calculo diferencialintegralcapitulo1
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Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo � 1
IntroduçãoBibliografia: Geraldo Ávila
James Stewart
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1.1 Desigualdades A representação geométrica dos números reais
sugere que estes podem ser ordenados. Usando os símbolos usuais para maior
(>),maior ou igual (≥),menor (<),menor ou igual (≤), podemos ver, por exemplo, que se a, b R e a < b, então b − a > 0;
no eixo coordenado temos que a está àesquerda de b.
Para todo a, b R temos: ou a > b, ou a < b, ou a = b.
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1.2 Intervalos
Muitos subconjuntos de R são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são os intervalos.
Sejam a, b R tais que a < b.
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1.2 Intervalos
Intervalo aberto de extremidades a e b, denotado por (a, b) é definido por:
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1.2 Intervalos
Intervalo fechado de extremidades a e b, denotado por [a, b] é definido por:
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1.2 Intervalos Intervalo semi-aberto e intervalo semi-
fechado, são denotados e definidos, respectivamente, por:
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1.2 Intervalos Os quatro intervalos assim definidos são ditos
limitados. Introduzindo os símbolos −∞ e +∞, os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados:
Note que R = (−∞,+∞). Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequações, pois, a solução é, em geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos.
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Desigualdades Lineares
Determinemos o conjunto-solução de:
a x + b ≥ 0 é equivalente a a x ≥ −b; logo:
Se a > 0, x ≥ −b/a; o conjunto-solução é
Se a < 0, x ≤ −b/a; o conjunto-solução é
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Desigualdades Quadráticas
Seja a x2 + b x + c = 0 a equação de segundo grau.
Denotemos por = b2 − 4 a c o discriminante da equação e , as raízes reais da equação ( ≤ ). O conjunto-solução S de uma desigualdade quadrática depende do sinal de a e de .
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Desigualdades Quadráticas Para > 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0
tem conjunto-solução (−∞, ] U [,+∞) e a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução [, ] Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0
tem conjunto-solução [, ] e a x2 + b x + c ≤ 0 tem conjunto-solução (−∞, ] U [,+∞) .
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Para = 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução R e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução {}. Se a < 0, a desigualdade
a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução {} e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução R.
Desigualdades Quadráticas
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Para < 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução R e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução 0. Se a < 0, a desigualdade
a x2+b x+c ≥ 0 tem conjunto-solução 0 e a x2+b x+c ≤ 0 tem conjunto-solução R.
Desigualdades Quadráticas
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Exemplo 1.1
[1] Ache a solução de: x3 < x. Fatorando
x3 − x = x (x + 1) (x − 1); então, x3 − x < 0 éequivalente a x (x + 1) (x − 1) < 0, da qual
obtemos x < −1 ou 0 < x < 1.
O conjunto-solução é:
S = (−∞,−1) U (0, 1).
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Exemplo 1.1 [2] Ache a solução de: (3 x − 2 / x + 2) ≥ 5. Note que a desigualdade não é equivalente a
3 x−2 ≥ 5 (x+2). Se x+2 > 0, isto é x > −2; então, 3 x−2 ≥ 5 (x+2),
donde obtemos x ≤ −6. Se x+2 < 0, isto é x < −2; então, 3 x−2 ≤ 5 (x+2),
donde obtemos x ≥ −6. Logo, o conjunto-solução é: S = [−6,−2).
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Exemplo 1.1 [3] Ache a solução de: Resolvemos (x + 2 / x − 1) − (x / x + 4) ≤ 0, que é
equivalente a (7 x + 8) / (x − 1) (x + 4) ≤ 0, da qual
obtemos −(8 / 7) ≤ x < 1 ou x < −4. Logo, o conjunto-solução é: S = (−∞,−4) U ( −8/7 , 1).
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1.3 Valor Absoluto O valor absoluto ou módulo de um número real a,
denotado por |a| é definido como o maior número do conjunto {a, −a}, ou equivalentemente:
|a| = {a se a ≥ 0} ou {−a se a < 0}. Observe que o valor absoluto de um número real
é sempre não negativo e possui as seguintes propriedades imediatas. Sejam a, b R; então:
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1. √a2 = |a|, para todo a R 2. |b| < a se, e somente se b (−a, a), a > 0 3. |a · b| = |a| · |b| 4. |b| ≥ a se, e somente se b ≥ a ou b ≤ −a, a > 0
5. |a/b| = |a| / |b|, se b 0 6. |a + b| ≤ |a| + |b|. 7. |y| < r, logo �r < y < r 8. |y| ≥ 1 , y ≤ -1 ou y ≥ 1
1.3 Valor Absoluto
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Exemplo 1.2 [1] Achar a solução de: |x2 − x + 1| > 1. Pelas propriedades anteriores, |x2−x+1| > 1 é
equivalente a: x2−x+1 > 1 ou x2−x+1 < −1. Se x2−x+1 > 1, então x (x−1) > 0 e x < 0 ou x > 1; se x2−x+1 < −1, então (x−1/2)2 + 7/4 < 0, o que é impossível. O conjunto-solução é: (−∞, 0) U (1,+∞).
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Exemplo 1.2 [2] Achar a solução de: |9 − 2 x| ≥ |4 x|. Pela propriedades anteriores, |9−2 x| ≥ |4 x| é
equivalente a: 9−2 x ≥ |4 x| ou 9−2 x ≤ −|4 x|; Se 9 − 2 x ≥ |4 x|, então 2 x − 9 ≤ 4 x ≤ 9 − 2 x;
logo, −9/2 ≤ x ≤ 3/2. Se 9−2 x ≤ −|4 x|, então 9−2 x ≤ 4 x ≤ 2 x−9, que
não possui solução. O conjunto-solução é: [−9/2,3/2].
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1.3.1 Distância Usando o valor absoluto podemos definir a
distância entre dois números reais. A distância entre os números reais a e b é|a − b|. Então |a| é a distância de a àorigem.
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Exemplo 1.3
[1] A distância entre os números e − é| - (−) | = 2 .
[2] A distância entre os números −5 e −2 é| − 5 − (−2) | = | − 3| = 3 e a distância entre os números 6 e −1 é |6 − (−1)| = 7.
[3] A distância entre os números −1/5 e 2/3 é: | −1/5 −2/3 | = | −13 / 15 | = 13/15.
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1.4 Plano de Coordenado Um par ordenado de números reais é uma dupla
de números reais (x, y), tais que (x, y) = (y, x) se, e somente se x = y. O elemento x do par ordenado é chamado primeira coordenada do par e y é chamado a segunda coordenada do par.
De forma análoga à representação geométrica dos números reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados.
Para isto consideramos duas retas, que por conveniência impomos que se intersectem perpendicularmente.
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A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo dos x e a reta vertical é chamada eixo das ordenadas ou eixo dos y.
A interseção das retas é chamada origem, à qual associamos o par (0, 0) e atribuímos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamado plano coordenado. As quatros regiões determinadas no plano por estas retas são chamadas quadrantes.
A representação de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciprocamente), é feita de forma análoga a do eixo coordenado.
1.4 Plano de Coordenado
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Por exemplo, os seguintes pontos: A = (1, 2), B = (−2, 1), C = (−2,−1), e
D = (1,−2), tem a seguinte representação no plano coordenado:
1.4 Plano de Coordenado
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Usando o teorema de Pitágoras podemos definir a distância entre dois pontos do plano coordenado. Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) pontos do plano. A distância d entre A e B é:
1.4 Plano de Coordenado
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A distância possui as seguintes propriedades imediatas.
Proposição 1.1. Sejam A, B e C pontos do plano, então:
1. d(A,B) ≥ 0 e d(A,B) = 0 se, e somente se A = B.
2. d(A,B) = d(B,A). 3. d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).
1.4 Plano de Coordenado
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Exemplo 1.4 [1] Calcule a distância entre os pontos A = (2,−3) e B = (−2, 1). Aplicando a fórmula:
d(A,B) = [(−2 − 2)2 + (1 − (−3))2 ]1/2
d(A,B) = (32)1/2
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[2] Determine o ponto Q, que divide na razão 3/4 o segmento de reta que liga os pontos (−4,−1) e (12, 11).
Sejam P = (−4,−1), R = (12, 11) os pontos dados, Q = (x, y) o ponto procurado e S = (x,−1), T = (12,−1) pontos auxiliares como no desenho:
Exemplo 1.4
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Os triângulos PQS e PRT são semelhantes; logo:
Por outro lado
Exemplo 1.4
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Exemplo 1.4
Aplicando a fórmula da distância, temosque:
d(P, S) = x + 4, d(Q, S) = y + 1 e
d(R, T) = 12.
Obtemos o sistema:
que tem como solução: x = y = 8;
logo Q = (8, 8).
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1.5 Equação da Reta 1.5.1 Equação Geral da Reta Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos
distintos no plano: A equação da reta que passa pelos pontos P1 e
P2 é: a x + b y + c = 0 ; onde a = y1 − y2, b = x2 − x1 e c = x1y2 − x2y1. Se a = 0 a reta é horizontal; se b = 0 a reta é
vertical. O ponto P0 = (x0, y0) pertence à reta a x + b y + c = 0 se a x0 + b y0 + c = 0.
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1.5 Equação da Reta
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[1] Ache a equação da reta que passa pelos pontos P1 = (−1, 3) e P2 = (2,−4).
Neste caso: a = 3 + 4 = 7, b = 2 + 1 = 3 e
c = −2; logo, a equação é: 7 x + 3 y − 2 = 0.
Exemplo 1.5
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Exemplo 1.5
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Exemplo 1.5
[2] Determine k tal que o ponto P = (3, k) pertença à reta 3 x + 5 y − 12 = 0.
O ponto P = (3, k) pertence à reta
3 x + 5 y − 12 = 0 se, e somente se 3 · 3+ 5 · k − 12 = 0; logo, k = 3 / 5.
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Exemplo 1.5
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1.5.2 Equação Reduzida da Reta Se uma reta não é paralela ao eixo dos y,
então b 0. Fazendo: m = (y2 − y1) / (x2 − x1) e
n = (x2y 1 − x1 y2) / (x2 − x1) ,
obtemos a equação reduzida da reta:
y = m x + n.
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m é chamado coeficiente angular da reta e n coeficiente linear da reta.
É fácil ver que a equação da reta que passa pelo ponto P0 = (x0, y0) e tem coeficiente angular m é:
y − y0 = m (x − x0)
1.5.2 Equação Reduzida da Reta
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Exemplo 1.6
[1] Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P1 = (2, 1) e P2 = (6, 5).
Neste caso: m = 1 e fazemos P0 = P1 ou P0= P2; então, se x0 = 2 e y0 = 1, temos, y−x+1 = 0 ou y = x − 1.
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Exemplo 1.6
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[2] Escreva na forma reduzida a equação: 4 x + 2 y + 5 = 0.
A forma reduzida é do tipo y = mx + n; então,
y = −2 x − 5/2
Exemplo 1.6
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1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas Sejam y = m1 x + n1 e y = m2 x + n2 as equações
de duas retas. As retas são paralelas se, e somente se:
m1 = m2. As retas são perpendiculares se, e somente se: m1 · m2 = −1. Logo, as retas de equações a1 x + b1 y + c1 = 0 e
a2 x + b2 y + c2 = 0 são perpendiculares, se, e somente se: a1 a2 + b1 b2 = 0
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Exemplo 1.7 [1] Ache o valor de k tal que as retas: (a) y − [(2 + k) x / (2 − k)] = 1 e y − 3 x + [(k − 2) /
(k + 2)] = 0 sejam paralelas. (b) k y = x + k3 e y − 1 = 2 k2x sejam
perpendiculares. (a) As retas são paralelas se os coeficientes
angulares são iguais; logo, (2 + k) / (2 − k)= 3; donde k = 1.
(b) As retas são perpendiculares se: (1/ k) · (2 k2) = −1; donde k = −1/2.
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Exemplo 1.7
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[2] Determine a reta que passa pelo ponto de interseção das retas 2 x−3 y+7 = 0 e 5 x+y+9 = 0 e é perpendicular a 2 x − y + 1 = 0.
Primeiramente, determinemos o ponto de interseção das retas, resolvendo o sistema:
2 x − 3 y = −7 5 x + y = −9
Exemplo 1.7
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Obtemos o ponto (−2, 1). A reta que procuramos tem equação y = m2 x+b tal que m1·m2 = −1, onde m1 = 2 é o coeficiente angular da reta 2 x−y+1 = 0; logo, m2 = −1/2 e y = −x/2 + b.
Como a reta passa por (−2, 1), a reta procurada é x + 2 y = 0.
Exemplo 1.7
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Exemplo 1.7