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  • Notas de aula de Clculo Diferencial e Integral

    Brbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal

  • Sumrio

    1 Funes reais de uma varivel real 3

    1.1 Conjuntos numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 Intervalos numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2.1 Operaes com intervalos numricos . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.3 Plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.4 Definio de funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.4.1 Clculo da funo para um determinado valor de x . . . . . . 11

    1.5 Alguns tipos de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.5.1 Funo crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.5.2 Funo decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.5.3 Funo par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.5.4 Funo mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.5.5 Funo algbrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.5.6 Funo transcendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.5.7 Funo polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.5.8 Funo Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.5.9 Funo Quadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.5.10 Funo polinomial de grau maior que 2 . . . . . . . . . . . . . 50

    1.5.11 Funes definidas por intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    1.5.12 Funo modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    1.5.13 Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    1.6 Funes algbricas com potncias racionais . . . . . . . . . . . . . . . 70

    1.7 lgebra de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    1.7.1 Adio, subtrao, produto e diviso de funes . . . . . . . . 79

    1.7.2 Composio de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    1

  • SUMRIO

    1.7.3 Funo injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    1.7.4 Funo sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    1.7.5 Funo bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    1.7.6 Funo inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    1.8 Funes Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    1.8.1 Funo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    1.8.2 Funes Hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    1.8.3 Funo Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    1.8.4 Equaes exponenciais e logartmicas . . . . . . . . . . . . . . 107

    1.8.5 Funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    1.9 Lista de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    2 Notas de aula de Clculo - FURG

  • Captulo 1

    Funes reais de uma varivel real

    Uma funo descreve as mudanas sofridas por uma grandeza provocadas

    pela variao de outra ou de vrias outras. Por exemplo, na Geometria, o volume da

    esfera pode estar associado ao seu raio, porm o raio pode variar com o tempo, logo

    o volume variar com o tempo e assim por diante. Em Economia, o lucro de uma

    empresa pode estar associado ao custo de produo e ao nmero de funcionrios

    envolvidos. Em Biologia, o nmero de bactrias em uma cultura depende do tempo

    do experimento. Quando definimos uma funo tem-se a descrio, isto , a lei que

    explica como acontece esta variao.

    Neste captulo revisam-se os principais tpicos relacionados s funes

    elementares e s mais utilizadas, considerando neste momento apenas aquelas que

    dependem de uma nica grandeza chamada de varivel real. Estuda-se como

    possvel definir e representar geometricamente uma funo. Alm disso, classificam-

    se as funes como algbricas ou transcendentes e apresentam-se suas aplicaes em

    situaes cotidianas e em diferentes reas da Cincia.

    1.1 Conjuntos numricos

    Inicia-se o estudo de funes com uma reviso sobre conjuntos numricos

    para entender onde esto definidas as variveis e as funes aqui estudadas, pois no

    Clculo trabalha-se com o conjunto dos nmeros reais.

    O conjunto dos nmeros reais constitudo de diversos subconjuntos de

    nmeros:

    3

  • 1.1. CONJUNTOS NUMRICOS

    a) Conjunto de nmeros naturais: o conjunto mais simples, utilizado no

    processo de contagem. Ele descrito por

    N = f0; 1; 2; 3; :::g:

    Exemplo 1.1.1. So nmeros naturais: 0; 1; 2; 15; 235 e 999.

    b) Conjunto dos nmeros inteiros: formado pela expanso dos naturais ao

    se incluir os nmeros negativos. Sua representao

    Z = f:::;3;2;1; 0; 1; 2; 3; :::g:

    Exemplo 1.1.2. So nmeros inteiros: 1;1; 15;15; 0; 999 e 999.

    c) Conjunto dos nmeros racionais: constitudo pelos nmeros que podem

    ser expressos como quociente de dois nmeros inteiros, ou seja,

    Q =nab

    a; b 2 Z; b 6= 0o :Exemplo 1.1.3. So nmeros racionais:

    1

    3;7

    5;15

    2e 0; 2 =

    2

    10=

    1

    5.

    Quando expressos sob forma decimal, os racionais so finitos ou so dzimas

    peridicas:

    Exemplo 1.1.4. 0; 3 =3

    10; 0; 03 =

    3

    100;3

    8= 0; 375;

    1

    3= 0; 333333::: e

    13

    11= 1; 181818:::.

    importante salientar que todo nmero inteiro racional, pois pode ser ex-

    presso como ele mesmo dividido por 1:

    Exemplo 1.1.5. 7 =7

    1; 225 =

    225

    1; 12 = 12

    1.

    d) Conjunto dos nmeros irracionais I: formado pelos nmeros que no

    podem ser expressos como quociente de dois inteiros.

    Exemplo 1.1.6. Razes inexatas e dzimas no peridicas so exemplos de

    nmeros irracionais:p2;p3;p5 +

    p7; 3; 563498756393669::: e .

    O conjunto dos nmeros reais R o conjunto constitudo pela unio

    do conjunto dos nmeros racionais e do conjunto do nmeros irracionais, como pode

    ser visto na Figura 1.1.

    4 Notas de aula de Clculo - FURG

  • 1.2. INTERVALOS NUMRICOS

    Figura 1.1: Representao grfica dos conjuntos numricos

    Observao 1.1.1. Os nmeros complexos (ou imaginrios) so representados pela

    forma z = a+bi, onde a e b 2 R e i a chamada unidade imaginria que representa ovalor de

    p1. So exemplos de nmeros complexos: 3+2i, 56i, 2+i. O conjuntodos nmeros reais constitui um subconjunto dos nmeros complexos, bastando que

    b = 0. Por exemplo, 3 + 0i = 3, 5 + 0i = 5, 0 + 0i = 0. Quando a = 0 e b 6= 0,ento tem-se o os nmeros imaginrios puros, como 0 + 3i = 3i, 0 4i = 4i ep25 = p25p1 = 5i.

    Os nmeros complexos so utilizados em vrias reas como engenharia,

    eletromagnetismo, fsica e matemtica. Em todas essas reas estudam-se anlise

    complexa, lgebra linear complexa, lgebra de Lie complexa, com aplicaes em

    resoluo de equaes algbricas e equaes diferenciais. No entanto, no Clculo

    Diferencial e Integral, especificamente, estudam-se apenas os nmeros reais.

    1.2 Intervalos numricos

    Um subconjunto dos nmeros reais pode ser representado na reta real por

    um segmento de reta denominado intervalo. As desigualdades podem ser utilizadas

    para escrev-los. Por exemplo, no intervalo a x b, a e b so conhecidos comoextremos do intervalo. Se os extremos esto includos no intervalo, este chamado

    de fechado, caso contrrio, de aberto. Quando apenas um dos extremos est includo

    no intervalo, dizemos que este fechado direita ou fechado esquerda. Observe a

    Tabela 1.

    Tabela 1: Representao de intervalos numricos.

    5 Notas de aula de Clculo - FURG

  • 1.2. INTERVALOS NUMRICOS

    Rep. por compreenso Rep. geomtrica Rep. por intervalo

    fx 2 Rj a x bg [a; b]Intervalo fechado a b

    fx 2 Rj a < x < bg (a; b), ]a; b[Intervalo aberto a b

    fx 2 Rj a < x bg (a; b], ]a; b]Intervalo aberto esquerda e fechado direita a b

    fx 2 Rj a x < bg [a; b), [a; b[Intervalo fechado esquerda e aberto direita a b

    fx 2 Rjx < ag (1; a), ]1; a[Intervalo infinito e aberto direita a

    fx 2 Rjx ag (1; a], ]1; a]Intervalo infinito e fechado direita a

    fx 2 Rjx > ag (a;1), ]a;1[Intervalo infinito e aberto esquerda a

    fx 2 Rjx ag [a;1), [a;1[Intervalo infinito e fechado esquerda a

    1.2.1 Operaes com intervalos numricos

    a) Unio: a unio de dois conjuntos A e B, que se indica por A [ B, o conjuntoformado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B, ou

    seja, A [B = fx j x 2 A _ x 2 Bg.

    Exemplo 1.2.1. Considere os conjuntos A = [1; 5[ e B =]2; 6]. Qual o resul-

    tado de A [B?

    Soluo:

    Para visualizar a operao de unio entre os intervalos A e B, veja a

    representao geomtrica na Figura 1.2.

    Percebe-se que A [ B contm todos os elementos de A e B. Assim,A [B = [1; 6].

    b) Interseco: a interseco de dois conjuntos A e B, que se indica por A\B, o

    6 Notas de aula de Clculo - FURG

  • 1.2. INTERVALOS NUMRICOS

    1 50

    A

    20 6

    B

    1 2 50 6

    AUB

    Figura 1.2: Representao geomtrica de A, B e A [B

    conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto

    B, ou seja, A \B = fx j x 2 A ^ x 2 Bg.

    Exemplo 1.2.2. Considere os conjuntos A = [1; 5[ e B =]2; 6]. Qual oresultado de A \B?

    Soluo:

    Para visualizar a operao de interseco entre os intervalos A e B, ob-

    serve a representao geomtrica na Figura 1.3.

    -1 50

    A

    20 6

    B

    2 50 6

    AU

    B

    -1

    Figura 1.3: Representao geomtrica de A, B e A \B

    O conjunto A \B contm apenas elementos comuns a A e