matematica financeira com a hp12c

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CURSO MATEMÁTICA FINANCEIRA COM A HP12C

É expressamente proibido cópia, reprodução parcial, reprografia, fotocópia ou qualquer forma de extração de informações deste sem prévia autorização dos autores conforme legislação vigente.

Professor: Marcos Alvarenga Dias

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Sumario Revisão inicial das operações matemáticas Princípios e conceitos fundamentais da matemática financeira Juros e capitalização simples: Juros simples Montante, capital, prazo e taxa Juros e capitalização composta: Cálculo do montante Período fracionário Juros compostos Taxas: Cálculo da taxa Desconto Bancário Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos: Sistema de Amortização Constante (SAC) Sistema Price

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Ligar e desligar a calculadora

Liga a calculadora. Pressionar ON novamente desligará a calculadora. A

calculadora desliga-se automaticamente entre 8 e 17 minutos após ser utilizada. O símbolo de bateria fraca (*) aparece quando a energia da bateria estiver quase esgotada. Consulte a seção a seguir, Substituindo as baterias, para obter instruções sobre como substituir as baterias. As teclas Muitas teclas da calculadora financeira HP 12c executam mais de uma função. A função principal de uma tecla é indicada pelos caracteres impressos em branco na parte superior dessa tecla. A(s) função(ões) alternativa(s) de uma tecla é(são) indicada(s) pelos caracteres impressos em dourado sobre a tecla e pelos caracteres impressos em azul na parte inferior da tecla. Para realizarmos a troca do ponto pela vírgula e vice-versa, devemos proceder da seguinte forma: Desligue a calculadora com a calculadora desligada, pressione ao mesmo tempo as teclas ON e . (ponto) Solte a tecla ON e logo após a tecla . (ponto) 1.252,32 (Sistema Brasileiro – vírgula separando as casas decimais) 1,252.32 (Sistema Americano – ponto separando as casas decimais) RPN A HP-12C opera com o sistema de entrada de dados RPN (Notação Polonesa Reversa), onde introduzimos primeiro os dados, separados pela tecla ENTER e depois as operações. Tal sistema torna os cálculos extensos muito mais rápidos e simples. A diferença entre uma HP-12C e as calculadoras convencionais está na forma de entrada dos dados. As calculadoras convencionais executam cálculos de uma forma direta, ou seja, obedecendo à seqüência natural da Matemática. Para fazermos a operação 2 + 3, tecla-se primeiro 2, depois o +, e em seguida o 3 e, finalmente, a tecla =. Resultado: 5.

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COMO FIXAR O NÚMERO DE CASAS DECIMAIS? Basta pressionarmos a tecla de prefixo f e o número de casas decimais que desejamos após a vírgula. Ex: f 2 – fixa duas casas decimais após a vírgula f 4 – fixa quatro casas decimais após a vírgula COMO LIMPAR SUA CALCULADORA ?

Teclas Significado

CLX Limpa os valores contidos no visor

f CLX REG Limpa “tudo”, exceto a memória de programação.

f CLX FIN Limpa os registros financeiros

f CLX PRGM Limpa a memória de programação (quando no modo PRGM)

f CLX Σ Limpa os registros estatísticos, os registros da pilha operacional e o visor.

Comparação das calculadoras financeiras HP 12C, HP 12C Platinum e HP 12C Prestige Os modelos de calculadora financeira HP 12C, HP 12C Platinum e HP12C Prestige não apresentam diferenças em termos de poder de cálculo. As principais diferenças são a capacidade de armazenar programas, o tipo de notação utilizada nos cálculos e a velocidade de cálculos. Uma maior capacidade para armazenar programas é interessante para quem pretende utilizar o recurso de programação da calculadora, o que permite automatizar e acelerar a execução de cálculos financeiros mais extensos ou com maior entrada de dados. Os modelos HP 12C Platinum e Prestige permitem armazenar até 400 passos de programas contra 99 passos na HP 12C tradicional. A HP 12C tradicional utiliza apenas a notação RPN (Reverse Polish Notation ou Notação Polonesa Reversa). Com esse método de cálculo, para fazer a soma de 3 mais 2 é necessário teclar 3 ENTER 2 e o sinal +. A notação RPN permite que cálculos encadeados sejam feitos mais rapidamente. A HP 12C Platinum e Prestige têm, além da notação RPN, o sistema algébrico (é mais intuitivo, pois é modo tradicional de fazer cálculos. Para fazer a soma de 3 mais 2 é necessário teclar 3 + 2 e o sinal de igualdade). A qualquer momento, o usuário pode escolher entre o método RPN e o método algébrico. Os modelos HP 12C Platinum e Prestige possuem maior velocidade cálculo do que a HP 12C tradicional, diferença que se faz sentir basicamente no cálculo de taxa de juros. Em resumo, podemos dizer que os três modelos são excelentes produtos (deve ser lembrado que a HP 12C é sucesso de vendas desde que foi lançada em 1981) e são fundamentais tanto para a aprendizagem como para a utilização prática de Matemática Financeira.

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Porque não encontro o resultado certo no cálculo financeiro? Ao realizar cálculos financeiros com a HP 12C dois tipos de erro podem acontecer: 1. Erro identificado a priori: está relacionado com a entrada de dados, é identificado por um número (o significado do número é encontrado no manual da calculadora) e impede a realização dos cálculos. Error 0 - Operações Matemáticas Divisão por zero, etc. Error 1 - Registradores de Armazenamento Estouro da capacidade de armazenamento. Error 2 - Registradores Estatísticos Componente estatístico errado. Error 3 - Registradores Financeiros Várias taxas internas de retorno. Error 4 - Memória Programa extenso ou erro de programação. Error 5 - Registradores Financeiros Excesso ou falta total de CHS no Registrador Financeiro. Error 6 - Registradores de Armazenamento Registradores estourados, programas extenso. Error 7 - Registradores Financeiros Excesso ou falta total de CHS nos Fluxos de Cx. Error 8 - Calendário Entradas de datas indevidas Error 9 - Testes de Circuito, Visor e Teclado. Problemas com a eletrônica, visor ou teclado. 2. Erro não identificado a priori: está relacionado com a não observação de determinados procedimentos sobre a calculadora, antes da realização do cálculo. Este último é realizado, mas o resultado estará errado. As principais situações capazes de gerar esse tipo de erro são as seguintes: 2.1 O indicador C não está no visor Na maioria dos cálculos financeiros, o indicador C deverá estar no visor, o que faz a calculadora utilizar o regime de juros compostos tantos para períodos inteiros com para períodos fracionários. A menos que num mesmo cálculo se deseje computar juros compostos para períodos inteiros e simples para períodos fracionários (operação raramente utilizada no Brasil), o indicador C deverá estar no visor da calculadora. 2.2 O indicador BEGIN (é mostrado no visor) ou END (não é mostrado no visor: se este não mostra BEGIN, significa que a calculadora está no modo END) está em desacordo com os dados de cálculos que se pretende fazer. Por exemplo, para calcular a taxa de juros de um financiamento em que o pagamento da primeira parcela ocorre um mês após sua contratação, a calculadora deverá estar no modo END, portanto sem BEGIN no visor).

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2.3 Não foi feito o apagamento dos registradores financeiros (f FIN) antes da introdução dos dados, no caso dos cálculos envolvendo n, i, PV, PMT e FV. 2.3 Não foi feito o apagamento dos registradores financeiros e operacionais (f REG) antes da introdução dos dados, no caso dos cálculos envolvendo fluxos de caixa (cálculo de NPV ou IRR). Revisão inicial das operações matemáticas Pilha de memória A calculadora possui uma ilha com quatro memórias X, Y, W e Z. É a partir dos campos Y e X, que são feitas as operações matemáticas. ------ Z ------ W ------ Y ------ X (este é o que você vê, é o seu visor) Sempre que você apertar ENTER, o valor de X vai para Z, o de Y vai para W e o de W vai para Z.

Quando você apertar a tecla R↓ (Roll Down – roda para baixo) está

passa os valores que estão em X para Z, o de Z para W, o de W para Y e o de Y para X.

Se R↓ for pressionado 4 vezes consecutivas, o visor apresentará o

conteúdo dos registradores Y, Z, e W e os números voltarão a ocupar a sua posição inicial Pressione: 1 ENTER, 2 ENTER, 3 ENTER e 4. Os números estão registrados da seguinte forma, nos registradores especiais: (Z, W, Y e X) Z 1 4 3 2 1 W 2 1 4 3 2 Y 3 2 1 4 3 X 4 3 2 1 4 Inicio 1º 2º 3º 4º x POTENCIAÇÃO Y x Pressione Y calcula-se um numero elevado a uma determinada potencia desejada.

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Exemplo: 5 -3 3 Calcular 2 , 2 e (-2)

Pressione Visor Observação

2 ENTER 5 yx 32,00 Calculou-se 2 elevado a 5

2 ENTER 3 CHS yx 0,125 Calculou-se 2 elevado a –3, ou seja, 1 dividido pelo 2 elevado a 3.

2 CHS ENTER 3 yx -8,00 Calculou-se –2 elevado a 3

RADICIAÇÃO x Utilizando-se a tecla Y e 1/X podemos extrair a raiz de qualquer ordem, da seguinte forma Exemplo: 3___ 1/3 \/ 8 ou 8

Pressione Visor Observações

8 ENTER 3 1/x yx 2,00 Calculou-se a raiz cúbica de 8, ou seja, é o resultado de 8 elevado a 1/3

PORCENTAGEM (%) Um eletrodoméstico custa R$100,00, já acrescido de 18% de ICMS. Calcule o valor do imposto e do produto.


100 ENTER 100,00 Introduzir o valor da nota fiscal

18 % 18,00 Valor do ICMS

- 82,00 Valor do eletrodoméstico

Qual é o valor do COFINS de uma empresa que fatura R$1.580.000,00, sabendo-se que a taxa do imposto é de 3%.


1.580.000 ENTER 1.580.000,00 Introduzir o valor do faturamento

3 % 47.400,00 Valor do imposto

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ARREDONDAR UM NÚMERO: RND A utilização dessa tecla permite o arredondamento da parte fracionária de um número, visto que o número apresentado no visor após essa instrução passa a ser o número contido internamente. O critério de arredondamento utilizando pela calculadora é o convencionado internacionalmente, ou seja, de 0 a 4 arredonda-se para baixo e de 5 a 9 para cima. O exemplo a seguir facilita o entendimento. TECLAS VISOR SIGNIFICADO

TECLAS VISOR SIGNIFICADO

58,74583953 ENTER f 2 58,75 Número apresentado no visor com 2 casas decimais.

f 9 58,74583953

Comprovação de que o número completo com 8 casas decimais está contido na calculadora.

f 2 f RND 58,75 Número arredondado com 2 casas decimais.

f 9 58,75000000

Comprovação de que o número contido na calculadora passou a ser o número mostrado no visor após a instrução de arredondamento.

AS TECLAS STO e RCL A tecla STO serve para guardar e operar valores nas 20 memórias fixas existentes na HP 12C. Essas memórias serão armazenadas de 0 a 9 e .0 a .9 . A tecla RCL serve para chamar os valores de cada uma das 20 memórias para o visor. Exemplos 1) Guardar o número 15 na memória 1. Na HP 12C: 15 STO 1 2) Somar 100 ao conteúdo da memória 1, guardando o resultado na própria memória 1. Na HP 12C: 100 STO + 1 3) Chamar o conteúdo da memória 1 para o visor. Na HP 12C: RCL 1 Resp.: 115

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EXERCÍCIOS Resolva as Expressões 12 + 58 70 28 + 94 – 35 87 85 – 64 x 3 63 85 / 91 x 7 6,54 24 – 87 + 63 0 167 – 587 / 36 -11,67 157 * 15 + 98 2.453 125 + 587 – 164 x 548 300.304 258 –369 x 753 -951 -84.534 Resolva as potenciações 8 3 5 8

2 = 256 5 = 125 7 = 16.807 6 = 1.679.616 Resolva as radiciações 2 __ 3__ 4__ \/ 144 = 12 \/ 125 = 5 \/ 256 = 4 Qual é a porcentagem para e o resultado final

Valor Principal Porcentagem Resultado

125.000 50% + 62.500 187.500

859.000 20% - 171.800 687.200

963.258 60% + 577.954,80 1.541.212,80

800.259 85% + 680.220,15 1.480.479,15

366.300 32% - 117.216 249.084

580.000 78% + 452.400 1.032.400

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FUNÇÕES DE CALENDÁRIOS (DATE e ΔDYS) As funções calendários DATE e ΔDYS, na HP12C, são programadas para datas entre 15 de outubro de 1.582 até 25 de novembro de 4.046. FORMATO DA DATA – (MM/DD/AA e DD/MM/AA) Mês – Dia – Ano ====> pressione g M.DY EXEMPLO Introduzir 09 de abril de 1995. 1) - Introduz primeiro o mês => 4 2) - Pressione a tecla do ponto decimal => . 3) - Introduza os dois dígitos do dia => 09 4) - Introduza os quatro dígitos do ano => 1995


4.091995 ENTER 4.091995 Ajustar casa decimal para f6

DIA – MÊS – ANO => pressione g D.MY EXEMPLO Introduzir 09 de abril de1995. 1) – Introduzir primeiro o dia => 9 2) – Pressione a tecla do ponto decimal => . 3) – Introduza os quatro dígitos do ano => 04 4) – Introduza os quatro dígitos do no => 1995

Pressione Visor Observações

9.041995 ENTER 9.041995 Ajustar a casa decimal para f6

DATAS, FUTURAS e PASSADAS. Para calcular datas futuras ou passadas, proceder da seguinte forma: 1) – Introduza a data fornecida e pressione ENTER 2) – Introduza o numero de dias futuros ou passados 3) – Se a data for passado, pressione CHS 4) – Por fim, pressione g DATE, para calcular a data desejada.

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A data é apresentada num formato especial, onde os dígitos Dia, Mês e Ano ou Mês, Dia e Ano são isolados por separadores de dígitos. O digito à direita indica o dia da semana, como segue: 1 – Segunda – feira 2 – Terça – feira 3 – Quarta- feira 4 – Quinta – feira 5 – Sexta - feira 6 – Sábado 7 - Domingo EXEMPLO Compramos um eletrodoméstico em 09 de abril de 1995, para pagamento em 90 dias, qual é a data de vencimento?


g D.MY

Ativa o formato D,M e A. Na linha inferior do visor, do lado direito aparecerá D.MY

9.041995 ENTER 9.041995 Introduzir a data base

90 g DATE 8.07.1995 6 A data de vencimento é 08/07/1995, num sábado

NUMERO DE DIAS ENTRE DATAS Para o numero de dias entre duas datas , efetue o seguinte: 1) – Introduza a data mais antiga e pressione ENTER 2) – Introduza a data mais recente e pressione g ΔDYS A resposta apresentada é o numero de dias real entre as datas, incluindo os dias adicionais dos anos se houver.

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EXEMPLO Calcular o numero de dias entre 21 de março de 1993 e 09 de abril de 1995, na base de numero real de dias e na base de meses de 30 dias.


g D.MY Ativa o formato Dia, Mês e Ano

21.031993 ENTER 21.031993 Introduzir a data mais antiga

09.041995 g ΔDYS 749

Introduzir a data mais recente e aperte a tecla g ΔDYS, para calcular o numero de dias entre as datas. O visor apresentará o numero de dias real.

X↔Y 738

Apertando a tecla X↔Y, o visor apresentará numero de dias, com os meses a base de 30 dias.

CALCULANDO A IDADE Data de nascimento 18/02/1971 Data de hoje – exemplo - 20/04/2010


f clx 0,00 Limpa os registros

18.021971 ENTER 18.021971 Inserir a data mais antiga

20.042010 20.042010 Inserir a data mais recente

g ΔDYS 14.306,0000 Numero da dias entre datas

X↔Y 14.102,000 Ano com 360 dias

360 / 39,1722222 Numero de anos

39 - 0,1722222 Retirar anos

360 x 61,999999 Numero de dias

30 / 2,0666666 Numero de meses

2 - 0,0666666 Retirar meses

30 x 1,9999999 Numero de dias

39 ANOS

2 MESES

2 DIAS

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Princípios e conceitos fundamentais da matemática financeira A utilização das calculadoras financeiras, principalmente na fase inicial, empobrece o aprendizado, robotizando o estudante? - Como regra, não. Desde que os fundamentos do cálculo financeiro sejam adequadamente transmitidos e compreendidos – isto não exige excesso de fórmulas nem demonstrações matemáticas – o uso das funções financeiras embutidas nas calculadoras financeiras não traz qualquer prejuízo para o estudante. O papel das calculadoras financeiras é dar produtividade na realização dos cálculos financeiros Nas organizações, os cálculos financeiros são executados pelos sistemas informatizados. Mesmo assim, porque o conhecimento de Matemática Financeira é tão valorizado? Em primeiro lugar, nenhum sistema informatizado jamais fará todos os cálculos financeiros. Sempre haverá uma situação não contemplada inicialmente no desenvolvimento do sistema. Depois, há que se considerar que muitas vezes o problema não se resume a calcular. Também é preciso interpretar o cálculo realizado e isto o sistema não faz. A Matemática Financeira utilizada no Brasil é mais complicada do que aquela utilizada nos países desenvolvidos? Sim. Apesar do fim da inflação alta desde 1994, ela ainda precisa ser considerada em boa parte dos cálculos financeiros realizados no Brasil. Para dar um exemplo simples, quando se fala que a taxa de juros nos EUA está em 5% ao ano, este é um número definitivo. Aqui, quando dizemos que a SELIC é 16% ao ano, também é necessário saber qual é a taxa de real, e para isso é preciso escolher ou projetar um índice de inflação e fazer o cálculo da taxa real. Uma pessoa que não gosta de Matemática pode aprender a fazer os cálculos financeiros satisfatoriamente? Sim. A maioria das pessoas conhece as operações aritméticas de soma, subtração, multiplicação e divisão. A Matemática Financeira usa principalmente uma operação pouco ou nada habitual para essas pessoas que é a potenciação. É este detalhe que cria toda a mística da Matemática Financeira. É o calculo com potenciação – característica dos juros compostos – que faz com uma dívida que cresce 2% ao mês, depois de dez meses terá crescido 21,9% e não apenas 20%. Com uma adequada metodologia didática, a pessoa aprende a fazer o cálculo, com uma fórmula ou com uma função específica de uma calculadora financeira, do modo que lhe parecer mais amigável.

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Juros e capitalização simples Juros simples O regime de juros simples é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira. Considere o capital inicial C aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos. Foi efetuada uma aplicação de R$1.000,00 no dia 01/01/2002, a 10% a.a. durante 3 anos. Montar uma planilha da aplicação C = R$1.000,00 n = 3 anos i = 10% a.a.

Data Aplicação Juros Saldo Final

01/01/2002 1.000,00 1.000,00

01/01/2003 1.000 x 10% = 100 1.100,00

01/01/2004 1.000 x 10% = 100 1.200,00

01/01/2005 1.000 x 10% = 100 1.300,00

Pela Formula: J = C x i x n J = 1.000 x 10 x 3 100 1 J = 1.000 x 0,10 x 3 J = 1.000 x 0,30 J = 300,00 Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: No final de n períodos, o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M). Logo, teríamos: M = C + J = C + C.i.n = C(1 + i.n) Portanto, M = C(1+in).

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Montante, capital, prazo e taxa Exemplo A quantia de $3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante três meses. Calcule o montante ao final dos cinco anos. Pela formula: M = C(1+in) J = C x i x n M = C + J M = 3.000 ( 1 + 5/100 . 3 ) J = 3.000 . 0,05 . 3 M = 3.000 + 450 M = 3.000 ( 1 + 0,05 . 3 ) J = 3.000 . 0,15 M = 3.450 M = 3.000 ( 1 + 0,15 ) J = 450 M = 3.000 . 1,15 M = 3.450 Resolução pela hp12c Exemplo Seu amigo precisa de um empréstimo para começar mais uma empresa e pediu R$ 450,00 emprestados por 60 dias. Você empresta o dinheiro a juros simples ordinários de 7% a.a.. Qual é o valor dos juros acumulados que ele lhe deverá após 60 dias e qual será o valor total devido?



60 n 60,00 Registra o número de dias.

7 i 7,00 Armazena a taxa de juros anual

450 CHS PV – 450,00 Armazena o principal.

f INT 5,25 Juros ordinários acumulados.

+ 455,25 Valor total: principal mais juro acumulados.

OBS: Para calculo de juros simples é necessário que a taxa de juros esteja em anos e o tempo em dias.

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Exercício proposto: 1 – Calcular o juro de uma operação com 45 dias de prazo, sabendo-se que o capital é de R$100,00 e a taxa de juro é de 48% a.a. R = J =6,00 M = 106,00 2 – calcular o juro de uma operação com 90 dias de prazo, sabendo-se que o capital é de R$200,00 e a taxa de juro é de 5% a.a. R = J = 2,50 M = 202,50 3 – Calcular o juro e o montante de uma operação com 12 meses de prazo, sabendo-se que o capital é de R$100,00 e a taxa de juro é de 4% a.m. R = J = 48,00 M = 148,00 4 – Calcular o montante de uma operação com 6 meses de prazo, sabendo-se que o capital é de R$200,00 e a taxa de juro é de 5% a.m. R = J = 60,00 M = 260,00 5 – Calcular o valor do juro de uma operação com 60 dias de prazo, sabendo-se que o capital é de R$100,00 e a taxa de juro é de 24% ao mês. R = J = 48,00 M = 148,00 6 – Calcular o valor do juro de uma operação com 5 anos de prazo, sabendo-se que o capital é de R$300,00 e a taxa é de 25% ao ano. R = J = 375,00 M = 675,00 7 – Calcular o juro de uma operação com 25 dias de prazo, sabendo-se que o capital é de R$1.200,00 e a taxa de juro é de 8% a.m. R = J = 80,00 M = 1.280,00 8 – calcular o juro de uma operação com 60 dias de prazo, sabendo-se que o capital é de R$2.200,00 e a taxa de juro é de 15% a.m. R = J = 660,00 M = 2.860,00 9 – Calcular o juro e o montante de uma operação com 18 meses de prazo, sabendo-se que o capital é de R$500,00 e a taxa de juro é de 14% a.m. R = J = 1.260,00 M =1.760,00 10 – Calcular o montante de uma operação com 9 meses de prazo, sabendo-se que o capital é de R$1.000,00 e a taxa de juro é de 5% a.m. R = J = 450,00 M = 1.450,00

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CONVERSÃO DE TAXA DE JUROS Para converter a taxa de juro de um prazo para outro é necessário: Colocar a taxa de juro na mesma unidade de tempo do prazo para o qual se quer converte-la. Calcular o coeficiente de conversão da taxa de juro que se tem para a taxa de juro que se quer, obtido o quociente da seguinte divisão: n = nq = prazo da taxa de juro que se quer logo, n = nq nt = prazo da taxa de juro que se tem nt CONVERSÃO DA UNIDADE DE TEMPO Colocaremos as conversões mais comuns da unidade de tempo: 1 – Quero a taxa de juro diária e tenho a anual n = 1 (dia) 360 (dias) 2 – Quero a taxa de juro mensal e tenho a anual n = 1 (mês) 12 (meses) 3 – Quero a taxa de juro anual e tenho a diária: n = 360 (dias) 1 (dia) CONVENÇÃO: Ao longo de toda a Oficina de trabalho usaremos, para os prazos das operações, a seguinte nomenclatura:

a.d. = ao dia a.m. = ao mês a.t. = ao trimestre

a.s. = ao semestre a.a. = ao ano a.p. = ao período

Juros e capitalização composta: Cálculo do montante O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber: Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros. Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".

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Data Aplicação Juros Saldo Final

01/01/2002 1.000,00 1.000,00

01/01/2003 1.000,00 1.000 x 10% = 100 1.100,00

01/01/2004 1.100,00 1.100 x 10% = 110 1.210,00

01/01/2005 1.210,00 1.210 x 10% = 121 1.331,00

No juro composto, os juros são incorporados ao saldo anterior a cada período, a esse processo de Capitalização de juros, e o período de tempo considerado chama-se Período de Capitalização, podendo ser diário, mensal, trimestral, semestral, etc. PRINCIPAL = é a aplicação inicial MONTANTE = é a soma do principal e do juro No regime de juros simples apenas o principal rende juros, enquanto que no regime de juros compostos os rendimentos são calculados sobre o Montante, isto é, juros sobre juros, por isso tem grande importância financeira por retratar melhor a realidade.

n FORMULA M = C (1 + i)

EXEMPLO Referindo-se ao exemplo anterior calcular o montante da operação: n M = C ( 1+ i) 3 M = 1.000 ( 1 + 0,10) 3 M = 1.000 ( 1,10) M = 1.000 x 1,331 M = 1.331,00 Período fracionário Nos Estados Unidos a forma de cobrança e pagamento de juros é diferente do Brasil, o período fracionado é feito para se ganhar mais que se cobrássemos os juros apenas no sistema composto. Observe o exemplo: Uma aplicação de R$6.000,00 foi feita em um determinado banco a taxa de 2% a.m. pelo período de 4 meses e meio ou 135 dias.

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Resolução: n M = C ( 1 + i ) C = 6.000 4,5 n = 4,5 M = 6.000 ( 1 + 0,02 ) i = 2 % a.m. M = ? M = 6.559,22 Porem se considerarmos 4 meses com regime composto e 0,5 com regime simples teríamos: Resolução: n M = C ( 1 + i ) C = 6.000 4,0 n = 4,0 M = 6.000 ( 1 + 0,02 ) i = 2 % a.m. M = 6.494,59 Total = 6494,59 + C = 6.494,59 M = C . i . n 64,95 n = 0,5 M = 6.494,59 . 0,02 . 0,5 6.559,54 i = 2 % a.m. M = 64,95 Exercícios 1 – Qual o valor de resgate para uma aplicação de R$180,00 à taxa de 3,26% a.m. durante 14 meses? R = 282,05 2 – Calcule o valor de resgate para uma aplicação de R$1.240,00 por 3 trimestres à taxa de 8,20% a.m.? R = 2.520,39 3 - Calcule o valor de resgate para uma aplicação de R$3.600,00 por 86 dias à taxa de 9,50% a.a.? R = 3.678,90 4 - Calcule o valor de resgate para uma aplicação de R$1.200,00 por 31 meses à taxa de 2,40% a.t.? R = 1.533,25 5 – Apliquei R$1.500,00 à taxa de 10% ao mês, pelo prazo de 3 anos. Qual o valor do resgate? R = 46.369,02 6 – Apliquei em um CDB R$1.500,00 à taxa de 8% ao mês, pelo prazo de 4 meses. Qual o valor do resgate? R = 2.040,73 7 - Apliquei R$900,00 à taxa de 3,94% ao mês, pelo prazo de 18 meses. Qual o valor do resgate? R = 1.804,39

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TAXA EQUIVALENTE E EFETIVA A taxa equivalente é a porcentagem que aplica sobre um capital em um determinado período que produzem o mesmo montante. Utilizando a calculadora financeira HP12C. Exemplo: Calcular a taxa equivalente anual dos juros compostos de 1% ao mês. Vamos utilizar um método simples com base de valor presente de 100. No caso temos:



100 CHS PV - 100,00 Capital

12 n 12 Tempo

1 i 1 Taxa

FV 112,68 Valor futuro

100 - 12,68 Porcentagem

Taxa anual de juros compostos = 12,68% a.a. Exemplo: Calcular a taxa equivalente mensal dos juros compostos de 340% ao ano.



100 ENTER 100 Inseri capital

340 + 440 Inseri Taxa Futura

CHS FV - 440 Inseri fluxo de caixa

100 PV 100 Valor referencial

12 n 12 Meses

i 13,14 Taxa

Taxa mensal de juros compostos = 13,14% a.m. TAXA NOMINAL Dado um fluxo, onde se conhece o valor de PV e FV, denomina-se Taxa Efetiva (Ie) pelo período da operação, a razão: Ie = ( FV -1 ) x 100 PV

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Exemplo Um investimento de R$ 1.000,00 foi resgatado após um determinado período de aplicação no valor de R$ 1.056,22. Qual a taxa efetiva ao período praticada nesta operação? Ie = ( FV -1 ) x 100 PV Ie = ( 1.056,22 -1 ) x100 1.000,00 Ie = ( 1,0562 – 1 ) x 100 Ie = 1,0562 x100 Ie = 5.62% a.p.



1.056,22 ENTER 1.056,22 Inseri o valor do resgate

1.000 / 1,0562 Inseri o valor da aplicação

1 - 0,0562 Retira o capital

100 x 5,62 Transforma em Porcentagem

Desconto Bancário Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras. É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título. Exemplo 01 Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 0,034% a.m. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.

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Solução: Desconto comercial: Dc = 100.000,00 . 5 . 180 / 3.000 = 30000 Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000 IOF = 100.000,00 . 0,034 . 180 / 3.000 = 204,00 Desconto total = 30000 + 2000 + 204 = 32.204,00 Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32204 = 67.796,00 Logo, V = $67.796,00 A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100.000/67796) - 1].100 = 47,50% a. p. Ou 47,50 / 6 = 7,92 % a.m. Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco. Exercício Uma empresa oferece uma duplicata de $50.000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 0,15% a.m. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação. Desconto comercial = Despesas administrativas = IOF = Teremos então: Valor líquido = Taxa efetiva de juros = Resp: V = e i = % a.m.

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Parcelamento Antecipado e Póstecipado BEG BEGIN Determine o valor das 12 parcelas mensais para um empréstimo de R$19.000,00, com taxa de 2% ao mês, no regime de juros compostos, a) se a 1ª parcela for depositada no mês seguinte (série póstecipada) b) se a 1ª parcela for depositada no ato do recebimento do empréstimo (série antecipada) Solução

Pressione Visor Anotação

f CLX Limpa os registros

g END Parcelamento Póstecipado

19000 CHS PV 19.000,00 Valor Presente

2 i 2,00 Taxa de Juros

12 n 12,00 Tempo

PMT 1796,63 Pagamento

Solução

Pressione Visor Anotação

f CLX Limpa os registros

g BEG BEGIN Parcelamento Antecipado

19000 CHS PV 19.000,00 Valor Presente

2 i 2,00 Taxa de Juros

12 n 12,00 Tempo

PMT 1761,40 Pagamento

Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos: Sistema de Amortização Constante (SAC) Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor. No Brasil, existe a amortização contábil, cujo conceito não se restringe à diminuição de dívidas, mas também à direitos intangíveis classificados no ativo (conta de balanço), derivado da teoria de dimensão económico dos fundos contábeis. Assim, associa-se o termo amortização contábil, à depreciação contábel (redução de bens tangíveis) e à exaustão contábil (recursos naturais). Sistema de Amortização Constante (SAC) é uma forma de amortização de um empréstimo por prestações que incluem os juros, amortizando assim partes iguais do valor total do empréstimo. Neste sistema o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. Desta forma, no sistema SAC o valor das prestações é decrescente, já

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que os juros diminuem a cada prestação. O valor da amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas. O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em financiamentos imobiliários. A principal característica do SAC é que ele amortiza um percentual fixo do saldo devedor desde o início do financiamento. Esse percentual de amortização é sempre o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior no início do financiamento, fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente do que em outros mecanismos de amortização. Exemplo Um Banco de Desenvolvimento empresta R$ 300.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o SAC (Sistema Amortização Constante) à taxa de 12% a.a., e o principal deverá ser amortizado em 5 pagamentos anuais. Determinar o valor das prestações e construir a planilha. C = 300.000 i = 12% a.a. n = 5 pgtos anuais PMT = ? Logo, a tabela SAC:

Tempo 0 1 2 3 4 5 Total

Prestação 96.000 88.800 81.600 74.400 67.200 408.000

Juros 36.000 28.800 21.600 14.400 7.200 108.000

Amortização 60.000 60.000 60.000 60.000 60.000 300.000

Saldo Devedor 300.000 240.000 180.000 120.000 60.000 0 0

Note que o juro é sempre 12% do saldo devedor do mês anterior, a prestação é a soma da amortização e o juro. Sendo assim, o juro é decrescente e diminui sempre na mesma quantidade. O mesmo comportamento tem as prestações. A soma das prestações é de R$ 408.000,00. Gerando juros de R$ 108.000,00. Sistema Price Tabela Price, também chamado de sistema francês de amortização, é um método usado em amortização de empréstimo cuja principal característica é apresentar prestações (ou parcelas) iguais. O método foi apresentado em 1771 por Richard Price em sua obra "Observações sobre Pagamentos Remissivos" (em inglês: Observations on Reversionary Payments). O método foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, foi a partir da 2ª revolução industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada para cálculos de amortização de empréstimo.

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Cálculo A Tabela Price usa o regime de juros compostos para calcular o valor das parcelas de um empréstimo e, dessa parcela, qual é a proporção relativa ao pagamentos dos juros e a amortização do valor emprestado. Tomemos como exemplo um empréstimo de $ 1.000,00 com taxa de juros de 3% ao mês a ser pago em 4 parcelas mensais. Para calcular o valor da parcela, deve-se usar a fórmula de juros compostos combinada com a da progressão geométrica, resultando em: n Fórmula: PMT = PV x i x ( 1 + i ) n

( 1 + i ) - 1 pmt: Valor da parcela PV: Valor Presente i: Taxa de juros n: Número de períodos Um mês depois do empréstimo, o saldo devedor cresce 3% indo para $ 1.030,00, porém, como também deve ocorrer o pagamento de $ 269,03, o saldo devedor passa a ser $ 760,97. Perceba que o pagamento da parcela cobriu os juros de $ 30,00 e também fez a amortização de $ 239,03 (760,97 - 30,00) do valor emprestado. O mesmo ocorre nos meses seguintes, porém, como o saldo devedor diminui a cada mês, o valor das parcelas relativo ao pagamento dos juros é decrescente. Exemplo: Um Banco de Desenvolvimento empresta R$ 300.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o SFA (Sistema Francês de Amortização) à taxa de 12% a.a., e o principal deverá ser amortizado em 5 pagamentos anuais. Determinar o valor das prestações e construir a planilha. C = 300.000 i = 12% a.a. n = 5 pgtos anuais PMT = ?

Tempo 0 1 2 3 4 5 Total Prestação 83.222,92 83.222,92 83.222,92 83.222,92 83.222,92 416.144,60

Juros 36.000,00 30.333,25 23.986,49 16.878,12 8.916,74 116.114,60 Amortização 47.222,92 52.889,67 59.236,43 66.344,80 74.306,18 300.000,00

Saldo Devedor 300.000 252.777,08 199.887,41 140.650,98 74.306,18 0 0

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PELA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C


f CLX 0,00

300000 CHS PV - 300.000,00 Inserção valor

5 n 5 Inserção tempo

12 i 12 Inserção taxa

PMT 83.222,92 Valor da Prestação

Preenchendo a tabela com a hp12c


1 f AMORT 36.000 Juros

X<>y 47.222,92 Amortização

RCL PV 252.777,08 Saldo Devedor

Exercício Faça amortização pelo método SAC C = R$ 3.200,00 i = 3,2% a.m. n = 05 meses

Tempo 0 1 2 3

Prestação

Juros

Amortização

Valor Residual

Tempo 4 5 TOTAL

Prestação

Juros

Amortização

Valor Residual

Faça amortização pelo método PRICE C = R$ 3.200,00 i = 3,2% a.m. n = 05 meses

Tempo 0 1 2 3

Prestação

Juros

Amortização

Valor Residual

Tempo 4 5 TOTAL

Prestação

Juros

Amortização

Valor Residual

2013 – V04 27

Exercício de Fixação Faça amortização pelo método SAC C = R$ 4.850,00 i = 4,85% a.m. n = 10 meses

Tempo 0 1 2 3

Prestação

Juros

Amortização

Valor Residual

Tempo 4 5 6 7

Prestação

Juros

Amortização

Valor Residual

Tempo 8 9 10 TOTAL

Prestação

Juros

Amortização

Valor Residual

Faça amortização pelo método PRICE C = R$ 4.850,00 i = 4,85% a.m. n = 10 meses

Tempo 0 1 2 3

Prestação

Juros

Amortização

Valor Residual

Tempo 4 5 6 7

Prestação

Juros

Amortização

Valor Residual

Tempo 8 9 10 TOTAL

Prestação

Juros

Amortização

Valor Residual

2013 – V04 28

Gabarito: TEMPO 0 1 2 3

PRESTAÇÃO 702,73 702,73 702,73

JUROS 102,40 83,19 63,36

AMORTIZAÇÃO 600,33 619,54 639,37

VALOR RESIDUAL 3.200,00 2.599,67 1.980,13 1.340,76

TEMPO 4 5 TOTAL

PRESTAÇÃO 702,73 702,73 2.108,19

JUROS 42,90 21,79 248,95

AMORTIZAÇÃO 659,83 680,94 1.859,24

VALOR RESIDUAL 680,94 0,00 5.920,56

TEMPO 0 1 2 3

PRESTAÇÃO 742,40 721,92 701,44

JUROS 102,40 81,92 61,44

AMORTIZAÇÃO 640,00 640,00 640,00

VALOR RESIDUAL 3.200,00 2.560,00 1.920,00 1.280,00

TEMPO 4 5 TOTAL

PRESTAÇÃO 680,96 660,48 2.165,76

JUROS 40,96 20,48 245,76

AMORTIZAÇÃO 640,00 640,00 1.920,00

VALOR RESIDUAL 640,00 0,00 5.760,00

TEMPO 0 1 2 3

PRESTAÇÃO 623,53 623,53 623,53

JUROS 235,23 216,39 196,65

AMORTIZAÇÃO 388,31 407,14 426,88

VALOR RESIDUAL 4.850,00 4.461,70 4.054,56 3.627,67

TEMPO 4 5 6 7

PRESTAÇÃO 623,53 623,53 623,53 623,53

JUROS 175,94 154,23 131,47 107,61

AMORTIZAÇÃO 447,59 469,30 492,06 515,92

VALOR RESIDUAL 3.180,09 2.710,79 2.218,73 1.702,81

TEMPO 8 9 10 TOTAL

PRESTAÇÃO 623,53 623,53 623,53 1.870,59

JUROS 82,59 56,35 28,84 648,26

AMORTIZAÇÃO 540,94 567,18 594,69 1.222,33

VALOR RESIDUAL 1.161,87 594,69 0,00 12.143,93

2013 – V04 29

TEMPO 0 1 2 3

PRESTAÇÃO 720,23 696,70 673,18

JUROS 235,23 211,70 188,18

AMORTIZAÇÃO 485,00 485,00 485,00

VALOR RESIDUAL 4.850,00 4.365,00 3.880,00 3.395,00

TEMPO 4 5 6 7

PRESTAÇÃO 649,66 626,14 602,61 579,09

JUROS 164,66 141,14 117,61 94,09

AMORTIZAÇÃO 485,00 485,00 485,00 485,00

VALOR RESIDUAL 2.910,00 2.425,00 1.940,00 1.455,00

TEMPO 8 9 10 TOTAL

PRESTAÇÃO 555,57 532,05 508,52 2.090,11

JUROS 70,57 47,05 23,52 635,11

AMORTIZAÇÃO 485,00 485,00 485,00 1.455,00

VALOR RESIDUAL 970,00 485,00 0,00 11.640,00

13º Salário - Aspectos Legais e Práticos

Desenvolvido por CRISTIANO GONÇALVES

OAB/SP nº 263.837 74

matematica financeira com a hp12c

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