aula 02 abin

CURSOS ONLINE RESUMO DE RACIOCNIO LGICO P/ ABIN PROFESSOR VTOR MENEZES

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AULA 2 Anlise Combinatria

I) ANLISE COMBINATRIA . ................................................................................................................... 2

1) Princpio fundamental da contagem . ......................................................................................................... 2

2) Condies para aplicao do princpio fundamental da contagem . ....................................................... 4

3) Tipos de problema de anlise combinatria . .......................................................................................... 10

4) Fatorial . . ..................................................................................................................................................... 11

5) Arranjos . . ................................................................................................................................................... 12

6) Permutao . . .............................................................................................................................................. 15

7) Combinao . . ............................................................................................................................................. 17

8) Permutao com elementos repetidos . . ................................................................................................... 20

9) Exerccios de concursos . . .......................................................................................................................... 20



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I) ANLISE COMBINATRIA Em anlise combinatria ns vamos basicamente aprender a contar. Isso mesmo. O intuito aqui ser contar de quantas formas um dado processo pode ocorrer.

Uma forma de resolver este tipo de problema simplesmente listar todas as situaes possveis e, depois, cont-las. Vejamos um exemplo.

Considere que um guia turstico deseje colocar trs pessoas em fila indiana, para percorrer uma trilha. De quantas maneiras possvel formar a tal fila?

um problema de contagem. Precisamos contar quantas so as maneiras de executar o processo descrito, qual seja, formar a fila de trs pessoas.

Chamando as pessoas de A, B e C, temos as seguintes filas possveis:

A, B, C

A, C, B

B, A, C

B, C, A

C, A, B

C, B, A

So seis filas possveis. Listamos todas elas e, depois, contamos. Difcil? Certamente no.

O problema comea quando o nmero de casos possveis aumenta muito. Imaginem se, em vez de trs pessoas na fila, fossem quinze. E a? Listar todas as maneiras de formao da fila seria algo extremamente trabalhoso.

Nestas situaes, muito til conhecer ferramentas de anlise combinatria. So ferramentas que permitem uma contagem mais rpida.

A mais importante delas o princpio fundamental da contagem. Ele pode ser aplicado para resolver qualquer problema de anlise combinatria.

A partir do princpio fundamental da contagem (PFC), de aplicao geral, possvel chegar a frmulas que se destinam a problemas com certas particularidades. Neste contexto, aprenderemos os casos de arranjo, permutao e combinao.

1) Princpio fundamental da contagem Exemplo 1:

Paulo quer conhecer a ilha Alfa. Para tanto, precisa chegar at o litoral. Tem duas maneiras de fazer isso: de carro ou nibus. Chegando ao litoral, ele precisa atingir a ilha. Pode ir de barco, de lancha ou de balsa. De quantas formas Paulo pode chegar ilha Alfa?

Resoluo:

Vamos escrever todas as possibilidades disposio de Paulo.

Paulo pode chegar ilha usando:



3

1 carro e barco

2 carro e lancha

3 - carro e balsa

4 nibus e barco

5 nibus e lancha

6 nibus e balsa

So 6 as maneiras pelas quais Paulo pode chegar ilha.

Vamos reescrever essas possibilidades da seguinte maneira: formas de chegar ao litoral formas de ir do litoral ilha

barcocarro lancha

balsa

barconibus lancha

balsa

Podemos dividir o problema em duas etapas.

A primeira etapa consiste em ir at o litoral. H 2 modos de fazer isso.

A segunda etapa consiste em ir do litoral at a ilha.

Para cada modo escolhido para completar a primeira etapa, h 3 maneiras de se realizar a segunda etapa.

Portanto, o nmero total de possibilidades de se executar todo o percurso : 6 32 =

O princpio fundamental da contagem (PFC) nos diz que, quando uma tarefa puder ser dividida em n etapas, e cada etapa puder ser realizada de mi maneiras diferentes (com i variando de 1 at n), o nmero de maneiras pelas quais podemos concluir a tarefa igual ao produto:

nm mm m ...321 No nosso exemplo, tnhamos duas etapas. A primeira etapa podia ser realizada de duas formas. A segunda, de trs formas. O nmero de maneiras de se realizar a tarefa inteira foi igual a 2 vezes 3.



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ida do interior ao litoral: 2 maneiras ida do litoral ilha: 3 maneiras

1 etapa 2 etapa

2 3

6 32 = O princpio fundamental da contagem basicamente isso: dividimos o processo em etapas. Calculamos de quantos modos cada etapa pode ser executada. Depois multiplicamos.

2) Condies para aplicao do princpio fundamental da contagem No exemplo anterior, vimos uma situao mais simples, em que no foi necessrio verificar as condies para aplicao do princpio fundamental da contagem.

Contudo, de forma geral, antes de iniciarmos a resoluo do problema, necessrio responder a duas perguntas extremamente importantes:

h reposio de elementos? uma troca na ordem dos elementos representa um novo caso?

Veremos qual o impacto destes itens nos problemas seguintes.

Exemplo 2:

Cinco amigos (Alberto, Bianca, Cludia, Daniel e Eduardo) decidem fazer uma pequena festa. Dois deles vo organiz-la. Para ver quem fica encarregado da organizao, eles fazem um sorteio. O primeiro a ser sorteado cuidar das bebidas. O segundo, da comida. Quantos so os grupos possveis?

Resoluo.

Vamos dividir a escolha das duas pessoas em etapas. Na primeira etapa sorteamos a primeira pessoa. Na segunda etapa sorteamos a segunda pessoa.

No exemplo anterior, a situao era bem diferente. No exerccio em que Paulo queria visitar a ilha Alfa ns tambm fizemos a diviso em etapas.

Tnhamos um conjunto de maneiras de chegar ao litoral. Vamos chamar de conjunto A. A = {carro, nibus}

Tnhamos tambm um conjunto de maneiras de ir do litoral ilha (conjunto B). B = {barco, balsa, lancha}.

Na primeira etapa, tnhamos duas opes de ida at o litoral (pois o conjunto A tem dois elementos). Para a segunda etapa, havia trs formas de execuo (pois o conjunto B tem trs elementos).



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Note que as etapas esto relacionadas a conjuntos diferentes. Nesta situao, simplesmente aplicamos o princpio fundamental da contagem, multiplicando o nmero de formas de execuo da primeira etapa (=2) pelo nmero de formas de execuo da segunda etapa (=3).

Agora vem um grande detalhe. No exemplo 2 a situao mudou. Nesta questo sobre os cinco amigos que tero uma festa, as duas etapas esto relacionadas com o mesmo conjunto. Seja C o conjunto de amigos.

C = {Alberto, Bianca, Cludia, Daniel e Eduardo} H cinco formas de realizar a primeira etapa (ou seja, de escolher a primeira pessoa). Isto porque, no conjunto C, temos 5 elementos. E na segunda etapa? Quantas so as formas de executar a segunda etapa?

aqui que est a diferena.

Quando duas ou mais etapas esto relacionadas a um mesmo conjunto de dados, temos que nos fazer duas perguntas extremamente importantes:


Vejamos a primeira pergunta. O que significa reposio?

Haver reposio quando um elemento escolhido em uma das etapas e, na etapa seguinte, ele pode ser escolhido novamente.

Assim, suponhamos que Alberto foi o primeiro escolhido. Ele ficar encarregado das bebidas. Escolhido o Alberto, a sortearemos a segunda pessoa, que ficar encarregada da comida.

Pergunta: o Alberto, que j foi escolhido para cuidar da bebida, pode ser novamente escolhido? Ele pode ser novamente sorteado? Pode ele cuidar da bebida e da comida?

No, no pode.

A idia que fique uma pessoa cuidando da bebida e outra pessoa cuidando da comida.

Ou seja: NO h reposio. A pessoa escolhida na primeira etapa no pode mais ser escolhida para a segunda etapa.

Sabendo disso, vamos resolver o problema.

Na primeira etapa temos cinco opes. Queremos escolher um dos amigos para ficar encarregado da bebida. So cinco amigos, ento temos cinco possibilidades de execuo da primeira etapa. Ou ainda: nos dirigimos ao conjunto C, que tem cinco elementos. Logo, temos 5 possibilidades de execuo da primeira etapa.

Agora vamos para a segunda etapa.

Para escolher a segunda pessoa, nos dirigimos novamente ao conjunto C. So cinco elementos. Um deles j foi escolhido. S restam 4. So 4 formas de realizar a segunda etapa.



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grupo de 5 pessoas

1 etapa 2 etapa

5 4

20 45 =

Desta forma, temos 20 maneiras de escolher as duas pessoas que cuidaro da festa.

No incio do problema, dissemos que eram duas perguntas muito importantes. So elas:


A primeira pergunta ns j estudamos. Vimos que, neste problema, no h reposio. Isso faz com que, na segunda etapa, sejam apenas 4 opes, em vez de 5.

Ok, e a segunda pergunta? O que ela quer dizer?

Para a segunda pergunta, se a resposta for positiva, simplesmente utilizamos o princpio fundamental da contagem. Se for negativa, precisamos fazer algumas adaptaes.

Neste exerccio, queramos formar grupos de duas pessoas para organizarem a festa.

Vamos escrever todas essas possibilidades? Vamos representar cada pessoa pela sua inicial.

As possibilidades so: a,b b,c c,d d,e a,c b,d c,e e,a a,d b,e d,a e,b a,e c,a d,b e,c b,a c,b d,c e,d

Observe os grupos destacados em vermelho. A diferena entre eles simplesmente a ordem dos elementos. Em um, temos primeiro Alberto e depois Bianca. No outro, temos primeiro Bianca e depois Alberto.

Esta troca na ordem representa uma nova formao para a dupla que vai organizar a festa? Sim, representa sim. Na primeira formao, Alberto quem cuidar das bebidas. Na segunda formao, Bianca cuidar das bebidas. Uma troca na ordem dos elementos representou uma nova formao. Dizemos que a ordem importante para a contagem. Uma simples alterao na ordem dos elementos implica na obteno de um novo caso.

Deste modo, a resposta para a segunda pergunta : SIM, uma troca na ordem dos elementos representa um novo caso (a ordem importante!).

Sempre que isso acontecer, basta aplicarmos o Princpio Fundamental da Contagem (PFC). No precisa fazer nenhuma adaptao.

Ento, resumindo o que fizemos. Neste exerccio, vimos que no h reposio. Logo, escolhido um elemento para a primeira etapa, ele no pode ser escolhido para a segunda etapa.



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Vimos tambm que uma troca na ordem dos elementos representa sim uma nova contagem. Quando isso acontece, no precisamos fazer adaptao nenhuma. s usar o princpio fundamental da contagem e pronto.

21603453 3 4 = Exemplo 3:

Em um pequeno pas, os carros tm placas com duas letras e dois nmeros. Qual o nmero mximo de placas diferentes que podem ser fabricadas neste pas?

Resoluo

A primeira etapa ser escolher a primeira letra da placa. A segunda etapa ser escolher a segunda letra. A terceira etapa ser escolher o primeiro nmero. A quarta etapa ser escolher o segundo nmero.

Perguntas:


Aqui temos um exemplo diferente do anterior. o primeiro exemplo em que h reposio. Ento a resposta para a primeira pergunta : SIM, h reposio.

Considere que G seja a letra escolhida para ser a primeira letra da placa.

Na hora de escolher a segunda letra, teremos, novamente, 26 opes. A letra G pode ser escolhida duas vezes. Ela pode sim ocupar a primeira e a segunda posies. Por isso dizemos que h reposio. Um mesmo elemento pode ser usado em duas etapas diferentes.

O mesmo vale para os algarismos. Considere que o primeiro algarismo da placa seja 7. Esse algarismo pode perfeitamente ser usado na etapa seguinte. Ele pode se repetir.

Dizer que h reposio significa que um elemento pode ser usado em mais de uma etapa. Ou seja, seria perfeitamente possvel ter a placa GG77. Ok?

Vamos preencher a primeira etapa. So 26 opes de letras.



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Vamos agora para a segunda etapa. Queremos escolher a segunda letra da placa. So 26 opes de letra. Uma j foi usada na etapa anterior. Contudo, como h reposio, continuamos com 26 opes de letra.

Na terceira etapa, ns precisamos escolher um algarismo. Temos dez formas de fazer isso.

Na quarta etapa, ns escolhermos outro algarismo. Tnhamos 10 opes. J utilizamos 1 algarismo na terceira etapa. S que, como h reposio, para a quarta etapa ainda temos 10 opes.

J determinamos de quantas maneiras podemos executar cada uma das etapas.

Vamos responder segunda pergunta. A ordem importante? Uma alterao na ordem dos elementos representa um novo caso?

Sim, representa sim.

A placa KF50 diferente da placa FK05. De uma placa para outra apenas alteramos a ordem dos elementos. E com isso obtemos um novo caso, uma nova placa.

Nesta situao, basta aplicar o princpio fundamental da contagem, sem qualquer adaptao.

O nmero total placas que podem existir neste pas : 10 67600 1026 26 =

Exemplo 4:

Cinco amigos (Alberto, Bianca, Cludia, Daniel e Eduardo) decidem fazer uma pequena festa. Dois deles vo organiz-la. Para ver quem fica encarregado da organizao, eles fazem um sorteio. Quantos so os grupos possveis de serem formados?



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Resoluo.

Montei uma situao semelhante do exemplo 2. Aqui, novamente, no h reposio. Uma mesma pessoa no pode ser escolhida duas vezes. Uma pessoa no vai organizar sozinha a festa. A festa ser organizada por duas pessoas diferentes.

Ou seja, aqui, novamente, a resposta para a primeira pergunta : NO, no h reposio.

Vamos agora segunda pergunta: a ordem importante? Uma troca na ordem dos elementos representa uma nova contagem?

L no exemplo 2, a ordem do sorteio tinha bastante importncia. Ela determinava quem cuidaria da bebida e quem cuidaria da comida.

Neste exerccio, de forma diferente, a ordem no mais interfere na organizao da festa. Os dois sorteados vo fazer tudo juntos. No haver mais separao entre quem vai organizar a bebida e quem vai organizar a comida.

Vamos fazer como sempre. Vamos dividir a escolha das duas pessoas em etapas. Na primeira etapa sorteamos a primeira pessoa. Na segunda etapa sorteamos a segunda pessoa.

Na primeira etapa temos cinco opes. Escolhida a primeira pessoa, para a segunda etapa sobram 4 opes.

1 etapa 2 etapa

5 4

20 45 = Desse modo, de acordo com o que estudamos, so 20 formas de se formarem os grupos.

Vamos escrever todas essas possibilidades? Vamos representar cada pessoa pela sua inicial.

As possibilidades so: a,b b,c c,d d,e a,c b,d c,e e,a a,d b,e d,a e,b a,e c,a d,b e,c b,a c,b d,c e,d

S que tem um probleminha na resoluo acima. O grupo formado por Alberto e Bianca (Alberto foi escolhido primeiro e Bianca segundo ver primeira linha, destacado em vermelho) exatamente a mesma coisa que o grupo formado por Bianca e Alberto (Bianca foi escolhida em primeiro e Alberto em segundo ver quinta linha, destacado em vermelho).

Ou seja, estamos contando cada grupo duas vezes. O nmero de grupos que se formam, na verdade, :

10220 =

Por que precisamos dividir por dois? Porque estvamos contando cada grupo duas vezes. Trocar a ordem de escolha (Alberto e Bianca ou Bianca e Alberto) no faz a menor diferena. A ordem dos elementos no tem qualquer importncia.

Sempre que estivermos diante de um caso em que a troca na ordem dos elementos no altera o grupo, no podemos simplesmente aplicar o princpio fundamental da contagem.



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Se simplesmente aplicssemos o princpio fundamental da contagem, teramos contagens repetidas. Teramos grupos contados mais de uma vez. Nestes casos, necessrio fazer uma diviso, para excluir as contagens repetidas.

Pergunta: Professor, nas questes em que necessria uma diviso para excluir as contagens repetidas, sempre dividimos por 2? Resposta: no, a diviso nem sempre por 2. Veremos mais adiante como fazer essa diviso.

3) Tipos de problema de anlise combinatria Todos os exerccios de anlise combinatria podem ser resolvidos com o princpio fundamental da contagem. Para tanto, s termos o cuidado de responder s perguntas:

h reposio de elementos? uma troca na ordem dos elementos representa um novo caso? A primeira pergunta interfere no clculo das maneiras de execuo de cada etapa.

A segunda pergunta importante para sabermos se basta aplicar o princpio fundamental da contagem ou no. Caso a ordem seja importante, isto , caso uma alterao na ordem dos elementos implique em nova contagem, basta aplicarmos o PFC.

Do contrrio, a necessrio fazer uma adaptao. Primeiro aplicamos o PFC. Em seguida, necessrio fazer uma diviso para excluir as contagens repetidas.

Deste modo, seria possvel resolver todos os exerccios de anlise combinatria sem saber quaisquer frmulas. Contudo, s vezes as frmulas podem ser teis. Podem auxiliar a resoluo. Isso sem falar que h exerccios que cobram justamente o conhecimento da frmula.

Ento vamos estud-las. Para tanto, vamos entender a nomenclatura existente.

Quando h reposio, apenas aplicamos o PFC. No h qualquer nome especial para este tipo de problema. No h uma frmula especfica. So exerccios pouco cobrados.

Quando no h reposio, a alguns nomes so usualmente empregados. Podemos ter o seguinte:

se a ordem importa (alterao na ordem dos elementos implica em nova contagem), a temos os arranjos e as permutaes (as permutaes so um caso particular de arranjo);

se a ordem no importa, ento temos as combinaes

H reposio? A ordem importante? Forma de resoluo Sim Sim PFC No Sim arranjos, permutaes,

PFC No No combinaes, PFC

Pergunta:

Professor, e nos problemas em que h reposio e a ordem no importante? Como resolver? A o mtodo de soluo bem diferente. H uma tcnica que usa smbolos para representar a situao dada na questo. Em seguida, camos em um caso de permutao dos smbolos.



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Com isso, nosso quadro fica: H reposio? A ordem importante? Forma de resoluo

Sim Sim PFC Sim No permutao de smbolos No Sim arranjos, permutaes,

PFC No No combinaes, PFC

Os exerccios correspondentes linha vermelha do quadro acima so comumente cobrados em vestibulares, mas pouqussimo exigidos em concursos (no encontrei uma questo do CESPE sobre isso). Por isso no trataremos do assunto.

4) Fatorial Um smbolo que vai aparecer bastante daqui para frente o fatorial. Seu smbolo : !. Nada mais, nada menos, que o ponto de exclamao.

O fatorial possibilita uma escrita compacta.

Vejamos um exemplo. Considere que se deseje calcular:

1234 Esta conta pode ser escrita de forma compacta. Ela pode ser escrita assim:

= 1234 4! Ou seja, escrever 1 234 o mesmo que escrever 4!. Sempre que tivermos uma multiplicao de nmeros naturais em seqncia, e sempre que esta multiplicao se estender at o nmero 1, ento podemos usar o fatorial.

De forma geral, se n for um nmero natural, temos:

n! = 1 ...) 2()1 ( nn n As nicas excees so:

1! = 1

0! = 1

Exemplo:

Calcule:

a) 3!

b) 6!

c) 2! + 5!

d) 6! 4! e) 8! 5!

Resoluo:

a) 3! = 6 123 =



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b) 6! = 720 123456 =

c) 2!+5! = 122 1202 1234512 = += +

d) Sempre que tivermos uma diviso de fatoriais, existe uma tcnica interessante que nos facilita bastante. o seguinte.

Queremos calcular: 6! 4! O maior fatorial 6!

Vamos desenvolve-lo.

6! = 123456 6! = ( )123456

O que que ns temos entre parntesis? justamente 4!. Ou seja, na hora de desenvolver 6! ns podemos fazer assim:

6! = 56 4! Desta forma, temos:

30 56! 4

! 456! 4! 6 = = =

e) Aqui vamos adotar a mesma idia do item anterior.

6 336 78! 5

! 5678 !5! 8 = = =

5) Arranjos Exemplo:

Alberto, Bernardo, Caio e Dcio vo apostar uma corrida. Desprezando-se os casos de empate (ou seja, considerando que dois ou mais atletas no cruzam a linha de chegada simultaneamente), de quantas maneiras pode ser formado o pdio?

Resoluo

Cada etapa corresponder escolha de quem vai ocupar cada uma das posies do pdio.

Nossas perguntas so:

h reposio de elementos? uma troca na ordem dos elementos representa um novo caso? Vamos analisar a primeira pergunta.

Considere que Alberto chegou em primeiro. Ele foi escolhido na primeira etapa. ele quem vai ocupar o lugar mais alto do pdio.



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Ele pode ocupar tambm o segundo lugar? No, no pode. No h reposio. A pessoa escolhida em uma das etapas no pode ser novamente escolhida. No tem como um corredor ser primeiro e segundo ao mesmo tempo. No h reposio.

Vamos para a segunda pergunta. A ordem importante?

claro que sim. A seqncia Alberto, Bernardo e Caio diferente de Caio, Alberto e Bernardo. Na primeira delas, Alberto foi o vencedor. Na segunda, Caio que foi o campeo.

Ou seja, uma simples alterao na ordem dos elementos representa um novo possvel pdio. Logo, a ordem importa.

Quando a ordem importa e no h reposio, estamos diante de um caso de arranjo.

Vamos resolver a questo usando o PFC.

Para a primeira etapa (escolher o primeiro colocado), temos 4 opes.

Escolhido o primeiro colocado, para a segunda etapa sobram 3 opes de corredores (pois no h reposio).

Para a terceira etapa, temos 2 opes de corredores.

Aplicando o PFC: 24 234 =

So 24 possveis pdios.

E agora vem a frmula. So n elementos. Queremos escolher p, sem reposio, de forma que a ordem importante. O nmero de maneiras de fazer isso :

)! (!

, p nnA p n =

Esta a frmula do arranjo.

Dado um conjunto de n elementos do qual queremos escolher p (sem reposio, onde a ordem importante), a frmula nos d quantos agrupamentos so possveis.

No nosso exemplo, tnhamos um grupo de 4 corredores ( n = 4). Queramos escolher 3 ( 3 =p ). Aplicando a frmula:

24 !1! 4

)! 34 (! 4

,3 4 = = =A



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Exemplo:

Sobre a corrida do problema anterior: de quantas formas pode ser formado o pdio com Dcio em segundo lugar?

Novamente, no h reposio e a ordem importante.

Primeiro vamos resolver usando o princpio fundamental da contagem.

Para a primeira etapa, temos 4 opes de corredores.

Escolhido o primeiro colocado, sobram 3 opes para a segunda etapa. S que ns temos uma restrio na segunda etapa. Queremos os pdios em que Dcio o segundo lugar.

E agora? De quantas maneiras pode ser executada a segunda etapa?

A depende.

Se Dcio j tiver sido escolhido na primeira etapa, ento a segunda etapa sequer pode ser executada.

Neste caso, como h uma restrio na segunda etapa, o melhor a fazer comear a resoluo do problema justamente por ela.

Vamos comear tudo de novo.

Para a segunda etapa, ns temos 1 opo. Estamos interessados nos pdios em que Dcio o segundo colocado.

Esta dica importante.

Procure comear pelas etapas em que h restries.

Escolhido o segundo colocado (que s pode ser Dcio), vamos para o primeiro colocado. Sobram 3 opes para a primeira etapa.

Escolhidos o primeiro e o segundo lugares, para a terceira etapa sobram duas opes.

Usando o PFC: 6 21 3 =

H seis possveis pdios em que Dcio o segundo lugar.



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Outra resoluo seria usar a frmula de arranjo. Podemos dividir o problema em apenas duas etapas.

Na primeira etapa, escolhemos o segundo colocado. Ele s pode ser Dcio. H uma forma de realizar esta etapa.

Na segunda etapa, queremos escolher o primeiro e o terceiro colocados. Sobraram 3 amigos e queremos escolher 2. No h reposio e a ordem importante. O nmero de maneiras de fazer isso :

6 16

)!23(! 3

,2 3 = = =A

Logo, o nmero de pdios em que Dcio o segundo colocado dado por: 6 61 =

6) Permutao Permutao nada mais que um caso particular de arranjo.

Quando temos n elementos e desejamos formar grupos de p elementos, escolhidos sem reposio, onde a ordem de escolha importante, o nmero de grupos dado por:

)! (!

, p nnA p n =

Pois bem. Um caso particular de arranjo ocorre quando n = p. Quando isso acontece, a ns temos uma permutao.

Assim, a permutao um arranjo em que n = p. E a frmula fica reduzida a:

! ! 0!

)! (!

, n n

p nnA p n = ==

Assim, a permutao de n elementos dada por:

n! Pn =Exemplo:

Quatro amigos (Alberto, Bernardo, Cludio e Diogo) esto disputando uma corrida de kart. Descartando-se a hiptese de duas ou mais pessoas cruzarem a linha de chegada simultaneamente, de quantas formas pode terminar a corrida?

Resoluo.

Primeiro vamos resolver a questo usando o PFC. Cada etapa vai corresponder escolha de um dos lugares. A primeira etapa consiste em escolher o primeiro lugar. A segunda etapa consiste em escolher o segundo lugar. E assim por diante.



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grupo de 4 amigos

1 etapa 2 etapa 3 etapa 4 etapa

4 3 2 1

O nmero de maneiras possveis de trmino da corrida dado por: 24 1234 =

Notem que no h reposio, pois um corredor no pode ocupar duas posies ao mesmo tempo. Alm disso, a ordem relevante. A ordem de escolha est relacionada com a colocao final do corredor.

Em vez de usarmos o PFC, podemos aplicar a frmula estudada.

Temos um conjunto de 4 corredores. A partir deste conjunto, queremos formar grupos de 4 corredores, sem reposio, de forma que a ordem de escolha importante.

Estamos diante de um caso de arranjo. E mais que isso. uma permutao (pois 4== p n ). O nmero de formas diferentes pelas quais a corrida pode acabar :

! 24 44 = =P

Um detalhe interessante.

Seja A o conjunto formado pelos amigos. A = {Alberto, Bernardo, Cludio, Diogo}

O conjunto A tem 4 elementos. Para resolver a questo, dividimos o processo em quatro etapas (referentes a cada uma das colocaes obtidas ao final da corrida).

Note que:

Todas as etapas foram relacionadas ao mesmo conjunto A O nmero de etapas foi igual ao nmero de elementos do conjunto A. No h reposio de elementos de uma etapa para a outra.

Sempre que isso acontece, estamos diante de um caso de permutao. Dizemos que foi feita uma permutao entre os quatro amigos. Pegamos todos eles e simplesmente alteramos a ordem de seus posicionamentos, para obter cada uma das possveis maneiras de trmino da corrida.

Exemplo

Qual o nmero de anagramas da palavra RATO?



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Resoluo:

Como a palavra RATO pequena, podemos listar todos os anagramas. So eles:

rato raot rtao rtoa rota roat

arto arot ator atro aort aotr

trao troa taro taor tora toar

orta orat otar outra oart oatr

So 24 anagramas.

Observem que cada anagrama um conjunto formado pelas letras a, o, r, t. A partir deste conjunto de 4 elementos, queremos formar grupos, de 4 elementos, sem reposio, onde a ordem importante. Ou seja, estamos permutando essas 4 letras. Assim, o nmero de anagramas igual a:

! 24 44 = =P A utilizao da permutao para encontrar o nmero de anagramas de uma dada palavra comum nas provas do CESPE. O exerccio em si no difcil. O que talvez poderia dificultar a palavra anagrama. Nem todo mundo j ouviu falar. Ento fica a dica: anagramas so todas as palavras formadas com a mera alterao na ordem das letras da palavra original.

Vale destacar que, para formar um anagrama, no interessa se a palavra obtida existe no nosso vocabulrio ou no.

Assim, ator um anagrama de rato. E sabemos que ator existe no vocabulrio.

Do mesmo modo, rtoa um anagrama de rato, muito embora no exista no nosso vocabulrio.

E mais um detalhe: na hora de contar quantos so os anagramas, a palavra original tambm contada. Assim, rato tem 24 anagramas, incluindo a prpria palavra rato.

7) Combinao Vamos retomar o exemplo 4. Relembrando seu enunciado:

Cinco amigos (Alberto, Bianca, Cludia, Daniel e Eduardo) decidem fazer uma pequena festa. Dois deles vo organiz-la. Para ver quem fica encarregado da organizao, eles fazem um sorteio. Quantos so os grupos possveis de serem formados?

L no incio da aula ns resolvemos este exerccio por meio do PFC. Sugiro que vocs dem uma pausa na leitura e voltem l naquele exerccio, para relembrar a resoluo.

Acontece que, neste problema, a ordem no importante. Escolher primeiro o Alberto e depois a Bianca a mesma coisa que escolher primeiro a Bianca e depois Alberto.

A ordem de escolha no altera o grupo. Nas duas situaes, temos a mesma equipe que vai organizar a festa.

Quando isso acontece, depois de aplicarmos o PFC, precisamos fazer uma diviso. Esta diviso tem o intuito de eliminar as contagens repetidas. Naquela situao, precisamos dividir por 2, pois cada grupamento estava sendo contado duas vezes.



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J dissemos tambm que no devemos necessariamente dividir por 2. Conforme o caso, temos que dividir por outros nmeros, de forma a eliminarmos as contagens repetidas. Ento como fazer a diviso?

Vamos ver como fica por meio de outro exemplo.

Exemplo:

Na penltima rodada do campeonato estadual de futebol, cinco times terminaram com chances de classificao para o triangular final (ou seja, apenas trs times destes cinco disputaro a fase final). Sabendo-se que na fase final os pontos so zerados (ou seja, o time com melhor campanha na primeira fase no leva qualquer vantagem), de quantas formas pode ser disputado o triangular final?

Resoluo:

Sejam A, B, C, D e E os cinco times com chances de disputar o triangular final.

Vamos tentar resolver o problema usando o princpio fundamental da contagem. Precisamos escolher 3 times destes 5. Para a primeira escolha, temos 5 opes. Escolhido o primeiro time, para a segunda escolha sobram 4. Selecionados os dois primeiros, sobram 3 opes para a ltima escolha. Assim, o nmero de maneiras pelas quais estes times podem ser escolhidos :

3 60 45 = Acontece que, na soluo acima, estamos considerando que a ordem importa. Ou seja, o triangular composto pelos times A, B e C diferente do triangular composto pelos times C, B e A.

S que isso falso. Uma simples alterao na ordem de escolha dos times no altera o triangular final. Temos que eliminar a contagem repetida.

No exemplo 4 resolvemos este problema da seguinte forma. Listamos todas as ocorrncias. Vimos quantas vezes cada combinao se repetia. Como cada combinao estava em duplicidade, dividimos por 2 o resultado obtido por meio da aplicao do princpio fundamental da contagem.

No presente caso, vai dar um trabalho ficar listando todas as possibilidades. So sessenta casos possveis. Listar todos eles para contar as repeties daria muito trabalho. Vamos fazer diferente.

Vamos focar em um nico caso. Considere o conjunto formado por A, B, C. Quantas vezes ele est sendo contado? Ele est sendo contado seis vezes, assim discriminadas:

A, B, C A, C, B B, A, C B, C, A C, A, B C, B, A Repare que o nmero de contagens para o conjunto A, B, C foi justamente igual a 6, que igual a 3! (fatorial de 3).



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Isto no coincidncia. Temos trs elementos (A, B, C). Queramos saber de quantas formas podemos list-los, alternado apenas a ordem entre eles. um caso de permutao. Estamos permutando trs elementos.

Assim, qualquer possvel triangular final foi contado seis vezes. Temos que dividir o nmero obtido por 6, para eliminar as contagens repetidas.

Novamente: por que dividimos por 6?

Porque 6 igual ao nmero de permutao de trs elementos (=3!).

Logo, o nmero de maneiras de se formar o triangular final dado por:

10 6

345 =

Quando temos um conjunto de n elementos e queremos formar grupos de p elementos, tomados sem reposio, onde a ordem no importa, o nmero de grupamentos possveis dado por:

)! ! (!

, p pnnC p n =

Que a frmula da combinao. Dizemos que estamos combinando n elementos, tomados p a p. Queramos escolher 3 times entre os 5 que ainda tinham chances de classificao. A ordem no importa. Queremos combinar 5 times, tomados 3 a 3. Resolvendo por meio da frmula, ficaramos com:

( ) ( ) 10!245

! 3! 2! 345

,3 5 == =C

A frmula da combinao j tem a diviso que elimina as contagens repetidas.

! )!(!) ,(

p pnnp nC =

elimina as contagens repetidas



20

Na resoluo dos exerccios, o mais comum simplificarmos esta frmula.

Exemplo:

! 2! 3! 5

,3 5 =C Da desenvolvemos o numerador, at podermos cancelar com uma das parcelas do denominador. Assim:

1245

! 2! 3! 345

,3 5 =

=C Esta simplificao to comum que, nos exerccios, vou omitir este passo a passo e colocar direto o resultado da simplificao. Ok?

8) Permutao com elementos repetidos Exemplo:

Qual o nmero de anagramas da palavra PORTO?

Resoluo.

Este exerccio no de combinao e sim de permutao. Isto porque a mera alterao na ordem das letras implica num novo anagrama. Por exemplo, os anagramas PORTO e ROPTO so diferentes entre si. E, de um para o outro, s mudamos as posies das letras R e P.

Assim, queremos permutar as cinco letras. Temos:

! 55 =P S que tem um probleminha na resoluo acima. Neste caso, temos letras repetidas. A letra o aparece duas vezes. A ordem entre essas duas letras irrelevante. Ou seja, escrever PORTO e PORTO, apenas trocando a posio das duas letras o, d no mesmo. Precisamos dividir o resultado acima por 2 fatorial, para excluir as contagens repetidas:

60 !2! 5 =

Deste modo, quando na permutao tivermos elementos repetidos, precisamos eliminar as contagens repetidas com uma diviso. O raciocnio exatamente o mesmo que vimos quando estudamos a combinao.

9) Exerccios de concursos Agora j estamos em condies de ver alguns exemplos de questes em que o CESPE cobra anlise combinatria.

EC 1. Ministrio da Sade 2007 [CESPE]

Com relao a probabilidade, combinaes, arranjos e permutaes, julgue os seguintes itens.



21

1. Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando um deles com um ingresso para cinema, outro com um ingresso para teatro e o terceiro com um ingresso para show, ele ter mais de 100 maneiras diferentes para faz-lo.

2. Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando cada um deles com um ingresso para teatro, ele ter mais de 24 maneiras diferentes para faz-lo.

3. Sabe-se que, no Brasil, as placas de identificao dos veculos tm 3 letras do alfabeto e 4 algarismos, escolhidos de 0 a 9. Ento, seguindo-se essa mesma lei de formao, mas utilizando-se apenas as letras da palavra BRASIL, possvel construir mais de 600.000 placas diferentes que no possuam letras nem algarismos repetidos.

Resoluo.

Primeiro item.

Vamos dividir o processo em etapas. Na primeira etapa, escolhemos o ganhador do cinema; na segunda, do teatro; na terceira, do show.

Sejam A, B, C, D, E, F os seis servidores.

Neste problema, a ordem importante. Uma alterao na ordem de escolha muda tudo. Sortear A, B, C diferente de escolher C, B, A. Na primeira formao, A vai para o cinema e C para o show. Na segunda formao, A vai para o show e C vai para o cinema.

Alm disso, no h reposio. Um mesmo servidor no pode ser premiado duas vezes (pois o exerccio diz que o diretor quer premiar 3 servidores).

Aplicando o PFC, temos:

6 opes para a primeira etapa escolhido o primeiro sorteado, sobram 5 opes para a segunda etapa escolhidos os dois primeiros sorteados, sobram 4 opes para a terceira etapa. O nmero de maneiras de escolher os 3 servidores :

4 120 56 = Outra resoluo.

Temos um caso em que no h reposio e a ordem importa. Assim, temos um problema de arranjo. De um total de 6 elementos, queremos escolher 3, sem reposio, onde a ordem importa. O nmero de maneiras de fazer isso :

120 !3

! 3456 !3! 6

)! 36 (! 6

,3 6 = = = =A

Gabarito: certo.

Segundo item.

Problema bem semelhante ao anterior, com um pequeno detalhe que faz toda diferena: aqui a ordem no importa! Se todos os premiados vo para o teatro, pouco importa a ordem em que sero escolhidos. Ou seja, dos 120 casos que encontramos usando o PFC, precisamos excluir as contagens repetidas.



22

A ordem na qual escolhemos os trs servidores irrelevante. Precisamos dividir por 3 fatorial para eliminar as contagens repetidas. Ficamos com:

20 123

120 !3

120 = = Outra resoluo: temos um caso em que a ordem no importa e onde no h reposio. um problema de combinao. Temos 6 elementos e queremos combina-los 3 a 3. Aplicando a frmula:

20 !6 3 )! 3 (

! 6,3 6 = =C

Gabarito: errado.

Terceiro item.

Vamos dividir a formao da placa em etapas.

Para a primeira etapa, temos 6 opes de letras.

O exerccio pede que no tenhamos letras nem nmeros repetidos. Ou seja, no h reposio. Logo, para a segunda etapa, temos 5 opes de letras.

J usamos 2 das 6 letras. Para a terceira etapa, sobram 4 opes de letras.

Preenchidas as 3 letras, vamos aos algarismos. Para a primeira posio de algarismo, temos 10 opes. Escolhido o primeiro, sobram 9 opes para o segundo algarismo. Na escolha do terceiro algarismo, temos 8 opes. E para o quarto, temos 7 opes de algarismos.



23

Aplicando o PFC: 800 .60478910 456 =

Gabarito: certo.

EC 2. ANAC 2009 [CESPE]

Considerando que, para ocupar os dois cargos que compem a diretoria de uma empresa, diretor e vice-diretor, existam 5 candidatos, julgue os itens subsequentes.

1. Se cada um dos candidatos for capaz de ocupar qualquer um dos dois cargos, o nmero possvel de escolhas para a diretoria da empresa ser igual a 10.

2. Se, dos 5 candidatos, 2 concorrem apenas ao cargo de diretor e os demais, apenas ao cargo de vice-diretor, o nmero possvel de escolhas para a diretoria da empresa ser igual 5.

Resoluo.

Primeiro item.

Neste caso, a ordem importante, pois escolher primeiro A e depois B (com A sendo diretor e B vice) diferente de escolher primeiro B e depois A (com B diretor e A vice).

Temos um caso de arranjo.

20 !3! 5

,2 5 = =A Gabarito: errado.

Segundo item.

Para a escolha do cargo de diretor, temos 2 opes. Para a escolha do cargo de vice, temos 3 opes. Aplicando o PFC, temos:

3 6 2 = Gabarito: errado.

EC 3. ANATEL 2008 [CESPE]

Considerando-se que um anagrama da palavra ANATEL seja uma permutao das letras dessa palavra, tendo ou no significado na linguagem comum, que n1 seja a quantidade de



24

anagramas distintos que possvel formar com essa palavra e n2 seja a quantidade de

anagramas distintos dessa palavra que comeam por vogal, ento 21

12

nn .

Resoluo.

Temos uma permutao. Observem que a letra a repete duas vezes. Para excluir as contagens repetidas, precisamos dividir por 2 fatorial.

O nmero de anagramas da palavra ANATEL dado por:

360 !2! 6

1 = =n Vamos agora ver quantos anagramas comeam por vogal (n2). Para tanto, vamos dividir o problema em etapas. Cada etapa vai corresponder escolha de uma letra para ocupar cada posio do anagrama.

Primeira etapa: 3 opes (h 3 opes de vogal) Segunda etapa: 5 opes (tnhamos 6 letras e uma j foi usada na etapa anterior) Terceira etapa: 4 opes (tnhamos 6 letras e j usamos duas) Quarta etapa: 3 opes Quinta etapa: 2 opes Sexta etapa: 1 opo O nmero de anagramas que comeam por vogal dado por:

12345 3 S que tem um problema. Acima, ns ignoramos o fato de que, entre as vogais, temos duas que so iguais entre si. A ordem entre as duas letras a irrelevante. Precisamos dividir por 2 fatorial .

1802

12345 32 = =n

Logo:

21

360180

1

2 = =nn .

Gabarito: errado.

EC 4. IPEA 2008 [CESPE]

Com relao a contagem e combinatria, julgue os itens que se seguem.

1. Considere que as senhas dos correntistas de um banco sejam formadas por 7 caracteres em que os 3 primeiros so letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, e os 4 ltimos, algarismos, escolhidos entre 0 e 9. Nesse caso, a quantidade de senhas distintas que podem ser formadas de modo que todas elas tenham a letra A na primeira posio das letras e o algarismo 9 na primeira posio dos algarismos superior a 600.000.



25

2. Considere que, para a final de determinada maratona, tenham sido classificados 25 atletas que disputaro uma medalha de ouro, para o primeiro colocado, uma de prata, para o segundo colocado, e uma de bronze, para o terceiro colocado. Dessa forma, no havendo empate em nenhuma dessas colocaes, a quantidade de maneiras diferentes de premiao com essas medalhas ser inferior a 10.000.

Resoluo.

Primeiro item.

Vamos dividir o processo de formao da senha em etapas. Cada etapa vai corresponder a um caracter escolhido.

primeira etapa: 1 opo (s temos a letra A) segunda etapa: 26 opes (pois h reposio e no h restries para esta etapa) terceira etapa: 26 opes quarta etapa: 1 opo (s pode ser o algarismo 9) quinta etapa: 10 opes (so 10 algarismos possveis: isto porque h reposio e para esta etapa no temos restries)

sexta etapa: 10 opes stima etapa: 10 opes

Aplicando o PFC: 000 .10 10 10 676 12626 1 =

Gabarito: certo

Segundo item.

Temos que escolher 3 atletas, entre os 25 possveis, onde a ordem no importa. Alm disso, no h reposio, pois um atleta no pode ocupar duas posies ao mesmo tempo. Ou seja, temos um caso de arranjo.

13.800 25 24 23 ! 22! 25

,3 25 = ==A Gabarito: errado

EC 5. TRT 1 2008 [CESPE]

Caso 5 servidores em atividade e 3 aposentados se ofeream como voluntrios para a realizao de um projeto que requeira a constituio de uma comisso formada por 5 dessas pessoas, das quais 3 sejam servidores em atividade e os outros dois, aposentados, ento a quantidade de comisses distintas que se poder formar ser igual a

A) 60.

B) 30.

C) 25.



26

D) 13.

E) 10.

Resoluo.

Vamos dividir o problema em etapas. Cada etapa consistir em escolher uma pessoa para formar a comisso.

Nas trs primeiras etapas, escolhemos os servidores em atividade. Na quarta e quinta etapas escolhemos os aposentados.

Ainda temos que retirar as contagens repetidas.

Aplicando o PFC, temos:



27

30 223

23345! 2! 3

23345 = =

Gabarito: B

EC 6. ANAC 2009 [CESPE]

Considerando um grupo formado por 5 pessoas, julgue os itens a seguir.

1. H 24 modos de essas 5 pessoas se posicionarem em torno de uma mesa redonda.

2. Se, nesse grupo, existirem 2 crianas e 3 adultos e essas pessoas se sentarem em 5 cadeiras postadas em fila, com cada uma das crianas sentada entre 2 adultos, ento, haver 12 modos distintos de essas pessoas se posicionarem.

3. Caso essas 5 pessoas queiram assistir a um concerto musical, mas s existam 3 ingressos disponveis e no haja prioridade na escolha das pessoas que iro assistir ao espetculo, essa escolha poder ser feita de 20 maneiras distintas.

Resoluo.

Primeiro item.

Exerccios de preencher lugares ao longo de uma mesa redonda so bem comuns em provas de vestibular.

Neste caso, o que o exerccio quer dizer o seguinte: no h referncia fsica fora da mesa. Voc tem que pensar que todos os lugares so equivalentes.

Ou seja, quando formos alocar a primeira pessoa, tanto faz onde ela ser colocada, pois todas as vagas so iguais entre si.

S depois de alocada a primeira pessoa que passamos a ter uma referncia. As demais pessoas podero se sentar sua direita, sua esquerda, sua frente, etc.

Assim, as etapas s comeam depois de alocada a primeira pessoa.

- Incio: alocamos a primeira pessoa, que servir de referncia para as demais.

- Primeira etapa: para a segunda pessoa temos 4 lugares restantes

- segunda etapa: para a terceira pessoa temos 3 lugares restantes

- terceira etapa: para a quarta pessoa temos 2 lugares restantes

- quarta etapa: para a quinta pessoa temos 1 lugares restantes.

Aplicando o PFC: 1 24 234 =

Segundo item.

Para a primeira cadeira, temos 3 opes de adulto.

Para a segunda cadeira temos 2 opes de criana

Para a terceira cadeira temos 2 opes de adulto (pois um j se sentou na primeira cadeira)



28

Para a quarta cadeira temos 1 opo de criana (pois a outra j se sentou na segunda cadeira)

Para a quinta cadeira temos 1 opo de adulto.

Aplicando o PFC: 12 11223 =

Terceiro item.

Temos um caso de combinao:

10 !! 2 3

! 5,3 5 ==C

Gabarito: certo, certo, errado.

Encerramos aqui nossa aula e nosso curso.

Bons estudos!

Vtor

aula 02 abin

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