caderno do aluno by:patrick -matemática- 2° bimestre

Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 2

1

Páginas 3-5

1. Sendo cinco o número de participantes, cada um dará quatro flores (menos para si

mesmo), o que significa um total de 5 . 4 = 20 flores. Com o mesmo raciocínio,

temos que, com seis participantes, o total de flores será 6 . 5 = 30 flores, e com sete,

7. 6 = 42 flores.

2.

NNúúmmeerroo ddee ppaarrttiicciippaanntteess

NNúúmmeerroo ddee fflloorreess qquuee ccaaddaa uumm vvaaii rreecceebbeerr

TToottaall ddee fflloorreess

3 2 3 . 2 = 6

4 3 4 . 3 = 12

5 4 5 . 4 = 20

6 5 6 . 5 = 30

11 10 11 . 10 = 110

x x –1 x(x – 1)

y + 1 y (y + 1)y

3. Alternativa c. Tendo compreendido o item anterior, o aluno pode experimentar os

valores apresentados nas alternativas, calculando: 29 . 28 = 812; 30 . 29 = 870;

31 . 30 = 930.

4. Substituindo os valores das alternativas na última forma da equação:

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES DE 2o GRAU


2

a) x = 29 não é solução, pois

292 – 29 – 930 ≠ 0

b) x = 30 não é solução,

pois 302 – 30 – 930 ≠ 0

c) x = 31 é solução, pois

312 – 31 – 930 = 0

841 – 29 – 930 = – 118 ≠ 0 900 –30 –930 = – 60 ≠ 0 961 – 31 – 930 = 0

5.

a) Indicando a medida do lado do quadrado por x, teremos:

Representação geométrica Expressão algébrica

x2 = 49

A solução dessa equação é simples, basta pensar qual número elevado ao quadrado

resulta 49, isto é, 7. Você, professor, pode também trazer para a discussão que, assim

como 72 = 49, temos (–7)2 = 49, comentando que, embora satisfaça a equação,

tratando-se da medida do lado de um quadrado, esse valor negativo não deve constar

no conjunto-solução. Portanto, a solução será 7 cm.

b) Indicando a medida do lado do retângulo por y, teremos:


2y . y = 242

2y2 = 242


3

Se 2y2 = 242, então y2 = 121. Da mesma forma que no exercício anterior, podemos

admitir y = 11 ou y = –11, uma vez que (11)2 = 121 e (–11)2 = 121. Como se trata da

medida do lado de um retângulo, a equação só permite como solução o valor de

y = 11. Portanto, o maior lado mede 2 . 11 = 22 cm.

c) Indicando a medida do cateto por a, teremos:


1822

.

..2

1

..2

1

2

aaaA

catetocatetoA

alturabaseA

Como 182

2

a

, podemos concluir que a2 = 36. Desse modo, os valores 6 e –6

satisfazem a equação, mas somente o 6 é solução da equação, pois a medida do lado

de um triângulo deve ser positiva. Para encontrarmos a medida da hipotenusa,

podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: 2666 222 hh .

Portanto, a resposta para esse exercício será: catetos de medida 6 cm e hipotenusa de

medida 26h cm. Mais uma vez, desprezamos a solução negativa.

d) A área do retângulo será dada pela equação: x(x + 8) = 65, que pode ser

resolvida por meio de tentativas. Basta descobrir dois números cuja diferença seja 8 e

o produto 65.

x 1 2 3 4 5

x + 8 9 10 11 12 13

x(x + 8) 9 20 33 48 65


4

Assim, verifica-se que os lados do retângulo medem 5 cm e 13 cm. O perímetro do

retângulo será igual a 5 cm + 5cm + 13 cm + 13 cm = 36 cm.

e) Se x for considerada a medida do lado do quadrado original, com a redução de

2 metros o lado do quadrado interno medirá x – 4 metros:

Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 = 144. A solução dessa

equação pode ser feita com cálculo mental. Para isso, deve-se notar que 144 é o

quadrado do número 12 e que, portanto, x – 4 = 12, isto é, x = 16. Logo, a área

original desse quarteirão era de 256 m2.

Página 6

6.

IItteemm EEqquuaaççããoo uuttiilliizzaaddaa EEqquuaaççããoo ttrraannssffoorrmmaaddaa

a) x2 = 49 x2 – 49 = 0

b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0

c) a2 = 36 a2 – 36 = 0

d) x(x + 8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0

e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0


5

Todas as equações possuem um termo no qual a incógnita está elevada à segunda

potência.

Além disso, apenas os problemas (d) e (e) apresentam equações de 2o grau com três

termos.

Páginas 6-9

7.

Os valores encontrados para cada equação devem ser experimentados para que se verifique se

satisfazem as mesmas.

a)

satisfaz

945

9425

b)

satisfaz

162

1624

2)2(

e

satisfaz

162

1624

2)2(

c)

satisfaz

000

00.903

e

satisfaz

02727

0)3.(9)3( 3

e

satisfaz

02727

0)3.(9)3( 3


6

d)

satisfaz

01616

016)2( 4

e

satisfaz

01616

016)2( 4

8.

a) – 3 ou 3.

b) – 3 ou 3.

c) – 3 ou 3.

d) – 4 ou 4.

e) 2

5

2

5ou .

f) 5

2

5

2ou .

g) Não há solução real, pois não há número real que elevado ao quadrado seja

igual a –1.

h) – 2 ou 2.

i) 2

7

2

7ou .

j) 0.

k) 0.

l) 0.

9.

a) –2, 6

b) 2

1,

3

2

c) 0, 4

d) –1, 0

e) 3, 5


7

Página 10

10.

a) – 6 ou 6.

b) – 7 ou 11.

c) Não há solução real.

d) 0 ou 4.

e) – 5 ou 5.

Página 12

11.

13122 xx


8

136.22 xx

49)6(3613366.2 22 xouxx

Sendo a nova área 49, a medida do lado do novo quadrado será 49 = 7. Assim, o

lado do quadrado x + 6 = 7; portanto, x = 1 é a solução.

Páginas 14-15

12.

a)


9

1030

1020

40010

400)10(

100300100202

2

xoux

x

x

x

xx

b)

612

5

2

74

49

2

5

4

49

2

5

4

256

4

255

2

2

xoux

x

x

x

xx


10

c)

122 xx

Não há solução, pois a área não pode ser negativa. Contudo, é possível

extrapolar o limite dado pelo método e interpretar a equação da seguinte forma:

1,010)1(1112 22 xxxxx

Páginas 15-18

13.

a) Sim; (x + 2)2.

b) Sim; (x – 3)2.

c) Sim; (2x + 3)2.

d) Sim; (5x + 10)2.

e) Não é, pois o termo central não corresponde ao dobro do produto do primeiro

termo, x, pelo segundo, 1.

14.

a) 81

b) 12

c) 100

d) 28

e) 9


11

15.

a) (x – 3)2 = 0, logo x = 3.

b) (x + 6)2 = 0, logo x = –6.

c) (x – 2)2 = 0, logo x = 2.

d) (x + 2

1 )2 = 0, logo x =

2

1 .

16.

a) 3 e 4, pois 3+4 = 7 e 3 . 4 = 12

b) 3 e 8, pois 3+8 = 11 e 3 . 8 = 24

c) –1 e 12, pois 12 + (–1) = 11 e 12 . (–1) = –12

d) –2 e 12, pois 12 + (–2) = 10 e 12 . (–2) = –24

e) – 5 e –8, pois (–5) + (–8) = –13 e (–5) . (–8) = 40

f) 4 e –10, pois 4 + (–10) = – 6 e 4 . (–10) = – 40

17.

a) (x + 2).(x + 15)

b) (x – 4).(x – 8)

c) (x + 5).(x – 12)

d) (x – 10).(x + 6)

18.

a) (x – 5).(x + 3) = 0, logo, x = 5 ou x = –3.

b) (x + 3).(x + 4) = 0, logo, x = –3 ou x = –4.

c) (x – 6).(x – 6) = 0, logo, x = 6.

d) (x + 9).(x – 4) = 0, logo, x = – 9 ou x = 4.

e) (x – 4).(x – 9) = 0, logo, x = 4 ou x = 9.


12

Página 18

19.

EEqquuaaççããoo FFoorrmmaa ffaattoorraaddaa SSoolluuççããoo

a) x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4).(x + 2) = 0 x = 4 ou x –2

b) x2 – 8x + 16 = 0 (x – 4).(x – 4) = 0

ou (x – 4)2 = 0 x = 4

c) x2 – 10x + 24 = 0 (x – 4).(x – 6) = 0 x = 4 ou x = 6

d) x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x = 0 ou x = –2

e) 6x2 – 18x +12 = 0 6(x – 1).(x – 2) x = 1 ou x = 2

f) 2x2 – 18x + 36 = 0 2(x – 3).(x – 6) x = 3 ou x = 6

Páginas 19-21

20. Algumas respostas possíveis:

a) (x + 5).(x – 3) = 0

x2 + 2x – 15 = 0

b) (x – 4).(x – 12) = 0

x2 – 16x + 48 = 0

c) (x + 2).(x + 2,5) = 0

x2 + 4,5x + 5 = 0

d) (x + 2

1).(x –

3

2) = 0

x2 –6

1x –

3

1 = 0

e) (x).(x – 12) = 0

x2 – 12x = 0


13

f) (x + 5).(x –5) = 0

x2 – 25 = 0

21.

a) x = 1 ou x = –3

b) x = –1 ou x = 3

2

c) x = 1 ou x = 6

d) x = –1 ou x = 2

1

e) Não tem solução real.

f) x = 2

3

22. O valor da expressão b² – 4ac é tão importante que foi denominado discriminante.

De fato, seu valor vai determinar se uma equação de 2o grau pode admitir duas raízes

reais distintas ou duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou, então, não admitir

raízes reais. Ele foi representado por uma letra grega Δ (delta). Assim, Δ = b2 – 4ac.

Como ele é o radicando de uma raiz quadrada, podemos estabelecer as seguintes

relações:

ΔΔ == 00 ΔΔ >> 00 ΔΔ << 00

Duas raízes reais idênticas

(uma raiz dupla), pois a raiz

quadrada de zero é igual a

zero e, desta forma, somando-

se ou subtraindo-se da

fórmula de Bhaskara,

obtemos um único valor para

a razis da equação.

Duas raízes reais

distintas, pois a raiz

quadrada de um número

positivo sempre será um

número real. Somando-se

a da fórmula de

Bhaskara, obteremos um

valor distinto daquele

obtido pela subtração da

mesma raiz quadrada.

Não admite raízes reais,

pois não existe um número

real que seja resultado de

uma raiz quadrada de

número negativo.


14

Páginas 21-22

23.

a) 2.

b) Não existem raízes reais.

c) 3 ou 5.

d) 4

331

4

331 ou .

e) –1 ou 3.

f) –1 ou 3.

g) –1 ou 3.

24. Qualquer uma dessas equações é resultado da multiplicação dos dois membros, em

relação a uma delas, por um mesmo número real diferente de 0. Assim, pelo

princípio multiplicativo da igualdade, todas são equações equivalentes e, por isso,

têm as mesmas raízes.

Página 23

25.

a) x(x + 5) = 3 . 2 para x ≠ 0

x2 + 5x – 6 = 0

x = 1 ou x = –6

b) 2

92

1

10

xxx para x ≠ 0, –1 e –2

10x(x + 2) = 2(x + 1).(x + 2) + 9x(x + 1)

10x2 + 20x = 2x2 + 6x + 4 + 9x2 + 9x

–x2 + 5x – 4 = 0

x = 1 ou x = 4


15

Páginas 25-30

1.

a) Se considerarmos x o total do bando, temos que xx

128

2

. Resolvendo a

equação, encontramos duas possibilidades: 16 e 48.

b) Consideremos inicialmente x a distância do tronco da palmeira maior ao peixe.

Como os pássaros chegam ao mesmo tempo, supomos que voem à mesma

velocidade, considerando que a distância por eles percorrida é a mesma. Portanto, os

2 triângulos retângulos possuem a mesma medida de hipotenusa. Dessa forma,

aplicando-se o Teorema de Pitágoras, podemos escrever 302 + x2 = 202 + (50 – x)2.

Embora pareça uma equação de 2o grau, os termos em x2 se cancelarão, resultando

em uma equação de 1o grau de raiz 20. Portanto, o peixe apareceu a 20 côvados da

palmeira maior.

c) A equação será 11x2 + 7x = 6,25. As raízes da equação serão 2

1 e

22

25 .

Contudo, somente a solução positiva tem significado nessa situação: a medida do

lado do quadrado deve ser igual a 2

1 ou 0,5.

2. Geralmente, no início do problema devemos decidir se o professor será ou não

considerado no total de pessoas. No caso, podemos supor que ele observou os

cumprimentos entre as pessoas, desconsiderando, portanto, os referentes a ele. Para

resolver esse problema, o aluno deve considerar inicialmente que o número de

cumprimentos que cada pessoa dá é 1 unidade a menos que o número total de

pessoas; afinal, uma pessoa não cumprimenta a si mesma. Indicando por x o número

de pessoas, o número total de cumprimentos será x(x – 1). Depois, como o

cumprimento do aluno A com o aluno B é o mesmo cumprimento de B com A esse


EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS


16

total de cumprimentos poderá ser expresso pela equação 662

)1(

xx, isto é,

x2 – x – 132 = 0, que terá como raízes os números 12 e –11. Como a raiz negativa

não tem significado, podemos concluir que 12 pessoas o acompanharam.

3. Na resolução desta questão, o aluno obterá a equação x² – 5x + 10 = 0, cujo

discriminante é negativo, indicando, assim, que não existem dois números reais que

satisfazem às condições do problema.

4.

a) – 9 ou –1.

b) – 6 ou 6.

c) Uma possível resposta: b = 5, uma vez que esta questão não tem uma única

resposta. Sua discussão permite antecipar a compreensão de noções importantes

relacionadas à função modular, que poderão ser desenvolvidas mais adiante, durante

o Ensino Médio.

5.

a) Retângulo: duas diagonais; pentágono: cinco diagonais.

b)

NNúúmmeerroo ddee llaaddooss ddee uumm ppoollííggoonnoo NNúúmmeerroo ddee ddiiaaggoonnaaiiss ddee uumm ppoollííggoonnoo

3 0

4 2

5 5

6 9

7 14

... ...

n 2

)3( nn


17

c) 90.

d) 11 lados.

e) Basta mostrar que a equação 422

)3(

nn, ou seja, n2 – 3n – 84 = 0 não possui

raízes inteiras positivas.

Páginas 30-31

6. A área ocupada pelas pedras pode ser decomposta em dois retângulos de área igual a

6x e 15x e um quadrado de área x2. Assim, podemos escrever a equação

x2+15x+6x = 46, cuja solução positiva é 2. Portanto, a medida do lado x é igual a 2.

7. Sendo x o número de fios de linha azul, podemos escrever a equação

x(x+5) = 6 800, cuja solução positiva é 80. Portanto, são 80 fios azuis e 85 fios

vermelhos.

8. A área da moldura pode ser decomposta em quatro quadrados de área x2, dois

retângulos de área 2x e 2 retângulos de área 4x. Resolvendo a equação

4x2 + 2 . 2x + 2 . 4x = 7, obtemos as raízes – 3,5 e 0,5. Portanto, o valor de x será

0,5 m.

Desafio!

Página 32

9.

a) x3 – 6x = 0; logo, x(x2 – 6) = 0.

Portanto, x = 0 ou x2 – 6 = 0 x = 6 . A equação tem, portanto, como soluções:

S = 6,6,0 .

b) x(x2 – 6x) = 0.

x = 0 é uma das soluções.

x2 – 6x = 0x = 0 ou x = 6.

A solução da equação é S = {0, 6}.


18

Páginas 34-35

1. Podemos dizer que o preço de dez maçãs está relativamente baixo em comparação

com o preço de cinco maçãs. Se o preço fosse diretamente proporcional ao número

de maçãs, dez delas custariam 2 reais, e não R$ 1,80. Por isso, a oferta do feirante era

realmente boa para a compra de dez maçãs.

2.

a) São grandezas diretamente proporcionais, pois, por exemplo, quando o valor de

uma grandeza dobra o valor correspondente da outra também dobra; quando este

triplica, o outro também triplica, etc. Isto é, a razão y

x é constante e a sentença que

expressa a relação entre x e y é y = 10x.

b) São grandezas inversamente proporcionais, pois, por exemplo, quando o valor de

uma grandeza dobra o valor correspondente da outra se reduz à metade; quando este

triplica, o outro reduz a um terço, etc. O produto de x . y é constante e a sentença que

expressa a relação entre x e y é x . y = 48 ou x

y48

.

c) Não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois não se

observa uma constante nem para y

x nem para x . y. A sentença que relaciona x e y

pode ser y = 2x + 1 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são

iguais ao dobro dos correspondentes valores de x acrescidos de 1 unidade).

d) Também não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois

não se observa uma constante nem para y

x nem para x . y. A sentença que relaciona


GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO FUNCIONAL, SIGNIFICADOS E CONTEXTOS


19

x e y é y = 2x2 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são iguais

ao dobro do quadrado dos correspondentes valores de x).

Páginas 35-37

3.

xx 1 2 3 4 5 6 7

yy 3 5 7 9 11 13 15

yy –– 11 2 4 6 8 10 12 14

Sim, há proporcionalidade direta entre x e y – 1. Percebemos que a razão x

y 1 é

constante. Como 21

x

y, o valor 2 representa a constante de proporcionalidade.

4.

xx 1 2 3 4 5 6 7

xx22 1 4 9 16 25 36 49

yy 2 8 18 32 50 72 98

Construindo uma nova tabela, observamos que os valores de y são diretamente

proporcionais ao quadrado de x, isto é, 2x

y é constante e, como 2

2

x

y, a constante

de proporcionalidade é 2.

5.

a) Não. Quando a idade de uma pessoa dobra (digamos, passa de 2 para 4 anos),

não é verdade que sua massa também dobra. Se houvesse proporcionalidade direta,

imagine a massa de uma pessoa aos 40 anos...


20

b) Sim. O preço a pagar p é o produto do preço de 1 metro do fio pela quantidade x

de metros: p = kx, onde k é o preço de 1 metro de fio. Mas, às vezes, o vendedor

pode fazer algum desconto se a pessoa comprar muitos metros e, nesse caso, a

proporcionalidade deixa de existir.

c) Sim. De fato, quando o número de cópias dobra (digamos, passa de cinco para

dez), o preço a ser pago também dobra.

d) Sim. O perímetro p é igual à soma das medidas dos três lados, ou seja, p é o

produto da medida a do lado por 3, ou seja p = 3a. Portanto, o perímetro é

proporcional à medida do lado do triângulo equilátero.

e) Sim. A diagonal d é igual ao produto de a por 2 , ou seja, ad .2 . É

possível perceber essa relação aplicando-se o Teorema de Pitágoras.

f) Sim. O quociente entre C e r é igual a uma constante: 2π. Ou seja,

rCe

r

C.22

g) Não. A área do círculo não é proporcional ao seu raio. No entanto, como a área

de um círculo é dada pela expressão A = πr2, observamos a seguinte

proporcionalidade: 2r

A. Portanto, a área de um círculo é proporcional ao

quadrado do seu raio.

Páginas 37-41

6.

a) 100

1

20

4

10

1222

v

dk .

b) Para d = 83, temos 83.100

1 2 v , cuja solução é 91,1. Portanto, a velocidade

deve ser de aproximadamente 90 km/h.

c) Para v = 80, temos 280.100

1d , cuja solução é 64 metros.


21

7.

a) x = 100 e C = 1 500. Substituindo esses valores na expressão, chegamos ao valor

de k = 5. Isso significa que, a cada quantidade produzida, o custo total aumenta

5 reais.

b) Aumentará, em ambos os casos, 5 reais, pois a variação foi de 1 unidade

produzida.

c) x = 200, pois 5 . 200 = 1 000.

d) Não. O custo total C não é diretamente proporcional a x, pois a razão x

C não é

constante. Veja: para x = 1, temos C = 1 005 e, para x = 2, temos C = 1 010;

1

0051

2

0101 , ou seja,

x

C não é constante.

e) Sim. A diferença entre o custo total e o custo fixo é diretamente proporcional a

x, ou seja, o custo variável é diretamente proporcional a x e a constante de

proporcionalidade é igual a 5.

f)

NNoo ddee pprroodduuttooss ((xx))

CCuussttoo ttoottaall DDiiffeerreennççaa eennttrree oo

ccuussttoo ttoottaall ee oo ccuussttoo ffiixxoo ((ccuussttoo vvaarriiáávveell))

RRaazzããoo eennttrree aa ddiiffeerreennççaa ee xx

1 1 000 + 5 . 1 = 1 005 1 005 – 1 000 = 5 51

5

2 1 000 + 5 . 2 = 1 010 1 010 – 1 000 = 10 52

10

3 1 000 + 5 . 3 = 1 015 1 015 – 1 000 = 15 53

15

4 1 000 + 5 . 4 = 1 020 1 020 – 1 000 = 20 54

20

10 1 000 + 5 . 10 = 1 050 1 050 – 1 000 = 50 510

50

8.

a) Mulher: n = 3 . 13 – 22 = 17 / Homem: n = 3 . 16 – 25 = 23.

b) A mulher, pois a parcela subtraída na fórmula é menor do que a do homem.


22

c) A resposta é não. Construindo uma tabela, como a apresentada a seguir,

observamos que a diferença entre os números dos homens e os das mulheres

permanece em 3 unidades e que cada uma delas cresce com a mesma variação: 3 por

polegada.

CC 9 10 11 12 13 14 15 16 17

NNoo hhoommeemm 2 5 8 11 13 15 17 20 23

NNoo mmuullhheerr 5 8 11 13 15 17 20 23 26

Para seguir o raciocínio da atividade, teríamos a seguinte resposta algébrica:

Como queremos saber se os números de sapato podem ser iguais para determinado

comprimento de pé, tanto masculino quanto feminino, os valores de n em ambas as equações

devem ser iguais. Portanto, 3c – 22 = 3c – 25.

Na tentativa de resolver a equação, ficamos com 3c – 3c = - 25 + 22. Então, 0 = - 3 (impossível

encontrar o valor de n).

Páginas 41-42

9.

a) Quando se passa da superfície (x = 0) para uma profundidade de 10 m (x = 10), a

pressão aumenta 1 atmosfera. Assim, a 10 m de profundidade a pressão será 1 + 1 =

2 atmosferas. Logo, 2 = 1 + k . 10. Calculando k, obtém-se k = 0,1. Esse valor

poderia ser mais rapidamente calculado, bastando dividir o acréscimo de 1 atmosfera

de pressão por 10.

b) A cada metro que descemos, a pressão aumenta 0,1 atm.

c) x = 20 m.

d) Não, pois a razão entre p e h não é constante.

e) Sim, pois a razão entre a diferença entre as pressões (acréscimo de pressão) e a

profundidade é constante.


23

Páginas 42-43

10.

a)

DDiissttâânncciiaa ((dd)) 1 2 3 4 5 6 7

ÁÁrreeaa ((AA)) 1 4 9 16 25 36 49

b) A = d2.

c) A não é diretamente proporcional a d, pois d

A não é constante.

d) A é diretamente proporcional a d2 e a razão de proporcionalidade é 1.


24

Páginas 44-47

1.

I – c.

II – d.

III – b.

2.

a) 30 gramas.

b) 2 cm3.

c) Por meio da leitura do gráfico podemos verificar que a amostra de 1 cm3 de ferro

tem massa de 7,5 gramas. A massa de 2 cm3 é 15 gramas, enquanto a de 4 cm3 é

30 g. Por outro lado, podemos ler o gráfico com base no eixo vertical: o volume de

uma amostra de ferro de massa 22,5 gramas é de 3 cm3. Esse gráfico indica como

varia a massa m (em gramas) de amostras de ferro de acordo com a variação do

volume V dessas amostras. Observe, então, que ao duplicar o volume (de 1 cm3 para

2 cm3) a massa também duplicou (de 7,5 gramas para 15 gramas); ao triplicar o

volume (de 1 cm3 para 3 cm3) a massa também triplicou (de 7,5 gramas para

22,5 gramas). Assim, concluímos que a massa (ferro) é diretamente proporcional ao

volume.

d) Observando os valores das massas e dos volumes apresentados, verificamos

que: 31

5,7

cm

gramas= 7,5 g/cm3; 32

15

cm

gramas= 7,5 g/cm3;

33

/5,73

5,22cmg

cm

gramas .

Portanto, ao variar o volume V do bloco, sua massa também varia, mas o quociente

entre a massa m e o volume V permanece constante (igual a 7,5 g/cm3).


REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS


25

e) VmouV

m5,75,7 .

3.

a)

tt ((hh)) 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12

vv ((kkmm//hh))

120 80 60 40 30 24 20 15 10

b) Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse problema – a velocidade

média e o tempo gasto para percorrer a distância dada – não são diretamente

proporcionais, e sim inversamente proporcionais, porque quando o valor de uma

delas é multiplicado por 2, o valor correspondente da outra é dividido por 2. Da

mesma forma, quando um deles é dividido por 6, o correspondente da outra é

multiplicado por 6 e assim por diante. Ou seja, duas grandezas x e y são

inversamente proporcionais quando os produtos dos valores de uma pelos

correspondentes valores da outra forem constantes. Gráficos de grandezas

inversamente proporcionais são denominados hipérboles.

c) v . t = 120.

Páginas 47-49

4.

a) As grandezas não são diretamente proporcionais porque a razão q

p não é

constante. Por exemplo: 400

10= 0,025 é diferente de

500

8 = 0,016. As grandezas

também não são inversamente proporcionais, pois o produto de p e q também não é

constante. Por exemplo, 10400 = 4000 é diferente de 16.100 = 1600.

Analisando a relação existente entre as grandezas envolvidas, percebemos que

quando há aumento de uma ocorre diminuição da outra. Por isso, essa relação pode


26

ser chamada de decrescente. As grandezas em questão não são inversamente

proporcionais, pois, quando se compra uma quantidade de camisetas duas vezes

maior, o valor da cada camiseta diminui, mas não se reduz à metade; quando a

quantidade de itens vendidos é triplicada, o preço por unidade diminui, mas não se

reduz a um terço, etc. Portanto, essas grandezas não são direta nem inversamente

proporcionais.

b) O preço varia em 2 reais.

c) O preço diminui 2 reais para cada aumento de 100 unidades vendidas. Portanto,

o preço não se modificou para uma unidade vendida.

d) Considerando que, para cada diminuição de 100 unidades o preço aumenta 2

reais, então, o preço inicial das camisetas seria 18 reais. Como a cada unidade

vendida o preço diminui 0,02 real, então, podemos escrever que p = 18 – 0,02q.

5.

a) Sim, porque o produto das grandezas envolvidas é constante (36).

b)

No de bombons (n)

No de caixas (c)

2 18

3 12

4 9

6 6

9 4

12 3


27

c)

Páginas 50-53

6.

a)

RReettâânngguullooss PPeerríímmeettrroo ((ccmm)) ÁÁrreeaa ((ccmm22))

I 22 24

II 22 10

III 22 30

b) 2x + 2y = 22, logo y = –x + 11.

c) Nesta tabela, consideramos apenas os valores inteiros de x.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0


28

d) À medida que o valor de x aumenta, é possível observar também que o valor de

y diminui. Trata-se de uma função decrescente. As variáveis y e x não são

proporcionais entre si.

e) A = x . y = x(– x + 11) = – x2 + 11x.

f) Considerando-se apenas os valores inteiros de x, obtêm-se:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A 0 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10 0

g) A partir da tabela, pode-se observar que os valores de A e x não são nem direta

nem inversamente proporcionais.


29

h)

Observando o gráfico construído, pode-se concluir que a maior área será obtida para

x entre 5 e 6, isto é, 5,5. Para essa medida, os lados do retângulo devem ser iguais, ou

seja, a área máxima será a de um quadrado.

7.

a) p = 4x

b) A = x²

c) x² = 4x; logo, x = 4

Páginas 54-55

8.

a) Se o ingresso custar 4 reais, o lucro será de 12 reais, como mostra o gráfico.


30

b) Não, para valores maiores que 6 reais e menores que 10 reais haverá lucro. A

partir daí, haverá prejuízo. Também haverá prejuízo para valores menores que 2

reais.

c) O lucro cresce até 6 reais. A partir daí, ele decresce.

d) O lucro máximo de 16 reais é obtido com o ingresso custando 6 reais.

e) Nesses intervalos o projeto tem prejuízo.

f) Para esses valores, o lucro é o mesmo, isto é, 7 reais. Observa-se que os valores

encontram um eixo de simetria, paralelo ao eixo y, que passa pelo ponto máximo da

função.

caderno do aluno by:patrick -matemática- 2° bimestre

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