1
x: o domínio é D(f) = R−{0}, pois x = 0 é o único valor que não produzirá
um y que pertença a R.
A imagem de uma função é o conjunto de valores que a variável depen-
dente recebe quando a variável independente varia sobre o domínio da função, ou
seja, são todos os possíveis valores de y que a função pode produzir. Por exemplo,
para a função f(x) = x2: a imagem é Im(f) = [0,+∞[, pois qualquer número real
elevado a uma potência de índice par, como x2, sempre produzirá valores f(x) = y
não negativos.
O gráfico de uma função f é o lugar geométrico dos pontos que satsfazem
a sua lei de associação. Uma função da forma f : D ⊂ R → R tem como gráfico o
10 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
subconjunto do plano cartesiano R2
G(f) = {(x, y) ∈ R2|x ∈ D ∧ y = f(x)}.
1.4.1 Cálculo da função para um determinado valor de x
Frequentemente a função é abreviada pela letra y e, muitas vezes, é
conveniente falar da "função f(x)". Por exemplo, a função y = 2x2 + 1 refere-se à
função f para qual f(x) = 2x2 + 1. Desta forma, basta substituir o valor desejado
de x em f para se obter um f(x) correspondente.
Exemplo 1.4.1. Sendo f(x) = x+ 3, qual o valor de f(4)?
Solução:
O cálculo de f(4) é realizado através das substituição da variável x pelo
número 4 da seguinte forma:f(x) = x+ 3
f(4) = (4) + 3
f(4) = 7.
Ou seja, ao valor de x = 4 corresponde o valor de y = 7 na função f .
Atenção: A necessidade de que uma função associe um, e somente
um, valor de y para cada valor de x em seu domínio, corresponde à
condição geométrica de que dois pontos distintos do gráfico não
podem possuir a mesma abscissa. Ou seja, o gráfico de uma função
não pode passar acima ou abaixo de si mesmo.
Exemplo 1.4.2. Considere a equação descrita por y2 = x2 − 1 e que tem gráfico
dado pela Figura 1.7. Esta equação pode ser tomada como uma relação funcional?
Solução:
Como pode ser visto na Figura 1.7, para um mesmo ponto x podem
existir dois valores y a ele associado, portanto, a equação descrita não pode ser
considerada como lei de definição de uma função.
11 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
x
y
Figura 1.7: Gráfico de y2 = x2 − 1
Exemplo 1.4.3. Considere o gráfico dado pela Figura 1.8. Este gráfico representa
uma relação funcional, isto é, o gráfico de uma função?
x
y
Figura 1.8: Gráfico do Exemplo 10
Solução:
Como pode ser visto no gráfico, para um mesmo ponto x não existem
mais do que um valor de y a ele associado. Portanto, o gráfico em questão é de uma
função. Poderia ser dito que existem dois valores de x para um mesmo valor de y,
contudo isso é aceitável, pois a restrição na definição de função é não se ter mais de
um valor de y associado a cada valor de x.
Exemplo 1.4.4. Observe o gráfico de f(x) na Figura 1.9 e responda:
a) Qual é o domínio de f(x)?
b) Qual é a imagem de f(x)?
12 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
c) O valor de f(0) é positivo ou negativo?
d) O valor de f(3) é positivo ou negativo?
e) Qual o valor de f(2)?
f) Para quais valores de x, f(x) é nula?
g) Para quais valores de x, f(x) é positiva?
h) Para quais valores de x, f(x) é negativa?
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 1.9: Gráfico de f(x)
Solução:
Alguns pontos questionados foram marcados na Figura 1.10 para melhor
visualização.
a) Qualquer valor real atribuído a x produzirá um valor de y correspondente. Então,
D(f) = R.
b) Não existe nenhum valor de x que produzirá um valor de y maior do que 4.
Logo, Im(f) =]−∞, 4]
c) Percebe-se que o gráfico está acima do eixo x quando x = 0. Portanto, f(0) é
positivo.
d) Observa-se que o gráfico está abaixo do eixo x quando x = 3. Logo, f(3) é
negativo.
e) Verifica-se que o gráfico intercepta o eixo x quando x = 2 pois f(2) = 0.
13 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
yA(0,4)
B(3,-5)
C(2,0)
Figura 1.10: Gráfico de f(x)
f) É preciso que se identifique em quais pontos o gráfico intercepta o eixo x. Isso
ocorre quando x = −2 e, como se observou no item anterior, quando x = 2.
g) Deve-se investigar para quais valores de x o gráfico está posicionado acima do
eixo x. Isso se verifica para todos os valores de x maiores que −2 e menores
que 2. Então, f(x) > 0 ⇔ x ∈ ]− 2, 2[.
h) Basta identificar para quais valores de x o gráfico está posicionado abaixo do
eixo x. Isso acontece para todos os valores de x menores que −2 e maiores que
2. Então, f(x) < 0 ⇔ x ∈ ]−∞,−2[∪ ]2,+∞[.
Exemplo 1.4.5. Suponha que o custo total c(q) de uma quantidade q de unidades
produzidas de um produto seja dado pela função c(q) = q3 − 30q2 + 500q + 200.
Determine:
a) o custo para produzir 10 unidades desse produto;
b) o custo para produzir a décima unidade desse produto.
Solução:
a) Almeja-se encontrar c(10). Para tanto, basta substituir q por 10 na expressão
dada e calcular o resultado. Então:
c(10) = (10)3 − 30(10)2 + 500(10) + 200
= 1.000− 30(100) + 5.000 + 200
= 1.000− 3.000 + 5.000 + 200
c(10) = 3.200.
14 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
b) Como já foi investigado o custo para se fazer 10 unidades do produto, agora
basta subtrair o valor do custo para se fazer 9 unidades. Em outras palavras,
deve-se calcular c(10) − c(9). Calcula-se c(9) da mesma forma como foi feito
no item anterior:
c(9) = (9)3 − 30(9)2 + 500(9) + 200
= 729− 30(81) + 4.500 + 200
= 729− 2.430 + 4.500 + 200
c(9) = 2.999.
Agora, é possível encontrar o custo de produção da 10a unidade:
c(10)− c(9) = 3.200− 2.999
c(10)− c(9) = 201.
Exemplo 1.4.6. Considere a função definida por
f(x) =
2, se x < −2
1− x, se − 2 ≤ x ≤ 1
1 + x2, se 1 < x ≤ 3√x, se x > 3
, determine:
a) f(−2)
b) f(−4)
c) f(0)
d) f(2)
e) f(4)
Solução:
Antes de substituir o valor de x nas expressões, é necessária uma investi-
gação para saber a qual intervalo esse valor pertence, para só depois calcular o valor
numérico na lei de definição correspondente a tal intervalo.
a) Para calcular f(−2), nota-se que o valor x = −2 se encontra no intervalo
−2 ≤ x ≤ 1, portanto, a lei de definição a ser utilizada é f(x) = 1 − x.
15 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Então, calcula-se o valor numérico:f(x) = 1− x
f(−2) = 1− (−2)
= 1 + 2
f(−2) = 3.
b) Para calcular f(−4), como o valor x = −4 se encontra no intervalo x < −2, en-
tão, a lei de definição a ser utilizada é f(x) = 2. Calculando o valor numérico:
f(x) = 2
f(−4) = 2.
c) Para calcular f(0), como o valor x = 0 se encontra no intervalo −2 ≤ x ≤ 1,
logo, a lei de definição a ser utilizada é f(x) = 1 − x. Basta calcular o valor
numérico:f(x) = 1− x
f(0) = 1− (0)
f(0) = 1.
d) Para calcular f(2), já que o valor x = 2 se encontra no intervalo 1 < x ≤ 3,
portanto, a lei de definição a ser utilizada é f(x) = 1 + x2. Fazendo o cálculo
do valor numérico obtemos:f(x) = 1 + x2
f(2) = 1 + (2)2
= 1 + 4
f(2) = 5.
e) Para calcular f(2), uma vez que o valor x = 4 se encontra no intervalo x > 3,
então, a lei de definição a ser utilizada é f(x) =√x. Calculando o valor nu-
mérico temos:f(x) =
√x
f(4) =√
(4)
f(4) = 2.
Exemplo 1.4.7. A velocidade v do sangue, no interior de uma artéria, é dada em
cm/s, pela lei v(r) = 1, 28−20.000r2, em que r é a distância de um ponto considerado
16 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
ao centro da artéria. Sabendo-se que o raio da artéria é r = 8× 10−3 cm, determine
a velocidade do sangue:
a) no centro da artéria;
b) na parede da artéria.
Exercício 1.4.1. Com base na definição de funções, considere a seguinte situação
e responda: numa pesquisa para detectar as emissoras de rádio de maior audiência,
os pesquisadores associam cada aparelho ligado à emissora na qual está sintonizado.
a) Essa situação caracteriza uma função?
b) Se associássemos cada emissora aos rádios ligados, isto seria uma função?
Exercício 1.4.2. Calcule os valores indicados das funções dadas:
a)h(x) =x
x2 + 1h(−1), h(0), h(1)
b) f(x) =√x2 + 2x+ 4 f(−4), f(0), f(2)
c) g(x) = 4 + |x| g(−2), g(0), g(2)
d)m(x) =
3, se x < −5
x+ 1, se − 5 ≤ x ≤ 5√x, se x > 5
m(−6),m(−5),m(0),m(16)
Exercício 1.4.3. Dada a função f : R → R definida por f(x) = 3x+ 1, calcule:
a) f(−2)
b) f(0)
c) f
(1
3
)d) x para f(x) = 4
e) x para f(x) = 0.
Exercício 1.4.4. Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma fábrica de
sapatos indica que um trabalhador médio que chega ao trabalho às 8h terá finalizado
um total de f(x) = x3 + 6x2 + 15x pares de sapatos x horas mais tarde. Responda:
17 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
a) Quantos pares de sapatos serão finalizados por um trabalhador médio às 10h?
b) Quantos pares de sapatos serão finalizados por um trabalhador médio entre 9h
e 10h?
Exercício 1.4.5. Um objeto foi lançado do alto de um prédio. Sua altura h(t) após
t segundos é dada pela função h(t) = −16t2 + 256. Responda:
a) A que altura estava o objeto 2 segundos após o lançamento?
b) Qual distância o objeto terá percorrido entre 2 e 3 segundos após o lançamento?
c) Que altura tem o prédio?
d) Quando o objeto atingirá o solo?
Exercício 1.4.6. Uma pesquisa sobre a desvalorização de bens tecnológicos estimou
qual seria o preço p(x) dos computadores de uma certa marca daqui a x meses de
acordo com a função p(x) = 4.000 +3.000
x+ 1unidades monetárias (u.m). Responda:
a) Qual será o preço daqui a 5 meses?
b) Em relação ao quarto mês, quanto cairá o preço no quinto mês?
c) Quando o preço será igual a 4.300 u.m?
d) O que acontecerá com o preço a longo prazo?
Exercício 1.4.7. Um estudo ambiental de uma certa comunidade urbana sugere
que o nível médio diário de monóxido de carbono no ar será de c(p) = 0, 3p + 1
ppm, quando a população for de p mil. Estima-se que, t anos a partir de agora, a
população da comunidade será de p(t) = 9 + 0, 2t2 mil.
a) Expresse o nível de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo.
b) Qual será o nível de monóxido de carbono daqui a dois anos?
c) Quando o nível de monóxido de carbono atingirá 5, 2 ppm?
Exercício 1.4.8. Estima-se que t anos a partir de agora, o número de habitantes
de uma certa cidade será de h(t) = 20− 5
t+ 1mil. Responda:
a) Qual será o número de habitantes dessa cidade daqui a 9 anos?
18 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
b) O que acontece com h(t) à medida que t cresce mais e mais?
Exercício 1.4.9. Observe o gráfico de f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 4) na Figura 1.11
e responda atentamente às seguintes perguntas:
a) Qual o domínio de f(x)?
b) Qual a imagem de f(x)?
c) Qual é o valor de f(−1)?
d) Qual é o valor de f(4)?
e) Para quais valores de x, f(x) é positiva?
f) Para quais valores de x, f(x) é negativa?
g) A função f(x) é contínua?
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.11: Gráfico de f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 4)
Exercício 1.4.10. Responda às perguntas abaixo referentes à função f(x) = y =
1 +√x:
a) Para quais valores de x, y = 4?
b) Para quais valores de x, y = 0?
19 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.4. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
c) Qual é a função de x descrita por f(x+ 1)?
Exercício 1.4.11. Determine o domínio das funções:
a) f(x) = 1− x
3
b) f(x) = x2 + x
Respostas dos exercícios
1.4.1. a) Sim. b) Não.
1.4.2. a) h(−1) = −1
2, h(0) = 0, h(1) =
1
2
b) f(−4) = 2√3, f(0) = 2, f(2) = 2
√3
c) g(−2) = 6, g(0) = 4, g(2) = 6
d) m(−6) = 3, m(−5) = −4, m(0) = 1, m(16) = 4
1.4.3. a) f(−2) = −5 b) f(0) = 1 c) f(1
3) = 2 d) x = 1 e) x = −1
3
1.4.4. a) f(2) = 62 b) f(2)− f(1) = 40
1.4.5. a) H(2) = 192 b) h(3)− h(2) = 80 c) h(0) = 256 d) t = 4
1.4.6. a) p(x) = 4.500
b) Diminuirá em 100.
c) 9 meses.
d) p(x) se aproximará cada vez mais de 4.000.
1.4.7. a) c(t) = 3, 7 + 0, 06t2 b) c(2) = 3, 94 ppm c) t = 5
1.4.8. a) P (9) = 19, 5 mil
b) A população cada vez mais se aproxima de 20 mil.
1.4.9. a) D(f) = R
b) Im(f) = R
c)f(−1) = −30
d) f(4) = 0
20 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
e) {x ∈ R|1 < x < 2 ∨ x > 4}
f) {x ∈ R|x < 1 ∨ 2 < x < 4}
g) Sim
1.4.10.a) x = 9 b) Não há. c) f(x+ 1) = 1 +√x+ 1
1.4.11.a) D(f) = R b) D(f). = R
1.5 Alguns tipos de funções
1.5.1 Função crescente
Uma função f(x) é dita crescente se para todos os pontos x1 e x2 per-
tencentes ao seu domínio, tais que x1 < x2, então f(x1) < f(x2). Ou seja, quanto
maior o valor de x, maior será o valor de y correspondente. A Figura 1.12 mostra
um exemplo de gráfico de uma função crescente.
−3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Figura 1.12: Gráfico de uma função crescente
1.5.2 Função decrescente
Uma função f(x) é dita decrescente se para todos os pontos x1 e x2
pertencentes ao seu domínio, tais que x1 < x2, então f(x1) > f(x2). Ou seja,
quanto maior o valor de x, menor será o valor de y correspondente. A Figura 1.13
mostra um exemplo de gráfico de função decrescente.
21 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
−2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 1.13: Gráfico de uma função decrescente
1.5.3 Função par
Uma função f(x) é par se, para todo x no domínio de f(x), −x pertence
também ao domínio de f(x), e f(−x) = f(x). Pode-se dizer que elementos opostos
desse tipo de função têm imagens iguais. O gráfico de uma função par é simétrico
em relação ao eixo vertical, como pode ser visto na Figura 1.14.
−3 −2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
x
y
Figura 1.14: Gráfico de uma função par
Exemplo 1.5.1. Verifique se as seguintes funções são pares:
a) f(x) = x4
b) g(x) = cos(x).
Solução:
a) A função será par se f(−x) = f(x), para qualquer x do domínio de f . Como
nesse caso D(f) = R, então dado um x = a, com a ∈ R tem-se que:
f(a) = (a)4 = a4.
22 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Agora basta fazer o mesmo procedimento para x = −a e comparar os
resultados obtidos:
f(−a) = (−a)4 = a4.
Percebe-se que f(a) = f(−a) para todo a ∈ D(f). Logo, a função
f(x) = x4 é par.
b) Para a função ser par f(−x) = f(x), para qualquer x do domínio de f . Como
nesse caso D(f) = R, então dado um x = a, com a ∈ R tem-se que:
f(a) = cos(a).
Agora é só fazer o mesmo procedimento para x = −a e comparar os
resultados obtidos:
f(−a) = cos(−a) = cos(a).
Assim, nota-se que f(a) = f(−a) para todo a ∈ D(f). Logo, a função
f(x) = cos(a) é par.
1.5.4 Função ímpar
Uma função f(x) é ímpar se, para todo x no domínio de f(x), −x per-
tence também ao domínio de f(x) e f(−x) = −f(x). Pode-se dizer que elementos
opostos desse tipo de função têm imagens opostas. O gráfico de uma função ímpar
é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.15: Gráfico de uma função ímpar
Exemplo 1.5.2. Verifique se as seguintes funções são ímpares:
23 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
a) f(x) = x5
b) g(x) = sen(x).
Solução:
a) A função será ímpar se f(−x) = −f(x), para qualquer x do domínio de f .
Como nesse caso D(f) = R, então dado um x = a, com a ∈ R tem-se que:
f(−a) = (−a)5 = −a5.
Agora, calcula-se −f(a) e se compara os resultados obtidos:
−f(a) = −(a)5 = −a5.
Percebe-se que f(−a) = −f(a) para todo a ∈ D(f). Logo, a função
f(x) = x5 é ímpar.
b) Para a função ser ímpar f(−x) = −f(x), para qualquer x do domínio de f .
Como nesse caso D(f) = R, então dado um x = a, com a ∈ R tem-se que:
f(−a) = sen(−a).
Agora, calcula-se −f(a) e se compara os resultados obtidos:
−f(a) = −sen(a) = sen(−a).
Nota-se que f(−a) = −f(a) para todo a ∈ D(f). Logo, a função f(x) =
sen(a) é ímpar.
Observação 1.5.1. Simetria de gráficos
a) Em relação ao eixo y: Dada uma curva qualquer, ao se substituir o valor de x
por −x em sua lei de definição, obtém-se uma curva simétrica à curva dada
em relação ao eixo y. Veja na Figura 1.16.
b) Em relação ao eixo x: Dada uma curva qualquer, ao se substituir o valor de y
por −y em sua lei de definição, obtém-se uma curva simétrica à curva dada
em relação ao eixo x. Veja na Figura 1.17.
c) Em relação à origem: Dada uma curva qualquer, ao se substituir os valores de
x e y por −x e −y, respectivamente, obtém-se uma curva simétrica à curva
dada em relação à origem do plano cartesiano. Veja na Figura 1.18.
24 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
x
y
(- , )x y ( , )x y
Figura 1.16: Curvas simétricas em relação ao eixo y
x
y
( , )x y
( , - )x y
Figura 1.17: Curvas simétricas em relação ao eixo x
x
y
( , )x y
(- , - )x y
Figura 1.18: Curvas simétricas em relação à origem
1.5.5 Função algébrica
Uma função algébrica é qualquer função cuja regra é um polinômio ou
que pode ser obtida a partir de um polinômio por adição, subtração, multiplicação,
divisão ou potência inteira ou racional. As funções algébricas incluem:
a) Funções polinomiais: São funções da forma p(x) = a0+a1x+a2x2+ ...+anx
n.
25 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Exemplo 1.5.3. São funções polinomiais: f(x) = x3 − 2x+4, g(x) = x2 + 1.
b) Funções racionais: São funções da forma f(x) =p(x)
q(x), onde p(x) e q(x) são
funções polinomiais tais que q(x) 6= 0.
Exemplo 1.5.4. São funções racionais: h(x) =x2 + 2x
x2 − 1, t(x) =
x3 − 7
x+ 5.
c) Funções modulares: São funções que envolvem o cálculo de valor absoluto.
Exemplo 1.5.5. São funções modulares: c(x) = |x2 − 4|, l(x) = |x3|.
d) Funções com potências fracionárias: São funções onde a variável indepen-
dente se encontra em um radicando.
Exemplo 1.5.6. São funções com potências fracionárias: k(x) =√x, m(x) =
3√x, n(x) =
5
2√x+ 3
e v(x) =√4− x2.
1.5.6 Função transcendente
Toda função que não é algébrica é chamada de transcendente. São exem-
plos de funções transcendentes as funções trigonométricas, hiperbólicas, exponenci-
ais e logarítmicas.
Exemplo 1.5.7. São funções transcendentes: f(x) = sen(x+1), g(x) = log(x2+4),
h(x) = 2x e m(x) = senh(x).
1.5.7 Função polinomial
As funções polinomiais mais simples são as potências de x com expoentes
inteiros não-negativos 1, x, x2, x3, ..., xn. Se uma quantidade finita delas é multipli-
cada por constantes e os resultados são somados, obtemos um polinômio da forma:
p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x
3 + ...+ anxn.
O grau de um polinômio corresponde ao maior expoente de x que aparece
nele. Se an 6= 0, o grau de p(x) é n. Por exemplo, f(x) = 6− 4x+ 2x2 − 5x3 é uma
função polinomial de grau 3 com coeficientes a0 = 6, a1 = −4, a2 = 2 e a3 = −5. O
coeficiente do termo de maior grau é chamado de coeficiente principal.
26 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1.5.8 Função Afim
Definição 1.5.1. Uma função da forma f(x) = ax+ b, com a, b ∈ R, é chamada de
função afim.
A constante a é chamada de coeficiente angular, inclinação da reta ou
taxa de variação da função e a constante b, de coeficiente linear da reta. A função
afim pode ter as seguintes denominações de acordo com seus coeficientes:
Função constante a = 0 e b ∈ R
Função linear a 6= 0 e b = 0
Função identidade a = 1 e b = 0
Toda função afim tem domínio D(f) = R, imagem Im(f) = R, com
exceção da função constante f(x) = b, que tem domínio D(f) = R e imagem
Im(f) = {b}, sendo b o coeficiente linear de f . De qualquer forma, toda função
afim é representada graficamente por uma reta, como pode ser visto nas Figuras
1.19 e 1.20.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
(0, b)
(raiz, 0)
Figura 1.19: Gráfico da função afim f(x) = ax+ b.
Raiz de uma função afim:
É o valor de x para o qual f(x) = 0. Geometricamente, a raiz se encontra
no ponto em que a reta descrita por f corta o eixo x.
27 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.20: Gráfico da função constante f(x) = −1.
Sinal de uma função afim:
O estudo do sinal de uma função procura investigar para quais intervalos
de x, f(x) > 0 (onde a função é positiva) ou, f(x) < 0 (onde a função é negativa).
Antes de fazer esse estudo, é interessante já saber qual a raiz da função, onde
f(x) = 0, e qual o sinal de seu coeficiente angular a. Veja na Tabela 2 uma forma
geométrica de se representar o estudo do sinal.
Tabela 2: Estudo de sinal da função afim.a > 0 → reta crescente a < 0 → reta decrescente
x
+raiz raiz x
+
Esboço do gráfico de uma função afim:
Para esboçar o gráfico de uma função afim, basta encontrar dois pontos
que pertençam à sua reta. Uma forma de fazê-lo consiste em atribuir valores x1 e
x2 e, calculando f(x1) e f(x2), encontrar os valores y1 e y2 correspondentes. Final-
mente, traça-se uma reta que passa pelos pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2).
Observação 1.5.2. Os pontos de intersecção da reta descrita por uma função afim
podem auxiliar a construção do gráfico. O ponto em que a reta corta o eixo x é
28 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
(x0, 0), com x0 sendo a raiz da função. A intersecção com o eixo y é o ponto (0, b),
onde b é o coeficiente linear da reta.
Exemplo 1.5.8. Seja a equação da função afim f(x) = 3x− 6, determine:
a) a taxa de variação;
b) o coeficiente linear;
c) seu domínio;
d) sua imagem;
e) a raiz da função;
f) o estudo de sinal da função;
g) o seu gráfico.
Solução:
a) A taxa de variação é a constante que multiplica o valor de x na lei de definição.
Logo, a = 3.
b) A constante que não está multiplicada por x é o coeficiente linear, então b = −6.
c) D(f) = R, como em toda função afim.
d) Im(f) = R, como em qualquer função afim com a 6= 0.
e) Para encontrar a raiz é só calcular o valor de x para que f(x) = 0. Então:
f(x) = 3x− 6
0 = 3x− 6
3x = 6
x =6
3
x = 2.
f) Como a > 0, então os valores de x menores que a raiz produzem valores negativos
de y, enquanto que valores maiores que a raiz produzem valores positivos de
y. Logo, f(x) < 0: {x ∈ R|x < 2} e f(x) > 0: {x ∈ R|x > 2}.
29 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
g) Para esboçar o gráfico de f , basta encontrar dois pontos utilizando sua lei de
definição, e então traçar uma reta que passe por esses pontos. Dois pontos
notórios são: P1(0, b) e P2(raiz, 0). Nesse caso, P1(0,−6) e P2(2, 0). O gráfico
então fica com a seguinte forma:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
x
y
Exemplo 1.5.9. Uma locadora de veículos A cobra como taxa fixa 25 u.m.(unidades
monetárias), mais 0,60 u.m. por quilômetro x percorrido. A locadora B cobra como
taxa fixa 30 u.m. mais, 0,50 u.m. por quilômetro x rodado. Qual é a locadora que
oferece melhor negócio?
Solução:
Para modelar essa situação é necessário se construir as funções de custo
total para cada locadora. O custo vai depender da distância x percorrida, por isso
as funções serão CA(x) e CB(x). Para construir a lei de definição dessas funções, é
preciso multiplicar a distância x pelo preço cobrado por quilômetro, e depois somar
esse produto à taxa fixa da locadora em questão. Observe a Tabela 3.
Tabela 3: Relação dos custos das locadoras A e B.Locadora Custo fixo Custo por Km Função do custo total
A 25 0,6 CA(x) = 25 + 0, 6x
B 30 0,5 CB(x) = 30 + 0, 5x
Utilizando as funções, procura-se qual a extensão do percurso em que as
duas locadoras cobram o mesmo valor, ou seja, qual o valor de x para que CA(x) =
CB(x). Calculando:
30 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
CA(x) = CB(x)
25 + 0, 6x = 30 + 0, 5x
0, 6x− 0, 5x = 30− 25
0, 1x = 5
x = 50.
Agora, observe a Tabela 4, onde serão atribuídos três valores distintos
para x (50, 30 e 100), e comparados os resultados das duas locadoras. Perceba
que esses valores são arbitrários, apenas seguindo a seguinte condição: o primeiro
representa a distância em que as duas locadoras cobram o mesmo preço (que já foi
calculado), o segundo é menor e o terceiro é maior do que esse valor. Na Tabela 4,
esses valores serão colocados em ordem crescente para melhor visualização.
Tabela 4: Quadro comparativo entre A e B.
x Custo total de A Custo total de B
30 CA(30) = 25 + 0, 6(30) = 43 CB(30) = 30 + 0, 5(30) = 45
50 CA(50) = 25 + 0, 6(50) = 55 CB(50) = 30 + 0, 5(50) = 55
100 CA(100) = 25 + 0, 6(100) = 85 CB(100) = 30 + 0, 5(100) = 80
100
80
60
40
20
0 20 40 60 80 100
custo
percurso
Mesmo custo para asduas locadoras
Locadora B
Locadora A
Figura 1.21: Representação gráfica das funções CA(x) e CB(x).
Conclui-se que para um percurso de 50Km as duas locadoras cobram o
mesmo valor, para um percurso inferior a 50Km, a locadora A cobra menos e para
um percurso superior a 50Km, a locadora B cobra menos. Veja a representação
gráfica na Figura 1.21.
31 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Inequações de 1o grau:
São sentenças abertas que usam algum símbolo de desigualdade, tais
como: <,>, ≤, ≥ e 6= para relacionar a expressão algébrica do 1o membro com a do
2o membro. Resolver uma inequação significa encontrar todos os valores da variável
(ou variáveis) que tornam a sentença aberta verdadeira. Esse conjunto de valores é
denominado conjunto-solução da sentença aberta.
As principais regras utilizadas no trabalho com desigualdades são:
a) Se a > 0 e b < c, então ab < ac.
b) Se a < 0 e b < c, então ab > ac.
c) Se a < b, então a+ c < b+ c, para qualquer número c.
Exemplo 1.5.10. Resolva a inequação 6(x− 1) > 8x, considerando como conjunto
universo o conjunto dos números reais.
Solução:
Resolvendo a inequação:6(x− 1) > 8x
6x− 6 > 8x (propriedade distributiva)
6x− 6 + 6 > 8x+ 6 (somou-se 6 a ambos os membros)
6x > 8x+ 6
6x− 8x > 8x+ 6− 8x (subtraiu-se 8x de cada membro)
−2x > 6
−2x(−1) < 6(−1) (multiplicou-se por (-1) ambos os membros e
inverteu-se o sinal da desigualdade)
2x < −62x
2<
−6
2(dividiu-se por 2 cada membro)
x < −3.
Conjunto solução: S = {x ∈ R|x < −3}.
Exercício 1.5.1. Determine se as seguintes funções são pares, ímpares ou nenhuma
das duas opções:
32 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
a) f(x) = 3x4 − 2x2 + 1 d) f(y) =y3 − y
y2 + 1
b) f(x) = 5x3 − 2x e) f(x) =x− 1
x+ 1
c) f(x) = x2 + 2x+ 2 f) f(x) =1
2(ax + a−x)
Exercício 1.5.2. Para cada uma das seguintes funções:
f(x) = −5x
g(x) = 4x− 8
h(x) = 2.
a) Determine a raiz da função;
b) Determine o ponto de intersecção com o eixo y;
c) Explicite o domínio e a imagem da função;
d) Faça o estudo do sinal da função;
e) Esboce o gráfico da função.
Exercício 1.5.3. Uma das dimensões de um piso retangular é 4m e sua área é
menor que 132m2, sendo x a outra dimensão do piso. Para essa situação:
a) escreva a inequação que x deve satisfazer;
b) resolva a inequação obtida no item anterior.
Exercício 1.5.4. Determine o conjunto-solução de cada uma das seguintes inequa-
ções no conjunto dos números reais.
a)2y
3− 3(y − 1)
6<
1
2
b) −2t+1
3≤ 1
c) 3(2x+ 1)− 3x < 5x− 1
d) 3(x− 2) + 2(x+ 3) ≥ 2x− 3(2x− 7)
e)9
4<
5
2+
2
3x
33 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Exercício 1.5.5. Em uma disciplina há duas provas mensais, a primeira com peso
2 e a segunda com peso 3. Se o aluno não alcançar média 7 nessas provas, fará o
exame. Sua média final será a média entre a nota do exame com peso 2 e a média
das provas mensais, com peso 3. Marcelo obteve 4 e 5 nas provas mensais. Se a
média final para a aprovação é 5, qual deve ser sua nota na prova final para ser
aprovado?
Exercício 1.5.6. Uma pessoa tinha no banco um saldo de 560,00 reais. após um
saque no caixa eletrônico que fornece apenas notas de 50 reais, expresse a lei da
função que fornece o novo saldo em termos do número de notas x retiradas.
Exercício 1.5.7. Quando dobra o percurso em uma corrida de taxi, o custo da
nova corrida é igual ao dobro, maior que o dobro ou menor que o dobro da corrida
original?
Respostas dos exercícios
1.5.1. a) Par. b)Ímpar. c) Nem par, nem ímpar.
d) Ímpar. e) Nem par, nem ímpar. f) Par.
1.5.2.f(x) = −5x g(x) = 4x− 8 h(x) = 2
a) x = 0 x = 2 Não há raiz.
b) (0, 0) (0,−8) (0, 2)
c) D(f) = R e Im(f) = R D(g) = R e Im(g) = R D(h) = R e Im(h) = 2
d) f(x) > 0 : {x ∈ R|x < 0} g(x) > 0 : {x ∈ R|x > 2} h(x) > 0 : ∀x ∈ R
f(x) < 0 : {x ∈ R|x > 0} g(x) < 0 : {x ∈ R|x < 2}
e)
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
1.5.3. a) 4x < 132 b) S = {x ∈ R|x < 33}
1.5.4. a) S = {y ∈ R|y < 0} b) S =
{t ∈ R|t ≥ −1
3
}c) S = {x ∈ R|x > 2}
34 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
d) S =
{x ∈ R|x ≥ 7
3
}e) S =
{x ∈ R|x > −3
8
}1.5.5.
1.5.6.S(x) = 560− 50x.
1.5.7.Menor que o dobro da corrida original.
1.5.9 Função Quadrática
A função quadrática, ou função polinomial de 2o grau, possui sua lei de
definição na forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a 6= 0. O gráfico dessa função é
representado por uma parábola, que pode ter uma das formas presentes na Figura
1.22, dependendo do sinal do coeficiente principal a.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
a < 0
yV
xV
V
a > 0
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
yV
xV
V
Figura 1.22: Gráfico da função quadrática.
Em ambos os casos, a parábola é simétrica em torno de uma reta vertical
paralela ou coincidente ao eixo y. Essa reta de simetria corta a parábola em um
ponto chamado de vértice V (xV , yV ). Se a > 0, o vértice é o ponto mais baixo da
curva, pois a parábola tem concavidade voltada para cima. Analogamente, se a < 0,
o vértice é o ponto mais alto da parábola, que nesse caso tem concavidade voltada
para baixo.
Raízes de uma função quadrática:
35 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
As raízes de uma função quadrática são determinadas através do cálculo
de f(x) = 0. Para resolver a equação resultante ax2+bx+c = 0, aplica-se a fórmula
de Bhaskara, encontrando x1 e x2 da seguinte forma:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a.
Portanto, as raízes são
x1 =−b+
√b2 − 4ac
2ae x2 =
−b−√b2 − 4ac
2a.
Observação 1.5.3. Assumindo 4 = b2−4ac, as seguintes considerações podem ser
feitas:
• Se 4 > 0, então a função possui duas raízes reais e distintas.
• Se 4 = 0, então a função possui duas raízes reais e iguais.
• Se 4 < 0, então a função não possui raízes reais.
Exemplo 1.5.11. Determine as raízes reais das funções:
a) f(x) = x2 − 2x− 2
b) g(x) = x2 − 16
c) h(x) = x2 − 3x
d) m(x) = −x2 + 2x− 5
Solução:
a) Fazendo f(x) = 0, a equação resultante é x2 − 2x− 2 = 0, com a = 1, b = −2 e
c = −2. Agora, calcula-se x1 e x2:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
x =−(−2)±
√(−2)2 − 4(1)(−2)
2(1)
x =2±
√12
2
x1 = 1 +√3
x2 = 1−√3.
36 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
b) Atribuindo g(x) = 0, tem-se a equação x2−16 = 0, com a = 1, b = 0 e c = −16.
Essa equação está incompleta, pois b = 0, e nesse caso ela pode ser calculada
da seguinte forma:x2 − 16 = 0
x2 = 16
x = ±√16
x = ±4.
Ou seja, x1 = 4 e x2 = −4.
c) Assumindo h(x) = 0, obtém-se a equação x2 − 3x = 0, com a = 1, b = −3 e
c = 0. Como no item anterior, essa equação também está incompleta, mas
agora porque c = 0. Nesse caso, podemos resolver da seguinte maneira:
x2 − 3x = 0
x(x− 3) = 0
Quando uma multiplicação tem resultado igual a zero, então tem-se duas
opções: ou o primeiro fator é zero, ou o segundo fator é zero. A partir dessas
duas situações, calcula-se:
x = 0 ou x− 3 = 0
x = 0 ou x = 3.
Logo, x1 = 0 e x2 = 3.
d) Estabelecendo m(x) = 0, encontra-se a equação −x2 +2x− 5 = 0, com a = −1,
b = 2 e c = −5. Calculando x1 e x2:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
=−(2)±
√(2)2 − 4(−1)(−5)
2(−1)
x1 =2 +
√−16
−2
x2 =2−
√−16
−2.
Portanto, m(x) não possui raízes reais.
Observação 1.5.4. Relações de Girard
37 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Através dos coeficientes a, b e c de uma função quadrática, podem-se
determinar as raízes x1 e x2 através das relações:
a) Soma das raízes: x1 + x2 = − b
a
b) Produto das raízes: x1 · x2 =c
a
Fatoração de uma função quadrática:
A lei de definição da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c pode ser
reescrita na forma fatorada f(x) = a(x− x1)(x− x2), onde x1 e x2 são as raízes de
f(x) e a é o coeficiente principal dessa função.
Exemplo 1.5.12. Reescreva a função f(x) = 2x2−11x+14 em sua forma fatorada.
Solução:
Utilizando a fórmula de Bhaskara, encontram-se raízes de f(x), x1 =7
2e x2 = 2, e o coeficiente principal a = 2. Logo, a forma fatorada de m(x) será:
f(x) = a(x− x1)(x− x2)
= (2)
[x−
(7
2
)][x− (2)]
f(x) = 2
(x− 7
2
)(x− 2).
Observe que ao se calcular os produtos da forma fatorada, retorna-se
para a forma inicial da função.
Vértice de uma parábola:
Seja uma função quadrática f(x) = ax2 + bx+ c, o ponto que representa
o vértice da parábola é
V (xV , yV ) =
(− b
2a,−∆
4a
).
Demonstração:
Observa-se que xV representa a média entre as raízes x1 e x2 de f , pois
ambas são equidistantes do vértice. Calculando a média:
38 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
xV =x1 + x2
2
=
−b+√b2 − 4ac
2a+
−b−√b2 − 4ac
2a2
xV =
−b
a2
xV = − b
2a.
Basta calcular o valor de f(xV ) para se obter yV . Então:
yV = f(xV )
= a(xV )2 + b(xV ) + c
= a(− b
2a)2 + b(− b
2a) + c
=ab2
4a2− b2
2a+ c
=b2
4a− b2
2a+ c
=b2 − 2b2 + 4ac
4a
=−b2 + 4ac
4a
=−(b2 − 4ac)
4a
yV = −44a
.
Logo, V(− b
2a,−4
4a
).
Domínio e imagem de uma função polinomial de 2o grau:
O domínio da função quadrática corresponde ao conjunto dos números
reais, ou seja, D(f) = R. A imagem vai depender do valor do coeficiente a da
seguinte forma:
• Se a > 0, então Im(f) = {y ∈ R|y ≥ yV }, com yV = −44a
.
39 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
• Se a < 0, então Im(f) = {y ∈ R|y ≤ yV }, com yV = −44a
.
Esboço do gráfico de uma função quadrática:
O gráfico de uma função polinomial de 2o grau é uma parábola, e têm-se
as situações apresentadas na Tabela 5.
Tabela 5: Tipos de gráficos de funções quadráticas.
4 > 0 4 = 0 4 < 0
a > 0
x
y
yV
xV
V
x1
x2
y
x1
x2
=
x
y
xV
yV
V
a > 0
x
y
yV
x1
xV
x2
V
x
y
x1
x2
=
x
y
yV
V
xV
Com as coordenadas do vértice e as raízes da parábola, pode-se esboçar
o gráfico da função quadrática. Se necessário, escolhe-se mais pontos para que o
gráfico fique mais preciso, como P (0, c), que é o ponto onde a parábola intercepta o
eixo y.
Estudo do sinal da função quadrática:
Estuda-se o sinal da função quadrática analisando a variação dos valores
da função diretamente no gráfico, como pode ser visto na Tabela 6.
40 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Tabela 6: Estudo do sinal da função quadrática.
a > 0 a < 0
4 > 0
x
y
++ x
y
++
4 = 0
+ x
y
+ x
y
4 < 0
x
y
+ + x
y
Exemplo 1.5.13. Para as funções quadráticas f(x) = x2 − 2x− 2 e g(x) = −x2 +
2x− 5, determine:
a) o domínio;
b) as raízes, se houver;
c) o vértice da parábola;
d) a imagem;
e) o estudo do sinal;
f) a forma fatorada da função;
g) o esboço do gráfico.
Solução:
Primeiro será mostrada a resolução para a função f(x) = x2 − 2x− 2.
a) D(f) = R, como em qualquer função quadrática.
41 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
b) Fazendo f(x) = 0, a equação resultante é x2 − 2x− 2 = 0, com a = 1, b = −2 e
c = −2. Agora, calcula-se x1 e x2:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
=−(−2)±
√(−2)2 − 4(1)(−2)
2(1)
x =2±
√12
2
x1 = 1 +√3
x2 = 1−√3.
c) O vértice da parábola descrita por f é dado por V (xV , yV ), com xV = − b
2ae
yV = −44a
. Então:
xV = − b
2ayV = −b2 − 4ac
4a
xV = − −2
2(1)yV = −(−2)2 − 4(1)(−2)
4(1)
xV = 1 yV = −4 + 8
4
xV = 1. yV = −3.
Logo, V (1,−3).
d) Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e o valor de yV
(ordenada do vértice) representa o menor valor possível que y pode assumir.
Sendo yV = −3, então Im(f) = {y ∈ R|y ≥ −3}.
e) Sabe-se que a parábola está voltada para cima, então os valores de x em que
f(x) < 0 estão em um intervalo aberto limitado pelas raízes x1 e x2, e os valores
em que f(x) > 0 são todos os números reais que estão fora desse intervalo,
exceto as raízes. Assim:
f(x) < 0: {x ∈ R|1−√3 < x < 1 +
√3}
f(x) > 0: {x ∈ R|x < 1−√3 ∧ x > 1 +
√3}
f) Como a = 1, x1 = 1 +√3 e x2 = 1−
√3, então:
42 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
f(x) = a(x− x1)(x− x2)
f(x) = 1[x− (1 +√3)][x− (1−
√3)].
g) Esboça-se o gráfico localizando as raízes, o vértice e a intersecção com o eixo y.
A figura ilustra o resultado.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Agora, será feito o mesmo para a função g(x) = −x2 + 2x− 5.
a) D(g) = R, como em qualquer função quadrática.
b) Fazendo f(x) = 0, a equação resultante é −x2 + 2x− 5 = 0, com a = −1, b = 2
e c = −5. Agora, calcula-se x1 e x2:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
=−(2)±
√(2)2 − 4(−1)(−5)
2(−1)
x =−2±
√−16
−2.
Logo, a função g não possui raízes reais.
c) O vértice da parábola descrita por g é dado por V (xV , yV ), com xV = − b
2ae
yV = −44a
. Então:
43 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
xV = − b
2ayV = −b2 − 4ac
4a
xV = − 2
2(−1)yV = −(2)2 − 4(−1)(−5)
4(−1)
xV = 1 yV = −4 + 8
4
xV = 1. yV = −4.
Assim, V (1,−4).
d) Como a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e o valor de yV
(ordenada do vértice) representa o maior valor possível que y pode assumir.
Sendo yV = −4, então Im(g) = {y ∈ R|y ≤ −4}.
e) Observou-se que a função g não possui raízes reais e que a < 0, então g(x) < 0
para todo x ∈ R e não se tem nenhum valor real de x para que g(x) > 0.
f) Não se pode fatorar a função g, pois ela não possui raízes reais.
g) Esboça-se o gráfico localizando as raízes, o vértice e a intersecção com o eixo y.
A figura ilustra o resultado.
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1x
y
Exemplo 1.5.14. Um campo retangular deve ser cercado com 500m de cerca ao
longo de três lados e tem um rio reto como quarto lado, como pode ser visto na Figura
1.23. Seja x o comprimento de cada lado perpendicular ao rio e y o comprimento
de cada lado paralelo ao rio:
a) Expresse y em termos de x;
44 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
b) Expresse a área A do campo em termos de x;
c) Qual é a maior área que pode ser cercada?
Rio
x
y
x
Figura 1.23: Representação do campo retangular.
Solução:
a) Para cercar os lados há 500m de cerca, assim x + y + x = 500. Isolando y na
equação, escrevemos y em termos de x: y = 500− 2x.
b) A área do retângulo é o produto da base pela sua altura. A base do campo
retangular é y = 500 − 2x, e a altura é x, portanto, A = x(500 − 2x) =
500x− 2x2.
c) A maior área cercada M corresponde à ordenada do vértice da parábola que
descreve a área A = 500x − 2x2. Para esta função, a = −2, b = 500 e c = 0.
Calculando:M = yV
M = −44a
= −5002 − 4(−2)(0)
4(−2)
M =−250.000
−8
M = 31.250.
A maior área que pode ser cercada, então, é de 31.250m2.
Inequações polinomiais do 2o grau:
45 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Para a resolução de inequações polinomiais do 2o grau, utiliza-se o estudo
de sinal da função quadrática. Veja no exemplo a seguir.
Exemplo 1.5.15. Resolva a inequação x2−x−6 ≤ 0 , considerando como conjunto
universo o conjunto dos números reais.
Solução:
A inequação descrita pode ser resolvida através do estudo de sinal da
função f(x) = x2−x−6. Nesse caso, x2−x−6 ≤ 0 seriam os valores onde f(x) ≤ 0
para a função f , com a = 1, b = −1 e c = −6. Agora, procura-se as raízes, onde
f(x) = 0, e depois constrói-se o gráfico para ajudar na visualização do estudo de
sinal:
f(x) = 0
x2 − x− 6 = 0
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
=−(−1)±
√(−1)2 − 4(1)(−6)
2(1)
=1±
√25
2
x1 = 3
x2 = −2.
Como a > 0, a parábola é de concavidade voltada para cima, e seu gráfico
pode ser esboçado da seguinte forma:
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
Agora, ao se observar o gráfico, percebe-se que os valores de x para que
f(x) ≤ 0 estão situados entre as raízes x1 = 3 e x2 = −2, e esses valores formam o
46 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
conjunto solução da inequação estudada. Então, S = {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 3}.
Exercício 1.5.8. Dadas as funções quadráticas:
f(x) = x2 + 2
g(x) = x2 + 2x− 3
h(x) = −x2 + x
m(x) = (x− 2)2.
a) Determine suas raízes (se houver) e seu vértice;
b) Obtenha a intersecção com o eixo y;
c) Explicite seu domínio e sua imagem;
d) Estude seu sinal;
e) Esboce seu gráfico.
Exercício 1.5.9. Considere a função real f(x) = px2 − 5x + 6. Determine o valor
de p para que x = 3 seja raiz da função.
Exercício 1.5.10. Determine o valor de m para que g(x) = −2x2 − 2mx− 8 tenha
duas raízes reais e iguais.
Exercício 1.5.11. Seja a função f(x) = ax2+ bx+ c, onde a, b e c são constantes e
a 6= 0, encontre os valores dos coeficientes a, b e c se f(0) = 3, f(1) = 2 e f(2) = 9.
Exercício 1.5.12. Um terreno retangular deve ser cercado com dois tipos de cerca.
Dois lados opostos terão cercas mais grossas, custando 3,00 u.m. (unidades mone-
tárias) por metro, enquanto que os outros dois terão cerca comum que custa 2,00
u.m. por metro. Está disponível para as cercas 600,00 u.m.. Seja x o comprimento
de cada lado a receber a cerca grossa e y cada lado a receber a cerca comum.
a) Expresse y em termos de x;
b) Encontre uma expressão para a área A do terreno em termos de x;
c) Mostre qual a maior área que pode ser cercada.
Exercício 1.5.13. Resolva as inequações, considerando como conjunto universo o
conjunto dos números reais.
47 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
a) 1− x ≤ 2x2
b) x2 + 4x− 21 > 0
c) x2 > 6x− 9
Exercício 1.5.14. Qual das seguintes funções possui uma única raiz x = −3 e cujo
gráfico passa pelo ponto A(−2, 5)?
a) f(x) = 5x2 + 30x+ 45
b) f(x) = −5
4x2 − 5
4x+
15
2
c) f(x) = −5x2 − 20x− 15
d) f(x) = x2 + 10x+ 21
e) f(x) = −x2 + 9
Exercício 1.5.15. Um pastor deseja fazer um cercado retangular para suas ovelhas
e dispõe de 100m de cerca. Se x é o comprimento de um lado do cercado, mostre
que a área cercada é A(x) = 50x− x2.
Exercício 1.5.16. Uma pessoa quer plantar um jardim retangular ao longo de um
dos lados da casa, e construir uma cerca nos outros três lados do jardim. Expresse
a área do jardim em função de um de seus lados sabendo que serão utilizados 20 m
de cerca.
Exercício 1.5.17. Um posto de combustível vende 10.000 litros a 2,40 reais por
litro. Seu dono percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro,
eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do
álcool foi de 2,38 reais foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em
centavos, do desconto de cada litro, e V o valor, em rais, arrecadado por dia, então
determine a expressão que relaciona V e x.
Respostas dos exercícios
48 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1.5.8.f(x) = x2 + 2 g(x) = x2 + 2x− 3
a) Não há raízes reais. x1 = 1 e x2 = −3
Vf (0, 2) Vg(−1,−4)
b) f(0) = 2 g(0) = −3
c) D(f) = R D(g) = R
Im(f) = {y ∈ R|y ≥ 2} Im(g) = {y ∈ R|y ≥ −4}
d) ∀x ∈ R, f(x) = 0 g(x) > 0 : {x ∈ R|x < −3 ∨ x > 1}
g(x) < 0 : {x ∈ R| − 3 < x < 1}
e)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
h(x) = −x2 + x m(x) = (x− 2)2
a) x1 = 1 e x2 = 0 x1 = x2 = 2
Vh
(1
2,1
4
)Vm(2, 0)
b) h(0) = 0 m(0) = 4
c) D(h) = R D(m) = R
Im(h) = {y ∈ R|y ≤ 1
4} Im(m) = {y ∈ R|x ≥ 0}
d) h(x) > 0 : {x ∈ R|0 < x < 1} m(x) > 0 : {x ∈ R|x 6= 2}
h(x) < 0 : {x ∈ R|x < 0 ∨ x > 1} m(x) < 0 : {}
e)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
x
y
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
1.5.9. p = 1.
1.5.10. m = ±4.
49 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1.5.11. a = 4, b = −5 e c = 3.
1.5.12.a) y =300− 3x
2b) A = x
(300− 3x
2
)com 0 ≤ x ≤ 100 c) M = 3.750m2
1.5.13.a) {x ∈ R|x ≤ −1 ∨ x ≥ 1
2} b) {x ∈ R|x < −7 ∨ x > 3} c){x ∈ R|x 6= 3}
1.5.14. Opção a).
1.5.16. A(x) = 20x− 2x2, com 0 ≤ x ≤ 10
1.5.10 Função polinomial de grau maior que 2
Equação biquadrada:
Equações biquadradas são aquelas que contêm somente expoentes pares.
Por exemplo, 3x4−5x2 = 0 e 7x4+3x2+2 = 0 são equações biquadradas. A resolução
desse tipo de equação se baseia na substituição de x2 por r, transformando a equação
de grau 4 em uma equação de grau 2 na variável r, da seguinte forma:
ax4 + bx2 + c = 0 → ar2 + br + c = 0
Para encontrar as raízes x1 e x2 de uma equação biquadrada, procuram-se
as raízes da equação em r (r1 e r2), e depois se utiliza a relação x12 = r1 e x2
2 = r2.
Exemplo 1.5.16. Resolva a equação x4 − 4x2 + 3 = 0.
Solução
A equação é biquadrada, pois contém apenas expoentes pares em suas
variáveis. A solução é obtida atribuindo-se x2 = r, e por conseguinte, x4 = r2, da
sequinte forma:
x4 − 4x2 + 3 = 0 → r2 − 4r ++3 = 0.
Agora resolve-se a equação em r, que é do 2o grau com coeficientes a = 1,
b = −4 e c = 3. Então:
50 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
r2 − 3r + 3 = 0
r =−b±
√b2 − 4ac
2a
=−(−4)±
√(−4)2 − 4(1)(3)
2(1)
=4±
√4
2
r1 = 3
r2 = 1.
Finalmente, calculam-se as raízes em x:x1
2 = r1 x22 = r2
x12 = 3 x2
2 = 1
x1 = ±√3 x2 = ±
√1
x1 = ±√3. x2 = ±1.
Então, o conjunto solução da equação x4−4x2+3 = 0 é S = {−√3,−1, 1,
√3}.
Equações polinomiais de grau n:
Teorema 1.5.1. Toda equação de grau n, com n ≥ 1, possui exatamente n raízes
complexas.
Se uma função polinomial f(x) = anxn + an−1x
n−1 + ...+ a3x3 + a2x
2 +
a1x + a0, com an 6= 0, de coeficientes inteiros, admite uma raiz racionalp
q, em que
p ∈ Z e q ∈ Z+, e ainda p e q são primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor
de an.
Este teorema pode ser utilizado para determinar as raízes de funções
polinomiais. Na prática, podemos usá-lo para achar uma das raízes e as outras são
raízes da equação fatorada obtidas pelo algoritmo de Briot-Ruffini.
Todo polinômio de grau n, com n ≥ 1,
f(x) = anxn + an−1x
n−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0,
pode ser decomposto em fatores lineares da forma
f(x) = an(x− x1)(x− x2)...(x− xn−1)(x− xn),
onde x1, x2, ..., xn−1, xn são raízes de f(x).
51 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Exemplo 1.5.17. Escreva a forma fatorada das seguintes funções.
a) p(x) = x2 − 2x− 2
b) q(x) = x2 − 16.
Solução:
a) As raízes de p(x) são x1 = 1 +√3 e x2 = 1 −
√3, e o coeficiente do termo de
maior grau é a2 = 1. Portanto, sua forma fatorada será:p(x) = a2(x− x1)(x− x2)
= (1)[x− (1 +√3)][x− (1−
√3)]
p(x) = [x− (1 +√3)][x− (1−
√3)].
b) As raízes de q(x) são x1 = 4 e x2 = −4, e o coeficiente do termo de maior grau
é a2 = 1. Então, a forma fatorada de função será:q(x) = a2(x− x1)(x− x2)
= (1)[x− (4)][x− (−4)]
q(x) = (x− 4)(x+ 4).
Algoritmo de Briot-Ruffini:
O algoritmo de Briot-Ruffini consiste de um dispositivo prático para e-
fetuar a divisão de um polinômio p(x) por um binômio (x − a). Considere um
polinômio p(x) = anxn+an−1x
n−1+ ...+a3x3+a2x
2+a1x+a0, com n ≥ 1, pode-se
descrever esse dispositivo pelos seguintes passos:
1. Dispõem-se todos os coeficientes de p(x) na chave:
an an−1 ... a1 a0
2. Coloca-se à esquerda a raiz de (x− a):
a an an−1 ... a1 a0
52 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
3. Baixa-se o primeiro coeficiente an:
a an an−1 ... a1 a0
↓
an
4. Multiplica-se pela raiz a e soma-se o resultado ao segundo coeficiente de p(x),
que é an−1:
a an an−1 ... a1 a0
× a× an
an a× an + an−1 ...
5. Repetimos a última sequência para os coeficientes restantes.
Observação 1.5.5. Ao se aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini em um polinômio de
grau n, o polinômio resultante terá grau n−1. Qualquer polinômio pode ser fatorado
com esse algoritmo, basta que se saiba pelo menos uma das raízes do polinômio a
ser fatorado.
Exemplo 1.5.18. Determine as raízes das seguintes funções:
a) f(x) = x3 + 5x2 − 14x
b) g(x) = x3 + 8
c) h(x) = 3x3 − 13x2 + 5x+ 21.
Solução:
a) As raízes são encontradas resolvendo f(x) = 0. A variável x na equação re-
sultante x3 + 5x2 − 14x = 0 pode ser colocada em evidência, resultando na
expressão: x(x2 + 5x− 14) = 0. Obtêm-se uma multiplicação onde o produto
é nulo, consequentemente um dos termos do produto deve ser igual a zero, isto
é:
x = 0 ou x2 + 5x− 14 = 0.
Uma das raízes já foi encontrada, x1 = 0. As outras vêm da resolução
da equação x2 + 5x− 14 = 0, que é do segundo grau e pode ser resolvida com
53 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
a fórmula de Bhaskara:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
=−(5)±
√(5)2 − 4(1)(−14)
2(1)
=−5±
√81
2
x2 = −7
x3 = 2.
Logo, as raízes de f são x1 = 0, x2 = −7 e x3 = 2.
b) Encontram-se as raízes resolvendo g(x) = 0. A equação resultante é x3 + 8 = 0
e pode ser resolvida seguindo os seguintes passos:
Passo 1: Encontrar pelo menos uma raiz da equação. Calculando:
x3 + 8 = 0
x3 = −8
x = 3√−8
x1 = −2.
Passo 2: Escrever g(x) na forma de um polinômio completo.
g(x) = x3 + 8
g(x) = x3 + 0x2 + 0x+ 8.
Agora, a expressão polinomial que representa g(x) já pode ser fato-
rada utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini.
Passo 3: Colocar os coeficientes do polinômio completo e a raiz encontrada
no Passo 1 numa chave da seguinte forma:
1 0 0 8
−2
54 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Passo 4: Repetir o primeiro coeficiente na terceira linha de sua respectiva
coluna.
1 0 0 8
−2 ↓
1
Passo 5: Multiplicar o primeiro coeficiente da terceira linha pela raiz, colocar
o resultado na segunda linha, somar este valor com o segundo coeficiente
da primeira linha, colocando o resultado final na terceira linha.
1 0 0 8
−2 ↓ −2
1 −2
Passo 6: Repetir o Passo 5 com os demais coeficientes da primeira linha até
encontrar zero na terceira linha.
1 0 0 8
−2 ↓ −2 4
1 −2 4
1 0 0 8
−2 ↓ −2 4 −8
1 −2 4 0
Passo 7: Ao se aplicar o algoritmo, está se dividindo (x3 +8) por (x+2), e o
resultado é o polinômio x2 − 2x+ 4, que possui os coeficientes presentes
na terceira linha do algoritmo. Calculando as raízes do polinômio encon-
trado através da fórmula de Bhaskara:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
=−(−2)±
√(−2)2 − 4(1)(4)
2(1)
x =2±
√−12
2.
Essa equação não possui raízes reais, portanto, x1 = −2 é a única
raiz real de g.
55 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
c) Para encontrar as raízes, resolve-se h(x) = 0. Pode-se aplicar o algoritmo de
Briot-Ruffini para dividir o polinômio 3x3 − 13x + 5x + 21 por x− x1, sendo
x1 uma das raízes de h(x). Como não se tem nenhuma raiz conhecida, deve-se
atribuir um valor para x1 e testar o algoritmo: se o último termo da terceira
linha for nulo, então a escolha foi apropriada e x1 é de fato raiz de h(x).
Testando o algoritmo para x1 = −1:
Passo 1: Colocar os coeficientes de h(x) = 3x3−13x+5x+21 e a raiz x1 = −1
numa chave da seguinte forma:
3 −13 5 21
−1
Passo 2: Repetir o primeiro coeficiente na terceira linha de sua respectiva
coluna.
3 −13 5 21
−1 ↓
3
Passo 3: Multiplicar o primeiro coeficiente da terceira linha pela raiz, colocar
o resultado na segunda linha, somar este valor com o segundo coeficiente
da primeira linha, colocando o resultado final na terceira linha.
3 −13 5 21
−1 ↓ −3
3 −16
Passo 6: Repetir o Passo 3 com os demais coeficientes da primeira linha até
completar a terceira linha.
3 -13 5 21
−1 ↓ −3 16 −21
3 −16 21 0
56 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
Como o último valor da terceira linha foi zero, então x1 = −1 é real-
mente raiz de h(x), e agora pode-se procurar as raízes do polinômio resultante
do algoritmo, formado pelos coeficientes da terceira linha. Então, calculando
através da fórmula de Bhaskara as raízes de 3x2 − 16x+ 21 = 0:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
=−(−16)±
√(−16)2 − 4(3)(21)
2(3)
=16±
√4
6
x2 = 3
x3 =7
3.
Logo, S =
{−1,
7
3, 3
}.
Exercício 1.5.18. Resolva as equações, no conjunto dos números reais.
a) −1
3+
x
4=
2x
3− 7
12
b)x− 2
3+
x− 1
3=
2x− 1
3
c)2
3+ 2x2 =
−3
x2, x 6= 0.
Exercício 1.5.19. Para quais valores de k a equação 3x2 − 7x− 2k+3 = 0 admite
raízes reais e idênticas?
Exercício 1.5.20. Determine, se houver, as outras raízes reais da equação x4−x3−
2x2 + 6x− 4 = 0, sabendo que duas raízes são x1 = −2 e x2 = 1.
Exercício 1.5.21. Uma das raízes da equação x3 + (m + 1)x2 + (m + 9)x + 9 = 0
é x1 = −1. Determine m para que as outras raízes sejam iguais.
Exercício 1.5.22. Qual é o número de raízes reais da equação (x2−1)(x2−1) = 0?
Encontre-as.
Exercício 1.5.23. Determine as raízes reais das equações:
57 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
a) x3 − x2 − 4x+ 4 = 0
b) x4 − 2x3 − 16x2 + 2x+ 15 = 0.
Exercício 1.5.24. Divida p(x) = x3 − x2 − 4x+ 4 por d(x) = x− 2.
Exercício 1.5.25. Fatore os seguintes polinômios, utilizando o algoritmo de Briot
Ruffini.
a) x3 − 7x2 + 15x− 9
b) x3 + x2 − 2x.
Exercício 1.5.26. Marque com um X a alternativa correta.
I. O valor de m para que a equação x2− 7x+(3− m
2
)= 0 tenha uma raiz nula é:
a) 7 b) 6 c) 0 d) - 6 e) Nenhuma das alternativas anteriores.
II. A diferença entre a maior e a menor raiz da equação x4 − 13x2 + 36 = 0 é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Nenhuma das alternativas anteriores.
III. Dados os polinômios A e B, tais que A = 3x3− 2x2+x− 2 e B = x− 1, então:
a) A é divisível por B.
b) A não é divisível por B.
c) O resto da divisão de A por B é igual a x− 1.
d) O resto da divisão de A por B é igual a x+ 1.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Respostas dos exercícios
1.5.18. a) S =
{3
5
}b) S = R. c) S = {}
1.5.19. k = −13
24
1.5.20. Não há outras raízes reais.
1.5.21. m = −6 ou m = 6.
58 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1.5.22. São quatro raízes, S = {−1,−1, 1, 1}.
1.5.23. a) S = {−2, 1, 2}. b) S = {−3,−1, 1, 5}
1.5.24.p(x)
d(x)= (x− 1)(x+ 2)
1.5.25. a) (x− 1)(x− 3)(x− 3). b) x(x− 1)(x+ 2)
1.5.26. I. Alternativa b). II. Alternativa d). III. Alternativa a).
1.5.11 Funções definidas por intervalos
Em algumas situações, são necessárias mais de uma fórmula para definir
uma função. Por exemplo, em uma empresa de fotografias o custo das cópias digitais
é definido pela Tabela 7.
Tabela 7: Função custo P (x).
Número de cópias Preço Função P (x)
Até 10 0,7 P (x) = 0, 7x
De 11 a 100 0,6 P (x) = 0, 6x
De 101 a 200 0,5 P (x) = 0, 5x
Acima de 200 0,48 P (x) = 0, 48x
Nesse caso, a situação pode ser descrita por uma função definida por 4
intervalos que pode ser escrita como:
P (x) =
0, 7x, se 0 < x ≤ −2
0, 6x, se 11 ≤ x ≤ 100
0, 5x, se 101 < x ≤ 200
0, 48x, se x > 200.
Exemplo 1.5.19. A função de Heaviside H(t) é definida por H(t) =
0, se t < 0
1, se t ≥ 0.
Essa função é usada no estudo de circuitos eletricos para representar o surgimento
repentino de corrente elétrica ou voltagem quando uma chave é instantaneamente
ligada.
a) Esboce o gráfico de H(t).
59 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
b) Esboce o gráfico da voltagem V (t) no circuito se uma chave for ligada em t = 0s
e 120v forem aplicados instantaneamente no circuito. Escreva a fórmula para
V (t) em termos de H(t).
c) Esboce o gráfico de V (t) no circuito se uma chave for ligada em t = 5s e 240v
forem aplicados instantaneamente no circuito. Escreva a fórmula para V (t)
em termos de H(t).
Outro exemplo de função definida por intervalos é a função modular.
1.5.12 Função modular
A função modular, ou simplesmente módulo, é definida por f(x) = |x|,
onde:
|x| =
−x, se x < 0
x, se x ≥ 0.
O seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o intervalo
[0,+∞[. O gráfico de uma função modular pode ser visto na Figura 1.24.
Outra maneira de se definir o valor absoluto é |x| = max{x,−x}.
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Figura 1.24: Gráfico da função modular f(x) = |x|.
Propriedades do valor absoluto
Seja k qualquer número positivo, então:
60 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1. |x| = k se, e somente se, x = ±k;
2. −|x| ≤ x ≤ |x|;
3. |x| ≤ k se, e somente se, −k ≤ x ≤ k;
4. |x| ≥ k se, e somente se, x ≥ k ou x ≤ −k;
5. Desigualdade triangular: |x+ y| ≤ |x|+ |y|;
6. |x− y| ≥ |x| − |y|.
Exemplo 1.5.20. Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = |x− 3| b) g(x) = |x2 − 4|.
Solução:
a) Utilizando a definição de módulo tem-se que:
|x− 3| =
−(x− 3), se x− 3 < 0
x− 3, se x− 3 ≥ 0.
Ou seja:
|x− 3| =
−x+ 3, se x < 3
x− 3, se x ≥ 3.
Para traçar o gráfico de uma função modular, que é uma função defi-
nida por intervalos, primeiro se investiga quais os valores de x que servem de
extremos para as duas leis de definição. No caso da função f , esse valor é
único e corresponde a x = 3. Agora, esboçam-se os gráficos das duas leis de
definição no mesmo plano cartesiano, mas cada gráfico se situará de um lado
desse extremo que divide o plano, de acordo com seu intervalo correspondente.
O gráfico então fica da seguinte forma:
b) Primeiro utiliza-se a definição de módulo para se encontrar o valor de x que
dividirá o gráfico de g em duas partes:
61 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
|x2 − 4| =
−(x2 − 4), se x2 − 4 < 0
x2 − 4, se x2 − 4 ≥ 0.
Resolvendo as inequações de segundo grau:
|x2 − 4| =
−x2 + 4, se x < −2 ∨ x > 2
x2 − 4, se − 2 ≤ x ≤ 2.
Percebe-se que o gráfico de g será particionado em dois pontos, quando
x = −2 e quando x = +2. Agora, basta identificar qual lei de definição utilizar
para se construir o gráfico em cada intervalo: primeiro para valores de x me-
nores do que −2 ou maiores do que 2, onde o gráfico representa uma parábola
de concavidade voltada para cima, e depois para valores entre −2 e 2, onde a
curva será uma parábola de concavidade para baixo. O resultado do gráfico
de g será:
Exercício 1.5.27. Considere a função f(x) = |x2 + 6x+ 5|:
a) determine seu domínio;
b) escreva a função definida por partes correspondente;
c) calcule f(1);
d) esboce seu gráfico.
Exercício 1.5.28. Responda às perguntas abaixo utilizando a função f(x) = 1+√x.
62 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
a) Qual função é descrita por f(x2)?
b) Qual função é descrita por f
(1
x2
)?
Respostas dos exercícios
1.5.27.a) D(f) = R
b) f(x) =
−x2 − 6x− 5, se − 5 < x < −1
x2 + 6x+ 5, se x ≤ −5 ∨ x ≥ −1
c) f(1) = 12
d)
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
1.5.28.a) f(x2) = 1 + |x| b) f
(1
x2
)= 1 +
1
|x|
63 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
1.5.13 Funções Racionais
Resolução de inequações produto e quociente
Inequações produto são sentenças abertas que relacionam produtos no
primeiro membro e o valor zero no segundo membro. Ou seja, dadas duas ou mais
funções, denominam-se inequação produto as desigualdades do tipo:
f1(x) · f2(x) · ... · fn(x) > 0 f1(x) · f2(x) · ... · fn(x) < 0
f1(x) · f2(x) · ... · fn(x) ≥ 0 f1(x) · f2(x) · ... · fn(x) ≤ 0.
Considere duas funções, f(x) e g(x), inequações quociente são as desi-
gualdades do tipo:
f(x)
g(x)> 0
f(x)
g(x)< 0
f(x)
g(x)≥ 0
f(x)
g(x)≤ 0.
Para se resolver uma inequação produto ou quociente deve-se estudar o
sinal de cada função do 1o membro separadamente, transportar os resultados para
um quadro, efetuar o produto e/ou quociente dos sinais e, a seguir, determinar os
conjuntos que satisfazem a desigualdade dada.
Exemplo 1.5.21. Resolva as seguintes inequações, considerando como conjunto
universo o conjunto dos números reais.
a) (x− 1)(2x+ 1)(2− x) > 0
b)x2 − x− 6
x+ 1≥ 0
c)x+ 2
2+
2
x− 1≥ −1
2
d)(3x− 1)(−x+ 4)
x≤ 0.
Solução:
a) Observe que cada fator de (x − 1)(2x + 1)(2 − x) representa uma função do
1o grau, assim deve-se resolvê-los determinando suas raizes e posteriormente
fazendo a análise de sinais, tanto das funções quanto de seu produto. Anali-
zando cada um dos fatores como função separadamente:
64 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
f1(x) = x− 1 raiz: x = 1
função afim a > 0: função crescente x
+1
f2(x) = 2x+ 1 raiz: x = −12
função afim a > 0: função crescente x
+-1_2
f3(x) = 2− x raiz: x = 2
função afim a < 0: função decrescente 2 x
+
Agora, estuda-se o sinal do produto das funções. Para cada função,
destaca-se quais os intervalos que satisfazem a inequação. Lembre-se que as
raízes são os valores de x onde a função é nula, e isso vai determinar se os
intervalos serão fechados ou abertos. Como está se procurando apenas os
valores maiores que zero, então os intervalos destacados em cada função serão
abertos e corresponderão aos valores positivos. Depois, para representar o
produto, divide-se a reta dos números reais em intervalos limitados pelas raízes
de todas as funções fatores. Para cada intervalo, efetua-se o produto dos sinais
das funções, e destaca-se aqueles intervalos que satisfizerem a inequação. Veja
na figura:
1 xf x( )1
+
xf x( )2
+-1_2
2 xf x( )3
+
x
+-1_2
21
+
++
++
+
f x( )1
f x( )2
f x( )3
..
Observa-se que os intervalos destacados seguem abertos na representação
do produto, pois qualquer valor positivo ou negativo multiplicado por zero
segue sendo igual a zero, e portanto, não faz parte da solução nesse caso.
A inequação terá como solução os intervalos destacados na representação do
produto, logo:
S = {x ∈ R|x < −1
2∨ 1 < x < 2}.
65 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
b) Tem-se uma inequação quociente com o numerador x2−x−6 sendo uma função
quadrática f e o denominador x + 1, uma função afim g. Analisando cada
função separadamente:
f(x) = x2 − x− 6 raízes: x1 = −2 e x2 = 3
função quadrática a > 0: concavidade para cimax
+ +-2 3
g(x) = x+ 1 raiz: x = −1
função afim a > 0: função crescente x
+-1
Da mesma forma que a inequação produto, destaca-se em cada função os
intervalos que satisfazem a inequação, nesse caso os valores maiores ou iguais
a zero, e depois compõe-se a representação do quociente dividindo a reta dos
números reais em intervalos limitados pelas raízes de todas funções envolvidas.
Calcula-se então o quociente dos sinais de cada intervalo, lembrando que as
raízes representam o valor onde a função é nula. Finalmente, destaca-se os
intervalos que possuírem valores maiores ou iguais a zero. A figura ilustra o
resultado:
-2 xf x( ) +
xg x( ) +
x
+
3
+
-1
-1-2 3
+
+
f x( )
g x( )
Lembre-se que não existe divisão por zero, por isso o primeiro intervalo
destacado do quociente é fechado em x = −2 e aberto em x = −1. A solução
da inequação corresponde aos intervalos destacados, portanto:
S = {x ∈ R| − 2 ≤ x < 1 ∨ x ≥ 3}.
c) Para resolver esse tipo de inequação deve-se determinar uma inequação quo-
ciente e/ou produto equivalente, cujo segundo membro seja zero. Para isso,
colocam-se todas as frações no primeiro membro da desigualdade, calcula-se o
66 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
m.m.c. dos denominadores e efetuam-se as operações necessárias, da seguinte
forma:
x+ 2
2+
2
x− 1≥ −1
2
x+ 2
2+
2
x− 1+
1
2≥ 0
(x+ 2)(x− 1) + 2 · 2 + 1 · (x− 1)
2 · (x− 1)≥ 0
x2 − x+ 2x− 2 + 4 + x− 1
2x− 2≥ 0
x2 + 2x+ 1
2x− 2≥ 0.
Obteve-se uma inequação quociente semelhante a do item anterior. O
estudo de sinal da função do numerador f e do denominador g será:
f(x) = x2 + 2x+ 1 raiz: x = −1
função quadrática a > 0: concavidade para cima x
+ +-1
+
g(x) = 2x− 2 raiz: x = 1
função afim a > 0: função crescente x
+1
Novamente, compõe-se a representação do quociente destacando os valo-
res maiores ou iguais a zero:
-1 xf x( ) +
xg x( ) +
x
+
1
-1 1
+
+
f x( )
g x( )
Observa-se que x = −1 está destacado, diferente de x = 1, e isso reitera
o fato de não existir divisão por zero. A solução da inequação é composta
pelos intervalos destacados na representação do quociente, então:
S = {x ∈ R|x > 1 ∨ x = −1}.
67 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
d) Nessa inequação aparecem as duas operações conjuntas - o produto e o quociente.
Sua resolução será feita como nos exemplos anteriores, estudando o sinal dos
termos separadamente e, posteriormente, construindo a representação da ope-
ração efetuada.
Analisando o sinal de cada função:
f1(x) = 3x− 1 raiz: x = 13
função afim a > 0: função crescente x
+1_3
f2(x) = −x+ 4 raiz: x = 4
função afim a < 0: função decrescente 4 x
+
f3(x) = x raiz: x = 0
função afim a > 0: função crescente x
+0
Agora, compõe-se a representação da operação desejada e destacam-se os
valores menores ou iguais a zero. Lembrando que ao se calcular um quociente,
não se pode incluir na solução uma divisão por zero. A figura ilustra o sinal
da operação efetuada:
x
f x( )1
+
x
f x( )2
+4
0 xf x( )3
+
x
++.
f x( )3
f x( )1
f x( )2
1_3
1_3
0 4
+
+
+
++
Observando os intervalos destacados, obtém-se a seguinte solução para a
inequação:
S = {x ∈ R|0 < x ≤ 3 ∨ x ≥ 4}.
Funções racionais:
68 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.5. ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES
A função racional f(x) é definida porp(x)
q(x), onde p(x) e q(x) são funções
polinomiais e q(x) não é uma função constante nula. O seu domínio consiste em
todos os números reais, exceto as raízes da função q(x), pois não existe divisão por
zero.
Dadas duas funções racionais f(x) e g(x), a soma, produto, diferença e
quociente entre essas funções são também funções racionais.
Exemplo 1.5.22. Determine o domínio de f(x) =x− 5
2x+ 3.
Solução:
Os únicos valores que não pertencem ao domínio de f são as raízes da
função do denominador, ou seja, quando 2x+ 3 = 0. Calculando:
2x+ 3 = 0
2x = −3
x = −3
2.
Portanto, D(f) =
{x ∈ R|x 6= −3
2
}.
Exemplo 1.5.23. Para a função f(x) =9
x2 + 9, determine:
a) seu domínio;
b) suas raízes;
c) sua intersecção com o eixo y;
d) os intervalos em que a função é positiva e os intervalos onde ela é negativa.
Solução
a) Os únicos valores que não pertencem ao domínio de f são aqueles onde x2+9 = 0,
pois não existe divisão por zero. Resolvendo a equação:
x2 + 9 = 0
x2 = −9
x =√−9.
Essa equação não possui solução real, logo, não há nenhuma restrição
para o domínio de f . Então, D(f) = R.
69 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.6. FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM POTÊNCIAS RACIONAIS
b) Para encontrar as raízes, calcula-se f(x) = 0:
9
x2 + 9= 0
9 = 0 · (x2 + 9)
9 = 0. absurdo!
Observa-se que não existe nenhum valor de x que faça com que f(x) = 0,
logo, a função não possui raízes reais.
c) Para encontrar a intersecção com o eixo y, basta calcular o valor de f(0):
f(0) =9
(0)2 + 9
=9
9
f(0) = 1.
Portanto, o gráfico de f intercepta o eixo y no ponto (0, 1).
d) Analisando f(x) como o quociente das funções f1(x) = 9 e f2(x) = x2 + 9,
pode-se investigar separadamente o sinal dessas funções.
f1(x) = 9 é positiva em todo seu domínio, por ser uma função constante
positiva.
f2(x) = x2 + 9 é uma função quadrática sem raízes reais e com a > 0,
logo, ela também é positiva para todo x de seu domínio.
Assim, como f(x) representa o quociente entre duas funções estritamente
positivas, então ela também será positiva para todo x ∈ R. Não há intervalo
onde a função seja negativa.
1.6 Funções algébricas com potências racionais
O estudo do domínio das funções algébricas que apresentam expoente
fracionário consiste em se investigar os valores da função estudada que não pertencem
ao conjunto dos números reais. Mais especificamente, procura-se onde há divisão por
70 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.6. FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM POTÊNCIAS RACIONAIS
zero e onde há raízes de índice par com radicando negativo. O domínio consistirá
de todos os números reais, exceto esses valores encontrados.
Observação 1.6.1. Convenção que regula o uso do símbolo√a:
∀a ≥ 0,√a é um número não negativo cujo quadrado é a.
Exemplo 1.6.1. Explicite o domínio das funções:
a) f(x) =√x+ 2
b) g(x) = 3√x+ 2
c) h(x) =x√x+ 2
d) m(x) =x
3√x+ 2
.
Solução:
a) A função f(x) consiste de uma raiz de índice par, logo, seu radicando não pode
ser negativo. Isso significa que x+ 2 ≥ 0. Calculando a inequação:
x+ 2 ≥ 0
x ≥ −2.
Assim, D(f) = {x ∈ R|x ≥ −2}.
b) Como a raiz presente na função g(x) é de índice ímpar, não há nenhuma res-
trição quanto ao sinal do radicando. Portanto, qualquer número real pode ser
atribuído a x, ou seja, D(g) = R.
c) A função h(x) possui uma raiz de índice par no denominador de uma fração. Ou
seja, além do radicando não poder ser negativo, ele ainda não poderá ser nulo,
pois isso configuraria uma divisão por zero. Em outros termos, x + 2 > 0.
Resolvendo a inequação:
x+ 2 > 0
x > −2.
Portanto, D(h) = {x ∈ R|x > −2}.
71 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.6. FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM POTÊNCIAS RACIONAIS
d) Agora, tem-se uma raiz de índice ímpar no denominador da fração de m(x), logo,
não há restrições quanto ao sinal do radicando. No entanto, o denominador
não pode ser igual a zero, ou seja:3√x+ 2 6= 0
x+ 2 6= 0
x 6= −2.
Logo, D(m) = {x ∈ R|x 6= −2}.
Exemplo 1.6.2. Determine o domínio de f(x) =
√−6
(5− x)(x+ 2).
Solução:
Como a raiz é de índice par, o seu radicando não pode ser negativo. Ou
seja:
−6
(5− x)(x+ 2)≥ 0. (1.6.1)
Observe que se tem três funções e as duas operações conjuntas - o produto
e o quociente. Para resolver a inequação, analisa-se o sinal das funções separada-
mente e, posteriormente, constrói-se uma representação gráfica dos intervalos que
satisfazem a inequação. Então:
f1(x) = −6 não possui raiz
função afim a = 0: função constante x
f2(x) = 5− x raiz: x = 5
função afim a < 0: função decrescente 5 x
+
f3(x) = x+ 2 raiz: x = −2
função afim a > 0: função crescente x
+-2
Agora, compõe-se a representação da operação desejada e destacam-se
os valores maiores ou iguais a zero. Lembrando que ao se calcular um quociente
não se pode incluir na solução uma divisão por zero, o que resultará em intervalos
com extremos abertos onde houver esse tipo de divisão. A figura ilustra o sinal da
operação efetuada:
72 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.6. FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM POTÊNCIAS RACIONAIS
xf x( )1
xf x( )2
+
-2 xf x( )3
+
x
+5-2
+
+
+
f x( )1
f x( )2
f x( )3
.
5
Observando os intervalos destacados, obtém-se a seguinte solução para
a inequação (1.6.1), que é justamente o domínio da função: D(f) = {x ∈ R|x <
2 ∨ x > 5}.
Exemplo 1.6.3. Para a função f(x) = − 2x√x2 + 4
, determine:
a) seu domínio;
b) suas raízes;
c) sua intersecção com o eixo y;
d) os intervalos em que a função é positiva e os intervalos onde ela é negativa.
Solução:
a) Investigando onde pode haver divisão por zero e raiz de índice par com radi-
cando negativo, observa-se que as duas situações podem ocorrer dependendo
dos valores do denominador de f(x). Para pertencer ao domínio, o radicando
do denominador deve ser maior do que zero, ou seja, x2 + 4 > 0. Para resol-
ver essa inequação, estuda-se o sinal da função correspondente q(x) = x2 + 4.
Calculando as raízes de q(x):
x2 + 4 = 0
x2 = −4
x = ±√−4.
73 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.6. FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM POTÊNCIAS RACIONAIS
Como essa função não possui raízes reais e o coeficiente principal positivo
(a > 0), então q(x) é positiva em todo seu domínio. Assim, não há possibili-
dade do radicando ser negativo e nem de haver uma divisão por zero em f(x),
logo D(f) = R.
b) Encontram-se as raízes resolvendo f(x) = 0. Então:
− 2x√x2 + 4
= 0
−2x =√x2 + 4 · 0
x = 0.
S = {0}.
c) Para encontrar a intersecção com o eixo y, calcula-se f(0). Assim:
f(0) = − 2(0)√(0)2 + 4
= −0
2
f(0) = 0.
Logo, f(x) intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
d) Analisando o numerador e o denominador como duas funções distintas p(x) =
−2x e q(x) =√x2 + 4, estuda-se o sinal de cada uma separadamente para de-
pois se construir uma representação gráfica do sinal do quociente f(x). Assim:
p(x) = −2x raiz: x = 0
função afim a < 0: função decrescente 0 x
+
q(x) =√x2 + 4 não há raízes reais
função de exp. fracionário função positiva em todo domínio x
+ ++
Agora, compõe-se a representação do quociente:
74 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.6. FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM POTÊNCIAS RACIONAIS
0 xp x( ) +
xq x( ) ++
0 x
+p x( )
q x( )
Analisando o sinal de cada intervalo do quociente, obtém-se o seguinte
resultado:
f(x) > 0 ⇔ {x ∈ R|x < 0} e f(x) < 0 ⇔ {x ∈ R|x > 0}.
Exercício 1.6.1. Determine o domínio das funções:
a) f(x) =
√x+ 1
3x2 − 2x+ 1f) l(x) =
x2 + x
4− x2
b) g(x) =x3 + x− 2√
4− x2g) p(x) =
1√2− x
+x
3√x+ 2
c) h(x) =
√x3 + x− 2√4− x2
h) r(x) =x− 1√x2 + 2
d) m(x) =
√x3 + x− 2
4− x2i) s(x) =
√(−x− 4)(−2x− 7).
e) n(x) =x3 − 3x+ 2
x2 − 9
Exercício 1.6.2. Determine o conjunto-solução de cada uma das seguintes inequa-
ções:
75 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.6. FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM POTÊNCIAS RACIONAIS
a) (4x+ 1)(−2x− 1)(x+ 3) > 0 e)x
x2 − 4> 0
b) x2(x− 1) ≥ 0 f)3
1− x≤ 1
c)−x+ 5
2x− 4≤ 0 g)
x+ 1
x− 1− x+ 2
x− 2≥ − 2
x− 1
d)x
x2 − 4≤ 0 h)
(x+ 12)(7x− 14)
(2x+ 1)(x− 5)< 0.
Exercício 1.6.3. Seja a função definida pela equação y = 1 +1
x. Responda:
a) Qual é seu domínio?
b) Os pontos A(−1,−2), B(2, 1), C(1, 2), D(−2,−5
2
)e E
(3,
7
2
)pertencem ao
gráfico da função?
Exercício 1.6.4. Para as seguintes funções:
f(x) =x+ 7
x2 − 16g(x) =
4x2
x2 + 3h(x) = x− 1
x
l(x) =12
x2− 12
xm(x) =
1
x2 + x.
Determine:
a) o domínio;
b) as raízes;
c) a intersecção com o eixo y;
d) os intervalos onde a função é positiva e os intervalos onde ela é negativa.
Exercício 1.6.5. Considere as funções algébricas:
f(x) =√3x+ 6 g(x) =
√x
x− 2h(x) =
√4− (x+ 2)2
l(x) =1√5− x
m(x) =
√x+ 1
1− x.
76 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.6. FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM POTÊNCIAS RACIONAIS
Determine:
a) o domínio;
b) as raízes;
c) a intersecção com o eixo y;
d) os intervalos onde a função é positiva e os intervalos onde ela é negativa.
Respostas dos exercícios
1.6.1.a)D(f) = {x ∈ R|x ≥ −1} b)D(g) = {x ∈ R| − 2 < x < 2}
c)D(h) = {x ∈ R|1 ≤ x < 2} d)D(m) = {x ∈ R|x < −2 ∨ 1 ≤ x < 2}
e)D(n) = {x ∈ R|x 6= −3 ∧ x 6= 3} f)D(l) = {x ∈ R|x 6= −2 ∧ x 6= 2}
g)D(p) = {x ∈ R|x < 2 ∧ x 6= −2} h)D(r) = R
i)D(s) =
{x ∈ R|x ≤ −4 ∨ x ≥ −7
2
}
1.6.2.a)S =
{x ∈ R|x < −3 ∨ −1
2< x < −1
4
}b)S = {x ∈ R|x ≥ 1}
c)S = {x ∈ R|x < 2 ∨ x ≥ 5} d)S = {x ∈ R|x < −2 ∨ 0 ≤ x < 2}
e)S = {x ∈ R| − 2 < x < 0 ∨ x > 2} f)S = {x ∈ R|x ≤ −2 ∨ x > 1}
g)S = {x ∈ R|1 < x < 2}
h)S =
{x ∈ R| − 12 < x < −1
2∨ 2 < x < 5
}
1.6.3. a) D = {x ∈ R|x 6= 0} b) Apenas o ponto C pertence ao gráfico da função.
1.6.4.f(x) g(x)
a) D(f) = {x ∈ R|x 6= −4 ∧ x 6= 4} D(g) = R
b) x = −7 x = 0
c)(0,− 7
16
)(0, 0)
d) f(x) > 0 ⇔ {x ∈ R| − 7 < x < −4 ∨ x > 4} g(x) > 0 ⇔ {x ∈ R|x 6= 0}
f(x) < 0 ⇔ {x ∈ R|x < −7 ∨ −4 < x < 4} g(x) < 0 : Não há.
77 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.6. FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM POTÊNCIAS RACIONAIS
h(x) l(x)
a) D(h) = {x ∈ R|x 6= 0} D(l) = {x ∈ R|x 6= 0}
b) x1 = 1, x2 = −1 x = 1
c) Não há. Não há.
d) h(x) > 0 ⇔ {x ∈ R| − 1 < x < 0 ∨ x > 1} l(x) > 0 ⇔ {x ∈ R|x < 1 ∧ x 6= 0}
h(x) < 0 ⇔ {x ∈ R|x < −1 ∨ 0 < x < 1} l(x) < 0 ⇔ {x ∈ R|x > 1}.
m(x)
a) D(m) = {x ∈ R|x 6= 0 ∧ x 6= −1}
b) Não há.
c) Não há.
d) m(x) > 0 ⇔ {x ∈ R|x < −1 ∨ x > 0}
m(x) < 0 ⇔ {x ∈ R| − 1 < x < 0}.
1.6.5.
f(x) g(x)
a) D(f) = {x ∈ R|x ≥ −2} D(g) = {x ∈ R|x ≤ 0 ∨ x > 2}
b) x = −2 x = 0
c)(0,√6)
(0, 0)
d) f(x) > 0 ⇔ {x ∈ R|x > −2} g(x) > 0 ⇔ {x ∈ R|x < 0 ∨ x > 2}
f(x) < 0: Não há. g(x) < 0: Não há.
h(x) l(x)
a) D(h) = {x ∈ R| − 4 ≤ x ≤ 0} D(l) = {x ∈ R|x < 5}
b) x1 = 0, x2 = −4 Não há.
c) (0,0)
(0,
√5
5
)d) h(x) > 0 ⇔ {x ∈ R| − 4 < x < 0} l(x) > 0 ⇔ {x ∈ R|x < 5}
h(x) < 0: Não há. l(x) < 0: Não há.
78 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.7. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
m(x)
a) D(m) = {x ∈ R| − 1 ≤ x < 1}
b) x = −1
c) (0, 1)
d) m(x) > 0 ⇔ {x ∈ R| − 1 < x < 1}
m(x) < 0: Não há.
1.7 Álgebra de funções
1.7.1 Adição, subtração, produto e divisão de funções
Combinações algébricas de funções podem ser obtidas de diversas manei-
ras. Dadas duas funções f e g, as operações soma, diferença, produto e quociente
podem ser definidas como na Tabela 8:
Tabela 8: Operações algébricas com funções.
Operação Definição
Soma (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Diferença (f − g)(x) = f(x)− g(x)
Produto (f · g)(x) = f(x) · g(x)
Quociente(
fg
)(x) =
f(x)
g(x)
O domínio de uma função resultante da operação entre funções corres-
ponde a todos os valores de x que pertencem aos domínios das funções que estão
sendo operadas, ou seja, é a intersecção dos domínios dessas funções. Por exemplo,
o domínio de (f + g)(x) é a intersecção entre D(f) e D(g).
A única exceção é com a operação de divisão.
Considerando(
fg
)(x) =
f(x)
g(x), não fará parte do domínio de
(fg
)(x) os
valores onde g(x) = 0, para que não ocorra uma divisão por zero.
Exemplo 1.7.1. Considere as funções f(x) =x+ 1
x2 − 9e g(x) = 2 + x, calcule as
seguintes operações e determine o domínio das funções resultantes:
79 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.7. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
a) (f + g)(x)
b) (f − g)(x)
c) (f · g)(x)
d)(f
g
)(x).
Solução:
a) Substituindo as leis de f(x) e g(x) na expressão que define a soma de funções:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
=
(x+ 1
x2 − 9
)+ (2 + x)
=x+ 1 + 2x2 − 18 + x3 − 9x
x2 − 9
(f + g)(x) =x3 + 2x2 − 8x− 17
x2 − 9.
O denominador de uma fração não pode ser zero, logo:
x2 − 9 6= 0
x2 6= 9
x 6= ±√9
x 6= ±3.
Como essa é a única restrição para a função resultante, então D(f+g) =
{x ∈ R|x 6= −3 ∧ x 6= 3}. Observe que o conjunto encontrado é exatamente a
intersecção entre D(f) e D(g).
b) Utilizando a definição da diferença entre funções:
80 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.7. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
(f − g)(x) = f(x)− g(x)
=(
x+1x2−9
)− (2 + x)
= x+1x2−9
− 2− x
= x+1−2x2+18−x3+9xx2−9
(f − g)(x) = −x3−2x2+10x+19x2−9
.
Assim como no item anterior, o domínio será a intersecção entre D(f) e
D(g), ou seja, D(f − g) = D(f) ∩D(g) = {x ∈ R|x 6= −3 ∧ x 6= 3}.
c) Substituindo f(x) e g(x) na definição de produto de funções:
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
=
(x+ 1
x2 − 9
)· (2 + x)
=2x+ x2 + 2 + x
x2 − 9
(f · g)(x) =x2 + 3x+ 2
x2 − 9.
Novamente, o domínio é a intersecção entre D(f) e D(g), portanto,
D(f · g) = D(f) ∩D(g) = {x ∈ R|x 6= −3 ∧ x 6= 3}.
d) Partindo da definição de quociente de funções, calcula-se:
(f
g
)(x) = f(x)
g(x)
=
(x+1x2−9
)(x+ 2)
=x+ 1
(x2 − 9)(x+ 2)(f
g
)(x) =
x+ 1
(x+ 3)(x− 3)(x+ 2).
Para que(f
g
)(x) não tenha denominador nulo, então deve-se ter que
(x+3)(x− 3)(x+2) 6= 0. Para um produto ser diferente de zero, nenhum dos
81 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.7. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
fatores pode ser nulo, então:
(x+ 3) 6= 0 e (x− 3) 6= 0 e (x+ 2) 6= 0
x 6= −3 e x 6= 3 e x 6= −2.
Assim, D(
fg
)= {x ∈ R|x 6= −3 ∧ x 6= −2 ∧ x 6= 3}. Percebe-se que é
o mesmo conjunto obtido ao se fazer a intersecção entre D(f) e D(g) tirando
os valores onde g(x) = 0.
1.7.2 Composição de funções
A função composta f ◦ g de duas funções f e g é definida por:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)).
O domínio da função composta (f ◦ g)(x) corresponde ao conjunto de
todos os valores de x no domínio de g(x) cuja imagem está contida no domínio
de f(x), ou seja, Im(g) ⊆ D(f). A imagem de (f ◦ g)(x) é o conjunto de todos
os números da forma f (g(x)) construída à medida que x percorre o domínio de
(f ◦ g)(x).
Observação 1.7.1. O domínio de qualquer função polinomial sempre corresponde
ao conjunto R, o que possibilita a composição de duas funções polinomiais quaisquer.
No entanto, a condição Im(g) ⊆ D(f) deve ser verificada para funções em geral.
Exemplo 1.7.2. Considere as funções f(x) = 3x − 1, g(x) = 1 − x2 e h(x) = x3,
determine:
a) (f ◦ g)(x)
b) (g ◦ f)(x)
c) (h ◦ h)(x)
d) [f ◦ (g + h)](x).
Solução:
82 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.7. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
a) Da definição de função composta, (f ◦ g)(x) = f(g(x)). Ou seja:
(f ◦ g)(x) = f(1− x2).
Substituindo x por 1− x2 na função f :
f(1− x2) = 3(1− x2)− 1
= 3− 3x2 − 1
f(1− x2) = −3x2 + 2.
Portanto:
(f ◦ g)(x) = −3x2 + 2.
b) A partir da definição de função composta, (g ◦ f)(x) = g(f(x)). Então:
(g ◦ f)(x) = g(3x− 1).
Substituindo x por 3x− 1 na função g:
g(3x− 1) = 1− (3x− 1)2
= 1− (9x2 − 6x+ 1)
= 1− 9x2 + 6x− 1
g(3x− 1) = −9x2 + 6x.
Ou seja:
(g ◦ f)(x) = −9x2 + 6x.
c) Utilizando a definição de função composta, (h ◦ h)(x) = h(h(x)). Portanto:
(h ◦ h)(x) = h(x3).
Substituindo x por x3 na função h:
h(x3) = (x3)3
h(x3) = x9.
83 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.7. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
Logo:
(h ◦ h)(x) = x9.
d) Da definição de função composta, [f ◦ (g + h)](x) = f [(g + h)(x)]. Calculando
(g + h)(x):
(g + h)(x) = g(x) + h(x)
(g + h)(x) = 1− x2 + x3.
Ou seja:
[f ◦ (g + h)](x) = f(1− x2 + x3).
Substituindo x por 1− x2 + x3 na função f :
f(1− x2 + x3) = 3(1− x2 + x3)− 1
= 3− 3x2 + 3x3 − 1
f(1− x2 + x3) = −3x2 + 3x3 + 2.
Portanto:
[f ◦ (g + h)](x) = −3x2 + 3x3 + 2.
Exemplo 1.7.3. Sejam as funções f e g definidas por f(x) = x+2 e g(x) = 3x−2.
Expresse cada as funções abaixo através das composições de funções escolhidas entre
f e/ou g:
a) h(x) = 3x+ 4
b) i(x) = 3x
c) j(x) = x+ 4
Solução:
Não há um procedimento único para se resolver esse tipo de problema.
Uma forma é testar diferentes composições entre as funções f e g e observar os resul-
tados. Aqui será mostrado apenas um desenvolvimento algébrico para se encontrar
a composição correta, que poderia ser obtida através desses testes.
84 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.7. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
a) Reescrevendo a função h:
h(x) = 3x+ 4
= 3x+ 6− 2
h(x) = 3(x+ 2)− 2.
Como f(x) = x + 2, então h(x) = 3[f(x)] − 2. Mas essa é justamente
a expressão obtida ao se calcular g(f(x)), quando se substitui x por f(x) na
função g. Ou seja:
h(x) = g(f(x)).
b) A função i pode ser reescrita da seguinte forma:
i(x) = 3x
= 3x− 2 + 2
i(x) = (3x− 2) + 2.
Como g(x) = 3x− 2, então i(x) = [g(x)] + 2. Essa é a expressão obtida
quando se calcula f(g(x)), substituindo x por g(x) na função f . Portanto:
i(x) = f(g(x)).
c) Reescrevendo a função j:
j(x) = x+ 4
= x+ 2 + 2
j(x) = (x+ 2) + 2
Como f(x) = x+2, então j(x) = [f(x)]+2. Entretanto, essa é justamente
a expressão obtida ao se calcular f [(f(x)], quando se substitui x por f(x) na
própria função f . Ou seja:
j(x) = f(f(x)).
Observação 1.7.2. A composição de duas funções não é comutativa, ou seja (f ◦
g)(x) pode ou não ser igual a (g ◦ f)(x).
85 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.7. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
Observação 1.7.3. A propriedade distributiva não se aplica à composição de fun-
ções. Assim, [f ◦(g+h)](x) não necessariamente é o mesmo que (f ◦g)(x)+(f ◦h)(x).
1.7.3 Função injetora
Definição 1.7.1. Uma função f : A → B é injetora se cada elemento de B é imagem
de um único elemento de A.
Veja a representação desse tipo de função na Figura 1.25.
A B
f
Figura 1.25: Função injetora.
Como para cada valor de y no domínio de uma função injetora f existe
exatamente um x, tal que y = f(x) , uma reta horizontal y = c pode cruzar o grá-
fico de f no máximo uma vez. Caso contrário, o gráfico não representa uma função
injetora. Na Figura 1.26, apenas o gráfico da direita representa uma função injetora.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
XX X
Figura 1.26: Teste para verificar se uma função é injetora.
86 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.7. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
1.7.4 Função sobrejetora
Definição 1.7.2. Uma função f : A → B é sobrejetora se todos elementos de B
formam a imagem de f , ou seja, Im(f) = B.
Veja sua representação na Figura 1.27.
A B
f
Figura 1.27: Função sobrejetora.
1.7.5 Função bijetora
Definição 1.7.3. Uma função f : A → B é bijetora quando ao mesmo tempo for
injetora e sobrejetora.
A Figura 1.28 representa esse tipo de função.
A B
f
Figura 1.28: Função bijetora.
1.7.6 Função inversa
Definição 1.7.4. Seja f uma função bijetora definida de A em B, com x ∈ A e
y ∈ B, sendo (x, y) ∈ f . Denomina-se função inversa de f , e indica-se por f−1, o
conjunto dos pares ordenados (y, x) ∈ f−1 com y ∈ B e x ∈ A.
87 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.7. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
A Figura 1.29 representa graficamente uma função bijetora e sua inversa.
A B A B
f f-1
Figura 1.29: Função bijetora f e sua inversa f−1.
Processo algébrico de obtenção da função inversa:
É importante observar que cada função bijetora só possui uma função
inversa correspondente. Dada uma função bijetora f , para se obter sua inversa f−1
basta reescrever a lei de definição de f substituindo x por y e y por x. A função
inversa é obtida isolando-se y.
Observação 1.7.4. Duas funções f(x) e g(x) são inversas uma da outra se, e
somente se, f(g(x)) = x e g(f(x)) = x.
Exemplo 1.7.4. Determine a função inversa da função f(x) = x+ 5.
Solução:
Substituindo f(x) = y, obtém-se y = x + 5. Para calcular a função in-
versa f−1(x), basta "permutar"x por y e y por x, ou seja:
x = y + 5
y = x− 5.
O valor de y encontrado corresponde a f−1(x), logo, a função inversa
encontrada é f−1(x) = x− 5.
Exemplo 1.7.5. Mostre que as funções f(x) = 3x e g(x) = x3
são inversas.
Solução:
As funções serão inversas se, e somente se, f(g(x)) = x e g(f(x)) = x.
Calculando f(g(x)):
88 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.7. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES
f(g(x)) = f(x3
)= 3
(x3
)f(g(x)) = x.
Resolvendo g(f(x)):
g(f(x)) = g(3x)
=(3x)
3
g(f(x)) = x.
Como f(g(x)) = g(f(x)) = x, então as funções f e g são inversas.
Exercício 1.7.1. Sejam definidas as funções f(x) = x− 3 e g(x) = x2 + 4 . Deter-
mine:
a) (f ◦ g)(4)
b) (f ◦ g)(2)
c) (g ◦ f)(4)
d) (g ◦ f)(2).
Exercício 1.7.2. Sejam as funções f , g e h definidas por f(x) = 4x, g(x) = x− 3
e h(x) =√x. Expresse cada uma das seguintes funções através das composições de
funções escolhidas entre f , g e h.
a) i(x) = 4√x
b) j(x) =√x− 3
c) k(x) = 4x− 12
d) l(x) = x− 6
e) m(x) =√4x.
Exercício 1.7.3. Sendo f(x) = 2x+10 e g(x) = x2− 100, calcule o valor de x para
que g(f(x)) = 0.
89 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Exercício 1.7.4. Determine, se existir, a função inversa das funções definidas por:
a) y = 2x+3
2d) y =
1
x− 2, x 6= 2 g) y = 4x− 1
b) y =x+ 2
3e) y =
x− 1
2x, x 6= 0 h) y = x2 − 9
c) y = x2 + 1, x ≥ 0 f) y = x3 i) y = 4 + (x+ 3)2.
Respostas dos exercícios
1.7.1. a) (f ◦ g)(4) = 17 b) (f ◦ g)(2) = 5 c) (g ◦ f)(4) = 5 d) (g ◦ f)(2) = 5
1.7.2. a) (f ◦ h)(x) b) (h ◦ g)(x) c) (f ◦ g)(x) d) (g ◦ g)(x) e) h ◦ f)(x)
1.7.3.x = 0 ou x = −10.
1.7.4. a) y =2x− 3
4b) y = 3x− 2 c) y =
√x− 1, x ≥ 1
d) y =1 + 2x
x, x 6= 0 e) y =
1
2x− 1, x 6= 1
2f) y = 3
√x
g) y =x+ 1
4h) y =
√x− 9, x ≥ −9 i) y = −3−
√x− 4, x ≥ 4
1.8 Funções Transcendentes
Nesta seção estudam-se as funções trascendentes, isto é, as funções ex-
ponenciais, logarítmicas, hiperbólicas e trigonométricas.
Os primeiros registros dos cálculos com potências foram encontrados em
tabelas babilônicas (1000 a.C.). Diofante de Alexandria em sua obra Arithmetica a-
presentou a utilização de abreviações específicas para potências, bem como aplicação
de regras de operações e nomes especiais para potências com expoentes negativos.
A generalização do conceito de potência deve-se a Nicole Oresme no século XIV.
Ele incluiu em seus trabalhos potências com expoentes racionais e irracionais, além
de uma sistematização de regras com potências. Nicolas Chuquet, no século XV,
utilizou potências com expoente nulo e a representação de expressões algébricas
envolvendo potências. No século XVII, René Descartes passou a empregar a notação
de potência utilizada hoje.
90 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Considerando a, b > 0, então para todos os reais x e y valem as seguintes
propriedades:
a) ax · ay = ax+y d) (a · b)x = ax · bx
b)ax
ay= ax−y e)
(ab
)x=
ax
bx
c) (ax)y = ax·y f) axy = y
√ax.
1.8.1 Função exponencial
Uma função exponencial é qualquer função que possua a variável inde-
pendente x como um expoente de uma potência de base a em sua lei de definição.
Sua forma básica é f(x) = ax, onde a > 0 e a 6= 1.
Exemplo 1.8.1. São exemplos de funções exponenciais: g(x) =(1
2
)x
, h(x) = 4−x
e m(x) = 2−x2 .
Exemplo 1.8.2. Uma pesquisa mostra que o número de bactérias em uma dada
cultura é obtida pela fórmula Q(t) = 300 · 3 t4 . Sabendo que t é medido em dias,
estime:
a) a população inicial;
b) a população após 4 dias;
c) a população após 12 dias.
Solução:
a) A população inicial é expressa por Q(0). Calculando:
Q(0) = 300 · 3 04
= 300 · 30
Q(0) = 300.
Assim, a população inicial é formada por 300 bactérias.
91 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
b) Para encontrar a população após 4 dias, calcula-se Q(4):
Q(4) = 300 · 3 44
= 300 · 31
Q(4) = 900.
Portanto, a população após 4 dias é de 900 bactérias.
c) A população após 12 dias é encontrada através do cálculo de Q(12). Então:
Q(12) = 300 · 3 124
= 300 · 33
= 300 · 27
Q(12) = 8.100.
Logo, a população após 12 dias é formada por 8.100 bactérias.
Exercício 1.8.1. Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se
que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t,
em anos, de acordo com as funções A(t) = 2 · 105 · (0, 9)t e B(t) = 6 · 105 · (0, 3)t.
Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao 1o de janeiro de 2009.
a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1o de janeiro de 2009.
b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.
Exercício 1.8.2. Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de
água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0 ·2−0,2t, onde q0 é a quantidade
inicial de água no reservatório e q(t) é a quantidade de água no reservatório após t
meses. Em quantos meses a quantidade de água se reduzirá à metade do que era no
início?
Respostas dos exercícios
1.8.1. a) A(0) = 2 · 105 e B(0) = 6 · 105 b) Em 12 meses.
1.8.2. Em 5 meses.
92 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Propriedades da função exponencial:
Toda função exponencial da forma f(x) = ax corta o eixo y no ponto
(0, 1), possui domínio D(f) = R e imagem Im(f) = {y ∈ R|y > 0}. A função é
positiva em todo seu domínio, ou seja, f(x) > 0 : ∀x ∈ R. Veja na Tabela 9 algumas
propriedades relacionadas à base a da função exponencial.
Tabela 9: Propriedades da função exponencial.
a > 0 0 < a < 1
Função de crescimento exponencial Função de descrescimento exponencial
Quando x → +∞: f(x) → +∞ Quando x → +∞: f(x) → 0+
Quando x → −∞: f(x) → 0+ Quando x → −∞: f(x) → +∞
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Exemplo 1.8.3. Considere a função f(x) = (2b − 6)x, determine os valores de b
para os quais:
a) f(x) seja uma função crescente;
b) f(x) seja uma função decrescente.
Solução:
a) Comparando a lei de definição de f(x) com a forma geral f(x) = ax, observa-se
que 2b−6 é a base da função exponencial, logo, a = 2b−6. Para que a função
seja crescente sabe-se que a > 1, ou seja, 2b− 6 > 1. Resolvendo a inequação:
2b− 6 > 1
2b > 1 + 6
b >7
2.
93 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Portanto, a função será crescente quando b >7
2.
b) Uma função da forma f(x) = ax é decrescente quando 0 < a < 1. Como
a = 2b− 6, então obtém-se a inequação 0 < 2b− 6 < 1. Calculando:
0 < 2b− 6 < 1
6 < 2b < 7
6
2< b <
7
2
3 < b <7
2.
Logo, a função será decrescente quando 3 < b <7
2.
Observação 1.8.1. O número e:
O número e é chamado de base exponencial natural, número de Ne-
per ou número de Euler. É um número irracional e tem valor aproximado de
2,7182818284..., obtido através da função f(n) =
(1 +
1
n
)n
quando os valores atri-
buídos a n crescem indefinidamente. Observe o comportamento da função na Tabela
10:
Tabela 10: Valores para a função f(n) =(1 + 1
n
)n.n
(1 + 1
n
)n1 2
10 2,59374246. . .
100 2,70481383. . .
1.000 2,71692393. . .
10.000 2,71814593. . .
100.000 2,71826824. . .
1.000.000 2,71828047. . .
Percebe-se que ao atribuir valores maiores para n a expressão resulta em
um valor cada vez mais próximo do número e. Diz-se então que:
limn→+∞
(1 +
1
n
)n
= e.
94 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
O conceito de limite será melhor desenvolvido no próximo capítulo.
Modelam-se vários fenômenos de crescimento com funções que envolvem
a base exponencial natural. Seu surgimento ocorreu no século XVII com o estudo
dos logaritmos feitos por John Napier, e por isso essa constante ficou conhecida como
número de Neper. O símbolo e foi criado por Leonhard Euler, a quem é creditada a
fórmula eiπ + 1 = 0, considerada por muitos como a mais bela fórmula da história
da matemática.
Exemplo 1.8.4. Considerando a função f(x) = x2ex − 3xex, determine:
a) seu domínio;
b) suas raízes;
c) o valor de f(0).
Solução:
a) Não há qualquer restrição quanto aos valores que podem ser atribuídos a x, logo,
D(f) = R.
b) Encontram-se as raízes resolvendo f(x) = 0. Calculando:
x2ex − 3xex = 0
ex(x2 − 3x) = 0.
Para que o resultado de uma multiplicação seja zero, pelo menos um dos
fatores deve ser nulo. Assim:
ex = 0 ou x2 − 3x = 0.
No entanto, ex nunca será nulo, logo:
x2 − 3x = 0
x(x− 3) = 0.
Novamente, tem-se uma multiplicação com resultado nulo, então:
x = 0 ou x− 3 = 0
x = 0 ou x = 3.
Portanto, a função f(x) tem raízes x1 = 0 e x2 = 3.
95 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
c) O cálculo de f(0) é direto, bastando substituir x por 0 na função:
f(0) = (0)2 · e(0) − 3 · (0) · e(0)
= 0− 0
f(0) = 0.
Exercício 1.8.3. Considere as funções f(x) = 2x e g(x) = 2−x. Determine para
cada função:
a) o seu domínio;
b) a sua imagem;
c) o comportamento quando x → +∞;
d) o comportamento quando x → −∞;
e) o esboço do gráfico.
Exercício 1.8.4. Simplifique a expressão:(ex + e−x)2 − (ex − e−x)2
(ex + e−x)2.
Exercício 1.8.5. Determine os zeros da função f(x) = −x2e−x + 2xe−x.
Exercício 1.8.6. Os registros de saúde pública indicam que em t semanas após o
início de uma doença virótica, aproximadamente Q(t) =20
1 + 19e−1,2tmil pessoas
terão contraído a doença.
a) Quantas pessoas tinham a doença quando ela começou a se espalhar?
b) Quantas pessoas tinham contraído a doença após o fim da segunda semana?
c) Se a tendência continuasse, aproximadamente quantas pessoas ao todo teriam
contraído a doença?
Respostas dos exercícios
96 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
1.8.3.f(x) g(x)
a) D(f) = R D(g) = R
b) Im(f) = {y ∈ R|y > 0} Im(g) = {y ∈ R|y > 0}
c) f(x) → +∞ g(x) → 0+
d) f(x) → 0+ g(x) → +∞
e)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
1.8.4.4
(ex + e−x)2.
1.8.5. x1 = 0 e x2 = 2.
1.8.6. a) 1.000 pessoas. b) 7.343 pessoas. c) 20.000 pessoas.
1.8.2 Funções Hiperbólicas
Ao se observar um fio usado para transporte de energia elétrica, preso em
dois postes, percebe-se que o peso do mesmo faz com que ele não fique completamente
esticado, dando a impressão de que a curva formada entre os postes representa uma
parábola (veja na Figura 1.30).
Figura 1.30: Representação de um fio preso entre dois postes.
Mas na verdade essa curva, conhecida como catenária, é descrita por
uma função hiperbólica, resultado de certas combinações de funções exponenciais
97 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
que estão relacionadas com uma hipérbole aproximadamente da mesma forma com
que as funções trigonométricas estão relacionadas com o círculo. Suas semelhanças
com as funções trigonométricas são enfatizadas chamando-as de seno hiperbólico,
cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica.
As funções hiperbólicas surgem em movimentos vibratórios, dentro de
sólidos elásticos, e mais genericamente, em muitos problemas nos quais a energia
mecânica é gradualmente absorvida pelo meio ambiente.
Função seno hiperbólico:
A função seno hiperbólico é definida por:
senh(x) =ex − e−x
2,
e seu gráfico pode ser visto na Figura 1.31.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.31: Gráfico da função seno hiperbólico
Tanto o domínio quanto a imagem correspondem ao conjunto R. A curva
corta os dois eixos na origem e se percebe que a função é negativa quando x < 0, e
positiva quando x > 0.
Analisando o comportamento do gráfico, percebe-se que quando x tende
a +∞, f(x) também tende a +∞. Da mesma forma, quando x tende a −∞, f(x)
tende a −∞.
Finalmente, percebe-se que o gráfico de f(x) = senh(x) é simétrico em
relação à origem, ou seja, a função seno hiperbólico é uma função ímpar.
98 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Função cosseno hiperbólico:
A função cosseno hiperbólico é definida por:
cosh (x) =ex + e−x
2,
e seu gráfico pode ser visto na Figura 1.32.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Figura 1.32: Gráfico da função cosseno hiperbólico
Essa função tem domínio D(f) = R e imagem Im(f) = {y ∈ R|y > 1}.
A curva corta o eixo y no ponto (0, 1), e nunca intercepta o eixo x. Assim, a função
não possui raízes reais e é positiva em todo seu domínio.
Quando x tende a −∞ ou +∞, f(x) cresce indefinidamente no sentido
positivo. Esse comportamento é coerente com o fato de f(x) ser simétrica em rela-
ção ao eixo y, e assim, conclui-se que a função cosseno hiperbólico é uma função par.
Função tangente hiperbólica:
A função tangente hiperbólica é definida por:
tanh(x) =ex − e−x
ex + e−x,
e seu gráfico pode ser visto na Figura 1.33.
O domínio dessa função corresponde ao conjunto dos números reais e a
imagem é Im(f) = {y ∈ R| − 1 < y < 1}. O gráfico intercepta os dois eixos na
origem, e a função é negativa quando x < 0 e positiva quando x > 0.
99 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.33: Gráfico da função tangente hiperbólica
Quando os valores de x tendem a −∞, f(x) tende a −1, e quando os
valores de x tendem a +∞, f(x) tende a 1.
Percebe-se que f(x) é simétrica em relação à origem, logo, a função tan-
gente hiperbólica é uma função ímpar.
Exemplo 1.8.5. Uma linha de telefone é pendurada entre dois postes separados por
14 m na forma catenária y = −15+20 cosh
(x− 7
20
), onde x e y são as coordenadas
medidas em metros. Determine a altura em que está um pássaro pousado na linha
a 3m de um dos postes.
Exercício 1.8.7. Sabendo que senh(x) =ex − e−x
2e cosh (x) =
ex + e−x
2, demons-
tre as seguintes identidades:
a) cosh2 (x)− senh2(x) = 1
b) senh(2x) = 2 · senh(x) · cosh (x)
c) cosh (2x) = cosh2 (x) + senh2(x)
d) ex = senh(x) + cosh (x).
1.8.3 Função Logarítmica
100 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Logaritmos
O estudo dos logaritmos iniciou com o objetivo de realizar simplificações
em operações aritméticas, pois transformam multiplicações e divisões em operações
mais simples como soma e subtração. John Napier é considerado o pai dos loga-
ritmos. Seu método se baseou na propriedade das multiplicações de potências de
mesma base. Henry Briggs estudou os logaritmos decimais.
Os logaritmos podem ser aplicados na engenharia, em cálculos de poços
em regime não permanente e vazões de enchentes. Além disso, estão envolvidos no
cálculo de isolamento acústico e na pavimentação rodoviária.
Definição 1.8.1. O logaritmo de um número real e positivo N , na base b, positiva
e diferente de 1, é o número x ao qual se deve elevar b para se obter N .
Por exemplo, o número que se deve elevar 2 para se obter 32 é 5; portanto,
5 é o logaritmo de 32 na base 2.
O quadro a seguir apresenta um comparativo entre as notações de loga-
ritmo e potência.
Forma logarítmica Forma exponencial
logb(N) = x bx = N
b: base do logaritmo b: base da potência
N : logaritmando N : potência
x: logaritmo x: expoente
Observação 1.8.2. Existem duas bases de logaritmos que são mais usuais. Os
logaritmos decimais, de base b = 10, indicados por log10(N), ou apenas log(N), e
os logaritmos naturais (ou neperianos), de base b = e, denotados por loge(N) ou
ln(N).
Considerando b 6= 1, b > 0 e N > 0, como consequência da definição
tem-se:
a) logb(1) = 0
b) blogb(N) = N
c) logb(b) = 1
101 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
d) logb(N) = logb(P ) ⇔ N = P
e) logb(bm) = m
Propriedades operacionais dos logaritmos
(1) O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos de seus fatores:
log(N · P ) = log(N) + log(P ).
(2) O logaritmo de um quociente é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo
e o logaritmo do divisor:
log
(N
P
)= log(N)− log(P ).
(3) O logaritmo de uma potência é o produto do expoente pelo logaritmo da base
da potência:
log(Np) = p · log(N).
(4) O logaritmo de uma raiz de radicando positivo é igual ao logaritmo do radicando
dividido pelo índice do radical:
log(
p√N)=
1
p· log(N).
(5) O logaritmo de M na base b é igual ao quociente de logaritmo de M na base c
pelo logaritmo de b na base c:
logb(M) =logc(M)
logc(b).
Demonstração das propriedades:
(1) Sendo z = log(N · P ), x = log(N) e y = log(P ), ao se aplicar a definição de
logaritmo para cada expressão, obtém-se:
10z = N · P , 10x = N e 10y = P .
Substituindo N e P na primeira igualdade:
102 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
10z = 10x · 10y
10z = 10x+y
z = x+ y.
Ou seja: log(N · P ) = log(N) + log(P ).
(2) Essa propriedade pode ser demonstrada de maneira análoga à anterior.
(3) Sendo z = log(Np) e x = log(N), aplicando a definição de logaritmo nas duas
expressões:
10z = Np e 10x = N .
Substituindo N na primeira igualdade:
10z = (10x)p
10z = 10x·p
z = x · p
z = p · x.
Ou seja: log(Np) = p · log(N).
(4) Esta demonstração é semelhante a da propriedade (3), basta transformar a raiz
em uma potência de expoente fracionário.
Exemplo 1.8.6. Um tremor de Terra de magnitude M , na escala Richter, libera
no epicentro uma energia E (erg) dada pela lei M = 23log
(E
2, 5× 1011
).
Exercício 1.8.8. Reescreva as expressões:
a) log3[3(x− a)(x− b)]
b) logx
(x2
y3z4
).
Exercício 1.8.9. Escreva cada uma das expressões como um logaritmo:
103 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
a) 2 ln(x)− 8 ln(y) + 4 ln(z)
b)ln(x+ h)− ln(x)
h
c) x ln(x)− (x− 1) ln(x− 1).
Respostas dos exercícios
1.8.8. a) 1 + log3(x− a) + log3(x− b) b) 2− 3 logx(y)− 4 logx(z)
1.8.9. a) ln
(x2z4
y8
)b) ln
(1 +
h
x
)1
h c) ln
(xx
(x− 1)x−1
)
Definição de função logarítmica
Definição 1.8.2. Denomina-se função logarítmica de base b, a função f de R∗+ em
R definida por f(x) = logb(x), com b 6= 1, b > 0 e x > 0.
Quando b > 1, a função logarítmica é crescente, e quando 0 < b < 1,
então a função é decrescente.
O domínio de uma função logarítmica da forma f(x) = logb[g(x)] é a
solução da inequação g(x) > 0, e a imagem de qualquer função logarítmica é formada
por todos os números reais. Para determinar a raiz da função, resolve-se f(x) = 0
utilizando as propriedades dos logaritmos.
O gráfico da função logarítmica f(x) = logb(x) pode assumir as seguin-
tes formas, de acordo com a Tabela 11. Observa-se que o gráfico de f(x) = logb(x)
intercepta o eixo x no ponto (1, 0), tanto na função crescente quanto na decrescente.
É importante também destacar que esses gráficos se alteram caso o logaritmando
seja diferente.
104 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Tabela 11: Gráfico da função logarítmica f(x) = logb(x).
b > 1 0 < b < 1
Função crescente Função de descrescente
Quando x → +∞: f(x) → +∞ Quando x → +∞: f(x) → −∞
Quando x → 0+: f(x) → −∞ Quando x → 0+: f(x) → +∞
−2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Exemplo 1.8.7. Considere as seguintes funções:
f(x) =log(5− x)
x− 2h(x) = x+
√x2 + log(x2)
g(x) = logx−5(4)− 2 m(x) = logx−7(12).
a) Determine o domínio de f(x).
b) Encontre as raízes de g(x).
c) Obtenha o valor de h(−10).
d) Determine os valores de x para os quais m(x) é uma função crescente.
Solução:
a) Como a lei de f(x) é expressa por uma fração, analisam-se separadamente o
numerador e o denominador. Há um logaritmo no numerador, logo, seu loga-
ritmando (5− x) deve ser maior do que zero. Ou seja:
5− x > 0
−x > −5
x < 5.
Como não existe divisão por zero, o denominador não pode ser nulo.
Assim:
105 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
x− 2 6= 0
x 6= 2.
Os intervalos encontrados constituem o domínio, portanto,
D(f) = {x ∈ R|x < 5 ∧ x 6= 2}.
b) Para encontrar as raízes, basta resolver g(x) = 0. Calculando:
logx−5(4)− 2 = 0
logx−5(4) = 2.
Escrevendo na forma exponencial:
(x− 5)2 = 4
x2 − 10x+ 25 = 4
x2 − 10x+ 21 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação de segundo grau encon-
trada, obtém-se as raízes x1 = 7 e x2 = 3. No entanto, não se pode esquecer
que a base de um logaritmo deve ser positiva e diferente de 1. Ou seja:
x− 5 > 0
x > 5.
Logo, das raízes encontradas, apenas x1 = 7 satisfaz essa condição, pois
x1 > 5. Assim, x1 = 7 é a única raiz de g(x).
c) Substituindo x por (−10) na função h(x):
h(−10) = (−10) +√
(−10)2 + log[(−10)2]
= −10 +√100 + log(100)
= −10 + 10 + 2
h(−10) = 2.
d) A função m(x) será crescente quando a base de logx−7(12) for maior do que 1,
ou seja:
x− 7 > 1
x > 1 + 7
x > 8.
106 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Assim, m(x) será crescente quando x > 8.
1.8.4 Equações exponenciais e logarítmicas
Equações exponenciais:
As equações exponenciais envolvem a variável em um expoente. Para se
resolver esse tipo de equação, aplica-se logaritmo em uma base apropriada (10 ou e)
a ambos os membros da equação.
Exemplo 1.8.8. Resolva as seguintes equações:
a) ex = 10
b) 54−x = 73x+1
c) 2x − 2−x = 1.
Solução:
a) Aplicando o logaritmo de base e nos dois lados da igualdade:
ln(ex) = ln(10)
x · ln(e) = ln(10)
x · 1 = ln(10)
x = ln(10).
A solução da equação é S = {ln(10)}.
b) Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação:
ln(54−x) = ln(73x+1)
(4− x) · ln(5) = (3x+ 1) · ln(7)
4 ln(5)− x ln(5) = 3x ln(7) + ln(7)
3x ln(7) + x ln(5) = 4 ln(5)− ln(7)
x(3 ln(7) + ln(5)) = 4 ln(5)− ln(7)
x =4 ln(5)− ln(7)
3 ln(7) + ln(5).
107 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
A equação tem como solução S =
{4 ln(5)− ln(7)
3 ln(7) + ln(5)
}.
c) Antes de aplicar os logaritmos, reescreve-se a equação de forma a obter uma
equação quadrática:
2x − 2−x = 1
2x − 1
2x= 1
2x · 2x − 1
2x= 1
2x+x − 1 = 2x
22x − 2x − 1 = 0
(2x)2 − (2x)− 1 = 0.
Substituindo 2x por y:
y2 − y − 1 = 0.
Obteve-se uma equação de 2o grau. Ao se resolver a equação utilizando
a fórmula de Bhaskara, encontram-se as raízes y1 =1 +
√5
2e y2 =
1−√5
2.
Substituindo y1 e y2 por 2x:
2x =1 +
√5
2ou 2x =
1−√5
2.
No entanto, a segunda igualdade nunca vai se verificar, pois1−
√5
2representa um número negativo, e 2x nunca resultará em valores negativos,
independente dos valores de x atribuídos. Assim, a equação resultante das
simplificações é:
2x =1 +
√5
2.
E agora, aplica-se o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
108 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
ln(2x) = ln
(1 +
√5
2
)
x ln(2) = ln(1 +√5)− ln(2)
x =ln(1 +
√5)
ln(2)− ln(2)
ln(2)
x =ln(1 +
√5)
ln(2)− 1.
A solução da equação é S =
{ln(1 +
√5)
ln(2)− 1
}.
Equações logarítmicas:
As equações logarítmicas envolvem o logaritmo de uma expressão vari-
ável. Para se resolver esse tipo de equação, escreve-se a expressão logarítmica em
forma exponencial. Se houver mais de uma expressão logarítmica, elas podem ser
combinadas em apenas uma pelo uso das propriedades operacionais dos logaritmos.
Finalmente, é importante que se verifique as soluções encontradas para que nenhuma
delas desobedeça as condições de existência dos logaritmos.
Exemplo 1.8.9. Resolva as seguintes equações:
a) log2(x− 5) = 4
b) log(x) + log(x+ 3) = 1.
Solução:
a) Escrevendo na forma exponencial:
24 = x− 5
x = 16 + 5
x = 21.
A equação tem como solução S = {21}.
b) Antes de escrever na forma exponencial, deve-se utilizar a propriedade operacio-
nal (1) dos logaritmos para que se tenha apenas um logaritmo do lado esquerdo
109 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
da igualdade. Assim:
log(x) + log(x+ 3) = 1
log[(x) · (x+ 3)] = 1
log(x2 + 3x) = 1.
Na forma exponencial, tem-se:
101 = x2 + 3x
x2 + 3x− 10 = 0.
Resolvendo com a fórmula de Bhaskara a equação de 2o grau obtida,
encontram-se as raízes x1 = 2 e x2 = −5. Agora, verifica-se na expressão
inicial log(x) + log(x + 3) = 1 se as raízes encontradas são aceitáveis frente
às condições de existência dos logaritmos. Ou seja, o logaritmando deve ser
sempre positivo. Nesse caso:
x > 0 e x+ 3 > 0.
Testando para x1 = 2:
2 > 0 e 2 + 3 > 0 → 5 > 0. Ambas condições foram satisfeitas.
Verificando para x2 = −5:
−5 > 0 Absurdo! A primeira condição não foi satisfeita, então essa raiz
não pode fazer parte da solução.
Portanto, a solução da equação é S = {2}.
Exercício 1.8.10. Calcule o valor de K sabendo que K = 3 log4(64)−1
2log5(
√5)+
log10(0, 1).
Exercício 1.8.11. Sabendo que a > 0 e a 6= 1, qual é o valor da expressão
3 loga(a5) + loga(1)− 4 loga(
√a) ?
Exercício 1.8.12. Sendo x3 = 25 e y2 = 27, calcule o módulo de x32 · y 4
3 .
110 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Exercício 1.8.13. Resolva as seguintes equações:
a) e5x−3 = 10 h) log2(3x− 4) = 5
b) 53+x = 20x−3 i) log3(x− 2) + log3(x− 4) = 2
c) 2x − 6 · 2−x = 6 j) 2 ln(x)− ln(x+ 1) = 3
d) (3x)x = 81 k) log3
(x+ 3
x− 1
)= 1
e) (2x)x−4 =1
8l) log23x− log3 x− 6 = 0
f) 3x2−7x+12 = 1 m) log[1 + 2 log(x+ 1)] = 0
g)(1
4
)x−1
= 16x+2 n)3 + log(x)
2− log(x)= 4.
Exercício 1.8.14. Resolva 16−0,5 + 81−0,25.
Exercício 1.8.15. Calcule A = x+y em que x e y são, respectivamente, as soluções
das equações exponenciais: 2√x = 128 e 9y−3 = 27y.
Exercício 1.8.16. Dado logb(2) ≈ 0, 693, logb(3) ≈ 1, 099 e logb(7) ≈ 1, 946, utilize
as propriedades dos logaritmos para obter um valor aproximado para as seguintes
expressões:
a) logb(6)
b) logb
(7
27
).
Exercício 1.8.17. Resolva as seguintes equações logarítmicas:
a) log(x− 3) = 2 f) log3(x) + log3(x2 − 8) = log3(8x)
b) log(x+ 4)− log(x) = log(x+ 2) g) log2(x− 8)− log2(x+ 6) = 3
c) 3 log2 5x = 10 h) log(x+ 1) = log x+ 1
d) log(x2) = 6 i) log(x+ 1) + 2 = log(4x2 − 500)
e) ln(x+ 5) = ln(x− 1)− ln(x+ 1) j) 2 log(x) = log(4) + log(3x).
Exercício 1.8.18. Considere as funções:
111 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
f(x) = logx−3(7− x)
g(x) = log 15(x2 − 4x+ 4)
h(x) = (3b− 8)x.
a) Determine o domínio de f(x).
b) Encontre as raízes de g(x).
c) Calcule os valores de b para que h(x) seja uma função crescente.
Respostas dos exercícios
1.8.10. K =31
4
1.8.11. 13
1.8.12. 45
1.8.13.a)S =
{ln(10) + 3
5
}b)S =
{3 ln(5) + 3 ln(20)
ln(20)− ln(5)
}c)S =
{ln(3 +
√15)
ln(2)
}d)S = {−2, 2} e)S = {1, 3} f) {3, 4}
g)S = {−1} h)S = {12} i)S = {3 +√10}
j)S =
{e3 +
√e6 + 4e3
2
}k)S = {3} l)S =
{1
9, 27
}m)S = {0} n)S = {10}
1.8.14.7
12
1.8.15. A = 43
1.8.16. a) 1,792 b) −1, 351
1.8.17.a)S = {103} b)S =
{1 +
√17
2
}
c)S =
{3√210
5
}d)S = {103}
e)S = {} f)S = {4}
g)S = {} h)S =
{1
9
}i)S = {30} j)S = {12}
112 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
1.8.18.a) D(f) = {x ∈ R|3 < x < 4 ∨ 4 < x < 7}
b) x1 = 1 e x2 = 3
c) h(x) > 0 ⇔ {b ∈ R|b > 3}
1.8.5 Funções trigonométricas
A trigonometria teve origem no estudo das relações entre as medidas
dos lados e dos ângulos de um triângulo, em particular, do triângulo retângulo.
Teve sua origem na Antiguidade, quando se acreditava que os planetas descreviam
órbitas circulares ao redor da Terra. Somente no século XVIII Leonhard Euler
conseguiu desvincular a trigonometria da astronomia, transformando-a em um ramo
independente na matemática.
Definição 1.8.3. Seja uma circunferência de centro em O e raio r. α é chamado
ângulo central e tem a mesma medida do arco de circunferência que ele determina.
As três unidades mais comuns para a medida de ângulos são:
Definição 1.8.4. 1 grau, denotado 1o, é um ângulo correspondente a 1360
de uma
volta completa da circunferência.
Assim, uma volta corresponde a 360o, meia volta a 180o, etc. Veja na
Figura 1.34 (a).
180º
90º
360º
270º
0º
r
1 rad
(a) a definição de grau (b) a definição de radiano
r
Figura 1.34: Medidas de ângulos.
Definição 1.8.5. 1 radiano, denotado 1 rad, é um ângulo correspondente a um arco
de mesmo comprimento do raio r da circunferência.
113 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Veja na Figura 1.34 (b). Sabendo que um arco de uma volta possui com-
primento 2πr (perímetro de uma circunferência), a medida em radianos do ângulo
de uma volta θ pode ser encontrado a partir da seguinte relação:
1radr
=θrad2πr
→ θ = 2π rad.
Assim, o ângulo de uma volta corresponde a 2π rad, o de meia volta a π rad,
e assim por diante, onde π corresponde ao número irracional 3, 14159....
Definição 1.8.6. 1 grado, denotado 1 gr, é um arco igual a 1400
da circunferência.
Conversão grau-radiano:
Sabendo que o ângulo de meia volta corresponde a 180o ou a π rad,
utiliza-se a seguinte relação para converter um ângulo θ em radianos para o ângulo
φ em graus:
π rad180o =
θ
φ→ φ = πθ.
A mesma relação pode ser usada para encontrar um ângulo θ em radianos,
dado um ângulo φ em graus.
Exemplo 1.8.10. Considere a medida em radianos, determine a medida correspon-
dente em graus:
a)5π
4rad
b)π
2rad.
Solução:
a) Sendo θ =5π
4rad, então para descobrir φ em graus, utiliza-se a seguinte relação:
π rad180o = θ
φ
π rad180o =
5π4
radφ
φ =180o
π· 5π4
φ = 225o.
114 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
b) Utilizando a mesma relação do item a) para θ =π
2rad:
π rad180o =
π
2rad
φ
φ =180o
π· π2
φ = 90o.
Exemplo 1.8.11. Considere a medida em graus, determine a medida correspon-
dente em radianos:
a) 30o
b) 60o.
Solução:
a) Sendo φ = 30o, obtém-se a medida θ em radianos através da mesma relação do
exemplo anterior:
π rad180o =
θ
φ
π rad180o =
θ
30o
θ =π rad180
· 30
φ =π
6rad.
b) Calculando da mesma forma para φ = 60o:π rad180o =
θ
60o
θ =π rad180
· 60
φ =π
3rad.
115 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Triângulo retângulo
Um triângulo que possua um ângulo de 90o (ângulo reto) é denominado
triângulo retângulo. Os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos,
e o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Veja na Figura 1.35.
a
b
c
Figura 1.35: Triângulo retângulo
Os comprimentos da hipotenusa a e dos catetos b e c estão relacionados
pelo Teorema de Pitágoras, da forma:
a2 = b2 + c2.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo:
Para um ângulo agudo θ de um triângulo retângulo definem-se as razões
trigonométricas:
sen(θ) =cateto opostohipotenusa
cos (θ) =cateto adjacente
hipotenusatg(θ) =
cateto opostocateo adjacente
cosec(θ) =hipotenusa
cateto opostosec (θ) =
hipotenusacateto adjacente
cotg(θ) =cateto adjacente
cateo oposto.
A partir dessas razões, obtêm-se as seguintes identidades trigonométricas:
cosec(θ) =1
sen(θ)sec (θ) =
1
cos (θ)cotg(θ) =
1
tg(θ)
tg(θ) =sen(θ)
cos (θ)cotg(θ) =
cos (θ)
sen(θ).
116 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
a
b
c
a
b
seno:
cosseno:
tangente:
cotangente:
secante:
cossecante:
sen ( )a
cos ( )a
tg ( )a
cotg ( )a
sec ( )a
cossec ( )a
sen ( )
cos ( )
tg ( )
( )
sec ( )
( )
b
b
b
b
b
b
=ca
=ba
=cb
=bc
=ab
=ac
=ba
=ca
=bc
=cb
=ac
=ab
cossec
cotg
Figura 1.36: Razões trigonométricas no triângulo retângulo.
A Figura 1.36 ilustra as razões trigonométricas para os ângulos α e β de
um triângulo retângulo.
Razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis:
Para deduzir os valores de seno, cosseno e tangente de alguns ângulos
básicos, recorremos às figuras geométricas, às definições das razões trigonométricas
e, quando preciso, ao Teorema de Pitágoras.
45º
a
a
a 2
Figura 1.37: Razões trigonométricas do ângulo de 45o.
Observe a Figura 1.37. Ao traçar a diagonal de um quadrado de lado a,
pode se obter as razões trigonométricas para o ângulo de 45o:
sen(45o) =a
a√2=
1√2=
√2
2cos(45o) =
a
a√2=
1√2=
√2
2tg(45o) =
a
a= 1.
Na Figura 1.38 foi traçada a altura do triângulo equilátero de lado a, e
assim se obtém as seguintes razões trigonométricas para os ângulos de 30o e 60o:
117 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
a/2
a 3
60º
30º
a
a/2
2
a
Figura 1.38: Razões trigonométricas dos ângulos de 30o e 60o.
sen(30o) =a2
a=
1
2cos(30o) =
a√3
2
a=
√3
2tg(30o) =
a2
a√3
2
=1√3=
√3
3
sen(60o) =a√3
2
a=
√3
2cos(60o) =
a2
a=
1
2tg(60o) =
a√3
2a2
=√3.
A Tabela 12 esquematiza os resultados obtidos.
Tabela 12: Razões trigonométricas de ângulos notáveis.
θ 30o 45o 60o
sen(θ) 12
√22
√32
cos(θ)√32
√22
12
tg(θ)√33
1√3
Exemplo 1.8.12. Um caçador está sentado em uma plataforma, construída em
uma árvore, a 30 metros do chão. Ele vê um tigre sob um ângulo de 30◦ abaixo da
horizontal. A que distância da base da árvore está o tigre?
Solução:
Observando a Figura 1.8.12, percebe-se que a distância x corresponde ao
cateto adjacente ao ângulo de 30o e a altura da árvore corresponde ao cateto oposto
118 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
x
tigre 30º
observador
30m
Figura 1.39: Ilustração da posição do caçador em relação ao tigre.
a esse ângulo. Utilizando a tangente do ângulo:
tg(30o) =30
x√3
3=
30
x
x =90√3
x = 30√3.
Ou seja, o tigre está a 30√3 metros da base da árvore.
Exercício 1.8.19. Um observador vê um prédio, construído em um terreno plano,
sob um ângulo de 60◦. Afastando-se mais 30 metros, passa a ver o prédio sob um
ângulo de 45◦. Qual é a altura do prédio?
Exercício 1.8.20. Dois prédios estão a 50 metros de distância um do outro. Do
telhado do prédio mais baixo que está a 40 metros do chão, o ângulo de elevação ao
telhado do prédio mais alto é de 45◦. Qual é a altura do prédio mais alto?
Exercício 1.8.21. Um projétil é lançado a 200 m/s, segundo um ângulo de in-
clinação de 60o. Determinar a altura do projétil após 4s, supondo uma trajetória
retilínea e velocidade constante.
Respostas dos exercícios
1.8.19.30√3√
3− 1metros.
1.8.20. 90 metros.
1.8.21. 400√3 metros.
119 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Círculo orientado:
Um círculo pode ser percorrido em dois sentidos. Quando um deles é
escolhido e denominado positivo, diz-se que o círculo está orientado. Tradicional-
mente, escolhe-se o sentido anti-horário e é fixado no círculo unitário orientado um
ponto A, chamado origem dos arcos. Define-se medida algébrica de um arco AB
deste círculo como o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o
sentido de A para B for anti-horário e negativo, caso contrário.
Estendendo as razões trigonométricas abordadas nos itens anteriores para
o círculo trigonométrico, que está centrado na origem de um eixo coordenado, e cujo
raio mede 1 u.c. (uma unidade de comprimento):
eixo dossenos
eixo doscossenos
eixo dastangentes
A B
CD
E
q
Figura 1.40: Funções no círculo trigonométrico.
Observe a Figura 1.40. Sabendo que
sen(θ) =cateto opostohipotenusa
=BC
AC
e que AC = 1 u.c. (raio), então:
sen(θ) = BC.
Desconsidera-se a unidade de comprimento, pois as relações trigonomé-
tricas tratam de uma razões de grandezas de mesma unidade. Analogamente ao
seno, como
cos(θ) =cateto adjacente
hipotenusa=
AB
AC
então cos(θ) = AB.
120 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Finalmente, como tg(θ) =cateto oposto
cateo adjacente=
BC
ABe, por semelhança de
triângulos,BC
AB=
ED
AE, então:
tg(θ) = ED.
Destacando que AE = AC = 1 u.c. Para se obter as funções cossecante,
secante e cotangente, basta inverter o valor das funções seno, cosseno e tangente,
respectivamente.
Desta forma, as razões trigonométricas podem ser identificadas como pro-
jeções do ângulo sobre os eixos.
Quadrantes e sinais das razões trigonométricas:
O círculo orientado pode ser dividido em quatro quadrantes, como mostra
a Figura 1.41.
sen
cos
tan
180º
90º
360º
270º
0º
III
III IV
Figura 1.41: Quadrantes do círculo trigonométrico.
Lembrando que o centro do círculo corresponde à origem do plano car-
tesiano, ao se analisar os valores das razões trigonométricas em cada quadrante,
pode-se construir o quadro de sinais contido na Tabela 13.
Tabela 13: Quadro de sinais para as funções trigonométricas.
121 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
quadrante I quadrante II quadrante III quadrante IV
sen(x) + + − −
cos(x) + − − +
tg(x) + − + −
cosec(x) + + − −
sec(x) + − − +
cotg(x) + − + −
Redução ao primeiro quadrante:
Reduzir um arco ao primeiro quadrante consiste em determinar o arco
do primeiro quadrante cujas funções trigonométricas sejam iguais em valor absoluto
às do arco dado. Veja na Tabela 14.
Muitas vezes é interessante reduzir um arco para o primeiro quadrante
para se trabalhar com razões trigonométricas mais conhecidas.
Tabela 14: Redução ao primeiro quadrante.
quadrante I quadrante II quadrante III quadrante IV
y
x=
R
y
xR
y
xR
y
xR
θR = θ θR = 180− θ θR = θ − 180 θR = 360− θ
Exemplo 1.8.13. Calcule o valor de cadda razão trigonométrica:
a) sen(120o)
b) cos(225o)
c) tg(300o).
Solução:
122 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Basta reduzir os arcos dados ao primeiro quadrante para se obter um
ângulo notável, e então calcular as funções pedidas, cuidando com o sinal das funções
em cada quadrante.
a) Um arco com ângulo θ = 120o está no segundo quadrante. Para se obter o
ângulo φ do arco equivalente no primeiro quadrante, calcula-se φ = 180 − θ.
Ou seja φ = 180− 120 = 60o. Agora, analisa-se o sinal da função seno. Ela é
positiva tanto no primeiro quanto no segundo quadrante, então:
sen(120o) = sen(60o)
sen(120o) =
√3
2.
b) O arco com ângulo θ = 225o está no terceiro quadrante. Para reduzi-lo ao
primeiro quadrante, calcula-se φ = θ − 180, obtendo assim o ângulo φ =
225 − 180 = 45o do arco que possui o mesmo cosseno (em módulo) de θ. A-
nalisando o sinal do cosseno em cada quadrante, observa-se que ele é negativo
no terceiro quadrante e positivo no primeiro, então:
cos(225o) = − cos(45o)
cos(225o) = −√2
2.
c) Pertence ao quarto quadrante o arco com ângulo θ = 300o. Para encontrar o
ângulo φ ao se reduzir esse arco ao primeiro quadrante, calcula-se φ = 360−θ.
Obtém-se φ = 360−300 = 60o, e agora investiga-se o sinal da função tangente.
Ela é negativa no quarto quadrante e positiva no primeiro, então:
tg(300o) = − tan(60o)
tg(300o) = −√3.
Relações trigonométricas:
Considerando x = cos(θ) e y = sen(θ) obtém-se:
1. Três versões equivalentes da equação x2 + y2 = 1:
a) cos2(θ) + sen2(θ) = 1
123 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
b) 1 + tg2(θ) = sec2(θ)
c) cotg2(θ) + 1 = cosec2(θ).
2. Efeito da substituição de θ por −θ:
a) sen(−θ) = −sen(θ)
b) cos(−θ) = cos(θ)
c) tg(−θ) = −tg(θ).
3. Fórmulas de adição e subtração:
a) sen(α+ θ) = sen(α) cos(θ) + cos(α)sen(θ)
b) sen(α− θ) = sen(α) cos(θ)− cos(α)sen(θ)
c) cos(α+ θ) = cos(α) cos(θ)− sen(α)sen(θ)
d) cos(α− θ) = cos(α) cos(θ) + sen(α)sen(θ)
e) tg(α+ θ) =tg(α) + tg(θ)
1− tg(α)tg(θ)
e) tg(α− θ) =tg(α)− tg(θ)
1 + tg(α)tg(θ).
4. Fórmulas do ângulo duplo:
a) sen(2θ) = 2sen(θ) cos(θ)
b) cos(2θ) = cos2(θ)− sen2(θ)
c) tg(2θ) =2tg(θ)
1− tg2(θ).
5. Fórmulas do ângulo metade:
a) sen2(θ) =1− cos(2θ)
2
124 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
a) cos2(θ) =1 + cos(2θ)
2.
Exemplo 1.8.14. Calcule o valor de sen(105o).
Solução:
Essa expressão pode ser reescrita como sen(60o+45o), o que representa o
seno da soma de dois ângulos notáveis. Utilizando a fórmula da adição para α = 60o
e θ = 45o, então:
sen(α+ β) = sen(α) cos(θ) + cos(α)sen(θ)
sen(60o + 45o) = sen(60o) cos(45o) + cos(60o)sen(45o)
sen(105o) =
√3
2·√2
2+
1
2·√2
2
sen(105o) =
√6
4+
√2
4
sen(105o) =
√6 +
√2
4.
Exercício 1.8.22. Os arcos a e b do primeiro quadrante são tais que sen(a) =3
5e
sen(b) =12
13. Calcule cos(a+ b).
Exercício 1.8.23. Se sen(a) =4
5e cos(b) =
3
5, sendo a do segundo quadrante e b
do primeiro quadrante, calcule sen(a− b).
Exercício 1.8.24. Se sen(a) =1
3, calcule sen(2a) e cos(2a), sabendo que a é um
ângulo do primeiro quadrante.
Exercício 1.8.25. Calcule as expressões:
a) sen(15o) cos(15o)
b)√3sen(15o) cos(15o)
c)1 + tg(15o)
1− tg(15o).
Exercício 1.8.26. Um avião levanta vôo em um ponto A, e sobe fazendo um ângulo
constante de 15◦ com a horizontal. A que altura h estará e qual a distância d
125 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
percorrida quando passar exatamente sobre um prédio situado a 2km do ponto de
partida?
Respostas dos exercícios
1.8.22. −16
65
1.8.23.24
25
1.8.24. sen(2a) =4√2
9e cos(2a) =
7
9.
1.8.25. a)1
4b)
√34
c)√3.
1.8.26. h = 536 metros e d = 2077m.
Funções trigonométricas:
Os fenômenos que se repetem periodicamente, como temperatura, parte
do dia com luz, ordenação das folhas de uma planta, entre outros, podem ser mode-
lados por funções trigonométricas. Os gráficos das funções trigonométricas básicas
descrevem esses comportamentos e podem ser gerados a partir de um círculo de raio
unitário. Define-se como período P do gráfico de uma função trigonométrica como
o tempo necessário para a oscilação evoluir um ciclo completo.
Função seno:
Seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x
associa-se um único valor para seu seno, denotado sen(x). Define-se então a função
periódica f(x) = sen(x), com período P = 2π, pois sen(x) = sen(2π + x). Veja o
gráfico dessa função na Figura 1.42.
O domínio da função seno consiste de todos os números reais e a imagem
é o definida pelo intervalo [−1, 1]. A função seno é ímpar, logo sen(−x) = −sen(x).
Função cosseno:
126 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
x
y
1
−1
Figura 1.42: Gráfico da função f(x) = sen(x).
Analogamente, a função cosseno associa para cada ângulo x do círculo
trigonométrico um único valor para seu cosseno. Ou seja, a função tem forma
f(x) = cos(x), e também é periódica com período P = 2π, pois cos(x) = cos(2π+x).
Seu gráfico pode ser visto na Figura 1.43.
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
x
y
1
−1
Figura 1.43: Gráfico da função f(x) = cos(x).
A função cosseno tem como domínio todos os números reais e como ima-
gem o intervalo [−1, 1]. A função cosseno é par cos(−x) = cos(x).
Modelo senoidal:
Conhecendo os elementos principais de um fenômeno periódico, pode-se
construir um modelo matemático correspondente desde que o gráfico seja, aproxi-
127 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
madamente, senoidal. O modelo senoidal mais geral é dado por
y = A · sen[2π
P· (x− x0)
]+M (1.8.1)
onde a amplitude A é a metade da distância entre os valores máximos e mínimos de
y, ou seja:
A =ymax − ymin
2.
O período P é o tempo necessário para a oscilação evoluir um ciclo com-
pleto, x0 corresponde ao início da onda padrão e o nível médio M é obtido pela
média aritmética dos valores máximo e mínimo da função, ou seja:
M =ymax + ymin
2.
Veja um exemplo de modelo senoidal na Figura 1.44.
y
x
MA
x0
x0 + Px
1
Figura 1.44: Modelo senoidal.
O mesmo pode ser feito com a função cosseno, obtendo-se:
y = A · cos[2π
P· (x− x1)
]+M. (1.8.2)
Observe que as funções seno e cosseno apenas diferem pelo ângulo de fase
(x0 e x1), pois cos(x) = sen(x+ π
2
). Logo:
x1 = x0 +π2.
128 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Exemplo 1.8.15. Escreva uma possível equação para o gráfico apresentado na
Figura 1.45:
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−2
2
4
6
8
10
x
y
Figura 1.45: Gráfico de uma função periódica.
Solução:
Observa-se que o gráfico é semelhante ao da função seno, cuja onda ca-
racterística tem início em x0 = 0. Analisando o gráfico, percebe-se que ymax = 8
e ymin = 2 e que o período é P = 2π. Para se construir o modelo senoidal, falta
encontrar a amplitude e o nível médio. Calculando a amplitude:
A =ymax − ymin
2
=8− 2
2
A = 3.
O nível médio é calculado da seguinte forma:
M =ymax + ymin
2
=8 + 2
2
M = 5.
É possível utilizar a fórmula (1.8.1), substituindo os valores encontrados:
129 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
y = 3 · sen[2π
2π· (x− 0)
]+ 5
y = 3sen(x) + 5.
Ou seja, a equação y = 3sen(x) + 5 descreve o gráfico.
Exemplo 1.8.16. Esboce o gráfico das funções:
a) f(x) = 4sen(x2
)b) g(x) = 2 + cos
(x− π
3
).
Solução:
a) Deve-se identificar a amplitude A, a imagem [ymin, ymax] e o período P . Utili-
zando a fórmula (1.8.1):
4sen(x2
)= A · sen
[2π
P· (x− x0)
]+M
4 · sen[1
2(x− 0)
]+ 0 = A · sen
[2π
P· (x− x0)
]+M.
Dessa igualdade conclui-se que A = 4, M = 0, x0 = 0 e1
2=
2π
P. Ou
seja:
1
2=
2π
P
P = 2 · 2π
P = 4π.
Como M =ymax + ymin
2e M = 0, então:
ymax + ymin
2= 0
ymax + ymin = 2 · 0
ymax = −ymin.
Mas sabendo que A = 4 e que A =ymax − ymin
2, então:
130 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
ymax − ymin
2= 4
(−ymin)− ymin = 2 · 4
−2ymin = 8
ymin = −4
ymax = 4.
Logo, a imagem é Im(f) = [−4, 4]. Com os dados obtidos, pode-se
esboçar o seguinte gráfico:
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−6
−4
−2
2
4
6
x
y
b) Para encontrar a amplitude, a imagem e o período, utiliza-se a fórmula (1.8.2):
2 + cos(x− π
3
)= A · cos
[2π
P· (x− x1)
]+M
1 · cos[1 ·(x− π
3
)]+ 2 = A · cos
[2π
P· (x− x1)
]+M.
Comparando os dois lados da igualdade, percebe-se que A = 1, M = 2,
x1 =π
3, e 1 =
2π
P, logo, P = 2π. Agora, investigam-se os valores de ymax e
ymin. Primeiro, através da fórmula do nível médio:
M =ymax + ymin
2
2 =ymax + ymin
2
ymax + ymin = 4
ymax = 4− ymin. (1.8.3)
131 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Em seguida, com a fórmula da amplitude:
A =ymax − ymin
2
1 =(4− ymin)− ymin
2
2 = 4− 2ymin
2ymin = 4− 2
ymin = 1. (1.8.4)
E finalmente, de (1.8.3) e (1.8.4):
ymax = 4− ymin
= 4− 1
ymax = 3.
Logo, Im(g) = [1, 3]. Com os dados obtidos, esboça-se o seguinte gráfico:
−3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
Exercício 1.8.27. Escreva a expressão analítica da função correspondente a cada
gráfico, utilizando o modelo y = A · sen[2π
P· (x− x0)
]+M , ou
y = A · cos[2π
P· (x− x0)
]+M . A seguir, determine o domínio, imagem, período e
amplitude de cada uma das funções encontradas.
132 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
a) b)
−π −π/2 π/2 π
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
c) d)
−3π −2π −π π 2π 3π 4π
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
12
x
y
−20π −10π 10π 20π
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
x
y
Exercício 1.8.28. Esboce o gráfico da função correspondente a cada expressão
analítica abaixo:
a) f(x) = 2sen(x) + 2
b) g(x) = 2 cos(4x)− 1
c) h(x) = sen(2x+
π
2
)d) m(x) = 3 + cos(x).
Respostas dos exercícios
1.8.27.
Função Domínio Imagem Período Amplitude
a) 3sen(2x) D = R Im = [−3, 3] P = π A = 3
b) sen(x)− 2 D = R Im = [−3,−1] P = 2π A = 1
c) sen(25x)+ 3 D = R Im = [2, 4] P = 5π A = 1
d) 10 cos(
120x)
D = R Im = [−10, 10] P = 40π A = 10
133 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
1.8.28.
a) b)
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
−π −π/2 π/2 π
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
c) d)
−π −π/2 π/2 π
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Função tangente:
Seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de
x associa-se um único valor para sua tangente, denotada tg(x). Define-se então a
função periódica f(x) = tg(x), com período P = π, pois tg(x) = tg(π + x). Seu
gráfico pode ser visto na Figura 1.46.
A função tangente tem domínio D(f) ={x ∈ R|x 6= (2k + 1) · π
2
}, pois
ela não é definida nos ângulos deπ
2rad e
3π
2rad. Sua imagem é o constituída
de todos os números reais, pois o valor da tangente cresce indefinidamente quando
o ângulo se aproxima deπ
2rad, e decresce indefinidamente quando o ângulo se
aproxima de3π
2rad.
A função tangente é ímpar tg(−x) = −tg(x).
Funções cossecante, secante e cotangente:
134 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
−5π/2 −2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Figura 1.46: Gráfico da função tangente.
As funções cossecante, secante e cotangente são definidas de forma aná-
loga e têm características comuns às funções seno, cosseno e tangente, respectiva-
mente, devido às identidades:
cosec(x) =1
sen(x)sec (x) =
1
cos (x)cotg(x) =
1
tg(x).
Suas características e gráficos estão nas tabelas 15, 16 e 17. A grande
diferença está no domínio e na imagem dessas funções. Por exemplo, como sen(0) =
0 a função seno está definida para x = 0, porém, a função cossecante não está definida
nesse ponto, pois isso resultaria em uma divisão por zero na relação cosec(x) =1
sen(x).
Tabela 15: Funções seno e cossecante.
135 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
f(x) = sen(x) g(x) = cosec(x)
Domínio R {x ∈ R|x 6= kπ}
Imagem [−1, 1] {y ∈ R|y ≤ −1 ∨ y ≥ 1}
Período 2π 2π
Simetria ímpar ímpar
Gráfico
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Tabela 16: Funções cosseno e secante.f(x) = cos(x) g(x) = sec(x)
Domínio R{x ∈ R|x 6= (2k + 1)
π
2
}Imagem [−1, 1] {y ∈ R|y ≤ −1 ∨ y ≥ 1}
Período 2π 2π
Simetria par par
Gráfico
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
−5π/2 −2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Tabela 17: Funções tangente e cotangente.
136 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
f(x) = tg(x) g(x) = cotg(x)
Domínio{x ∈ R|x 6= (2k + 1)
π
2
}{x ∈ R|x 6= kπ}
Imagem R R
Período π π
Simetria ímpar ímpar
Gráfico
−5π/2 −2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
−5π/2 −2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Observação 1.8.3. Funções trigonométricas inversas:
Funções trigonométricas são periódicas e, portanto, não são bijetoras.
Assim, para que esse tipo de função seja inversível, é necessário restringir seu domínio
para um intervalo onde ela seja bijetora, e então definir a função inversa a partir
desse domínio restrito.
Por exemplo, a função y = sen(x) é bijetora no intervalo[−π
2, π2
], com
imagem [−1, 1]. A função inversa correspondente será x = sen(y), que terá domínio
[−1, 1], imagem[−π
2, π2
], e costuma ser escrita na forma y = arcsen(x), que significa
"y é o valor do arco cujo seno é x". Essa notação é também utilizada para as outras
funções trigonométricas.
Veja na Tabela 18 as funções trigonométricas com restrições em seus do-
mínios e as funções inversas correspondentes. Na Figura 1.47 estão os gráficos das
funções trigonométricas inversas.
Tabela 18: Funções trigonométricas inversas.
137 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Função trigonométrica Função inversa
com domínio modificado
y = sen(x) y = arcsen(x)
Domínio:[−π
2, π2
]Domínio: [−1, 1]
Imagem: [−1, 1] Imagem:[−π
2, π2
]y = cos(x) y = arccos(x)
Domínio: [0, π] Domínio: [−1, 1]
Imagem: [−1, 1] Imagem: [0, π]
y = tg(x) y = arctg(x)
Domínio:[−π
2, π2
]Domínio: (−∞,+∞)
Imagem: (−∞,+∞) Imagem:[−π
2, π2
]y = cosec(x) y = arccosec(x)
Domínio:[−π
2, 0)∪(0, π
2
]Domínio: (−∞,−1] ∪ [1,+∞)
Imagem: (−∞,−1] ∪ [1,+∞) Imagem:[−π
2, 0)∪(0, π
2
]y = sec(x) y = arcsec(x)
Domínio:[0, π
2
)∪(π2, π]
Domínio: (−∞,−1] ∪ [1,+∞)
Imagem: (−∞,−1] ∪ [1,+∞) Imagem:[0, π
2
)∪(π2, π]
y = cotg(x) y = arccotg(x)
Domínio: [0, π] Domínio: (−∞,+∞)
Imagem: (−∞,+∞) Imagem: [0, π]
138 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.8. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Figura 1.47: Gráficos das funções trigonométricas inversas.
139 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.9. LISTA DE EXERCÍCIOS
1.9 Lista de exercícios
1. Considere o gráfico de f(x). Determine:
Figura 1.48: Gráfico do exercício 1.
a) as raízes de f(x);
b) a intersecção com o eixo y;
c) o intervalo de crescimento;
d) o intervalo de decrescimento;
e) o ponto de máximo;
af o intervalo onde f(x) é positiva.
2. Seja f : R → R a função definida por
f(x) =
x
3, se x /∈ Q
2x, se x ∈ Q.
Calcule o valor de f(√2) + f
(13
)+ f(π).
3. (Mackenzie 2010) Na figura, considere os gráficos das funções f(x) = ax + b e
g(x) = mx+ n. Se A(74, 12
), o valor de
a+ n
b+mé:
a) 3
b) 2
c) 6
d) 5
140 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.9. LISTA DE EXERCÍCIOS
Figura 1.49: Gráfico do exercício 3.
e) 1
4. O perímetro de um jardim de forma retangular é 32 m. Seus lados são x e y, com
x < y. O proprietário resolve fazer uma reforma e diminui o jardim retirando
uma parte na forma de um quadrado de lado x.
a) Calcule a área remanescente do jardim em função de x;
b) Determine x para que a área seja a maior possível.
5. Determine o domínio das funções.
a) f(x) =
√x2 − 1
(x− 3)(x− 2);
b) g(x) = 3
√x2 − 1
(x− 3)(x− 2);
c) h(x) = logx2 − 1
(x− 3)(x− 2).
6. (CFTG 2010) O número N de pessoas contaminadas pela gripe H1N1 em função
do número de meses x pode ser expresso por N(x) = N02x, onde N0 é o
número de casos reconhecidos em setembro de 2009, isto é, 200.000 infectados.
O tempo necessário, em meses, para que 819.200.000 pessoas sejam afetadas
pela doença é:
a) 12
b) 13
141 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.9. LISTA DE EXERCÍCIOS
c) 14
d) 15
e) 16.
7. (UFF 2007) Nas comunicações, um sinal é transmitido por meio de ondas senoi-
dais conhecidas como ondas portadoras. Considere a forma da onda portadora
modelada por f(t) = 2sen(3t− π
3
), t ∈ R. Esboce o gráfico de f(t), explicando
sua obtenção a partir do gráfico de g(t) = sen(t).
8. Um homem de 1, 8m de altura está parado ao nível da rua, perto de um poste
de iluminação de 4, 5m. Exprima o comprimento de sua sombra como uma
função da distância que está do poste.
9. Um tanque de água tem a forma de um cone circular reto, com seu vértice
apontado para baixo. O raio do topo é igual a 9m e é de 27m a altura do tanque.
Exprima o volume da água no tanque como função de sua profundidade.
10. Um homem está em um barco, a 2 km a leste de sua casa, que fica na margem
de um lago. A margem é reta e corre de norte a sul. Ele deseja ir a um
armazém que fica 3 km ao sul de sua casa, na margem do lago. Ele pode
remar a 1, 5 km/h e pode correr a 6 km/h. Quanto tempo levará para ir ao
armazém, se ele rema diretamente para um ponto da margem x km ao sul de
sua casa (0 ≤ x ≤ 3) e então corre pela margem até o armazém?
11. Em medicina é frequentemente aceito que a reação R a uma dose x de uma
droga é dada pela equação R(x) = Ax2(B − x), onde A e B são constantes
positivas. A sensibilidade de alguém a uma dose x é definida por S(x) =
2Ax(B − x)− Ax2.
a) Estude o comportamento da função R(x) quando x assume valores positivos
cada vez maiores.
b) Esboce o gráfico da reação R em função de uma dose x da droga.
c) Para que valor de x a sensibilidade é máxima?
d) Esboce o gráfico de S(x).
142 Notas de aula de Cálculo - FURG
1.9. LISTA DE EXERCÍCIOS
11. Construa um modelo matemático para a seguinte situação: um ciclista tentava
obter recorde. O seu treinador registrou as distâncias que ele alcançou de 3
em 3 minutos, durante os primeiros 15 minutos segundo a tabela.
Tabela do exercício 11.tempo (min) distância (m)
3 4, 6
6 9, 2
9 13, 6
12 17, 8
15 22, 4
12. A densidade D(t) do ar seco a uma pressão de 76 cm de mercúrio e a uma
temperatura de t graus é D(t) =0, 001293
1 +t
273
.
a) Qual é a densidade a 10 graus? E a 50 graus?
b) A densidade cresce ou decresce quando a temperatura aumenta? Estude o
gráfico da função.
13. O pH de uma solução é definido segundo a relação pH = log(
1CH+
)em que CH+
é a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Determine
o pH de uma solução em que CH+ é igual a 1× 10−9.
143 Notas de aula de Cálculo - FURG