calculo diferencialintegralcapitulo1

Clculo Diferencial e Integral

Captulo 1

IntroduoBibliografia: Geraldo vila

James Stewart

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1.1 Desigualdades A representao geomtrica dos nmeros reais

sugere que estes podem ser ordenados. Usando os smbolos usuais para maior

(>),maior ou igual (),menor ( 0;

no eixo coordenado temos que a est esquerda de b.

Para todo a, b R temos: ou a > b, ou a < b, ou a = b.

1.2 Intervalos Muitos subconjuntos de R so definidos

atravs de desigualdades. Os mais importantes so os intervalos.

Sejam a, b R tais que a < b.

1.2 Intervalos Intervalo aberto de extremidades a e b,

denotado por (a, b) definido por:

1.2 Intervalos Intervalo fechado de extremidades a e b,

denotado por [a, b] definido por:

1.2 Intervalos Intervalo semi-aberto e intervalo semi-

fechado, so denotados e definidos, respectivamente, por:

1.2 Intervalos Os quatro intervalos assim definidos so ditos

limitados. Introduzindo os smbolos e +, os quais no so nmeros reais, podemos definir os intervalos ilimitados:

Note que R = (,+). Os intervalos aparecem de forma natural na resoluo de inequaes, pois, a soluo , em geral, dada por um intervalo ou uma reunio de intervalos.

Desigualdades Lineares Determinemos o conjunto-soluo de:

a x + b 0 equivalente a a x b; logo: Se a > 0, x b/a; o conjunto-soluo

Se a < 0, x b/a; o conjunto-soluo

Desigualdades Quadrticas Seja a x2 + b x + c = 0 a equao de

segundo grau. Denotemos por = b2 4 a c o

discriminante da equao e , as razes reais da equao ( ). O conjunto-soluo S de uma desigualdade quadrtica depende do sinal de a e de .

Desigualdades Quadrticas Para > 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c 0

tem conjunto-soluo (, ] U [,+) e a x2 + b x + c 0 tem conjunto-soluo [, ] Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c 0

tem conjunto-soluo [, ] e a x2 + b x + c 0 tem conjunto-soluo (, ] U [,+) .

Para = 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo R e a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo {}. Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo {} e a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo R.

Desigualdades Quadrticas

Para < 0. Se a > 0, a desigualdade a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo R e a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo 0. Se a < 0, a desigualdade a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo 0 e a x2+b x+c 0 tem conjunto-soluo R.

Desigualdades Quadrticas

Exemplo 1.1 [1] Ache a soluo de: x3 < x. Fatorandox3 x = x (x + 1) (x 1); ento, x3 x < 0 equivalente a x (x + 1) (x 1) < 0, da qual obtemos x < 1 ou 0 < x < 1. O conjunto-soluo : S = (,1) U (0, 1).

Exemplo 1.1 [2] Ache a soluo de: (3 x 2 / x + 2) 5. Note que a desigualdade no equivalente a

3 x2 5 (x+2). Se x+2 > 0, isto x > 2; ento, 3 x2 5 (x+2),

donde obtemos x 6. Se x+2 < 0, isto x < 2; ento, 3 x2 5 (x+2),

donde obtemos x 6. Logo, o conjunto-soluo : S = [6,2).

Exemplo 1.1 [3] Ache a soluo de: Resolvemos (x + 2 / x 1) (x / x + 4) 0, que

equivalente a (7 x + 8) / (x 1) (x + 4) 0, da qual

obtemos (8 / 7) x < 1 ou x < 4. Logo, o conjunto-soluo : S = (,4) U ( 8/7 , 1).

1.3 Valor Absoluto O valor absoluto ou mdulo de um nmero real a,

denotado por |a| definido como o maior nmero do conjunto {a, a}, ou equivalentemente:

|a| = {a se a 0} ou {a se a < 0}. Observe que o valor absoluto de um nmero real

sempre no negativo e possui as seguintes propriedades imediatas. Sejam a, b R; ento:

1. a2 = |a|, para todo a R 2. |b| < a se, e somente se b (a, a), a > 0 3. |a b| = |a| |b| 4. |b| a se, e somente se b a ou b a, a > 0 5. |a/b| = |a| / |b|, se b 0 6. |a + b| |a| + |b|. 7. |y| < r, logo r < y < r 8. |y| 1 , y -1 ou y 1

1.3 Valor Absoluto

Exemplo 1.2 [1] Achar a soluo de: |x2 x + 1| > 1. Pelas propriedades anteriores, |x2x+1| > 1

equivalente a: x2x+1 > 1 ou x2x+1 < 1. Se x2x+1 > 1, ento x (x1) > 0 e x < 0 ou x > 1; se x2x+1 < 1, ento (x1/2)2 + 7/4 < 0, o que impossvel. O conjunto-soluo : (, 0) U (1,+).

Exemplo 1.2 [2] Achar a soluo de: |9 2 x| |4 x|. Pela propriedades anteriores, |92 x| |4 x|

equivalente a: 92 x |4 x| ou 92 x |4 x|; Se 9 2 x |4 x|, ento 2 x 9 4 x 9 2 x;

logo, 9/2 x 3/2. Se 92 x |4 x|, ento 92 x 4 x 2 x9, que

no possui soluo. O conjunto-soluo : [9/2,3/2].

1.3.1 Distncia Usando o valor absoluto podemos definir a

distncia entre dois nmeros reais. A distncia entre os nmeros reais a e b |a b|. Ento |a| a distncia de a origem.

Exemplo 1.3 [1] A distncia entre os nmeros e

| - () | = 2 . [2] A distncia entre os nmeros 5 e 2

| 5 (2) | = | 3| = 3 e a distncia entre os nmeros 6 e 1 |6 (1)| = 7.

[3] A distncia entre os nmeros 1/5 e 2/3 : | 1/5 2/3 | = | 13 / 15 | = 13/15.

1.4 Plano de Coordenado Um par ordenado de nmeros reais uma dupla

de nmeros reais (x, y), tais que (x, y) = (y, x) se, e somente se x = y. O elemento x do par ordenado chamado primeira coordenada do par e y chamado a segunda coordenada do par.

De forma anloga representao geomtrica dos nmeros reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados.

Para isto consideramos duas retas, que por convenincia impomos que se intersectem perpendicularmente.

A reta horizontal chamada eixo das abscissas ou eixo dos x e a reta vertical chamada eixo das ordenadas ou eixo dos y.

A interseo das retas chamada origem, qual associamos o par (0, 0) e atribumos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamado plano coordenado. As quatros regies determinadas no plano por estas retas so chamadas quadrantes.

A representao de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciprocamente), feita de forma anloga a do eixo coordenado.

1.4 Plano de Coordenado

Por exemplo, os seguintes pontos: A = (1, 2), B = (2, 1), C = (2,1), e

D = (1,2), tem a seguinte representao no plano coordenado:

1.4 Plano de Coordenado

Usando o teorema de Pitgoras podemos definir a distncia entre dois pontos do plano coordenado. Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) pontos do plano. A distncia d entre A e B :

1.4 Plano de Coordenado

A distncia possui as seguintes propriedades imediatas.

Proposio 1.1. Sejam A, B e C pontos do plano, ento:

1. d(A,B) 0 e d(A,B) = 0 se, e somente se A = B.

2. d(A,B) = d(B,A). 3. d(A,B) d(A,C) + d(C,B).

1.4 Plano de Coordenado

Exemplo 1.4 [1] Calcule a distncia entre os pontos A = (2,3) e B = (2, 1). Aplicando a frmula: d(A,B) = [(2 2)2 + (1 (3))2 ]1/2 d(A,B) = (32)1/2

[2] Determine o ponto Q, que divide na razo 3/4 o segmento de reta que liga os pontos (4,1) e (12, 11).

Sejam P = (4,1), R = (12, 11) os pontos dados, Q = (x, y) o ponto procurado e S = (x,1), T = (12,1) pontos auxiliares como no desenho:

Exemplo 1.4

Os tringulos PQS e PRT so semelhantes; logo:

Por outro lado

Exemplo 1.4

Exemplo 1.4 Aplicando a frmula da distncia, temos

que: d(P, S) = x + 4, d(Q, S) = y + 1 e d(R, T) = 12. Obtemos o sistema: que tem como soluo: x = y = 8; logo Q = (8, 8).

1.5 Equao da Reta 1.5.1 Equao Geral da Reta Sejam P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos

distintos no plano: A equao da reta que passa pelos pontos P1 e

P2 : a x + b y + c = 0 ; onde a = y1 y2, b = x2 x1 e c = x1y2 x2y1. Se a = 0 a reta horizontal; se b = 0 a reta

vertical. O ponto P0 = (x0, y0) pertence reta a x + b y + c = 0 se a x0 + b y0 + c = 0.

1.5 Equao da Reta

[1] Ache a equao da reta que passa pelos pontos P1 = (1, 3) e P2 = (2,4).

Neste caso: a = 3 + 4 = 7, b = 2 + 1 = 3 e c = 2; logo, a equao : 7 x + 3 y 2 = 0.

Exemplo 1.5

Exemplo 1.5

Exemplo 1.5 [2] Determine k tal que o ponto P = (3, k)

pertena reta 3 x + 5 y 12 = 0. O ponto P = (3, k) pertence reta 3 x + 5 y 12 = 0 se, e somente se 3 3+ 5

k 12 = 0; logo, k = 3 / 5.

Exemplo 1.5

1.5.2 Equao Reduzida da Reta Se uma reta no paralela ao eixo dos y,

ento b 0. Fazendo: m = (y2 y1) / (x2 x1) e n = (x2y 1 x1 y2) / (x2 x1) , obtemos a equao reduzida da reta: y = m x + n.

m chamado coeficiente angular da reta e n coeficiente linear da reta.

fcil ver que a equao da reta que passa pelo ponto P0 = (x0, y0) e tem coeficiente angular m :

y y0 = m (x x0)

1.5.2 Equao Reduzida da Reta

Exemplo 1.6 [1] Obtenha a equao reduzida da reta

que passa pelos pontos P1 = (2, 1) e P2 = (6, 5).

Neste caso: m = 1 e fazemos P0 = P1 ou P0= P2; ento, se x0 = 2 e y0 = 1, temos, yx+1 = 0 ou y = x 1.

Exemplo 1.6

[2] Escreva na forma reduzida a equao: 4 x + 2 y + 5 = 0.

A forma reduzida do tipo y = mx + n; ento,

y = 2 x 5/2

Exemplo 1.6

1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas Sejam y = m1 x + n1 e y = m2 x + n2 as equaes

de duas retas. As retas so paralelas se, e somente se:

m1 = m2. As retas so perpendiculares se, e somente se: m1 m2 = 1. Logo, as retas de equaes a1 x + b1 y + c1 = 0 e

a2 x + b2 y + c2 = 0 so perpen