apostila matemática financeira com hp12c e excel (1)

Curso de Matemática Financeiracom o uso da HP 12C e Excel

Introdução

A Matemática Financeira é o ramo da matemática que se ocupa do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo.

Seu campo de aplicação são as operações financeiras, entendendo-se como tais as de empréstimo, financiamento, aplicação e investimento.

Seu principal objetivo é fornecer instrumentos matemáticos (fórmulas, tabelas, gráficos, diagramas) que permitam a análise e a comparação de operações financeiras e a tomada de decisão quanto a elas.

Valor do Dinheiro no Tempo

A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros;

Os valores de uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas e somadas algebricamente;

Valores de datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas e somadas algebricamente após serem movimentadas para uma mesma data (data de referência), com a correta aplicação de uma taxa de juros.

Juros

Definições

O que são juros? Por que variam tanto? Risco. Inflação - ilusão de remuneração. Taxa de juros nominal, efetiva e real.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver.

O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

O governo quando quer diminuir o consumo, tentando com isso conter a inflação, diminue a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos. Assim, a remuneração deste empréstimo fica muito alta para quem paga, desmotivando-o a consumir imediatamente e atraente para quem tem o dinheiro, estimulando-o a poupar.

Na época de inflação alta, quando a caderneta de poupança pagava até 30% ao mês, alguns tinham a falsa impressão de que logo ficariam ricos, com os altos juros pagos pelo banco. Oque não percebiam é que, dependendo do desejo de consumo, ele poderia ficar cada vez mais distante, subindo de preço numa proporção maior que os 30% recebidos.

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A taxa de juros que o banco cobra e paga inclui, além de itens como o risco e o tempo de empréstimo, a expectativa de inflação para período.

Esta taxa, quando vem expressa por um período que não coincide com o prazo de formação dos juros (capitalizações), é chamada de taxa nominal. Ex.: 15% ao ano, cujos juros são pagos mensalmente. Nestes casos precisamos calcular a taxa efetiva, que será a taxa nominal dividida pelo número de capitalizações que inclue, acumulada pelo prazo de transação. Veremos com mais detalhes mais adiante.

A remuneração real, ou taxa real de uma aplicação será calculada excluindo-se o percentual de inflação que a taxa efetiva embute.

Para se calcular o valor dos juros em uma atividade qualquer, é necessário o entendimento de alguns conceitos financeiros, tais como:

PV Capital Inicial, também chamado de Principal ou Valor Presenten Prazo ou número de períodosi Taxa de JurosJ Valor do juro resultante da operação

FV Montante (S), também chamado de Valor Futuro

Compatibilidade dos dados

Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentes ou homogêneos.

Regime de Capitalização

Os juros podem ser capitalizados1 segundo dois regimes: simples ou compostos.

Regime Processo de funcionamento

SimplesSomente o principal rende juros. O montante de capital e juros se comporta como uma progressão aritmética.

Juros Simples

Ano Saldo inicial Juros de cada ano Saldo Final1º 100,00 10% x 100 = 10 100 + 10 = 1102º 110,00 10% x 100 = 10 110 + 10 = 1203º 120,00 10% x 100 = 10 120 + 10 = 1304º 130,00 10% x 100 = 10 130 + 10 = 140

CompostosApós cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando juros sobre juros. O montante de capital e juros se comporta como uma progressão geométrica

1 Capitalizar significa incorporar juros ao valor do capital ao longo do período financiado.

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Juros Compostos

Ano Saldo Inicial Juros de cada ano Saldo Final1º 100,00 10% x 100 = 10 100 + 10 = 1102º 110,00 10% x 110 = 11 110 + 11 = 1213º 121,00 10% x 121 = 12,1 121 + 12,1 = 133,14º 133,10 10% x 133,1 = 13,31 133,1 + 13,31=146,41

Fluxo de caixa

Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em determinados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indicações.

A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.

Funções Básicas da HP 12C

Tecla (ON) serve para ligar ou desligar a HP-12C.

Após aproximadamente 10 minutos sem uso, a calculadora HP-12C desliga automaticamente para economizar bateria, mas não apaga os valores registrados. Os Valores são apresentados no visor da HP-12C com a notação americana (ponto para decimais e vírgula para separar milhares).

Para alterar para a notação européia que é habitualmente utilizada no Brasil, proceda da seguinte forma:

Desligue a calculadora (ON) Aperte a tecla (.) e mantenha pressionada Ligue a calculadora (ON) Solte a tecla (.)

O Teclado

Uma mesma tecla da HP-12C, pode operar até 3 funções:a) Função normal, escrita na face superior da tecla (cor branca);b) Função amarela, (f), escrita acima da tecla;c) Função azul, (g), escrita na face inferior da tecla.

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( - ) Pagamento

0 1 2 3

( + ) Recebimento

$ TEMPO

$

n

A HP-12C utiliza um sistema chamado RPN - Reverse Polish Notation (Notação Polonesa Inversa). Neste sistema, subentende-se que toda operação simples envolve dois números e uma operação entre eles. Primeiro devemos informar à HP-12C os dois números e a seguir a operação a ser realizada. Por isso a calculadora HP-12C não tem a tecla do sinal de igualdade (=).

A tecla (ENTER) é utilizada para separar a digitação entre o primeiro e o segundo número. Após a digitação do segundo número, basta pressionar a tecla da função desejada e teremos o resultado da operação no visor.

A tecla (CHS) troca o sinal (change signal) do número que aparece no visor.

Limpando Registradores

A tecla (CLX) limpa apenas o visor (memória x). A tecla (f) (FIN) limpa apenas o conteúdo das memórias financeiras. A tecla (f) (Reg) limpa de uma s ó vez, os conteúdos das memórias: principal, secundária e

financeira. A tecla (f) (Prefix) cancela o prefixo amarelo (f) ou o prefixo azul (g). A tecla (f) (PRGM) limpa os programas que estão gravados na HP -12C.

Recomenda-se antes de iniciar qualquer cálculo na HP-12C, que faça o procedimento (f) (Reg) evitando que algum valor anteriormente utilizado possa interferir no novo cálculo.

Pilha Operacional

A calculadora HP-12C possui quatro memórias (X, Y, Z e T), chamadas de memórias principais que funcionam como se fossem um tambor rotativo. A memória X é aquela cujo conteúdo está aparecendo no visor. Todas as operações aritméticas são efetuadas apenas com os conteúdos das memórias X e Y.

O número apresentado no visor será sempre o contido no registrador X.O Cálculo com 2 números utilizam os registradores X e Y.Z e T armazenam resultados intermediários.

A tecla (X >< Y) troca os conteúdos das memórias X e Y, mantendo as memórias Z e T inalteradas.

A tecla (STO) serve para guardar e operar com as 20 memórias fixas existentes na HP-12C, chamadas de memórias secundárias. Essas memórias serão indexadas de 0 a 9 e de .0 a .9

A tecla (RCL) serve para chamar os valores das 20 memórias (0 a 9 e .0 a .9) para o visor.

A tecla (R) rola para baixo o conteúdo de cada registrador, copiando-o no registrador imediatamente inferior e o X que é o último da pilha operacional, será copiado no registrador T.

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Exemplo 1: Ligue a calculadora, altere para a notação européia, limpe os registradores e efetue os seguintes cálculos:

a) 5 + 17b) 12 ÷ (32+15)c) (8 x 19) ÷ (9 - 3)

Obs.: Para apagar o conteúdo de uma memória, basta armazenar 0 na mesma. Para apagar todas as memórias usamos (f) (REG). Desta forma a pilha operacional também será apagada.

Casas Decimais

Para fixar o número de casa decimais que desejamos que seja mostrado no visor basta teclar (f) seguido do número de decimais desejado (de 1 a 9). Internamente, para garantir a precisão, a HP-12C realiza os cálculos sempre com 10 dígitos, mas no visor, mostrará somente o número de decimais programado, arredondando a última casa.

Operações Simples

Lembre-se que para utilizar os recursos da HP-12C de forma mais rápida e eficiente, ao fazer operações seguidas, não é necessário introduzir resultados anteriores e nem mesmo teclar (ENTER) para separar o primeiro do segundo número.

Isto é possível porque o resultado que ficam no visor (registrador X), passa para o registrador Y tão logo se digite o novo número.

Só é necessário teclar (ENTER) para separar dois números quando eles estão sendo introduzidos um imediatamente após o outro.

Exemplos:a) (12+19) ÷ (9-2)b) (35-12) x (9+3)c) 153 ÷ (8+13+3)d) 11 x (35-8)

Principais Funções Matemáticas

Potenciação1) Digite o número base (o Y da tecla)2) Tecle (ENTER)3) Digite o expoente (o x da tecla)4) Tecle (yx)

Exemplos:

1) 10 + 5 x 5 : 5 = 7Na HP 12C

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10 ENTER 5 ENTER X + 5 : = 7

2) √5Na HP 12C x5 ENTER 2 1/x Y = 2,24

3) -5³ + 4 x 5 = -105Na HP 12C x5 CHS ENTER 3 Y 4 ENTER 5 X + = -105

Exemplo 4:a) (8+9)3 ÷ (8+6)2

b) (4,09)-7

Inverso: (1/x)Utilizando esta função, obtém-se o inverso do número contido no visor.

Percentagem (%), (%T) e (D%) (%) Permite o cálculo da percentagem de um determinado número.

Calcule 10% de 50.50 ENTER 10 % = 5

(∆%) Calcula a variação percentual entre dois números, onde devemos digitar primeiro o valor antigo e, depois, o valor atual, e assim obtemos a variação percentual ocorrida.

Ex. O preço de determinadas ações caíram de R$ 60,00 para R$ 59,70. Qual a variação percentual?60 ENTER59,70 ENTER

(∆%) -0,50 (Resultado)

Ex. Comprei um carro por R$20.000,00 e vendi por R$ 23.000,00. Qual a variação percentual do lucro?20.000 ENTER23.000 (∆%) 15 (Resultado)

(%T) Possibilita encontrar quanto um número representa, percentualmente, em relação a outro ou o total da operação.

Ex. No ano de 1997 o Brasil exportou 3,50 milhões de dólares, e a Inglaterra exportou 5,80 milhões de dólares. Qual a participação percentual do Brasil no total dessas exportações?

3,50 ENTER5,80 +3,50 (%T)37,63 Resultado

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Raiz Quadrada (g) (√x) Calcula a raiz quadrada do conteúdo do visor.

980 ∑ +1050 ∑ +1380 ∑ +750 ∑ +150 ∑ +(g) (x )862 Resultado

Média Aritmética: (g) (x)

Um vendedor que recebeu respectivamente nos 6 últimos meses os seguintes salários: R$ 980,00, R$ 1.050,00; R$ 1.380,00; R$ 750,00; R$ 150,00 e R$ 1.320,00, obteve uma média salarial de quanto?

Média Ponderada: (g) (x w)

xp = P1.X1 + P2.x2 + ... + Pn.XnP1 + P2 + ... + Pn

Calcule a média ponderada geral referente as disciplinas abaixo, considerando seus respectivos pesos:Disciplina Nota PesoPortuguês 6 2Matemática 7 3Ciências 8 1

Na HP 12C6 ENTER2 ∑ +7 ENTER3 ∑ +8 ENTER1 ∑ +g (xw)6,83 Resultado

Arredondamento: (f) (RND)Pressionando-se esta tecla, o número interno que a calculadora usa para os cálculos, passa a ser

utilizado de forma arredondada de acordo com o arredondamento que estiver no visor.

Encontre 1500÷13, com duas casas decimais.

Parte Inteira e FracionáriaParte inteira: (g) (INTG)Parte fracionária: (g) (FRAC)

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Estas teclas alteram o conteúdo do visor para a parte inteira ou fracionária do número nele contido.

Separe a parte inteira da fracionária do número 1.987,4257

Calendário

A HP-12C está programada para efetuar cálculos com datas entre 15 de outubro de 1.582 e 25 de novembro de 4.046.

Podemos calcular tanto no sistema americano (g) (M.DY) = Mês.Dia Ano, como no sistema europeu (g) (D.MY) = Dia.Mês Ano.

Quando a calculadora está programada no sistema europeu, aparece no visor as letras D.MY, ao contrário do sistema americano que não aparece.

Número de dias entre datas (g) (∆DYS) indica a quantidade de dias entre duas datas informadas. O registrador X utiliza o ano civil (365 d.d) como base. O registrador Y utiliza o ano comercial (360 d.d) como base.

1) Digite a data mais antiga2) ENTER3) Digite a data mais recente4) Tecle (g) (∆DYS)

Obs.: Quando utilizar o ano civil como base de cálculo, a HP-12C leva em consideração o número real de dias entre as datas, inclusive o dia a mais dos anos bissextos.

Cálculo de data e dia da semana: (g) (DATE)1) Digite a data base2) (ENTER)3) Digite o número de dias a transcorrer ou transcorrido4) Tecle (g) (DATE)

Resultado: aparecerão no visor a nova data, no formato programado, e no canto direito, o dia da semana, com a seguinte codificação: 1 -Segunda, 2-Terça, 3 -Quarta, 4-Quinta, 5-Sexta, 6-Sábado, 7-Domingo. Se a data desejada for anterior à data base, deve-se teclar o número de dias seguido de (CHS).

Determine a data e o dia da semana em que vencerá uma duplicata emitida em 12 de Maio de 2001, com prazo de 41 dias.

Exercícios:a) Verifique quantos dias você já viveub) Verifique o dia da semana em que você nasceuc) Verifique em que dia da semana cairá o natal deste ano.

Fatorial: (g) (n!).O fatorial de n consiste na multiplicação de todos os números inteiros de 1 até n.

Logaritmo Logaritmo natural ou neperiano (g)(LN): Calcula-se o logaritmo natural (na base e) do

número contido no visor.

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Logaritmo decimal ou comum (Log): Calcula-se o logaritmo natural (g) (LN) do número desejado, em seguida o logaritmo natural (g) (LN) de 10, e dividem-se os valores encontrados.

Antilogaritmo natural ou neperiano (g) (eX): Mostra o número que originou o logaritmo natural.

Antilogaritmo comum: Para calcular o antilogaritmo comum, basta elevar 10 à potência desse número.

Expoente

A tecla (EEX) Enter Expoent, introduz o expoente.

Quando esta tecla for pressionada, os números que a seguirem serão apresentados na forma de potência de 10.

Juros Simples

Em juros simples, os juros de cada período são calculados sempre em função do capital inicial empregado. Isso faz com que o valor dos juros seja o mesmo em todos os períodos. Em juros simples o dinheiro cresce linearmente ao longo do tempo, ou seja, cresce em progressão aritmética. Se n é o numero de períodos, i é a taxa de juros ao período e PV é o valor principal, então os juros simples são calculados por:

J = PV * i * n

Montante

Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado pela fórmula:

FV = PV + JFV = PV + PV * i * n então:

FV = PV (1 + i.n)Para o cálculo do Principal temos:

PV =

Juro Exato e Juro Comercial

Os juros simples podem ainda ser:

Juro exato aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e quando o período adota a conversão de ano civil (365 dias)

Juro comercial aquele que é calculado quando se adota como base o ano comercial (360 dias)

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Calculo de juros simples utilizando a máquina HP-12C

Obs.: Para o cálculo de juros simples a máquina HP-12C considera i como sendo anual e n como sendo em dias.

- digitar a taxa de juro anual e pressionar i- digitar o número de dias da operação e pressionar n- digitar o capital e pressionar PV- pressionar as teclas f INT- pressionar + para calcular o montante

Exemplo1: Calcular o rendimento obtido por um investidor ao aplicar R$ 100.000,00 por 6 meses e 10 dias a uma taxa de 2% a.d. utilizando juro comercial:

PV = 100.000,00i = 2% a.d. = 360 * 2 = 720 % a.a.n = 6 . 30 + 10 = 190 dias

Na máquina HP-12C:

100.000 .CHS. .PV. -100.000,00720 . i . 720,00190 . n . 190,00

. f . . INT . 380.000,00

Exemplo2: Calcular o rendimento obtido por um investidor ao aplicar R$ 100.000,00 por 6 meses e 10 dias a uma taxa de 2% a.d. utilizando juro exato:

PV = 100.000,00i = 2% a.d. = 365 * 2 = 730 % a.a.n = 6 . 30 + 10 = 190 dias

Na máquina HP-12C:

100.000 .CHS. .PV. -100.000,00730 . i . 730,00190 . n . 190,00

. f . . INT . 385.277,78

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Exemplo3: Qual o montante acumulado em 24 meses, a uma taxa de 12% a.m., no regime de juros simples, a partir de um principal de R$ 4.000,00?

PV = 4.000,00i = 12% a.m. = 144% a.an = 24 meses = 720 dias

Na máquina HP-12C:

4.000 .CHS. .PV. - 4.000,00 144 . i . 144,00 720 . n . 720,00. f . . INT . 11.520,00

. + . 15.520,00

4.9. - Desconto Simples

Utilizada por empresas para melhorar sua liquidez, a operação de desconto bancário consiste na antecipação de créditos, tendo como contrapartida títulos de crédito (duplicatas, notas promissórias, cheques, etc.) de posse da empresa que deseja aumentar sua liquidez. A operação em si consiste na diferença entre o valor nominal ou de resgate (N) de um título (valor de face) de crédito, e seu respectivo valor atual na data de desconto representado matematicamente como: D = N - A onde: D = Desconto N = Valor nominal A = Valor do Título. Podemos ainda utilizar a notação de valor presente e futuro, ficando a equação:D = VF- VP.

Os descontos simples são divididos em dois grupos, o desconto simples racional ou “por dentro” e o comercial, ou bancário, ou “por fora”. Obs: Na prática, somente o desconto comercial é utilizado.

Fórmulas:

D = FV * i * N i = ___D__ N = ___D___ FV * N FV * i

Exemplo: Uma nota promissória, com prazo de vencimento para daqui a 27 dias, possui de resgate de R$ 10.000,00. Desejando antecipar o resgate a empresa remete-o a uma agência bancária que no momento está cobrando uma taxa de desconto de 2,5 % a.m. e uma taxa de administração de 0,123% a.m., calcule:

a) Desconto Comercial

b) IOF deduzido do valor de resgate

c ) Valor Presente Comercial Líquido

Solução:

FV = R$ 10.000,00 n = 27 dias i' = 2,5% a.m. i" = 0,123% a.m.

Temos:

a) Dc = FV * i' * n = 10.000 * 0,025/30 * 27 = R$ 225,00 b) IOF = FV * i" * n = 10.000 * 0,00123/30 * 27 = R$ ] 1,07 c) Valor líquido = PV = FV - Dc - IOF = 10.000 - 225 - 11,07 = R$ 9.763,93

Exemplo 2:

Uma duplicata com valor de face de R$ 42.700,00 foi descontada à taxa de 7% a.m. a 30 dias do seu vencimento. Qual foi o valor do desconto? Qual o valor liberado para o cliente?

Solução: a) Valor do desconto

Dc = FV * i' * n = 42.700 * 0,07/30 * 30 = R$ 2.989,00

b) Valor líquido VL = FV - Dc = 42.700 - 2989 = R$ 39.711,00

Obs: Verifique a existência do valor ganho pela instituição que realiza o desconto já que por meio de uma simples regra de três verificamos que o valor da taxa utilizada é de 7,53%, senão vejamos:

Taxa Real = (42.700/39.711 - 1) * 100 = 7,53%

Ou seja, como o desconto é feito por meio de um regime de capitalização simples, é totalmente válida a divisão entre FV e PV para se obter a taxa de desconto. O que acontece é que a instituição ganha exatamente por considerar como valor a ser descontado na data presente, um valor futuro, que atualizado daria um valor e conseqüentemente uma taxa menor.

4.10. - Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Desconto

Por taxa nominal de desconto entende-se a taxa a que a instituição financeira determina a que será descontado o título. O conceito de taxa nominal também é válido para o regime de capitalização composto como será visto posteriormente. Como foi visto no exemplo do capítulo anterior a taxa que a instituição de crédito determina, não corresponde à taxa que o cliente efetivamente paga devido à característica do desconto ser feito em cima do valor futuro. No caso do exemplo do capítulo anterior nossa taxa nominal de desconto seria 7% a.m. Por taxa efetiva de desconto entende-se a taxa que efetivamente se desconta do valor a receber por parte de quem está descontando o título. Veja que neste caso não entra apenas a característica de perda de valor pela forma de cálculo, e sim todas as taxas como IOF e taxa de manutenção da instituição, senão vejamos o exemplo abaixo:

Exemplo: Uma instituição financeira descontou uma Nota promissória com valor de face de R$ 21.240,00 para um prazo de 35 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 9,42% a.m., calcular o desconto e o valor liberado ao cliente. Sabendo-se que o IOF está a

1,5% ao ano com ano base de 360 dias, e a taxa de manutenção do banco é de 0,2% do valor do título. Calcule então a taxa efetiva de desconto utilizada pela financeira.

Solução: a) Valor descontado Dc = FV * i' * n = 21.240 * 0,0942/30 * 35 = R$ 2.334,28

b) IOF IOF = FV * i" * n (Onde i" é a taxa do IOF) 21.240 * 0,015/360 * 35 = R$ 30,98

c) Taxa de manutenção Taxa = FV * i'" ( Onde i'" é a taxa de manutenção) 21.240 * 0,02 = R$ 42,48

d) Valor líquido . VL = FV - Dc - IOF - Taxa de Manutenção VL = 21.240 - 2334,28 - 30,98 - 42,48 = R$ 18.832,26

e) Taxa efetiva Tx. efet. = (21.240/18.832,26 - 1) * 100 = 12,79% é a taxa do período de 35 dias enquanto a taxa no período de 35 utilizada pelo banco é de i = 0,0942/30 * 35 = 10,99 % em 35 dias.

4.11. - Método Hamburguês

Este é o método utilizado pela maioria de bancos e instituições financeiras para corrigir os saldos devedores em contas correntes, através dos famosos "Cheques especiais". Este método utiliza a fórmula de juros simples para corrigir esse saldo devedor no período de apuração do banco. A fórmula genérica para descobrir este saldo é definida por:

Jt = i/30*( ∑ SDn *Dn)

O que a fórmula acima nos afirma é que os juros pagos pelo cliente ao banco nada mais são do que a soma de todos os saldos devedores no período, multiplicado pelo número de dias que este saldo foi devedor, o resultado multiplicado pela taxa mensal fornecida pelo banco e dividida por dia para termos conhecimento do "prejuízo". Vejamos o exemplo abaixo:

Exemplo: O Banco do Povo S.A. cobra juros simples de 4,2% a.m. para portadores de cheque especial. Determine o total pago de juros pelo cliente que possui os lançamentos como descrito abaixo no período de 1 à 30 do mês 3.

Mês Histórico Valor Saldo Nº de dias02/03 Saldo ant. - 80.000,00 – C -10/03 Cheque 90.000,00 10.000,00 – D 616/03 Cheque 25.000,00 35.000,00 – D 218/03 Depósito 40.000,00 5.000,00 – D -23/03 Déb. Autom. 13.500,00 8500,00 – D 730/03 Débito 60.000,00 51,500,00 -

Como nosso juro é calculado por Jt = i/30*( ∑ SDn *Dn) então ficamos co

J = 0,042/30 * ( 10.000 * 6 + 35.000 * 2 + 8.500 * 7) = R$ 265.30

4.12. - Exercícios de Fixação

1- Um capital de $ 90.000,00 é aplicado à taxa de 3,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período, sabendo-se que o regime utilizado é o de "capitalização simples".

2- Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante sete meses. Ao final deste período, calculou em $ 250.000,00 o total de juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. 3- Uma pessoa aplica $ 19.000,00 à taxa de juros simples de 2,5% ao mês durante 9 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. 4- Uma aplicação de $ 60.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 12.250,00. Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 5- Aplicando a juros simples pelo prazo de 1 ano, um capital transformou-se em $ 13.000,00. Esse montante foi reaplicado por mais 2 anos a uma taxa 20% maior que a taxa ganha na primeira aplicação, obtendo-se um montante final de $ 22.360,00. Calcular o valor do capital e as taxas simples das duas etapas de aplicação.

6- Dois capitais foram colocados a juros simples, o primeiro à taxa de 20% a.a. e o segundo a 40% a.a. Calcular os capitais sabendo que somados montam $ 500,00 e que os dois produziram em um ano juros totais de $ 130,00.

7 - Dois capitais, um de $ 2.400,00 e outro de $ 1.800,00 foram aplicados a uma mesma taxa de juros simples. Calcular a taxa considerando-se que o primeiro capital em 48 dias rendeu $ 17,00 a mais que o segundo em 30 dias.

8- Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: $ 2.000,00 daqui a 3 meses. $ 2.500,00 daqui a 8 meses. Deseja trocar esses débitos por dois pagamentos iguais, um daqui a 10 meses e outro daqui a 15 meses. Calcular o valor desses pagamentos a uma taxa de juros simples de 10% a.m. 9- Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses, o desconto comercial é $ 140,00 maior que o desconto racional. Qual será o valor nominal do título se a taxa de juros empregada no desconto for de 24% a.a.? 10- A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de $ 25.00. Sabendo-se que o valor nominal do título é de R$ 10.500,00 e que o prazo de antecipação é de 2 meses, pergunta-se qual foi a taxa de juros adotada.

Exercícios

1. Calcular o rendimento obtido ao aplicar R$ 100 mil por um prazo de 4 meses e 10 dias, à taxa de juros simples de 34% a.a.

R$ 12.277,782. Qual o valor dos juros resultantes da aplicação de um capital de R$ 200 mil aplicados durante 3

anos à taxa de juros de 20% a.a. ?R$ 120.000,00

3. Determinar o prazo de aplicação de um capital de R$ 50 mil, sabendo-se que os juros do período foram de R$ 20 mil e que a taxa de juros era de 5% a.m.

9

8 meses4. Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 6.200,00 que venceu há cinqüenta dias,

mais o capital de R$ 9.600,00 que venceu há cem dias e mais o capital de R$ 7.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 5% ao dia.

Juros Compostos

Introdução

Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (FV) obtido pela aplicação de um único valor principal (PV) no instante t = 0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.

Dedução da Fórmula

Tendo um capital P aplicado durante n períodos a uma taxa de juros i por período. Os juros devido a este capital no fim do primeiro período a que se refere a taxa de juros considerada é:

J = PV . i

Logo, o montante no fim deste primeiro período será:

FV1 = PV.i + PV = PV + PV.i , que no fim do segundo período financeiro renderá juros de :

J2 = FV1.i = PV. ( 1 + i ) . i , cujo o montante é igual a:

FV2 = FV1 + J2 = PV ( 1+ i ) + PV ( 1 + i ).iEvidenciando o produto PV (1 + i)

FV2 = PV.( 1 + i ) ( 1 + i ) = PV ( 1 + i )2

Calculando os juros devidos por um período ao principal PV(1 + i)2, vem:J3 = FV2 . i = PV ( 1 + i )2.iFV3 = FV2 + J3 = PV ( 1 + i )2 + PV ( 1 + i )2.iFV3 = PV ( 1 + i )2. ( 1 + i ) = PV ( 1 + i )3

. . . . . .

FV = PV(1 + i)n

Ex.: Qual o montante acumulado em 6 anos, a uma taxa de 10 % a.a., no regime de juros compostos, a partir de um principal de R$ 100,00 ?

PV = 100i = 10 % = 0,10 a.a.n = 6

Na máquina HP12-C:

100 CHS PV

10 i

6 n

FV 177,56

10

Usando a derivação da formula, podemos encontrar o Valor Presente (PV) com base na seguinte formula:

PV = ou PV = FV(1 + i)-n

Ex.: Qual o principal que deve ser aplicado hoje para se ter acumulado um montante de R$ 1.000,00 daqui a 12 meses, a juros compostos, a uma taxa de 3% a.m. ?

PV = ? FV = 1000

0 1 2 ....... 12 n

S = 1.000n = 12i = 3 % a.m. = 0,03P = ?

Na máquina HP12-C:

1000 CHS FV

12 n

3 i

PV 701,38

11

Ex.: Um indivíduo recebe uma proposta de investir, hoje, uma quantia de R$1.000,00 para receber R$1.343,92 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade do investimento proposto, no regime de juros compostos ?

PV = 1.000FV = 1.343,92 n = 10 mesesi = ?

Na máquina HP12-C:

1.000 CHS PV

1.343,92 FV

10 n

i 3,0

Um computador no valor de R$ 2.100,00 é financiado para pagamento em parcela única de R$ 2.224,17 ao final de 2 meses. Qual é a taxa de juros mensal cobrada?

Na HP 12C2100 PV2224,17 FV2 n .

i . => 0,49% a.m.

Juros Simples x Juros Compostos

Enquanto os juros simples ocorrem de forma linear, os juros compostos são de forma exponencial.

Exercícios

1. Uma pessoa toma R$ 30.000,00 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido?

R$ 40.317,492. Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses.

R$ 66.671,813. Calcule o montante de R$ 50.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4

meses. R$ 54.654,17

4. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês.

R$ 9.237,245. Calcule o valor futuro de um capital de R$ 75.000,00, colocado a juros compostos à taxa de

2,75% ao mês, no fim de 6 meses.R$ 88.257,63

6. Qual o VF produzido por R$ 12.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses?

R$ 26.496,487. Qual valor terei ao final de 8 anos, a uma taxa de juros de 50% a.a., a partir de um capital de

R$ 9.500,00 ? R$ 243.474,61

8. Quanto Antônio terá daqui a 48 meses ao aplicar R$ 3 mil hoje a uma taxa de juros de 5,75% a.m. ?

R$ 43.911,609. Investi R$ 1.000,00 e após 15 meses recebi R$ 3.901,32. Qual a taxa de rentabilidade do

investimento?9,5% a.m

10. A rentabilidade de uma aplicação é de 25% a.a. Sabendo-se que uma pessoa lucrou R$ 2.382,81 sobre um capital de R$ 2.500,00, pergunta-se quanto tempo ficou o dinheiro aplicado?

3 anos11. Quincas deseja fazer uma aplicação financeira a juros de 4% a.m., de forma a poder retirar

R$ 12 mil daqui a 8 meses e 27 mil ao final do décimo quinto mês. Qual o valor da aplicação inicial que permita a retirada desses valores nos períodos desejados?

R$ 23.760,4212. Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a partir

da aplicação de um principal de $27.000,00, com uma taxa de juros de 8% ao mês, no regime de juros simples e no de juros compostos.

JC: 171.211,88 (FV) e 144.211,88 (J)JS: 78.840 (FV) e 51.840,00 (J)

13. O preço de um carro é de R$ 80 mil, podendo este valor ser pago até o prazo máximo de 6 meses, de uma só vez. Quem optar pelo pagamento à vista beneficia-se de um desconto de 12%. Qual a taxa de juros mensal cobrada nesta operação.

2,15% a.m14. Um banco anuncia que sua taxa para empréstimo pessoal é de 2,5% a.m. Um cliente retirou

R$ 200 mil e quando foi saldar sua dívida o gerente lhe disse que importava em R$ 311.931,74. Quanto tempo levou o cliente para restituir o empréstimo?

18 meses15. Um investidor troca um título de R$ 10.000,00, vencível em 3 meses, por outro de R$

13.500,00, vencível em 1 ano. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 3% a.m., este investidor fez um bom negócio? Que taxa ganhou ou perdeu por mês?

3,35% a.m16. Um terreno é vendido por R$ 200.000,00 à vista. A prazo, o vendedor oferece dois planos:a) R$ 50.000,00 de entrada + R$ 55.181,96 em 6 meses + R$ 126.824,18 em 12 mesesb) R$ 60.000,00 de entrada + R$ 102.480,77 em 6 meses + R$ 63.412,09 em 12 mesesSe a taxa de juros corrente for de 2% a.m., qual será a melhor alternativa?

a

17. Tomei emprestados R$ 1.000.000,00 a juros compostos de 10% a.m. Um mês após o empréstimo, paguei R$ 500.00,00 e dois meses após esse pagamento, liquidei a dívida. O valor desse ultimo pagamento foi de:

R$ 726.000,0018. Uma empresa deve pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta dias e R$

31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês

R$ 62.032,00Taxa de juros

Taxa de Juros é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira. Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:

Taxa NominalA taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplo:

1.200% ao ano com capitalização mensal. 450% ao semestre com capitalização mensal. 300% ao ano com capitalização trimestral.

Taxa EfetivaA taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplo: 120% ao mês com capitalização mensal. 450% ao semestre com capitalização semestral. 1.300% ao ano com capitalização anual.

Taxa RealTaxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

Calculo da taxa efetiva a partir da taxa nominal

Para o regime de juros simples, o calculo da taxa efetiva é feito pela taxa proporcional. A taxa efetiva é conseguida dividindo-se a taxa nominal (J) pela freqüência de suas capitalizações (k) da seguinte forma:

Ex.: Calcule a taxa efetiva considerando uma taxa de juros simples de 24% a.a, capitalizada trimestralmente.

Para o regime de juros compostos, o calculo da taxa efetiva é feito pela taxa equivalente anual. Esta taxa é conseguida da seguinte forma.

Obs.: n sempre se refere ao número de capitalizações em um ano

Ex1.: Calcule a taxa efetiva anual considerando uma taxa de juros compostos de 24% a.a, capitalizada trimestralmente.

Ex2.: Calcule a taxa efetiva anual considerando uma taxa de juros compostos de 24% a.s, capitalizada mensalmente.

A relação entre as taxas real, efetiva e a taxa da inflação

A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

1 + iefetiva = (1 + ireal) (1 + iinflação)

Taxas equivalentes

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Exemplo: A aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação. Tomando PV = 1.000,00; i1 = 0,1 ao mês e n1 = 3 meses, seguirá pela fórmula do Montante

composto, que : FV1 = PV (1 + i1)3 = 1.000 (1 + 0,1)3 = 1.000 (1,1)3 = 1.331,00

Tomando PV = 1.000,00; i2 = 33,1% ao trimestre e n2 = 1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto, teremos:

FV2 = PV (1 + i2)1 = 1.000 (1 + 0,331) = 1.331,00

Logo FV1 = FV2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmo trimestre.

Cálculos de taxas equivalentes

Como vimos antes, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processos de capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.

Vamos considerar ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1 semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro aqui que 1 ano corresponde a um número Np desses períodos.

Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:

1 + ia = (1 + ip) Np onde:

ia taxa anual

ip taxa ao período

Np número de períodos de 1 ano

Algumas situações possíveis com taxas equivalentes:

Fórmula Taxa Período Número de períodos

1 + ia = (1 + isem) 2 isem semestre 2

1 + ia = (1 + iquad) 3 iquad quadrimestre 3

1 + ia = (1 + itrim) 4 itrim trimestre 4

1 + ia = (1 + itrim) 6 itrim bimestre 6

1 + ia = (1 + imes) 12 imes mês 12

1 + ia = (1 + iquinz) 24 iquinz quinzena 24

1 + ia = (1 + isemana) 52 isemana semana 52

1 + ia = (1 + idias) 360 idias dia 360

Como visto no caso da capitalização simples, na capitalização composta temos que duas taxas são equivalentes se aplicadas no mesmo capital inicial a um mesmo período de tempo derem o mesmo resultado. No regime de capitalização simples chamamos essas taxas de proporcionais e no regime de capitalização composta chamamos de taxas equivalentes.

ia = ( 1 + im)¹² - 1 , a partir dessa fórmula é possível calcular im, ib, it, is

ia = Taxa Anual (conhecida a taxa mensal) im = Taxa Mensal (conhecida a taxa anual) Exemplos: Fornecida a taxa de 42% a.a., determinar taxas de juros equivalentes relativas aos períodos seguintes:

Mensal. Bimestral. Trimestral.

Solução: im = (1 + ia)¹∕¹² = (1 + 0,42) ¹∕¹² = 2,96% a.m. ib = 6,02% a.b. it = 9,16% a.t.

Exercícios

1. Quais as taxas semestral, trimestral, mensal e diária que são proporcionais à taxa de 26% a.a.?13% a.s. - 6,5% a.t. - 2,17% a.m. - 0,07% a.d.

2. Quais as taxas semestral, trimestral, mensal e diária que são equivalentes à taxa efetiva de 90% a.a.?

37,84% a.s. - 17,41% a.t. - 5,49% a.m. - 0,18% a.d.3. Determinar a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. nas seguintes

hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: diária, mensal, trimestral e semestral.82,12% a.a. - 79,59% a.a. - 74,90% a.a. - 69% a.a.

4. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral, equivalentes à taxa nominal de 60% a.a. capitalizada mensalmente.

5% a.m. - 15,76% a.t. - 34,01% a.s.5. Um capital de R$ 12.600,00 foi aplicado por três anos à taxa nominal de 22% a.a. Calcular o

montante considerando que no primeiro ano os juros foram capitalizados semestralmente, no segundo trimestralmente e no terceiro, bimestralmente.

23.870,486. Um investimento rendeu 68% em um mês no qual a inflação foi de 40%. O ganho real nesse

mês foi de:20%

7. Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal.

12,6825% a.a8. A taxa de 30% a.t., com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:

21% a.b9. A juros nominais de 48% a.a. capitalizados mensalmente, determinar em quantos meses um

capital de R$ 10.000 rende juros de R$ 3.685,69.8 meses

10. Calcular a taxa nominal anual capitalizada trimestralmente equivalente à taxa efetiva de 12% a.a.

11,49% a.a.

- Desconto Composto

Assim como no regime de juros simples, também temos a figura do desconto no regime de juros compostos, que segue basicamente o mesmo raciocínio.

Desconto Composto Racional ou "Por Dentro". Fórmulas: PV = __ FV___

(1 + i ) ⁿ

Dr = FV (1 - ___ 1 _ ) (1 + i ) ⁿ

Onde: FV = valor futuro ou valor nominal do título PV = valor presente ou valor descontado

n = período i = taxa unitária de desconto Dr = desconto racional

Desconto Composto "Por Fora"

Fórmulas:

PV = FV (1 - d ) ⁿ

Dc = FV [1 - ( 1 - d) ⁿ ]

Onde: FV = valor futuro ou valor nominal do título PV = valor presente ou valor descontado n = período d = taxa unitária de descontos Dc = desconto composto "Por Fora"

5.9. - Exercícios

1- Calcular o valor atual de um título de valor nominal de $ 5.000,00, vencível em 6 meses, que vai ser resgatado pelo desconto composto "Por Fora", à taxa de 10% ao mês.

2- Calcular o valor do desconto racional (por dentro) de um título de valor nominal de $ 12.000,00 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês.

3- Calcular o valor atual de um título de valor de resgate igual a $ 80.000,00, com 4 meses a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto composto racional é de 3,75% ao mês.

4- Sabendo-se que o valor líquido creditado na conta de um cliente foi de $ 58.978..23. correspondente ao desconto (composto racional) de um título de $ 68.500,00, à taxa de 5% ao mês, determinar o prazo a decorrer até o vencimento desse título.

5- Calcular a que taxa mensal um título de $ 98.000,00, com 75 dias a vencer, gera um desconto composto racional no valor de $ 11.106,90.

6- Calcular o valor líquido liberado em uma operação de desconto sabendo-se que o título de $ 42.000,00 foi descontado (desconto "por dentro") 5 meses antes do seu vencimento utilizando-se uma taxa de desconto de 3,5% ao mês.

7- Uma empresa tem duas notas promissórias que vencem dentro de 60 e 120 dias, com valores de $ 180.000,00 e $ 250.000,00, respectivamente, e deseja liquidá-las antecipadamente. Determinar o valor a ser desembolsado para uma taxa de desconto "por dentrode 1,2% ao mês, assumindo-se o mês com 30 dias.

8- A Cia. ABC tem uma dívida junto a um grande fornecedor expressa pelo fluxo de caixa a seguir:

SEMESTRE VALORES ($) 1 120.000,00 2 203.000,00 3 347.000,00 4 320.000,00

Seu planejamento financeiro indica uma grande entrada de caixa no final do 2º semestre, que permitiria liquidar integralmente essa dívida com um único pagamento, naquele momento. O fornecedor, por sua vez, concorda em mudar o seu fluxo de caixa para uma única parcela de recebimento, no final do 2° semestre. Determinar o valor desse pagamento único, com uma taxa efetiva de 13% ao semestre, no regime de juros compostos.

Anuidades

Uma anuidade (série uniforme) é uma seqüência de pagamentos/recebimentos iguais efetuados a intervalos de tempo também iguais.

Ex.:

- Salários semanais - Pagamento mensal de aluguel - Dividendos trimestrais de ações, etc.

O tempo entre pagamentos sucessivos de uma anuidade chama-se pagamentos e o tempo entre o início e o fim destes intervalos chama-se prazo da anuidade.

O conceito de série uniforme (anuidade) é utilizado nos meios financeiros para o cálculo de prestações de crediários, crédito pessoal, crédito direto ao consumidor, financiametos imobiliários, leasing, etc .. Os recebimentos/pagamentos das prestações podem ocorrer no fin (termos postecipados) ou no início (termos antecipados)

Séries uniformes

Uma anuidade (série uniforme) é uma seqüência de pagamentos/recebimentos iguais efetuados a intervalos de tempo também iguais.

Ex.: Salários semanais Pagamento mensal de aluguel Dividendos trimestrais de ações, etc.

O tempo entre pagamentos sucessivos de uma anuidade chama-se intervalo de pagamentos e o tempo entre o início e o fim destes intervalos chama-se prazo da anuidade.

O conceito de série uniforme (anuidade) é utilizado nos meios financeiros para o cálculo de prestações de crediários, crédito pessoal, crédito direto ao consumidor, financiamentos imobiliários, leasing, etc.

Os recebimentos/pagamentos das prestações podem ocorrer no final de cada período (termos postecipados) ou no início (termos antecipados)

Prestações Iguais – Termos Postecipados

Dado PMT achar FV

Observe o fluxo de caixa abaixo:FV

PMT PMT PMT PMT PMT PMT

Determine o montante FV, na data n, acumulado a partir da série uniforme (PMT), a uma taxa de juros (i) por período de capitalização.

PMT (prestação) significa um depósito constante, onde o primeiro depósito ocorre ao fim do primeiro período (data 1) e o último ao fim do período n (data n). Ou seja, os depósitos são realizados postecipadamente.

FV = PMT(1 + i)n-1 + PMT(1 + i)n-2 + PMT(1 + i)n-3 + . . . + PMT(1 + i)1 + PMT(1 + i)0

FV = PMT [(1 + i)n-1 + (1 + i)n-2

+ (1 + i)n-3

+ . . . + (1 + i)1 + 1]

FV = PMT [1 + (1 + i)1 + (1 + i)2

+ . . . + (1 + i)n - 3 + (1 + i)n - 2 + (1 + i)n - 1]

A expressão entre colchetes corresponde à soma de uma P.G. de n termos, com os seguintes parâmetros:

1º termo = a1 = 1razão = q = (1 + i)

A soma dos n termos de um P.G. é dada por:A soma dos n termos de um P.G. é dada por:

SPG =

Desse modo, o montante FV, que representa o produto de PMT pela soma referida, será:

.FV = PMT *

Dado FV achar PMT

Vimos que FV = PMT * daí, tem-se: ;PMT = FV *

Dado PMT Achar PV

0 1 2 3 4 n-1 n (períodos de tempo )

Determine o principal PV que deve ser aplicado de modo que se possa retirar PMT quantias iguais ao final de cada um dos n períodos subseqüentes, à uma dada taxa de juros i por período de capitalização.

Ou seja, conferindo o diagrama de fluxo de caixa seguinte, o problema se resume em se achar o valor atual da série uniforme de valor constante PMT.

PV

PMT PMT PMT PMT PMT PMT

Ora, este principal será obtido em função de fórmulas já deduzidas. Com efeito foi visto que:

FV = PMT * e FV = PV (1+i)n, então:

PV (1 + i )n = PMT * , onde

.PV = PMT * .

Dado PV Achar PMT

Vimos que PV = PMT * ..daí, tem-se: ;PMT = PV *

Prestações Iguais – Termos Antecipados

Dado PMT achar FV

Observe agora o fluxo de caixa abaixo: FV

PMT PMT PMT PMT PMT

Determine o montante FV, na data n, acumulado a partir da série uniforme (PMT), a uma taxa de juros (i) por período de capitalização.

PMT (prestação) significa um depósito constante, onde o primeiro depósito ocorre ao início do primeiro período (data 0) e o último ao fim do período n (data n). Ou seja, os depósitos são realizados antecipadamente.


0 1 2 3 n n+1 (períodos de tempo )

Para se chegar à fórmula do cálculo, teremos que levar o valor das prestações ao futuro pelo prazo n = 1

FV = [PMT(1+i)n + PMT(1+i)n-1 + PMT(1+i)n-2 + . . . + PMT(1+i)1 + PMT(1+i)0]*(1+i)1

Como sabemos que a expressão entre colchetes é uma P.G, deduzimos então a seguinte fórmula:

.FV = PMT * *(1 + i).

Dado FV achar PMT

Vimos que FV = PMT* *(1 + i) daí, tem-se: ;PMT = FV* * .

Dado PMT Achar PV

Determine o principal PV que deve ser aplicado de modo que se possa retirar PMT quantias iguais no início de cada um dos n períodos subseqüentes, à uma dada taxa de juros i por período de capitalização.

Ou seja, conferindo o diagrama de fluxo de caixa seguinte, o problema se resume em se achar o valor atual da série uniforme de valor constante PMT.

PV

PMT PMT PMT PMT....PMT PMT PMT

Ora, este principal será obtido em função de fórmulas já deduzidas. Com efeito, foi visto que:

FV = PMT * * (1 + i) e FV = PV (1+i)n, então:

PV (1 + i )n = PMT * * (1 + i) onde

.PV = PMT * * (1+i).

Dado PV Achar PMT


Vimos que PV = PMT* *(1 + i) daí, tem-se: ;PMT = PV* *

Exemplos:

Ex: João fez uma dívida no banco para saldá-la em 24 prestações de R$ 934,09. De quanto foi o empréstimo se a taxa de juros cobrada foi de 5 % a.m.?

Pela HP:

Limpe as memórias: [ F ] [ REG ]

Entre com as prestações: 934.09 [ ENTER ] [ PMT ]

Informe o número de parcelas: 24 [ n ]

Informe a taxa de juros: 5 [ i ]

Calcule o valor presente: [ PV ]

Ex: João quer comprar um carro daqui a um ano. Quanto ele deve poupar por mês se o carro custa R$ 10.000,00 e a taxa de juros oferecida pelo banco é de 3.5 % a.m.?

Pela HP:


Entre com o valor futuro: 10000 [ FV ]

Entre com a taxa de juros: 3.5 [ i ]

Entre com números de meses: 12 [ n ]

Calcule as prestações: [ PMT ]

Ex: Paulo economiza para pagar sua faculdade R$ 400,00 por mês. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 50 % a.a., quanto custará o curso completo de 4 anos de duração? R$ 47 284,99

Pela HP:


Calcule a taxa de juros mensal: 1.5 [ ENTER ] 12 [ 1 / X ] [ ] 1 [-] 100 [ X ]

Entre com taxa de juros: [ i ]

Entre com número de meses: 12 [ ENTER ] 4 [ X ] [ n ]

Entre com as prestações: 400 [ PMT ]

Calcule o valor futuro: [ FV ]

Séries Variadas:

Veja o fluxo de caixa abaixo:

Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF, valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. PMT é a prestação, ou as entradas e saídas durante o fluxo. Na HP a diferença entre entradas e saídas será simbolizada pelo sinal negativo e positivo, conforme convenção do usuário.

Exemplo:

Vejamos como calcular pela HP, o fluxo representado graficamente.

Primeiro zere as memórias: [ F ] [ REG ]

Entre com o Valor Inicial com o sinal negativo: 100 [ CHS ] [ PV ]

Entre com as prestações, uma a uma, prestando atenção aos sinais:

250 [ CHS ] [ PMT ]

150 [ PMT ]

450 [ PMT ]

350 [ CHS ] [ PMT ]

Aperte , então a tecla [ FV ] para obter o valor futuro do fluxo, 100.

Exercícios

1. Determine o valor que se deve depositar trimestralmente a fim produzir um montante de R$ 20.000,00 , após o 4.º depósito, com uma taxa de juros compostos de 6% ao trimestre.

R$ 4.571,83

2. Qual o menor investimento que se deve fazer hoje para proporcionar uma retirada de R$ 80,00 mensais, durante os próximos oito meses, a uma taxa de juros composta de 15% a.m.?

R$ 358,993. Foi concedido um financiamento a uma taxa de juros compostos de 15% a.m. Serão pagas 10

prestações mensais iguais de R$ 900,00, a primeira vencendo no final do primeiro mês. Qual o valor do financiamento?

R$ 4.516,894. Uma compra foi financiada a uma taxa de juros compostos de 12% a.m. para ser pago em 15

prestações mensais de R$ 2.000,00, sem carência. Qual o valor do principal?R$ 15.256,34

5. Depositando mensalmente R$ 10,00 em um fundo que rende 1% a.m., o montante imediatamente após o 20º depósito será de?

R$ 220,196. Uma loja financia seus artigos em 20 meses, sem entrada. O valor da prestação mensal para quem

compra um artigo por R$ 80.000,00 é de R$ 12.000, qual a taxa de juros compostos?13,9% a.m

7. Se eu aplicar R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos 12% a.a., por quanto tempo poderei retirar prestações iguais a R$ 416,35 ?

3 anos8. Uma loja financia seus produtos em 5 prestações mensais iguais, sem entrada, exigindo uma taxa

de juros de 15% a.m. Se fizermos uma compra no valor de R$ 9.000,00 qual será o valor destas prestações? Usando os mesmos dados, faça o problema considerando que a loja exige o pagamento da 1.ª prestação no ato da compra. Qual seria então o novo valor das prestações?

R$ 2.684,84 e R$ 2.334,649. Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de R$ 210,00.

Obtenha o valor financiado, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira prestação vence um mês depois de efetuada a compra?

R$ 1.970,0010. No dia do nascimento de um menino, seu pai decidiu criar um fundo para sua educação

universitária, depositando uma certa quantia nesse fundo, em cada um de seus aniversários, até o 18.º inclusive. O objetivo era o de permitir ao filho retirada de R$ 20.000,00 ao completar 18, 19, 20 e 21 anos. Se o fundo é remunerado em 4% a.a., quanto deve ser depositado anualmente?

R$ 2.944,0711. Apliquei R$ 18.700,00 em uma conta que me rendia 25% a.m. Permaneci com o dinheiro

aplicado por 12 meses. A partir do 12.º mês iniciei uma série de 5 retiradas iguais e sucessivas, zerando a conta. Em quanto importou cada retirada ?

R$ 80.949,80Quando contraímos uma dívida, devemos saldá-la por meio de pagamentos do principal e

juros contratados. Atualmente existem diversos critérios para amortização de dívidas: o Sistema PRICE, o Sistema de Amortizações Constantes (SAC) e o Sistema de Amortização Mista (SAM)

PRICE – Sistema de Prestações Constante

O Sistema PRICE (Richard Price), também chamado Sistema Francês (pois foi a França o primeiro país que utilizou este sistema do ponto de vista comercial), corresponde a um financiamento onde todos os pagamentos são iguais.

Rn = R1 = R2 = ... = Rn = cte. Rn = PMT = PV x = constante

Vejamos agora um exemplo numérico:

P = 1.000,00i = 2% a.m.n = 4 meses

n Saldo Prestação Juros Amortização0 1.000,00 - - -1 757,38 262,62 20,00 242,622 509,91 262,62 15,15 247,473 257,49 262,62 10,20 252,424 - 262,62 5,15 257,49

Um financiamento pelo Sistema Price pode ser calculado utilizando-se máquinas financeiras, pois suas prestações são constantes.

Na máquina HP12-C:

1.000 .CHS. .PV. 4 .n.

2 .i. .PMT. 262,62 = Valor de cada Prestação

1 f AMORT 20,00 = Juros pagos no momento 1.x y. 242,62 = Amortização paga no momento 1. RCL PV 757,38 = Saldo devedor no momento 1.

1 f AMORT 15,15 = Juros pagos no momento 2 x y 247,48 = Amortização paga no momento 2. RCL PV 509,90 = Saldo devedor no momento 2.

1 f AMORT 10,20 = Juros pagos no momento 3 x y 252,43 = Amortização paga no momento 3. RCL PV 257,47 = Saldo devedor no momento 3.

1 f AMORT 5,15 = Juros pagos no momento 4 x y 257,47 = Amortização paga no momento 4.

RCL PV 0,00 = Saldo devedor no momento 4.

Exemplo: Para comprar um apartamento você pegar um empréstimo no banco de R$ 40 000,00 a uma taxa de 15 % a.a. para pagá-la em 60 meses. Calcule o valor das prestações, dos juros e do total amortizado no primeiro, segundo e terceiro anos, separadamente.

Pela HP:

Limpe as memórias: [F][REG]

Entre com o empréstimo: 40 000 [PV]

Entre com o número de meses: 60 [n]

Entre com a taxa de juros: 15 [G][12/]

Calcule as prestações: 10 [PMT]

Visor:

0.00

40 000.00

60.00

1.25

-951.60

<>

<>

<>

<>

Calcule os juros no primeiro ano: 12 [F][AMORT]

Calcule o total amortizado no primeiro ano: [x y]

-5 611.46

-5 807.70

Pela [ F ] [ AMORT ] temos o total dos juros pagos no período introduzido imediatamente antes. Note, que o período tem que ser expresso na mesma unidade da taxa, no caso, mensal. A tecla [ x y ] quando apertada após o cálculo dos juros, mostra o principal já amortizado.

Para calcularmos os juros e o principal referente ao segundo e terceiro anos repetiremos os passos abaixo:

Pela HP: Calcule os juros do segundo ano: 12 [F][AMORT]Calcule o total amortizado no segundo ano: [x y]

Visor: -4 677.85-6 741.32

Precisamos repetir a introdução de 12, para a calculadora entender que queremos os juros dos próximos 12 meses.

Veja que se somarmos o valor dos juros com amortização do segundo ano teremos R$ 11,419.17, que dividido por 12 meses dará R$ 951.60. Esta foi a prestação calculada anteriormente.

O mesmo acontece se somarmos os juros as amortizações do primeiro ano, o que demonstra que neste sistema as prestações são iguais, mas a relação de juros é diferente.

Calcularemos abaixo os juros e o principal referente ao terceiro ano:

Pela HP:

Calcule os juros do terceiro ano: 12 [F][AMORT]

Calcule o total amortizado no terceiro ano: [x y]

Visor:

-3 594.15

-7 825.05

Caso você queira saber quanto falta ainda ser amortizado:

[ RCL ] [ PV ] 19,625.93

Ou, se você preferir: 40 000 - 5807.70 - 6741.32 - 7825.05 = 19 625.93

Exemplo: Após ter pago 10 prestações fixas de R$ 1170.60 do financiamento do seu carro novo, João recebe R$ 10 000,00 de herança e quer pagar algumas prestações. O problema é que ele não sabe quanto do principal já pagou e quantas prestações ainda faltariam ser pagas, caso amortizasse R$ 10 000,00. Ele pede sua ajuda e lhe diz que o preço do carro à vista era R$ 23 000,00.

Pela HP:


Entre com o empréstimo: 23 000 [PV]

Visor:

0.00

23 000.00


Entre com as prestações: 1 170.60 [CHS][PMT]

Calcule a taxa de juros: [i]

Calcule os juros nos 10 meses: 10 [F][AMORT]

Calcule o total amortizado no primeiro ano: [x y]

Calcule quanto ainda falta pagar: [RCL] [PV]

24.00

-1 170.00

1.67

-3 215.82

.-8 490.18

14 509.82

Desconte os R$ 10 000,00 do que falta ser pago e o restante introduza como novo valor inicial de empréstimo:

10 000 [-] [PV]

Visor:

4509.82

Calcule o valor das novas prestações, se o saldo restante será pago em 4 vezes:

4 [n] [PMT]

Visor:

-1 174.82

Nestas últimas prestações quanto está sendo pago de juros:

4 [F] [AMORT]

Visor:

-189.46

Calcule quanto foi amortizado:

[x y]

Visor:

-4 509.82

Exercícios

1. Qual o valor das prestações, dos juros e das amortizações de um empréstimo, obtido pelo Sistema PRICE, de R$ 100 mil, por 4 anos a uma taxa de juros compostos de 12% a.a. ?

32.923,44

2. Uma empresa tomou emprestado R$ 2.000.00 concordando em saldar o débito em oito pagamentos anuais postecipados a juros de 36%a.a pela tabela Price. Pede-se calcular:

a) a prestação anual: 787.268,48b) o saldo devedor logo após o sexto pagamento: 1.0004.516,44c) a amortização do quarto ano: 169.210,89

3. Um empréstimo de R$ 600 mil deverá ser liquidado em 4 prestações mensais pelo Sistema PRICE, a taxa de juros efetivos de 10% a.m. Calcular mês a mês:

a) O valor das prestações;b) O valor dos juros;c) O valor das amortizações;d) O valor dos saldos.

4. Um empréstimo de R$ 1 milhão deverá ser liquidado através de 80 prestações mensais pelo Sistema PRICE a taxa de juros efetiva de 3% a.m. Calcular o somatório dos juros, a amortização e o saldo da dívida após o pagamento da 70.ª prestação.

1.600.271,50; 717.551,00 e 282.449,005. Um empréstimo de R$ 2 milhões deverá ser pago através de 108 prestações mensais pelo

Sistema PRICE, a juros efetivos de 2% a.m. Calcular o saldo da dívida após o pagamento de 100 prestações.

332.148,916. Um empréstimo de R$ 250 mil, obtido a uma taxa de juros de 3% a.m. deverá ser liquidado no

prazo de 95 meses, pelo Sistema PRICE. Qual o saldo da dívida após o pagamento de 31 prestações ?

225.926,747. Um financiamento de R$ 100.000 será pago pela tabela Price em oito parcelas mensais a juros

de 6% a.m. Calcular os juros embutidos na 6ª prestação.26.145,78

Sistema de Amortização Constante (SAC)

Pelo sistema de amortização constante, o devedor paga o principal em parcelas iguais, e os juros sobre o saldo devedor. Desta forma as prestações são decrescentes, já que os juros diminuem a cada prestação.

Exemplo: Um empréstimo de R$ 10 000,00 a uma taxa de 4 % a.m. a ser pago em 4 vezes pelo SAC tem as seguintes Prestações:

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1) Uma empresa toma emprestado R$ 60 000,00 em um banco, a uma taxa de 63 % a.a., por quatro meses, com amortizações mensais pelo SAC. Quanto esta empresa pagará de juros totais ao final dos quatro meses?

i = ( 0.63 / 12 ) = 0.0525

Exercícios

1. Uma dívida de R$ 60.000,00 vai ser amortizada através do SAC em 12 pagamentos anuais, à taxa de 20% a.a. Calcule o saldo devedor após o pagamento da oitava prestação.

2. Financiei a compra de um veículo no valor de R$ 32.000,00. A forma de pagamento foi pelo SAC negociado em 18 parcelas com uma taxa de 3%. Qual o saldo devedor após a sexta prestação?

Como calcular coeficientes de financiamento?

Um gerente de uma agência de automóveis quer calcular coeficientes para financiamentos, por unidade de capital emprestado. Estes coeficientes quando aplicados ao total do capital darão como resultado a prestação. Sabendo-se que a agência cobra 5 % de juros ao mês, calcule coeficientes para 6 e 12 meses.

Pela HP:

Limpe as memórias: [F] [REG]

Entre com a Taxa de Juros: 5 [i]


Entre com a unidade de capital emprestado: 1 [PV]

Calcule o coeficiente para as prestações: [PMT]

Visor:

0.00

5.00

6.00

1.00

-0.19702

Desconsidere o sinal negativo. Ele só representa a direção de saída do fluxo. Neste caso então, para um financiamento de R$ 10 000,00, em 6 meses, as prestações devem ser de : R$ 1.000 x 0.19702 = R$ 1.970,20.

Vejamos 12 meses: Visor:


Entre com a Taxa de Juros: 5 [i]


Entre com a unidade de capital emprestado: 1 [PV]

Calcule o coeficiente para as prestações: [PMT]

0.00

5.00

12.00

1.00

-0.11283

Análise de planos de pagamento

1) Um certo carro, que à vista custa R$ 15.000,00 está sendo vendido à prazo com uma entrada de R$ 8.500,00 e 12 prestações de R$ 630,00 ou 24 prestações de R$ 430,00 com a mesma entrada. Qual a melhor forma de pagamento?

R.: A primeira opção é mais barata. 1. Opção:

O valor a ser financiado será R$ 15 000,00 - R$ 8 500,00 = R$ 6 500,00

Pela HP:


Calcule o Financiamento: 15 000 [ENTER] 8 500 [-]

Entre com o valor inicial: [CHS] [PV]

Entre com as prestações: 630 [PMT]



Visor:

0.00

6 500.00

-6 500.00

630.00

12.00

2.402. Opção:

O valor a ser financiado será R$ 15 000,00 - R$ 8 500,00 = R$ 6 500,00

Pela HP:


Calcule o Financiamento: 15 000 [ENTER] 8 500 [-]

Visor:

0.00

6 500.00

Entre com o valor inicial: [CHS] [PV]

Entre com as prestações: 430 [PMT]



-6 500.00

430.00

24.00

4.08

Valor Presente Líquido – NPV

O valor Presente Líquido (NPV) tem como finalidade valorar em termos de valor presente o impacto dos eventos futuros associados a um projeto ou alternativa de investimento, ou seja, mede o valor presente dos fluxos de caixa gerados por um projeto ao longo da sua vida útil.

O valor presente líquido é obtido pela diferença entre o valor presente dos benefícios (ou pagamentos) previstos de caixa e o valor de investimento inicial.

A identidade de cálculo do NPV é expressa da seguinte forma:

NPV = + + + ... + - FC0

Ex.: Admita que uma empresa esteja avaliando um investimento no valor de R$ 7.500.000,00 do qual se espera benefícios anuais de caixa de R$ 2.500.000,00 no primeiro ano, R$ 3.200.000,00 no segundo ano, R$ 3.800.000,00 no terceiro ano e R$ 2.800.000,00 no quarto ano. Sabendo-se que a empresa tenha definido em 20% a.a. a taxa de desconto a ser aplicada aos fluxos de caixa do investimento, tem-se a seguinte representação e cálculos do NPV:

Na máquina HP:

7.500.000 CHS g CF0.

2.500.000 g CFj. 3.200.000 g CFj.

3.800.000 g CFj. 2.800.000 g CFj. 20 i. f NPV. R$ 354.938,27

Observe que, mesmo descontando os fluxos de caixa pela taxa de 20% ao ano, conforme definida previamente, o NPV é superior a zero, indicando que a alternativa de investimento oferece uma taxa de rentabilidade anual superior aos 20% nesta situação, evidentemente, o investimento apresenta-se atraente, indicando sua aceitação.

R$ 2.500.000 R$ 3.200.000 R$ 3.800.000 R$ 2.800.000

0 1 2 3 4

R$ 7.500.000

Ao se elevar à taxa de desconto para 30% a.a., por exemplo, o valor presente líquido apresenta-se negativo, indicando que a rentabilidade implícita do investimento é inferior à taxa de desconto mínima exigida, ou seja:

Na máquina HP

7.500.000 CHS g CF0.

2.500.000 g CFj. 3.200.000 g CFj.

3.800.000 g CFj. 2.800.000 g CFj.

30 i. f NPV. - R$ 973.442,81

Observe agora, que o NPV é inferior a zero, indicando que este investimento não é atraente para a empresa. O objetivo do NPV é encontrar projetos ou alternativas de investimento que valham mais para os patrocinadores do que custam – projetos que tenham um NPV positivo. Seu cálculo reflete as preferências entre consumo presente e consumo futuro e a incerteza associada aos fluxos de caixa futuros. A taxa de desconto é chamada, no caso do NPV de custo de capital.

Para identificar qual a taxa de desconto (ou custo de capital) mínima a ser aceita pela empresa, devemos então entender o conceito de Taxa Interna de Retorno.

Taxa Interna de Retorno – IRR

Por definição, a Taxa Interna de Retorno (IRR) é a taxa de retorno esperada do projeto de investimento. Este método não tem como finalidade a avaliação da rentabilidade absoluta a um determinado custo de capital como o NPV, mas, ao contrário, seu objetivo é encontrar uma taxa intrínseca de rendimento. A taxa interna de retorno é a taxa de que iguala o valor presente das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos) previstas de caixa.

Geralmente, adota-se a data de início da operação – momento zero – como a data focal de comparação dos fluxos de caixa. Nestas condições, a identidade de cálculo da taxa interna de retorno é identificada da seguinte forma:

NPV = + + + ... + - FC0 como NPV = 0

FC0 = + + + ... +

Ex1.: Usaremos os dados do exemplo anterior para determinar a Taxa Interna de Retorno do investimento que fornece o seguinte fluxo:

R$ 2.500.000 R$ 3.200.000 R$ 3.800.000 R$ 2.800.000

0 1 2 3 4

R$ 7.500.000

O custo desta operação, calculado pelo método da taxa interna de retorno, atinge:

7.500.000 =

Manualmente, o procedimento para determinar a IRR seria aproximá-la por meio de uma interpolação linear. O processo consiste em tentar duas taxas que resultem em NPV’s de sinal contrário, de modo que se permita a interpolação.

Após de varias tentativas, temos NPV = 55.743,63 com i = 22% e NPV = -86.964,70 com i = 23%, interpolando temos:

55.743,63 86.964,70 IRR = 22,39% a.m. IRR – 22 23 – IRR

Também podemos resolver este tipo de problema com a utilização de máquinas financeiras.

Na máquina HP-12C: 7.500.000 CHS g CF0.

2.500.000 g CFj. 3.200.000 g CFj.

3.800.000 g CFj. 2.800.000 g CFj.

f IRR 22,39 IRR = 22.39% a.m

Análise de Investimento I

A partir da montagem de um fluxo de caixa podemos facilmente calcular, com a ajuda da HP-12C, a viabilidade de um projeto.

Quando uma empresa ou uma pessoa deseja investir em um projeto, ela tem paralelamente outras opções, como por exemplo, a própria atividade produtiva, ou o mercado financeiro. Chamamos de custo de oportunidade de uma empresa ou pessoa, o retorno certo que ela teria sem investir em novos projetos.

Um investimento será viável se seu retorno for maior que o de qualquer outro tipo de aplicação, quando empregada a mesma quantia. Para sabermos isto basta montar um fluxo com o investimento efetuado e as receitas e economias esperadas, além da taxa mínima de retorno desejada (deverá ser maior que seu custo de oportunidade). A partir deste fluxo entraremos com os dados na HP-12C e calcularemos o Valor Presente Líquido (NPV), que será o resultado na data de hoje de todas as saídas e entradas, considerando-se taxa mínima de retorno desejada. Se o valor do NPV for positivo significa que o investimento é viável e a taxa de retorno é ainda maior que a desejada. Se o valor for igual a zero, significa que o investimento retornará exatamente o desejado e, portanto, é viável. Se o valor for negativo, o retorno não será o mínimo desejado, valendo mais a pena investir no mercado financeiro ou na produção.

Exemplo: Ana tem R$ 10 000,00 aplicados no banco pelos quais recebe 4 % a.m.. Ela deseja abrir uma pequena confecção, mas antes quer saber se o investimento valerá a pena. Ela montou o seguinte fluxo de caixa e considera que o mínimo de retorno desejável seria de 8 % a.m.Verifique se o investimento é viável.

=

Pela HP:


Entre com o valor inicial: 6 000 [CHS] [G] [CFo]

Entre com as parcelas do fluxo:

4 000 [CHS] [G] [CFj]

2 000 [G] [CFj] 2 [G] [Nj]

3 000 [G] [CFj]

2 000 [G] [CFj]

1 000 [CHS] [G] [CFj]

2 000 [G] [CFj] 2 [G] [Nj]

3 000 [G] [CFj]

Entre com a taxa de retorno esperada: 8 [i]

Calcule o valor presente líquido:[F] [NPV]

Calcule a taxa interna de retorno: [F] [IRR]

Visor:

0.00

-6 000.00

-4 000.00

2.00

3 000.00

2 000.00

-1 000.00

2.00

3 000.00

8.00

282.99

8.67%

Logo, este investimento é viável, pois NPV é positivo e IRR é maior que 8 %.

Análise de Investimento II

Outra forma de avaliação da viabilidade de um investimento é o método do Pay Back Time, ou tempo de retorno do capital. Vejamos um investimento, cujo fluxo se apresenta da seguinte forma:

O custo de oportunidade para este capital é de 4 % a.m., ou seja, se não fosse investido, este capital renderia 4 % a.m. em uma aplicação financeira.

Pela HP:


Calcule o montante se o capital inicial fosse aplicado no mercado financeiro: 0.04 [ENTER] 1 [+] 6 000 [X]

Entre com o segundo investimento: 4 000 [+] 1.04[X]

Subtraia o primeiro retorno: 2 000 [-]

Calcule o montante sobre o resultado: 1.04 [X]

Subtraia o segundo retorno: 2 000 [-]


Subtraia o terceiro retorno: 3 000 [-]


Subtraia o quarto retorno: 3 000 [-]


Subtraia o quinto retorno: 3 000 [-]

Visor:

0.00

6 240.00

10 649.60

8 649.60

8 995,58

6 995.58

7 275.41

4 275.41

4 446.42

1 446.42

1 504.28

-1 495.72

O retorno deste investimento se dará a partir do sexto mês.

Exercícios

1. Determinado empréstimo a juros de 5,0 % a.m., deverá ser pago através das seguintes prestações:

DATA PRESTAÇÕES (R$)30/JUN 13.000,0030/JUL 9.000,0030/AGO 8.000,0030/SET 8.000,00

30/OUT 6.000,00

Calcular o valor da prestação constante, com pagamento nas mesmas datas, que também liquidaria este empréstimo.

2. Uma empresa, cujo custo de oportunidade do capital é de 7% a.a, estuda a possibilidade de comprar uma máquina. Para escolher entre a máquina A e a máquina B, a empresa dispõe das seguintes informações sobre as alternativas de investimento:

Maquina A Maquina BInvestimento Inicial R$ 19.000 R$ 25.000Fluxo de Caixa R$ 12.000/ano R$ 8.000/anoVida Útil 4 anos 6 anos

IRR R$ 51,90 R$ 22,56NPV R$ 21646,54 R$ 13132,32

Para as duas alternativas pede-se calcular: a) NPV, b) IRR e c) anuidade uniforme equivalente e determinar qual dos projetos é preferível.

3. Considerar o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabela a seguir:

Ano Valor (R$)0 - 14.000,001 5.250,002 4.350,003 3.000,004 2.850,00

Determinar a Taxa Interna de Retorno do Fluxo de Caixa

4. Uma pequena empresa pretende contrair um empréstimo de R$ 60.000,00 que será pago em 6 anos. Os valores das prestações são de R$ 17.500,00 no 1.º ano, R$ 19.800,00 no 2.º ano, R$ 17.200,00 no 3.º 4.º e 5.º anos e 24.500,00 no 6.º ano. Pede-se para verificar qual a decisão da empresa para as taxas de desconto de 21% e 25% e qual a taxa interna de retorno.

5. Um apartamento está sendo oferecido por R$ 450.000,00 à vista ou R$ 150.000,00 de entrada mais cinco prestações mensais de 20.000,00, mais sete seguintes de 60.000,00. Determinar a Taxa Interna de Retorno.

6. Um terreno foi comprado para ser pago em 05 prestações trimestrais, com os seguintes valores:

1.º Trimestre 20.000,002.º Trimestre 5.000,003.º Trimestre 10.000,004.º Trimestre 3.000,005.º Trimestre 30.000,00

Sendo a taxa de juros para aplicações financeiras vigente no mercado de 8% a.t., pergunta-se o valor do terreno à vista.

7. Para as seguintes alternativas, calcular o NPV e a anuidade uniforme equivalente e determinar qual das alternativas representa a melhor escolha econômica:

Alternativa X Alternativa YInvestimento Inicial R$ 5.000 R$ 8.000Fluxo de Caixa R$ 1.672/ano R$ 1.594/anoDuração 5 anos 10 anosCusto do Capital 10% a.a 8% a.a

R$ 1338,20 R$ 2695,87

Matemática Financeira com Excel

As funções financeiras no Excel são diferentes da calculadora HP 12CVeja o quadro comparativo logo a seguir:

Comparativo HP 12C x ExcelI TAXAPMT PGTOPnG NPERNPV VPLPV VPFV VFIRR TIR

Juros simples no Excel

No Excel, não há fórmulas específicas para o cálculo dos juros simples, então dessa forma, é necessário construir as fórmulas para cada questão.

Veja os exemplos a seguir:

Um capital de R$ 20.000,00 aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 6 meses. Qual será o valor do montante?

Apliquei R$ 50.000,00 a uma taxa de 3% a.m. Sabendo que o resgate será de R$ 57.500. Pede-se o período pelo qual o capital foi aplicado.

Juros de Mora

São os juros aplicados por atrasos de pagamentos de duplicas e boletos com relação as operações bancárias em geral:Exemplo de cálculo de juros de mora:

A empresa Compra tudo S.A. tem as seguintes duplicatas em atraso:

Juros de mora: 3% a.m.Duplicata Vencimento Pagamento R$ 5.000,00 20/8/2009 20/9/2009 R$ 1.500,00 25/8/2009 20/9/2009 R$ 3.000,00 27/8/2009 20/9/2009 R$ 2.500,00 30/8/2009 20/9/2009 R$ 12.000,00

Calcular o valor total a ser pago (Valor das duplicatas + Juros)

Cálculo dos juros do cheque especial. (Método Hamburguês ou Conta Garantida)

A maioria dos bancos e instituições financeiras utilizam o método hamburguês para corrigir os saldos devedores do cheque especial, que é pelo sistema de juros simples.

Fórmula: JUROS = i/30*(Sd. Dev*d), onde d = número de dias

Agora veja o exemplo abaixo:

O Banco Empresta Fácil S.A. cobra juros simples de 4,2% a.m. no cheque especial. Qual o total de juros a ser pago pelo cliente conforme o histórico abaixo:

Dia Histórico Valor Resultado D/C Nº de dias2/3/2009 Sd. Anterior 80000 C

10/3/2009 Cheque -90000 -10000 D 6,0016/3/2009 Cheque -25000 -35000 D 2,0018/3/2009 Depósito 40000 5000 C 23/3/2009 Déb. Autom. -13500 -8500 D 7,0030/3/2009 Depósito 60000 51500 C

J = 0,042 / 30 * (10.000*6 + 35.000*2 + 8.500*7) = R$ 265,30

Total de juros = R$ 265,30

Cálculo de operações de Hot Money

São operações de financiamentos de curto prazo que as instituições financeiras fazem às empresas.A taxa de juros é a chamada taxa over, ou taxa efetiva do dia útil multiplicada por 30 dias, pois é apresentada na forma mensal referente ao dia útil.

Fórmula: Montante = C(1 + i*d/30), onde d = nº de dias corridos

Agora veja o exemplo abaixo:

Calcule, conforme a tabela a seguir, o montante e a taxa no período de um financiamento HOT MONEY.

Financiamento Valor Dias Corridos Dias úteis Taxa HOT Montante Taxa - a.p. R$ 6.000,00 1 1 8,34% R$ 4.000,00 2 2 8,35% R$ 6.500,00 5 3 9,58% R$ 5.800,00 6 4 8,37% R$ 7.000,00 8 5 8,38% R$ 8.000,00 10 7 12,50% R$ 9.000,00 13 9 9,85%

Juros Compostos no Excel

Para os cálculos de juros compostos, temos fórmulas próprias do Excel, pois como sabemos, os juros compostos são os juros comerciais, que na verdade são utilizados na maioria das operações financeiras. É bom saber que não há uma fórmula pronta para todas as situações. Para cada situação analisada poderemos ter várias fórmulas distintas. Como veremos, em várias situações, além das fórmulas prontas do Excel ainda será necessário elaborar algumas fórmulas. Com uma interpretação correta de cada situação é que será possível ter resultados corretos.

Exemplos

De uma aplicação de R$ 5.000,00 por 6 meses a uma taxa de 1,60% a.m. Qual o valor a resgatar?

Calcule o vapor de uma aplicação de um Montante resgatado de R$ 50.000,00 realizado a 6 meses atrás a uma taxa de 2% a.m.

Veja a fórmula inserida na célula B4

Para uma aplicação de R$ 30.000,00 durante 12 meses, resgatei o valor de R$ 38.000,00. Qual a taxa de juros referente a remuneração desse capital?

Dos R$ 60.000,00 aplicados a uma taxa de 2% a.m. resgatei um total de R$ 65.500,00. Qual o período de aplicação?

Equivalência de Taxas

Assim como na HP12C, também é possível fazer a equivalência de taxas no Excel.

Exemplo

Transformar uma taxa de 5% a.m. em uma taxa anual




Operações de descontos

Quero pagar hoje um título que vencerá daqui a dois meses no valor de R$ 5.000,00 a uma taxa de 2,5% a.m. Qual será o valor a pagar após o desconto?

Resgatei R$ 9.600,00 dois meses antes do vencimento. Sabendo que o valor do título era de R$ 10.000,00 calcule a taxa de desconto.

Séries de pagamentos uniformes

Para os casos de pagamentos uniformes, a opção do Excel é a sigla: PGTO.

Para pagamentos sem entrada usa-se a opção TIPO = 0, e para pagamentos com entrada usa-se a opção TIPO = 1.

Exemplo




Na compra de um eletrodoméstico no valor de R$ 1200,00, tenho a opção de comprá-lo em três parcelas iguais. Para uma taxa de 4% a.m. e com pagamento da primeira parcela daqui a 30 dias, qual será o valor das parcelas?

Refaça a questão anterior considerando que a primeira prestação seja paga no ato da compra.

Vou comprar um carro financiado em 12 meses pagando prestações iguais de R$ 850,00. A taxa de juros é de 3% e a primeira prestação após 30 dias. Qual o valor do carro à vista?

Taxa Interna de Retorno

Para a Taxa Interna de Retorno no Excel, será usada a simbologia TIR.

Exemplo

Faça o cálculo da TIR para uma aplicação total de R$ 90.000,00 com rentabilidade anual, durante 5 anos, de R$ 20.000,00.

Agora veja como fica a mesma questão com rentabilidade de R$ 10.000,00 nos três primeiros anos e R$ 35.000,00 nos últimos dois anos.

Agora faça a mesma questão considerando a rentabilidade de R$ 35.000,00 nos dois primeiros anos e de R$ 10.000,00 nos últimos três anos.

Comprei um imóvel que pode ser pago por R$ 50.000,00 à vista, ou em 5 vezes sem entrada da seguinte forma: 1x de R$ 20.000,00 + 2x de 15.000,00 + 2x de R$ 10.000,00. Qual a taxa de juros da operação?

Valor Presente Líquido

Para o cálculo do valor presente líquido com o Excel, será usada a simbologia VPL.

Exemplos

1. Realizando a aquisição de uma empresa com investimento inicial de R$ 100.000,00, estima-se as seguintes receitas líquidas durante o ano: R$ 20.000,00 R$ 35.000,00 R$ 40.000,00 R$ 25.000,00 e R$ 36.000,00.Faça a análise do investimento em um banco considerando dois cenários: um com taxa de 14% a.a. e outro com taxa de 16% a.a.

Vejamos o cenário 01 para uma taxa de 14%:

Atenção: Veja que é necessário fazer um ajuste no VPL, pois o Excel descapitaliza um período a mais, e desta forma, é necessário fazer o ajuste atualizando um período para corrigir a diferença.

Agora o cenário 02 para uma taxa de 16%:

Conclusões:

Para o cenário 01: O investimento na empresa é melhor que a aplicação no banco a 14%, pois o VPL ficou positivo.

Para o cenário 02: Aplicar no banco a uma taxa de 16% é opção uma melhor do que a aplicar na empresa, pois o VPL ficou negativo.

2. Aluguei um ponto comercial em ótima localização por 1 ano. As receitas mensais esperadas eram de R$ 2.500,00 com rentabilidade de 6% e taxa de inflação de 3%.A forma negociada da locação foi conforme abaixo:

R$ 6.000,00 de calçãoR$ 3.000,00 após 3 mesesR$ 4.000,00 após 7 meses e R$ 5.000,00 ao final do contrato. (12 meses)

Conclusão:

Vale a pena alugar o ponto comercial conforme os rendimentos esperados pois o VPL foi positivo.

apostila matemática financeira com hp12c e excel (1)

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