apostila de matemática para concursos.pdf

http://www.concurseirosocial.com.br

Grupos de estudo e discusso

Provas e apostilas para download

Simulados e comentrios

Vdeo-aulas e compartilhamento de arquivos

Notcias de concursos

Venha estudar em grupo, discutir e se atualizar. GRTIS!

www.concurseirosocial.com.br

3MATEMTICA

1 - CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS: IN

Os nmeros naturais surgiram da necessidade de contar objetos. Por isso, s vezes so chamados de nmeros de contagem. Representa-se o conjunto dos nmeros naturais por IN.

IN = {0, 1, 2, 3, ...}IN* = IN {0} = {1, 2, 3, ...}

NMEros NATurAIsI - Pares = {0, 2, 4, 6, ...} = {x IN/x = 2n e n IN}II - mpares = {1, 3, 5, 7, ...} = {x IN/x = 2n +1e n IN}III - Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}Um nmero natural primo quando admite somente dois divisores distintos, ele mesmo e a unidade.

ExprEssEs NuMrICAs EM IN Uma sequncia de operaes matemticas uma

expresso numrica.Para resolver segue-se uma prioridade de smbolos

(parnteses, colchetes e chaves) e de operaes.1 Potenciaes2 Multiplicaes ou divises, obedecendo a ordem

em que aparecem, da esquerda para a direita.3 Adies e subtraes, obedecendo a ordem em

que aparecem, da esquerda para a direita.4 Se houver parnteses, colchetes e chaves, a sim-

plificao comea pelas expresses contidas no interior de cada sinal de associao, a partir do mais interno, estando um dentro do outro.

ExERCCIOS RESOlvIDOS01) Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos.

Determine, o nmero de vezes que essa torneira goteja em uma hora.

soluo:1h = 3600s e 3600 20 = 180180 7 = 1260

resp.): 1260 vezes

NMEros INTEIros, rACIoNAIs E rEAIs

02) Determine o valor de: [53 (102 + 42)] : 32 + [25 : (82 2 24) + 20] (16 + 60) : 2

soluo:[125 (100 + 16)] : 9 + [32 : ( 64 48) + 1] (1 + 1) : 2 = [125 116] : 9 + [32 : 16 + 1] 2 : 2 =9 : 9 + [2 + 1] 1 =1 + 3 1 = 3resp.) 3

03) Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeio: a comum e a especial. A refeio comum custa R$ 4,00. Num certo dia, foram servidas 32 refeies comuns e 14 refeies especiais. Nesse dia o restaurante arrecadou R$ 226,00. Calcule o preo da refeio especial.

soluo:32 R$ 4,00 = R$ 128,00R$ 226,00 R$ 128,00 = R$ 98,00R$ 98,00 14 = 7

resp.) r$ 7,00 cada refeio especial.

ExERCCIOS PROPOSTOS

01) Determine o valor da expresso:[(52 2 32)2 + (25 : 5)3 (39 : 3)2]2 : (82 7 32)5 resp.) 25

02) Calcule o valor da expresso:(43 + 42 + 4) : 7 + [ 2 (3 + 32 + 33) (62 + 42) : 13] : 37resp.) 14

03) Determine a metade de 220:resp.) 219

04) Um determinado medicamento deve ser adminis-trado a um doente trs vezes ao dia, em dose de 5 mililitros cada vez, durante 10 dias. Se cada frasco contm 100 mililitros do medicamento, quantos frascos so necessrios? resp.) 2 frascos


MATEMTICA

TESTES

01) Perguntaram a Raquel a sua idade e ela respondeu: Se ao dobro da minha idade voc acrescentar 25 anos, obter 57 anos.A idade de Raquel, em anos, :a) 12 c) 24 b) 16 d) 32

02) Numa adio de trs parcelas, a primeira 1268, a segunda tem 936 unidades a mais que a primeira e a terceira tem 195 unidades a menos que a segunda.A soma das trs parcelas :a) 2204 c) 4018 b) 2009 d) 5481

03) A afirmao correta :a) O resto de uma diviso sempre maior que o divisor.b) O resto de uma diviso sempre igual ao divisor.c) O resto de uma diviso sempre menor que o divisor.d) O resto de uma diviso sempre zero.

04) Numa diviso vlida a relao:a) Dividendo = resto quociente + divisor.b) Dividendo = divisor quociente + resto.c) Dividendo = divisor resto + quociente.d) Divisor = dividendo quociente + resto.

05) Sejam as afirmaesI) Numa diviso, o dividendo igual ao divisor, que

0; ento, o quociente igual a 1.II) Qualquer nmero natural elevado a expoente

zero igual a 1.III)Qualquer potncia de expoente 1 sempre igual a 1.Associando-se V ou F a cada afirmao, obtemosa) v, F, vb) v, v, Fc) v, F, Fd) F, F, F

06) Numa diviso no exata, o divisor 4, o quociente 12 e o resto o maior possvel. Ento, o dividendo a) 48 c) 50 b) 49 d) 51

07) Numa diviso exata, o divisor 6 e o quociente 0. Ento, o dividendo a) 0 c) 6b) 1 d) 12

08) Observe as igualdadesI) 5 : 5 = 1 II) 100 = 1 III) 3 : 0 = 0 Iv) 13 = 3

O nmero de igualdades verdadeiras :a) 4 c) 2b) 3 d) 1

09) O nmero pelo qual devemos multiplicar a diferena entre 382 e 190 para obter o nmero 4224, : a) 12 c) 24b) 22 d) 32

10) Se x = 10 + 10 (2 6 5), ento o valor de x a) 80 c) 30b) 40 d) 20

11) Qual o nmero natural expresso por 23 80?a) 6 c) 0b) 5 d) 7

12) O nmero natural representado pela expresso (82 + 62) : 102 (42 + 32) : 52 a) 0 c) 2 b) 1 d) 3

13) 1 + 24 (62 : 4 9) igual aa) 0 c) 17 b) 1 d) 97

14) Sendo a e b dois nmeros naturais, diferentes de zero, e sabendo que a = b, pode-se concluir quea) a b = 0 c) a b = 2 ab) a b = 1 d) a b = a2

15) Ao copiar um problema envolvendo multiplicao de dois nmeros naturais, um aluno cometeu um engano e escreveu um dos nmeros como 54 ao in-vs de 45. Sua resposta estava 198 unidade maior do que deveria ser. A resposta correta para o problema de multiplicao :a) 405 c) 990b) 945 d) 1188

GAbArITo

01) B 02) D 03) C 04) B 05) C06) D 07) A 08) C 09) B 10) A11) D 12) A 13) B 14) D 15) C


MATEMTICA

MlTIplos E DIVIsorEs EM IN

IntroduoA meta agora mostrar novos con-ceitos sobre a multiplicao e a divi-so de nmeros naturais e identificar tcnicas de clculo que nos permitam resolver algumas situaes.

por exemplo:Qual o menor nmero natural que devemos sub-

trair de 719 para obter um nmero divisvel por 23? E qual o menor nmero natural, maior que 719, que divisvel por 23?

719296

2331

719 6 = 713 e 713230

2331

logo, 6 o menor nmero natural que devemos sub-trair de 719, para obter um nmero divisvel por 23.

719296

2331

23 6 = 17 719 + 17 = 736 e

736230

2331

Portanto, o menor nmero natural, maior que 719 que divisvel por 23, o nmero 736.

Conceito de Mltiplo e Divisor

a0

bk

a INb IN*k IN

a = bk

Se b k = ab divisor ou fator de aK divisor ou fator de aa mltiplo de b e de k.

Ex.) Determine o conjunto dos divisores de 24, em IN.Notao: D(a) indica o conjunto dos divisores de a.Divisores ou fatores de 24.24 1 = 24 8 3 = 2412 2 = 24 6 4 = 24D(24) = {1, 2, 3, 4, 6 , 8, 12, 24}

Ex.) Determine o conjunto dos divisores primos de 24, em IN.

24 = 2 12 = 2 2 6 = 2 2 2 3 {2,3}

Conceito: (Fatorao de um Nmero Natural)Fatorar um nmero natural decompor este nmero

no produto de seus fatores primos.Ex: Fatorando o nmero 24, tem-se:24 = 2 2 2 3 ou 24 = 23 3

2412631

2223233

Tcnica:

Propriedades dos divisores em IN.a) Se a IN* a divisor de ab) O nmero 1 divisor de qualquer nmero natural.c) Se a IN* a divisor de zero.

CrITrIos DE DIVIsIbIlIDADE EM IN Divisibilidade por 2Um nmero divisvel por 2 quando terminar em

0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, isto , quando for par.Exemplos:126 divisvel por 2 (termina em 6).460 divisvel por 2 (termina em 0).943 no divisvel por 2 (termina em 3).

Divisibilidade por 3Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos

valores absolutos dos seus algarismos for um nmero divisvel por 3.

Exemplos:147 divisvel por 3 (1 + 4 + 7 = 12 e 12 divisvel

por 3).648 divisvel por 3 (6 + 4 + 8 = 18 e 18 divisvel

por 3).2 153 no divisvel por 3 (2 + 1 + 5 + 3 = 11 e 11

no divisvel por 3).

Divisibilidade por 4Um nmero divisvel por 4 quando terminar em

dois zeros ou quando o nmero formado pelos dois ltimos algarismos da direita for divisvel por 4.

Exemplos:1 300 divisvel por 4 (termina em dois zeros).624 divisvel por 4 (24 divisvel por 4).738 no divisvel por 4 (38 no divisvel por 4).

Divisibilidade por 5Um nmero divisvel por 5, quando terminar

em 0 ou 5. Exemplos:320 divisvel por 5 (termina em 0).765 divisvel por 5 (termina em 5).623 no divisvel por 5 (no termina em 0 ou 5).

Divisibilidade por 6Um nmero divisvel por 6 quando for divisvel

por 2 e 3, ao mesmo tempo.Exemplos:642 divisvel por 6 ( divisvel por 2 e 3, ao mesmo

tempo).596 no divisvel por 6 ( divisvel por 2, mas no

por 3).963 no divisvel por 6 ( divisvel por 3, mas no

por 2).

Divisibilidade por 8Um nmero divisvel por 8 quando terminar em

trs zeros ou quando o nmero formado pelos trs l-timos algarismos da direita for divisvel por 8.

Exemplos:3 000 divisvel por 8 (termina em trs zeros).1 672 divisvel por 8 (672 divisvel por 8).2 516 no divisvel por 8 (516 no divisvel por 8).


MATEMTICA

Divisibilidade por 9Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos

valores absolutos dos seus algarismos for um nmero divisvel por 9.

Exemplos:648 divisvel por 9 (6 + 4 + 8 = 18 e 18 divisvel

por 9).2 356 no divisvel por 9 (2 + 3 + 5 + 6 = 16 e 16

no divisvel por 9).

Divisibilidade por 10, 100, 1 000 ...Um nmero divisvel por 10, 100, 1000 .... quando

terminar em um zero, dois zeros, trs zeros, respecti-vamente.

Divisibilidade por 11Um nmero divisvel por 11 quando a diferena

entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem mpar e par for igual a zero ou for um nmero divisvel por 11.

Exemplos:1892 divisvel por 11 (2 + 8 = 10 e 9 + 1 = 10 e

10 10 = 0).8371 divisvel por 11 (1 + 3 = 4 e 7 + 8 = 15 e

15 4 = 11).6247 no divisvel por 11 (7 + 2 = 9 e 4 + 6 = 10 e 10 9 = 1).

Divisibilidade por 12Um nmero divisvel por 12 quando for divisvel

por 3 e por 4, ao mesmo tempo.Exemplos:528 divisvel por 12 ( divisvel por 3 e por 4).2 361 no divisvel por 12 ( divisvel por 3, mas

no por 4).

DIVIsorEs DE uM NMEro EM INTcnicas para determinar:

Conjunto dos divisores de um nmero natural.

Seja determinar todos os divisores de 180.

produto de um divisor por um fator primo, igual a um divisor.

D(180) = {1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180}

18090451551

22335

1243, 6, 129, 18, 365, 10, 2015, 30, 6045, 90, 180

Quantidade de divisores de um nmero naturalSeja a IN* e a 1.O nmero de divisores de a igual ao produto dos expo-

entes dos fatores primos de a, acrescidos de uma unidade.Exemplo: Determine o nmero de divisores de 180.180 = 22 32 51 (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 3 3 2 = 18O nmero 180 tem 18 divisores.

MxIMo DIVIsor CoMuM (m.d.c.)Conceitoa) Consideremos os conjuntos dos divisores dos

nmeros 20 e 30.D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}b) Os divisores comuns de 20 e 30 so: 1, 2, 5, 10c) O maior divisor comum de 20 e 30 10.Ento, o nmero 10 denominado mximo divisor

comum de 20 e 30, e que representamos por: m.d.c. (20, 30) = 10

Da, podemos dizer que:Dados dois ou mais nmeros, no nulos, denomina-se mximo divisor comum (m.d.c.) desses nmeros o maior dos seus divisores comuns.

Tcnicas para o clculo do m.d.c. Decomposio em fatores primos1) Decompe-se cada nmero em seus fatores primos.

2) Calcula-se o produto dos fatores comuns, cada um deles com o menor expoente. O produto assim obtido ser o m.d.c. procurado.

Exemplo: Seja determinar o m.d.c. (60,24)

60 = 22 3 524 = 23 3m.d.c. (60, 24) = 22 3 = 4 3 = 12

60301551

2235

2412631

2223

Divises sucessivas (ou algoritmo de Euclides)Divide-se o maior nmero pelo menor; a seguir,

divide-se o menor pelo primeiro resto; a seguir, divide-se o primeiro resto pelo segundo resto; e assim por diante, at obter-se uma diviso exata.

O ltimo divisor o m.d.c. procurado.Exemplo: Calcular m.d.c. (60, 24)

2 260 24 1212 0

quocientes

restos

m.d.c. (60,24) = 12Observao:Para calcular o m.d.c. de 3 nmeros, por exemplo,

calcula-se o m.d.c. de 2 deles e depois calcula-se o m.d.c. do terceiro nmero com o m.d.c. dos 2 nmeros tomados inicialmente.

Exemplo: Calcular o m.d.c. (52, 39, 65)

1 1 265 39 26 1326 13 0

4 52 130

m.d.c. dos 3 nmeros dados.

logo, m.d.c. (52, 39, 65) = 13


MATEMTICA

propriedadeDados dois ou mais nmeros, se um deles for divisor

comum dos outros dois, ento esse nmero ser o m.d.c. dos nmeros dados.

Exemplo:Seja determinar m.d.c. (9, 18, 36)Observa-se que 9 divisor comum de 18 e 36.

2 36 18 0

2 18 9 0

m.d.c. (9, 18, 36) = 9

NMEros prIMos ENTrE sIExemplos:1) m.d.c. (16, 9) = 1

1 1 3 2

16 9 7 2 17 2 1 0

2) m.d.c. (32, 25) = 1

1 3 1 1 3

32 25 7 4 3 1

7 4 3 1 0

Dois ou mais nmeros dizem-se nmeros primos entre si quando o m.d.c. entre eles igual a 1.

logo:16 e 9 so primos entre si.32 e 25 so primos entre si.

MNIMo MlTIplo CoMuM (m.m.c.)Conceito Consideremos os conjuntos dos mltiplos de 4 e 6.M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...}M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...}Os mltiplos comuns de 4 e 6 so 0, 12, 24, 36, ...O menor mltiplo comum de 4 e 6, diferente de

zero, 12.Ento, o nmero 12 denominado mnimo mltiplo

comum de 4 e 6, que representamos por

m.m.c. (4, 6) = 12

Da podemos dizer que:

Dados dois ou mais nmeros, diferentes de zero, denomina-se mnimo mltiplo comum (m.m.c.) desses nmeros o menor de seus mltiplos comuns, diferente de zero.

Tcnicas para o clculo do m.m.c. Podemos determinar o m.m.c. de dois ou mais

nmeros diferentes de zero por meio da decomposio em fatores primos:

1) Decompe-se cada nmero em seus fatores primos.2) Calcula-se o produto dos fatores comuns e no

comuns, cada um deles elevado ao maior expoente.O produto assim obtido ser o m.m.c., procurado.Exemplo: Calcular m.m.c. (60, 24)

60301551

2235

2412631

2223 60 = 22 3 5

24 = 23 3

m.m.c. (60, 24) = 23 3 5 = 8 3 5 = 120

De modo prtico, as decomposies podem ser feitas simultaneamente, pois desta maneira j se obtm os fatores comuns e no comuns com o maior expoente.

Exemplo: Calcular o m.m.c. (60, 24)

60,30,15,15,5,1,

24126311

22235

23

m.m.c. (60, 24) = 23 3 5 = 8 3 5 = 120

propriedadesa) Dados dois ou mais nmeros diferentes de zero,

se um deles for mltiplo de todos os outros, ento esse nmero ser o m.m.c. dos nmeros dados.

Exemplo: Seja calcular o m.m.c. (4, 6, 12)4, 6, 12 22, 3, 6 21, 3, 3 31, 1, 1

m.m.c. (4, 6, 12) = 12

b) Dados dois ou mais nmeros que so primos entre si, ento o m.m.c. entre eles ser o produto dos nmeros dados.

Exemplo: Seja calcular o m.m.c. (4, 9)Observa-se que 4 e 9 so nmeros primos entre si.4, 9 22, 9 21, 9 31, 3 31, 1

m.m.c. (4, 9) = 22 32 = 36

rElAo ENTrE o m.m.c. E o m.d.c. O produto de dois nmeros, diferentes de zero,

igual ao produto do m.d.c. pelo m.m.c. dos mesmos nmeros.

Exemplo: Sejam os nmeros 60 e 24.Temos: m.m.c. (60, 24) = 120 m.d.c. (60, 24) = 12a) O produto dos nmeros dados: 60 24 = 1440b) m.d.c. (60, 24) m.m.c. (60, 24) = 12 120 = 1440Observamos que: 60 24 = m.d.c. (60, 24) m.m.c.

(60, 24) m.d.c. (a, b) m.m.c. (a, b) = a b(a 0 e b 0)


MATEMTICA

ExERCCIOS RESOlvIDOS01) Determine o maior elemento do conjunto:

A = {x IN| x < 5000} que divisvel por 7.soluo:

500010

30 2

7714

5000 2 = 4998

resposta) 4998

02) Determine o algarismo de menor valor que deve ser colocado no lugar da letra x do nmero 50 2x para que ele seja divisvel, ao mesmo tempo, por 2 e por 3.Soluo: 50 2x par e 7 + 2x divisvel por 3

0, 2, 4 , 6, 8 1, 4 , 7resposta) 4

03) Decompondo 240 em fatores primos obtm-se2x 3y 5z, determine o valor de x + y + z:soluo:240 = 24 3 5 = 2x 3y 5z

x = 4, y = 1 e z = 1

logo, x + y + z = 6resposta) 6

04) Se x o nmero de divisores de 40, determine o valor de x2:soluo:40 = 23 5 x = (3 + 1)(1 + 1) = 8Se x = 8, ento x2 = 64resposta) 64

05) Duas tbuas devem ser cortadas em pedaos de mesmo comprimento e tamanho maior possvel.Se uma delas tem 196cm e a outra tem 140cm, de-termine a medida de cada pedao e o nmero de pedaos obtidos aps essa operao.soluo:Medida de cada pedao m.d.c. (140, 196)

1 2 2196 140 56 28 56 28 0

m.d.c. (140, 196) = 28cm

2) 196 28 = 7 pedaos e 140 28 = 5 pedaosTotal de pedaos obtidos: 7 + 5 = 12 pedaosresposta) Cada pedao mede 28cm e o total de

pedaos 12.

06) Um colecionador possui um nmero de moedas antigas compreendido entre 150 e 200. Agrupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 36 em 36, sempre sobram 10 moedas. Determine o nmero de moedas desse colecionador.soluo:m.m.c. (12, 15, 36) = 180180 + 10 = 190resposta) 190 moedas

07) Se o m.d.c. (a, 120) = 24 e m.m.c. (a, 120) = 480, determine o valor do nmero a:soluo: m.d.c. (a, 120) m.m.c. (a, 120) = a 120

logo, 120a = 24 480a = 96resposta) a = 96

ExERCCIOS PROPOSTOS01) Sejam os nmeros A = 23 52 7n e B = 23 52 75.

Determine o menor valor de n para que A seja divisvel por B.resposta) n = 5

02) O nmero 2m 32 tem 15 divisores. Determine o valor de m.resposta) m = 4

03) Um terreno de forma retangular tem as dimenses de 24m de frente por 56m de fundo. Calcule o valor da maior medida, em metros, de uma corda que sirva para medir exatamente as dimenses desse terreno.resposta) 8m

04) Trs fios tm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cort-los em pedaos menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em nmero inteiro de metros, e sem que haja perda de ma-terial. Calcule o menor nmero total possvel de pedaos.resposta) 13

05) Um certo planeta possui dois satlites naturais: lua A e lua B. O planeta gira em torno do sol e os satlites em torno do planeta, de forma que o alinhamento sol-planeta-lua A ocorre a cada 18 anos, e o ali-nhamento sol-planeta-lua B ocorre a cada 48 anos. Se o ano em que estamos ocorrer o alinhamento sol-planeta-lua A-lua B, determine daqui a quantos anos esse fenmeno se repetir.resposta) 144 anos.


MATEMTICA

TESTES

01) A afirmao verdadeira :a) 40 divisor de 8 e mltiplo de 4.b) 40 mltiplo de 8 e divisor de 4.c) 8 mltiplo de 40 e divisor de 4.d) 8 divisor de 40 e mltiplo de 4.

02) verdadeira a afirmao:a) Todo mltiplo de um nmero maior que esse

nmero.b) 1 no mltiplo de nenhum nmero.c) O conjunto dos mltiplos de um nmero tem

sempre 10 elementos.d) Todo nmero mltiplo dele mesmo.

03) Sejam as afirmaes:I) Todo nmero que no divisvel por 2 divisvel

por 3.II) Todo nmero divisvel por 9 tambm divisvel

por 3.III) Todo nmero que termina em 5 divisvel por 3.So verdadeiras:a) I e II. c) somente a II.b) I e III. d) somente a III.

04) O m.d.c. dos nmeros 36, 40 e 56 a) 6 c) 9b) 8 d) 4

05) Os divisores comuns de 18 e 15 pertencem ao conjuntoa) {1, 5, 6} c) {1, 3, 5, 6}b) {3, 5, 6} d) {5, 6}

06) O m.d.c. de dois nmeros primos entre si a) o menor deles. c) 0b) o maior deles. d) 1

07) O m.d.c. dos nmeros 23 32 5 e 2n 34 7 36. O valor de n :a) 1 c) 3b) 2 d) 4

08) Sendo a mltiplo de b, o m.d.c. dos nmeros a e b :a) a c) a bb) b d) 2

09) Sendo A = 2 102 e B = 32 5, o m.m.c. de A e B a) 23 32 52 c) 32 52b) 2 32 5 d) 23 32 5

10) Se 23 3n 5 tem 32 divisores. O valor de n a) 1 c) 3b) 2 d) 4

11) O nmero 2n-1 34 5 tem 50 divisores. O valor de n a) 1 c) 3b) 2 d) 5

12) divisvel por 2, por 3 e por 5 ao mesmo tempoa) 225 c) 230 b) 240 d) 315

13) Considere-se o nmero composto de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades n e todos os demais so iguais a 2, isto , o nmero 22222222 n. O menor valor de n a fim de que este nmero seja divisvel por 3 a) 0 c) 2b) 1 d) 3

14) O conjunto A formado por todos os divisores de 10 e por todos os divisores de 15. Ento, o conjunto A tema) 6 elementos c) 8 elementosb) 7 elementos d) 9 elementos

15) Sabe-se que x = 24 3 5 e y = 22 32 7; ento, o m.d.c. (x,y), igual aa) 12 c) 48 b) 24 d) 60

16) O m.d.c. (20, 30, 40) elemento do conjuntoa) {0, 10, 20} c) {0, 20, 30}b) {20, 40} d) {0, 5, 20}

17) So primos entre si os nmerosa) 27 e 45 c) 17 e 51b) 21 e 25 d) 13 e 39

18) Sabendo-se que a b = 10 584 e que m.m.c. (a, b) = 504, ento m.d.c. (a, b) igual aa) 21 c) 31 b) 26 d) 36

19) Seja A o conjunto dos mltiplos de 6 e seja B o conjunto dos mltiplos de 15. Ento, A B o conjunto de todos os mltiplos dea) 30 c) 60 b) 45 d) 90

20) O m.m.c. e o m.d.c. dos nmeros 14 e 42 so, res-pectivamentea) 7 e 42 c) 42 e 14b) 42 e 7 d) 14 e 42

21) Duas peas de tecidos devem ser cortadas em pe-daos de tamanhos iguais, sendo esse tamanho o maior possvel. Se uma pea mede 90 m e a outra 70 m, cada pedao mede, em metros,a) 10 c) 2 b) 5 d) 1


MATEMTICA

22) Um carro e uma moto partem juntos do ponto ini-cial de um autdromo. O carro percorre o circuito em 210 segundos e a moto em 280 segundos. O carro e a moto passaro juntos novamente no ponto inicial depois dea) 360 segundos c) 720 segundos b) 480 segundos d) 840 segundos

23) O produto de dois nmeros naturais, a e b, 25 33 e o m.d.c (a, b) = 22 3. Ento, o m.m.c. (a, b) :a) 6 c) 72b) 64 d) 96

24) Se numa adio de n parcelas, multiplicarmos cada parcela por 5, a soma fica multiplicada por:a) 5 c) 5nb) n + 5 d) 5n

25) O nmero m = 488a9b, onde b o algarismo das unidades e a, o algarismo das centenas. Sabendo-se que m divisvel por 45, (a + b) igual a:a) 7 c) 16b) 9 d) 18

GAbArITo

01) D 02) D 03) C 04) D 05) C06) D 07) B 08) B 09) A 10) C11) D 12) B 13) C 14) A 15) A16) A 17) B 18) A 19) A 20) C21) A 22) D 23) C 24) A 25) A

2 - CONJUNTO DOSNMEROS INTEIROS:

O conjunto dos nmeros inteiros surge pela neces-sidade de calcular com nmeros negativos.

= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

+ = {0, 1, 2, 3...} + = IN ou IN - = {..., -3, -2, -1, 0}+ - = {0} e + - = * = - - {0}

O conjunto representado na reta (orientada) por pontos, tendo entre si um mesmo comprimento, do seguinte modo:

-3 -2 -1 0 1 2 3 ......

Na reta se x est direita de y x > y

MDulo ou VAlor AbsoluTo DE uMNMEro INTEIro

Se x , indica-se o mdulo de x por |x|.Conceito: Se x

|x| = { x, se x 0 -x, se x < 0O mdulo de um nmero inteiro um nmero

naturalExemplo: |4| = 4 e |-5| = -(-5) ou |-5| = 5

observao: |x| 0Dois nmeros que tenham mesmo mdulo e sinais

diferentes so definidos como nmeros simtricos ou opostos.

Ex.: +7 e 7 so simtricos ou opostos, visto que |+7| = |7|

opErAEs EM

Adio

Se a e b a + b = s e s

logo, a adio FECHADA em .

Consideraes:

I) a > 0 e b > 0 a + b = s e s > 0Ex.: (+5) + (+7) = +12

II) a < 0 e b < 0 a + b = s e s < 0Ex.: (7) + (5) = 12

III) a > 0 e b < 0 a + b = s e s > 0 se |a| > |b|Ex.: (+7) + (5) = +2

Iv) a > 0 e b < 0 a + b = s e s < 0 se |a| < |b|Ex.: (+5) + (7) = 2

propriedades estruturais da adio em a) Comutativa: a + b = b + ab) Associativa: a + (b + c) = (a + b)+ cc) Elemento neutro: a + 0 = 0 + ad) Elemento simtrico (oposto): a + (a) = (a) + a = 0

subtraoA diferena entre dois nmeros inteiros igual

soma do primeiro com o oposto do segundo, ou sejaSe a e b , entoa b = a + (b)

Exemplos: (+10) (+3) = 10 + (3) = 10 3 = 7(7) (+5) = (7) + (5) = 7 5 = 12(3) (1) = (3) + (+1) = 3 + 1 = 2


MATEMTICA

MultiplicaoQuando vamos calcular o produto de dois nmeros

inteiros utilizamos as seguintes regras:1) Se os fatores tm sinais iguais (ambos positivos

ou ambos negativos), ento, multiplicamos os mdulos e damos ao resultado o sinal positivo.

2) Se os fatores tm sinais contrrios (um positivo e o outro negativo), ento, multiplicamos os mdulos e damos ao resultado o sinal negativo.

Resumindo:1 Fator 2 Fator Produto + + + + + +

Exemplos: (+5) (+7) = + 35(5) (7) = + 35(+5) (7) = 35(5) (+7) = 35

Observao:Para multiplicar trs ou mais nmeros inteiros ns multiplicamos os dois primeiros, em seguida multi-plicamos o resultado pelo nmero seguinte, e assim por diante.Exemplo:

4 (1) (3) = (4) (3) = + 12 = 12 4

propriedadesa) FechamentoO produto de dois nmeros inteiros sempre um

nmero inteiro.

a, b (a b)

Exemplo:(2) (+12) = 24 2; + 12; 24

b) ComutativaA ordem dos fatores no altera o produto.

a, b a b = b a

c) AssociativaNa multiplicao de trs fatores podemos associar

os dois primeiros ou os dois ltimos.

a, b e c (a b) c = a (b c)

Exemplo:[(+3) (4)] (2) = (+3) [(4) (2)] = + 24 = 24

d) Elemento NeutroO nmero +1 chamado elemento neutro da

multiplicao de inteiros, porque para todo nmero inteiro a, temos

a (+1) = (+1) a = a

Exemplo:(+5) (+1) = (+1) (+5) = + 5 = 5(+1) 0 = 0 (+1) = 0

e) DistributivaEm geral, se a, b e c so nmeros inteiros quaisquer

temos:a (b + c) = a b + a c

ou, ainda, (b + c) a = b a + c a

Esta a chamada propriedade distributiva da mul-tiplicao em relao adio.

Exemplo: (+3) [(+5) + (2)] = (+3) (+5) + (+3) (2) = +15 6 = 9 DivisoO quociente de dois nmeros inteiros, com o segun-

do diferente de zero, obtido dividindo-se o mdulo do dividendo pelo mdulo do divisor. Se o dividendo e o divisor tm o mesmo sinal, o quociente positivo; se o dividendo e o divisor tm sinais contrrios, o quociente negativo.

Resumindo temos:

Dividendo Divisor Quociente + + + + + +

potenciaoJ sabemos que:an = a . a . a ... a, com a IN e n 2

n fatores

As regras para as potncias de nmeros inteiros com base diferente de zero, so:

1) o expoente um nmero parExemplos: (+2)2 = (+2) (+2) = + 4 (2)4 = (2) (2) (2) (2) = + 16Temos, ento, a regra: Quando o expoente par, a

potncia sempre um nmero positivo.

2) o expoente um nmero mparExemplos: (+2)3 = (+2) (+2) (+2) = + 8 (2)5 = (2) (2) (2) (2) (2) = 32Temos, ento, a regra: Quando o expoente mpar,

a potncia tem sempre o mesmo sinal da base.


MATEMTICA

Observaes:1) A potncia com expoente 1 igual ao prprio

nmero.Exemplo: (+3)1 = + 3; (5)1 = 52) A potncia com expoente zero e base diferente

de zero igual ao nmero 1Exemplo: (+2)0 = + 1; (7)0 = + 1

3) (3)2 32, pois: (3)2 = +9

32 = 9

o quadrado de 3 diferente de menos o quadrado de 3.

ExERCCIOS RESOlvIDOS 01) Se A = {x | |x| < 5}, determine o nmero de

elementos do conjunto das partes de A.soluo:Se x e |x| < 5 A = {4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}Se A tem 9 elementos P(A) tem 29 = 512 ele-mentos.resposta: 512

02) Resolver a expresso:18 (8 + 31) + {7 [4 + (8 1) (16 3 + 7) + 2] 4}.

soluo:18 (+23) + {7 [4 + (+7) (+20) + 2] 4} = 18 23 + {7 [4 + 7 20 + 2] 4} = 5 + {7 [15] 4} = 5 + {7 +15 4} = 5 + {+4} = 5 + 4 = 1resposta: 1

03) Calcular o valor da expresso:62 : (+18) + (4)3 : (+2)5 [(1)5 (5) 32 + 2 (+7)].

soluo:36 : (+18) + (64) : (+32) [(1) (5) 9 + 14] = 36 : (+18) + (64) : (+32) [+5 9 + 14] = 2 + (2) [+10] = 2 2 10 = 14resposta: 14

04) 600 o resultado da multiplicao de um nmero y pelo quadrado do nmero 10.Determine o valor de y.

soluo:Y (10)2 = 600 y (100) = 600 ou Y = 6resposta: 6

ExERCCIOS PROPOSTOS

01) Se a = (2)5 e b = (+2)5, determine o valor de (a b)resposta: 64

02) Calcule o valor da expresso:(10)3 3 (10)2 (2)2

resposta: -2200

03) Se a tal que a = 22 + 20 (2)0, determine o valor de a4 + 1.resposta: 257

04) Analise a sentena:Para todo x , se x negativo, ento x posi-tivo. Esta sentena verdadeira ou falsa.resposta: Verdadeira

3 - CONJUNTO DOS QNMEROS RACIONAIS o conjunto de todos os nmeros que esto ou

podem ser colocados em forma de frao.

FrAoQuando dividimos um todo em partes iguais e que-

remos representar matematicamente uma ou algumas dessas partes, empregamos um par ordenado de nmeros naturais, diferentes de zero.

l-se: meio ou um meioRepresenta-se:

l-se: trs quartos Representa-se:

Ento: Denomina-se frao todo par ordenado de nmeros

naturais, com o segundo diferente de zero, onde: o primeiro nmero indica quantas partes foram

tomadas do todo (numerador); o segundo nmero indica em quantas partes iguais

o todo foi dividido (denominador).


MATEMTICA

Tipos de FraesObserve as figuras.

Essa frao denominada frao prpria ou ordinria.

A figura nos mostra a frao 34 , na qual o numerador menor que o denominador.

a)

b) A figura nos mostra a

frao 53

, na qual o nu-m e r a - dor maior q u e o denominador.

Esta frao denomi-nada frao imprpria.

33

23

53

c)

33

43

63

44

As figuras nos mostram fraes cujo numerador mltiplo do denominador.

Estas fraes so denominadas fraes aparentes.Elas so consideradas numerais de nmeros naturais.

Assim: numeral do nmero natural 1.

numeral do nmero natural 2.

d) Quando o denominador da frao 10 ou potn-cia de 10 (100, 1000, 10000, ...), a frao denominada frao decimal.

Exemplos: 310

, 1510

, 7100

, 135100

, 2311000

e) Nmero Misto - a expresso 3 + 12 (soma deum nmero inteiro com um nmero fracionrio) denominada nmero misto e representada pela formaabreviada 3 12

(l-se: Trs inteiros e um meio).

Observe:

3 12 = 3 +

12

= 31

+ 12

= 62

+ 12

= 72 nmero misto frao imprpriaEnto: Todo nmero misto pode ser escrito em forma de

frao imprpria por meio da seguinte regra prtica:

3 12 = 3 x 2 + 1

2 = 7

2

Toda frao imprpria pode ser escrita em forma de nmero misto por meio da seguinte regra prtica:

71

23

e escreve-se: 72

= 3 12

Fraes EquivalentesObserve:

12

24

36

510

Duas ou mais fraes que representam a mesma parte do todo so equivalentes.

Exemplo: 12

, 24

, 12

so equivalentes e escreve-

mos: 12

= 24

= 12

Obs.: Multiplicando ou dividindo os termos de uma frao por um mesmo nmero natural, diferente de zero, obtemos uma frao equiva-lente frao dada.

Exemplos: 1

2 = 1 x 2

2 x 2 = 2

4 1

2 = 2

4

610

= 6 : 210 : 2

= 35

610

= 35

simplificao de FraesSimplificar uma frao obter outra frao equi-

valente frao dada, cujos termos sejam nmeros primos entre si.

1 processoDividindo-se, sucessivamente, os termos da frao

por um fator comum.

4872

= 48 : 272 : 2

= 24 : 236 : 2

= 12 : 218 : 2 = 6 : 39 : 3

4872

= 23

frao irredutvel2 ProcessoDividindo-se os termos da frao pelo seu m.d.c.m.d.c. (48, 72) = 24

4872

= 48 : 2072 : 24

= 23

4872

= 23

reduo de Fraes a um Mesmo DenominadorPara reduzir duas ou mais fraes ao menor deno-

minador comum, procedemos da seguinte maneira:1) Calculamos o m.m.c. dos denominadores das fra-

es dadas: esse m.m.c. ser o denominador comum.


MATEMTICA

2) Divide-se o denominador comum pelo denomi-nador de cada frao e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.

Exemplo:Reduzir as fraes , ao menor denomina-

dor comum.

m.m.c. (6, 3, 4) = 12

56

13

34

2 x 512

4 x 112

3 x 312

1012

412

912

Comparao de Fraes Comparar fraes significa estabelecer

uma relao de igualdade ou desigualdade entre essas fraes.

vamos analisar dois casos distintos.1 CasoAs fraes tm o mesmo denominador.

Pelo grfico: 78 > 38

7838

Quando duas fraes tm o mesmo denominador, a maior aquela que tem maior numerador.2 CasoAs fraes tm denominadores diferentes. Quando as fraes tm denominadores diferentes,

devemos reduzi-las ao menor denominador comum para, em seguida, compar-las.

Exemplo:Comparemos as fraes: 3

4 e 7

10 3

4 = 15

20

710

= 1420

{donde 1520 > 1420 34 > 710 opErAEs FuNDAMENTAIs EM Q/ Adio e subtrao de fraes1 Caso: As fraes tm o mesmo denominador.Quando as fraes tm o mesmo denominador,

mantm-se o denominador comum e somam-se ou subtraem-se os numeradores.

Exemplos: 1) 58 +

28

= 5 + 28 = 78

2) 114

+ 54

= 11 - 54 = 64

= 64 simplifica-se o resultado

2 Caso: As fraes tm denominadores diferentes.

Quando as fraes tm denominadores diferentes, devemos, em primeiro lugar, reduzi-las ao menor de-nominador comum para, em seguida, efetuar a adio ou a subtrao.

Exemplos:

1) 35 + 14

= 1220

+ 520

= 12 + 520 = 1720

2) 78 - 14

= 78

- 28

= 3 - 28 = 58

Multiplicao de FraesO produto de duas fraes uma frao onde: O numerador o produto dos numeradores; O denominador o produto dos denominadores.

Exemplos:1) 2 x 2

5 = 2

1 x 2

5 = 2 x 21 x 5 =

45

2) 23 x 45

= 2 x 43 x 5 = 815

Observaes:a) Para facilitar a multiplicao de fraes, devemos,

sempre que possvel, simplific-las antes da operao.Exemplos:

37

x 23

= 37

x 23

= 27

27

x 35

x 149

= 27

x 35

x 141

93 = 4

15

b) Frao de FraoSeja calcular 3

5 de 1

2.

35

de 12

uma expresso que pode ser representada

por 35 x 12

.

Portanto, na prtica, substitumos a preposio de pela operao multiplicao.

logo: 35

de 12

= 35

x 12

= 310

MACETEs

Exemplo: 34

de 20 = 34 x20 = 341

x 205

1 = 15

Diviso de Fraesa) Nmeros inversos ou recprocos. Seja determinar o nmero que multiplicado por

23

igual a 1.

verifica-se que o nmero procurado

32

, pois 21

31 x 3

1

21 = 1


MATEMTICA

Os nmeros 23

e 32

so chamados inversos ou recprocos.

De um modo geral, para qualquer nmero racional

a, com a 0, existe outro racional 1a , chamado

inverso multiplicativo ou recproco de a, tal que:

a x 1a

= 1a

xa =1

Na prtica, obtemos o inverso de um nmero racio-nal, diferente de zero, trocando o numerador com o denominador.

evidente que no existe o inverso do nmero zero.

b) DivisoPara se dividir uma frao por outra, deve-se mul-

tiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.Exemplos:

1) 58 : 34

= 581

x 41

3 = 5

6

2) 35

: 2 = 35

x 16

= 310

Observaes:Todo quociente de dois nmeros naturais, com o

divisor diferente de zero, pode ser escrito em forma fracionria.

Exemplo:

2 : 5 = 25

forma fracionria quociente de dois nmeros naturais

1) ]

2) 3 : 9 = 39

= 13

(simplificando-se a frao 39 )Deste modo, toda frao representa um quociente

do numerador pelo denominador.Exemplos:

1) 25 = 2 : 5 2) 1213

= 12

: 13

3) 452 =

45

: 2

potenciao de Nmeros racionaisSe a Q e n IN an Q

Seja determinar a potncia ( )32

3

Pela definio de potncia, j estudada para os n-meros naturais, temos:

( )32

3 = 23

x 23

x 23

= 2 x 2 x 23 x 3 x 3 = 25

= 45

Para se elevar uma frao a uma dada potncia, deve-se elevar o numerador e o denominador a essa potncia.

Tambm para os nmeros racionais, tem-se que

a) A potncia de expoente 1 igual prpria base.

( )13

5 = 35

( )

194 =

94

b) A potncia de expoente 0 igual a 1.

( )05

8 = 1 ( )

072 = 1

ExERCCIOS RESOlvIDOS01) Determine a frao equivalente a 3

4 e de nume-

rador 15.

soluo: 34

= 15?

3 x 54 x 5 = 1520

resposta: 1520

02) Determine a frao equivalente a 4942

e de denomi-nador 6.

soluo: 4942

= ?6

49 : 742 : 7 = 76

resposta: 76

ou 16

03) Determine a frao equivalente a 4864

de denominador 8.

soluo: 4864

= ?8

48 : 864 : 8 = 68

resposta: 68

04) Resolva a expresso: ( )(-2) . - 23 + 45 : 1 - 23 + 53( )2

soluo:

( )(-2) . - 10 + 1215 : ( )21

3 + 5

3 = (-2) . 2

15 : 1

9 + 5

3 =

-415

: 19

+ 53

= -4155 x 93 + 5

3= -12

5 + 5

3 =

-36 + 2515 =

1115

resposta: - 1115


MATEMTICA

05) Retira-se de um tonel 1/4 do volume que ele con-tinha; em seguida retiram-se 21 litros e o tonel fica ento cheio at os 2/5. Qual a sua capacidade?

soluo:A soma de 1

4 com 2

5 nos d 1

4 + 2

5 = 1320

Portanto, para completar o inteiro faltam 720

que correspondem a 21 litros, isto , 720

correspondem a 21 litros (7 partes).

120

corresponde 21 : 7 = 3 litros (uma parte)

2020

correspondero a 20 3 = 60 litros (20 partes).

resposta: 60 litros.

06) Uma avenida tem 400 m de extenso. Quantos metros ter percorrido uma pessoa aps andar 3/4 desta distncia?resoluo: 4

4 representa a distncia total

44

400 m

14

400 m : 4 = 100 m

34 100 m 3 = 300 m

resposta: A pessoa percorreu 300 metros.

07) Da quantia que recebo mensalmente, aplico 2/5 em caderneta de poupana, o que corresponde a uma aplicao de R$ 1 000,00. Qual a quantia que recebo, mensalmente?25

representa a quantia aplicada.

25

R$ 1.000,00

15

R$ 1.000,00 : 2 = R$ 500,00

55

R$ 500,00 5 = R$ 2.500,00

representa a quantia que recebo mensalmente.

resposta: recebo, mensalmente, r$ 2.500,00.

08) De uma pea de tecido, o comerciante vendeu 1/4 para um fregus A e, a seguir, mais 1/3 para um fregus B. Desse modo, o comerciante j vendeu 14 metros desta pea. Qual o comprimento da pea?

14

+ 13

= 312 + 412

= 712 representa o nmero

de metros j vendidos.

712

14 m 112

14 m : 7 = 2 m

1212 2 m 12 = 24 m

representa o comprimento total da pea.

resposta: o comprimento da pea de 24 m.

09) Uma torneira enche um tanque em 2 horas e outra torneira, em 3 horas. Em quanto tempo as duas torneiras encheriam o mesmo tanque?

resoluo:

Em 1 hora uma enche 1

2

outra enche 13

{logo, em 1 hora, as duas juntas enchero 1

2 + 1

3 = 5

6do tanque.

Temos, pois: 56 do tanque so cheios em 60 minutos (1 hora)

16

do tanque cheio em 12 minutos (60 min : 5)

66 do tanque so cheios em 72 minutos (12 min 6)

resposta: o tanque fica cheio em 72 minutos, ou 1 hora e 12 minutos.

10) Dois operrios fizeram um trabalho em 27 dias. Um deles trabalhando sozinho, poderia faz-lo em 108 dias. O outro em quantos dias o faria?

soluo:127 (trabalho dos dois em 1 dia)

1108 (trabalho que o 1 faz em 1 dia)

127

- 1108 = 3

108 (Trabalho do 2 em 1 dia)

Isto , 3108 = 127

logo, o 2 operrio faz 136

do trabalho em 1 dia.

Portanto, ele poder fazer o trabalho todo em 36 dias.

resposta: 36 dias.

2020

114

114

14

1425

34

114

25


MATEMTICA

ExERCCIOS PROPOSTOS01) vrios lpis foram distribudos entre 3 pessoas de

modo que a primeira recebeu 2/3 dos mesmos: a segunda recebeu 1/5 do resto e a terceira ficou com 24 lpis. Quantos lpis foram repartidos?resposta: 90

02) Uma torneira enche um tanque em 5h e outra o es-vazia em 8h. Abrindo as duas torneiras, em quanto tempo o tanque ficar cheio?resposta: 13h 20min

03) Uma torneira com vazo de 50l/min gasta 27 min para encher um determinado tanque. Quanto tem-po ser necessrio para encher o mesmo tanque, utilizando-se trs torneiras que tm vazo de 45l/min cada uma?resposta: 10 min

04) A diferena entre os 4/5 e os 2/3 do preo de um automvel R$ 4.800,00. Qual o preo do auto-mvel?resposta: r$ 36.000,00

05) Qual a frao equivalente a 0,75 cuja soma dos termos igual a 84?resposta: 36/48

06) Um tanque est cheio de gua at sua tera parte. Adicionando-se 35 litros de gua ele fica cheio at os seus 4/5. Qual a capacidade do tanque?resposta: 75 litros.

07) Um automvel percorre inicialmente os 3/11 de uma estrada. Numa segunda etapa roda 3/8 do que resta do percurso. Aps essa segunda etapa ainda lhe faltam 340 km para percorrer. Qual o comprimento em quilmetros da estrada toda?resposta: 748 km.

08) Eu tenho 2/3 da idade de meu irmo e juntos temos 30 anos. Quais so as nossas idades?resposta: 12 e 18 anos.

09) Os 3/4 dos 2/6 de minha mesada so R$ 80,00. Qual a minha mesada?resposta: r$ 320,00

10) De sua verba mensal para envio de correspondn-cia, uma firma gastou, no ms passado, 4/15 com telegramas, 11/24 com cartas e 4/11 do restante com fax. A despesa com fax foi de R$ 68,00. Calcule, a verba total gasta por essa firma com correspondn-cia, nesse ms.resposta: r$ 680,00

11) Numa corrida, 2/9 dos ciclistas que dela partici-pavam desistem durante a 1 volta. Dos que co-mearam a 2 volta, 1/7 desiste antes do trmino da corrida, que se encerra com 18 ciclistas. Qual o nmero de ciclistas que iniciaram a corrida?resposta: 27

NMEros DECIMAIs

Frao Decimal

a frao cujo denominador uma potncia de 10. 610

, 7100

, 81000

, 110000

, etc

Nmero DecimalAs fraes decimais podem ser escritas na forma:

410

= 0,4 7100

= 0,07 81000

= 0,008

O nmero de algarismos da parte decimal igual ao nmero de zeros do denominador da frao decimal correspondente.Exemplos: 1,48 = 148

100 24,7 = 247

10

propriedades dos Nmeros Decimaisa) Um nmero no se altera quando acrescentamos

ou retiramos zeros direita de sua parte decimal.Exemplo: 5,7 = 5,70 = 5,700 = 5,7000

b) Para multiplicarmos um nmero decimal por 10, 100, 1000, etc., a vrgula se desloca para a direita uma, duas, trs, etc., casas decimais.

Exemplos: 0,851 10 = 8,51 4,931 100 = 493,1 7,2 1000 = 7200

c) Para dividirmos um nmero decimal por 10, 100, 1000, etc., a vrgula se desloca para a esquerda, uma, duas, trs, etc., casas decimais.

Exemplos: 73,2 : 10 = 7,32 8,3 : 100 = 0,083 43,8 : 1000 = 0,0438

operaes com Nmeros DecimaisI - AdioColocamos uns sobre os outros, vrgula debaixo

de vrgula.Exemplo: 3 + 0,487 + 2,9 3,000+ 0,487 2,900 6,387

II - subtraoProcede-se como na adio, colocando minuendo

sobre subtraendo e vrgula sob vrgula. Se o minuendo tiver menos casas decimais que o subtraendo, deve-se-lhe acrescentar zeros de forma a igualar as casas decimais.

Exemplo: 5,08 3,4852 5,0800 3,4852 1,5948


MATEMTICA

III - MultiplicaoMultiplica-se como se os nmeros fossem inteiros,

dando ao resultado um nmero de casas decimais igual soma dos nmeros de casas decimais dos fatores.

Exemplo: 5,32 3,85,32

3,84256

159620,216

IV - DivisoIguala-se o nmero de casas decimais no dividen-

do e no divisor; eliminam-se as vrgulas e efetuamos a diviso. Obtido o quociente inteiro, acrescenta-se um zero no resto e coloca-se uma vrgula no quociente direita. Continua-se a diviso, colocando-se sempre um zero direita de cada novo resto.

Exemplo: 72,2379 : 5,873 72,2379 : 5,8730A seguir, efetua-se a diviso como se fossem n-

meros inteiros.

722379135079176190

00000

5873012,3

Dzima peridica nmero decimal que tem infinitas casas decimais.Ex.: 1

3 = 0,333...

Indica-se por:0,333.... = 0,(3) = (simples)

0,1727272... = 0,1(72) = (composta)

Seja x = 0,333... I Seja x = 0,1727272... 10x = 3,333... II 1000x = 172,7272... I 10x = 1,7272... IIII I 9x = 3 I II 990x = 172 1

x = x = =

A frao equivalente a uma dzima peridica deno-mina-se frao geratriz. potenciao de Nmeros Decimais

Pela definio de potncia, temos: (0,6)3 = 0,6 0,6 0,6 = 0,216 (1,4)2 = 1,4 1,4 = 1,96

valem as convenes:1) (2,5)1 = 2,52) (3,2)0 = 1

ExERCCIOS RESOlvIDOS01) Determine o valor de:

1,333... + 2,3222...

soluo:

a) 1,333... = 1 + 0,333... = 1 + 39

= 129 = 43

b) 2,3222... = 2 + 0,3222... = 2 + 32 - 390

= 180 + 2990

= 20990

a + b = 43

+ 20990

= 120 + 20990 = 32990

02) Coloque em ordem decrescente a, b e c se:

a = 0,10,5

, b = 0,51

, c = 10,5

soluo:

a = 0,10,5

= 15

= 0,2

b = 0,51

= 0,5

c = 10,5

= 112

= 1 x 21

= 2

ento: 2 > 0,5 > 0,2 c > b > a

ExERCCIOS PROPOSTOS01) Converter em nmeros decimais exatos ou perio-

dicos, as seguintes fraes:

respostas:a) 34 a) 0,75

b) 83 b) 2,6

c) 511 c) 0,45

d) 2775 d) 0,36

e) 5099 e) 0,50

f) 76 f) 1,16


MATEMTICA

02) Escrever as geratrizes das seguintes dzimas peridicas: respostas:a) 0,7 a) 79

b) 3,45 b) 3 511

c) 0,8534 c) 84499900

d) 2,03 d) 2 130

e) 0,0016 e) 42475

f) 1,202 f) 1 91450

03) Calcular o valor das expresses: respostas:a) (30,333...)9 + (20,222...)18 a) 43

b) 80,666... 90,5 b) 1

c) 0,17 + 0,260,333...

c) 43

ou 1 13

04) Transformar em nmeros decimais as seguintes fraes: respostas:a)

5411000 a) 0,541

b) 832100 b) 8,32

c) 8

100.000 c) 0,00008

05) Multiplicar por 10, 100 e 1000, respectivamente, os seguintes nmeros decimais:

respostas:a) 2,43 a) 24,3b) 0,0391 b) 3,91c) 1,21 c) 1210

06) Dividir por 10, 100 e 1000, respectivamente, os seguintes nmeros decimais: respostas:a) 398,251 a) 39,8251b) 0,0391 b) 0,000391c) 2,39 c) 0,00239

07) Efetuar as seguintes adies: respostas:a) 12,1 + 0,0039 + 1,98 a) 14,0839b) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39 b) 462,791c) 0,003 + 101,6 + 0,5 c) 102,103

08) Efetuar as seguintes subtraes: respostas:a) 6,03 2,9456 a) 3,0844b) 1 0,34781 b) 0,65219c) 142,2 0,9988765 c) 141,2011235

09) Calcular o valor das expresses: respostas:a) (4,3 + 0,912) - (10 - 9,813) a) 5,025

b) ( )3,069 + 321000 - 3 110 + 0,001( ) b) 010) Efetuar as seguintes multiplicaes:

respostas:a) 4,31 0,012 a) 0,05172b) 1,2 0,021 4 b) 0,1008

c) 41100 3,01 c) 1,2341

11) Calcular o valor das potncias: respostas:a) (0,04)3 a) 0,000064b) (2,31)2 b) 5,3361c) (0,001)4 c) 10-12

d) 11100( )2

d) 0,0121

TESTES 01) O nmero trs inteiros e cinco milsimos repre-

senta-se pora) 3,5b) 3,05c) 3,005d) 3,0005

02) A representao decimal da frao 110000000

a) 0,000 000 01b) 0,000 000 1c) 0,000 001d) 0,000 01

03) A representao decimal da frao 225100 a) 2,25b) 22,5c) 0,225d) 225,100

04) Sejam as afirmaes:I) 1,60 = 1,6II) 1,2 > 1,15III) 0,8 < 1Quantas so verdadeiras?a) 0 c) 2b) 1 d) 3


MATEMTICA

05) O produto 0,125 100 igual aa) 1,25 c) 125b) 12,5 d) 0,00125

06) A expresso 1,8 : 10 igual a:a) 18 c) 0,18b) 1,8 d) 0,018

07) O valor da expresso 1,25 0,8 + 0,45 a) 0,9 c) 0b) 0,09 d) 0,8

08) Se x = 1 e y = 0,935, ento x y iguala) 0,165 c) 0,075b) 1,065 d) 0,065

09) O produto 1,6 0,125 igual a a) 0,02 c) 2b) 0,2 d) 20

10) 0,72 : 12 igual aa) 6 c) 0,06b) 0,6 d) 0,006

11) A potncia (0,2)3 igual aa) 0,008 c) 0,8b) 0,08 d) 0,6

12) Se x = 2 : 0,002, o valor de x a) 10.000 c) 100b) 1.000 d) 10

13) 7,4 0,2 e 7,4 : 0,2 valem, respectivamente,a) 14,8 e 37 c) 1,48 e 3,7b) 14,8 e 3,7 d) 1,48 e 37

14) O valor da expresso 0,2 5 + 0,5 20 a) 1,1 c) 11b) 0,11 d) 2

15) O valor da expresso (0,8)2 : 4 a) 0,16 c) 0,0016b) 0,016 d) 1,6

16) O valor da expresso (0,012 + 1,5) : 16,8 a) 0,06 c) 0,09b) 0,15 d) 0,14

17) A expresso 0,5 x 0,2(0,1)2 valea) 1 c) 100b) 10 d) 0,1

18) O valor da expresso 3,2 - 20,3 x 0,2

a) 20 c) 2b) 10 d) 1

19) Sejam as afirmaes:I) 11

4 = 2,75 III) 730 0,2333...

II) 135

2, 6 Iv)135

= 0,3

So verdadeiras:a) I e II c) II e Ivb) I e III d) III e Iv

20) verdadeira a afirmao:a) 12

5 = 1,25 c) 12

5 > 1,25

b) 125

= 12,5 d) 125

> 12,5

GAbArITo

01) C 02) B 03) A 04) D 05) B06) C 07) A 08) D 09) B 10) C11) A 12) B 13) D 14) C 15) A16) C 17) B 18) A 19) B 20) C

5 - CONJUNTO DOS NMEROS REAIS IRNmero real qualquer nmero racional ou irra-cional.O conjunto de todos os nmeros reais ser indicado por IR. Assim sendo, temos:IR = { x / x racional ou x irracional }, ou ainda,IR = Q Q.

rElAo ENTrE A rETA orIEN-TADA

E os NMEros rEAIs

princpios:I - A cada ponto da reta orientada fica asso-

ciado um nico nmero real.II - Cada nmero real fica associado a um

nico ponto de reta orientada.


MATEMTICA

INTErVAlos NA rETA rEAl (subCoNjuNTos DE Ir)

x ba < x bx < a

a b xIR

Notao:A = {x IR| x < a} = ]-, a[ (aberto em a, a A)B = {x IR| a < x b} = ] a, b] (aberto em a e fechado

em b, a B e b B)

C = {x IR| x b} = [b, + [ (@fechado em b, b C)Exemplo: A = {x IR; 2 < x 5} e B = {x IR; 4 x < 7}Determine: A B A B A B B A

2A

4

5

7B

A B

A B

A - B

B - A

4 5

2 7

42

5 7

respostas:A B = [4, 5] = {x IR| 4 x 5}A B = ]2, 7[ = {x IR| 2 < x < 7}A B = ]2, 4[ = {x IR| 2 < x < 4}B A = ] 5, 7[ = {x IR| 5 < x < 7}

poTENCIAo EM Iran = a a a... a (n vezes se n IN e a IR)a-n = 1

an (n ZZ e a IR*)

a p q

= apq

Propriedades da potenciao em IR.a 0 e b 0 tem-se

I) a0 = 1 e a1 = a e 1n = 1II) am an = am + n III) am : an = am - n IV) (am)p = (ap)m = am . p

V) (a b)n = an bnVI) (a : b)n = an : bn

VII) ab( )

-n

= ba( )n

VIII) a p q

= apq

potncia de Dez So potncias de base 10.1 Caso 2 Caso100 = 1 10-1 = 0,1101 = 10 10-2 = 0,01102 = 100 10-3 = 0,001103 = 1000 10-4 = 0,0001Aplicao0,0037 = 37 10-4 e 370000 = 37 104

deslocar vrgula para direita cria-se um fator que potncia de 10 com expoente negativo

deslocar vrgula para esquerda cria-se um fator que potncia de 10 com expoente positivo

Notao cientfica de uma grandezaA medida de uma grandeza representada na forma

cientfica por uma expresso do tipo a 10n, onde a IR e 1 a < 10 e n ZZ .Exemplo: A forma cientfica de:I) 0,000034 = 3, 4 10-5

II) 3400000 = 3,4 106

rADICIAo EM IrDef.:

a11 - b b11 (n IN e n 2)

n o ndice (para n = 2, raiz quadrada e n = 3, raiz cbica)

a o radicando (a IR)b a raiz (b IR)

Exemplo:

16 = 4 (42 = 16) 83

= 2 (23 = 8)

-25 = ? -25 IR -83

= -2 ((-2)3 = -8)(ateno)

IRan se n par (n 0) e a R+se n mpar e a IR{

Propriedades de radiciao em IR (respeitando as condio de existncia em IR).

I) ann = a visto que an = an

So equivalentes: ann

= an( )n

II) amn = am.kn.k e amn = am:kn:k (k 0)

III) a . bn = an

. bn

e a : bn = an

: bn

(b 0)

IV) n m a = a

m . n

V) Se xn = a x = an se n par existir x = an

opErAEs CoM rADICAIs (rEspEITANDo CoNDIEs DE ExIsTNCIA EM Ir)

I - soma Aritmtica: Somente com radicais seme-lhantes, isto , mesmo ndice e mesmo radicando.

Ex: 3 2 + 7 2 - 4 2 = (3 + 7 - 4) 2 = 6 2


MATEMTICA

II - Multiplicao/Divisoa) Radicais com mesmo ndiceb) Radicais com ndices diferentes

a) Ex.: 4 23

x 5 73

= (4x5) 2 x 73 = 20 143

Ex.: 12 8 5

3 45

= (12 3) 8 45

= 4 25

b) Para multiplicar ou dividir radicais com ndices diferentes, reduzem-se os radicais ao mesmo ndice, isto , m.m.c dos ndices.

Exemplo: 3 a25

x 4 a3

= 3 a615

x 4 a515

= 12 a1115

Exemplo: 12 a2 3 3 a = 12 a46

3 a36

= 4 a6

III - racionalizao de uma FraoRacionalizar uma frao com radical no denominador

obter uma frao equivalente sem radical no denominador.

1 caso) 1a

= 1 x a

a x a = a

a

2 caso) 1apn

= 1. an n - p

ann . an n - p

= an n - p

a

obs.: (a + b)(a b) = a2 b2

( a + a )( a - b ) = ( )2

a - ( )2

b = a - b

3 caso 1a + b

= 1.( a - b )

( a + b )( a - b ) = a - ba -b

ExERCCIOS RESOlvIDOS

01) Se a = 0,0014 e b = 0,003 determine ab na forma cientfica:

soluo:a = 0,0014 = 1,4 10-3 e b = 0,003 = 3 10-3a.b = 1,4 10-3 3 10-3 = 4,2 10-6

resposta: 4,2 10-6

02) Dados os intervalos A = [1; 5], B = [-1; 4] e C = [2; 6[, determine:I) A B C III) B CII) A C Iv) A (B C)

soluo:

B

C

A

III) B C

I) A B C

IV) A (B C)

II) A C2

6

2

1 5

-1

-1

2 6

1 2 4 5

5

-1 4

resposta:I) [-1; 6[ III) [-1; 2[II) [2; 5] IV) [1; 2[ ]4; 5]

03) Determine o valor da expresso:( -2 )5 - 25 - ( -34 ) + ( - 3 )4 soluo:-32 -32 - (-81 )+ ( +81 ) =-64 + 81 +81 = 98 resposta: 98

04) Se 2x = 5, determine o valor de 32x + 1:soluo: 32x + 1 = 32x2 = 352 = 30resposta: 30

05) Determine o valor da expresso:4 x (0,5)4 + 0,25 + 8-2/3

soluo: Ento:

4 . 116

+ 12

+ 14

=

14

+ 24

+ 14

+ 44

= 1

(0,5)4 = (1 2) = (1 16)0,25 = 1 4 = 1 2

8-2/3 = (23)-2/3 = 1 4

4

resposta: 106) Simplifique:

2 50 + 3 72 - 5 8

3 18 + 200 - 98

soluo:

2. 50 + 3 72 - 5 8

3 18 + 200 - 98 = 2 2.52

+ 3 2.62 - 5 22.2

3 32.2 +

2.102 - 2.72

2.5 2 + 3.6 2 - 5.2 2

3.3 2 + 10 2 -7 2

= 10 2 + 18 2 - 10 2

9 2 + 10 2 - 7 2

18 2

12 2

= 1812

= 32

resposta: 3/2


MATEMTICA

ExERCCIOS PROPOSTOSq DETErMINE o VAlor DE01) 5 3-2 + 3-1 4 40

resposta: 28/9

02) (B A) : 2 + 2C, sendoA = (3/2)2; B = (2/5)-2 e C = (1/2)-3

resposta: -14

03) 0,002 x 0,0003 x 108

0,1 x 60 x 103

resposta: 0,01

04) n2 se 1,5 0,5 0,001 = 7,510n

resposta: 16

05) 25x + 9y + 1 sendo 5x = 2 e 3y = 5resposta: 229

06) (x : y) se x a metade de 215 e y o dobro de 210.resposta: 8

07) a x bc( ) se a = (0,01)5; b = (0,1)10 e c = (0,001)6resposta: 0,01

08) 1x2x

1010

+

+

resposta: 10

09) (a b) sendo a = 0,18 x 103

0,12 x 102 e

b = 0,0012 x 2 x 102 + 3 x 10-3

(0,3)2resposta: 40,5

10) 112

41

21

32 ---

-+

--

resposta: 2,5 10-1

EFETuE

01) 3 80 + 2 180 resposta: 25 5

02) 2 12 - 75 resposta: - 3

03) 36 25 32 resposta: 6 2 10 1

04) 3 26 34 resposta: 6 47 232

05) 844 2 2 2 2 + resposta: 84 2 8 +

sIMplIFIQuE

01) 6 4x resposta: 3 2x

02) 8 2x resposta: 4 x

03) 3 58x resposta: 4 22 xx

04) 3 542 yx resposta: 3 2 2 yxyx

05) 43 . b

baba

resposta: 3 ba

06) 322.

23

30 5 + resposta: 62

07) 33 9332 + resposta: 3 93

rACIoNAlIzE

01) 32

3 resposta: 23

02) 7 21x

resposta: xx7 5

03) 5 332a

resposta: aa

325 2

04) 2

1-x

resposta: 22

-+

xx

05) ba 321+ resposta: ba

ba9432

--

06) 321

1-

resposta: 1 1

321+

07)03 2

5yx

x7) resposta:

yyx3 2 5


MATEMTICA

TESTES

01) A populao de uma colnia de bactria E. coli dobra a cada 20 minutos. Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com 1000 bactrias por mililitro. No final do experimento, obteve-se um total de 4,096 106 bactrias por mililitro.Assim sendo, o tempo do experimento foi dea) 3 horas e 40 minutos.b) 3 horas.c) 3 horas e 20 minutos.d) 4 horas.

02) As bactrias so os menores organismos celulares e tambm os mais antigos e abundantes do mundo. Um dos segredos de tanto sucesso a velocidade com que se multiplicam. Bastam 20 minutos para que a populao bacteriana consiga se duplicar. Dessa forma, se em um copo de leite existem inicial-mente 2 103 bactrias, aps 1 hora e 40 minutos, o nmero de bactrias que haver nesse copo :a) 104b) 10c) 6,4 104d) 6,4 103

03) Sejam A = {x IR | 2 x 5} e B = {x IR | 4 < x}, Po-demos afirmar que:a) A B Bb) A B Ac) B A Ad) A B = ]2, 4[

04) Seja a um nmero real diferente de 2 . Ento,

podemos afirmar que a expresso 2 - a2

2 - a - a, vale:

a) 2

b) 2

c) 2 - ad) 2 + a

05) A medida de rea de um crculo de R2, onde R a medida do raio.Se a medida do lado de um quadrado l a medida da diagonal do mesmo l 2 . A razo entre medidas a e b de duas grandezas, nessa ordem, a/b.Com as informaes acima, tem-se que, a razo entre as reas de dois crculos que tm os raios as medidas da diagonal e do lado de um quadrado :a) 2 c) 2

b) 2 d) 4 2

06) Considere E = ab - ba

ab + ba , onde a = 1/2 e b = 4.

Para se obter um nmero inteiro, basta adicionar E aa) 2/33 c) 2/11b) 2/33 d) 2/11

07) Considere os nmeros a = 2 + 3 e b = 4 - 24 . O valor de a2 + b :a) 3 c) 7b) 5 d) 9

08) A expresso 49

51

31

65 2

+

- :

a) 10-1 c) 3 10-1b) 2 10-1 d) 4 10-1

09) Os nmeros p e q so tais que 3 p 6 e 18 q 36.

O maior valor possvel de :a) 1/2b) 1/3c) 1/6d) 1/12

10) Se a = 23,5, ento:a) 6 < a 8,5b) 8,5 < a 10c) 10 < a 11,5d) 11,5 < a 13

11) Sobre o nmero ( ) ( ) 32 7 2 1 220 1 3 7 +-+=m foram feitas quatro afirmaes:I) m um nmero primo.II) m um nmero irracional.III) m um mltiplo de 42.Iv) m um nmero natural.

O nmero de afirmaes falsas :a) 1 b) 2 c) 3d) 4

GAbArITo

01) D 02) C 03) B 04) B 05) A06) A 07) D 08) C 09) B 10) C11) B


25

MATEMTICA

sIsTEMA lEGAl DE MEDIDAs

1 - sIsTEMA MTrICo DECIMAl MEDIDAs DE CoMprIMENToA unidade fundamental para medir comprimentos

o metro. Indica-se por: moutras unidades: Mltiplos do metro: o quilmetro, o hectmetro

e o decmetro. Submltiplos do metro: o decmetro, o centme-

tro e o milmetro.Tabela de unidades para medir comprimentos.

Km hm dam m dm cm mm1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Cada unidade de comprimento igual a 10 vezes a unidade imediatamente inferior.

Ex.:12,45dm = 124,5cm ou 1,245 103mm 7,83dam = 0,783hm ou 7,83 10-1hmImportante - O permetro de um polgono a soma das medidas dos lados, utilizando sempre a mesmaunidade de medida.

Ex.: Determine o permetro do retngulo sendo as medidas de suas dimenses 24m e 18m.

18m

24m

permetro = 224m + 218mpermetro = 48m + 36mpermetro = 84m

MEDIDAs DE supErFCIEA unidade fundamental para medir superfcies o

metro quadrado. Indica-se por: m2

outras unidades: Mltiplos: o quilmetro quadrado, hectmetro

quadrado e o decmetro quadrado. submltiplos: o decmetro quadrado, o centme-

tro quadrado e o milmetro quadrado.Tabela de unidades para medir superfcies

Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1000000m2

106m210000m2

104m2100m2

102m21m2

1m20,01m2

10-2m20,0001m2

10-4m20,000001m2

10-6m2

Cada unidade de superfcie igual a 100 vezes a unidade imediatamente inferior.

Importante: Denomina-se rea a medida de uma superfcie.

Ex.:3,42m2 = 342dm2 ou 3,42 x 102dm2 12,16dam2 = 0,1216hm2 ou 1,216 x 10-1hm2

MEDIDAs AGrrIAsPara medir grandes pores de terra usa-se uma uni-

dade agrria denominada hectare (ha) e que equivalente ao hectmetro quadrado (hm2).

Os submltiplos do ha so: o are (a) e o centiare (ca)Equivalncias:1ha = 1hm2 1a = dam2 1ca = 1m21ha = 10000m2 ou 104m2

Ex.: Um quadrado de 1dm de lado tem 1dm2 de rea. Qual a medida em m2, da superfcie desse quadrado? 1dm2 = 0,01m2 ou 10-2m2

rEAs DAs FIGurAs plANAs

I) Quadrado

A = 2

II) Retngulo

A = a ba

b

h

b

III) Tringulo

b

h

IV) Paralelogramo

A = b h

V) Trapziob

B

h


MATEMTICA

VI) Losango

d

D

VII) Crculo

A = R2 ( = 3,14)

R

Obs.: O comprimento da circunferncia :

C = 2 R

MEDIDAs DE VoluMEA unidade fundamental para medir volume o

metro cbico. Indica-se por: m3

outras unidades: Mltiplos: o quilmetro cbico, o hectmetro

cbico e o decmetro cbico.

Submltiplos: o decmetro cbico, o centmetro cbico e o milmetro cbico.

Tabela de unidades para medir volumes

Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

109m3 106m3 103m3 1m3 10-3m3 10-6m3 10-9m3

Cada unidade de volume igual a 1000 vezes a unidade imediatamente inferior.

MEDIDA DE CApACIDADETabela de unidades de medida de capacidade:

k - h - da - - d - c - m

Mltiplos: o quilolitro, o hectolitro e o decalitro.

Submltiplos: o decilitro, o centilitro e o mililitro.Cada unidade de capacidade igual a 10 vezes a

unidade imediatamente inferior.

Importante: A nica unidade de medida que pode ser escrita em maiscula o litro.

1dm3 = 1 litro

Ex.:1) 32m3 = 32000dm3 ou 3,2 104dm3 2) 32000dm3 = 0,032dam3 ou 3,2 10-2dam3

3) 32 = 3200c ou 3,2 103 c 4) 0,32d = 0,0032da ou 3,2 10-3da 5) 120m = 0,12 = 0,12dm3 = 120cm3

Volume de alguns slidos geomtricos

I) Cubo

V = a3a

aa

II) Paraleleppedo Retngulo

V = a b c

c

ba

III) Cilindro

V = R2 h h

R

V) Esfera

R

MEDIDAS DE MASSAA unidade fundamental para medir massa o grama.

Indica-se por g.

outras Medidas: Mltiplos: o quilograma, o hectograma e o de-

cagrama.

Submltiplos: o decigrama, o centigrama e o miligrama.

Tabela de medidas de massa:

Kg hg dag g dg cg mg1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

Cada unidade de massa igual a 10 vezes a unidade imediatamente inferior.

Importante:1 tonelada = 1000kg (tonelada = 1t ou 1ton)

Densidade: vmd = (m = massa e v = volume)


MATEMTICA

rEA DAs FIGurAs plANAs

Quadrado

a

a

Permetro rea

2p = 4a S = a2

Retngulo

a

b 2p = 2 (a+b) S = a b

Tringulo

a

b ch

2

2

cbap

cbap

++=

++=

)( )( )(

2

cpxbpxapxps

uo

hxas

---=

-

Paralelogramo

a

bh 2p = 2 (a + b) S = a h

Trapziob

c

B

dh 2p = B+b+c+d ( )2

bxbBS +=

Losango

D

d

2p = 4 2 dxDS =

Circunferncia e Crculo

R

O2p = 2R S = R2

Setor Circular

A

O

B

03602 = Rl

360

1= RS


MATEMTICA

2 - sIsTEMA MTrICo No DECIMAl uNIDADE DE TEMpo

Dia Hora Minuto Segundo d h min s

Tabela

1d = 24h 1h = 60min 1min = 60s

Exemplos de transformaes:01) 1h 56min 10s = 60min + 56min + 10s = 116min + 10s = 6960s + 10s = 6970s

02) 8472s = ? 8472s : 60s 141min 12s 141min : 60 min 2h 21min 8472s = 2h 21min 12s

uNIDADEs DE NGulo

Grau 1/360 do crculo 1 grau = 1

submltiplos: minuto e segundo

1 = 60 1 = 60

radiano: rad1rad corresponde a um arco da circunferncia, de

comprimento igual ao comprimento do raio.

2 rad = 360

ExErCCIos rEsolVIDos01) Determine, em metros, o permetro de um campo

de futebol que tem de comprimento 10 dam e de largura 400dm.soluo:10dam = 100m e 400dm = 40m2 100m + 2 40m = 280mresp.) 280m

02) Determine a base de um retngulo de 0,9 dam de altura, em metros, sendo sua rea a mesma de um quadrado de 120dm de lado.

soluo:A1 = rea do retngulo A1 = (9m)hA2 = rea do quadrado A2 = (12m)2 = 144m2A1 = A2 (9m)h = 144m2 h = 16mresp.) 16m

03) Determine, em dam2, a rea de um tringulo, se a base mede 48,30m e a altura 12m.soluo:b = 48,30m = 4,83damh = 12m = 1,2dam

resp.) 2,898dam2

04) A rea de um losango igual a rea de um quadrado de permetro 36dm. Se uma das diago-nais do losango mede 18dm, determine a medida da outra, em cm.soluo:Quadrado: 36dm 4 = 9dm A1 = (9dm)2 = 81dm2

losango: A outra diagonal x = 9dm = 90cmresp.) 90cm

05) Determine a altura de um trapzio se as medidas da rea e das bases so, respectivamente, 150cm2, 18cm e 12cm.soluo:

resp.) h = 10cm

06) Observe a figura onde ABCD um quadrado circunscrito no crculo de raio 2cm. Determine a rea sombreada.soluo:Aq = rea do quadradoAq = (4cm)2 = 16cm2Ac = rea do crculoAc = (2cm)2 = 12,56cm2A = Aq - Ac A = 16 - 12,56 A = 3,44cm2

resp.) 3,44cm2

07) Uma lavoura de gros com 100km2 de rea plantada teve uma produo de 5 toneladas por hectare. Sabendo-se que as mquinas usadas colheram 2000 toneladas por dia, determine o tempo gasto na colheita.soluo:100km2 = 10000ha 5t/ha = 50000 t50000 : 2000 = 25 diasresp.) 25 dias

08) Determine o menor nmero inteiro de voltas que uma pessoa deve andar em torno de uma praa de raio 10m, se ela deve fazer uma caminhada de no mnimo 1,5km.soluo:r = 10m C = 2 3,14 10 C = 62,8m1,5km = 1500m1500m : 62,8 = 23,8 voltasresp.) 24 voltas

R

A B

D C


MATEMTICA

09) Uma torneira, que despeja 1400 de gua por hora, demora 4 horas para encher totalmente um reser-vatrio, em forma de um paraleleppedo retngulo, cuja base mede 625cm de comprimento por 5,12m de largura. Determine, em dm, a altura do reser-vatrio.soluo:v = 1400dm3 4 = 5600dm3v = 62,5dm 51,2dm h h = 5600 : 3200h = 1,75dmresp.) 1,75dm

10) Se a massa de 1000cm3 de certo lquido 3,75kg, determine a massa de 1,35m3 do mesmo lquido em kg.soluo:1000cm3 = 1 e 1,35m3 = 13501350 3,75kg/ = 5062,5kgresp.) 5062,5kg

ExErCCIos proposTos01) Determine o nmero de metros de arame necessri-

os para cercar um terreno retangular medindo 0,01Km de frente por 250dm de fundo, se a cerca deve ter 5 fios de arame.

resp.) 350m

02) Se A = 2,1dam + 74dm + 214cm eB = 104m + 0,37km + 0,2hm.

Determine, em metros, a soma (A + B)

resp.) 524,54m

03) Determine, em metros quadrados, a rea de um retngulo de permetro 32dm, sendo a medida da base o triplo da medida da altura.

resp.) 0,48m2

04) Quanto se gastou para ladrilhar uma sala de 7,5 m de comprimento por 4,8 m de largura, sabendo-se que os ladrilhos usados so de forma quadrada, de 0,20 m de lado e custaram R$ 300,00 o cento?

resp.) r$ 2.700,00

05) Na figura abaixo, ABCD um retngulo de permet-ro igual a 48 m e cujo lado maior o triplo do menor. Determinar a rea da regio hachurada, sabendo-se que o ponto F pertence ao lado AB.

A F B

D C

resp.) 54m2

06) Se uma dimenso de um retngulo aumentada em 1/5 e a outra diminuida de 1/5, a rea ser diminuida de M centsimos.Determine o valor de Mresp.) M = 0,04

07) Quantos centiares tem a superfcie de um tringulo cuja base mede 259 cm e cuja altura mede 106 cm?resp.) 1,3727ca

Calcule a rea das figuras:

08) 4 cm

2 cm

2 cm

8 cm

resp.) 24cm2

09)3 cm

4 cm

7 cm

resp.) 16,5cm2

10)2 cm

4 cm

6 cm

resp.) 20cm2

11) F

A B2 cm

D

E

C2 cm

Dado: ABCD um quadrado de lado 4 cm.

Resp.) 24cm2

12) ABCD um quadrado de lado 4 cm. Calcule a rea hachurada.A

C

B

D resp.) 1,72cm2

13) ABCD um quadrado de lado 4 cm. Calcule a rea hachurada.A

C

B

D

resp.) 6,88cm2


MATEMTICA

14) Conhecendo-se de um paraleleppedo retngulo o seu volume, que de 144 dm3, e a sua altura, que mede 9 dm, calcular a medida da rea da base desse paraleleppedo.resp.) 16dm2

15) A soma de todas as arestas de um cubo 36 m. Calcular, em dm3, o seu volume.resp.) 2,7 x 104

16) Quantos vasilhames de 5 d so necessrios para engarrafar a bebida que est num barril de capaci-dade igual a 8,4 h?resp.) 1680

17) Um negociante compra 1,015m3 de vinho, pagando por hectolitro, R$ 2.500,00. Para lucrar R$ 10.150,00 na venda de todo o vinho, determine o preo de venda de cada litro desse vinho.resp.) r$ 35,00

18) Se 1 cm3 de uma certa substncia custa R$ 58,00, quanto custaro 2 d dessa substncia?resp.) r$ 11.600,00

19) Uma pessoa vendeu 45,30 de leite razo de R$ 150,00 o da. Quanto recebeu?resp.) r$ 679,50

20) Uma rea foi repartida entre 3 pessoas de modo que a primeira recebeu 2/3 da mesma, a segunda recebeu 1/5 do resto e a terceira ficou com 1440m2. Detemine, em km2, a medida da rea repartida.resp.) 5,4 10-3km2

21) O permetro da roda de um carro 2m, e a roda gira razo de 800 rotaes por minuto. Determine a velocidade do carro, em km/h.resp.) 96km/h

22) Um trem parte de uma cidade A s 8 horas e 10 minutos e chega a uma cidade b s 15 horas e 55 minutos, com uma velocidade mdia de 36km/h. Se a velocidade mdia fosse 30km/h, em que horrio teria chegado cidade b?resp.) 17 horas e 28 minutos

23) Um copo de gua pesa 325g. Se jogarmos metade da gua fora, seu peso cai para 180 gramas. De-termine o peso do copo vazio.resp.) 35 gramas

24) As dimenses de um tanque retangular so 1,5m; 2,0m e 3,0m. Determine o menor tempo gasto para ench-lo, com uma torneira de vazo 10/min.resp.) 15 horas

25) O permetro de um retngulo igual a 32 dm e a base vale o triplo da altura. Qual a sua rea?resp.) 48dm2

26) A rea de um retngulo igual a 12 dm2. O dobro de sua base vale 8 dm. Qual o valor de sua altura?resp.) 3dm

27) Um quadrado tem 36 dm de permetro. Qual o valor de sua rea?resp.) 81dm2

28) Calcular a base de um retngulo, sabendo-se que sua altura mede 9 m e sua rea a mesma que a de um quadrado de 12 m de lado.resp.) 16m

29) Um losango tem as suas diagonais medindo respec-tivamente 12,35 dm e 8,4 dm. Calcular o valor de sua rea em cm2.resp.) 5187cm2

30) A rea de um losango igual a 72 dm2 e uma de suas diagonais mede 60 cm. Quanto mede a outra?resp.) 24dm

31) Calcular, em dam2, a rea de um tringulo de base igual a 48,30 m e de altura igual a 12 m.resp.) 2,8980dam2

32) Um tringulo tem 64 m2 de rea e a sua altura igual a 80 dm. Qual o valor de sua base?resp.) 16m

33) Calcular a rea de um trapzio, sabendo-se que a base maior mede 3,8 m, a base menor 2,6 m e a altura 3,2 m.resp.) 10,24m2

34) A rea de um trapzio de 150 cm2 e as suas bases so, respectivamente, 18 cm e 12 cm. Calcular o valor de sua altura.resp.) 10cm

35) Calcular a rea de um semi-crculo pertencente a uma circunferncia de 20 dm de dimetro.resp.) 157dm2

TEsTEs 01) O permetro de um tringulo 0,097 m e dois de

seus lados medem 0,21 dm e 42 mm. A medida do terceiro lado, em centmetros, :a) 3,4 b) 5,29 c) 34 d) 52,9

02) Uma mesa tem forma quadrada e seu permetro 480 cm. A rea dessa mesa, em metros quadrados, a) 576 b) 144 c) 5,76 d) 1,44

03) Uma corrida de automveis tem incio s 2 h 10 min 42 s. Se o vencedor faz um tempo de 3830 s, a que horas ele termina a prova?a) 3 h 13 min 42 s c) 3 h 13 min 32 sb) 3 h 14 min 32 s d) 3 h 14 min 42 s


MATEMTICA

04) No bairro Floresta, durante o ms de maio, choveu trs vezes com as seguintes duraes: 25 min 30 s, 3 h 42 min 50 s e 1 h 34 min 20 s. A durao total das chuvas desse ms, naquele bairro, foi de:a) 5 h 41 min 40 s c) 5 h 41 min 30 sb) 5 h 42 min 30 s d) 5 h 42 min 40 s

05) Para resolver 8 problemas, um aluno gasta 2h 48 min 16 s. Supondo que ele gaste tempos iguais em todos os problemas, esse tempo a) 20 min 12 s c) 21 min 12 sb) 21 min 2 s d) 20 min 2 s

06) O nmero de lotes de 360m2 que so obtidos ao se di-vidir um stio cuja rea mede 6 hectares e 84 ares, :a) 180 b) 190 c) 200 d) 210

07) Para analisar a gua de um certo rio, a amostra re-colhida foi toda utilizada para encher 6 recipientes de 200cm3 e 4 recipientes de 1,2dm3. O volume, em litros, da amostra :a) 6 b) 8 c) 12,48 d) 16,80

08) Se uma pessoa percorre 3,6km em 12 minutos, a velocidade mdia dessa pessoa, em m/s, :a) 3,5 b) 4 c) 5 d) 12

09) A frao do dia equivalente a 5 horas e 40 minutos :

a) c)

b) d)

10) Um livro de Histria pesa 810g, 12 livros de Histrias e 8 de Matemtica, juntos, pesam 14,760kg. Ento 3 livros de Matemtica pesam, em kg, a) 0,630 c) 5,040b) 1,890 d) 9,720

11) Em um estacionamento para veculos, paga-se por hora ou frao de hora de acordo com a tabela1 hora - R$ 2,00 2 hora - R$ 1,90 4 hora - R$ 1,703 hora - R$ 1,80 5 hora - R$ 1,60

A partir da 6 hora - R$ 1,20 por hora ou frao. Aps p horas, um motorista retira seu veculo e deve pagar R$ 19,80. O valor de p, em horas, :a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

GAbArITo

01) A 02) D 03) B 04) D 05) B 06) B07) A 08) C 09) D 10) B 11) C

sistema Monetrio brasileiro

Nas provas de concursos pblicos as questes de sistema monetrio tem como objetivo verificar se o candidato sabe trabalhar com o dinheiro fazendo clculos envolvendo adio, subtrao, multiplicao e diviso de valores, e trans-formaes de moeda estrangeira para a moeda nacional. veja-mos, atravs de exerccios, como isso vem sendo cobrado.

01) (Correios / Fundep) Uma loja comprou televisores ao preo unitrio de R$ 1.947,00 e revendeu-os a R$ 2.022,00 cada um. Dessa forma, teve um lucro total de R$ 5.775,00.

Ento, o nmero de televisores comprados e vendidos foia) 70 b) 72 d) 77c) 75 e) 80

02) (Correios / Fundep) Alberto comprou 134 laranjas por R$ 33,50. No transporte, estragaram-se 18 delas. Agora, ele quer vender as restantes com lucro total de R$ 7,10.

Para isso, Alberto deve vender cada laranja pora) R$ 0,31b) R$ 0,32 d) R$ 0,34c) R$ 0,33 e) R$ 0,35

03) (PMSP - Ag vistor) Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preos:

Segundo os dados da tabela, uma pessoa que dispe da quantia exata de R$ 4,90 para fazer cpias de um mesmo original poder solicitar no mximoa) 50 cpiasb) 51 cpiasc) 52 cpiasd) 53 cpiase) 54 cpias

04) (Bombeiros RJ / 2000 ) Nova York inaugura o maior planetrio do mundo

O Rose Center uma mistura de sala de aula, laboratrio e es-tdio de cinema. Sua esfera de ao de 26 metros de dimetro, flutua dentro de um cubo de vidro, abrigando o mais moderno planetrio do mundo. Para entrar nele paga-se 19 dlares e assiste-se a fabulosos espetculos. (Fonte revista Galileu- abril de 2000- n 105 )

Com o dlar cotado a R$ 1,80, o valor em reais para 5 pessoas ingressarem no Rose Center corresponde a:a) R$ 171,00b) R$ 172,00c) R$ 173,00d) R$ 174,00e) R$ 175,00

GAbArITo

01)D 02) E 03) E 04) A


32

MATEMTICA

rAzEs E proporEsDIVIso proporCIoNAl

rAzEs ENTrE DoIs NMEros rEAIs a e b (b 0)

a = kb onde a antecedente e b o conseqente.

l-se: razo de a para b ou a est para b.

A razo entre duas grandezas de mesma natureza o quociente dos nmeros que exprimem as suas medidas, na mesma unidade.

Ex.: Um retngulo A tem 10cm e 15cm de dimen-ses e um retngulo B tem 8cm e 12cm de dimenses. Ento, a razo entre seus permetros 5/4 ou 4/5.

rAzEs EspECIAIsvelocidade mdia = distncia percorridatempo gastodensidade = massavolume

escala = comprimento no desenhocomprimento real

densidade demogrfica = nmero de habitantesreaporcentagem: a% = a 100

proporo uma igualdade de duas ou mais razes.

a = c = k ou a : b = c : db d

meios

extremos

proprIEDADE FuNDAMENTAl DAs proporEsa = c b d

a d = b c isto , o produto dos extre-

mos igual ao produto dos meios.

Ex.: Numa maquete de escala 1/40, a altura de um prdio de 80cm. logo, a altura real do mesmo 32m.

1 = 80 x = 3200cm ou x = 32m40 x

MoDos DIFErENTEs DE EsCrEVEr uMA proporo

bd

ac

ab

cd

ac

bd

db

ca

dc

ba

=

=

=

=

=

IV)

III)

II)

I )

propriedades das proporesa = c b d

2

2

2

2

u o

III)

u o II)

u o ) I

dc

dxbcxa

ba

dxbcxa

dc

dbba

ba

sbba

ddc

bba

cdc

aba

==

==

==+

Devemos considerar todas as combinaes possveis.

sEQNCIAs DIrETAMENTE proporCIoNAIs E INVErsA-MENTE proporCIoNAIs

A seqncia de nmeros x, y e z diretamente propor-cional seqncia de nmeros a, b e c se k

cz

by

ax ===

Ex.: Os nmeros 6, 8 e 15 so proporcionais, nessa ordem, aos nmeros 12, 16 e 30, tambm nessa ordem. verifique!

A seqncia de nmeros x, y e z inversamente proporcional seqncia de nmeros a, b e c se ou

cz

by

ax

111== ou a x = b y = c z

Ex.: Os nmeros 12, 15 e 20, nessa ordem, so inver-samente proporcionais, respectivamente, aos nmeros 10, 8 e 6. verifique!

a = c = k ou a : b = c : db d


MATEMTICA

IVIso proporCIoNAl

I) Seja, dividir o nmero 360 em partes proporcio-nais aos nmeros 2, 3 e 5.

=++=++

======

360532360

5 3,2532

kkkzyx

kzekykxkzyx

k = 36logo, x = 2 36 = 72 y = 3 36 = 108 z = 5 36 = 180

II) Dividir o nmero 130 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4.

=++=++

======

130432

130

4 3,2413121

kkkzyx

kzekykxkzyx

ou 13k = 130 k = 120 12logo, x = 120/2 y = 120/3 z = 120/4 x = 60 y = 40 z = 30

GrANDEzAs proporCIoNAIs GrANDEzAs DIrETAMENTE

proporCIoNAIsDuas grandezas so diretamente proporcionais,

quando variam sempre na mesma razo.Ex.: Distncia percorrida e o tempo gasto para

percorr-la com velocidade constante.

GrANDEzAs INVErsAMENTE proporCIoNAIs

Duas grandezas so inversamente proporcionais quando variam, uma na razo inversa da outra.

Ex.: O nmero de operrios (com mesmo ndice de produo) e o tempo que eles gastam para executar uma tarefa.

rEGrA DE Trs So procedimentos usados para resolver problemas

envolvendo grandezas proporcionais.

rEGrA DE Trs sIMplEsproblemas envolvendo somente duas grandezas

proporcionais.Ex. 1: Uma vara de 2m, quando colocada vertical-

mente produz uma sombra de 60cm. Determine a altura de um prdio que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12m.

2m - 0,60m mxx

x0 4

6,04 2

2 16,02 ===

x - 12m (d)

Ex. 2: Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada pgina so necessrias 280 pginas. Determine o nmero de pginas com 30 linhas por pginas, que so necessrias para paginar esse livro. 45 - 280 30 - x

(i) 280 = 30 x = 280 x 4540 x = 420 pgs. x 40

rEGrA DE Trs CoMposTAproblemas envolvendo mais de duas grandezas

proporcionais.Ex. 1: Se 16 homens gastam 10 dias montando 32

mquinas, determine o nmero de dias que 20 homens necessitaro para montar 60 mquinas.

16h - 10d - 32 mq20h - x - 60 mq(i) (d)

10 = 20 x 3216 x 60 x = 15 pgs. x

Ex. 2: Em uma fragata, havia vveres para alimentar uma tripulao de 18 homens durante 12 dias. Aps o quarto dia de viagem, esta fragata recolheu 6 nufragos. Determine o nmero de dias que o alimento existente a bordo dever durar.

18h - 4d - 4/12 24h - x - 8/12 4 = 24 x 418 x 8 x = 6 pgs. x(i) (d)

porCENTAGEM porCENTAGEM ou TAxA DE

porCENTAGEM

toda razo de conseqente 100.Ex.:

35100 = 35% 35% = 0,35

2100 = 2% 2% = 0,02

Aplicao de porcentagem pode ser solucionada via Regra de Trs (simples e direta) onde o total (inteiro) 100%.

Ex. 1: Determine 40% de 120. 120 - 100% 120 x 40 = 48

100

x - 40%

Ex. 2: 20 corresponde a que taxa percentual de 400?

I) 400 -100% x 20 x 100400

ou x = 5% 20 - x

ou 20400 = 0,05 0,05 = 5%


MATEMTICA

Ex. 3: 20% de qual valor igual a 120?

20% - 120 x = 100 x 12020

= 600 ou x = 600100% - x

opErAEs DE CoMprA E VENDA

Problemas relacionados com compra e venda de mercadorias com lucro ou prejuzos referentes a preo de custo e preo de venda.

Exemplos:a) vendi uma mercadoria com lucro de 35% sobre

o preo de custo, por R$ 2.700. Qual o lucro obtido?

soluo:O lucro de 35% refere-se ao preo de custo, portanto,

o preo de custo nosso referencial e a ele atribumos o porcentual 100. Temos as seqncias diretamente proporcionais:

Preo de custo ...... 100% xlucro .................... 35% y Preo de venda ..... 135% 2700e a proporo:

x100

= y35

= 2700135

donde y = 35 x 2700135 = 700 Portanto, o lucro obtido de R$ 700. Observe que

no seria correto calcular 35% de R$ 2.700, pois esse valor corresponde ao preo de venda da mercadoria, e o lucro foi calculado sobre o preo de custo.

b) Comprei uma mercadoria por R$ 1.440 e a vendi com um lucro de 20% sobre o preo de venda. Qual o preo de venda desta mercadoria?

soluo:O lucro de 20% refere-se ao preo de venda, portanto,

o preo de venda nosso referencial e a ele atribumos o porcentual 100. Temos as seqncias diretamente pro-porcionais:

Preo de custo ......80% 1440lucro ...................20% x Preo de venda .....100% ye a proporo 1440

80 = x

20 = y

100 donde y = 100 x 144080 = 1800

Portanto o preo de venda de R$ 1.800. Observe que no seria correto calcular 25% de R$ 1.440 j que este valor o preo de custo e o porcentual dado refere-se ao preo de venda.

c) vendi uma mercadoria por R$ 13.500 com pre-juzo de 10% sobre o preo de custo. Qual o preo de custo desta mercadoria?

soluo:O prejuzo refere-se ao preo de custo e, portanto, o

nosso preo de custo o nosso referencial e a ele atribumos o porcentual 100. Temos as seqncias diretamente pro-porcionais:

Preo de custo ... 100% xPrejuzo............. 10% y Preo de venda.... 90% 13500 e a proporo:

x100

= y10

= 1350090

donde x = 100 x 1350090 = 15000

Portanto o preo de custo foi de R$ 15000.d) Comprei uma mercadoria por R$ 4600 e vendi

com um prejuzo de 15% sobre o preo de venda. Qual o preo de venda?

soluo:O prejuzo sobre o preo de venda, e, portanto, o

nosso referencial o preo de venda. A ele atribumos o porcentual 100. Temos as seqncias proporcionais:

Preo de custo ... 115% 4600Prejuzo ........... 15% x Preo de venda ...100% ye a proporo:

4600115

= x15

= y100

donde y = 100 x 4600115 = 400

e) Um objeto foi comprado por R$ 800.000 e ven-dido a R$ 1.000.000. Determine o porcentual de lucro.

I) Sobre o custo.II) Sobre a venda.soluo:I) Para determinarmos o porcentual de lucro sobre

o preo de custo (este ser o referencial) a ele atribu-mos o percentual 100. Temos as seqncias diretamente proporcionais:

Preo de custo .... 100% 800000lucro ................. x% 200000Preo de venda... y% 1000000 800000

100 = 200000

x donde x = 100 x 200000

800000 = 25

Portanto o porcentual de lucro sobre o preo de custo de 25%.

II) Para determinarmos o porcentual de lucro sobre o preo de venda (este ser o referencial) a ele atribu-mos o percentual 100. Temos as seqncias diretamente proporcionais:

Preo de custo ..... x% 800000Preo de venda ... 100% 1000000lucro .................. y% 200000

1000000100

= 200000y

donde x = 100 x 2000001000000

= 20

Portanto o porcentual de lucro sobre o preo de venda de 20%.


MATEMTICA

juros sIMplEs juro toda compensao que se paga ou se recebe

por um valor (capital) que se pede emprestado ou que se empresta.

Essa compensao, sendo parte do capital, pode ser indicada em taxa percentual (taxa de juros).

Essa taxa de juro incide sobre o capital inicial, tantas vezes quantos forem os perodos de aplicao, portanto sem percentuais corrigidos (acumulados).

Esse o regime de Juros Simples. MoNTANTEMontante o total que se paga ou recebe no final

do emprstimo.Indica-se: Montante = M (capital final)

Importante: a) Quanto no se explicita o tempo da taxa per-

centual, considera-se perodo anual.b) Comercialmente tem-se que:1 ms = 30 dias e 1 ano = 360 dias

juros CoMposTos

Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao ms. Qual ser o valor ao final da aplicao?

A tabela demonstrar ms a ms a movimentao financeira na aplicao do regime de juros compostos.

No final do 8 ms o montante ser de R$ 541,43.

Uma expresso matemtica utilizada no clculo dos juros com-postos a seguinte: M = C * (1 + i)t, onde: M: montante C: capital i: taxa de juros t: tempo de aplicao

ExErCCIos rEsolVIDos 01) Determine (a + b) + (x + y) se so diretamente propor-

cionais as seqncias (a, 2, 3) e (12, b, 9) e inversa-mente proporcionais as seqncias (2, x, 5) e (y, 2, 7).soluo:I) a12 =

2b =

39 b =

2 x 93 e a =

12 x 39

b = 6 a = 4 Logo, (a+b) = 10

II) 21y

= x12

= 517

2y = 2x= 35 x = y = 352

Portanto, (x + y) = 35

III) (a + b) + (x + y) 10 + 35 = 45resp.) 45

02) Se 2x + 3y + z = 88 e x2 = y5 =

z3 , determine o valor de (y - z)

soluo:I) x2 =

y5

= z3

= k x = 2k, y = 5k e z = 3k

II) 2x + 3y + z = 88 4k + 15k + 3k = 88 k = 4III) y - z = 5k - 3k y - z = 2k y - z = 8resp.) 8

03) Se a.b.c = 192 e , determine o valor de (a + b + c).soluo:a2

= b3

= c4

= a x b x c2 x 3 x 4

apostila de matemática para concursos.pdf

Documents