apostila financeira - 2010 - hp12c

7/23/2019 Apostila Financeira - 2010 - HP12C

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Matemática Financeira ALUNO(A):_______________________________

Material de Apoio para o Curso de Matemática Financeira -4.º Período de Administração – ESIC - PR

Gilmar Bornatto

2010



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- Professor Gilmar Bornatto – Matemática Financeira –

1 .1 - O V A L OR D O D I N H E I R O N O TE M P O

A Matemática Financeira surgiu da necessidade de se levar em conta o valor do dinheirono tempo.

Mas o que é o "valor do dinheiro no tempo"?

Intuitivamente, sabemos que R$ 4.000,00 hoje "valem" mais que esses mesmos R$4.000,00 daqui a um ano, por exemplo. A princípio, isso nos parece muito simples, porém,poucas pessoas conseguem explicar porque isso ocorre.

É aí que entram os juros. Os R$ 4.000,00, hoje, valem mais do que os R$ 4.000,00 daqui a

um ano porque esse capital poderia ficar aplicado em um banco, por exemplo, e me renderjuros que seriam somados aos R$ 4.000,00, resultando numa quantia, obviamente, maior que esse capital.

Por exemplo: suponha que um banco me pague R$ 400,00 de juros ao ano caso eu apliqueesses R$ 4.000,00 hoje. Isso quer dizer que, daqui a um ano, quando esse capital for resgatado, ovalor recebido será de R$ 4.400,00, e não somente os R$ 4.000,00 iniciais.

Isso mostra que receber os R$ 4.000,00 hoje seria equivalente a receber R$ 4.400,00 daqui aum ano, e não os mesmos R$ 4.000,00, já que esses, daqui a um ano, já terão perdido parte de seuvalor. Os juros de R$ 400,00 referentes ao prazo de um ano funcionariam como uma recompensapor termos de esperar todo esse tempo para ter o dinheiro em vez de tê-lo hoje.

É esse o valor do dinheiro no tempo. Os juros fazem com que uma determinada quantia, hoje,seja equivalente a outra no futuro. Apesar de diferentes nos números, os valores R$ 4.000,00 hoje eR$ 4.400,00 daqui a um ano seriam equivalentes para juros de R$ 400,00.

Um capital de R$ 4.000,00 só será equivalente a R$ 4.000,00 daqui a um ano nahipótese absurda de a taxa de juros ser considerada igual a 0.

A Matemática Financeira, portanto, está diretamente ligada ao valor do dinheiro notempo, que por sua vez está ligado à existência da taxa de juros.

1 . 2 . P R I N C I P A I S C O N C E I T O S

CAPITAL ou VALOR PRESENTE (VP)

Capital ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial (Principal) em uma transaçãofinanceira, referenciado, geralmente, na escala horizontal do tempo, na data inicial (n=0).É, ainda, o valor a vista quando nos referimos, nos termos comerciais, àquele valor "comdesconto" dado como opção às compras a prazo.



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É considerado também como o investimento inicial feito em um projeto deinvestimento.

Na HP 12C pela tecla PV (Present Value).

JUROS ( J )

Os juros (J) representam a remuneração pela utilização de capitais de terceiros, oupor prazos concedidos. Podem ser, também, a remuneração por capital aplicado nasinstituições financeiras. São considerados rendimento se você os recebe, e são

considerados despesa se você os paga.

TAXA DE JUROS (i)

Taxa de juros (i) é o valor do juro em determinado tempo, expresso como porcentagem docapital inicial. Pode ser expresso da forma unitária ou percentual (0,15 ou 15%, respectivamente).Veja:

Se um banco me paga R$ 400,00 de juros sobre um capital de R$ 4.000,00 aplicadodurante um ano, a taxa de juros nada mais é do que:

Isso significa que esse banco está pagando uma taxa de juros de 10% ao ano.

A HP 12C usa a tecla “i “ ( de “Interest” = juro).

PRAZO ou PERÍODOS (n)

As transações financeiras são feitas tendo-se como referência uma unidade de tempo(como um dia, um mês, um semestre e etc.) e a taxa de juros cobrada nesse determinadotempo.

O período de uma transação é o tempo de aplicação de cada modalidade financeira. Podeser unitário ou fracionário.

R$ 400,00 = 0,1 ou 10%R$ 4.000,00



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Por exemplo, uma aplicação em CDB de 33 dias. O prazo dessa aplicação é unitário

se obanco utilizar uma taxa específica para 33 dias. Isso quer dizer que n=1 (1 período), pois33 dias foi o período considerado para a taxa de juros como sendo uma unidade de tempo.

O banco pode, ainda, considerar para essa aplicação uma taxa que corresponda a um períodode um ano, por exemplo.

Já nessa situação, o prazo da aplicação (n) será de 33/360, o que significa a proporçãode tempo em relação a um ano, que foi considerado como unidade de tempo (tendo emvista que a taxa de juros é anual). Daí temos um período fracionário,

pois n=33/360.Então, o prazo ou período considerado só pode ser definido se levarmos em consideração ataxa de juros, que pode ser definida para qualquer período.

No caso de seqüência de capitais ou série de pagamentos, o “n” expressa o número depagamentos ou recebimentos efetuados do começo ao fim da operação. Todos nós, obviamente, já

nos deparamos com uma situação como, por exemplo, comprar um televisor em 5 prestaçõesmensais. Essas 5 prestações representam o "n", ou seja, o número de pagamentos que serãoefetuados durante toda a operação.

Na HP 12C é indicado pela tecla “n”.

MONTANTE ou VALOR FUTURO (VF)

Na HP12C como “FV” (de “Future Value”).

1 . 3 . – F Ó R M U L A S B Á S IC A S

Serão dadas as três principais fórmulas: do Montante (M), dos Juros (J) e da Taxade Juros (i). Com estas três fórmulas é possível resolver diversos problemas quepareciam complicados.

Montante

Juros

Taxa de Juros

Montante

Juros

Taxa de Juros



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EXEMPLO:

Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de 12 % a.m. Acompanhe como é

realizado o cálculo dos juros e do Montante ao final do primeiro mês.

Exemplo:

Suponhamos que você aplicou R$ 1.500,00 a uma taxa de juros de 25% a.a. Veja como écalculado, no Excel, o rendimento de juros e quanto seria resgatado em 1 ano.

A B C1 Dados Valores Memória de Cálculo2 Valor Presente (Capital) R$ 1.500,003 Taxa de Juros 25%

4 Juros R$ 375,00 J = C * i5 Valor Futuro (Montante) R$ 1.875,00 M = C + J

Agora vamos verificar como é realizado este cálculo na HP 12C.

Se você tem uma calculadora HP 12C, também pode utilizá-la para efetuar esse cálculo.



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Valores de Entrada Tecla função Saída1500 ENTER 1500 :: > Valor do Capital

25 % 375 :: > Usando a tecla indicada, a calculadora efetuará 25% dos+ 1875 1.500 do Capital. Depois é só somar os dois valores para

encontrar o Montante

Exemplo:

Você tem R$ 2.346,00 hoje, mas daqui a três meses terá que pagar uma dívida de R$3.123,00. Para honrar a sua dívida, alguém sugere que você aplique seu dinheiro para que,no futuro, tenha o que precisa. A qual taxa de juros você precisaria aplicar esse capital?

Nesse caso, você já tem os Valores Presente e Futuro, e precisa da taxa de juros querenderia os R$ 777,00 de juros para a formação do Montante de R$ 3.123,00 objetivado.

A B C 1

Dados ValoresMemória de

Cálculo2 Valor Presente

(Capital) R$2.346,003 Valor Futuro R$3.123,004 Taxa de Juros 33,12% i = (M/C)-15 Juros R$777,00 J = C * i

Agora vamos ver como se faz este cálculo na HP 12C.

Na HP 12C você poderia fazer esse exercício usando a tecla de variação percentual.

Valores de Entrada Tecla função Saída2346 ENTER 2346 ::> Valor do Capital3123 % 33,12 ::> Depois é inserido o Valor Futuro,

acionada a função variaçãopercentual e encontrada ataxa de juros.



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1 . 4 - D I A G R A M A D E F L U X O D E C A I X A

Mais um conceito fundamental da matemática financeira é o de fluxo de caixa. Ele é

definido como o conjunto de entradas e saídas monetárias (pagamentos e recebimentos)referentes a uma transação financeira de uma empresa, projeto de investimento e etc.

Nesse contexto, o diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica desseindispensável instrumento de análise de rentabilidade, custos, viabilidade econômica efinanceira de projetos de investimento. O diagrama torna mais fácil a visualização damovimentação monetária, facilitando o processo de análise.

O diagrama é universal e feito da seguinte forma:

Vale lembrar que:

As setas não são necessariamente proporcionais ao valor das entradas e saídas.

O fluxo de caixa é muito útil na análise de problemas com séries de capital.

Os intervalos de tempo entre os períodos são todos iguais.

Os valores serão colocados no início e final de cada período, dependendo da convenção

utilizada, mas nunca durante o período.

Exemplo:

Para exemplificar o conceito de fluxo de caixa, suponha a seguinte situação:

Um investidor compra um título hoje por R$ 1.000,00. Esse título lhe dá o direito dereceber, durante 5 anos, a quantia de 10 % a.a (ao ano) sobre o valor inicial pago(denominado valor nominal ou de face), mais o capital inicial de volta no final do quintoano.O diagrama ficaria assim:



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1 . 6 R E G R A D E S O C I E D A D E

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição deum resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, sendo que os membros poderãoparticipar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membrosparticipantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participaçãodeste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn

Definiremos o peso p

.

k

p

(k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:

k = Ck t

k

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C1 + C2 + ... + C

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor Mdiretamente proporcional aos pesos p

n

1, p2, ..., pn

Exemplo Resolvido:

.

1) Três pessoas formaram uma sociedade, A entrou com R$ 24.000,00; B com R$30.000,00 e C com R$ 36.000,00. Depois de três meses tiveram um lucro de R$60.000,00. Calcule o lucro de cada sócio.

Solução: Para cada sócio, a razão entre o lucro e o dinheiro investido é igual a razão entre olucro total da sociedade e o total investido pela sociedade. Então:

Assim, A/24000 = B/30000 = C/36000 = 2/3.

Logo: A = R$ 24.000,00 × 2/3 = R$ 16.000,00 ; B = R$ 30.000,00 × 2/3 = R$ 20.000,00 ;C = R$ 36.000,00 × 2/3 = R$ 24.000,00.

http://www.profezequias.net/porcento.html






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2 ) Três sóc ios têm que d i v id i r um luc ro de R$60 .000 ,00 sendo que o sóc io Ainves t iu R$5 .000 ,00 , o B com R $15 .000 ,00 e C com R$ 30 .000 ,00 .

Solução:

A / 5.000,00 = B / 15.000,00 = C / 30.000,00 e A + B + C = 60.000,00, então:

Temos então que:

( )A

5.000 (5.000 15.000 30.000)

A B C + +=

+ +

A / 5.000,00 = 60.000,00 / 50.000,00

A / 5.000,00 = 1,2 => A = 6.000,00

B / 15.000,00 = 1,2 => B = 18.000,00

C / 30.000,00 = 1,2 => C = 36.000,00

3) Três sóc ios têm que d i v id i r um luc ro de R$9 0 .000 ,00 sendo que o sóc io Ainves t iu R$1 5 .000 ,00 du ran te 2 anos , B duran te 4 anos ap l i couR$ 5.000 ,00 e C inves t iu R$30 .000 ,00 duran te 1 ano e 3 m eses .

Solução:

Primeiramente devemos colocar os dados na mesma unidade; assim 1 ano e 3 meses é 1

ano + 3/12 a = 1 + 0,25 = 1,25 ano.

( ) ( ) ( )A

15.000 2 5.000 4 30.000 1, 25

B C = =

× × ×

Se A + B + C = 90.000 => ( A / 30.000 ) = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 ) => A= 30.857,14;

( B / 20.000 ) = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 ) =>

B = 20.571,43;

( C / 37.500) = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 ) => C = 38.571,43

Exercícios Propostos:

1) Uma sociedade teve um lucro de $117.000,00. O primeiro sócio entrou com$1.500,00 durante 5 meses, e o outro, com $2.000,00 durante 6 meses. Qual foi olucro de cada um?R: $45.000,00 e $ 72.000,00



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2) Jonas e Paulo se associaram para jogar na loteria. Jonas deu $18,00 e Paulo$12,00. Tendo acertado um terno, eles ganharam $1.600,00. Quanto receberá cadaum?R: $960,00 e $640,00

3) (BB) – Ao constituírem uma sociedade, dois sócios entraram com os capitais de$56.000 e $42.500, respectivamente. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu$518,00 a mais que o segundo. Quanto recebeu cada sócio?R: $2.148,74 e $1.630,74

4) (BB) – Em certa sociedade comercial, o sócio A entrou com 2/5 do capital durante¾ do tempo, e o sócio B entrou com o resto do capital durante 2/3 do tempo.Sabendo que houve um prejuízo de $49.210,00, calcule que parte desse prejuízocaberá a cada sócio.R: $21.090,00 e $28.120,00

5) Em certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 está para 5.Sabendo que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses,respectivamente, e que a sociedade teve o prejuízo de $311.100,00, calcule a partede cada sócio nesse prejuízo?R: $103.700 e $207.400

6) Distribua o lucro de $28.200,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que oprimeiro aplicou $80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou$20.000,00 durante 11 meses.R: $21.600 e $6.600,00

7) Certa sociedade constituída por três sócios, com o capital de $180.000,00, obteve$25.200,00 de lucro. Sabendo que o sócio A entrou com 1/3 do capital, que o sócioB entrou com 2/5 e que o sócio C entrou com o restante, indique o lucro de cadasócio, respectivamente.R: $8.400,00, $10.080,00 e $ 6.720,00

8) Dois amigos constituem uma sociedade, participando o primeiro com $10.000,00 eo segundo com $8.000,00. Após 10 meses de existência da empresa, o primeirosócio aumentou seu capital em mais $5.000,00. Decorridos 2 meses dessa data, osegundo sócio retirou $2.000,00 de sua cota inicial. Sabendo que ao final de 2 anosfoi apurado um lucro de $23.900,00, qual é a quantia que coube ao segundo sócio?

R: $8.400,00

9) A, B e C organizaram uma empresa comercial com capital de $2.000.000,00. Cretirou-se ao fim de 1 ano e 2 meses, B no fim de 1 ano e 8 meses e A ao cabo de2 anos. O lucro apurado foi distribuído da seguinte maneira: $11.900,00 para C,$13.000,00 para B e $12.000,00 para A . Qual foi o capital que cada sócio entrouna sociedade?R: A = $500.000,00, B = $650.000,00 e C = $850.000,00



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10) Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de $8.000,00 e$7.000,00, Respectivamente. Na divisão do lucro, a primeira recebeu $8.400,00mais do que a segunda. Qual foi o valor do lucro de cada uma delas?R: $67.200,00 e $58.800,00

11) Quatro sócios empregaram, respectivamente, os capitais de $4.500,00, $2.000,00,$1.000,00 e $3.000,00 e obtiveram um lucro de $4.357,50. Quanto caberá a cadaum?R: $1.867,50, $830,00, $415,00, $1.245,00

12) Uma firma com três sócios e capital total de $196.000,00 obteve um lucro de$39.200,00. Qual foi o capital inicial de cada sócio, sabendo que no rateio do lucrocoube ao primeiro $24.000,00, ao segundo , $12.000,00 e ao terceiro $3.200,00?R: $120.000,00, $60.000,00 e $ 16.000,00

1 . 7 – O P E R A Ç Õ E S C O M M E R C A D O R I A S

Vamos estudar os tipos de problemas de percentagem ligados às operações de compra evenda de mercadorias, isto é, vamos aprender a fazer cálculos de LUCRO ou PREJUÍZOsobre os preços de CUSTO e de VENDA de mercadorias.

VENDAS COM LUCROA venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço decusto (preço de compra) ou sobre o preço de venda.

VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

Fórmulas para calcular essa operação:L = PV – PCL = i x PCPV = (1 + i).PCOnde:PV: Preço de venda;PC: Preço de compra;L: Lucro;i: taxa unitária do lucroLegenda: o “x” simboliza a operação de multiplicação

L = PV – PCL = i x PV

VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA



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PV = PC / (1 – i)Onde:PV: Preço de venda;PC: Preço de compra;

L: Lucro;i: taxa unitária do lucro

Analogicamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida comprejuízo sobre o preço de custo (preço de compra) ou sobre o preço de venda.

VENDAS COM PREJUÍZO

Basta Lembrar que Prejuízo é um Lucro Negativo! Isto É Trocar na Fórmula P = - L

Exercícios Propostos:

1. Um imóvel, cujo preço de custo é R$ 36.000,00, foi vendido com lucro de 6%. Qual foi opreço de venda?R$ 38.160,00

2. Compramos certa mercadoria por R$ 200,00 e, ao vendê-la, desejamos ganhar 4%sobre o preço de custo. Por quanto deverá ser vendida?R: $208,00

3. Na venda de certo bem adquirido por R$ 200,00, desejamos obter lucro de 4% sobre opreço de venda. Por quanto deverá ser vendido o bem?R: $ 208,33

4. João deseja vender seu carro com lucro de 6% sobre o preço de venda. O carro custouR$ 20.000,00. Qual será seu lucro?R: $1.276,60

5. Certa pessoa, tendo comprado uma calculadora por R$ 120,00, vendeu-a com prejuízode 10% sobre o preço de custo. Por quanto vendeu a calculadora?R: $108,00

6. Um eletrodoméstico que custou R$ 600,00 foi vendido com prejuízo de 6% sobre opreço de venda. Qual foi esse preço?R: $566,04

7. Francisco deseja vender por R$ 70.000,00 seu apartamento, cujo preço de assim: custofoi R$ 76.000,00. De quanto por cento, sobre o preço de venda, vai ser seu prejuízo?R: 8.57%



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8. Vendi um objeto por R$ 2.460,00, ganhando 23% de lucro sobre o preço de custo.Quanto custou o objeto?R: $2.000,00

9. Comprei um móvel por R$ 700,00 e desejo vendê-lo com lucro de 10% sobre o preço devenda. Por quanto deverei vender o móvel?R: $777,78}

10. Uma casa, comprada por R$ 60.000,00, está sendo vendida por R$ 76.000,00. Dequanto por cento é o lucro, se calculado sobre:a) o preço de custo; b) o preço de vendaR: a) 26,67% b) 21,05%

11. Quanto custou um computador vendido por R$ 1.565,00 com lucro de 10% sobre opreço de venda?

R: $1.408,5012. Um relógio foi vendido por R$ 60,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo.Quanto custou?R: $75,00

13. Quanto por cento sobre o custo perdeu um comerciante ao vender por R$ 45,00 certamercadoria que custou R$ 48,00?R: 6,25%

14. Calcular o preço de custo de um eletrodoméstico, que foi vendido por R$ 600,00, comperda de 12% sobre tal preço de custo.R: $681,8215. Ao vender um.anel por R$ 500,00, tive um lucro de 8% sobre o preço de venda. Qualfoi o preço de compra ?R: $460,00

16. Quanto por cento ganhei .sobre o preço de venda de um bem que me custou R$124,00 e foi vendido por R$ 160,00?R: 22,5%

17. Um livro foi vendido por R$ 35,00. Se tivesse sido vendido por mais R$ 4,00, o lucroteria sido de 20% do preço da nova venda. Qual teria sido o lucro?

R: $7,80

18. Qual foi o valor do prejuízo de quem vendeu um objeto por R$ 178,00, perdendo natransação o equivalente a 5% do preço de custo?R: $9,37

19. Se dispusesse de mais 20% do que tenho, poderia comprar um carro por R$ 18.000,00e ainda ficaria com R$ 1.200,00. Quanto tenho?



14

R: $16.000,00

20. Um objeto foi vendido por R$ 196,00, com prejuízo de 2% sobre o preço de compra.Por quanto deveria ter sido vendido para proporcionar um lucro

de 8% sobre o preço de compra ?R: $216,00

1 . 8 - R E G I M E S D E C A P I T A L I Z A Ç Ã O

Capitalização é o ato de incluir os juros incorridos durante um período no capital inicial,resultando em um montante "capitalizado" (acrescido dos juros).

Quando um capital é aplicado à determinada taxa, o montante resultante dessa aplicaçãopode "crescer" de duas formas: pela capitalização simples ou pela capitalizaçãocomposta.

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

Em um regime de capitalização simples os juros são sempre iguais e incidem somente sobre ocapital inicial durante todo o período. O montante, dessa forma, cresce de maneira linear. Nessaforma de capitalização, geralmente os juros são pagos no final da operação.

Exemplo:

Aplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se resgatá-lo daqui a 3anos. Sabendo que o regime é de capitalização simples e que os juros são de 17% a.a., é fácilcalcular o montante. Veja:

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA



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Nesse regime de capitalização, o capital é remunerado a cada período, e os juros incidemsobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até a referida data. Sendo assim, omontante, ao final da data 1(n = 1), por exemplo, é o capital inicial da data 2 (n = 2) esobre ele incidirão juros novamente.

O montante, neste caso, cresce em progressão geométrica, ou seja, crescimentoexponencial.Exemplo:

Representando essa aplicação no diagrama de fluxo de caixa, podemos ver maisfacilmente.

.

Na HP 12C, os cálculos podem ser executados da seguinte forma:

Valores deEntrada

Teclafunção Saída

2000 ENTER 2000 ::> Valor do capital17 % 340 ::> Valor dos juros

+ 2340 ::> Montante 117 % 397,8 ::> Juros 2



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+ 2737,8 ::> Montante 217 % 465,43 ::> Juros 3

+ 3203,23 ::> Montante 3

1 .9 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

Fórmulas: Montante, Juros e Taxas de Juros

Os juros simples têm seu fundamento no regime de capitalização simples, no qual o crescimento docapital se dá linearmente (por isso, o cálculo dos juros simples também é chamado de cálculolinear). Trata-se de juros simples toda transação em que os juros incidem sempre sobre o capitalinicial e são, então, iguais em todos os períodos.

A fórmula dos juros simples é, intuitivamente:

Como já sabemos que:

M = C + J M = C + Cin Então:

Exemplo:

Veja como é fácil realizar operações de cálculos com juros simples. Suponhamos que você tenhauma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros simples, 15% a.t. Quanto esperaria ter no finaldo ano, se aplicou seu dinheiro no primeiro dia do ano?

Para resolver, basta aplicar a fórmula apresentada acima. Veja:



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Daí:

M= C + J M= 120.000 + 72.000 = 192.000

Ou então use a fórmula direta:

M = 120.000 (1+ 0,15 x 4) =192,000

Na HP 12C, o cálculo poderia ser executado da seguinte forma:

Valores de Entrada Tecla função Saída120000 ENTER 120000 ::> Valor presente

15 % 18000 ::> Juros para 1 trimestre4 X 72000 ::> Juros para 4 trimestres (1 ano)

+ 192000 ::> Montante final (C + 4J)

1 . 1 0 - T A X A S E Q U I V A L E N T E S

Normalmente temos que transformar a taxa de juros de um período para outro período, essecálculo é muito usado em transações financeiras em geral e as taxas que procuramos sãodenominadas taxas equivalentes, isto é, que produzem o mesmo montante se aplicadas sobre ummesmo capital em um mesmo intervalo de tempo.

No caso dos juros simples, o cálculo é muito fácil e simplificado pelo caráter linear desse tipo decapitalização. Pode sempre ser feito por meio da proporcionalidade (usando regra de três simples,por exemplo).



18

Se quisermos calcular, por exemplo, a taxa anual em juros simples, equivalente à taxamensal de 2,5 % a.m., teremos:

Daí tiramos que a taxa equivalente é de 30% ao ano. Veja que isso é exatamente o quefizemos no exemplo dado para transformar a taxa mensal de juros do cartão de crédito, de10 % a.m., em uma taxa diária de juros de 0,33 % a.d. (10/30).

1 . 1 1 - J U R O S E X A T O S E J U R O S C O M E R C I A I S

O cálculo de taxas equivalentes diárias é muito comum no nosso dia-a-dia, como vistoanteriormente. Porém, o cálculo das taxas equivalentes tem como pressuposto o cálculo dos diascorridos da operação. Essa conta, por sua vez, pode ser feita de duas maneiras distintas, aplicáveisde acordo com a operação.

Quando usamos como base o ano civil, com 365 dias (ou 366) e meses com númerosvariáveis de dias, os juros calculados são os juros exatos.

Quando usamos como base o ano comercial de 360 dias e meses com 30 dias, os jurosobtidos são os juros comerciais.

1 . 1 2 - E X E R C Í C I O S J U R O S S I M P L E S

1. Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $ 1.000,00 pelo prazo de5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 30% ao mêsR: $1.500,00

2. Um capital de $ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de $ 7.850,00.Determinar a taxa correspondente.R. 0,045 ou 4,5% ao mês

Note que esse é um dos poucos casos nos quaisnão existe a necessidade de se transformar asporcentagens em número decimal,uma vez quetratamos com porcentagens dos dois lados daequação.



19

3. Uma aplicação de $ 50.000 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa anula correspondente a essa aplicação?R: 0,33 ou 33% ao ano

4. Sabendo-se que os juros de $ 6.000 foram obtidos com a aplicação de $ 7.500,00, à

taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo.R. 10 trimestres ou 2,5 anos

5. Qual o capital que, à taxa de 4% ao mês, rende juros de $ 9.000,00 em um ano?R: $ 18.750,00

6. Um empréstimo de $ 23.000,00 é liquidado por $ 29.200,00 no final de 152 dias.Calcular a taxa mensal de juros.R: 0,1773% x 30 = 5,32%

7. Calcular o valor dos juros e o do montante de uma aplicação de $ 20.000,00, feita auma taxa de 4,94% ao mês, pelo prazo de 76 dias.R: $ 22.502,93

8. Calcular o montante da aplicação de um capital de $ 8.000,00, pelo prazo de 12 meses,à taxa de 3% ao mês.R: $ 10.800,00

9. Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de $ 60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e que faltam quatro meses para o seuvencimento.R: $ 50.000,00

10. Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% ao anorende $ 72.000,00 de juros, determinar o montante.R: $112.000,00

11. Um empréstimo de $ 40.000,00 deverá ser quitado por $ 80.000,00 no final de 12meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas nessa operação.R. 8,33% a.m. e 1,00 ou 100% a.a.

12. Em que prazo uma aplicação de $ 3.500,00 pode gerar um montante de $ 5.337,50,considerando-se uma taxa de 30% ao ano?R. 1,75 anos ou 21 meses.

13. Uma TV 29" é vendida nas seguintes condições:* preço a vista = $1.800,00** condições a prazo = 30% de entrada e $ 1.306,00 em 30 dias.Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.

R: i = 3,65% a.m.14. Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais. O primeiropagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 dias.Sendo 4,4% ao mês à taxa linear de juros, pede-se calcular até que valor interessaadquirir o bem a vista.R: à vista até 95,9,% do seu valor - com um desconto de 4,1%

15. Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco:(1) $18.000,00 vencíveis em 37 dias(2) $42.000,00 vencíveis em 83 dias



20

(3) $100.000,00 vencíveis em 114 dias.Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos peloseguinte esquema:(1) $ 20.000,00 em 60 dias

(2) $50.000,00 em 100 dias(3) O restante em 150 dias.Sendo de 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações,pede-se calcular o valor do pagamento remanescente adotando como data focal omomento atual.R: $ 94.054,23

16. Uma pessoa tem uma dívida composta dos seguintes pagamentos(1) $ 2.200,00 de hoje a 2 meses,(2) $5.700,00 de hoje a 5 meses(3) $9.000,00 de hoje a 7 meses

Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais, vencíveiso primeiro ao final do 6.º mês e o segundo no 8.º mês. Sendo de 3,7% ao mês de jurossimples, calcular o valor destes pagamentos admitindo-se as seguintes datas decomparação:(a) Hoje(b) no vencimento do primeiro pagamento proposto;(c) no vencimento do segundo pagamento proposto.R: (a) $8.809,84 (b) $8.863,03 (c) $8.849,61

17. Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00 pelo prazo de 18

meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? R: R$ 1.728,00

18. Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano? R. R$ 4.380,00

19. Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$2.700,00 ao final de 2 anos? R. 40%a.a.

20. A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses? R. 0,75% a.m.

21. Um capital de R$ 30.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juro de R$ 6.000,00.

Determine a taxa correspondente. R. 2% a.m.

22. Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano , 2 meses e 15 dias o juro de R$7.830,00. Qual foi esse capital? R. R$ 27.000,00

23. Uma aplicação de R$ 400.000,00 em "letras de câmbio" pelo prazo de 180 dias, obteveum rendimento de R$ 60.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?R. 30% a.a.



21

24. Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480,00, a 25% ao ano, rende R$ 79.395,00de juros? R. 3 a. 3 m. 15 d.

25. Sabendo que o juro de R$ 120.000,00 foi obtido com a aplicação de R$ 150.000,00 à

taxa de 8% ao trimestre, calcule o prazo. R. 2 a. 6 m.

26. Qual o capital que, à taxa de 2,5% a.m., rende juro de R$ 1.260,00 em 3 anos?R. R$ 1.400,00

27. Uma pessoa sacou R$ 21.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito aofim de 3 meses e pagar ao todo R$ 22.575,00. A que taxa de juro obteve aquelecapital? R. 30% a.a.

28. Por quanto tempo um capital deve ser emprestado a 40% ao ano para que o juroobtido seja igual a 4/5 do capital? R: 2 anos

29. Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? R. 10 anos

30. Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juros simples, a que taxa foiempregado esse capital? R. 12,5% a.a.

31. É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e orestante a 28% ao ano? R. indiferente

32. Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 2% ao mês, durante2 anos. R. R$ 7.400,00

33. Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 mesese 20 dias um montante de R$ 58.643,20. R. R$ 31.360,00

34. Duas pessoas têm juntas R$ 26.164,00 e empregam o que têm à taxa de 40% ao ano.Após 2 anos, a primeira recebe R$ 6.973,80 de juro a mais que a segunda. Qual é ocapital de cada uma? R: R$ 17.440,60 e R$ 8.723,40

35. O montante de uma aplicação por 4 meses é de R$ 42.336,00, por 9 meses, à mesmataxa ao mês , rende 6.264,,00 de juro. Calcule a taxa comum e a aplicação inicial.

R: 2% a.m. e R$ 39.200

36. O capital de R$ 7.812,00 foi dividido em duas partes. A primeira, colocada a 4% ao mês,rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês.calcule o valor de cada parte. R. R$ R$ 3.472,00 e R$ 4.340,00

37. Duas pessoas associam-se entrando a primeira com R$ 60.000,00 e a segunda com R$40.000,00. Sabendo-se que a primeira fundou a firma e a segunda participou durante 6meses, qual a parte do lucro que coube a cada uma se lucraram, no fim de um ano, R$



22

96.000,00? R: $72.000,00 e $ 24.000,00

38. Uma pessoa abriu uma firma em 1.º de Janeiro com um capital de R$ 300.000,00.Desejando ampliá-la, aceitou em 1.º de Março um sócio com um capital de R$

400.000,00. No final do ano o lucro da firma foi de R$ 380.000,00. Quanto cada sóciorecebeu? R: $180.000,00 e $ 200.000,00

39. Três sócios realizaram um capital de $ 240.000,00. Sabendo-se que, ao fim de certoperíodo de tempo, tiveram lucro, respectivamente, de $24.000,00, $ 22.000,00 e $18.000,00, qual foi o maior capital aplicado? R:$90.000,00

40. Certa mercadoria foi vendida por R$ 6.000,00, com lucro de 20% sobre o custo. Se olucro tivesse sido sobre o preço de venda, por quanto teria sido vendida a mercadoria?R: 6.250,00

41. Um artigo custa R$ 100,00 à vista e pode também ser comprado a prazo com umaentrada de R$ 52,000 e um pagamento de R$ 60,00 um mês depois. Qual a taxa mensalde juros na venda a prazo? R: 25%

42. Um capital de $ 50.000,00 foi aplicado a 144% a.a. e, na mesma data, outro capital de $60.000,00 foi aplicado a 108% a.a., ambos a juros simples. Em quantos dias osmontantes serão iguais? R: 500 dias

43. Tenho um título com valor nominal de R$ 15.000,00, com vencimento daqui a dois

anos, taxa de juros simples corrente de 25% a.a.. Qual é o valor atual do título?R: R$ 10.000,00

44. Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25%, durante 4 anos. OSegundo a 24% durante três anos e seis meses e o terceiro a 20% durante dois anos equatro meses. Juntos renderam um juro de R$ 27.591,80. Sabendo-se que o segundocapital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, qual é o valor doterceiro capital? R: R$ 30.210,00

45. Uma empresa tomou um financiamento junto aos bancos A, B e C a uma taxa fixa de

10% ao ano de juros simples, nas seguintes condições: $ 12.000,00 por 30 dias, $20.000,00 por 45 dias e $ 18.000,00 por 60 dias. Em quanto tempo um financiamentoequivalente deve ser pago, de um só vez?R: 46,8 dias



23

1 . 1 3 - D E SC O N TO S I M P L E S

ConceitoA didática do desconto pode ser facilmente entendida como sendo o inverso dos juros.Isso porque, se os juros incidem sobre o Valor Presente de um capital, o desconto incidesobre o Valor Nominal

desse capital. Enquanto os juros somam ao Valor Presente um valorporcentual (denominado taxa de juros) transformando-o em um Valor Nominal (futuro) nofinal da operação, o desconto faz o caminho inverso. Ele incide sobre o Valor Nominal,decrescendo deste um valor porcentual (denominado taxa de desconto), transformando-oem um Valor Presente na data da operação.

Na prática, o desconto pode ser usado para o cálculo do Valor "Descontado" (e daí onome) de um título que precisa ser resgatado antes do vencimento. O desconto, nessecaso, seria simplesmente a diferença

entre o Valor Nominal que seria resgatado novencimento e o Valor Presente conseguido pelo título liquidado antecipadamente.

Se quisermos calcular o Valor de Venda de um título hoje (isto é, seu Valor Presente),devemos subtrair do Valor de resgate desse título (que é seu Valor Nominal) o valor

referente ao desconto.

Existem duas metodologias para o cálculo dos descontos: o Desconto Racional Simples ou "PorDentro" e o Desconto Comercial Simples ou "Por Fora".

Desconto racional ou por dentro

O desconto racional pode ser entendido como a diferença entre o Valor Nominal (N) de umtítulo ou transação e o seu Valor Presente, atual ou inicial.

A taxa utilizada não é uma taxa de desconto e sim a própria taxa de juros. Esse tipo de

desconto raramente tem sido utilizado pelo mercado brasileiro.Entretanto, ele consiste numa importante fonte de comparação com o Desconto Comercial.

DescontoValor nominal

Valordescontado

V =

1 + in

N .



24

Dito isso, temos o desconto racional como:

5.3 Desconto comercial ou por fora

Desconto Comercial ou por Fora é a modalidade de desconto freqüentemente usada nomercado. No Desconto Comercial há uma taxa antecipada, denominada taxa dedesconto, que incide sobre o Valor Nominal de um título ou transação trazendo-o ao ValorPresente na data antecipada. Esse método difere-se do Desconto Racional pois, nesseúltimo, utilizávamos a própria taxa de juros para calcular o Valor Presente.

Nesse caso, o Valor Presente é o "montante" procurado, pela incidência de uma taxa dedesconto, por tantos períodos quanto forem especificados, sobre um Valor Base, nesse

caso, o Valor Nominal. Trata-se, literalmente, da operação inversa à da capitalização doCapital Inicial. Essa é uma operação de descapitalização.

Veja, analogicamente, a fórmula do desconto comercial:

J = C . i . n

Da fórmula anterior, tem-se que o Valor Atual Comercial é:

Dc = N . d . n

Período deAntecipaçãoao

Taxa deDesconto

Valor Nominal sobre oqual incide a taxa

niC J ⋅⋅= .

n = número de períodos datransação

i = taxa de juros no períodoconstante

C C DN V −=



25

Para entendermos melhor o cálculo do Desconto Comercial, vamos fazer o mesmoexercício do exemplo anterior.

Dessa vez, porém, a taxa de desconto é que será igual a 7% a.m.Substituindo nas fórmulas, temos que:

N = R$ 7.000,00 ::> D Cd = 7 % a.m. = R$ 1.470,00D C

n = 3 meses = 7000 * 0,07 * 3

::>V C V= 7000 – 1470 C

= R$ 5.530,00

A diferença dos dois métodos é clara agora.

No primeiro ex emplo, o que incidiu sobre o Valor Nominal foi a taxa de juros. Jáno segundo caso, foi a taxa de desconto. Note que essas taxas incidem demaneiras diferentes.

Por isso que a taxa de juros e a taxa de desconto, apesar de iguais em valor noexemplo acim a, não são equivalentes.

Isso também acontece em virtude da diferença de base de incidência de cadauma das taxas.

Os cálculos de Descontos Comerciais também podem ser realizados na HP 12C. Veja como fazê-los:

Entrada Tecla função SAÍDA 7000 ENTER 70000,07 (multiplica) 490

3 (multiplica) 14707000 (subtrai) -5530

CHS 5530

Neste exemplo testamos a equivalência das duas taxas utilizadas em cada um dosmétodos.

Se, por exemplo, pegássemos o Valor Recebido pela antecipação do exercício anterior.Será que, se reinvestíssemos esse dinheiro a uma taxa de juros de 7 % a.m.,conseguiríamos de novo os R$ 7.000,00 que iríamos receber?



26

Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo.

Entrada Tecla função Saída5530 ENTER 5530,00

7 % 387,103 x 1161,30

+ 6691,30

E como faríamos se quiséssemos reaplicar o dinheiro recebido na antecipação e resgatarR$ 7.000,00 daqui a três meses? Esse procedimento, de achar taxas equivalentes, pode serfeito de 2 formas:

A primeira delas é pela aplicação das fórmulas de equivalência entre a taxa dejuros e a taxa de desconto.Calculando manualmente, ou inserindo as fórmulas no EXCEL, você acha taxasequivalentes.

As fórmulas são as seguintes:

Desta forma, sabendo que foi usada uma taxa de desconto de 7 % para o desconto do título, eque o Valor recebido pela liquidação foi de R$ 5.530,00, podemos facilmente agora achar a taxacorrespondente e verificar a eficácia do método.

Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo.

Entrada Tecla função Saída0,07 ENTER 0,07

3 x 0,21CHS -0,21

nd

d i

⋅−=1 ni

id

⋅+=

1e



27

1 + 0,790,07 X Y 0,0886

3 x 0,275530 x 1470,00

5530 + 7000,00

Desta forma, qualquer que fosse o método utilizado para o cálculo da taxa de juros simples daoperação, sua visualização seria a seguinte:

2 .0 - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Conceito

Os juros compostos têm seu fundamento no regime de capitalização composta, vista no

primeiro módulo, no qual o crescimento do capital se dá exponencialmente (por isso, ocálculo dos juros compostos também é chamado de cálculo exponencial). Trata-se de juroscompostos toda transação na qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial e os jurosacumulados até a referida data são, então, diferentes em todos os períodos. Lembre-se dodiagrama para o regime de juros compostos:

VP = Valor presente ou inicialVF = Valor futuro (Final)C = Capital inicialMn = Montante na data "n"

2 .1 – A FÓR M ULA DO M ONTA NTE

Como já foi dito, os juros compostos incidem sobre o capital de maneira exponencial.Demonstrando, simplificadamente, o caminho para a fórmula do montante, esse fato ficaevidente. Partindo do que já sabemos a respeito de capitalização composta, temos:



28

M1 = C + C * i ::> M1

M= C(1 + i )

2 = M1 + M1 *i ::> M2 = M1

M(1+ i ) ::>

2 = C(1+i)2 ::> M3

M

= M2 + M2 *i

3 = M2 (1 + i) ::> M3 = C(1+ i )

3

...e assim sucessivamente.

Essa fórmula, que só é válida para operações com taxas de juros constantes durante todoo período de aplicação e pagamento único, é a mais importante fórmula para amatemática financeira, já que é dela que se derivam as fórmulas de Valor Presente,Valor Futuro, Taxa de Juros e Prazo, que serão todas vistas adiante. A seguir,veremos, em um exemplo, como fazemos o cálculo do montante.

Por motivo de comparação, pegaremos o primeiro exemplo do módulo de juros simples.

Suponhamos que você tenha uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juroscompostos, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final do ano, se aplicou seu dinheiro noprimeiro dia do ano?

As calculadoras financeiras geralmente usadas, enfatizando aqui a HP 12C, fazem oscálculos de qualquer uma das quatro variáveis presentes na fórmula do montante. Apesarde ainda não termos falado sobre as outras fórmulas, é importante saber que o cálculopode ser feito apenas inserindo, na calculadora, três das quatro variáveis dessa fórmula.

Importante: é sempre necessário respeitar a convenção de fluxo de caixa presente nascalculadoras financeiras, onde o VP e VF devem ser inseridos com sinais opostos,indicando as saídas e entradas de caixa. Lembre-se disso sempre!

Montante nadata "n"

Fator de

Acumulação deCapital

( )nn

iC M +⋅= 1

4

( )nn

iC M +⋅= 1 75,880.209=nM

120.000,00

15%



29

Assim, o cálculo do valor futuro, ou montante, dessa operação é feito da seguinte

forma:

Entrada Tecla função Saída120.000 CHS -120.000

-120.000 PV -120.000 ::> PV – do inglês "Present Value" ou Valor Presente(Capital Inicial)

15 I 154 N 4

FV 209.880,75 ::> FV – do inglês "Future Value" ou Valor Futuro (Montante Final)

2 . 1 – F Ó RM U L A D O V A L O R P RE SE N TE ( C A P ITA L )

A fórmula de valor presente é deduzida, como dito, da fórmula do montante. Facilmente, podemos ver que:

Um empréstimo deve ser pago em 60 dias. O valor a ser pago é de R$ 15.000,00. Os juros(compostos) do empréstimo são de 12% a.m. Qual o valor desse empréstimo se ele fosse pagohoje?

Na HP 12C, o cálculo é feito assim:

Entrada Tecla função Saída

15000 FV 15.000,00 ::> FV - do inglês "Future Value" ou Valor Futuro( Montante Final)12 i 122 N 2

PV -11.957,91 ::> PV - do inglês "Present Value" ou ValorPresente (Capital Inicial)

Capital ouValor Presente

)

n

( i n = VP

+ 1



30

2 . 2 – TA X A D E J U RO S C O M P O STO S

A fórmula da taxa de juros de uma operação financeira também é deduzida da fórmula do

montante. Isolando o "i" da fórmula inicial, temos o seguinte:

Qual a taxa de juros compostos que está embutida em um produto que tem preço à vistade R$ 1.500,00 e a prazo, para pagamento daqui a 90 dias, de R$ 1.900,00?


Entrada Tecla função Saída1.900 FV 1.900,00

1.500 CHS -1.500,00PV -1.500,00

3 n 3

i 8,20

2 .3 – P RA ZO

A fórmula do prazo, também proveniente da fórmula do montante, nos permite calcular oprazo de aplicação entre dois valores para determinada taxa.

Isolando-se o "n", teremos: o isolamento do "n", como é fator de radiciação, traz a necessidade deuso de logaritmo neperiano, porém, como os cálculos são feitos todos ou no EXCEL ou nascalculadoras financeiras, não nos traz problema algum. Você nem precisa se preocupar com aresolução de logaritmos, caso você não se lembre.

Taxa de Juros Compostos 1

1

−

=n

C

M i

1500

31900

1

1

−

= n

C M i %2,8=i

( )iLn

LnC LnM n

+⋅

−=

1

logaritmo neperiano do VF

logaritmo neperiano do VP

logaritmo neperiano da taxa de juros



31

Veja o que você precisaria para duplicar um capital de R$ 3.500,00 à taxa de juroscompostos de 12% a.m.


Entrada Tecla função Saídaf 0,0000

X Y 0,0000f 0,0000

CLX 0,000030 ENTER 30,0000

1/ x 0,0333STO 0 0,03330,12 ENTER 0,1200

1 + 1,1200RCL 0 0,0333

Y x 1,0038

1 - 0,0038100 X 0,3785 ::> Cálculo da Taxa Equivalente diária de 12% a.m.

i 0,3785 ::> Taxa Equivalente diária em (i)7000 FV 7.000,00 ::> Valor Futuro (FV)3500 CHS PV -3.500,00 ::> Inverte o sinal e colocar em Valor Presente (PV)

n 184,00 ::> Prazo da aplicação em dias

2 . 4 – E XE RC Í C IO S P RO P O STO S - CÁLCULO DO VALOR FUTURO - VALOR PRESENTE - EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

(*) na resolução dos exercícios considerar ano comercial de 360 dias.

1. Calcular o montante de uma aplicação de $3.500, pelos prazos e taxas efetivas a seguir:

12%

3.500,007.000,00

( )iLn

LnC LnM n

+⋅−

=1

mesesn 12,6=



32

a) 4% a.m. - 6 meses; b) 8% a.t. -18 meses; c) 12% a.a. -18 meses

2. Em quantos meses uma aplicação de $18.000 acumula um montante de $83.743 a jurosefetivos de 15 % a.m.?

3. Um investimento resultou num montante de $43.000 no prazo de 3 meses. Se a taxa de jurosefetiva ganha foi de 10% a.m., calcular o valor do investimento.

4. Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui a 4 anos com omontante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os jurosefetivos ganhos são de:a) 13% a.t. (ao trimestre);b) 18% a.a. (ao ano);c) 14% a.s. (ao semestre);d) 12% a.m. (ao mês).

5. Um capital de $51.879,31 aplicado pelo prazo de 6 meses transformou-se em $120.000.

Determinar a taxa de juros efetiva ganha.

6. Uma pessoa deve pagar 3 prestações iguais de $3.500 a vencer daqui a 1 mês, 2 meses e 3meses, respectivamente. Se resolvesse pagar a dívida por meio de um pagamento únicodaqui a 3 meses, qual seria o valor desse pagamento considerando uma taxa de juros efetivade 5% a.m.?

7. Um cliente dispõe de duas formas de pagamento: pagamento à vista de $1.400, ou doischeques pré -datados de $763,61 cada um, para 30 e 60 dias, respectivamente. Calcular ataxa de juros efetiva cobrada. Se o cliente ganha 5% a.m. em suas aplicações financeiras,qual será a melhor opção de compra: à vista ou a prazo?

8. Por um eletrodoméstico com valor à vista de $140, uma pessoa deve pagar uma entrada noato da compra e duas prestações de $80 no final dos próximos 2 meses. A juros efetivos de20% a.m., determinar o valor da entrada.

9. Uma casa é vendida por $261.324,40 à vista. Se o comprador propõe pagar $638.000 daqui a4 meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta.

10. Em quanto tempo triplica uma população que cresce 3% a.a.?

11. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% a.a. Se os juros ganhos foram de$27.473 sobre um capital investido de $83.000, quanto tempo o capital ficou aplicado?

12. Nas vendas a crédito, uma loja aumenta em 40% o valor à vista. Desse valor majorado, 20%é exigido como entrada, e o saldo pago em 2 prestações mensais de $1.058 cada uma. Se ovalor da compra for de $2.000, determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento.

13. Um produto cujo preço à vista é de $450 será pago em 2 prestações mensais consecutivas de$280 e $300, respectivamente. Se a taxa de juros embutida na primeira prestação for de 10%a.m., determinar a taxa embutida na segunda.

14. Um apartamento pode ser comprado por $320.000 à vista ou pagando 20% de entrada e 2prestações de $170.000, a primeira para 3 meses e a segunda para 7 meses. Calcular o custoefetivo do financiamento. Se a taxa de juros vigente é de 2% a.m., qual será a melhor opção



33

de compra: à vista ou a prazo?

15. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 20% do valor à vista como entrada, e orestante a ser liquidado em 3 prestações mensais iguais. Se a taxa de juros efetiva cobrada forde 15% a.m., determinar a porcentagem do valor à vista que será pago como prestação cada

mês.

16. Uma loja permite pagamento em 3 prestações iguais. Se cada prestação é igual a um terço dovalor à vista, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada), calcular a taxa de juroscobrada.

17. O valor à vista de um bem é $6.000. A prazo paga-se uma entrada no ato da compra, mais 3parcelas mensais e consecutivas de $2.000 cada uma. Se a taxa de juros efetiva cobrada forde 7% a.m., calcular o valor da entrada.

18. Por um equipamento de $360.000 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentosmensais consecutivos. Se o primeiro pagamento é de $180.000, e a taxa de juros efetiva

aplicada 10% a.m., calcular o valor do segundo pagamento.

19. Pretende-se daqui a 6 meses comprar um automóvel de $25.000. Calcular a aplicaçãonecessária em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de modo que o veículopossa ser comprado com os juros ganhos na aplicação.

20. Um capital de $50.000 rendeu $1.000 em um determinado prazo. Se o prazo fosse 2 mesesmaior, o rendimento aumentaria em $2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganhapela aplicação e o prazo em meses.

21. Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos de 2% a.m. e, o

segundo, a 1,5% a.m. O primeiro capital é $10.000 maior que o segundo e seu rendimentoexcedeu em $6.700 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um doscapitais.

22. Dois capitais, o primeiro de $2.400, e o segundo de$ 1.800), foram aplicados pelos prazos de40 e 32 dias, respectivamente. Se a taxa efetiva ganha pelo primeiro capital foi de 5% a.m., esabendo-se que esse capital rendeu $100 a mais do que o segundo, determinar a taxa dejuros mensal ganha pelo segundo capital.

23. Um capital foi aplicado a juros efetivos de 15% a.a pelo prazo de 6 meses. Calcular o capitalinicial sabendo-se que, se o montante ao término do prazo, diminuído da metade dos jurosganhos, fosse reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em 3 meses juros de $18,42.

24. Um capital acrescido de seus juros de 20 meses soma $1.857,31. Esse capital, diminuído dosmesmos juros, reduz-se a $ 80,05. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês.

25. Uma pessoa aplicou um capital em uma conta remunerada a juros efetivos de 30% a.a.Depois de 3 anos resgatou metade dos juros ganhos e reaplicou o resto do montante a juros

efetivos de 32% a.a., obtendo uma remuneração de $102,30 em um ano. Calcular o valor docapital inicialmente aplicado.

26. Um capital foi aplicado por 50 dias a juros efetivos de 3% a.m .. Se a diferença entre o capitalinicial e os juros ganhos fosse aplicada à mesma taxa, renderia em 3 meses juros de $44,02.



34

Determinar o valor do capital.

27. Um capital foi aplicado durante 10 meses à taxa efetiva de 2% a.m. Ao término desse prazoseu montante foi reaplicado durante 11 meses a 3% a.m. A que taxa mensal única poderia sercolocado o capital durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante?

28. Um capital aplicado durante um ano à taxa efetiva de 4% a.m. rendeu $480,83 de juros. Domontante obtido, foram retirados $600 e o saldo restante reaplicado à mesma taxa, resultandoem um montante de $1.226,15 após um certo prazo. Determinar o valor do capital inicial e oprazo da reaplicação.

29. Dois capitais, o primeiro igual ao dobro do segundo, foram aplicados pelo mesmo prazo e àmesma taxa efetiva de 4% a.m. Sabendo-se que o primeiro capital ganhou $400 de juros eque a soma do primeiro capital mais os juros ganhos pelo segundo é igual a $1.032,91,calcular os capitais e o prazo.

30. Dois capitais, o primeiro de $1.000, e o segundo de $227,27, foram aplicados ambos a juros

efetivos de 20% a.a. O primeiro capital, na metade do tempo do segundo, obteve umrendimento de $100,00 a mais. Se o segundo capital resultou em um montante de $327,27,calcular os prazos das duas aplicações.

31. Um pessoa aplicou um capital por dois anos a juros efetivos 20% a.a. Ao término desse prazoresgatou o montante e reaplicou um terço dos juros ganhos à taxa efetiva de 25% a.a.,obtendo uma remuneração semestral de $34,62. Calcular o valor do capital inicialmenteaplicado.

32. Certo capital foi aplicado a juros efetivos de 3% a.m. durante 50 dias. Se a diferença entre ocapital e os juros ganhos acrescida de $10.000,00 fosse aplicada à mesma taxa, renderia, dejuros, $12.342,82 ao ano. Calcular o capital.

33. Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por 3 meses a juros efetivos de 5% a.m., eo segundo por 10 meses a juros de 4% a.m. Sabendo-se que pagou ao todo $11.181,14 dejuros, e que o primeiro empréstimo é igual à metade do segundo, calcular o valor do primeiroempréstimo.

34. Dois capitais, o primeiro igual ao triplo do segundo, foram aplicados às taxas efetivas de 5%a.m. e 10% a.m., respectivamente. Determinar o prazo em que os montantes dos dois capitaisse igualam.

RESPOSTAS DOS EXERCÍC IOS1) $4.428,62; $5.554,06; $4.148,54 2) 11 meses 3) $32.306,54 4) $14.149,62; $51.578,89; $35.055,91; $

434,05 5) 15% a.m. 6) $11.033,75 7) 6% a.m.; à vista 8) $17,78 9) 25% a.m. 10) 37,17 anos 11) 3 anos 12)30% a.m. 13) 23,89% a.m. 14) 5,9822% a.m.; à vista 15) 35,05% 16) 0% 17) $751,37 18) $150.480 19)$23.106,43 20) 2% a.m.; 1 mês 21) $13.440,52; $3.440,52 22) 3,19% a.m. 23) $50024) $968,91; 3,3071 %a.m. 25) $20026) $500 27) 2,5225927% a.m. 28) $800; 15 meses 29) $832,91; $416,46; 10 meses 30) 1 ano;2 anos 31) $2.000 32) $20.00033) $10.00034) 23,61591 meses(aproximadamente 23 meses e 18 dias)

2 . 5 – T A X A S E Q U I V A L E N T E S



35

O conceito de taxas equivalentes a juros compostos é igual ao módulo de juros simples: duas taxassão consideradas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, por um período equivalentede tempo, para produzirem o mesmo montante.

Como os montantes são iguais, podemos simplesmente igualar as fórmulas de cálculo domontante. Visualmente, temos que:

Qual seria a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação que remunera o capital àtaxa de 42 % a.a.?

Na HP 12C, este cálculo é feito da seguinte forma:


X Y 0,0000f 0,0000

CLX 0,00001 ENTER 1,0000 ::> Prazo dado12 0,0833 ::> Prazo requerido

STO 0 0,0833 ::> Armazenado na memória zero1 ENTER 1,0000 ::> Para transformar em número índice

0,42 + 1,4200 ::> Adiciona-se a taxa do período

Como na fórmula de cálculodo montante as taxas sãoaplicadas sobre um mesmo

capital, podemos eliminar oca ital (C da fórmula.

Esta, portanto, é afórmula decálculo de taxasequivalentes.

÷

( ) ( ) 21

2111

nniC iC +⋅=+⋅ ( ) ( ) 21

2111

nn

ii +=+

( ) 11

2

1

21−+= n

n

ii

0,42 As taxas têm que estarna mesma escala de

tempo

12 (meses)

1 (mês)

( ) 11 21

21−+= n

n

ii

%97,21

=i



36

RCL 0 Y X 1,0297 ::> Tira a raiz 12

1 - 0,0297100 x 2,9653 ::> Finaliza o cálculo da Taxa Equivalente Mensal

2 . 6 - TA XA S N O M IN A L E E F E T IV A

As taxas nominais são as taxas aparentes de juros em uma transação, e a taxa efetiva é ataxa que realmente onera o tomador e remunera o aplicador.

Existe diferença entre essas duas taxas sempre que houver na transação alguma condiçãode cobrança ou despesas que modificam a taxa que realmente incide na operação.

É o caso, por exemplo, das taxas de IOF e taxas de administração cobradas nas operaçõesde desconto, como visto no módulo de desconto simples.

Lembre-se que, naqueles casos, as taxas cobradas reduziam o valor a ser resgatado,aumentando a taxa de desconto efetiva, enquanto a taxa de desconto nominal permaneciainalterada.

2 . 7 - T A X A N O M I N A L E E F ET I V A Q U A N D O O P E R Í O D O D A T A X A N Ã OC O IN C ID E C O M O P E R Í O D O D A C A P I TA L I Z A Ç Ã O

Já vimos no primeiro módulo deste curso que "capitalização é o ato de incluir os juros incorridosdurante um período no capital inicial, resultando em um montante "capitalizado".

Entretanto, o que ocorre quando possuímos, por exemplo, uma taxa de juros ao anocapitalizada semestralmente?

O primeiro passo é transformar essa tax a ao ano, em uma taxa semestral, peloregime de juros simples. Esse valor encontrado representa a taxa efetiva da operaçãoe a primeiro taxa, dada ao ano, representa a taxa nominal da operação. A taxa efetivaé a que realmente incide sobre o capital aplicado e não a taxa nominal.

O que acabamos de fazer foi calcular a taxa efetiva por proporção à taxa comum, práticamuito comum no mercado.

Veja um exemplo disso: considere uma taxa de 24 % a.a., capitalizada mensalmente. Ataxa de 24 % é considerada a taxa nominal. Para calcularmos a taxa efetiva (que deve sermensal,

uma vez que os juros serão capitalizados mensalmente) devemos efetuar osseguintes cálculos:

Taxa mensal = 24 % = 2 % a.m.12

Essa taxa efetiva será utilizada para oscálculos em regime de juros compostos!!!



37

Como conseqüência do que foi apresentado acima, a taxa que realmente incide sobre ocapital geralmente é maior do que a taxa nominal dada, porque a capitalização, à taxaproporcional, é exponencial.

Exemplo disso pode ser visto na caderneta de poupança. Embora seja dito que orendimento anual é de, digamos, 19 % a.a, sabemos que com a capitalização mensal elarende 20,74 % a.a. Neste caso a primeira taxa é a nominal e a segunda é a efetivaO cálculo dessa taxa efetiva pode ser feito achando-se a taxa proporcional à nominal noperíodo de capitalização.

.

Os caminhos são os seguintes:

Taxa E fe t i va pa ra Taxa Nom ina l(com taxa nominal anual e capitalizações mensais)

1º)

2º)

Taxa Nom ina l pa ra Taxa E fe t i va

2 . 8 – E XE RC Í C IO S P RO P O STO S : TAXA DE JUROS: TAXA NOMINAL – TAXA EFETIVA –TAXA EQUIVALENTE – TAXA REAL E APARENTE

1. Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre , e aosemestre.

2. Calcular as taxas de juros efetivos mensal, trimestral e semestral, equivalentes à taxa nominalde 60% a.a. capitalizada mensalmente.

3. Determinar a taxa efetiva ao ano equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a., nas seguinteshipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal diária, mensal, trimestral e semestral.

Anopor çõesCapitaliza

AnualNomTxPeríodopor EfetivaTx

... =

( ) ÇÕESCAPITALIZAN Períodopor EfetivaTxAnualEfetivaTx

º.. =

( ) 12... º1

×= çõesCapitalizanAnualEfetivaTxAnualNOM Tx



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4. Dada Calcular a taxa nominal ao ano equivalente à taxa efetiva de 40% a.a., nas seguinteshipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral.

5. A que taxa nominal ao ano capitalizada mensalmente, uma aplicação de $13.000 resulta emum montante de $23.000 em 7 meses?

6. Em quantos meses um investimento de $18.000 produz um montante de $36.204,48 aplicadoà taxa nominal de 180% a.a. capitalizada mensalmente?

7. Determinar:a) A taxa efetiva para 2 meses, equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizadamensalmente;b) A taxa efetiva para 18 meses, equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizadasemestralmente;c) A taxa nominal ao ano capitalizada mensalmente, equivalente à taxa efetiva de 10% em 60dias;d) A taxa nominal anual capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva de 15% em 6

meses;e) A taxa efetiva para 41 dias, equivalente à taxa nominal de 24% ao ano capitalizadadiariamente;f) A taxa efetiva para 41 dias, equivalente à taxa nominal de 24% ao semestre capitalizadadiariamente.

8. Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a. capitalizada mensalmente. Calcular a taxaefetiva equivalente para os seguintes prazos: 180 dias, 3 meses, 5 trimestres e 7 semestres.

9. Uma aplicação de $18.000 rendeu juros efetivos de $4.200 em 4 meses. Qual seria orendimento em 11 meses?

10. Quanto devemos aplicar em um CDB que paga uma taxa nominal de 84% a.a. capitalizadamensalmente, de modo a obtermos um montante de $76.000 após 4 meses?

11. Calcular o montante para um capital de $2.000 aplicado conforme as hipóteses abaixo:

12. A juros nominais de 48% a.a. capitalizados mensalmente, determinar em quantos meses umcapital de $10.000 rende juros de $3.685,69.

13. Para os seguintes prazos, calcular as taxas efetivas equivalentes à taxa efetiva de 48% a.a.:a) 8 meses; b) 11 meses; c) 18 dias; d) 3 meses; e) 420 dias f)222 dias

14. Qual é a melhor alternativa: investir à taxa nominal de 240% a.a. capitalizada mensalmente,ou a 264% a.a. capitalizada bimestralmente?

Prazo Taxa nominal Capitalização

a 3 meses 48% a.s. mensal

b 2 anos 18% a.a. mensal

c 17 dias 35% a.m. diária



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15. Qual deve ser a freqüência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98% a.a.,de modo que seja equivalente à taxa nominal de 480% a.a. capitalizada bimestralmente?

16. Em quanto tempo dobrará um capital aplicado à taxa nominal de 227,05% a.a. capitalizadamensalmente?

17. Uma aplicação de $12.000 rendeu, de juros, um bruto de $2.300 em 14 meses. Se forcobrado um imposto de 2% sobre os rendimentos, calcular a taxa efetiva mensal ganha pelaaplicação.

18. Calcular o rendimento de um capital de $17.800 aplicado por 7 meses à taxa efetiva de 45%a.a.

19. Um capital de $24.000 aplicado a juros nominais de 120% a.a. capitalizados mensalmente,rendeu, de juros, $5.040. Determinar o prazo da operação.

20. Um investimento de $15.000 teve um rendimento bruto de $4.000 em 7 meses. Se oinvestidor pagou um imposto de 3% sobre o rendimento e uma comissão de 1,5% sobre ovalor aplicado, calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação.

21. As cadernetas de poupança rendem juros de 6% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular ataxa efetiva ao ano.

22. Em operações de crédito, o banco A cobra uma taxa efetiva de 30% a.a., e o banco B cobrajuros nominais de 27% a.a. com capitalização mensal. Qual é a melhor taxa para o cliente?

23. Uma aplicação a juros nominais de 24% a.a. capitalizados semestralmente, resultou em ummontante de $10.000. Se a taxa fosse de 48% a.a. capitalizada trimestralmente, o montante

seria de $15.735,19. Calcular o capital e o prazo da aplicação em anos.

24. Em que prazo um capital de $75.000 aplicado à taxa nominal de 22% a.a. capitalizadasemestralmente resulta em um montante de $155.712?

25. Em quantos anos dois capitais, o primeiro de $8.000,00 aplicado à taxa nominal de 20% a.a.capitalizada trimestralmente, e o segundo de $33.800,80 aplicado à taxa nominal de 10% a.a.capitalizada semestralmente, produzirão juros iguais?

26. Um capital de $12.600,00 foi aplicado por 3 anos à taxa nominal de 22% a.a. Calcular omontante se no primeiro ano os juros são capitalizados semestralmente, no segundotrimestralmente e, no terceiro, bimestralmente.

27. Um capital de $12.500,00 aplicado à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada semestralmenterendeu juros de $12.172,78. Calcular o prazo da aplicação.

28. Três quartos de um capital foram aplicados à taxa nominal de 20% ao ano capitalizadasemestralmente e, o restante, a 12% ao semestre capitalizada trimestralmente. Se o prazo daaplicação é de 4 anos e, sabendo-se que o rendimento de juros da primeira parcela é$4.726,04 maior que o rendimento da segunda, calcular 0 capital.



40

29. Um capital aplicado a juros nominais de 24% a.a. capitalizados semestralmente rendeu, dejuros, $9.738,23. Se a taxa fosse de 48% a.a. capitalizada trimestralmente, o rendimento seriade $28.959,76. Calcular o capital e o prazo da aplicação em anos.

30. Um capital aplicado durante 4 anos à taxa nominal de 12% a.a. capitalizada mensalmente,

rendeu, de juros, $12.252,00 a mais do que teria rendido se a capitalização fosse semestral.Calcular o valor do capital.

31. Dividir a importância de $2.832.774 em três partes de tal modo que, colocadas à taxa nominalde 20% a.a. capitalizada semestralmente, produzam montantes iguais em 2, 3 e 5 anos,respectivamente?

32. Dois capitais foram aplicados pelo prazo de 2 anos. O primeiro à taxa nominal de 20% a.a.capitalizada semestralmente e, o segundo, a 18% a.a. capitalizada trimestralmente. Sabendo-se que os juros do primeiro excederam de $6.741,00 os juros do segundo, e o primeiro capitalé $10.000,00 maior que o segundo, calcular os dois capitais.

33. Um capital foi aplicado durante 5 anos à taxa nominal de 5.5% a.a. capitalizadasemestralmente e, a seguir, seu montante foi colocado a juros efetivos de 4% a.a. durante 10anos. A que taxa anual efetiva única poderia ser aplicado durante todo esse tempo, de modoque resulte no mesmo montante?

34. Uma pessoa precisa de $10.000,00 por 2 anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintescondições: a) a juros nominais de 5% a.a. capitalizados trimestralmente; b) à taxa nominal de5,375% a.a. capitalizada semestralmente; c) a juros simples de 5,5% a.a. Qual é a melhoroferta?

35. Uma pessoa aplicou um capital de $20.000,00 durante 4 anos à taxa nominal de 18% a.a.capitalizada semestralmente. Ao término desse período, o capital e os juros ganhos foram

resgatados e, a seguir, somente os juros foram reaplicados por 15 meses à taxa nominal de12% a.a. capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimento dessa última aplicação.

36. Um banco oferece uma rentabilidade efetiva de 40% a.a. Se o investidor tem condições deganhar juros efetivos de 9% a.t. em outro banco, qual deve ser a alternativa escolhida?

37. Um investidor aplicou $25.000,00 na Bolsa de Valores esperando ganhar uma rentabilidadeefetiva de 100% a.a .. Caso tal rentabilidade ocorresse, calcular os juros ganhos ao fim de 20meses.

38. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada semestralmente rendeu$2.294,08. Se a taxa fosse de 48% a.a. capitalizada trimestralmente, o montante seria de$9.903,85. Calcular o capital e o prazo da aplicação.

39. O PIB (Produto Interno Bruto) de um país cresceu 200% em 10 anos. Qual foi a taxa decrescimento anual média?

40. Em 12/10/97 um capital de $2.300 foi aplicado à taxa nominal de 36% a.a capitalizadadiariamente. Calcular os juros acumulados em 24/11 / 99. (Usar ano civil para cálculo dos dias.Pode ser usada máquina financeira para determinar o número de dias).



41

41. Em 31/12/90 uma pessoa aplicou $10.000 à taxa nominal de 24% a.a. capitalizadadiariamente. Se a partir de 01/01/96 a taxa nominal passou a ser de 20% a.a., calcular ovalor de resgate da aplicação no dia 30/06/99.

42. Um capital foi aplicado dividido em 2 parcelas. A primeira por 4 anos à taxa nominal de 28%

ao ano com capitalização trimestral e, a segunda, por 2 anos à taxa nominal de 12% aosemestre com capitalização mensal. Se a primeira parcela excede em $100 a segunda e adiferença dos juros ganhos pelas duas é de $1.404,57, calcular o valor do capital.

43. Um capital de $4.000 foi aplicado por 11 meses. Nos primeiros 3 meses à taxa de 24% a.a.capitalizada mensalmente e, nos 8 últimos meses, à taxa de 36% a.s. capitalizadatrimestralmente. Calcular o rendimento da aplicação.

44. Um capital de $6.000 foi aplicado por 27 meses. Nos primeiros 11 meses à taxa de 48% a.a.capitalizada mensalmente, nos seguintes 13 meses à taxa de 40% a.s. capitalizadatrimestralmente e, nos últimos 3 meses, à taxa de 36% a.a. capitalizada bimestralmente.Calcular o montante ao término do prazo de 27 meses.

45. Dois terços de um capital foram aplicados por 2 anos à taxa de 18% ao semestre capitalizadabimestralmente e, o restante do capital, foi aplicado por um determinado prazo à taxa de18% ao trimestre capitalizada mensalmente. Se o valor do capital é de $12.000,00 e,sabendo-se que o rendimento da primeira parcela é $4.048,79 maior que o rendimento dasegunda, calcular o prazo em anos da segunda parcela.

46. Um capital foi aplicado por 18 meses a juros nominais de 24% a.a. capitalizadosmensalmente. Calcular o valor do capital, sabendo-se que, se a capitalização da taxa nominalfor semestral em vez de mensal, o rendimento diminui $1.000.

47. Calcular o prazo em que um capital dobra se aplicado a juros nominais de 120,17% a.a

capitalizados diariamente.RESPOSTAS DOS EXERC Í C IOS PROPOSTOS

1) 3,32% a.m.; 10,30% a.t.; 21,66% a.s. 2) 5% a.m.; 15,76% a.t.; 34,01 % a.s. 3) 82,12% a.a.; 79,59% a.a.; 74,90% a.a.;69% a.a. 4) 34,12% a.a.; 35,10% a.a.; 36,64% a.a. 5) 101,90% a.a. 6) 5 meses 7) a) 21%; b) 309,60%; c) 58,57%; d)28,95%; e) 2,77%; f) 5,6150% 8) 54,33%; 24,23%; 195,89%; 1985,24% 9) $14.034,60 10) $57.980,0411) a) $2.519,42; b)$2.859,01; c) $2.435,9412) 8 meses 13) a) 29,87%; b) 43,24%; c) 1,9796%; d) 10,30%; e) 57,99%; f) 27,35% 14) As duassão equivalentes 15) trimestral 16) 4 meses 17) 1,2371 % a.m. 18) $4.308,1019) 2 meses 20) 3,1642% a.m. 21) 6,1678%a.a. 22) A 23) $6.355,18; 2 anos 24) 42 meses 25) 12 anos 26) $23.870,48 27) 3 anos 28) $10.000,00 29) $10.000; 3 anos30) $666.666,56 31) $1.184.804,91; $979.177,61; $668.791,48 32) $60.000,73; $50.000,73 33) 4,5226% a.a. 34) oferta A35) $3.161,79 36) 9% a.t. 37) $54.370,05 38) $4.000,00 e 2 anos 39) 11,6123% a.a. 40) $2.628,0541) $66.852,67 42)$1.900,0043) $1.910,50 44) $20.302,4745) 1 ano 46) 42.884,8747) 208 dias

2 . 9 - V A L O R A T U A L E V A L O R N O M I N A L

Os conceitos de valor atual ou presente e valor nominal, futuro ou final são os mesmos que osvistos em juros simples, só que o cálculo é diferenciado, pelo regime de capitalização composta.Nesse caso, o diagrama seria:



42

neste caso, temos:

O cálculo para esse tipo de problema pode ser encontrado de diversas maneiras. Nesse momento,no entanto, nos interessa saber somente alguns.

Vejamos um exemplo:Um título tem valor nominal de R$ 3.000,00. Sabe-se que a taxa de juros ao mês é de 5%.

Qual seria o valor atual se fosse liquidado dois meses antes do vencimento?

Pela fórmula

Na HP 12C veja como seria o cálculo:

Entrada Tecla função Saída3000 FV 3000,00

5 i 5,002 n 2,00

PV -2721,09

2 . 1 0 - D ES C ON TO C OMPOS TO

O Desconto Composto pode ser entendido da mesma forma que o Desconto Simples.Entretanto, a taxa de desconto é composta, e o processo é o inverso da capitalização comtaxa de juros compostos. Aqui também a taxa incide sobre o Valor Nominal, do qual éretirada a parcela correspondente à taxa de desconto, resultando no Valor Atual, Presenteou Capital, dependendo de cada caso.

ou( ) N iV

n =+⋅ 1 ( )ni

N V

+

=

1

2

0,05

R$ 3.000,00

( )ni

N V

+

=

1

09,721.2=V



43

Esse tipo de desconto também é muito utilizado no mercado, principalmente nas áreascomercial e de análise de investimentos, onde os fluxos são descontados e trazidos ao seuValor Presente para ver quanto de caixa esse fluxo futuro "vale" hoje.

A visualização é a mesma de Descontos Compostos:

Analogamente ao Desconto Simples, existem o Desconto Racional (Por Dentro) e Comercial(Por Fora) Compostos.

2 . 1 1 - D E SC O N TO RA C IO N A L ( P O R D E N TR O ) E D E SC O N TO C O M E RC I A L( P O R F O R A )

A principal diferença entre os dois métodos de desconto acima citados está na metodologiade cálculo.

No cálculo por dentro, adotado no desconto racional, não se trabalha com a taxa de desconto, e

sim com a taxa de juros objetivada na operação do desconto. Desta maneira, o desconto pode sercalculado descontando-se o valor final pela taxa de juros, da maneira convencional. Veja fórmulaabaixo:

Essa é a maneira mais convencional de desconto utilizada para análise de investimentos e fluxos decaixa futuros, pois se trata exatamente da fórmula do Valor Presente e Valor Futuro.

No cálculo por fora, utiliza-se a taxa de desconto para o cálculo do desconto comercial. Nessametodologia a taxa de desconto incide sobre o valor final.

Veja a diferença na metodologia:

Valor Nominal

Desconto Composto

Valor Descontado

( )niN

V +

=

1( ) N iV

n =+⋅ 1 V N DR −=

( )nd

V N

−=

1( )nd N V −⋅= 1 ( )nC d N N D −⋅−= 1ou



44

Em uma linguagem comercial, diríamos que o cálculo por fora é semelhante ao cálculo damargem bruta por meio da relação lucro bruto e preço de custo, enquanto que o cálculo por dentroé semelhante ao cálculo da margem bruta pela relação de lucro bruto e preço de venda.

Para exemplificar ainda melhor essa diferença, veja os exemplos a seguir.

Exemplo:

Um título tem Valor Nominal de R$ 5.000,00 e será resgatado com três meses deantecedência. Calcule o seu Valor Atual ou Presente, pelo método de Desconto Racional(i = 2,5 % a.m.) e pelo método do Desconto Comercial (d = 2,44 %). Verifique também ataxa de juros do processo do desconto comercial e comparando com a taxa do DescontoRacional (inclusive os resultados obtidos).



X Y 0,0000f 0,0000

CLX 0,0000

5.000 CHS FV 5.000,00002,5 i 2,500003 n 3,0000

PV 4.642,9971 ::> Valor Atual pelo Desconto Racional

0,0244 CHS ENTER -0,02441 + 0,97563 Y x 0,9286

5.000 x 4.642,8578 ::> Valor Atual pelo Desconto Comercial

5.000 X Y 1,0769

1 - 0,0769STO 1 0,0769

100 x 7,6923 ::> Taxa de Juros do Período Equivalente

RCL 1 0,07691 + 1,07693 1/x Y x 1,02501 - 0,0250

100 x 2,5010 ::> Taxa de Juros Equivalente Comercial

Repare que os dois métodos, cada um com a sua metodologia de cálculo, obtêm os mesmosresultados no Valor Presente. Isso pode ser evidenciado pela igualdade entre a taxa de juros usadano Desconto Racional e a taxa de juros equivalente encontrada no Desconto Comercial.



45

É importante notar que as taxas utilizadas são diferentes, e equivalentes. As duas metodologiasdariam resultados diferentes se a mesma taxa fosse usada para ambas. Por isso convém saber bemqual a metodologia utilizada antes de fazer o cálculo.

2 . 1 2 – T A X A D E D E S C O N T O E T A X A D E J U R O S E Q U I V A L Ê N C I A

As taxas de Juros cobradas pelos bancos são calculadas com base em uma taxa de jurosefetiva objetivada. Sabendo disso e como visto no exercício anterior, as taxas de descontosão equivalentes à determinada taxa de juros quando o "Valor Descontado" obtido com odesconto for reaplicado a uma taxa de juros que recupere o valor original ou Nominal daoperação.

Desta forma, como incidem sobre bases diferentes, essas taxas nunca serão iguais (em

termos absolutos). Isso é, você nunca irá reaver um Valor Nominal reaplicando o ValorDescontado a uma taxa de juros igual à taxa de desconto.

Assim:

As fórmulas para a conversão das taxas equivalentes podem ser vistas abaixo:

Exemplo:Compra a vista e Compra a prazo

Passando na rua, você vê uma faixa na frente de uma loja que diz:

( )nid

+

−=

1

11 1

1

1

−

−

=n

d

d iou



46

Você então entra na loja querendo comprar um computador. O preço na etiqueta é de R$

1.500,00. No momento, porém, você só tem R$ 1.300,00.

Conversando com o vendedor, você descobre que os juros cobrados no crediário são de7,3% a.m. Aplicando os conceitos da Matemática Financeira, qual o desconto que vocêpode pedir ao vendedor para pagar a vista?


X Y 0,000f 0,000

CLX 0,000

0,073 ENTER 0,07301 + 1,07302 Y x 1/ x CHS -0,86861 + 0,1314

STO 1 0,1314100 x 13,1439 Taxa de Desconto Equivalente (2 meses)

RCL 1 0,13141 - 0,8686

1.500 x CHS 1.302,8422 Valor Líquido Descontado

1.500 - CHS 197,1578 Valor do Desconto

Como a loja coloca juros implícitos no prazo concedido para o cliente pagar (lembre-se, em todoadiamento de pagamentos, juros são cobrados sobre capital) esses juros podem ser retirados se ocliente pagar a vista. Por esse motivo, o desconto a ser pedido ao vendedor é de 13,14%, para quevocê consiga comprar o computador com R$ 1.302,84.

2 . 1 3 – T A X A D E J U R O S E T A X A D E D E S C O N T O

Nesse tipo de problema, quando a opção a ser escolhida envolve séries de pagamentos emprazos concedidos, o cálculo da equivalência das taxas não poderá ser feito da maneira usual. Nestecaso, como ainda não vimos séries uniformes, o cálculo deve ser feito para que tenhamos umparâmetro a julgar. Veja o exemplo :




47


X Y 0,0000f 0,0000

CLX 0,00000,045 ENTER 0,0450

1 + 1,04503 Y x 1/ x CHS -0,87631 + 0,1237

100 x 12,3703 ::> Taxa de Desconto Equivalente (3 meses)

Exemplo:

Do ponto de vista do comprador, o que é mais vantajoso: um desconto de 12% ou um prazo de30, 60 e 90 dias no pagamento de um produto, se os juros embutidos na operação do crédito ao

cliente são de 4,5% a.m.?

À primeira vista parece mais um caso no qual se pode, facilmente, achar a taxaequivalente de desconto da taxa dada de juros, ou a taxa equivalente de juros da taxadada de desconto e comparar.

A B1 Dados Resolução2 Taxa de Juros (a.m.) 4,50 %3

Período 3,04 Tx. Desconto Equiv. 12,37 %

Porém, como os prazos concedidos incluem os pagamentos parciais de 1/3 do valor total em 30,60 e 90 dias, ao invés de um só pagamento em 90 dias, há uma diferença fundamental naincidência dos juros e no cálculo do desconto equivalente.

Na HP 12C, o cálculo é feito desta forma:

Entrada Tecla função Saída

f 0,0X Y 0,0f 0,0

CLX 0,00,045 ENTER 0,0450

1 + 1,04501 Y x 1/ x 0,95693 x 2,8708

STO 1 2,8708 ::> 1º Pagto. Descontado



48

0,045 ENTER 0,04501 + 1,04502 Y x 1/ x 0,91573 x 2,7472


0,045 ENTER 0,04501 + 1,04503 Y x 1/ x 0,87633 x 2,6289


RCL 1 2,8708RCL 2 + 5,6180RLC 3 + 8,2469 ::> Valor Presente da Série

9,00 CHS -0,91631 + 0,0837

100 x 8,3677 ::> Taxa de Desconto Equivalente

2 . 1 4 – EX E R C Í C I O S P R O P O S T O S - SÉRIES UNIFORMES – SÉRIES VARIADAS

###+-, na resolução dos exercícios considerar ano comercial de 360 dias

1. Um financiamento de $132.000 será liquidado em 14 prestações mensais. Se a taxa de jurosefetiva cobrada for de 3% a.m., calcular o valor da prestações na hipótese de serem pagas:a) postecipadamente (final de cada mês); b) antecipadamente (inicio de cada mês).

2. Uma pessoa deposita $2.450 todo final de mês em um fundo de investimento que paga jurosnominais de 120% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o montante da aplicação no fimdo 16º mês.

3. Uma compra no valor de $16.000 será paga por meio de uma entrada de 20% e prestaçõesmensais de $4.038,02. A juros efetivos de 10% a.m., calcular o número de prestaçõesnecessárias para liquidar a dívida.

4. Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $307. A juros efetivos de 10% a.m.,qual deveria ser seu valor à vista?

5. Calcular o valor da aplicação mensal necessária para acumular ao fim de 16 meses ummontante de $2.300.000 se a aplicação rende juros efetivos de 6% a.m.

6. Por uma compra no valor de $5.000 será paga uma entrada de 20% e prestações quinzenaisdurante dois anos. A juros efetivos de 26,9735% a.a., encontrar o valor da prestações.



49

7. Um investidor aplicou mensalmente $4.900 durante 14 meses. Se no fim do 14÷ mês o saldoda aplicação foi de $110.497,40, calcular a taxa de juros efetiva ganha.

8. Um bem de $350 pode ser pago por meio de uma entrada mais quatro prestações bimestraisde $100. A juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor da entrada.

9. Considerando uma remuneração efetiva de 6% a.m., calcular o valor da aplicação necessáriaque permita sacar mensalmente $3.280 durante os próximos 19 meses.

10. Uma pessoa financiou uma compra no valor de $43.000 em 12 prestações mensais de$7.932,64. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês paga na operação.

11. A juros efetivos de 8% a.m., em que prazo pode ser liquidado um financiamento de $2.300pagando prestações mensais de $278,98?

12. Determinar a taxa de juros efetiva ao mês à qual foi tomado um empréstimo de $132.000,pelo qual deve-se pagar 13 prestações mensais de $15.793,91.

13. Um eletrodoméstico de $330 será pago por meio de uma entrada de 15% mais 8 prestaçõesmensais. A juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor das prestações na hipótese de serem:a) postecipadas; b) antecipadas.

14. Pretende-se acumular um capital de $400.000 depositando semanalmente $9.651,05 em umaaplicação que rende juros efetivos de 36,05% a.m. Quantos depósitos serão necessários?

15. Por uma compra no valor de $500 paga-se uma entrada de 25% mais 12 prestações mensais,a primeira paga no ato da compra juntamente com a entrada. A juros efetivos de 8% a.m.,calcula;r o valor da prestações.

16. Um empréstimo de $1.000.000 será pago com 11 prestações anuais de $150.000. Calcular ataxa de juros efetiva cobrada na hipótese das prestações serem:a) postecipadas; b) antecipadas.

17. Um bem é vendido à vista por $15.000, ou a prazo em prestações mensais de $885,71. Ajuros efetivos de 3% a.m., calcular o número de prestações necessárias.

18. Na compra de um espectrômetro cujo valor à vista é de $50.000, um laboratório farmacêuticodeverá pagar uma entrada e 6 prestações mensais de $8.391,83. A juros efetivos de 7%a.m., calcular o valor da entrada.

19. Uma pessoa, ao comprar um carro cujo preço à vista é de $14.000, teve seu usado avaliadoem $6.000 e aceito como entrada. O saldo será pago em 20 parcelas mensais iguais a jurosefetivos de 6% a.m. Calcular o valor da prestação mensal se a primeira parcela for paga:a) um mês após a compra; b) na data da compra.

20. Por um equipamento cujo valor à vista é de $40.000 paga-se uma entrada de 20% mais 18prestações mensais com carência de 3 meses até o início da primeira. A juros efetivos de3% a.m., determinar o valor das prestações.

21. Uma pessoa deposita mensalmente $120 durante 13 meses em uma aplicação que rendejuros efetivos de 4% a.m. Se pretende resgatar o capital por meio de 3 saques mensais iguaise consecutivos, o primeiro um mês depois do último depósito, calcular o valor de cada saque.



50

22. Por política de crédito, nas vendas à prazo, uma loja aumenta em 25% o valor à vista. Dessevalor majorado, 20% é pago como entrada, e o saldo restante é dividido por seis e pago em6 parcelas mensais iguais. Determinar a taxa de juros efetiva mensal cobrada nofinanciamento.

23. Um financiamento será pago em 8 prestações mensais de $66.000 nos próximos 8 meses, emais 14 de $13.500 nos meses subseqüentes. Se as taxas de juros efetivas fossem de 10%a.m. para o primeiro ano e 15% a.m. para o segundo ano, respectivamente, e o vendedorpropuser a possibilidade de o débito ser liquidado por meio de um pagamento único no 5 º

mês, qual o valor desse pagamento?

24. Um eletrodoméstico será pago por meio de uma entrada mais 12 prestações mensais a jurosefetivos de 4% a.m. Se cada prestação é igual a 10% do valor à vista, sendo a primeira pagaapós um período de carência de 4 meses, calcular o percentual sobre o valor à vista pagocomo entrada.

25. Uma instituição financeira concede um período de carência para início dos reembolsos emoperações de empréstimo. Um financiamento de $380.000 será pago em 7 prestaçõesmensais de $159.748,88 cada. A juros efetivos de 15% a.m., determinar o período decarência concedido.

26. O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por $800, ou em 8 prestações mensais de$128,83. Se a taxa de juros cobrada for uma taxa nominal anualizada, calculá-la nas seguinteshipóteses sobre a capitalização dos juros:a) mensal; b) semestral; c) trimestral; d) bimestral; e) anual.

27. Uma pessoa deposita mensalmente $280 em um fundo de investimento que paga jurosefetivos de 5% a.m. No futuro pretende resgatar o investimento por meio de 5 saques

semestrais de $14.253,54, o primeiro iniciando 5 meses após o último depósito. Quantosdepósitos serão necessários?

28. Um equipamento cujo valor à vista é de $33.000 pode ser pago por meio de uma entrada e 18prestações mensais de $2.489,91. Se há um período de carência de 3 meses para início dopagamento das prestações, calcular o valor da entrada considerando-se juros efetivos de 5%a.m.

29. Um equipamento de $6.000 será pago com uma entrada de 50% e tantas prestações mensaisde $880 quantas forem necessárias, mais um pagamento residual inferior ao valor daprestação, que deve ser efetuado um mês após a data do vencimento da última parcela. Se aprimeira prestação vence 3 meses após a data da compra e a taxa de juros efetiva cobrada forde 7% a.m., determinar quantas prestações serão necessárias e calcular o valor do pagamentoresidual.

30. Para liquidar um financiamento dispõe-se de duas formas de pagamento financeiramenteequivalentes: na primeira pagam-se 13 prestações mensais de $834 e, na segunda, 16prestações de $708 mais uma determinada quantia paga no fim do 17º mês. A juros efetivosde 7% a.m., calcular o valor da referida quantia.

31. Uma pessoa tomou um empréstimo de $200.000 contratado a juros efetivos de 2% a.m. paraser liquidado através de 10 prestações mensais. Após serem pagas 5 prestações, resolvetomar $80.000 adicionais, incorporando-se essa nova dívida ao saldo da primitiva em um só



51

negócio. À mesma taxa de juros, calcular o valor da nova dívida e sua prestação paraliquidação nos 5 meses restantes.

32. Um carro é vendido por $10.000 à vista, ou por meio de uma entrada de 10% mais umdeterminado número de prestações mensais de $500. Deve-se pagar, também, além das

prestações mensais, 3 parcelas semestrais de $632,82. A juros efetivos de 2% a.m.,determinar o número de prestações mensais necessárias.

33. Um empréstimo será reembolsado por meio de 25 prestações mensais de $20.000. Querendoabreviar em um ano o prazo de pagamento, o mutuário propõe efetuar um pagamentoextraordinário juntamente com a sexta prestação. A juros efetivos de 1 % a.m., determinar ovalor desse pagamento.

34. Uma pessoa compra um apartamento de $150.000 nas seguintes condições: entrada de$50.000 mais um determinado número de prestações mensais de $1.338,99, com um ano decarência para início dos pagamentos. Se a taxa de juros efetiva contratada é de 1 % a.m.,calcular o número de prestações.

35. Um bem será pago em 4 prestações trimestrais de $135.000. Para suavizar os pagamentos, ocomprador pediu a modificação do prazo para 15 prestações mensais. Sendo a taxa de jurosefetiva cobrada de 7% a.m., calcular o valor das prestações mensais.

36. Uma máquina é vendida em 18 prestações mensais postecipadas. As prestações de ordemímpar são de $2.000 e as de ordem par são de $2.800. A juros efetivos de 3% a.m., calcular ovalor do financiamento.

37. Por um financiamento pagam-se, ao término de um período de carência de 5 meses, 5prestações mensais de $1.500 e, a seguir, mais 4 prestações de $1.000. A juros efetivos de7% a.m., calcular o valor do financiamento.

38. Um funcionário prevendo sua aposentadoria resolve efetuar, durante 2 anos, depósitosmensais iguais em um fundo de pecúlio. O capital acumulado será resgatado por meio de 10retiradas semestrais de $80.000, ocorrendo a primeira 2 anos após o último depósito. Se orendimento efetivo do fundo é de 4% a.m., determinar o valor dos depósitos mensais.

39. Um capitalista comprou um prédio de apartamentos pagando $825.000 de entrada eprometendo pagar $180.000 de 3 em 3 meses, durante 5 anos. Se a taxa de juros efetivaaplicada for de 4,5% ao trimestre, pede-se: a) calcular o valor à vista do prédio; b) casodeixasse de efetuar os 12 primeiros pagamentos, qual deveria ser o pagamento feito novencimento da 13ª prestação para ficar em dia com os pagamentos?; c) quanto deveria pagardepois de efetuar 8 pagamentos, caso desejasse liquidar a dívida por meio de um únicopagamento por ocasião do vencimento normal da 9ª prestação; quanto deverá pagar além daprestação então devida; d) se deixasse de pagar as 10 primeiras prestações, quanto deverápagar no vencimento da 11ª prestação de modo a liquidar a dívida?

40. Um financiamento será pago por meio de um determinado número de prestações mensais.Sabe-se que a razão entre o montante das prestações e o valor do financiamento é3,1721682. A juros efetivos de 8% a.m., determinar o número de prestações.

41. Um bem cujo valor à vista é de $5.000 será pago por meio de uma entrada de 20%,18prestações mensais de $310, e mais uma quantia de $905,44 paga junto com a últimaprestação. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento.



52

42. Um automóvel cujo valor à vista é de $20.000 será pago por meio de uma entrada de 10%, 24prestações mensais de $800, e 4 parcelas semestrais iguais. A juros efetivos de 3% a.m.,calcular o valor das parcelas semestrais.

43. Um bem cujo valor à vista é de $8.000 será pago por meio de uma entrada de 25%, 9prestações mensais iguais, e um pagamento final de $400 um mês após a última prestação. Sefor concedida uma carência de 3 meses para início do pagamento das prestações, calcular ovalor das prestações considerando juros efetivos de 3% a.m.

RESPOSTAS DOS EXERC Í C IOS1) a) $11.685,48; b) $11.345,12 2)$88.076,84 3)4 4)$2.091,80 5)$89.589,936)$105,347)7% a.m. 8)$34,72 9)$36.598,6210)15% a.m. 11)14 meses 12)7% a.m. 13)$43,40; $41,33 14)19 15)$46,07 16) 9,4377% a.a. e 11,9291 % a.a. 17)2418)$10.000 19)$697,48 e $658 20)$2.468,37 21)$718,97 22) 8,8950% a.m. 23)$633.988,1724)16,5670% 25)5 meses26)72% a.a.; 83,70% a.a.; 76,41 % a.a.; 74,16% a.a.; 101,22% a.a. 27)40 28)$6.599,98 29)4; $636,69. 30)$890,9531)$184.946,64, $39.237,9832)1833)$209.956,2834)180 35)$36.619,70 36)$32.927,13 37)$6.534,45 38) $3.446,34.

39)$3.166.428,56; $3.088.784,39; $1.535.205,05; $3.799.794,47. 40)15 41)5% a.m. 42)$1.700,24 43)$778,16

2 . 1 5 – S I S T E M A S D E A M O R T I Z A Ç Ã O

EMPRÉSTIMOS:

Em termos financeiros, a dívida surge quando uma certa importância é emprestada por umcerto prazo de tempo. Quem assume a dívida obriga-se a pagá-la da seguinte forma: ovalor tomado emprestado mais os juros devidos, no prazo estipulado no acordo inicial.

Os empréstimos classificam-se em:

Curto e médio prazos

: caracterizam-se por serem saldados até 3 anos.

Longo prazo

: sofrem um tratamento especial por existir várias modalidades de restituiçãodo principal e dos juros. Tais empréstimos têm suas condições previamente estipuladas porcontrato entre as partes, ou seja, entre o credor e o devedor.

AMORTIZAÇÃO

Conceito: Ato de pagar as prestações que foram geradas mediante tomada deempréstimo.

Período de amortização

: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizaçõessucessivas.

Prazo de amortização

: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortizações.

Parcelas de amortização : corresponde às parcelas de devolução do principal, ou seja, docapital emprestado



53

Nos sistemas de amortização os juros serão sempre cobrados sobre o saldo devedor,considerando a taxa de juros compostos, sendo que, se não houver pagamento de umaparcela, levará a um saldo devedor maior, calculando juro sobre juro.

Saldo Devedor

é o estado da dívida , ou seja, o débito, em um determinado instante detempo.

2 . 1 6 – S I S T E M A S D E A M O R T I Z A Ç Ã O

Definição

: meios pelos quais vai se pagando uma dívida contraída, de forma que sejaescolhida pelo devedor a maneira mais conveniente para ele.

Qualquer um dos sistemas de amortização pode ter, ou não, prazo de carência.

Prazo de carência

: período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento daprimeira amortização. Durante esse prazo o devedor só paga os juros.

2 . 1 7 – S I S T E M A S D E A M O R T I Z A Ç Ã O C O N S T A N T E - S A C

As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período,

multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária) pelo saldo devedor existente noperíodo anterior.Por este sistema o credor exige a devolução do principal em n parcelas iguais, incidindo os jurossobre o saldo devedor.

Juro

Amortização

Períodos

Neste sistema as prestações são continuamente

decrescentes.



54

C : 5 0 . 0 0 0

i: 1,5% a.m.

Amortizações mensais : 5

O principal foi emprestado no início do 1º ano e as prestações e os juros serão pagos nofim de cada ano, ou seja, sempre sobre o saldo devedor do período anterior. Aamortização é anual, a prestação é obtida somando-se, ao final de cada período, aamortização com os juros.

50.0005

= 10.000

Ano Saque Saldodevedor

Amortização Juros Prestação

0 50.000,00 50.000,00 -1 - 40.000,00 10.000,00 750 10.750,002 - 30.000,00 10.000,00 600 10.600,003 - 20.000,00 10.000,00 450 10.450,004 - 10.000,00 10.000,00 300 10.300,005 - - 10.000,00 150 10.150,00

Total - - 50.000 ,00 2.250,00 52.250,00

2 . 1 7 – S I S T E M A D E A M O R T I Z A Ç Ã O F R A N C Ê S - P R I C E

Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros emprestações iguais entre si. A dívida fica completamente saldada na última prestação.

Juro

Amortização

Períodos



55

Precisamos calcular a prestação e separar a amortização dos juros.

C: 50.000

i: 1,5% a.m.

Amortizações mensais : 5

Calcular a prestação:

Teremos então 5 prestações iguais de R$ 10.455,48. Os juros serão aplicados sobre osaldo devedor do período anterior, como no sistema de amortização constante.

A amortização será calculada pela diferença entre a prestação e o juro, e o saldodevedor será calculado como sendo a diferença entre o saldo devedor do período anteriore a amortização do período:



0 50.000,00 50.000,00 - - -1 - 40.294 ,52 9.705,48 750 ,00 10.455,482 - 30.443 ,45 9.851,06 604 ,42 10.455,483 - 20.444 ,62 9.998,83 456 ,65 10.455,484 - 10.295,81 10.148,81 306,67 10.455,48

5 - -5,24 10.301 ,05 154 ,44 10.455,48

Total - 50.005 ,24 2.272,18 52.277,41

R = 50.000 = 50.000 ≈ 10.455,48

a 1,5┐5

4,78218



56

2 . 1 8 – S I S T E M A A M E R I C A N O

Após um certo prazo o devedor paga, em uma única parcela, o capital emprestado, ou

pode querer pagá-lo durante a carência. A modalidade mais comum é aquela em que odevedor paga juros durante a carência.

O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um fundo que iguale odesembolso a ser efetuado para amortizar o principal. Tal fundo é conhecido por “sinking fund” na literatura americana e, na brasileira, por “fundo de amortização”.

C : 5 0 . 0 0 0

i: 1,5% a.m.Amortização no 5º mês

Os juros são calculados sobre o saldo devedor, pagos no final.



0 50.000,00 50.000,00 - - -1 - 50.000,00 - 750,00 750,002 - 50.000,00 - 750,00 750,003 - 50.000,00 - 750,00 750,004 - 50.000,00 - 750,00 750,005 - 50.000,00 750,00 50.750,00

Total - 50.000 ,00 3.750,00 53.750,00

Há capitalização dos juros durante a carência:



0 50.000,00 50.000,00 - - -1 - 50.750,00 - 750,00

Juro

PrincipalPrestação

Períodos



57

2 - 51.511,25 - 761,253 - 52.283,92 - 772,674 - 53.068,18 - 784,265 - 50.000 ,00 3.068,18 53.068,18

Total - 50.000 ,00 6.136,36 53.068,18

2 . 1 8 – S I S T E M A D E A M O R T I Z A Ç Õ E S V A R I Á V E I S

As parcelas de amortização são contratadas pelas partes e os juros são calculadossobre o saldo devedor.

Neste caso, a devolução do principal (amortizações) é feita em parcelas desiguais. Istopode ocorrer na prática quando as partes fixam, antecipadamente, as parcelas deamortizações (sem nenhum critério particular) e a taxa de juros cobrada.

Nestas condições a taxa de juros também será sobre o saldo devedor. O empréstimo éamortizado mensalmente conforme abaixo:.1º mês – 10.0002º mês – 15.0003º mês – 10.0004º mês – 15.000

C : 5 0 . 0 0 0

i: 1,5% a.m.Amortização: 4 meses

Amortização

Juro

Períodos



58

Coloca-se inicialmente as amortizações, a seguir são calculados os juros sobre o saldodevedor do período anterior e calculada a prestação:

Ano Saque Saldodevedor Amortização Juros Prestação

0 50.000,00 50.000,00 - - -1 - 40.000,00 10.000,00 750,00 10.750,002 - 25.000,00 15.000,00 600,00 15.600,003 - 15.000,00 10.000,00 375,00 10.375,004 - 0,00 15.000,00 225,00 15.225,005 -

Total - 50.000,00 1.950,00 51.950,00

2 . 1 9 – EX E R C Í C I O S P R O P O S T O S

1. Um empréstimo de $300.000 pelo SFA deverá ser resgatado em 180 prestações mensais, taxa

de 1,5% a.m. Qual a quota de amortização contida na 137ª prestação?

Resp.: $2.509,29

2. Um empréstimo de $80.000, contraído pela Tab. Price, juros de 12% a.a., deverá ser resgatado

em 18 parcelas mensais. Qual a parcela de juros contida na 13a prestação?Resp.: $282,74

3. Um financiamento de $120.000 foi contraído pelo SFA para ser amortizado em 10 prestações

semestrais, juros de 4% a.s. Sendo a carência de 2 anos – a primeira amortização ocorrerá ao

final do 2º ano – e os juros capitalizados na carência, qual o valor das prestações?

Resp.: $16.642,27

4. Um empréstimo deverá ser resgatado através de 48 prestações mensais de $1.468,75. Tendo a

contratação do empréstimo ocorrido pela Tab. Price, sem carência, à taxa de 18% a.a., qual o

valor do empréstimo?Resp.: $50.000

5. O resgate de um financiamento, contraído pela Tab. Price, juros de 15% a.a., deverá ser feito

através de 36 prestações mensais de $2.213,21. Se o financiamento for de $60.000 e os juros

capitalizados durante a carência, quantos meses decorreram entre a liberação do empréstimo e

o pagamento da primeira amortização?

Resp.: 6 meses



59

6. Um empréstimo no valor de $200.000 contraído pelo SFA, taxa de 3,5% a.s., deverá ser

resgatado em 8 prestações semestrais, sem carência. Qual o saldo devedor imediatamente após

o pagamento da 5a. prestação?

Resp.: $81.514,547. Contratado pelo SAC, à taxa de 12% a.a., conversível mensalmente, um financiamento de $

270.000 deverá ser resgatado em 180 prestações mensais. Determine o valor da 100ª

prestação.

Resp.: $2.715

8. Um empréstimo no valor de $100.000 foi contratado pelo SAC, à taxa de 12% a.s., com

carência de 18 meses, juros capitalizados na carência, para ser resgatado em 10 prestações

semestrais – a 1a. amortização ao do 3º semestre. Qual a parcela de juros contida na prestação

que deverá ser desembolsada aos 1440 dias contados da liberação do empréstimo?

Resp.: $7.526,40

9. Um financiamento de $180.000 pelo SAC, taxa de 8% a.q., deverá ser resgatado em 12

prestações quadrimestrais – a 1a amortização ao final de 2 anos, juros pagos na carência. Qual

o total de juros que o tomador desembolsará ao longo do prazo de financiamento?

Resp.: $165.600.

10. Um empréstimo de $150.000 contratado pelo SAM à taxa de 1,25% a.m., deverá ser

resgatado em 150 prestações mensais, sem carência. Qual o valor da 98ª prestação?

Resp.: $1.940,91

11. Um empréstimo será amortizado pelo SFA em 15 prestações mensais. Os valores da 8ªe 12ª

quotas de amortização são, respectivamente, $7.273,87 e $8.186,81. Qual o valor do

empréstimo?

Resp.: $110.000

12. Uma empresa obteve um empréstimo de $2.000.000, pagável ao longo de 10 anos, segundo as

regras do Sistema Price, taxa de 18% a.a. Se na data de vencimento da 74ª prestação, além do

pagamento desta a empresa efetuar uma amortização extraordinária de $300.000,

determine: (a) o valor das prestações originais; (b) o valor das novas prestações se ficar

acertada a manutenção do número original de prestações remanescentes.

Resp.: (a) $36.037,04; (b) $26.961,67

13. Um empréstimo no valor de $35.000, à taxa de 2,3% a.m., foi contraído pelo SPCPG, para ser

resgatado em 120 prestações mensais imediatas postecipadas. Qual o valor da 75ª prestação?

Resp.: $1.605,31

14. Uma empresa adquiriu uma sala comercial, cujo valor à vista é de $150.000, pagando $15.000

de entrada e o restante em 45 pagamentos iguais mensais e postecipados (SFA), juros de 5%



a.m. Imediatamente após o pagamento da 25ª prestação, a empresa realizou um pagamento

extraordinário de $50.000 e refinanciou o saldo devedor em 4 prestações mensais, juros de 3%

a.m. Qual o valor das novas prestações?

Resp.: $12.013,36

apostila financeira - 2010 - hp12c

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